Aquí encontrarás:

¿Qué es proporcionalidad?

¿Cuándo es

proporcionalidad inversa?

¿Qué es la regla de tres?

Ahora hazlo tú

¿Sabías que?

Si tú puedes… yo también

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ÍNDICE

¿Qué es proporcionalidad? 3

¿Cuándo es proporcionalidad inversa? 6

¿Qué es la regla de tres? 7

¿Ahora hazlo tú? 8

¿Sabías que? 9

Si tú puedes... yo también. 10

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¿Qué es proporcionalidad?

Una relación de proporcionalidad es una relación entre dos variables en las

que el cociente entre las cantidades

que se corresponden es siempre el

mismo y se denomina cociente de

proporcionalidad.

La Constante de proporcionalidad (K)

es el Cociente de las razones de una

proporción. Si dos magnitudes son

directamente proporcionales, el

cociente o razón de dos cantidades

correspondientes es constante

Razón entre dos números nos estaremos refiriendo al cociente (el

resultado de dividirlos) entre ellos.

Las razones se pueden escribir en forma de quebrados o separadas las

cantidades por el signo de división.

En matemáticas, una fracción (del vocablo latín frāctus, roto), o quebrado es la

expresión de una cantidad dividida por otra.

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Proporción numérica

Cuando se nos presentan dos razones para ser comparadas entre sí, para ver

cómo se comportan entre ellas, estaremos hablando de una proporción

numérica.

Entonces:

Los números a, b, c y d forman una proporción si la razón entre a y b

es la misma que entre c y d.

Es decir

Se lee “a es a b como c es a d”

Los números 2, 5 y 8, 20 forman una proporción, ya que la razón entre 2 y 5

es la misma que la razón entre 8 y 20.

Es decir

En la

proporción

Hay cuatro términos; a y d se llaman

extremos, c y b se llaman medios.

L a propiedad fundamental de las proporciones es: en toda proporción, el

producto de los extremos es igual al de los medios.

Así, en la proporción anterior se cumple que el producto de los

extremos nos da 2 x 20 = 40 y el producto de los medios nos da 5 x 8 = 40

Magnitudes directamente proporcionales

Hay magnitudes que están relacionadas de tal forma que al aumentar una de

ellas, la otra aumenta. Por ejemplo, si compramos naranjas, cuanto mayor sea

la cantidad que compremos, mayor es el dinero que pagamos.

Pero esta relación entre ambas magnitudes también es muy especial, si

compramos el doble, pagamos el doble, si compramos el triple, pagamos el

triple. Cuando se cumple esta relación, diremos que las dos magnitudes son

directamente proporcionales.

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Otro ejemplo

Un saco de papas pesa 20 kg. ¿Cuánto pesan 2 sacos?

Un cargamento de papas pesa 520 kg ¿Cuántos sacos de 20 kg se podrán

hacer?

Número de

sacos 1 2 3 ... 26 ...

Peso en kg 20 40 60 ... 520 ...

Para pasar de la 1ª fila a la 2ª basta multiplicar por 20

Para pasar de la 2ª fila a la 1ª dividimos por 20

Observa que

Las magnitudes número de sacos y peso en kg son directamente

proporcionales.

La constante de proporcionalidad para pasar de número de sacos a kg es 20.

Esta manera de funcionar de las proporciones nos permite adentrarnos en lo

que llamaremos Regla de tres y que nos servirá para resolver una gran cantidad

de problemas matemáticos.

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¿Cuándo es proporcionalidad inversa?

Magnitudes inversamente proporcionales

Hay magnitudes que están relacionadas de

tal forma que al aumentar una de ellas, la

otra disminuye. Por ejemplo, si viajamos en

coche, cuanto mayor sea su velocidad

(coche rojo), menor es el tiempo que

tardamos en hacer un recorrido

determinado.

Pero esta relación entre ambas magnitudes también es muy especial, si la

velocidad del vehículo aumenta el doble, el tiempo que tarda disminuye a la

mitad, si aumenta el triple, el tiempo disminuye a la tercera parte. Cuando se

cumple esta relación, diremos que las dos magnitudes son inversamente

proporcionales.

Otro ejemplo:

Si 3 hombres necesitan 24 días para hacer un trabajo, ¿cuántos días emplearán

18 hombres para realizar el mismo trabajo?

En este caso a doble número de trabajadores, el trabajo durará la mitad; a

triple número de trabajadores, el trabajo durará la tercera parte, etc. Por

tanto, las magnitudes son inversamente proporcionales (también se dice que

son indirectamente proporcionales).

Formamos la tabla:

Hombres 3 6 9 ... 18

Días 24 12 8 ... ?

Vemos que los productos 3 por 24 = 6 por 12 = 9 por 8 = 72

Por tanto 18 por x = 72

O sea que los 18 hombres tardarán 4 días en hacer el trabajo

Nótese que aquí la constante de proporcionalidad, que es 72, se obtiene

multiplicando las magnitudes y que su producto será siempre igual.

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¿Qué es la regla de tres?

Se llama razón al cociente entre dos números y se llama proporción a la igualdad de dos razones.

