1.modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice

CORNEL MARIN ANTON HADAR ION FLORIN POPA LAURENŢIU ALBU

MODELAREA CU ELEMENTE FINITE

A STRUCTURILOR MECANICE

Seria „INGINERIE MECANICĂ”

Editura Editura Academiei Române AGIR

Conf. dr. ing. CORNEL MARIN Conf. dr. ing. ANTON HADAR

Dr. ing. ION FLORIN POPA ing. LAURENŢIU ALBU

MODELAREA CU ELEMENTE FINITE A STRUCTURILOR MECANICE

Seria „INGINERIE MECANICĂ”

Editura Academiei Române Editura AGIR

Bucureşti 2002

2002 , EDITURA ACADEMIEI ROMÂNE şi EDITURA AGIR

Toate drepturile asupra acestei ediţii sunt rezervate.

EDITURA ACADEMIEI ROMÂNE RO - 71167, Bucureşti, România Calea 13 Septembrie, Nr. 13, Sector 5 P.O. BOX 5-42 Tel 4021-411 90 08, 4021-410 34 48, Fax 4021-410 38 93 e-mail: [email protected] Internet: www.ear.ro

EDITURA AGIR RO – 70179, Bucureşti, România Calea Victoriei , Nr. 118, Sector 1 Tel 4021-212 81 04, 4021-212 81 06 (redacţie), 4021-211 83 50 (difuzare) Fax 4021-312 55 31 e-mail: [email protected], [email protected] Internet: www.agir.ro

Referenţi: Prof. dr. ing. Vasile Năstăsescu Prof. dr. ing. Nicolae Iliescu

Prof. dr. ing. Horia Gheorghiu Prof. dr. ing. Radu Iatan

Redactor: ing. Adina NEGOIŢĂ (Editua AGIR) ing. Irina FILIP (Editua Academie Române) Coperta: Răzvan DRĂGHICI Bun de tipar 20.12.2002; Format 16/17×100 Coli de tipar; 20,75 C.Z. pentru biblioteci mari: 517.949:624.014 C.Z. pentru biblioteci micii: 517.949 EDITURA ACADEMIEI ROMÂNE: ISBN 973-27-0957-X EDITURA AGIR: ISBN 973-8130-98-0

Imprimat în ROMÂNIA.

Cuvânt înainte

A scrie astăzi o carte despre simularea cu elemente finite a structurilor mecanice poate fi o sarcină uşoară sau dificilă, depinzând de „condiţiile iniţiale” de la care pornim judecata. Sarcina ar putea fi uşoară, dacă avem în vedere bibliografia amplă existentă pe plan naţional şi internaţional, introducerea metodei elementelor finite ca disciplină universitară de studiu în mai toate specialităţile de inginerie mecanică şi larga răspândire a unor programe „şcoală”, cât şi a celor performante, de firmă, în universităţi şi în activitatea multor agenţi economici. Sarcina este dificilă, dacă avem în vedere marea varietate a structurilor mecanice, marea varietate a condiţiilor de încărcare, a condiţiilor la limită, a tipurilor de materiale, a tipurilor de analiză şi altele. Din oricare ipostază aş porni, la finele analizei cărţii propuse consta că autorii pot fi bucuroşi pentru realizarea unei lucrări care se adresează în gală măsură studenţilor şi specialiştilor, lucrare care cu siguranţă se va bucura de succes. Această apreciere se bazează pe aspectele ample tratate, pe dezvoltările diferite date unor aspecte sau probleme şi, desigur, nu în ultimul rând, pe nivelul ştiinţific bine susţinut de talentul pedagogic al autorilor. O atenţie aparte este dată problemelor fundamentale care apar în studiul metodei şi în abordarea practică a celor mai răspândite tipuri de structuri şi de analiză prin metoda elementelor finite. Îmi exprim convingerea că această carte se va bucura de succesul cuvenit, cei mai îndreptăţiţi critici fiind cititorii: studenţi, cursanţi sau specialişti. Dacă aceştia se vor lămuri sau vor afla lucrurile necesare despre metoda elementelor finite şi dacă vor şti să răspundă întrebărilor ce apar la folosirea unor programe profesionale, atunci cartea şi-a atins scopul şi, ca şi mine, vor putea afirma că este o carte bună.

Prof. dr. ing. Vasile Năstăsescu Membru corespondent al

Academiei de Ştiinţe Tehnice din România

Prefaţă

Metoda elementelor finite este cea mai utilizată metodă numerică pentru calculul structurilor mecanice, oricât de complexe ar fi acestea din punct de vedere al geometriei, solicitărilor sau materialelor. Generalitatea metodei, simplitatea conceptelor de bază şi utilizarea calculatoarelor electronice explică extinderea şi interesul pentru această metodă. În prezent ea este asistată de calculator, cu aplicaţii multiple şi extrem de variate. Ca efect al maximei generalizări în formularea conceptelor acestei metode, algoritmi şi programe de calcul elaborate şi aplicate într-un domeniu al ingineriei au fost ulterior transferate şi adaptate cu succes, fără modificări esenţiale, în alte domenii ale cercetării aplicative cum ar fi: mecanica fluidelor, fenomene de transfer de căldură şi masă, electromagnetism, mecanica ruperilor, biomecanică, mecanica solurilor şi a rocilor, acustică, tehnologia şi prelucrarea materialelor, etc. Ca orice metodă numerică de calcul şi aceasta este o metodă aproximativă, deci furnizează soluţii aproximative, care asigură însă o precizie suficientă pentru aproape toate calculele inginereşti. Interesul pentru această metodă este reflectat şi de creşterea semnificativă a numărului de publicaţii şi de manifestări ştiinţifice consacrate metodei. Importantă este şi creşterea numărului de programe de calcul cu elemente finite, majoritatea programelor recente destinate proiectării având încorporate softuri speciale, care să permită efectuarea unor analize numerice cu metoda elementelor finite ori cu alte metode numerice. Pentru asigurarea unei pregătiri cât mai bune a studenţilor, facultăţile tehnice au inclus în cadrul disciplinelor universitate o serie de cursuri ce prezintă metoda elementelor finite, iar laboratoarele universităţilor au fost dotate cu programe complexe de calcul, cum ar fi: NASTRAN, ANSYS, COSMOS, SAP, etc.

Utilizarea acestei metode nu exclude folosirea metodelor clasice – acolo unde este posibil – şi mai ales a analizei experimentale, în prezent folosindu-se frecvent metode hibride (numerice analitice şi experimentale) de investigare a structurilor mecanice.

Metoda elementelor finite aplicată structurilor mecanice cuprinde în principiu de următoarele etape: 1. Modelarea structurii şi discretizarea domeniului acesteia, necesare

pentru a putea aproxima variabilele de câmp (deplasările) într-un număr limitat de puncte - nodurile reţelei de elemente finite;

2. Aproximarea variabilelor de câmp cu ajutorul unor funcţii polinomiale numite funcţii de interpolare sau funcţii de formă şi apoi exprimarea acestor variabile în funcţie de valorile lor în noduri (valori discrete) care sunt necunoscutele metodei;

3. Obţinerea pentru fiecare element finit a unor relaţii care exprimă forţele nodale în funcţie de deplasările nodale, prin intermediul matricei de rigiditate – matrice ce înglobează atât caracteristicile elastice ale materialului, condiţiile la limită (valorile deplasărilor nodurilor) - cât şi forma legii de variaţie a deplasărilor pe domeniul elementului;

4. Scrierea bilanţului energetic (teorema de minimum a energiei potenţiale la echilibrul elastic al unei structuri) sau a ecuaţiilor de echilibru elastic ale forţelor, sau asamblarea ecuaţiilor matriciale ale elementelor pentru obţinerea ecuaţiei matriceale global ce exprimă valoarea forţelor exterioare în funcţie de deplasările nodurilor modelului de calcul, prin intermediul matricei globale de rigiditate care este o matrice singulară de tip bandă;

5. Introducerea condiţiilor la limită globale, ridicarea nesingularităţii matricei globale, rezolvarea sistemului de ecuaţii şi calculul deplasărilor necunoscute;

6. Postprocesarea rezultatelor (determinarea deformaţiilor specifice, a tensiunilor în diferite puncte ale elementelor, a tensiunilor şi direcţiilor principale, a tensiunilor echivalente conform unor teorii de rezistenţă, a reacţiunilor din legături, a locului unde anumiţi parametrii sunt periculoşi, precum şi valorile acestora, etc.).

În lucrare sunt prezentate bazele teoretice ale metodei, algoritmi, programe specializate de calcul, programe complexe şi diverse aplicaţii.

Pentru o mai uşoară înţelegere a conceptelor metodei, problemele sunt abordate gradual în ceea ce priveşte complexitatea lor: problemele unidimensionale sunt urmate de cele bidimensionale şi tridimensionale, materialele structurilor sunt mai întâi izotrope, iar în final sunt prezentate şi elemente finite destinate analizei structurilor realizate din materiale

anizotrope (compozite stratificate armate cu fibre), structurile au comportament liniar, dar şi neliniar, etc.

Lucrarea se adresează studenţilor, inginerilor din proiectare, cercetătorilor ştiinţifici, cadrelor didactice din învăţământul superior şi, în general, tuturor utilizatorilor de programe de analiză cu elemente finite, celor care studiază şi aplică această metodă.

Cuprins CUVÂNT ÎNAINTE 5 PREFAŢA 6 INTRODUCERE 13 1. METODA DEPLASĂRILOR ÎN STUDIUL STRUCTURILOR STATIC NEDETERMINATE 1.1. Sisteme static nedeterminate de tip bară cu secţiune variabilă

solicitate la întindere-compresiune 19

1.2 Sisteme static nedeterminate plane din bare articulate în noduri solicitate axial

26

1.3 Sisteme static nedeterminate plane din bare cu noduri rigide solicitate cu sarcini cuprinse în planul lor

45

1.4 Sisteme static nedeterminate plane din bare cu noduri rigide solicitate cu sarcini perpendiculare pe planul lor

61

1.5 Sisteme static nedeterminate tip placă plană solicitate cu forţe cuprinse în planul plăcii

75

Bibliografie 90 2. ECUAŢIILE MATEMATICE ALE METODEI ELEMENTELOR FINITE

2.1 Introducere 92 2.2 Extremumul unei funcţionale sub formă integrală 94 2.2.1. Funcţionale sub formă integrală de o singură variabilă 96 2.2.2. Funcţionale sub formă integrală de două variabile 96 2.3 Obţinerea soluţiei formei variaţionale 99 2.3.1 Metoda Ritz pentru determinarea extremumului funcţionalelor 102 2.3.2 Metoda reziduurilor ponderate 108 2.3.3 Metoda Galerkin sau a minimizării funcţiei reziduu 111 2.4. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare 114 2.4.1 Metoda eliminării succesive Gauss 114 2.4.2 Metoda eliminării succesive Gauss în cazul sistemelor liniare

de ecuaţii cu matrice bandă simetrică 117

2.4.3 Metoda eliminării succesive Gauss-Jordan 118 2.4.4 Metoda eliminării Choleski 118 2.4.5 Metoda iterativă Jacobi 120 2.4.6 Metoda iterativă Gauss-Seidel 122

2.5 Metode de rezolvare a problemelor depinzând de timp 122 2.5.1 Aproximarea soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale de ordinul I 123 2.5.2 Aproximarea soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale de ordinul II 124 Bibliografie 125 3. ANALIZA CU ELEMENTE FINITE UNIDIMENSIONALE PENTRU CALCULUL STRUCTURILOR 3.1 Structură unidimensională caracterizată de o ecuaţie diferenţială de

ordinul II 127

3.2 Structură unidimensională caracterizată de o ecuaţie diferenţială de ordinul IV

145

3.3 Coordonate normale şi naturale în cazul problemelor unidimensionale 159 3.4 Funcţii de interpolare pentru elemente liniare. 161 3.4.1 Funcţii de interpolare Lagrange 161 3.4.2 Funcţii de interpolare Hermite 166 3.5 Elemente izoparametrice 167 3.6 Metode numerice pentru calculul integralelor 167 3.6.1 Cuadratura Newron - Cotes 168 3.6.2 Cuadratura Gauss - Legendre 169 Bibliografie 172 4. ELEMENTE FINITE BIDIMENSIONALE PENTRU CALCULUL STRUCTURILOR 4.1 Introducere 173 4.2 Formularea variaţională a unei probleme bidimensionale 174 4.3 Funcţii de interpolare biliniare pentru un element triunghiular cu trei

noduri 177

4.4 Funcţii de interpolare biliniare pentru elemente cu patru noduri 180 4.5 Calculul elementelor matricelor [Ke] şi [Fe] 182 4.6 Asamblarea elementelor în matricea globală 185 4.7 Funcţii de interpolare de grad superior 186 4.7.1 Funcţiile de interpolare de grad superior pentru elementul

triunghiular 186

4.7.2 Funcţiile de interpolare de grad superior pentru elementul patrulater

192

4.8 Elemente izoparametrice în probleme bidimensionale 199 4.8.1 Elementul izoparametric dreptunghiular 199 4.8.2 Elementul izoparametric triunghiular 206 4.9 Integrarea numerică a elementelor matricei de rigiditate 210 4.10 Transformări de coordonate 211 4.10.1 Elementul izoparametric patrulater în coordonate naturale 213 4.10.2 Elementul izoparametric triunghiular în coordonate de arie 213 4.11 Discretizarea, generarea elementelor, condiţii pe frontieră 216 4.11.1 Discretizarea domeniului în elemente finite 216 4.11.2 Generarea elementelor finite 217 4.11.3 Impunerea condiţiilor pe contur 218

4.12 Starea plană de tensiune în cazul plăcilor plane 218 4.12.1 Teorema energiei potenţiale minime 221 4.12.2 Metoda Ritz 224 4.12.3 Încovoierea plăcii plane 225 Bibliografie 229 5. ELEMENTE FINITE TRIDIMENSIONALE PENTRU CALCULUL STRUCTURILOR 5.1 Formularea variaţională a problemei în cazul tridimensional 231 5.2 Elemente finite tridimensionale în coordonate naturale 232 5.2.1 Funcţii de formă pentru elemente finite hexaedrice

izoparametrice în coordonate naturale 233

5.2.2 Funcţii de formă pentru elemente finite cubice în coordonate naturale

234

5.2.3 Coordonate naturale pentru elemente finite tetraedrice 236 5.3 Matricea de rigiditate în coordonate naturale 238 5.4 Asamblarea ecuaţiilor matriceale ale elementelor şi obţinerea ecuaţiei

matriceale globale a structurii 241

Bibliografie 243 6. METODE DE ANALIZA A SISTEMELOR CU COMPORTAMENT NELINIAR 6.1 Metode de rezolvare a problemelor cu comportament neliniar 245 6.1.1 Metoda tensiunii iniţiale 246 6.1.2 Metode incrementale 247 6.1.3 Metode iterative 249 6.1.4 Metode mixte 251 6.1.5 Comparaţie între procedeele de calcul neliniar al structurilor 251 6.2 Calculul structurilor cu neliniaritate fizică 252 6.2.1 Comportarea elasto-plastică a unui material 252 6.2.2 Procedeul incremental în studiul comportării elasto-plastice a

structurilor 254

6.2.3 Procedeul iterativ în studiul comportării elasto-plastice a structurilor

255

6.2.4 Procedeul tensiunii iniţiale aplicat în studiul comportării elasto-plastice a structurilor

255

6.3 Calculul structurilor cu neliniaritate geometrică 256 6.3.1 Procedeul incremental în calculul structurilor cu deplasări mari 258 6.3.2 Procedeul iterativ în calculul structurilor cu deplasări mari 260 Bibliografie 260 7. CALCULUL STRUCTURILOR DIN MATERIALE COMPOZITE STRATIFICATE PRIN METODA ELEMENTELOR FINITE

7.1 Deducerea matricei de rigiditate a unui element finit compozit pornind de la ecuaţiile generale ale teoriei elasticităţii mediului anizotrop

263

7.1.1 Generalităţi. Ipoteze de calcul 264

7.1.2 Matricea de elasticitate a unei lamine 265 7.1.3 Definirea tipului de element finit 268 7.1.4 Aproximarea deplasărilor 269 7.1.5 Aproximarea geometriei 271 7.1.6 Deducerea matricei [B] 271 7.1.7 Stabilirea funcţiilor de formă 274 7.1.8 Determinarea Jacobianului 274 7.1.9 Determinarea formei finale a matricei de rigiditate 278 7.1.10 Calculul prin integrare numerică a matricei de rigiditate 282 7.1.11 Calculul tensiunilor 285 7.2 Deducerea prin calcul variaţional a matricei de rigiditate a unui

element finit pentru analiza structurilor compozite 288

7.2.1 Elemente finite bazate pe teoria clasică a laminatelor 288 7.2.2 Elemente finite bazate pe teoria de ordinul întâi de deformare

a laminatelor 290

7.2.3 Elemente finite bazate pe formulări mixte 292 7.3 Element finit de tip înveliş degenerat din 3-D bazat pe formularea

Lagrangeană totală 294

7.4 Element finit triunghiular obţinut pe baza teoriilor de deplasare şi a celor mixte

295

7.5 Programe complexe pentru calcul numeric 297 7.5.1 Programe performante şi domenii de utilizare 297 7.5.2 Programul COSMOS/M 297 7.5.3 Programul NASTRAN 301 Structuri realizate din compozite stratificate armate cu fibre continue,

analizate cu metoda elementelor finite. Tehnica substructurării 302

Bibliografie 312 ANEXE Anexa 1A -Sistem plan de bare articulate 315 Anexa 1B -Sistem plan de bare rigidizate în noduri cu sarcini conţinute în plan

318

Anexa 1C -Sistem plan de bare rigidizate în noduri cu sarcini perpendiculare pe plan

322

Anexa 1D - Placa plană solicitată de forţe cuprinse în plan 326

Introducere

13

INTRODUCERE Calculul ingineresc, ca instrument ştiinţific pentru proiectarea, realizarea şi verificarea sistemelor tehnice, s-a dezvoltat şi consolidat în mod sistematic dea lungul timpului pe baza experimentelor efectuate pe modele reale sau machete de laborator în scopul verificării calculului analitic şi a confirmării ipotezelor şi modelelor de calcul folosite. Limitele experimentelor pe modele s-au restrâns odată cu creşterea complexităţii sistemelor tehnice şi a imposibilităţii realizării la scară de laborator a modelelor fizice corespunzătoare unor sisteme şi procese industriale.

În ultimul timp s-a dezvoltat în inginerie o nouă gândire de natură analitică, având la bază modelarea matematică şi determinarea numerică a soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale ce caracterizează aceste fenomene şi a condiţiilor care se impun la frontiera domeniului, respectiv a condiţiilor iniţiale, în cazul problemelor care depind de timp. Soluţia analitică a unor aplicaţii concrete din inginerie, se determină pentru un model analitic aproximativ creat prin introducerea unor ipoteze simplificatoare de calcul (aceste ipoteze simplifică într-un mod rezonabil comportarea modelului real) şi exprimă exact comportarea modelului analitic ales să caracterizeze fenomenul studiat. În Rezistenţa materialelor se utilizează modele de calcul aproximative datorită introducerii următoarelor ipoteze simplificatoare de calcul (unele din acestea se mai numesc şi ipoteze de bază în Rezistenţa materialelor): 1. ipoteza mediului continuu , omogen şi izotrop; 2. ipoteza deformaţiilor mici în raport cu dimensiunile corpului; 3. ipoteza secţiunii plane a unei bare supusă la încovoiere (BERNOULLI) şi ipoteza liniei drepte perpendiculare la suprafaţa mediană a plăcii supusă la încovoiere (KIRKHHOFF);

4. ipoteze privind ponderile relative ale tensiunilor care apar într-un corp supus acţiunii unor sarcini exterioare (exemplu: tensiunile tangenţiale produse de eforturile tăietoare într-o bară se neglijează în raport cu tensiunile normale produse de eforturile de întindere sau de încovoiere);

5. ipoteze privind legea de distribuţie a tensiunilor într-o secţiune oarecare a unei bare: distribuţia uniformă a tensiunilor normale pe suprafaţa

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 14 transversală în cazul eforturilor axiale, distribuţia liniară a tensiunilor la încovoierea pură (NAVIER), distribuţia liniară a tensiunilor tangenţiale la răsucirea unei bare de secţiune circulară, distribuţia uniformă a tensiunilor tangenţiale într-o secţiune longitudinală (JURAVSKI) etc.;

6. ipoteza privind relaţia liniară dintre tensiuni şi deformaţii (legea lui HOOKE), sau a unei relaţii liniare de o anumită formă în cazul solicitărilor din domeniul elasto-plastic şi principiul suprapunerii efectelor sau principiul independenţei acţiunii forţelor;

7. ipoteza lui SAINT VENANT privind efectul sarcinilor (concentrate sau distribuite) într-o zonă îndepărtată de zona de acţiune a acestora;

8. ipoteze privind legăturile ideale care se folosesc pentru modelarea legăturilor reale. Exemplu: ipoteza legăturilor ideal-rigide, ideal-elastice sau semirigide etc. Aceste ipoteze se regăsesc în condiţiile pe frontieră a modelului real (sub forma blocajelor sau deplasărilor impuse, pe anumite porţiuni ale frontierei);

9. ipoteze privind tipurile de sarcini aplicate structurilor: forţe şi cupluri concentrate, forţe şi cupluri distribuite (uniform, liniar, parabolic, hiperbolic etc.) pe o suprafaţă sau pe o direcţie. Aceste ipoteze se regăsesc în condiţiile de încărcare a modelului real.

Pentru fenomenul elastic studiat şi pentru modelul de calcul analitic creat pe baza ipotezelor simplificatoare de mai sus, se scriu ecuaţiile diferenţiale care îl caracterizează, se pun condiţiile la limită corespunzătoare (constrângerile sau blocajele impuse de legăturile cu mediul fix sau cu celelalte elemente cu care se învecinează) şi condiţiile de încărcare. În cazul problemelor depinzând de timp se adaugă celor de mai sus condiţiile iniţiale. Necesitatea rezolvării unor probleme complexe a condus la o sinteză neaşteptată între soluţia analitică pe un model aproximativ şi experimentele pe modele reale, rezultatul fiind analiza numerică. Spre deosebire de soluţia analitică pentru un model analitic aproximativ, soluţia numerică aproximează evoluţia unui proces fizic pornind de la un model analitic exact modelat şi analizat cu ajutorul unor programe specializate. Modelul analitic exact se mai întâlneşte în literatura de specialitate şi sub denumirea de model virtual.

Modelul virtual poate fi creat în spaţiul virtual 2D sau 3D al calculatorului cu ajutorul unui program de modelare. Acesta poate fi analizat din punct de vedere al comportării lui sub acţiunea sarcinilor exterioare, pentru anumite condiţii la limită şi iniţiale, cu ajutorul unui program special care utilizează diferite metode numerice de analiză şi rezolvare a ecuaţiilor. În final sunt furnizate soluţiile numerice aproximative. Programul are posibilitatea de optimizare a soluţiilor prin la

Introducere

15 obţinerea unei precizii satisfăcătoare din punctul de vedere al utilizatorului prin: schimbarea condiţiilor de încărcare, a condiţiilor la limită (acolo unde este cazul, a condiţiilor iniţiale), a modului de aplicare a lor asupra modelului virtual, etc.

Analiza numerică permite deci studiul unor fenomene prin variaţia condiţiilor de testare în condiţii economice deosebit de avantajoase (mai ales pentru acele fenomene ce nu pot fi reproduse în laborator, cum ar fi: transferul de căldură din zona activă a unui reactor nuclear, simularea unor condiţii de avarie sau explozii etc.). Condiţii de analiză numerică nu necesită decât costuri de proiectare, tehnică de calcul şi softuri specializate de analiză numerică.

Analiza numerică în ingineria modernă, s-a dezvoltat în trei direcţii principale datorită următoarelor metode de analiză:

!"Metoda diferenţelor finite !"Metoda elementelor finite !"Metoda elementelor de frontieră

1. Metoda diferenţelor finite a apărut încă din timpul lui Euler şi utilizează un model matematic diferenţial al fenomenului studiat, model care este apoi adaptat pentru rezolvarea cu ajutorul procedeului de aproximare locală punctiformă a variabilelor de câmp, precum şi a derivatelor lor până la un anumit ordin. Acest procedeu de aproximare locală se realizează cu ajutorul unei reţele rectangulare creată pe domeniul studiat. Sistemul de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale se transformă astfel într-un sistem de ecuaţii algebrice, având ca necunoscute valorile variabilei de câmp într-un număr finit de puncte ale domeniului studiat, numite noduri ale reţelei de diferenţe finite. Această metodă a fost folosită cu succes în rezolvarea unor probleme, însă datorită dificultăţilor legate de utilizarea reţelei rectangulare de discretizare pentru domenii complexe, nu mai este utilizată în prezent.

2. Metoda elementelor finite utilizează un model matematic integral al fenomenului studiat, care se obţine cu ajutorul metodelor variaţionale sau a metodei reziduurilor ponderate. Spre deosebire de metoda diferenţelor finite, această metodă se bazează pe aproximarea locală a variabilei de câmp pe subdomenii (porţiuni) ale domeniului studiat (numite elemente finite). Metodele matematice folosite transformă expresia diferenţială a problemei (ecuaţiile diferenţiale şi condiţiile la limita domeniului) într-o formă integrală numită forma variaţională sau ''forma moale'', care include o parte din condiţiile la limită ale problemei. De exemplu, teorema de staţionaritate a energiei potenţiale

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 16 elastice în studiul stării de tensiuni şi deformaţii a unui corp elastic poate fi considerată o astfel de formă variaţională. Prin folosirea modelului integral precum şi a unor funcţii de aproximare continue pentru variabila de câmp, respectiv a unor funcţii de interpolare continue pentru geometria elementelor finite, pot fi discretizate practic domenii oricât de complexe.

3. Metoda elementelor de frontieră utilizează de asemenea un model matematic integral al fenomenului studiat. Această metodă a apărut ca o alternativă a metodei elementelor finite pentru soluţionarea unor probleme ce nu pot fi rezolvate cu ajutorul metodei elementelor finite, cum ar fi de exemplu: probleme cu gradienţi foarte mari pe frontiera domeniului, cu discontinuităţi şi concentratori de tensiuni, probleme cu domenii infinite, etc. Spre deosebire de metoda elementelor finite, pentru utilizarea acestei metode nu mai este necesară discretizarea întregului domeniu studiat, ci doar a frontierei sale.

Calculul ingineresc pentru construcţii civile, industriale, structuri navale, aviatice etc., s-a confruntat de la început cu probleme static nedeterminate cu un număr foarte mare de grade de nedeterminare. Pentru rezolvarea unor astfel de probleme Hreinkoff propune în anul 1941 pentru prima dată în elasticitate metoda cadrelor prin care transformă o structură mecanică hiperstatică (cu un număr infinit de grade de nedeterminare) într-o structură mecanică cu număr finit de grade de grade de nedeterminare statică.

În anul 1943 Courant prezintă o soluţie originală de rezolvare a problemei de torsiune a lui Saint Venant, folosind pentru aceasta principiul energiei potenţiale minime şi metoda de aproximare Ritz-Galerkin. El introduce pentru prima dată funcţiile de aproximare, similare cu cele folosite în prezent la elementele finite triunghiulare.

În anul 1954 Argyris prezintă o serie de lucrări prin care propune generalizarea teoriei liniare a structurilor în scopul aplicării ei la structuri elastice având configuraţii complexe, într-o formă uşor adaptabilă programării pe calculator. În anul 1956 Turner prezintă rezultate deosebit de interesante obţinute la construcţia aeronavelor Boeing, prin folosirea diferitelor metode numerice şi a teoriei liniare a structurilor. Metoda elementelor finite se cristalizează odată cu prezentarea lucrării lui Clough ''The finite element method in plane stress'' prezentată la cea de-a doua conferinţă ASCE , Pitsburg, USA , 7-8 sept. 1960.

După 1960 metoda elementelor finite cunoaşte o dezvoltare foarte puternică. Astfel, în cadrul conferinţelor internaţionale cu tema: Metode matriceale în mecanica structurilor din 1965 şi 1968 de la Wright-Patterson, Ohio USA, s-au prezentat o serie de comunicări ştiinţifice care

Introducere

17 au dus la dezvoltarea şi consolidarea metodei. După 1965 metoda elementelor finite se generalizează şi în alte domenii inginereşti de interes (mecanica fluidelor, conducţia termică, câmpul electromagnetic etc), contribuţii în acest domeniu fiind aduse de cercetători de prestigiu ca: Visser (1965), Wilson şi Nickell (1966), Zienkiewicz (1965-1967).

După această perioadă de cercetare şi fundamentare a metodei apar primele monografii elaborate de iluştri cercetători şi profesori: Zienkiewicz (1967, 1971, 1977), Desai şi Abel (1972), Oden (1972), Strang şi Fix (1973), Cook (1974), Huebner (1975), Bathe şi Wilson (1976), Oden şi Reddy (1976), Connor şi Brebbia (1976), Mitchell şi Wait (1977), Norie şi Vries (1978), Chung (1978), Irons şi Ahmad (1980), Rao (1982), Batoz (1990). În România, în acest domeniu al aplicării şi dezvoltării metodei de analiză cu elemente finite, s-au remarcat în ultimele două decenii: I. Pascariu, M. Blumenfeld, I. N. Constantinescu, V. Năstăsescu, ş.a., care au avut contribuţii valoroase şi originale în aplicarea unor programe de analiză cu elemente finite şi în interpretarea rezultatelor obţinute. Cercetările care se desfăşoară la ora actuală sunt orientate spre crearea şi testarea unor noi tipuri de elemente finite care să corespundă noilor cerinţe legate de aplicaţiile inginereşti actuale. În acest sens progresele înregistrate de către firmele de soft în domeniul analizei cu elemente finite sunt deosebit de mari. O mare dezvoltare a cunoscut analiza structurilor supuse la solicitări dinamice, precum şi calculul structurilor aflate în condiţii de neliniaritate (geometrică, de material etc.).

1

METODA DEPLASĂRILOR ÎN STUDIUL STRUCTURILOR STATIC NEDETERMINATE

Dintre metodele utilizate pentru studiul structurilor mecanice static nedeterminate cu număr finit de grade de nedeterminare cele mai cunoscute sunt: metoda eforturilor şi metoda deplasărilor. Astfel pentru un sistem de bare:

1. Metoda eforturilor constă în transformarea sistemului static nedeterminat dat într-un sistem static determinat numit sistem de bază, prin eliminarea unui număr de restricţii (legături cu mediul fix sau blocaje ale nodurilor) care este identic cu gradul de nedeterminare N şi introducerea necunoscutelor static nedeterminate Xi în locul acestor restricţii. Urmează scrierea ecuaţiilor de deformaţii pentru sistemul de bază corespunzătoare restricţiilor din sistemul real în funcţie de necunoscutele static nedeterminate, rezultând un sistem de ecuaţii liniare de forma:

N,...,,i,XN

jjiji 210

10 ==δ+δ ∑

= (1.1)

Prin rezolvarea acestui sistem se determină necunoscutele static nedeterminate Xi, i=1,2,…, N, care permit în continuare determinarea celorlalte necunoscute ale problemei: eforturi secţionale, tensiuni, deformaţii specifice, deplasările şi rotirile diferitelor secţiuni ale barelor structurii static nedeterminate sub acţiunii sarcinilor exterioare.

2. Metoda deplasărilor este o metodă relativ nouă de rezolvare a sistemelor satic nedeterminate, care a stat la baza apariţiei metodei elementelor finite. Această metodă utilizează calculul matriceal pentru rezolvarea unui sistem de ecuaţii având ca necunoscute deplasările (rotirile) nodurilor elementelor structurii (articulaţii, zone de rigidizare, capetele unor tronsoane, punctele de aplicaţie ale forţelor sau cuplurilor exterioare, etc). Metoda constă în exprimarea forţelor nodale corespunzătoare fiecărui element în funcţie de deplasările nodale corespunzătoare şi scrierea ecuaţiilor de echilibru ale forţelor nodale care acţionează asupra fiecărui

Metoda deplasărilor în studiul sistemelor static nedeterminate

19 nod. Prin “asamblarea” ecuaţiilor de echilibru scrise în dimensiunea globală a deplasărilor se obţine ecuaţia matriceală globală de echilibru a structurii. Matricea globală corespunzătoare este singulară. Pentru ridicarea singularităţii acesteia se introduc condiţiile la limită globale (deplasări nule sau impuse) eliminându-se din matricea globală liniile corespunzătoare reacţiunilor necunoscute şi respectiv coloanele corespunzătoare deplasărilor nule sau impuse. Practic, pentru fiecare element al structurii (subdomeniu elementar) se obţine o relaţie matriceală între forţele şi deplasările nodale corespunzătoare, având forma:

[ ] eee FK =δ (1.2) în care: [ ]eK este matricea de rigiditate a elementului e;

eδ - matricea coloană (vectorul) a deplasărilor nodale; eF - matricea coloană a forţelor nodale.

Se exprimă ecuaţiile matriceale (1.2) în dimensiunea globală a structurii şi se asamblează (însumează membru cu membru) obţinându-se pentru întreaga structură, o ecuaţie matriceală globală de forma:

[ ] PK =δ (1.3) în care: [ ]K este matricea globală de rigiditate a structurii ;

δ - matricea coloană globală a deplasărilor nodale a structurii; P - matricea coloană a încărcărilor (sarcinilor direct aplicate).

Matricea globală de rigiditate a structurii [K] este o matrice pătratică singulară n × n (n este numărul deplasărilor nodurilor structurii sau coordonatele generalizate). Eliminând liniile corespunzătoare reacţiunilor necunoscute, respectiv coloanele corespunzătoare blocajelor sau deplasărilor impuse nodurilor, se obţine o matrice pătratică nesingulară N × N (N este numărul deplasărilor necunoscute ale nodurilor structurii) .

1.1. Sisteme static nedeterminate de tip bară cu secţiune variabilă solicitate la întindere-compresiune

Enunţ: Se consideră o bară dreaptă articulată la ambele capete formată din patru tronsoane având secţiunile: 4A; 3A; 2A; A şi lungimile: a; 1,5a ; 2a respectiv 2,25a , solicitată de un sistem format din trei forţe axiale: P, 2P, 3P, ca în figura 1.1. Se cere să se determine reacţiunile din nodurile 0 şi 4 precum şi deplasările nodurilor 1, 2 şi 3.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice

20

Pentru rezolvarea acestei probleme simplu static nedeterminate se prezintă în continuare atât metoda eforturilor cât şi metoda deplasărilor.

Metoda eforturilor – algoritm de calcul. Fiind un sistem simplu static

nedeterminat, se suprimă legătura din nodul 4 şi se înlocuieşte cu necunoscuta static nedeterminată H4=X, obţinându-se sistemul de bază din figura 1.2.a.

Ecuaţia de echilibru a forţelor axiale în sistemul de bază se scrie:

XPHXPPPHFX −−=⇒=++++⇔=∑ 60230 00 . (1.4)

A doua ecuaţie se obţine din condiţia anulării deplasării nodului 4 în sistemul de bază:

04

14 == ∑∫

=iL

i

ii EA

dxNu . (1.5)

Întrucât eforturile axiale N şi rigidităţile EA sunt constante pentru fiecare tronson al barei, ecuaţia (1.5) se mai scrie:

04

1=∑

=i i

ii

EALN

, (1.6)

unde valorile Ni, Li, Ai pentru fiecare tronson sunt constante (tabelul 1.1) Diagrama de eforturi axiale (funcţie de X) este dată în figura 1.2.b.

Introducând valorile din tabelul 1.1. în ecuaţia (1.6) se obţine necunoscuta static nedeterminată:

H4 =X = - P. (1.7)

3P 2P P A 3A 4A 0

2,25a 2a 1,5a a

Fig.1.1

2A 1 2 3 4

H0 H4


21

Tabelul 1.1 Tronsonul i între nodurile:

0 -1 1 - 2 2 - 3 3 - 4

Ni X+6P X+3P X+P X Li a 1,5a 2a 2,25a Ai 4A 3A 2A A

Din ecuaţia (1.4) rezultă reacţiunea din nodul 0:

H0 = -5P. (1.8)

Deplasările nodurilor 1, 2 respectiv 3 se determină astfel:

EAPa,

AEa,)PX(u

EALNuu

EAPa,

AEa,)PX(u

EALNuu

EAPa,

AEa)PX(

EALNu

252252

2523

513

25146

23

3323

12

2212

1

111

=⋅

++=+=

=⋅

++=+=

=⋅

+==

(1.9)

3P 2P P A 340

2,25a 2a 1,5a a

a.

21 2 3 4

H0 H4=X

x

0

Fig.1.2

41 2 3

X+3X+6P

X+P

X

N

x

b.


22 Metoda deplasărilor – algoritm de calcul. Se consideră un element de

bară de secţiune constantă Ae, de lungime Le, delimitat de nodurile i şi j (fig. 1.3) pentru care se notează:

!" cu ui şi uj deplasările nodurilor i şi j; !"cu Fe

xi şi Fexj forţele nodale elementale din nodurile i şi j.

Se observă că forţa nodală corespunzătoare nodului j , Fexj coincide cu

efortul secţional axial Nj , iar forţa nodală corespunzătoare nodului i , Fexi

este egală cu efortul secţional axial Ni , cu semn schimbat (fig.1.1.3):

Fexj = Nj ; Fe

xi =- Ni . (1.10)

Se exprimă deformaţia elementului e (∆Lij) şi forţele nodale (Fexj şi

Fexi) în funcţie de deplasările nodale ui şi uj astfel:

( )

( ) ( )jie

e

jexjjie

e

iexi

jie

e

jie

ej

e

ei

ijji

uuL

EANF;uuL

EANF

uuL

EANNEA

LN

EALN

uuL

−−==−=−=⇒

−−==⇒==−=∆ − (1.11)

Relaţia dintre forţele nodale şi deplasări (1.1.5) se mai scrie sub forma matriceală astfel:

−

−=

j

ie

e

exj

exi

uu

LEA

FF

1111

(1.11’)

Se consideră fiecare dintre cele patru tronsoane ale barei ca fiind

elemente de acest tip pentru care se scriu relaţiile forţelor nodale în funcţie de deplasări, obţinându-se expresiile din tabelul 1.2. Se scriu apoi ecuaţiile de echilibru dintre forţele nodale corespunzătoare fiecărui element şi sarcinile exterioare pentru fiecare nod. La scrierea acestor ecuaţii se ţine seama că forţele nodale care acţionează asupra elementelor şi cele care acţionează asupra nodurilor au sensuri opuse conform principiului al treilea al mecanicii (compară figura 1.3 cu 1.5):

j i

ui uj

Fxj Fxi Ae

Le

Fig. 1.3

j i Ae

Le

Fig. 1.4

Ni Nj


23

Tabelul 1.2 Nodurile

elementului

Element i j

Le

Ae

Fe

xi

Fe

xj

1 0 1 a 4A 4EA(u0-u1)/a -4EA(u0-u1)/a 2 1 2 1,5a 3A 2EA(u1-u2)/a -2EA(u1-u2)/a 3 2 3 2a 2A EA(u2-u3)/a -EA(u2-u3)/a 4 3 4 2,25a A 4EA(u3-u4)/9a -4EA(u3-u4)/9a

Ecuaţiile de echilibru al forţelor nodale, pentru fiecare nod, se scriu

astfel:

!"nodul 0: ( ) 01001 40 Huu

aEAHFxo −=−−⇔=+− (1.12)

!"nodul 1: ( ) ( ) PuuaEAuu

aEAPFF xx 32403 1210

21

11 −=−−−⇔=+−− (1.13)

!"nodul 2:

( ) ( ) Puua

EAuuaEAPFF xx 2202 3221

32

22 −=−−−⇔=+−− (1.14)

!"nodul 3:

( ) ( ) Puua

EAuua

EAPFF xx −=−−−⇔=+−− 433243

33 9

40 (1.15)

!"nodul 4:

( ) 443444 9

40 Huua

EAHFx −=−⇔=+− (1.16)

Rezultă un sistem de cinci ecuaţii cu cinci necunoscute: H0, H4, u1, u2, u3 , care se mai scrie matriceal sub forma:

H0

Nodul 0

F1x0 3P

Nodul 1

F1x1 F2x1 2P

Nodul 2

F2x2 F3

x2

P

Nodul 3

F3x3 F4

x3 H

Nodul 4

F4x4

Fig. 1.5


24

−−−−−

=

⋅

−−

−−

−

4

0

4

3

2

1

0

23

949400094913100

013200026400044

HPPP

H

uuuuu

////

aEA (1.17)

Dacă în ecuaţiile (1.12) - (1.16) se introduc condiţiile la limită:

u0= u4 =0 (1.18)

şi se elimină din ecuaţia matriceală (1.17) liniile 1 şi 5 corespunzătoare reacţiunilor necunoscute (H0 şi H4) respectiv coloanele 1 şi 5 corespunzătoare deplasărilor nule (u0= u4 =0), rezultă următoarea ecuaţie matriceală:

−−−

=

⋅

−−

−

PPP

uuu

/a

EA 23

91310132026

3

2

1

(1.19)

sau sub forma generală:

[ ] PK =δ (1.19’)

în care [K] este matricea de rigiditate a sistemului:

[ ]

−−

−=

91310132026

/a

EAK

Înmulţind ecuaţia (1.1.19’) cu matricea inversă [K]-1 se obţine vectorul deplasărilor necunoscute: [ ] PK 1−=δ .

