E. Raffo Lecca

5Teoría de la dualidad

El andrógino según el mito de Platón, eran seres que simultáneamente fueron varón y mujer.

Dos caras que miraban en direcciones opuestas, cuatro orejas, dos pares de ojos, dos sexos,

dos pares de brazos y dos pares de piernas, etc. Se cuenta que los dioses decidieron debilitarla

dividiéndola en dos partes y fue así que de un lado quedaron las mujeres y del otro los

hombres: la dualidad.

El término dualidad es muy utilizado en ingeniería. Por ejemplo en ingeniería

eléctrica, los elementos eléctricos se asocian en pares denominados duales. El dual de una

relación se forma intercambiando voltaje y corriente en una expresión. La expresión dual

generada es una de la misma forma. A continuación una pequeña lista de estas relaciones:

tensión-corriente, circuito paralelo-circuito serie, resistencia-conductancia, impedancia-

admitancia.

La relación capacitor e inductor en su forma diferencial es:

iC=Cd vC

dt⇔ v L=L

d iL

dt

Los economistas, utilizan el concepto de la dualidad para presentar las preferencias del

consumidor. Como por ejemplo las relaciones que existen entre ellas y la forma en que se

derivan las funciones de demanda.

E. Raffo Lecca

La idea de la dualidad en la teoría del consumidor, es que un problema de elección

puede ser caracterizado en formas alternativas, esto es, con diferentes modelos, y que además

existen ciertas relaciones entre los resultados encontrados en los modelos alternativos. Por un

lado se maximiza la utilidad, restringido en la demanda marshalliana y por otro lado se

minimiza el gasto necesario para alcanzar un cierto nivel de bienestar.

Los principios de la dualidad como se aprecia aparecen en las ramas de las

matemáticas, física (ondas-partículas) y estadística.

En programación matemática, principalmente en Programación lineal, la dualidad

admite una interesante interpretación económica.

Dualidad es la reunión de dos caracteres o características distintos en una misma

persona o cosa.

1. Introducción

En Programación lineal para cada PL existe un asociado PL; el cual satisface propiedades

muy importantes. Este asociado PL es vehículo para obtener la solución al PL original.

Al PL original para distinguirlo de su asociado, se le denomina problema primal, y al

otro problema dual.

En este capítulo se estudian:

Formulación del problema dual.

Relaciones primal-dual.

El teorema fundamental de la dualidad.

Interpretación económica del dual.

La holgura complementaria.

El método simplex dual.

E. Raffo Lecca

2. Formulación del problema dual

Una factoría produce n bienes o productos j=1,2 ,…, n, utilizando m diferentes materiales o

recursos i=1,2 , …, m. Cada producto o salida j se vende en c j , j=1,2 ,…,n y requiere una

cantidad de entradas a ij, i=1,2 , …, m. El total de entradas de i es b i. El problema de la factoría

es como optimizar sus salidas, utilizando únicamente las entradas o recursos disponibles.

Entradas Cantidad de entradas en salida j

Total de entradas

1 a1 j b1

2 a2 j b2

… … …m amj bm

Tabla 1: Análisis Input-Output

Sea x j , j=1,2 , …, n la cantidad de la salida a producir; entonces la función objetivo es:

max z=¿ c1 x1+c2 x2+…+cn xn ¿

La cantidad de recurso i ,i=1,2 , …, m disponible, impone la siguiente restricción:

a i1 x1+ai 2 x2+…+a¿ xn≤ bi

Esto es la formulación de un programa lineal:

Forma canónicamax z=cx

Sujeto a:

Ax ≤ b

x≥ 0

Un problema diferente es la carga financiera, que surge con el afán de proteger la

inversión realizada en producir un bien terminado. Se debe asegurar los recursos contra

incendios, huelgas y otros riesgos.

E. Raffo Lecca

Es necesario valorar los recursos contra accidentes o desastres, como compensación a

los ingresos que generan la venta de los productos vendidos.

