SOLUCION TALLER 1 SOLUCION PUNTO 1 - Función de producción cuadrática

Se espera que:

>0 porque x1 es un insumo de producción

>0 porque x2 es un insumo de producción

<0 por rendimientos marginales decrecientes

<0 por rendimientos marginales decrecientes

>0 por complementariedad de los insumos

- Estimación por MCO, paso a paso:

X (80x6) Constante X1 X2 X1^2 X2^2 X1xX2

1 320 80 102400 6400 25600

1 40 320 1600 102400 12800

1 240 320 57600 102400 76800

1 160 0 25600 0 0

1 160 120 25600 14400 19200

1 240 320 57600 102400 76800

1 0 80 0 6400 0

1 160 120 25600 14400 19200

1 160 0 25600 0 0

1 0 160 0 25600 0

1 160 80 25600 6400 12800

1 80 200 6400 40000 16000

1 0 160 0 25600 0

1 40 320 1600 102400 12800

1 120 80 14400 6400 9600

1 240 40 57600 1600 9600

1 120 0 14400 0 0

1 160 120 25600 14400 19200

1 0 0 0 0 0

1 320 40 102400 1600 12800

1 0 120 0 14400 0

1 40 240 1600 57600 9600

1 200 40 40000 1600 8000

1 40 120 1600 14400 4800

1 320 240 102400 57600 76800

1 0 80 0 6400 0

1 200 200 40000 40000 40000

1 0 200 0 40000 0

1 240 240 57600 57600 57600

1 120 120 14400 14400 14400

1 120 80 14400 6400 9600

1 0 320 0 102400 0

1 0 40 0 1600 0

1 160 240 25600 57600 38400

1 40 200 1600 40000 8000

1 0 200 0 40000 0

1 320 280 102400 78400 89600

1 120 160 14400 25600 19200

1 200 280 40000 78400 56000

1 200 40 40000 1600 8000

1 120 300 14400 90000 36000

1 280 320 78400 102400 89600

1 80 0 6400 0 0

1 280 240 78400 57600 67200

1 280 40 78400 1600 11200

1 200 200 40000 40000 40000

1 80 120 6400 14400 9600

1 0 40 0 1600 0

1 0 240 0 57600 0

1 160 200 25600 40000 32000

1 120 120 14400 14400 14400

1 120 120 14400 14400 14400

1 40 120 1600 14400 4800

1 40 160 1600 25600 6400

1 0 280 0 78400 0

1 0 120 0 14400 0

1 320 240 102400 57600 76800

1 40 0 1600 0 0

1 240 320 57600 102400 76800

1 280 40 78400 1600 11200

1 240 320 57600 102400 76800

1 80 280 6400 78400 22400

1 280 320 78400 102400 89600

1 160 40 25600 1600 6400

1 200 240 40000 57600 48000

1 120 0 14400 0 0

1 120 0 14400 0 0

1 0 0 0 0 0

1 40 120 1600 14400 4800

1 0 240 0 57600 0

1 0 320 0 102400 0

1 320 320 102400 102400 102400

1 40 40 1600 1600 1600

1 320 40 102400 1600 12800

1 240 280 57600 78400 67200

1 240 120 57600 14400 28800

1 120 0 14400 0 0

1 0 160 0 25600 0

1 160 320 25600 102400 51200

1 320 200 102400 40000 64000

Y (80x1)

85

54.7

130.1

20

114.5

157

24

117.9

45.5

26.8

86.9

105

35.3

100

89.2

87.4

19.7

114.9

11.5

56.2

46.3

77.4

76.3

72

135.7

24

136.9

53.4

141.3

105.3

89.2

13.1

16.9

127.5

82.3

27.8

135.2

102.8

133.1

78.9

120.9

163.4

25.8

142.4

67.4

136.9

84.5

16

26.1

122

110.1

93.1

88.7

79.1

19.9

46

133

18.5

130.1

64.9

132.3

93.4

132.9

88.5

127.4

39.8

38.8

10

88.7

48.3

20.9

129

44.9

81.1

130.8

117.9

19.7

35.3

115.4

130

X' (3x80)

