thèse de de broglie
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FONDATION LOUIS
DE
BROGLIE
Cre en 1973 loccasion du cinquantenaire de la mcanique ondulatoire, dans le cadre de la Fondation de France, sous la prsidence dhonneur de Louis de
Broglie.Vice-Prsident : Michel CAZIN
Prsident dhonneur : Louis NEEL
Prsident : Ren THOMDirecteur :
Georges LOCHAKCORMIER-DELANOUE
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Prsident de lAssociation de Gestion : Christian
ANNALESRdacteurs
DE LA
FONDATION LOUIS
DE
BROGLIE
en
chef : DANIEL FARGUE, MICHEL KARATCHENTZEFF
ComitL. ACCARDI J. ANDRADE E SILVA A.O. BARUT A. BLAQUIRE R. BOUDET
scientifiqueJ. LAMEAU R. LEFEBVRE P. LOCHAK P. LONCKE P.W. MILONNI X. OUDET T.E. PHIPPS JR. A.F. RANADA G. DELLA RICCIA M. SACHS J. SALMON M. SURDIN J.P. TERLETSKY J. VASSALO-PEREIRA
C. CORMIER-DELANOUE O. COSTA DE BEAUREGARD S. DINER R. DUTHEIL E. GUNZIG R. JANCEL V.I. KHOZIAINOV S. KICHENASSAMY A. KOURBATOV
Directeur de la
publication : Michel CAZIN
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EDITORIAL
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ce numro, les Annales de la Fondation Louis de Broglie de couverture et de format. Cest lune des faons de marquer .Tanne du centenaire de la naissance de Louis de Broglie et une partie de chaque fascicule des Annales de cette anne sera consacre sa mmoire.
Avec
changent
Ce premier numro lui rend hommage en proposant une reproduction photographique de ldition originale de sa thse, parue en
1924.1
Cette rimpression a t faite avec la gracieuse autorisation des Editions Masson et des Annales de Physique que nous remercions ici trs vivement.
LA RDACTION
~
La Fondation Louis de Broglie publiera galement cette anne une rimpression de ce texte dans une dition de luxe qui comprendra de plus en annexe quelques documents historiques :autre-
les trois notes parues en 1923 aux Comptes Rendus de lAcadmie des Sciences dans lesquelles Louis de Broglie exposait lessentiel deses
ides,
-
-
-
le rapport de thse de Langevin, un extrait de la fameuse lettre dEinstein Langevin, la note de Louis de Broglie aux Comptes Rendus de lAcadmie des Sciences, publie en 1973, loccasion du cinquantenaire de la M-
canique Ondulatoire,
et
qui constitue
son
testament
scientifique.
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ANNALES============
DE ============
PHYSIQUEEXTRAIT
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RECHERCHES SUR LA THEORIE DES QUANTAPar M. Louis de BROGLIE
Annales de
Physique -
10e Srie
-
Tom III
-
Janvier-Fvrier 4925
MASSON & C",
DITEURS
f20, BOULEVARD ST-GBRMAlN. PARtS (Vt*)
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RECHERCHES SUR LA DES QUANTAPar M. LouisDE
THORIE
BROGLIE
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SOMMAIRE . - Lhistoire des thories optiques montre que la pense scientifique a longtemps hsit entre une conception dynamique et une conception ondulatoire de la lumire ; ces deux reprsentations sont donc sans doute moins en opposition quon ne lavait suppos et le dveloppement de la thorie des quantasemble confirmer cette conclusion. Guid par lide dune relation gnrale entre les notions de frquence et dnergie, nous admettons dans le prsent travail1 lexistence dun phnomne priodique dune nature encore prciser qui serait l~i tout morceau isol dnergie et qui dpendrait de sa masse propre par lquation de Plank-Einstein. La thorie de relativit conduit alors associer au mouvement uniforme de tout point matriel la propagation dune certaine onde dont la phase se dplace dans lespace plus vite que la lumire
(ch. I.)ce rsultat dans le cas du mouvement non amen admettre une proportionnalit entre le vecteur Impulsion dUnivers dun point matriel et un vecteur caractristique de la propagation de londe associe dont la composante de temps est la frquence. Le principe de Fermat appliqu londe devient alors identique au principe de moindre action appliqu au mobile. Les rayons de londe sont identiques aux trajectoires possibles du mobile (ch. II.) Lnonc prcdent appliqu au mouvement priodique dun lectron dans latome de Bohr permet de retrouver les conditions de stabilit quantiques comme expressions de la rsonance de londe sur la longueur de la trajectoire (ch III). Ce rsultat peut tre tendu au cas des mouvements circulaires du noyau et de llectron autour de leur centre de gravit commun dans latome
Pour
gnraliseron
uniforme,
est
ides gnrales au quantum de lumire conu par Einstein mne de nombreuses concordances trs intressantes. Elle permet desprer malgr les difficults qui subsistent, la constitution dune optique la fois atomistique et ondulatoire tablissant une sorte de correspondance statistique
dhydrogne (ch. IV). Lapplication de ces
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entre londe
lie au grain dnergie lumineuse et londe lectromagntique de Maxwell (ch. V.) En particulier, ltude de la diffusion des rayons X et y par les corps amorphes nous sert montrer combien une conciliation de ce genre est aujourdhui dsirable (ch. VI ) Enfin, lintroduction de la notion donde de phase dans la mcanique statistique conduit justifier lintervention des quanta dans la thorie dynamique des gaz et retrouver les loisdu rayonnement noir comme traduisant la distribution de lnergie entre les atomes dans un gaz de quanta de lumire.
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INTRODU.CTIONI.-
HISTORIQUEau
Du XVr
XX~ sicle.
La science moderne est ne la fin du xvie sicle la suite du renouveau intellectuel d la Renaissance. Tandis que lAstronomie de position devenait de jour en jour plus prcise, les sciences de lquilibre et du mouvement, la statique et la dynamique se constiturent lentement. On sait que ce fut Newton qui le premier fit de la Dynamique un corps de doctrine homogne et par sa mmorable loi de la gravitation universelle ouvri-t la nouvelle science un champ norme dapplications et de vrifications. Pendant les XVIIIe et xIxe sicles un grand nombre de gomtres, dastronomes et de physiciens dvelopprent les principes de Newton et la Mcanique parvint tel degr de beaut et dharmonie rationnelle quon en oublia presque son caractre de science physique. On parvint, en particulier, faire dcouler toute cette science dun seul principe, le principe de moindre action nonc dabord par Maupertuis, puis dune autre manire par Hamilton et dont la forme mathmatique est remarquablement lgante et condense. Par son intervention en Acoustique, en Hydrodynamique, en Optique, en Capillarit, la Mcanique parut un instant rgner sur tous les domaines. Elle eut un peu plus de peine absorber une nouvelle branche de la science ne au
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sicle : la Thermodynamique. Si lun des deux grands principes de cette science, celui de la conservation de lnergie, se laisse facilement interprter par les conceptions de la Mcanique, il nest pas de mme du second, celui de laugmentation de lentropie Les travaux de Clausius et de Boltzmann sur lanalogie des grandeurs thermodynamiques avec certaines grandeurs intervenant dans les mouvements priodiques, travaux qui lheure actuelle reviennent tout fait lordre du jour, ne parvinrent pas rtablir compltement laccocd des deux points de vue. Mais ladmirable thorie cintique des gaz de Maxwell et Boltzmann et la doctrine plus gnrale dite Mcanique statistique de. Boltzmann et Gibbs montrrent que la Dynamique, si on la complte par des considrations de probabilit, permet linterprtation des notions fondamentales de la thermodyna-
mique.Ds le XVIIe sicle, la science de la lumire, loptique, avait attir lattention des chercheu-rs. Les phnomnes les plus usuels (propagation rectiligne, rflexion, rfraction), ceux qui forment aujourd hui notre optique gomtrique, furent naturellement les premiers connus. Plusieurs savants, notamment .Descartes et Huyghens travaillrent en dmler les lois et Fermt les rsuma par un principe synthtique qui porte son nom et qui, nonc dans notre langage mathmatique actuel, rappelle par sa forme le principe de moindre action. Huyghens avait pench vers une thorie ondulatoire de la lumire, mais Newton sentant dans les grandes lois de loptique gomtrique, une analogie profonde avec la dynamique du point matriel dont il tait le crateur, dveloppa une thorie corpusculaire de la lumire dite thorie de lmission et parvint mme rendre compte laide dhypothses un peu artificielles de phnomnes maintenant classs dans loptique ondulatoire .(anneaux de Newton). Le dbut du xixe sicle vit une raction contre les ides de Newton en faveur de celles dHuyghens. Les expriences
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dinterfrence dont les premires sont dues Young, taient difficiles sinon impossibles interprter du point de vue corpusculaire. Fresnel dveloppa alors son admirable thorie lastique de la propagation des ondes lumineuses et ds tors le crdit de la conception de Newton alla sans cesse en diminuant. Un des grands succs de Fresnel fut dexpliquer la propagation rectiligne de la lumire dont linterprtation tait si intuitive dans la thorie de lmission. Quand deux thories fondes sur des ides qui nous paraissent entirement diffrentes, rendent compte avec la mme lgance dune mme vrit exprimentale, on peut toujours se demander si lopposition des deux points de vue est bien relle et nest pas due seulement linsuffisance de nos efforts de synthse. Cette question, on ne se la posa pas lpoque de Fresnel et la notion de corpuscule de lumire fut considre comme nave et abandonne. Le XIXe sicle a vu natre une branche toute nouvelle de la qui a apport dans notre conception du monde et dans notre industrie dimmenses bouleversements : la science de lElectricit. Nous navons pas rappeler ici comment elle sest constitue g rce aux travaux de Volta, Ampre, Laplace, Faraday, etc. Ce qui importe seulement, cest de dire que Maxwell sut rsumer en des formules dune superbe concision mathmatique les rsultats de ses devanciers et montrer comment loptique tout entire pouvait tre considre comme un rameau de llectromagntisme. Les travaux de Hertz et plus encore ceux de M. H.-A.. Lorentz perfectionnrent la thorie de Maxwell ; Lorentz y introduisit de plus la notion de la discontinuit de llectricit dj labore par M. J.-J. Thomson et si brillamment confirme par lexprience. Certes, le dveloppement de la thorie lectromagntique enlevait lther lastique de Fresnel sa ralit et par l semblait sparer loptique du domaine de la Mcanique, mais beaucoup de physiciens la
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physique
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suite de Maxwell lui-mme espraient encore la fin du sicle dernier trouver une explication mcanique de lther lectromagntique et, par suite, non seulement soumettre de nouveau loptique aux explications dynamiques, mais encore y soumettre du mme coup tous les phnomnes
lectriquesLe sicle
et
magntiques.
thse
terminait donc clair par lespoir dune synprochaine et complte de toute la physique.se
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II.
