เฉลยเตรียมสอบ pat 1 ชุดที่ 1

7/17/2019 PAT 1 1

http://slidepdf.com/reader/full/-pat-1-1-568f0fa39c0fc 1/21

เฉลยแนวขอสอบ PAT 1 ช ดท 1 - 1 - www.focus-physics.com

ตอนท 11. จงหาเศษท เปนไปไดทังหมด ท เกดจากการหาร 4 4a b ดวย 8 เม อ a, b เปนจานวนเตมใด ๆ

ตอบ 0, 1, 2

แนวคด

4 4a b หารดวย 8 เม อ a, b เปนจานวนเตม

กรณท 1 a เตมค b เตมค เม อ n I

4 4 4 4(2n) (2n) 32n 8 4n หารดวย 8 เศษ 0

กรณท 2 a เตมค b เตมค เม อ n I 4 4 4 3 2

(2n) (2n 1) 32n 32n 24n 8n 1

4 3 28 4n 4n 3n n 1 หารดวย 8 เศษ 1

กรณท 3 a เตมค b เตมค เม อ n I

4 4 4 3 2

(2n 1) (2n 1) 32n 64n 48n 16n 2 4 3 28 4n 8n 6n 2n 2 หารดวย 8 เศษ 2

2. [ขอสอบโควตามหาวทยาลัยเช ยงใหม / 2537]

กาหนดx y z

A p q r

s t u

p q r

B 3x 3y 3z

2s 2t 2u

และ det(A) = 2 จงหา 1det(2B )

ตอบ 2

3

1. ถาสมาชกในแถว หรอ หลัก อันใดอันหน ง เปนศนยหมด ดเทอรมนันตนั นจะมคาเทากับ 0 เสมอ

2. ถาสมาชกใน 2 แถว หรอ 2 หลัก เหมอนกัน ตามลาดับโดยตลอดดเทอรมนันต จะมคาเทากับ 0

3. ถาสมาชกท อย ใตเสนทแยงมมหลักหรออย เหนอเสนทแยงมมหลักมคาเทากับศนย หมด ดเทอรมนันตจะมคาเทากับผลคณของสมาชกในแนวเสนทแยงมมหลัก

4. ถาเอาสมาชกของ 2 แถว หรอ 2 หลักใดสลับท กันตามลาดับ det ของเมตรกซท เกดใหม จะมคาเทากับจานวนตรงขามกับ det เดม

5. ถานาคาคงตัวคณกับสมาชกทกตัวในแถวใดแถวหน ง หรอ ในหลักใดหลักหน ง det

เมตรกซท เกดใหมจะเทากับคาคงตัว k คณ det เดม

6. ถานาคาคงตัวคณกับสมาชกทกตัวในแถวใดแถวหน ง หรอ ในหลักใดหลักหน ง

แลวนาไปบวกกับแถวอ น หรอ หลักอ น det เมตรกซท เกดใหมจะเทากับ det เดม

7/17/2019 PAT 1 1



แนวคด โจทยบอก

x y z

det A p q r 2

s t u

จะไดวา

p q r

x y z 2

s t u (เพราะสลับแถว 1 กับแถว 2)