X'X (6x6) 80 10720 12580 2368000 2920400 1829600

10720 2368000 1829600 593152000 449904000 427936000

12580 1829600 2920400 427936000 765112000 449904000

2368000 593152000 427936000 1.59785E+11 1.07677E+11 1.1054E+11

2920400 449904000 765112000 1.07677E+11 2.13568E+11 1.22769E+11

1829600 427936000 449904000 1.1054E+11 1.22769E+11 1.07677E+11

(X'X)-1 (6x6) 0.1453326 -0.000927561 -0.001054039 1.50993E-06 1.86125E-06 1.94881E-06

-0.00092756 1.45795E-05 2.76599E-06 -3.68448E-08 -6.20279E-10 -1.52077E-08

-0.00105404 2.76599E-06 1.58452E-05 -2.93944E-09 -4.1645E-08 -8.78926E-09

1.50993E-06 -3.68448E-08 -2.93944E-09 1.28216E-10 5.90224E-12 -5.29809E-12

1.86125E-06 -6.20279E-10 -4.1645E-08 5.90224E-12 1.36327E-10 -1.665E-11

1.94881E-06 -1.52077E-08 -8.78926E-09 -5.29809E-12 -1.665E-11 9.77599E-11

X'Y (6x1)

6470.9

1132376

1225714

261577280

297092040

230216560

b=(X'X)-1(X'Y) (6x1)

-5.29055668

0.574572733

0.568577628

-0.00148217

-0.00149079

0.000790064

- Pruebas de hipótesis Dependencia del modelo: . test x1 x2 x1x1 x2x2 x1x2 (resultado es el mismo que el estadístico F arrojado por la tabla de la regresión) ( 1) x1 = 0 ( 2) x2 = 0 ( 3) x1x2 = 0

( 4) x1x1 = 0 ( 5) x2x2 = 0 F( 5, 74) = 189.46 Prob > F = 0.0000 Relevancia de cada variable: La solución puede ser prueba t (el que arroja la tabla de la regresión) o prueba F (resultado del comando “test” en Stata) Source | SS df MS Number of obs = 80 -------------+------------------------------ F( 5, 74) = 189.46 Model | 141186.366 5 28237.2732 Prob > F = 0.0000 Residual | 11029.2083 74 149.043355 R-squared = 0.9275 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.9226 Total | 152215.574 79 1926.77942 Root MSE = 12.208 ------------------------------------------------------------------------------ y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- x1 | .5745728 .0466153 12.33 0.000 .4816898 .6674557 x2 | .5685776 .0485966 11.70 0.000 .4717468 .6654084 x1x1 | -.0014822 .0001382 -10.72 0.000 -.0017576 -.0012067 x2x2 | -.0014908 .0001425 -10.46 0.000 -.0017748 -.0012068 x1x2 | .0007901 .0001207 6.55 0.000 .0005495 .0010306 _cons | -5.290557 4.654123 -1.14 0.259 -14.5641 3.982985 ------------------------------------------------------------------------------

. test x1 ( 1) x1 = 0 F( 1, 74) = 151.93 Prob > F = 0.0000 . test x2 ( 1) x2 = 0 F( 1, 74) = 136.89 Prob > F = 0.0000 . test x1x1 ( 1) x1x1 = 0 F( 1, 74) = 114.96 Prob > F = 0.0000 . test x2x2 ( 1) x2x2 = 0 F( 1, 74) = 109.38 Prob > F = 0.0000 . test x1x2 ( 1) x1x2 = 0 F( 1, 74) = 42.84 Prob > F = 0.0000

Todas las variables son relevantes - Prueba de hipótesis para el valor esperado de la producción Supuesto:

Entonces ),

donde

y se estima con .

