vemos que lo que hizo de broglie fue extender la...
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Mecánica Cuántica Moderna La hipótesis de De Broglie En 1923, Louis de Broglie hizo una propuesta revolucionaria: que los electrones no siguen el comportamiento de las partículas clásicas, sino que su comportamiento es similar al de las ondas. De Broglie propuso que la longitud de onda asociada al movimiento de los electrones debía ser similar a la de los fotones, para los cuales es válida la ecuación:
λ
hp f =
Concluyó que el movimiento ondulatorio de las partículas materiales debía estar “guiado” por una onda asociada, a la que denominó “onda piloto”, que se trata de una onda estacionaria que cumpliría con la relación de De Broglie:
p
h=λ
Vemos que lo que hizo De Broglie fue extender la naturaleza dual partícula-onda existente en la luz a las partículas materiales. Con dos ejemplos veremos de qué manera se aplica la relación de De Broglie para obtener casos de cuantización de la vieja teoría cuántica.
Mecánica Cuántica Moderna La hipótesis de De Broglie Ejemplo 1: A partir de la relación de De Broglie alcance la expresión de la energía para una partícula que se mueve en un segmento de recta de longitud a. Una onda estacionaria debe ser la onda piloto de esta partícula. No puede ser una onda no estacionaria
Una onda estacionaria presenta un número entero de medias oscilaciones en el segmento de recta:
Por lo cual la relación general entre a y λ es:
...,3,2,12
== nn
aλ
Despejando λ e igualando a h/p, obtenemos
p
h
n
a=
2
Despejamos ahora la cantidad de movimiento de la partícula:
a
nhp
2=
Aprovechamos la definición de la energía cinética para obtener una expresión para la energía de la partícula
2
222
82 ma
hn
m
pEc ==
Vemos que la energía cinética está cuantizada
Mecánica Cuántica Moderna La hipótesis de De Broglie Ejemplo 2. Obtenga la cuantización del momentum angular de Bohr al aplicar la relación de De Broglie a una onda estacionaria asociada al movimiento de un electrón en una órbita circular. Como muestra la figura, sólo se obtienen ondas piloto sin interferencia (estacionarias) cuando dentro del perímetro de la órbita quepa una o más longitudes de onda completas, es decir
...,3,2,12 == nnr λπ
Al despejar λ y sustituir en la relación de De Broglie
p
h
n
r=
π2
Y ya que p=mv, alcanzamos la expresión
π2
hnmvr =
que es la expresión de Bohr para la cuantización de la cantidad de movimiento angular.
Mecánica Cuántica Moderna Evidencias experimentales del comportamiento ondulatorio de la materia Einstein y De Broglie propusieron la confirmación experimental de la hipótesis de las ondas piloto. Si fuera cierto que un movimiento ondulatorio estaba asociado a las partículas, éstas deberían presentar patrones de interferencia y difracción similares a los de la radiación electromagnética. En 1927 culminaron los experimentos. Por una parte Clinton J. Davisson y L. H: Germer, estadounidenses, se dedicaron a difractar un haz de electrones al hacerlos pasar por un cristal de níquel.
Por la otra, en Inglaterra, George P. Thomson (precisamente el hijo de J. J: Thomson) empleó láminas metálicas delgadas para provocar la difracción de los electrones
Mecánica Cuántica Moderna Evidencias experimentales del comportamiento ondulatorio de la materia Los resultados fueron similares a los de difreacción de la radiación electromagnética. Por ejemplo, en la figura se muestra un patrón de difracción de rayos X.
De Broglie recibió el premio Nobel de física en 1929. Davisson y Thomson lo recibieron en 1937.
Mecánica Cuántica Moderna La ecuación de Schroedinger Erwin Schroedinger fue el primero en emplear la idea de la relación de las ondas piloto de De Broglie dentro de una ecuación de onda. Empecemos por obtener la ecuación diferencial de una onda estacionaria en una dimensión. Para ello hay que recordar la ecuación de un campo eléctrico que viaja a la velocidad de la luz. Cuando t=0 la ecuación del perfil de la senoide es:
Cuya ecuación es:
xsenAxEλ
π2)0,( =
y ahora X es la variable que mide la onda desde el origen desplazado, o sea que la ecuación de la nueva onda, al tiempo t, es:
XsenAtxEλ
π2),( =
pero como
ctxX −= podemos escribir la ecuación anterior en términos de x, como
)(2
),( ctxsenAtxE −=λ
π
Sustituyendo λν=c y metiendo λ dentro del paréntesis llegamos finalmente a
)(2),( tx
senAtxE υλ
π −=
que es la ecuación de una onda que viaja hacia la derecha.
