tema 3.- conducción estacionaria unidimensional

Tema 3: Conducción estacionaria unidimens. (I). Rafael Royo, José Miguel Corberán. Curso 2000-20001

Diapositiva 1

JM Corberán, R Royo (UPV) 1

Tema 3: Conducción estacionaria unidimensional

CONDUCCIÓNESTACIONARIA

UNIDIMENSIONAL(I)APLICACIÓN A PAREDES PLANAS Y

CONDUCTOS


Diapositiva 2



ÍNDICE1. PARTICULARIZACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL2. PAREDES PLANAS MULTICAPA

2.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONTACTO

2.2. ANÁLISIS DEL MURO MULTICAPA

2.3.COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR

3. CONDUCTOS MULTICAPA

3.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN.

3.2. ANÁLISIS DEL CONDUCTO MULTICAPA.

3.3. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN

3.4. RADIO CRÍTICO DE AISLAMIENTO

4. MODELIZACIÓN MEDIANTE ANALOGÍA ELÉCTRICA

5. ESTUDIO DE MUROS COMPUESTOS MEDIANTE LA TEORÍAUNIDIMENSIONAL. LIMITACIONES DEL MÉTODO.


Diapositiva 3



1. PARTICULARIZACIÓN DE LA ECUACIÓN GENERAL

( )tTCgTk

∂∂

ρ ⋅⋅=+∇⋅∇

( ) 00 =+∇⋅∇⇒

= gTk

tT

∂∂

0=+

⋅ g

dxdT

kdxd

•Ecuación general de la conducción del calor

•Régimen permanente:

•Unidimensional (cartesianas):


Diapositiva 4



2. PAREDES PLANAS MULTICAPA.PARED PLANA CON Tas DE CONTORNO CONOCIDAS

0=

⋅

dxdTk

dxd

02

2

=dx

Td

Supongamos g=0Þ

k=cteÞ

====

=

22

11

2

2

0

xxenTTxxenTT

dxTd

( )12

1121 xx

xxTTTT

−−

⋅−+=•Campo de temperaturas

Si g es nula y k constante, la distribución de temperaturas através de una pared plana es función lineal.

•Aplicando la ley de Fourier

( ) ( )21

12

12 )( TTxkA

xxTTkA

dxdTkAqAQ −⋅

∆⋅

=−−

⋅⋅−=⋅⋅−=⋅=

∆x

x1

x2

T1

T2


Diapositiva 5



RV

I∆

=

kAxTT

Q

⋅∆−

= 21

2.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN. RESISTENCIATÉRMICA DE CONTACTO

Analogía eléctrica a partir de la ley de Ohm:

•El calor transmitido análogo a una intensidad (Q@@I).

•La diferencia de temperaturas análogo a una diferencia depotenciales (T1-T2 @@DDV).

•De esta manera el término análogo a una resistenciaeléctrica R.

•Resistencia térmica de conducción�

kAx⋅

∆

)/( WKkA

xRcon ⋅

∆=

( )conR

TTQ 21 −

=

RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN


Diapositiva 6



( )tc

BLAL TTAQ

ℜ−

=

•En la zona de unión entre capas, debido a lasirregularidades superficiales el contacto no esperfecto, y el calor se transmite por radiación,conducción y convección.

•Se asocia una resistividad térmica de contacto querelaciona el calor transmitido en la interfase entredos materiales con la variación de temperatura através de la misma

RESISTENCIA TÉRMICA DE CONTACTO

RESISTIVIDAD TÉRMICA DE CONTACTO

T

X

TAL

TBL

A B


Diapositiva 7



• La resistividad térmica de contacto (K m2/W) esanáloga al término de la holgura (aire + zonas decontacto).

• Resistencia térmica de contacto de una superficie A es:

• depende de:•Rugosidad superficial.•Presión contacto

• debe considerarse sólo en la separación de capas demateriales de:

•k elevada (metales).•Espesores pequeños.

tcℜ

kx∆

AR tctc /ℜ=tcℜ

tcℜ


Diapositiva 8



2.2. ANÁLISIS DEL MURO MULTICAPA.

Ta ,Tb ⇒Tas ambiente interno yexterno.T1 ,T4 ⇒ Tas ambos lados delmuro.Td ,Td’⇒ Tas ambos lados de lasdistintas capas.

