curso de nivelación estadística y...

Distribuciones continuas de probabilidad

Distribuciones de probabilidad continuas

Curso de nivelación Estadística y Matemática

Cuarta clase: Distribuciones de probablidad continuas

Juan Diego Chavarría Mejía

Programa Técnico en Riesgo, 2016

Juan Diego Chavarría Mejía Distribuciones Continuas



Agenda

1 Distribuciones continuas de probabilidadVariable aleatoria ContinuaValor esperado de una variable aleatoria continua.Varianza.

2 Distribuciones de probabilidad continuasDistribución UniformeDistribución NormalDistribución Logarítmica NormalDistribución T-StudentDistribución ExponencialDistribución Beta




Variable aleatoria Continua

Valor esperado de una variable aleatoria continua.

Varianza.

Agenda








Varianza.

Definición

¿Qué es una variable aleatoria continua?Es una variable aleatoria donde el número de resultadosposibles es ilimitado o infinito.

EjemploRendimiento promedio de una acción.






Varianza.

Pdf vs cdf

Probability density functionEs la probabilidad en el punto de una variable aleatoria.f

X

(x) = P (X = x)

Cumulative distribution functionEs la probabilidad acumulada hasta un punto de una variablealeatoria.F (x) = P (X x)






Varianza.

Agenda








Varianza.

Propiedades

Valor esperadoPor analogía con las fórmulas de media de las distribucionesdiscretas

Fórmula

µ = E (X ) =Z a

�af (x)x dx






Varianza.

Agenda








Varianza.

Definición

Fórmula

s2 =Z a

�af (x)(x�µ)2 dx




Distribución Uniforme

Distribución Normal

Distribución Logarítmica Normal

Distribución T-Student

Distribución Exponencial

Distribución Beta

Definición

CaracterísticasLas variables continuas son infinitamente divisibles.La probabilidad asociada con un intervalo de valores es igual alárea bajo la curva.El área bajo la curva total debe ser igual a 1.









Distribución Beta

Agenda











Distribución Beta

Definición

Distribución uniformeEs una distribución en la cual las probabilidades de todos losresultados son las mismas.









Distribución Beta

Definición









Distribución Beta

Función de probabilidad

f (x |a,b) =(

1b�a

0si x e [a,b]

otro caso

Media

E (x) = µ =a+b

2

Varianza

s2 =(b�a)2

12









Distribución Beta

Asimetría

As = 0

Curtosis

k =95









Distribución Beta

Fórmula de cálculo

La probabilidad de que ”x” este entre dos observaciones es

f (x1 X x2|a,b) =x2� x1

b�a









Distribución Beta

Utilizada

Generalmente utilizada paraCuando se tiene un conocimiento muy general o pococonocimiento sobre la distribución que siguen los datos.Para generación de números aleatorios.









Distribución Beta

Agenda











Distribución Beta

Definición

Distribución normalEs llamada distribución Gaussiana. Es fundamental para elanálisis estadístico, dado que gran cantidad de fenómenos secomportan como una distribución normal. Se caracteriza porsu simetría con respecto a la media. Además es perfectamentedeterminada cuando se conoce µ y s .









Distribución Beta

Pdf









Distribución Beta

Cdf









Distribución Beta



f (x |µ,s2) =1p2ps

e

�(x�µ)2

2s2









Distribución Beta

Propiedades

Propiedades

Es simetríca respecto a µ (La mediana y moda son iguales).La distribución entorno a su media sigue la regla empírica.

Regla empíricaLa regla empírica especifica que, sin considerar el valor de lamedia o la desviación estándar:

el 68,3% de las observaciones está a una desviación estándar

de la media.

el 95,5% de las observaciones está a dos desviación estándar

de la media.

el 99,7% de las observaciones está a tres desviación estándar

de la media.









Distribución Beta

Propiedades

Propiedades

Si X ⇠ N

�µ,s2� y a y b son números reales, entonces

(aX +b)⇠ N

�aµ +b,a2s2�

EstandarizamosPodemos convertir cualquier distribución normal en unadistribución con media igual a 0 (µ = 0) y desviación estándarigual a 1 (s = 1), realizando la siguiente operación.

Z =X �µ

s









Distribución Beta

Media

E (x) = µ

Varianza

s2

Asimetría

As = 0

Curtosis

k = 3









Distribución Beta

Utilizada

Generalmente utilizada paraPara describir atributos humanos o de objetos.Gran cantidad de datos se pueden considerar que siguen elcomportamiento de una distribución normal.Los promedios siguen una distribución normal.









Distribución Beta

Agenda











Distribución Beta

Definición

Distribución log-normalSi X es una variable aleatoria cuyo logarítmo se distribuyenormalmente (esto es, log (X )⇠ N

�µ,s2�), entonces X se

considera distribuida mediante una distribución logarítmicanormal. Por esto, es usualmente utilizada para datostransformados logarítmicamente.









Distribución Beta

Pdf









Distribución Beta

Cdf









Distribución Beta



f (x |µ,s2) =1p2ps

1x

e

�(log(x)�µ)2

2s2









Distribución Beta

Utilizada

Generalmente utilizada paraPara modelar tiempo de procesos.









Distribución Beta

Agenda











Distribución Beta

Definición

Distribución t-studentEs una distribución centrada alrededor de cero y caracterizadapor un solo parámetro llamado grados de libertad (n-1).Es semejante a la distribución normal estándar, pero con colasmás pesadas.A medida que aumente el tamaño de la muestra, ladistribución t se aproxima a la normal estándar.









Distribución Beta

Pdf









Distribución Beta

Cdf









Distribución Beta

Agenda











Distribución Beta

Definición


Analóga a la distribución Poisson (que mide el número deocurrencias sobre algún intervalo de tiempo o espacio), ladistribución exponencial mide el paso del tiempo entre talesocurrencias. Así podemos decir que si el número deocurrencias tiene distribución de Poisson, el lapso entre lasocurrencias estará distribuido exponencialmente.









Distribución Beta

Pdf









Distribución Beta

Cdf









Distribución Beta



f (x |µ) = 1be

�x

b









Distribución Beta

Media y varianza

Media

µ = b

Varianza

s2 = b 2









Distribución Beta

Utilizada

Generalmente utilizada paraPara modelar el lapso entre dos eventos consecutivos dePoisson que ocurren de manera independiente .









Distribución Beta

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Distribución Beta

Definición

Distribución BetaEs una distribución continua en la famialia de (0,1) descritapor dos parámetros. Esta distribución es una de las pocasdistribuciones que acumulan la probabilidad de 1 en unintervalo finito, en este caso de (0,1).









Distribución Beta

Definición









Distribución Beta



f (x |a,b ) = 1R 10 x

a�1 (1� x)b�1dx

x

a�1 (1� x)b�1









Distribución Beta

Media y varianza

Media

µ =a

a +b

Varianza

s2 =ab

(a +b )2 (a +b +1)









Distribución Beta

Utilizada

Generalmente utilizada paraPermite generar una gran variedad de perfiles.









Distribución Beta

Bibliografía

Barrantes G., MiguelElementos de estadística descriptiva. EUNED, 1998.

Kenneth N., Berk & Patrick, CareyAnálisis de datos con Microsoft Excel Actualizado para Office2000Thomson Learning, 2000.

Gitman, Lawrence.Principios de administración FinancieraPearson Education, Décima edición.

Webster L., AllenEstadística aplicada a los negocios y la economíaIrwin McGraw-Hill, Tercera edición.


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