teoria de la dualidad 2015

7/17/2019 Teoria de La Dualidad 2015

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Tema 4: Teorıa de dualidad. Algoritmo Dual del Simplex 1

4.1 Introduccion

4.2 Definicion del Problema Dual

4.3 Relaciones Primal-Dual

4.4 Condiciones de Holgura Complementaria

4.5 Interpretacion Economica de la Dualidad

4.6 Determinacion de la Solucion Optima a partir de la Tabla Opti-

ma del Problema Primal

4.7 El Algoritmo Dual del Simplex

4.1. Introduccion

Uno de los descubrimientos mas importantes durante el desarrollo ini-

cial de la programacion lineal fue el concepto de dualidad y sus muchas e

i t t ifi i E t d b i i t l´ i d t d



i t t ifi i E t d b i i t l´ i d t d

Tema 4: Teorıa de dualidad. Algoritmo Dual del Simplex

los ordenadores todavıa no se habıan desarrollado y el potencial del metodo

Simplex estaba aun por descubrir. El azar quiso que Von Neumann acabase

justo de escribir un texto sobre teorıa de juegos, y fueron los resultados de

dicha teorıa los que le permitieron reconocer, de forma inmediata, la relacion

entre los juegos de suma nula entre dos jugadores y la programacion lineal.El objetivo de este apartado es introducir la construccion del problema

dual asociado a un problema de programacion lineal general, y establecer,

a traves de los principales resultados de dualidad, las relaciones entre am-

bos problemas. Veremos tambien como, en ausencia de degeneracion, las

denominadas condiciones de holgura complementaria nos permiten obtener,

unıvocamente, la solucion optima de cualquiera de los problemas de un par

primal-dual a partir de la solucion optima del otro. Terminaremos introdu-

ciendo la naturaleza economica de la teorıa de la dualidad. De hecho, puede

decirse que la clave de esta teorıa esta en interpretar los problemas primal y

dual como modelizaciones, desde dos puntos de vista opuestos, de una misma

situacion a la que se enfrentan dos personas que compiten entre sı. En este

modelo de competitividad, el beneficio maximo que puede obtener una de

ll l l l ilib l ´ did ´ i




todos no positivos,

z j − c j = ctBB−1a j − c j ≤ 0, ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n}.

Es decir, la optimalidad “equivale” a encontrar una combinacion lineal de

las filas de A cuyo resultado, ctBB−1A, sea un vector que acote inferiormenteal vector de costes de la funcion objetivo. Si pensamos en los multiplicado-

res de las filas, ctBB−1, como en variables cuyo valor desconocemos, podrıa

decirse que la resolucion del problema de Programacion Lineal consiste en

la busqueda de los valores adecuados para que, ωtA ≤ c. Hemos construi-

do ası un nuevo conjunto de restricciones de un problema de programacion

lineal, para el que la solucion asociada a la submatriz, B, definida por lascolumnas asociadas a las variables basicas optimas de P (en adelante base

optima), ωt = ctBB−1, no unicamente es posible, sino que ademas, es optima

para la funcion objetivo Max btω. Estamos en condiciones de definir el proble-

ma dual del problema primal en forma est´ andar como el siguiente problema

de programacion lineal: t




Simetrıa de la Dualidad

El dual del dual es el primal

En efecto, sea P el problema primal en forma estandar, y D el correspon-

diente dual. Podemos expresar el problema D en forma estandar aplicando

el siguiente cambio de variables: ω = ω1 − ω2, ω1, ω2 ∈ IRm+

− Min −bt(ω1 − ω2)

s.a: At(ω1 − ω2) + ωh = c

ω1 ≥ 0m, ω2 ≥ 0m, ωh ≥ 0n.

Es decir, D es ahora:

− Min (−bt, bt, 0)

ω1

ω2

ωh




PPL. Sin embargo, esta tarea resulta en ocasiones larga y tediosa, por lo que

resulta mas apropiado llevar a cabo una construccion directa del problema

dual. Para ello hay que tener en cuenta lo siguiente:

1. Por cada restriccion del problema primal (excepto las de no negativi-

dad) se define una variable en el problema dual.