În urma efectuării calculelor se obţine matricea inversă:

[ ]

−=−

146263269262926310

12891 //

//

EAaK (1.20)

Vectorul deplasărilor necunoscute conform (1.1.16) este:


25

=

−−−

⋅

−=

252252251

23

146263269262926310

1289

3

2

1

,,,

EAPa

PPP

////

EAa

uuu

. (1.21)

Din ecuaţiile (1.12) şi (1.16) rezultă reacţiunile din nodurile 0 şi 4:

( ) ( ) Puua

EAH;PuuaEAH −=−=−=−−= 344010 9

454 (1.22)

Rezultatele obţinute prin cele două metode sunt identice, dar algoritmizarea metodei deplasărilor permite crearea unor programe de calcul cu care se poate rezolva orice problemă de acest tip.

Aplicaţii propuse

Să se rezolve prin metoda eforturilor şi metoda deplasărilor problemele simplu static nedeterminate (reacţiunile din nodurile 0 şi 4 şi deplasările nodurilor 1, 2 şi 3) din figurile 1.6 şi 1.7:

Aplicaţia 1 Rezultate:

N0-1 =- 0,2857 P; N1-2 =- 2,2857 P; N2-3 = 0,7143 P; N3-4 = 1,7143 P

EAPa,u;

EAPa,u;

EAPa,u 4284328565657140 321 −=−=−=

Aplicaţia 2

2P 3P P 32A

0

6a 4a 5a 2a

Fig.1.6

A 1 2 3 4

P 4P 2P 2A

A2A 1

5a 4a 2a 3a

Fig.1.7

3A 2 3 4 5


26 Rezultate:

N1-2 =1,9773 P; N2-3 =2,9773 P; N3-4 =- 1,0227 P; N4-5 = -3,0227 P

EAPa,u;

EAPa,u;

EAPa,u 556579202896582 332 ===

1.2. Sisteme static nedeterminate plane din bare articulate în noduri, solicitate axial

Enunţ: Se consideră un element de bară articulat la capete şi supus la eforturi de întindere - compresiune, având secţiunea constantă Ae, lungimea Le şi nodurile i şi j la capete (fig. 1.8). Aşa cum s-a arătat la paragraful 1.a, se exprimă forţele nodale corespunzătoare fiecărui element în sistemul de coordonate local xyO1 (unde xO1 coincide cu axa barei), în funcţie de deplasările nodale ui şi uj astfel:

−

−=

j

ie

e

exj

exi

uu

LEA

FF

1111

(1.23)

Dacă se notează cu jjii v,u,v,u deplasările în sistemul local ale

nodurilor i şi j după două direcţii perpendiculare (după xO1 respectiv yO1 , figura 1.8), atunci relaţia (1.23) între forţele nodale corespunzătoare fiecărui element e

yje

xje

yie

xi F,F,F,F şi deplasările nodale corespunzătoare

jjii v,u,v,u se scrie sub formă matriceală astfel:

⋅

−

−

=

j

j

i

i

e

e

eyj

exj

eyi

exi

vuvu

LEA

FFFF

0000010100000101

(1.24)

În relaţia (1.24) forţele nodale corespunzătoare fiecărui element perpendiculare pe axa barei e

yje

yi F,F sunt nule. Relaţia (1.24) se mai scrie :

[ ] eee KF δ⋅= (1.24')


27

Deplasările jjii v,u,v,u din sistemul local xyO1 se pot exprima în

funcţie de deplasările ui, vi, uj, vj din sistemul global Oxy şi de unghiul α dintre axa xO a sistemului local şi axa Ox a sistemului global astfel:

α+α−=α+α−=

α+α=α+α=

cosvsinuv;cosvsinuvsinvcosuu;sinvcosuu

jjjiii

jjjiii (1.25)

Notând msin,cos =α=α ! , relaţiile (1.25) se scriu matriceal:

⋅

−

−=

j

j

i

i

j

j

i

i

vuvu

mm

mm

vuvu

!

!

!

!

0000

0000

(1.26)

sau sub formă generală:

[ ] ee T δ⋅=δ , (1.26')

unde [T] este matricea de transfer din sistemul local xyO1 în sistemul de axe global Oxy.

x

y ju

iv

jv

exiF

exjF

iu

Fig.1.8

y

x

α

ui

vi

uj

vj

O

O1 i

j

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 28

Deoarece [ ] [ ] [ ]ITT t =⋅ rezultă că transpusa matricei de transfer este

egală cu inversa ei. Forţele nodale corespunzătoare fiecărui element din sistemul local xyO1 se pot exprima în mod analog (cum s-au exprimat deplasările) în funcţie de forţele nodale corespunzătoare fiecărui element din sistemul global Oxy (fig. 1.9), astfel:

⋅

−

−=

exi

exi

exi

exi

eyj

exj

eyi

exi

FFFF

mm

mm

FFFF

!

!

!

!

0000

0000

(1.27)

sau sub formă generală: [ ] ee FTF ⋅= . (1.27’) Înlocuind aceste rezultate în (1.24') se obţine relaţia matriceală:

[ ] [ ] [ ] eee TKFT δ⋅⋅=⋅ . (1.28)

Înmulţind la stânga relaţia (1.28) cu matricea [ ] [ ] tTT =−1 se obţine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] eee TKTFTT δ⋅⋅=⋅⋅ −− 11 . (1.29)

Se notează cu [ ] [ ] [ ] [ ]TKTK ee ⋅= −1 matricea de rigiditate a elementului în coordonate globale. Înlocuind se obţine:

[ ]

−

−⋅

−

−

⋅

−

−

=

!

!

!

!

!

!

!

!

mm

mm

mm

mm

LEAK e

ee

0000

0000

0000010100000101

0000

0000

(1.30)

x

ye

yiF

exjF

Fig.1.9

y

x

α e

xiF

exiF

eyjF

exjF

O

O1

j

i

0== eyj

eyi FF


29 Efectuând înmulţirile din expresia (1.30) se obţine expresia generală

a matricei de rigiditate în coordonate globale pentru acest tip de element:

[ ]

−−−−

−−−−

=

22

22

22

22

mmmmmmmmmmmm

LEAK e

ee

!!

!!!!

!!

!!!!

(1.31)

Studiind expresia matricei de rigiditate în coordonate globale (1.31) se observă următoarele proprietăţi: !"elementele de pe diagonala principală sunt pozitive; !"suma elementelor situate pe linii şi pe coloane este nulă; !"matricea este simetrică în raport cu diagonala principală.

S-a obţinut astfel o relaţie între forţele şi deplasările nodale corespunzătoare fiecărui element pentru elementul de tip bară solicitat axial, în coordonate globale (care se regăseşte în metoda elementelor finite) de forma:

[ ] eee KF δ⋅= (1.32)

Aplicaţie

Enunţ: Se consideră un sistem static nedeterminat format din şapte bare rigide articulate în noduri (o grindă cu zăbrele), barele având secţiune constantă şi mult mai mică în raport cu lungimea lor. În nodul 5 acţionează forţele P şi 2P ca în figura 1.10. Să se determine reacţiunile din articulaţiile 1, 2 şi din reazemul 3, precum şi deplasările pe cele două direcţii (orizontală şi verticală) ale nodurilor 3,4 şi 5.

Pentru rezolvarea acestei probleme de două ori static nedeterminată se utilizează atât metoda eforturilor cât şi metoda deplasărilor.

a

Fig.1.10

1

2 3

4 5

2P

P a a

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 30 Metoda eforturilor – algoritm de calcul. Structura mecanică din

figura 1.10 este un sistem de două ori static nedeterminat exterior. Folosind metoda eforturilor se alege ca sistem de bază sistemul obţinut prin suprimarea legăturii din nodul 2 (articulaţie) unde se introduc necunoscutele static nedeterminate X1 şi X2 (fig. 1.11).

Ecuaţiile de echilibru al forţelor aplicate şi de legătură se scriu pentru sistemul de bază astfel:

;PaVaaXM

;XPVVF;XPHF

z

y

x

040

020

00

311

231

11

=−+⇔=

=+−+⇔=

=++⇔=

∑∑∑

(1.33)

Acesta este un sistem de trei ecuaţii cu cinci necunoscute. Celelalte două ecuaţii se obţin din condiţiile deplasării nodului 2 după cele două direcţii (ale necunoscutelor X1 şi X2 ), pentru sistemul de bază: aceste deplasări trebuie să fie identice cu cele din sistemul real, adică:

00

222121202

212111101

=δ+δ+δ=δ=δ+δ+δ=δ

XX;XX (1.34)

unde: !"δ10, δ20 reprezintă deplasarea nodului 2 în sistemul de bază pe

direcţia lui X1 respectiv deplasarea pe direcţia lui X2 sub acţiunea forţelor exterioare P şi 2P;

!"δ11 - deplasarea nodului 2 pe direcţia lui X1 sub acţiunea unei forţe X1=1, în sistemul de bază;

!"δ12 - deplasarea nodului 2 pe direcţia lui X1 sub acţiunea unei forţe X2=1, în sistemul de bază;

X2

a

Fig.1.11

1

2 3

4 5

2P

P a a

X1

V3

V1

H1

x

y


31 !"δ21 - deplasarea nodului 2 pe direcţia lui X2 sub acţiunea unei forţe

X1= 1, în sistemul de bază (conform teoremei lui Maxwell: δ12 =δ21); !"δ22 - deplasarea nodului 2 pe direcţia lui X2 sub acţiunea unei forţe

X2=1, în sistemul de bază. Aceste deplasări se determină prin metoda Mohr-Maxwell:

∑∑==

==δ=δ7

1

7

1

00 21

p p

ijpipij

p p

pippi ,j,i;

EALnn

;EA

LnN (1.34')

unde: - N0p sunt eforturile din barele sistemului de bază sub acţiunea forţelor

exterioare P şi 2P (fig. 1.12), p=1,2,…,7; - n1p , n2p - eforturile din barele sistemului de bază sub acţiunea unei

forţe X1=1 (fig. 1.13), respectiv a unei forţe X2=1 (fig. 1.14), p=1,2,…,7. Utilizând metoda izolării nodurilor se determină aceste eforturi

obţinându-se valorile corespunzătoare din figurile 1.12, 1.13 şi 1.14.

-2P

Fig.1.12

1

2 3

4 5

2P

P P 3P

4P

2P -P

-2P 2 2 P -2 2 P

-2P

1

Fig.1.13

1

2 3

4 5 1 0

-1

1 -1

1 - 2 0

X1=1

0

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 32 Se calculează deplasările δ10, δ20, δ11, δ21=δ12 şi δ22 şi rezultă:

( )

( )

EAaLnn

EA

EAaLnn

EA

EAaLnn

EA

EAPaLnN

EA

EAPaLnN

EA

pppp

pppp

pppp

pppp

pppp

==δ

−==δ=δ

+==δ

==δ

−−==δ

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

7

12222

7

1212112

7

11111

7

12020

7

11010

1

1

2231

21

2431

(1.35)

Se introduc aceste valori în ecuaţiile (1.34). Rezolvând acest sistem obţinem următoarele valori pentru necunoscutele X1 şi X2:

P,PX;P,PX 621320222

3378681222241

21 −=+

−==++= (1.36)

Din ecuaţiile (1.33) rezultă celelalte necunoscute ale problemei (fig. 1.15):

P,VXPVVVXPV

;P,HXPH

6213224002

378682

313

1321

111

=⇒−==⇒=−−=

−=⇒−−= (1.37)

Utilizând metoda izolării nodurilor se determină eforturile din barele sistemului real obţinându-se valorile corespunzătoare din figura 1.15.

0

Fig.1.14

1

2 3

4 0 0 -1

-1 0 0

X2=1

0

5


33

Pentru a calcula deplasările nodurilor 3, 4, 5 se utilizează metoda Mohr Maxwell:

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑

====

====

==

ppVpp

p p

pVpp

ppVpp

p p

pVpp

ppHpp

p p

pHpp

ppHpp

p p

pHpp

ppHpp

p p

pHpp

LnNEAEA

LnNvLnN

EAEALnN

v

LnNEAEA

LnNu;LnN

EAEALnN

u

LnNEAEA

LnNu

55

544

4

55

544

4

33

3

11

11

1

(1.38) unde:

!"Np sunt eforturile din barele sistemului real dat sub acţiunea forţelor exterioare date şi de legătură, calculate mai sus şi ale căror valori sunt date în figura 1.15;

!"n3Hp sunt eforturile din barele sistemului de bază, sub acţiunea unei forţe X=1 aplicată în nodul 3 pe direcţia deplasării pe orizontală a acestuia (u3) (fig. 1.16);


Fig.1.15

1

2 3

4 5

2

P V1

3P

H1=-2,37868P

0 0,87868P

-2P

H2

V2

-0,62132P

2,37868P

-2,82843P

V3

H2=1,37868P

V2=-0,62132P V1=0

H1

V3=2,62132P

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 34 !"n4Vp sunt eforturile din barele sistemului de bază, sub acţiunea unei

forţe X=1 aplicată în nodul 4 pe direcţia deplasării pe verticală a acestuia (v4) (fig. 1.18);


!"n5Vp sunt eforturile din barele sistemului de bază, sub acţiunea unei forţe X=1 aplicată în nodul 5 pe direcţia deplasării pe verticală a acestuia (v5) (fig. 1.20).

1 Fig.1.16

1

2 3

4 5 1 0

-1

1 -1

1 - 2 0

X=1 0

0 Fig.1.17

1

2 3

4

5 1 0 -1

0 0 0

X=1

0

1 Fig.1.18

1

2 3

4

5 0 0

+1

0 0 0

X=1

0


35

Înlocuind valorile eforturilor corespunzătoare din figurile 1.15, 1.16, 1.17, 1.18, 1.19 şi respectiv 1.20 rezultă deplasările nodurilor 3, 4 şi 5:

.EAPa,LnN

EAv

;EAPa,LnN

EAv

;EAPa,LnN

EAu

;EAPa,LnN

EAu

;EAPaLnN

EAu

ppVpp

ppVpp

ppHpp

ppHpp

ppHpp

03554131

6213201

3786851

3786821

21

7

155

7

144

7

155

7

144

7

133

−==

−==

−==

==

−==

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

(1.39)

Metoda deplasărilor - algoritm de calcul. Pentru aplicaţia dată, valorile elementelor matricei de transfer sunt date în tabelul 1.3, pentru fiecare element definit între nodul i şi j, ca în figura 1.21.

0 Fig.1.19

1

2 3

4 5

1 1 -1

10

X=1

0

1 Fig.1.20

1

2 3

4

5

0 -1

-2

1

0 -

X=1

1

2


Tabelul 1.3

Nodurile i- j Coordonatele nodurilor în Oxy

Element

i j xi yi xj yj )(cosα

! )(sin

mα

Le

e1 1 2 0 a 0 0 0 -1 a e2 1 4 0 a a a 1 0 a e3 2 4 0 0 a a 22 / 22 / a2 e4 2 3 0 0 a 0 1 0 a e5 3 4 a 0 a a 0 1 a e6 3 5 a 0 2a a 22 / 22 / a2 e7 4 5 a a 2a a 1 0 a

Ţinând seama de expresia generală a matricei de rigiditate (1.31),

relaţiile dintre forţele şi deplasările nodale se scriu pentru fiecare element astfel:

!"elementul e1:

⋅

−

−=

2

2

1

1

12

12

11

11

101000001010

0000

vuvu

aEA

FFFF

ey

ex

ey

ex

(1.40)

!"elementul e2:

⋅

−

−

=

4

4

1

1

24

24

21

21

0000010100000101

vuvu

aEA

FFFF

ey

ex

ey

ex

(1.41)

y

e1

Fig.1.21

1

2 3

4 5

2P

P

x

e2

e3

e4

e5 e6

e7

O


37

!"elementul e3:

⋅

−−−−

−−−−

=

4

4

2

2

34

34

32

32

1111111111111111

22vuvu

aEA

FFFF

ey

ex

ey

ex

(1.42)

!"elementul e4:

⋅

−

−

=

3

3

2

2

43

43

42

42

0000010100000101

vuvu

aEA

FFFF

ey

ex

ey

ex

(1.43)

!"elementul e5:

⋅

−

−=

4

4

3

3

54

54

53

53

101000001010

0000

vuvu

aEA

FFFF

ey

ex

ey

ex

(1.44)

!"elementul e6:

⋅

−−−−

−−−−

=

5

5

3

3

65

65

63

63

1111111111111111

22vuvu

aEA

FFFF

ey

ex

ey

ex

(1.45)

!"elementul e7:

⋅

−

−

=

5

5

4

4

75

75

74

74

0000010100000101

vuvu

aEA

FFFF

ey

ex

ey

ex

(1.46)

Ecuaţiile de echilibru al forţelor nodale elementale şi a forţelor

exterioare pentru fiecare nod se scriu astfel (fig.1.22):

!"nodul 1: 1

21

11

121

11

VFFHFF

ey

ey

ex

ex

=+=+

(1.47)


!"nodul 2: 2

42

32

12

24

23

212

VFFFHFFF

ey

ey

ey

ex

ex

ex

=++=++

(1.48)

!"nodul 3: 3

63

53

43

63

53

43 0

VFFF

FFFey

ey

ey

ex

ex

ex

=++

=++ (1.49)

!"nodul 4: 0

074

54

34

24

74

54

34

24

=+++

=+++ex

ex

ey

ey

ex

ex

ex

ex

FFFF

FFFF (1.50)

!"nodul 5: PFF

PFFey

ey

ex

ex

275

65

75

65

−=+

=+ (1.51)

Ecuaţiile de echilibru global se obţin exprimând relaţiile matriceale (1.40, …, 1.46) sub forma dimensiunilor globale (în coordonate globale), cu matricele coloană globale ale forţelor şi deplasărilor nodale:

tey

ex

ey

ex

ey

ex

ey

ex

ey

exG

e FFFFFFFFFFF 5544332211= (1.52)

tG

e vuvuvuvuvu 5544332211=δ (1.53) Obţinem relaţii matriceale în coordonate globale pentru fiecare element:

V1

Nodul 1

11e

yF x

y

11e

xF 21e

xF

21e

yF

H1

V2

Nodul 2

12

eyF x

y

12e

xF 3

2e

xF

32

eyF

H2

42

eyF

42e

xF V3

Nodul 3

63

eyF x

y

63e

xF 4

3e

xF

43

eyF

53

eyF

53e

xF

Fig. 1.22

Nodul 4

24

eyF x

y

24e

xF 3

4e

xF

34

eyF

54

eyF

54e

xF

74

eyF

74e

xF 6

5e

xF 7

5e

xF

y

x

Nodul 5

75

eyF

65

eyF

P 2P


39

!"elementul 1:

⋅

−

−

=

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

12

12

11

11

101000001010

0000

000000

vuvuvuvuvu

..........

..........

..........

..........

..........

..........

......

......

......

......

aEA

FFFF

ey

ex

ey

ex

(1.54)

!"elementul 2:

⋅

−

−

=

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

24

24

21

21

00000101

00000101

00

0000

vuvuvuvuvu

..........

..........

......

......

..........

..........

..........

..........

......

......

aEA

FF

FF

ey

ex

ey

ex

(1.55)

!"elementul 3:

⋅

−−−−

−−−−

=

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

34

34

32

32

11111111

11111111

22

00

00

00

vuvuvuvuvu

..........

..........

......

......

..........

..........

......

......

..........

..........

aEA

FF

FF

ey

ex

ey

ex

(1.56)


!"elementul 4:

⋅

−

−

=

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

43

43

42

42

0000010100000101

0000

00

vuvuvuvuvu

..........

..........

..........

..........

......

......

......

......

..........

..........

aEA

FFFF

ey

ex

ey

ex

(1.57)

!"elementul 5:

⋅

−

−=

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

54

54

53

53

101000001010

0000

00

0000

vuvuvuvuvu

..........

..........

......

......

......

......

..........

..........

..........

..........

aEA

FFFF

ey

ex

ey

ex (1.58)

!"elementul 6:

⋅

−−−−

−−−−

=

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

65

65

63

63

11111111

11111111

22

00

0000

vuvuvuvuvu

......

..........................

......

..............................................

aEA

FF

FF

ex

ex

ey

ex

(1.59)


41

!"elementul 7:

⋅

−

−

=

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

75

75

74

74

0000010100000101

000000

vuvuvuvuvu

......

......

......

..................................................................

aEA

FFFF

ex

ex

ey

ex

(1.60)

Prin însumarea relaţiilor matriceale (1.54), …, (1.60) membru cu membru se obţine în stânga o matrice coloană ale cărei elemente sunt sumele forţelor nodale, aşa cum rezultă din ecuaţiile de echilibru globale (1.47),…,(1.51):

PFsau

PP

V

VHVH

FFFF

FFFFFFFF

FFFFFFFFFFFF

FFFF

i

ei

ey

ey

ex

ex

ey

ey

ey

ey

ex

ex

ex

ex

ey

ey

ey

ex

ex

ex

ey

ey

ey

ex

ex

ex

ey

ey

ex

ex

=

−

=

++

++++++

++++++++

++

∑=

7

13

2

2

1

1

75

65

75

65

74

54

34

24

74

54

34

24

53

43

33

53

43

33

42

32

12

42

32

12

21

11

21

11

2

00

0 (1.61)

iar în dreapta următoarea expresie matriceală:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]( ) GGe

Ge

Ge

Ge

Ge

Ge

Ge

i

ei

KKKKKKK

F

δ⋅++++++=

=∑=

7654321

7

1 .

Concentrat, relaţia obţinută se scrie:

[ ] PK GG =δ⋅ (1.62)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 42 unde: [ ]GK este matricea globală de rigiditate a structurii:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]GeG

eG

eG

eG

eG

eG

eG KKKKKKKK 7654321 ++++++= .

∑=

=7

1i

eiFP matricea coloană a încărcărilor.

După efectuarea calculelor, pentru sistemul de bare articulate dat se obţine următoarea ecuaţie globală:

−

=

⋅

−−

+−−−

−−−

−+−−−

−−−+

−−+−

−−+−

−−−+−

−

PP

V

VHVH

vuvuvuvuvu

.....

.....

..

..

..

..

....

....

aEA

2

00

0

221

2210

221

221

221

22111

221

221

00022110

221

22100

010221200

221

22101

221

22110

2211

22100

221

22100

221

221101

221

22100

2211

22110

221

22101

221

221100

001010010001

3

2

2

1

1

5

5

4

4

3

3

2

2

1

1

(1.63)

Examinând matricea globală de rigiditate a structurii (1.63) se observă că : !"termenii de pe diagonala principală sunt pozitivi; !"suma termenilor matricei pe linii sau pe coloane este zero, deci matricea

este singulară (det [K]G =0), datorită faptului că sistemul de ecuaţii nu conţine datele privind condiţiile la limită (blocajele: u1=v1=u2=v2=v3=0);

!"necunoscutele introduse de legături (H1, V1, H2, V2, V3) corespund tocmai blocajelor nodurilor. Deci, pentru orice nod al structurii, fie sunt cunoscute condiţiile de deplasări fie sunt cunoscute condiţiile de încărcare.

Dacă se elimină din ecuaţia matriceală (1.63) coloanele 1, 2, 3, 4 şi 6

corespunzătoare blocajelor nodurilor 1, 2 şi 3 (u1=v1= u2=v2=v3=0) precum


43 şi liniile 1, 2, 3, 4 şi 6 corespunzătoare reacţiunilor necunoscute din nodurile 1, 2 şi 3 (H1, V1, H2, V2, V3) se obţine următoarea ecuaţie matriceală:

−

=

⋅

−

+−−

+

−+

−−+

21000

221

22100

221

221

221101

221

002211

2210

01221

22120

221

22100

2211

5

5

4

4

3

EAPa

vuvuu

(1.64)

Rezolvând acest sistem rezultă valorile deplasărilor necunoscute:

;EAPa,

EAPav;

EAPa,

EAPau

;EAPa,

EAPav;

EAPa,

EAPau

;EAPau

035541322422948378685

2242924

621320224

233786822242312

2

55

44

3

−=++−=−=

++=

−=+

−==++=

−=

(1.65) Ecuaţiile corespunzătoare liniilor 1, 2, 3, 4 şi 6 furnizează valorile

reacţiunilor necunoscute (H1, V1, H2, V2, V3):

;P,a

EAvuvuV

;P,a

EAvuV;P,a

EAvuuH

;V;P,a

EAuH

6213222222

37868122

37868122

0378682

554

33

442

4432

141

=

+

−−=

=

+−==

+−−=

=−=−=

(1.66) Observaţie Metoda deplasărilor prezentată mai sus permite o algoritmizare

simplă.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 44 Rezolvarea sistemelor plane de bare articulate se poate face cu

ajutorul programului numit ARTICULAT şi prezentat în Anexa A1, care a fost creat pe baza algoritmului prezentat mai sus.

Aplicaţii propuse

Să se rezolve prin metoda eforturilor şi metoda deplasărilor

următoarele probleme static nedeterminate de grinzi cu zăbrele . Aplicaţia 1 Rezultate :

;EAPa,v;

EAPav;

EAPa,u

;EAPa,u;uvuv

0096704570

25500

422

14331

−=−==

−===== (1.67)

;P,a

EAvvuV

;P,a

EAvV;P,a

EAuH

;P,a

EAv)uu(V

015089

81

83

00967039577023

382508

3383

4224

4323

2211

=

+−−=

=−===

=

−−=

(1.68)

Fig.1.23

a

1

3

4

2

P

2 3 a/3 2 3 a/3

3 a

2a

V3

H3

H4

V1


45 Aplicaţia 2

1.3. Sisteme static nedeterminate plane din bare cu noduri rigide, solicitate cu sarcini cuprinse în planul lor

Se consideră un cadru plan format din bare drepte de secţiune

constantă, solicitat de un sistem plan de sarcini (forţe şi cupluri) cuprinse în planul lor şi un element de bară din acest cadru delimitat de nodurile i şi j, de lungime Le, rigidităţi la întindere EAe şi la încovoiere EIe, constante (fig. 1.25). Dacă se notează cu zjjjziii ,v,u,,v,u ϕϕ deplasările liniare şi unghiulare ale nodurilor i şi j, după cele trei direcţii ale sistemului local de axe ( xO1 s-a ales astfel încât să coincidă cu axa barei), se pot exprima sub

formă matriceală sarcinile nodale ezj

eyj

exj

ezi

eyi

exi M,F,F,M,F,F în funcţie de

deplasările nodale corespunzătoare zjjjziii ,v,u,,v,u ϕϕ astfel:

ϕ

ϕ⋅

=

zj

j

j

zi

i

i

ezj

eyj

exj

ezi

eyi

exi

vu

vu

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

M

F

FMFF

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

(1.69)

Fig.1.24

a

1

3

4

2 4P

2 3 a/3

2 3 a/3

3 a

2a

V3

H3

2P

V1

H1

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 46 sau: [ ] eee KF δ⋅= (1.70)

Deplasările din sistemul de axe local: zjjjziii ,v,u,,v,u ϕϕ , se

pot exprima în funcţie de deplasările din sistemul global: zjjjziii ,v,u,,v,u ϕϕ şi de unghiul α dintre axa xO a sistemului local şi

axa Ox a celui global (fig.1.26) astfel:

zjzjzizi

jjjiii

jjjiii

;

cosvsinuv;cosvsinuvsinvcosuu;sinvcosuu

ϕ=ϕϕ=ϕ

α+α−=α+α−=

α+α=α+α=

(1.71)

Dacă se notează cu: msinsicos =α=α ! , relaţiile (1.71) se mai scriu:

ϕ

ϕ⋅

−

−

=

ϕ

ϕ

zj

j

j

zi

i

i

zj

j

j

zi

i

i

vu

vu

mm

mm

vu

vu

1000000000000000010000000000

!

!

!

!

(1.72)

sau: [ ] ee T δ⋅=δ (1.73) unde cu [T] s-a notat matricea de transfer din sistemul global în sistemul local de axe. Matricea inversă a lui [T] este egală cu transpusa : [ ] [ ] tTT =−1

x

y

eyiF

Fig.1.25

eziM e

xiF

eyjF

exjF

ezjM

iu

iv

ju

jv

O1

x

y

Fig.1.26

y

x

α

iu

ju

jv

iv

iv iu

jujv

zizi ϕ=ϕ

zjzj ϕ=ϕ

OO


47 Sarcinile nodale corespunzătoare fiecărui element din sistemul local

yxO1 se exprimă analog în funcţie de sarcinile nodale corespunzătoare fiecărui element din sistemul global Oxy (fig1.26) astfel:

⋅

−

−

=

ezj

eyj

exj

ezi

eyi

exi

ezj

eyj

exj

ezi

eyi

exi

M

F

FMFF

mm

mm

M

F

FMFF

1000000000000000010000000000

!

!

!

!

(1.74)

sau: [ ] ee FTF ⋅= (1.74')

Elementele ijK ale matricei de rigiditate a elementului “e” în coordonate locale din relaţia (1.69) reprezintă sarcinile nodale corespunzătoare unor deplasări nodale unitare. Pentru determinarea lor se consideră pe rând câte una dintre deplasări egală cu unitatea şi toate celelalte deplasări nule.

1. Deplasarea 1=iu (fig. 1.27)

!"ecuaţiile de echilibru: 0=+ exj

exi FF

!"ecuaţiile de deformaţii:

01 == ji u;u

( )

( )061513121

41

11

====⇒

−=−−==⇒

=−==⇒

KKKKL

EAuuL

EAFK

LEAuu

LEAFK

e

e

jie

ee

xj

e

e

jie

ee

xi

(1.75)

x

y

Fig.1.27

exiF

exjF

1=iu j i

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 48 2. Deplasarea 1=iv (fig. 1.28)

!"ecuaţiile de echilibru: 0

0

=⋅−+

=+

LFMM

FFe

yiezj

ezi

eyj

eyi

!"ecuaţiile de deformaţii: 001 =ϕ=ϕ== zjziji ;v;v

0

126

126

02

062

42

352

262

322

232

2

32

=⇒

−==⇒==⇒

==⇒==⇒

=+−ϕ=ϕ

=+−ϕ+=

K

L/EIFK;L/EIMK

L/EIFK;L/EIMK

/LFLMEIEI

/LF/LMLEIvEIvEI

eyj

ezj

eyi

ezi

eyi

ezizizj

eyi

eziziij

(1.76)

3. Deplasarea unghiulară 1=ϕ zi (fig. 1.29)


0

=−+

=+

LFMM

FFe

yiezj

ezi

eyj

eyi

!"ecuaţiile de deformaţii:

001 =ϕ===ϕ zjjizi ;vv;

0

62

64

02

062

4313

25263

22333

2

32

==⇒

−==⇒==⇒

==⇒==⇒

=+−ϕ=ϕ

=+−ϕ+=

KK

L/EIFK;L/EIMK

L/EIFK;L/EIMK

/LFLMEIEI

/LF/LMLEIvEIvEI

eyj

ezj

eyi

ezi

eyi

ezizizj

eyi

eziziij

(1.77)

x

y

Fig.1.28

eyiF e

yjF

1=iv

ezjM

eziM

i j


49 4. Deplasarea 1=ju (fig. 1.30)

!"ecuaţiile de echilibru:

0=+ exj

exi FF

!"ecuaţiile de deformaţii: 10 == ji u;u ⇒

( )

( )064543424

44

14

====⇒

=−−==⇒

−=−==⇒

KKKKL

EAuuL

EAFK

LEAuu

LEAFK

jie

ee

xj

jie

ee

xi

(1.78)

5. Deplasarea 1=jv (fig. 1.31)


0

=−+

=+

LFMM

FFe

yiezj

ezi

eyj

eyi

!"ecuaţiile de deformaţii: 010 =ϕ=ϕ== zjziji ;v;v ⇒

0

126

126

02

62

4515

355

265

325

235

2

32

==⇒

==⇒−==⇒

−==⇒−==⇒

=+−ϕ=ϕ

=+−ϕ+=

KK

L/EIFK;L/EIMK

L/EIFK;L/EIMK

/LFLMEIEI

EI/LF/LMLEIvEIvEI

eyj

ezj

eyi

ezi

eyi

ezizizj

eyi

eziziij

(1.79)

x

y

Fig.1.29

eyiF e

yjF 1=ϕ zi

ezjM

eziM i j

x

y

Fig.1.30

exiF e

xjF

1=ju

j i

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 50 6. Deplasarea unghiulară 1=ϕzj (fig. 1.32) !"ecuaţiile de echilibru:

0

0

=−+

=+

LFMM

FFe

yiezj

ezi

eyj

eyi

!"ecuaţiile de deformaţii: 001 =ϕ===ϕ zijizj ;vv; ⇒

0

64

62

2

062

4616

356

266

326

236

2

32

==⇒

−==⇒==⇒

==⇒==⇒

=+−ϕ=ϕ

=+−ϕ+=

KK

;L/EIFK;L/EIMK

L/EIFK;L/EIMK

EI/LFLMEIEI

/LF/LMLEIvEIvEI

eyj

ezj

eyi

ezi

eyi

ezizizj

eyi

eziziij

(1.80)

Matricea de rigiditate a elementului “e” va avea forma:

[ ]

−

−−−

−

−

−

−

=

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEA

LEA

K e

460260

61206120

0000

260460

61206120

0000

22

2323

22

2323

(1.81)

x

y

Fig.1.31

eyiF e

yjF

1=jv

ezjM

eziM

j i x

y

Fig.1.32

eyiF e

yjF

1=ϕ zj

ezjM

eziM j i


51 Dacă se notează EAL2/EI = α atunci relaţia (1.81) se scrie sub forma omogenă:

ϕ

ϕ⋅

−−−−

αα−−

α−α

=

zj

j

j

zi

i

i

ezj

eyj

exj

ezi

eyi

exi

L/vL/u

L/vL/u

LEI

L/M

F

FL/M

FF

46026061206120

0000260460612061200000

2 (1.82)

În cazul barelor drepte care nu sunt supuse decât la încovoiere (grinzi continue) din matricea de rigiditate dispar liniile şi coloanele corespunzătoare eforturilor axiale ( e

xje

xi F,F ) şi deplasărilor axiale ( ji u,u ) iar relaţia (1.82) devine:

ϕ

ϕ⋅

−−−−

−−

=

zj

j

zi

i

ezj

exj

ezi

exi

L/v

L/v

LEI

L/MF

L/MF

4626612612

2646612612

2 (1.82’)

Aplicaţie Se consideră grinda continuă încastrată la un capăt, situată pe două reazeme rigide aflate la acelaşi nivel şi încărcată cu un sistem de sarcini (o forţă şi trei cupluri) ca în figura 1.33.a. Să se determine reacţiunile din încastrare şi reazeme, deplasările liniare şi unghiulare în punctele de aplicaţie ale cuplurilor şi forţelor folosind metoda eforturilor şi metoda deplasărilor.

Fig.1.33

L

y

L L

2P

3PL

PL 2PL

4 1 2 3

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 52 Metoda eforturilor – algoritm de calcul. Se alege sistemul de bază prin suprimarea reazemelor 2 şi 3 şi introducerea în locul lor a necunoscutelor static nedeterminate X1 şi X2, ca în figura 1.34.

Necunoscutele static nedeterminate X1 şi X2 se obţin din condiţiile impuse deplasărilor pe verticală ale secţiunilor 2 şi 3 pentru acest sistem, adică:

00

222121202

212111101

=δ+δ+δ=δ=δ+δ+δ=δ

XX;XX (1.83)

unde: !"δ10, δ20 reprezintă deplasarea secţiunii 1 în sistemul de bază, pe

direcţia lui X1, respectiv deplasarea secţiunii 2 pe direcţia lui X2, sub acţiunea forţelor şi cuplurilor exterioare;

!"δ11 deplasarea secţiunii 1 în sistemul de bază, pe direcţia lui X1 sub acţiunea unei forţe X1=1;

!"δ22 deplasarea secţiunii 2 în sistemul de bază, pe direcţia lui X2 sub acţiunea unei forţe X2=1;

!"δ12 =δ21 , reprezintă deplasarea secţiunii 1 pe direcţia lui X1 sub acţiunea unei forţe X2=1, respectiv deplasarea secţiunii 2 pe direcţia lui X2 sub acţiunea unei forţe X1=1, în sistemul de bază.

Aceste deplasări se determină prin metoda Mohr-Maxwell:

∫∫ =δ=δ dxEImm

;dxEI

mM jiij

ii

00 (1.84)

unde: !" M0(x) este efortul încovoietor în sistemul de bază sub acţiunea

sarcinilor exterioare (forţe şi cupluri date) având diagrama de variaţie din figura 1.35.a. obţinută prin suprapunerea efectelor;

!"mi(x) este efortul încovoietor în sistemul de bază sub acţiunea forţei Xi=1, i=1,2 având diagramele de variaţie din figurile 1.35.b şi 1.35.c.

Integralele (1.84) se calculează cu ajutorul metodei Vereşceaghin:

Fig.1.34

L

y

L L

2P

3PL

PL 2PL

4 1 2 3

X X


53

;EIPLL)PL(LLL)PL(

EIdx

EImM

;EIPLL)PL(LLL)PL(

EIdx

EImM

320

20

310

10

325

3442

21221

38

322

21

241

−=

⋅−⋅⋅+⋅⋅−==δ

−=

⋅−⋅⋅+⋅⋅−==δ

∫

∫

EILLLLLLL

EIdx

EImm

;EILLLL

EIdx

EIm

;EILLLL

EIdx

EIm

321

2112

322

22

321

11

65

32

21

21

38

3422

211

31

32

211

=

⋅⋅⋅+⋅⋅==δ=δ

=

⋅⋅⋅==δ

=

⋅⋅⋅==δ

∫

∫

∫

(1.85)

Înlocuind valorile obţinute în relaţia (1.83) se obţine:

;PXX

;PXX

325

38

65

38

65

31

21

21

=+

=+ (1.86)

Rezolvând acest sistem rezultă:

;PVX;PVX720

76

3221 ==== (1.87)

Celelalte reacţiuni (V1 , M1) se determină din ecuaţiile de echilibru (fig.1.35):

747120332220

20

11

3211

321

/PLM;/PVPLLPPL

LVPLLVMM

VVPVF

z

y

=−=⇒=+⋅−−

−⋅+−⋅+−⇒=

−−=⇒=

∑∑

(1.88)

Pentru calculul deplasărilor ϕ2 ,ϕ3 ,ϕ4 ,v4 se utilizează relaţiile de calcul de la metoda funcţiei de încărcare:

)x(EIEI

);x(xEIEIvEIvΦ′+ϕ=ϕ

Φ+ϕ+=

0

00


Ţinând seama că deplasarea şi rotirea în origine sunt nule, se obţin deplasările ϕ2 ,ϕ3 ,ϕ4 ,v4 : (1.89)

;PLLP

LPL)L(P)L(PL)L(P)L(PLEIv

;PLLPLPL)L(PLPL)L(PLPL'EI

;PLLPLPL)L(PLPL'EI

;PLLPLPL'EI

33

23232

44

2222

44

222

33

22

22

4241

6720

262

76

222

63

712

23

74

715

2720

22

7622

23

7123

74

71

2762

22

7122

74

72

2712

74

=⋅+

+⋅+⋅+⋅+⋅−⋅=Φ=

=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−⋅=Φ=ϕ

=⋅+⋅+⋅−⋅=Φ=ϕ

−=⋅−⋅=Φ=ϕ

L

y

L L

2P

3PL

PL 2PL 4 1 2 3

X X

-

+

+3PL +2PL

-6PL

M

+2PL +

+

m1

m2

+4PL

a.

b.

c.

