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TEMA 8 – LÍMITES DE FUNCIONES, CONTINUIDAD Y ASÍNTOTAS
8.1 – LÍMITE DE UNA FUNCIÓN 8.1.1 – L ÍMITE DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO L ímite de una función en un punto
)x(flimcx→
= l Se lee: El límite cuando x tiende a c de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c Notas: - Que x se aproxima a “c” significa que toma valores muy cerca de “c” (Se puede
acercar por la izquierda o por la derecha). - l puede ser +∞ ó -∞ y entonces x = c es una asíntota ver tical.
Límites laterales de una función en un punto • Límite por la derecha:
)x(flimcx +→
= l Se lee: El límite cuando x tiende a c por la derecha de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c por la derecha.
• Límite por la izquierda:
)x(flimcx −→
= l Se lee: El límite cuando x tiende a c por la izquierda de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x se aproxima a c por la izquierda.
Existen del límite Para que exista el límite de una función en un punto es necesario que existan los dos límites laterales y sean iguales.
8.1.2 – LÍMITES EN EL INFINITO
+∞=+∞→
)x(flimx
Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es más
infinito Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la x toma valores grandes positivos. (1º cuadrante)
−∞=
+∞→)x(flim
x Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es menos
infinito. Significa: la función toma valores grandes negativos cuando la x toma valores grandes positivos. (4º cuadrante)
)x(flim
x +∞→= l Se lee: El límite cuando x tiende a más infinito de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x toma valores muy grandes positivos: y = l es una asíntota ver tical.
+∞=−∞→
)x(flimx
Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es más
infinito Significa: la función toma valores grandes positivos cuando la x toma valores grandes negativos. (2º cuadrante)
−∞=
−∞→)x(flim
x Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es
menos infinito. Significa: la función toma valores grandes negativos cuando la x toma valores grandes negativos. (3º cuadrante)
)x(flim
x −∞→= l Se lee: El límite cuando x tiende a menos infinito de f(x) es l
Significa: l es el valor al que se aproxima f(x) cuando x toma valores muy grandes negativos: y = l es una asíntota ver tical.
8.1.3– CÁLCULO DE LÍMITES 1 – Se sustituye la “ x” por el valor al que tiende
a) 2
3xxlim
→ b)
5x
x5lim
2x −→ c) 4x3lim
7x+
→
d) )3x(senlim4
x
+π→
e) xloglim 101,0x→
f) 7x4x2lim 2
x+−
+∞→
g) 7x4x2lim 2
x+−−
+∞→ h) 7x4x2lim 2
x+−
−∞→ i) 7x4x2lim 2
x+−−
−∞→
j) 3xx2lim 3
x−+
+∞→ k) 3xx2lim 3
x−−
+∞→ l) 3xx2lim 3
x−+
−∞→
m) 3xx2lim 3
x−−
−∞→ n)
x3
1limx +∞→
ñ) 2x x
1lim −
−∞→
o) 5
1xlim
3
x −−
+∞→ p)
5
1xlim
3
x −−
−∞→
2 – Indeterminaciones:
∞∞∞∞ - ∞∞∞∞ Se hacen operaciones. Cuando aparecen radicales, multiplicamos y dividimos por la expresión conjugada.