La regla de tres es una forma de resolución de problemas de proporcionalidad entre tres o más valores conocidos y una incógnita. En ella se establece una relación de linealidad (proporcionalidad) entre los valores involucrados.

Regla de tres simple o directa

Se apl ica porcionales , hay que ca lcu lar la cant idad de una de estas magnitudes corcuando dadas dos cant idades correspondientes a magnitudes d irectamente prorespondiente a una cant idad dada de la otra magnitud.

12 ------ 72 20 ------ x

Donde x = (72 x 20) / 12.

Mi mama me mando a comprar $20 de naranjas, pero la señora me vende 72 naranjas por $12, ¿Cuántas naranjas me dará con $20?

Le darán 120 naranjas por que se multiplican los valores que están en la diagonal que no contiene a x y se divide ese resultado por el valor que está en la diagonal que contiene

a x.

Regla de tres inversa

Consiste en que dadas dos cant idades correspondientes a magnitudes inversamente proporcionales , ca lcu lar la cant idad de una de estas

magnitudes correspondiente a una cant idad dada de la otra magnitud 10 ------ 42

8 ------- x

x = (42 x 10) / 8

12 ------- (42 x 10) / 8 9 -------------------- y

y = (42 x 10 x 12) / (8 x 9)

El dueño de una tejeduría ha calculado que para tejer 630 metros de tela, 8 operarios tardan 7 días. Si 2 tejedores no pueden trabajar (con lo que quedan sólo 6), ¿cuántos días tardarán para hacer 810 metros de tela? Para tejer más tela tardarán más días (DIRECTA), pero menos obreros tardarán más días (INVERSA). Es, por tanto, una REGLA DE TRES COMPUESTA MIXTA

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Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos

kilómetros habrá recorrido en 2 horas?

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €,

¿cuánto pagará Ana?

Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14

horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?

Ahora hazlo tú

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¿Sabías que?

Origen del plano cartesiano

Se denominan plano cartesiano en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en la necesidad de tomar un punto de partida sobre el que edificar todo el conocimiento.

Como creador de la geometría analítica, también comienza tomando un punto de partida: el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la

geometría plana con referencia a dos rectas perpendiculares que se cortan en origen, ideando las denominadas coordenadas cartesianas.

31 de marzo de 1596 a la Haye (ahora Descartes), Touraine 11 de febrero de 1650, Estocolmo, Suecia. René Descartes es un filósofo integral cuya obra Géométrie [Geometría] ha jugado un papel muy importante tanto en su sistema filosófico global cuanto en la historia del pensamiento matemático. Por esta razón es de gran provecho releerla de nuevo para comprender la evolución de dicho pensamiento antes y después de Descartes. Descartes fue educado en el colegio de los jesuítas de La Flèche de Anjou. Ingresó a los nueve o diez años y permaneció en la institución hasta 1615. Al parecer, por motivos de salud, se le permitía permanecer en la cama hasta las once de la mañana, una costumbre que Descartes mantendría a lo largo de toda su vida

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Si tú puedes... yo

también

1.- A un aficionado a los

rompecabezas le preguntaron cuántos

años tenía. La respuesta fue: Tomad

tres veces los años que tendré dentro

de tres años, restadles tres veces los

años que tenía hace tres años y

resultará exactamente los años que

tengo ahora. ¿Cuántos años tengo?

2.- Acomoda los números que faltan de modo que la suma

lineal resulte en 15.

3- Un pastor le dijo a otro: "Si te regalo una de mis ovejas,

tú tendrás el doble de ovejas que tengo yo. Pero si tú me

das una de las tuyas, tendríamos las mismas". ¿Cuántas

ovejas tenía cada uno?

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RESPUESTAS de ahora

hazlo tú..

Un automóvil recorre 240 km en 3 horas. ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2 horas?

Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a menos horas recorrerá menos kilómetros.

240 km 3 h

x km 2 h

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan 0.80 €,

¿cuánto pagará Ana?

Son magnitudes directamente proporcionales , ya que a más kilos, más euros.

2 kg 0.80 €

5 kg x €

Un grifo que mana 18 l de agua por minuto tarda 14

horas en llenar un depósito. ¿Cuánto tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?

Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que a menos l itros por minuto tardará más en llenar el

depósito.

18 l/min 14 h

7 l/min x h

12

3 obreros construyen un muro en 12 horas, ¿cuánto

tardarán en construirlo 6 obreros? Son magnitudes inversamente proporcionales , ya que

a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros 12 h

6 obreros x h

RESPUESTAS de ¡si tú puedes... yo también!

1.- 18 años

2.-

3.- R= Un pastor tiene 5 ovejas y otro 7

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Directorio:

Editoras: Jazmín Melchor Mota

Getsemaní Cuautla Guzmán.

Dirección: 3° año grupo “A”.

Consulta:

Guadalupe Almaguer, et al, Matemáticas II segundo grado,

LIMUSA segunda edición 2008 México, pp. 34-36.

Jesús Manuel Hernández Soto, et al,

Matemáticas II, SEP primera impresión 2009, México pp 45-46.

Baldor A Aritmética, publicaciones CULTURAL, edición 200, pp

495,496.

PROXIMA

EDICION….

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BINE LESET