Una onda estacionaria unidimensional puede obtenerse sumando una onda que se mueve a la derecha con una que se mueve hacia la izquierda.
++
−= t
xAt
xAtxEST ν
λπν
λπφ 2sen2sen),(
Esta expresión se puede simplificar con la relación trigonométrica
( ) abbaba cossencos sensen ±=± De donde
( ) ( ) bababa cos sen2sensen =++−
Mecánica Cuántica Moderna La ecuación de Schroedinger La ecuación de una onda estacionaria sinusoidal unidimensional resulta ser, entonces
( ) tx
AtxEST πνλ
πφ 2cos
2sen2, =
Cualquier otro perfil inicial de la onda, Ψ(x), diferente de la sinusoide, tendría por lo tanto la forma:
( ) ( ) txtxEST πνφ 2cos , Ψ= En particular, la senoide satisface la siguiente ecuación diferencial
( ) ( )xdx
xdΨ
−=
Ψ2
2
2 2
λ
π
Por lo que esta ecuación se conoce como ecuación diferencial de una onda estacionaria.
Mecánica Cuántica Moderna La ecuación de Schroedinger Es sobre esta ecuación sobre la que Schroedinger sustituye la relación de De Broglie: λ = h/p, que corresponde a la longitud de onda de la onda piloto asociada al movimiento de un electrón, para obtener la ecuación de onda de un electrón.
( ) ( )xphdx
xdΨ
−=
Ψ 2
2
2
2 2π
Sustituyendo la relación entre el cuadrado de la cantidad de movimiento y la energía cinética:
( )VEmmEp c −== 222
Obtenemos:
( ) ( ) ( )xh
VEm
dx
xdΨ
−−=
Ψ22
2 2
De donde derivamos la ecuación de Schroedinger para una partícula que se mueve en una dirección:
( ) ( ) ( )xExVdx
xd
m
hΨ=Ψ+
Ψ−
2
22
2
Mecánica Cuántica Moderna La ecuación de Schroedinger ¿Qué tiene de particular el hecho de que la ecuación de Schroedinger sea una ecuación diferencial? 1. Que lo que intenta resolverse es la(s) función(es) Ψ(x) que
satisface(n) la ecuación Ejemplo 1: Obtener la solución de la ecuación
( )4=
Ψ
dx
xd
Tiene una solución general
( ) Cxx +=Ψ 4 2. Por lo tanto se presentan un número infinito de soluciones, por el valor arbitrario de C. Ejemplo 2. Obtener la solución de la ecuación
( )( )x
dx
xdΨ
−=
Ψ2
2
2 2
λ
π
La solución general de esta ecuación es
( )λ
π
λ
π x2cos
2sen B
xAx +=Ψ
Por lo tanto, se presentan también un número infinito de soluciones, por los valores arbitrarios de A y B. De estos dos ejemplos, es claro que la solución de la ecuación de Schroedinger ha de ser una función o, más bien, un conjunto de funciones Ψ(x), que la satisface.
( ) ( ) ( )xExVdx
xd
m
hΨ=Ψ+
Ψ−
2
22
2
Mecánica Cuántica Moderna Solución de la ecuación de Schroedinger para la partícula en una caja de potencial unidimensional Procedamos a resolver la ecuación de Schroedinger
( ) ( ) ( )xExVdx
xd
m
hΨ=Ψ+
Ψ−
2
22
2
para una partícula que se mueve en un sistema con la siguiente energía potencial: 0 para 0<x<a V(x) =
∝ para x<0 y x>a
Donde la energía potencial vale cero (en el intervalo 0<x<a ) sí existe probabilidad de que se encuentre la partícula, pero en la zona donde la energía potencial vale infinita (es infinitamente repulsiva) no existe probabilidad de encontrar a la partícula, por lo que la función de onda debe valer cero allí. Ψ(x) = 0 para x<0 y x>a Por otra parte, en el intervalo 0<x<a debemos resolver la ecuación
de Schroedinger, en la que hemos sustituido π2/hh =
( ) ( )xEdx
xd
m
hΨ=
Ψ−
2
2
2
2
8π
Sujeta a las condiciones a la frontera Ψ(0) = 0 Ψ(a) = 0 Para tener una función de onda continua en todo el espacio.