-
Le XXe sicle : la Relativit et les Quanta. : il restait
Kelvin,
ombres au tableau. Lord deux nuages noirs apparais1 goo, annonait que saient menaants lhorizon de la Physique. Lun de ces nuages reprsentait les difficults souleves par la fameuse
Cependant,en
quelques
exprience de Michelson et Morley qui paraissait incompatible avec les ides alors reues. Le second nuage reprsentait lchec des mthodes de la Mcanique statistique dans le domaine du rayonnement noir ; le thorme de lquipartition de lnergie, consquence rigoureuse de la Mcanique statistique, conduit en effet une rpartition bien dfinie de lnergie entre les diverses frquences dans le rayonnement dquilibre thermodynamique ; or, cette loi, la loi de Rayleigh-Jeans, est en contradiction grossire avec lexprience et elle est mme presque absurde car elle prvoit une valeur infinie pour la densit totale de lnergie, ce qui videmment na aucun sens physique. Dans les premires annes du xxe sicle, les deux nuages de lord Kelvin se sont, si je puis dire, condenss lun en la thorie de Relativit, lautre enla thorie des Quanta. Comment les difficults souleves par lexprience de Michelson furent dabord tudies par Lorentz et Fitz-Gerald, comment elles furent ensuite rsolues par M. A. Einstein sans exemple, cest ce un effort intellectuelgrcequenousne
peut-tre dvelopperons pas ici, la question
ayant
t
7
maintes fois expose dans ces dernires annes par des voix plus autorises que la ntre. Nous supposerons donc connues dans cet expos les conclusions essentielles de la thorie de Relativit, du moins sous sa forme restreinte, et nous y ferons appel chaque fois que besoin en sera.
allons, au contraire, indiquer rapidement le dveloppement de la thorie des quanta. La notion de quanta futNous
introduite dans la science en igoo, par M. Max Planck. Ce savant tudiait alors thoriquement la question du rayonnement noir et, comme lquilibre thermodynamique ne doit pas dpendre de la nature des metteurs, il avait imagin un metteur trs simple dit le rsonateur de Planck constitu par un lectron soumis une liaison quasi-lastique et possdant ainsi une frquence de vibration indpendante de son nergie. Si on applique aux changes dnergie entre de tels rsonateurs et le rayonnement les lois classiques de llectromagntisme et de la Mcanique statistique_ on retrouve la loi de Rayleigh dont nous avons signal plus haut lindniable inexactitude. Pour viter cette conclusion et trouver des rsultats plus conformes aux faits exprimentaux, M. Planck admit un trange postulat : Les changes dnergie entre les rsonateurs (ou la matire) et le rayonnement nont lieu que par quantits linies gales h fois la frquence, h tant une nouvelle constante universelle de la physique . A chaque frquence, correspond donc une sorte datome dnergie, un quantum dnergie. Les donnes de lobservation fournirent M. Planck les bases ncessaires pour le calcul de la constante h et la valeur trouve alors na pour ainsi dire pas t modifie (h ==6,545 X par les innombrables dterminations postrieures faites par les mthodes les plus diverses. Cest l un des plus beaux exemples de la puissance de la Physique thorique. Rapidement, les quanta firent tache dhuile et ne tardrent pas imprgner toutes les parties de la Physique. Tandis que leur introduction cartait certaines difficults relatives
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aux
tein
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spcifiques des gaz, elle permettait M. Einsdabord, puis MM. Nernst et Lindemann, enfin sous une forme plus parfaite MM. Debye, Born et von Karman de faire une thorie satisfaisante des chaleurs spcifiques des solides et dexpliquer pourquoi la loi de Dulong et Petit sanctionne par la statistique classique comporte dimportantes exceptions et nest, tout comme la loi de Rayleigh, quune forme limite valable dans un certain domaine. Les quanta pntrrent aussi dans une science o on neattendus : la thorie des gaz. La mthode de conduit laisser indtermine la valeur de la Boltzmann constante additive figurant dans lexpression de lentropie. 1l~I. Planck, pour rendre compte du thorme de Nernst et obtenir la prvision exacte des constantes chimiques, admit quil fallait faire intervenir les quanta et il le fit sous une forme assez paradoxale en attribuant llment dextension en phase dune molcule une grandeur finie gale h3. Ltude de leffet photolectrique souleva une nouvelle nigme. On nomme effet photolectrique lexpulsion par la matire dlectrons en mouvement sous linfluence dun rayonnement. Lexprience montre, fait paradoxal, que lnergie des lectrons expulss dpend de la frquence du rayonnement excitateur et non de son intensit. M. Einstein, en!go5, a rendu compte de cet trange phnomne en admettant que la radiation peut tre absorbe uniquement ds lors, si llectron absorbe lnergie hv et par quanta sil doit pour sortir de la matire dpenser un travail w son nergie cintique finale sera hv w. Cette loi sest trouve bien vrifie. Avec sa profonde intuition, M. Einstein sentit quil y avait lieu de revenir en quelque manire la conception corpusculaire de la lumire et mit lhypothse que toute radiation de frquence v est divise en atomes dnergie de valeur hv. Cette hypothse des quanta de lumire (licht quanten) en opposition avec tous les faits de lOptique ondulatoire fut juge trop simpliste et repousse par la plupartles eut
chaleurs
gure
-
9
des physiciens. Tandis que MM. Lorentz, Jeans et dautres lui faisaient de redoutables objections. M. Einstein ripostait en montrant comment ltude des fluctuations dans le rayonnement noir conduisait aussi la conception dune discontinuit de lnergie radiante. Le congrs international z de physique tenu Bruxelles en 1911 sous les auspices de M. Solvay se consacra entirement la question des quanta et cest la suite de ce congrs quHenri Poincar publia peu de temps avant sa mort une srie darticles sur les quanta, montrant la. ncessit daccepter les ides de Planck; En 1913, parut la thorie de latome de M. Niels Bohr. Il admit avec MM. Rutherford et Van Den Broek que latome est form dun noyau positif entour dun nuage dlectrons, le noyau portant N charges lmentaires positives 4, ~~ u. e. s., et le nombre des lectrons tant N de sorte que lensemble est neutre. N est le nombre atomique gal au numro dordre de llment dans la srie priodique de Mendeleeff. Pour tre en mesure de prvoir les frquences optiques en particulier pour lhydrogne dont latome un seul lectron est spcialement simple, Bohr fait deux hypothses : 1 Parmi linfinit des trajectoires quun lectron tournant autour du noyau peut dcrire, certaines seulement sont stables et la condition de stabilit fait intervenir la constante de Planck. Nous prciserons au chapitre III la nature de ces, conditions; 2 Quand un lectron intraatomique passe dune trajectoire stable une autre, il y a mission ou absorption dun quantum dnergie de frquence v. La frquence mise ou absorbe v est donc relie la variation 8s de lnergie totale de latome par la relation[ z= hv. On sait quelle a t la magnifique fortune de la thorie de Bohr depuis dix ans. Elle a tout de suite permis la prvision des sries spectrales de lhydrogne et de lhlium ionis :i ltude des spectres des rayons X et la fameuse loi de Moseley qui relie le nombre atomique aux repres spectraux du domaine Rntgen ont tendu considrablement le champ
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de son application. MM. Sommerfeld, Epstein, Schwarzschild, Bohr lui-mme et dautres ont perfectionn la thorie, nonc des conditions de quantification plus gnrales, expliqu les effets Stark et Zeemann, interprt les spectres optiques dans leurs dtails, etc. Mais la signification profonde des quanta est reste inconnue. Ltude de leffet photolectrique des rayons X par M. Maurice" de Broglie, celle de leffet photolectrique des rayons 1 due MM. Rutherford et Ellis ont de plus en plus accentu le caractre corpusculaire de ces radiations, le quantum dnergie hv semblant chaque jour davantage constituer un vritable atome de lumire. Mais les objections anciennes contre cette vue subsistaient et, mme dans le domaine des rayons X, la thorie des ondulations rem.portait de beaux succs : prvision des phnomnes dinterfrence de Laue et des phnomnes de diffusion (travaux de Debye, de W.-L. Bragg, etc.). Cependant, tout rcemment, la diffusion son tour a t soumise au point de vue corpusculaire par M. H.-A. Compton : ses travaux thoriques et exprimentaux ont montr quun lectron diffusant une radiation doit subir une certaine impulsion comme dans un choc ; naturellement lnergie du quantum de radiation sen trouve diminue et, par suite, la radiation diffuse prsente une frquence variable suivant la direction de diffusion et plus faible que la frquence de la radiation incidente. Bref, le moment semblait venu de tenter un effort dans le but dunifier les points de vue corpusculaire et ondulatoire et dapprofondir un peu le sens vritable des quanta. Cest ce que nous avons fait rcemment et la prsente thse a pour principal objet de prsenter un expos plus complet des ides nouvelles que nous avons proposes, des succs auxquels elles nous ont conduit et aussi des trs nombreuses lacunes quelles contiennent (1).
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(1) Citons ici quelques relatives aux quanta :1
ouvrages o
sont
traites des
questions
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CHAPITRE PREMIER
Londe de
phase.ET LA
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I.
-
LA
RELATION
DU
QUANTUM
RELATIVIT
Une des plus importantes conceptions nouvelles introduites par la Relativit est celle de linertie de lnergie. Daprs Einstein, lnergie doit tre considre comme ayant de la masse et toute masse reprsente de lnergie. La masse et lnergie sont toujours relies lune lautre par la relation gnrale :
nergiec
=
masse
C2
tant la constante dite
nous
prfrons
nommer
vitesse de la lumire )) mais que vitesse limite de lnergie pour
J. PERRIN, Les atomes, Alcan, 1913. H. POINCAR, Derniies penses, Flammarion, 1913. E. BAunR, Recherches sur le rayonnement, Thse de
doctorat,
1912.La thorie du rayonnement et les quanta (Ier Congrs Solvay, IgI I), publie par P. LANGEVIN et M. DE BROGLIE M PLANCK, Theorie der Wrmestrahlung, J. -A. Barth, Leipzig,
1921 (4e dit.). L. BRILLOUIN, La thorie des quanta et latome Lle Bohr (Conf. rapports), 1921. F. REICHE, Die quantentheorie, J. Springer, Berlin, 1921. A. SOMMERFELD, La constitution de latome et, les rates spectrales. Trad. BELLENOT, A. Blanchard, 1923. A. LANDE, Vorschritte der quantentheorie, F. Steinhopff, Dresde,1922. Atomes et.
lectrons
(3e Congrs Solvay,), Gauthier-Villars,
1923.
