Asíntotas Verticales y Horizontales

Prof. S. Vélez 1

Una función racional es una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios.

Ejemplos:2 32 −== xx

Prof. Sylvette Vélez 2

2

1

2

1

2

2

2

2

2

−−=

−+=

−−=

−=

xx

xfxx

xf

xx

xfxx

xf

)()(

)(

)()()(

La diferencia más importante entre gráficas de funciones racionales y gráficas de polinomios es la presencia de asíntotas.

Prof. Sylvette Vélez 3

Una asíntota es una línea en donde la gráfica se va acercando pero no permite que la gráfica la toque.

9. La función se llam a

función racional .

1 ( )f x

x=

Asíntota horizontal

Prof. Sylvette Vélez 4

Asíntota Vertical

Los ejes forman las asíntotas.

1 ( )f x

x= { }

{ }0

0

D R

A R

= −

= −

Prof. Sylvette Vélez 5

Asíntota vertical• La ecuación de una asíntota

vertical de una función racional siempre es: x=c, donde “c” son

Prof. Sylvette Vélez 6

siempre es: x=c, donde “c” son los ceros reales del denominador.

1

2

3

4

5

2

1)(

−=

xxf

Asíntota Vertical: x=2

Prof. Sylvette Vélez 7

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

54

1

+=

xxf )( Asíntota vertical: x= - 4

Prof. Sylvette Vélez 8

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

3

2)(

+−=

x

xxf Asíntota vertical: x= - 3

Prof. Sylvette Vélez 9

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

13

23)(

+−=

x

xxf Asíntota vertical: x=

3

1−

Prof. Sylvette Vélez 10

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

Asíntota Horizontal

1 ( )f x

x=

y = 0

Prof. Sylvette Vélez 11

y = 0

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= c

4

5232

2

−−+=

xxx

xf )(

Y=3

Prof. Sylvette Vélez 12

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= c

4

742

2

−−+=

xxx

xf )(Y=4

Prof. Sylvette Vélez 13

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= c

4

72

−−=

xx

xf )(

Y=2

Prof. Sylvette Vélez 14

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= c

4

72

−−−=

xx

xf )(

Prof. Sylvette Vélez 15

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

Y=-2

PrácticaHalla las asíntotas verticales

y horizontales:

Prof. Sylvette Vélez 16

1

2

3

4

5

2

1)(

−=

xxf

Asíntota Vertical: x=__Asíntota Horizontal: y=__

Prof. Sylvette Vélez 17

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

54

1

+=

xxf )(

Asíntota vertical: x=___Asíntota Horizontal: y=__

Prof. Sylvette Vélez 18

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

3

2)(

+−=

x

xxf

Asíntota vertical: x=___

Asíntota Horizontal: y=__

Prof. Sylvette Vélez 19

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

13

23)(

+−=

x

xxf

Asíntota vertical: x=___ Asíntota Horizontal: y=__

Prof. Sylvette Vélez 20

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y=__

4

5232

2

−−+=

xxx

xf )(

Asíntota vertical: x= ___

Prof. Sylvette Vélez 21

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= __

4

742

2

−−+=

xxx

xf )(

Asíntota vertical: x= ____

Prof. Sylvette Vélez 22

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= __

4

72

−−=

xx

xf )(

Asíntota vertical: x= __

Prof. Sylvette Vélez 23

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= __

4

72

−−−=

xx

xf )(

Asíntota vertical: x= __

Prof. Sylvette Vélez 24

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= __

4

5232

2

−−+=

xxx

xf )(

Asíntota vertical: x= ___

Prof. Sylvette Vélez 25

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

ContestacionesHalla las asíntotas verticales

y horizontales:

Prof. Sylvette Vélez 26

1

2

3

4

5

2

1)(

−=

xxf

Asíntota Vertical: x=2Asíntota Horizontal: y= 0

Prof. Sylvette Vélez 27

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

54

1

+=

xxf )(

Asíntota vertical: x= - 4Asíntota Horizontal: y= 0

Prof. Sylvette Vélez 28

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

2

3

4

5

3

2)(

+−=

x

xxf

Asíntota vertical: x= - 3

Asíntota Horizontal: y= 1

Prof. Sylvette Vélez 29

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

13

23)(

+−=

x

xxf

Asíntota vertical: x= 3

1−

Prof. Sylvette Vélez 30

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

Asíntota Horizontal: y= 1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= 3

4

5232

2

−−+=

xxx

xf )(

Y=3

Asíntota vertical: x= - 2, x=2

Prof. Sylvette Vélez 31

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= 4

4

742

2

−−+=

xxx

xf )(Y=4

Asíntota vertical: x= - 2 , x=2

Prof. Sylvette Vélez 32

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= 2

4

72

−−=

xx

xf )(

Y=2

Asíntota vertical: x= 4

Prof. Sylvette Vélez 33

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= -2

4

72

−−−=

xx

xf )(

Asíntota vertical: x= 4

Prof. Sylvette Vélez 34

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

Y=-2

1

2

3

4

5

Asíntota Horizontal: y= 3

4

5232

2

−−+=

xxx

xf )(

Y=3

Asíntota vertical: x= - 2, x=2

Prof. Sylvette Vélez 35

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

5

4

3

2

1

1

Prof. Sylvette Vélez 36