Sea ui la valoración de cada unidad de la entrada i ,i=1,2 , …, m , que para el total de

entrada b i genera un valor total ui bi. Entonces la valoración de todas las entradas asegura

minimizar los costos de compensación:

min w=¿b1u1+b2u2+…+bm um ¿

Entradas

Cantidad de entradas en salida j

Total de entradas

Valoración

1 a1 j b1 u1

2 a2 j b2 u2

… … … …m amj bm um

Ingresos c j

Tabla 2: Valoración de la entrada

Para producir una unidad del producto j , j=1,2, …, n es necesario valorar la

combinación de todas las entradas i ,i=1,2 , …, m; cumpliéndose al menos que este costo total

sea el valor del ingreso que se obtiene por una unidad de j:

a1 ju1+a2 j u2+…+amjum≥ c j

Entradas Cantidad de entradas en salida j

Valoración

1 a1 j u1

2 a2 j u2

… … …m amj um

Ingresos c j

Tabla 3: Valoración de la entrada

PL producción PL compensaciónmax z=cx

Sujeto a:

min z=bT u

Sujeto a:

E. Raffo Lecca

Ax ≤ b

x≥ 0

AT u ≥ cT

u ≥ 0

Un PL es conocido como primal y a su asociado dual. En el primal existen m

restricciones, originando m variables duales. En el primal existen n variables, originando n

restricciones duales.

Primal Dualmax min

c bT

B cT

A AT

≤ ≥

Tabla 3: Problemas simétricos

Suponga que la entrada segunda, tiene a disposición 40 horas-hombres y en la

asignación óptima sólo se necesitan 30 horas-hombres. Si 5 o 6 horas-hombres del total del

recurso se desperdician, esto no afecta al ingreso de las ventas; más si afecta al ingreso que

las 40 horas-hombres sean desperdiciadas; el valor de esta entrada es u2= 0. En programación

lineal se trata de asignar óptimamente los recursos, que son escasos; y este caso la entrada no

es escasa porque tiene tiempos de ocio.

Teorema

El dual del dual es el primal

Forma canónica Primal Dualmin z=cx

Sujeto a:

Ax ≥ b

x≥ 0

max z=−cx

Sujeto a:

−Ax ≤−b

x≥ 0

min w=−bT u

Sujeto a:

−AT u ≥−cT

u ≥ 0

Primal Dualmin z=cx max w=bT u

E. Raffo Lecca

Sujeto a:

Ax ≥ b

x≥ 0

Sujeto a:

AT x ≤ cT

u ≥ 0

Obtener el dual al PL:

max z=3 x1+2 x2

Sujeto a:

x1+ x2 ≤ 40

x1+2 x2 ≤ 40

x1≥ 0 , x2≥ 0

Asociando a cada restricción primal una variables de holgura se tiene:

min w=40u1+40 u2

Sujeto a:

u1+u2 ≥3

u1+2 u2≥ 2

u1 ≥ 0 ,u2 ≥ 0

Obtener el dual al PL:

min z=3 x1+6 x2+18 x3

Sujeto a:

x1+3 x3 ≥3

x2+2 x3 ≥5

x1≥ 0 , x2≥ 0 , x3 ≥ 0

Asociando a cada restricción primal una variables de holgura se tiene:

max w=3u1+5 u2

Sujeto a:

u1 ≤3

u2 ≤6

3 u1+2u2≤ 18

u1 ≥ 0 ,u2 ≥ 0

E. Raffo Lecca

Forma estándar

Forma estándar Forma canónicamax z=cx

Sujeto a:

Ax=b

x≥ 0

max z=cx

Sujeto a:

Ax ≤ b

−Ax ≤−b

x≥ 0

( A−A) x≤( b

−b)El dual viene como

( AT−AT )( u 'u ' ')≥ c , resultando AT (u'−u' ')≥ c.