12
Puisquil y a toujours proportionnalit contre la masse et lnergie, on doit considrer matire et nergie comme deux termes synonymes dsignant la mme ralit physique. La thorie atomique dabord, la thorie lectronique ensuite nous ont appris considrer la matire commeessentiellement discontinue et cela nous conduit admettre que toutes les formes de lnergie, contrairement aux ides anciennes sur la lumire, sont sinon entirement concentres en de petites portions de 1 espace, tout au moins condenses autour de certains points singuliers. Le principe de linertie de lnergie attribue un corps dont la masse propre (cest--dire ,mesure par un observateur qui lui est li) est mo une nergie propre moc2. Si le corps est en mouvement uniforme avec une vitesse v = 0cpar
des raisons exposes plus loin.
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rapport
un
observateur que
nous
nommerons
simplifier lobservateur fixe,
sa masse
aura
pour pour celui-ci laconnu
valeurla
conformment
un
rsultat bienson
de
Dynamique
Relativiste et, par suite,
.
Comme
lnergie cintique peut tre
nergie sera dfinie laug-
mentation quprouve lnergie dun corps pour lobservateur fixe quand il passe du repos la vitesse v = pc, on trouve pour sa valeur lexpression suivante : :
qui
naturellement pour les faibles valeurs forme classique :Ecin
de B
conduit la
= - I rnov22
Ceci rappel, cherchons sous quelle forme nous pouvons faire intervenir les quanta dans la dynamique de la Relativit. Il nous semble que lide fondamentale de la thorie
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des quanta soit limpossibilit denvisager une quantit isole dnergie sans y associer une certaine frquence. Cette liaison sexprime par ce que jappellerai la relation du quantum :
nergie == ~ ~ frquenceIt constante de Planck. Le dveloppement progressif de la thorie des quanta a mi-s plusieurs fois en vedette laction mcanique et on a cherch bien des fois donner de la relation du quantum un nonc faisant intervenir laction au lieu de lnergie. Assurment,. la constante h a les dimensions dune action savoir ML2T-i et cela nest pas d au hasard puisque la thorie de Relativit nous apprend classer laction parmi les principaux invariants de la Physique. Mais laction est une grandeur dun caractre trs abstrait et, la suite de nombreuses mditations sur les quanta de lumire et leffet photolectrique, nous avons t ramens prendre pour base lnonc nergtique; quitte ensuite chercher pourquoi laction joue un si grand rle dans nombre de questions. La relation du quantum naurait sans doute pas beaucoup de sens si lnergie pouvait tre distribue dune faon continue dans lespace, mais nous venons de voir quil nen est sans doute pas ainsi. On peut donc concevoir que par suite dune grande loi de la Nature, chaque morceau dnergie de masse propre m~, soit li un phnomne priodique de frquence va telle que lon ait ::
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vo tantmorceau
mesure, bien entendu, dans le systme liCetteest la
au.
base de notre sysdnergie. hypothse tme : elle vaut, comme toutes les hypothses, ce que valent les consquences quon en peut dduire. Devons-nous supposer le phnomne priodique localis lintrieur du morceau dnergie ? Cela nest nullemenL 3 Ann, de Ph ys., joe srie, t. III (Janvier-Fvrier 1925)
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ncessaire et il rsultera du paragraphe III quil est sans doute rpandu dans une portion tendue de lespace. Dailleurs que faudrait-il entendre par intrieur dun morceau dnergie ? Llectron est pour nous le type du morceau isol celui que nous croyons, peut-tre tort, le mieux connatre ; or daprs les conceptions reues, lnergie de llectron est rpandue dans tout lespace avec une trs forte condensation dans une rgion de trs petites dimensions dont les proprits nous sont dailletrrs fort mal connues. Ce qui caractrise llectron comme atome dnergie, ce nest pas la petite place quil occupe dans lespace, je rpte quil loccupe tout entier, cest le fait quil est inscable, non suladivisible, quil forme une unit (1). Ayant admis lexistence dune frquence lie au morceau dnergie, cherchons comment cette frquence se manifeste a lobservateur fixe dont il fut question plus haut. La transformation du temps d Lorentz Einstein nous apprend quun phnomne priodique li au corps en mouvement apparat ralenti lobservateur fixe dans le rapport de i cest le fameux ralentissement des horloges. Donc la frquence observe par lobservateur fixe sera,Ji 1
- ~o , nlnergie
Dautre part,
comme
du mobile pour le mme,
observateur est
gale
la
frquence
correspon-
dante
daprs
la relation du quantumetu
est
deux
frquences v1
sont
essentiellement diffrentes
puisqueIl ya
l
le facteur - 3~ ny figure pas de la mme faon. une difficult qui ma longtemps intrigu ; je suis
(1)
Au
tioo de
sujet des difficults qui se prsentent lors de linteracplusieurs centres lectriss, voir plus bas le chapitre IV.
15
parvenu la lever en dmontrant le thorme suivant que jappellerai le thorme de lharmonie des phases : Le phnomne priodique li au mobile et dont la fr-
quence est pour lobservateur fixe gale
=
jt n~~,2 ~1- ~onde de frdans la mme))
parat
celui-ci constamment=
en se
phase avec
une
quenoe v
propageant-
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direction que le mobile
avec
la vitesse V
-~- .
La dmonstration est trs simple. Supposons quau temps t o, il y ait accord de phase entre le phnomne priodi==
que li mobile
ii x =vit=
mobile et londe ci-dessus dfinie. Au temps t, le franchi depuis linstant origine une distance gale pc1 et la phase du phnomne priodique a vari deau a
La
phase
de la
portion donde quii
recouvre
le mobile
a
vari de :
Comme nous lavions annonc, laccord des phases siste. Il est possible de donner de ce thorme une autre dmonstration identique au fond, mais peut-tre plus.frappante. Si to reprsente le temps pour un observateur li au mobile (temps propre du mobile), la transformation Lorentzdonne :
Le phnomne priodique que nous sent pour le mme observateur par
imaginons,une
est
repr-
fonction sinusoi-
16
dale de volo. Pour lobservateurmme fonction sinusodale
fixe,
il est
reprsent
par la
de
fonc-
tion
qui reprsenteavec
une
onde de~
frquence
se
V
pro-
pageantmobile.
la vitesse
dans la mme direction que le
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Il est maintenant indispensable de rflchir la nature de londe dont nous venons de concevoir lexistence. Le fait quesa
vitesse V =
ou quoi la masse montre quil ne saurait tre question dune onde transportant de lnergie. Notre thorme nous apprend dailleurs quelle reprsente la distribution dans lespace des phases dun phnomne ; cest une onde de phase . Pour bien prciser ce dernier point, nous allons exposer une comparaison mcanique un peu grossire, mais qui parle limagination. Supposons un plateau horizontal circulaire de trs grand rayon ; ce plateau, sont suspendus des systmes identiques forms dun ressort spiral auquel est accroch un poids. Le nombre des systmes ainsi suspendus par unit de surface du plateau, leur densit, va en diminuant trs rapidement quand on sloigne du centre du plateau de telle sorte quil y a condensation des systmes autour de ce centre. Tous les systmes ressorts-poids tant identiques ont tous mme priode ; faisons-les osciller avec la mme amplitude et la mme phase. La surface passant par les centres de gravit de tous les poids sera un plan qui
toujours imaginaire), nous
~~3 tant r~ ~ soit ncessairement suprieure infinie serait infrieurc
i,
sans
montera et
descendra dun mouvement alternatif. Lensemainsi obtenu prsente une trs grossire analogie avec le morceau isol dnergie tel que nous le concevons. La. description que nous venons de faire convient un observateur li au plateau. Si un autre observateur voit le plateau se dplacer dun mouvement de translation uniforme
17
avec
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la vitesse v = pc, chaque poids lui paratra une petite horloge subissant le ralentissement dEinstein ; de plus, le plateau et la distribution des systmes oscillants ne seront plus isotropes autour du centre en raison de la contraction de Lorentz. Mais le fait fondamental pour nous (le 3e paragraphe nous le fera mieux comprendre), cest le dphasage des. mouvements des diffrents poids. Si, un moment donn de son temps, notre observateur fixe considre le tieu gomtrique des centres de gravit des divers poids, il obtient une surface cylindrique dans le sens horizontal dont les sections verticales parallles la vitesse du plateau sont des sinusodes. Elle correspond dans le cas particulier envisag notre onde de phase ; daprs le thorme gnral,cette surface est anime dune vitesse
plateau et la frquence qui repose constamment
du 1 parallle cellefixe de vibration dun dabscissesur
elle est
propre doscillation des ressorts
point gale la frquence multiplie par.
On voit nettement sur cet exemple (et cest notre excuse d~T avoir si longuement insist) comment londe de phase correspond au transport de la phase et aucunement celui de
lnergie.prcdents nous semblent tre dune extrme importance parce qu laide dune hypothse fortement sug-gre par la notion mme de quantum, ils tablissent un lien entre le mouvement dun mobile et la propagation dune onde et laissent ainsi entrevoir la possibilit dune synthse des thories antagonistes sur la nature des radiations. Dj, nous pouvons noter que la propagation rectiligne de londe de phase est lie au mouvement rectiligne du mobile ; le principe de Fermat appliqu londe de phase dtermine la forme de ces rayons qui sont des droites tandis que le principe de Maupertuis appliqu au mobile dtermine sa trajectoire rectiligne qui est lun des rayons de londe. Au chapitre II, nous tenterons de gnraliser cette concidence.Les rsultats
18
II.