Mecánica Cuántica Moderna Solución de la ecuación de Schroedinger para la partícula en una caja de potencial unidimensional La solución de esta ecuación son las senoides y las cosenoides siguientes:
( ) xh
mEBx
h
mEAx
2/1
2
22/1
2
2 8cos
8sen
+
=Ψ
ππ
Dada la primera condición a la frontera, B debe valer cero. Dada la segunda condición a la frontera, debe cumplirse que
022
sen =amEh
Aπ
Lo cual se cumple si el argumento de la senoide es un número entero de veces π
,...3,2,1con 22
== nnamEh
ππ
De donde resulta que la energía E del sistema está cuantizada y resulta igual a
2
22
8ma
hnE =
Esta resulta ser la tercera ocasión en el curso que obtenemos esta expresión. Primero la obtuvimos aplicando la cuantización de Sommerfeld y Wilson a una partícula en un frontón, luego aplicando la hipótesis de De Broglie a una partícula que viajaba en un segmento de recta y ahora resolviendo la ecuación de Schroedinger para la partícula en la caja de potencial unidimensional.
Mecánica Cuántica Moderna Solución de la ecuación de Schroedinger para la partícula en una caja de potencial unidimensional Para acabar de encontrar la solución de la ecuación de Schroedinger en este caso, vamos a sustituir el valor de E en la función de onda, para obtener:
0,...3,2,1sen)( ≤≤==Ψ xanxa
nAx
π
Así, hemos obtenido los siguientes valores para la energía
Y las siguientes funciones de onda (se presentan solamente las dos primeras de ellas)
Mecánica Cuántica Moderna Primeras dos funciones de onda que son la solución de la ecuación de Schroedinger para la partícula en una caja de potencial unidimensional
Mecánica Cuántica Moderna Operadores en mecánica cuántica Para un sistema en el cual la energía potencial valga cero: V=0, E=Ec La ecuación de Schroedinger
( ) ( ) ( ) )1(2 2
22
xExVdx
xd
m
hΨ=Ψ+
Ψ−
toma la forma
( ) ( ) )'1(2 2
22
xEdx
xd
m
hcΨ=
Ψ−
La función de onda de esta partícula debe ser tal que, “derivada dos veces con respecto a x y multiplicada por –ħ2/2m”, nos debe dar de nueva cuenta la función de onda, pero ahora multiplicada por la energía cinética. Dada esa característica, la frase entrecomillada en el párrafo anterior se le conoce como operador de la energía cinética variable para la cual usaremos una Ec con un sombrero.
2
22
2ˆ
dx
d
m
hEc −=
Un operador no es sino una receta que debe seguirse sobre la función a la que está aplicada. En la ecuación,
)2(ˆ Ψ=Ψ cc EE que no es sino la ecuación (1’) de esta página, la primera Ec con sombrero es el operador de la energía cinética, que opera sobre la función de onda y la segunda Ec es el valor de la energía cinética del sistema, que está multiplicado por la función de onda.