AT u ≥ c , u es variable libre

Primal Dualmax z=cx

Sujeto a:

Ax=b

x≥ 0

min w=bT u

Sujeto a:

AT u ≥ c

u libre

Sea el PL:

min w=40 x1+40 x2

Sujeto a:

x1+ x2=3

x1+2 x2=2

x1≥ 0 , x2≥ 0

Su asociado dual es:

max z=3 u1+2u2

Sujeto a:

u1+u2 ≤ 40

E. Raffo Lecca

u1+2 u2≤ 40

u1 ,u2libres

El Tablero de Tucker

A. W. Tucker, condensa estas relaciones de transformación de primal a dual, en un

tablero. El primal es leído como fila y el dual como columna.

x1 x2 … xn ≤u1 a11 a12 … a1n b1

u2 a21 a22 … a2n b2

⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮um am1 am2 … amn bm

≥ c1 c2 … cn

Formas mixtas

PL Forma estándarmax z=cx

Sujeto a:

A1 x≤ b1

A2 x=b2

A3 x≥ b3

x≥ 0

max z=cx

Sujeto a:

A1 x+ Ix s 1=b1

A2 x=b2

A3 x−Ixs 2=b3

x , xs 1 , xs 2≥ 0

Dualmin w=b1

T u1+b2T u2+b3

T u3

Sujeto a:

A1T u1+ A2

T u2+ A3T u3≥ c

Iu1 ≥ 0

−I u3≥ 0

u1 ,u2 , u3 libres

E. Raffo Lecca

Primal Dualmax z=cx

Sujeto a:

A1 x≤ b1

A2 x=b2

A3 x≥ b3

x≥ 0

min w=b1T u1+b2

T u2 b3T u3

Sujeto a:

A1T u1+ A2

T u2+ A3T u3≥ c

u2 libre

u1 ≥ 0 ,u3 ≤ 0

En la forma canónica de la maximización, se observa que las restricciones del tipo

“menor o igual”, generan variables duales no negativas; las del tipo “mayor o igual”, generan

variables duales no positivas.

min z=3 x1+6 x2+18 x3

Sujeto a:

x1+3 x3 ≥3

x2+2 x3 ≤5

x1+2 x2+3 x3=3

x1≤ 0 , x2es libre , x3≥ 0

Su dual:

max z=3 u1+5u2+3 u3

Sujeto a:

u1+u3 ≥3

u2+2 u3=6

3 u1+2u2+3u3≤ 18

u1 ≥ 0 ,u2 ≤ 0 ,u3es libre

En el supuesto de un PL de maximización (que aquí considera el PL primal); los

considerandos para encontrar su PL dual se muestran en la tabla.

E. Raffo Lecca

Primal Dual

Var

iab

le

≥ ≥

rest

ricc

ión

≤ ≤= libre

Res

tric

ció

n ≥ ≤

Var

iab

le≤ ≥= Libre

3. Relaciones entre el PL Primal y Dual

El PL primal o simplemente primal desde la versión de la maximización tiene asociado un PL

dual o simplemente dual en:

Primal Dualmax z=cx

Sujeto a:

Ax ≤ b

x≥ 0

min w=bT u

Sujeto a:

AT u ≥ cT

u ≥ 0

A continuación se presentan dos lemas atribuidos a Gale, Kuhn y Tucker.

Lema 1 de la dualidad (propiedad débil)

Si x0es una solución factible al primal P y u0 una solución factible al dual D, entonces se

cumple: c x0≤ bT u0

De A x0≤ b y AT u0≥ cT , se tiene que

u0T A x0 ≤bT u0 y x0 AT u0 ≥ c x0 entonces z≤ w

E. Raffo Lecca

Lema 2 de la dualidad

Si x0es una solución factible al primal P y u0 una solución factible al dual D, y se cumple

c x0=bT u0, entonces x0 y u0 son soluciones óptimas.