2. Por cada variable en el problema primal se define una restricci on en el

problema dual. Los coeficientes de las variables en estas restricciones se

obtienen de la columna en el problema primal asociada a dicha variable.

El termino de la derecha de la restriccion es igual al coeficiente en la

funcion objetivo del primal de la misma variable.

3. Los coeficientes de la funcion objetivo del problema dual son iguales al

RHS del problema primal.

Las reglas para determinar el sentido de la optimizacion, el tipo de restriccion

y el signo de las variables en el problema dual se dan en la siguiente tabla:




Ejemplo 4.2.2

Dado el problema de programacion lineal:

Max 8x1 + 3x2 − 2x3

s.a.: 1x1 − 6x2 + 1x3 ≥ 2

5x1 + 7x2 − 2x3 = −4

x1 ≤ 0

x2 ≥ 0

x3 no restringido

su dual es:Min 2ω1 − 4ω2

s.a.: 1ω1 + 5ω2 ≤ 8

− 6ω1 + 7ω2 ≥ 3

1ω1 − 2ω2 = −2

ω1 ≤ 0

ω2 no restringida

4 3 R l i P i l D l




En cualquier iteracion del sımplex del problema primal o del dual, el coste

reducido de la variable j en un problema es igual al lado izquierdo menos el

lado derecho de la restricci´ on j en el otro problema

Este resultado es ventajoso desde el punto de vista de los calculos ya que

podemos resolver el problema que resulte mas sencillo de los dos y aplicar

despues esta propiedad para obtener la solucion optima del otro. Pensemos

por ejemplo en el dual de un problema con 100 variables y 500 restricciones.

Resolver el dual implica trabajar con un problema de 500 variables y 100

restricciones que sin duda es mucho mas sencillo ya que trabajaremos con

inversas de matrices 100 x 100 en lugar de 500 x 500.

A continuacion presentamos una relacion entre el primal y el dual, que

junto con la propiedad anterior, se puede emplear para proporcionar intere-

santes interpretaciones economicas del problema de programacion lineal.

T d D lid d D´bil




El valor de la funcion objetivo en cualquier solucion posible

del problema de minimizacion proporciona una cota superior

del valor de la funcion objetivo del problema de maximizacion.

El valor de la funcion objetivo en una solucion posible delproblema de maximizacion proporciona una cota inferior del

valor de la funcion objetivo del problema de minimizacion.

Si uno de los dos problemas de un par primal-dual es no aco-

tado, entonces el otro problema es imposible

Si x es solucion posible del primal, w es solucion posible deldual, y ctx = btω, entonces, x y ω son soluciones optimas de

sus problemas respectivos.

Los resultados que acabamos de ver nos permiten relacionar los valores

objetivos de cualquier pareja de soluciones posibles primales-duales. Como

i l it i i d bl d i i i´ d ´




descartada ya que el algoritmo del Simplex nos permite dar una demostracion

constructiva de la factibilidad del problema.

Podemos suponer, sin perdida de generalidad, que el problema que tiene

solucion optima finita es el problema primal. Sea x∗ una solucion optima de

P obtenida con el metodo Simplex.

Siguiendo el mismo razonamiento utilizado al principio del tema para

introducir el problema dual, podemos afirmar que ω∗t = ctBB−1 es solucion

posible del dual, siendo B la base en la tabla del Simplex asociada a x∗.

Ademas:

ctx∗ = ctB(B−1b) = ω∗tb.

Ahora bien, como por el teorema de dualidad debil sabemos que,

ctx∗ ≥ btω, ∀ω solucion del dual,

ω∗ es solucion optima de D.

Analogamente demostrarıamos que si el dual tiene solucion optima finita,

el primal tambien la tiene, y los valores optimos coinciden.

L lt d t i l i j t t l d i




Primal-Dual Optimo Finito No Acotado Imposible

Optimo Finito 1 × ×

No Acotado × × 2

Imposible × 2 3

Cuadro 4.2: Alternativas posibles en un par primal-dual

ya que los dos problemas son imposibles.

En definitiva, si tenemos en cuenta que cualquier problema lineal puede

ser, acotado, no acotado, o imposible, de las nueve posibilidades que en prin-

cipio hay cuando comparamos el problema primal con el dual, solamente 4

de ellas pueden darse. Lo resumimos en la siguiente tabla.

