separata - sistema de numeracion

Docentes de Educación Básica Regular-2008

UNIVERSIDAD NACIONAL PEDRO RUIZ GALLO

PROGRAMA NACIONAL DE FORMACIÓN Y CAPACITACIÓN PERMANENTE

PRONAFCAP 2008

COMPONENTE: MATEMÁTICA

“SISTEMA DE NUMERACIÓN”

ITEM 22

2008

1


Contando con los dedos, o con piedras, no se va muy lejos; tal procedimiento, sin embargo, puede ser suficiente en

condiciones de vida extremadamente primitivas. Cada civilización buscó la manera de desarrollar la numeración,

impulsándola hasta donde sus exigencias lo reclamaban; el aumento de producción en la caza organizada, las cosechas

copiosas de los agricultores, la contabilidad necesaria para los intercambios comerciales, tuvieron necesidad de cantidades

cada vez más grandes. A esta necesidad se respondió con un sistema ingenioso; decidiendo que un grupo determinado de

objetos, tomado en conjunto valiese como un solo objeto, una unidad de orden superior, desde el cual la numeración podía

comenzar de nuevo, para proseguir hasta la introducción de una nueva unidad y así sucesivamente. Se pasa de este modo

a las “numeraciones sistemáticas”; la solución más simple y racional consiste en formar cada unidad con un número fijo

de unidades del orden inmediatamente inferior. Tal número se denomina “base”

La base del sistema de numeración puede elegirse como quiera y en el curso de la Historia las distintas civilizaciones

ensayaron diversas bases. Un vestigio del sistema de numeración usado permanece en el lenguaje; para comunicar los

números en los intercambios es necesario, en efecto, asociarlos a palabras especiales los “numerales”, y se necesitan

precisamente tantas palabras diversas como unidades tenga la base del sistema, más otra por cada unidad de orden

superior que se desea introducir. (En lugar de palabras pueden usarse gestos, como los de extender los dedos; con

frecuencia el nombre de los números es precisamente el de los gestos correspondientes).

EL sistema màs antiguo, inventado probablemente en la historia más remota, es el sistema de base dos. Lo usaron las

culturas más arcaicas de los cuatro continentes, con frecuencia de un modo rudimentario y poco distinguible de la numeración

asistemática; muchas lenguas primitivas poseen solamente los numerales “uno-dos”. Las bases derivadas del 2, como 4, 6,

12, han tenido escasa difusión.

En casi todos los países de mundo occidental se utiliza el mismo sistema de numeración denominado sistema indo-arábigo.

La costumbre de contar por decenas se originó probablemente en el hecho de tener el hombre diez dedos. En nuestra

sociedad aún se usa con cierta frecuencia el sistema duodecimal(base 12) como ocurre en los relojes, el sistema Inglés de

medidas, la venta por docenas, por gruesas (144 unidades)

INDICEIntroducción …………….……………………………….... 1

Numeración …………….……………………………….... 1

Sistema posicional de numeración …………….………………... 2

Principales sistemas de numeración …………….……………… 3

Número capicúa …………….……………………………….... 4

Descomposición polinómica de un numeral …………….……… 5

Cambios de base …………….……………………………….... 6

Propiedades adicionales …………….…………………………… 7

Bibliografía …………….……………………………….... 9

Problemas resueltos …………….………………………………... 10

Problemas propuestos …………….……………………………… 12

2


N U M E R A C I O NSiendo la aritmética la ciencia de los números se entiende por numeración aquella

parte de la Aritmética que se encarga del estudio de la correcta formación,

representación, lectura y escritura de los números.

NUMERO:

Es un ente(idea) matemático que nos permite cuantificar los elementos de la naturaleza, el cual nos da la idea de cantidad.