Como el problema P busca maximizar a c x0 y el problema D minimizar bT u0 ,

encuentran en x0 y u0 la solución óptima, y z=c x0=bT u0=w. Ver figura.

Figura: Relaciones primal y dual

4. El teorema fundamental de la dualidad

Una solución factible x0 al primal P es óptima, si y sólo si existe una solución factible u0 al

dual D, tal que c x0=bT u0.

Este teorema está ligado al lema de Farkas o teorema de Minkowski- Farkas, donde se

enuncia que uno de los dos sistemas tiene una solución factible y el otro es inconsistente.

Problema 1 Problema 2Ax=b AT u ≥ 0

E. Raffo Lecca

x≥ 0 bT u<0

Un sistema de ecuaciones se considera como problema P, entonces la función objetivo

z vale cero, igual debe ser w. Entonces para que no se cumpla la propiedad que z=0≤ w , el

valor tiene que ser w<z=0; es decir bT u<0.

Primal Dualmax z=0 x

Sujeto a:

Ax=b

x≥ 0

min w=bT u

Sujeto a:

AT u ≥ 0

u libre

5. Interpretación económica

La teoría de la dualidad es importante cuando se quieren plantear algoritmos computacionales

a la solución de diversos problemas de optimización: haciendo uso de las relaciones primal y

dual. La economía matemática ha sido notablemente favorecida por esta teoría.

En un economía de competencia perfecta, los precios sombras permiten que un

negocio no se exceda en sus utilidades, puesto que otro negocio que ingresa al mercado con

precios bajos y elimina el exceso de las utilidades.

La economía matemática, al identificar los justiprecios, permite un mecanismo de

regulación en una economía de competencia perfecta.

Sea el PL:

max z=3 x1+6 x2

Sujeto a:

x1+3 x2 ≥3

x1+2 x2 ≤5

x1 , x2≥ 0

E. Raffo Lecca

Asumir que en un PL, con el sistema de ecuaciones Ax=b, la matriz A y el vector c

son fijos, y el vector b es variable; entonces de z=w y definiendo la función f (b )=bT u , se

concluye que ∂ f∂ b

=u .

Se define el vector dual como el valor marginal de la función objetivo con respecto al

recurso:

u=∂ z∂ b

Una variación del recurso, trae consigo una variación en la función objetivo.

Económicamente, el vector u en el óptimo, es el vector de precios sombras (shadow prices),

para el vector RHS. Si la restricción i representa las horas-hombre en el Dpto. de corte, el

valor ui significa el precio justo que se pagaría por una unidad adicional del recurso i.

Así cuando el vector de recursos cambia del original con z=15 , a b+∆ b se tiene:

b+∆ b=(45), z=15 luego u1=∆ z /∆ b1 es cero. En cambio para b+∆ b=(3

6), z=18 luego

u2=∆ z /∆ b2 es tres.

E. Raffo Lecca

El asociado dual es:

min z=3u1+5 u2

Sujeto a:

u1+u2 ≥3

3 u1+u2 ≥6

u2 ≤ 0 ,u2 ≥ 0

Se observa que w=3 (0 )+5 (3 )=15 igual a z.

Por definición las variables duales son:

u=∂ z∂ b

=∂ c B xB

∂ b

u=∂ c B B−1 b

∂ b=cB B−1

En el problema primal la base es B=[ a1 a2 ] , cB=(3 6 ) , B=(−2 31 −1), luego:

u=cB B−1=(0 3 )

Desde el teorema fundamental de la dualidad, se establece que las variables en el

primal y las del dual, se encuentran en equilibrio; es decir los costos por compensación se

igualan a las ganancias por producción.