Mecánica Cuántica Moderna Operadores en mecánica cuántica Schroedinger obtuvo los operadores asociados a cualquier variable dinámica del sistema. Por ejemplo, para la componente x de la cantidad de movimiento lineal, obtuvo
)3(ˆdx
dhipx −=
Lo cual resulta congruente con el operador de la energía cinética, pues
2
222
22
1
2
ˆˆdx
d
m
h
dx
dhi
dx
dhi
mm
pEc −=
−
−==
Mecánica Cuántica Moderna Operadores en mecánica cuántica El operador de la energía potencial consiste simplemente en la multiplicación por la energía potencial de la partícula:
)4(ˆ Ψ=Ψ VV y el operador energía total, o hamiltoniano, consiste en la suma de los operadores de la energía cinética y el de la energía potencial. La misma ecuación de Schroedinger puede escribirse en notación de operadores, de la siguiente forma:
( ) ( ) )5(ˆ2 2
22
xExVdx
d
m
hΨ=Ψ
+−
Reconocemos al operador de energía cinética al inicio de esta expresión:
( ) ( ) ( )xExVEc Ψ=Ψ+ ˆˆ La suma de los operadores de la energía cinética más el de la energía potencial es el operador hamiltoniano de la energía total:
( ) ( ) )6(ˆ xExH Ψ=Ψ Esta es una forma sintética de escribir la ecuación de Schroedinger, donde el operador hamiltoniano es igual a:
+−= V
dx
d
m
hH ˆ
2ˆ
2
22
Mecánica Cuántica Moderna Operadores en mecánica cuántica A expresiones como la (6) se les conoce con el nombre de ecuaciones de valor propio:
( ) ( ) )6(ˆ xExH Ψ=Ψ A las funciones que satisfacen estas expresiones se les llama funciones de valor propio y al valor de la variable E se le conoce como valor propio. del operador Ĥ. Resolver un problema de valor propio como el siguiente:
( ) ( )xaxA Ψ=Ψˆ implica encontrar las funciones Ψ(x) que satisfacen que la operación sobre ellas del operador  las vuelve a dejar tal cual, salvo la multiplicación por un factor numérico a.
Mecánica Cuántica Moderna Operadores en mecánica cuántica Ejemplo 1: Encuentre las funciones y los valores propios de la ecuación de valor propio del operador d/dx. La ecuación a resolver es:
)()( xaxdx
dΨ=Ψ
Rearreglando esta expresión,
dxad
=Ψ
Ψ
Integrando ahora ambos lados de la igualdad
∫∫ =Ψ
Ψdxa
d
Integramos introduciendo una constante de integración como lnC
Cax lnln +=Ψ podemos despejar Ψ(x) como
axCex =Ψ )(
Esta es la expresión general de las funciones propias del operador d/dx, cuyo valor propio es a. En particular, podemos decir que 5e2x es una función propia del operador d/dx, cuyo valor propio es 2, pues se cumple que:
( ) ( )xxee
dx
d 22 525 =
Mecánica Cuántica Moderna Operadores en mecánica cuántica La función de onda de un sistema siempre es una función propia del operador hamiltoniano, Ĥ, pues la ecuación de Schroedinger es
( ) ( ) )6(ˆ xExH Ψ=Ψ Para obtener el valor de cualquier otra variable dinámica del sistema, hay que aplicar el operador de esa variable a la función de onda. Si tenemos suerte y la función de onda es también una función propia de ese operador, entonces no hay problema:
( ) ( )xaxA Ψ=Ψˆ Los valores de a corresponderán a los de la variable dinámica A. Pero si, como es frecuente, Ψ no resulta ser una función propia del operador Â,
( ) ( )xaxA Ψ≠Ψˆ entonces la variable dinámica A no está determinada con absoluta precisión. Tenemos que contentarnos entonces con obtener el promedio de la variable dinámica A, con la expresión:
∫∫
ΨΨ
ΨΨ>=<
dx
dxAA
*
* ˆ
En mecánica cuántica un buen número de variables dinámicas del sistema no están determinadas con precisión y tenemos que vernos obligados a aceptar conocer nada más los parámetros estadísticos de esas variables, como su valor promedio <A>.
Mecánica Cuántica Moderna Operadores en más de una dimensión y para más de una partícula La ecuación de Schroedinger para más de una dimensión y más de una partícula puede plantearse al conocer los operadores para las diversas expresiones de la energía total. Empecemos por la ecuación de Schroedinger tridimensional. La energía total clásica tiene la expresión:
( ) ),,(2
1 222zyxVppp
mE zyx +++=
A partir de ésta, obtenemos el operador energía total, o hamiltoniano, reemplazando las variables dinámicas por sus operadores:
( ) )7(),,(ˆˆˆˆ2
1ˆ 222
zyxVpppm
H zyx +++=
Los operadores de la cantidad de movimiento pueden obtenerse al generalizar el caso de px, como
2
222
ˆˆx
hpx
hip xx∂
∂−=
∂
∂−=
2
222
ˆˆy
hpy
hip yy∂
∂−=
∂
∂−=
2
222
ˆˆz
hpz
hip zz∂
∂−=
∂
∂−=
Las derivadas son ahora “parciales” lo cual implica que, por ejemplo, al derivar con respecto a x se mantienen y y z como fijas.
