MATEMATIK TURUNAN

Download MATEMATIK TURUNAN

Post on 17-Jul-2015

2.684 views

Category:

Documents

1 download

Embed Size (px)

TRANSCRIPT

MATEMATIKA Turunan TURUNAN 1. INCREMENTS Pertambahan x dari suatu variable x adalah perubahan-perubahan pada x yaitu bertambah atau berkurang pada suatu harga x terhadap harga lain x = x 1 di dalam daerahnya. * x 1 = x o + x x = x 1 - x o = xo

x = x 1 x o disebut Perubahan Harga x * Jika x memberikan pertambahan sebesar x dari x = x o (dari x = x o ke x 1 = x o + x), maka fungsi y = f(x) memberikan suatu pertambahan sebesar y, dimana : y = y 1 - y o = f(x 1 ) f(x o ) = f(x o + x) f(x o ) y = f(x o + x) f(x o ) disebut perubahan harga y. * Perubahan Rata-rata harga fungsi pada interval antara x = x o ke x 1 = x o + x, di definisikan sbb :

y x

= f(x o + x) f(x o ) = Perubahan Harga y x Perubahan Harga x

MATEMATIKA Turunan Sb-y P1 y y 1 = f(x o + x) Po yo x=x o x = x1 x = x 1 x o Secara Geometri : y = m = tg = Kemiringan/Gradien grs P o P 1 x Contoh 1 : Jika y = 5x 2 1, dan x berubah dari 4 ke 4,5. Tentukan : a. Perubahan harga x. b. Perubahan harga y c. Perubahan rata-rata harga fungsi pada interval tsb. Jawab : a. x = x 1 x o = 4,5 4 = 0,5 b. y = f(x o + x) f(x o ) = f(4 + 0,5) f(4) = (5. 4,5 2 1) (5.4 2 1) = 100,25 79 = 21,25 c. y = 21,25 = 42,50 x 0,5 Soal : Jika s(t) adalah jarak pendekatan sebuah benda yang jatuh bebas merupakan fungsi waktu t (dalam detik), s = 4,9t 2 . Carilah : a. s/ t, jika t berubah dari t o ke t o + t. b. s/ t jika t berubah dari : 3 ke 3,5 x x 1 =x o +x Sb-x y y = f(x)

MATEMATIKA Turunan Catatan : Jika s adalah perpindahan benda dari waktu t = t o ke t o + t, maka s = Perpindahan = Kecepatan rata-rata dari benda pada selang waktu. t Waktu Jika x mendekati 0, maka : 3 ke 3,2 3 ke 3,1

Lim (y/ x) = Lim f(x o + x) f(x o ) = Perubahan sesaat dari y x 0 x 0 x pada x = x o Contoh 2 : Jika y = 5x 2 1, tentukan perubahan sesaat y pada x = 4. Jawab : Lim (y/ x) = Lim f(x o + x) f(x o ) x 0 x 0 x = Lim (5.(x o + x) 2 1) (5x o 2 1) x 0 x = Lim (5.(x o 2 +2x o x+ x 2 ) 1) (5x o 2 1) x 0 x 2 = Lim (5x o +10x o x+5 x 2 1) (5x o 2 1) x 0 x = Lim 10x o x+5 x 2 x 0 x = Lim 10x o +5 x x 0 = 10x o +5.0 = 10x o Pada x o = 4, maka Lim (y/ x) = 10. x o = 10 . 4 = 40 x 0

MATEMATIKA Turunan 2. DERIVATIVE DEFINISI : Turunan fungsi y = f(x) terhadap x adalah y = f (x), didefinisikan sbb: y = f (x) = Lim f(x + x) f(x) x 0 x Sehingga turunan fungsi y = f(x) terhadap x pada x = x o y = f (x o ) = Lim x 0 x = x o dan x = 2 Jawab : y = f (x o ) = Lim f(x o + x) f(x o ) x 0 x = Lim (5(x o + x) 2 1) - (5x o 2 -1) x 0 x = 10x o (dari contoh 2 di atas) Untuk x o = 2, maka y = f (x o ) = f (2) = 10.2 = 20 Notasi Turunan Turunan y = f (x) terhadap x dinotasikan dengan y' atau f '(x) . Notasi lain yang digunakan untuk menyatakan turunan y = f (x) terhadap x di antaranya dalah:dy d dy , f (x),Dxy,Dxf (x) . Notasi dx dx dx

f(x o + x) f(x o ) x

Contoh 3 : Jika y = 5x 2 1, tentukan turunan y terhadap x pada :

dikenal sebagai notasi Leibniz.

