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Teoría de Dualidad
y
Análisis de Sensibilidad
Prueba del modelo y Evaluación de
la solución.
UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA
SEDE: UNI - NORTE
Prof. :M.C. Ing. Julio Rito Vargas Avilés I.O. 2008
Dualidad y análisis de sensibilidad
Introducción.• La asignación de probabilidades a los eventos es una
tarea difícil que muchos gerentes pueden mostrarse difícil a
hacer, por lo menos con cierto grado de exactitud. En
algunos casos prefieren decir “creo que la probabilidad de
que este evento ocurra está entre 0.5 y 0.7”.
• Bajo estas circunstancias, como en cualquier aspecto de
decisión gerencial, es útil realizar un análisis de sensibilidad
para determinar cómo afecta a la decisión la asignación de
probabilidades.
• El análisis de sensibilidad concierne el estudio de posibles
cambios en la solución óptima disponible como resultado de
hacer cambios en el modelo original.
Variaciones que podemos realizar en el modelo
general:
Mediante el análisis de sensibilidad pueden existir
diferentes tipos de cambios en el modelo original
como:
1. Cambios en los coeficientes de la función objetivo, Cij
2. Cambios en los recursos, bi
3. Cambios en los coeficientes tecnológicos, aij
4. Adición de una nueva variable y Xi
5. Adición de una nueva restricción. aij >= bi
Dualidad y análisis de sensibilidad
Teoría de dualidad:
• La teoría de dualidad parte de que asociado a todo
problema de PL, existe otro problema lineal llamado
dual.
• Las relaciones entre el problema dual y el problema
original o (primal) son en extremos útiles en una gran
variedad de situaciones.
• Uno de los aspectos más importantes de la teoría de
dualidad es la interpretación y realización del análisis de
sensibilidad.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Esencia de la teoría de dualidad:
Dada la forma estándar para el problema primal (izquierda), su
problema dual tiene la forma que se muestra a la derecha.
Max Min
0
:
1
1
j
i
n
j
jij
n
j
jj
x
bxa
asujeto
xcZ
0
:
1
1
i
j
n
j
iij
m
i
ii
y
cya
asujeto
ybW
El problema dual usa exactamente los mismos parámetros que el
problema primal, pero en diferentes lugares.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Esencia de la teoría de dualidad:
Dada la forma matricial del problema primal (izquierda), y
del problema dual.
Max Min
0
:
x
bAx
asujeto
cZ x
0
:
y
cyA
asujeto
ybW
Donde C y Y son vectores fila y b y x son vectores columna.
Dualidad y análisis de sensibilidad
Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.
0
0
1823
122
4
:
53
2
1
21
2
1
21
x
x
xx
x
x
asujeta
xxZMax
0
0
0
522
33
:
18124
3
2
1
32
31
321
y
y
y
yy
yy
asujeta
yyyWMin
A la izquierda se muestra el problema primal en forma algebraica y
a la derecha el problema dual en forma algebraica.
Problema primal y dual para el ejemplo Wyndor Glass Co.
0
0
18
12
4
23
20
01
:
53
2
1
2
1
2
1
x
x
x
x
asujeta
x
xZMax
000
53
23
20
01
:
18
12
4
321
321
321
yyy
yyy
asujeta
yyyWMin
A la izquierda se muestra el problema primal en forma matricial y a
la derecha el problema dual en forma matricial.
Solución del P. dual, para el ejemplo Wyndor Glass Co.
La solución óptima es: Y1=0 , Y2=1.5, Y3=1 para z= 36
Solución del primal, para el ejemplo Wyndor Glass Co.
La solución óptima es: x1=2 y x2=6 para z= 36
Precio sombra
Com
par
ando s
olu
ción d
el P
rim
al c
on e
l D
ual
Pro
ble
ma
pri
mal
Pro
ble
ma
Dual
Dualidad y análisis de sensibilidad
MAX Z= 3X1 + 4X2 – 2X3 Variables duales
S. a: 4X1 – 12X2 + 3X3 < 12 Y1
–2X1 + 3X2 + X3 < 6 Y2
–5X1 + X2 – 6X3 < -40 Y3
3X1 – 4X2 – 2X3 < 10 Y4
X1 > 0, X2 < 0, X3 no restringida en signo
Min W = 12Y1 + 6Y2 – 40Y3 + 10Y4
S. a: 4Y1 – 2Y2 – 5Y3 + 3Y4 >= 3
–12Y1 + 3Y2 + Y3 - 4Y4 >= 4
3Y1 + Y2 – 6Y3 – 2Y4 >= -2
Y1 > 0, Y2 < 0, Y3 > 0, Y4 no restringida en signo
Ejemplo:
La empresa KZ se dedica a la fabricación detres producto; A, B y C. El procedimiento deproducción involucra tres operaciones:formación, acabado e inspección. Eldepartamento de ingeniería industrial, haestablecido los siguientes estándares deproducción en cada operación.
Datos de producción para la compañía (minutos por producto)
El departamento de contabilidad por su parte,pronostica los siguientes costos e ingresospara la compañía.
Datos de costo e ingreso para lacompañía
Se desea saber el número de cada tipo deproducto que deberán producirse de talmanera que se optimice el beneficio por las 8horas de trabajo del día. Considerando lainformación, se planteó el modelo deprogramación lineal:
acabadoxxx
inspecciónxxx
formaciónxxx
asujeto
xxxZ
480422
480223
480262
:
453520
321
321
321
321
Dual del Problema
Min W= 480Y1 + 480Y2 + 480y3
Sujeto a:
2y1 + 3y2 + 2y3 ≥ 20
6y1 + 6y2 + 2y3 ≥ 35
2y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 45
y1 ≥ 0
y2 ≥ 0
y3 ≥0
Ejemplo
1. Determine los rangos de variación de las variables básicas endonde la base actual permanece
2. ¿Cuál es el rango de los recursos en donde la base actualpermanece?
3. ¿En cuáles de las operaciones recomendaría usted contratartiempo extra y por que?
4. ¿Que pasaría si se programaran 20 minutos extras en el
departamento de inspección, cambiaría la función objetivo?
5. ¿En cuánto se incrementaría la utilidad óptima actual si se
programan 50 minutos en el departamento de formado?
6. ¿Qué pasaría con la solución óptima actual si se programaran
30 minutos de mantenimiento en el departamento de
acabado?
Dualidad y análisis de sensibilidad
6. Si se logran reducir los costos de producción en el producto B en un
25%, ¿cómo se afecta la base actual y el objetivo?
7. Si los trabajadores ofrecen trabajar minutos extras a razón de
$5/minuto, ¿recomendaría usted tiempo extra?, si lo recomienda, en
que departamento y cuanto tiempo extra puede programarse sin
cambiar la mezcla actual?
8. ¿Que pasearía si se programara la producción de 10 unidades del
producto A ?
9. ¿Qué pasaría si por cambios en maquinaría y procesos el producto A
cambiara sus tiempos de fabricación en
10. a. a1= (2,3,2)
11. b. a1 = (1,2,2)T
12. Por políticas de la empresa es necesario producir un nuevo producto con las siguientes características C4=60, a4 = (2,1,3)T, ¿Qué recomendaría?
Solución Inicial del modelo (winqsb)