CÁLCULO DIFERENCIAL

JUNIO 2004

1.1.1.1. Sea la función xey

22

−= estúdiese su monotonía, extremos relativos y asíntotas.

(Solución: Es derivable en todos los puntos excepto en x =0. Creciente si x < 0. No tiene asíntotas verticales. Asíntota horizontal y = 0)

2.2.2.2. Demuéstrese que las gráficas de las funciones xexf =)( y x

xg1

)( = se cortan en un punto x > 0. (1 punto)

(Solución: Aplica el teorema de Bolzano a la función x

exh x 1−=)( en el intervalo (1/2 , 1) )

3.3.3.3. Calcúlese 0

1 1lim

sen x x x→

−

. (Solución :0 8Aplicando L`Hopital dos veces a lim567

589:; 55 9:;5 )

4.4.4.4. Sea cbxaxxxf +++= 23)( . Determínense a, b y c de modo que )(xf tenga un extremo relativo en 0=x , la recta tangente a la gráfica de )(xf en 1=x sea paralela a la recta 04 =− xy , y el área

comprendida por la gráfica de )(xf , el eje OX y las rectas 0=x , 1=x , sea igual a 1. ( 3 puntos )

(Solución: a = ½ , b = 0 , c = 7/12 )

SEPTIEMBRE 2004

5.5.5.5. Sea f la función dada por .,23)( 2 Rxxxxf ∈+−= a) Estúdiese la derivabilidad de f en x = 0 mediante la definición de derivada. ( 1 punto )( 1 punto )( 1 punto )( 1 punto ) b) Determínense los intervalos de monotonía de f y sus extremos relativos. ( 1,5 puntos)( 1,5 puntos)( 1,5 puntos)( 1,5 puntos) c) Esbócese la gráfica de f. ( 0,5 puntos)( 0,5 puntos)( 0,5 puntos)( 0,5 puntos)

(Solución: a) No derivable en x = 0. b) Creciente en el intervalo GH I

J , 0K L GIJ , M∞K. Mínimos relativos los puntos

GH IJ , H O

PK Q GIJ , H O

P)K. Habría un máximo relativo en (0,2) aunque en este punto no es derivable.

6.6.6.6. Calcúlese el valor de / 2

tg(2 )lim

tg(6 )x

x

xπ→ . (Solución: 1/3 )

7.7.7.7. a) Dada la función [ ]: 1,f e R→ definida por f xx

x( ) ln= +1 , determínese de entre todas las

rectas tangentes a la gráfica de f la que tiene máxima pendiente. Escríbase la ecuación de dicha recta. ( 2 puntos )

b) Calcúlese una función primitiva de ( )f x que pase por el punto P(e, 2) . ( 1 punto)

(Solución: a) x = 2 , recta tangente y = x/4 M ln2 , b) F(x) = (1Mx) lnx –x M1 )

8.8.8.8. Calcular a para que se verifique: ( ) 2x1axxlim 2

x=−++

+∞→ (Solución: a = 4)

JUNIO 2005

9.9.9.9. Calcúlense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función 21)( xexf −= , sus extremos relativos, puntos de inflexión y asíntotas. (Solución: Creciente si x < 0 ; máximo relativo el punto (0 , e). Puntos de inflexión GH √J

J , √XK , G√JJ , √XK. Asíntota horizontal y = 0.

10.10.10.10. Calcúlese

xx e

xx )ln(lim

+∞→. (1 punto) (Solución: 0 )

11.11.11.11. Aplicando el teorema de Lagrange de los incrementos finitos, demuéstrese que para 0>x se verifica:

21)(arctg)2(arctg

x

xxx

+<− . (1 punto)

(Solución: Aplica dicho teorema a la función y = arctgx en el intervalo (x, 2x))

12.12.12.12. Sea )ln()( xexf x += , ),0( ∞∈x

a. Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f y sus asíntotas.

b. Pruébese que f tiene un punto de inflexión en el intervalo

1 ,

2

1 y

esbócese la gráfica de f. (Solución: a) Creciente si x >0 . Asíntota vertical x = 0. No hay más asíntotas. B) Aplica el teorema de Bolzano a la segunda derivada en dicho intervalo.