-
VJTESSE
DE
PHASE ET
VITESSE DE GROUPE
Il
nous
faut maintenant dmontrer
une
relation
impor-
tante existant entre la vitesse du mobile et celle de londe de
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des ondes de frquences trs voisines se propagent dans une mme direction Ox avec des vitesses V que nous appellerons vitesses de propagation de la phase, ces ondes donneront par leur superposition des phnomnes de battement si la vitesse V varie avec la frquence v. Ces phnom nes ont t tudis notamment par lord Rayleigh dans le cas des milieux dispersifs. Considrons deux ondes de frquences voisines v et
phase. Si
leur super+ OV et de vitesses V etV=V + dv position se traduit analytiquement par lquation suivante obtenue en ngligeant au second nombre v devant v :v
dV
donc une onde rsultante sinusodale dont module la frquence ov car le signe du cosinus importe peu. Cest l un rsultat bien connu. Si lon dsigne par U la vitesse de propagation du battement, ou vitesse du groupe dondes, on trouve :Nousavons
lamplitude
est
Revenons aux ondes de phase. Si lon attribue au mobile une vitesse v = ~c en ne donnant pas ~ une valeur tout il fait dtermine, mais en lui imposant seulement dtre com-
19
prise entre et + 0 p; les frquences des ondes correspondantes remplissent un petit intervalle v, v + ov. Nous allons tablir le thorme suivant qui nous sera utile ultrieurement. La vitesse du groupe des ondes de phase est gale la vitesse du mobile . En efiet, cette vitesse de groupe est dtermine par la formule donne ci-dessus dans laquelle V et v peuvent tre considrs comme fonction de ~ puisque lon a :
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Y
=
cev
. _-_. v
h
~~ ~ - 3~_
en peut crire :d)JL~T-
v d ~3Or
Donc :U=
~C
=
v.
la vitesse du mobile. Ce rsultat dans la thorie ondulatoire de la
phase est bien gale appelle une remarque : dispersion, si on excepte les zones dabsorption, la vitesse de lnergie est gale la vitesse de groupe (i). Ici, bien que placs un point de vue
La vitesse de groupe des ondes de
(1) Voir par exemple LON BRILLOUIN. La thorie des quanta et latome de Bohr, chapitre 1.
20
bien diffrent, nous retrouvons un rsultat analogue, car la vitesse du mobile nest pas autre chose que la vitesse du dplacement de lnergie.III.-
LONDE
DE PHASE DANS
LESPACE-TEMPS
Minkowski a montr le premier quon obtenait une repr-sentation gomtrique simple des relations de lespace et du temps introduites par Einstein en considrant une multipli-
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Fig.
I.
.
cit euclidienne 4 dimensions dite Univers ou Espacetemps. Pour cela il prenait 3 axes de coordonnes rectangulaires despace et un quatrime axe normal aux 3 premiers sur lequel taient ports les temps multiplis par c
On porte plus volontiers aujourdhui sur le quatrime la quantit relle ct, mais alors les plans passant par cetet normaux -
axeaxe
lespace ont une gomtrie pseudo euclidiennehyperbolique dont linvariant fondamental est c2dt2 d~;2 - - d~2 - d,~2. Considrons donc lespace-temps rapport aux 4 axes rectangulaires de lobservateur dit fixe . Nous prendrons pour axe des x la trajectoire rectiligne du mobile et nous
21
reprsenterons
sur notre papier le plan otx contenant laxe du temps et la dite trajectoire. Dans ces conditions, la ligne dUnivers du mobile est figure par une droite incline de. moins de 450 sur laxe du temps; cette ligne est dailleurs laxe du temps pour lobservateur li au mobile. Nous reprsentons sur notre figure les 2 axes du temps se coupant lorigine, ce qui ne restreint pas la gnralit.
Si la vitesse du mobile pour lobservateur fixe est
lasur
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pente de Of a pour valeurest
.
La droite
ox,
trace
le,.
plan tox de lespace de lobservateur entran au temps O,. symtrique de Ot par rapport la bissectrice OD ; il est facile de le dmontrer analytiquement au moyen de la transformation de Lorentz, mais cela rsulte immdiatement du fait que la vitesse- limite de lnergie c a la mme valeur pour tous les systmes de rfrence. La pente de Ox est donc ~. Si lespace entourant le mobile est le sige dun phnomne priodique, ltat de lespace redeviendra le mme pour lobservateur entran chaque fois que se seracoul un
temps 1 OA ch==
=
1 ABc
gal
la
priode
propre
T 0o =;:= -2110
2 moc
du
phnomne.
parallles ox sont donc les traces de ces espaces quiphases de lobservateur entran sur le plan Les points.... a, o, a... reprsentent en projection leurs intersections avec lespace de lobservateur fixe linstant 0 ;Les droitesces
intersections de 2 espaces 3 dimensions sont des suIfaces 2 dimensions et mme des plans parce que tous les espaces ici considrs sont euclidiens. Lorsque le temps scoule pour lobservateur fixe, la section de lespace-temps qui, pour lui, est lespace, est reprsente par une droite parallle ox se dplaant dun mouvement uniforme vers les t croissants. On voit facilement que les plans quiphases... a, o, a... se dplacent dans lespace de lobservateur
22
fixe
avec une
vitesse
~. En effet, si la ligne oxs de la figure=
reprsente lespace de lobservateur fixe au temps t 0, se trouvait aao c. La phase qui pour t=
I,
on a
en
a, se
maintenant en at; pour lobservateur fixe, elle sest donc dplace dans son espace de la longueur dns le sens ox pendant lunit de temps. On peut donc dire que sa vitesse est :trouve
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Fig.
2.
Lensemble des plans quiphases constitue ce que nous avons nomm londe de phase. Reste examiner la question des frquences. RefaisonsTine
petite figure simplifie.reprsentent deux espaces quiphases de lobservateur li. AB est, avons-nous dit, gal priode propre Tn2==.
i Les droites et
successifs~c
fois la
AC
projection de AB sur laxe Ot est gal
23
Ceci rsulte dune
simple application des relations trigonomtriques ; toutefois, nous remarquerons quen .appliquant la trigonomtrie des figures du plan xot, il faut toujours avoir prsent lesprit lanisotropie particulire ce plan. Le triangle ABC nous donne :_
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La
frquence T 1 est celle queCest :
le
parat avoir pour lobservateurson
iixe
phnomne priodique qui le suit des yeux dans
dplacement.
La
priode
des ondes
en un non
point de lespace
pour lobserCal-
vateur fixe est
donne
par ) AC, mais par AD.on
Dans le
petit triangle BCD,
trouve la
relation
La nouvelleest donc
priode
T
gale
:T =
1 AC ( ~ c
1
-
~32)
==
To
~i ~ . - ~9par:
et la
frquence v
des ondes
sexprime
Nous retrouvons donc bien tous les rsultats obtenus
ana-
24
le ier paragraphe, mais maintenant nous mieux comment ils se relient la conception gn-~ voyons rale de lespace-temps et pourquoi le dphasage des mouve-ments priodiques ayant lieu en des points diffrents de lespace dpend de la faon dont est dfinie la simultanit par la thorie de Relativit.
lytiquement dans
CHAPITRE II
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Principe
de
MaupertuisI.-
et
principe
de Fermat.
BUT
DE CE CHAPITRE
Nous voulons dans ce chapitre tcher de gnraliser les rsultats du chapitre premier pour le cas dun mobile dont le mouvement nest pas rectiligne et uniforme. Le mouvement vari suppose lexistence dun champ de force auquel le mobile est soumis. Dans ltat actuel de nos connaissances il semble y avoir seulement deux sortes de champsles champs de gravitation et les champs lectromagntiques. La thorie de Relativit gnralise interprte le champ de gravitation comme d une courbure de lespace-temps. Dans la prsente thse, nous laisserons systmatiquement de ct tout ce qui concerne la gravitation, quitte y revenir dans un autre travail. Pour nous donc, en ce moment, un champ de force sera un champ lectromagntique et la dynamique du mouvement vari sera ltude du mouvement dun corps portant une charge lectrique dans un champ lectromagntique_ Nous devons nous attendre rencontrer dans ce chapitre dassez grandes difficults parce que la thorie de Relativit, guide trs sr quand il sagit de mouvements uniformes, est encore assez hsitante dans ses conclusions sur le mouvement non uniforme. Lors du rcent sjour de M. Einstein Paris, M. Painlev a soulev contre la Relativit damusantes objections ; M. Langevin a pu les carter sans peine parce
25
quelles
faisaient toutes intervenir des acclrations alors que la transformation de Lorentz-Einstein ne sapplique quaux mouvements uniformes. Les arguments de lillustre mathmaticien ont cependant prouv une fois de plus que lapplication des ides Einsteiniennes devient trs dlicate ds linstant o lon a affaire des acclrations et, en cela, ils sont trs instructifs. La mthode qui nous a permis ltude de londe de phase au chapitre premjer ne va plus ici noussecours.
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tre daucun
accompagne le mouvement dun admet nos conceptions, a des proprits qui dpendent de la nature de ce mobile puisque sa frquence, par exemple, est dtermine par lnergie totale. Il semble donc naturel de supposer que, si un champ de force agit sur le mouvement dun mobile, il agira aussi sur la propagation de son onde de phase. Guid par lide dune identit profonde du principe de la moindre action et de celui de Fermt, jai t conduit ds le dbut de mes recherches sur ce sujet admettre que pour une valeur donne de lnergie totale du mobile et par suide de la frquence de son onde de phase, les trajectoires dynamiquement possibles de lun concidaient avec les rayons possibles de lautre. Cela ma conduit un rsultat fort satisfaisant qui sera expos au chapitre III, savoir linterprtation des conditions de stabilit intraatomique tablies par Bohr. Malheureusement, il fallait des hypothses assez arbitraires sur la valeur des vitesses de propagations V de loncle de phase en chaqueLonde de phase mobile, si toutefois
quion
du champ. Nous allons, au contraire, nous servir ici dune mthode qui nous semble beaucoup plus gnrale et plus satisfaisante. Nous tudierons dune part le principe mcanique de la moindre action sous ses formes Hamilto. nienne et Maupertuisienne dans la dynamique classique et dans celle de la Relativit et dautre part un point de vue trs gnral, la propagation des ondes et le principe de Fermt. Nous serons alors amen concevoir une synthse
point
26
de
ces deux tudes, synthse sur laquelle on peut discuter mais dont llgance thorique est incontestable. Nous obtiendrons du mme coup la solution du problme pos.
II.
