REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITÉCNICO

“SANTIAGO MARIÑO”EXTENSIÓN MATURÍN

SECCIÓN “E”

LA DUALIDAD EN INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES

Autores: Cristian Guerra, 23754600 José Acosta, 24864589Luis Larrain, 23731478

Mariajosé Monterola, 25028913María Araujo, 24503624 Marlis Suarez, 25268621

Asesor: Lourdes Leal

Maturín, Junio de 2014

DUALIDAD

Definición

La dualidad dentro del área de investigación de operaciones puede definirse con

el siguiente enunciado: Para todo problema de maximización de programación lineal,

habrá otro problema asociado a la maximización.

Al primer problema se le llama primario (o primal) y al problema asociado

correspondiente se le conoce como dual. En este informe veremos cómo plantear un

problema dual dado un problema primario cualquiera, en donde notaremos que los

dos problemas están estrechamente relacionados, sin importar que uno intente

maximizar y el otro minimizar. Si un modelo parte de un mismo problema y abarca

sus características, la solución óptima de uno proporciona automáticamente la

solución óptima al otro.

Importancia

La resolución de los problemas duales respecto a los primales se justifica dada

la facilidad que se presenta dados problemas donde el número de restricciones supere

al número de variables. Además de tener gran aplicación en el análisis económico del

problema. Otra de las ventajas que presenta es que, dado el número de restricciones y

variables, entre el problema dual y el primal este número es inverso, permitiéndonos

resolver gráficamente problemas que presenten dos restricciones sin importar el

número de variables.

Podemos destacar los distintos puntos de la manera siguiente:

1. El modelo dual puede ahorrar un número considerable de cálculos, en

particular cuando el modelo primario tiene muchas restricciones y pocas

variables. Esto implicaría un número elevado de cálculos para su resolución

por el método Simplex.

2. La dualidad tiene una relación importante con el análisis de sensibilidad; esto

es muy útil para analizar cómo puede cambiar la función objetivo ante

variaciones en las diferentes condiciones del problema de programación línea.

3. El problema dual proporciona información importante sobre la manera óptima

de aplicar recursos que son escasos a fin de obtener beneficios económicos.

Cómo Convertir un Problema Primal en Dual

Los pasos clave para construir el modelo dual a partir del primal se resumen

como sigue:

1. Se invierte el sentido de la función objetivo. Si el problema primario es de

maximización, el problema dual sea de minimización, y viceversa.

2. Las variables del problema primario se denominaran como X, mientras que las del

dual serán Y, debiendo ser no negativas.

3. Las constantes de las restricciones del problema primario pasan a ser los coeficientes

de la función objetivo del problema dual. Esto significa que el problema dual tendrá

tantas variables como restricciones tenga el primario.

4. Los coeficientes de la función objetivo del problema primario pasar a ser constante en

las restricciones del problema dual. Esto implica que el problema dual tiene tantas

restricciones como variables tenga el primario.

5. Se invierte el sentido de las desigualdades de las restricciones. Si las restricciones del

problema primario son del tipo menor o igual que ( ≤ ), en el problema dual las

restricciones serán del tipo mayor o igual que ( ≥ ), y viceversa

6. Los coeficientes de restricciones del problema primario se debe colocar de tal forma

que los renglones del primario pasaran a ser las columnas del problema dual, y con

este cambio las columnas del primario serán los renglones del dual.

Ejemplo I.1: Plantear la conversión de un modelo primal a dual.

Una panadería prepara 2 tipos de pan, uno con mermelada y el otro con cajeta.

Hay mermelada para preparar hasta 5 kg del primer tipo de pan y cajeta para 8 kg del

segundo tipo. El primer tipo requiere de 2 unidades de harina, mientras el segundo

tipo solo de una. El expendio cuenta con un total de 15 unidades de harina. El primer

tipo de pan deja una utilidad de $ 3.00/kg y el segundo tipo $ 4.00/kg.

¿Cuántos kilogramos de cada tipo debe preparar el expendio a fin de maximizar

sus utilidades?

