bab iv turunan a. pengertian turunan
TRANSCRIPT
29
BAB IV
TURUNAN
A. Pengertian Turunan
Turunan fungsi y = f(x) terhadap x dititik x = x1, didefinisikan sebagai
berikut:
limβπ₯β0
βπ
βπ₯= lim
βπ₯β0
f x + βx β f( π₯)
βπ₯
Andaikan limitnya ada dan ditulis sebagai: π1 π₯ οΏ½ππ‘ππ’ππ
ππ₯
Contoh:
Hitung turunan dari f(x) = 5x2 + 6
Jawab:
π1(π₯) = limβπ₯β0
f x + βx β f( π₯)
βπ₯
= limβπ₯β0
5(x + βx)2 + 6 β ( 5π₯2 + 6)
βπ₯
= limβπ₯β0
5 π₯2 + 10π₯βπ₯ + β2π₯ + 6 β 5π₯2 β 6
βπ₯
= limβπ₯β0
5π₯2 + 10π₯βπ₯ + 5β2π₯ β 5π₯2
βπ₯
= limβπ₯β0
10π₯ + 5βπ₯ = 10π₯
B. Rumus-Rumus Dasar Turunan
1. y = xn, maka y
1 = nx
n-1
2. y = suatu fungsi konstanta, maka y1 = 0
3. y fungsi trogonometri:
a. π¦ = sin π₯ β π¦ = cos π₯
b. π¦ = cos π₯ β π¦β² = βsin π₯
c. π¦ = tg π₯ β π¦β² = sec2 π₯
d. π¦ = ctg π₯ β π¦β² = βcosec2 π₯
e. π¦ = sec π₯ β π¦β² = sec x tg π₯
f. π¦ = cosec π₯ β π¦β² = βcosec x ctg π₯
30
4. y fungsi logaritma:
a. π¦ = π log π₯ β π¦β² =1
π₯ ln π
b. π¦ = ln π₯ β π¦β² =1
π₯
5. y fungsi eksponensial:
a. π¦ = ππ₯ β π¦β² = ππ₯ ln π
b. π¦ = ππ₯ β π¦β² = ππ₯
6. y fungsi siklometri:
a. π¦ = arc sin π₯ β π¦β² =1
1βπ₯2
b. π¦ = πππ cos π₯ β π¦β² = β1
1βπ₯2
c. π¦ = arc tg π₯ β π¦β² =1
1+π₯2
d. π¦ = arc ctg π₯ β π¦β² =β1
1+π₯2
e. π¦ = arc sec π₯ β π¦β² = π₯1
π₯2β1
f. π¦ = arc cosec π₯ β π¦β² = π₯β1
π₯2β1
Contoh:
1. π¦ = 3π₯4 β π¦β² = 12π₯3
2. π¦ = π‘π2π₯ β π¦β² = 2 π‘π π₯ π ππ2π₯
Soal: Tentukan y1 dari:
1. π¦ = ln 3 β π₯2
2. π¦ = sin2 3π₯
31
C. Aturan Rantai Fungsi Tersusun
Untuk fungsi-fungsi yang bentuknya rumit, dimana y adalah fungsi dari u
(atau v), u dan v merupakan fungsi dari x, turunanya dikembalikan ke
rumus dasar.
Caranya:
1. π¦ = ππ’ β π¦β² = π π’β² , π ππππππππ
2. π¦ = π’ Β± π£ β π¦β² = π’β² Β± π£ β²
3. π¦ = οΏ½γ°π£ β π¦β² = π’β²π£ + π’π£ β²
4. π¦ =π’
π£β π¦β² =
π’ β² π£βπ’π£ β²
π£2
Contoh:
π¦ =π₯
sin π₯
π¦β² =sin π₯ β π₯ cos π₯
π ππ2π₯
Selain dari keempat bentuk diatas, suatu fungsi merupakan fungsi
tersusun dari fungsi pada rumus dasar. Untuk mencari turunannya
gunakan rumus yang disebut aturan rantai. Bila y = f(x) merupakan fungsi
tersusun.