a)
+−
∞→ 1x
x2
x
1lim
2x b)
x
x11lim
0x
−−→
c) x 10
xlim (2 x )→+∞
− d) 2
3
x
xlim x
x 1→−∞−
+
∞∞∞∞/∞∞∞∞
Si grado del numerador grado del denominador (El signo depende de los
coeficientes de la x de mayor grado del numerador y del denominador)
a Si grado del numerador grado del
b
±∞ >±∞ >±∞ >±∞ >
==== denominador (a y b son los coeficientes
de la x de mayor grado del numerador y del denominador)
0 Si grado del numerador grado del denominador
<<<<
a) 5x3
3x5xlim
2
x −+−
∞→ b)
3
2
x x
3xlim
+∞→
c) 5x2
1x5x3lim
2
2
x −+−
∞→ d)
3
2
x x
3xlim
−+
∞→
k/0 Hallar límites laterales
a) 2x
2lim
2x −→ b)
2x
2lim
2x −−
→ c)
x2
3lim
2x −→ d)
x2
3lim
2x −−
→
e) ( )22x 2x
x3lim
−→ f)
( )22x 2x
3lim
−−
→ g)
x 2
3lim
x 2→− + h)
x 2
3lim
x 2→−
−+
0/0 Factor izar y simplificar
a) 10x3x
6x5xlim
2
2
2x −++−
→ b)
12x16x7x
x6x5xlim
23
23
2x −+−+−
→ c)
12x16x7x
x6x5xlim
23
23
3x −+−+−
→
∞∞∞∞.0 lim f.g =
====
∞∞∞∞∞∞∞∞====
00
f/1g
lim
g/1f
lim
a) Lnx.xlim0x +→
b) x.elim x
x
−+∞→
∞∞∞∞0 ó 00 : Tomar logar itmos
a) x1
x)Lnx(lim
+∞→ b) x
0xxlim
→
1∞∞∞∞ : Tipo número e : Aplicar : e)x(f
11lim
)x(f
ax====
++++
∞∞∞∞→→→→ ó
]1)x(f).[x(glim)x(g
axaxe)x(flim
−−−−
→→→→→→→→====
a) x2
1
2x 3
1xlim
−
→
+ b)
x
x 2x
2xlim
−+
+∞→
Equivalencias: Sólo se pueden aplicar en productos y cocientes
x ⇒⇒⇒⇒ 0 sen x ∼∼∼∼ x tag x ∼∼∼∼ x 1 – cos x ∼∼∼∼ x2/2 arcsen x ∼∼∼∼ x arctag x ∼∼∼∼ x Ln (x + 1) ∼∼∼∼ x ex – 1 ∼∼∼∼ x
f(x) ⇒⇒⇒⇒ 0 sen f(x) ∼∼∼∼ f(x) tag f(x) ∼∼∼∼ f(x) 1 – cos f(x) ∼∼∼∼ f(x)2/2 arcsen f(x) ∼∼∼∼ f(x) arctag f(x) ∼∼∼∼ f(x) Ln (f(x) + 1) ∼∼∼∼ f(x) ef(x) – 1 ∼∼∼∼ f(x)
x ⇒⇒⇒⇒ 1 Ln x ∼∼∼∼ x - 1 f(x) ⇒⇒⇒⇒ 1 Ln f(x) ∼∼∼∼ f(x) - 1
a) x3
senx2lim
0x→ b)
tagx3
1xcoslim
0x
−→
c) x1
Lnxlim
1x −→
d) 4x4x
)2x(taglim
2
2
2x +−−
→ e)
++∞→ x
1xxLn2lim
x
3- En funciones definidas a trozos, en los puntos donde esté definida de distinta forma si me aproximo por valores más pequeños, que por valores más grandes, habrá que hacer límites laterales.
a) Dada la función f(x) =
≥+<−
3 x si 7 x -
3 x si 5x2 Calcular su límite en los puntos 3,1, 7
8.2 – ASÍNTOTAS Y RAMAS INFINITAS - Asíntotas ver ticales: x = c y →→→→ ∞∞∞∞ Cálculo: Puntos que anulan el denominador
Puntos que anulan lo que está dentro del logaritmo
Aproximación: Calcular los límites laterales
∞+∞−
arribaPor
abajoPor
- Asíntotas hor izontales: x →→→→ ∞∞∞∞ y = b (Grado numerador ≤ Grado denominador) Cálculo: b)x(flim
x=
∞→
Aproximación: f(± 1000) – Asíntota
><
encimaPor 0
debajoPor 0
- Asíntotas oblicuas: y = mx + n (Grado Numerador – Grado denominador = 1)
Cálculo: m = x
)x(flimx ∞→
; n = )mx)x(f(limx
−∞→
Aproximación: f(± 1000) – Asíntota (± 1000)
><
encimaPor 0
debajoPor 0
RAMAS INFINITAS (Grado Numerador – Grado denominador ≥ 2) Cálculo: ±∞=
±∞→)x(flim
x
a) y = 2x
7x5x 2
−+−
b) y = x2x
1x2
2
−+
c) y = x2x
x22 +
d) y = 2x3x
5x32 ++
− e) y =
x2x
1x2
2
−+
f) y = 3x
x5x 23
+−−
8.3 - CONTINUIDAD La idea de función continua es la de que “puede ser construida con un solo trazo” . 8.3.1 – CONTINUIDAD EN UN PUNTO Una función f(x) es continua en el punto x = a si )a(f)x(flim
ax====
→→→→, es decir , deben
existir los dos límites laterales, ser iguales y coincidir con f(a). Tipos de discontinuidades - Discontinua inevitable de salto infinito: Si alguno de los límites laterales es
infinito o no existe.
