Stijgen en dalenconstante stijgingtoenemende stijgingafnemende stijgingconstante dalingtoenemende dalingafnemende daling3.1

ToenamendiagramDe toenamen en afnamen van een grafiek kun je verwerken in een toenamendiagram1kies een stapgrootte2bereken voor elke stap de toename of afname3teken de staafjes omhoog bij toename en omlaag bij afname4teken het staafje bij de rechtergrens (bv toename van 3 4 teken je het staafje bij 4 )

3.1

voorbeeld 2-0,50,524y[3,4][2,3][1,2][0,1][-1,0]x = 101234-1-11234 xy . . . . .Je tekent de toenamen als verticale lijnstukjes bij de rechtergrens van het interval.Teken het toenamendiagram van onderstaand figuur met x = 1.3.1

Richtingscofficint of helling van de lijn AByB yA0yxxyyomhoogxrechtsdus r.c. = y : xxAxBAByB yA = y xB xA = x 3.2

xA axB bHet differentiequotint van y op het interval [xA,xB] isxyABxyyxy yB yA f(b) f(a)x xB xA b - adifferentiequotint is y : x is de gemiddelde toename van y op [xA,xB]is r.c. of hellingsgetal van de lijn AB== . .yAyBf(b)f(a)3.2

Gemiddelde snelheidIn een tijd-afstand is de afgelegde afstand s uitgezet tegen de tijd t.Bij een tijd-afstandgrafiek is het differentiequotint van s op [a,b] de gemiddelde snelheid op [a,b].De gemiddelde snelheid is s : t.3.2

opgave 19xy0favoer in y1 = x - 3x + 5bgemiddelde toename op [1,3]y = f(3) f(1)y = 23 3 = 20x = 3 1 = 2y : x = 20 : 2 = 10cdifferentieqoutint op [-2,4]y = f(4) f(-2)y = 57 3 = 54x = 4 - -2 = 6y : x = 54 : 6 = 9dhellingsgetal op [-3,1]y = f(1) f(-3) = 3 - -13 = 16x = 1 - -3 = 4r.c. = y : x = 16 : 4 = 4B(1,3) en r.c = 4 invullen geefty = 4x - 1y = ax + bxB = 1 , yB = 3 en a = 4 invullen3 = 4 1 + b3 = 4 + bb = -1

Gemiddelde snelheid bij een tijd-afstand grafiekBij een tijd-afstand grafiek waarvan de formule bekend is,benader je de snelheid op het moment t = a door het differentiequotint te berekenen op een klein interval.[a , a + t] met bijvoorbeeld t = 0,001 De gemiddelde snelheid = s : t.3.3

Snelheid en richtingscofficint012345510152025tstijd-afstand grafieks = -t + 10tade gemiddelde snelheid op [2,5]s 25 16t 5 2 s 24 16t 4 2s 21 16t 3 2s 18,75 16t 2,5 2bDe lijn AB4 komt het dichtst bij de lijn die grafiek A raakt.== 3 m/s== 4 m/s= 5 m/s= 5,5 m/s==AB1B2B3B4 . . . . .Hoe dichter Bn bij A komt te liggen, hoe meer de lijn ABn op de lijn lijkt die de grafiek raakt.De lijn k is de raaklijn van de grafiek in A.kBij een tijd-afstand grafiek is de snelheid op t = a gelijk aan de rc van de raaklijn van de grafiek in het bijbehorende punt.3.3

s = 0,4ts is de afgelegde weg in meters na t secondenopgave 24s = 0,4ts is de afgelegde weg in meters na t secondent = 3op [3 ; 3,01]s 0,4 . 3,01 - 0,4 . 3t 0,01de benadering van de snelheid op t = 3 is 2,40 m/s== 2,404

dydx voor x is xAVoor de rc. van de raaklijn in het punt A is er de notatie :[ ]dydxx=xAyOxkAxArc. van de raaklijn van de grafiek in Ahelling van de grafiek in Asnelheid waarmee y verandert voor x = xAde GR bezit een optie om dydx te berekenen3.3