4.4. Condiciones de Holgura Complementa-ria

Al introducir el tema ya avanzamos que una de las propiedades principales

de una pareja primal-dual reside en la posibilidad de obtener, cuando los dos




de donde, u = 0 si y solo si ωi(bi − atix) = 0, ∀i = 1, . . . , m, y v = 0 si y solo

si v j = (ωta j − c j)x j = 0, ∀ j = 1, . . . , n. Ahora bien,

u+v =m

i=1 ωi(bi−atix)+n

j=1(ωta j−c j)x j = ω tb−ωtAx+ωtAx−ctx = ωtb−ctx

de donde, u + v = 0 si y solo si ctx = ωtb, es decir, si y solo si x y ω son,

respectivamente, soluciones ´ optimas de los problemas primal y dual .

Este resultado es valido para cualquier pareja de problemas primales-

duales. Nuestra eleccion concreta del par primal-dual para el cual hemos

desarrollado las condiciones de holgura complementaria obedece, por un lado,

a cuestiones de claridad en la exposicion, y por otro, a que la interpretacioneconomica de las mismas, que hacemos en el punto siguiente, es mucho mas

rica que para otras parejas primales-duales.

Las condiciones de holgura complementaria relacionan, las variables de

holgura de cada restriccion del problema primal, con las variables duales

asociadas a dichas restricciones, y las holguras del dual, con las variables

i l i d Vi t ´ d i t t l di i d h l




Supongamos que,

x∗ =

B−1b

0n−m

,

es una solucion optima del problema primal. Sea ω∗t = ctBB−1 la solucion

dual complementaria. Teniendo en cuenta que la funcion objetivo de P puedeexpresarse en funcion, unicamente, de las variables no basicas:

z =ctBB−1b − j∈N

(z j − c j)x j = btω∗ − j∈N

(z j − c j)x j,

en ausencia de degeneracion primal cabe esperar que pequenos cambios en

los valores de un bi no provoquen un cambio de base optima, por lo tanto,las variables no basicas seguiran siendo las mismas (e iguales a cero). En esta

situacion, z puede suponerse diferenciable en un entorno del valor actual de

b, siendo la derivada parcial con respecto a bi:

∂z

∂bi= ω∗

i ,

d i d i l i bl d l i ´ i l ´ d




nos reportara ningun beneficio, por lo que el precio que estamos dispuestos

a pagar por disponer de una unidad extra del mismo es cero, el precio justo

que pagarıamos es ω∗

i = 0, es decir, se cumple la condicion de holgura com-

plementaria ω∗

i (bi − atix∗) = 0. Por otro lado, si ωi es positivo, significa que

disponer de una unidad extra del recurso i-esimo resulta rentable, la unica

explicacion razonable para ello es que el agotamiento del recurso condiciona

el plan de produccion optimo. En terminos matematicos, atix∗ = bi, es decir,

la restriccion i-esima es activa en la solucion optima. De nuevo se cumple la

condicion de holgura complementaria.

Analogamente, si pensamos en que ω∗

i representa el valor de una uni-

dad de recurso bi, entonces ω∗ta j representara el coste total de los recursos

que se necesitan para fabricar una unidad de producto j. Logicamente, si

ω∗ta j > c j, significa que los recursos necesarios para fabricar una unidad de

producto j cuestan mas que el beneficio que nos va a reportar vender dicha

unidad, por lo tanto, x∗ j = 0, es decir, no fabricaremos dicho producto. Ahora

bien, x∗ j > 0 significa que resulta rentable fabricar el producto j, luego nece-

sariamente ω∗ta j = c j. En cualquier caso se cumple la condici on de holgura

l i ( t j ) 0




En este tipo de situaciones, y en el caso concreto con el que estamos tra-

bajando, una variable dual, ω∗

i , debe interpretarse como una cota superior

del cambio que experimentarıa la funcion objetivo si se incrementase en una

unidad el termino i-esimo, o como una cota inferior, si el termino se disminu-

yese. Lo recomendable serıa realizar el analisis de sensibilidad de la solucion

optima.