2.1. Rumus rumus Turunan Fungsi Aljabar dan Trigonometri Jika u, v dan w fungsi-fungsi dari x yang dapat diturunkan, maka : 1. Jika y = c, maka y = d (c) = 0, dengan c = konstanta dx 2. Jika y = x, maka y = d (x) = 1. dx 3. Jika y = u+v+, maka y = dy = du + dv + .. dx dx dx

MATEMATIKA Turunan 4. Jika y = cu, maka y = dy = c. du dx dx 5. Jika y = uv.w, maka y = dy = vw du + uwdv + uvdw dx dx dx dx 6. Jika y = u.v, maka y = dy = v. du + u.dv = vu + uv dx dx dx 7. Jika y = u/c, maka y = dy = 1 du , dengan c = konstanta dx c dx 8. Jika y = c/u, maka y = dy = c d(1/u) = - c 1 du , dg c = konstanta dx dx u2 dx 9. Jika y = u , maka y = dy = v. du - u.dv v dx dx dx v2 10. Jika y = u m , maka y = dy = m u m-1 du dx dx 11. Jika y = x m , maka y = dy = m x m-1 dx 12. Jika y = Sin u, maka y = dy = (Cos u ) du dx dx 13. Jika y = Cos u, maka y = dy = (Sin u ) du dx dx 2 14. Jika y = Tg u, maka y = dy = (Sec u ) du dx dx 15. Jika y = Cotg u, maka y = dy = (Cosec 2 u ) du dx dx 16. Jika y = Sec u, maka y = dy = (Sec u.Tg u ) du dx dx 17. Jika y = Cosec u, maka y = dy = ( Cosec u.Cotg u ) du dx dx Contoh 5. 1. Perhatikan cara penurunan berikut : a. Jika y = 5, maka y = 0 b. Jika y = x 5 , maka y = 5x 5-1 = 5x 4 c. Jika y = 5(x 2 1) 3 , maka : Misal u = x 2 1, maka du/dx = 2x y = 5u 3 ,maka y = 5.3u 3-1 du = 15u 2 du = 15(x 2 1) 2 .2x= 30x(x 2 -1) 2 dx dx d. Jika y = 3x 3 4x 2 + 7, maka y = 3.3x 2 4.2x + 0 = 9x 2 8x

MATEMATIKA Turunan e. Jika y = 5x + 1 ; misal : u = 5x + 1, maka du/dx = 5 x2 + 1 v = x 2 + 1 , maka dv/dx = 2x Sehingga : y = u , maka y = dy = v. du - u.dv v dx dx dx v2 = ( x 2 + 1).5 ( 5x + 1).2x (x 2 + 1) 2 = - 5x 2 2x + 5 f. Jika y = (4x 3 2)(4x+1) ; misal u = (4x 3 2), maka u = 12x v = 4x + 1, maka v = 4 Sehingga y = u.v y = vu + uv = (4x+1).12x + (4x 3 2).4 = 64x 3 + 12x 8 g. Jika y = 5/(x 2 -1) = 5(x 2 -1) -1 , maka y = 5(-1)(x 2 -1) -1-1 .2x = -10x(x 2 -1) -2 h. Jika y = (3x 4 2x+1) 3 , maka y = 3(3x 4 2x+1) 2 .(12x 3 -2)

