teoria de dualidad

Teora de la Dualidad

Universidad Nacional Mayor de San Marcos
Facultad de Ingeniera Industrial

2015-0

Introduccin

Dado un problema de PL, denominado problema Primal existe otro problema en PL denominado problema Dual, ntimamente relacionado a el, se dice que ambos problemas son mutuamente duales.

Bajo ciertas hiptesis los problemas primal y dual dan lugar al mismo valor optimo de la FO, por tanto se puede resolver indirectamente el problema primal resolviendo el dual.

En este captulo se efectuar el estudio de la teora de la dualidad; as como tambin, su uso como un mtodo para resolver un segundo problema de PL, conocido como problema dual.

Teora de la dualidad

El problema dual:

Sea el PL en su forma cannica:

Mx. z = cx

sa:

Ax b

x 0

La matriz A o matriz tecnolgica, est definida como una relacin recurso por producto; es decir cuanto de recurso se requiere por cada producto; as a12, significa la cantidad del recurso 1 utilizado en el producto:


siendo bi el nivel del recurso para la actividad i.

Desde el punto de vista del anlisis de las actividades: cada producto viene dado por un vector de componentes de cada uno de los recursos, es decir aj es el vector de componentes de todos los recursos para cada producto j( j =1,2,...,n)


Suponga que un negocio, considera muy valioso a sus recursos. En el caso de que pueda dejar de producir; ya sea por algn accidente o alguna parada de su personal, dejar de obtener una ganancia. De donde se puede plantear lo siguiente:

Costo de los recursos utilizados ganancia del producto

para producir un artculo


As:

producto 1:

producto 2:

...........

producto j:


Vale decir que para el producto j, viene dada la expresin:


El costo total de los recursos a utilizar deber ser mnimo:


luego el problema es :

Min w = yb

sa:

yA c

y 0


De la simetra de ambos problemas, se deduce:

El vector costos es en uno y en el otro, es el vector de la mano derecha.

El vector de la mano derecha, es el vector costos.

Las restricciones son transpuestas.

Ambos problemas de PL son duales,

y para diferenciarlos, uno se

denomina primal y el otro dual


Ambos problemas de PL son duales, y para diferenciarlos, uno se denomina primal y el otro dual

Desde la forma estndar para la maximizacin:

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn = bi ,i= 1,2, ... ,m

transformando a dos desigualdades :

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn bi ,i= 1,2, ... ,m

y

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn bi ,i= 1,2, ... ,m


Equivalentes a :

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn bi ,i= 1,2, ... ,m asociado a yi

-ai1x1 - ai2x2 - ... - ainxn -bi ,i= 1,2, ... ,m asociado a yi

cuando se aplica dualidad a las dos restricciones

... + ( ai1yi - ai1yi ) + ... + c1

... + ( ai2yi - ai2yi ) + ... + c2


Se observa que :

( ai1yi - ai1yi ) = ( yi - yi )ai1

( ai2yi - ai2yi ) = ( yi - yi )ai2

luego se puede reemplazar:

yi = yi - yi

Es decir: + ai1yi + ... + c1

+ ai2yi + ... + c2

siendo yi una variable sin restriccin al signo, toda vez que (yi - yi) puede tomar cualquier valor (cero, mayor o igual a cero y menor o igual a cero).


Se puede decir que si una restriccin es de sentido contrario a la forma cannica, esta produce una variable dual negativa.

Mx. z = x1

sa:

x1 9 asociado a y1

x1 4 asociado a y2

x1 0


Su dual es :

Min w = 9y1+ 4y2

sa:

y1 + y2 1

y1 0

y2 0

Relacin Primal y Dual (1)

A continuacin, se presentan algunas relaciones que satisfacen un par de problemas primal-dual.

Relacin 1: El Dual del Dual es el Primal.

