turunan (1)

Download turunan (1)

Post on 05-Aug-2015

166 views

Category:

Documents

21 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

8 Bab193Turunan Fungsi dan AplikasinyaSumber: www.duniacyber.comPembahasan limitfungsiyangtelah AndapelajaridiBab 7 dapat dikembangkan pada pembahasan turunan fungsi mkarenadenganmengetahuiturunanfungsi,Andadapat mempelajarisifat-sifatfungsi.Sifat-sifatfungsitersebut misalnya,kemonotonanfungsi,ekstrimfungsi,kecukupanfungsi, dan titik balik fungsi. Di samping itu, Anda juga dapat mengaitkanturunanfungsidengankecepatansesaatsertadapat menggunakan turunan fungsi untuk mempelajari aplikasipermasalahan sederhana, seperti permasalahan berikut.Banyak minyak pelumas (selama satu tahun) yang digunakanoleh suatu kendaraan yang bergerak dengan kecepatan v km/jam vmemenuhipersamaanQ x ( ) v = x1452 2 x 02liter.Dengan memahamikonsepturunan, Andadapatmenentukanjumlah maksimum minyak pelumas yang digunakan dalam 4 tahun.A. Konsep TurunanB. Menentukan Turunan FungsiC. Persamaan GarisSinggung pada KurvaD. Fungsi Naik dan Fungsi TurunE. Maksimum dan Minimum FungsiF. Turunan KeduaG. Nilai StasionerH. Menggambar Grafk Fungsi AljabarSetelahmempelajaribabini,Andaharusmampumenggunakan konsep, sifat, dan aturan dalam perhitungan turunan fungsi; meng-gunakanturunanuntukmenentukankarakteristiksuatufungsi danmemecahkanmasalah;merancangmodelmatematikayang berkaitandenganekstrimfungsi,menyelesaikanmodelnya,dan menafsirkan hasil yang diperoleh.194 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamTes Kompetensi AwalSebelum mempelajari bab ini, kerjakanlah soal-soal berikut.1.Sebuah garis melalui titik (1, 5) dan (7, 3). Tentukan gradien garis tersebut. Jelaskan pula cara mencarinya.2.sin ( ) = ....3.cos ( + ) = ....4.tan ( + ) = ....5.cos 2 = ....6.f(x)=2x3+3x,tentukanf(x+1)dan f (a + b).7. = ....8.Tentukangradiengarissinggungkurva di titik Diagram AlurUntuk mempermudah Anda dalam mempelajari bab ini, pelajarilah diagram alur yang disajikan sebagai berikut.Limit TurunanmenghasilkanteorirumusLaju PerubahanFungsiIntervalFungsi Naik/TurunmenentukanGradienTitik BalikMaks./Min.danTitik Belokmenentukan menentukan menentukanAplikasilim lim'x a x afgf 'g'x ag( ) x( ) xx=( ) x( ) xlim'lim''x a x af 'gf ''g''x'ag'( ) x( ) x ( ) x=( ) x( ) xmenyelesaikanmasalahlim)( )x af x (g x (=00195 Turunan Fungsi dan AplikasinyaA. Konsep TurunanUntukmemahamikonsepdasarturunan,tinjaulah duamasalahyangkelihatannyaberbeda.Masalahpertama adalahmasalahgarissinggung,sedangkanmasalahkeduaadalah masalah kecepatan sesaat. Satu dari kedua masalah itu menyangkut geometri dan lainnya yang menyangkut mekanikaterlihat seperti tidak ada hubungan. Sebenarnya, kedua masalah itu merupakan kembaran yang identik. Agar lebih jelasnya,pelajari uraian berikut.1.Garis SinggungAmati Gambar 8.1. Misalkan A adalah suatu titik tetappada grak y = f( ff x (( ) dan Badalah sebuah titik berdekatan yang dapat dipindah-pindahkan sepanjang grak y =f( ff x (( ). Misalkan, titik Aberkoordinat(a,f( ff a))makatitik Bberkoordinat (a + x, f( ff a + x)). Garis yang melalui A dan B mempunyaigradien (kemiringan)f fx( ) a x ^xx ( ) a^xx. Garis ini memotong grak di dua titik A dan B yang berbeda.Jika titik B bergerak sepanjang kurva y = f( ff x) mendekatititik A maka nilai x semakin kecil. Jika nilai x x mendekati xnolmakatitikBakanberimpitdengantitik A. Akibatnya,garis singgung (jika tidak tegak lurus pada sumbu-x) adalahgaris yang melalui A(a, f( ff a)) dengan gradienmf fxABx=( ) a x ^xx ( ) a^xx^ xxlim0...(1)Pertanyaan: Mengapa persamaan garis singgung tidak boleh tegak lurus sumbu-x?Tentukan gradien garis singgung pada kurvaa. f( ff x) = x2di titik dengan absis 2b. f( ff x) = x3 di titik dengan absis 3Jawab:a. mf fx xx=( ) x ^xx ( )^xx( ) x ^xx^xx^ xx ^lim lf f ( ) ( )= im0 0 xx ^x^ xx22f ) xxx ( 2 ) x ^xx 2==^^^= ^^ ^ lim limx x^^ ^ ^^x ^ ^ ^^x ^^^x02044 4 ^= ^^Jadi,gradiengarissinggungkurvaf( ff x)=x2dititikdenganabsis x = 2 adalah x m = 4.Contoh 8.1Gambar 8.1Gambar 8.2xyf(a +)f(a)y = f(x)a a +OA(a, f(a))B(a +, f(a +))xyOy = f(x)B(a +, f(a +))f(a) A(a, f(a))a a + f (a +)196 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alamb. mf fx xx xx=( ) x ^x ( )^xxx=( ) x ^x^xx^ xx ^lim lim0 0 xx ^x^ xx33f ) xxx ( 3 ) x ^xx 3==^^^=^^ ^ limlimx ^^x ^^x ^x ^^^ ^03 2 3 3033 3 3 ^^ x ^ ^ ^^227 9( ) ^x ^^ (( ( ) ^^=( )^( ) ^ ^^=^ ^2 3( ) ^0^^x ^^^^^^ x ^^x ^^x ^^limlimxx ^^^^ ^^0227 2 x x ^xx ^xx =27Jadi,gradiengarissinggungkurva f( ff x)= x3dititikdenganabsis x = 3 adalah x m = 27.2. Kecepatan SesaatMisalkan,fungsi f( ff x)=15x2+20x menyatakanjarak x(dalamkm)yangditempuhsebuahmobilsetelah xjam perjalanan selama selang waktu 0 x 2. Kecepatan rata- xrata mobil itu selama perjalanannya adalah^^=( ) ( )=