- Discontinua inevitable de salto finito: Si los dos límites laterales son finitos pero
distintos. El salto es la diferencia, en valor absoluto, de los límites laterales.
- Discontinua evitable: Si los dos límites laterales son finitos e iguales, pero su valor
no coincide con f(a) o no existe f(a)
TEMA 8 - LÍMITES DE FUNCIONES CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 1 : Calcular los siguientes límites:
a) limx x
xx→
− +−4
23 24 48
4 b) lim
x x x
x x xx→
− +− + −1
3 2
3 2
2 14 12
10 27 18 c) lim
x a
x bx
x c
→∞
+++
d) limx
xx→
− −−7 2
2 3
49 e)
−−
∞→xx3xlim 2
x f) lim
x
x xx→
−− −4 2
4
12
g)7x2
1x2x3lim
2
x +++
∞→ h) lim
x
xx→
−
− +2
2
2
4
3 5 i) lim
x x
x xx→
−− +2
3
2
4
3 2
j) limx
xx→
− −−1 2
2 1 1
1 k)
1x
x 1x2
1x2lim
+
∞→
−+
l)xx
1x5x2lim
3
2
x +−+
∞→
m)3x
1x3lim
2
x ++
∞→ n)
1x
3x2lim
3x −−
∞→ ñ) lim
x x x
x x xx→
+ − −+ − −2
3 2
3 2
2 4 8
4 4
o) 34x
5xlimx −+
−∞→
p) limx
xx→
− −−7 2
2 3
49 q) lim
x
xx
x
→
−+
2
1
22
2
r) 1xxx
1xlim
231x +−−−
→ s)
)x5sen(
)1x.(cos2lim
20x
−→
t) 2x
1xlim
2x −+
→
u) 0x
lim→
2)x2sen(.xcos
xarctg.x v) x27x3x4lim 2
x−+−
+∞→ w)
x2
x 3x2
2xlim
++
∞→
x) 2
x
2
2
x 1x
1xlim
−+
∞→ y)
x2
)x31(Lnlim
0x
+→
z)21x )1x(
4xlim
++
−→
1) lim x x x2
+ − 2) 9x
27x9x3xlim
2
23
3x −−+−
→
3) 4x
2
4x 1x
xlim
−
→
−
x --> ∞
LIMITES CÁLCULO DE LÍMITES EJERCICIO 1 : Da una definición para estas expresiones y represéntalas gráficamente:
a) 1x
x32
2
1xlím b) 6
3x9x2
3x
lím c) 2
1x
2x22
2
x
lím
d)
xf2x
lím e) 5x2x
1x52
2
x
lím
Solución: a) Cuando x se aproxima a “1”, la función se hace muy grande
b) Cuando x se aproxima a “3”, la función se aproxima a “6”
c) Cuando x toma valores muy grandes negativos la función se aproxima a 2.
d) Cuando x se aproxima a 2, con valores menores que 2, la función toma valores muy grandes negativos.
e) Cuando x toma valores muy grandes positivos, la función se aproxima a 5.
EJERCICIO 2 : Calcula:
1xea) 2xx
lím 2
4
x x
x3xb)
loglím
1xx3c) 92
xlím
1xed)
x
x lím
x2x3e)
2
x loglím
xx 2
1xf)
lím 2x
xx2g)
lím
x1xh)
2
x
lnlím
xxi) 3x
loglím
1x
3j) 2
x
x lím
Solución:
1a) 2xelím x
x Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
2
4
2
4 33b)x log
xxlímx log
xxlímxx
Porque una potencia es un infinito de orden superior a un logaritmo.