( ) ( ) ( ) ( ) =−∆

=ℜ

−=−∆

=−==′

3'232

3'2

'22

'2221

12

1211 TT

xkTTTT

xkTThcte

AQ

aa

( ))(... 44

'33

'33bb TTh

TT−==

ℜ−

=

El flujo de calor a través de cada capa se mantiene constante:

T1 T2 T2´ T3 T3´ Td-1 Td-1´ T4

Ta

Ta Tb

T1

T2T2´

T3

T3´ Td-1Td-1´ T4 Tb

CONVECCIÓN CONVECCIÓNCONDUCCIÓN


Diapositiva 9



11

1

aa hA

QTT ⋅=−

12

1221 k

xAQ

TT∆

⋅=−'22'22 ℜ⋅=−

AQ

TT

3'2

3'23'2 k

xAQ

TT∆

⋅=− '33'33 ℜ⋅=−AQ

TTb

b hAQ

TT4

4

1⋅=−

( )

++ℜ+

∆+ℜ+

∆+

−=

ba

ba

hkx

kx

h

TTAQ

4'33

3'2

3'2'22

12

12

1

11Κ

( )

⋅

++ℜ

+∆

+ℜ

+⋅

∆+

⋅

−=

ba

ba

hAAkx

AkAx

hA

TTQ

4

'33

3'2

3'2'22

12

12

1

11Κ

∑−

=i

ba

RTT

Q)(

11

1

aa hA

R⋅

=1,

1,1,

+

++ ⋅

∆=

ii

iiii kA

xR

AR ii

ℜ=′,donde:

•Sumando estasexpresiones:


Diapositiva 10



2.3. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR

∑−

= +

+ +∆

+=

1

1 1,

1,

1

11

1n

i nbii

ii

a hkx

h

U

( )ba TTUAQ −⋅=

•Se define:

•De esta forma:


Diapositiva 11



0=∆⋅+ Tkg

0=∆T

01

2

2

=⋅+drdT

rdrTd

0=

⋅

drdT

rdrd

3. CONDUCTOS

•Conducción de calor en cuerpos con simetría axial.

•Suponemos que no hay generación de calor, y la conductividades constante:

Desarrollando el Laplaciano en coordenadas cilíndricas queda:

T=T1 en r=r1

T=T2 en r=r2

r1

r2


Diapositiva 12



12.5

17.5

22.5

0 5 10 r

TT1

T2

r1 r2

⇒⋅=⇒=⋅r

drCdTCdrdTr 11 21 ln CrCT +⋅=

( ) ( )( )12

1121 ln

ln

rrrr

TTTT ⋅−+=

•Si g se anula y k se considera constante, la distribución detemperaturas a través de la pared cilíndrica es una funciónlogarítmica con el radio

• Se calculará el campo de temperaturas T=T(r)


Diapositiva 13



Aplicando la ley de Fourier rdTdkTkrq ⋅−=∇⋅−=)(

( )( ) rrr

TTdrdT 1

ln 12

12 ⋅−

=

( )( )

( )( ) r

krr

TTrLrk

rrTT

rAdrdT

krArArqQ ⋅−⋅

=⋅−

⋅−=⋅⋅−=⋅=12

21

12

12

ln

2

ln)()()()(

π

( )( )

kLrr

TTQ

π2

ln 12

21 −=


Diapositiva 14



3.1. RESISTENCIA TÉRMICA DE CONDUCCIÓN

conRTQ

RVI ∆

=⇒

∆

=

( )kLrr

Rcon π2ln 12=

•Resistencia térmica de conducción de una capa cilíndrica Rcon

Analogía eléctrica:


Diapositiva 15



3.2. ANÁLISIS CONDUCTO MULTICAPA

cterA

Q ≠)(

( ) ( )( )

( ) ( )( )

( )

b

b

a

a

hLr

TT

kLrrTT

Lr

TT

kLrr

TT

Lhr

TTQ

33

3

3'2

'23

3'2

2

'22

'22

12

12

21

11

1

2

1

2

ln

22

ln

2

1

πππππ

−=

−=

ℜ−

=−

=−

=

( )( ) ( )

⋅

++ℜ

++⋅

⋅

−=

333'2

'23

2

'22

12

12

11

1lnln12

1rhk

rrrk

rrrhL

TTQ

ba

ba

π

En estacionario Q=cte, pero para un cilindro

: área aconsiderar es la lateral delcilindro, la cual depende delradio

r1

r2

r3

TaT1

Tb


Diapositiva 16



3.3. COEFICIENTE GLOBAL DE TRANSMISIÓN DE CALOR (U)

( )

⋅++

⋅

=

∑−

= +

+

33

1

1 1,

1

11

,1ln1

1

rhkrr

rhr

U

b

n

i ii

ii

ai

icilindro

( )baicilindroi TTULrQ −⋅⋅⋅⋅⋅= ,2 π

ref

baArefbaArefref A

TTQUTTUAQ

)/()(

−=⇒−⋅⋅=

Se define Ucilindro respecto al área correspondiente a un radiocualquiera ri

De esta forma:

En general:


Diapositiva 17



3.4. RADIO CRÍTICO DE AISLAMIENTO

•Al añadir capas de material sobre una pared plana, se incrementa la resistenciatérmica por lo que el flujo de calor siempre se reduce.