Mecánica Cuántica Moderna Operadores en más de una dimensión y para más de una partícula Reemplazando estos operadores en la ecuación (7), obtenemos el hamiltoniano:
)8(),,(2
ˆ2
2
2
2
2
22
zyxVzyxm
hH +
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂−=
O bien, utilizando la definición de ∇2:
),,(2
ˆ 22
zyxVm
hH +∇−=
Con lo cual, la ecuación de Schroedinger para el movimiento tridimensional de una partícula es:
( ) ( ) )9(,,,,ˆ zyxEzyxH Ψ=Ψ Para el caso de que tengamos más de una partícula, tendremos en la energía total más de una expresión para la energía cinética (tendremos un término de energía cinética para cada partícula en el sistema). Por ello aparecerán en el hamiltoniano más de un término con nabla cuadrada y la función de onda del sistema será función de las coordenadas de las dos o más partículas que forman el sistema:
),,,,,(22
ˆ222111
2
2
2
22
1
1
2
zyxzyxVm
h
m
hH +∇−∇−=
Donde la ecuación de Schroedinger sería:
( ) ( )222111222111 ,,,,,,,,,,ˆ zyxzyxEzyxzyxH Ψ=Ψ
Mecánica Cuántica Moderna Ecuación de Schroedinger para el átomo de hidrógeno El átomo de hidrógeno es un ejemplo de tres dimensiones y dos partículas: el núcleo y el electrón.
En este caso la energía potencial es igual a
Y debemos colocar dos términos de energía cinética, uno para el electrón y el otro para el núcleo, o sea que el hamiltoniano es:
La ecuación de Schroedinger depende, en este caso, de las tres coordenadas para el electrón y las tres coordenadas para el núcleo:
( ) ( )eeeNNNeeeNNN zyxzyxEzyxzyxH ,,,,,,,,,,ˆ Ψ=Ψ
r
ZeV
2
κ−=
r
Ze
mMH eN
22
22
2
22ˆ κ−∇−∇−=
hh
Mecánica Cuántica Moderna Ecuación de Schroedinger para el átomo de helio En el caso del átomo de helio tenemos tres partículas (los dos electrones y el núcleo) y tres energías potenciales (las atracciones del núcleo por cada uno de los dos electrones y la repulsión entre los dos electrones).
De esta manera, el hamiltoniano para el átomo de helio es:
En este caso, la función de onda depende de nueve coordenadas: tres para cada uno de los electrones y tres para el núcleo:
Con esta particularidad, la ecuación de Schrodinger es, en este caso,
Ψ=Ψ EH
12
2
2
2
1
2
22
2
12
22
2
222ˆ
r
e
r
Ze
r
Ze
mmMH N κκκ +−−∇−∇−∇−=
hhh
( )222111 ,,,,,,,, zyxzyxzyx NNNΨ
Mecánica Cuántica Moderna La mecánica cuántica como un modelo El método científico suponer constituir una serie de pasos mediante los cuales se construye el conocimiento. • Nuestras fuentes de conocimientos son la observación y la
experimentación. • Buscando regularidades en los datos encontramos leyes • Al tratar de explicarnos las leyes, construimos modelos y teorías Resulta curioso y paradójico que en el afán de conquistar conceptualmente la realidad, construyamos idealizaciones, como modelos y teorías. En mecánica cuántica, el modelo de átomo lo constituye el operador hamiltoniano. Uno modela el átomo considerando parcial o totalmente las interacciones energéticas del sistema dentro del hamiltoniano. La función de onda, Ψ, no corresponde con ningún observable del sistema real, por lo que no se trata de ninguna predicción que pueda corroborarse experimentalmente. La energía total, E, sí es un observable del sistema, así como los valores promedio de las variables dinámicas del sistema, por lo cual es por su correspondencia con los resultados experimentales como puede darse validez a la mecánica cuántica
Mecánica Cuántica Moderna Interpretación estadística del cuadrado de la función de onda En 1927, Max Born propuso que el cuadrado de la función de onda tuviera una significación estadística: Si ΨΨΨΨ representa la función de onda de un sistema que contiene una sola partícula, entonces su cuadrado ΨΨΨΨ*ΨΨΨΨ debe interpretarse como la densidad de probabilidad para la posición de la partícula.