En cualquier tablero simplex los costos reducidos asociados a las variables que

constituyen la solución inicial, cumplen con:

z j−c j=cB B−1a j−c j=u a j−c j=u e j−c j=u j−c j

Para el caso de las variables de holgura, el costo reducido queda como:

z j−c j=u j

E. Raffo Lecca

En el tablero simplex, se observa que es óptimo; luego u1=3, u2=0 ,

z=w=3 ( 40 )+0 (40 )=120

xB z x1 x2 s1 s2 RHSz 1 0 1 3 0 120x1 0 1 1 1 0 40s2 0 0 1 -1 1 0

6. Teorema de la holgura complementaria

Sean los PL primales y duales:

Primal Dualmax z=cx

Sujeto a:

Ax ≤ b

x≥ 0

min w=bT u

Sujeto a:

AT u ≥ cT

u ≥ 0

En la forma estándar:

Primal Dualmax z=cx

Sujeto a:

Ax+ I x s=b

x≥ 0

min w=bT u

Sujeto a:

AT u−us=cT

u ≥ 0

Se obtiene:

uT Ax+uT xs=bT u y xAT u−us x=cx desde el lema 2

uT xs+us x=0 ,

Equivalente a;

uT xs=0 , us x=0

La interpretación económica es como sigue: Si un recurso tiene excedentes entonces

su precio sombra o justiprecio es cero. Lo cual significa que para un recurso abundante no

tiene significado el incremento de la función objetivo, aumentando el recurso.

E. Raffo Lecca

Sea el PL:

max z=3 x1+6 x2+18 x3

Sujeto a:

x1+3 x3 ≤3

x2+2 x3 ≤5

x1 , x2 , x3≥ 0

El PL dual es:

min z=3u1+5 u2

Sujeto a:

u1 ≥3

u2 ≥6

3 u1+2u2≥ 18

u1 ≥ 0 ,u2 ≥ 0

Resolviendo su asociado dual, en forma gráfica se obtiene:

E. Raffo Lecca

u1=3 , u2=6 , z=39

En las ecuaciones del dual, las dos primeras holguras son ceros:

u1=3

u2=6

3 u1+2u2≥ 18

Asociado a cada problema D, existen las variables del primal el vector x que están en

el nivel de la base (sus valores son mayor que cero, salvo que exista degeneración).

Al ser las variables duales mayores que cero, entonces cada restricción primal es sin

holgura, quedando el sistema de ecuaciones como sigue:

x1=3

x2=5

Desde z=w=39, se observa que x1=3, x2=5 y x3=0 .

En la biblia de la Programación lineal (Linear Programming and Extensions de

George B. Dantzig), se presenta el problema del Pill manufacturer. El problema se enuncia de

la manera siguiente: una ama de casa puede comprar insumos en una tienda, los que varían en

precios y cantidad de nutrientes: calorías y vitaminas (ver tabla 1). El problema del ama de

casa es encontrar la dieta a costo mínimo, el requisito es que al menos se cumplan con 21% y

25% de calorías y vitaminas respectivamente.

Nutrientes Insumo 1 Insumo2 Insumo 3 Insumo 4 Insumo 5Calorías 1 1 2 0 1Vitaminas 0 1 1 1 2Costo 20 15 25 20 18

Tabla 1: Datos para el problema de Pill

El primal se presenta como:

min z=20 x1+15 x2+25 x3+20 x4+18 x5

Sujeto a:

x1+ x2+2 x3+x5 ≥21

E. Raffo Lecca

x2+ x3+x4 +2 x5≥ 25

x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥ 0

El dual se presenta como:

max z=21 u1+25 u2

Sujeto a:

u1 ≤20

u1+u2 ≤15

2 u1+u2≤ 25

u2 ≤20

u1+2 u2≤ 18

u1 ,u2≥ 0

La solución con la modalidad gráfica es: u1=10.67 ,u2=3.67 , z=315.67. Esto significa

que las restricciones primales son sin holgura y w=z=315.67.