Solución

Para el problema primario habrá 2 variables, X1 y X2, siendo X1 igual a los

kilogramos de pan del primer tipo, y X2 igual a los kilogramos de pan del segundo

tipo. ZP, por lo tanto, serían las utilidades en bolívares. Entonces la función objetivo

será:

Max ZP = 3X1+ 4X2

Aquí, 3 y 4 son los coeficientes de la función objetivo, los cuales representan

la utilidad de cada tipo de pan en bolívares/kilogramo. Las restricciones, por otro

lado, serán:

(1) X1 ≤ 5 Cantidad disponible de mermelada

(2) X2 ≤ 8 Cantidad disponible de cajeta

(3) 2X1 + X2 ≤ 15 Cantidad disponible de harina

Siendo X1 y X2 no negativas; condición de no nulalidad.

Para el problema dual aplicaremos la metodología descrita antes. De acuerdo al

primer punto, el problema dual será de minimización, dado que el primario fue de

maximización. Conforme al segundo punto, para el problema dual se tendrán

restricciones del tipo mayor o igual que (≥), dado que las del primario son del tipo

menor o igual que (≤). En base al tercer punto, los coeficientes de la función objetivo

del primario, que son 3 y 4, serán ahora las constantes de las restricciones del modelo

dual, teniendo este por lo tanto dos restricciones.

De acuerdo al punto cuatro, las constantes de las restricciones del primario son

5, 8 y 15, por lo que estos serán los coeficientes de la función objetivo del problema

dual, el cual tendrá 3 variables. Ahora, conforme al punto cinco, los coeficientes de

las restricciones para el primario son:

X1 X2

1 0

0 1

2 1

Las cuales deben transponerse para el dual, es decir, colocar los renglones como

columnas, con esto tendremos:

Y 1 Y 2 Y 3

1 0 2

0 1 1

Estos serán ahora los coeficientes de las dos restricciones del modelo dual.

Finalmente, de acuerdo al paso seis, habrá 3 variables para el problema dual, las

cuales serán Y 1 ,Y 2 y Y 3. Con esto el planteamiento del dual será:

Min ZD = 5 Y 1 + 8Y 2 + 15Y 3

Sujeto a:

(1) Y 1 + 2Y 3 ≥ 3(2) Y 2 + Y 3 ≥ 4

Siendo Y 1 ,Y 2 y Y 3 no negativas; condición de no nulalidad.

Aquí es importante señalar que las variables duales son costos marginales de los

recursos utilizados, para el caso del ejemplo anterior tenemos:

Y 1 = Costo marginal de la mermelada, bolívares/unidad de mermelada

Y 2 = Costo marginal de la cajeta, bolívares/unidad de cajeta

Y 3 = Costo marginal de la harina, bolívares/unidad de harina

Por eso el objetivo del problema dual es ahora el de minimizar el consumo de

los recursos disponibles, es decir, la ZD, que es el costo por este concepto.

A continuación presentaremos en el ejemplo I.2 la resolución de los modelos

primario y dual del ejemplo I.1 a través del método simplex.

Ejemplo I.2: Resolver los problemas primario y dual del ejemplo I.1.

Para ambos problemas utilizaremos la metodología Simplex. Para el primario

tendremos que agregar variables de holgura, una por cada restricción, con una

contribución a la función objetivo de cero, es decir:

Max Zp = 3X1 + 4X2

Sujeto a:

X1 + H 1 = 5

X2+ H 2 = 8

2X1 + X2 + H 3 = 15

X1, X2 ≥ 0

De esta manera, lo que queda es empezar a iterar tantas veces como sea

necesario hasta romper la negatividad en las variables. Con esto, la primera tabla

Simplex será representada de la siguiente manera:

3 4 0 0 0

X1 X2 H 1 H 2 H 3

0 H 1 5 1 0 1 0 0

0 H 2 8 0 1 0 1 0

0 H 3 15 2 1 0 0 1

Z 0 -3 -4 0 0 0

Al aplicarle la metodología Simplex dará la siguiente iteración:

