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CLCULO I

CONTINUIDAD Y ASNTOTAS

CASO 01: Fenmeno de la Ingesta de Cerveza

Considera que el nmero real x expresa la cantidad de cerveza que bebes un da de juerga y que f es la funcin que determina o gobierna el nivel f(x) de tu euforia cuando la cantidad ingerida de cerveza es x (litros). Considera que la grfica de f es la de la siguiente figura.

Qu sucede con el nivel de euforia, cuando la cantidad ingerida de cerveza se aproxima a 0.4 litros, a 1 litro y a 2 litros?Qu sucede con el nivel de euforia, cuando la cantidad ingerida de cerveza se aproxima a 3 litros y cuando es mayor a 3?

2Funciones.LmitesLmites Laterales.

RecordarLOGROS DE LA SESIN

Al finalizar la sesin de aprendizaje, el estudiante, resuelve ejercicios en los que clasifica las funciones que modelan fenmenos naturales, econmicos y tecnolgicos, como continuas o discontinuas, haciendo uso del criterio de continuidad.

41. Concepto de Continuidad2. Continuidad2.1 Definicin y Tipos de Continuidad2.2 ejemplos3. Asntotas

Temario

5Una funcin f es continua en un punto x=a, si:

1. f(a) est definido.2. Existe y ste lmite es finito.

3. El lmite coincide con el valor de la funcin, i.e.La definicin de funcin continua en un punto indica que la grfica de la funcin no presenta ninguna interrupcin.

Si falla alguna de las 3 condiciones se dir que la funcin es discontinua.CONTINUIDAD

EJEMPLOS1) Determinar si la funcin:a pesar de que el lmite si existe.Solucin:No existe f(3), entonces f es discontinua en x=3., es continua en x=3.

EJEMPLOS2) Determinar si la funcin:EXISTESolucin:i)f (3) = 32+1 = 1 0Calcular el lmite:, es continua en x=3.

ii)

es continua en x=3.xyy= 2x +4

310Si las funciones f y g son continuas en un Punto a , entonces tambin lo son las funciones:Suma: f+gResta: f-gProducto: f.gCociente f/g (salvo si g(a)=0)

PROPIEDADES

OBSERVACIN: Una funcin f es continua en un INTERVALO cuando lo es en todos y cada uno de los puntos del intervalo.

Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la funcin compuesta tambin es continua en a

Discontinuidad EvitableSe dir que una funcin tiene discontinuidad evitable o removible en x= a, si: a) Existe no est definido f(a). b)

Tipos de Discontinuidades

Observe que existe tanto la imagen como el lmite, en el punto x=0, pero no son iguales:En x=0, la funcin presenta discontinuidad evitable

Ejemplo: Dada la funcin f :

Discontinuidad de salto o de primera especie NO Existe

(Lmites laterales distintos)

Dada la funcin f :

Pero los Lmites laterales son distintos

Ejemplo:Discontinuidad Asinttica o de segunda especie

y/oCuando alguno de los lmites laterales no existe

ASNTOTASDefinicin de una asntotaCuando la grfica de una funcin se acerca a una recta cuando x o y tienden a infinito, dicha recta se llama ASNTOTA de la funcin.No todas las funciones tienen asntotas.

Las asntotas de una funcin pueden ser:VerticalesHorizontalesOblicuas

Tipos de asntotasx = cyxAsntotas Verticalesx = cyxy = Ly = f(x)yxy = Ly = f(x)yxAsntotas HorizontalesAsntotas Oblicuasyxy = ax + bAsntotas VerticalesUna funcin racional tiene una asntota vertical cuando el denominador de la funcin simplificada es igual a 0.Recuerda que se simplifica cancelando los factores comunes del numerador y denominador.

Dada la funcin:Calculamos los valores de x que hacen 0 el denominador:

2 + 2x = 0 x = -1La recta x = -1 es la nica asntota vertical de la funcin.

Asntota verticalx = -1EJEMPLOPrimero simplicamos la funcin.

La(s) asntota(s) aparecen cuando el denominator (despus de simplificar) es igual a 0. x 3 = 0 x = 3La recta vertical x = 3 es la nica asntota vertical de esta funcin.

Ejemplo: Calcular las asntotas verticalesAsntotas horizontales

La recta y = L es una asntota horizontal de una funcin f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:Ejemplo:

La recta y = 2 es una asntota horizontalEjemplo : Calcular las asntotas horizontales

Tiene una asntota horizontal en la recta y = 0 porque el grado del numerador (2) es menor que el grado del denominador (3).

La recta horizontal y = 0 es la asntota horizontal.Asntotas oblicuas

La recta y = ax + b es una asntota oblicua de una funcin f(x) si se cumple alguna de las siguientes condiciones:a)b)

Ejemplo:

La recta y = 2x+2 es su asntota oblicuaEjemplo: Calcular las asntotas oblicuas

Tiene una asntota oblicua porque el grado del numerador (3) es uno ms que el grado del denominador (2).

La recta y = x + 3 es asntota oblicuaPodras ahora resolver el caso 01?

CASO 01: Fenmeno de la Ingesta de Cerveza

Considera que el nmero real x expresa la cantidad de cerveza que bebes un da de juerga y que f es la funcin que determina o gobierna el nivel f(x) de tu euforia cuando la cantidad ingerida de cerveza es x (litros). Considera que la grfica de f es la de la siguiente figura.

Qu sucede con el nivel de euforia, cuando la cantidad ingerida de cerveza se aproxima a 0.4 litros, a 1 litro y a 2 litros?Qu sucede con el nivel de euforia, cuando la cantidad ingerida de cerveza se aproxima a 3 litros y cuando es mayor a 3?

25Evaluacin

1) Indique la verdad o falsedad de:Una funcin f puede ser continua en y no estar definida en dicho puntoLa funcin definida por se puede redefinir en x=3 , de modo que sea continua en x=3. Justifica tu respuesta

3) Indique la diferencia entre lmite y continuidad

2) Calcula las asntotas verticales, horizontales y oblicuas de las funciones:

Material elaborado para uso exclusivo de las sesiones de aprendizaje del curso de Clculo 1 , semestre 2015 1. Universidad Privada del Norte.