FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS

ALUMNOS :

BRAVO DIAZ Mayra Del Milagro

PEREZ PARRA José Luis

PEREZ SANDOVAL Karla Maricielo

ZAPATA LLONTO Ingrid Gabriela

DOCENTE :

CHIRINOS SALAZAR José Carlos

ASIGNATURA :LÓGICA MATEMATICA

CICLO ACADÉMICO :

II

Lambayeque, Setiembre del 2010

INDICE

ESC. PROF. DE INGENIERÍA EN COMPUTACIÓN E INFORMÁTICA

Sistemas de numeración

Dedicatoria

Agradecimiento

Índice

Introducción

Sistemas de numeración

Concepto

Clases:

2

SISTEMAS DE NUMERACIÓN

1. NOCIONES PRELIMINARES

1.1. NUMERO:

Idea o abstracción de una cantidad observada en la realidad concreta.

1.2. NUMERAL:

Símbolo empleado para representar un numero. Es como un vehículo para comunicar ideas de números. Por ejemplo, algunos numerales para representar al número cinco son:

5 ;V ;cinco;22+1 ;32−22 ;…, etc .

1.3. ORDEN:

Lugar o posición, contado de derecha a izquierda, que ocupan una cifra dentro de un numeral. Por ejemplo:

7 62 58

1.4. SISTEMA DE NUMERACION:

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos o cantidades.

Cada sistema de numeración se va a caracterizar por su base que es el número de cada símbolo distinto que utiliza, y además determina el valor de cada símbolo, dependiendo de la posición que ocupe.

3

1er Orden u orden 02do Orden u orden 13er Orden u orden 24¿ Orden u orden 35¿ Orden u orden 4

Un sistema de numeración puede representarse como

Donde:

 es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).  es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del sistema

decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son {0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9, A, B, C, D, E, F}.

 son las reglas que nos indican qué números son válidos en el sistema, y cuáles no.

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración considerado, pero una regla común a todos es que para construir números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.Para indicar en qué sistema de numeración se representa una cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de símbolos que se pueden representar en dicho sistema

Ejemplos:

el número 135(10) es un número válido en el sistema decimal, pero el número 12A (10) no lo es, ya que utiliza un símbolo A no válido en el sistema decimal.

el número 35(8) es un número válido en el sistema octal, pero el número 39(8) no lo es, ya que el símbolo 9 no es un símbolo válido en el sistema octal.

el número F1E4 (16) es un número válido en el sistema hexadecimal, pero el número FKE4 (16) no lo es, ya que el símbolo K no es un símbolo válido en el sistema hexadecimal.

Las lenguas naturales sin ser sistemas formales son sistemas que generalmente cuentan con un procedimiento para nombrar los numerales. La base de los sistemas encontrados en las lenguas del mundo son la base 10 y la base 20, ya que dichos sistemas se originaron en el contaje de dedos de manos (y a veces también pies).

1.5. BASE DE UN SISTEMA:

Es un número referencial que indica cómo deben agruparse las cantidades para formar las órdenes de un numeral en cierto sistema de numeración.

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1.6. TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA NUMERACION

Este teorema establece la forma general de construir números en un sistema de numeración posicional. Primero estableceremos unas definiciones básicas:

, número válido en el sistema de numeración., base del sistema de numeración. Número de símbolos permitidos en el

sistema., un símbolo cualquiera de los permitidos en el sistema de numeración., Número de dígitos de la parte entera.

, Coma fraccionaria. Símbolo utilizado para separar la parte entera de un número de su parte fraccionaria.

, Número de dígitos de la parte decimal.La fórmula general para construir un número N, con un número finito de decimales, en un sistema de numeración posicional de base b es la siguiente:

El valor total del número será la suma de cada dígito multiplicado por la potencia de la base correspondiente a la posición que ocupa en el número.Esta representación posibilita la realización de sencillos algoritmos para la ejecución de operaciones aritméticas.

2. CLASIFICACION

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes grupos: posicionales y no-posicionales:

En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el número.

En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que ése símbolo ocupa en el número.

Por ejemplo:El sistema de numeración egipcio es no posicional, en cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen sistemas de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen nombres basados en numerales más pequeños.

2.1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN NO POSICIONALES

Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos.

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2.2. SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES

El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un sistema de numeración posicional tiene base b significa que disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y que  b unidades forman una unidad de orden superior.

2.2.1. SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL

En el sistema decimal los símbolos válidos para construir números son {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} por tanto la base es el número de símbolos válidos en el sistema.

