Funciones racionales

Profa. Caroline Rodríguez

UPRA

MECU 3031

Una función racional es una función que se

puede expresar de la forma

)(

)()(

xg

xfxp

donde f(x) y g(x) son funciones

polinómicas.

Ejemplos:

xx

xxg

x

xxf

xy

9

4)(

3

2)(

2

1

3

2

Ejemplos:

1

4)(

1

12)(

2

xxg

xxf

Toda función polinómica es una función

racional ya que se puede expresar con un

denominador igual a 1.

1

13)(

1

42)(

34

3

xxxq

xxxp

Dominio de funciones racionales

• Recuerde que el dominio de una función es el conjunto de todos los números reales para los cuales la función está definida.

• En el caso de las funciones racionales, debemos excluir del conjunto de los números reales cualquier valor que hace que el denominador sea igual a cero.

Determinar el dominio de una

función racional

Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).

14

2)( )1

xxf

Determinar el dominio de una

función racional

Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).

4

5)( )2

2

x

xxf

os.factorizam ceros, losencontrar Para 042 x

Determinar el dominio de una

función racional

Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).

623

32)( )3

23

2

xxx

xxxf

.agrupaciónpor osFactorizam 0623 23 xxx

Determinar el dominio de una

función racional

Debemos determinar los valores de x que hacen el denominador igual a 0 (los ceros del denominador).

1

5)( )4

2

x

xxf

perfectos. cuadrados deSUMA una es 12 x

No existe un valor que se le puede asignar a x tal que x2 + 1 sea igual a cero. Por lo tanto, el dominio es, _____________________

___ __________ :D

Interceptos • Un intercepto en x de f(x) se define como el (los)

punto (s) donde el valor de f(x) es igual a cero.

• Para una función racional, el intercepto en x ocurre en el valor de x que hace que el numerador de la función sea igual a cero.

• El intercepto en y se puede encontrar evaluando la función para x igual a cero.

Interceptos • Hallar los interceptos de la función.

2

1)(

xxf

(a) intercepto – y: b) intercepto - x

2

1 -

20

1)0(

f El numerador de f(x) es 1.

1 ≠ 0. Por lo tanto, f(x)

NO tiene interceptos en x. El intercepto en y es

(0, - ½ ).

Interceptos • Hallar los interceptos de la función.

(a) intercepto – y: b) intercepto - x x

xxf

3

2)(

Interceptos • Hallar los interceptos de la función.

xx

xxg

9

4)(

3

2

(a) intercepto – y: b) intercepto - x

Interceptos • Hallar los interceptos de la función.

(a) intercepto – y: b) intercepto - x 2

532)(

2

2

x

xxxh

Interceptos

• Hallar los interceptos de la función.

(a) intercepto – y: b) intercepto - x

122

99)(

34

23

xxx

xxxxp

Soluciones de funciones racionales • Un par ordenado (a,b) es una solución para f(x) si

cuando se sustituye x por a , y es igual a b.

• Dicho en notación de funciones, si f(a) = b.

Ej. Determinar si (6, 1) es una solución de 5

12)(

x

xxf

)6(f

Como 𝑓 6 = 1, entonces (6, 1) SI es una solución

de f(x).

5)6(

1)6(2

11

1121

11

11

Soluciones de funciones racionales

Ej. Determinar si (-2, -16) es una solución de

3

23)(

2

2

x

xxxf

Soluciones de funciones racionales

Ej. Determinar el valor de a tal que (a, 4) es una

solución de

x

xxf

3

25)(

Consideremos la función racional: 2

1)(

xxf

Hasta ahora sabemos que:

• El dominio de f(x) es D:

• Numéro de interceptos en x:

• El intercepto en y es:

),2()2,(

No podemos trazar la gráfica correctamente con

un sólo punto.

Gráficas de funciones racionales

en x. sintercepto tieneNo

(0, - ½).

Aunque x=2 NO

pertenece al dominio

podemos observar lo

que ocurre con valores

que están muy cerca de

x=2 (un poco mayor o

un poco menor).

La gráfica de 𝑓 𝑥 =1

𝑥−2

La gráfica de 𝑓 𝑥 =1

𝑥−2 (cont.)

Si se eligen valores para

la x un poco mayores

que 2 (2.01, 2.001, etc) ,

los valores de la función

se hacen muy grandes.

Si se eligen valores para

la x un poco menores

que 2 (1.9, 1.99, etc) , los

valores de la función se

hacen muy pequeños.

La gráfica de 𝑓 𝑥 =1

𝑥−2 (cont.)

Estos puntos los podemos

unir con una curva,

desconectada, suave que

se extiende en

direcciones opuestas.

• Los puntos se acercan a esta línea vertical entrecortada, x=2, por ambos lados, pero extendiéndose en direcciones opuestas.

• La línea vertical, x=2, separa la gráfica en dos partes disyuntas.

• x=2 se llama una asíntota vertical

La gráfica de 𝑓 𝑥 =1

𝑥−2 (cont.)

Veamos que ocurre con

los valores de la

gráfica a medida que x

se hace muy grande o

muy pequeño.

(Comportamiento en

los extremos)

2

1)(

xxf

, Cuando x 0y

, Cuando x 0y

A medida que los

valores de x se hacen

más negativos, los

valores de la función

(y) se acercan más y

más a cero.

A medida que los

valores de x se hacen

más positivos, los

valores de la función

(y) se acercan más y

más a cero.

