MINISTERUL EDUCAŢIEI NAȚIONALE

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE CONSTRUCŢII BUCUREŞTI

FACULTATEA DE UTILAJ TEHNOLOGIC

DINAMICA STRUCTURILOR

MECANICE COMPLEXE

Coordonator ştiinţific:Prof.univ.dr.ing. Cristian PAVEL

Doctorand:Dip.Ing. Marius VLAD

Bucureşti -2014-

Disciplina electivă 1

SUBIECTE

Subiectul 1

METODE NUMERICE ȘI APROXIMATIVE ÎN STUDIUL

VIBRAȚIILOR SISTEMELOR DISCRETE

Metoda iterației matriceale (METODA STODOLA)

Subiectul 2

ANALIZA NUMERICĂ A VIBRAȚIILOR

Transformata Fourier Discretă (DFT)Transformata Fourier Rapidă (FFT)

Subiectul 3 STABILITATEA MIȘCĂRII Sisteme dinamice neliniare.

Stabilitatea punctelor de echilibru. Portret de stare.

- Subiectul 1-

METODA ITERAȚIEI MATRICEALE (METODA STODOLA)

Din dezvoltarea determinantului pulsațiilor proprii se obțin,

în principiu, toate pulsațiile proprii ale unui sistem (de multe

ori nefiind necesare). Calculele devin foarte anevoioase când

numărul pulsațiilor proprii este mare, iar de multe ori nu este

necesară cunoașterea tuturor acestor valori.

Metoda Stodola oferă posibilitatea determinării celei mai mici

și celei mai mari pulsații proprii, precum și a formelor proprii

corespunzătoare acestora.

a) Pulsația proprie minimă

Ecuațiile diferențiale ale mișcării unui sistem discret cu n grade

de libertate se pot scrie sub forma matriceală:

(1) xmxk

sau ținând seama că matricea coeficienților de influență,[α]

este [𝑘]−1 :

(2)

Pentru vibrații armonice, {x} = C∙cosωt, ecuația (2) devine:

(3)

xmx

CmCk 2

sau va avea una dintre cele două forme:

(4 a)

(4 b)

Matricea coloană {C} = [C1, C2, ..., Cn]T definește forma

proprie corespunzătoare pulsației proprii ω.

CmkC 12

CmC 2

Metoda iterației matriceale aplicată ecuației (4 a) permite

deteminarea pulsației minime (fundamentale) și a formei

proprii corespunzătoare. Pentru început se presupune o

formă proprie {C0}, care poate fi aleasă sub forma:

(5) TC 1,...,1,10

Introducerea acestei prime aproximări în membrul

drept al ecuației (4a) reprezintă prima operație de iterație

matriceală și conduce la o valoare 𝜆1{𝐶1}:(6)

Matricea {𝐶1} este rezultatul normalizării matricei

{𝐶1}′, astfel încât primul termen al său să fie 1. Dacă

diferența dintre ceilalți termeni ai matricelor {𝐶1} și {𝐶0} este

semnificativă, atunci se trece la o nouă iterație, ajungându-se

la matricea coloană {𝐶2} :

(7)

Operația de iterație matriceală se continuă până când

matricea obținută {𝐶𝑛} este egală sau diferită foarte puțin de

precedenta, {𝐶𝑛−1} . În acest caz se scrie egalitatea:

(8)

1110

12,

CCCmk

221

12 CCmk

nnn CCmk

1

12

din relația (8) se obține, prin identificare, valoarea pulsației

proprii minime:

(9)

Vectorul coloană {𝐶𝑛} reprezintă forma proprie de vibrație

corespunzătoare primului mod de vibrație (cea de pulsație

minimă).

12

min

mkn

b) Pulsația proprie maximă

Valoarea acesteia se obține din ecuația (4 b), adusă la forma:

(10)

Folosind metoda iterației matriceale, prezentate, obținem:

(11)

CmC 11

2

1

nnn CCm

1

11

2

1

Din relația (11) se obține pulsația proprie maximă:

(12)

Având forma proprie {𝐶𝑛} corespunzătoare ultimului mod de

vibrație (cea de pulsație maximă).

112

max

1

m

n

În majoritatea situațiilor practice și tehnice este suficientă

determinarea unui număr limitat de frecvențe proprii. Astfel,

metodele aproximative de determinare a acestor frecvențe –

printre care și metoda Stodola – stau la baza diferitelor

programe de calcul al vibrațiilor pe calculator.

- Subiectul 2 -

Transformata Fourier Discretă (DFT)

Transformata Fourier Rapidă (FFT)

Analiza numerică se bazează pe scheme de calcule

matematice pe calculator. În prezent există programe

specializate în prelucrarea numerică a semnalelor aleatoare,

precum și aparate bazate pe analize numerice în domeniul

vibrațiilor (analizoare în timp real, corelatoare, etc.)

