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3 SISTEMA DE NUMERACION

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SISTEMA DE NUMERACION

INTRODUCCION• Un sistema informático es el encargado de recoger datos,

procesarlos y transmitir la información una vez procesada. • La máquina que realiza todo esto se Llama Ordenador.• La función básica que realiza un ordenador es la ejecución de un

programa.• Un programa consiste en un conjunto de instrucciones.• En un sistema informático se introducen datos, mediante los

programas, ahora bien para que este puede entenderlos los datos deben ser traducidos al lenguaje eléctrico que es el único que el ordenador conoce, no debemos olvidar que el ordenador es una máquina eléctrica. Entonces....

¿Como nos entendemos con el Ordenador?Debemos tener un idioma intermedio y que los dos conozcamos. ¡EL SISTEMA BINARIO DE NUMERACIÓN!

¿Por qué se usa este sistema de numeración en informática?El microprocesador es como si estuviera formado por millones de interruptores que son accionados eléctricamente cuando les llega corriente eléctrica y están sin accionar cuando no les llega corriente. Estos dos estados para nosotros serán “0” y “1” que corresponden a los estados de interruptor “abierto” y “cerrado”.

Para que el ordenador pueda reconocer los caracteres alfanuméricos que escribimos cuando trabajamos con textos, se creó el Código ASCII (American Standard Code for Information Interchange – Código Estándar Americano para Intercambio de Información), que utiliza los números del 0 al 255.

CONCEPTOSUn sistema de numeración es el conjunto de símbolos y reglas que se utilizan para la representación de datos numéricos y cantidades. Se caracteriza por su base que es el número de símbolos distintos que utiliza, y además es el coeficiente que determina cual es el valor de cada símbolo dependiendo de la posición que ocupa.

SISTEMA DE NUMERACION DECIMAL

Es un sistema de numeración en el que las cantidades se representan utilizando como base el número diez, por lo que se compone de las cifras: cero (0); uno (1); dos (2); tres (3); cuatro (4); cinco (5); seis (6); siete (7); ocho (8) y nueve (9).

SISTEMA BINARIO

Es un sistema de numeración en base 2, en el que los números se representan utilizando solamente las cifras cero y uno (0 y 1). Los ordenadores trabajan internamente con dos niveles de voltaje, por lo que su sistema de numeración natural es el sistema binario (encendido 1, apagado0).

• Cada cifra o dígito de un número representado en este sistema se denomina BIT

• Para la medida de cantidades de información representadas en binario se utilizan una serie de múltiplos del bit que poseen nombre propio; estos son:

• 1 bit = unidad mínima de información.• 8 bits = 1 Byte• 1 byte =1 letra, numero, símbolo de puntuación.• Unidades de medida de almacenamiento• 1,024 bytes = 1 Kilobyte, Kbyte o KB• 1,024 KB= 1 Megabyte, Mbyte o MB (1,048,576 bytes)• 1,024 MB= 1 Gigabyte, Gbyte o GB (1,073,741,824 bytes)• 1,024 GB= 1 Terabyte, Tbyte o TB (1,099,511,627,776 bytes)• 1,024 TB= 1 Pentabyte, Pbyte o PB (1,125,899,906,842,624 bytes)

SISTEMA OCTAL• Representar un número en Sistema Binario puede ser bastante difícil de

leer, así que se creó el sistema octal. En el Sistema de Numeración Octal (base 8), sólo se utilizan 8 cifras (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)

• Este Sistema de numeración una vez que se llega a la cuenta 7 se pasa a 10, etc.. La cuenta hecha en octal: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, 21, .....

• Se puede observar que en este sistema numérico no existen los números: 8 y 9.

SISTEMA HEXADECIMAL• Es un sistema posicional de numeración en el que su base es 16, por tanto,

utilizara 16 símbolos para la representación de cantidades. Estos símbolos son:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F• Un dígito hexadecimal representa cuatro dígitos binarios ,por tanto dos

dígitos hexadecimales representan ocho dígitos binarios 8 bits = 1 byte, que como es sabido es la unidad básica de almacenamiento de información.

CONVERSIONES NUMERICASConversión de decimal a binario• Para hacer la conversión de decimal a binario, hay que ir dividiendo el

número decimal entre dos y anotar en una columna a la derecha el resto (un 0 si el resultado de la división es par y un 1 si es impar).

• La lista de ceros y unos leídos de abajo a arriba es el resultado.

EJEMPLO• En informática para representar un carácter

(letra, símbolo o un número) se utilizan una combinación de 8 bits (8 ceros y unos) según un código llamado ASCII.

• Cuantos más bytes tengo un documento más espacio necesitaremos para almacenarlo.

EJEMPLOS

CONVERSIONES NUMERICAS

Conversión de binario a decimal• Numeramos los bits de derecha a izquierda comenzando

desde el 0 (muy importante desde 0 no desde 1).• Ese número asignado a cada bit o cifra binaria será el

exponente que le corresponde.• Cada número se multiplica por 2 elevado al exponente

que le corresponde asignado anteriormente.• Se suman todos los productos y el resultado será el

número equivalente en decimal

EJEMPLOS

CONVERSIONES NUMERICAS

• Conversión decimal a octalHay varias formas de convertir un numero decimal a octal, la primera de ellas es hacer divisiones de 8 (al igual que para pasar a binario las hacíamos de dos) mientras que otra forma más sencilla es pasar el numero decimal a binario y después a octal. Para pasar el número binario a octal tenemos que hacer agrupaciones de 3 bit tomando el punto de inicio en el último bit hacia la izquierda. Si el número de dígitos no llega a los 3 bits, los rellenaremos con 0 a la izquierda del número hasta llegar a 3.