3 4 0 0 0

X1 X2 H 1 H 2 H 3

0 H 1 5 1 0 1 0 0

4 X2 8 0 1 0 1 0

0 H 3 7 2 0 0 -1 1

Z 32 -3 0 0 4 0

De aquí al proseguir con la metodología Simplex, se llega a la solución óptima

en la siguiente iteración, siendo la tabla respectiva la siguiente:

3 4 0 0 0

X1 X2 H 1 H 2 H 3

0 H 1 1.5 0 0 1 0.5 -0.5

4 X2 8 0 1 0 1 0

3 X1 3.5 1 0 0 -0.5 0.5

Z 42.5 0 0 0 2.5 1.5

Así, la solución es:

X1 = 3.5

X2= 8

Zp = 42.5

Para el problema dual, las restricciones necesitan una variable de holgura y otra

artificial por cada restricción, con esto tendremos:

Min ZD = 5Y 1 + 8Y 2 + 15Y 3

Sujeta a:

Y 1 + 2Y 3 - H 1 + F1 = 3

Y 2 + Y 3 - H 2 + F2 = 4

Y 1 ,Y 2 , Y 3≥ 0

Con esto, al aplicar la metodología Simplex, nuestra primera tabla será:

Nota: La tabla se encuentra en la página siguiente.

5 8 15 0 0 M M

Y 1 Y 2 Y 3 H 1 H 2 F1 F2

F1 3 1 0 2 -1 0 1 0

F2 4 0 1 1 0 -1 0 1

Z 0 5 8 15 0 0 0 0

-1 -1 -3 1 1 0 0

Si seguimos aplicando la metodología Simplex, nuestra tabla correspondiente

para la siguiente iteración es:

5 8 15 0 0 M

Y 1 Y 2 Y 3 H 1 H 2 F2

Y 3 1.5 0.5 0 1 -0.5 0 0

F2 2.5 -0.5 1 0 0.5 -1 1

Z -22.5 -2.5 8 0 7.5 0 0

0.5 -1 0 -0.5 1 0

Al pasar a la siguiente iteración se llega al óptimo, cuya tabla será:

5 8 15 0 0

Y 1 Y 2 Y 3 H 1 H 2

Y 3 1.5 0.5 0 1 -0.5 0

Y 2 2.5 -0.5 1 0 0.5 -1

Z -42.5 1.5 0 0 3.5 8

0 0 0 0 0

Cuya solución es:

Y 1=0

Y 2=2.5

Y 3=1.5

ZD=42.5

Aquí es significativo que en el punto óptimo ambos problemas dan el mismo

valor para la función objetivo, es decir Zp=Z D=42.5. Esta es una de las razones de la

importancia del problema dual, el cual al resolverse nos proporciona la solución del

primario. Esta igualdad de las funciones objetivo tiene una explicación, pues Zp es la

utilidad que se obtiene por los diferentes tipos de pan y ZD es el costo incurrido por

aplicar los recursos disponibles, de tal forma que en el punto óptimo ambas Z

coinciden dando la situación más adecuada para el negocio.

Otra situación importante que podemos señalar en este problema es que la

solución dual puede obtenerse desde la tabla final del primario, pues los coeficientes

índices de las variables de holgura en esta tabla son los valores de las variables duales

en la solución óptima dual, esto es:

      3 4 0 0 0

      X1 X2 H 1 ¿) H 2  (Y 2) H 3(Y 3)

0 H 1 1.5 0 0 1 0.5 -0.5

4 X2 8 0 1 0 1 0

3 X1 3.5 1 0 0 -0.5 0.5

   Z 42.5 0 0 0 2.5 1.5

H 1 P=0=Y 1

H 2 P=2.5=Y 2

H 3 P=3.5=Y 3

Asimismo de la tabla óptima dual podemos obtener la solución primaria al

coincidir los coeficientes índices de las variables de la holgura duales con los valores

óptimos para las variables primarias, esto es:

      5 8 15 0 0

      Y 1 Y 2 Y 3 H 1 (X1) H 2 (X2)

