ASÍNTOTAS DE UNA FUNCIÓN

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables (x o y) tienden al infinito.

Una definición más formal es:

DEFINICIÓN

Si un punto (x,y) se desplaza continuamente por una función y=f(x) de tal forma que, por lo menos, una de sus coordenadas tienda al infinito, mientras que la distancia entre ese punto y una recta determinada tiende a cero, esta recta recibe el nombre de asíntota de la función.

Las asíntotas se clasifican en:

a. Asíntotas verticales (paralelas al eje OY)

Si existe un número “a” tal, que :

La recta “x = a” es la asíntota vertical.

Ejemplo:

es la asíntota vertical.

b. Asíntotas horizontales (paralelas al eje OX)

Si existe el límite: :

La recta “y = b” es la asíntota horizontal.

Ejemplo:

es la asíntota horizontal.

c. Asíntotas oblicuas (inclinadas)

Si existen los límites: :

La recta “y = mx+n” es la asíntota oblicua.

Ejemplo:

es la asíntota oblicua.

Nota-1

Las asíntotas horizontales y oblicuas son excluyentes, es decir la existencia de unas, implica la no existencia de las otras.

Nota-2

En el cálculo de los límites se entiende la posibilidad de calcular los límites laterales (derecho, izquierdo), pudiendo dar lugar a la existencia de asíntotas

por la derecha y por la izquierda diferentes o solo una de las dos.

Posición relativa de la función con respecto a la asíntota

Para estudiar la posición relativa de la función con respecto a la asíntota, primero calcularemos los puntos de corte de ambas resolviendo el sistema:

Estos puntos determinan los cambios de posición de la función respecto de la asíntota. Estos cambios quedarán perfectamente establecidos estudiando el

SIGNO[f(x)-Asíntota].

Ejemplo:

La función tiene por asíntota oblicua la recta

Calculamos los puntos de intersección de ambas:

El punto de corte de las dos funciones es P(2/3, 8/3).

Ahora estudiamos el signo de FUNCIÓN-ASÍNTOTA.

Esto nos indica que en el intervalo la función está por encima de la

asíntota y en el intervalo la función está por debajo de la asíntota.

GRÁFICA

GRÁFICA

GRÁFICA

GRÁFICA

B) ASÍNTOTAS DE UNA CURVA.

B1) Asíntotas verticales.

Se dice que y = f(x) tiene una asíntota vertical en x=a si o alguno (o ambos) de los límites laterales vale . Es decir, puede haber asíntota vertical por la derecha, por la izquierda o por ambos lados. La posición de la curva respecto a la asíntota dependerá del signo de los límites laterales. Como ejemplo, determinar la asíntota vertical y su posición con respecto a la gráfica de la función

B2) Asíntotas horizontales.

Se dice que y = f(x) tiene una asíntota horizontal en y=b si . La asíntota

puede aparecer cuando La posición de la gráfica de la función respecto a la asíntota vertical se determina estudiando si el signo de f(x) - b es positivo o negativo cuando . Como ejemplo, determinar la asíntota horizontal y su posición con respecto a la gráfica de la función

B3) Asíntotas oblicuas. Dada la función y = f(x), si se verifica que

a) b) c)

entonces se dice que y = mx + h es una asíntota oblicua de dicha función para .

La asíntota puede aparecer cuando Para estudiar la posición de la gráfica de la función con respecto a la asíntota basta estudiar el signo de f(x)-(mx + h). Como ejemplo, determinar la asíntota oblicua y su posición con respecto a la gráfica de la función

Objetivos Mínimos

Conocer los conceptos de límite de una función en un punto (tanto finito como infinito) y de límite en el ± .

Saber calcular límites de cocientes de polinomios. Saber determinar las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de una

función . Conocer el concepto de límite lateral y su relación con el de límite. Conocer las propiedades algebraicas del cálculo de límites, los tipos principales

de indeterminación que pueden darse y las técnicas para resolverlas. Conocer el concepto de continuidad de una función en un punto, incluida la

continuidad lateral, y, como consecuencias elementales, la conservación del signo y la acotación de la función en un entorno del punto.

Saber donde son continuas las funciones elementales . Conocer los distintos comportamientos de discontinuidad que pueden

aparecer y saber reconocerlos usando los límites laterales. Saber determinar la continuidad de las funciones definidas a trozos. Conocer el concepto de continuidad de una función en un intervalo y qué

significa eso en los extremos del intervalo. Conocer el teorema del valor intermedio de Bolzano y su aplicación a la

localización de ceros de una función y al dibujo de gráficas de funciones que se cortan.

Conocer el teorema de existencia de extremos absolutos de Weierstrass y, como consecuencia, que toda función continua en un intervalo cerrado y acotado está acotada y alcanza sus extremos.

LÍMITES Y CONTINUIDAD

Como les dije en la Tutoría aquí hay mucho más ejercicios de los que hicimos pero todos les van a servir ( fijarse que están en desorden ) Suerte en la Solemnes Saludos Tomás

Problema 1

Calcule el límite para las siguientes funciones:

a) b) c)

SOLUCIÓN:

a)

b)

c) Como , se tiene que:

Calculando límite a:

Por lo tanto por teorema del sándwich:

Problema 2

Demuestre a través de la definición de límite que:

SOLUCIÓN:

Problema 3

Calcule el límite para la siguiente función:

SOLUCIÓN:

Problema 4

Obtenga utilizando límites, las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas

para las siguientes funciones:

a) b)

SOLUCIÓN:

a) Asíntotas verticales:

y

Por lo tanto es asíntota vertical.