π¦ = π π’ πππ π’ = π π₯ , ππππππ¦
ππ₯=
ππ¦
οΏ½γ¨οΏ½π’.ππ’
ππ₯
Contoh:
π¦ = 5 cos π’ ππππππ π’ = π₯2 β 1
π¦ = 5 cos π’
π¦β² = β5 sin π’
π¦β² =ππ¦
ππ₯=
ππ¦
ππ’.ππ’
ππ₯
= β5 sin π’ .2π₯
= β10 x sin . u
32
= β10 x sin (x2 - 1)
Tentukan turunan pertama dari:
1. π¦ =π’β1
π’+1 π’ = π₯
2. π¦ = 1 + π’, π’ = π₯
3. π¦ = π₯
1+π₯
5
4. π¦ =1
2π‘π π₯ sin 2π₯
5. π¦ = π₯ π2 + π₯2 + π₯2 πππ sinπ₯
π
6. π¦ = π₯ ln π₯ β π₯
D. Turunan Lebih Tinggi
Misalnya y = f(x) fungsi x yang dapat di diferensir dan turunannya
disebut βturunan pertamaβ, jika turunan pertama dapat di diferensir,
turunannya disebut βturunan keduaβ dari fungsi aslinya. Ditulis:
ππ¦2
ππ₯2 , π¦β² β² ππ‘ππ’ π β² β²(π₯)
Seterusnya turunan dari turunan kedua disebut βturunan ketigaβ,
dinyatakan oleh:
π3π¦
ππ₯3, π¦β² β²β² ππ‘ππ’ π β²β² β²(π₯)
Contoh:
π¦ = 4π₯3
π¦β² = 12π₯2
π¦β²β² = 24π₯
π¦β²β²β² = 24
33
E. Penurunan Dengan Bantuan Logaritma
Dipakai bila pangkat suatu fungsi dari x:
π¦ = π(π₯)π(π₯)
ln π¦ = ln π(π₯)π(π₯) = π π₯ ln π(π₯)
1
π¦ ππ¦
ππ₯= πβ² π₯ ln π π₯ + π(π₯){ln π(π₯)}β²
ππ¦
ππ₯= π¦{πβ² π₯ ln π π₯ + π π₯ [ln π(π₯)]β²}
Contoh:
1. π¦ = π₯π₯
ππ¦
ππ₯β π₯π₯β1
ln π¦ = ln π₯π₯ = π₯ ln π₯
1
π¦ ππ¦
ππ₯= ln π₯ + π₯.
1
π₯= ln π₯ + 1
ππ¦
ππ₯= π¦ ln π₯ + 1 = π₯π₯ (ln π₯ + 1)
2. π¦ = (ln π₯)π₯2
ln π¦ = ln ln π₯ π₯2 = π₯2 ln ln π₯
π¦β² = 2π₯ ln ln π₯ + π₯21
πππ₯.1
π₯
= 2π₯ ln ln π₯ +π₯
πππ₯
π¦β² = π¦ 2π₯ ln ln π₯ +π₯
πππ₯ β = (ln π₯)π₯2
{2π₯ ln ln π₯ +π₯
πππ₯}
F. Turunan Fungsi Implisit
Untuk menghitung turunan pertama ππ¦
ππ₯ dari fungsi implisit f(x,y) = 0, kita
perhatikan tiap-tiap suku sebagai suatu fungsi dari x, kemudian
menurunkan suku demi suku, misalnya:
π₯2 + π₯π¦ + π₯π¦2 = 0
2π₯ + π¦ + π₯π¦β² + π¦2 + 2π₯π¦π¦β² = 0
π¦β² π₯ + 2π₯π¦ = β2π₯ β π¦ β π¦2
π¦β² =β2π₯ β π¦ β π¦2
π₯ + 2π₯π¦
34
Soal:
Tentukan y1 dari:
1. π¦ = π₯ln π₯
2. π¦ = π₯
π
ln π₯
3. π¦ = (sin π₯)π₯
4. π¦ = π₯1
π₯
5. π¦ = 2π₯2 2 β π₯
6. π¦ = (sin π₯)π‘π π₯
7. π¦ = (π₯)sin π₯
8. π₯π¦ + 2π₯ β 5π¦ β π¦2 = 0