Interesul principal în măsurările de vibrații îl constituie

evaluarea spectrului de frecvență al procesului aleator

{𝑥 𝑡 }prin prelucrarea numerică a seriilor de timp discrete

{𝑥𝑘} . Această evaluare se obține direct, calculând

transformata Fourier a seriei de timp {𝑥𝑘} sau indirect, din

transformata Fourier a funcției de autocorelație. Procedeul

prin care se calculează transformata Fourier pe baza unui

calcul numeric, poartă numele de Transformata Fourier

Discretă (DFT).

DFT se obține din exprimarea complexă a unui semnal:

(1)

În care coeficienții complecși 𝑋𝑛 se determină cu relațiile:

(2)

Cantitatea de sub integrală capătă o valoare discretă la

timpul 𝑡𝑘 = 𝑘∆𝑡:(3)

unde, cu 𝑁 = 𝑇/∆𝑡 s-a notat numărul de eșantioane pe

durata 𝑇 .

Substituind (3) în (2), integrala mediată se poate înlocui

printr-o sumă de forma:

(4)

n

n

ti

nneXtx

)(

;2

00

aX

T

T

tki

n dtetxT

X0

2

)(1

N

nki

kT

tknki

T

tni

k exetkxetxk 222

)()(

1

0

21 N

k

N

nki

kn textN

X

După simplificarea relației (4), se obține expresia formală a

transformatei Fourier directă a seriei {𝑥𝑘}:(5)

și a transformatei Fourier discretă inversă:

(6)

Domeniul componentelor 𝑋𝑛 a fost redus de la 𝑛 = 0 la

𝑛 = 𝑁 − 1, pentru a menține simetria perechilor de

transformate Fourier și ele corespund armonicelor de

frecvență , în care frecvența fundamentală este

. Prin reducerea valorilor lui 𝑛, nu se pierd

informații despre armonicele superioare 𝑁 − 1, numărul

acestora fiind limitat de durata ∆𝑡.

1,...,2,1,0;1 1

0

2

NnexN

XN

k

N

nki

kn

1,...,2,1,0;1

0

2

NneXxN

k

N

nki

kn

t

n

T

nnff n

0

tNTf

110

Distanța între componentele transformatei Fourier 𝑋𝑛 este:

(7)

În care 𝑓𝑆 = 1/∆𝑡este frecvența de eșantionare. Intervalul de

frecvență ∆𝑓 definește rezoluția care poate fi obținută, având

la dispoziție 𝑁 valori eșantionate cu frecvența 𝑓𝑆 .

N

f

TnTff S

110

Transformata Fourier Rapidă (FFT) este un algoritm rapid,

adaptat pentru prelucrarea pe calculator a DFT.

Ideea care stă la baza algoritmului FFT constă în calculul

DFT al unui șir de valori {𝑥𝑟} în funcție de de DFT pentru

două subșiruri ce-l compun pe acesta, unul cu eșantioane

pare, altul cu cele impare. În acest scop se poate scrie

succesiv, pornind de la relația (5):

(8)

Notând cu 𝑌𝑛 și 𝑍𝑛 transformatele Fourier discrete (DFT)

pentru cele două subșiruri, potrivit definiției se scrie:

(9)

(10)

Introducând (10), (9) în (8) se obține:

(11)

Cu notația:

(12)

ecuația (11) devine:

(13)

1

0

1

0

2/22

2/21

0

2 2 211N N

k k

N

nki

kN

ni

N

nki

k

N

k

N

nki

kn ezeeyN

exN

X

1

0

2/22

2/

1N

k

N

nki

kn ezN

Z

)12/(,...,2,1,0;2

1 2

NnZeYX nN

ni

nn

Ni

eW1

2

)12/(,...,2,1,0;2

1 NnZWYX n

n

nn

Ecuația (13) se aplică doar pentru valori ale lui 𝑛cuprinse între 0 și N/2-1, doar pentru jumătate din

coeficienții 𝑋𝑛.

Cealaltă jumătate a coeficienților se determină direct, ținând

sema de faptul că 𝑌𝑛 și 𝑍𝑛 sunt funcții periodice, de perioadă

N/2. Ca urmare, ecuația (13) se extinde pe întreg domeniul

de valori după cum urmează:

(14)

Aceste ultime două relații constituie esența

algoritmului FFT, de implementare pe calculator, iar

procedeul este întâlnit și sub numele de fluture (butterfly).

n

n

nn ZWYX 2

1

n

n

nNn

ZWYX 2

1

2

12/,...,2,1,0 Nn

- Subiectul 3 -

Sisteme dinamice neliniare. Stabilitatea punctelor de

echilibru. Portret de stare.