V

M

Fig. 1.35


55 Metoda deplasărilor – algoritm de calcul

Se descompune bara în trei elemente de aceeaşi lungime (L) şi rigiditate la încovoiere (EI) ca în figura 1.36.a, b, c, d, pentru care se scriu ecuaţiile matriceale corespunzătoare pentru fiecare element folosind (1.82’):

!"elementul e1:

ϕ

ϕ⋅

−−−−

−−

=

2

2

1

1

2

12

12

11

11

4626612612

2646612612

z

z

z

y

z

y

L/v

L/v

LEI

L/MF

L/MF

(1.90)

!"elementul e2:

ϕ

ϕ⋅

−−−−

−−

=

3

3

2

2

2

23

23

22

22

4626612612

2646612612

z

z

z

y

z

y

L/v

L/v

LEI

L/MF

L/MF

(1.91)

L

y

L L

2P

3PL

PL 2PL

V1

M1

V2 V3

1 2 3 4

b.

11yF

1

L

2

e1

12yF1

1zM 12zM

c.

22yF

2

L

3

e2

23yF2

2zM 23zM

d.

33yF

3

L

4

e3

34yF3

3zM 34zM

a.

Fig. 1.36


!"elementul e3:

ϕ

ϕ⋅

−−−−

−−

=

4

4

3

3

2

34

34

331

33

4626612612

2646612612

z

z

z

y

y

L/v

L/v

LEI

L/MF

L/MF

(1.92)

Se scriu ecuaţiile de echilibru dintre sarcinile exterioare şi forţele şi momentele nodale pentru fiecare din cele 4 noduri (fig.1.37, a, b, c, d) astfel:

!"nodul 1:

=−−

=+−

0

0

111

111

MM

VF

z

y (1.93)

!"nodul 2:

=−−−

=+−−

02

022

12

222

12

PLMM

VFF

zz

yy (1.94)

!"nodul 3:

=−−−

=+−−

0

033

23

333

23

PLMM

VFF

zz

yy (1.95)

!"nodul 4:

=+−

=−−

03

0234

34

PLM

PF

z

y (1.96)

11yF

1 V1

M1

11zM

x

y

Nodul 1

12yF

2

V2

22zM

x

y

22yF

PL

12zM

Nodul 2

23yF

3

V3

23zM

x

y

33yF

PL

33zM

Nodul 3

34yF

4

2P

3PL

34zM

x

y

Nodul 4

Fig. 1.37


57 Ţinând seama relaţiile (1.90) - (1.92) ecuaţiile (1.93) - (1.96) se scriu sub forma globală astfel:

−−

−

−

=

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

⋅

−−−−

−−−−

−−−−

−−−

PPP

VP

VL/M

V

L/v

L/v

L/v

L/v

....

........

..

..

....

....

LEI

32

2

4626612612

268026612024612

268026612024612

2646612612

3

2

1

1

4

4

3

3

2

2

1

1

2 (1.97)

Introducând în ecuaţia matriceală (1.97) condiţiile în punctele de rezemare (deplasări şi rotiri nule):

v1=v2=v3=0, ϕ1=0 (1.98)

şi eliminând liniile 1, 2, 3, 5 corespunzătoare reacţiunilor necunoscute şi coloanele 1, 2, 3, 5 corespunzătoare deplasărilor nule se obţine:

−−−

=

ϕ

ϕϕ

⋅

−−−

−

PP

PP

L/vLEI

32

2

462061260

26820028

4

4

3

2

2 (1.99)

Se calculează inversa matricei pătrate (1.99) şi se obţine:

[ ]

−−−

−−−

=−

79141172141141121137214172727214114114114171

21

////////////////

EILA (1.100)

Înmulţind ecuaţia matriceală (1.99) cu [A]-1, se obţine:

−

=

−−−

⋅

−−−

−−−

=

ϕ

ϕϕ

71542417172

3212

79141172141141121137214172727214114114114171

22

4

4

3

2

////

EIPL

////////////////

EIPL

L/v

(1.100’)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 58 Deci deplasările necunoscute sunt:

;EIPL;

EIPLv;

EIPL;

EIPL

715

4241

772 2

4

3

4

2

3

2

2 =ϕ==ϕ−=ϕ (1.101)

Extrăgând din (1.97) liniile 1, 2, 3, 5 corespunzătoare reacţiunilor necunoscute, se obţine ecuaţia matriceală:

−

=

ϕ

ϕϕ

⋅

−− 3

2

1

1

4

4

3

2

2

61206006000020006

VV

L/MV

L/vLEI

(1.102)

Rezultă valorile pentru reacţiunile necunoscute:

;P,PV;P,PV

;PL,PLM;P,PV

85727208570

76

5710747141

712

32

11

====

==−=−= (1.103)

Se observă că rezultatele obţinute prin cele două metode sunt identice. Observaţie. În cazul sistemelor cu un număr mare de grade de

nedeterminare, metoda deplasărilor este mult mai convenabilă. Rezolvarea sistemelor plane de bare rigidizate în noduri, încărcate cu forţe şi cupluri cuprinse în planul sistemului se face cu ajutorul programului numit CADRU PLAN prezentat în Anexa A2, creat pe baza algoritmului prezentat mai sus. Aplicaţii propuse Se consideră cadrele plane încărcate cu un sistem de forţe şi cupluri exterioare ca în figurile 1.38. a, b şi 1.39. a, b, c,d. Să se determine reacţiunile din încastrare şi reazeme, deplasările liniare şi unghiulare în punctele de aplicaţie ale cuplurilor şi forţelor, folosind metoda deplasărilor. Aplicaţia 1

L

y

L L 2P

4PL PL 2PL

4 1 2 3 Fig. 1.38.a


59 Rezultate (reacţiunile au sensul din figura 1.38.a) :

V1= -3P; M1= PL V2= 7P/2; (1.104) V4= -5P/2

Aplicaţia 2

Rezultate (reacţiunile au sensul din figura 1.38.b) :

V1= P/4; M1= -PL/12 V2= -51P/16; (1.105) V4= - P/16; M4= -7PL/24

Aplicaţia 3 Folosind programul CADRU PLAN să se studieze deformaţiile şi

tensiunile structurilor din figura 1.39.a,b,c,d.

Fig.1.38.b

L

y

L L 2P

PL 2PL

4 1 2 3

L

y

L

L

3PL 2PL

4

1 2 3 4P 2P

2PL

x

Fig. 1.39.a

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 60 Aplicaţia 4

Aplicaţia 5

Aplicaţia 6

L

y

L

L

3PL

4

1

2 3 4P

2PL

x

Fig.1.39.b

y

2L

L

3PL

2PL

4

1 2 3

2P

x

L

Fig.1.39.c

y

2L

L

3PL 2PL

4

1 2 3

2P

x

L

Fig.1.39.d


61 1.4. Sisteme static nedeterminate plane din bare cu noduri rigide, solicitate cu sarcini perpendiculare pe planul lor

Se consideră un cadru plan static nedeterminat format din bare drepte

de secţiune circulară, solicitat de un sistem de sarcini exterioare (forţe şi cupluri) perpendiculare pe planul său. Se consideră un element de bară din acest cadru, delimitat de nodurile i şi j, având lungimea Le, rigiditatea la răsucire GIp şi rigiditatea la încovoiere EI constante. Se notează cu

,v,,,v,, jzjxjizixi ϕϕϕϕ deplasările liniare şi unghiulare corespunzătoare nodurilor i şi j după cele trei direcţii ale sistemului local de axe zyxO1 care se alege astfel încât axa xO1 să coincidă cu axa elementului de bară (fig. 1.40).

Se exprimă sub formă matriceală sarcinile nodale corespunzătoare fiecărui element e

yjezj

exj

eyi

ezi

exi F,M,M,F,M,M în funcţie de deplasările

nodale, astfel:

ϕϕ

ϕϕ

⋅

=

yj

zj

xj

yi

zi

xi

eyj

ezj

exj

eyi

ezi

exi

v

v

KKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKKK

FMMFMM

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

(1.106)

sau: [ ] eee KF δ⋅= (1.107)

x

z Fig.1.40

exjM

O

O1

x

z

exjM

ezjM

ezjM

exiM

eziM

eziM

exiM

α i

j

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 62 Se exprimă sarcinile nodale e

yjezj

exj

eyi

ezi

exi F,M,M,F,M,M din

sistemul de axe local în funcţie de sarcinile nodale din sistemul global şi de unghiul α dintre axele celor două sisteme ( xO1 şi Ox), cu ajutorul relaţiilor:

yjyjyiyi

zjxjzjzixizi

zjxjxjzixixi

FF;FF

cosMsinMM;cosMsinMM

sinMcosMM;sinMcosMM

==

α+α=α+α=

α−α=α−α=

(1.108)

Dacă se notează cu: msin;cos =α=α ! , relaţiile (1.108) se scriu sub formă matriceală astfel:

⋅

−

−

=

yj

zj

xj

yi

zi

xi

yj

zj

xj

yi

zi

xi

FMMFMM

mm

mm

FMMFMM

1000000000000000010000000000

!

!

!

!

(1.109)

sau: [ ] ee FTF ⋅= . (1.110)

Deplasările nodale din sistemul local zyxO se exprimă sub formă matriceală în funcţie de deplasările nodale ale elementului din sistemul global Oxy astfel:

ϕϕ

ϕϕ

⋅

−

−

=

ϕϕ

ϕϕ

j

zj

xj

i

zi

xi

j

zj

xj

i

zi

xi

v

v

mm

mm

v

v

1000000000000000010000000000

!

!

!

!

(1.111)

sau: [ ] ee T δ⋅=δ . (1.111')

Elementele ijK ale matricei de rigiditate a elementului (1.106)

reprezintă sarcinile nodale corespunzătoare unor deplasări unitare. Pentru


63 determinarea lor se consideră pe rând câte una dintre cele şase deplasări nodale egală cu unitatea (celelalte fiind considerate nule) şi se calculează sarcinile nodale corespunzătoare. 1. Deplasarea 1=ϕ xi (fig. 1.41)

!"ecuaţiile de echilibru: 0=+ exj

exi MM

!"ecuaţiile de deformaţii: 01 =ϕ=ϕ xjxi ;

( )

( )061513121

41

11

====⇒

−=ϕ−ϕ−==⇒

=ϕ−ϕ==⇒

KKKKL

GIL

GIMK

;L

GIL

GIMK

e

ep

jxxie

epe

xj

e

ep

jxxie

epe

xi

(1.112)

2. Deplasarea 1=ϕ zi (fig. 1.42) !"ecuaţiile de echilibru:

0

0

=−+

=+

LFMM

FFe

yiezj

ezi

eyj

eyi

!"ecuaţiile de deformaţii: 001 =ϕ===ϕ zjjizi ;vv;

0

62

64

02

062

4212

26252

23222

2

32

==⇒

−==⇒==⇒

==⇒==⇒

=+−ϕ=ϕ

=+−ϕ+=

KK

;L/EIFK;L/EIMK

L/EIFK;L/EIMK

/LFLMEIEI

/LF/LMLEIvEIvEI

eyj

ezj

eyi

ezi

eyi

ezizizj

eyi

eziziij

(1.113)

x

y

Fig. 1.41

exiM e

xjM

1=ϕxi

j i

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 64 3. Deplasarea 1=iv (fig. 1.43) !"ecuaţiile de echilibru:

0

0

=⋅−+

=+

LFMM

FFe

yiezj

ezi

eyj

eyi

!"ecuaţiile de deformaţii: 001 =ϕ=ϕ== zjziji ;v;v

0

126

126

02

062

4313

363

253

333

223

2

32

==⇒

−==⇒==⇒

==⇒==⇒

=+−ϕ=ϕ

=+−ϕ+=

KK

;L/EIFK;L/EIMK

L/EIFK;L/EIMK

/LFLMEIEI

/LF/LMLEIvEIvEI

eyj

ezj

eyi

ezi

eyi

ezizizj

eyi

eziziij

(1.114)

4. Deplasarea 1=ϕ xj (fig. 1.44) !"ecuaţiile de echilibru: 0=+ e

xjexi MM

x

y

Fig. 1. 42

eyiF e

yjF 1=ϕ zi

ezjM

eziM i j

x

y

Fig. 1.43

eyiF e

yjF

1=iv

ezjM

eziM

i j


65 !"ecuaţiile de deformaţii: 10 =ϕ=ϕ xjxi ,

( )

( )064543424

44

14

====⇒

=ϕ−ϕ−==⇒

−=ϕ−ϕ==⇒

KKKKL

GIL

GIMK

;L

GIL

GIMK

e

ep

jxxie

epe

xj

e

ep

jxxie

epe

xi

(1.115)

5. Deplasarea 1=ϕ zj (fig. 1.45) !"ecuaţiile de echilibru:

0

0

=−+

=+

LFMM

FFe

yiezj

ezi

eyj

eyi

!"ecuaţiile de deformaţii: 001 =ϕ===ϕ zijizj ;vv; ⇒

EI/LFLMEIEI

/LF/LMLEIvEIvEIe

yiezizizj

eyi

eziziij

=+−ϕ=ϕ

=+−ϕ+=

2

0622

32

(1.116)

0

64

62

4515

26555

23525

==⇒

−==⇒==⇒

==⇒==⇒

KK

;L/EIFK;L/EIMK

L/EIFK;L/EIMKe

yjezj

eyi

ezi

x

y

Fig.1.45

eyiF e

yjF

1=ϕ zj

ezjM e

ziM

j i

x

y

Fig. 1.44

exiM e

xjM

1=ϕ xj

j i

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 66 6. Deplasarea 1=jv (fig. 1.46) !"ecuaţiile de echilibru

0

0

=−+

=+

LFMM

FFe

yiezj

ezi

eyj

eyi

!"ecuaţiile de deformaţii: 010 =ϕ=ϕ== zjziji ;v;v ⇒

0

126

126

02

62

4616

366

256

336

226

2

32

==⇒

==⇒−==⇒

−==⇒−==⇒

=+−ϕ=ϕ

=+−ϕ+=

KK

;L/EIFK;L/EIMK

L/EIFK;L/EIMK

/LFLMEIEI

EI/LF/LMLEIvEIvEI

eyj

ezj

eyi

ezi

eyi

ezizizj

eyi

eziziij

(1.117)

Matricea de rigiditate a elementului în coordonate locale se scrie:

[ ]

−−−

−

−

−

−

−

=

3232

22

3

3232

22

12601260

6120620

0000

12601260

620640

0000

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LGI

LGI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LEI

LGI

LGI

Kpp

pp

e (1.118)

x

y

Fig.1.46

eyiF e

yjF

1=jv

ezjM

eziM

j i


67 Se observă că matricea de rigiditate (1.118) este simetrică în raport cu prima diagonală. Pentru a obţine o formă omogenă a relaţiei matriceale (1.106) scriind GIp /EI=α , aceasta se mai scrie ca o relaţie între forţele echivalente şi rotirile echivalente corespunzătoare, sub forma:

ϕϕ

ϕϕ

⋅

−−−−

αα−−−

α−α

=

L/v

L/vLEI

FL/ML/M

FL/ML/M

yj

zj

xj

yi

zi

xi

yi

zi

xi

yi

zi

xi

126012606120620

000012601260620640

0000

2 (1.119)

Înlocuind relaţiile (1.110) şi (1.111') în expresia (1.107) se obţine: [ ] [ ] [ ] eee TKFT δ⋅⋅=⋅ . (1.120)

Înmulţind matriceal la stânga relaţia (1.120) cu matricea [ ] 1−T se

obţine: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] eee TKTFTT δ⋅⋅=⋅⋅ −− 11 ,

unde [ ] [ ] [ ] [ ]TKTK ee ⋅= −1 este matricea de rigiditate a elementului în coordonate globale. Se obţine deci relaţia matriceală în coordonate globale:

[ ] eee KF δ⋅= . (1.121) Aplicaţie

Se consideră cadrul plan din figura 1.47 încastrat la capete, având la mijloc un reazem rigid la acelaşi nivel cu încastrările, încărcat cu o forţă şi trei cupluri. Se cunosc L, P, E, G=E/2, d (secţiunea barei este circulară) .

Fig.1.47

y

4P

3PL L L

4

1 2 3

L 2PL

4PL

x

z

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 68 Să se determine reacţiunile din încastrări şi reazem, deplasările

liniare şi unghiulare în punctele de aplicaţie ale forţei şi cuplurilor, folosind metoda deplasărilor şi să se verifice rezultatele.

Metoda deplasărilor – algoritm de calcul. Pentru rezolvarea problemei se descompune cadrul plan în trei elemente cuprinse respectiv între nodurile 1 - 2, 2 – 3 şi 2- 4 ca în figura 1.48. Se observă că sistemele de axe locale pentru elementele e1 şi e2 coincid cu sistemul global, iar pentru elementul 3 sistemul de axe local este rotit cu unghiul α=-900. Pentru acest element relaţia matriceală forţe - deplasări nodale se scrie cu ajutorul matricei de transfer [T].

Ţinând seama de relaţia (1.119), relaţiile matriceale forţe - deplasări

nodale în coordonate globale (1.121) pentru elementele “e1” şi “e2” se scriu astfel: !"Elementul e1:

ϕϕ

ϕϕ

⋅

−−−−

−−−

−

=

L/v

L/v

LEI

FL/ML/M

FL/ML/M

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

2

2

2

1

1

1

2

2

2

2

1

1

1

126012606120620

00100112601260620640

001001

(1.122)

Fig.1.48

4

1 2

3 x

z

-900

x

x

z z z

e

e ex


69 !"Elementul e2:

ϕϕ

ϕϕ

⋅

−−−−

−−−

−

=

L/v

L/v

LEI

FL/ML/M

FL/ML/M

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

3

3

3

2

2

2

2

3

3

3

2

2

2

126012606120620

00100112601260620640

001001

(1.123)

!"Pentru elementul e3 relaţia (1.119) se scrie:

ϕϕ

ϕϕ

⋅

−−−−

−−−

−

=

L/v

L/v

LEI

FL/ML/M

FL/ML/M

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

4

4

4

2

2

2

2

4

4

4

2

2

2

126012606120620

00100112601260620640

001001

(1.124)

Matricea de rigiditate a elementului e3 în coordonate globale se scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ]TKTK ee ⋅= − 313 . (1.125)

Ţinând seama că sistemul de axe local este rotit cu unghiul α=-900, deci 0=! iar m= -1, se obţine:

[ ]

−

−

=

100000001000010000000100000001000010

T (1.126)

[ ] [ ]

−

−

==−

100000001000010000000100000001000010

1 tTT (1.127)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 70 Relaţia matriceală între forţele şi deplasările nodale în coordonate

globale (1.121) pentru elementul e3 se scrie:

ϕϕ

ϕϕ

⋅

−−

−−−−

−−

=

L/v

L/v

LEI

FL/ML/M

FL/ML/M

y

z

x

y

z

x

y

z

x

y

z

x

4

4

4

2

2

2

2

4

4

4

2

2

2

1206120601001060460212061206010010602604

(1.128)

Ecuaţiile de echilibru pentru fiecare din cele patru noduri se scriu ţinând seama că reacţiunile necunoscute au sensul axelor de coordonate corespunzătoare (pozitive) iar sarcinile nodale corespunzătoare fiecărui element ce acţionează asupra nodurilor au sens opus axelor de coordonate (negative) (fig. 1.49):

!"nodul 1

∑∑∑

=⇒=

=⇒=

=⇒=

111

111

111

0

0

0

VFF

NMM

LMM

yy

zz

xx

(1.129)

!"nodul 2

∑∑∑

=++⇒=

=++⇒=

−=++⇒=

232

22

12

32

22

12

32

22

12

0

00

30

VFFFF

MMMM

PLMMMM

yyyy

zzzz

xxxx

(1.130)

!"nodul 3

∑∑∑

=⇒=

=⇒=

=⇒=

333

333

333

0

0

0

VFF

NMM

LMM

yy

zz

xx

(1.131)

!"nodul 4

∑∑∑

−=⇒=

=⇒=

=⇒=

PFF

PLMM

PLMM

yy

zz

xx

40

40

20

34

34

34

(1.132)


71 Ecuaţiile de echilibru globale obţinute pe baza ecuaţiilor (1.129) ..

(1.132) se scriu sub formă matriceală astfel:

−

−

=

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

⋅

−−

−−−−−−

−−−−−−−

−−−−−

−−

−

PPP

VL/NL/L

V

PV

L/NL/L

L/v

L/v

L/v

L/v

......

......

........................

......

......

......

LEI

z

x

z

x

z

x

z

x

442

03

12061206010010604602

12601260640620

00100112061260360612600106200170620602001606001

12601260620640

001001

3

3

3

2

1

1

1

4

4

4

3

3

3

2

2

2

1

1

1

2

(1.133) Dacă se introduc condiţiile la limită:

Nodul 1

x

V1

LN1

z

y

11xM 1

1zM

11yF

Nodul 2

x

V2

3PL

z

y

12xM 1

2zM

12yF

22xM 3

2xM

22zM

32zM

22yF32yF

Nodul 3

x

V3

L3

N3 z

y

33xM

33zM

33yF

Fig.1.49

Nodul 4

x

4P

2PL 4P

z

y

34xM

34zM

34yF

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 72 00 3213311 ====ϕ=ϕ=ϕ=ϕ vvv,zxzx ,

atunci ecuaţia matriceală (1.133) este echivalentă cu: - o ecuaţie având ca necunoscute deplasările nodurilor 2 şi 4:

−

−

=

ϕϕϕϕ

⋅

−

−

PPP

P

L/v

LEI

z

x

z

x

44203

120606010106040201017060206

4

4

4

2

2

2 (1.134)

cu soluţiile:

;EIPLv;

EIPL;

EIPL

;EIPL;

EIPL

zx

zx

3

4

2

4

2

4

2

2

2

2

623

417

211

41

23

−==ϕ=ϕ

=ϕ=ϕ (1.135)

- o ecuaţie având ca necunoscute reacţiunile din nodurile 1, 2 şi 3:

=

ϕϕϕϕ

⋅

−

−−−

−

3

3

3

2

1

1

1

4

4

4

2

2

2

000600002000001

120606000600002000001

VL/NL/L

VV

L/NL/L

L/v

LEI

z

x

z

x

(1.136)

cu soluţiile:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ;PLEIV;PL

LEIN;PL

LEIL

;PLv

LEIV

;PLEIV;PL

LEIN;PL

LEIL

zzx

xx

zzx

236

212

23

41266

236

212

23

2232323

44222

2212121

−=ϕ−==ϕ=−=ϕ−=

=

+ϕ−ϕ−=

=ϕ==ϕ=−=ϕ−=

(1.137) Ecuaţiile de verificare ale reacţiunilor sunt:


73

∑∑∑

=++⇒=

=⋅+⋅−++⇒=

=−+++⇒=

PVVVFLVLVPLNNM

PLPLPLLLM

y

z

x

40

020

03420

321

3131

31

(1.138)

Observaţie. Metoda prezentată permite o algoritmizare simplă şi rezolvarea cu ajutorul unui program numit GRILAJ PLAN (prezentat în Anexa A3) a oricăror sisteme plane de bare rigidizate în noduri, încărcate cu forţe perpendiculare pe planul structurii şi cu momente conţinute în planul barelor. Aplicaţii

Se consideră cadrele plane încastrate sau rezemate punctual rigid, la acelaşi nivel, încărcate cu un sistem de forţe şi cupluri ca în figurile 1.50,a,b, 1.51. Se cunosc valorile numerice pentru L,P, E, I, Ip (secţiunea barei este circulară Ip= 2I) şi modulul de elasticitate transversal G=E/2 . Să se determine folosind metoda deplasărilor reacţiunile din încastrări şi reazem, deplasările liniare şi unghiulare în punctele de aplicaţie ale cuplurilor şi al forţei şi să se verifice rezultatele. Aplicaţia 1

Rezultate:

;EIPL;

EIPL;

EIPLv;

EIPL;

EIPL

zxzx

2

4

2

4

3

2

2

2

2

2 29

211

623

21

23 =ϕ=ϕ−==ϕ=ϕ

;PV;PV;PLN;PL,L

;PV;PLN;PL,L4351

351

4333

111

=−==−===−=

(1.139)

Fig.1.50.a

y

5P

3PL L L

4

1 2 3

L 2PL

4PL

x

z

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 74 Aplicaţia 2 Rezultate:

;

EIPL;

EIPL

;EIPLv;

EIPL;

EIPL

zx

zx

2

3

2

3

3

2

2

2

2

2

29

211

623

21

23

=ϕ=ϕ

−==ϕ=ϕ

;PV;PLN;PLL

;PV;PV;PLN;PLL

323

4323

444

3111

−==−=

===−= (1.140)

Aplicaţia 3

y 5P

3PL L L

4

1 2 3

L

2PL

4PL x

z

Fig. 1.50.b

y 5P

3PL L L

4

1

2

3 L

x

z

PL

2PL

5

Fig. 1.51


75 1.5. Sisteme static nedeterminate tip placă plană, solicitate cu forţe cuprinse în planul plăcii

Se consideră o placă plană de grosime constantă c pe toată suprafaţa,

solicitată de un sistem plan de sarcini distribuite sau concentrate (fig.1.52). Să se determine starea de tensiuni şi deformaţii din placă. Se consideră un element triunghiular din această placă cu vârfurile N1, N2 şi N3 ca în figura 1.53.a.

În teoria elasticităţii se stabilesc următoarele relaţii între tensiuni şi deformaţii:

xyxyxy

xyyyxx

EE

)(E;)(E

γ⋅ν−λ=ν−⋅γ⋅

ν−=τ

νε+ε⋅ν−

=σνε+ε⋅ν−

=σ

22

22

121

1

11 (1.141)

Fig. 1.52

y

x

u1

v1

v3

v2

u2

u3

Fig. 1.53

x

y

N1

N2

N3 x

y y

x

N2(a,0)

N3(0,b)

N1(0,0)

u3

v3

u1 u2

v2 v1

O Fig. 1.54

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 76 respectiv între deformaţii şi deplasări:

xv

yu;

yv;

xu

xyyx ∂∂+

∂∂=γ

∂∂=ε

∂∂=ε .

Fără a reduce din generalitatea demonstraţiei, în scopul simplificării calculelor, se consideră un triunghi dreptunghic cu vârful drept în originea sistemului de axe local Oxy ca în figura 1.53.b.

Se notează cu 332211 v,u,v,u,v,u deplasările celor trei noduri N1, N2

şi N3 ale elementului în sistemul de axe local Oxy . Se face ipoteza că deplasările )y,x(v,)y,x(u pentru orice punct situat în interiorul suprafeţei triunghiului dreptunghic sunt funcţii liniare de forma:

yCxCC)y,x(v;yCxCC)y,x(u

654

321

++=++=

(1.142)

Deplasările nodurilor N1, N2 şi N3 se mai scriu:

33

22

11

00000000

v)b,(v;u)b,(u;v),a(v;u),a(u

;v),(v;u),(u

======

(1.143)

Introducând aceste condiţii în expresiile deplasărilor (1.142) se obţine un sistem de ecuaţii liniare, ale cărui soluţii sunt:

bvvC;

avvC;vC

buuC;

auuC;uC

136

12514

133

12211

−=−==

−=−== (1.144)

Deci expresiile deplasărilor (1.142) pentru acest element triunghiular se scriu:

321

321

1

1

vbyv

axv

by

ax)y,x(v

ubyu

axu

by

ax)y,x(u

++

−−=

++

−−=

(1.142’)

Utilizând relaţiile (1.141) se pot exprima atât deformaţiile εx, εy şi γxy cât şi tensiunile σx, σy şi τxy în funcţie de deplasările nodale

332211 vsiu,v,u,v,u :


77

avv

buu

xv

yu

;b

vvyv

;a

uuxu

xy

y

x

1213

13

12

−+−

=∂∂+

∂∂=γ

−=

∂∂=ε

−=∂∂=ε

(1.145)

;ab

vbvbuauaEE

;ab

vavaububE)(E

;ab

vavaububE)(E

xyxy

xyy

yxx

+−+−

ν−λ=ν−γ⋅

ν−=τ

+−ν+ν−

ν−=νε+ε⋅

ν−=σ

ν+ν−+−

ν−=νε+ε⋅

ν−=σ

213122

312122

312122

121

1

11

11

(1.146)

Se observă din expresiile (1.145) şi (1.146) că atât deformaţiile specifice εx , εy şi γxy cât şi tensiunile σx , σy şi τxy au valori constante pe toată suprafaţa triunghiului (întrucât nu depind de coordonatele x şi y), de aceea aceste elemente se mai numesc CST (Constant Strain Triangular). Acestea sunt dintre cele mai simple elemente de tip placă.

Tensiunile σ şi τ pe latura 2-3 a elementului triunghiular sunt şi ele constante, deoarece se determină în funcţie de componentele σx , σy, τxy (constante) şi unghiul α cu ajutorul relaţiilor cunoscute din teoria elasticităţii

;sincos xyyxyx ατ+α

σ−σ+

σ+σ=σ 22

22

.cossin xyyx ατ−α

σ−σ=τ 22

2 (1.147)

Folosind metoda de echivalare statică a forţelor elementare raportate la sistemul local de axe cu forţe care acţionează pe cele trei laturi ale elementului triunghiular se obţin forţele echivalente pentru fiecare latură (fig. 1.56):

.FFF;FFF

;bcF;bcF;acF;acF

yyyxxx

yxyxx

yyxyx

131223131223

1213

1212

+=+=

τ⋅=σ⋅=

σ⋅=τ⋅=

(1.148)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 78 Pe baza acestor forţe se obţin şi forţele nodale nodale corespunuzătoare fiecărui element (fig. 1.57):

;FFF

F;FFFF

;FFF

F;FFFF

;FF

F;FFF

yyyey

xxxex

yyyey

xxxex

yyey

xxex

2222

2222

22

1213233

1213233

1312232

1312232

13121

13121

=−

==−=

=−

==−=

+−=+−=

(1.149)

y

x

Fig. 1.55

N1 N2

N3

σx

σy

τxy

τyx

σ

τ

α

y

x

Fig. 1.56

N1 N2

N3

Fy12

Fx12

Fx13

Fy13 Fx23

Fy23

y

x

Fig. 1.57

N1 N2

N3

Fy2

Fx2 Fx1

Fy1

Fx3

Fy3


79 Înlocuind valorile tensiunilor date de relaţiile (1.146) în relaţiile

(1.149) se obţin expresiile forţelor nodale ca funcţii de deplasări:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] ;vauabvauab)(ab

EcF

;uavabvabua)(ab

EcF

;uabvbvbuab)(ab

EcF

;vabubvabub)(ab

EcF

;vauabvbuabv)ba(u)(ab)(ab

EcF

;vabuavabubv)(abu)ab()(ab

EcF

ey

ex

ey

ex

ey

ex

32

212

123

32

2112

23

322

12

122

322

112

22

32

322

2122

121

332

222

1122

21

12

12

12

12

12

12

+ν+−ν−ν−

=

λ+λ+λ−λ−ν−

=

λ+λ+λ−λ−ν−

=

ν++ν−−ν−

=

−λ−λ−⋅ν−λ++λ+νν−

=

ν−λ+λ−−λ+ν+λ+ν−

=

(1.150)

Relaţiile (1.150) se mai pot scrie sub formă matriceală astfel:

⋅

ν−ν−λλλ−λ−λλλ−λ−

νν−−−λ−λ−ν−λ+λ+νν−λ−λ−−λ+νλ+

ν−=

3

3

2

2

1

1

22

22

22

22

2222

2222

2

3

3

2

2

1

1

000000

0012

vuvuvu

aabaabaababaabbbab

abbabbaabbabba)(ababaabb)(abab

)(abEc

FFFFFF

ey

ex

ey

ex

ey

ex

(1.151)

sau : [ ] eee KF δ⋅= (1.151') Deplasările din sistemul local 332211 vsiu,v,u,v,u se pot

exprima în funcţie de deplasările din sistemul global 332211 vsiu,v,u,v,u şi de unghiul α dintre axa xO a sistemului local şi

axa O1x a sistemului global astfel (fig.1.58):

321 ,,i;cosvsinuv

;sinvcosuu

iii

iii

=α+α−=α+α=

(1.152)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 80 Dacă se notează cu α=α= sinmsicos! , relaţiile (1.152) se

scriu matriceal astfel:

⋅

−

−

−

=

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

00000000

0000000000000000

vuvuvu

mm

mm

mm

vuvuvu

!

!

!

!

!

!

(1.153)

sau: [ ] ee T δ⋅=δ , (1.153')

unde cu [T] s-a notat matricea de transfer din sistemul global în cel local.

Sarcinile nodale din sistemul local yxO se exprimă analog în funcţie de sarcinile nodale din sistemul global Oxy (fig.1.26) pentru acest element, astfel:

⋅

−

−

−

=

ey

ex

ey

ex

ey

ex

ey

ex

ey

ex

ey

ex

F

F

FFFF

mm

mm

mm

F

F

FFFF

3

3

2

2

1

1

3

3

2

2

1

1

00000000

0000000000000000

!

!

!

!

!

!

(1.154)

u1

v1

v3

v2

u2

u3

Fig. 1.58

x

y

N1

N2

N3

u2

v2

u3

v3

v1 u1

x

y

α

O1

O


81

sau: [ ] ee FTF ⋅= . (1.154')

Înlocuind relaţiile (1.153') şi (1.154') în expresia (1.151') se obţine:

[ ] [ ] [ ] eee TKFT δ⋅⋅=⋅ . (1.155)

Înmulţind matriceal relaţia (1.155) cu [ ] 1−T se obţine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] eee TKTFTT δ⋅⋅=⋅⋅ −− 11 , (1.156)

sau: [ ] eee KF δ⋅= , (1.157)

unde s-a notat [ ] [ ] [ ] [ ]TKTK ee ⋅= −1 matricea de rigiditate a elementului în coordonate globale.

Aplicaţie Se consideră o placă trapezoidală de grosime constantă, fixată prin

trei legături rigide A, B şi C şi încărcată în punctele D şi E cu câte două forţe ca în figura 1.59. Pentru simplitatea calculului au fost alese ca date de intrare următoarele valori numerice: AB= BC=1; AD=2; DE=1; ν=0,3;

FDx=3; FDy=4; FEx=5; FEx=6; 35021101

12 2 ,;,c;)(ab

Ec =ν−=λ==ν−

(s-a renunţat la unităţile de măsură pentru a putea urmări mai uşor aplicarea algoritmului de calcul, bazat pe metoda deplasărilor).

Fig. 1.59

y

x

B

C

A

E

FEy

FEx

FDy

FDx

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 82 Se cer:

!"deplasările punctelor D şi E; !"reacţiunile din A, B şi C ; !"tensiunile din fiecare element al plăcii.

Metoda deplasărilor – algoritm de calcul. Pentru a rezolva această

problemă se folosesc rezultatele obţinute pentru elementele triunghiulare cu tensiuni constante CST prezentate mai sus. Se împarte domeniul în trei elemente triunghiulare dreptunghice ca în figura 1.59. Pentru fiecare element nodurile corespunzătoare şi unghiurile de rotire ale sistemelor de axe locale faţă de cel global sunt:

!"elementul e1: N1≡A; N2≡D; N3≡B; α=00

!"elementul e2: N1≡B; N2≡E; N3≡C; α=00

!"elementul e3: N1≡E; N2≡B; N3≡D; α=1800

Ecuaţia matriceală (1.151) între forţe nodale şi deplasările nodale în coordonate locale, după înlocuirea valorilor parametrilor se scrie pentru

fiecare element

=

ν−=λ=ν=== 1

12350301012 2 )(ab

Ec;,;,;,c;b;a

astfel:

!"elementul e1:

⋅

−−−−−−−−

−−−−−−−−

=

B

B

D

D

A

A

yB

xB

yD

xD

yA

xA

vuvuvu

,,,,,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,

FFFFFF

40060460041700704107035003507060001601470350603543160417013142

1

1

1

1

1

1

(1.158)

!"elementul e2:

⋅

−−−−−−−−

−−−−−−−−

=

C

C

E

E

B

B

yC

xC

yE

xE

yB

xB

vuvuvu

,,,,,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,

FFFFFF

40060460041700704107035003507060001601470350603543160417013142

2

2

2

2

2

2

(1.159)


83 !"elementul e3:

⋅

−−−−−−−−

−−−−−−−−

=

D

D

B

B

E

E

yD

xD

yB

xB

yE

xE

vuvuvu

,,,,,,,,,,

,,,,,,,

,,,,,

FFFFFF

40060460041700704107035003507060001601470350603543160417013142

3

3

3

3

3

3

(1.160)

Pentru elementele e1 şi e2 matricea de rigiditate în coordonate globale nu îşi modifică forma. Pentru elementul e3 care este rotit cu α=1800

( 1−=! , m = 0) matricea de rigiditate în coordonate globale se scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ]TKTK ee ⋅= − 313 , (1.161)

unde:

[ ] 6

100000010000001000000100000010000001

00000000

0000000000000000

I

mm

mm

mm

T −=

−−

−−

−−

=

−

−

−

=

!

!

!

!

!

!

(1.162)

iar matricea inversă este: [ ] [ ] 61 ITT t −==− . (1.163)

Matricea de rigiditate a elementului e3 în coordonate globale (1.157) se scrie:

[ ] [ ] [ ] [ ] ( )[ ]( ) [ ]36

36

313 eeee KIKITKTK =−−=⋅= − , (1.164)

deci nu îşi modifică forma.

Ecuaţiile de echilibru ale forţelor nodale pentru fiecare din cele cinci noduri ale plăcii se scriu astfel (fig. 1.60):

!"nodul A:

∑∑

=⇒=

=⇒=

AeyAy

Ae

xAx

VFF

HFF1

1

0

0 (1.165)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 84 !"nodul B:

∑∑

=++⇒=

=++⇒=

BeyB

eyB

eyBy

Be

xBe

xBe

xBx

VFFFF

HFFFF321

321

0

0 (1.166)

!"nodul C:

∑∑

=⇒=

=⇒=

CeyCy

Ce

xCx

VFF

HFF2

2

0

0 (1.167)

!"nodul D:

∑∑

−=+⇒=

=+⇒=

40

3031

31

eyD

eyDy

exD

exDx

FFF

FFF (1.168)

!"nodul E:

∑∑

=+⇒=

=+⇒=

60

5032

32

eyE

eyEy

exE

exEx

FFF

FFF (1.169)

Ecuaţiile de echilibru s-au scris ţinând seama de sensul negativ al

forţelor nodale ce acţionează asupra nodurilor (sens opus axelor) şi de sensul pozitiv al reacţiunilor (acelaşi cu sensul axelor de coordonate).

1exAF

y

x1e

yAF

HA

VA

Nodul A

VB

1eyBF x

y

1exBF

2exBF

2eyBF

3eyBF

3exBF

HA Nodul B

2exCF

y

x2e

yCF

HC

VC

Nodul C

Fig. 1.60

3exDF

y

x1eyDF

3

4

Nodul D

1exDF

3eyDF

3exEF

y

x2eyEF

5

6

Nodul E

2exEF

3eyEF


85 Însumând relaţiile dinte forţele şi deplasările nodale (1.158) … (1.160)

scrise în dimensiunile matricei globale se obţine:

[ ] [ ] [ ]( ) PKKKF GGe

Ge

Ge

i

ei =δ⋅++=∑=

3213

1 (1.170)

unde se notează cu [K]G matricea de rigiditate a structurii în dimensiuni globale: [ ] [ ] [ ] [ ]Ge

Ge

Ge

G KKKK 321 ++= (1.171)

Ecuaţiile de echilibru (1.165) .. (1.169) se scriu sub formă matriceală:

−

=

++++

++++

PPP

PVHVHVH

FFFFFFFF

FF

FFFFFF

FF

C

C

B

B

A

A

eyE

eyE

exE

exE

eyD

eyD

exD

exD

eyC

exC

eyB

eyB

eyB

exB

exB

exB

eyA

exA

654

3

32

32

31

31

2

2

321

321

1

1

(1.172)

Relaţiile (1.158)…(1.160) se scriu în dimensiunile matricei globale :

!"elementul e1:

⋅

−−

−−−−

−−−−−−−−

=

E

E

D

D

C

C

B

B

A

A

eyD

exD

eyB

exB

eyA

exA

vuvuvuvuvu

..........

..........

..,..,,,

....,

..........

..........

..,..,,,

..,..,,

..,,..,,,,

..,..,,,,

.

.FF

.

.FFFF

350007070700160001

06035003507070004160135060350703543170170413142

1

1

1

1

1

1

(1.173)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 86 !"elementul e2:

⋅

−−−−

−−

−−−−−−−−

=

E

E

D

D

C

C

B

B

A

A

eyE

exE

eyC

exC

eyB

exB

vuvuvuvuvu

,..,,,....,,..

..........

..........,..,..

,..,,,..,,..,,,.....,,,,..