[ ]avoer in y1 = -x2 2x + 8 = 2

dus de r.c. = 2bB(0, 8) xB = 0 = -2

l : y = -2x + bB(0, 8)

y = -2x + 8

[ ]dydxx=-2Bdydxx=08 = -2 0 + bb = 8opgave 29

PQcf snijdt de x-as in P en Qlijn m raakt de grafiek in P

= 6

y = 6x + bP(-4, 0)y = 6x + 24lijn n raakt de grafiek in Q

= -6

y = -6x + bQ(2, 0)y = -6x + 12

6x + 24 = -6x + 126x + 6x = -24 + 1212x = -12 x = -1[ ]dydxx=-4[ ]dydxx=20 = 6 -4 + bb = 240 = 2 -6 + bb = 12x = -1 invulleny = 6 -1 + 24 = 18snijpunt (-1, 18)Bij snijpunt berekenen de 2 lijnen aan elkaar gelijk stellen.opgave 29

dx = 6y = -12r.c. = y : xr.c. = -12 : 6r.c. = -2 RTx = 6y = -12opgave 29

Hellinggrafieken xxyhellingOOBij een gegeven functie kun je aan elke x de helling van de grafiek in het bijbehorende punt toevoegen.stijgenddalendstijgendstijgend deel v.d. grafiek positieve hellingen hellinggrafiek boven de x-asdalend deel v.d. grafiek negatieve hellingen hellinggrafiek onder de x-astoptoptop v.d. grafiek helling is 0 hellinggrafiek snijdt de x-as00laagste puntovergang van toenemende daling naar afnemende daling is de helling maximaal laagste puntpos.pos.3.4

Teken een globale grafiek van de oorspronkelijke functie.yxOtoptoptoptop000voorbeeld

Hellinggrafiek plottenm.b.v. GRTI MATH MATH - menuoptie nDerivCasio OPTN CALC menuoptie d/dxvb. voer in y1 = 0,1x4 x2 + x + 8 en y2 = nDeriv(y1,x,x)(op de TI) of y2 = d/dx(y1,x)(op de Casio)

3.4

De afgeleide functie Bij een functie hoort een hellingfunctie.i.p.v. hellingfunctie wordt meestal de naam afgeleide functie of afgeleide gebruiktnotatie : f (f-accent)De afgeleide van een functie f geeft voor elke x :- de richtingscofficint van de raaklijn van f in het bijbehorende punt- de helling van de grafiek van f in het bijbehorende punt3.4

Om de formule van de afgeleide van een functie f te vinden, kijken we naar het differentiecofficint van f(x) op het interval [ x, x + h ] , dus naary x=f(x + h) f(x) =x + h - xf(x + h) f(x) h Neem je op het interval [ x,x + h ] de waarde van h heel klein, dan geeft f(x + h) f(x) h een goede benadering van de r.c. van de raaklijn van de grafiek van f in het bijbehorende punt.Oxx+hxyf(x+h)f(x)hf(x+h) f(x)Oxx+hxyf(x+h)f(x)hf(x+h) f(x)h kleinf(x + h) f(x) h de grenswaarde vanvoor h naar 0 is de afgeleide f(x)de definitie van de afgeleide f van een functie f isf(x) = limf(x + h) f(x) h h 03.4

Voorbeeld limietstelling. Neem de functie :

Differentirenregels voor het differentiren:f(x) = ageeft f(x) = 0f(x) = axgeeft f(x) = af(x) = axngeeft f(x) = n axn-1 voor n = 2,3,f(x) = c g(x)geeft f(x) = c g(x)f(x) = g(x) + h(x)geeft f(x) = g(x) + h(x) somregel