( )

lllllll ( )f ^^x ^^f f ( ) ( f )2 0 15 2) 0 2152220 025020

lllllll= km/jamSekarang, coba amati kecepatan rata-rata mobil dalam selang c x x d. Untuk keperluan ini, buatlah Tabel 8.1.Amati tabel tersebut. Nilai ^^f ^x ^^mendekat ke bilangan 50jikalebarselangwaktunyadibuatsemakinmengecil(xmendekatinol).Nilai50tersebutdisebut kecepatan(sesaat) pada x = 1. xSekarang,dapatdipahamibahwakecepatansesaat diperoleh melalui proses limit terhadap kecepatan rata-rata dengan cara membuat nilai-nilai x mendekat ke-1 atau x x dekat ke nol. Dalam lambang matematika kecepatan sesaat pada x = 1 ditulis xlim lim^ ^^^=( ) ^ ( )^=( ) ^x x ^ ^^f ^x ^^^f ( ^ ^ fx ^^^^0 0 ^ ^x ^^^^2( ) ^ ^ f15 ( ) ^( ) ^=^^^^ 20 ) ^ (

5002^^x ^^x ^ ^ ^^x ^^x ^^lim ==50Jadi, kecepatan mobil pada saat x = 1 adalah 50 km/jam. xTabel 8.1Selang Waktu0 10,8 10,9 10,99 10,999 10,9999 11 1,00011 1,0011 1,011 1,51 235,000047,000048,500049,850049,985049,998550,001550,015050,150057,500065,0000^^f ^x ^^197 Turunan Fungsi dan AplikasinyaDariuraiantersebut,dapatkahAndamenyatakankecepatan sesaat v di x = x a? Cobalah nyatakan dengan kata-kata Anda sendiri.Uraiantersebutmenggambarkandenisikecepatansesaat v di x = a, yaituv vf fx va x $ a$$l xx $l xlim lim0 0 $l xxrata-rata...(2)Sekarang, tentunya Anda dapat melihat mengapa Andamenyebutkemiringandarigarissinggungdankecepatansesaatadalahkembaranidentik.Amatilahkeduarumus tersebut,yaiturumus(1)dan(2).Keduarumustersebut menggunakannamaberlainanuntukkonsepyangsama, tetapi dalam situasi yang berlainan.Sebuah benda bergerak sepanjang garis lurus sehingga kedudukan-nya setelah x detik memenuhi persamaan f (x) = 6x3 + x2 , dengan f(x) dinyatakan dalam meter. a.Tentukankecepatanrata-ratabendadalamselangwaktu 2 x 3.b.Berapa kecepatan sesaat benda pada x = 2 detik?Jawab:a. f x x f xx^ ( ) ( )^= ( )( )=6 3 3 6 2 23 21193 2 3 3Jadi, kecepatan rata-ratanya adalah 119 m/s.b. limlim^ ^ ^ ( ) ( )^=^ ( ) ^xxf x fxx x00322 26 2 2(( ) ( )( )^= ^^ ^( )^ 6 2 26 8 12 63 202 3xx x xxlim ^^( )^= ^ ^ =^ 4 4 526 37 76 76202x xxx xxlimJadi, kecepatan pada saat x = 2 atau pada detik kedua adalah 76 meter/detik.Contoh 8.2Sumber: Dokumentasi Penerbit Gambar 8.3Jarak yang ditempuh mobil ini mengikuti fungsif(x) = 15x2 + 20x. Berapakah kecepatan rata-ratanya?198 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan AlamCoba Anda tunjukkanlimcos^^^=^^^^x ^^010.Tantanganuntuk Anda Anda3. Turunan Fungsi di x= x aJika fungsi y = f( ff x) terdenisi di sekitar x = x a maka lim lim^ ^^^=( ) ^ ( )^x x ^ ^^y ^^x ^^^f ( f ) ^^ x ^^0 0 ^ ^x ^^^^.Jikalim^ ^^x ^^y ^^x ^^0ada maka nilainya disebut