EJEMPLOS

CONVERSIONES NUMERICAS

• Conversión octal a decimalAl igual que pasar números a octal, también hay varios métodos para convertir octal a decimal.Como sabemos, cada numero octal corresponde con 3 bits en binario así que tenemos que escribir tantos grupos de 3 bits como dígitos octales tenga el numero. Ahora que ya tenemos el número binario lo convertimos a decimal.

EJEMPLOS• Veamos un ejemplo con el número octal 2348 28] -> Es 010 -> 102)

38] -> Es 0112)

48] -> Es 1002)

Por lo tanto el numero 2348] Es 100111002).Ahora el numero binario lo convertimos a decimal1×27 + 1×24 + 1×23 + 1×22 = 128 + 16 + 8 + 4 = 15610)

CONVERSIONES NUMERICAS

• Conversión octal a decimalAhora haremos una forma más corta, consiste en hacer la parte de binario a decimal, multiplicaremos cada número octal por su base que es 8 y lo elevaremos según la posicién que corresponda al número.

EJEMPLOS

Pasar a decimal el numero 26528]

2×83 + 6×82 + 5×81 + 2×80 = 1024 + 384 + 40 + 2 = 145010)

El numero 2652 en octal corresponde a el numero 1450 en decimal

CONVERSIONES NUMERICAS

• Conversión decimal a hexadecimal La primera forma la haremos a base de dividir el número decimal en 16 (al igual que en binario lo hacíamos entre 2) hasta que no podamos dividir más.

EJEMPLOS

Después de realizar las divisiones nos fijamos si hay algún resto superior o igual a 10, si es así, pasaremos cada número a la letra hexadecimal que corresponde. En este ejemplo el resto “13” se convierte al valor “D”El resultado es 74D16).

CONVERSIONES NUMERICAS

• Esta forma es más sencilla que la anterior y consiste en pasar el número decimal a binario y después convertirlo a hexadecimal.

• Iremos haciendo agrupaciones de derecha a izquierda.

• Si el ultimo grupo no llega a 4 bits, los rellenaremos con 0

EJEMPLOS

1011 corresponde a B (11) en hexadecimal.0101 corresponde a 5 en hexadecimal.1111 corresponde a F (15) en hexadecimal.100 se transforma en 0100, corresponde a 4 en hexadecimal.El resultado de 1001111010110112) es 4F5B16) cuyo valor en decimal 2031510)

CONVERSIONES NUMERICAS

• Conversión hexadecimal a decimalLa forma más sencilla de convertir un número hexadecimal a decimal, es pasando dicho número a binario y después convertirlo en decimal

EJEMPLOS• Vamos a convertir el numero A13F16)

A equivale a 10102). 1 equivale a 00012). 3 equivale a 00112). F equivale a 11112).El resultado es 10100001001111112).

• Convertimos el numero binario a decimal1×215 + 1×213 + 1×28 + 1×25 + 1×24 + 1×23 + 1×22 + 1×21+ 1×20 = 32768 + 8192 + 256 + 32 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 4127910).

A13F16) equivale a 10100001001111112) cuyo decimal es 4127910).

CONVERSIONES NUMERICAS

• Conversión hexadecimal a decimalLa segunda forma de convertir números hexadecimales en decimales es haciendo la segunda parte de la primera forma, pero es vez de multiplicar cada valor por 2, lo haremos por 16 ya que es la base hexadecimal, elevado a la posición que corresponda empezando por 0.

EJEMPLOS

Tomando el ejemplo anterior: A13F16)

Ax163 + 1×162 + 3×161 + Fx160 = 40960 + 256 + 48 + 15 = 4127910)

SUMA DE BINARIO

• La suma o adición binaria es análoga a la de los números decimales. La diferencia radica en que en los números binarios se produce un acarreo (carry) cuando la suma excede de uno mientras en decimal se produce un acarreo cuando la suma excede de nueve(9)

EJEMPLOS

• Sean los números binarios 0010 y 0110

El resultado final de la suma de los dos números binarios será: 1 0 0 0

RESTA DE BINARIOEl algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Las restas básicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes:

0 - 0 = 01 - 0 = 11 - 1 = 00 - 1 = 1

(se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)La resta 0 - 1 se resuelve igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posición siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1.

EJEMPLOS

10001 11011001 -01010 -10101011 —————— ————————— 00111 00101110

En sistema decimal sería: 17 - 10 = 7 y 217 - 171 = 46.

COMPLEMENTO I

• El complemento a 1 de un numero binario se obtiene cambiando cada 0 por 1 y viceversa. En otras palabras, se cambia cada bit del numero por su complemento.

COMPLEMENTO II

• El complemento a 2 de un numero binario se obtiene tomando el complemento a 1, y sumándole 1 al bit menos significativo. A continuación se ilustra este proceso para el numero 1001 = 9

Cuando se agrega el bit de signo 1 al MSB, el numero complemento a 2 con signo se convierte en 10111 y es el numero equivalente al - 9.

EJEMPLOSResta en binario los números -00011001 y -00010010 En decimal -25 y -18 = -4300011001 complemento AII 1110011100010010 complemento AII 11101110

Se suman los dos numero en complemento II

El resultado 1 11010101

El resultado se le saca el complemento II 00101011

Resta en binario los números• -00100011 y 00010100 • En decimal -35 y 15 = -15• 00100011 complemento AII 11011101• Se suma con el numero 00010100 • El resultado 11110001

• El resultado se le saca el complemento II• 00001111