2

1)(

xxf

, Cuando x 0y

, Cuando x 0y

En este caso, la

línea y=0 se llama

una asíntota

horizontal, porque

los valores de la

función se quedan

bien cerca de esta

línea a medida que

x aumenta o

disminuye

grandemente..

2

1)(

xxf

Hallar las asíntotas de funciones racionales

Una función racional tiene una asíntota vertical

cuando el denominador de la función simplificada

es igual a 0.

Una función racional está simplificada si NO existen

factores comunes, distintos de uno, entre el

numerador y denominador.

Asíntotas Verticales

Hallar la(s) ecuación(es) de la(s)

asíntota(s) vertical(es) si existe(n).

x

xxf

22

52 .1

Calculamos los valores de x que hacen el denominador igual a cero: 2 + 2x = 0 x = -1

La recta x = -1 es la única asíntota vertical de la función.

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales aparecen cuando ocurre una de las siguientes condiciones:

1. El grado del numerador es menor que el

grado del denominador. En este caso, la

asíntota es la recta horizontal y = 0.

16

1)(

153

3)(.

2

x

xxg

xxfEj El eje de x (y=0) es la

asíntota horizontal de

las gráficas de f(x) y

g(x)

Asíntotas horizontales 2. El grado del numerador es igual al grado del

denominador. En este caso, la asíntota es la recta

horizontal y = a/b, donde a es el coeficiente

principal del numerador y b es el del

denominador.

2

2

16

14)(

153

19)(.

x

xxg

x

xxfEj

La asíntota horizontal

de la gráfica de

f(x) es

g(x) es

33

9y

41

4

y

Asíntotas horizontales

3. Cuando el grado del numerador es mayor

que el grado del denominador la función NO

tiene asíntota horizontal.

1

16)(

153

745)(.

2

3

x

xxg

x

xxxfEj Las gráficas de f(x) y

g(x) NO tienen

asíntota horizontal

Hallar la(s) ecuación(es) de la(s) asíntota(s)

horizontal(es) si existe(n).

x

xxf

22

52 .1

Gráficas de funciones racionales

Para trazar gráficas de funciones racionales podemos seguir los siguientes pasos:

•Determinar asíntotas verticales.

•Determinar asíntotas horizontales.

•Determinar interceptos.

•Determinar comportamiento alrededor de las

asíntotas. Tal vez necesites determinar algunos

puntos adicionales.

•Unir puntos con curvas suaves.

Construir la gráfica de una función racional

x

xxf

22

52

Trazar la gráfica de: x

xxf

3

2)(

Intercepto - y:

Intercepto - x

Asíntota vertical:

Asíntota horizontal:

Puntos adicionales

x

-5

0

2.5

3

3.5

5

10

50

x

xy

3

2

Trazar la gráfica de: xx

xxg

2

4)(

2

2

Las asíntotas verticales son los valores que hacen

cero el denominador en una expresión racional

simplificada, por lo que debemos simplificar g(x)

antes de determinar sus asíntotas..

x2x

4xy

2

2 2xx

2x2x

x

2x

Las funciones x2x

4x)x(g

2

2

y

x

xy

2

son equivalentes para todo número real excepto , en

x = 2.

xx

xxg

2

4)(

2

2

• Tienen la misma asíntota vertical.

x = ?

• Tienen la misma asíntota horizontal

y = ?

• Son equivalentes en todos los puntos

excepto en x = 2.

La gráfica de g(x) tiene un hueco en

(?, ?).

x

2xy

Las gráficas de las funciones:

Gráficas de funciones racionales

xx

xxg

2

4)(

2

2

Primero simplicamos la función.

3x3x

4x23x

9x

12x10x22

2

La asíntota vertical de esta

función es

Trazar la gráfica de: 9

121022

2

x

xxxf

La asíntota horizontal de

esta función es .

3

42

x

x

x = ?.

y =?

f(x) tiene un hueco cuando

(? ,?)

Determinemos el intercepto en y.

Trazar la gráfica de: usando 9

121022

2

x

xxxf

3x

4x2y

… intercepto en x

… puntos adicionales

Práctica • Hallar el dominio y los interceptos de cada una

de las siguientes funciones.

4

8162)(

32

1)(

3

4842)(

2

34

2

2

x

xxxxh

xx

xxg

x

xxxf

Práctica • Hallar el valor de a, si existe, tal que (a,1) es una

solución de f(x)

34

2)(

3

94)(

2

xx

xxf

x

xxf

Soluciones • Dominio:

4

8162)(

2

34

x

xxxxh

x

xxxf

3

4842)(

2

32

1)(

2

xx

xxg

),0()0,(:D

),3()3,1()1,(:D

),2()2,2()2,(:D

Soluciones • Interceptos:

4

8162)(

2

34

x

xxxxh

x

xxxf

3

4842)(

2

32

1)(

2

xx

xxg

(4,0) -6,0),( :int

existe No:int

-x

y

1,0)( :int

),0(:int31

-x

y

-2 x,- x:int

0,-2:int

21

-x

y

Soluciones

13

0)1)(3(

032

342

134

2

34

2)(

2

2

2

2

xx

xx

xx

xxx

xx

x

xx

xxf

x

xxf

3

94)(

13

94

x

x

9

394

x

xx

(9,1) es una solución de f(x) (-3,1) y (1,1) son soluciones

de f(x)