En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema decimal.

Los dígitos a la izquierda de la coma fraccionaria representados por dn ... d2 d1 d0 , toman el valor correspondiente a las potencias positivas de la base (10 en el sistema decimal), en función de la posición que ocupan en el número, y representan respectivamente al dígito de las n-unidades (10n), centenas (10²=100), decenas (10¹=10) y unidades (100=1), ya que como se ve en el gráfico están colocados en las posiciones n..., tercera, segunda y primera a la izquierda de la coma fraccionaria.Los dígitos a la derecha de la coma fraccionaria d-1, d-2, d-3... d-n representan respectivamente al dígito de las décimas (10-1=0,1), centésimas (10-2=0,01), milésimas (10-3=0,001) y n-enésimas (10-n).

Por ejemplo, el número 1492,36 en decimal, puede expresarse como: 1492/36

2.2.2. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIA

Tomemos ahora el sistema binario o de base 2. En este sistema los dígitos válidos son {0,1}, y dos unidades forman una unidad de orden superior.En la figura inferior podemos ver el teorema fundamental de la numeración aplicado al sistema binario.

6

Seguimos con el ejemplo del cuentakilómetros visto arriba. En este caso las ruedas no tienen 10 símbolos (0 al 9) como en el caso del sistema decimal. En el sistema binario la base es 2, lo que quiere decir que sólo disponemos de 2 símbolos {0,1} para construir todos los números binarios.En el sistema binario, para representar cifras mayores que 1 se combinan los 2 símbolos {0,1} y agrega una segunda columna de un orden superior.Aquí las ruedas del cuentakilómetros dan una vuelta cada dos unidades. Por tanto, una vez que contamos (sumamos) dos hemos agotado los símbolos disponibles para esa columna, y debemos poner a cero la columna y usar otra columna a la izquierda.Así, si contamos en binario, tras el número 0(2 viene el 1(2, pero si contamos una unidad más debemos usar otra columna, resultando 10(2

Sigamos contando 0(2,1(2,10(2,11(2. Al añadir una unidad a la columna de las unidades, esa columna ha dado la vuelta (ha agotado los símbolos disponibles), y debemos formar una unidad de segundo orden, pero como ya hay una, también agotaremos los símbolos disponibles para esa columna, y debemos formar una unidad de tercer orden o 100(2.

2.2.3. SISTEMA DE NUMERACIÓN OCTAL

El sistema de numeración octal es también muy usado en la computación por tener una base que es potencia exacta de 2 o de la numeración binaria. Esta característica hace que la conversión a binario o viceversa sea bastante simple. El sistema octal usa 8 dígitos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) y tienen el mismo valor que en el sistema de numeración decimal.El teorema fundamental aplicado al sistema octal sería el siguiente:

Como el sistema de numeración octal usa la notación posicional entonces para el número 3452,32 tenemos q: 2*80 + 5*81 + 4*82 + 3*83 + 3*8-1 + 2*8-2 = 2 + 40 + 4*64 + 3*512 + 3*0,125 + 2*0,015625 = 2 + 40 + 256 + 1536 + 0,375 + 0,03125 = 1834 + 40625d

7

Entonces, 3452,32q = 1834,40625dEl sub índice q indica número octal, se usa la letra q para evitar confusión entre la letra 'o' y el número 0. En informática, a veces se utiliza la numeración octal en vez de la hexadecimal. Tiene la ventaja de que no requiere utilizar otros símbolos diferentes de los dígitos. Es posible que la numeración octal se usara en el pasado en lugar del decimal, por ejemplo, para contar los espacios interdigitales o los dedos distintos de los pulgares.Es utilizado como una forma abreviada de representar números binarios que emplean caracteres de seis bits. Cada tres bits (medio carácter) es convertido en un único dígito octal. Okta es un término griego que significa 8.

2.2.4. SISTEMA DE NUMERACIÓN DUODECIMAL

En este sistema, el número diez puede ser escrito como “A”, y el número once como “B” (otra notación común, introducida por el sir Pitman de Isaac, es utilizar “2 rotados” para diez y “3 invertidos” para once). El número doce (es decir, el número escrito como “12” en base diez el sistema numérico) en lugar de otro se escribe como “10” en duodecimal (el significado “1 docena y unidades 0 ", en vez “de 1 unidad diez y 0”), mientras que la secuencia del dígito “12” medios “1 docena y 2 unidades” (es decir. El mismo número que en decimal se escribe como “14”). Semejantemente, en los “100” medios duodecimales “1 grueso“, “1000” significa “1 grande gane en total“, y “0.1” medios “1 twelfth” (en vez de sus significados decimales “1 cientos”, “1 mil”, y “1 décimo”).