9. π₯2 β 2π₯π¦ + π¦2 + 2π₯ + π¦ = 0
10. π₯ = πππ π‘π (π₯ + π¦)
11. π₯ cos π¦ = sin(π₯ + π¦)
12. ππππ‘π’πππ π¦β²β² β 2π¦β² + π¦, ππππ π¦ =1
2π₯2ππ₯
13. ππππ‘π’πππ ππ¦
ππ₯
2+
π2π¦
ππ₯2, ππππ ππ¦ = π₯ + π¦
35
BAB V
BEBERAPA PEMAKAIAN TURUNAN
A. Garis Singgung dan Garis Normal
Jika f(x) mempunyai suatu turunan pertama f1(x) pada x = x0 yang hingga,
maka y = f(x) mempunyai garis singgung di (x0, y0) dengan koefisien
arah: m = tg Ρ² = f1 (xo)
Bila m = 0, maka garis singgung sejajar dengan x persamaan y = yo
Garis singgung mempunyai persamaan: y β yo = m (x β xo)
Garis normal dari grafik pada salah satu titik (pada grafik) adalah garis
yang tegak lurus garis singgung pada titik tersebut
x
y
A
B
C
D
E
y
x
Garis normal
Garis singgung f(x)
P(xo, yo) f(x)
36
Persamaan garis normal di π₯0 . π¦0 : π¦ β π¦0 =1
π β² (π₯)(π₯ β π₯0) serta bila:
Garis singgung // sumbu y, maka garis normal // sumbu x
Garis singgung // sumbu x, maka garis normal // sumbu y
Contoh:
Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal pada x2 β 3xy + y
2
= 5 pada titik (1, 1)
Jawab:
π₯2 β 3π₯π¦ + π¦2 = 5
2π₯ β 3π¦ β 3π₯π¦β² + 2π¦π¦β² = 0
π¦β² β3π¦ + 2π¦ = β2π₯ + 3π¦
π¦β² =β2π₯ + 3π¦
3π₯ + 2π¦
β2 + 3
β3 + 2=
1
β1= β1
Persamaan garis singgung: π¦ β 1 = β1(π₯ β 1)
π¦ β 1 = βπ₯ + 1
π₯ + π¦ β 2 = 0
Persamaan garis normal: π¦ β 1 = (π₯ β 1)
π¦ β π₯ = 0
π¦ = π₯
Panjang garis singgung, panjang sub garis singgung, panjang garis
normal dan panjang sub garis normal.
Panjang garis singgung adalah panjang potongan garis singgung dihitung
dari titik singgung sampai titik potong sumbu x. panjang sub garis
singgung (panjang sub tangen) adalah panjang proyeksi potongan garis
tersebut pada sumbu x.
Panjang garis normal adalah panjang potongan garis normal dihitung dari
titik potong dengan garis singgung sampai titik potong dengan sumbu x.
panjang sub garis normal (panjang sub normal) adalah panjang proyeksi
garis tersebut pada sumbu x.