p q r

3x 3y 3z 1( 3)(2)( 2) 12

2s 2t 2u

(เพราะนา -1 คณแถว 1 นา -3 คณแถว 2 นา 2 คณแถว 3) จะเหนวา det B = -12

ดังนัน1 3 1 8 8 2

det(2B ) 2 det Bdet B 12 3

3. กาหนดให n

1sin1 sin3 sin5 ... sin89

2 คาของ 4n เทากับเทาใด

โจทยขอนเปนโจทยท ยากนะแตเรามวธลัดคอยตดตามครับ

แนวคด จากโจทย n


2

จัดรปn

sin2 sin4 sin6 ...sin90 1sin1 sin3 sin5 ...sin89

sin2 sin4 sin6 ...sin90 2

ได sin1 sin2 sin3 sin4 ...sin89 sin90 n1

sin 2 sin 4 sin 6 ...sin 90 2

จับค nsin1 sin89 sin2 sin88 ... sin44 sin46 sin45 1

sin 2 sin 4 sin 6 ...sin90 2

จัดรปได sin1 cos1 sin2 cos 2 ... sin44 cos 44 sin45

sin 2 sin 4 ...sin90

n1

2

จาก sin 2A 2sin AcosA

1

sin 2 1 2sin1 cos1 sin 2 sin1 cos12

7/17/2019 PAT 1 1



จะได

n

1 1 1 1 1sin 2 sin 4 sin 6 sin8 ... sin 88 sin 45

12 2 2 2 2

sin 2 sin 4 sin 6 sin8 ...sin88 2

441 sin 2sin 4sin 6...sin88

2

sin 2sin4sin 6...sin88

n1

sin 452

44 n1 1 1

2 22

144 n

21 1 12 2 2

44.5 n1 1

n 44.52 2

4n 178 ตอบ 178

คดลัด จาก n


2

นา89

n 44.52 โจทยถาม 4n 4 44.5 178 ตอบ 178

4. กาหนด x 2 x 4 x 6 2... 6

x x x x

จงหาคาของ x

ตอบ 26

แนวคด อนกรม x 2 x 4 x 6 2... 6

x x x x

ท โจทยกาหนดเปนอนกรมเลขคณต

x 2 x 4 x 6 ... 2 6x โดย 1

a x 2 และ na 2 และ d x 4 x 2 2

และจาก n 1a a (n 1)d

2 x 2 (n 1)( 2)

2 x 2 2n 2

7/17/2019 PAT 1 1



2 x 2n

x 2n

2

และจาก n 1 n

nS (a a )

2

x 2

26x x 2 2

2

x 2

26x x

2

24 x 2

x 26

5. จงหาคาของ a ท ทาให a 1

2

a

2011x x dx

มคามากท สด

แนวคด

2y 2011x x

y 2011 2x

0 2011 2x

2011x 1005.5

2

0.5

a a 1

0.5

1005.5

a 1005.5 0.5 1005

7/17/2019 PAT 1 1



ตอนท 21. ถา a และ b เปนผลเฉลยของอสมการของอสมการ 2x 1 x 5 แลว a b มคาสงสดเทาใด

1. 1 2. 2 3. 5 4. 6 5. 8

แนวคด

2x 1 x 5

2 2

2x 1 x 5

2 2

2x 1 x 5 0

2x 1 x 5 2x 1 x 5 0 2x 1 x 5 เปนบวกเสมอตัดทงไดครับ

2x 1 x 5 2x 1 x 5 0

แกสมการ 2x 1 x 5 0

2x 1 x 5 0

2x 1 x 5 0 2x 1 x 5 0

x 6 0 3x 6 0

x 6 x 2

62

มคาสงสด a b 6 2 8

7/17/2019 PAT 1 1



2. กาหนดให 1r x, y x y และ 2

2r x, y y x 2 ถา 1 2r r แลวขอใดตอไปนถกตอง

r 1. D 2,2 และ r R 2,2 r 2. D 2,2 และ r R 1,2

r 3. D 2,2 และ r R 2, r 4. D 2, 1 1,2 และ r R 2,2

r 5. D 2, 1 1,2 และ r R 1,2

ตอบขอ 5แนวคด

y

x

y xy x

y

x

2y x 2

y x

2

22

y

x

y xy x

2 r D

2y x 2

r R

2,2

1, 1

2,2

1, 1

1 1 2

1

2

x

y

3. กาหนดให

x

2

4 4 , 0 x 1f x

16 x 5 , 1 x 5

คาของ 1 1f f 7 f 2

เทากับขอใด

151.

4 2. 5 3. 7

314.