..........

..........

FF

.

.FFF

.F..

35000703507001600601

060404607000417041350604703543170160413142

2

2

2

2

1

1

(1.174)

!"elementul e3:

⋅

−−−−−−−−

−−−−

−−−−

=

E

E

D

D

C

C

B

B

A

A

exE

exE

eyD

exD

eyB

exB

vuvuvuvuvu

,,,..,,..,,,,..,..

,..,..,,,..,..

..........

..........,,,,..,..,,....

..........

..........

FFFF

.

.FF

.

.

354314703506031426041701460400607041041700

350706070350060160001

3

3

3

3

3

3

(1.175)

Prin însumarea relaţiilor matriceale (1.173)...(1.175) se obţine matricea de rigiditate globală a plăcii: (1.176)

−

=

⋅

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−

−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

654

3

74314700707031314360416003124603540031350707041042310601

06040460700041704170310314707831460312310604131847041

350604703543170160413142

C

C

B

B

A

A

E

E

D

D

C

C

B

B

A

A

VHHHVH

vuvuvuvuvu

,,,,,,..,,,,,,..

,,..,,,,,,..,,

,..,..,..,,,..,,,,,,,,,,,,,,,

..,,..,,,

..,..,,,,


87 Dacă se introduc condiţiile la limită (blocajele nodurilor A, B şi C):

000 ====== ccBBAA vu,vu,vu ,

atunci ecuaţia matriceală (1.176) este echivalentă cu: a. o ecuaţie matriceală având ca necunoscute deplasări:

−

=

⋅

−−−−

−−−−

654

3

74314703143604146035407041042

E

E

D

D

vuvu

,,,,,,,

,,,,,

(1.177)

Rezolvând ecuaţia matriceală (1.177) se obţin deplasările necunoscute:

=

−

⋅

−−−

−=

05173064120031134403

654

3

29621176201676127530176204239010360195801676110360289312801027530195802851061120

,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,,,

vuvu

E

E

D

D

b. o ecuaţie matriceală având ca necunoscute reacţiuni:

−−

−

=

⇒

=

⋅

−−−−

−−−−

2381136247607916

35720464

0607007031031312310

35060701

,,,,

,,

VHVHVH

VHVHVH

vuvu

,..,..,,,,,

..,,

..,

C

C

B

B

A

A

C

C

B

B

A

A

E

E

D

D

(1.178)

Se determină de asemenea valorile tensiunilor pentru fiecare element:

!"elementul e1:

=

+−++−

ν−λ=ν−γ⋅

ν−=τ

=

+−

++−ν

ν−=νε+ε⋅

ν−=σ

=

+−ν−++−

ν−=νε+ε⋅

ν−=σ

022712

11

0642011

886611

22

22

22

,a

vvb

uuEE

,b

vva

)uu(E)(E

,b

)vv(a

uuE)(E

DABAxyxy

BADAxyy

BADAyxx

(1.179)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 88 !"elementul e2:

=

+−

++−

ν−λ=ν−γ⋅

ν−=τ

=

+−

++−ν

ν−=νε+ε⋅

ν−=σ

=

+−ν−

++−

ν−=νε+ε⋅

ν−=σ

3622112

11

3841211

284111

22

22

22

,a

vvb

uuEE

,b

vva

)uu(E)(E

,b

)vv(a

uuE)(E

EBCBxyxy

CBEBxyy

CBEByxx

(1.180)

!"elementul e3:

−=

+−

++−

ν−λ=ν−γ⋅

ν−=τ

−=

+−

++−ν

ν−=νε+ε⋅

ν−=σ

−=

+−ν−

++−

ν−=νε+ε⋅

ν−=σ

2163612

11

3289411

6991611

22

22

22

,a

vvb

uuEE

,b

vva

)uu(E)(E

,b

)vv(a

uuE)(E

BEDExyxy

DEBExyy

DEBEyxx

(1.181)

Observaţie : Un program specializat de calcul al plăcilor plane cu ajutorul metodei deplasărilor creat pe baza algoritmului prezentat mai sus denumit CST, este prezentat în Anexa A4.

Aplicaţii propuse Aplicaţia 1

Se consideră o placă de grosime constantă c fixată prin patru articulaţii şi un reazem, încărcată cu două forţe ca în figura 1.61. Se dau următoarele valori numerice (fără unităţi de măsură):

AB=BC=CD=1; BF=CE=3; FEx=20; FFy=10; ν=0,3;

35021101

12 2 ,;,c;)(ab

Ec =ν−=λ==ν−

. Se cer deplasările punctelor E şi

F şi reacţiunile din articulaţiile A, B, C, D şi reazemul F.

Rezultate: uE=9,008 HC=-18,269 vE=-3,673 VC=-3,284 vE=-4,063 HD=-1,285 HA=1,422 VA=0 VD=2,702 HB=0 VB=2,844 HF=-1,867


89 Ecuaţia matriceală globală:

−

=

⋅

−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−

−−−−−−−−−−−−

−−−−−−−−

−−−−

10

020

70101300650700003500352350350650002300013507016500350700650303506503523006502

030010130035000350350350

06507006501350702650130065006502303506507023503507000135070201350

023003500702300350030013001035003503500350

F

D

D

C

C

B

B

A

A

F

F

E

E

D

D

C

C

B

B

A

A

H

VHVHVHVH

vuvuvuvuvuvu

,,..,,,,,,..,,,,,,,,....

,,,,,,......,,......,,,,....

,,,,,,,..,,,,,,,,..,....,,,

.....,,,,,......,

,......,,,

Fig. 1.61

y

x

C

D

B

E FEx

FFy

A

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 90 Aplicaţia 2 Se consideră o placă de grosime constantă c fixată prin patru

articulaţii şi un reazem, încărcată cu două forţe ca în figura 1.62. Se dau următoarele valori numerice (fără unităţi de măsură): AB=BC=CF=DE=1; BD=CE=3; ν=0,3; FEx=20; FEy=10; FFx=20; FFy=30 ,

35021101

12 2 ,;,c;)(ab

Ec =ν−=λ==ν−

.

Se cer deplasările punctelor D şi F şi reacţiunile din articulaţiile A, B, C, şi E.

BIBLIOGRAFIE 1. Buzdugan, Gh.- Rezistenţa materialelor. Ed. Academiei, Bucureşti 1986 2. Atanasiu, M. - Metoda funcţiei de încărcare. Ed. U.P. Bucureşti 1994. 3. Blumenfeld, M.- Introducere în metoda elementelor finite, Editura

Tehnică, Bucureşti, 1995 4. Constantinescu, I.N., Munteanu, M., Golumbovici, D. - Calcule de

rezistenţă a structurilor de maşini şi utilaje, Editura Tehnică, Bucureşti 1984.

Fig. 1.62

y

x

C

D

B

E

FEx

FFx

A

FFy

FEy


91 5. Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Hadar, A - Methode des elements

finis. Cours et applications, Editura U.P.Bucureşti, 1993 6. Drobotă, V. - Rezistenţa materialelor. Ed. Didactică şi Pedagogică,

Bucureşti 1982 7. Gheorghiu, H., Hadar, A., Constantin, N. - Analiza structurilor din

materiale izotrope şi anizotrope, Editura Printech, Bucureşti 1998 8. Iliescu, N., Jiga, G., Hadar A.- Teste grilă de Rezistenţa materialelor,

Ed. Printech, Bucureşti 2000 9. Marin, C., Popa, F. - Rezistenţa materialelor. Probleme de examen,

Editura Macarie, Târgovişte, 2001 10. Posea, N. s.a. - Rezistenţa materialelor. Probleme. Editura Ştiinţifică şi

Enciclopedică Bucureşti 1986


2

ECUAŢIILE MATEMATICE ALE METODEI ELEMENTELOR FINITE

2.1. Introducere

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice permite următoarele tipuri de analiză a structurilor mecanice: structurală (a stării de tensiuni şi deformaţii), modală (a modurilor proprii de vibraţie), de stabilitate (la limita echilibrului elastic) sau termică (a evuluţiei câmpului de temperaturi). Elementul finit utilizat în aceste tipuri de analize are diferite proprietăţi fizice (de material), geometrice (formă şi dimensiuni) şi funcţionale (de comportament elastic, plastic, dinamic, termic, etc). Astfel:

!"din punct de vedere geometric elementul finit modelează corpul real prin muchii, suprafeţe şi volume având o formă geometrică ideală în spaţiul euclidian tridimensional;

!"din punct de vedere al proprietăţilor fizice, prin proprietăţi ideale de material (continuitate, izotropie, densitate, elasticitate, constante termice, etc)

!"din punct de vedere funcţional, modelează evoluţia variabilei de câmp a problemei (şi derivatele până la un anumit ordin) în funcţie de condiţiile la limita domeniului analizat şi / sau de condiţiile iniţiale ale problemei studiate.

Primele tipuri de elemente finite utilizate în analiza structurală (şi cele mai simple) au fost elementele finite nodale care sunt caracterizate prin valori nodale ale variabilei de câmp (şi ale derivatei până la un anumit ordin) sau altfel spus, printr-o aproximare discretă a variabilei de câmp. Modul de variaţie al variabilei de câmp în interiorul elementului este ilustrat cu ajutorul unui set de funcţii de aproximare independente (funcţii de interpolare sau de formă) al căror număr depinde de numărul de grade de libertate ale elementului.

Ecuaţiile matematice ale metodei elementelor finite

93

Elementele finite hibride sau mixte s-au dezvoltat ulterior şi au avut la bază elementele finite nodale, cărora li s-au adăugat un număr de parametri independenţi, pentru a se lua în considerare o serie de condiţii suplimentare care se impun în interiorul domeniului elementului finit. S-au creat tipuri speciale de elemente finite pentru diferite tipuri de aplicaţii, care se regăsesc în bibliotecile de elemente finite ale programelor profesionale.

În analiza structurală a structurilor mecanice, matricea de rigiditate a elementului finit exprimă proprietăţile de elasticitate din ecuaţia matriceală a deplasărilor nodale în funcţie de forţele nodale ale elementului. Ecuaţia matriceală globală se obţine prin “asamblarea” ecuaţiilor matriciale corespunzătoare tuturor elementelor finite şi exprimă deplasările nodale în funcţie de sarcinile exterioare aplicate şi de forţele de legătură (conform axiomei legăturilor din mecanică). Matricea de rigiditate globală este o matrice pătratică având dimensiunile n× n, unde n reprezintă coordonatele generalizate corespunzătoare tuturor deplasărilor nodurilor.

Metoda de analiză cu elemente finite este folosită în rezolvarea unor probleme inginereşti complexe şi a fost favorizată de dezvoltarea rapidă a mijloacelor de calcul şi software din ultimele două decenii. Aceasta este în fapt, o metodă matematică şi de rezolvare numerică a unor sisteme de ecuaţii şi cuprinde următoarele etape: 1. crearea modelului geometric al corpului analizat şi discretizarea acestuia

în elemente finite prin utilizarea anumitor tipuri de elemente finite şi tehnici de discretizare;

2. obţinerea formei variaţionale corespunzătoare fenomenului studiat şi minimizarea funcţionalei pătratice asociate acestei forme variaţionale;

3. determinarea soluţiilor aproximative ale ecuaţiei diferenţiale obţinute din minimizarea funcţionalei pătratice asociate utilizând diferite metode de calcul variaţional;

4. rezolvarea numerică a sistemului de ecuaţii liniare sau a ecuaţiei matriceale globale obţinută după “asamblarea” matricelor de rigiditate ale elementelor finite şi după impunerea condiţiilor la limită globale (condiţiile de legătură cu mediul fix, deplasări impuse cunoscute şi forţe de legătură necunoscute);

5. postprocesarea rezultatelor sau calculul variabilelor secundare, trasarea diagramelor de variaţie a eforturilor secţionale în cazul barelor, reprezentarea câmpurilor de tensiuni, deformaţii, deplasări, calculul tensiunilor echivalente după diferite teorii de rezistenţă, verificarea secţiunilor periculoase, etc.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 94 2.2. Extremumul unei funcţionale sub formă integrală Analiza cu elemente finite este un caz particular al metodei

reziduurilor ponderate care permite determinarea extremumului unei funcţionale sub formă integrală. Astfel metoda RITZ utilizează ca funcţii test tocmai funcţiile folosite pentru aproximarea variabilei de câmp.

Se consideră problema variaţională în care se cere determinarea extremumului unei funcţionale definită sub forma integralei:

∫Ω

= FdVI , (2.1)

în care: F este o funcţie integrand de forma )f,f,f,f,z,y,x(FF zyx ′′′= f = f(x,y,z) - diferite funcţii definite pe domeniul Ω;

zff,

yff,

xff zyx ∂

∂=′∂∂=′

∂∂=′ sunt derivatele parţiale ale funcţiei f.

Condiţia de extremum a funcţionalei (2.1) se scrie:

∫ =

∂δ∂

′∂∂+

∂δ∂

′∂∂+

∂δ∂

′∂∂+δ

∂∂=δ

V zyxdV

z)f(

fF

y)f(

fF

x)f(

fFf

fFI 0 (2.2)

În expresia de mai sus s-au anulat termenii corespunzători derivatelor parţiale ale funcţiei integrand F în raport cu x, y, z, întrucât variaţia funcţionalei δI se determină pentru valori fixe ale variabilelor independente. De asemenea, s-a utilizat proprietatea de liniaritate şi interschimbabilitate a celor doi operatori:

( ) ∫ ∫δ=δδ∂∂=

∂∂δ FdVFdV;f

xxf . (2.3)

Termenii din expresia integralei (2.2) se calculează folosind formulele integralei GREEN [4]:

∫∫ ∫

∫∫ ∫

∫∫ ∫

ΓΩ Ω

ΓΩ Ω

ΓΩ Ω

⋅δ

′∂∂+

δ⋅

′∂

∂∂∂−=

∂δ∂

′∂∂

⋅δ

′∂∂+

δ⋅

′∂

∂∂∂−=

∂δ∂

′∂∂

⋅δ

′∂∂+

δ⋅

′∂

∂∂∂−=

∂δ∂

′∂∂

dAnffFdVf

fF

zdV

z)f(

fF

dAnffFdVf

fF

ydV

y)f(

fF

dAnffFdVf

fF

xdV

x)f(

fF

zzzz

yyyy

xxxx

(2.4)


95 Se deosebesc următoarele frontiere :

!"formate din două puncte - capetele domeniului unidimensional Ω (în cazul problemelor depinzând de o singură variabilă independentă);

!"curbe închise ce mărginesc domeniul bidimensional Ω (în cazul problemelor depinzând de două variabile independente);

!"suprafeţe închise ce mărginesc domeniul tridimensional Ω (în cazul problemelor depinzând trei variabile).

Orice problemă de inginerie (elasticitate, vibraţii, mecanica fluidelor, transfer termic, electromagnetism etc.) este caracterizează de: !"ecuaţia diferenţială a fenomenului; !"condiţiile la limită - valorile particulare ale variabilei de câmp u(x,y,z,t) şi ale derivatelor acesteia pe frontiera domeniului;

!"condiţiile iniţiale - valorile variabilei de câmp şi ale derivatelor acesteia la momentul iniţial, în cazul problemelor care depind de timp.

Exemplu Se consideră problema coardei vibrante supusă unei forţe

perturbatoare caracterizată de următoarea ecuaţie diferenţială:

( ) 0010 Tt;xpentrut,xftu

xua

x≤≤≤≤=

∂∂ρ+

∂∂

∂∂− (2.5)

condiţiile la limită:

)t(hxu);t(g)t,x(u

xx =

∂∂=

==

10 (2.6)

şi condiţiile iniţiale:

)x(vtu;)x(u)t,x(u

tt 0

000 =

∂∂=

== (2.6’)

Soluţia analitică exactă u=u(x,t) a acestei probleme se obţine prin rezolvarea matematică directă (dacă este posibil) şi este o funcţie continuă şi derivabilă care satisface ecuaţia diferenţială (2.5), condiţiile la limită (2.6) şi condiţiile iniţiale ale problemei (2.6’).

Soluţia variaţională ),(ˆˆ txuu = este o soluţie aproximativă a formei variaţionale a problemei. Această formă se mai numeşte şi forma slabă deoarece nu este suficient derivabilă pentru a satisface ecuaţia diferenţială, dar suficient derivabilă pentru a satisface forma variaţională şi condiţiile a limită.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 96 2.2.1. Funcţionale sub formă integrală de o singură variabilă

Se defineşte funcţionala sub formă integrală de o singură variabilă,

integrala pe un interval (a, b) a unei funcţii de variabila independentă x, variabila de câmp u(x) şi derivata variabilei de câmp u’(x), de forma:

I(u) = ∫b

adx)'u,u,x(F (2.7)

Funcţionala sub formă integrală are următoarele proprietăţi: !"domeniul de definiţie este mulţimea funcţiilor u(x) pentru care integrala

I(u) are sens; !"funcţionala depinde de forma variabilei de câmp u(x) şi poate atinge

valori reale extreme (minime sau maxime) în funcţie de forma acesteia; !"o funcţională este liniară dacă satisface condiţia: I(αu+βv) =α I(u)+ β

I(v); !"o funcţională de două variabile B(u, v) este biliniară dacă este liniară în

raport cu fiecare din cele două variabile; !"oricărei funcţionale simetrice de două variabile B(u, v) i se poate asocia

o funcţională pătratică de forma: I(2)(u)=½ B(u, u) !"operatorul diferenţial δ aplicat variabilei de câmp u(x) reprezintă

variaţia ei pentru o anumită valoare (fixată) a variabilei independente x şi se mai numeşte şi variaţie virtuală reprezentând orice variaţie posibilă a variabilei de câmp u(x). Analog se defineşte şi variaţia primei derivate a variabilei u’ : δu’=δ(du/dx) (2.8)

2.2.2. Funcţionale sub formă integrală de două variabile

Se consideră o problemă de două variabile independente caracterizată

de următoarea ecuaţie diferenţială [1]:

0=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

yx uF

yuF

xuF (2.9)

condiţiile la limită pe două subfrontiere:

2

1

Γ=

Γ=∂∂+

∂∂

rasubfrontiepeuu

rasubfrontiepe,qnuFn

uF

yy

xx (2.10)


97

unde s-a notat: )Oy,ncos(n);Ox,ncos(n;yuu;

xuu yxyx ==

∂∂=

∂∂= ,

n reprezentând direcţia normalei la frontiera domeniului.

Condiţiile la limită care se regăsesc în forma variaţională a problemei sunt de două tipuri: !"condiţii la limită esenţiale sau de tip Newmann (valorile variabilei u(x,y) şi ale primei derivate pe frontieră sau subfrontieră);

!"condiţii la limită naturale sau de tip Dirichlet (valorile derivatelor de ordin superior ale variabilei u(x,y) pe frontieră sau subfrontieră).

Pentru obţinerea formei variaţionale a problemei de mai sus se parcurg următoarele etape:

1. Se multiplică ecuaţia diferenţială cu o funcţie test v(x,y) şi se integrează pe domeniul Ω:

0=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∫Ω

dydxuF

yuF

xuFv

yx. (2.11)

Funcţia test v(x,y) trebuie să satisfacă condiţiile de omogenitate şi continuitate cerute funcţiei u(x,y) numai pe subfrontiera Γ2. Forma integrală (2.11) conţine aceleaşi ordine de derivare ca şi ecuaţia diferenţială (2.9).

2. Se transferă funcţiei test v(x,y) forma diferenţială ale funcţiei u(x,y) şi se identifică condiţiile pe frontieră. Acest transfer se poate face doar dacă sunt îndeplinite condiţiile de omogenitate şi continuitate ale funcţiei test v(x,y).

Prin acest transfer scad o parte din cerinţele privind derivabilitatea funcţiei u(x,y) transferându-se funcţiei test obţinându-se noi termeni de frontieră care conţin condiţiile la limită naturale şi esenţiale ale problemei. Pentru calculul integralei (2.11) se aplică formulele integralei GREEN :

⋅+∂∂−=

∂∂

⋅+∂∂−=

∂∂

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Ω Ω Γ

Ω Ω Γ

dsnGHdAyGHdA

yHG

dsnGHdAxGHdA

xHG

y

x

(2.12)

Ţinând seama de acestea, termenii integralei (2.11) devin:

∂∂−

∂∂⋅

∂∂=

∂∂

∂∂−

∂∂−

∂∂⋅

∂∂=

∂∂

∂∂−

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Ω Ω Γ

Ω Ω Γ

dsnuFv

yv

uFdydx

uF

yv

dsnuFv

xv

uFdydx

uF

xv

yyyy

xxxx (2.12’)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 98 Deci integrala (2.11) se scrie:

0=

∂∂+

∂∂−

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂

∫∫ΓΩ

dsnuFn

uFvdxdy

uF

yv

uF

xv

uFv y

yx

xyx (2.13)

Se observă că toţi coeficienţii funcţiei v(x,y) şi ai derivatelor parţiale, depind de condiţiile la limită naturale (2.10) pe subfrontiera Γ1. Deci funcţia test v(x,y) trebuie să aibă aceleaşi proprietăţi pe frontiera Γ1 ca şi funcţia u(x,y).

3. Transformarea funcţionalei (2.13) într-o formă pătratică şi introducerea condiţiilor pe frontieră:

dsnuFn

uFvdxdy

uF

yv

uF

xv

uFv y

yx

xyx∫∫ΓΩ

∂∂+

∂∂−

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂=0

dsnuFn

uFvdsqvdxdy

uF

yv

uF

xv

uFv y

yx

xyx∫∫∫

ΓΓΩ

∂∂+

∂∂−−

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂+

∂∂=

210

(2.14)

Fără a particulariza problema, ultimul termen al expresiei (2.14) se poate elimina alegând v(x,y)=0 pe Γ2. Se notează în expresia obţinută (2.14) cu:

!" dxdyuF

yv

uF

xv)v,u(B

yx∫Ω

∂∂⋅

∂∂+

∂∂⋅

∂∂= funcţionala biliniar simetrică;

!" dxdyuFvdsqv)v( ∫∫

ΩΓ ∂∂−=

1! funcţionala liniară.

Deci forma variaţională (2.14) se mai scrie:

B(u,v) - ! (v) = 0. (2.15)

Forma pătratică asociată acestei funcţionale este:

I(2)(u) = 21 B(u,u) - ! (u). (2.16)

Se caută o soluţie aproximativă a problemei u(x,y) care să minimizeze funcţionala pătratică asociată (2.16), adică să satisfacă ecuaţia:

δ I(2)(u)=0. (2.17)


99 Soluţia aproximativă a ecuaţiei (2.17), se poate scrie sub forma unei

combinaţii liniare de funcţii independente (numite şi funcţii de aproximare):

u(x,y)=∑ Φ jjC (2.18)

unde Cj sunt coeficienţi constanţi ce se determină din condiţiile la limită.

2.3. Obţinerea soluţiei formei variaţionale

Se consideră următoarea problemă de Rezistenţa materialelor: o

grindă încastrată la un capăt şi liberă la celălalt, de lungime L şi rigiditate la încovoiere constantă EI, pe lungimea căreia se aplică o sarcină distribuită q(x), iar la capătul liber al ei, o forţă concentrată Fo şi un cuplu Mo, ca în figura 2.1. Se cere să se determine deplasările, rotirile secţiunilor, eforturile tăietoare şi încovoietoare în orice secţiune a barei, utilizând forma variaţională şi metoda Ritz de rezolvare a acesteia.

Ecuaţia fibrei medii deformate pentru încovoierea barei drepte de

rigiditate constantă din Rezistenţa materialelor este:

EI 2

2

dxwd

= - M(x). (2.19)

Relaţiile diferenţiale între eforturi din Rezistenţa materialelor sunt:

)x(qdxdT

dxMd −==2

2

. (2.20)

q(x)

w(x) x M0 x

z

O

F0

L

ϕ(xM0-F0L-qL2/2

F0+qL

Fig. 2.1

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 100 Ecuaţia diferenţială (2.19) a fibrei medii deformate se mai poate scrie:

( ) 02

2

2

2=−

)x(q

dxwdxb

dxd (2.21)

unde s-a notat cu b(x) = EI

Condiţiile la limită esenţiale ale problemei sunt:

000

0 ===

=x

x dxdw;w . (2.21')

Condiţiile la limită naturale se scriu:

02

2

02

2F

dxwd)x(b

dxd;M

dxwd)x(b

LxLx

−=

−=

==

. (2.21'')

Dacă se consideră cazul particular q=constant, b=constant, efortul încovoietor în secţiunea aflată la distanţa x de capătul barei se scrie:

( )22

2

0

2

00qxxqLFqLLFM)x(M −++

−−=

Introducând în ecuaţia diferenţială (2.19) şi integrând se obţine soluţia exactă a problemei care are forma:

( )

( )24622

62243

0

22

00

32

0

2

00

qxxqLFxqLLFM)x(EIw

qxxqLFxqLLFMdx)x(M)x(EI

++−

++−=

++−

++−=−=ϕ ∫

(2.22)

În aplicaţiile practice inginereşti condiţiile de încărcare q=q(x) în general nu sunt omogene (netede). Dacă se consideră starea de încărcare de tip treaptă q(x)= q0 H(a-x), unde H(a-x) este funcţia treaptă de tip Heaviside, derivata funcţiei q(x) nu există în punctul x=a, deci soluţia (2.22) nu satisface condiţiile la limită ale problemei. Rezolvarea problemei se poate face pe intervale prin larea în considerare a condiţiilor la limită corespunzătoare. Acest procedeu se complică foarte mult în cazul în care punctele de discontinuitate sunt mai numeroase. Metodele variaţionale înlătură acest dezavantaj. În vederea formulării variaţională a problemei (2.21), se consideră funcţia test v(x) de două ori derivabilă care satisface aceleaşi condiţii la limită ca şi w(x):

0000

=∂∂=

=xxv;)(v . (2.24)


101

Se multiplică ecuaţia diferenţială (2.21) cu funcţia test şi se integrează pe lungimea L:

( ) 00

2

2

2

2=

⋅−

⋅∫ dx)x(qv

dxwdxb

dxdv

L. (2.25)

Integrând prin părţi primul termen al integralei (2.25) şi introducând condiţiile la limită (2.21’) şi (2.22”) se obţine:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) dxdx

wddx

vdxbdxdvM)L(vF

dxdx

wdxbdx

vddx

wdxbdxdv)L(vF

dxdx

wdxbdxd

dxdv

dxwdxb

dxdvdx

dxwdxb

dxdv

L

lx

LL

LLL

∫

∫

∫∫

++⋅−=

=+

−⋅−=

=

−

⋅=

⋅

= 02

2

2

2

00

02

2

2

2

02

2

0

02

2

02

2

02

2

2

2

(2.26)

Deci forma variaţională a problemei (2.25) devine:

( ) dxdx

wddx

vdxbdx)x(qvdxdvM)L(vF

LL

Lx∫∫ +−+⋅−=

= 02

2

2

2

0000 . (2.27)

Soluţia w(x) care satisface această ecuaţie se numeşte soluţie variaţională a ecuaţiei diferenţiale (2.21). Din expresia formei variaţionale (2.27) se observă că nu sunt necesare condiţii de continuitate pentru prima şi a doua derivată şi condiţiile la limită (2.21’) (2.21”) şi (2.24) sunt incluse în aceasta. Această formă este simetrică, deci admite o formă pătratică asociată care are forma:

( )Lx

LL)(

dxdwM)L(wFdx)x(qwdx

dxwdxb)w(I

=+⋅−−

= ∫∫ 00

00

2

2

22

21 (2.28)

Metodele de rezolvare a ecuaţiilor sub forma variaţională (2.27) sau (2.28) sunt metode aproximative deoarece se caută soluţii de aproximare sub forma unei combinaţii liniare de funcţii de aproximare independente Φj :

u(x)=∑ Φ jjC , (2.29)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 102 unde: Cj sunt coeficienţi care se determină din condiţia ca soluţia (2.29) să minimizeze forma pătratică (2.28) asociată funcţionalei, care condiţie se scrie:

δI(2)(u) = 0. (2.30)

Metoda reziduurilor ponderate stă la baza metodelor folosite pentru rezolvarea ecuaţiilor sub formă variaţională şi diferă între ele doar prin modul de alegere a funcţiilor de aproximare Φj şi a funcţiilor test v(x). Aceste metode sunt: RITZ, GALERKIN, PETROV-GALERKIN, COURANT, metoda celor mai mici pătrate, a colocaţiei, etc. Metoda elementelor finite este un caz particular al metodei RITZ în care funcţiile test v(x) sunt identice cu funcţiile de aproximare Φj. Se scrie ecuaţia variaţională (2.27) pentru un subdomeniu Ωe corespunzător elementului iar condiţiile la limită se scriu într-un număr limitat de puncte care sunt nodurile elementului finit. Rezultă pentru fiecare element o ecuaţie variaţională de forma (2.27) care se scrie matriceal astfel:

[ ] eee FK =α . (2.31)

Prin asamblarea ecuaţiilor corespunzătoare tuturor elementelor se obţine o ecuaţie matriceală globală de forma:

[ ] FK =δ . (2.31’)

2.3.1 Metoda RITZ pentru determinarea extremumului funcţionalelor

Se consideră următoarea formă variaţională asociată unei probleme:

B(v, u)- )(v! =0, (2.32)

în care v(x) este funcţia test şi u(x) este soluţia variaţională. Dacă B(v, u) este o funcţională biliniară şi simetrică în raport cu u(x)

şi v(x) iar )v(! este o funcţională liniară în raport cu v(x), atunci găsirea soluţiei ecuaţiei (2.32) este echivalentă cu minimizarea funcţionalei pătratice asociate:

I(2)(u)= 21 B(u,u)- )u(! , (2.33)

sau determianrea extemumului funcţionalei pătratice asociate adică rezolvarea ecuaţiei cu derivate parţiale:

δ I(2)(u)=0. (2.34)


103 Se caută soluţii de aproximare u(x) de forma:

01

Φ+Φ=∑=

N

jjjN C)x(u , (2.35)

în care: jΦ sunt funcţii de aproximare independente, Cj - coeficienţii Ritz, care se determină din condiţia ca funcţiile de aproximare jΦ să fie şi funcţii test, adică să satisfacă condiţia:

( ) 01

0 =Φ−

Φ+ΦΦ ∑

=i

N

jjji C,B ! (2.36)

Dacă funcţionala biliniară B(u,v) este simetrică atunci se poate scrie relaţia:

),(B),(BCC,B iji

N

jj

N

jjji 0

110 ΦΦ+ΦΦ=

Φ+ΦΦ ∑∑

==. (2.37)

şi relaţia (2.36) se transformă într-un sistem de ecuaţii având ca necunoscute coeficienţii Cj:

N,...,,i),,(B)(),(BC iiji

N

jj 210

1=ΦΦ−Φ=ΦΦ∑

=! . (2.38)

Dacă se notează ),(Bb jiij ΦΦ= şi ),(B)(F iii 0ΦΦ−Φ=! , sistemul de ecuaţii (2.38) devine:

N,...,,iFbC i

N

jijj 21

1==∑

=. (2.39)

Matricea sistemului trebuie să fie inversabilă, deci coeficienţii bij să fie liniar independenţi. Necunoscutele Ci se determină din condiţia de minimizare a funcţionalei pătratice (2.34):

002

1

22 =

∂∂⇔=δ

∂∂=δ ∑

= i

)(n

ii

i

)()(

CIC

CII (2.40)

Funcţiile de aproximare Φ0 şi Φi trebuie să satisfacă următoarele condiţii:

!"Φ0 , condiţiile pe frontieră esenţiale impuse lui u;

!"Φi , forma omogenă pe frontieră (deoarece sunt funcţii test);

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 104 !"B(Φi, Φj) să fie complet definită şi nenulă iar liniile matricei formate cu

elementele bij= B(Φi, Φj) să fie liniar independente.

Îndeplinirea acestor condiţii garantează convergenţa soluţiei formei vriaţionale atunci când creşte numărul de elemente; valorile iniţiale calculate pentru bij şi Fi pentru un anumit număr de elemente nu se modifică cu creşterea numărului de elemente, adăugându-se doar noi linii şi noi coloane matricei asociate sistemului de ecuaţii, aşa cum rezultă în continuare din relaţiile (2.47) şi (2.49). Forma variaţională obţinută (2.27) în cazul problemei analizate:

( ) dxdx

wddx

vdxbdx)x(qvdxdvM)L(vF

LL

Lx∫∫ +−+⋅−=

= 02

2

2

2

0000 (2.41)

se mai scrie sub forma:

)v()v,w(B !−=0 , (2.42)

în care s-a notat:

( )

+−⋅=

=

∫

∫

=

L

lx

L

dx)x(qvdxdvM)L(vF)v(

;dxdx

wddx

vdxb)v,w(B

000

02

2

2

2

!

(2.43)

Soluţia formei variaţionale (2.41) se caută sub forma unei combinaţii liniare de funcţii de aproximare de forma: Φj = x j+1, adică:

∑=

+=N

j

jjN xCw

1

1 (2.44)

Se observă că funcţiile de aproximare Φj = x j+1 satisfac condiţiile la limită cerute funcţiei w(x), adică:

Φj (0)=0; 00

=Φ

=x

j

dxd

. (2.45)

Înlocuind funcţiile de aproximare Φj = x j+1, în expresiile termenilor bij şi Fi şi luând q=q(x)=constant, b=b(x)=constant, se obţin coeficienţii bij şi Fi:

N,...,,j,i;i

LqL)i(MLFF

jiL)j)(i(jibdxx)j(jx)i(ibb

iii

i

jiji

L

ij

212

1

11111

2

01

0

111

0

=+

⋅+++−=

−+++=⋅+⋅⋅+⋅=

++

−+−−∫

(2.46)


105 !"Pentru N=2 se obţine un sistem de două ecuaţii care se scrie

matriceal astfel:

+−

+−=

43

32

12664

3

02

0

2

00

2

12 qLLMLF

qLMLF

CC

LLL

b (2.47)

Rezolvând acest sistem se obţin necunoscutele C1 şi C2, care se înlocuiesc în expresia (2. 43) şi conduc la o soluţie variaţională de gradul trei:

bxqLF

bxqLMLF)x(w

30

2200

2 126245

22

+−

+−= . (2.48)

!"Pentru N=3 se obţine un sistem de trei ecuaţii care se scrie matriceal astfel:

+−

+−

+−

=

54

43

32

514418818126864

42

03

0

3

02

0

2

00

3

2

1

432

32

2

qLLMLF

qLLMLF

qLMLF

CCC

LLLLLLLL

b (2.49)

Rezolvând acest sistem se obţin necunoscutele C1 , C2 şi C3 care se înlocuiesc în expresia (2. 43) şi conduc la o soluţie variaţională de gradul patru:

bxq

bxqLF

bxqLLFM)x(w

430

2200

3 24642+

+

−

+

+−= . (2.50)

Soluţia variaţională coincide în acest caz cu soluţia exactă:

w3(x)=w(x). (2.50’)

Pentru N > 3 toate celelalte necunoscute sunt nule (Cj=0, j=4,5,6, ... ).

Problema prezentată mai sus se mai poate rezolva şi cu ajutorul teoremei energiei potenţiale minime: lucrul mecanic virtual al forţelor interioare δ W care ia naştere în interiorul unui corp elastic sub acţiunea sarcinilor exterioare este egal cu lucrul mecanic virtual al sarcinilor exterioare δ L:

δW = δL sau δ(W – L) = δΠ = 0 (2.51)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 106 unde:

Π = W - L (2.52)

reprezintă energia potenţială acumulată de corpul elastic Relaţia (2.51) exprimă condiţia de minim a energiei potenţiale. Formularea diferenţială (2.21) a problemei este echivalentă cu

formularea variaţională scrisă sub forma integrală a teoremei energiei potenţiale minime.

Se consideră problema prezentată anterior când asupra barei acţionează forţa P (fig. 2.2). Se cere deplasarea w2 a punctului de aplicaţie al forţei.

Momentul încovoietor într-o secţiune oarecare situată la distanţa x de

capătul din stânga se exprimă în funcţie de deplasarea corespunzătoare w(x), cu ajutorul ecuaţiei diferenţiale a fibrei medii deformate:

2

2

dxwdEI)x(M −= (2.53)

Energia potenţială Π conform expresiei (2.52) se scrie ca diferenţă dintre energia potenţială elastică acumulată datorită eforturilor interioare încovoietoare din bara supusă la încovoiere şi lucrul mecanic efectuat de forţa P:

2

2

2

2

2

2

22wPdx

dxwdEIwPdx

EI)x(M

LL∫∫ ⋅−

=⋅−=Π (2.54)

Această expresie este o funcţională pătratică al cărei minim se obţine anulând prima variaţie, adică aplicând teorema energiei potenţiale minime:

02 2

2

2

2

=

⋅−

δ=Πδ ∫ wPdx

dxwdEI

L

(2.54’)

w2

x

Fig. 2.2

x

z

O

L

ϕ(x) PL

w(x) P

P


107 O soluţie aproximativă care satisface ecuaţia (2.54) este combinaţia

de funcţii independente fi(x) de forma 1, x, x2, x3, ... adică:

w(x)=C0 + C1x + C2x2 + C3x3 + ... + Cnxn (2.55)

Derivatele soluţiei aproximative se scriu:

w’(x)=C1 + 2C2x + 3C3x2 + ... + nCnxn-1 (2.56)

w”(x)= 2C2 + 6C3x + ... + n(n-1)Cnxn-2 (2.57)

Din condiţiile la limită se determină consatntele C0 şi C1:

==

⇒

=ϕ=′=

=00

0000

01

0

CC

)x()(w)(w

x (2.58)

rezultă deci forma generală a soluţiei aproximative pentru acest caz:

w(x)= C2x2 + C3x3 + ... + Cnxn (2.58’)

Înlocuind (2.57) şi (2.58’) în ecuaţia (2.54) se obţine:

( ) ( ) 0622

33

22

232 =

++⋅−++δ=Πδ ∫ ...LCLCPdx...xCCEI

L (2.59)

care este echivalentă cu:

( ) ( ) 0622

33

22

232 =δ

++⋅−++

∂∂∑ ∫ i

LiC...LCLCPdx...xCCEI

C (2.59’)

Deoarece variaţiile virtuale iCδ pot avea orice valoare, ecuaţia (2.59’) este echivalentă cu sistemul de ecuaţii cu necunoscutee Ci:

( ) ( ) ,...,i;...LCLCPdx...xCCEIC Li

320622

33

22

232 ==

++⋅−++

∂∂

∫ (2.60)

!"Dacă se reţine doar primul termen al funcţiei de aproximare (2.58’) atunci sistemul (2.60) se reduce la o singură ecuaţie:

EI

PLCPLLEICLPCLCEIC 4

04042 2

22

22

22

2=⇒=−⇔=

−

∂∂ (2.61)

Soluţia aproximativă este un polinom de gradul II :

2

4x

EIPL)x(w = (2.62)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 108 Valoarea deplasării capătului liber (săgeţii w2) este:

EIPLw4

3

2 = (2.63)

!"Dacă se reţin primii doi termeni al funcţiei de aproximare (2.58’) atunci sistemul (2.60) se scrie:

( ) ( )

( ) ( )

=

+−+

∂∂

=

+−+

∂∂

∫

∫

0622

0622

33

22

232

3

33

22

232

2

LCLCPdxxCCEIC

LCLCPdxxCCEIC

L

L (2.64)

Rezolvând integralele se obţine sistemul:

( )( )

−=

=⇒

=−+

=−+

EIPC

EIPLC

PLCLLCEIL

PLLCCEIL

6

20126

064

3

2

33

22

232 (2.64’)

Forma soluţiei aproximative este în acest caz un polinom de gradul III:

32

62x

EIPx

EIPL)x(w −= (2.65)

Această soluţie aproximativă coincide cu soluţia exactă a problemei.

Valoarea exactă a săgeţii w2 în capătul barei este:

EI

PLw3

3

2 = (2.66)

Dacă se iau mai mult de doi termeni al funcţiei de aproximare (2.58’) C2 şi C3 au aceleaşi valori (2.64’) şi toţi ceilalţi coeficienţi C4, C5, .. rezultă nuli.

2.3.2 Metoda reziduurilor ponderate

Este o generalizare a metodei RITZ în care funcţiile test v(x) pot fi set de orice funcţii independente, diferite de funcţiile de aproximare. Întrucât forma variaţională include condiţiile la limită ale problemei, funcţiile de aproximare se aleg astfel încât să satisfacă condiţiile la limită ale problemei.