1. Estimación Media: El conjunto de valores a utilizar es ,

2. Estimación Varianza:

Y Y estimado u estimado

85 82.9696 2.0304

54.7 54.7213 -0.0213

130.1 137.1986 -7.0986

20 48.6976 -28.6976

114.5 110.6287 3.8713

157 137.1986 19.8014

24 30.6546 -6.6546

117.9 110.6287 7.2713

45.5 48.6976 -3.1976

26.8 47.5176 -20.7176

86.9 94.7556 -7.8556

105 97.9142 7.0858

35.3 47.5176 -12.2176

100 54.7213 45.2787

89.2 85.8447 3.3553

87.4 75.1765 12.2235

19.7 42.3150 -22.6150

114.9 110.6287 4.2713

11.5 -5.2906 16.7906

56.2 57.2695 -1.0695

46.3 41.4713 4.8287

77.4 73.4945 3.9055

76.3 77.0157 -0.7157

72 65.8751 6.1249

135.7 138.0647 -2.3647

24 30.6546 -6.6546

136.9 136.0237 0.8763

53.4 48.7932 4.6068

141.3 143.3307 -2.0307

105.3 100.4538 4.8462

89.2 85.8447 3.3553

13.1 23.9971 -10.8971

16.9 15.0673 1.8327

127.5 129.6250 -2.1250

82.3 75.7252 6.5748

27.8 48.7932 -20.9932

135.2 139.9121 -4.7121

102.8 110.2923 -7.4923

133.1 136.9045 -3.8045

78.9 77.0157 1.8843

120.9 107.1592 13.7408

163.4 139.4653 23.9347

25.8 31.1894 -5.3894

142.4 143.0692 -0.6692

67.4 68.5945 -1.1945

136.9 136.0237 0.8763

84.5 85.5359 -1.0359

16 15.0673 0.9327

26.1 45.2984 -19.1984

122 128.0635 -6.0635

110.1 100.4538 9.6462

93.1 100.4538 -7.3538

88.7 65.8751 22.8249

79.1 73.1854 5.9146

19.9 37.0330 -17.1330

46 41.4713 4.5287

133 138.0647 -5.0647

18.5 15.3209 3.1791

130.1 137.1986 -7.0986

64.9 68.5945 -3.6945

132.3 137.1986 -4.8986

93.4 91.2104 2.1896

132.9 139.4653 -6.5653

88.5 74.1119 14.3881

127.4 138.8493 -11.4493

39.8 42.3150 -2.5150

38.8 42.3150 -3.5150

10 -5.2906 15.2906

88.7 65.8751 22.8249

48.3 45.2984 3.0016

20.9 23.9971 -3.0971

129 136.9890 -7.9890

44.9 36.9428 7.9572

81.1 57.2695 23.8305

130.8 142.6500 -11.8500

117.9 116.7498 1.1502

19.7 42.3150 -22.6150

35.3 47.5176 -12.2176

115.4 118.4365 -3.0365

130 131.4467 -1.4467

3. Prueba de hipótesis:

(Este valor es arbitrario) ------ dado y

Estadístico de prueba es

Para un nivel de significancia , los valores críticos son aproximadamente

El estadístico se encuentra en la región de no rechazo, por lo tanto se concluye que no hay suficiente

evidencia estadística para rechazar Ho. Es decir, dado y , no podemos

rechazar que el valor esperado de la producción de maíz es igual a 100.

- Producto total, medio y marginal Supuesto: Para realizar las gráficas, se supone igual a su media 157.25

Producto total:

Producto medio:

Producto marginal:

- Elasticidad de producción de X1 Para , y ,

Elasticidad es = =

Lo anterior significa que incrementar en 1% la utilización del insumo X1, puede ocasionar un incremento o decrecimiento en Y dependiendo de la escala de la producción. Es decir, la elasticidad es positiva si X1<235.9 – incrementar en 1% el uso de X1 genera un aumento en Y – y la elasticidad es negativa si X1>235.9 – incrementar en 1% el uso de X1 genera una caída en Y. - Maximización producción

Se maximiza la producción de Y cuando . Por lo tanto, =

. Suponiendo , la

cantidad de X1 que maximiza la producción es .

- Maximización de ganancias

Condiciones de primer orden:

Resolviendo ambas ecuaciones se obtiene:

Para .

SOLUCION PUNTO 2 2.1 Especifique una función de producción Cobb-Douglas para la producción de maíz en función de X1 y X2. Indique los signos esperados y las restricciones que deben cumplir los parámetros del modelo. 2.2 Estime la función por MCO. Ilustre como quedarían conformadas las matrices y su respectivo tamaño. 2.3 Determine mediante procedimiento de prueba de hipótesis si existe dependencia y relevancia en el modelo. 2.4 Lleve a cabo el procedimiento de prueba de hipótesis con el fin de determinar si la respuesta de la producción de maíz a la utilización del factor X2 es inelástica (hipótesis alterna) (ceteris paribus). 2.5 Utilice el enfoque matricial de prueba de hipótesis para determinar si se rechaza la siguiente hipótesis nula: Ho: 3β2=2β1+4 (apóyese en una hoja de Excel). 2.6 Lleve a cabo el procedimiento de prueba de hipótesis con el fin de determinar si el modelo muestra rendimientos decrecientes a escala (hipótesis alterna).