4 39

5.4

แนวคด คา 1f 7 7 f

2

f x 16 x 5 1f x 16 x 5

1f 7 16 7 5 2, 8

คา 1f 2

xf x 4 4

1

4

log x 4f x log x 4

log4

1

4f 2 log 2 4

22

log 2

2

1 1log 2

2 2

คาของ 1 1 1 5f f 7 f 2 f 2 f

2 2

2

f x 16 x 5

2

5 39f 2.5 16 5

2 4

7/17/2019 PAT 1 1



4. จากรป อยากทราบวาจานวนรปส เหล ยมท เกดข นทังหมดคอขอใด

1. 108 2. 135 3. 153 4. 171

ตอบขอ 2

แนวคด อาศัยหลักวาเสนขนานสองชด ชดละ m, n เสนตัดกัน จะเกดเสนส เหล ยมข นทังหมดm n

2 2

รป

A B

CD

E F

H G

I J

E FA B

CD

E F

H G

I J

คดชวง ABCD จะสราง ไดจานวน 4 66 15 90

2 2

คดชวง EFGH จะสราง ไดจานวน 3 7

3 21 632 2

คดชวง HGIJ จะสราง ไดอกจานวน 3 4 3 6 182 2

รวมแลวสราง ได = 90 + 63 – 18 = 135 รป

5. กาหนดให ลาดับ n n n

na 9 a 1 3 ขอใดตอไปนถกตอง

1. ลาดับ na ไมมลมต 2. ลาดับ n

a มลมตเทากับ 0

3. ลาดับ na มลมตเทากับ 1

2 4. ลาดับ na มลมตเทากับ 1

ตอบขอ 3

แนวคด n n n

nlim 9 3 1 3

n n n n n n

n n nn

9 3 1 3 9 3 1 3lim

9 3 1 3

7/17/2019 PAT 1 1



2

n n n

n n nn

9 3 1 3lim

9 3 1 3

n

n n nn

3 1lim

9 3 1 3

n

n

n n

11

3lim1 1

1 13 9

1 0 1

21 0 0 1

คดลัด งงถามไดครับ n n n

na 9 3 1 3

จะไดวา2

n n n n n

x x1lim 9 3 1 3 lim 3 32

n n13 32 1

2

6. คาของ tan9 tan27 cot 27 cot9 เทากับขอใดตอไปน 1. 2 2. 4 3. 6 4. 8

ตอบขอ 2. แนวคด

sin 9 cos 9 sin 27 cos 27tan9 tan27 cot27 cot9 cos 9 sin 9 cos 27 sin 27

2 2 2 2sin 9 cos 9 sin 27 cos 27

sin9 cos9 sin27 cos27

2 2

sin18 sin54

2 sin54 sin18

sin18 sin54

4cos36 sin18

sin18 sin54

4sin544

sin54

7/17/2019 PAT 1 1



7. กาหนดให 1 xf (x) 1 log( 1)

x 2log( 1)

2

และ f A x x D และ x เปนจานวนเตม} จานวนสมาชกของ A เทากับขอใด

ตอไปน 1. 19 2. 20 3. 21 4. 22

ตอบขอ1. แนวคด กอนอ นจะหา

f D

ตอนหน ง หลัง log 0 จะไดวา x1 0

2

x1

2

x 2 ให

f x D ฉะนัน x 2 ตอนสอง ใน ตอง 0

นันคอx

1 log 1 02

xlog 1 1

2

x

1 102 x

112

x 22 ตอนสาม

เง อนเศษสวน สวนตองไมเทากับศนย

xlog 1 0

2

0x1 10

2

x1 1

2

x2

2

x 4

7/17/2019 PAT 1 1



นาคาตอบของทังสามตอนมาอนเตอรเซคกัน

4 222

x 2,4 4,22 แลวf x D

ฉะนัน f D 2,4 4,22

f D 3,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22 จงไดวา A มสมาชก 19 ตัว

8. ให z เปนจานวนเชงซอน ซ ง 14iz 9z 6 2 ดังนัน z มคาอย ในชวงใดตอไปน

1. 1(0, ]2

2. 1( ,1]2

3. 3(1, ]2

4. 3( , 2]2

ตอบขอ 2. แนวคด จาก

14iz 9z 6 2

4i9z 6 2

z

4i 9zz6 2

z

24i 9 z 6 2 z

416 81 z 6 2 z

4 216 81 z 72 z

4 281 z 72 z 16 0

2

29 z 4 0

2 4z

9

2

z 3

7/17/2019 PAT 1 1



9. คาของ 1 1 1 1arctan arctan arctan arctan

3 5 7 8 เทากับขอใดตอไปน

1.2

2.

3

3.4

4.

6

ตอบขอ 3แนวคด งงถามไดครับ

1. x y

arctan x arctan y arctan x y 11 xy

2. x y

arctan x arctan y arctan , x y 11 xy

3. x y

arctan x arctan y arctan , x y 11 xy

วธทา

1 1 1 1

3 7 5 8arctan arctan1 1 1 1

1 . 1 .3 7 5 8

1 1

1 1 2 3arctan arctan arctan arctan 1

1 12 3 41 .

2 3

วธลัด

18.5

71.51

10

3

8

82

7

150

จา 1 1 1 1arctan arctan arctan arctan

3 7 5 8

18.5 8 18.5 454

7/17/2019 PAT 1 1



10. ในรปสามเหล ยม ABC กาหนด (a b c)(a b c) 3ab และดาน c 3a จงหาคาของ 2 2tan A tan C tan A tanC

1. 0 2.3

2 3.

3

7 4.