NUMERAL:

Es la representación simbólica o figurativa de un número mediante determinados símbolos llamados cifras, guarismos o dígitos

Ejemplo:

Representar el cardinal del conjunto: A = {u, n, p, r, g}

El número de elementos de dicho conjunto se pueden representar como

5 = cinco = five = = V = pichka

A continuación, nombramos los diez primeros numerales en quechua:

1 : JUK 2 : ISKAY 3 : KIMSA 4 : TAWA 5 : PICHKA

6 : SOQTA 7 : QANCHIS 8 : PUSAQ 9 : ISQON 10: CHUNKA

CIFRA (DÍGITO)

Son aquellos símbolos que se utilizan convencionalmente para la formación de los numerales, los cuales son: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ……..

La palabra dígito deriva del latín dígitus, que significa “dedo”

SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACION

Es el conjunto de reglas, principios, leyes, normas y convenios empleados para la correcta formación, lectura y escritura de los números mediante símbolos

PRINCIPIOS FUNDAMENTALES

Principio del Orden

Toda cifra en un numeral tiene asociado un orden, el cual se lee de derecha a izquierda, empezando del orden cero.

No debemos confundir el ORDEN con el LUGAR que ocupa la cifra. Al indicar lugar nos referimos a su ubicación de izquierda a derecha, empezando del primer lugar.

Ejemplo: En el siguiente numeral 5847, se observa:

¿Cuántas cifras tiene el numeral en el cual se cumple que su cifra de orden 5 coincide con su cifra de cuarto lugar?

Solución 5 4 3 2 1 0

3

ORDENtres dos uno cero

5 8 4 71er 2do 3er 4to

LUGAR


1 2 3 4 5 6 7 8 9 Por con siguiente el numeral tendrá 9 cifras.

Principio de la Base

Se denomina Base de un Sistema de Numeración, a todo número entero mayor que uno, el cual nos indica la cantidad de unidades mínimas necesarias y suficientes de un orden cualquiera para poder formar una unidad del orden inmediato superior.

La base también nos indica el número de símbolos (llamados cifras), con que cuenta el sistema para poder formar los numerales en ella.

Ejemplo: Representar 21 unidades simples:

Base 10 Base 8 Base 5 Base 3

21 21 = 21 = 21 = 210

Luego:

Regla de los signos

“En una igualdad de dos numerales, a mayor numeral aparente le corresponde menor base y viceversa” -

Ejemplo: 47 = 124 ; Si : 47 < 124 x > y

Ejemplo: =

Si : > R < U

PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACION

Base

Nombre Cifras – Dígitos – Guarismos

2 Binario 0; 1

3 Ternario 0; 1; 2

4 Cuaternario 0; 1; 2; 3

5 Quinario 0; 1; 2; 3; 4

6 Senario 0; 1; 2; 3; 4; 5

7 Heptanario o heptal

0; 1; 2; 3; 4; 5; 6

8 Octonario o octal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7

9 Notario o nonal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8

10

Décuplo 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9

11

Undecimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10)

12

Duodedimal 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; (10); (11)

n Enesimal 0,1,2,3,4,…………….., (n-3), (n-2), (n-1)

4


Por convención, cuando la cifra es mayor que 9 se utilizan letras griegas para su representación:

= 10 ; = 11 ; = 12 ; = 13; . . . . .

Ejemplo:

Observación:

Toda cifra que forma parte de un numeral es un número entero menor que la base. Así en el sistema de base “n”, se pueden utilizar “n” cifras diferentes las cuales son:

Máxima

0; 1; 2; 3; 4; . . . . . . .; (n-1)

Significativas

Conclusión: Cifra < Base

Representación literal de los numerales

Cuando no se conocen las cifras del numeral éstas se pueden representar mediante letras.

Numeral Capicúa:

Son aquellos numerales que tienen una representación simétrica, es decir las cifras equidistantes de los extremos son iguales.

Ejemplos: Numerales capicúas de:

- Dos cifras : {11, 22, 33, ……… 99}; {115,225, 335, 445}

- Tres cifras : {101,111,121,……..,999}; {1016,1116,……….,5556}- Cuatro cifras : {1001,1111,….,9999}- Cinco cifras : { 10001, 10101, 11111,…………,99999}Ejemplo: Determinar la suma de cifras de : N = , si es capicúa

Solución

Como el número es capicúa , sus cifras equidistantes de los extremos deben ser iguales.