•En conductos, conforme se añaden capas, aumenta la resistencia térmica perotambién el área de transmisión de calor: tendencias contrapuestas sobre lamagnitud de calor conducido, por lo que debe estudiarse el aislamiento adecuadoen cada caso.

Radio crítico: valor para el cual el calor transmitido alcanza unmáximo. Normalmente es muy pequeño ( del orden de milímetros)

0

0 .05

0.1

0 .15

0.2

0 .25

0.3

0 .35

0.4

0 0 .02 0 .04 0 .06 0 .08 0.1 0 .12 0 .14 0 .16 0 .18 0.2

rad io (m)

Ca

lor

(W)

[ ]mrh

kcrit

AIS 03.001.02010

3.02.0÷⇒

÷≈÷=

Para cables eléctricos por ejemplo:


Diapositiva 18



( )( )

⋅++

⋅

−⋅⋅⋅=

∑−

= +

+

nnb

n

i ii

ii

a

ba

rhkrr

rh

TTLQ

1ln1

21

1 1,

1

11

π

( )

( )0

1ln1

112

21

1 1,

1

11

2

,,1=

⋅++

⋅

⋅−

⋅⋅−⋅−

=

∑−

= +

+

−

n

i nnbii

ii

a

nbnnnnba

n

rhkrr

rh

rhkrTTL

rQ

π

∂∂

011

2,,1

=⋅

−⋅ − nbnnnn rhkr bn

nnCRITICOn h

kr

,

,1)( −=

Para hallar el máximo se deriva respecto al radio que se añade, rny se iguala a 0:

•Si rd-1<rcrit al añadir espesor Q ↑↑


Diapositiva 19



4.MODELIZACIÓN MEDIANTE ANALOGÍA ELÉCTRICADEL CALOR TRANSMITIDO POR RADIACIÓN

• Dos posibilidades:– Definición de resistencia equivalente a la

radiación.

– Utilización del coeficiente de convecciónequivalente a la radiación


Diapositiva 20



DEFINICIÓN DE RESISTENCIA EQUIVALENTE A LA RADIACIÓN.

)( aireconv TTAhQ −⋅⋅= )( 44recrad TTAQ −⋅⋅⋅= σε

)(

)()(44

rec

rec

rad

recrad

TTATT

QTTR

−⋅⋅⋅−=−=

σε

)()()()()()( 22222244recrecrecrecrecrec TTTTTTTTTTTT +⋅+⋅−=+⋅−=−

322 4

1

)()(

1

recrecrecrad

TATTTTAR

⋅⋅⋅⋅≅

+⋅+⋅⋅⋅=

σεσεSi T y Trec son similares

Taire

Si Taire y Trec son próximas:

Trec

Taire

Rrad

Rconv


Diapositiva 21



COEFICIENTE DE CONVECCIÓN EQUIVALENTE A LA RADIACIÓN

)()( 44recaire TTATTAhQ −⋅⋅⋅+−⋅⋅= σε

)()( 44

rec

recr TT

TTh−

−⋅⋅= σε

)()()( recrrairerecraire ThThThThATTAhTTAhQ ⋅−⋅+⋅−⋅⋅=−⋅⋅+−⋅⋅=

)T(T)h(hAQ

hhThTh

T

eqr

r

recraireeq

−⋅+⋅=+

⋅+⋅=

+⋅+⋅−⋅+⋅=⋅+⋅−⋅+⋅= ))(()())()((

r

recrairerrecrairer hh

ThThThhAThThThhAQ


Diapositiva 22



5. ESTUDIO DE MUROS COMPUESTOS MEDIANTE LATEORÍA 1D. LIMITACIONES DEL MÉTODO

Convección hi Convección he

A1, k1

A2, k2

A3=A1+A2

k3

x2=x1 x3

x1

22

2

kAx⋅

Ti

ii Ah ⋅1

ee Ah ⋅1

11

1

kAx⋅

33

3

kAx⋅

Te

MUY CONDUCTORES


Diapositiva 23



POCO CONDUCTORES

Convección hi Convección he

A1, k1

A2, k2

A3=A1+A2

k3

x2=x1 x3

x1

1

1Ahi ⋅

2

1Ahi ⋅

11

1

kAx⋅

22

2

kAx⋅

31

3

kAx⋅

32

3

kAx⋅

1

1Ahe ⋅

2

1Ahe ⋅

Tsi1

Tsi2

Tse1

Tse2

T13

T23

Ti

Ti

Te

Te

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