Si ΨΨΨΨ representa la función de onda de un sistema que contiene
varias partículas, entonces su cuadrado ΨΨΨΨ*ΨΨΨΨ debe interpretarse como la densidad de probabilidad para la posición de las diversas partículas del sistema.
Mecánica Cuántica Moderna El concepto de “densidad de probabilidad”. Vale la pena aclarar lo que significa el concepto “densidad de probabilidad”. Abordaremos en el ejemplo el caso de la duración de las llamadas telefónicas. Sea p(t) la probabilidad de que las llamadas duren hasta t minutos. Esta función podría tener la siguiente forma:
En la figura, por ejemplo, el caso con t=3 representaría la probabilidad de que las llamadas durasen hasta 3 minutos, y sería igual a 57%. Lo que quiere decir que 57 de cada 100 llamadas duran hasta 3 minutos. La densidad de probabilidad es otro concepto, paralelo al de probabilidad. Se define como:
ρ(t) resulta ser la derivada de p(t) con respecto a t. Tiene unidades de probabilidad por unidad de tiempo, o sea min-1.
( )( )
dt
dp
t
p
t
tpttpt =
∆
∆=
∆
−∆+= →∆→∆ 0t0t lim
)()(limρ
Mecánica Cuántica Moderna El concepto de “densidad de probabilidad”. A la derivada de la función de probabilidad con respecto a la variable de esa probabilidad se le conoce como densidad de probabilidad. Así, para funciones de onda unidimensionales, Ψ(x)*Ψ(x) es una función de densidad de probabilidad para la variable x, lo cual quiere decir que Ψ(x)*Ψ(x) = ρ(x) = dp(x)/dx Ψ(x)*Ψ(x) = ρ(x) es una función que mide la rapidez de cambio de la probabilidad de encontrar al electrón con respecto a la variable x. Las unidades de la densidad de probabilidad son, en este caso, las de probabilidad por unidad de longitud, por lo cual las unidades de la función de onda deben ser las de probabilidad por unidad de longitud a la ½. En el caso de la partícula en la caja de potencial, Ψ(x)*Ψ(x) es una función que nos indica que la máxima densidad de probabilidad se da en el centro de la caja, para n=1, y en la cuarta y tres cuartas partes de la caja, para n=2.
Mecánica Cuántica Moderna El concepto de “densidad de probabilidad”.
En el caso de una función de onda tridimensional Ψ(x,y,z), la densidad de probabilidad tiene semejanza con la función de densidad másica. La densidad másica se obtiene mediante un proceso límite sobre una secuencia de cubos, todos los cuales tienen como vértice al punto (x,y,z) para el cual se desea conocer la densidad.
La densidad se obtiene mediante el proceso límite:
Lo que podemos representar como
( )[ ]V
Vzyxmzyx
∆
∆= →∆
,,,lim),,( 0Vρ
( )dV
dmzyx =,,ρ
Mecánica Cuántica Moderna El concepto de “densidad de probabilidad”.
El cuadrado de la función de onda, Ψ(x,y,z), es una función de densidad de probabilidad, lo cual quiere decir que la probabilidad toma el lugar de la masa en la densidad másica Sea P[(x,y,z, ∆V] la probabilidad de que el electrón se encuentre dentro del volumen ∆V del cubo de la secuencia que converge en el punto (x,y,z), entonces, la función de densidad de probabilidad es:
Por lo cual podemos decir que el cuadrado de Ψ es la derivada de la probabilidad con respecto al volumen:
El cuadrado de la función de onda tiene unidades en este caso de probabilidad por unidad de volumen, así que la función de onda debe tener unidades de probabilidad por unidad de volumen a la ½ o bien por unidad de distancia a la 3/2.
( ) ( ) ( )( )[ ]
V
VzyxPzyxzyxzyx
∆
∆=ΨΨ= →∆
,,,lim,,,,*,, 0Vρ
( )dV
dPzyx =Ψ
2
,,
Mecánica Cuántica Moderna El concepto de “densidad de probabilidad”.
Hemos visto que si Ψ*(x,y,z) Ψ(x,y,z) es una función de densidad de probabilidad, entonces se cumple que
Despejando dP de esta expresión tenemos que una diferencial de probabilidad puede interpretarse como el producto de psi cuadrada por la diferencial de V:
( ) dVzyxdP2
,,Ψ= Escojamos un pequeño volumen, digamos de un picómetro cúbico, y supongamos que psi cuadrada está dada en unidades de pm-3.