SEPTIEMBRE 2005

13.13.13.13. a) Estúdiese la derivabilidad de

≤

>+=

0 x,

0 ),1ln()(

2

2

x

xxxf , sus intervalos de crecimiento y

decrecimiento y sus puntos de inflexión. Esbócese su gráfica. (1,75 puntos)

b) Calcúlese el área delimitada por la gráfica de )(xf y las rectas 1−=x , 1=x , 0=y . (1,25 puntos)

(Solución: a) Es continua y derivable en R. Creciente si x > 0. Punto de inflexión (1 , ln2) b) YZ2 H [

I M \J ]J

14.14.14.14. Calcúlense los valores de 0≠λ para los cuales 11)(cos

)(senlim

2

2

0−=

−→ x

x

x λ. (1 punto) (Solución: ^ = _1)

15.15.15.15. Sea ,(aP sen a) un punto de la gráfica de la función )(sen)( xxf = en el intervalo [ ]π,0 . Sea Pr la recta tangente a dicha gráfica en el punto P y PA el área de la región

determinada por las rectas Pr , 0=x , π=x , 0=y . Calcúlese el punto P para el cual el área PA es mínima. (Nota: Puede asumirse, sin demostrar, que la recta Pr se mantiene por encima del eje 0X entre 0 y π ) (3 puntos) (Solución: a(b/2 ,1)

16.16.16.16. Calcúlese )()ln(lim xxx

sen0→

. (Solución: 0)

JUNIO 2006

17.17.17.17. Considérense las funciones xx exgexf −−== )( ,)( . Para cada recta r perpendicular al eje OX, sean A y B los puntos de corte de dicha recta con las gráficas de f y g, respectivamente. Determínese la recta r para la cual el segmento AB es de longitud mínima. (Solución: El eje OY, x = 0)

18.18.18.18. Calcúlese el valor de 20

))2ln(cos(lim

x

x

x→. (Solución: -2)

19.19.19.19. Dada la función 1

1)(

+

−=x

xxf , determínense los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de

concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas de f. Esbócese su gráfica. (Solución: Creciente en todo su dominio f H gH1h. No hay puntos de inflexión. Cóncava en (H∞, H1), ijZkXlm (H1, ∞). noíZpjpm kXqprimY l = H1, moíZpjpm sjqrtjZpmY Q = 1)

20.20.20.20. Sea dcxbxaxxf +++= 23)( . Determínense a, b, c y d para que la recta 01 =+y sea tangente a

la gráfica de f en el punto )1,0( − , y la recta 02 =−− yx sea tangente a la gráfica de f en el punto )1,1( − . (Solución: a = 1, b = -1, c = 0, d = -1 y=x3 – x2 -1)

21.21.21.21. Determínense los valores de a y b para los cuales 1)(sen

)cos(1lim

2

2

0=

−++

→ x

xbxax

x. (Sol: a=1/2 , b=0)

SEPTIEMBRE 2006

22.22.22.22. Estúdiense los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f (x) =l. X85, sus máximos y mínimos relativos, asíntotas y puntos de inflexión. Demuéstrese que para todo x se tiene que u(l) v O

: . b) Pruébese que la ecuación 3x = e

x tiene alguna solución en (−∞,1].

(Solución: Creciente enGH∞, H1), wálrwj G1 , O:K , ióZimkm (2, ∞),

a]Zpj xX rZuYXlróZ XZ l = 2, moíZpjpm sjqrtjZpmY Q = 1 K b) Teorema de Bolzano para la función f (x)=3x - ex )

23.23.23.23. Calcúlese lim567 yz({|}(5))8O~{|} 55� (Solución: -1) 24.24.24.24. Sea u(l) = P8J5�

5 Determínese el dominio de f, sus asíntotas, simetrías y máximos y mínimos relativos. Esbócese su gráfica. (Solución: Dominio f H g0h, asíntota vertical x = 0, asíntota oblçicua y = -2x. Simetría impar. Decreciente en todo su dominio. No hay extremos.