37
m = tg y = koefisien arah garis singgung
panjang sub tangen: TS = |yo / m|
Panjang sub normal: SN = |m yo|
Panjang garis singgung: TP = ππ2 + ππ2
Panjang garis normal: NP = ππ2 + ππ2
Contoh:
Panjang garis singgung, panjang garis normal, panjang sub garis
singgung, panjang sub garis normal dari xy + 2x β y = 5 pada (2, 1)
Jawab:
π₯π¦ + 2π₯ β π¦ = 5
π¦ + π₯π¦β² + 2 β π¦β² = 0
π¦β² π₯ β 1 = βπ¦ β 2
π¦β² =βπ¦ β 2
π₯ β 1 ππππ (2,1)
=β1 β 2
2 β 1β
3
1= β3
panjang sub tangen = π¦π
π =
1
β3 =
1
3
Panjang sub normal = |m yo| = |-3.1| = 3
Panjang garis singgung = (1
3)2 + 1 =
1
9+ 1 =
10
9=
1
3 10
Panjang garis normal = 32 + 1 = 10
y
N
P(xo, yo)
S T
x
P
38
Soal:
Hitung panjang garis singgung, garis normal, sub garis singgung, sub
normal dari:
a. π₯2 + π¦2 β 4π₯ β 21 = 0 ποΏ½. (5,4)
b. 4π₯2 + π₯π¦ = 40 ππ (β1,2)
B. Bentuk Tak Tentu dan Aturan (Hospital)
Limit dengan bentuk tak tentu adalah limit dengan bentuk-bentuk: o/o,
~/~, o~, ~ - ~, ~0, .
0 dan 1
~. Untuk menghitung limit tersebut dapat
digunakan aturan (Hospital)
1. Jika limit f(x) = 0 dan limit g(x) = ~, maka limit f(x) g(x) = 0
~ ialah bentuk xa xa xa tak tentu.
Bentuk tersebut dapat diubah menjadi 0
0 ππ‘ππ’
~
~ dengan memenuhi
f(x) g(x) sebagai:
π(π₯)
1
π(π₯) ππ‘ππ’
π(π₯)
1
π(π₯)
Contoh:
limπ₯β1
1 β π₯ ln 1 β π₯ = (0, ~)
limπ₯β1
ln
1 β π₯ 1
1 β π₯= (ππππ‘π’π
~
~)
limπ₯β1
β11 β π₯
1(1 β π₯)2
= limπ₯β1
β 1 β π₯ = 0
2. Jika limit f(x) = ~ dan limit g(x) = ~, maka limit {f(x) - g(x)} = ~ - ~
bentuk xa xa xa tak tentu. Bentuk
tersebut diubah menjadi:
limπ₯βπ
1π π₯
β1
π(π₯)
1
π π₯ π(π₯) ialah bentuk o/o
39
Contoh:
limπ₯β1
π₯
π₯ β 1β
1
ln π₯
limπ₯β1
π₯ ln π₯ β π₯ + 1
π₯ β 1 ln π₯= (ππππ‘π’π π/π)
limπ₯β1
ln π₯ + 1 β 1
ln π₯ +π₯π₯
β1π₯
=
limπ₯β1
1π₯
1π₯
+1π₯2
=1
2
3. Jika:
a. limπ₯βπ π π₯ = 0 πππ limπ₯βπ π π₯ = 0
b. limπ₯βπ π π₯ = 1 πππ limπ₯βπ π π₯ = ~
c. limπ₯βπ π π₯ = ~ πππ limπ₯βπ π π₯ = 0
Maka: limπ₯βπ π(π₯)οΏ½οΏ½(π₯) menjadi bentuk tak tentu. Limit-limit tersebut
dapat menjadi 0, ~, bila kita mengambil logaritmanya
Contoh:
limπ₯β0
π₯sin π₯ = πππππ ππππ‘π’π βΆ 00
Misalnya:
L = limοΏ½ηͺοΏ½β0 π₯sin π₯
ln πΏ = limπ₯β0
π₯sin π₯ = limπ₯β0
ln π₯sin π₯ =
= limπ₯β0
sin π₯ ln π₯ (0, ~)
= limπ₯β0
ln π₯
1/ sin π₯ (
~
~)
= limοΏ½ΕοΏ½β0
1/π₯
β cos π₯/π ππ2 π₯
40
= limοΏ½β0
βπ ππ2π₯
π₯πππ π₯
= limπ₯β0
β2 sin π₯ πππ π₯
cos π₯ β π₯ π ππ π₯
=0