N =

Se tiene que: b = 6

Además que : b – 4 = a a = 2 ; N = 62426

La suma de sus cifras de “N” es: 6 + 2 + 4 + 2 + 6 = 20

Ejemplo: Dado el numeral capicúa :N =

Hallar el máximo valor de: a + b + c

Solución

5


Como el numeral es capicúa presenta una representación simétrica

N =

Se tiene que : 2b + 1 = 4a – 1 b = 2a -1 ………… (1)

5b – 6a = 7a -11 5b – 13a = -11 ….. (2)

Reemplazando (1) en (2), se tiene:

5(2a – 1) – 13a = -11 10a – 5 -13a = -11; de donde: -3a = -6 a = 2

En (1): b = 2(2) – 1 = 3 b = 3 ; Luego : N =

Como se pide el máximo valor, se tiene que el máximo valor que puede tomar “c”, es: c = 8 < 9

El máximo valor de: a + b + c = 2 + 3 + 8 = 13

Del valor de sus cifras: Toda cifra que forma parte de un numeral tiene dos valores:

Valor Absoluto (V.A.) Por la cantidad de unidades simples que representa.

Valor Relativo (V.R.) Por el orden que ocupan en el numeral.

VA = 1

VR = 7.103

VA = 9

1 5 7 8 9 4

VR = 9.101

VA = 7

VR = 1.105

Descomposición Polinómica de un Numeral

La descomposición polinómica de un numeral es la sumatoria de los valores relativos de sus cifras.

La descomposición polinómica nos permite hallar el equivalente en el sistema decimal.

Ejemplos:

* 42 = 4.101 + 2 = 12

* 278(9) = 2.92 + 7.91 + 8 = 233

* 4232(5) = 4.53 + 2.52 + 3.51 + 2 = 567

* 27364(x) = 2x4 + 7x3 + 3x2 + 6x1 + 4

Casos Particulares

1. Cuando el numeral tiene todas sus cifras iguales.

2. Para bases sucesivas:- Si a 1 entonces

6

k cifras


N =

- Si a = 1 entonces N = n + b . k3. Descomposición polinómica por bloques

Cambio de Bases:

* Caso 1: de Base “n” a Base 10.

Procedimiento: Descomposición polinómica

Ejemplo:

4576(9) = 4.93 + 5.92 + 7.91 + 6 = 3390

* Caso 2: de Base 10 a Base “n”

Procedimiento: Divisiones sucesivas.

Ejemplo:

Representar 867 en el sistema octonario.

867 8 3 108 8 4 13 8 5 1

Casos especiales de cambio de base:

Primer caso: de Base “n” a Base “nk”, k N.Procedimiento:

- El numeral se descompone en bloques de k cifras a partir del orden cero.

- Cada bloque se descompone polinómicamente y el resultado es la cifra en la nueva base.

Ejemplo:

Expresar 101112202122(3) en el sistema de numeración de base 9.

Solución:

Como la nueva base es 9 = 32, cada bloque tiene que ser dos cifras.

10 11 12 20 21 22

1.3 + 0

1.3 + 1

1.3 + 2

2.3 + 0

2.3 + 1

2.3 + 2

3 4 5 6 7 8

101112202122(3) = 345678(9)

* Segundo caso: de Base “nk” a Base “n”, kN.

Procedimiento:

7

k veces

867 = 1543(8)


- Cada cifra del numeral se convierte al sistema de base “n” mediante las divisiones sucesivas.

- Cada conversión debe tener “k” cifras, de no ser así se completa con ceros a su izquierda.

Ejemplo:

Expresar 6452(8) en el sistema de numeración de base 2.

Solución: Como 8 = 23, cada conversión debe tener tres cifras.