-
LES
DEUX
PRINCIPES
DE
MOINDRE ACTION
DANS LA
DYNAMIQUE CLASSIQUE
Dans la
dynamique classique,de la
action
sous sa
le principe de moindre forme Hamiltonienne snonce de la faon sui-
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vante :
Les
quations
fait que
lintgrale t1.
dynamique peuvent se dduire prise entre les limitessystme,
dudu
temps pour des valeurs initiales et,finales donnes des para-
mtres qi quistationnaire
dterminent ltat duPar
dfinition, 1
est
Lagrange etOna
suppose dpendre
des
appele variables ~~
a une valeur la fonction de
et
c~~ =-
_
donc :
On en dduit par une mthode connue du calcul des variations les quations dites de Lagrange :
en
nombre
gal
celui des variables
qi.
Reste dfinir la fonction if. La
dynamique classique
pose :If=
Ecin
-
Epot
diffrence des nergies cintique et potentielle. Nous verrons plus loin que la dynamique relativiste emploie une valeu r diffrente de ~. Passons maintenant la forme Maupertuisienne du principe de moindre action. Pour cela, remarquons dabord que
27
les
quations de Lagrange sous la forme gnrale donne plus haut, admettent une intgrale premire dite nergie du systme et gale :~ .
=-~-~-~ ~. qizqia condition toutefois que la fonction ~ne
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citement du temps, ce que nous supposerons la suite. On a en enet alors :
dpende pas explitoujours dan~
quantit nulle daprs
les
quations de Lagrange.W= Cte.
Donc :
Appliquons maintenant le principe Hamiltonien toutes les trajectoires varie* qui conduisent de ltat initial donn A ltat final donn B et qui correspondent une valeur dtermine de lnergie W. On peut crire puisque"V, f1 et t2sont constants :
ou
bien
encore :
intgrale tant tendue toutes les valeurs des qi comprises entre celles qui dfinissent les tats A et 13 de sorte que le temps se trouve limin ; il ny a donc plus lieu dans la nouvelle forme obtenue dimposer aucune restriction relative aux limites du temps. Par contre, les trajec-
la dernire
28
toires varies doivent toutes valeur W de lnergie. Posons suivant la notation
correspondre
une
mme
classique
des
quations
cano-
niques :
pi
=
-.
Les pi sont les moments
conjugus
des
variables qi. Le
principe Mau.pertuisien
scrit ::
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dans la
dynamique classique o Ecin Epot, E~ ,t est indpendant des et Ecin en est une fonction quadratique homogne. En vertu du thorme dEuler ::~--
Pour le
point matriel, Ecin
;2
mv2 et le
principe
de: :
moindre action
prend
sa
forme la
plus anciennement connue
dl, lment de trajectoire.III.-
LES
DEUX PRINCIPES DE MOINDRE ACTIONLA
DANS
DYNAMIQUE
DE
L ELECTRON
Nous allons maintenant reprendre la question pour la dynamique de llectron au point de vue relativiste. Il faut prendre ici le mot lectron )) dans le sens gnral de point matriel portant une charge lectrique. Nous supposerons que llectron plac en dehors de tout champ possde une masse propre nl0 ; sa charge lectrique est dsigne par e. Nous allons de nouveau considrer lespace-temps ; les coordonnes despace seront appeles x1, x2 et x3, la coor-
29
donne et
sera
~~. Linvariant fondamental
lment de lon-
gueur est dfini par :ds==-
- (d.x2)~ - (d:~3 )~.
I)ans
ce
paragraphe
et dans le
suivant,
nous
emploierons
constamment certaines notations du calcul tensoriel.
Une dfinie
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dUnivers a en chaque point une tangente en direction par le vecteur vitesse dUnivers ~> de longueur unit dont les composantes contrevariantes sont donnes par la relation :
ligne
On vrine de suite que lon a : uiui = i. Soit un mobile dcrivant la ligne dUnivers ; quand il passe au point considr, il possde une vitesse v = pc de Les composantes de la vitesse dUnicomposantes.
vers
sont :
Pour dfinir un champ lectromagntique, nous devons introduire un second vecteur d Univers dont les composante
sexpriment
en fonction du potentiel vecteu~~ ~r et du potenscalaire 1~ par les relations : .tiel
Considrons maintenant deux points P et Q de lespace temps correspondant des valeurs donnes des coordonnes despace et du temps. Nous pouvons envisager une intgrale curviligne prise le long d une ligne dUnivers allant de P Q.;Ann, deio~
srie,
t. III
(Janvier-Fvrier if)25)
~
30
naturellement la fonction Soit :
intgrer
doit tre invariante-
cette
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Le principe de Hamilton affirme que si la dUnivers dun mobile passe par P et Q, elle a une ligne forme telle que lintgrale ci-dessus dfinie ait une valeur stationnaire. Dfinissons un troisime vecteur dUnivers par la relation. ^
intgrale.
lnonc de moindre action devient :
Nous donnerons teur dunivers J.Pour
un
peu
plus
loin
un sens
physique
au vec-
linstant,en
revenons
la forme usuelle des
quations-
dynamiques remplaant grale daction ds par cdtr?
dans la
premire
forme de lint-
~2.-
Nous obtenons ainsi :+
t~ti
~~-
+
=
o
11 et t2 correspondant
aux points P et Q de lespace temps. Sil existe un champ purement lectrostatique, les quansont nulles et la fonction de Lagrange prend la tits forme souvent utilise :
~
=
-
e~~.
Dansla,tions de
tous
les
cas,
le principe de Hamiltono,on
forme S ~ /*~
~dt -
est
toujours
conduit
ayant toujours aux qua-
Lagrange :
31
Dans tous les
cas
temps
on
retrouve la
o les potentiels ne dpendent pas du conservation de lnergie :J~ wi - ,1 = 1 2 3
i
3qi
En suivant exactement la mme marche que
plus haut,
on
obtient le principe de Maupertuis :
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A et B tant les deux points de lespace qui correspondent pour le systme de rfrence employ aux points P et Q de
lespace-temps. Les quantits PtP2P3 galesfonctionservirpar
aux
rapportun
aux
vitesses
partielles de la correspondantes peuventdrivesle vec-
dfinir
vecteur p que
nous nommerons
teur moment .
ait ou non un laires de ce vecteur sont :
ny a pas de champ magntique (quil y champ lectrique), les composantes rectangu-
Sil
Il est donc
identique la quantit de mouvement et lintgrale daction Maupertuisienne a la forme simple propose par Maupertuis lui-nlme avec cette seule diffrence que lamasse
varie m.aintenant
avec
la vitesse suivant la loi de
Lorentz.santes
Sil y a un champ magntique, on trouve pour les compodu vecteur moment les expressions ::
identit entre le vecteur et la quantit de mouvement ; par suite, lexpression de lintgrale daction en devient plus complique.Il
ny
a
plus
32
Considrons un mobile plac dans un champ et dont lnergie totale est donne ; en tout point du champ, que le mobile peut atteindre, sa vitesse est donne ,par lquation de lnergie, mais a priori la direction en peut tre quelconque. Lexpression de pxpy et p;, montre que le vecteur moment a mme grandeur en un point dun champ lectrostatique quelle que soit la direction envisage. Il nen est est plus de mme sil y a un champ magntique : la gran-
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deur du vecteur p dpend alors de langle entre la direction choisie et le potentiel vecteur comme on le voit en formant lexpression px2 + py2 + p,~~. Cette remarque nous sera utile plus loin. Pour terminer ce paragraphe, nous allons revenir sur le sens physique du vecteur dUnivers J dont dpend lintgrale Hamiltonienne. Nous lavons dfini par lexpression ::
A laide des valeurs ui
et 9i
on
trouve :
Les
composantes contre-variantes
seront :
Nousment.
avons>>
donc affaire
duniversDe :
qui synthtise
clbre vecteur Impulsion lnergie et la quantit de mouveau.
on
peut tirer de suite si J4B
est constant :
0~
(i;1
=
1, 2,
3).
33
Cest la manire la plus condense de passer de lun des noncs daction stationnaire lautre.
IV.
-
PROPAGATION
DES
ONDES;
PRINCIPE DE
FERMAT
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Nous allons tudier la propagation de la phase dun phnomne sinusodal par une mthode parallle celle des deux derniers paragraphes. Pour cela, nous nous placerons a un point de vue trs gnral et de nouveau, nous aurons
envisager lespace-temps.sin 9 dans laquelle la diffrentielle suppose dpendre des variables xi despace et de Il existe dans lespace-temps une infinit de lignes temps. dUnivers le long desquelles la fonction est constante. La thorie des ondulations telle quelle rsulte notamment des travaux dHuyghens et de Fresnel, nous apprend distinguer parmi ces lignes certaines dentre elles dont les projections sur lespace dun observateur sont pour lui les rayonsau sens usuel de loptique. Soient comme prcdemment P et Q deux points de lespace-temps. Sil passe un rayon dUnivers par ces deux points, quelle sera la loi qui en dterminera la forme ?est
Considrons la fonction
Nous considrerons
prendrons
comme
lintgrale curviligne principe dterminant le rayon
et
nous
dUnivers
lnonc de forme Hamiltonienne :
;] .t,Q drp
==
o.
Lintgrale doit, en effet, tre stationnaire, sans quoi, des perturbations ayant quitt en concordance de phase un certain point de lespace et se croisant en un autre point aprs avoir suivi des chemins lgrement diffrents, y prsenteraient des phases diffrentes.
34
La
phase y
est
un
invariant ;
si donc
nous
posons :
les quantits Oi gnralement fonctions des xi seront les composantes covariantes dun vecteur dUnivers, le vecteur
Onde dUnivers. Si 1 est la direction du rayon au sens ordinaire, on est amen dhabitude envisager pour le de? la forme :
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~~
est
appele frquenceposer alors :
et V
vitesse de
propagation.
On
peut
dcompose donc en une composante proportionnelle la frquence et en un vecteur despace n port sur la direction de propagation et ayant pour longueur Nous lappellerons le vecteur ~T , ~( nombre dondes parce quil est gal linverse de la longueur donde. Si la frquence v est constante, nousse
Le vecteur Onde dUnivers
de temps
.
sommes
conduit passer de la forme Hamiltonienne :
la forme
Maupertuisienne :
o A et B sont les points de lespace correspondant P et En remplaant oi, Oz et Og par leurs valeurs, il vient :
Q.