3.4

De afgeleide van f(x) = axnf(x) = ax3f(x) = 3axg(x) = ax4g(x) = 4ax3h(x) = ax5h(x) = 5ax4

algemeen geldt :k(x) = axnk(x) = n axn-1

oude exponent ervoor zettennieuwe exponent 1 minder (4-1=3)3.4

opgave 47ch(x) = 5(x 3) + 5(2x 1) h(x) = 5(x 3)(x 3) + 10x 5 h(x) = 5(x - 6x + 9) + 10x - 5h(x) = 5x - 30x + 45 + 10x - 5h(x) = 5x - 20x + 40h(x) = 2 5x 20h(x) = 10x - 20

opgave 47dk(x) = -3(x 1)(5 9x) 8(x 7)k(x) = -3(5x 9x - 5 + 9x) 8x + 56k(x) = -15x + 27x + 15 27x 8x + 56k(x) = 27x - 50x + 71k(x) = 2 27x 50k(x) = 54x - 50

opgave 48af(x) = (3x 1)(x2 + 5x)f(x) = 3x3 + 15x2 1x2 5xf(x) = 3x3 + 14x2 5xf(x) = 3 3x2 + 2 14x 5f(x) = 9x2 + 28x - 5

opgave 48df(x) = 5 - 3(x4 x)(x + 1)f(x) = 5 3(x5 + x4 - x2 x)f(x) = 5 - 3x5 - 3x4 + 3x2 + 3x f(x) = 5 -3x4 - 4 3x3 + 2 3x + 3f(x) = -15x4 - 12x3 + 6x + 3

Raaklijn en afgeleideJe weet dat de afgeleide f aan elke x de helling in het bijbehorende punt van de grafiek van f toevoegtoff(x) is de rc van de raaklijn in het bijbehorende punt.algemeen:f(a) is de rc van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A(a, f(a)).xyOfkAxAyA = f(xA)rck = f(xA)3.5

opgave 50af(x) = 0,5x3 2x2 + 2f(x) = 3 0,5x2 2 2x f(x) = 1,5x2 4xstel k : y = ax + bxA = 4a = f(4) = 1,5 42 4 4 = 8dit geeft k : y = 8x + by = f(4) = 0,5 43 2 42 + 2 = 2

dus k : y = 8x - 30

2 = 8 4 + b2 = 32 + bb = -30

opgave 50bstel m : y = ax + bxB = -2a = f(-2) = 1,5 (-2)2 4 -2 = 14dit geeft m : y = 14x + by = f(-2) = 0,5 (-2)3 2 (-2)2 + 2 = -10

dus m : y = 14x + 6

-10 = 8 -2 + b-10 = -16 + bb = 6

Raaklijn met gegeven richtingscofficientTeken f(x) = x - 3x + 1Teken enkele lijnen met rc = 2En van de lijnen raakt de grafiekhet raakpunt is B.Bereken de cordinaten van B.rc = 2 dus f(xB) = 2xB berekenenf(x) = 2 oplossenf(x) = 2x 3f(x) = 2

xB = 2,5 yB = f(2,5) = -0,25B(2,5; -0,25)2x 3 = 22x = 5x = 2,501234-1-11234yBx3.5

opgave 5401234-1-11234yxf(x) = -x + 2x + 3arcraaklijn = 4dus f(x) = 4f(x) = -2x + 2

xA = -1yA = f(-1) = 0A(-1, 0)bl : y = -6x + 8rcraaklijn = -6dus f(xB) = -6f(x) = -2x + 2

xB = 4yB = f(4) = -5B(4, -5)-2x + 2 = 4-2x = 2x = -1Afl-2x + 2 = -6-2x = -8x = 4Als 2 lijnen evenwijdig zijn dan hebben ze dezelfde r.c.k

Snelheid en afgeleideOxyarc = f(a)De snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a gelijk aan de rc van de raaklijn in het punt (a, f(a)).rc = snelheid = f(a)Je berekent de snelheid dus met de afgeleidef(a) is de snelheid waarmee f(x) verandert voor x = a.f(a)A3.5

********************************