turunan fungsi f( ff x (( )di x =x a. Turunan fungsi f ialah suatu fungsi juga, yaitu fungsi fturunan yang dilambangkan dengan f (x (( ). Untuk menyatakanturunan di x = x a dinyatakan dengan f (a). Jadi,ff fxfxxlim lim a a x $ a$$a $l xx l0fxx0$ lataufff fx ax aGunakankonseplimituntukmenyelesaikansoalberikutini.Jika f (x) = x2 x , tentukan f'(5).Jawab:ff fxffxx' lim' lim( ) a ( ) a( ) a x ^xx ( ) a^xx( )^ xx^ xx00( ) 5 ^^ ( )^=( )( ) ^ ( ) ^ ( )^ f ) ^^^ x ^^) ^ ( ^^x ^^) ^ ( ) ^^ ( 0lim^^=^^ ^^= ^^ ^ x ^^^^x x ^ ^ ^^ x ^^x ^^x ^^x x^^ ^ ^^x ^lim li0201010 1 9 =Contoh 8.3Tentukanlah f (x) fungsi-fungsi berikut ini.a. f( ff x) = x2+ xx b. f( ff x) = cos xJawab:a. f xfx( ) x = x( ) x( )( ) x x ^xx ( ) x x ^xx ^ xx20' l ( ) x = im( )x x2((^=^^ ^^= ^ =^ ^ x ^^x^^ x ^ ^ ^^x ^^^x ^^x ^^limli02022 1 ^ ^^ 2xx 1Contoh 8.4199 Turunan Fungsi dan AplikasinyaPanjang sebuah persegipanjang sama dengan tiga kali lebarnya.Tentukan laju perubahan luas terhadap lebar untuk lebar = 5 cm.Jawab:Misalkan, lebar = l cm maka panjang = p = 3 l = 3l dan luas =L =L p l = 3 l l.l = 3l 2.Jadi, L = Lf (l) = 3l2.Laju perubahan luas terhadap lebar l untuk l = 5 adalahl L(5).LLhx xh' lim lim, L 3 30 0hxh2( ) 5( ) h 5 h ( ) 5=( ) h 5 ^ xx ^xx553 753020 02hhh h 3x x 0h=( )25 102h h 10h=^ xx ^ xxlim limhhx= ( ) h ^ xxli03 ) h = 0Contoh 8.5b. f xfxxx( ) x =( ) x( ) x x ^x^xx=^ xx^cos' l ( ) x = imcos c ( ) x x ^xx oslim0xx ^^^^xxx^ xx( ) x x x x ^ xx ^xx^xx=00x x coslimcos xxxxx xxxxxlimsin s x incos l x im( ) x cos ^ xx^xx^xx^xx=^ xx^ xx00 0 001 cossin limsin ^^((((((\)

\\

^^((((^x ^^x ^^x ^^x ^^x\)

\\

))

= = cos i sin x xx 0 1sin x s in4.Mengenal Notasi LeibnitzAndatelahmempelajaribahwaturunanfungsif( ff x)dinotasikan dengan f '(x). Nilai x menyatakan perubahan xnilai x, yaitu x = x x2 x1. Adapun perubahan f( ff x + x) f( ff x)menyatakan perubahan nilai fungsi f( ff x) dinotasikan denganf .Selanjutnya,bentuklimittersebutdapatdituliskan ffmenjadi lim^ ^^x ^^f ^^x ^^0.Selain itu, terdapat notasi lain untuk menyatakan turunan fungsi, yaitudfdx. Diketahui fungsiy = f( ff x)....(1)Gottfried Wilhelm Leibnitz (16461716)Gottfried Wilhelm Leibnitzadalah orang jenius. Ia ahlidalam bidang hukum, agama,politik, sejarah, flsafat, danmatematika. Bersama Newtonmerumuskan pengertiandasar tentang kalkulusdiferensial. Leibnitz pundikenal karena menemukansuatu jenis mesin hitung.Sumber: Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1, 1990TokohMatematika 200 Mahir Mengembangkan Kemampuan Matematika untuk Kelas XI Program Ilmu Pengetahuan Alamsehingga turunan fungsi (1) dapat dituliskan menjadi dydx= y '