Por su parte examinando el dual se encuentra que:

Restricciones

Utilización RHS Holgura Var. Primal

1 10.67 20 Si 0

E. Raffo Lecca

2 14.34 15 Si 03 25.00 25 No >04 3.67 20 Si 05 18.00 18 No >0

Luego se resuelven las ecuaciones:

2 x3 +x5=21

x3+2 x5=25

Los valores en el primal son:

x3=173

, x5=293

, z=25 x3+18 x5=315.67

7. Teorema de la existencia

a) Un PL tiene una solución finita óptima si y sólo si, ambos: éste y su dual tienen

solución factible.

b) Si el problema primal tiene un máximo no acotado, entonces el problema dual

no tiene solución factible.

c) Si el problema dual no tiene solución factible, pero el problema primal si tiene

solución factible, entonces, el problema primal tiene un máximo no acotado.

8. El método simplex dual

El método simplex dual es muy similar al método simplex descrito anteriormente también

conocido como simplex primal o primal estándar, y difieren en el criterio de entrada y salida.

E. Raffo Lecca

Figura 5.2: Factibilidades primal y dual

Este algoritmo fue construido por C. E. Lemke, y refiere a la factibilidad dual que se

mantiene durante todo el proceso computacional, tal como ocurre con el método simplex

primal con la factibilidad, donde la base B es base factible del problema primal si B−1 b ≥ 0

(ver figura 5.2). El problema primal empieza con una BFS y se mueve conservando la

factibilidad (del primal), mejorando la factibilidad dual. En el problema dual se hace lo

opuesto, se empieza con una factibilidad dual pero con un primal no factible, y en cada

iteración o pivoteo se mantiene la factibilidad dual y se mejora la factibilidad del primal.

Cuando la base actual cumple con la factibilidad del primal, el óptimo es conseguido por el

criterio de satisfacción de ser la BFS factible y óptima.

Primal estándar max Primal estándar minmax z=cx

Sujeto a:

Ax=b

x≥ 0

min z=cx

Sujeto a:

Ax=b

x≥ 0

Desde la forma estándar del primal de maximización, preservar la factibilidad dual

refiere a resolver el simplex dual, cumpliendo la condición:

z j−c j=cB B−1a j−c j=ua j−c j≥ 0 , j=1 ,⋯ , n

E. Raffo Lecca

Y la asociada solución xB en la solución dual:

u=cB B−1

Satisface cada restricción del problema dual. En el caso de un problema de minimización, la

asociada solución dual satisface todas las restricciones si y solo si:

z j−c j=cB B−1a j−c j=ua j−c j≤ 0 , j=1 ,⋯ ,n

Primal estándar de minimización

Primal estándar de minimización

min z=cx

Sujeto a:

Ax=b

x≥ 0

min z=c B xB+cN xN

Sujeto a:

B x B+N x N=b

xB , xN ≥ 0

El simplex dual empieza con una solución básica al primal de maximización (o

minimización), cumpliendo que todos los costos reducidos son mayores (menores) o iguales

que cero. Lo cual no siempre es fácil de conseguir.

Un tipo particular de PL es ideal para el razonamiento de la factibilidad dual; debido a

que la solución inicial cumple con la factibilidad dual. Examine el PL siguiente:

Primal canónico Primal estándarmin z=cx

Sujeto a:

Ax ≥ b

x≥ 0 , c ≥0

min z=cx

Sujeto a:

Ax−I xs=b

x≥ 0 , xs ≥0

Al convertir las desigualdades a la forma estándar se tiene que la solución inicial es:

xB=xs=−b

Desde la solución inicial, el valor de la base B=−I y cB=0 , los costos reducidos son:

z j−c j=cB B−1a j−c j=−c j≤ 0 , j=1 ,⋯ , n

E. Raffo Lecca

La asociada solución dual es:

u=cB B−1=0

Sea el PL:

Primal Dualmin z=cx

Sujeto a:

Ax=b

x≥ 0

max w=ubT

Sujeto a:

AT u ≤ cT

u libre

Sea una base B y una solución básica xB=B−1b para el problema primal, cumpliendo

la condición z j−c j ≤0 y con uno o más xBi<0.