Para terminar daremos una interpretacion intuitiva de cual debe ser el

signo de las variables duales.

el signo de las variables duales

Recordemos que el valor de la variable dual optima, ωi, asociada a una res-

triccion, (ait

x, bi) indica la cantidad en la que cambia la funcion objetivocuando se modifica el termino derecho de la restriccion, siempre y cuando

esta modificacion no implique un cambio de base optima (variables basicas).

Luego:

Nuevo valor optimo de z = Viejo valor optimo de z + ωibi

Si tenemos en cuenta que,




4.6. Determinacion de la Solucion Optima a

partir de la Tabla Optima del ProblemaPrimal

Para identificar el valor de las variables duales en la tabla optima delSimplex podemos proceder de cualquiera de las dos formas siguientes:

Suponiendo que hemos resuelto un problema de programacion lineal

cuya matriz de restricciones (Ax = b) contenıa la matriz identidad,

aunque no necesariamente ordenada, podemos averiguar directamente

la solucion optima del problema dual identificando en la tabla optimadel problema primal la inversa de la matriz formada por las columnas

originales de las variables basicas, es decir B−1. Concretamente, B−1

estara formada por las columnas de la tabla optima que originalmente

correspondıan a la matriz identidad.

El valor optimo de las variables duales no sera otro que cBtB−1.




cambiado de signo de la variable de holgura asociada a

dicha restriccion.

3. Si la restriccion “i-esima” era de “=”, la variable artificial x j se

anade y el vector de coeficientes de dicha variable es un vector uni-

tario con todo ceros excepto un 1 en la posicion i-esima. Entoncessu coste reducido, z j − c j = cB

tB−1a j − c j = ωta j − 0 = ωi. La

variable dual de la restriccion es igual al coste reducido

de la variable artificial asociada a dicha restriccion.

4.7. El Algoritmo Dual del Simplex

Las propiedades entre el problema de programacion lineal y su dual han

dado origen a nuevos algoritmos para resolver el PPL, entre ellos, al algoritmo

Dual del Simplex que presentamos en esta seccion.

Los resultados de dualidad nos permiten interpretar el algoritmo del Sim-

plex como un esquema iterativo en el que, partiendo de una soluci on posible

del primal (b = B−1b ≥ 0), se trata de alcanzar una solucion posible del dual

( t B 1 t 0 ∀j N )




nuevo el problema primal. Este algoritmo utiliza la tabla del Simplex pa-

ra resolver optimamente el problema dual. Para conseguirlo, los pivotes se

realizan de forma que en cada iteracion se mantiene la posibilidad dual, se

mejora el valor de la funcion objetivo dual, y se garantiza que se cumplen

las condiciones de holgura complementaria para el par de soluciones b asicas

representadas en la tabla. Evidentemente, si llegamos al optimo tendremos

tambien la solucion optima del primal. En otro caso concluiremos que el dual

es no acotado y el primal es imposible.

En realidad, el Dual del Simplex equivale a resolver con el metodo del

Simplex el problema dual, pero, sobre la tabla del Simplex para el problema

primal. Se trata de un metodo alternativo al metodo Simplex que en ocasiones

puede resultar mas eficiente, sobre todo si el problema dual es mucho m as

sencillo que el primal.

Algoritmo Dual del Simplex para el PPL de Minimizar

Paso 0.- Considerar una tabla del Simplex asociada a una solucion basica

(no necesariamente posible) del primal y a una solucion posible basica

d l d l b B d l l l j j ∀j I l P



Tema 4: Teorıa de Dualidad.

Algoritmo Dual del Simplex

(P ) Min ctx (D) Max btω

s.a: Ax = b s.a: Atω ≤ c

x ≥ 0n

Orıgenes: Conversaciones de John Von Neumann con George Dantzig

(Octubre de 1947). Teorıa de Juegos

1



4.1 Introduccion





4.6 Determinacion de la Solucion Optima a partir de la

Tabla Optima del Problema Primal

4.7 El Algoritmo Dual del Simplex

2




Primal (P )

Min ctx

s.a: Ax = b

x ≥ 0n

−→ Dual (D)