3

13

คดลัด ถางงถามไดครับ

a b c a b c เม อ a,b,c เปนดานของสามเหล ยม

โจทยกล มน มขอสังเกตวาตัวไหนตดลบ(ดานซาย)จะถามหามมนันและดานขวาจะมตัวเลขแคสามตัว

คอ 1 , 2 ,3 เวลาตอบถาเปน 1 ตอบมม 120 ถาเปน 2 ตอบมม 90

ถาเปน 3 ตอบมม 60

คดลัด

(a b c)(a b c) 3ab มม c 60

C

c 3aA B

a

b

c

Csin

b

Bsin

a

Asin

sin A sin60

a a 3

1 3 1sinA

2 23

A 30

จงหาคาของ 2

22 2 1 1

tan 30 tan 60 tan30 tan 60 3 33 3

13 1

3 7

3

7/17/2019 PAT 1 1



11. กลองท มความยาวดานละหน งหนวย ABCDWXYZเม อขงเชอกระหวางมม A กับมม y และมม B กับมม Z ดังรปโดยเสนเชอกทัง 2 จะทามมมมแหลม คาของ sec คอขอใด

A

B C

D

W

XY

Z

3

1.2

2. 2 3. 2 4. 3

ตอบขอ 4

a

x

b

c

ส ตรลัด เสนทแยงมมของกลอง 2 2 2x a b c

กฎของโคไซน ในรปสามเหล ยม ABC ใด ๆ ถา a , b และ c เปนความยาวของดานตรงขามมม

A , B และ C ตามลาดับ จะได

Ccosab2 bac

Bcosac2ca b

Acos bc2c ba

222

222

222

c

ab

A B

C

7/17/2019 PAT 1 1



A

B C

D

W

XY

Z

2 2 2AY BZ 1 1 1 3 AY BZ 3

2 2 2

3

2

3

2

1

2 2 2a b c 2bccos 2 2

2 3 3 3 31 2 cos

2 2 2 2

3 3 31 2 cos

4 4 4

1

cos

3

sec 3

12. กาหนดให 02

และ 2 3 4 1

sin sin sin sin ...4

ผลบวกของอนกรม 2 3cos cos cos ... เทากับขอใดตอไปน

1. 3 2 3 2. 10 6 3 3. 1 2 4. 8 6 2

ตอบขอ 4.

แนวคด

เน องจาก2 3 4sin sin sin sin ...

เปนอนกรมเรขาคณตซ งมผลบวกคอ 1

4

ใชสตรอนกรมเรขาคณตอนันต

1a

s1 r

ฉะนัน

sin 1

1 sin 4

7/17/2019 PAT 1 1



4sin 1 sin

1sin

3

1

8

3

( เพราะคา 1

r sin3

อย ในชวง (-1,1) สอดคลองกับเง อนไขของอนกรม)

8cos

3 (เปนบวกเพราะอย ใน Q1

02

)

และทาใหไดวา 8cos

3

เพราะวา 2 3cos cos cos ... เปนอนกรมเรขาคณต

และ 8cos 1

3

ใชสตรอนกรมเรขาคณตอนันต

1as

1 r

เพราะฉะนัน ผลบวกของอนกรมนคอ

8

cos 3

1 cos 81 3

8

3 8

8 3 8

3 8 3 8

8 3 8

8 3 8

8 6 2

7/17/2019 PAT 1 1



13. กาหนดให a R {1} และ 3 n

2 2 2 2

a a a alog a log a log a ... log a 2550

คาของ 1 3 5 ... (2 n 1)