109 Se consideră ecuaţia diferenţială pe domeniul Ω scrisă cu ajutorul

operatorului diferenţial A:

Au=f (2.67)

şi condiţiile la limită pentru funcţia u şi derivata sa u’(x) pe frontiera Γ. Ca şi în cazul metodei RITZ, soluţia formei variaţionale

corespunzătoare ecuaţiei diferenţiale (2.67) se caută ca o combinaţie de funcţii de aproximare independente:

01

Φ+Φ=∑=

N

jjjN Cu . (2.68)

Funcţiile de aproximare independente trebuie să satisfacă condiţiile: !"Φ0 - condiţiile la limită esenţiale ale problemei; !"Φi - condiţiile impuse la metoda RITZ şi forma omogenă pentru

condiţiile la limită. Se defineşte funcţia reziduu (similară funcţiei de erori a aproximării

unei funcţii de o variabilă independentă), funcţia:

E = A(uN) - f (2.69)

Odată stabilite funcţiile Φ0 şi Φi , funcţia reziduu E devine o funcţie de o variabilă independentă şi de parametrii Cj , adică :

E = E(x,y,Ci). (2.70) Metoda reziduurilor ponderate constă în minimizarea funcţionalei:

N...,i,dydx)C,y,x(E)y,x( ii 210 ==⋅ψ∫Ω

(2.71)

în care: ψi (x,y) se numesc funcţii de pondere şi au în general aceeaşi natură cu funcţiile de aproximare φi . Setul de funcţii de pondere: ψi (x,y) i= 1,2, ..., N trebuie să fie liniar independente. Dacă funcţiile de pondere ψi (x,y) sunt identice cu funcţiile test, se obţine cazul particular al metodei RITZ.

Dacă operatorul diferenţial A permite ca în forma integrală (2.71) să se poată transfera o parte din condiţiile de derivabilitate ale soluţiei u(x) funcţiilor de pondere ψi (x,y), prin aceasta condiţiile de continuitate impuse soluţiei se relaxează. Dacă operatorul A este liniar ecuaţia (2.71) se poate scrie:

0

0

10 =

−Φ+Φψ

=⋅ψ

∫ ∑

∫

Ω =

Ω

dydxf)C(A

dydx)C,y,x(E)y,x(

N

jjji

ii

(2.72)


[ ] 01

0 =−Φψ+

Φψ∑ ∫∫

= ΩΩdxdyf)(ACdxdy)(A

N

jijji

sau notând:

[ ]dxdyf)(Af

;dxdy)(AA

ii

jiij

∫

∫

Ω

Ω

−Φψ−=

Φψ=

0

(2.73)

se obţine sistemul de ecuaţii:

N...,i,fCA i

N

jjij 21

1==∑

= (2.74)

care se oate scrie matriceal astfel:

[ ] FCA = (2.75)

Matricea sistemului [A] nu mai este simetrică ca în cazul metodei RITZ.

În funcţie de tipul funcţiilor de pondere ψi (x,y) şi al funcţiilor de aproximare φi(x,y) se deosebesc: 1. metoda PETROV-GALERKIN - când ψi (x,y) ≠φ i (x,y); 2. metoda GALERKIN - când ψi (x,y) =φ i (x,y) iar A este un operator

diferenţial liniar par sau impar; 3. metoda RITZ - ψi (x,y) =φ i (x,y), iar A este un operator diferenţial liniar

par. 4. metoda celor mai mici pătrate similară cu metoda celor mai mici pătrate

la aproximarea funcţiei de o variabilă independentă, constă în minimizarea funcţionalei depinzând de parametrii Cj:

∫= dxdy)C,y,x(E)C(I jj2 , (2.77)

adică anularea derivatelor parţiale a funcţionalei în raport cu Cj:

0=∂

∂Cj

)C(I j ; (2.78)

Se observă că în acest caz funcţiile de pondere au forma particulară:

i

i CE

∂∂=ψ . (2.79)


111 5. metoda colocaţiei constă în determinarea soluţiei aproximative

01

Φ+Φ=∑=

N

jjjN Cu care anulează funcţia reziduu: E = A(uN ) - f într-

un număr N de puncte fixate, numite puncte de colocaţie ale domeniului Ω, adică: E(xi,yi,Cj)=0 , i=1,2, ..., N;

Selectarea punctelor de colocaţie este foarte importantă în obţinerea unui sistem de ecuaţii bine condiţionat (care prezintă o matrice uşor inversabilă).

6. metoda COURANT este o combinaţie între metoda RITZ şi metoda celor mai mici pătrate pentru un operator liniar A şi constă în determinarea

soluţiei aproximative 01

Φ+Φ=∑=

N

jjjN Cu care minimizează

funcţionala pătratică:

2

2f)u(A)u(I)u(I NNNp −γ+= , (2.80)

unde: I(uN) este funcţionala pătratică asociată ecuaţiei diferenţiale liniare Au=f; γ - coeficient de pierderi.

2.3.3. Metoda Galerkin sau a minimizării funcţei reziduu

Pentru a ilustra modul de aplicare a metodei Galerkin de determinare a soluţiei formei variaţionale cu ajutorul funcţiei reziduu (2.70) se consideră următoarea problemă: o bară dreptă de lungime 2a şi rigiditate la încovoiere constantă pe lungimea ei EI, rezemată la capete încărcată cu o forţă P la mijlocul deschiderii dintre reazeme (fig. 2.3). Se cere să se determine funcţia deplasărilor w(x) şi săgeata w2 la mijlocul barei.

Fig.2.3

x

z

P

w(x) P/2 P/2

x

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 112 Ecuaţiei fibrei medii deformate:

02

2

2

2=+⇔−=

EI)x(M

dxwd

EI)x(M

dxwd (2.81)

se mai scrie astfel: 0=+= )x(F)w(A)x(R (2.82)

unde A este un operator diferenţial par iar EI

)x(M)x(F = este o funcţie de

x. Se alege o soluţie de aproximare )x(w sub forma unei combinaţii de n+1 funcţii independente fi(x):

∑=

=n

iii )x(fC)x(w

0 (2.83)

Această funcţie de aproximare trebuie să satisfacă condiţiile la limită ale problemei (în cazul de faţă 0200 =′== )/L(w,)L(w)(w ). Înlocuind forma funcţiei de aproximare (2.83) în relaţia (2.82) rezultă funcţia reziduu R(x) care nu mai este nulă şi depinde de consatntele Ci:

)x(F)w(A)C,...C,C,x(R n +=10 (2.84)

Condiţia de minim pentru funcţia reziduu (2.84) se scrie în spaţiul vectorial al funcţiilor de aproximare prin ecuaţia de ortogonalitate dintre aceasta şi vectorii independenţi ai funcţiilor fi(x) :

0

0

0

10

101

100

=⋅

=⋅

=⋅

∫

∫∫

)C,...,C,C,x(R)x(f

.....

)C,...,C,C,x(R)x(f

)C,...,C,C,x(R)x(f

nn

n

n

(2.85)

Din aceste ecuaţii se observă că componentele vectorului funcţiilor de aproximare fi(x) joacă rol de funcţii de pondere.

Datorită simetriei problemei din figura 2.3 se va studia numai pe jumătate din deschiderea barei: [ ]a,x 0∈ . Se consideră o soluţie aproximativă este combinaţia de funcţii independente fi(x): 1, x, x2, x3, ... adică:

w (x)=C0 + C1x + C2x2 + C3x3 + ... + Cnxn (2.86)

Derivata ei se scrie:

w ’(x)=C1 + 2C2x + 3C3x2 + ... + nCnxn-1 (2.87)


113 Din condiţiile la limită se determină consatntele C0 şi C1:

( )

+++−=

=⇒

=′=

−12321

0

32

00

00n

nanC...aCaCC

C)a(w

)(w (2.88)

rezultă deci soluţia aproximativă de forma:

)xxna(C...)xxa(C)xax(C)x(w nnn +−+++−++−= −132

32

2 32 (2.89)

şi derivatele ei:

2

32

112232

162

32−

−−

−+++=′′

+−+++−++−=′n

n

nnn

xC)n(n...xCC)x(w

)xa(nC...)xa(C)xa(C)x(w (2.89’)

Deci funcţia reziduu se scrie în acest caz:

xEIPxC)n(n...xCCR

)x(FwR

nn 2

162 232 +−+++=

+′′=

− (2.90)

!"Condiţia de ortogonalitate (2.85) în cazul în care se reţine din expresia (2.89) doar prima funcţie ( 2

2 2 xax)x(f +−= ) se scrie:

( )

EIPaC

EIPaCadxx

EIPCxax

a

325

0245

340

222

2

4

23

02

2

−=⇒

=−−⇒=

++−∫

(2.91)

Deci soluţia de aproximare este în acest caz:

)ax(EI

Pa)x(w);axx(EI

Pa)x(w −−=′−−=1652

325 2 (2.92)

Săgeata la mijlocul barei are valoarea aproximativă:

EIPaw

325 3

2 = (2.92’)

!"Condiţia de ortogonalitate (2.85) în cazul în care se reţin din expresia funcţiei de aproximare (2.89) funcţiile 2

2 2 xax)x(f +−= şi 32

3 3 xxa)x(f +−= se scrie:

( )

( )

=

+++−

=

+++−

∫

∫

02

623

02

622

032

32

032

2

a

a

dxxEIPxCCxxa

dxxEIPxCCxax

(2.93)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 114 Se obţine sistemul:

−=

=

−=+

−=+

EIPC

C:solutiilecu

EIPaCC

EIPaCC

12

0

44825

253016

3

2

32

32

(2.94)

Deci soluţia de aproximare este în acest caz identică cu soluţia exactă.:

)xax(EIP)x(w 23 3

12−−= (2.95)

Săgeata la mijlocul barei are valoarea exactă :

EIPaw6

3

2 = (2.95’)

2.4. Metode de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liniare

Rezolvarea sistemelor de ecuaţii liniare cu un număr foarte mare de necunoscute de forma (2.31’) este o etapă importantă a analizei cu elemente finite. Pentru rezolarea unor asemenea sisteme de ecuaţii se folosesc diferite metode de calcul numeric care se pot grupa în :

a. metode de eliminare succesivă (Gauss, Gauss-Jordan, Choleski);

b. metode iterative (Gauss-Seidel, Jacobi)

2.4.1. Metoda eliminării succesive Gauss Prin eliminarea succesivă a câte unei necunoscute din sistemul de

ecuaţii, folosind un algoritm destul de simplu, se simplifică foarte mult calculul.

Fie sistemul de n ecuaţii algebrice liniare cu n necunoscute:

=++++

=++++=++++=++++

nnnnnnn

nn

nn

nn

bxa...xaxaxa...............................

bxa...xaxaxabxa...xaxaxabxa...xaxaxa

332211

33333232131

22323222121

11313212111

(2.96)


115 care se scrie sub forma matriceală:

[ ] BXA = (2.97)

unde: [ ]A reprezintă matricea coeficienţilor necunoscutelor sistemului (o matrice pătratică nesingulară cu determinant nenul, elementele fiind: aij, i, j=1,2, ... n; T

nx...xxxX 321= matricea coloană (vectorul) a necunoscutelor sistemului; T

nb...bbbB 321= matricea coloană a termenilor liberi ai sistemului. Metoda Gauss obţine în mod succesiv coeficienţi nuli în prima

coloană a matricii sub coeficientul nenul a11 (pasul 1), apoi în a doua coloană sub coeficientul nenul a22 modificat prin eliminarea anterioară (pasul 2), şi aşa mai departe, în final în penultima coloană sub coeficientul an-1,n-1 modificat prin eliminarea anterioară. Se parcurg n-1 paşi :

Pasul 1: Presupunem că a11 ≠ 0 (dacă a11= 0 , se caută o altă necunoscută xk având a1k ≠ 0 şi se schimbă poziţia acestei necunoscute cu x1). Coeficientul a11 se numeşte pivot iar linia 1 se numeşte linie de pivotare. Se recomandă ca pivotul să fie cât mai mare , deoarece în acest caz erorile de rotunjire vor fi minime. !"Se împarte ecuaţia 1 la coeficientul a11 obţinându-se noii coeficienţi:

11

111

11

111 21

abb;n,...,,j,

aa

a )(j)(j === (2.98)

Se elimină necunoscuta x1 din ecuaţiile 2, 3,..., n ale sistemului astfel: din ecuaţiile (2), (3), (4), ... (n) se scade ecuaţia (1) multiplicată

respectiv cu: n,...,,i,aai 32

11

1 = obţinându-se noii coeficienţi cu ajutorul

relaţiilor:

211

1

111

11

11

1

11

1

111

11

11

1

≥=−=

=−=

j,i,a

baba

aabbb

,a

aaaa

aaaaa

iiii

)(i

iji

j

ijij

)(ij

(2.99)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 116 Se obţine noul sistem de ecuaţii:

=+++

=+++=+++=++++

)(nn

)(nn

)(n

)(n

)(n

)(n

)()(

)(n

)(n

)()(

)(n

)(n

)()(

bxa...xaxa................................

bxa...xaxabxa...xaxabxa...xaxax

113

132

12

13

133

1332

132

12

123

1232

122

11

113

1132

1121

(2.100)

Pasul 2: Ecuaţia 1 nu se modifică. Se procedează analog cu

ecuaţiile 2, 3, ..., n: se împarte ecuaţia 2 la coeficientul lui 2x (linia 2 este acum linia de pivotare) şi se elimină necunoscuta 2x din ecuaţiile 3, 4, ... n, calculându-se noii coeficienţi cu ajutorul relaţiilor:

!" )(

)()(

)(

)(j)(

j abb;n,...,j,

aa

a 122

112

1122

122

2 2 === (2. 101)

!" 3122

112

12

122

11

22

112

12

122

2 ≥== j,i,a

baba

b,a

aaaa

a )(

)(i

)(i

)()(

)(i)(

)(ij

)(i

)(j

)(

)(ij (2. 102)

Se obţine noul sistem de ecuaţii:

=++

=++

=+++

=++++

)(nn

)(nn

)(n

)(n

)(n

)(

)(n

)(n

)(

)(n

)(n

)()(

bxa...xa

................................bxa...xa

bxa...xax

bxa...xaxax

223

23

23

233

233

22

223

2232

11

113

1132

1121

(2. 103)

La paşii următori se repetă algoritmul, ecuaţiile 1 şi 2 nu se modifică. Se obţine în final sistemul de ecuaţii:

=

=+

=++=+++

=++++

−−

−−−

)n(nn

)n(nn

)n(n,nn

)(n

)(n

)(n

)(n

)(

)(n

)(n

)()(

bx

bxax...

bxa...xbxa...xaxbxa...xaxax

11

111

33

333

22

223

2232

11

113

1132

1121

(2. 104)


117 Necunoscutele se determină prin retrosubstituţie pornind de la ultima

ecuaţie obţinându-se:

⋅−=

⋅−==

∑+=

−−

−−−

.xabx

...;xabx

;bx

n

ikk

)i(ik

)i(ii

n)n(

n,n)n(

nn

)n(nn

1

11

111

(2. 105)

2.4.2. Metoda eliminării succesive Gauss în cazul sistemelor de ecuaţii liniare cu matrice bandă simetrică

Dacă matricea [A] a sistemului (2.96) are coeficienţii aij= aji, i≠j, i, j = 1, 2, 3, ..., n atunci aceasta este o matrice simetrică.

Dacă coeficienţii aij, i, j = 1, 2, 3, ..., n iau valori nu toate nule, când:

( ) ( )( ) ( )111

111−++−=−++−=

bandband

bandband

lk,nmin...,,lk,maxjlk,nmin...,,lk,maxi

unde: lband∈ (1, 2, 3, ..., n) este lăţimea de semibandă a matricii; k=1, 2, 3, ..., n, toate celelalte valori fiind nule, atunci aceasta este o matrice bandă şi simetrică. Fie matricele:

[ ]

−−

=

2810000827600017902000605380002327500087120000523

A şi [ ]

−=

002082179605232871523

S (2. 106)

unde [S] este matricea bandă (dreptunghiulară n× lband) corespunzătoare matricei [A] având lăţimea de semibandă: lband = 3.

În cazul în care numărul de ecuaţii este foarte mare memoria internă a calculatorului se dovedeşte insuficientă pentru rezolvarea sistemului. Pentru matricele bandă şi simetrice, metoda Gauss poate fi îmbunătăţită astfel: !"matricea [A] fiind simetrică este suficientă reţinerea unui număr de:


214321 )n(nn... +=+++++ valori; (2. 107)

!"matricea [A] fiind bandă este suficientă reprezentarea ei print-o martice bandă [S] având dimensiunea (n× lband) adică reţinerea unui număr de n× lband valori;

Aplicând metoda Gauss prezentată la paragraful precedent se observă că la pasul 1 pentru o astfel de matrice sunt necesare primele lband ecuaţii asupra cărora se aplică algoritmul metodei (deoareec coeficienţii lui x1 sunt nuli pentru liniile lband+1, ..., n). Se observă de asemena că la fiecare pas în parte se va lucra numai cu un număr de lband ecuaţii. În consecinţă este suficientă pentru fiecare pas memorarea unui număr l2

band valori din matricea bandă [S] şi a unui număr lband de valori din matricea [B]. În acest caz se reduce foarte mult necesarul de memorie internă ca în exemplul următor: fie matricea [A](n×n), n=1000, lband=50. !"prin metoda Gauss obişnuită (dacă se consideră [A] o matrice oarecare)

sunt necesare 10010001000100022 =+=+nn operaţii; !"prin metoda Gauss dacă se consideră [A] o matrice bandă şi simetrică

sunt necesare 2550505022 =+=+ bandband ll operaţii; !"rezultă o economie de memorie :

%,E 74991001000

25501001000 =−= (2. 108)

Sistemul cu matrice bandă şi simetrică apar la rezolvarea sistemelor matriceale de la metoda deplasărilor, metoda diferenţelor finite, metoda elementelor finite şi de frontieră utilizate în calculul structurilor mecanice.

2.4.3. Metoda eliminării succesive Gauss - Jordan

Este similară cu metoda precedentă, cu deosebirea că urmăreşte obţinerea de zerouri atât sub diagonala principală cât şi deasupra ei, reducând matricea iniţială la o matrice diagonală. Numărul de opreaţii creşte (cu circa 50%) dar apare o reducere a acestora în faza următoare (a retrosubstituţiei), deoarece necunoscutele se obţin în acest caz direct. Din cauza numărului mare de operaţii, aplicarea acestei metode este mai rar întâlnită. Ea se foloseşte pentru calculul matricii inverse.

2.4.4. Metoda eliminării Choleski

Este o metodă de eliminare a necunoscutelor având un specific mai aparte folosită la rezolvarea aplicaţiilor prin metoda elementelor finite, când se ajunge la sisteme de ecuaţii cu un număr foarte mare de necunoscute (de


119 ordinul zecilor de mii). Forma matriceală generală a unui astfel de sistem este:

[ ] FK =δ (2.109) unde: [ ]K este matricea de rigiditate a structurii; δ vectorul deplasărilor

nodale şi F vectorul încărcărilor din nodurile structurii . Forma generală a matricei [K] este:

[ ]

=

nnnnn

n

n

n

k...kkk.....

k...kkkk...kkkk...kkk

K

321

3333231

2232221

1131211

(2.110)

Metoda Choleski constă în descompunerea matricei pătratice [K] într-un produs de două matrice triunghiulare:

[ ] [ ][ ]SLK = (2. 111)

unde: [ ]

=

nnnnn l...lll.....

...lll

...ll

...l

L

321

333231

2221

11

000000

(2. 112)

este o matrice triunghiulară inferioară

şi [ ]

=

1000

10010

1

3

223

11312

........

s...s...ss...ss

S n

n

n

(2. 113)

o matrice triunghiulară superioară

Elementele matricelor [L] şi [S] se determină cu ajutorul relaţiilor :

ji,slklj

mmjimijij ≥−= ∑

−

=

1

1 (2. 114)


jil

slks;s

ii

j

mmjimij

ijii <−

==∑

−

=

1

11 (2. 115)

Aceste elemente se calculează obligatoriu în succesiunea (seturi de valori) următoare:

.l,s,l...,s,l,s,l,s,l nnjnn,ijijiji 11332211 −− (2. 116)

Ca urmare a descompunerii [ ] [ ][ ]SLK = , sistemul de ecuaţii de mai sus se scrie:

[ ][ ] [ ] FLsauFSL =Λ=δ (2. 117) unde [ ] δ=Λ S este o matrice coloană intermediară ale cărei elemente λ i

se determină prin substituţie directă în sistemul (2.117): [ ] FL =Λ sau:

=λ++λ+λ

=λ+λ+λ=λ+λ=λ

nnnnnn Fl...ll....

FlllFllFl

2211

3333232131

2222121

1111

(2. 118)

Necunoscutele iniţiale δi se determină prin retrosubstituţie din sistemul: [ ] δ=Λ S (2. 117) sau:

λ=δλ=δ+δ

λ=δ++δ+δλ=δ++δ+δ+δ

−−−

nn

nnn,nn

nn

nn

s....

s....ss....ss

111

223232

113132121

(2. 119)

2.4.5. Metoda iterativă Jacobi

Metodele de eliminare prezentate anterior conduc la un număr relativ de ridicat de operaţii, număr care creşte odată cu numărul de ecuaţii (necunoscute) ale sistemului. Operaţii suplimentare mai apar atunci când sunt căutaţi pivoţii cei mai mari pentru fiecare pas în scopul r4educerii erorilor de rotunjire. Spre deosebire de acesta metodele iterative pot conduce la un număr mai redus de operaţii şi totodată a reducerii erorilor la fiecare


121 pas. Astfel la metoda eliminării Gauss numărul de operaţii în cazul unui sistem cu n ecuaţii este: 223 /nn + .

Metoda iterativă Jacobi constă din extragerea necunoscutei xi din ecuaţia i, presupunând aii ≠ 0, i=1,2,3, ..., n.

ininjijiiiii bxa...xa...xa...xaxa =+++++++ 2211 (2.120)

Rezultă:

n,...,,i,a,xaba

x ii

n

ijj

jijiii

i 21011

=≠

−= ∑

≠=

(2. 121)

Ca la orice procedeu iterativ se alege convenabil o valoare de start pentru necunoscutele xi, i=1,2,3, ..., n , valoare pe care o notăm cu )(

ix 0 .

În prima etapă a iteraţiei se obţine relaţia de recurenţă:

n,...,,i,a,xaba

x ii

n

ijj

)(jiji

ii

)(i 2101

1

01 =≠

−= ∑

≠=

(2. 122)

Pentru o etapă oarecare k+1 a iteraţiei se obţine relaţia de recurenţă:

==

≠

−= ∑

≠=

+

,...,,,kn,...,,i

,a,xaba

x ii

n

ijj

)k(jiji

ii

)k(i 3210

2101

1

1 (2. 123)

Procedeul se poate aplica dacă sunt îndeplinite condiţiile de convergenţă:

1. diagonal, dominanta matricii [A] pe linii, adică:

n,...,,i,aa ij

n

ijj

ij 211

=<∑≠=

(2. 124)

2. sau dominanta matricii [A] pe coloane, adică:

n,...,,j,aa ij

n

jii

ij 211

=<∑≠=

(2. 125)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 122 3. sau condiţia de convergenţă:

n,...,,i,aan

j ii

ij 2111

2

=<

∑

= (2. 126)

2.4.6. Metoda iterativă Gauss - Seidel

Această metodă este asemănătoare cu metoda iterativă Jacobi prezentată anterior, deosebindu-se de aceasta prin faptul că la pasul k+1 sunt folosite componentele vectorului necunoscutelor deja calculate

1211 −=+ i,...,,j,x )k(j , obţinându-se astfel o convergenţă mai rapidă către

soluţia exactă. Relaţia de recurenţă pentru calculul necunoscutei )k(jx 1+ la

pasul k+1 se scrie astfel:

==

≠

−−= ∑ ∑

−

≠= +=

++

,...,,kn,...,,i

,a,xaxaba

x ii

i

ijj

n

ij

)k(jij

)k(jiji

ii

)k(i 210

2101 1

1 1

11 (2. 127)

În rezolvarea aplicaţiilor se recomandă în cazul în care mmatricea [A] este dominantă pe linii să se pornească iteraţia cu ecuaţia în care este dominanta cea mai mare. Rămân valabile aceleaşi criterii de convergenţă de la metoda Jacobi.

2.5. Metode de rezolvare a problemelor depinzând de timp

În cazul problemelor depinzând de timp (analize dinamice şi modale)

parametrii Cj ai soluţiei aproximative 01

Φ+Φ=∑=

N

jjjN Cu sunt funcţii de

timp iar funcţiile de aproximare Φj sunt dependente numai de coordonatele spaţiale.

Aproximarea în acest caz cuprinde două etape: 1. aproximarea soluţiei spaţiale la momentul iniţial utilizând una din

metodele prezentate anterior; 2. aproximarea semidiscretă în funcţie de timp a soluţiei iniţiale

(incrementală, din aproape în aproape).


123 Această aproximare conduce la ecuaţiile matriceale de tipul :

[ ] [ ]

[ ] [ ] PCBtCA

PCBtCA

=+

∂∂

=+

∂∂

2

2 (2. 128)

unde: dxdyA jiij ∫Ω

ΦΦ= sunt elementele matricei [ ]A .

[ ] PB , sunt date, C este matricea parametrilor Cj (funcţii de timp) ce urmează a se determina.

Se introduce noţiunea de familie de aproximare θ care determină modul de obţinere a derivatei în raport cu timpul conform relaţiei :

1

11 1

+

++ ∆

−=θ−+θ

n

nnnn t

CCC)(C !! (2.129)

În funcţie de valoarea parametrului θ se deosebesc : 1. θ = 0 : schema EULER de aproximare regresivă 2. θ =1/2: schema CRANK-NICOLSON 3. θ =2/3: schema GALERKIN 4. θ = 1 : schema de aproximare progresivă.

2.5.1. Aproximarea soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale de ordinul I

Folosind formulele de aproximare (2.129) se obţine: [ ] [ ] [ ] ( )

[ ] ( )nnn

nnnnn

CBPt)(CBPtCACA

−∆⋅θ−++−∆⋅θ=−

+

++++

1

1111

1 (2.130)

Regrupând termenii după 1+nn C,C se obţine: [ ] [ ]( ) [ ] [ ]( )

[ ]nnn

nnnn

P)(PtCBt)(ACBtA

θ−+θ∆++∆θ−−=∆θ+

++

+++

11

11

111 (2.131)

Notând : [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]nnnn,n

n

n

P)(PtP;Bt)(Aˆ

;BtAA

θ−+θ∆=∆θ−−=

∆θ+=

+++

+

+

11B

111

1

1

(2.132)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 124 se obţine ecuaţia matriceală :

[ ] [ ] 11 B ++ += n,nnn PCˆCA . (2.133)

Din ecuaţia (2.133) se observă că soluţia la momentul tn+1 se obţine din soluţia la momentul tn (cunoscută) cu ajutorul relaţiei :

[ ] [ ] [ ] 111

1 B +−−

+ += n,nnn PACˆAC (2.134)

Soluţia astfel obţinută este stabilă dacă valoarea proprie minimă a ecuaţiei:

[ ] [ ]( ) 0=λ− ABdet (2.135)

este strict pozitivă.

Dacă λ∈ (-1,0) soluţia este staţionară.

2.5.2. Aproximarea soluţiilor ecuaţiilor diferenţiale de ordinul II

Forma semidiscretă generală a ecuaţiilor diferenţiale de ordinul II este:

[ ] [ ] PCBtCA =+

∂∂

2

2

. (2.136)

Prin metoda de integrare directă NEWMARK se poate aproxima funcţia necunoscută C cât derivata ei C! pentru pasul n+1 după următorul algoritm:

( ) [ ] 2

11

11

21

1

)t(CCtCCC

tCCCC

nnnnn

nnnn

∆

β+

β−+∆+=

∆α+α−+=

++

++

!!!!!

!!!!!!

(2.137)

unde α şi β sunt doi coeficienţi de control şi stabilitate similari lui θ. 1. Dacă α =1/2 şi β=1/4 se obţine o soluţie stabilă necondiţională

(pentru probleme liniare) iar metoda se numeşte metoda acceleraţiei medii constante.

2. Dacă α =1/2 şi β=1/6 se obţine metoda acceleraţiei medii neconstante.


125 Cu ajutorul relaţiilor (2.137) obţinem:

( ) 1431

21101

++

++

++=

−−−=

nnnn

nnnnn

CaCaCC

CaCaCCaC!!!!!!

!!!!! (2.138)

unde:

ta;t)(a;a;t

a;t

a ∆α=∆α−=−β

=∆β

=∆β

= 432120 112111 (2.139)

iar ecuaţia (2.136) devine:

[ ] [ ]( ) [ ] ( )nnnnn CaCaCaAFCAaB !!!210110 +++=+ ++ (2.140)

BIBLIOGRAFIE

1. Reddy, J. N. -An introduction to the finite element method. Mc Graw Inc. 1984 2. Anghel, V., Pastramă, Ş.D., Mareş, C.- Metode şi programe pentru calculul

structurilor. Noţiuni teoretice şi aplicaţii în Matlab. Editura UPBucureşti, 1998

3. Blumenfeld, M. - Introducere în metoda elementelor finite, Editura Tehnică, Bucureşti, 1995

4. Constantinescu, I.N., Munteanu, M., Golumbovici, D.- Calcule de rezistenţă a structurilor de maşini şi utilaje, Editura Tehnică, Bucureşti 1984.

5. Constantinescu, I.N., Cizmaş, P., Ionescu, B -Metoda elementelor finite. Aplicaţii în mecanica solidului deformabil, Editura U.P.Bucureşti, 1991

6. Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Hadar, A. - Methode des elements finis. Cours et applications, Editura U.P.Bucureşti, 1993

7. Desay, C. S., Abel, F. J.- Introduction to the Finite Element Method. Van Nostrand Reinhold Company, New York, 1972

8. Gheorghiu, H., Hadar, A., Constantin, N. - Analiza structurilor din materiale izotrope şi anizotrope, Editura Printech, Bucureşti 1998

9. Marin, C. - Contribuţii la studiul îmbinărilor suprafeţelor recipientelor şi anvelopelor sub presiune în regimuri statice şi dinamice, Teza de doctorat, U.P.B, 1999

10. Olariu, V., Brătianu, C - Modelare numerică cu elemente finite, Editura Tehnică, Bucureşti 1986.

11. Pascariu, I. - Elemente finite. Concepte şi aplicaţii, Editura Militară, Bucureşti 1985

12. Simionescu, I., Dranga, M., Moise, V. - Metode numerice în tehnică. Aplicaţii în Fortan, Editura Tehnică, Bucureşti 1995.

13. Zienkiewicz, O. C., - The Finite Element Method. Engineering Science, McGraw-Hill Book Company (U.K) Limited, Maidenhead, Berkshire, 1977.


3 ELEMENTE FINITE UNIDIMENSIONALE

PENTRU CALCULUL STRUCTURILOR

Metoda elementelor finite în aplicaţiile unidimensionale constă în formularea variaţională a problemei, minimizarea funcţionalei pătratice asociate, obţinerea ecuaţiilor matriceale pentru tipul de element finit utilizat, asamblarea ecuaţiilor matriceale în vederea obţinerii ecuaţiei matriceale globale, impunerea condiţiilor la limită globale, rezolvarea sistemului de ecuaţii, postprocesarea rezultatelor.

În rezolvarea unei probleme utilizând metoda elementelor finite este necesară deci parcurgerea următoarelor etape: 1. Alegerea tipului de element finit şi discretizarea domeniului 2. Obţinerea formei variaţionale a problemei şi stabilirea funcţiilor de

interpolare ale elementului finit: !"obţinerea formei variaţionale pe baza ecuaţiei diferenţiale a

problemei; !"alegerea soluţiei aproximative a formei variaţionale prin metoda

RITZ; !"stabilirea funcţiilor de interpolare (funcţiile de formă) ale

elementului finit. 3. Asamblarea ecuaţiilor elementelor şi obţinerea ecuaţiei globale: !"obţinerea ecuaţiilor matriceale în coordonate locale şi globale; !"asamblarea ecuaţiilor matriceale ale elementelor scrise în coordonate

globale şi impunerea condiţiilor de continuitate a variabilelor principale şi secundare pentru obţinerea ecuaţiei matriceale globale a problemei.

4. Impunerea condiţiilor la limită globale în ecuaţia matriceală globală:

!"impunerea condiţiilor la limită esenţiale (Newman) în sistemul global;

!"impunerea condiţiilor la limită naturale (Dirichlet) în sistemul global.

5. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor globale 6. Post-procesarea rezultatelor obţinute.

Analiza cu elemente finite unidimensionale pentru calculul structurilor

127

3.1. Structură unidimensională caracterizată de o ecuaţie diferenţială de ordinul II

Se consideră următoarea problemă în Rezistenţa materialelor [4]: o

bară dreaptă de rigiditate a(x), fixată la un capăt şi solicitată axial pe lungimea ei de o sarcină distribuită f(x) iar la capătul liber de o sarcină concentrată P (fig. 3.1). Să se determine: reacţiunea din încastrare, eforturile axiale, deplasările, deformaţiile şi tensiunile pe lungimea barei. Această problemă este caracterizată de ecuaţia diferenţială de ordinul doi:

Lxcufdxdua

dxd ≤≤=+

00 (3.1)

şi condiţiile la limită:

Pdxdua;)(u

Lx==

=00 . (3.2)

Într-adevăr dacă se consideră un element din bară supus acţiunii unei sarcini distribuite axiale qx=f(x), ecuaţia de echilibru dintre forţele exterioare şi eforturile axiale pe cele două feţe ale elementului (fig. 3.2) se scrie:

N+qx dx+N+dN=0. (3.3) Rezultă:

dN=-qx dx sau xqdxdN −= . (3.3’)

Deoarece între efortul axial N, deformaţia ε şi deplasarea u există relaţia:

dxdua

dxduEAEAAN ==ε⋅=σ= , (3.3”)

PL

Fig. 3.1

x

P f

L

Fig 3.2

N+dN

x dx

N qx

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 128 prin înlocuirea în ecuaţia diferenţială (3.3’) a relaţiei (3.3”) în care s-a notat a=EA rigiditatea la întindere compresiune, rezultă ecuaţia diferenţială (3.1).

Se consideră cazul particular în care rigiditatea a şi sarcina uniform distribuită f sunt constante pe lungimea barei. Soluţia exactă a problemei în acest caz se obţine imediat prin integrarea directă a ecuaţiei diferenţiale (3.1) şi impunerea condiţiilor la limită (3.2):

fdxdua

dxd −=

LfPCCLfPdxdua;C)(ua

CxCxf)x(ua;Cxfdxdua

Lx+=⇒+−====⋅

++−=⋅+−=

=112

21

2

1

00

2 (3.4)

Deci soluţia exactă a problemei şi derivata ei sunt:

( )

LfPxfdxdua)x(N

axLfP

axf)x(u

++−==

++−=2

2

Se observă că deplasărilor u(x) este o funcţie de gradul al doilea iar variaţia eforturilor axiale N(x) este o funcţie de gradul întâi.

Deplasările calculate în punctele: x=L/3, x=2L/3, x=L sunt:

( )

( )

( ) ( )a

PLa

fLLa

LfPLafLu

;a

PLa

fLLa

LfPLafLu

;a

PLa

fLLa

LfPLafLu

+=++−=

+=++−=

+=++−=

22

32

94

32

94

232

3185

3923

22

22

22

(3.5’)

Eforturile axiale în aceleaşi puncte sunt:

( ) .PLfPfLdxduaLN

;LfPLfPLfdxduaLN

;LfPLfPLfdxduaLN

Lx

/Lx

/Lx

=++−==

+=++−==

+=++−==

=

=

=

332

32

32

33

32

3

(3.5”)


129 Reacţiunea din încastrare (notată PL) este egală cu efortul axial cu

semn schimbat calculat pentru x=0, adică:

)fLP(dxdua)(NP

xL +−=−=−=

=0

0 . (3.6)

Tensiunile în diferite secţiuni ale barei sunt date de funcţia:

( )LfPxfAdx

duAa

AN ++−===σ 1 . (3.7)

Deformaţiile specifice în diferite secţiuni ale barei sunt date de:

( )LfPxfEAdx

duEAa

E++−==σ=ε 1 . (3.8)

* * *

Pentru rezolvarea acestei probleme prin metoda elementelor finite se

parcurg etapele prezentate la începutul capitolului:

1. Alegerea tipului de element finit şi discretizarea domeniului în elemente finite. Se discretizează domeniul liniar corespunzător barei (0, L) în trei subdomenii Ωe (xk, xk+1) de lungimea he , e=1, 2 şi 3 (fig. 3.2).

2. Obţinerea formei variaţionale a problemei şi a funcţiei de interpolare. Se izolează un element finit din bară Ωe (fig. 3.3). Forma variaţională a problemei se obţine prin metoda RITZ, astfel:

11

1

0

0

++

+

⋅+

⋅+⋅−=

+

⋅=

∫

∫xk

xk

xk

xk

xk

xk

dxduavdxfv

dxdu

dxdva

dxfdxdua

dxdv

(3.9)

2 1

a

he xk+1

N1 e ue2 ue

Fig. 3.3

he Pe1 Pe

2

e N2

b

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 130 Valorile funcţiei u(x) pe frontiera elementului finit reprezintă condiţiile

la limită esenţiale pentru element (fig. 3.3):

u(xk)=ue1 ; u(xk+1)=ue

2. (3.10)

Valorile derivatei funcţiei u(x) pe frontiera elementului reprezintă condiţiile la limită naturale ale elementului adică N1 şi N2 eforturile axiale pe feţele sale aşa cum rezultă din figura 3.3 şi se scriu:

e

xkx

e

xkxP

dxduaN;P

dxduaN 2

1211 ==−==

+== (3.11)

Ţinând seama de condiţiile la limită (3.10) şi (3.11) ecuaţia (3.9) devine:

)x(vP)x(vPdxfvdxdu

dxdva k

ek

exk

xk121

10 +

+++

⋅+⋅−= ∫ . (3.12)

Funcţionala pătratică asociată formei variaţionale este:

eeeexk

xk

)( uPuPdxfudxdua)u(I 2211

1 22

21 ++

⋅+

−= ∫

+. (3.13)

Soluţia variaţională se obţine din minimizarea funcţionalei (3.13) sau prin metoda RITZ. Se caută o soluţie aproximativă ecuaţiei variaţionale (3.12) de forma:

∑=

ψ=N

jjj

e )x(C)x(u1

, (3.14)

unde: Cj sunt coeficienţii RITZ care se determină din condiţiile pe frontieră; ψj - funcţiile de aproximare liniar independente care sunt şi funcţii test v(x)=ψi(x).

Introducând forma soluţiei (3.14) şi funcţiile test v(x)=ψi(x) în ecuaţia variaţională (3.12) se obţine sistemul de ecuaţii:

)x(P)x(PdxfCdxdx

ddx

da kie

kie

xk

xkij

N

j

xk

xk

ji121

1

1

10 +

+

=

+ψ⋅+ψ⋅+ψ+⋅

ψψ−= ∫∑ ∫

i = 1,2, …, N (3.15) Sistemul de ecuaţii (3.15) se mai poate scrie sub forma matriceală

astfel: [ ] eee FCK = , (3.16)

unde: [ ]eK este matricea de rigiditate a elementului;


131

eC - matricea coeficienţilor necunoscuţi ai funcţiei de aproximare (3.7); eF - matricea forţelor nodale ale elementului.