Asíntotas Oblicuas:

Por lo tanto existe una asíntota oblicua en

b) Asíntotas verticales:

, por lo tanto y son asíntotas verticales.

Asíntotas oblicuas:

Por lo tanto hay asíntotas oblicuas en y en .

Problema 5

Calcule el siguiente límite:

SOLUCIÓN:

Problema 6

Sea . Calcule . (Asuma que )

SOLUCIÓN:

Diferencia de cubos

Problema 7

Calcule:

SOLUCIÓN:

Aplicamos álgebra de límites

Problema 8

Calcule:

SOLUCIÓN:

Problema 9

Demuestre que y úselo para calcular

SOLUCIÓN:

Demuestre que y úselo para calcular

Utilizando límite conocido:

Tenemos que:

Para tenemos que:

Donde , por lo que

Problema 10

Calcule:

SOLUCIÓN:

Problema 11

Calcule:

SOLUCIÓN:

Sea :

Por lo tanto :

=

Luego:

Problema 12

Sea . Calcule (asuma que )

SOLUCIÓN:

Problema 13

Calcule el límite para cada una de las siguientes funciones:

a) b) c)

SOLUCIÓN:

a)

b)

c) Como , se tiene que:

Calculando límite a:

Por lo tanto por teorema del sándwich:

Problema 14

Determine, si existen, todas las asíntotas de la siguiente función:

SOLUCIÓN:

Asíntotas Verticales:

Punto crítico en la función

Ahora:

Por lo tanto existe una asíntota vertical en

Asíntotas Oblicuas:

LA forma de la asíntota oblicua es

En este caso, primero:

La pendiente de la asíntota es 3.

Ahora:

El punto de intersección con el eje y es en -3.

Así la asíntota oblicua queda

Problema 15

Obtenga los valores de a, b, x, de modo que f sea continua.

SOLUCION:

i) Para , es continua, pues es una función constante

ii) Para , es continua, excepto posiblemente para el valor

de x, tal que:

iii) Para , pues es una función constante:

Análisis:

Caso 1: x = 0

Para que exista, los límites laterales deben ser iguales, por lo tanto:

Caso 2: x = 1

Para que exista, los límites laterales deben ser iguales, por lo tanto:

Finalmente, se observa que:

Por lo tanto, debe excluirse del intervalo (dominio), así la función será

continua en todos los valores de los reales excepto en . Rescribiéndose la

función.

Problema 16

Sea dada por

i) Pruebe que f es continua y estrictamente decreciente en .

ii) Demuestre que o es continua y creciente en .

SOLUCIÓN:

Sea dada por

iii) Pruebe que f es continua y estrictamente decreciente en .

iv) Demuestre que o es continua y creciente en .

;

i) f es continua y estrictamente decreciente en .

En efecto, las funciones y son continuas en

(son polinómicas) y es continua al ser cuociente de

continuas.

Así es suma de continuas y luego

continua. También, es decreciente y es

estrictamente creciente por lo que es estrictamente

decreciente de modo que es suma de funciones, una

decreciente y la otra decreciente estricta. Así, es

estrictamente decreciente.

ii) es continua y creciente en .

En efecto, es composición de funciones continuas y por lo

tanto es continua.

Además, como f es decreciente

es decir , es decir f o f es creciente.

Problema 17

Considere la función definida por

si

0 si

i) Justifique porque f es continua .

ii) Pruebe que si , entonces f es continua .

iii) Para , utilice la sucesión para probar que f es

no continua en . Justifique.

SOLUCIÓN:

Problema 18

Sea:

Determinar de modo que

SOLUCIÓN:

Calculando los límites laterales:

Ahora:

Luego, el si , esto es:

Problema 19

Sea la función definida por:

Determinar los valores de a y b para que la función sea continua en 0 y 4.

SOLUCIÓN:

Nos están pidiendo los puntos en que cambia la definición de la función: 0 y

4.

Problema 20

Calcular, si es que existe, el

SOLUCIÓN:

Observemos que:

Si x<1, entonces x-1 < 0 y

Si x>1, entonces x-1 > 0 y

Además

Por lo tanto

Por otra parte

Dado que los límites laterales son distintos no existe

Problema 21

i) Muestre haciendo uso de la definición, que

SOLUCIÓN:

Nos dicen, demuestre que

Pd:

EE:

Acotando (x+2)

ii) Calcular . Justifique cada paso.

SOLUCIÓN:

Problema 22

REPETIDO

Sea:

Determinar de modo que

SOLUCIÓN:

Calculando los límites laterales:

Ahora:

Luego, el si , esto es:

Problema 23

Sea

Obtenga los valores de a, b, y x, de modo que f sea continua.

SOLUCION:

i) Para , es continua, pues es una función constante

ii) Para , es continua, excepto posiblemente para el valor

de x, tal que:

iii) Para , pues es una función constante:

Análisis:

Caso 1: x = 0

Para que exista, los límites laterales deben ser iguales, por lo tanto:

Caso 2: x = 1

Para que exista, los límites laterales deben ser iguales, por lo tanto:

Finalmente, se observa que:

Por lo tanto, debe excluirse del intervalo (dominio), así la función será

continua en todos los valores de los reales excepto en . Rescribiéndose la

función.