1= 0
ln πΏ = 0
πΏ = π0 = 1
β΄ limπ₯β0
π₯sin π₯ = 1
x0
soal:
1. limπ₯β0 π₯3 =
2. limπ₯β0 1
π₯β
1
sin π₯ =
3. limοΏ½οΏ½β02πππ π‘π π₯βπ₯
2π₯βοΏ½ζ ’οΏ½ππ sin π₯=
4. limπ₯β2 4
π₯2β4β
1
π₯β2
C. Menentukan Titik Kritis (Titik Ekstrim)
f(x) dapat di diferensir dalam selang a < x < b dan jika f(x) memiliki nilai
relatif maksimum (minimum) dititik x = xo. dimana a < xo < b, maka f1
(xo) = 0
menentukan titik kritis:
Cara I:
1. Selesaikan f1 (x) = 0 untuk harga-harga kritis
2. Letakkan nilai-nilai kritis pada suatu skala bilangan, maka terbentuk
beberapa internal
3. Tentukan tanda f1 (x) pada setiap interval
4. Untuk x bertambah melalui setiap kritis x = xo, maka:
- f(x) bernilai maksimal = f(xo) jika f1 (x) berubah dari + ke β
- f(x) bernilai manimal = f(xo) jika f1 (x) berubah dari - ke +
41
- f(x) tidak bernilai maksimal atau minimal dari x = xo bila f1 (x) tidak
berubah tanda
Cara II:
1. Selesaikan f1 (x) = 0 untuk harga-harga kritis
2. Fungsi di diferensial sekali lagi, memperoleh f11
(x) untuk harga
kritis x = xo
- f(x) mempunyai nilai maksimum f(xo) bila f11
(xo) < 0
- f(x) mempunyai nilai minimum f(xo) bila f11
(xo) > 0
- penyelidikan gagal bila f11
(xo) = 0 atau menjadi tak hingga
contoh:
π¦ =1
3π₯3 +
1
2π₯2 β 6π₯ + 8
Tentukan:
a. untuk titik-titik kritis
b. interval dimana y naik dan y turun
c. nilai max dan min dari y
jawab:
a. π¦β² = 0
π¦β² = π₯2 + π₯ β 6 = 0
π₯ + 3 π₯ β 2 = 0
π₯1 = β3 πππ π₯2 = 2
Titik kritis: -3 dan -2
b. π₯ < β3 β π¦β² = β β = +ππππ
3 < π₯ < 2 β π¦β² = + β = βπ‘π’ππ’π
π₯ > 2 β π¦β² = + + = +ππππ
c. π₯ = β3 β π¦ =1
3(β3)3 +
1
2(β3)2 β 6 β3 + 8
= β9 +9
2+ 18 + 8 = 17 +
9
2=
43
2
Titik P (-3, 43/2)
π₯ = 2 β π¦ =1
3(2)3 +
1
2(2)2 β 6 2 + 8
42
β8
3+ 2 β 12 + 8 = β2 +
8
3= β
6
3+
8
3=
2
3
Titik Q (2, 2/3)
P titik maksimum dan Q titik minimum
Kecepatan dan Percepatan
Gerak suatu partikel sepanjang suatu garis lurus secara lengkap dinyatakan oleh
persamaan s = f(t), t β₯ 0 waktu, dan s jarak P dari suatu titik tetap yang tertentu
0 pada lintasannya
Kecepatan (velocity) dari P pada waktu t adalah π£ =ππ
ππ‘
Jika v > 0, P bergerak searah dengan naiknya s
Jika v < 0, P bergerak searah dengan turunnya s
Jika v = 0, P dalam keadaan berhenti
Percepatan (accelaration) dari P pada waktu t adalah:
π =ππ£
ππ‘=
π2π
ππ‘2
Jika a > 0, v naik, jika a < 0 maka v turun