Si todos los puntos del cubo unitario mostrado tuvieran la misma densidad de probabilidad que la del punto (x,y,z), entonces la pequeña diferencial de probabilidad de encontrar a la partícula
dentro del cubo sería [ ]32pm1Ψ
La probabilidad de encontrar a la partícula en todo el espacio valdría uno:
1..
2
..
=Ψ= ∫∫ dVdPETET
( )dV
dPzyx =Ψ
2
,,
Mecánica Cuántica Moderna Propiedades que debe satisfacer la función de onda Toda función de onda debe satisfacer las siguientes tres propiedades: 1) Si el cuadrado de psi representa una densidad de probabilidad,
entonces ΨΨΨΨ debe ser una función continua, pues no resulta lógico suponer que la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula cambie abruptamente en el espacio.
2) La función de onda debe ser una función matemática, que para
cada valor en su dominio solamente posea una imagen, o sea que ΨΨΨΨ debe ser una función univaluada.
3) El cuadrado de la función de onda debe ser integrable y su
integral en todo el espacio debe ser igual a la unidad.
Las relaciones de Heisenberg Estas relaciones son conocidas como “Principio de incertidumbre”. Empecemos por definir la variancia y la desviación estándar. La variancia, σ, o dispersión de cualquier variable se define como el promedio de los cuadrados de las diferencias de unos datos con su promedio:
( ) ( ) ⟩⟩⟨−⟨=∆=22
eeeσ La desviación estándar es la raíz cuadrada de la variancia, ∆e. Tomemos por ejemplo las estaturas de los 5 alumnos de un conjunto:
( ) ( ) ( )25
1
2222
5
1∑
=
⟩⟨−=⟩⟨−⟩⟨=⟩⟩⟨−⟨=∆i
i eeeeeee
Si las estaturas son todas iguales a 1.55 m, su promedio es también 1.55 m, y su variancia es cero. La variancia vale cero cuando todos los datos son iguales (no hay variancia). Sin embargo, si las estaturas son: 1.51 m, 1.53 m, 1.55 m, 1.57 m y 1.59 m, su promedio es 1.55 m, pero su variancia es: (∆e)2 = (1/5)[ (-0.04)2 + (-0.02)2 + (0)2 +(0.02)2 +(0.04)2] = 0.0008 m2 ∆e = 0.028 m = 2.8 cm Si ahora las estaturas están un poco más dispersas alrededor de la media: 1.49 m, 1.52 m, 1.55 m, 1.58 m y 1.61 m, su promedio sigue valiendo 1.55 m, pero su variancia es: (∆e)2 = (1/5)[ (-0.06)2 + (-0.03)2 + (0)2 +(0.03)2 +(0.06)2] = 0.0018 m2 ∆e = 0.042 m= 4.2 cm Vemos que la desviación estándar es mayor conforme más disperso es el conjunto de datos alrededor de su media.
Werner Heisenberg encontró una propiedad de los parámetros estadísticos de dos variables dinámicas de un sistema cuántico. En particular, para dos variables físicas conjugadas, como la coordenada x y la cantidad de movimiento en x, px, se cumple la siguiente desigualdad entre sus desviaciones estándar:
( )( )π4
hpx x ≥∆∆
En pocas palabras que la desviación estándar de la posición en x nunca puede ser cero y a la vez ser cero la desviación estándar de la cantidad de movimiento en x. EL ELECTRÓN NO POSEE UNA POSICIÓN Y UNA CANTIDAD DE MOVIMIENTO CON DESVIACIONES ESTÁNDAR PARA AMBAS IGUALES A CERO. Se dice que ésta es una ecuación del “Principio de Incertidumbre” porque se atribuye a un ser humano la medición de estas propiedades y se decide que se tiene incertidumbre en esas mediciones (que es el humano el que no puede determinar con toda precisión la x y la px). NO PUEDEN CONOCERSE CON TODA PRECISIÓN LAS MAGNITUDES DE x Y DE px. A mí en lo particular no me gusta el término “Principio de Incertidumbre” y prefiero el de “Relaciones de Heisenberg”, porque ésta es una propiedad atribuible al electrón y no a un supuesto humano que intenta medir sus propiedades.