35
Cet nonc Maupertuisien constitue le principe de Fermt. De mme quau paragraphe prcdent il suffisait pour trouver la trajectoire quun mobile dnergie totale donne passant par deux points donns de connatre la rpartition ~lans le champ du vecteur p, de mme ici pour trouver le rayon dune onde de frquence connue passant par deux points donns, il suffit de connatre la rpartition dans lespace du vecteur nombre donde qui dtermine en chaque point et pour chaque direction la vitesse de propagation. V. EXTENSIONLA RELATION DU
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-
DE
QUANTUM
Nous sommes parvenus au point culminant de ce chapitre. Nous avions pos ds son dbut la question suivante : Quand un mobile se dplace dans un champ de force dun mouvement vari, comment se propage son onde de phase ? Au lieu de chercher par ttonnements, comme je lavais fait dabord, dterminer la vitesse de propagation en chaque point et pour chaque direction, je vais faire une extension de la relation du quantum un peu hypothtique peut-tre mais dont laccord profond avec lesprit de la thorie de Relativit est indiscutable. Nous avons t constamment amens poser hv= w, w tant lnergie totale du mobile et v la frquence de son onde de phase. Dautre part, les paragraphes prcdents nous ont appris dfinir deux vecteurs dUnivers J et O qui jouent des rles parfaitement symtriques dans ltude du mouvement dun mobile et dans celle de la propagation dune onde. En faisant intervenir ces vecteurs, la relation hv - tv scrit :
O~,
==
jt J4une
Le fait que deux vecteurs aient
composante gale
ne
36
prouve pas quil en soit de mme pour les autres. Cependant, par une gnralisation tout indique nous poserons:Oi -
h Jiportion
(~
_
r, 2,
3, 4) .
La variation dq relative une londe de phase a pour valeur :
infiniment
petite
de-
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Le
principe de Fermat devient
donc :
Nous arrivons donc lnonc suivant : Le principe de Fermat appliqu londe de phase est identique au principe de Maupertuis appliqu au mobile ; les trajectoires dynamiquement possibles du mobile sont identiques aux rayons possibles de londe. Nous pensons que cette ide dune relation profonde entreles deux grands principes de lOptique Gomtrique et de la. Dynamique pourrait tre un guide prcieux pour raliser la synthse des ondes et des quanta. Lhypothse de la proportionnalit des vecteurs J et 0 est une sorte dextension de la relation de quantum dont lnonc actuel est manifestement insuffisant puisquil fait intervenir lnergie sans parler de son insparable compagne la quantit de mouvement. Le nouvel nonc est beaucoup plus satisfaisant parce quil sexprime par lgalit de deuxvecteurs dUnivers.
VI.
-
CAS PARTICULIERSJ
DISCUSSIONS
Les
maintenant tre appliques des prciser le sens.
conceptions gnrales du paragraphe prcdent doivent. cas particuliers en vue dea
37
a) Considrons dabord le mouvement rectiligne et uniforme dun mobile libre. Les hypothses faites au dbut du chapitre premier nous ont permis, grce au principe de Relativit restreinte, ltude complte de ce cas. Voyons si nous pouvons retrouver la valeur prvue pour la vitesse de propagation de londe de phase :
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Ici
nous
devons poser :
do V =
interprtation de ce rsultat au point de vue de lespace-temps. h~ Considrons un lectron dans un champ lectrostatique (atome de Bohr). Nous devons supposer londe de phase ayant une frquence v gale au quotient par A de lnergieavons
3 . Nous
donn
une
totale du
mobile, soit :W=
J2Le
-~- e~
==
.
champ magntique
tant
nul,
on aura
simplement :
do
38
se
appelle plusieurs remarques. Au point de vue signifie que londe de phase de frquence propage dans le champ lectrostatique avec une vitesse variable dun point lautre suivant la valeur dupotentiel. La vitesse V dpend en effet de directement par le terme (gnralement petit devant lunit) et indirectement par fi qui se calcule en chaque point en fonction
Ce rsultat
physique,
il
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de Wet
~.
Fig.3.v
De plus, on remarquera que V est fonction de la masse et de la charge du mobile. Ce point peut paratre trange, mais il lest en ralit moins quil ne semble. Considrons un lectron dont le centre C se dplace avec la vitesse v ; dans la conception classique, en un point P dont les coordonnes dans un systme li llectron sont connues, se trouve une certaine nergie lectromagntique faisant en quelque sorte partie de llectron. Supposons quaprs avoir travers une rgion R o rgne un champ lectromagntique plus ou moins complexe, llectron se trouve anim de la mme vitesse v mais autrement dirige. Le point P du systme li llectron est venu en P et lon peut dire que lnergie primitivement en P sest transporte en P. Le dplacement de cette nergie, mme si lon connat les champs rgnants dans R, ne peut tre calcul que si la masse et la charge de llectron sont donnes. Cette conclusion indiscutable pourrait un instant paratre bizarre parce que nous avons lhabitude invtre de considrer la
39
et la charge (ainsi que la quantit de mouvement et lnergie) comme des grandeurs lies au centre de llectron. De mme pour londe de phase qui, selon nous, doit tre considre comme une partie constitutive de llectron, la propagation dans un champ doit dpendre de la charge etmasse
de la masse. Souvenons-nous maintenant des rsultats obtenus au chapitre prcdent dans le cas du mouvement uniforme. Nous avions alors t amens considrer londe de phase comme due aux intersections par lespace actuel de lobservateur fixe des espaces passs, prsents et futurs de lobservateur entran. Nous pourrions tre tents ici encore de retrouver la valeur donne ci-dessus de V en tudiant les phases successives du mobile et en prcisant le dplacement pour lobservateur fixe des sections par son espace des tats quiphases. Par malheur, on se heurte ici de trs grosses difficults. La Relativit ne nous apprend pas actuellement comment un observateur entran par un mouvement non uniforme dcoupe chaque instant son espace dans lespace-temps ; il ne semble pas quil ; ait beaucoup de raison pour que cette section soit plane comme dans le mouvement uniforme. Mais si cette difficult tait rsolue, nous serions encore dans lembarras. En effet, un mobile en mouvement uniforme doit tre dcrit de la mme faon par lobservateur qui lui est li, quelle que soit la vitesse du mouvement uniforme, par rapport des axes de rfrence ; cela rsulte du principe que des axes galilens possdant les uns par rapport aux autres des mouvements de translation uniforme sont quivalents. Si donc notre mobile en mouvement uniforme est entour, pour un observateur li, dun phnomne priodique ayant partout mme phase, il doit en tre de mme pour toutes les vitesses du mouvement uniforme et cest ce qui justifie notre mthode du chapitre premier. Mais si le mouvement nest pas uniforme, la description du mobile faite par lobservateur li peut plus la mme
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et
plus du tout comment il va dfinir le priodique et sil lui attribuera mme phase en phnomne tout point de lespace. Peut-tre pourrait-on renverser le problme, admettre les rsultats obtenus dans ce chapitre par des considrationsnous ne savons
toutes
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diffrentes et chercher en dduire comment la thorie de Relativit doit envisager ces questions de mouvement vari pour parvenir aux mmes conclusions. Nous ne pou-vons aborder ce difficile problme. c) Prenons le cas gnral de llectron dans un champ
lectromagntique.
On
a encore :
De
plus,
nous avons
montr
plus+
haut
quil
fallait poser :.
~x
==
~ ~ i m~x ~~ -
eax,
etc.,vecteur.
a~, a~ et a~ tant les
composantes du potentiel
Donc :
On trouve ainsi :
de mouvement et al la projection du la direction l, potentiel Le milieu en chaque point nest plus isotrope. La vitesse V varie avec la direction que lon considre et la vitesse du
G tant la
quantit
vecteur
sur
mobile v na pas la mme direction que la normalede
londe
phase
dfinie par le vecteur
p
==
hn. Le rayon
ne
concide
41
plus avec la normale londe, loptique des milieux anisotropes.=
conclusion
classique
de
On peut se demander ce que devient le thorme sur lgalit de la vitesse v ~c du mobile et de la vitesse de groupe des ondes de phase. Remarquons dabord que la vitesse Y de la phase suivant le rayon est dfinie par la relation :
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nest
pas gal
p parce
quici
dl et p nont pas la
mme direction.
axe
Nous pouvons, sans nuire la gnralit, prendre pour des x la direction du mouvement du mobile au point- ~sur
considr et appeler p~ la projection du vecteur p direction. On a alors lquation de dfinition :
cette
La
premire
des
quations canoniques
fournit
lgalit :
LT tant la vitesse de groupe suivant le rayon. Le rsultat du chapitre premier, 2, est donc tout a fait gnral et dcoule en somme directement des quations du premier groupe de Hamilton.
42
CHAPITRE III
Les conditions des1.-
quantiques de stabilit trajectoires.STABILITDE
LES
CONDITIONS DE
BOHR-SOMMERFELD
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Dans sa thorie de latome, M. Bohr a le premier mis lide que, parmi les trajectoires fermes quun lectron peut dcrire autour dun centre positif, certaines seules sont stables, les autres tant irralisables dans la nature ou tout au moins si instables quil ny a pas lieu den tenir compte. Se limitant aux trajectoires circulaires mettant en jeu un seul degr de libert, M. Bohr nona la condition suivante : Seules, sont stables les trajectoires circulaires pour les-le moment de la quantit de mouvement est un mulquelles
tiple"
entier de
~2n
,
h tant la constante de Planck
.
Ceci
scrit :
ou encore :
h tant lazimut choisi
comme
coordonne q de
Lagrange-
PO le momentcas
correspondant.et
Sommerfeldo interviennent
Wilson, pour tendre cet nonc aux plusieurs degrs de libert, ont montr
quil
est gnralement possible de choisir des coordonnes qi, telles que les conditions de quantification des orbites soient :
43
le
signe
indiquant
une
intgrale tendue tout le domaine
de variation de la coordonne. En M. Einstein a donn la condition de quantification une,forme invariante pour rapport aux changements do coordonnes (1). Nous lnoncerons pour le cas des trajectoires fermes elle est alors la suivante :
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lintgrale tant tendue toute la longueur de la trajectoire. On reconnat lintgrale daction Maupertuisienne dont le rle devient ainsi capital dans la thorie des quanta. Cette intgrale ne dpend dailleurs pas du choix des coordonnes despace daprs une proprit connue qui exprime en sommele caractre covariant des composantes pi du vecteur moment. Elle est dfinie par la mthode classique de Jacobi commeune intgrale complte de lquation aux drivs partielles :i_-_.
r,2 ...
f.
intgrale complte qui contienty constantes arbitraires dont rune est lnergie W. Sil y a un seul degr de libert, la relation dEinstein fixe lnergie W ; sil y en a plus dun (et dans le cas usuel le plus important, celui du mouvement de llectron dans le champ intraatomique, il y en a a priori 3), on obtient seulement une relation entre ~~, et le nombre entier n ; cest ce qui arrive pour les ellipses ; Kplriennes si on nglige la variation de la masse avec la vitesse. Mais si le mouvement est quasi-priodique, ce qui du reste a toujours lieu en raison de la sus-dite variation, il est possible de trouver des coordonnes qui oscillent entre(1) Zum quanlensatz von Sommerfeld und deutschen. Phys. Ges" I g I ~, p. 82).