25.25.25.25. Calcúlense las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función u(l) = 5�5�~O en el punto x =0. (Solución: Recta tangente y = 0 , recta normal x = 0)

JUNIO 2007

26.26.26.26. Sea la función u(l) = 55�8O .Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, los puntos de inflexión y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (Solución: Asíntotas verticales l = _1 , asíntota horizontal y = 0, no hay extremos relativos, decreciente en f H g_1h, punto de inflexión (0 , 0), cóncava en (H1,0) L (1, ∞)) 27.27.27.27. Calcular lim567 G Oyz (5~O) H O5K (Solución: ½ )

28.28.28.28. Demostrar que las curvas f (x) =sen x y �(l) = O5 se cortan en algún punto del intervalo G2b , [\J K (Solución: Teorema de Bolzano aplicado en dicho intervalo a la función s(l) = oXZl H O5) 29.29.29.29. Sea la función u(l) = l M X85 a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas. Esbozar su gráfica. b) Demostrar que existe algún número real c tal que i M X8� = 4 (Solución: a) Dominio = R , asíntota oblicua y = x, creciente si x>0, mínimo (0 , 1), cóncava en todo R b) Aplicar el teorema de los valores intermedios) 30.30.30.30. Hallar a y b para que la función u(l) = �m M lYZl or l > j� or l = 09:;\55 or l " 0� sea continua en todo R.

(Solución: a = b = b)

SEPTIEMBRE 2007 31.31.31.31. Sea f la función dada por 22)( xxexf −= . a) Calcular los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas de f. (1,5 puntos)

b) Determinar el número de soluciones de la ecuación 2)( =xf en el intervalo [ ]1,0 . (1,5 puntos)

(Solución: Creciente si x < 1. Máximo (1, e). Asíntota horizontal y = 0 por la dcha. B) Por el teorema de Bolzano aplicado a f(x)-2 sabemos que existe una solución y por ser creciente en dicho intervalo sólo hay una.)

32.32.32.32. Determinar en qué puntos de la gráfica de la función 13 23 ++−= xxxy , la recta tangente a la misma es paralela a la recta 7+= xy . (1 punto)

(Solución: x = 0 y x = 2, es decir P(0 , 1) y Q(2 , -1))

33.33.33.33. Sea la función 4

)(2 +

=x

xxf . Se pide hallar:

a) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f , los máximos y mínimos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (2 puntos)

b) El área de la región limitada por la gráfica de f, el eje OX y las rectas 2,2 =−= xx (1 punto)

(Solución: a) Asíntota horizontal y = 0, creciente en (-2 , 2), máximo (2 , ¼) , mínimo (-2 , -1/4)

b) ln2 )

34.34.34.34. Discutir si la ecuación 2sen =+ xx tiene alguna solución real.

(Solución: Aplicar teorema de Bolzano a la función u(l) = l M oXZ l H 2 en el intervalo �0, \J�

35.35.35.35. Calcular, si existe, el valor de 2

2

0

)(lim

x

ee xx

x

−

→

− . (Solución: 4)

JUNIO 2008

36.36.36.36. Sea u(l) = �;55� con l � (j, M∞) Calcular los intervalos de

crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y las asíntotas. Esbozar su gráfica. (Solución: Asíntota vertical x = 0 , asíntota horizontal y = o, creciente en (0 , XO/J), decreciente ( X�

�,, ∞), máximo ( X��,, 1/2X)

37.37.37.37. Calcular lim567 9:;�J55�~5� (Solución: 4)

38.38.38.38. Determinar el valor de a para que la recta tangente a la función u(l) = lI M ml en el punto x =0 sea perpendicular a la recta y M x = - 3. (Solución: a = 1)

39.39.39.39. Dada u(l) = � 9:;5�5 or l . 0

lJ H 2l or l v 0� estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f (x).

(Solución: f(x) es continua para todos los valores de x, pero no es derivable en x = 0) 40.40.40.40. Calcular las asíntotas de la función f(x)= (J58O)�

P5�~O (Solución: Sólo tiene una asíntota horizontal y = 0) 41.41.41.41. Demostrar que la ecuación lI M l H 5 = 0 tiene al menos una solución en el intervalo (1,2) . (1 punto) (Solución: Aplicar el teorema de Bolzano a la función u(l) = lI M l H 5 en dicho intervalo)

SEPTIEMBRE 2008

42.42.42.42. Hallar, de entre los puntos de la parábola de ecuación Q = lJ H 1, los que se encuentran a distancia mínima del punto n(H2, H O

J) (Solución: P(-1 , 0)

43.43.43.43. Estudiar la continuidad en R de la función f(x)= �O8��955 or l � 0

0 or l = 0�

(Solución: f(x) es continua en R) 44.44.44.44. Sea u(l) = 2 H l M ln l con x�(0, ∞). Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos, los intervalos de concavidad y convexidad y las asíntotas de f .Esbozar la gráfica de f .

Probar que existe un punto i � � O:� , 1� tal que f (c) =0 .