Desde el teorema de la dualidad se tiene que wmax=zmin . Para el caso de ser z<zmin,

entonces se desarrolla una secuencia de pivotes para mejorar el problema primal. Cuando xk

reemplaza a xBr en la base, el nuevo valor es:

z−xBr

yrk

(zk−ck)

Se selecciona una variable negativa xBr a convertirse en cero y salir de la base; y al ser

el costo reducido no positivo zk−ck ≤ 0, el nuevo valor de z se incrementa. Esto ocurre

siempre y cuando yrk<0.

El algoritmo simplex dual se resume en seleccionar la variable de salida en:

xBr=min ( xBi ),

Y la variable de entrada como:

zk−ck

yrk

=min( z j−c j

yrj

, yrj<0)Sea el PL:

min z=20 x1+15 x2+25 x3+20 x4+18 x5

Sujeto a:

E. Raffo Lecca

x1+ x2+2 x3+x5 ≥21

x2+ x3+x4 +2 x5≥ 25

x1 , x2 , x3 , x4 , x5≥ 0

El correspondiente tablero para aplicar el simplex dual es como sigue:

xB x1 x2 x3 x4 x5 s1 s2 RHSz -20 -15 -25 -20 -18 0 0 0s1 -1 -1 -2 0 -1 1 0 -21s2 0 -1 -1 -1 -2 0 1 -25

Variable de salida:s2

Variable de entrada: x5=min(−15−1

,−25−1

,−20−1

,−18−2 )=9

xB x1 x2 x3 x4 x5 s1 s2 RHSz -20 -6 -16 -11 0 0 -9 -225s1 -1 -0.5 -1.5 0.5 0 1 -0.5 -8.5x5 0 0.5 0.5 0.5 1 0 -0.5 12.5

Variable de salida:s1

Variable de entrada: x3=min(−20−1

,−6

−0.5,−16−1.5 )=32/3

xB x1 x2 x3 x4 x5 s1 s2 RHSz -9.333 -0.667 0 -16.333 0 -10.667 -3.667 315.667x3 0.667 0.333 1 -0.333 0 -0.667 0.333 5.667x5 -0.333 0.333 0 0.667 1 0.333 -0.667 9.667

Los valores son:

x3=173

, x5=293

, z=25 x3+18 x5=315.667

Problemas propuestos

1. Demostrar que:

y j=−∂ x B

∂ x j

E. Raffo Lecca

z j−c j=−∂ z∂ x j

2. Indicar la validez de la desigualdad dentro de un PL:

∑i=1

m

aij∂ f∂ xi

≥ c j

3. Obtener los valores óptimos de la función objetivo con respecto a b, para el PL

siguiente:

max z=0+2 x2

Sujeto a:

5 x1−3 x2 ≤10

−2 x1+5 x2≤ 15

x1+ x2 ≤ b

x1 , x2≥ 0

4. Resuelva el PL, con sólo inspeccionar su dual.

max z=12 x1+15 x2−11 x3

Sujeto a:

4 x1+3 x2−2 x3≤ 10

x1 , x2 , x3 ,≥ 0

Su dual viene como:

min z=10 u1

Sujeto a:

4 u1≥ 12

3 u1≥ 15

−2 u1≥−11

u1 ≥ 0 ,u2 ≥ 0

E. Raffo Lecca

El conjunto solución es:{u1 ≥ 3}∩ {u1 ≥5 }∩ {u1≤ 11/2}={u1 ≥5 ∩u1 ≤11 /2 }El mínimo se cumple en u1=5 y z=50=w.

Examinando las restricciones duales, sólo la segunda es sin holgura, luego x1=x2 y

valen cero. De z=15 x2=50 , x2=10/3.