15 Y 3 1.5 0.5 0 1 -0.5 0

8 Y 2 2.5 -0.5 1 0 0.5 -1

   Z -42.5 1.5 0 0 3.5 8

H 1 D=3.5=X1

H 2 D=8=X2

Otros Tipos de Restricciones

Pueden existir otros tipos de restricciones para un problema primario dado. En

el ejemplo I.1 hemos planteado un problema primario de maximización con

restricciones del tipo menor o igual que (≤). ¿Cómo se hubiera manejado el problema

si contuviese restricciones del tipo mayor o igual que (≥), o del tipo igual que (=)? En

principio, todas las restricciones de un problema primario de maximización deberán

ser del tipo menor o igual que (≤), por consiguiente las restricciones distintas deberán

convertirse a este tipo. Para las restricciones del tipo mayor o igual que (≥), lo que

debe hacerse es multiplicar toda la desigualdad por (-1) e invertir su sentido, con esto

la transformaremos del tipo menor o igual que (≤). Por su parte, para las restricciones

de igualdad (=), esta restricción cambia por dos nuevas restricciones; una del tipo

menor o igual que (≤) y otra del tipo mayor o igual que (≥), la cual debe convertirse a

su vez al tipo menor o igual que (≤) en la forma como se explicó anteriormente.

Ejemplo I.3 – Plantear un modelo primal de restricciones variadas y su respectivo

dual.

Max Z=8 X1+13 X2

Sujeto a:

(1) 4X1+2 X2 ≤20

(2) 3X1+2 X2 ≥10

(3) 2X1+3 X2=12

Con X1 , X2, no negativas.

Solución

Este problema primario deberá modificarse en su segunda y tercera restricción

para ser planteado. La segunda restricción es del tipo mayor o igual que (≥), por lo

que deberá multiplicarse por (-1) e invertir el sentido de la desigualdad, con esto

tendremos:

(1) −3 X1−2X 2≥−10

La tercera restricción es de igualdad, por lo que la reemplazaremos por dos

nuevas restricciones, una del tipo menor o igual que (≤) y otra del tipo mayor o igual

que (≥), con esto obtendremos:

(3A) 2X1+3 X2 ≤ 12

(3B) 2X1+3 X2 ≥ 12

Ahora la restricción 3B debe convertirse al tipo menor o igual que (≤), lo cual

se logra al multiplicar la desigualdad por (-1) e invertir su sentido. Al efectuar esto

obtendremos:

(3B) −2 X1−3 X 2≤−12

Con lo cual el problema primario ya queda debidamente planteado.

Max Zp = 8X1 + 13X2

Sujeto a:

(1) 4X1+2 X2 ≤20

(2) −3 X1−2X 2≤−10

(3) 2 X1+3 X2 ≤12

(4) −2 X1−3 X 2≤−12

Siendo X1 y X2 ≥ 0

Ahora plantearemos el problema dual, el cual será de minimización con

restricciones del tipo mayor o igual que (≥). Los coeficientes de la función objetivo, 8

y |13, pasaran a ser las constantes de las restricciones del dual, por lo que habrá dos

restricciones en este. Las constantes de las restricciones del primario; 20, -10, 12, y -

12, serán coeficientes de la función objetivo dual, por lo que este tendrá 4 variables.

Ahora transportemos la matriz de coeficientes de las restricciones del primario, la

cual es:

4 2

-3 -2

2 3

-2 -3

Que para el dual será:

4 -3 2 -2

2 -2 3 -3

Con esto, el dual será:

Min ZD=20 Y 1−10 Y 2+12Y 3−12Y 4

Sujeto a:

4 Y 1−3 Y 2+2Y 3−2Y 4 ≥ 8

2 Y 1−2Y 2+3Y 3−3Y 4 ≥13

Siendo Y 1 ,Y 2 , Y 3 yY 4≥ 0

Principios de la Dualidad Fuerte y Débil

Principio de la Dualidad Fuerte

Si el problema primario tiene una solución óptima, entonces el problema dual

también tendrá una solución óptima con idénticos valores para la función objetivo, es

decir:

Zp = ZD

Donde Zp = Valor de la función objetivo para el problema primario.