(Solución: a) No tiene asíntotas, creciente en (0 ,1), decreciente si x�(1,M∞), máximo relativo P(1, 1), convexa en (0, ∞). 45.45.45.45. Calcular los valores del número real a sabiendo que lim567 :��8O8�5

5� = 8 (Solución: m = _4)

JUNIO 2009

46.46.46.46. Sea la función u(l) = |lJ H l H 2| a) Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad

y convexidad y esbozar su gráfica. b) Demostrar que no es derivable en x = 2 (Solución: a) Creciente l � GH1, O

J K L (2, M∞), decreciente l � (H∞, H1) LGO

J , 2K. Cóncava l � (H∞, 1) L (2, M∞), convexa (-1 , 2))

47.47.47.47. Un campo de atletismo de 400 metros de perímetro consiste en un rectángulo y semicírculos en dos lados opuestos, según la figura adjunta. Hallar las dimensiones del campo para que el área de la parte rectangular sea lo mayor posible. (Solución: Diámetro J77

\ w, YjZ�rp]x 100 w) 48.48.48.48. Estudiar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función u(l) = yz 5

5 en su dominio de definición (Solución: Dominio (0 , M∞). Creciente en el intervalo (0 , e), decreciente en (e , M∞)) SEPTIEMBRE 2009

49.49.49.49. Sea la función u(l) = 5�5�~O Hallar su dominio, intervalos de

crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas. Esbozar su gráfica. (Solución: Asíntota oblícua y = x , creciente en R, Cóncava l �

�H∞, H√3� L �0, √3�, puntos de inflexión (0 , 0), GH√3, H √J�P K (√3, √J�

P ) ) 50.50.50.50. Calcular el límite lim567 yz J����

:�8O (Solución: ln 2) 51.51.51.51. Sea la función f (x) = sen(x) M cos(x) , definida en el intervalo �0,2b�.Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos relativos. Esbozar su gráfica

(Solución: Creciente G0, \PK L ([\

P , 2b), decreciente (\P , [\

P ), máximo (\P , √2) ,

mínimo ([\P , H√2))

52.52.52.52. Probar que la ecuación lJ77� H X5 M 2 = 0 tiene alguna solución (Solución: Teorema de Bolzano para f(x)= lJ77� H X5 M 2en el intervalo �H2,0�

JUNIO 2010

53.53.53.53. a) Si el término independiente de un polinomio p(x) es -5 y el valor que toma p(x) para 3 es 7, ¿se puede asegurar que p(x) toma el valor 2 en algún punto del intervalo �0 , 3�? Razonar la respuesta y enunciar los resultados teóricos que se utilicen. (1,5 puntos)(1,5 puntos)(1,5 puntos)(1,5 puntos) (Solución: Aplica teorema de los valores intermedios , p(0)=-5, el término independiente es el valor del polinomio para x =0)

54.54.54.54. Se desea construir una caja cerrada de base cuadrada con una capacidad de 270 cm3. Para la tapa y la superficie lateral se usa un material que cuesta 5€/cm2 y para la base un material un 50% más caro. Hallar las dimensiones de la caja para que el coste sea mínimo. (Solución: base cuadrada de 6 cm de lado , altura 7,5 cm)

55.55.55.55. Hallar el valor de a para que se verifique que lim56~£ GJ5~�J58OK5~[ = lim567 5�85�

9:;�5 (Sol: a = -1) 56.56.56.56. Dada la función u(l) = 5~O

58O se pide: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los de concavidad y convexidad, y las asíntotas. (Solución: Asíntota vertical x = 1, asíntota horizontal y =1 , decreciente en todo su dominio, convexa en (H∞, 1))

57.57.57.57. Calcular b y c sabiendo que la función u(l) = �lJ M �l M i or l v 0yz(5~O)5 or l . 0 � es derivable en el

punto x = 0. (Solución: b = -1/2 , c = 1) SEPTIEMBRE 2010 58.58.58.58. Se divide un alambre de 100m de longitud en dos segmentos de longitud x y 100-x. Con el de

longitud x se forma un triángulo equilátero, y con el otro un cuadrado. Sea f(x) la suma de las áreas. ¿Para qué valor de x dicha suma es mínima? (Solución: l = �77