6 4 5 2

6 2

0 3 2

1 1

4 2

0 2 2

0 1

5 2

1 2 2

0 1

2 2

0 1

110 100 101 010

PROPIEDADES ADICIONALES:

A) Numeral expresado en bases sucesivas: i)

ii)

B) Numeral formado sólo por cifras máximas.

C) Triángulo Aritmético (Triángulo de Tartaglia)

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

8

“k” cifras

6452(8) = 110100101010(2)


Luego:

* 1(n) = 1 = (n+1)0

* 11(n) = n + 1 = (n+1)1

* 121(n) = n2 + 2n + 1 = (n+1)2

* 1331(n) = n3 + 3n2 + 3n + 1 = (n+1)3

* 14641(n) = n4 + 4n3 + 6n2 + 4n + 1 = (n+1)4

BIBLIOGRAFÍA---

9


P R O B L E MA S R E S U E L T O S

10


1. Si N = 15 x 13 + 18 x 13 + 27 x 13 + 5 x 13 + 80. ¿Cuál será la suma de las cifras del numeral que representa a N cuando se convierte en base 13?A) 20 B) 25 C) 17 D) 30 E) 23

SOLUCIÓNN escrito en base 13 de la descomposición:

Cada paréntesis es una cifra. El número está incorrectamente escrito; pero en base (13): 13 unidades de un orden forman una unidad del orden inmediato superior:

● Unidades del respectivo orden

que quedan.

Luego :

Rpta: B

2. Un número de 3 cifras del sistema de base 11, al convertirse a base 7 viene representado por las mismas cifras pero en orden inverso.¿Cuántos números cumplen con esta solución?A) 1 B) 2 C) 3D) 4 E) Más de 4

SOLUCIÓN

121ª + 11b + c = 49c + 7b + a120a + 4b = 48c (÷4)30a + b = 12cB = 6 (2c – 5a)

Como: b < 7 , el paréntesis debe ser 0 ó 1

Si: 2c – 5a – 0 b – 02c – 5a

a =2 y c = 5

Si: 2c – 5a = 1 b = 6

Solo: 3 1

Rpta: B

3. Convertir: 0,528 a base 5A) 0,232 B) 0,234 C) 0,321D) 0,324 E) 0,231

SOLUCIÓN

Estableciendo una regla práctica:

0 528 x 5

2

3

1

640 x 5

200 x 5

000

Luego: Rpta: E

Comprobación:Convertir: a base (10)Por descomposición polinómica:

4. Si: 25 , 40 , 53 están en progresión aritmética. Convertir el mayor número de 3 cifras de base n al sistema quinario.

A) 1024 B) 4021 C) 1221D) 4012 E) 3021

SOLUCIÓN

11


Mayor número: base (5)

511 (5) = Rpta: B

5. ¿Cuántos términos tiene la siguiente secuencia:27, 29, 30, 32, 33, 35,…...,99A) 49 B) 50 C) 51 D) 52 E) 53

SOLUCIÓN

Separando en 2 series: = 27, 30, 33, ……………, 99

= 29, 32, 35, ……………, N

En :

En = Hay 24 términos.Total: 49 términos

Rpta: A

6. ¿Cuántas cifras se emplean al escribir la siguiente serie:30, 33, 36,……,2238A) 2600 B) 2321 C) 2315D) 2478 E) N.A.

SOLUCIÓN

*) 30, 33, 36,……………….., 99

*) 102, 105, 108,………….., 999

*) 1002, 1005,.…………….., 2238

TOTAL : 2600 cifras

Rpta: A

7. Al escribir todos los números naturales del al se empleó 1163 cifras. Hallar a y b e indicar: b – aA) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4

SOLUCIÓN

, …, 99, 100,………………….,

Luego: b – a = 1Rpta: B

8. Hallar la cantidad de páginas que tiene un libro sabiendo que para enumerar sus últimas 36 páginas se emplearon la misma cantidad de tipos que se empleó en las primeras 63 páginas.A) 1002 B) 1008 C) 948D) 998 E) 978

SOLUCIÓN

1,…………………, 9, 10, …………………, 63

En las últimas 36 páginas: si todas fueran números de 4 tipos en total: 36 x 4 = 144