Sea el problema dual:

Min w = yb

sa

yA c

y 0

Equivalente a:

Max w = -yb

sa

-yA -c

y 0

Aplicando el Dual:

Min z = -cx

sa

-Ax -b

x 0


Equivalente a:

Max z = cx

sujeto a

Ax b

x 0


Relacin 2: Si x0 es una BFS al primal y y0 es una BFS al dual, se cumple que

Z0=cx0 y0b=W0

Sea el PL en x = x0

Max z = cx0

sa

Ax0 b

x0 0


En cualquier par de soluciones Primal y Dual factibles:


Relacin 3: Si x0 y y0 son soluciones ptimas, se cumple que: cx0 = y0b

Como un problema de Max, comienza con una solucin inicial (0,...,0), entonces el valor de z comienza desde cero; en el otro caso un problema de Min, comienza con variables artificiales en la solucin inicial, w es un valor muy grande. Se deduce que z crece hacia el ptimo y w decrece. En el ptimo se cumple que :

z = w


Cuando aj es un vector unitario (por ejemplo la columna de la solucin inicial )

zj-cj = yaj - cj

Cuando se est ante la relacin:

Se cumple la condicin de optimalidad.


Dual - Cannico

Sea el PL expresado en forma Primal:

Mx Z = 4x1+3x2+1x3

sa.

2x1+1x2 40

3x2+2x3 50

x1,x2,x3 0

Expresar el problema dual asociado

Solucin - Cannico

Dual:

Min W = 40y1+50y2

sa.

2y1 > 4

y1+3y2 > 3

2y2 > 1

y1,y2 0

Primal:

Mx Z = 4x1+3x2+1x3

sa.

2x1+1x2 40

3x2+2x3 50

x1,x2,x3 0

y1

y2

x1

x2

x3

Dual - Estandar


Mx Z = 4x1+3x2+1x3

sa.

2x1+1x2 = 40

3x2+2x3 = 50

x1,x2,x3 0


Solucin - Estandar

Dual:

Min W = 40y1+50y2

sa.

2y1 > 4

y1+3y2 > 3

2y2 > 1

y1,y2 Irr

Irr : Irrestricta

Primal:

Mx Z = 4x1+3x2+1x3

sa.

2x1+1x2 = 40

3x2+2x3 = 50

x1,x2,x3 0

y1

y2

x1

x2

x3

Dual - Mixto


Min Z = 2x1+5x2-3x3+4x4

sa.

-2x1+ x2 +5x4 < 20

3x2+ 2x3-3x4 = 50

x1 + x3+2x4 > 10

x1 Irr ; x2 0 ; x3

Solucin - Mixto

Dual:

Max W = 20y1+50y2+10y3

sa.

-2y1 + y3 = 2

y1+3y2 < 5

2y2+ y3 > -3

5y1-3y2+2y3 < 4

y1 0

Primal:

Min Z = 2x1+5x2-3x3+4x4

sa.

-2x1+ x2 +5x4 < 20

3x2+ 2x3-3x4 = 50

x1 + x3+2x4 > 10

x1 Irr;x2 0;x3

Ejercicio


Mx Z = 3x1+5x2-2x3+4x2

sa:

2x1+x2-2x3+5x4 50

x1+5x2-x3+3x4 = 60

3x1 +5x3+2x4 40

x1,x2,x3, 0 , x4 irr


Solucin

Solucin Dual:

Min w = 50y1+60y2+40y3

sa:

2y1+y2+3y3 3

y1+5y2 5

-2y1-y2+5y3 -2

5y1+3y2+2y3 = 4

y1 0 ,y2 irr ,y3 0

Ejercicios


Mx Z = 3x1+5x2-2x3

sa:

2x1 +x3 =50

x1+x2-x3 = 40

x1,x2,x3 0

?

Solucin

Solucin Dual:

resolver...