2.1 Maiz = Y = BX1B1X2B2eu Ln (Y) = Ln B + B1 Ln(X1) + B2 Ln(X2) + u Signos esperados: B1 > 0, B2> 0 Restricciones: B1 + B2 > 0 2.2 No todos los datos son válidos. Hay varios ceros, que al pasar a logaritmos quedan indefinidos, por lo que los datos válidos son únicamente 54. B = (XTX)-1XTY Y(54x1) X(54x3) XT(3x54) XTX(3x3) XTX-1(3x3) XTY(3x1)

Por lo que: β 0 = 2.1895 β1 = 0.2099 β2 = 0.2780 2.3 Dependencia:

Se RECHAZA la hipótesis nula de que en conjunto los coeficientes son iguales a cero, por lo que se establece dependencia entre las variables independientes y la dependiente. Relevancia:

Los estadísticos t indican que TODAS las variables son relevantes. 2.4 Como el parámetro de LnX2 es B2 y este es menor que uno, se deduce que la producción de maíz es inelástica respecto a X2. El intervalo de confianza del parámetro indica que este se encuentra entre 0.22 y 0.33, lo que refuerza la idea anterior. Ho: B2 >= 1 H1: B2 < 1 Se rechaza la hipótesis nula si: [B2-b2] / Sb > t(n)95%: t(n)95%: 2.009 0.2780 – 1= - 0.722 Sb2 = 0.4196 (ver punto 2.5). - 0.722 / 0.4196 = -1.72068637 =>

-1.72 > -2.009?: SI => Se rechaza la hipótesis nula de que el coeficiente B2 es mayor o igual a 1, es decir B2 < 1, entonces, la producción de maíz es inelástica respecto a X2.

2.5 Ho: 3β2=2β1+4 3β2 - 2β1 = 4

rTB = q: q = 4 rT = [0 -2 3] B= β 0 β1

β2

Para esta prueba de hipótesis se puede utilizar un estadístico t: Q-q / se(q) Operando los términos: Q=rTb rT = [0 -2 3] bT = [2.19 0.21 0.28] rTb= 0 - 0.42 + 0.84 = 0.42

Q-q = 0.42 – 4 = -3.58 se(q) = RAIZ (rT[s2(XTX)-1]r) La matriz de varianza-covarianza es:

Pasando los valores a Excel: corresponde a [s2(XTX)-1]:

0.00083405 0.00002063 -0.0042797

0.00002063 0.00078669 0.00403124

-0.0042797 0.00403124 0.04196216 Operando rT[s2(XTX)-1]:

-0.01288036 0.01052034 0.117824 Y finalmente rT[s2(XTX)-1]r 0.33243132

Tomando la raíz 0.57656857

Q-q / se(q) = -3.58 / 0.5765 = -6.20914868

N: 54 K: 3 N-K = 51 T(51)95% : 2.009 Valor absoluto (-6.20914868) > 2.009 => VERDADERO: se rechaza la hipótesis nula de que los

datos sustentan la hipótesis nula Ho: 3β2 - 2β1 = 4

El resultado en Stata (que hace una prueba F) arroja que los datos no sustentan la hipótesis nula:

2.6 Los rendimientos decrecientes a escala se dan si β1+β2 < 1 0.21 + 0.28 = 0.49 < 1: Se verifican rendimientos decrecientes a escala. SOLUCION PUNTO 3

3. Construya un ejemplo (con 10 observaciones y tres variables independientes) que le permita ilustrar en forma detallada el procedimiento de MCG para solucionar el problema de heteroscedasticidad. Utilice el enfoque matricial. Indique como quedaría conformada cada matriz y su respectivo tamaño.

Datos

Salario exper IQ educ

769 11 93 12

808 11 119 18

825 11 108 14

650 13 96 12

562 14 74 11

1400 14 116 16

600 13 91 10

1081 8 114 18

1154 13 111 15

1000 16 95 12

En presencia de heterocedasticidad la varianza del error condicionado a las variables explicativas no es

constante. El método de MCG transforma las variables de modo que la varianza de los errores del nuevo

modelo transformado sea constante.

iiXuuE 2)´|(

Como no siempre es conocido lo estimamos de la siguiente manera:

1. Se corre la regresión de MCO 2. Se estiman los errores de la regresión y los errores al cuadrado 3. Se corre una regresión del logaritmo natural de los errores al cuadrado contra diferentes

combinaciones de las variables en el modelo, para así evitar valores negativos de la varianza estimada

4. ))ˆexp(ln(ˆ 2ei

De aquí se obtiene la siguiente matriz de (10X10)