2 4 6 ... 2n

เทากับขอใดตอไปน

1. 49

50

2. 50

51

3. 51

52

4. 52

53

ตอบขอ 2. แนวคด จาก 3 n

2 2 2 2

a a a alog a log a log a ... log a 2550

จะไดวา 2loga 2 loga 2 loga 2 loga... 2550

1 1 1logaloga loga loga

2 3 n

a a a a2log a 4log a 6log a ... 2nlog a 2550

2 1 2 2 2 3 ... 2 n 2550

2 1 2 3 ... n 2550

n n 1 2550

n 50

ฉะนัน

1 3 5 ... 2n 1 1 3 5 ... 99

2 4 6 ... 2n 2 4 6 ... 100

501 99

250

2 1002

100

102

50

51

7/17/2019 PAT 1 1



14. กาหนด1 2 3 na ,a ,a ,...,a ,... เปนลาดับเลขคณต

ถา 3 7 11 15 2535a a a a ... a 3170

และ 1269 1270 1271 1308 2088a a a ... a a

แลว1a เทากับเทาใด1. 1267 2. 1268 3. 6335 4. 6337

ตอบขอ3

แนวคด n 634

3 7 11 15 2535a a a a ... a 3170

3 2535

634a a 3170

2

1 1317 a 2d a 2534d 3170

1

317 2a 2536d 3170

12a 2536d 10

1a 1268d 5

n 40

1269 1270 1271 1308 2088a a a ... a a

1269 1308 1

40a a a 2087d

2

1 1 120 a 1268d a 1307d a 2087d

1 140a 51500d a 2087d

139a 49413d

1a 1267d

นาไปแทนในสมการท 1 จะได

1267d 1268d 5

d 5

นาไปแทนในสมการท 2 จะได 1a 1267 5 6335

7/17/2019 PAT 1 1



15. ถา x 0A

1 x

โดยท x เปนจานวนจรง และ tdet A A 9 แลว 1det 2A เทากับขอ

ใด

1. 2 2. 1 3. 1 4. 2

ตอบขอ 4

แนวคด

x 0A

1 x

t

x 1A

0 x

t

2x 1A A

1 2x

t 2x 1

det A A det 91 2x

24x 1 9 x 2

2 0

A1 2

det A 2 โจททยถาม 1 2 1 4

det 2A 2 2det A 2

16. ถา A เปน 2 2 เมตรกซ ซ ง t12det A 3det 3 A 55 0

และ det A เปนจานวนเตม แลวขอใดตอไปนถก

1. det A 10 2. 10 det A 10

3. 20 det A 30 4. det A 30

ตอบขอ 3

แนวคด t

12det A 3det 3 A 55 0

22x 55x 27 0

2 12det A 3 3 det A 55 0

2x 1 x 27 0

1

2det A 27 55 0det A

2x 1 x 27 0

ให det A x 1

x 27,2

272x 55 0

x โจทยบอก det A เปนจานวนเตม x det A 27

22x 27 55x 0

7/17/2019 PAT 1 1



17. คาของ14 30

cos isin cos isin8 8 8 8

เทากับใด

1. 2 2. 2 3. 2i 4. 2i

แนวคด

14 30


3014


cos14 isin14 cos30 isin 308 8 8 8

2 2 2 2cos 2 i sin 2 cos 4 isin 4

8 8 8 8

cos isin cos i sin4 4 4 4

2 2 2 2i i

2 2 2 2

2 2

2

2

18. ให z เปนจานวนเชงซอนซ ง 1z 3z ดังนัน

771z

z มคาเทากับขอใดตอไปน

1. 3 2. 3 3. 3i 4. 3i

ตอบขอ 1

แนวคด ถางงถามไดครับ

1z 3

z

n

n

1z 2 cos n

z

จากสตร 1z 2 cos

z

7

7

1 7z 2cos

z 6

3 2cos 7

7

1 3z 2 3z 2

3cos

2

6

7/17/2019 PAT 1 1



19.

2

3 3x 2

2x x 6lim

6 x 2 3x 7

เทากับขอใดตอไปน

1. 17

5

2. 17

5 3. 84

25 4. 84

25

ตอบขอ

4.

แนวคด

จาก 3 3 2 2A B A B A AB B เรยนแบบ

3 3 2 21 1 1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3 3 3A B A B A A B B

จะได 2 2

1 1 1 1 1 1

3 3 3 3 3 3

A B A B A A B B

2

3 3

2x x 6

6 x 2 3x 7

2 23 33

2

2 23 33 33

6 x 2 6 x 3x 7 4 3x 72x x 6

6 x 2 3x 7 6 x 2 6 x 3x 7 4 3x 7

2 23 33x 2 2x 3 6 x 2 6 x 3x 7 4 3x 7

6 x 8 3x 7

2 23 33x 2 2x 3 6 x 2 6 x 3x 7 4 3x 7

25 x 2

2 2

3 332x 3 6 x 2 6 x 3x 7 4 3x 7

25

ดังนัน2

3 3x 2

2x x 6lim

6 x 2 3x 7

2 2

3 33

x 2

2x 3 6 x 2 6 x 3x 7 4 3x 7

lim25

22 2 3 2 2 2 4 84

25 25

7/17/2019 PAT 1 1



20. ให a, b และ c เปนเวกเตอร โดยท a b c 0

ถา a 3, b 1 และ c 4 คาของ a b b c c a ตรงกับขอใดตอไปน

1. 5 2. 13 3. 5 4. 13

ตอบขอ 4.

แนวคด

A

B

C

a

b

c

เน องจาก a b c 0 แสดงวาประกอบกันเปนสามเหล ยมปดดังรป

โจทยถามคา

a b c 0

a b c 0 ยกกาลังสองทังสองขาง

22 2a b c 2ca 2b c 2c a 0

2 2 23 1 4 2 ca b c c a 0

9 1 16 2 ca b c c a 0

26a b b c c a 13

2

เฉลยเตรียมสอบ pat 1 ชุดที่ 1

Documents