Max btω

s.a: Atω ≤ c

A, una matriz m × n, de rango completo por filas, b ∈ IRm y c ∈ IRn

xt = (xB, xN )t = (B−1b, 0n−m)t, A = (B, N ), y B una submatriz regular m × m

Condicion de Optimalidad en la Tabla del Simplex

zj − cj = ctBB

−1

ω

aj − cj ≤ 0, ∀ j ∈ {1, 2, . . . , n}

↓

ωtA ≤ c

3



Simetrıa de la Dualidad

El dual del dual es el primal

El problema dual puede expresarse en forma estandar, utilizando el

siguiente cambio de variable:

ω = ω1 − ω

2, ω

1, ω

2 ∈ IRm+

- Min −bt(ω1 − ω2)

s.a: At(ω1 − ω2) + ωh = c

ωi ≥ 0m, ∀i = 1, 2

ωh ≥ 0n

- Min (−bt, bt, 0)

ω1

ω2

ωh

s.a: (A

t

, −A

t

, I n)

ω1

ω2

ωh

= c

ωi ≥ 0m, ∀i = 1, 2, ωh ≥ 0n

4



Cuyo dual es,

− Max cty

s.a:

A

−A

I n

y ≤

−b

b

0n

y ∈ IRn

Que equivale al problema primal:

(P ) Min z = ctx

s.a: Ax = b

x ≥ 0n

Basta hacer el cambio de variable x = −y.

5



Problema de | Problema de

Minimizacion | Maximizacion

≥ 0 ⇐⇒ ≤

Variables ≤ 0 ⇐⇒ ≥ Restricciones

No restringida ⇐⇒ =

≥ ⇐⇒ ≥ 0

Restricciones ≤ ⇐⇒ ≤ 0 Variables= ⇐⇒ No restringida

terminos independientes | coeficientes f. obj.

coeficientes f. obj. | terminos independientes

matriz de restricciones | traspuesta matriz restricciones

Cuadro 1: Relaciones entre los problemas primal y dual

6



Ejemplo: Consideremos el problema:

Max z = − 2x1 − 3x2 − 9x3

s.a.: − x1 − 3x3 ≤ −3

x2 + 2x3 ≥ 5

x1 + x2 + x4 = 4

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Su dual sera:

Min z = − 3ω1 + 5ω2 + 4ω3

s.a.: − ω1 + ω3 ≥ −2

ω2 + ω3 ≥ −3

− 3ω1 + 2ω2 ≥ −9ω3 ≥ 0

ω1 ≥ 0, ω2 ≤ 0 ω3 no restringida

7




Teorema de Dualidad Debil

Dados un par primal-dual, si x es una soluci´ on posible de P y ω es

una soluci´ on posible de D, entonces, btω ≤ ctx.

Dadas x una solucion posible del primal, y ω cualquier solucion

posible del dual:

Ax = b −→ ωtAx = ωtb

Atω ≤ c, x ≥ 0n −→ ωtAx ≤ ctx

−→ btω ≤ ctx

8



El valor de la funcion objetivo en cualquier solucion posible del

problema de minimizacion proporciona una cota superior del valorde la funcion objetivo del problema de maximizacion.

El valor de la funcion objetivo en una solucion posible del proble-

ma de maximizacion proporciona una cota inferior del valor de la

funcion objetivo del problema de minimizacion.

Si uno de los dos problemas de un par primal-dual es no acotado,

entonces el otro problema es imposible.

Si x es solucion posible del primal, w es solucion posible del dual, y

ctx = btω, entonces, x y ω son soluciones optimas de sus problemas

respectivos.

9



Teorema de Dualidad Fuerte

Si uno de los problemas de un par primal-dual tiene solucion optima

finita, entonces, el otro tambien la tiene, y los valores optimos de las

respectivas funciones objetivo coinciden.

Sea x∗ una solucion optima de P obtenida con el metodo Simplex, y

sea B la base en la tabla asociada a x∗

, x∗t

= (B−1

b, 0n−m)t

.Entonces, ω∗t = ctBB−1 es solucion posible del dual, siendo:

ctx∗ = ctB(B−1b) = ω∗tb

Por el teorema de dualidad debil,

ctx∗ ≥ btω, ∀ ω solucion de D −→ ω∗ es solucion optima de D

10



Teorema Fundamental de Dualidad

Dado un par primal-dual, una y solo una de las afirmaciones

siguientes es cierta:

1. Los dos problemas tienen soluci´ on ´ optima finita , y los valores

´ optimos de ambos problemas coinciden.