29
x92
xx1xx3c) límlím
001x
e1x
e)dx
x
x
x
límlím
x2x3e)
2
x loglím
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logartimos.
xxxx 2
1x
2
1xf) límlím
2xx
x2g) lím
Porque una exponencial de base mayor que 1 es un infinito de orden superior a una potencia.
0x
1xx
1xh)
2
x
2
x
lnlím
lnlím
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
xxi) 3
x loglím
Porque las potencias son infinitos de orden superior a los logaritmos.
00
1x
3
1x
3j)2
x
x2
x
x
límlím
EJERCICIO 3 : Halla los límites:
x3x2x5a) 2
xlím
x2x
1x3xb)6
2
x
lím
1x2
1x23c)4
4
x
lím
1x
x2x1x
d) 2
32
xlím
1x3x5
2x3e)2x
lím
x2x3xf) 2
xlím
x21x3g) 2
xlím
2x
1x2h)4
3 5
x
lím
1x
x1x
x3i)
2
32
xlím
1x3
3x2j)2x
lím
Solución:
xxx
xxxxxxlímxxxlím
xx 325
325325325a)
2
22
2
xxx
xxlímxxx
xxxlímxx 325
24
325
9252
2
2
22
0
2
13
2
13b)6
2
6
2
xx
xxlímxx
xxlímxx
222
1x2
1x23
1x2
1x23c)4
4
x4
4
x
límlím
2x2xx
x2x1x
)1x()2x(
)2x(x)1x()1x(
1x
x2x1xd)
23
344
x2
322
x2
32
xlímlímlím
222
1223
3
xxxxlím
x
553
53
1x3x5
2x3e)2x
lím
x2x3x
x2x3xx2x3xx2x3xx2x3xf)
2
22
x2
x2
xlímlímlím
xxx
xxlímxxx
xxxlímxx 23
33
23
432
2
2
22
x21x3
x41x3
x21x3
x21x3x21x3x21x3g)
2
22
x2
22
x2
xlímlímlím
xx
xlímx 213
12
2
02x
1x2
2x
1x2h)4
3 5
x4
3 5
x
límlím
1xxx
xxx3x3
)1x()1x(
)1x(x)1x(x3
1x
x1x
x3i)23
3424
x2
322
x2
32
xlímlímlím
132
23
234
xxxxxxlím
x
332
32
1x3
3x2
1x3
3x2j)2x2x
límlím
EJERCICIO 4 : Calcula:
a) 323
23
1x 2x7x8x3
1x3x2
lím b)
11x24x2
0x
lím c)
1xxx
2xx323
2
1x
lím
d)
3x
1x
9x
x223x
lím e) 4x3x
10xx223
2
2x
lím
Solución:
a)
331x
32
2
1x3
23
23
1x3
2x31x2
1x2x3
1x1x2
2x7x8x3
1x3x2
límlímlím
b)
)24x2()11x()11x()44x2(
)24x2()11x()11x()11x()24x2()24x2(
11x24x2
0x0x0xlímlímlím
144
24x2)11x(2
)24x2(x)11x(x2
0x0x
límlím
c) )0(
51x1x
2x31x1x2x31x
1xxx
2xx31x21x23
2
1x
límlímlím
Hallamos los límites laterales:
1x1x2x3;
1x1x2x3
1x1xlímlím No existe
d)
3x3x
3x4xx23x3x
3x1xx23x1x
9x
x2 2
3x3x23xlímlímlím )0(
183x3x3x2x 2
3x
lím
Hallamos los límites laterales:
3x3x3x2x;
3x3x3x2x 2
3x
2
3xlímlím No existe
e) )0(
92x1x
5x22x1x
2x5x2
4x3x
10xx22x22x23
2
2x
límlímlím
Hallamos los límites laterales:
2x1x5x2;
2x1x5x2
2x2xlímlím No existe
EJERCICIO 5 : Calcula los límites:
a) 1xx3
21x 6xx
4x2
lím b) 2xx
22x 4x2x
2x3
lím c) 3x
x22
3x 4x41xx2