12


tipos como solo se dispone de 117 tipos hay páginas numeradas con 3 y con 4 tipos.….., 99, 100………., 999, 1000,….,

n + m = 363n + 4m = 117

Luego: - 999 = 9 = 1008

Rpta: B

9. Cuántos números de la forma:

Existen en el sistema decimalA) 56 B) 64 C) 72 D) 81 E) 48

SOLUCIÓN

a (a - 2) b (6 - b)

2 0 6 03 1 5 14 2 4 2. . . .. . . .. . . .9 7 0 6

8 x 7 = 56 #s

Nota: Las cifras: (a-2) y (6-b) dependen de a y b respectivamente por lo que sus valores no se consideran. Ejemplo:3142, 9760, 4206, ……………

Rpta: A

10. ¿Cuántos números de 4 cifras tienen una y solo una cifra no significativa. (Cifra no significativa = 0)A) 2187 B) 729 C) 6961D) 6541 E) 1511

SOLUCIÓN

Sean los números de la forma cuando una de las cifras

tome el valor cero las otras no podrán hacerlo.

1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1. . . . . . . . .. . . . . . . . .. . . . . . . . .9 9 9 9 9 9 9 9 9

9 x 9x9 9 x 9x9 9x9x9

729 #s + 729 #s + 729 #s Rpta: A

11. Cuántos números de 4 cifras utilizan la cifra 5 por lo menos una vez en el sistema de base 7.A) 2058 B) 978 C) 1080D) 672 E) N.A.

SOLUCIÓN

En base 7:

=

+

1 0 0 0 1 0 0 0. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6 + x

6x7x7x7 = 5x6x6x6 + x

2058 #s = 1080 #s + x 978 #s = x

Rpta: B

13

.págn .págm

nxn

nn

1

11

156

12

1212

nxn

nnnn30


12. En que base se utiliza 624 cifras para escribir o representar todos sus capicúas de 4 cifras.A)15 B)12 C) 13 D) 1 E) 9

SOLUCIÓN

Con 624 cifras se puede escribir “x” números de 4 cifras:

#s capicúas de

4 cifras

Luego: 1 02 13 2. 3. .. .. .

Rpta: C

13. En que sistema de numeración hay 30 números de 4 cifras de la forma:

A) 7 B) 8 C) 9 D) 12 E) 14

SOLUCIÓN

1 2 0 1 2 3 1 2 3 4 2 3 . . . . . . . .

Rpta: A

14. ¿Cuántos números de 3 cifras existen, que tengan por lo menos una cifra par y por lo menos una cifra impar?A) 500 B) 625 C) 675D) 635 E) 600

SOLUCIÓNSi se eliminan los números de 3 cifras que tengan todas sus cifras pares y aquellos que tengan todas sus cifras impares quedarán números que tienen cifra par e impar a la vez:X Cantidad de números con cifra

impar e impar a la vez:

1 2 3 2 0 0 1 1 1

. . . 4 2 2 3 3 3

. . . 6 4 . 5 5 5

. . . . 6 . 7 7 7

9 9 9 8 8 8 9 9 9

Rpta: C

15. ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes, todas diferentes, existen en el sistema octal?A) 294 B) 300 C) 343D) 252 E) 400

SOLUCIÓN

Representación: Donde: a, b y c diferentes entre sí. Cuando “a” tome un valor, “b” podrá ser cualquier valor de 0 a 7 excepto el valor de “a”. luego, de los 8 valores que puede tomar “b” solo se consideran 7. así mismo “c” puede tomar cualquier valor de 0 a

14

7n


7 pero sin contar el valor que haya tomado a y (c solo puede tomar 6 valores).Entonces:

PRACTICA DIRIGIDA

1. Hallar un número de 3 cifras que cumpla las condiciones siguientes:

- La primera es el doble de la tercera.- La segunda es el triple de la primera.Dar como respuesta la suma de las cifras del número.A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