Kelajuan (speed) bertambah bila v dan a bertanda sama dan berkurang bila
berlainan tanda
y
x
Q(2,2/3)
P(-3,43/2)
43
Contoh:
Sebuah partikel bergerak disepanjang suatu garis lurus dengan persamaan:
π = π π‘ = 2π‘3 β 9π‘2 + 12π‘ β 1, π‘ β₯ 0
a. Tentukan saat partikel bergerak ke kanan dan saat partikel bergerak ke
kiri
b. Tentukan saat partikel berhenti dan kemudian bergerak lagi
c. Tentukan saat gerakan partikel dipercepat dan saat gerakan partikel
diperlambat
Jawab:
Kecepatan dan percepatan partikel pada setiap saat t β₯ 0, adalah:
π£ π‘ = π β² π‘ = 6π‘2 β 18π‘ + 12 , dan
π π‘ = π"(π‘) = 12π‘ β 18, π‘ β₯ 0
a. Partikel bergerak ke kanan bila f(t) semakin bertambah, yaitu bila fungsi f
monoton naik. Syaratnya π β² π‘ = 6π‘2 β 18π‘ + 12 > 0, yang
memberikan:
6 π‘2 β 3π‘ + 2 > 0
π‘ β 1 π‘ β 2 > 0
0 β€ π‘ < 1 ππ‘ππ’ π‘ > 2
Jadi partikel bergerak kekanan pada saat t, dengan 0 β€ π‘ < 1 πππ π‘ > 2
Partikel bergerak kekiri bila nilai f(t) semakin berkurang, yaitu bila fungsi
f turun. Syaratnya: π β² π‘ = 6π‘2 β 18π‘ + 12 < 0, yang memberikan
1 < π‘ < 2
b. Partikel berhenti kemudian bergerak lagi bila kecepatannya nol, yaitu v(t)
= 0. Dari: π£ π‘ = π β² π‘ = 6π‘2 β 18π‘ + 12 = 6 π‘ β 1 π‘ β 2 = 0
Diperoleh t = 1 dan t = 2
c. Gerakan partikel dipercepat bila kecepatannya semakin bertambah, yaitu
bila v monoton naik, syaratnya:
1 0 2
+ + -
44
π π‘ = 12π‘ β 18 > 0
12π‘ β 18 = 6 2π‘ β 3 > 0
π‘ >3
2
Yang memberikan t > 3/2
Gerakan partikel diperlambat bila kecepatannya semakin berkurang, yaitu
bila v monoton turun. Syaratnya: π π‘ = 12π‘ β 18 < 0
Yang memberikan t > 3/2
Latihan:
Sebuah partikel bergerak di sepanjang suatu garis lurus dengan
persamaan:
π = π π‘ = π‘3 β 9π‘2 + 24π‘ β 1, π‘ β₯ 0
a. Tentukan saat partikel bergerak kekanan dan saat partikel bergerak
kekiri
b. Tentukan saat partikel berhenti dan kemudian bergerak lagi
c. Tentukan saat gerakan partikel dipercepat dan saat gerakan partikel
diperlambat
45
DAFTAR PUSTAKA
1. Yusuf Yahya, D. Suryadi, HS, Agus Sumin. Matematika Dasar Untuk
Perguruan Tinggi. Jakarta: Ghalia Indonesia, 2005
2. Ayres, Frank, Ir. Differensial and Integral Calculus Schaumβs Outline
Series. New York: Mc Graw Hill Book Company
3. Prof, Dra, N. Soemartojo. Kalkulus Dasar. Jakarta: FE-UI
4. Danang Mursita. Matematika Dasar untuk Perguruan Tinggi. Jakarta:
Rakayarsa Salus