P√I~� ) 59.59.59.59. Sea la función u(l) = l √4 H lJ Determinar el dominio, intervalos de

crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos. Esbozar su gráfica (Solución: Dominio �-2 , 2�, creciente en el intervalo �H√2, √2�, decreciente �H2, H√2� L �√2, 2�, mínimo el punto �H√2, √2�, máximo el punto �√2, 2�

60.60.60.60. Dada la función u(l) = (5~I)�:� se pide determinar:

a) El dominio, los puntos de corte con los ejes y las asíntotas. b) Los intervalos de crecimiento y decrecimiento, y los extremos

relativos. c) La gráfica de f. (Solución: Dominio R, corta a los ejes en (-3 , 0), (0 , 9), no tiene asíntotas, creciente en (-3 , -1), mínimo (-3 , 0), máximo (-1 , 4e)

61.61.61.61. a) Sean u(l) = 58|5|J , g(x)= ¤ 3l or l v 0lJ or l . 0 � Hallar g(f(x)) . (1 punto)(1 punto)(1 punto)(1 punto)

(Solución: �(u(l) = ¤ 3l or l v 00 or l . 0�)

JUNIO 2011

62.62.62.62. Estudiar si la función f: �0,2� 6 ¥ dada por u(l) = � √l or 0 v l v 1H I

J lJ M �J l H 1 or 1 " l v 2� verifica

las hipótesis del teorema de Rolle. Enunciar dicho teorema. (Solución: Si las cumple)

63.63.63.63. Calcular lim567 ��9J58:¦�855 9:;5 (Solución: -5/2 )

64.64.64.64. Sea u(l) = 5�8I5~I58O

a) Determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de concavidad y convexidad y sus asíntotas.

b) Esbozar su gráfica. (Solución: Dominio f H g1h, asíntota vertical x = 1, asíntota oblícua y = x-2, creciente en (H∞, 0) L (2, M∞), máximo (0 , -3) , mínimo (2 , 1), cóncava en (1, M∞))

65.65.65.65. Hallar el valor de los parámetros reales a y b para los que la función f(x)= �9:; 58�55� or l . 0

lJ M � or l v 0�

es continua en R. (1,5 puntos) (Solución: a = 1, b = 0) SEPTIEMBRE 2011 66.66.66.66. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1, 2) y determina en el primer cuadrante

con los ejes coordenados un triángulo de área mínima. Calcular dicha área. (Solución: y = -2x M4 , área 4 u2)

67.67.67.67. Estudiar la continuidad y derivabilidad de la función u(l) = |l H 1| en el intervalo �-2, 2�. Calcular la función derivada de u(l)en ese intervalo. (Solución: Continua en dicho intervalo, no derivable en x = 1)

68.68.68.68. Dada la función Q = yz 55 determinar su dominio de definición, sus

asíntotas, extremos relativos y puntos de inflexión. Hacer un esbozo de su representación gráfica. (2,5 puntos) (Solución: Dominio (0, M∞), asíntota vertical x =0, asíntota horizontal y = 0, decreciente en (X, M∞), máximo (e , 1/e) , convexa en �0, √XI�, punto de inflexión (√XI, 3/2√XI )

JUNIO 2012

69.69.69.69. Dada la función u(l) = � :��

O~5 , se pide:

a) Hallar a para que la pendiente de la recta tangente a la función en x = 0 valga 2. b)b)b)b) Para a =1, estudiar el crecimiento, decrecimiento y extremos relativos. c) Para a =1, hallar sus asíntotas

(Solución: a) a = 2 , b) creciente en GH 12 , M∞K, decreciente en GH∞, H 1

2K H gH1h, mínimo el punto GH 1

2 , 2XK c) A.V. x = -1, A.H. y = 0)

70.70.70.70. Calcular los valores del parámetro a para que las tangentes a la gráfica de la función u(l) =mlI M 2lJ M 3 en los puntos de abscisas x =1 y x = -1 sean perpendiculares. (Solución: _ √O[

I ) 71.71.71.71. Se considera la función f (x) = ex + ln( x) , l � (0, ∞) donde ln

denota el logaritmo neperiano. a) Estudiar la monotonía y las asíntotas de f (x). b) Demostrar que la ecuación x 2 e x -1 = 0 tiene una única solución c

en el intervalo [0,1]. c) Deducir que f presenta un punto de inflexión en c. Esbozar la

gráfica de f (Solución: a) A. V. x = 0, creciente en todo su dominio. B) La existencia se demuestra aplicando el teorema de Bolzano para la función g(x) = x 2 e x -1, y la unicidad aplicando el teorema de Rolle o viendo que en dicho intervalo la función es creciente (por tanto sólo puede haber un punto de corte) c) Si hallamos la segunda derivada de f(x) obtenemos g(x) por lo que el punto de inflexión es el punto c del apartado b))