El número doce, a altamente compuesto, es el número más pequeño con cuatro no triviales factores (2, 3, 4, 6), y el más pequeño para incluir como factores los cuatro números (1 a 4) dentro del el subitizing gama. Como resultado de este factorability creciente de la raíz y de su divisibilidad por una amplia gama de los números más elementales (mientras que diez tiene solamente dos factores no triviales: 2 y 5, con ni 3 ni 4), las representaciones duodecimales cupieron más fácilmente que decimal unos en muchos patrones comunes, según lo evidenciado por el observable más alto de la regularidad en la tabla duodecimal de la multiplicación. De sus factores, 2 y 3 están prima, que significa reciprocals de todos 3 los números (tales como 2, 3, 4, 6, 8, 9…) tenga al terminar representación en duodecimal. Particularmente, las cinco fracciones más elementales (1⁄2, 1⁄3, 2⁄3, 1⁄4 y 3⁄4), todos tienen una representación que termina corta en duodecimal (0.6, 0.4, 0.8, 0.3 y 0.9, respectivamente), y doce es la raíz más pequeña con esta característica (puesto que es menos múltiplo común de 3 y 4).

2.2.5. SISTEMA DE NUMERACIÓN HEXADECIMAL

El sistema de numeración hexadecimal, de base 16, utiliza 16 símbolos. Es común abreviar hexadecimal como hex aunque hex significa base seis. Dado que el sistema usual de numeración es de base decimal y, por ello, sólo se dispone de diez dígitos, se adoptó la convención de usar las seis primeras letras del alfabeto latino para suplir los dígitos que nos faltan: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14 y F = 15. Como en cualquier sistema de numeración posicional, el valor numérico de cada dígito es alterado dependiendo de su posición en la cadena de dígitos, quedando multiplicado por una cierta potencia de la base del sistema, que en este caso es 16.

8

Por ejemplo: 3E0, A (16) = 3×16^2 + E×16^1 + 0×16^0 + A×16^-1 = 3×256 + 14×16 + 0×1 + 10×0,0625 = 992,625. El sistema hexadecimal actual fue introducido en el ámbito de la computación por primera vez por IBM en 1963. Una representación anterior, con 0–9 y u–z, fue usada en 1956 por la computadora Bendix G-15 y algunas computadoras modernas.

3. CONVERSION DE SISTEMAS DE NUMERACION

3.1. DE UN SISTEMA DE BASE R A UN SISTEMA DE BASE 10:

Ejemplo:

Convertir 630,4 del sistema de numeración octanario al sistema de numeración decimal.

Por el método de descomposición canónica :

26748 = 2x83 + 6x82 + 7x81 + 4x80

= 2(512) + 6(64) + 7(8) + 4(1) = 1024 + 256 + 56 + 4

26748 = 146810

Por el método de Ruffini :

2 6 7 4

(+) (+) (+)

8 16 176 1464

2 22 183 1468

26748 = 146810

9

(X8)(X8)(X8)

Ejemplos:

1.) Convertir el número 111012 a base decimal.

24 23 22 21 20 1 1 1 0 1

2.) Convertir el número 101012 a base 10.

24 23 22 21 20 1 0 1 0 1

3.) Convertir el número 11111002 a base 10.

26 25 24 23 22 21 20 1 1 1 1 1 0 0

4.) Convertir el numero hexadecimal 39, B8 a decimal.

39, B816 = 3x161 + 9x160 + Bx16-1 + 8x16-2

= 48 + 9 + 0,687 + 0,031

= 57,71810

5.) Convertir el numero hexadecimal 2B6 a decimal.

2B616 = 2x162 + Bx161 + 6x160

= 512 + 176 + 6

= 694

6.) Convertir el número AE1B hexadecimal a decimal. AE1B = A x 16³ + E x 16² + 1 x 16¹ + B x 16º = 10 x 4096 + 14 x 256 + 1 x 16 + 11 x 1 = 4060 + 3584 + 16 + 11 = 4457110

7.) Convertir el número octal 375,42 a decimal.