ZD = Valor de la función objetivo para el problema dual.

Un ejemplo de este principio se encuentra en el ejemplo I.1; podemos ver como

ambas soluciones óptimas tuvieron idénticos valores.

Solución primal Solución dual

ZP=42.5 ZD=42.5

Principio de la Dualidad Débil

Para cualquier otra solución de un problema que no sea la óptima, se cumplirá

que:

Zp≤ ZD

Donde el signo de la desigualdad de menor que ¿) aplica para aquellos casos en

los cuales ambas soluciones del primario y del dual son factibles. Por su parte, el

signo de igualdad surtirá efecto cuando la solución del dual no sea factible por no

cumplir con las restricciones.

Si aplicamos este principio al ejemplo I.2, vemos que para la segunda tabla la

solución primal y dual son:

Solución primal Solución dual

X1=0 H 2(Y ¿¿2)=4¿

X2=8 H 1(Y ¿¿1)=0¿

ZP=32 H 3(Y ¿¿3)=0¿

ZD=32

Aquí se observa la igualdad ZP=ZD , por lo que conforme a lo establecido

anteriormente, la solución dual no es factible. De esto nos damos cuenta al revisar

que el problema dual no cumple con su primera restricción la cual indica que

Y 1+2 Y 2≥ 4, siendo que tanto Y 1 como Y 3 son cero, por lo cual la solución dual no es

factible.

Clasificación de los Problemas Duales

Los problemas duales se clasifican en dos grandes grupos: Simétricos y

Asimétricos. Los primeros son aquellos casos en los cuales tanto el problema

primario como el dual incluyen restricciones homogéneas (un problema de un tipo y

el otro del tipo contrario). Un ejemplo sería el modelo primal y dual del ejemplo I.1,

ya que el primero incluye restricciones del tipo menor o igual que ¿), mientras que el

dual contiene restricciones del tipo mayor o igual que ¿).

Los problemas asimétricos por su parte son aquellos en los cuales el primario

contiene restricciones de igualdad. Como es el caso del siguiente modelo.

Para poder conseguir el modelo dual de un modelo primal, este debe tener

restricciones homogéneas (modelo simétrico), por lo tanto, la igualdad debe

desembarcar dos igualdades, y luego se le debe multiplicar -1 a cada una de esas

restricciones que rompan la homogeneidad. Esto se explica en el ejemplo I.3.

Relaciones entre un Modelo Primal y un Modelo Dual

Asociado a cada problema lineal existe otro problema de programación lineal

denominado problema dual, que posee importantes propiedades y relaciones notables

con respecto al problema lineal original, problema que para diferencia del dual se

denomina entonces como problema primal. Las relaciones las podemos enumerar

como sigue:

1. El problema dual tiene tantas variables como restricciones tiene el problema

primal.

2. El problema dual tiene tantas restricciones como variables tiene el problema

primal.

3. Los coeficientes de la función objetivo del problema dual son los términos

independientes de las restricciones del programa primal.

4. Los términos independientes de las restricciones del dual son los

coeficientes de la función objetivo del problema primal.

5. La matriz de coeficientes técnicos del problema dual es la traspuesta de la

matriz técnica del problema primal.

6. El sentido de las desigualdades de las restricciones del problema dual y el

signo de las variables del mismo problema, dependen de la forma que tenga

el signo de las variables del problema primal y del sentido de las

restricciones del mismo problema.

7. Si el programa primal es un problema de maximización, el programa dual

es un problema de minimización.

8. El problema dual de un problema dual es el programa primal original.

BIBLIOGRAFÍA

Juan, M. Izar. (1996). Fundamentos de investigación de operaciones para

administración (1ª ed.). Unidad Zona Media, 1999. México.

Hamdy, A. Taha. (2011). Investigación de Operaciones (9ª ed.). Pearson, 2012.

Arkansas.