Elementele matricelor [ ] ee FsiK sunt:

)x(P)x(PdxfF

dxdx

ddx

daK

kie

kie

xk

xki

ei

xk

xk

jiieij

121

1

1

+

+

+

ψ+ψ+ψ=

ψψ=

∫

∫ (3.17)

Funcţiile de aproximare ψi(x) din expresia soluţiei formei variaţionale (3.14) se aleg astfel încât să satisfacă forma omogenă a condiţiilor la limită esenţiale ale problemei, să fie liniar independente şi să formeze un set complet de funcţii independente. Deoarece elementul are două grade de libertate (deplasările ee usiu 21 ) se alege setul de funcţii ψi(x) cel mai simplu de forma: (1, x) astfel încât soluţia aproximativă se scrie:

u (x)= C1+ C2x. (3.18)

Pentru uşurinţă, se notează capetele elementului: ek

ek xxsixx 211 == +

Coeficienţii C1 şi C2 se obţin condiţiile la limită esenţiale (3.10) astfel:

ee

ee

xCCu

xCCu

2212

1211

+=

+= (3.19)

Rezolvând sistemul de ecuaţii (3.19) cu necunoscutele C1 şi C2 rezultă:

ee

ee

ee

eeee

xxuuC;

xxxuxuC

12

122

12

12211 −

−=−−= . (3.20)

Soluţia aproximativă (3.14) se scrie deci sub forma:

eee

ee

ee

ee

ee

ee

ee

eeeee

uxx

xxuxxxx)x(u

xxxuu

xxxuxu)x(u

212

11

12

2

12

12

12

1221

−−

+−−

=

⋅−−

+−−

= (3.21)

Dacă se notează coeficienţii deplasărilor ee usiu 21 din expresia (3.21) cu:


ee

ee

ee

ee

xxxx)x(;

xxxx)x(

12

12

12

21 −

−=φ−−=φ . (3.22)

Soluţia aproximativă (3.14) se mai scrie: eeeee u)x(u)x()x(u 2211 ⋅φ+⋅φ= . (3.23)

Funcţiile Φ(x) au acelaşi grad cu funcţiile de aproximare ψ(x) şi se mai numesc funcţii de interpolare sau funcţii de formă. Aceste funcţii polinomiale au gradul în funcţie de tipul elementului, mai precis de numărul de grade de libertate al elementului. Funcţiile de interpolare Φ(x) satisfac condiţiile la limită esenţiale, ca şi funcţiile de aproximare ψ(x), deoarece:

11 2211 =φ=φ )x(;)x( eeee . (3.24)

Funcţiile de interpolare Φ(x) au următoarele proprietăţi:

[ ]

[ ]eeee

eeee

eeeekk

e

x,xxpentru)x()x(.

;)x(;)x(

;)x(;)x(.

x,xxpentru)x(.

2111

2212

2111

11

13

10

012

01

∈∀=φ+φ

=φ=φ

=φ=φ

∉=φ +

(3.25)

Aceste proprietăţi arată faptul că setul de funcţii [φ1(x), φ2(x)] interpolează soluţia u(x) prin nodurile elementului şi conţin un termen constant. Într-adevăr dacă ee uu 21 = = constant, se obţine :

[ ] eeeeeeeee uu)x()x(u)x(u)x()x(u 11211211 =⋅φ+φ=⋅φ+⋅φ= =const. (3.26)

Folosind expresia (3.23) a soluţiei aproximative )x(u e funcţionala pătratică asociată formei variaţionale (3.13) se scrie astfel:

eeeexk

xk

eeee)( uPuPdxf)uu(udx

dudxda)u(I 2211

1

2211

2

22

112

21 ++

φ+φ+

φ+φ−= ∫

+

(3.27)

Soluţia variaţională se obţine din minimizarea funcţionalei (3.27):

0002

2

1

2

11

22 =

∂∂=

∂∂⇔=δ

∂∂=δ e

)(

e

)(e

e

)()(

uI;

uIu

uII (3.28)


133

0

0

2

1

222

112

2

2

1

1

122

111

1

2

=+

φ+

φ+φφ−=

∂∂

=+

φ+

φ+φφ−=

∂∂

∫

∫+

+

exk

xk

eee

)(

exk

xk

eee

)(

Pdxfudx

dudxd

dxda

uI

Pdxfudx

dudxd

dxda

uI

(3.29)

Sistemul de ecuaţii (3.29) având ca necunoscute tocmai deplasările nodurilor ee usiu 21 se mai scrie astfel:

exk

xk

xk

xk

exk

xk

e

exk

xk

xk

xk

exk

xk

e

Pdxfudxdx

ddx

daudxdxd

dxda

Pdxfudxdx

ddxdaudx

dxd

dxda

2

1 1

2222

1

112

1

1 1

1221

1

111

+φ=⋅

φφ−+⋅

φφ−

+φ=⋅

φφ−+⋅

φφ−

∫ ∫∫

∫ ∫∫+ ++

+ ++

(3.30)

sau sub formă matriceală:

[ ] eee FuK = , (3.31)

unde: [ ]eK este matricea de rigiditate a elementului cu elementele:

dxdx

ddxd

aKxk

xk

jieij ∫

+ φφ=

1; (3.32)

eF - matricea încărcărilor ale cărei elemente sunt:

ei

xk

xki

ei PdxfF +φ= ∫

+1;

=e

ee

uu

u2

1 - matricea deplasărilor nodale a elementului.

Pentru deducerea soluţiei formei variaţionale prin metoda Ritz se determină deplasările nodale ca soluţii ale ecuaţiei matriceale globale. Această ecuaţie se obţine din asamblarea relaţiilor matriceale (3.31) ale

tuturor elementelor. Derivatele funcţiilor de interpolare dxd iφ care intervin în

calculul elementelor matricei [ ]eK sunt în acest caz constante:

eee

eee hxxdx

d;hxxdx

d 1111

12

2

12

1 =−

=φ−=−

−=φ .

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 134 După determinarea elementelor matricei de rigiditate (3.32) şi a

elementelor matricei încărcărilor, ecuaţia matriceală (3.31) se scrie pentru acest caz astfel:

+

+=

⋅

−

−

ee

ee

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

Pfh

Pfh

uu

ha

ha

ha

ha

2

1

2

1

2

2 . (3.33)

* * *

Coordonate normale şi naturale. Pentru efectuarea integralelor (3.32) se recomandă utilizarea coordonatelor locale sau normale obţinute prin transformarea de coordonate:

exxx 1+= pentru [ ]eh,x 0∈ (3.34)

Funcţiile de interpolare în coordonate locale se scriu astfel:

e

e

e

e

hx)x(;

hx)x( =φ−=φ 21 1 . (3.35)

Derivatele funcţiilor de interpolare în coordonate locale sunt:

ee hxdd;

hxdd 11 21 =φ−=φ . (3.35’)

Soluţia aproximativă (3.23) în coordonate locale are expresia:

e

e

e

eeeeee

hxu

hxu)x(u)x(u)x(u 212211 1 +

−=φ+φ= . (3.36)

Elementele matricelor [ ] ee FsiK în coordonate locale se scriu:

)xx(ff)xx(aa:unde

PxdfF;xdxd

dxd

daK

ee

hee

iie

ij

heie

ij

11

00

+=+=

+φ=φφ= ∫∫ (3.37)

Coordonatele naturale sau parametrice simplifică şi mai mult expresiile acestor integrale. Astfel folosind transformarea de coordonate:

)(hx e 12

+ξ= pentru [ ]11,−∈ξ (3.38)

funcţiile de interpolare se scriu astfel:


135

( ) ( )ξ+=ξΦξ−=ξφ 1211

21

21 )(;)( ee . (3.39)

Derivatele funcţiilor de interpolare în coordonate normale sunt:

21

21 21 =

ξφ−=

ξφ

dd;

dd . (3.39’)

Soluţia aproximativă în coordonate naturale are expresia:

( ) ( ) eeeeeee uu)(u)(u)(u 212211 1211

21 ξ++ξ−=ξφ+ξφ=ξ . (3.40)

Elementele matricelor [ ] ee FsiK în coordonate naturale se scriu:

∫

∫

−

−

+ξφ=

ξξφ

ξφ

=

1

1

1

1

eii

ei

jieij

Pdf~F

;dd

ddda~K

(3.41)

unde:

+ξ=

+ξ= )(

hff~;)(

haa~ ee 1

21

2

3. Asamblarea ecuaţiilor matriceale ale elementelor şi obţinerea ecuaţiei matriceale globale. Condiţii de continuitate a variabilelor principale. Presupunem că domeniul problemei (0, L) este împărţit în trei elemente de lungimi h1, h2, h3 iar elementele sunt legate între ele în nodurile 2 şi 3 (fig.3.4).

Continuitatea soluţiei u(x) la limita elementelor e1 - e2 şi e2 - e3 (fig. 3.4) se scrie:

31

22

21

12 uu;uu == . (3.42)

Dacă se notează cu Ui deplasările nodurilor din sistemul global, avem:

324

31

223

21

122

111 uU;uuU;uuU;uU ====== . (3.43)

Legătura dintre elemente şi noduri în cele două sisteme de coordonate se poate exprima sub forma matricei booleene:

[ ]

=

433221

B (3.44)

unde bij este poziţia corespunzătoare elementului i şi nodului j.


Ecuaţiile matriceale (3.33) pentru fiecare din cele trei elemente se scriu:

+

=

⋅

−

−

+

=

⋅

−

−

+

=

⋅

−

−

32

3133

32

31

3

3

22

2122

22

21

2

2

12

1111

12

11

1

1

11

21111

11

21111

11

21111

PPhf

uu

ha

PPhf

uu

ha

PPhf

uu

ha

(3.45)

Ţinând seama de relaţia (3.43) ecuaţiile matriceale elementale (3.45) se mai pot scrie sub forma coordonatelor globale astfel:

+

=

⋅

−−

+

=

⋅

−−

+

=

⋅

−

−

32

31

3

4

3

2

1

3

22

212

4

3

2

1

2

12

11

1

4

3

2

1

1

00

1100

211001100

00000000

0

0

0110

20000011001100000

00

0011

20000000000110011

PP

fh

UUUU

ha

PPfh

UUUU

ha

PP

fh

UUUU

ha

(3.46)

x

Fig. 3.4

h1

L

h2 h3

e1 e2 e3

u11 u1

2 u21 u2

2 u31 u3

2

U1 U2 U3 U4

1 2 3 4


137 Prin însumarea celor trei ecuaţii matriceale (3.46) se obţine ecuaţia

matriceală globală a structurii:

+++

++

=

⋅

−

−+−

−+−

−

32

31

22

21

12

11

3

32

21

1

4

3

2

1

33

3322

2211

11

21

00

0

0

00

PPPPP

P

fhfhfhfhfh

fh

UUUU

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

(3.47)

Însumarea ecuaţiilor de mai sus se poate justifica prin faptul că forma pătratică a funcţionalei asociată corespunzătoare întregului domeniu, se obţine ca sumă a formelor pătratice corespunzătoare tuturor elementelor:

∑=

=n

e

eiei )u(I)u(I

1 (3.48)

Soluţia variaţională se obţine din anularea primei variaţii a funcţionalei (3.48), care sub formă matriceală scrie astfel:

∑=

δ

∂∂=δ

∂∂=

n

e

eeii

uuIu

uI

10 . (3.49)

Ţinând seama că funcţionala pătratică (3.27) asociată formei variaţionale corespunzătoare elementului e se scrie sub formă matriceală:

[ ] eTeeeTee FuuKu)u(I −=21 (3.50)

(unde eijK şi e

iF au fost definite prin relaţiile (3.32)) ecuaţia (3.49) se scrie:

32

32

32

322

31

321

31

31

32

312

31

311

22

22

22

222

21

221

21

11

22

212

21

211

12

12

12

122

11

121

11

11

12

112

11

111

3

1

2

1

2

1

3

1

0

0

u)FuKuK(u)FuKuK(

u)FuKuK(u)FuKuK(

u)FuKuK(u)FuKuK(

uFuKuuI e

ie i j

ei

ej

eij

e

eei

δ−++δ−++

+δ−++δ−++

+δ−++δ−+=

⇔δ

−=δ

∂∂= ∑∑ ∑∑

= = ==

(3.51)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 138 Ţinând seama de relaţiile dintre coordonatele locale şi cele globale

(3.43), variaţiile coordonatelor locale se înlocuiesc prin variaţiile celor globale: 3

2431

223

21

122

111 uU;uuU;uuU;uU δ=δδ=δ=δδ=δ=δδ=δ

iar ecuaţia (3.51) devine:

43

243223

3213

314

3123

311

32

232222

2212

113

2122

211

2122

1221

1211

112

1121

1110

U)FUKUK(U)FUKUK(

U)FUKUK(U)FUKUK(

U)FUKUK(U)FUKUK(

δ−++δ−++

+δ−++δ−++

+δ−++δ−+=

(3.52)

Întrucât variaţiile iUδ sunt arbitrare, ecuaţia (3.52) este echivalentă cu sistemul:

324

3223

321

31

224

3123

311

2222

221

11

123

2122

211

1221

121

112

1121

111

0

0

0

0

FUKUK

)FF(UKU)KK(UK

)FF(UKU)KK(UK

FUKUK

−+=

+−+++=

+−+++=

−+=

(3.53)

care matriceal se scrie sub forma:

++=

++

32

31

22

21

12

11

4

3

2

1

322

321

312

311

222

221

212

211

122

121

112

111

000

000

FFFFF

F

UUUU

KKKKKK

KKKKKK

(3.54)

Se observă că s-a obţinut aceeaşi formă pentru ecuaţia matriceală globală a structurii cu forma (3.47).

4. Impunerea condiţiilor esenţiale şi naturale la limita elementelor. Matricea de rigiditate globală din ecuaţia matriceală (3.54) este independentă de condiţiile la limită ale problemei. Sub această formă însă, matricea de rigiditate globală este singulară. Ea devine nesingulară după introducerea condiţiilor la limită esenţiale: 0000 3

2431

223

21

122

111 ≠=≠==≠==== uU;uuU;uuU;uU (3.55)

şi separarea ecuaţiilor matriceale cu elemente cunoscute de cele cu elemente necunoscute.

Condiţiile la limită naturale pentru exprimarea continuităţii dintre cele trei elemente şi a încărcărilor exterioare apar în matricea coloană a încărcărilor din ecuaţia matriceală (3.54).


139 Astfel în nodul 2 al elementului (e), care coincide cu nodul 1 al

elementului (e+1) valoarea sarcinii exterioare 1+xkP este egală cu suma forţelor nodale corespunzătoare celor două elemente (fig.3.5):

1121

++ += eeext

xk PPP . (3.56)

Întrucât în nodurile 2 şi 3 (fig. 3.4) nu acţionează sarcini exterioare, condiţiile la limită naturale pentru aceste noduri sunt:

;PP:nod;PP:nod

0302

31

22

21

12

=+=+

(3.57)

Întrucât în nodurile 1 şi 4 acţionează sarcini exterioare (de legătură sau direct aplicate) condiţiile la limită naturale se scriu:

;Pdx

duaP;PdxduaP

LxL

x

===−===

33

20

11

1 (3.58)

Din punct de vedere fizic, condiţiile la limită naturale ale problemei exprimă de fapt ecuaţiile de echilibru ale forţelor nodale şi ale forţelor exterioare iar din punct de vedere matematic, faptul că forţa exterioară în nodul xk+1 este egală cu diferenţa dintre valoarea necunoscutei secundare în nodul (2) pentru elementul (e) şi valoarea necunoscutei secundare în nodul (1) pentru elementul (e+1):

11

11

121

++ =

+

=

++ −=+=

kk xx

e

xx

eeeext

xk dxdua

dxduaPPP (3.59)

Deci condiţiile la limită naturale (3.57) se scriu:

0

0

31

22

21

12

323

12

2

212

112

=−=+

=−=+

==

==

xxxx

xxxx

dxdua

dxduaPP

dxdua

dxduaPP

(3.60)

Fig. 3.5 xk+1

eP2 eP1 Pxk+1

e e+1 1 2 2 1

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 140 După impunerea condiţiilor la limită (3.55), (3.57) şi (3.58), relaţia

matriceală (3.47) devine:

+

+

+

+

=

⋅

−

−+−

−+−

−

Pfh

fhfh

fhfh

Pfh

UUU

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

ha

L

2

2

2

20

00

0

0

00

3

32

21

1

4

3

2

3

3

3

3

3

3

3

3

2

2

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

(3.61)

5. Rezolvarea numerică a ecuaţiilor globale. În ecuaţia matriceală (3.54) se separă ecuaţiile matriceale cu elemente cunoscute de cele cu elemente necunoscute obţinându-se astfel mai multe matrice:

=

⋅

++

4

3

2

1

4

3

2

1

322

321

312

311

222

221

212

211

122

121

112

111

000

00

FFFF

UUUU

KKKKKK

KKKKKK

(3.62)

Ecuaţia matriceală (3.62) se mai poate scrie :

[ ] [ ][ ] [ ]

=

∆∆⋅

2

1

2

1

2221

1211

FF

KKKK . (3.63)

în care matricele cunoscute sunt :

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

+

+=

=

==

322

321

312

311

222

221

221

211

122

22

121

21

112

12111

11

0

0

00

00

KKKKKK

KKKK;

KK

KK;KK

(3.64)

==∆

4

3

211 0

FFF

Fsi . (3.65)

iar matricele necunoscute sunt:


141

12

4

3

22 FFsi

UUU

=

=∆ . (3.66)

Ecuaţia matriceală (3.63) se poate scrie deci ca un sistem de două ecuaţii matriceale de forma:

[ ] [ ] [ ] [ ] 2222121

1212111

FKK

FKK

=∆+∆

=∆+∆ (3.67)

Înmulţind la stânga cea de-a doua ecuaţie a sistemului (3.67) cu matricea [ ] 122 −K , rezultă matricea deplasărilor necunoscute:

[ ] [ ] ( )12121222 ∆−=∆−

KFK . (3.68)

Din prima ecuaţie a sistemului (3.67), rezultă matricea necunoscutelor:

[ ] [ ] 2121111 ∆+∆= KKF . (3.69)

Pentru cazul particular considerat, dacă se consideră aceeaşi lungime a elementelor (h1=h2=h3=L/3) şi se înlocuiesc valorile în ecuaţia matriceală globală (3.61) se obţine:

+

+

=

⋅

−−−

−−−

P/L/fL/fL

P/fL

UUU

La

L

633

60

11001210

01210011

3

4

3

2 (3.70)

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

−−−

−=

−

=

−==

110121

0123

001

001313

2221

1211

LaK;K

LaK;

LaK

(3.71)

Inversa matricei [K22] este:

[ ]

=−

321221111

3122

aLK (3.72)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 142 Din ecuaţia (3.68) se obţine matricea deplasărilor necunoscute:

+

+

+

=

−

−

+

=

aPL

afL

aPL

afL

aPL

afL

aL

PfL

fL

fL

aL

UUU

2

32

94

3185

0001

321221111

3

6

3

3

321221111

32

2

2

4

3

2

(3.73)

Deplasările nodale rezultate din relaţia (3.73) sunt:

aPL

afLU;

aPL

afLU;

aPL

afLU +=+=+=

232

94

3185 2

4

2

3

2

2 . (3.74)

Din ecuaţia (3.69) se obţine matricea reacţiunilor necunoscute:

[ ] [ ] [ ]

−−=

+

+

+

−=∆+∆=

PfLF

aPL

afL

aPL

afL

aPL

afL

LaKKF

65

2

32

94

3185

0013

1

2

2

2

2121111

(3.75)

Întrucât

+= LPfLF

61 rezultă reacţiunea: PfLPL −−= (3.76)

Soluţia globală a ecuaţiei variaţionale (pentru întregul sistem) se obţine prin însumarea soluţiilor corespunzătoare pentru fiecare din cele 3 elemente:

∑∑ ∑∑== ==

φ=

φ==

4

1

3

1

2

1

3

1 III

e i

ei

ei

e

e Uu)x(u)x(U . (3.77)

Conform relaţiei (3.23) şi proprietăţilor (3.25):

[ ][ ]eeee

eeee

ee

ee

ee

eeeee

x,xxpentru

x,xxpentruxxxx;

xxxx

,,e;uu)x(u

1121

1112

12

12

21

2211

0

321

∉=φ=φ

∈−

−=φ

−−

=φ

=φ+φ=

(3.78)


143 şi ţinând seama de condiţiile la limită esenţiale (3.43):

324

31

223

21

122

111 0 uU;uuU;uuU;uU ======= . (3.79)

expresia soluţiei globale a ecuaţiei variaţionale (3.77) este:

324

31

223

21

122 φ+φ+φ+φ+φ= U)(U)(U)x(U (3.80)

sau:

∈−+−=φ+φ

∈−+−=φ+φ

∈=φ

=

L,LxpentruL

LxUL

xLUUU

L,LxpentruL

LxUL

xLUUU

L,xpentruLxUU

)x(U

322333

32

3332

303

43324

313

32223

212

2122

(3.81)

Reprezentare grafică a funcţiei U(x) este dată în figura 3.6

6. Post-procesarea rezultatelor obţinute

Soluţia variaţională obţinută este deci o soluţie aproximativă cu excepţia valorilor din noduri. Pentru calculul eforturilor axiale, a tensiunilor şi deformaţiilor se determină necunoscuta secundară u’(x):

∈+=+−

∈+=+−

∈+=

==

L,LxpentruPfL)UU(La

L,LxpentruPfL)UU(La

L,xpentruPfLULa

dxdua)x(N

32

63

32

3633

30

653

43

32

2

(3.82)

Tensiunile din bară în diferite secţiuni sunt date de (3.7):

dxdua

AAN 1==σ

iar deformaţiile specifice ale barei date de (3.8):

dxdua

EAE1=σ=ε


Soluţia MEF aproximativă

Soluţia exactă

U(x)

x L 0

a.

L/3 2L/3

U2 U3

U4

Fig. 3.7

a dU/dx

x L

b.

0 L/3 2L/3

P+5fL/6

Soluţia MEF aproximativă

P+3fL/6

P+fL/6

Soluţia exactă

U(x)

U2

U2φ21

U2φ12

U4φ32 U3φ2

2 U3φ2

2

U3 U4

x L 0

1 2 3 4

L/3 2L/3 U1

Fig.3.6


145 Valorile eforturilor axiale din noduri calculate cu relaţiile şi (3.58)

sunt diferite pentru acelaşi nod dacă se calculează pentru elemente diferite:

PfLdxduaNP;PfL

dxduaNP

;PfLdxduaNP;PfL

dxduaNP

;PfLdxduaNP;PfL

dxduaNP

LxLxdr

Lx

stLxdr

Lxst

x

+===+===−

+===+===−

+===+===−

==

==

==

66

63

63

65

65

43

23

233

1

32

32

2

3

22

1

3

212

01

11

(3.83)

În concluzie, soluţia variaţională asigură valori exacte ale variabilei principale (deplasări) în noduri, dar nu asigură valori exacte pentru variabila secundară (eforturi axiale, tensiuni şi deformaţii), ci valori medii pentru fiecare element (şi evident nici valorile exacte ale reacţiunii din încastrare) aşa cum se observă din figura 3.7.a,b. 3.2 . Structură unidimensională caracterizată de o ecuaţie diferenţială de ordinul IV

Se consideră problema unidimensională caracterizată de următoarea ecuaţie diferenţială:

Lxcufdxdwb

dxd ≤≤=+

− 002

2

2

2 (3.84)

şi condiţii la limită esenţiale şi naturale:

02

2

02

2

0000 M

dxdwb;F

dxdwb

dxd;

dxdw;)(w

LxLxx=−=

−==

===, (3.84’)

unde .,ctM.ctF),x(ff),x(bb ==== 00 sunt date ale problemei. Această problemă corespunde următorului caz din Rezistenţa materialelor (prezentat şi la paragraful 2.3): o bară dreaptă de rigiditate b(x)=EI, încastrată la un capăt, solicitată în planul principal pe lungimea sa cu o sarcină transversală distribuită f = f(x), iar la capătul liber cu o forţă concentrată F0 şi un cuplu M0. Să se determine săgeţile w=w(x), rotirile ϕ=ϕ(x), eforturile tăietoare T(x) şi înconvoietoare M(x), la mijlocul barei (x=L/2) şi capătul barei (x=L).


Pentru rezolvarea acestei probleme cu ajutorul metodei elementelor finite se parcurg aceleaşi etape prezentate la paragraful 3.1:

1. Discretizarea domeniului în elemente finite. Domeniul Ω =(0, L) se împarte în n subdomenii Ωe =(xk, xk+1), fiecare element având la capete două noduri notate cu 1 (x=xk) şi 2 (x=xk+1)(fig. 3.8.b). Deşi, din punct de vedere geometric, elementul are aceeaşi formă ca în exemplul prezentat la paragraful 3.1, în acest caz există patru parametri independenţi care corespund celor patru necunoscute primare, deplasările: eeee siw,,w 2211 θθ . Necunoscutele secundare notate cu eeee NsiT,N,T 2211 sunt impuse de forma variaţională asociată ecuaţiei diferenţiale (3.84).

2. Obţinerea formei variaţionale a elementului finit

Forma variaţională pentru elementul e include atât necunoscutele primare eeee siw,,w 2211 θθ cât şi pe cele secundare eeee NsiT,N,T 2211 . Pentru obţinerea formei variaţionale pentru elementul e, se multilplică ecuaţia diferenţială (3.84), cu funcţia test v(x) şi se integrează între limitele xk şi xk+1:

dxfdx

wdbdxdv

xk

xk∫+

−

=

1

2

2

2

20 (3.85)

Integrând de două ori prin părţi se obţine:

1

2

21

2

21

2

2

2

2

1

2

21

2

2

0

0

+++

++

−

+

−=

+

−

−=

∫

∫xk

xk

xk

xk

xk

xk

xk

xk

xk

xk

dxwd

dxdvb

dxwdb

dxdvdxvf

dxwd

dxvdb

dxwdb

dxdvdxvf

dxwdb

dxd

dxdv

(3.85’)

we1, θe

1 we2, θe

2

Te2

Ne1

he Te

1 Ne

2

b.

f

1 2

xk xk+1

Fig. 3.8

F0

M

a. z

x L

f(x)

x

M

FL


147

În forma variaţională obţinută se introduc condiţiile la limită esenţiale şi naturale ale elementului, care se scriu:

e

xkxk

e

xkxk

e

xkxk

e

xkxk

e

xkx

e

xkx

ek

ek

Ndxdwb)x(M;N

dxdwb)x(M

;Tdxdwb

dxd)x(T;T

dxdwb

dxd)x(T

dxdw;

dxdw

;w)x(w;w)x(w

21

2

2

112

2

21

2

2

112

2

21

1

211

=−=−=−=

=

−=−=

−=

θ−=θ−=

==

+=+

=

+=+

=

+==

+

(3.86)

Forma variaţională (3.85’) devine:

121211

1

2

2

2

20

+=+

=

+

+−+−

−

⋅−⋅= ∫

xkx

ek

e

xkx

ek

e

xk

xk

dxdvN)x(vT

dxdvN)x(vT

dxfvdxdw

dxvdb

(3.87)

Această formă se poate scrie ca diferenţă dintre o funcţională biliniară simetrică B(v,w) şi o funcţionala liniară )v(! :

B(v,w) - )v(! =0 (3.88)

121211

1

1

2

2

2

2

+=+

=

+

+

−+−+=

=

∫

∫

xkx

ek

e

xkx

ek

exk

xk

xk

xk

dxdvN)x(vT

dxdvN)x(vTdxvf)v(

dxdxdw

dxvdb)w,v(B

!

(3.89)

Funcţionala pătratică asociată formei variaţionale (3.88) se scrie:

)w()w,w(B)w(I )( !−=212 , (3.90)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 148 sau:

121211

1 2

2

22

21

+=+

=

+

+−+−

−

−

= ∫

xkx

ek

e

xkx

ek

e

xk

xk

)(

dxdwN)x(wT

dxdwN)x(wT

dxwfdx

wdb)w(I (3.91)

Înlocuind condiţiile la limită (3.86) relaţia (3.91) se mai scrie:

eeeeeeeexk

xk

)( NTwNTwdxwfdxdwb)w(I 22221111

1 2

2

22

21 θ−−θ−−

−

= ∫

+ (3.91’)

Se observă că forma variaţională (3.87) necesită funcţii w(x) de două ori derivabile (şi nu de patru ori) şi include condiţiile la limită (3.86). Deoarece există patru condiţii la limită independente, pentru definirea soluţiei aproximative sunt necesari patru parametri polinomiali. Se caută o soluţie aproximativă care să minimizeze funcţionala pătratică asociată (3.91’) sub forma unui polinom de gradul III:

w(x)=C1 + C2 x + C3 x2 + C4 x3 (3.92)

şi derivata:

w’(x)= C2 +2 C3 x + 3 C4 x2 (3.92’)

Coeficienţii C1, C2, C3 şi C4 se determină introducând condiţiile la limită (3.86):

θ=−−−=+++θ=−−−

=+++

++

+++e

kk

ekkk

ekk

ekkk

xCxCCwxCxCxCC

xCxCCwxCxCxCC

22

14132

23

142

13121

12

432

13

42

321

32

32 (3.93)

Sistemul (3.93) se mai scrie matriceal sub forma:

θ

θ=

⋅

−−−

−−−

++

+++e

e

e

e

kk

kkk

kk

kkk

w

w

CCCC

xxxxx

xxxxx

2

2

1

1

4

3

2

1

211

31

211

2

32

32101

32101

(3.94)


149 Rezolvând ecuaţia (3.94) se obţin parametrii Ci în funcţie de

necunoscutele principale eeee siw,,w 2211 θθ .

Dacă se introduc în (3.92) şi se grupează termenii după necunoscutele principale rezultă soluţia aproximativă ca o combinaţie de funcţiile de interpolare )x(si)x(),x(),x( eeee

4321 φφφφ , de forma:

)x()x(w)x()x(w)x(w eeeeeeee42322111 φθ+φ+φθ+φ= (3.95)

Funcţiile de interpolare au expresii analitice:

( )

( )

−−

−−−=φ

−−

−=φ

−−−−=φ

−+

−−=φ

e

k

e

kk

e

e

k

e

ke

e

kk

e

e

k

e

ke

hxx

hxxxx)x(

hxx

hxx)x(

hxxxx)x(

hxx

hxx)x(

2

4

32

3

2

2

32

1

23

1

231

(3.96)

şi următoarele proprietăţi:

[ ][ ]1

131

14121113

4321

04

13

012

011

+

+

++++

∉∀=φ

∈∀=φ+φ

=φ=φ=φ=φ

=φ=φ=φ=φ

kkei

kkee

ke

ke

ke

ke

ke

ke

ke

ke

x,xxpentru)x(.

x,xxpentru)x()x(.

)x()x()x(;)x(.

)x()x()x(;)x(.

(3.97)

Derivatele funcţiilor de interpolare au expresiile:

22

21

341

66

−−

−+−=φ

−+

−−=φ

e

k

e

ke

e

k

ee

k

e

e

hxx

hxx

dx)x(d

hxx

hhxx

hdx)x(d

23 66

−−

−=

φ

e

k

ee

k

e

e

hxx

hhxx

hdx)x(d

(3.98)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 150 2

4 32

−−

−=φ

e

k

e

ke

hxx

hxx

dx)x(d

şi următoarele proprietăţi:

[ ]

[ ]1

131

1

3

1

2

1

1

1

4

4312

432104

03

012

011

+

+

+=+=+=+=

====

∉==φ

∈=φ

+φ

=φ

=φ

=φ

−=φ

=φ=φ

=φ−=φ

kk

ei

kk

eexkx

e

xkx

e

xkx

e

xkx

e

xkx

e

xkx

e

xkx

e

xkx

e

x,xxpentru,,,i;dx

)x(d.

x,xxpentrudx

)x(ddx

)x(d.

dxd

dxd

dxd;

dxd.

dxd

dxd

dxd;

dxd.

(3.99)

Gradul funcţiilor de interpolare rezultă din minimizarea funcţionalei (3.91’). Dacă se consideră şi a doua derivată a funcţiei de interpolare ca necunoscută principală, se impun în total de şase condiţii la limită. În acest caz gradul funcţiei de interpolare creşte cu doi. Dacă se foloseşte un element finit cu trei noduri gradul funcţiei de interpolare trebuie să fie cinci întrucât fiecare nod introduce câte două condiţii la limită esenţiale.

Expresiile funcţiei w (x) şi a derivatelor parţiale în raport cu ui (pentru omogenitate s-a notat: 42322111 usiuw,u,uw eeee =θ==θ= ) sunt:

( ) ii

jj

j u)x(wuxw φ=

∂∂⇒φ= ∑

=

4

1. (3.100)

Determinarea soluţiei variaţionale constă în minimizarea funcţionalei (3.91’) prin anularea diferenţialei corespunzătoare:

0024

1

22 =

∂∂⇔=δ

∂∂=δ ∑

=ej

)(

j

eje

j

)()(

uIu

uII . (3.101)

Notând pentru omogenitate necunoscutele secundare (eforturile tăietoare T şi încovoietoare N): 42322111 QNsiQT,QN,QT eeee ==== , ecuaţiile (3.101) se scriu:

01

1

1

4

12

2

21

2

1

2=+

φ+

φφ−=∂

∂∫ ∑+

=

exk

xk j

ej

je

)(Qdxfu

dx

d

dxdb

uI


151

0

0

0

4

1

4

4

12

2

24

2

4

2

3

1

3

4

12

2

23

2

3

2

2

1

2

4

12

2

22

2

2

2

=+

φ+

φφ−=∂

∂

=+

φ+

φφ−=

∂∂

=+

φ+

φφ−=

∂∂

∫ ∑

∫ ∑

∫ ∑

+

=

+

=

+

=

exk

xk j

ej

je

)(

exk

xk j

ej

je

)(

exk

xk j

ej

je

)(

Qdxfudx

d

dxdb

uI

Qdxfudx

ddx

db

uI

Qdxfudx

d

dxdb

uI

(3.101’)

Ecuaţiile (3.101’) reprezintă un sistem de patru ecuaţii cu patru necunoscute ( u1, u2, u3, u4) care se mai scrie sub forma:

414

1,...i;FuK

j

eij

eij ==∑

= (3.102)

sau sub forma matriceală:

[ ] eee FuK = (3.102')

unde elementele matricelor [ ] ee FsiK au expresiile:

ei

xk

xki

ei

xk

xk

jieij QdxfF;dx

dxd

dxdbK +φ=

φφ= ∫∫

++ 11

2

2

2

2

(3.103)

[ ]eK este matricea de rigiditate a elementului;

eF - matricea forţelor nodale ale elementului;

Derivatele de ordinul II ale funcţiilor de interpolare care intervin în calculul elementelor matricei [ ]eK (conform relaţiilor 3.103), au în acest caz expresiile:

−−=φ

−+−=φ

e

k

ee

e

e

k

ee

e

hxx

hhdx)x(d

hxx

hhdx)x(d

64

126

22

2

2221

2

−−=φ

−−=

φ

e

k

ee

e

e

k

ee

e

hxx

hhdx)x(d

hxx

hhdx)x(d

62

126

24

2

2223

2

Se consideră în continuare cazul particular în care funcţiile b(x) şi f(x)sunt constante pe lungimea barei, astfel încât se obţine următoarea formă

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 152 a ecuaţiei matriceale (3.102') (forma variaţională a ecuaţiei diferenţiale a elementului) pentru un element al barei:

=

++

+−+

=

⋅

−−−

−−−

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

e

FFFF

Q/fhQ/fh

Q/fhQ/fh

uuuu

hhhhhh

hhhhhh

hb

4

3

2

1

42

3

22

1

4

3

2

1

22

22

3

12212

2

2333636

3233636

2 (3.104)

3. Asamblarea matricelor. Considerăm în continuare grinda formată din două elemente. În fig 3.9 sunt prezentate necunoscutele principale şi secundare pentru fiecare element:

Necunoscutele principale în sistemul global şi condiţiile la limită sunt: 246

235

22

144

21

133

122

111 uU;uU;uuU;uuU;uU;uU ========

Ecuaţia matriceală (3.104) scrisă pentru fiecare din cele două elemente ale barei în dimensiunile matricii globale (dată de coordonatele globale) este:

!"Pentru elementul e1:

=

⋅

00

14

13

12

11

6

5

4

3

2

1

144

143

142

141

134

133

132

131

124

123

122

121

114

113

112

111

FFFF

UUUUUU

......

......

..KKKK

..KKKK

..KKKK

..KKKK

(3.105)

w12= u1

3

θ12 = u1

4

w11=u1

1

θ11 =

N2= Q14 N1= Q1

2 T2= Q13 T1=Q1

1

e1

1 2

Fig. 3.9

w22= u2

3

θ22 = u2

4 w2

1= u21

θ21 = u2

2

N2= Q24 N1=

2T2= Q2

3 T1= Q21

e2

1 2


153 !"Pentru elementul e2:

=

⋅

24

23

22

21

6

5

4

3

2

1

244

243

242

241

234

233

232

231

224

223

222

221

214

213

212

211

00

FFFF

UUUUUU

KKKK..KKKK..KKKK..KKKK..

......

......

(3.106)

Ecuaţia matriceală globală a structurii se obţine prin însumarea celor două ecuaţii matriceale corespunzătoare elementelor 1 şi 2:

=

++=

=

⋅

++++

6

5

4

3

2

1

24

23

22

14

21

13

12

11

6

5

4

3

2

1

244

243

242

241

234

233

232

231

224

223

222

144

221

143

142

141

214

213

212

134

211

133

132

131

124

123

122

221

114

113

112

111

FFFFFF

FF

FFFF

FF

UUUUUU

KKKK..KKKK..KKKKKKKK.KKKKKKKK

..KKKK

..KKKK

(3.107)

Matricea booleană de conexiune este: [ ]

=

3221

B (3.108)

şi indică faptul că în matricea de rigiditate globală termenii corespunzători necunoscutelor principale comune U3 şi U4 se obţin astfel:

23

223

222

14444

3221

14343

3212

13434

33211

13333

42222

0332

0332

122662

hhb)hh(

hbKKK

;)hh(hbKKK

)hh(hbKKK

;h

b)(h

bKKK

⋅=+=+=

=−=+=

=−=+=

⋅=+=+=

(3.109)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 154 În matricea forţelor nodale F elementele corespunzătoare celor

două necunoscute secundare F3 şi F4 se obţin prin însumarea termenilor corespunzători necunoscutelor principale comune U3 şi U4 :

22

14

22

214

22

2144

21

13

21

13

21

133

1212

22

QQQfhQfhFFF

;QQfhQfhQfhFFF

+=+−+=+=

++=+++=+= (3.110)

Se obţine ecuaţia matriceală globală de forma:

++

++++−

+

=

⋅

−−

−−−−

−−−−

24

2

23

22

14

21

13

12

2

11

6

5

4

3

2

1

22

222

22

3

122

122

23300363600

3403360123600323003636

2

Q/fhQ/fh

QQQQfhQ/fh

Q/fh

UUUUUU

hhhhhh

hhhhhhh

hhhhhh

hb

(3.111)

4. Impunerea condiţiilor la limita elementelor. Condiţiile la limită (3.84’) pentru necunoscutele principale se scriu: ;uU;uU 00 1

22111 ==== (3.112)

iar condiţiile la limită pentru necunoscutele secundare se scriu: !"nodul 1: ;MQ;FQ LL −=−= 1

211

!"nodul 2: ;QQ;QQ 00 22

14

21

13 =+=+ (3.113)

!"nodul 3: ;MQ;FQ 0240

23 ==

După introducerea acestor condiţii la limită, rezultă ecuaţia matriceală globală a structurii analizate:

++

−−−

=

⋅

−−

−−−−

−−−−

02

0

2

6

5

4

3

22

222

22

3

1220

122

00

23300363600

3403360123600323003636

2

M/fhF/fh

fhM/fh

F/fh

UUUU

hhhhhh

hhhhhhh

hhhhhh

hb

L

L

(3.114)


155 5. Rezolvarea ecuaţiei matriceale globale. Separând matricele

cunoscute de cele necunoscute în ecuaţia matriceală (3.114), se obţine:

[ ] [ ][ ] [ ]

=

∆∆

⋅

2

1

2

1

2221

1211

FF

KKKK

(3.115)

unde:

!"matricele cu termeni cunoscuţi sunt:

[ ] [ ]

[ ] [ ]

=−

−−

=

−−

=

−−=

−

−=

22

22

321

2

321

2312

311

2333636

34036012

2

0000

336

2

00300362

23362

hhhhhh

hhhh

hbK;

hhh

hbK

hhh

hbK;

hhh

hbK

(3.116)

++

=

=∆

02

0

21

1220

00

M/fhF/fh

fh

F; (3.117)

!"matricele cu termeni necunoscuţi sunt :

−−

−=

=∆L

L

Mfh

Ffh

F;

UUUU

12

22

1

6

5

4

3

2 (3.118)

Ecuaţia matriceală (3.115) se mai poate scrie ca un sistem de ecuaţii matriceale:

[ ] [ ] [ ] [ ] 2222121

1212111

FKK

FKK

=∆+∆

=∆+∆ (3.119)

Înmulţind la stânga cea de-a doua ecuaţie a sistemului (3.119) cu matricea [ ] 122 −K rezultă matricea necunoscută:

[ ] [ ] ( ) [ ] 212212121222 FKKFK −− =∆−=∆ (3.120)


[ ]

++

−−−−

−−−−

==∆−

02

022

22

21222

1220

12126312169569633532

6M/fhF/fh

fh

hhhhhh

hhhhhh

bhFK

(3.121) Deci, valorile necunoscutelor principale U3, U4, U5 şi U6 sunt:

−+−+−

−+−

+−

=

=∆

200

300

2

200

300

2

6

5

4

3

2

81212121216

7694

1735

6

fhMhFfhhMFh

fhMhF

fhhMFh

bh

UUUU

(3.122)

Înlocuind în prima ecuaţie a sistemului (3.119) matricea necunoscutelor principale 2∆ rezultă matricea necunoscutelor 1F :

−−=

00300362

231

hhh

hbF .