2. Uno de los dos problemas es no acotado y el otro es imposible .

3. Ambos problemas son imposibles .

(P ) Min zP = −x1 − x2 (D) Max zD = ω1 + ω2

s.a: x1 − x2 ≥ 1 s.a: ω1 − ω2 ≤ −1

−x1 + x2 ≥ 1 −ω1 + ω2 ≤ −1

x1, x2 ≥ 0 ω1, ω2 ≥ 0

11




Teorema de Holgura Complementaria

Dado el siguiente par primal-dual,

(P ) Max ctx (D) Min btω

s.a: Ax ≤ b s.a: Atω ≥ c

x ≥ 0 ω ≥ 0,

x soluci´ on posible de P , y ω soluci´ on posible de D. Las condiciones de

holgura complementaria:

ui = ωi(bi − atix) = 0 ∀i = 1, . . . , m

vj = (ωtaj − cj)xj = 0 ∀ j = 1, . . . , n

Son condiciones necesarias y suficientes de optimalidad, para x y ω.

12



ui ≥ 0, ∀i y vj ≥ 0, ∀ j. Entonces:

u = m

i=1 ui ≥ 0 u = 0 sii ui = ωi(bi − at

ix) = 0, ∀i = 1, . . . , mv =

j

j=1 vj ≥ 0 v = 0 sii vj = (ωtaj − cj)xj = 0, ∀ j = 1, . . . , n

u+v =

mi=1

ωi(bi−atix)+

nj=1

(ωtaj−cj)xj = ω

tb−ω

tAx+ω

tAx−c

tx = ω

tb−c

tx

Luego,

u + v = 0 ↔ ct

x = ωt

b

Es decir, si y solo si:

x es solucion optima del primal

ω es solucion optima del dual

13



Ejemplo, continuacion . . .Las condiciones de holgura complementaria para el par primal-dual

del ejemplo son:

ω1(−3 + x1 + 3x3) = 0

ω2(5 − x2 − 2x3) = 0

ω3(4 − x1 − x2 − x4) = 0

(−ω1 + ω3 + 2)x1 = 0

(ω2 + ω3 + 3)x2 = 0

(−3ω1 + 2ω2 + 9)x3 = 0

ω3x4 = 0

14




(P ) Max ctx (D) Min btω

s.a: atix ≤ bi ∀i s.a: ωtaj ≥ cj ∀ j

xj ≥ 0 ∀ j ωi ≥ 0 ∀i

x∗t = (B

−1b, 0n−m)t, ω

∗t = ctBB

−1

z =ctBB

−1b −

j∈N

(zj − cj)xj = btω∗ −

j∈N

(zj − cj)xj

∂ z

∂ bi= ω

∗

i

variable dual i-esima = razon de cambio de la funcion objetivo del

primal cuando el termino independiente de la i-esima restriccion

primal es sometido a pequenos cambios

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Problema de Planificaci´ on de la Producci´ on

(P) Max ctx

s.a: atix ≤ bi ∀i = 1, . . . , m recursos

xj ≥ 0 ∀ j = 1, . . . , n productos

Si at

i

x∗ < bi −→ ω∗

i

= 0

Si ω∗

i > 0 −→ atix∗ = bi

ω∗

i (bi − atix∗

) = 0

Variables Duales como Precios Sombra

ω∗

i ≡ beneficio que conseguirıamos si dispusiesemos de una unidad

mas de recurso iω∗

i ≡ precio maximo que estaremos dispuestos a pagar por conseguir

una unidad extra de recurso i

16



Utilidad de los Precios Sombra

Valorar la estabilidad de la solucion optima alcanzada. La base

´ optima no cambiar´ a mientras los precios no lleguen a un lımite.

Contemplar cambios en polıticas de actuacion.

Valorar la conveniencia de introducir o no en el mercado nuevos

productos. ¿ωtaj − cj?

Justificar cambios de precios en empresas con precios regulados.

Precios competitivos.