lím
d) x3
2
0x 1x51x3x
lím e)
1x1
2
1x 1x3x2x
lím
Solución:
a)
)1x()6xx()x3()2x3x(
1xx3·
6xx6xx4x2
1xx3·1
6xx4x2
1xx3
21x
2
2
1x2
2
1x21x eee6xx
4x2 límlímlímlím
21
63
6xx)2x(x3
)1x()6xx()1x()2x(x3
eeee 21x21x
límlím
b)
)2x()4x2x(x)6x5x(
2xx·
4x2x4x2x2x3
2xx·1
4x2x2x3
2xx
22x
2
2
2x2
2
2x22x eee4x2x
2x3 límlímlímlím
21
42
)4x2x()3x(x
)2x()4x2x()2x()3x(x
eeee22x22x
límlím
c)
3x
x2·4x4
3x5x23x
x2·4x4
4x41xx23x
x2·14x4
1xx23x
x22
3x
2
3x
2
3x
2
3xeee
4x41xx2 límlímlím
lím
8
211642
4x4x21x2
3x4x4x23x1x2
eeee 3x3x
límlím
d)
1x5x8xx3
x3·
1x5x8x
x3·
1x51x51x3x
x3·1
1x51x3x
x3
2
0x
0x
2
0x
2
0x
2
0xeeee
1x51x3x límlímlímlím
lím
241x5
8x3
ee 0x
lím
e)
1x
1·1x
2x3x1x
1·1x
1x3x2x1x
1·11x
3x2x1x
12
1x
2
1x
2
1x
2
1xeee
1x3x2x límlímlím
lím
2
11x2x
1x·1x1x·2x
eee 1x1x
límlím
EJERCICIO 6 : Calcula estos límites:
2x
x 1x2x32
a)
lím 1x2
x
2
5x2x21b)
lím 3x2
x x542x5
c)
lím
1x
x
2
5x32x4d)
lím
3x2
x x1
2e)
lím
21x
2
2
x x32
x3f)
lím
x2
2
2
x 2x
1xg)
lím
x
2
2
x x9x3
7x4h)
lím
2x
x 2x31x2i)
lím
1x
x x232x2
j)
lím
Solución:
23
1232
1232a)
22x
x
x
x xxlím
xxlím
052
21b) 524812·
52522112·1
522112 2222
eeee
xxlím x
xlímxx
xxlímx
xx
límx
xxxx
54
1512
x1512x12
3x2·
x54x542x5
3x2·1
x542x5
3x2
xeeeee
x542x5c) xxx
límlímlímlím
34
5x32x4
5x32x4d)
1x
x
1x
x
22
límlím
02x12
x12e)
3x2
x
3x2
x
límlím
1eeeex32
x3f) 0x642x2
21x·
x32x32x3
21x·1
x32x3
21x
2
2
x
2x2
22
x2
2
x
límlímlím
lím
1eeee2x
1xg) 02xx6x2·
2x2x1xx2·1
2x1xx2
2
2
x
2x2
22
x2
2
x
límlímlím
lím
043
34
x9x3
7x4
x9x3
7x4h)x
2
2
x
x
2
2
x
límlím
032
2x31x2
2x31x2i)
22 x
x
x
x
límlím
25
x235x51x·
x23x232x21x·1
x232x21x
xeeee
x232x2j) xxx
límlímlímlím
EJERCICIO 7 : Halla los límites:
1xx3xlíma) 22
x
9x3x5x3xlímb) 233x
xsenx
1elímc)x
0x
1x2xxxlímd) 2
3
1x
1x
x x342x3líme)
230x x3x
xsenxlímf)
2x
x3xlímg)2
5 3
x
2x
1x4x
x3límh) 22x
xsenxxsen2x2lím)i
0x
2xx6xxlímj) 2
2
2x
xxxlímk) 2
x 20x x
xcos44líml)
1xx3
1xx3límm) 2
32
x 1x
1
1x 2x23xlímn)
xsenxcosxxlímñ)
3
0x
Solución:
13
131313a)
22
2222
22
xxx
xxxxxxlímxxxlím
xx
13
13
13
13
13
132222
22
22
22
xxx
xlímxxx
xxxlímxxx
xxxlímxxx
233
xxxlím
x
)0(1
)1()3(1
)1()3(3
9353b)
323233
xx
límxx
xlímxxx
xlímxxx
Hallamos los límites laterales:
)1x()3x(
1lím;)1x()3x(
1lím3x3x
Como son distintos No existe el límite