−+−+−

−+−

+−

200

300

2

200

300

2

81212121216

7694

1735

6

fhMhFfhhMFh

fhMhF

fhhMFh

bh (3.123)

−−

−=

−+

−−=

L

L

Mfh

Ffh

MhFfh

Ffh

F

12

2

212

232

3

2

00

2

01 (3.124)

Din relaţia (3.124) rezultă reacţiunile din încastrare:

2000 222 fhhFMM;fhFF LL −−=+= . (3.125)

6. Postprocesarea rezultatelor. Soluţia problemei obţinută cu ajutorul metodei elementelor finite prezentate mai sus, se poate scrie:

≤≤φ′+φ′+φ′+φ′≤≤φ′+φ′+φ′+φ′

=θ

≤≤φ+φ+φ+φ≤≤φ+φ+φ+φ

=

hxhUUUUhxUUUU

)x(

hxhUUUUhxUUUU

)x(w

20

20

246

235

224

213

144

133

122

111

246

235

224

213

144

133

122

111

(3.126)


157 în care se introduc valorile necunoscutelor principale U1=U2=0 şi U3, U4, U5, U6 detreminate mai sus şi funcţiile de formă φi corespunzătoare (3.96):

−

−=φ

−

=φ

−−=φ

+

−=φ

hx

hxx)x(

hx

hx)x(

hxx)x(

hx

hx)x(

214

3213

212

3211

23

1

231

( )

( )

−−

−−−=φ

−−

−=φ

−−−−=φ

−+

−−=φ

hhx

hhxhx)x(

hhx

hhx)x(

hhxhx)x(

hhx

hhx)x(

224

3223

222

3221

23

1

231

precum şi derivatele corespunzătoare ale funcţiilor de formă φi (3.98):

21

4

21

3

21

2

21

1

32

66

341

66

−

=φ′

−

=φ′

−

+−=φ′

+

−=φ′

hx

hx)x(

hx

hhx

h)x(

hx

hx)x(

hx

hhx

h)x(

21

4

21

3

21

2

21

1

32

66

341

66

−−

−=φ′

−−

−=φ′

−−

−+−=φ′

−+

−−=φ′

hhx

hhx)x(

hhx

hhhx

h)x(

hhx

hhx)x(

hhx

hhhx

h)x(

Soluţia exactă a ecuaţiei diferenţiale (3.84) pentru cazul particular considerat se obţine prin integrare directă, ţinând seama şi de relaţiile dierenţiale dintre eforuri şi condiţiile la limită (fig. 2.1):

2000 2

100 fLLFM)(M;fLF)(T

;dxT)x(M;dxf)x(T

−−=+=

⋅=⋅−= ∫∫ (3.127)

( )22

2

0

2

002

2

02

2

fxxfLF

fLLFM)x(M

dx

wdEI

fxfLF)x(Tdx

wdEI

dxd

−++

−−==−

−+==

−


( )

( ) 024622

0622

0

43

0

22

0000

0

32

0

2

000

=++−

−−−ϕ+=

=ϕ++−

−−−ϕ=ϕ=

w;fxxfLFxfLLFMxEIEIw)x(EIw

;;fxxfLFxfLLFMEI)x(EIdxdwEI

(3.128)

Reprezentând grafic cele două soluţii pentru w(x) şi ϕ(x) se obţin graficele din figurile 3.10 şi 3.11 unde se observă că valorile deplasărilor şi rotirilor obţinute coincid doar în noduri cu valorile soluţiei exacte.

U3Φ’12+ U5Φ’3

2 U3Φ’31

U4 U

U4Φ’41

x

U6

Fig. 3.11

ϕ(x)= U3Φ’31 +U4Φ’4

1

U4Φ’22+ U6Φ’4

2

ϕ(x)= U3Φ’12+ U4Φ’2

2+ U5Φ’32+ U6Φ’4

2 ϕ(x)

U4Φ22+ U6Φ4

2 U4Φ41

U3 U

U3Φ31

x

U5

Fig. 3.10

w(x)= U3Φ31 +U4Φ4

1

U3Φ12+ U5Φ3

2

w(x)= U3Φ12+ U4Φ2

2+ U5Φ32+ U6Φ4

2

w(x)


159

3.3. Coordonate normale şi naturale în cazul problemelor unidimensionale

Formularea variaţională a unei probleme unidimensionale caracterizată de o ecuaţie diferenţială de ordinul IV, necesită identificarea necunoscutelor primare şi secundare în vederea alegerii tipului şi gradului funcţiei de interpolare astfel încât soluţia de aproximare obţinută prin minimizarea funcţionalei pătratice asociate formei variaţionale să satisfacă condiţiile la limită impuse necunoscutelor primare (condiţiile esenţiale). Utilizând transformarea de coordonate normale sau locale: exxx 1+= ;

[ ]eh,x 0∈ se simplifică calculul elementelor matricei de rigiditate [ ]eK . Soluţia aproximativă în coordonate normale va avea forma:

≤≤φ′+φ′+φ′+φ′≤≤φ′+φ′+φ′+φ′=θ

≤≤φ+φ+φ+φ≤≤φ+φ+φ+φ=

hx~U~U~U~Uhx~U~U~U~U)x(~

hx~U~U~U~Uhx~U~U~U~U)x(w~

00

00

246

235

224

213

144

133

122

111

246

235

224

213

144

133

122

111

(3.129)

unde funcţiile de formă şi derivatele corespunzătoare au forma:

−

−=φ=φ

−

=φ=φ

−−=φ=φ

+

−=φ=φ

hx

hxx)x(~)x(~

hx

hx)x(~)x(~

hxx)x(~)x(~

hx

hx)x(~)x(~

224

14

3223

13

222

12

3221

11

23

1

231

22

41

4

22

31

3

22

21

2

22

11

1

32

66

341

66

−

=φ′=φ′

−

=φ′=φ′

−

+−=φ′=φ′

+

−=φ′=φ′

hx

hx)x(~)x(~

hx

hhx

h)x(~)x(~

hx

hx)x(~)x(~

hx

hhx

h)x(~)x(~

(3.130) Se observă că aceste funcţii îşi păstrează proprietăţile (3.97):

[ ][ ]h,xpentru,,,i;)x(~.

h,xpentru)x(~)x(~.

)h(~)h(~)h(~;)h(~.

)(~)(~)(~;)(~.

i 0432104

013

012

0000101

31

4213

4321

∉∀==φ

∈∀=φ+φ

=φ=φ=φ=φ

=φ=φ=φ=φ

(3.131)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 160 respectiv derivatele îşi păstrează proprietăţile (3.99):

[ ][ ]h,xpentru,,,i;)x(~.

h,xpentru)x(~)x(~.

)h(~)h(~)h(~;)h(~.

)(~)(~)(~;)(~.

i 0432104

003

012

0000101

31

3214

4312

∉∀==φ′

∈∀=φ′+φ′

=φ′=φ′=φ′−=φ′

=φ′=φ′=φ′−=φ′

(3.132)

Făcând transformarea de coordonate naturale sau parametrice:

)(hx 12

+ξ= , [ ]11,−∈ξ (3.133)

calculul elementelor matricei de rigiditate [ ]eK se simplifică mai mult.

Astfel, soluţia aproximativă în coordonate naturale are forma:

≤ξ≤−φ+φ+φ+φ≤ξ≤−φ+φ+φ+φ=ξ

1111

246

235

224

213

144

133

122

111

ÛÛÛÛ

ÛÛÛÛ)(w (3.134)

≤ξ≤−φ′+φ′+φ′+φ′≤ξ≤−φ′+φ′+φ′+φ′=ξθ

1111

246

235

224

213

144

133

122

111

ÛÛÛÛ

ÛÛÛÛ)(ˆ

unde funcţiile de formă şi derivatele corespunzătoare au forma:

+ξ−

+ξ+ξ−=ξφ=ξφ

+ξ−

+ξ=ξφ=ξφ

ξ−+ξ−=ξφ=ξφ

+ξ+

+ξ−=ξφ=ξφ

21

21

21

212

213

21

21

212

2131

224

14

3223

13

222

12

3221

11

h)(ˆ)(ˆ

)(ˆ)(ˆ

h)(ˆ)(ˆ

)(ˆ)(ˆ

22

21

2

22

11

1

213

2141

216

216

+ξ−

+ξ+−=ξφ′=ξφ′

+ξ+

+ξ−=ξφ′=ξφ′

)(ˆ)(ˆ

hh)(ˆ)(ˆ

(3.135)


161

22

414

22

313

213

212

216

216

+ξ−

+ξ=ξφ′=ξφ′

+ξ−

+ξ=ξφ′=ξφ′

)(ˆ)(ˆ

hh)(ˆ)(ˆ

Se observă şi în acest caz că funcţiile de interpolare păstrează proprietăţile (3.97):

[ ][ ]11432104

1113

0111112

0111111

31

4213

4321

,pentru,,,i;)(ˆ.

,pentru)(ˆ)(ˆ.

)(ˆ)(ˆ)(ˆ;)(ˆ.

)(ˆ)(ˆ)(ˆ;)(ˆ.

ei

ee

eeee

eeee

−∈ξ∀==ξφ

−∈ξ∀=ξφ+ξφ

=φ=φ=φ=φ

=−φ=−φ=−φ=−φ

(3.136)

respectiv derivatele lor păstrează proprietăţile (3.99):

[ ][ ]11432104

1103

0111112

0111111

31

3214

4312

,pentru,,,i;)x(ˆ.

,pentru)x(ˆ)x(ˆ.

)(ˆ)(ˆ)(ˆ;)(ˆ.

)(ˆ)(ˆ)(ˆ;)(ˆ.

i −∈ξ∀==φ′

−∈ξ∀=φ′+φ′

=φ′=φ′=φ′−=φ′

=−φ′=−φ′=−φ′−=−φ′

(3.137)

3.4. Funcţii de interpolare pentru elemente unidimensionale 3.4.1. Funcţii de interpolare tip Lagrange

Funcţiile de interpolare cele mai folosite pentru soluţia aproximativă sub forma (3. 134) sunt funcţiile de interpolare de tip Lagrange care în coordonate naturale au forma:

))...()()...()(())...()()...()(()(L)(niiiiiii

niinii ξ−ξξ−ξξ−ξξ−ξξ−ξ

ξ−ξξ−ξξ−ξξ−ξξ−ξ=ξ=ξΦ

+−

+−

1121

1121 (3.138)

Elementele finite care folosesc astfel de funcţii de interpolare se mai numesc elemente finite de tip Lagrange. Indiferent de gradul lor, aceste funcţii au următoarele proprietăţi:

;jidaca)(;jidaca)(. jeij

ei ≠=ξΦ==ξΦ 011

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 162 [ ]

[ ]1103

1112

,daca)(.

,fiaroricare)(.

ei

i

ei

−∉ξ=ξΦ

−∈ξ=ξΦ∑ (3.139)

Pentru elementele finite cu două, trei, patru şi respectiv cinci noduri (figura 3.12) expresiile funcţiilor de interpolare conform relaţiei (3.138) sunt următoarele:

!"element cu 2 noduri ( 11 21 =ξ−=ξ ; ):

( )

( )

ξ+=Φ

ξ−=Φ

121

121

2

1 ; (3.140)

!"element cu 3 noduri ( 101 321 =ξ=ξ−=ξ ;; ):

( ) ( )( )

( )

ξ+ξ=Φ

ξ+ξ−=Φξ−ξ−=Φ

;

:;

121

11121

3

21

(3.141)

!"element cu 4 noduri ( 131311 4321 =ξ=ξ−=ξ−=ξ ;/;/; ):

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

ξ−

ξ+ξ+−=Φ

ξ−

ξ+ξ+=Φ

ξ−

ξ−ξ+=Φ

ξ−

ξ−

ξ+−=Φ

;

;

;

;

31

311

169

1311

1627

1311

1627

131

31

169

4

3

2

1

(3.142)

!" element cu 5 noduri ( 1210211 54321 =ξ=ξ=ξ−=ξ−=ξ ;/;;/; ):

( )

( ) ( )

ξ−

ξ−ξξ+−=Φ

ξ−

ξ−ξ

ξ+=Φ

1211

38

121

21

32

2

1 ;


163

( ) ( )

( ) ( )

( )

ξ−ξ

ξ+ξ+−=Φ

ξ−ξ

ξ+ξ+=Φ

ξ−

ξ−

ξ+ξ+=Φ

;

;

;

21

211

32

1211

38

121

2114

5

4

3

(3.143)

Fig. 3.12.

ξ= 1 ξ= -1 ξ

a. Element cu 2 noduri xe

1 xe2

0

ΦΦ1(ξ Φ2(ξ)

ξ ξ= 0 ξ= -1

b. Element cu 3

ξ= 1

Φ

Φ1(ξ)

Φ2(ξΦ3(ξ)

xe1

xe2 xe

3

ξ

ξ= 1/3 ξ= -1/3 ξ= ξ= -1

c. Element cu 4 noduri xe

1

0

xe2 xe

3 xe

4

ΦΦ1(ξ Φ2(ξ Φ3(ξ)

Φ4(ξ

ξ

ξ= 1/2 ξ= -1/2 ξ= 0 ξ= 1 ξ= -1

d. Element cu 5 noduri

xe1

0

xe2 xe

3 xe

4

ΦΦ1(ξ Φ2(ξ

)Φ3(ξ Φ4(ξ

)

xe5

Φ5(ξ)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 164 Transformarea în coordonate naturale pentru elementul liniar cu 2

noduri se mai poate scrie cu ajutorul funcţiilor de interpolare (3.140) astfel:

( ) ( ) ( ) ( )ξΦ+ξΦ=+ξ+−ξ= ++ 2111 1211

21

kkkk xxxxx . (3.144)

Ţinând seama de proprietăţile generale ale funcţiilor de interpolare (3.139), pentru un element liniar cu r noduri transformarea de coordonate (3.144) se scrie:

( )∑=

ξΦ=r

iiixx

1, (3.145)

unde: ( )ξΦ i sunt funcţiile de interpolare Lagrange de grad r-1 iar xi

punctele de bază sau nodurile elementului. Diferenţiind relaţia (3.141) se obţine:

ξ⋅=ξ

ξΦ= ∑

=dJd

ddxdx

r

i

ii

1. (3.145’)

unde J este jacobianul transformării de coordonate (3.145).

Pentru elementul Lagrange liniar jacobianul este constant (J=he/2).

Într-adevăr:

!"pentru elementul liniar cu două noduri (funcţia de interpolare de gradul unu) este evident;

!" pentru elementul liniar cu trei noduri (funcţia de interpolare de gradul doi):

( ) ( )( ) ( )

eke

kk hxx;hxx;xx

;;;

+=+==

ξ+ξ=Φξ+ξ−=Φξ−ξ−=Φ

321

321

2

121111

21

(3.146)

( ) ( )

2212

221

212

21 321

eek

ekk

hhxhxxJ

;d

d;d

d;d

d

=

ξ+++ξ−

++

ξ+−=⇒

ξ+=ξ

Φξ−=ξ

Φξ+−=ξΦ

!"pentru elementul liniar cu patru noduri (funcţia de interpolare de gradul trei):


165

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

+ξ−ξ−−=

ξΦ

ξ−

ξ+ξ+−=Φ

+ξ−ξ−=

ξΦ

ξ−

ξ+ξ+=Φ

−ξ−ξ=

ξΦξ−

ξ−ξ+=Φ

−ξ−ξ−=

ξΦξ−

ξ−

ξ+−=Φ

;d

d;

;d

d;

;d

d;

;d

d;

9123

169

31

311

169

1323

16271

311

1627

1323

16271

311

1627

9123

1691

31

31

169

244

233

222

211

(3.147)

( )29

123169

32

1323

1627

31

323

1627

9123

169

32

3

22

22

4321

eek

ek

ekk

eke

ke

kk

hhxhx

hxxJ

hxx;hxx;hxx;xx

=+

+ξ−ξ−−

+

+ξ−ξ−+

+

+

−ξ−ξ+

−ξ−ξ−=

+=+=+==

Se consideră )x(uu = soluţia aproximativă a formei variaţionale care se scrie cu ajutorul unui set de funcţii de aproximare Ψi=Ψi(x) având gradul s-1:

∑=

Ψ=s

iii )x(C)x(u

1. (3.148)

Aşa cum rezultă din exemplele prezentate anterior se deduce soluţia )x(u cu ajutorul funcţiilor de interpolare prin nodurile elementului

Φi=Φi(x) având gradul r-1, unde r reprezintă numărul de grade de libertate corespunzătoare numărului de noduri ale elementului:

∑=

Φ=r

iii )x(x)x(u

1. (3.149)

În general gradul funcţiilor de aproximare s-1 poate să difere de gradul funcţiei de interpolare r-1.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 166 3.4.2. Funcţii de interpolare tip HERMITE

Ca şi funcţiile de interpolare de tip Lagrange, cele de tip Hermite prezintă proprietatea că iau valoarea 0 sau 1 la extremităţile intervalului considerat. Un polinom Hermite notat cu )x(H n

mi unde n reprezintă ordinul polinomului Hermite, m ordinul derivatei a cărei valoare se calculează ( nm ≤ ) şi i numărul nodului prin care se face interpolarea.

Polinomul de interpolare Hermite

este un polinom de gradul 2n+1 în x.

Atât funcţia de interpolare Hermite cât şi

derivata de ordinul m ia valoarea 0 sau 1

după cum urmează:

00 == m

nmi

mnmi dx

)x(Hd;)x(H

pentru x≠ xi sau m < n şi x≠ xi (3.150)

11 == m

nmi

mnmi dx

)x(Hd;)x(H

pentru x= xi şi m= n

Astfel, pentru un element unidimensional cu două noduri având câte două valori specificate în fiecare nod (u şi respectiv dx/duux = ) polinoamele de interpolare Hermite de ordinul n=1 şi m=1 sunt (fig. 3.13.b):

dsdH

xxdxdHsis,

xxxx

sunde

ssdx

dH

;)s(s)xx()s(H

)s)(s(dx

dH

;)s(s)xx()s(H

)s(s)s(H

)ss)(s()s(H

1212

1

2111

212

112

111

212

111

2102

2101

110

23

1

311

1

23

211

−=≤≤

−−

=

−=

−−=

−−=

−−=

−=

−+−=

(3.151)

Fig. 3.13

102H 1

01H

x 1

1

O

111H

112H

)x(H1


167 3.5. Elemente izoparametrice

În funcţie de relaţia ce există între gradele s şi r ale celor două seturi de funcţii de aproximare a soluşiei variaţionale Ψi(x) şi de interpolare a geometriei elementului (de formă) Φi(x) se deosebesc următoarele tipuri de elemente finite:

1. elemente subparametrice cu : r < s

2. elemente izoparametrice cu: r = s 3. elemente supraparametrice cu: r > s

Tipul de element finit cel mai utilizat este cel izoparametric.

3.6. Metode numerice pentru calculul integralelor

În aplicaţiile prezentate mai sus specifice metodei elementelor finite trebuie calculată integrala definită :

∫=b

adx)x(FI , (3.152)

unde F(x) este o funcţie integrand ale cărei valori nu se cunosc decât într-un număr finit de puncte (cazul problemelor neliniare este cel mai elocvent). Practic această integrală nu se poate calcula analitic.

Întrucât soluţia formei variaţionale este o funcţie aproximativă care se scrie cu ajutorul funcţiilor de interpolare printr-un număr finit de puncte

∑=

Φ=r

iii )x(x)x(u

1 iar forma jacobianului transformării de coordonate

utilizate în calcule ( ∑= ξ

Φ=r

i

ii d

dxJ1

) este de asemenea o funcţie aproximativă,

nu se justifică calculul exact al integralelor corespunzătoare elementelor matricei de rigiditate .

Ideea care stă la baza metodelor numerice de integrare (metode aproximative de integrare prin cuadraturi) este de a găsi o funcţie de aproximare P(x) care să interpoleze printr-un număr finit de puncte funcţia itegrand F(x) şi care să fie uşor de integrat. Cele mai simple funcţii de interpolare sunt cele polinomiale. Funcţiile polinomiale de gradul n pot

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 168 interpola o funcţie integrand în n+1 puncte ale intervalului (a,b). În funcţie de poziţia punctelor de interpolare se deosebesc două metode de integrare numerică:

!"Cuadratura NEWTON-COTES

!"Cuadratura GAUSS- LEGENDRE

3.6.1. Cuadratura NEWTON-COTES

Pentru n+1 puncte de bază echidistante situate în intervalul (a,b) integrala se calculează cu ajutorul formulei:

∑∫+

=−=

1

1

n

iii

b

a)x(Fw)ab(dx)x(F i=1,2, ... n+1 (3.153)

în care: wi sunt coeficienţi de pondere (parametrii cuadraturii) având suma egală cu 1;

xi - punctele de bază în care se calculează valorile integrandului F(x).

În continuare sunt prezentate formulele pentru un număr de puncte de bază: n+1= 2, 3, 4, 5, 6, 7 :

!"pentru două puncte de bază avem relaţia cunoscută ca regula trapezului:

∫

+=

b

a)x(F)x(Fhdx)x(F 21 2

121 (3.154)

!"pentru trei puncte de bază avem regula 1/3 a lui SIMPSON:

∫

++=

b

a)x(F)x(F)x(Fhdx)x(F 321 6

164

612 (3.155)

!"pentru patru puncte de bază avem regula 3/8 a lui SIMPSON:

∫

+++=

b

a)x(F)x(F)x(F)x(Fhdx)x(F 4321 8

183

83

813 ; (3.156)

!"pentru cinci puncte de bază avem relaţia:

∫

++++=

b

a)x(F)x(F)x(F)x(F)x(Fhdx)x(F 54321 90

79032

9012

9032

9074

(3.157)


169 !"pentru şase puncte de bază avem relaţia:

+++

+++=∫

)x(F)x(F)x(F

)x(F)x(F)x(Fhdx)x(Fb

a

654

321

28819

28875

28850

28850

28875

288195

(3.158)

Observaţie. Cuadratura NEWTON-COTES permite calculul exact al integralei utilizând o funcţie polinomială de gradul n dacă numărul de puncte de bază n+1 este par, respectiv o funcţie polinomială de gradul n+1 dacă numărul de puncte de bază n+1 este impar.

3.6.2. Cuadratura GAUSS - LEGENDRE

Dacă punctele de bază xi nu sunt specificate, formula de integrare (3.153):

∑∫+

=−=

1

1

n

iii

b

a)x(Fw)ab(dx)x(F i=1,2, ... n+1 (3.159)

cuprinde 2(n+1) parametri nedeterminaţi

În cuadratura GAUSS-LEGENDRE se aleg punctele de bază xi şi ponderile wi astfel încât suma celor n+1 termeni din membrul drept al relaţiei (3.159) să fie egală cu integrala din membrul stâng, atunci când F(x) are gradul mai mic sau egal decât 2n+1, adică:

∑∫∫=

∗

−ξ=ξξ=

n

iii

b

a)(Fwd)(Fdx)x(F

1

1

1 i=1,2, ... n (3.160)

unde w*i sunt coeficienţii de pondere LEGENDRE iar ξi punctele de bază

GAUSS, adică rădăcinile polinomului LEGENDRE: Pn+1(ξ)=0

( )[ ] ( )ξ⋅ξ=ξ JxF)(F (3.161)

unde ( )ξJ este jacobianul transformării de coordonate: ( )ξ= xx .

Cuadratura GAUSS-LEGENDRE este mai avantajoasă decât cuadratura NEWTON-COTES deoarece utilizează un număr mai redus de

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 170 puncte de bază pentru a se obţine acelaşi precizie. Eroarea este nulă dacă derivata de ordinul 2n+2 a integrandului este zero.

Un polinom de gradul n este integrat exact dacă se aleg un număr de puncte de bază GAUSS: nG=(n+1)/2. Dacă n+1 este impar se alege valoarea întreagă imediat superioară. În tabelul 3.1 sunt prezentate valorile punctelor de bază ξi şi a ponderilor w*

i pentru n=1,2...6.

Pentru a exemplifica modul de aplicare a metodelor de integrare prezentate mai sus se consideră elementul liniar cu trei noduri care se foloseşte pentru rezolvarea problemei prezentată la paragraful 3.1.

Funcţiile de interpolare ale transformării de coordonate

( )∑=

ξΦ=3

1iiixx pentru acest element conform (3.141) sunt:

( )

( )( )

( ) ;d

d;)(

;d

d;)(

;d

d;)(

ξ+=ξ

Φξ+ξ=ξΦ

ξ−=ξ

Φξ+ξ−=ξΦ

ξ+−=ξΦξ−ξ−=ξΦ

211

21

211

211

21

33

22

11

(3.162)

Tabelul 3.1 n ξξξξi w*

i 1 ξ1=0 w1=2 2 ξ1=-0,577350 w1=1 ξ2=+0,577350 w2=1 ξ1=-0,774596 w1=0,555555

3 ξ2=0 w2=0,888888 ξ3=-0,774596 w3=0,555555 ξ1=-0,861136 w1=0,347854

4 ξ2=-0,339981 w2=0,652145 ξ3=+0,339981 w3=0,652145 ξ4=+0,861136 w4=0,347854 ξ1=-0,906179 w1=0,236926 ξ2=-0,538469 w2=0,478628

5 ξ3=0 w3=0,568888 ξ4=+0,538469 w4=0,478628 ξ5=-0,906179 w5=0,236926


171 Elementele matricei de rigiditate Kij date de relaţiile (3.32) şi

elementele Gij având forma de mai jos, se calculează cu ajutorul coordonatelor naturale:

∫ ∫

∫∫+

+

−

−

ξ⋅⋅ξΦξΦ=ΦΦ=

ξ⋅⋅

ξ

Φ

ξ

Φ=

Φ

Φ

=

1

1

1

1

1

1

k

k

k

k

x

xjijiij

iijx

x

iij

dJ)()(dxG

;dJd

dd

ddxdx

ddx

dK

(3.163)

Jacobianul transformării de coordonate, conform (3.146) este:

2

3

1

e

i

ii

hd

dxddxJ =

ξΦ=

ξ= ∑

=. (3.164)

Se calculează integralele atât direct (valorile exacte) cât şi prin cele două metode de cuadraturi pentru un număr de puncte de bază: n=1, 2, 3, 4 .

Tabelul 3.2 Cuadratura

Newton-Cotes Cuadratura

Gauss-Legendre Rezultatul

exact Nr. de pct.

de bază K11 G11 K11 G11 K11 G11

n=1 - - eh

1 -

n=2 eh

5 2

eh eh3

7 9

eh

n=3 eh3

7 6

eh 152 eh

eh37

152 eh

n=4 274 eh

n=5 152 eh

Din analiza rezultatelor din tabelul 3.2 se pot trage următoarele concluzii:

!"cuadratura NEWTON-COTES permite obţinerea soluţiei exacte pentru 3 şi respectiv 5 puncte de bază: pentru K11 (de grad II) se obţine valoarea exactă pentru nN =3 puncte de bază iar pentru G11 (de grad IV) se obţine valoarea exactă pentru nN=5 puncte de bază (polinom de grad IV).

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 172 !"cuadratura GAUSS-LEGENDRE dă soluţia exactă pentru un număr mai

mic de puncte de bază: pentru K11 se obţine valoarea exactă pentru nG=2 puncte iar polinomul lui G11 este integrat exact pentru nG=3 puncte de bază.

BIBLIOGRAFIE 1. Reddy, J. N. - An introduction to the finite element method. Mc Graw

Inc. 1984 2. Anghel, V., Pastramă, Ş.D., Mareş, C. - Metode şi programe pentru

calculul structurilor. Noţiuni teoretice şi aplicaţii în Matlab. Editura UPBucureşti, 1998

3. Berbente, C., Zancu, S., Mitran,S., Pleter, O., Tătăranu,C - Metode numerice de calcul şi aplicaţii, vol I, Ed. U. P. Bucureşti, 1992

4. Demidovitch, B., Marinov, R - Elements de calcul numerique, Edition Mir, Moscova, 1973


6. Olariu, V., Brătianu, C - Modelare numerică cu elemente finite, Editura Tehnică, Bucureşti 1986.

7. Salvadori, M.G., Baron, M.L. - Metode numerice în tehnică Editura Tehnică, Bucureşti, 1972, trad. de prof. dr. doc. Soare, M.

8. Simionescu, I., Dranga, M., Moise, V. - Metode numerice în tehnică. Aplicaţii în Fortan, Editura Tehnică, Bucureşti 1995.

Elemente finite bidimensionale pentru calculul structurilor

173

4

ELEMENTE FINITE BIDIMENSIONALE PENTRU CALCULUL STRUCTURILOR

4.1. Introducere

Rezolvarea problemelor bidimensionale prin metoda elementelor finite, caracterizate de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale cu două necunoscute cuprinde aceleaşi etape ca şi în cazul problemelor unidimensionale prezentate în capitolul III: 1. Alegerea tipului de element şi discretizarea domeniului în elemente

finite; 2. Obţinerea formei variaţionale a problemei şi deducerea funcţiilor de

interpolare ale elementului finit; 3. Asamblarea ecuaţiilor matriceale ale elementelor şi obţinerea ecuaţiei

matriceale globale; 4. Impunerea condiţiilor la limită globale; 5. Rezolvarea numerică a ecuaţiei matriceale globale după introducerea

condiţiilor la limită globale; 6. Post-procesarea rezultatelor obţinute.

Limita domeniului bidimensional Ω este o curbă Γ, iar discretizarea domeniului în elemente finite constă în împărţirea în subdomenii rectangulare simple Ωe (triunghiuri sau patrulatere), având frontiera Γe, legate între ele în noduri ca în figura 4.1.

Atât soluţia ecuaţiei variaţionale corespunzătoare problemei caracterizată de o ecuaţie diferenţială de două variabile cu derivate parţiale, cât şi funcţia care aproximează frontiera Γ introduc erori de aproximare a soluţiei, respectiv erori de discretizare a frontierei domeniului.


4.2. Formularea variaţională a unei probleme bidimensionale

Formularea variaţională a unei probleme bidimensionale cuprinde în principiu aceleaşi etape ca şi în cazul problemelor unidimensionale.

Este prezentată spre exemplificare o problemă caracterizată de următoarea ecuaţie diferenţială cu derivate parţiale de ordinul II [2]:

00022211211 =−+

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂− fua

yua

xua

yyua

xua

x (4.1)

şi următoarele condiţii la limită pe frontiera Γ : uΓ = g(x,y), unde a11, a12, a21, a22, a00 sunt constante date.

Pentru formularea variaţională a problemei se aplică algoritmul cunoscut:

Se amplifică ecuaţia diferenţială (4.1) cu o funcţie test v(x,y) derivabilă şi se integrează pe domeniul elementului Ωe:

( ) ( ) 00021 =

−+

∂∂−

∂∂−∫

Ω

dxdyfuaFy

Fx

ve

(4.2)

unde s-a notat :

yua

xua)F(;

yua

xua)F(

∂∂+

∂∂=

∂∂+

∂∂= 2221212111 (4.2’)

Dacă se ţine seama de proprietăţile derivatelor:

( ) ( ) 222

111 F

yvvF

yyFv;F

xvvF

xxFv

∂∂+

∂∂−=

∂∂−

∂∂+

∂∂−=

∂∂− (4.3)

Γ

Ω

Γe y y

Ωe

x x

Fig.4.1

Ωe


175 şi de teorema gradientului şi divergenţei:

( ) ( )∫ ∫∫ ∫Ω ΓΩ Γ

=∂∂=

∂∂

e ee e

dsnvFdxdyvFy

;dsnvFdxdyvFx yx 2211 (4.4)

unde nx şi ny sunt cosinuşii directori ai direcţiei normală la contur, având versorul:

jsinicosjninn yx ⋅α+⋅α=+= (4.5)

atunci relaţia (4.2) devine:

dsyua

xuan

yua

xuanv

dxdyvfvuayua

xua

yv

yua

xua

xv

e

e

yx∫

∫

Γ

Ω

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂−

−

−+

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂−=

22211211

00222112110

(4.6)

Examinând ultima integrală din această ecuaţie se pot face observaţiile:

!"specificarea valorilor funcţiei test v (de acelaşi tip cu variabila dependentă u) de-a lungul frontierei Γe , constituie condiţiile la limită esenţiale;

!"specificarea valorilor expresiei dintre parantezele drepte în a doua integrală de-a lungul frontierei Γe care este notată în continuare cu qn (variabila secundară) constituie condiţiile la limită naturale; qn reprezintă proiecţia vectorului jFiFF 21 += pe direcţia normalei la frontieră Γe: jninn yx += .

Ţinând seama de acestea forma variaţională (4.6) a ecuaţiei (4.1) se scrie:

dsvqdxdyvfvuayua

xua

yv

yua

xua

xv

een∫∫

ΓΩ

−

−+

∂∂+

∂∂

∂∂−

∂∂+

∂∂

∂∂−= 00222112110

(4.7) Soluţia aproximativă a acestei ecuaţii trebuie să fie cel puţin o funcţie liniară în variabilele (x,y) pentru ca primii doi termeni ai formei variaţionale (4.7) şi qn să fie nenuli. Se caută o soluţie u(x,y) de forma:

∑∑==

Φ=Ψ=n

jjj

n

iii uc)y,x(u

11 i, j =1,2, ... n (4.8)

unde: uj sunt valorile variabilei în punctele A(xj,yj) ale domeniului Ωe;

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 176 Ψi(x,y) sunt funcţii de aproximare liniar independente ;

Φi(x,y) sunt funcţii de interpolare liniar independente având proprietatea:

Φi(xj,yj)= 1 dacă i=j şi Φi(xj,yj)=0 dacă i≠j.

Pentru aplicarea metodei Ritz se folosesc ca funcţii test în forma variaţională (4.7) funcţiile de interpolare:

v(x,y)=Φi(x,y) (4.9)

obţinându-se:

n,...,idsqdxdyf

udxdyay

ax

ayy

ax

ax

ee

e

nii

n

jjji

jjijji

21

01

0022211211

=Φ−Φ−

−

ΦΦ+

∂Φ∂

+∂Φ∂

∂Φ∂

−

∂Φ∂

+∂Φ∂

∂Φ∂

−=

∫∫

∑ ∫

ΓΩ

= Ω

(4.10) Notând cu:

n,...,idsqdxdyfF

dxdyay

ax

ayy

ax

ax

K

ee

e

niie

i

jijjijjie

ij

21

0022211211

=Φ+Φ=

ΦΦ+

∂Φ∂

+∂Φ∂

∂Φ∂

−

∂Φ∂

+∂Φ∂

∂Φ∂

−=

∫∫

∫

ΓΩ

Ω

(4.11) se obţin ecuaţiile metodei elementelor finite:

∑=

=⋅n

j

ei

ej

eij FuK

1 (4.12)

Din expresia formei variaţionale (4.7) rezultă că funcţiile Φi trebuie să fie cel puţin liniare în (x, y). Dacă în cazul problemelor unidimensionale caracterizate de ecuaţii diferenţiale cu derivate parţiale de ordinul II, între numărul de noduri n ale elementului şi gradul r al polinomului de interpolare, exista relaţia biunivocă n=r+1, în problemele bidimensionale această relaţie nu mai este biunivocă.

Astfel:

!"pentru elementul finit triunghiular cu trei noduri (fig. 4.2.a) polinomul de aproximare este de gradul I:

u(x,y)=c1+c2x+c3y. (4.13)


177 !"pentru elementul finit triunghiular cu patru noduri (fig. 4.2.b) sau

elementul finit patrulater cu patru noduri (fig. 4.2.c), polinomul de aproximare este de gradul doi:

u(x,y)=c1+c2x+c3y+c4xy. (4.14)

!"pentru elementul finit patrulater cu 5 noduri (fig. 4.2.d), polinomul de aproximare este de gradul doi:

u(x,y)=c1+c2x+c3y+c4xy+c5(x2+y2) (4.15)

• pentru elementul finit triunghiular cu 6 noduri (fig. 4.2.e), polinomul de aproximare este tot de gradul II:

u(x,y)=c1+c2x+c3y+c4xy+c5x2+c6y2 (4.16)

4.3. Funcţii de interpolare biliniare pentru un element triunghiular cu trei noduri

Setul de funcţii de aproximare Ψi : (1, x, y) utilizat pentru soluţia formei variaţionale reprezintă o bază de funcţii liniar independente. Aceasta corespunde elementului finit triunghiular cu trei noduri şi se scrie:

u(x,y)=c1+c2x+c3y (4.17)

Constantele c1, c2 şi c3 se deduc din condiţiile la limită în nodurile elementului:

u(xi,yi)=ui i=1,2,3 (4.18)

3

4 3 3 3 3 6 5

5

4

4 4

2 2 2 2 1 1 1 1

2 1

Fig.4.2

a. e. d. c. b.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 178 care se mai scriu matriceal sub forma:

⋅

=

3

2

1

33

22

11

3

2

1

111

ccc

yxyxyx

uuu

(4.18')

Rezolvând acest sistem se obţin constantele c1, c2 şi c3:

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( )[ ]1233122313

2131323212

1221331132233211

21

21

21

xxuxxuxxuA

c

yyuyyuyyuA

c

yxyxuyxyxuyxyxuA

c

e

e

e

−+−+−=

−+−+−=

−+−+−=

(4.19)

unde:

33

22

11

111

21

yxyxyx

Ae = este aria supafeţei elementului triunghiular.

Înlocuind constantele c1, c2 şi c3 în expresia funcţiei de aproximare (4.17) şi grupând termenii în funcţie de valorile nodale u1, u2, u3 se obţine:

∑=

Φ=3

1i

eii )y,x(u)y,x(u (4.20)

unde:

3212

1 ,,i;)yx(A

)y,x( iiie

ei =γ+β+α=Φ (4.21)

sunt funcţiile de interpolare ale elementului, iar constantele αi βi şi γi sunt:

;xx;xx;xx

;yy;yy;yyyxyx;yxyx;yxyx

123312231

213132321

122133113223321

−=γ−=γ−=γ−=β−=β−=β

−=α−=α−=α (4.21’)

Din expresiile (4.20) şi (4.21) rezultă următoarele proprietăţi ale funcţiilor de interpolare Φe

i(x, y):

1. Φi(xj,yj)= 1 dacă i=j şi Φi(xj,yj)=0 dacă i≠j.

2. ∑=

=Φ3

11

i

ei )y,x(


179

Ωe 3 (x3,y3)

2 (x2,y2)

1 (x1,y1)

u3

u2

A3

u1

A1

O

A2

u(x,y) u

Fig.4.4

y

x

O

u

y

c.

b.

a.

Fig. 4.3

x

u=1 3

2 1

u=1

3

2 1

u=1

3

2 1

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 180 4.4. Funcţii de interpolare biliniare pentru elemente cu patru noduri Dacă setul de funcţii de aproximare utilizat pentru soluţia formei variaţionale u(x,y) este format din patru funcţii independente (1, x, y, xy) atunci soluţia aproximativă se scrie:

u(x,y) = c1+c2x+c3y+c4xy. (4.22)

şi corespunde elementului finit triunghiular cu patru noduri (fig. 4.2.b) sau a elementului patrulater cu patru noduri (fig. 4.2.c). Constantele c1, c2, c3 şi c4 se deduc din condiţiile la limită în noduri:

u(xi,yi)=ui , i=1,2,3,4 (4.23)

Condiţiile (4.23) se mai scriu matriceal astfel:

⋅

=

4

3

2

1

4444

3333

2222

1111

4

3

2

1

1111

cccc

yxyxyxyxyxyxyxyx

uuuu

(4.24)

Pentru uşurinţa calcului se consideră cazul particular în care cele patru noduri sunt vârfurile unui dreptunghi având coordonatele: (0,0), (a,0), (a,b) şi (0,b) ca în 4.5.a. Ecuaţia matriceală (4.24) devine:

⋅

−−−−

=

⇒

⋅

=

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

111100

00000

1

0011

0010001

uuuu

aabb

ab

abcccc

cccc

babba

a

uuuu

(4.25)

Înlocuind expresiile constantelor astfel determinate în relaţia (4.22) şi grupând termenii în funcţie de ui se obţine:

∑=

Φ=4

1i

eii )y,x(u)y,x(u , (4.26)

unde Φei (x,y) sunt funcţiile de interpolare al elementului care au forma:

−=Φ

=Φ

−=Φ

−

−=Φ

by

ax)y,x(

;by

ax)y,x(

by

ax)y,x(

;by

ax)y,x(

e

e

e

e

11

11

4

3

2

1

(4.26’)


181

Fig. 4.6

b.

u=1

4

3

2 1

d.

u=1 4

3

2 1

a.

u=1 4

3

2 1

c.

u=1 4

3

2 1

u

y

x

y

(0,b) (a,b)

Ωe

4 3

2 1

(a,0) (0,0) x

a.