i. Jika y = Cos 5x 2 , maka : misal u = 5x 2 du/dx= 10x, sehingga = 10x.Sin(5x 2 ) j. Jika y = tg(2x-1) 2 ; maka : Misal u=(2x-1) 2 , maka du/dx = 2(2x-1).2 = 4(2x-1). Sehingga : y = Tg u y = Sec 2 u(du/dx) = Sec 2 (2x-1) 2 . 4(2x-1) = 4(2x-1) Sec 2 (2x-1) 2 k. Jika y = Sec 3 (2x+1), maka y = 3Sec 2 (2x+1).Sec(2x+1).tg(2x+1).(2) = 6Sec 3 (2x+1).tg(2x+1) l. Jika u(0) = 4 ; u (0) = -1 ; v(0) = -3 ; dan v (0) = 5, tentukan : a. d(u.v) dx b. d (u/v) dx y = Cos u, maka y = Sin u(du/dx) = Sin(5x 2 ) .(10x)

MATEMATIKA Turunan Jawab : a. d(u.v) = vu + uv = (-3)(-1) + 4.5 = 23 dx b. d(u/v) dx = v. du - u.dv dx dx v2 2. Tentukan turunan fungsi berikut: a. b. c. d. e. f. Jawab a.f ( x) = sin(5x) f (x) = sin(x2 + 2x) f (x) = cos( 15x) f (x) = cos(2x3 x2 + 4x) f (x) = tan(2x)f (x) = ta x3 3x2) n(

= (-3)(-1) 4.5 = -17 (-3) 2 9

f ( x) = sin(5x) f '(x) = cos(5x) (5x)' = cos5x 5 = 5cos(5x) f '(x) = cos(x2 + 2x) ( x2 + 2x)' = cos(x2 + 2x) (2x + 2) = (2x + 2)cos(x2 + 2x) f (x) = cos( 15x) f '(x) = sin( 15x) ( 15x)' == sin( 15x) ( 15= 15sin( 15x) ) f (x) = cos(2x3 x2 + 4x) f '(x) = sin(2x3 x2 + 4x) (2x3 x2 + 4x)' = sin(2x3 x2 + 4x) (6x2 2x + 4) = (6x2 2x + 4)sin(2x3 x2 + 4x) f (x) = tan(2x) f '(x) = sec2(2x) (2x)' = sec2(2x) 2 = 2sec2(2x)

b. f (x) = sin(x2 + 2x)

c. d.

e.

f.

f ( x) = tan(x3 3x2 ) = sec2 (x3 3x2 ) (3x2 6x) = (3x2 6x)sec2 (x3 3x2 )

f '(x) = sec2 (x3 3x2 ) (x3 3x2 )'

MATEMATIKA Turunan Latihan : Tentukan turunan berikut : 1. y = x 5 + 5x 4 - 10x 2 + 6 3. y = 1 x2 + 4. x 2. y = 3x 1/3 -x 3/2 +2x -1/2 4. y = (1-5x) 3 6. y = (3+4x- x 2 ) 1/2 8. y = (x 2 +3) 4 (2x 2 -5) 3 10. y = x 3 -1 . 2x 3 +14

5. y = (3x x 3 + 1) 4 7. y = (x-1).(x 2 -2x+2) 9. y = 2x 3 + 2 x2 4 11. y = u 3 +4, dengan u = x 2 +2x 12. y = u ; u = v(3 2v) ; v = x 2 13. y = 4tg5x 14. y = 9Secx 15. y = Sinx Cosx + x 2 + 3 16. y = Cosx + x.Sin x + x 3 + 5 17. y = Cos(1 x) 2 18. y = Sin 3 (3x 2) 19. y = tgx.Sin2x 20. s = tg2 (1 Cot2 ) 21. I(t) = Cos(3t) 4 Cotg(4t + 3) .