375,428 = 3x82 + 7x81 + 5x80 + 4x8-1 + 2x8-2

= 192 + 56 + 5 + 0.5 + 0,031

= 253,53110

8.) Convertir el numero octal 374148 a decimal374148 = 3 x 84 + 7 x 83 + 4 x 82 + 1 x 81 + 4 x 80

= 3 x (4096) + 7 x (512) + 4 x (64) + 1 x (8) + 4 x (1) = 1614010

10

=1x26 + 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 0x20

=64 + 32 + 16 + 8 + 4 = 12410

=1x24 + 1x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20

=16 + 8 + 4 + 1 = 2910

=1x24 + 0x23 + 1x22 + 0x21 + 1x20

=16 + 0 + 4 + 1 = 2110

3.2. DE UN SISTEMA DE BASE 10 A UN SISTEMA DE BASE R:

Tabla de conversión de un decimal a un sistema de base R

DECIMAL BINARIO OCTAL HEXADECIMAL

0 0000 0 0

1 0001 1 1

2 0010 2 2

3 0011 3 3

4 0100 4 4

5 0101 5 5

6 0110 6 6

7 0111 7 7

8 1000 10 8

9 1001 11 9

10 1010 12 A

11 1011 13 B

12 1100 14 C

13 1101 15 D

14 1110 16 E

15 1111 17 F

16 10000 20 10

17 10001 21 11

18 10010 22 12

19 10011 23 13

20 10100 24 14

21 10101 25 15

22 10110 26 16

23 10111 27 17

24 11000 30 18

25 11001 31 19

Ejemplos:

1.) Convertir 42 al sistema de numeración binaria.

Por el método de las divisiones sucesivas :

11

4 2 2

0 21 2

1 10 2

0 5 2

1 2 2

0 1

2.) Convertir el número 29 en su equivalente en binario.

29 2

1 14 2

0 7 2

1 3 2

1 1 2

1 0

3.) Convertir el numero decimal 8 al sistema binario

4.) Convertir el numero decimal 15 al sistema binario

12

4210 = 1010102

2910 = 0111012

5.) Convertir el número decimal 4573 al sistema hexadecimal.

4573 16

13 285 16

13 17 16

1 1

6.) Convertir el número decimal 1036 al sistema octal.

1036 8

4 129 8

1 16 8

0 2

3.3. DE UN SISTEMA DE BASE R A UN SISTEMA DE BASE N:

13

457310 = 11DD16

103610 = 20148

Ejemplo:

Convertir 35267, al sistema de numeración undecimal.

PASO I : Convertir 35267 al sistema decimal

35267 = 3x73 + 5x72 + 2x71 + 6x70

= 3(343) + 5(49) + 2(7) + 6(1)

= 1029 + 245 + 14 + 6

= 1294

PASO II: Convertir 1294 al sistema de numeración undecimal.

1294 11

7 117 11

7 10

14

35267 = A7711

(A: diez)

4. CASOS ESPECIALES DE CONVERSION

4.1. DE BASE “N”A BASE “NK” (K∈Z+)

Se divide al numeral de base “n” en grupos de “k” cifras (comenzaremos por la

derecha) y luego a cada grupo se le convierte directamente (mediante

descomposición polinómica) al sistema de base “n”

Ejemplo:

Convertir 101001101011111000112 al sistema octanario.

De base 2 a base 8 =23 (n= 2 k=3)

Por descomposición polinómica 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 12

2 4 6 5 7 4 3

101001101011111000112 = 24657438

4.2. DE BASE “NK” A BASE “N” (N Z+)

A cada una de las cifras del numeral de base “nk ” se les convierte directamente

(mediante divisiones sucesivas) al sistema de base “n” teniendo cuidado de obtener

grupos de “k” cifras por cada cifra convertida (los grupos incompletos se llenan con

ceros a la izquierda)

Ejemplo:

Convertir 6426738 al sistema de numeración binario.

De base 23 a base 2 (n=2 k=3)

6 4 2 6 7 3

1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1

6426738 = 1101000101101110112

15

5. OPERACIONES EN LOS DIFERENTES SISTEMAS DE NUMERACION

SUMA DE NÚMEROS BINARIOS

Es similar a la suma decimal excepto que se manejan sólo dos dígitos (0 y 1).

Las sumas básicas son:

Por ejemplo, sumemos 100110101 + 11010101:

Operamos como en decimal: comenzamos a sumar desde la izquierda. En el ejemplo 1 +

1 = 10, entonces escribimos 0 y "llevamos" 1. Se suma este 1 a la siguiente columna: 1

+ 0 + 0 = 1, y seguimos hasta terminar todas las columnas (exactamente como en

decimal).

Ahora presentamos 3 nuevos ejemplos de suma de números binarios en los cuales

podremos apreciar al lado de dichas operaciones, el equivalente de esa suma en el

sistema decimal para facilitar la comprensión:

16

En el sistema binario:

- Con 1 bit el valor más alto que se puede expresar es el 1.