Epstein
44
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(librations) et il existe une infinit de pseudo-priodes gales approximativement des multiples entiers des priodes de libration. A la fin de chacune de ces pseudo-priodes, le mobile est revenu dans un tat aussi voisin que lon veut de ltat initial. Lquation dEinstein applique chacune de ces pseudo-priodes conduit une infinit de conditions qui sont compatibles seulement si les conditions multiples de Sommerfeld sont vrifies ; celles-ci tant en nombre gal celui des degrs de libert, toutes les constantes se trouvent fixes et il ne reste plus aucune indtermination. Pour le calcul des intgrales de Sommerfeld, on sest servi avec succs de lquation de Jacobi et du thorme des rsidus ainsi que de la conception des variables angulaires Ces questions ont fait lobjet de nombreux travaux depuis quelques annes et sont rsums dans le beau livre de M. Sommerfeld Atombau und Spectrallinien {dition franaise, traduction Bellenot, Blanchard diteur, 1923). Nous ny insisterons pas ici et nous nous bornerons remarquer quen fin de compte, le problme de la quantification se ramne entirement en principe la condition dEinstein pour les orbites fermes. Si lon parvient interprter cette condition, on aura du mme coup clair toute la question des traiectoires stables.II.INTERPRTATIONDELA
pes valeurs limites
-
CONDITION
DEINSTEIN
phase va nous permettre de fournir de la condition dEinstein. Il rsulte des explication considrations du chapitre II que la trajectoire du mobile est un des rayons de son onde de phase, celle-ci doit courir le long de la trajectoire avec une frquence constante (puisque lnergie totale est constante) et une vitesse variable dont nous avons appris calculer la valeur. La propagation est donc analogue celle dune onde liquide dans un canalune
La notion donde de
45
ferm
lui-mme et de profondeur variable. Il est physivident qve, pour avoir un rgime stable, la lonquement gueur du canal doit tre en rsonance avec londe ; autrei ment dit, les portions donde qui se suivent une distance gale un multiple entier de la longueur l du canal et qui se trouvent par suite au mme point de celui-ci, doivent tre en phase. La condition de rsonance est 1 == na si la lonsur
gueur donde est constante et
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(j)
dl
=
n
(entier)
dans le
cas
intervient ici est celle du principe de Fermontr quon devait la considrer comme gale lintgrale daction Maupertuislenne divise par h. La condition de rsonance est donc identique la condition de stabilit exige par la thorie des quanta.
gnral. Lintgrale quior,nous
mat ;
avons
Ce beau rsultat dont la dmonstration est si immdiate on a admis les ides du prcdent chapitre est la meilleure justification que nous puissions donner de notre manire dattaquer le problme des quanta.
quand
Dans le
cas
particulieron=
des
trajectoires=
circulaires dans
latome de
Bohr,a v
obtientest la
21tRmov
=
nh ou,
puisque
lon
vitesse
angulaire,
Cest bien l la forme simple primitivement envisage par Bohr. Nous voyons donc bien pourquoi certaines orbites sont stables, mais nous ignorons encore comment a lieu le passage dune orbite stable une autre. Le rgime troubl qui accompagne ce passage ne pourra tre tudi qu laide dune thorie lectromagntique convenablement modifie et nous ne la possdons pas encore.Ann. de
Ph ys.,
ioe
srie,
t. III
(Janvier-Fvrier 1925)
5
46
III.
-
CONDITIONS
DE
SOMMERFELD
POUR LES MOUVEMENTS
QUASI-PRIODIQUESJeme
propose de dmontrer que, si la condition de stabiune
lit pour
orbite ferme
est
~, Pidqi
=
nh, les condi-
tions de stabilit pour des mouvementssont
ncessairement
pidyi
quasi-priodiques = nih (ni entier, i I, 2, 3).
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Les conditions
de Sommerfeld seront ainsi ramenes elles aussi la rsonance de londe de phase. Nous devons dabord remarquer que llectron ayant des dimensions finies, si, comme nous ladmettons, les conditions de stabilit dpendent des ractions exerces sur lui par sa propre onde de phase, il doit y avoir accord de phase entre toutes les portions de londe passant une distance du centre de llectron infrieure une valeur dtermine petite mais finie de lordre par exemple de son rayon ( I o-13 cnl.). Ne pas admettre cette proposition reviendrait dire : llectron est un point gomtrique sans dimensions et le rayon de son onde de phase est une ligne dpaisseur nulle. Cela nest pas physiquement admissible. Rappelons maintenant une proprit co.nnue des trajectoires quasi-priodiques. Si NI est la position du centre du mobile un instant donn sur la trajectoire et si lon trace de l~I comme centre une sphre de rayon R arbitrairement choisi, petit mais fini, il est possible de trouver une infinit dintervalles de temps tels qu la fin de chacun deux le mobile soit revenu dans la sphre de rayon R. De plus, chacun de ces intervalles de temps ou priodes approches )) T pourra satisfaire aux relations :
multiples
o T2 et T3 sont les priodes de variation (libration) des coordonnes qi q2 et q3. Les quantits Ei peuvent toujours tre rendues plus petites quune certaine quantit fixe
47
davance rfsera
petite mais finie. Plus j sera choisie petite, plus longue la plus courte des priodes r. Supposons que le rayon R soit choisi gal la distance maxima daction de londe de phase sur llectron, distance dfinie plus haut. AlorS, on pourra appliquer chaque priode approche T la condition daccord de phase sous laforme ::
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( /" ~ 1 pidqiqui peut aussiscrire :
-
nh
ment
Mais une condition de rsonance nest jamais rigoureusesatisfaite. Si le mathmaticien exige pour la rsonance quune diffrence de phase soit gale exactement n X 2~, le physicien doit se contenter dcrire quelle est gale n..2~r -+- a., a tant infrieure une quantit ~ petite mais finie qui mesure, si je puis dire, la marge lintrieur de laquelle la rsonance doit tre considre comme ralise
physiquement. Les quantits
pi et qi restent finies au cours du mouvement et lon peut trouver six quantits Pi et (~i telles que lon ait toujours
y - ~, 2, 3)Choisissons lavoyons
limite r~ telle que
Yj 21
~ I~;21:
nous
quen crivant la condition de rsonance pour nimporte laquelle des priodes approches, il sera permis de ngliger les termes en 2r.i et dcrire :
48
les n-2, n3, sont des entiers second membre, n est un entier quelconque. connus ; Nous avons une infinit de semblables quations avec des valeurs diffrentes de ni , n~ et n3. Pour y satisfaire, il faut et suffit que chacune des intgrales
Dans le
premier membre,
au
soit gale un multiple entier de h. Ce sont bien les conditions de Sommerfeld. La dmonstration prcdente parat rigoureuse. Cependant, il y a lieu dexaminer une objection. Les conditions de stabilit ne peuvent en effet entrer en jeu quau bout dun temps de lordre du plus court des intervalles de temps r lequel est dj trs grand ; sil fallait attendre par exemple des millions dannes pour quelles interviennent, autant dire quelles ne se manifesteraient jamais. Cette objection nest pas fonde car les priodes r sont trs grandes par rappart aux Priodes de libration Ti, mais peuvent tre trs petites par rapport notre chelle usuelle de mesure du temps ; dans latome, les priodes Ti sont, en effet, de lordre de i o-2 seconde. On peut se rendre compte de lordre de grandeur des priodes approches dans, le cas de la trajectoire L2 de Sommerfeld pour lhydrogne. La rotation du prihlie pendant une priode de libration du rayon vecteur est de lordre de La plus courte des -priodes approches serait donc de lordre 105 fois la priode de la variable radiale seconde. Il semble donc seconde), soit de lordre de bien quelesconditionsde stabilit entreront enjeu en un temps inaccessible notre exprience et, par suite, que les trajectoires sans rsonance nous paratront bien inexistantes. Le principe de la dmonstration dveloppe ci-dessus a t emprunt M. Lon Brillouin qui a crit dans sa thse. (p. 351) : Pour que lintgrale de Maupertuis prise sur
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toutes les
priodes approches ~ soit un multiple entier de li, ilfaut que chacun des intgrales relatives chaque variable et prise sur la priode correspondante soit gale un nombre entier de quanta ; cest-bien de cette faon que Sommerfeld crit ses conditions de quanta )).CHAPITRE IV
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Quantification des
mouvements simultans
de deux centresI.
lectriques.PAR
-
DIFFICULTS SOULEVES
CE
PROBLMEconstamment
Dans les
chapitres prcdents,
nous avons
envisag claire quand il sagit lectron) loign de toutun morceau
isol dun corpusculeen
expression est lectrique (proton ouMais sidesle
Cette
autre corps lectris.
centres lectriss sont
interaction,
concept de morceau
isol nest
dnergie devient moinsen aucune
faon
prsent travail et qui la dynamique de la Relativit. Pour bien comprendre cette difficult, considrons un proton (noyau dhydrogne) de masse propre Mo et un lectron
clair. Il y a l une difficult qui propre la thorie contenue dans le nest pas lucide dans ltat actuel de
de
masse
propre
Si
ces
deux entits sont trs loi-
gnes lune de lautre de telle sorte que leur i nteraction soit ngligeable, le principe de linertie de lnergie sapplique sans difficults : le proton possde lnergie interne 1Yloc2 et llectron Lnergie totale est donc (11-Z~ + mo)c2. Mais si les deux centres sont assez voisins pour quil y ait lieu de tenir compte de leur nergie potentielle mutuelle - P(~ o), comment sexprimera lide dinertie de lnergie ? Lnergie totale tant videmment (1B10 + mo)c2 - P, peut-on admettre que le proton a toujours une masse propre -Mo et llectron
50
une masse
Doit-on au contraire partager lnergie propre potentielle entre les deux constituants du systme, attribuer llectronmasse une masse
propre n2o
-ce
et
au
proton
une
propre
Mo - (
-
~
P ~ c En
cas,
quelle est la valeurde
de
a
et comment cette
quantit dpend-t-elle
Mo
et de
mo ?on
Dans les thories de latome de Bohr et
Sommerfeld,
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admet que llectron a toujours la masse propre mo quelle que soit sa position dans le champ lectrostatique du noyau.