Sunt în continuare prezentate câteva variante de trasare a

traiectoriilor de stare:

1. Prin metode analitice se pot integra în raport cu variabila t

relațiile (2) și se poate obține o relație care să exprime

dependența dintre 𝑥1(𝑡) și 𝑥2(𝑡), în care variabila t să fie

implicită, nu explicită. Graficul accestei funcții pentru

diferite condiții inițiale reprezintă portretul de stare al

sistemului (2). Metoda este adesea anevoioasă.

2. Se poate determina direct ecuația traiectoriilor de stare:𝑑𝑥1𝑑𝑥2

=𝑓1(𝑥1, 𝑥2)

𝑓2(𝑥1, 𝑥2)= 𝑓(𝑥1, 𝑥2)

În ipoteza că 𝑓: ℛ2 → ℛ2 este Lipschitziană, se poate scrie:

𝑥2𝑡 = 𝑥20 + 𝑥10𝑥1(𝑡) 𝑓( 𝑥. 𝑥2) 𝑑𝑥.

3. Metoda grafo-analitică (metoda izoclinelor) se bazează

pe observația că 𝑚 =𝑑𝑥1

𝑑𝑥2reprezintă panta la traiectoria

de stare în punctul (𝑥1, 𝑥2). O familie de izocline 𝑚 = 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 𝑐𝑡 se reprezintă grafic prin segmente

corespunzătoare pantei 𝑚. Pe baza acestor segmente se

pot trasa aproximativ traiectoriile de stare necesare.

4. Liniarizarea în jurul punctului de echilibru.

5. Se folosesc metode numerice de integrare pentru

determinarea traiectoriilor de stare.

Considerente generale

Fie sistemul dinamic neliniar autonom, invariant în timp:

𝑥 = 𝑓 𝑥 , 𝑥 ∈ ℜ+, 𝑓: ℜ𝑛 → ℜ𝑛 (Lipschitziană) (1)

Se notează 𝑥 𝑡0 = 𝑥0 ∈ ℜ𝑛 condiția inițială.

Definiții:

1.Punctele 𝑎 ∈ ℜ𝑛 pentru care 𝑓 𝑎 = 0𝑛, unde 0𝑛 = [0…0]𝑇

se numesc puncte de echilibru ale sistemului (1).

Observație: Un sistem dinamic neliniar poate admite un unic

punct de echilibru, un număr finit (diferit de 1) de puncte de

echilibru, o infinitate de puncte de echilibru sau nici un punct

de echilibru.

2. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ𝑛 al sistemului (1) este stabil

dacă ∀휀 > 0 ⇒ ∃𝛿 > 0 astfel încât

𝑥0 − 𝑎 < 𝛿 ⇒ 𝑥 𝑡 − 𝑎 < 휀.

3. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ𝑛 al sistemului (1) este global

stabil dacă este stabil ∀𝑥0.

4. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ𝑛 al sistemului (1) este asimtotic

stabil dacă este stabil și lim𝑡→∞

𝑥 𝑡 − 𝑎 = 0.

5. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ𝑛 al sistemului (1) este global

asimtotic stabil dacă este asimtotic stabil ∀𝑥0.

Observație: Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ𝑛 al sistemului (1)

poate fi global asimtotic stabil numai dacă este unic.

6. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ𝑛 al sistemului (1) este instabil

dacă nu este stabil.

7. Punctul de echilibru 𝑎 ∈ ℜ𝑛 al sistemului (1) este global

instabil dacă este instabil ∀𝑥0 ≠ 𝑎.

Stabilitatea punctelor de echilibru se poate analiza ușor pe

baza traietoriilor de stare corespunzătoare unor puncte

reprezentative în raport cu punctele de echilibru.

Un punct de echilibru asimtotic stabil este atractor, în sensul

că atrage traiectoriile de stare ce pleacă dintr-o vecinătate a

punctului de echilibru. Propietatea nu este valabilă pentru

orice vecinătate. Mulțimiea de atracție a punctului de

echilibru include toate punctele din planul stărilor din care

pleacă traiectorii de stare atrase de punctul de echilibru.

Un punct de echilibru instabil este repulsor, în sensul că

pentru orice o vecinătate a sa se vor putea considera

traiectorii de stare care să plece dintr-un punct al respectivei

vecinătăți și care să fie respinse de punctul de echilibru.

O reprezentare simplă a traiectoriilor de stare se poate

obține în cazul sistemelor de ordinul II.

Pentru sistemele autonome de ordinul II, relația (1) se poate

scrie sub forma:

𝑥1 = 𝑓1(𝑥1, 𝑥2) 𝑥2 = 𝑓2(𝑥1, 𝑥2) (2)

𝑓1,2: ℜ → ℜ, 𝑥1,2 ∈ ℜ.

Punctele de echilibru se pot determina rezolvând sistemul

algebric de ecuații:

𝑓1 𝑥1, 𝑥2 = 0𝑓2 𝑥1, 𝑥2 = 0

Vă multumesc pentru

atenția acordată .

04.06.2013