- Con 2 bits el valor más alto que se puede expresar es el 3.

- Con n bits el valor más alto que se puede expresar es el 2 – 1.

Cada bit, según la posición que ocupa dentro del conjunto de un número binario, tiene un peso o un valor determinado en el sistema decimal.

Por consiguiente, si sustituimos el valor dado a cada bit por otro, tendremos que una misma combinación de bits queda modificada en cuanto al significado:

- Con un solo bit, se representan dos informaciones o estados (2¹).

- Con dos bits (2²), obtenemos cuatro combinaciones de información.

17

- Con tres bits (2³), ocho combinaciones de información.

- Con cuatro bits (24), dieciséis combinaciones de información.

- Con n bits, (2n) combinaciones de información.

Si deseamos representar cada letra del alfabeto mediante una combinación de bits, necesitamos que cada letra esté representada por lo menos por 5 bits (25 = 32). Si, además, deseamos abarcar todos los signos gráficos y las letras, tanto minúsculas como mayúsculas, necesitaremos una combinación de 7 bits (27 = 128)

Complementos

Los complementos aritméticos se presentan en dos situaciones aparte, pero relacionadas. Mientras que los seres humanos usan los dígitos + y - para denotar números positivos y negativos, el computador puede procesar datos en términos de bits. Aunque es posible reservar un bit para denotar el signo de un numero (digamos, 0 para + y 1 para -), muchos computadores almacenan números negativos en forma de su complemente aritmético.

Los complementos también aparecen en la operación de substracción. En efecto, los complementos se pueden usar para reducir la substracción a una adición. Esto es especialmente útil para evitar la posibilidad de prestar repetidamente de una columna a otra.

Hay dos tipos de complementos, el complemento a la base-menos-uno y el complemento a la base. (el termino complemento en si significa el complemento a la base). Primero discutimos estos complementos en el familiar sistema decimal, en donde se llaman respectivamente complemento a 9 y complemento a 10. Después, los discutiremos en el sistema binario, donde se llaman complemento a unos y complemento a doces, respectivamente.

La resta puede lograrse por medio de la suma de complementos. El complemento de 10 de un número dado es la diferencia entre dicho numero y la potencia de 10 inmediatamente superior.

Algunas restas usando complementos tanto de 10 como de 9.

Restar 42 de 68.

Resta normal Resta por medio del complemento de 10

68 100 68

18

- 42 - 42 +58

26 58 = 1 26

Elimínese el digito de orden mas alto que aparece al sumar el complemento

Resta por medio del complemento de 9

99 68

-42 +57

57 1 25

+ 1

= 26

Cuando se usa complementos de nueve, el digito adicional que resulta no se elimina, si no que se suma a la posición de unidades. Este procedimiento se conoce como transporte cíclico.

Resta binaria por complemento

Este es el método más eficiente para realizar substracciones, y consiste en sumar al minuendo el complemento del sustraendo. Luego, la unidad que excedió la longitud del minuendo, se elimina de la izquierda y se suma a la cifra de las unidades. (prestar atención siempre a las posiciones decimales).

Ej. :

100011,101 (minuendo)

- 10101   (sustraendo)

Los pasos a seguir son:

Si la cantidad de dígitos del sustraendo es menor que la del minuendo se completa el sustraendo con ceros a la izquierda de la parte entera, y a la derecha de la parte decimal (encolumnar por la coma).

Se halla el complemento del sustraendo, restando este valor del máximo valor binario con la misma longitud que el minuendo.

111111,111

- 010101,000

19

101010,111 (complemento)

En el sistema binario el complemento también puede hallarse cambiando cada digito del sustraendo por su opuesto, es decir, el 1 se convierte en 0, y viceversa.

Se suma al minuendo el complemento del sustraendo.

100011,101

+ 101010,111

1001110,100

Se elimina el 1 de la izquierda y se suma encolumnado con el ultimo digito de la cifra, sin importar la coma decimal.

100011,101

+ 101010,111

001110,100

+ 1

1110,101 (resultado)

Las comprobaciones pueden realizarse convirtiendo a decimal las cifras del minuendo y del sustraendo y realizando la resta.

Ejemplo: 100011,101 = 35,625

- 10101   = 21

1110,101 14,625

Otro modo de controlar el resultado es sumar el mismo al sustraendo, debiendo obtenerse el minuendo.

100011,101

10101   +

1110,101

20