Teorema de la holgura complementaria

El teorema de la holgura complementaria, establece:

Sea cualquier par de soluciones ptimas ( primal y dual), se tiene:

1. Si una restriccin es con holgura, entonces la variable dual asociada es cero; si es sin holgura , la variable dual es positiva.

si = 0 , yi > 0

si > 0 , yi = 0

2. El producto de una variable primal y la holgura dual es cero.

xj = 0 , vj > 0

xj > 0 , vj = 0

Dualidad en Programacin Lineal.

Mtodo Simplex Dual:

La idea de este mtodo consiste en resolver de alguna manera el problema dual asociado a P) en la tabla y variables del problema primal P), segn veremos en su aplicacin a un problema primal

Min3x1 + 4x2 + 5x3

sa:x1+ 2x2 + 3x3 5

2x1 + 2x2 + x3 6

x1, x2, x3 0

II.5. Dualidad en Programacin Lineal.

Mtodo Simplex Dual:

Min3x1 + 4x2 + 5x3 + 0x4 + 0x5

sa:x1 + 2x2 + 3x3 - x4 5x(-1)

2x1 + 2x2 + x3 - x5 6x(-1)

x1, x2, x3, x4, x5 0
x1x2x3x4x5-1-2-310-5-2-2-101-6345000


Mtodo Simplex Dual:

En la tabla anterior se toman dos variables de exceso x4 y x5 , y se multiplica por un nmero negativo con la finalidad de encontrar la matriz identidad IRn, adems es necesaria la condicin de que los costos reducidos de la tabla sean mayores que cero ( lo que en este caso se cumple).


Mtodo Simplex Dual:

En la tabla anterior se escoge, usando el lado derecho, alguna variable con valor negativo.

Escogemos x5 , variable que dejar la base. Enseguida , se obtiene la variable entrante calculando:

Min { (-3/-2) , (-4/-2),(-5/-1)} = 3/2.

De donde resulta que x1 entra a la base.


Mtodo Simplex Dual:

La tabla posee an un lado derecho negativo (costos reducidos negativos del problema dual), por lo cual no es factible en P).

x5

x4

x3

x2

x1

-2

-1/2

1

-5/2

-1

0

1

1

0

1

-9

3/2

0

7/2

3

-1/2

0

1/2


Mtodo Simplex Dual:

x4 (=-2) deja la base, luego calculamos :

Min {(-1/-1),((-7/2)/(-5/2)),((-3/2)/(-1/2))} = 1, por lo que x2 entra a la base.
x1x2x3x4x5015/2-1210-21-1100111-11


Mtodo Simplex Dual:

La tabla posee lados derechos no-negativos (costos reducidos positivos del problema dual) y tambin los costos reducidos de las variables no bsicas x3, x4 y x5 son no-negativos , por lo que tenemos una solucin factible en P) que es la solucin ptima del problema.

recurso

producto

a

a

a

a

a

a

a

a

a

n

n

m

m

mn

11

12

1

21

22

2

1

2

L

L

M

M

L

L

=

mj

j

j

j

a

a

a

a

M

2

1

a

y

a

y

a

y

c

m

m

11

1

21

2

1

1

+

+

+

L

a

y

a

y

a

y

c

m

m

12

1

22

2

2

2

+

+

+

L

a

y

a

y

a

y

c

j

j

mj

m

j

1

1

2

2

+

+

+

L

y

a

c

i

ij

j

i

m

=

1

(

)

c

yA

j

mj

j

j

m

c

a

a

a

y

y

y

M

L

2

1

2

1

w

b

u

b

u

b

u

b

u

m

m

i

i

i

m

=

+

+

+

=

=

1

1

2

2

1

L

=

yb

valor

de

la

FO

de

maximizaci

n

valor

de

la

FO

de

minimizaci

n

z

c

to

unitario

del

recurso

j

ren

iento

por

unidad

de

j

j

j

-

=

-

cos

dim

j

de

unidad

por

imiento

rend

j

recurso

del

unitario

osto

c

11

)

P

(

v

0

2

1

x

x

x

x

3

2

1

=

=

=

teoria de dualidad

Documents