SEPTIEMBRE 2012 72.72.72.72. Sea la función u(l) = (2lJ + 3)X5

a) Estudiar asíntotas, crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, concavidad, convexidad y puntos de inflexión.

b) Esbozar su gráfica (Solución: A.H y = 0 cuando l 6 H∞, siempre creciente , convexa en GH2 H √J

J , H2 + √JJ K, puntos de inflexión en x =H2 H √J

J y en x = H2 + √JJ

73.73.73.73. Calcular lim567 yz(O~5)8yz(O85)5 9:;5 (Solución: -1)

74.74.74.74. Determinar en qué puntos de la grafica de la función u(l) = lI H 6lJ + 4l + 8 la recta tangente a la misma es paralela a la recta Q = 4l + 7. (Solución: x = 0 , x = 4)

75.75.75.75. A) Determinar los extremos absolutos de la función u(l) = lJ H 4l + 4 en el intervalo [1,4]. B) Aplicando la definición, estudiar la continuidad y derivabilidad de la función f dada por

u(l) = �l H lJ or 0 v l v 1�;�558O or 1 " l v 2 � en el punto x = 1 , donde ln denota el logaritmo neperiano.

(Solución: A) Los extremos absolutos pueden estar entre los extremos relativos o en los extremos del intervalo; en nuestro caso el máximo absoluto es el punto (4 , 4) y el mínimo absoluto es el punto (2 , 0). B) La función es continua en [0 ,2] , no es derivable en x = 1)

JUNIO 2013

76.76.76.76. Sea la función u(l) = ¨m√l + �l or 0 v l v 1i ln l or 1 " l � Hallar a, b y c sabiendo que f (x) es

continua en (0, ∞) , la recta tangente a f (x) en el punto de abscisa x = 1/16 es paralela a la

recta y = −4x +3, y se cumple que © u(l)xl = 2:O . (Solución: a=-4/3 , b=4/3 , c=2)

77.77.77.77. a) Estudiar el crecimiento de la función u(l) = lI + 3lJ H 3. (1 punto) (Solución: Decreciente si l � (H2,0)) b) Probar que la ecuación lI M 3lJ H 3 = 0 tiene exactamente tres soluciones reales. (1,5 puntos) (Solución: Probar la existencia con el teorema de Bolzano y la unicidad utilizando el teorema de Rolle)

78.78.78.78. Sea la función u(l) � 58J5~J.

a) Calcular sus asíntotas y estudiar su crecimiento y decrecimiento. (1 punto) (Solución: A.V. x � -2, A.H. y�1)

b) Dibujar el recinto comprendido entre la recta Q � 1, la gráfica de la función , el eje OY y la recta l = 2; calcular el área de dicho recinto. (1,5 puntos)

79.79.79.79. Determinar, de entre los triángulos isósceles de perímetro 6 metros, el que tiene área máxima. (2,5 puntos) (Solución: Triángulo equilátero de lado 2 m) SEPTIEMBRE 2013

80.80.80.80. Sea u(l) � (l M 1)X85 . Determinar los intervalos de

crecimiento y decrecimiento, extremos relativos, intervalos de

concavidad y convexidad, puntos de inflexión y asíntotas.

Esbozar su gráfica. (2,5 puntos) (Solución: Creciente si l � (H∞, 0), Máximo (0,1), Cóncavidad l � (1, M∞), a. ª (1, J:)))

81.81.81.81. a) Hallar Yrw56~£ 5 yz(5~O)5�~O . (1,25 puntos) (Solución: ¼) 82.82.82.82. a) Enunciar el teorema del valor medio de Lagrange. Dar su interpretación geométrica. (1 punto)

b) Estudiar la continuidad de la función

u(l) � � XO 5« or l " 0¬ or l � 0O8��959:;5 or l . 0� en el intervalo GH \J , \JK, según los valores de k. (1,5 puntos) (Solución: f(x) continua si k � 0) 83.83.83.83. a) Determinar las asíntotas horizontales y verticales de la función u(l) � O5�858J. (1 punto) (Solución: A.V. x�-1 y x � 2, A.H. y � 0)