2. Hallar el valor de “a”, si:

A) 3 B) 4 C) 8 D) 6 E) 7

3. Para escribir en la base siete se utilizó el siguiente esquema:

Donde en cada punto corresponde una cifra diferente de cero, siendo c = a + b. hallar

en la base seis.A) 1515 B) 1521 C) 1528

D) 1530 E) 1531

4. Hallar a + b + c + d Si:

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

5. Sabiendo que y . Hallar c + n

A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10

6. El número 1 231 se escribe en otra base con tres cifras, luego la cantidad de bases que puede escribirse dicho número es:A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 29

7. Si

Calcule a + x + y + z + k

A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17

8. ¿Cuántos numerales existen, tales que al ser expresados en el sistema senario, heptanario y octanario se representan con 3 cifras?

A) 140 B) 21 C) 152 D) 300 E) 280

9. Determine cuántos numerales cuyas cifras sean significativas existen en base 33 de la forma

A) 416 B) 260 C) 326 D) 286 E) 252

10. Si . ¿Cuál es el menor valor de a + b + c?

A) 23 B) 24 C) 25 D) 26 E) 27

11. Sabiendo que y

. Hallar expresado en base 4

A) B) C)

D) E)

12. Sabiendo que . Hallar a + b

A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11

15

cba

Cantidadde

valores nrosxx 294677

cifrask

8

5

6

3


13. Sí: . Entonces (a + b + x) es:A) 11 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17

14. Sí: . ¿Cuántas soluciones tiene?A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

15. Hallar a + b + c si:

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13

16. Convertir a base 6 el número N = 10! e indicar la suma de sus cifras. .A) 7 B) 8 C) 11 D) 15 E) 17

17. El mayor número de k cifras de la base es igual el mayor número de ak cifras en base:A) n/a B) n C) na D) E) n-a

18. Si al número 1 000 se le disminuye el doble de un número de tres cifras, el resultado es un número de tres cifras iguales. Luego el número de soluciones es:A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6

19. En cierto sistema de numeración el número 2005 se escribe como 1563. ¿Cómo se escribirá 205 en ese mismo sistema?A) B) C) 177 D) 186 E) 168

20. Calcular:

A) 15/26 B) 2/17 C) 11/26D) 5/13 E) 7/26

21. Un importador de trigo hace dos pedidos de mercaderías a

dos países cuyos sistemas de numeración son 9 y 6, respectivamente. La cantidad de estos pedidos se expresa por el número para cada uno de los países (a > b) y además a y b son mayores que 3. Considerando que esta mercadería por viaje sufre una pérdida de 32 kilogramos. Determinar cuántas pesas de kgr. se usará, sabiendo que se dispone de una colección de pesas de

para poder pesar la cantidad de trigo que queda.

A) 1 B) 2 C) 3 D) 0 E) 5

22. Se desea repartir S/. 1’000,000.00 entre cierto número de personas de tal modo que lo que les corresponde sea S/. 1.00; S/. 7.00; S/. 49.00; S/. 343.00; etc. y que no más de 6 personas recibirán la misma suma. Determinar ¿cuántos fueron los beneficiados?A) 15 B) 16 C) 17 D) 18 E) 19

23. Si: , la suma de las cifras del resultado de operar:

, es:A) 1 B) 3 C) 9 D) 16 E) 20

24. Determinar el menor y el mayor número de cifras que puede contener el producto de 10 números, cada uno de 5 cifras del sistema binario.A) 38 y 47 cifras. B) 39 y 48 cifras.C) 40 y 49 cifras. D) 41 y 50 cifras.E) 42 y 51 cifras.

25. Si: Hallar: a+ b + c.

16


A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 14

Leamos un pensamiento de Abel ”ME PARECE QUE SI UNO DESEA HACER PROGRESAR EN MATEMATICA, DEBE ESTUDIAR A LOS MAESTROS Y NO A LOS DISCIPULOS”. En la actualidad Maestro y Discípulo construyen juntos el conocimiento.

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separata - sistema de numeracion

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