2.2. Rumus rumus Turunan Fungsi Eksponen dan Logaritma Jika u, v dan w fungsi-fungsi dari x yang dapat diturunkan, maka : 1. Jika y = a log u, maka y = 1 ua

log e du dx

contoh : Jika y = 5 log (3x+2), maka y = 1 . 5 log e . 3 (3x+2) = 3 5 log e (3x+2) 2. Jika y = ln u, maka y = 1 u du dx

MATEMATIKA Turunan Contoh : Jika y = ln(3x 2 -4), maka y = 1 (6x) (3x 2 -4) = 6x . (3x 2 -4) 3. Jika y = a u , maka y = a u ln a du dx Contoh : y = 3 2x+2 , maka y = 3 (2x+2) .ln 3.(2) = 2. 3 (2x+2) .ln 3 4. Jika y = e u , maka y = e u du dx x 2 -1 Contoh : y = e Latihan 1. y = ln(4x -5) 2. y = ln(3x 2 +2) 3. y = ln(x 2 +x-1) 3 4. y = x.lnx - x 5. y = ln(secx + tgx) 6. y = e 3x 7. I(t) = e -(5t 4)-(3t 2 -5t)

x 2 -1 x 2 -1 , maka y = e .2x= 2xe

8. I(t) = 8e 9. y = e -3x .(Sin2x + Cos2x) 10. y = e (Sin 2x) 11. y = x 2 .e 4x 2.3. DALIL RANTAI 1. Misalkan u = f(y) dan y = g(x). Jika g mempunyai turunan di x dan f mempunyai turunan di y, maka turunan fungsi komposisi u=(fog) (x)=f(g(x)) ditentukan sebagai berikut : du/dx = (fog)(x)=f(g(x)).g(x) atau du = du . dx dy dy dx .

MATEMATIKA Turunan 2. Identik : Jika y = f(u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka : Contoh : 1. Jika u = 3y 3 , maka du = du . dx dy dy = 9y 2 dy dx dxdy dy du dv = dx du dv dx

2. Jika y = 4Sin2, maka dy = dy .d = 4Cos(2) .2 d dx d dx dx = 8Cos(2) d dx 3. Jika s 2 = y 2 + x 2 , tentukan turunan nya terhadap variabel t. Jawab : 2s ds = 2y.dy + 2x.dx dt dt dt Contoh Tentukan turunan fungsi berikut ini dengan menggunakan aturan rantai! a. y = (3x + 5)5) b. y = (2x4 + 3x3 4x2 + 13

c. y = 2x2 4x+ 1 d. y = sin(2x4 + 3x3) Jawab a. y = (3x + 5)5y = u5 dy = 5u4 du dy dy du = dx du dx = 5u4 3= 15u4 = 15(3x+ 5)4

dan u = 3x + 5

du =3 dx

) b. y = (2x4 + 3x3 4x2 + 13 y = u3 dy = 3u2 du du = 8x3 + 9x2 8x dx

u = 2x4 + 3x3 4x2 + 1

MATEMATIKA Turunandy dy du = dx du dx = 3u2 (8x3 + 9x2 8x) = (24x3 + 27x2 24x)u2 = (24x3 + 27x2 24x)(2x4 + 3x3 4x2 + 1 2 )

c. y = 2x2 4x+ 1dy 1 12 1 = 2u = du 2 u du u = 2x2 4x +1 = 4x 4 dx dy dy du = dx du dx 1 = (4x 4) 2 u 4(x 1 ) = 2 2 2x 4x + 1 2(x 1 ) = 2 2x 4x + 1 y= u = u 2 1

d. y = sin(2x4 + 3x3)y = sinu dy du = cosu dan u = 2x4 + 3x3 = 8x3 + 27x2 du dx dy dy du = dx du dx = sinu (8x3 + 27x2 ) = sin(2x4 + 3x3 )(8x3 + 27x2 )

Contoh Tentukan Jawab Misal v = x3 + 5 makau = sinv

dy dari dx

y = sin4 (x3 + 5)

dv = 3x2 dx

maka

du = cosv = cos(x3 + 5) dv

y = u4 maka

Sehingga Contoh

dy = 4u3 = 4sin3( x3 + 5) du dy dy du dv = . . = 12x2 sin3 (x3 + 5)cos(x3 +5) dx du dv dx

Jika diketahui f '(0) = 2, g(0) = 0 , g'(0) = 3 , tentukan (f og)'(0). Jawab

MATEMATIKA Turunan(f og)'(x) = f '[ g(x)] g'(x) (f og)