OMEGA

3.526 - - - - - - - - -

- 7.255 - - - - - - - -

- - 6.623 - - - - - - -

- - - 20.150 - - - - - -

- - - - 13.129 - - - - -

- - - - - 83.728 - - - -

- - - - - - 19.853 - - -

- - - - - - - 515 - -

- - - - - - - - 32.690 -

- - - - - - - - - 196.226

OMEGA INVERSA

0,000284 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0,000138 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0,000151 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 4,96E-05 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 7,617E-05 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1,19E-05 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 5,04E-05 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0,001942 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 3,059E-05 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 5,09616E-06

Al hacer la transformación de las variables tenemos:

XtOinv

0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,000 0,001 0,016 0,000 0,000

0,026 0,016 0,016 0,005 0,006 0,001 0,005 0,221 0,003 0,000

0,003 0,002 0,002 0,001 0,001 0,000 0,001 0,035 0,000 0,000

XtOinvX

0,23 2,69 0,40

2,69 33,28 5,07

0,40 5,07 0,78

(XtOinvX)inv

188,7 -61,3 302,1

-61,3 25,3 -133,6

302,1 -133,6 716,4

XtOinvY

24

302

46

Betas MCG

-14,5

5,8

28,8

SOLUCION PUNTO 4 4. Construya un ejemplo (con 10 observaciones y tres variables independientes) que le permita

ilustrar el procedimiento de MCG para solucionar el problema de autocorrelacion. Utilice el enfoque matricial. Indique como quedaría conformada cada matriz y su respectivo tamaño).

La transformación matricial para corregir problemas de auto correlación de grado uno es la siguiente:

En donde,

Sigma

1 p p^2 p^3 p^4 ,,,, p^t-1

p 1 p p^2 p^3 ,,, p^t-2

p^2 p 1 p p^2 ,,, ,,,

,,, p^2 p 1 p ,,, ,,

,,, p^3 p^2 p 1 ,, ,,,

,, p^4 p^3 p^2 p ,, ,,,

p^t-1 ,,, , ,,, ,,,, ,,, 1

Para estimar la correlación (Rho) de primer orden se ha corrido una regresión de MCO entre los errores

y su rezago del modelo original.

Así, tenemos para los mismos datos del punto anterior,

Rho = 0.04

Sigma

1,00 0,04 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,04 1,00 0,04 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,04 1,00 0,04 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,04 1,00 0,04 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,04 1,00 0,04 0,00 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 1,00 0,04 0,00 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 1,00 0,04 0,00 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 1,00 0,04 0,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 1,00 0,04

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,04 1,00

Sigma Inversa

1,00 -0,04 -0,00 0,00 -0,00 0,00 0,00 0,00 -0,00 -

-0,04 1,00 -0,04 0,00 0,00 -0,00 0,00 0,00 -0,00 -0,00

0,00 -0,04 1,00 -0,04 -0,00 0,00 -0,00 -0,00 0,00 0,00

0,00 -0,00 -0,04 1,00 -0,04 -0,00 0,00 0,00 -0,00 -

-0,00 0,00 -0,00 -0,04 1,00 -0,04 -0,00 0,00 0,00 -0,00

0,00 -0,00 0,00 -0,00 -0,04 1,00 -0,04 -0,00 0,00 0,00

0,00 -0,00 -0,00 0,00 -0,00 -0,04 1,00 -0,04 -0,00 0,00

0,00 0,00 -0,00 0,00 0,00 -0,00 -0,04 1,00 -0,04 -0,00

-0,00 -0,00 0,00 -0,00 0,00 0,00 -0,00 -0,04 1,00 -0,04

0,00 -0,00 0,00 0,00 -0,00 0,00 0,00 -0,00 -0,04 1,00

Xt(Sigma)-1 (3X10)

11 10 10 12 13 13 12 7 12 16

88 111 100 89 66 110 82 106 103 91

11 17 13 11 10 15 9 17 14 11

Xt(sigma)-1X (3X3)

1.478 11.621 1.561

11.621 98.063 13.382

1.561 13.382 1.846

(Xt(Sigma)-1X)inv

0,01 -0,00 0,02

-0,00 0,00 -0,01

0,02 -0,01 0,07

Xt(Sigma)-1Y (3X1)

102.251

862.764

118.165

Betas

[(Xt(sigma)-1X)inv]Xt(sigma)-1Y

8,1

3,4

32,3