Lnergie potentielle tant toujours beaucoup plus petite que lnergie interne moc2, cette hypothse est peu prs exacte, mais rien ne dit quelle soit rigoureuse. On peut facilement calculer lordre de grandeur de la correction maxima (cor) quil faudrait apporter la valeur de la respondant constante de Rydberg pour les diffrents termes de la srie de Balmer si lon adoptait lhypothse inverse. On trouve Cette correction serait donc beaucoup plus petite que la diffrence entre les constantes de Rydberg pour lhydiffrence dont 31. Bohr a drogne et pour lhlium remarquablement rendu compte par la considration de lentranement du noyau. Cependant, tant donne lextrme prcision des mesures spectroscopiques, il est peut-tre permis de penser que la variation de la constante de Rydbergn.. -
~~ =
2 000 i
due la variation de la masse propre de llect.ron en fonction de son nergie potentielle pourrait tre mise en vidence si elle existe.II.-
.
LENTRAINEMENT
DU NOYAU
DANS
LATOME DHYDROGENE
Une question troitement lie la prcdente est celle de la mthode employer pour appliquer les conditions de quanta un ensemble de centres lectriques en mouvement relatif. Le cas le plus simple est celui du mouvement de llectron dans latome dhydrogne quand on tient compte
51
desce
dplacements simultans du noyau. M. Bohr a pu traiter problme en sappuyant sur le thorme suivant de Mcanique Rationnelle : Si lon rapporte le mouvement deaxes de directions fixes lis au noyau, ce mout le mme que si ces axes taient galilens et si
llectron desvement est
llectronDans le
possdaitsystme
une masse
~~o=
m "2"~ o -~-
."
o
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daxes li au noyau, le champ lectrostatique agissant sur llectron peut tre considr comme constant en tout point de lespace et lon est ainsi ramen au problme sans mouvement du noyau grce la substitu-
Fi g. 4.tion de la masse fictive u.o la masse relle Au chaII du prsent travail, nous avons tabli un parallpitre lisme gnral entre les grandeurs fondamentales de la Dynamique et celles de la thorie des Ondes; le thorme nonc plus haut dtermine donc quelles valeurs il faut attribuer la frquence de londe de phase lectronique et sa vitesse dans le systme li au noyau, systme qui nest pas galilen. Grce cet artifice, les conditions quantiques de stabilit peuvent tre considres dans ce cas aussi comme pouvant sinterprter par la rsonance de londe de phase. Nous allons prciser en nous attachant au cas o noyau et lectron dcrivent des orbites circulaires autour de leur centre de gravit commun. Le plan de ces orbites sera pris comme plan des coordonnes dindices [ et 2 dans les deux systmes. Les coordonnes despace dans le systme galilen
52
li
lies
gravit seront cix2 et x3, celles du systme noyau seront yiy2 et y3. Enfin on aura x~ r~* ct. Appelons oj la vitesse de rotation de la droite NE autour du point G.au
centre de
au
-
=
Posons par dfinition: ~ .
Les formules
permettant de passer dun des systmes daxeso~t
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lautre sont les suivantes :
yi
=
Xi -~- Ren
cos
~2 - x2 +
R sin ~~t
y3 ~
x3
J~
-
x~.
On
dduit :
Les composantes du vecteur nies par les relations :
Impulsion
dunivers sont dfi-
On trouve facilement :
La rsonance de londe de
phase sexprime daprs
les
ides
gnrales du chapitre
Il par la relation :
)1lintgrale tantR +r
+
1
= n
(fi entier)
tendue la trajectoire circulaire de rayon dcrite par llectron autour du noyau.
53
Comme lon
a :
il vient:
en
dsignant
par
v
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axes y et par dl llment dev =
la vitesse de llectron par rapport aux longueur de sa trajectoire,>
--~-
j.~
_ ~l
Finalement la conaition de rsonance devient :,
,,"ou,en
~ m.~23~ w(R + r) ~ ~ ~~~R U , a ~: (R + 1)i-
==
nic
devant
supposant lunit,
avec
la
mcanique classique ngligeable+ r)~=
nh.
Cest bien ta formule de Bohr qui se dduit du thorme nonc plus haut et qui peut donc ici encore tre regarde comme une condition de rsonance de Inonde lectronique crite dans le systme li au noyau de latome.lit.-
LESce
DEUX ONDES DE PHASE DU NOYAU ET DE
LELECTRON
qui prcde, lintroduction daxes lis au noyau permis en quelque sorte dliminer le mouvement de celui-ci et de considrer le dplacement de llectron dans un champ lectrostatique constant ; nous avons t ainsi ramens au problme trait dans le chapitre II. Mais, si nous passons dautres axes lis par exemple au centre de gravit, le noyau et llectron dcriront tous deuxDansnous a
54
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fermes et les ides qui nous ont guid ,jusncessairement nous amener concevoir lexistence de deux ondes de phase : celle de llect.ron et celle du noyau ; il nous faut examiner comment doivent sexprimer les conditions de rsonance de ces deux ondes et pourquoi elles sont compatibles. Considrons dabord londe de phase de llectron. Dans le systme li au noyau, la condition de rsonance pour cette onde est ::
des
trajectoires quici doivent
long du cercle de relative du mobile et trajectoire rayon de son onde. Si nous passons aux axes lis au point G, la trajectoire relative devient un cercle de centre G et de rayon r ; le rayon de londe de phase passant par E est chaque instant le cercle de centre N et de rayon R + r, mais ce cercle est mobile car son centre tourne dun mouvement uniforme autour de lorigine des coordonnes. La condition de rsonance de londe lectronique un instant donn ne se trouve pas modifie ; elle scrit toujours :terr2psr
lintgrale tant prise
constant le
centre N et de rayon R +
2 r:
+ r)~
~.
nh.
Passons londe du noyau. Dans tout ce qui prcde, noyau lectron jouent un rle parfaitement symtrique et lOTi doit obtenir la condition de rsonance en intervertissant et R et r. On retombe donc sur la mme formule. En rsum on voit que la condition de Bohr peut sinterprter comme lexpression de la rsonance de chacune des ondes en prsence. Les conditions de stabilit pour les mouvements du noyau et de llectron considrs isolment sontet
compatibles
parce queUes sont identiques. Il est instructif de tracer dans le systme daxes li
au
55
gravit les rayons linstant t des deux ondes de phase (trait plein) et les trajectoires dcrites au cours du temps par les deux mobiles (trait pointill). On parvient alors trs bien se reprsenter comment chaque mobile dcrit sa trajectoire avec une vitesse qui il tout instant est tangente au rayon de londe de phase.
centre de
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Fig.
5.
Insistons sur un dernier point. Les rayons de londe linstant t sont les enveloppes de la vitesse de propagation, mais ces rayons ne sont pas les trajectoires de lnergie, ils leur sont seulement tangents en chaque point. Ceci rappelle des conclusions connues de lhydrodynamique o les lignesde courant, enveloppes des vitesses, ne sont les trajectoires des particules fluides que si leur forme est invariable, autrement dit si le mouvement est permanent.
56
CHAPITRE V
Les
Quanta de lumire (1).-
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I.
LATOME
DE
LUMIRE
ment de la
lavons dit dans lintroduction, le dveloppephysique des radiations se fait depuis plusieurs annes dans le sens dun retour au moins partiel la thorie corpusculaire de la lumire. Une tentative faite par nous pour obtenir une thorie atomique du rayonnement noir publie par le Journal de Physique en novembre 1922 sous le titre Quanta de lumire et rayonnement noir )) et dont les principaux rsultats seront donns au chapitre VII, nous avait confirm dans lide de lexistence relle de latome de lumire. Les ides exposes au chapitre premier et dont la dduction des conditions de stabilit dans latome de Bohr au chapitre III semblent apporter une si intressante confirmation, paraissent nous faire faire un petit pas vers la synthse des conceptions de Newton et de Fresnel. Sans nous dissimuler les difficults souleves par une semblable hardiesse, nous allons essayer de prciser comment on peut actuellement se reprsenter latome de lumire. Nous le concevons de la faon suivante : pour un observateur quilui est li, il apparat comme une petite rgion de lespace autour de laquelle lnergie est trs fortement condense et forme un ensemble indivisible. Cette agglomration dnergie ayant pour valeur totale (mesure parCommenous
(1) Voir A. EINSTEIN, Zeitsch.,o, i 85 ( I gog) .
Ajin. d
Ph ys.,
~~,
132
(IgOJ);; Phys.
57
lobservateur li), il faut, daprs le principe de linertie de lnergie, lui attribuer une masse propre :
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Cette dfinition est entirement analogue celle quon peut donner de llectron. Il subsiste cependant une diffrence essentielle de structure entre llectron et latome de lumire. Tandis que llectron doit tre jusqu prsent considr comme dou dune symtrie sphrique, latome de lumire doit possder un axe de symtrie correspondant la polarisation. Nous nous reprsenterons donc le quantum de lumire comme possdant la mme symtrie quun doublet de la thorie lectromagntique. Cette reprsentation est toute provisoire et on ne pourra, sil y a lieu, prciser avec quelque chance dexactitude la constitution de lunit lumineuse quaprs avoir fait subir llectromagntisme de profondes modifications et cette 0153uvre nest pas accomplie. Conformment nos ides gnrales, nous supposerons quil existe dans la constitution mme du quantum de lumire un phnomne priodique dont la frquence propre 10 est donne par la relation :
Londe de
phase correspondantvitesse
au
mouvement
de
ce
quan-
tum avec la
~c
aura
pouri
frquence :.
" A ~/,[et
- fi
il est tout indiqu de supposer que cette onde est identique celle des thories ondulatoires ou plus exactement que la rpartition conue la faon classique des ondes dans lespace est une sorte de moyenne dans le temps de la r.partition relle des ondes de phase accompagnant les atomes de lumire.
58
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que lnergie lumineuse se vitesse indiscernahle de la valeur limite c. La vitesse c tant une vitesse que lnergie de peut jamais atteindre en raison mme de la loi de variation de la masse avec la vitesse, nous sommes tout naturellement amen