Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Tema 4. Distribuciones de probabilidad continuas(Parte I)

ESTADISTICA EMPRESARIAL - Grado en ADE

Jose Jaime Noguera Noguerajosnoguera@denia.uned.es

10 de marzo de 2019

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

CONTENIDOS

1 Distribucion Uniforme

2 Distribucion Normal

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Distribucion Uniforme en [a, b]

Funcion de densidad: f (x) = 1b−a , con a ≤ x ≤ b.

Diremos que X → U(a, b)Funcion de distribucion: F (x) = x−a

b−a para a ≤ x ≤ bMedia: E [x ] = b+a

2 .

Varianza: Var(X ) = (b−a)2

12

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Distribucion Uniforme en [a, b] . EJEMPLO

A una conferencia se espera que lleguen entre 100 y 150 personas.a) Define una variable aleatoria contınua que modelice el

problema.b) Halla la funcion de densidad.c) Halla la esperanza.d) Halla la varianza.e) Probabilidad de que lleguen menos de 132 personas.

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Distribucion Uniforme en [a, b]. EJEMPLO

A una conferencia se espera que lleguen entre 100 y 150 personas.a) Define una variable aleatoria contınua que modelice el

problema: X → U(100, 150)b) Halla la funcion de densidad: f (x) = 1

150−100 , con100 ≤ x ≤ 150

c) Halla la esperanza: E [X ] = 100+1502

d) Halla la varianza: Var(X ) = (150−100)2

12e) Probabilidad de que lleguen menos de 132 personas:

P(X ≤ 132) = 132−100150−100 = 0,64

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Definicion

La Distribucion Normal se define como aquella distribucion cuyafuncion de densidad es

fX (x) = 1σ√

2πe− 1

2σ2 (x−µ)2, −∞ < x <∞, σ > 0

Si una variable aleatoria, X , tiene dicha funcion de densidad lo ex-presamos como:

X ; N(µ, σ).

Se puede demostrar que si X ; N(µ, σ), entonces:

E [X ] = µ y V (X ) = σ2.

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Normal estandar

Si µ = 0 y σ = 1, denominamos a la distribucion como normalestandar. La grafica en este caso es:

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Areas bajo N(0, 1)

Si Z ; N(0, 1), para hallar P{a < Z < b} debemos calcular el areabajo la curva normal entre x = a y x = b, es decir,

P(a < Z < b) =∫ b

a

1√2π

e− 12 x2dx .

Dicha integral no admite una expresion explıcita por lo que debecalcularse mediante un metodo numerico. Ası pues, podemos utilizar:

Software R, mediante pnorm(x,0,1) que nos da la P(Z < x).Otro software o calculadora.Uso de tablas. Estas tablas se pueden utilizar en el examen.

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Tabla N(0, 1)La Tabla A.5 nos proporciona P(Z ≤ z) para

z ∈ {−3,50;−3,51; . . . ; 3, 59}.Por ejemplo P(Z < 1, 96) = 0, 9750.¿Como calcular P(Z > 1, 96)?Por simetrıa: P(Z > 1, 96) = P(Z < −1, 96) = 0,25.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Tabla N(0, 1)

P(Z > 1, 5) = P(Z < −1,5) = 0,0668.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Tabla N(0, 1)

P(Z > 1, 2) = 1− P(Z < 1, 2) = 1− 0,8849 = 0, 1151

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

−3 −2 −1 0 1 2 30.

00.

10.

20.

30.

4

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Tabla N(0, 1)

P{Z > −1,5} = 1− P{Z < −1, 5} = 1− 0, 0668 = 0, 9332,O bien P{Z > −1,5} = P(Z < 1,5)

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

−3 −2 −1 0 1 2 30.

00.

10.

20.

30.

4

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Tabla N(0, 1)

P(2 < Z < 2,5) = P(Z < 2, 5)− P(Z < 2)= 0,9938− 0,9772= 0, 0166.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Tabla N(0, 1)

P(|Z | < 1) = P(−1 < Z < 1) = P(Z < 1)− P(Z < −1)= 0, 8413− 0,1587 = 0, 6826.

−3 −2 −1 0 1 2 3

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Tipificacion

Si partimos de una X ; N(µ, σ) debemos transformarla a unaN(0, 1) ya que solo dispondremos de dicha tabla. Si estuviesemostrabajando con el software R, esto no serıa necesario. Este procesose denomina tipificacion.

TipificacionLa relacion existente entre Z ; N(0, 1) y una X ; N(µ, σ) es lasiguiente:

Z = X − µσ

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Ejemplo

Sabemos que la altura de los jovenes de entre 14 y 18 anos de unalocalidad sigue una normal con media 174 cm y desviacion tıpica 7cm. Calcula la probabilidad de que un joven de 15 anos mida entre170 y 176 cm.Sea X la variable aleatoria objeto de estudio, X ; N(174, 7).Tipificando Z = X−174

7 ; N(0, 1). Por tanto:

P(170 < X < 176) = PÅ170− 174

7 <X − 174

7 <176− 174

7

ã= P(−0, 57 < Z < 0, 29)= P(Z < 0, 29} − P{Z < −0,57)= 0,6141− 0,2843= 0,3298

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

Calcular la abcisa de una N(0, 1)

Supongamos que queremos conocer el z tal que P(Z ≤ zp) =0, 3632. Para ello, simplemente debemos buscar en la tabla y ob-tenemos que zp = −0,35.

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EJERCICIOS

EJERCICIO 1. Si X → U(2, 5) calculaa) P(X ≤ 2, 4)b) P(X ≤ 7)c) P(X > 7)d) P(X > 2, 7)

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

EJERCICIOS

EJERCICIO 2. Si X → N(0, 1) calculaa) P(X ≤ 2, 5)b) P(X ≤ −2, 54c) P(X > 2, 14)d) P(X > −1, 53)e) P(−0, 56 < X < 2, 18)

Distribucion Uniforme Distribucion Normal

EJERCICIOS

EJERCICIO 3. Si X → N(45, 8) calculaa) P(X ≤ 49)b) P(X ≤ 40c) P(X > 53)d) P(X > 36)e) P(41 < X < 56)