17



4.7 Algoritmo Dual del Simplex

Primal

Min ctx

s.a: Ax = b

x ≥ 0n

−→ Dual

Max btω

s.a: Atω ≤ c

A, una matriz m × n, de rango completo por filas, b ∈ IRm y c ∈ IRn y B una

submatriz regular m × m, A = (B, N )

x =

B−1b

0n−m

es una SPB del Problema Primal si B−1b ≥ 0

ω = cBB−1 es una Solucion Dual Posible si

ωtA ≤ c sii cBB

−1

B ≤ cB

cBB−1N ≤ cN

sii zj − cj ≤ 0 ∀ j ∈ N

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Algoritmo Dual del Simplex (Lemke, 1954)

Paso 0.- Considerar una tabla del Simplex cuya base B asociada sea

dual posible i.e., zj − cj ≤ 0, ∀ j. Ir al Paso 1.

xB xN

z 0 = ctBB−1B − ctB zj − cj ≡ ctBB−1N − ctN ctBB−1b

xB I m Y = B−1N b = B−1b

Paso 1.- Si b ≥ 0m, Stop, se han alcanzado las soluciones optimas

del primal y del dual. En otro caso, elegir la fila r, tal que,

br = min{bi} < 0, e ir al Paso 2.

19



Paso 2.- Si yrj ≥ 0, ∀ j ∈ N , Stop, el dual es no acotado y el

primal es imposible. En otro caso, elegir la columna k, tal que,

zk − ck

yrk= Min

zj − cj

yrj| yrj < 0

e ir al Paso 3.

Paso 3.- Pivotar sobre yrk (la variable xBrdeja de ser basica y la

variable xk se hace basica). Volver al Paso 1.

20



Ejemplo, continuacion . . . : Consideremos el problema:

Max z = − 2x1 − 3x2 − 9x3

s.a.: − x1 − 3x3 ≤ −3

x2 + 2x3 ≥ 5

x1 + x2 + x4 = 4

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

que tras anadir variables de holgura resulta:

- Min z = 2x1 + 3x2 + 9x3

s.a.: − x1 − 3x3 +x5 = −3

− x2 − 2x3 +x6 = −5

x1 + x2 +x4 = 4

x1, x2, x3, x4, x5, x6 ≥ 0

21



x1 ↓

x2 x3 x4 x5 x6 rhs

z -2 -3 -9 0 0 0 0

x5 -1 0 -3 0 1 0 -3

x6 0 -1 -2 0 0 1 -5

x4 1 1 0 1 0 0 4

→ mın{−3

−1, −9−2

} = 3

x1 x2 x3 x4 x5 x6 rhs

z -2 0 -3 0 0 -3 15

x5 -1 0 -3 0 1 0 -3

x2 0 1 2 0 0 -1 5

x4 1 0 -2 1 0 1 -1

22



x1 x2 ↓ x3 x4 x5 x6 rhs

z -2 0 -3 0 0 -3 15

x5 -1 0 -3 0 1 0 -3

x2 0 1 2 0 0 -1 5

x4 1 0 -2 1 0 1 -1

→ mın{−2

−1, −3

−3} = 1

x1 x2 x3 x4 x5 x6 rhs

z -1 0 0 0 -1 -3 18

x31

3 0 1 0 −1

3 0 1

x2−2

3 1 0 0 2

3 -1 3

x45

3 0 0 1 −2

3 1 1

x∗ =

0

3

1

1

z∗ = −18

23



Ejemplo, continuacion . . . :

Resolvamos el problema dual a partir de la solucion optima del problema

primal y utilizando las condiciones de holgura complementaria:

ω1(−3 + x1 + 3x3) = 0

ω2(5 − x2 − 2x3) = 0

ω3(4 − x1 − x2 − x4) = 0

(−ω1 + ω3 + 2)x1 = 0

(ω2 + ω3 + 3)x2 = 0

(−3ω1 + 2ω2 + 9)x3 = 0

ω3x4 = 0

x∗2 = 3 > 0 → ω∗

2 + ω∗

3 = −3

x∗3 = 1 > 0 → −3ω∗

1 + 2ω∗

2 = −9

x∗4 = 1 > 0 → ω∗

3 = 0

→ ω∗1 = 1, ω∗

2 = −3, ω∗3 = 0

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teoria de la dualidad 2015

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