c) 00 (Factorizar y simplificar (no podemos), aplicar equivalencias (no podemos porque no se
pueden aplicar en sumas) Lo veremos en el tema 10 (Regla de L´Hôpital)
)0(2
1x1xxlím
)1x(1x1xxlím
1x2xxxlímd)
1x21x2
3
1x
Hallamos los límites laterales:
11;
11
11 xxxlím
xxxlím
xx Como son distintos No existe el límite
4x36x6lím1x·
x34x342x3lím1x·1
x342x3lím1x
xxxx eee1
x342x3líme) 2
2 1e
e
31
301
)3x(1lím
)3x(xxlím
x3xxlím
x3xxsenxlímf)
0x2
2
0x23
2
0xiasequivalenc_Aplicando230x
0xxlím
2x
x3xlím2x
x3xlímg)5
3
x2
5 3
x2
5 3
x
4x
2x3xx3lím4x
2x1xx3lím2x1x
4xx3límh) 2
2
2x22x22x)0(6
42
2
2
2
x
xlímx
Hallamos los límites laterales:
42;
42
2
2
22
2
2 xxlím
xxlím
xx No existe el límite
i) 00 No podemos factorizar ni aplicar equivalencias.( Lo veremos en el tema 10)
35
1x3xlím
)1x()2x()3x()2x(lím
2xx6xxlímj)
2x2x2
2
2x
xxx
xxxx.xxlímxxxlímxxxlímk)
2
22
x2
x2
x
21
222
22
xxlím
xxxlím
xxx
xlímxxx
xxxlímxxxx
2xx2
límx
2x.4
límx
)xcos1(4lím
00
xxcos44
líml) 2
2
0x2
2
0x20x20x
3
1xx3lím
1xx3x3x3lím
1xx31xx3lím
1xx3
1xx3límm) 2
2
x2
323
x2
32
x2
32
x
41
2x21lím)1x()2x2(
1xlím1x
1·2x2
2x23xlím1x1·1
2x23xlím1x
1
1xeeeee1
2x23xlímn) 1x1x1x1x
ñ) 00 (No podemos factorizar, ni aplicar equivalencias No veremos en el tema 10)
1.- Calcula lim x→0 [ (ex – esen x) /(x2) ] Sol:0 2.- Calcula el siguiente límite (In denota logaritmo neperiano),
lim x → 1 [ 1/Ln(x) – 2/(x2 – 1) ] Sol:1 3. -Cálcula siendo Ln la función logaritmo neperiano.Sol: 1/ 2 4.- Se sabe que es finito. Determina el valor de α y calcula el límite.Sol:0 5.- Se sabe que es finito. Determina el valor de a y calcula el límite.Sol:-1 /2 6.- Calcula [Ln(1+x) - senx]/[x.senx], siendo Ln(1+x) el logaritmo neperiano de 1+x Sol:-1 /2 7.- Siendo Ln(x) el logaritmo neperiano de x, calcula Sol:1/2
8.- Calcula Sol:-1
9-. Calcula (a) (b) x2⋅ e -3x Sol:a)1/2 , b)0
10.- Calcula [xsen(x)] / tg(x2)Sol: 1 11.− Calcula los siguientes límites: Sol :a)+∞, b) 0
[ ]1
3b)a) 2x
3
x +−
−∞→+∞→ xlímx logxlím
x
12.- Calcula [ ]xx
xxxxxxx 2
13b)325a)6
22
−
−+−−
−∞→+∞→límlím a)-∞, b) 0
13. -Calcula el siguiente límite: 11242
0 −+
−+→ x
xxlím Sol:1,
14.- Halla los siguientes límites: [ ] ( )xx
xx
x
x
1b)2a)
22 +
−−∞→+∞→
lnlímlím Sol :a)+∞, b) 0