(x3,y3) 3

(x4,y4) 4

Ωe

(x2,y2) 2

1

(x1,y1)

b.

y

x

Fig. 4.5

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 182 Din forma funcţiilor de interpolare (4.26) rezultă următoarele

proprietăţi:

!"Φi(xj,yj)= 1 dacă i=j şi Φi(xj,yj)=0 dacă i≠j.

!"∑=

=Φ4

11

i

ei )y,x( (4.27)

4.5. Calculul elementelor matricelor [Ke] şi [Fe] În paragraful 4.1. s-a dedus forma elementelor matricei [ Ke] şi [Fe] :

n,...,idsqdxdyfF

dxdyay

ax

ayy

ax

ax

K

ee

e

niie

i

jijjijjie

ij

21

0022211211

=Φ+Φ=

ΦΦ+

∂Φ∂

+∂Φ∂

∂Φ∂

−

∂Φ∂

+∂Φ∂

∂Φ∂

−=

∫∫

∫

ΓΩ

Ω

(4.28) Din expresia integralelor (4.28) rezultă că aceste matrice se pot scrie

ca o sumă de matrice de bază de forma:

[ Ke] = a11[ S11] + a12[ S12] + a21[ S12]T + a22[ S22] + a00[ S00]

[Fe] = [f e] + [Qe] (4.29)

în care:

∫∫

∫∫

∫∫

ΓΓ

ΩΩ

ΩΩ

Φ=Φ=

ΦΦ=∂Φ∂

∂Φ∂

=

∂Φ∂

∂Φ∂

=∂Φ∂

∂Φ∂

=

ee

ee

ee

dsqQ;dxdyff

;dxdyS;dxdyyy

S

;dxdyyx

S;dxdyxx

S

ineij

ei

jiijji

ij

jiij

jiij

0022

1211

(4.30)

Pentru calculul elementelor (4.30) se utilizează funcţiile de interpolare liniare (4.21) şi formulele de integrare numerică prin cuadraturi. Se notează :

!"integrala: ,dxdyyxIA

nmmn ∫∆

= A=I00 este aria triunghiului;

!"33

321321 yyyy;xxxx ++=

++= (4.31)


183 Elementele integralei Imn se determină astfel:

( )

( ) ( )223

22

21

02223

22

21

20

332211110110

912

912

912

yyyyAI;xxxxAI

yxyxyxyxAI;yAI;xAI

+++=+++=

+++=⋅=⋅= (4.32)

Funcţiile de interpolare în cazul elementul triunghiular cu trei noduri sunt:

32121 ,,i),yx(A

)y,x( iiiei =γ+β+α=Φ (4.33)

unde iii ,, γβα sunt date de relaţiile (4.21’).

Derivatele parţiale ale funcţiilor de interpolare (4.33) sunt:

;Ay

;Ax

iiii

22γ

=∂Φ∂β

=∂Φ∂ (4.34)

Înlocuind relaţiile (4.33) şi (4.34) în expresiile elementelor (4.30) se obţine:

( ) ( )[ ]( )[ ]

3241

41

41

41

41

22

1211

0211202

00

fA)yx(ff;A

S

;A

S;A

S

;IIIA

yxA

S

iiie

iji

jiji

jiijjiji

ijjiijjiji

=γ+β+α=γγ=

γβ=ββ=

γγ+βγ+βγ+ββ+

+γα+γα+βα+βα+αα=

(4.35)

Pentru calculul integralei pe contur: ∫Γ

Φ=e

dsqQ inei se consideră că

qn este cunoscut de-a lungul frontierei Γe.

Nu este necesar să se calculeze aceste integrale pe porţiuni ale lui Γe care nu coincid cu frontiera domeniului Ω, întrucât la asamblarea elementelor matricei aceste integrale se anulează două câte două. Într-adevăr, pentru o porţiune dreaptă a frontierei unui element Γe aflată în interiorul domeniului (de exemplu latura i-j a elementului e, figura 4.7) avem valoarea qe

n iar pentru elementul vecin f având latura comună i-j

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 184 avem valoarea qf

n= - qen. Acest lucru este cunoscut în teoria elasticităţii ca

echilibrul forţelor unitare interioare.

Integrala pe conturul elementului se reduce deci la calculul integralei corespunzătoare pe conturul exterior al domeniului care este o linie:

∫ ∫Γ

Φ=Φ=e

h

ininei ds)s()s(qdsqQ

0, (4.36)

unde h este lungimea laturii k a elementului.

Fig.4.7

y

Γf

Γe

i

i

qfn

qen

qn j

j

Ωe

x

Ωf

Γ

Ω

i

qn k

j

y

Ωf Ωe

x


185 4.6. Asamblarea elementelor în matricea globală

Asamblarea elementelor în matricea globală se face în acelaşi mod ca şi în cazul unidimensional.

În continuare se prezintă algoritmul asamblării a două elemente având o latură comună: un element triunghiular şi celălalt patrulater (fig. 4.8).

Se notează cu u1i valorile variabilei corespunzătoare elementului e1 şi

u2i valorile variabilei corespunzătoare elementului e2 . Se notează cu Ui

valorile variabilei corespunzătoare din sistemul global.

Conform figurii 4.8 sunt valabile condiţiile:

U1= u11 ; U2= u1

2 = u21 ; U3= u1

3 = u24 ; U4= u2

2 ; U5= u23 (4.37)

Asamblarea elementelor este de fapt însumarea ecuaţiilor matriceale ale elementelor scrise sub forma globală şi se justifică prin faptul că forma pătratică asociată funcţionalei corespunzătoare întregului domeniu, se obţine prin însumarea formelor pătratice corespunzătoare fiecărui element component:

∑=

=n

e

ei

)(ei

)( )u(I)u(I1

22 . (4.38)

Soluţia problemei se obţine prin anularea primei variaţii a funcţionalei pătratice )u(I i

)( 2 asociată funcţionalei iar rezultatul se poate scrie sub formă matriceală astfel:

∑=

δ

∂∂=δ

∂

∂=n

e

eei

)(

i

)(u

uIu

uI

1

220 . (4.39)

3

Fig.4.8

4

3

2 1

3

2

1

e2

e1

5

4 2

1

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 186 Ţinând seama că funcţionala pătratică asociată funcţionalei corespunzătoare elementului e se scrie matriceal sub forma:

[ ] eTeeeTee)( FuuKu)u(I −=212 , (4.40)

unde elementele matricelor de mai sus eijK şi e

iF au fost definite prin relaţiile (4.28) , deci ecuaţia (4.39) se scrie:

[ ] ;FuKuFuuKuN

e

n

j

ei

ej

eij

n

i

ei

N

e

eTeeeTe ee

∑ ∑∑∑= ===

−δ=δ−δ=

1 1110 (4.41)

4.7. Funcţii de interpolare de grad superior Funcţiile de interpolare utilizate în modelarea cu elemente finite depind de geometria elementului, numărul şi poziţia nodurilor, precum şi de numărul de necunoscute primare asociate fiecărui nod.

4.7.1. Funcţiile de interpolare pentru elementul triunghiular Pentru elementul triunghiular se pot obţine funcţiile de interpolare de grad superior cu ajutorul triunghiului lui Pascal prezentat în tabelul 4.1.

Numărul de noduri ale elementului este egal cu numărul de termeni ai polinomului de interpolare. Familia elementelor triunghiulare LAGRANGE (de ordin mai mare de zero) se utilizează în rezolvarea problemelor caracterizate de ecuaţii diferenţiale de ordinul II, care necesită continuitatea variabilelor la limita dintre elemente (nu neapărat şi a derivatelor lor).

Dacă gradul funcţiei de interpolare este (k –1), numărul total de noduri n se determină din triunghiul lui Pascal (tabelul 4.1):

n = 1+2+ ... + (k -1) +k 21 /)k(kn +=⇒

Un polinom de aproximare de gradul p asociat unui element finit din familia LAGRANGE de ordinul p, atunci când se evaluează la limita elementului este tot un polinom de gradul p. Astfel, forma pătratică asociată elementului triunghiular cu şase noduri este dată de:

ue (x,y)=a1+a2x+a3y+a4xy+a5x2+a6 y2 . (4.42)

Tabelul 4.1

Grad polinom

Nr. termeni

0 1 1

1 3 x y

2 6 x2 xy y2

3 10 x3 x2y xy2 y3

4 15 x4 x3y x2y2 xy3 y4

5 21 x5 x4y x3y2 x2y3 xy4 y5

6 28 x6 x5y x4y2 x3y3 x2y4 xy5 y6


Printr-o transformare de coordonate din sistemul global (x, y) în sistemul local (s, t) (figura 4.9) se obţine tot o formă pătratică:

ue (s,t)=b1+b2s+b3t+b4st+b5s2+b6t2. (4.42’)

Întrucât în sistemul local una din axe este după o latură a elementului e (de exemplu latura corespunzătoare nodurilor 1-2-3 din figura 4.9) luând t=0 se obţine evaluarea la limita elementului, respectiv un polinom de gradul II în s:

ue (s,0)=b1+b2s + b5s2. (4.42”)

Pentru un element vecin f a cărui latură corespunzătoare nodurilor 5-4-3 este comună cu latura corespunzătoare nodurilor 1-2-3 a elementului e (figura 4.9) funcţia de aproximare este tot o formă polinomială de gradul II în s:

uf (s,0)=c1+c2s + c5s2. (4.43)

Deoarece aceste funcţii sunt definite unic în nodurile comune, adică :

ue1= uf

5; ue2= uf

4; ue3=uf

3, (4.44)

rezultă că cele două polinoame sunt identice la limita elementelor:

ue (s,0) ≡ uf (s,0) . (4.44’)

În analiza cu elemente finite este necesară inversarea unor matrice pătrate n × n unde n este numărul de termeni ai polinomului de interpolare folosit.

Fig.4.9

t

5

5

6

6

e

f

4

4

1

1

2

2 s

3

3

y

t

5

6 4 1

2

e

s

3

x


189

Se observă, în cazul problemelor unidimensionale, că folosirea coordonatelor naturale, simplifică mult calculul elementelor matricei de rigiditate. În cazul particular al elementelor triunghiulare cu un număr mai mare de noduri, folosirea coordonatelor de arie adimensionale Li simplifică de asemenea calculul numeric. Coordonatele de arie adimensionale Li (i=1,2,3) măsoară poziţia unui punct din interiorul elementului triunghiular în raport cu cele trei laturi prin raportul ariilor triunghiurilor determinate de punctul P cu latura opusă nodului 1, 2 respectiv 3:

;AAA

ALPPP

iPi

321 ++= (i=1, 2, 3) (4.45)

unde : AiP reprezintă aria triunghiului având vârful în punctul P şi baza latura opusă vârfului i (i=1, 2, 3) (fig. 4.10).

Valorile parametrilor Li (cuprinse între 0 şi 1) se notează cu si şi reprezintă de fapt raportul dintre înălţimea corespunzătoare triunghiului interior şi înălţimea corespunzătoare triunghiului elementului finit (fig.

4.10): h

hs p

p = .

Este evidentă relaţia dintre cele trei coordonate de arie L1+L2+L3=1, deci acestea nu sunt independente. Se poate face transformarea din coordonatele carteziene (x,y) în coordonatele de arie adimensionale Li:

∑∑==

==3

1

3

1 iii

iii yLy;xLx (4.46)

unde (xi ,yi) sunt coordonatele vârfurilor 1, 2, 3 ale triunghiului.

L1=1 1 s1

L1=A1P/A

P

L1=0

A3P A2P

A1P

3

2

sp

A1P

hp

h

s0

Fig. 4.10


Funcţia de interpolare de tip Lagrange în coordonate Li corespunzătoare nodului i≡1 se anulează în toate nodurile, mai puţin în nodul i unde are valoarea 1 (deoarece în acest nod coordonatele L2≡ 0 , L3 ≡ 0) şi se scrie astfel:

( )( )( ) ( )( )( )( ) ( ) ∏

−

= −−−−−−

−

−−

=−−−−

−−−−=Φ

2

0 1

1

21211101

212111011

k

i ik

i

kkkkk

k

sssL

ss...sssssssL...sLsLsL

; (i < k-1)

(4.47)

Funcţia de interpolare Lagrange în coordonate Li corespunzătoare nodului p situat pe latura nodurilor 1-2 (L3 ≡ 0) se anulează în toate nodurile mai puţin în nodul p unde L1 şi L2 au valoarea sp respectiv s’p şi se scrie:

∏∏−−

=

−

= −′−

⋅−−

=Φ1

0

21

0

1pk

j jp

jp

i ip

ip ss

sLsssL

. (i, j < p) (4.48)

Funcţia de interpolare de tip Lagrange Φr corespunzătoare nodului r din interiorul triunghiului se anulează în toate nodurile cu excepţia nodului r unde L1, L2 şi L3 au valoarea sr , s’r respectiv s”r şi se scrie astfel:

∏∏∏−−

=

−−

=

−

= −′′−

⋅−′−

⋅−−

=Φ1

0

31

0

21

0

1rk

m mr

mrk

p jr

jr

j ir

ir ss

sLsssL

sssL

, (i, j, m < r) (4.49)

Pentru explicarea modului de scriere a funcţiilor de interpolare Lagrange în coordonate adimensionale Li se consideră următoarele exemple de elemente finite triunghiulare:

1. Elementul triunghiular cu trei noduri (fig.4.12). În acest caz avem: k=2; s0=0; s1=1 şi funcţiile de interpolare Lagrange în coordonate adimensionale sunt identice cu coordonatele de arie adimensionale:

1 sk-1=1

s1

p 2

1

sp

L1=0

2

3

s0=0

k-2 L3=0

L2=0

Fig. 4.11


191

301

0332

01

0221

01

011 L

sssL;L

sssL;L

sssL

=−−

=Φ=−−

=Φ=−−

=Φ (4.50)

2. Elementul triunghiular cu şase noduri (fig.4.13):

În acest caz avem: k=3; s0=0; s1=1/2; s2=1 funcţiile de interpolare se scriu:

( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( )( )( )( )( ) ( ) ( )( )

( )( ) ;LLsssssLsL;LL

sssssLsL

;LLsssssLsL

;LLsssssLsL

LLsssssLsL

;LLsssssLsL

310301

0301633

1303

13033

320302

0302522

1202

12022

210201

0201411

1202

11011

412

412

412

=−−−−

=Φ−=−−−−

=Φ

=−−−−

=Φ−=−−−−

=Φ

=−−−−

=Φ−=−−−−

=Φ

(4.51)

3. Elementul triunghiular cu zece noduri (fig.4.14):

Pentru acest caz avem: k=4; s0=0; s1=1/3; s2=2/3; s3=1:

( )( )( )( )( )( ) ( )( )

( )( )( )( )( )( ) ( )( )2313

21

231321

222231303

2212022

111231303

2111011

−−=−−−−−−

=Φ

−−=−−−−−−

=Φ

LLLsssssssLsLsL

LLLsssssssLsLsL

(4.52)

s0=0 s1 =

3

s

2

1

s0=0 s1=1/2 s2=1

6 5

3

s

4

2

1

Fig. 4.12 Fig. 4.13

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 192 ( )( )( )( )( )( ) ( )( )

( )( )( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( ) ( )13

29

2329

231321

221120201

1202015

211011202

0211014

333231303

2313033

−=−−−−−−

=Φ

−=−−−−−−

=Φ

−−=−−−−−−

=Φ

LLLsssssssLsLsL

LLLsssssssLsLsL

LLLsssssssLsLsL

( )( )( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( )( ) 321

010101

03020110

131011202

0311019

313120201

1303018

332120201

1303027

232011202

0312026

27

1329

1329

1329

1329

LLLsssssssLsLsL

LLLsssssssLsLsL

LLLsssssssLsLsL

LLLsssssssLsLsL

LLLsssssssLsLsL

=−−−−−−=Φ

−=−−−−−−=Φ

−=−−−−−−

=Φ

−=−−−−−−

=Φ

−=−−−−−−=Φ

4.7.2. Funcţiile de interpolare pentru elementul patrulater Pentru elementul patrulater funcţiile de interpolare de grad superior se pot scrie cu ajutorul dreptunghiului lui Pascal din tabelul 4.2

s0=0 s1=1/3 s2=2/3 s3=1

7

2

6 9

8

3

s 10

4 5

Fig. 4.14

1


193 Tabelul 4.2

Grad polinom

Numărul de

termeni

0 1 1 x x2 x3 x4 x5

1 4 y xy x2y x3y x4y x5y

2 9 y2 xy2 x2y2 x3y2 x4y2 x5y2

3 16 y3 xy3 x2y3 x3y3 x4y3 x5y3

4 25 y4 xy4 x2y4 x3y4 x4y4 x5y4

5 36 y5 xy5 x2y5 x3y5 x4y5 x5y5

Dacă gradul funcţiei de interpolare asociat unui element patrulater din familia Lagrange este p, numărul total de noduri n se determină din dreptunghiul lui Pascal: n= (p+1)2. Astfel:

!"forma liniară asociată elementului cu 4 noduri (fig.4.15.a) este:

ue (x,y)=a1+a2x+a3y+a4xy.

!"forma pătratică asociată elementului cu 9 noduri (fig.4.15.b) este :

ue (x,y)=a1+a2x+a3y+a4xy+a5x2+a6y2+a7x2y+a8xy2+a9x2y2

!"forma cubică asociată elementului cu 16 noduri (fig.4.15.c) este :

ue (x,y)=a1+a2x+a3y+a4xy+a5x2+a6y2+a7x2y+a8xy2+a9x2y2+ +a10x3+a11x3y+a12x3y2+a13x3y3+a14x2y3+a15xy3+a16y3

5 4

7 8 9

6

3

Fig.4.15

a. b.

2 1

3 4

y y y

2 x x x 1

14 15 16

12

8

4 3

c.

13

10 11 9

7 6 5

2 1

a

b b b

a a

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 194 Rezolvând sistemul liniar de ecuaţii cu necunoscutele ai obţinut prin impunerea valorilor nodale ue (xi,yi)= ui , i=1,2,...,n , înlocuind valorile obţinute şi grupând termenii după valorile nodale ui , se obţine:

n...,,iu)y,x(un

iii 21

1=Φ=∑

= (4.53)

unde Φi sunt funcţiile de interpolare corespunzătoare nodului i

Funcţii de interpolare tip Lagrange în coordonate carteziene. Se consideră elementul dreptunghiular de lungime a şi lăţime b orientate după Ox şi Oy cu patru, nouă şi şaisprezece noduri. Funcţiile de interpolare de tip Lagrange pentru acest tip de element se obţin cu ajutorul relaţiei (4.26’):

!"pentru elementul dreptunghiular cu patru noduri (fig.4.15.a) se scriu matriceal:

−−

−−

−−−−

=

−

−=

ΦΦΦΦ

00

000

011

42

31

by

bby

ax

aax

by

by

ax

ax

(4.54)

!"pentru elementul dreptunghiular cu nouă noduri (fig.4.15.b) se scriu: T

)/b(b)/by(y

)b/b)(/b()by(y

)b)(/b()by)(/by(

)/a(a)/ax(x

)a/a)(/a()ax(x

)a)(/a()ax)(/ax(

−−

−−−−−

−−

−−−−−

=

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

22

22

0202

22

22

0202

963

852

741

(4.55)

!"pentru elementul dreptunghiular cu şaisprezece noduri (fig.4.15.c) au forma:

T

)/b)(/b(b)/by)(/by(y)/b)(/b)(/b(

)by)(/by(y)/b)(/b)(/b(

)by)(/by(y)b)(/b)(/b()by)(/by)(/by(

)/a)(/a(a)/ax)(/ax(x)/a)(/a)(/a(

)ax)(/ax(x)/a)(/a)(/a(

)ax)(/ax(x)a)(/a)(/a()ax)(/ax)(/ax(

−−−−−

−−−

−−−−−−

−−−−−

−−−

−−−−−−

=

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

3323233332

33233

32032030

323

3323233332

33233

32032030

323

161284

151173

141062

13951

(4.56)


195 Se observă că termenii matricelor coloană şi linie reprezintă de fapt funcţiile de interpolare Lagrange ale elementului liniar a căror formă generală este:

)yy)...(yy)(yy)...(yy)(yy()yy)...(yy)(yy)...(yy)(yy(

)y(g

)xx)...(xx)(xx)...(xx)(xx()xx)...(xx)(xx)...(xx)(xx(

)x(f

piiiiiii

piii

piiiiiii

piii

11121

11121

11121

11121

++−

++−

++−

++−

−−−−−−−−−−

=

−−−−−−−−−−

=

(4.57)

Funcţii de interpolare tip Lagrange în coordonate naturale. Pentru simplificarea expresiilor funcţiilor de interpolare de mai sus se utilizează transformarea în coordonate naturale (fig. 4.16):

+η=

+ξ=

)(by

)(ax

12

12 [ ] [ ]1111 ,;, −∈η−∈ξ (4.58)

Fig.4.16

η

a.

3 4

2

η

ξ

1

5 4

7 8 9

6

3

b.

2 1

η

ξ

ξ

14 15 16

12

8

4 3

c.

13

10 11 9

7 6 5

2 1

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 196 Funcţiile de interpolare Lagrange date de relaţiile (4.54), (4.55) şi

(4.56) se scriu în coordonate naturale (ξ, η) astfel:

!"pentru elementul cu patru noduri (fig. 4.16.a):

η+η−

ξ+

ξ−

=

ΦΦΦΦ

21

21

21

21

42

31ˆˆˆˆ

. (4.59)

!"pentru elementul cu nouă noduri (fig. 4.16.b): T

)(

))((

)(

)(

))((

)(

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

η+η−

−η+η

−ηη

ξ+ξ−

−ξ+ξ

−ξξ

=

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

211

112

1

211

112

1

963

852

741

(4.60)

!"pentru elementul cu şaisprezece noduri (fig. 4.16.c): T

)/)(/)(()/)(/)((

)/)(/)(/())(/)(()/)(/)(/())(/)((

))(/)(/())(/)(/(

)/)(/)(()/)(/)((

)/)(/)(/())(/)(()/)(/)(/())(/)((

))(/)(/())(/)(/(

ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ

−η+η+η−

−η+η+η−−

−η−η+η−−−

−η−η+η

−ξ+ξ+ξ−

−ξ+ξ+ξ−−

−ξ−ξ+ξ−−−

−ξ−ξ+ξ

=

ΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦΦ

3234231311

3232341311

3432321311

2343213131

3234231311

32323413113432321311

2343213131

161284

151173

141062

13951

(4.61)

c. Funcţii de interpolare tip Serendip în coordonate naturale. Faţă de polinoamele de interpolare de tip Lagrange care introduc noduri interioare (nodul 5 la elementul dreptunghiular cu 9 noduri şi nodurile 6,7,10,11 la elementul dreptunghiular cu 16 noduri, cum rezultă din figura 4.16) funcţiile de interpolare de tip Serendip au fost create pentru elemente patrulatere fără noduri intermediare. Expresiile lor nu se obţin dintr-o formă generativă ca în cazul polinoamelor Lagrange sau Hermite, ci pentru fiecare element s-au creat funcţii de interpolare Serendip care au proprietatea: Φi(ξj, ηj)= 1 dacă i=j şi Φi(ξj, ηj)= 0 dacă i≠j.

Primele trei elemente finite patrulatere din familia Serendip sunt prezentate în figura 4.17. şi prezintă noduri numai pe laturile lor.


197 !"pentru elementul cu patru noduri (fig. 4.17.a) funcţiile de interpolare de

tip Serendip au aceeaşi formă cu cele de tip Lagrange:

( )( )ηη+ξξ+=ηξΦ iii ),( 1141 unde: 11 ±=η±=ξ ii , sunt coordonatele

nodurilor

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

η+ξ−=ηξΦ

η+ξ+=ηξΦ

η−ξ+=ηξΦ

η−ξ−=ηξΦ

1141

1141

1141

1141

4

3

2

1

),(

),(

),(

),( (4.62)

!"pentru elementul cu opt noduri (fig. 4.17.b) funcţiile de interpolare au forma:

- pentru nodurile de vârf 1, 2, 3, 4:

( )( )( )11141 −ηη+ξξηη+ξξ+=ηξΦ iiiii ),( unde: 11 ±=η±=ξ ii ,

sunt coordonatele nodurilor

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

−η+ξ−η+ξ−=ηξΦ

−η+ξη+ξ+=ηξΦ

−η−ξη−ξ+=ηξΦ

−η−ξ−η−ξ−=ηξΦ

11141

11141

11141

11141

4

3

2

1

),(

),(

),(

),(

(4.63)

- pentru nodurile mediane 5, 7 ),( ii 10 ±=η=ξ :

( )( )ηη+ξ−=ηξΦ ii ),( 1121 2

a.

3 4

2

η

ξ

1

Fig.4.17

5

4 7

8

3

b.

2 1

η

6

η

ξ

1 2

3 4

5

7

8

9 10

12

c.

11


( )( )

( )( )

η+ξ−=ηξΦ

η−ξ−=ηξΦ

1121

1121

27

25

),(

),( (4.64)

- pentru nodurile mediane 6, 8 ),( ii 10 ±=ξ=η :

( )( )ξξ+η−=ηξΦ ii ),( 1121 2

( )( )

( )( )

ξ−η−=ηξΦ

ξ+η−=ηξΦ

1121

1121

28

26

),(

),( (4.65)

!"pentru elementul cu 12 noduri (fig. 4.17.c) funcţiile de interpolare au forma:

- pentru nodurile de vârf 1, 2, 3, 4:

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

−η+ξη+ξ−=ηξΦ

−η+ξη+ξ+=ηξΦ

−η+ξη−ξ+=ηξΦ

−η+ξη−ξ−=ηξΦ

91011

329

91011

329

91011

329

91011

329

224

223

222

221

),(

),(

),(

),(

(4.66)

Se observă că funcţiile de interpolare Serendip corespunzătoare unui nod de vârf se obţin ca produse ale ecuaţiilor celorlalte două laturi ale elementului care nu trec prin nod şi a ecuaţiei cercului ce trece prin nodurile mediane.

- pentru nodurile mediane 5, 6, 9, 10:

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

−ξη+ξ−ξ+−=ηξΦ

+ξη+ξ−ξ+=ηξΦ

+ξξ+η−ξ−=ηξΦ

−ξξ+η−ξ−−=ηξΦ

31111

3227

31111

3227

31111

3227

31111

3227

10

9

6

5

),(

),(

),(

),(

(4.67)


199 - pentru nodurile mediane 7, 8, 11, 12:

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

−ηη+η−ξ−−=ηξΦ

+ηη+η−ξ−=ηξΦ

+ηη+η−ξ+=ηξΦ

−ηη+η−ξ+−=ηξΦ

31111

3227

31111

3227

31111

3227

31111

3227

12

11

8

7

),(

),(

),(

),(

(4.68)

Funcţiile de interpolare Serendip corespunzătoare unui nod de pe o latură orizontale se obţin ca produse ale ecuaţiilor celorlalte trei laturi ale elementului dreptunghiular şi a ecuaţiei dreptei verticale care trece prin celălalt punct )/( i 31±=ξ , respectiv a dreptei orizontale care trece prin celălalt punct )/( i 31±=η pentru nodurile de pe laturile verticale.

4.8. Elemente izoparametrice în probleme bidimensionale

4.8.1. Elementul izoparametric dreptunghiular

Aşa cum s-a arătat la paragraful 4.3 elemente izoparametrice sunt acele elemente pentru care funcţiile de interpolare care descriu geometria elementului şi funcţiile aproximare de folosite pentru variabila dependentă (cum ar fi deplasările) au acelaşi grad:

);,(ˆvv);,(ˆuu

);,(ˆyy;),(ˆxx

n

iii

n

iii

n

iii

n

iii

ηξΦ=ηξΦ=

ηξψ=ηξψ=

∑∑

∑∑

==

==

11

11 (4.69)

Utilizarea elementelor izoparametrice este avantajoasă mai ales în cazul domeniilor neregulate având frontiere curbe. Utilizarea elementelor izoparametrice curbilinii este dificilă în calculul elementelor matricei de rigiditate. Această dificultate este înlăturată prin efectuarea unei transformări de coordonate ξ=ξ (x,y), η=η (x,y) care modifică forma elementului izoparametric curbiliniu Ωe într-un element master Ω* având o formă dreptunghiulară.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 200 Se consideră un astfel de element izoparametric curbiliniu Ωe (fig. 4.18). Pentru coordonatele elementului master Ω* se aleg cele naturale

),( ηξ unde: 1111 ≤η≤−≤ξ≤− ; , această condiţie fiind impusă de limitele de integrare numerică ale cuadraturii Gauss. Se consideră transformarea de coordonate inversă între coordonate ),( ηξ ale elementului master Ω* şi coordonatele (x,y) corespunzătoare elementului izoparametric Ωe:

),(yy;),(xx ηξ=ηξ= . (4.70)

Această transformare modifică forma liniei elementului master Ω* corespunzătoare nodurilor 2-3 având ecuaţia ξ=1 într-o curbă a elementului Ωe corespunzătoare nodurilor 2-3 din planul Oxy având ecuaţiile (fig. 4.18):

η=η=

),(yy),(xx

11

(4.71)

Astfel pentru elementul finit patrulater cu 4 noduri, funcţiile de interpolare ale elementului în coordonate naturale ),(ˆ i ηξψ sunt liniare şi transformarea de coordonate (4.70) se scrie:

∑∑==

ηξψ=ηξψ=4

1

4

1 iii

iii ),(ˆyy;),(ˆxx (4.72)

unde: !"(xi, yi) sunt coordonatele în sistemul global ale nodului i pentru

elementul Ωe !" ),(i ηξψ , i=1,...4 sunt funcţiile de interpolare biliniare în coordonate

naturale care satisfac condiţiile cerute în noduri:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( )η+ξ−=ηξψη+ξ+=ηξψ

η−ξ+=ηξψη−ξ−=ηξψ

114111

41

114111

41

43

21

,ˆ;,ˆ

;,ˆ;,ˆ (4.73)

Într-adevăr, pentru linia corespunzătoare nodurilor 2-3 având ecuaţia ξ=1 în sistemul de coordonate naturale ale elementului master Ω*, transformarea de coordonate (4.72) se scrie:

η

−+

+=ηξψ+ηξψ=η

η−

++

=ηξψ+ηξψ=η

221

221

23323222

23323222

yyyy),(ˆy),(ˆy),(y

xxxx),(ˆx),(ˆx),(x (4.74)

x=x(ξ,1) y=y(ξ,1)

dξdη dxdy=Jdξdη

η

η=1 η

ξ

y

ξ

x

ξ=1 x=x(1,η) y=y(1,η)

Ω* Ωe

ξ=ξ (x,y) η=η (x,y)

x=x(ξ,η) y=y(ξ,η)

1 2

3 4

3

2

4

1

Fig.4.18


Se observă că x şi y sunt funcţii liniare de η deci ele definesc două linii în sistemul de coordonate ale elementului Ωe. În mod analog se demonstrează pentru celelalte linii ale elementului master (ξ=-1, η=± 1). Pentru elementul finit patrulater cu nouă noduri, funcţiile de interpolare ale elementului în coordonate naturale corespunzătoare

),(i ηξψ sunt pătratice. În acest caz transformările definesc pentru elementul izoparametric Ωe laturi curbilinii. În concluzie, orice tip de element poate fi obţinut cu ajutorul unei transformări de coordonate de forma (4.72) pornind de la elementul master Ω*. Este important ca prin transformarea de coordonate a elementului master Ω* să nu se producă zone libere false sau suprapuneri de zone ale elementelor.

Jacobianul transformării de coordonate (x,y)→ (ξ,η) se determină ţinând seama de relaţiile diferenţiale ale transformării :

;dydydy;dxdxdx η∂η∂+ξ

∂ξ∂=η

∂η∂+ξ

∂ξ∂= (4.75)

care se mai scriu sub forma matriceală:

[ ]

ηξ

=

ηξ

∂η∂

∂ξ∂

∂η∂

∂ξ∂

=

dd

Jdd

yy

xx

dydx T (4.76)

unde J=det [ ]J este jacobianul transformării liniare dx şi dy ale elementului Ωe în dξ şi dη ale elementului master Ω* : dxdy=J dξ dη

Pentru a fi posibilă şi transformarea inversă (ξ,η)→ (x,y) este necesar ca inversa matricei [ ]J să existe , adică:

[ ] ;yxyxJdetJ 0≠∂ξ∂

∂η∂−

∂η∂

∂ξ∂== (4.77)

Dacă este îndeplinită această condiţie atunci:

[ ]( )

∂ξ∂

∂ξ∂−

∂η∂−

∂η∂

=

=

ηξ −

dydx

xy

xy

Jdydx

Jdd T 11 (4.78)

Pentru exemplificare se consideră trei elemente patrulatere liniare adiacente cu patru noduri ca în figura 4.19.


203

Pentru elementele 1 şi 2 nodurile au fost numerotate în sens trigonometric iar pentru elementul 3 în sens invers; elementele 1 şi 3 sunt domenii convexe iar 2 nu este convex. Se analizează modul în care senul de numerotare a nodurilor şi convexitatea patrulaterului influenţează transformarea de coordonate (x,y)→(ξ,η) .

Pentru toate elementele sunt valabile relaţiile:

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ξ−⋅+ξ+⋅+ξ+⋅−ξ−⋅−=∂η∂

η+⋅−η+⋅+η−⋅+η−⋅−=∂ξ∂

η+ξ−⋅+η+ξ+⋅+η−ξ+⋅+η−ξ−⋅=

111141

111141

1111111141

4321

4321

4321

xxxxx

xxxxx

xxxxx

(4.79)

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]

( ) ( ) ( ) ( )[ ]ξ−⋅+ξ+⋅+ξ+⋅−ξ−⋅−=∂η∂

η+⋅−η+⋅+η−⋅+η−⋅−=∂ξ∂

η+ξ−⋅+η+ξ+⋅+η−ξ+⋅+η−ξ−⋅=

111141

111141

1111111141

4321

4321

4321

yyyyy

yyyyy

yyyyy

(4.80)

y η

ξ

5.0

Ω3

3.0 Ω2

2.0 Ω*

Ω1

0.0

2 3 4 4

1 4

4 3

3

3

2

1 2

2

1

1

x Fig.4.19 5.0 3.0 2.0

(x,y) → (ξ,η)

(x,y) ← (ξ,η)


!"Pentru elementul Ω1 (fig.4.20.a) valori numerice sunt:

x1=x4=0, x2=x3=2, y1=y2=0, y3=3 şi y4=5 , rezultă:

( )

22

21

221

011

ξ−=∂η∂η+−=

∂ξ∂⇒

ξ−η+=

=∂η∂=

∂ξ∂⇒ξ+=

y;y;y

x;x;x (4.81)

Jacobianul transformării este:

02

4

220

211

>ξ−=ξ−

η+−=J

Jacobianul transformării este strict pozitiv, deoarece (-1≤ ξ ≤+1), deci transformarea este inversabilă.

!"Pentru elementul Ω2 (fig.4.20.b) valori numerice corespunzătoare sunt:

x1=x4=2, x2=3, x3=5, y1=0, y2=2, y3=y4=3.

ΩΩΩ

23

4

1 4

4

3

3

2

1 21

Fig.4.20

y y y

η

x x x

ξ

c. b. a.

Ω*

4 3

2 1

η

η

η

ξ=η+1

ξ

ξ ξ

ξ

Ω*

4 3

21

η

η

ξ

Ω*

4 3

21


205 Rezultă:

21

21

222

21

21

223

ξ−=∂η∂η−=

∂ξ∂⇒ξη−η+ξ+=

ξ+=∂η∂η+=

∂ξ∂⇒ξη+η+ξ+=

y;y;y

x;x;x (4.82)

Jacobianul transformării este: ( )ξ−η+=ξ−ξ+

η−η+= 1

43

21

21

21

21

J

Se observă deci că jacobianul este nul de-a lungul liniei: ξ=1+η, deci matricea nu este inversabilă pentru toate punctele domeniului.

!"Pentru elementul Ω3 (fig.4.20.c) avem următoarele valori numerice: x1=2, x2=0, x3=x4=5, y1=y4=3, y2= y3=5

014

22

21

22

23

=∂η∂=

∂ξ∂⇒ξ+=

ξ+=∂η∂η+−=

∂ξ∂⇒ξη+η+ξ−=

y;y;y

x;x;x (4.83)

Jacobianul transformării este: 02

20

22

12

1

<

ξ+−=ξ+

η+−

=J

Jacobianul transformării este strict negativ, deoarece (-1≤ ξ ≤+1), deci transformarea este inversabilă.

Observaţii: 1. numerotarea nodurilor trebuie să se facă în acelaşi sens (sens trigonometric de preferat) pentru toate elementele astfel ca jacobianul transformării să aibă acelaşi semn; 2. elementele neconvexe nu se pot utiliza în discretizarea cu elemente finite; 3. în general jacobianul transformării depinde de unghiul θ între tangentele la cele două curbe din planul xy : ξ=ct. , η=ct. (fig.4.21.a); 4. în cazul elementelor master de ordin superior (de exemplu: elementul triunghiular cu 6 noduri, (fig.4.21.b) şi elementul patrulater cu 8 noduri (fig.4.21.c)), plasarea nodurilor intermediare pe laturile sale trebuie restricţionată ca poziţie la o distanţă de cel puţin 1/4 din lungimea laturii faţă de nod.


4.8.2. Elementul izoparametric triunghiular Elementul master corespunzător elementul izoparametric patrulater în

cazul cel mai general (laturile liniare sau curbilinii fiind aproximate prin funcţii de interpolare de gradul 1, 2, 3, etc.) este un pătrat cu un număr de noduri (patru, nouă, şaisprezece, etc.) corespunzător gradului funcţiei de interpolare. În cazul elementului izoparametric triunghiular elementul master corespunzător elementul izoparametric este un triunghi dreptunghic isoscel având axele de coordonate naturale (ξ, η) orientate după cele două catete cu un număr de noduri (trei şase, zece, etc.) corespunzător gradului funcţiei de interpolare. Poziţia punctelor Gauss şi coordonatele corespunzătoare (ξ, η) acestor puncte sunt date în figura 4.22.

dη

η

η=ct.

A=dξ dη

dξ

A=Jdξ dη J=|dr1||dr2|sinθ/dξdy

x ξ

O O

ξ=ct.

dr2

dr1 θ

a.

η=1

η

a>0,25 b>0,25 (a,b)

0,25

0,25

y

x=ξ+4ξη(a-1/2)

x ξ=1

ξ O O

b.

Fig.4.21

η=1

η

ξ=1 ξ O O

c.

a

y

0,25 0,25 x


207

Funcţiile de interpolare pentru geometria elementului se scriu în mod asemănător cu cele ale elementului izoparametric dreptunghiular:

∑∑==

ηξψ=ηξψ=3

1

3

1 iii

iii ),(ˆyy;),(ˆxx (4.84)

unde:

!"(xi, yi) sunt coordonatele nodului i în sistemul global pentru elementul Ωe;

!" ),(ˆ i ηξψ , i=1,2,3 funcţiile de interpolare în coordonate naturale corespunzătoare elementului master Ω*:

Fig.4.22

η

x=x(ξ, 0) y=y(ξ, 0)

x=x(0, η) y=y(0, η)

η

η

y

x O

O O

3

3

1

1

2

2 ξ

ξ

(1,0)

(0,1) (0,0) ξ

Ωe

Ω*

Ω*

Ωe

b. Elementul pătratic – 6 noduri

a. Elementul liniar – 3 noduri

(x3,y3)

(x2,y2) (x1,y1)

y

x

η 3

3 6

6 5

5

4

4

1

1 2

2 ξ

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 208 ;ˆ;ˆ;ˆ η=ψξ=ψη−ξ−=ψ 321 1 (4.85)

Transformarea de coordonate naturale (x,y)→ (ξ,η) pentru elementul izoparametric triunghiular liniar se scrie:

( )

( ) η+ξ+η−ξ−=ηξψ=

η+ξ+η−ξ−=ηξψ=

∑

∑

=

=

321

3

1

32

3

11

1

1

yyy),(ˆyy

xxx),(ˆxx

iii

iii

(4.86)

!"Pentru linia ξ=0 corespunzătoare nodurilor 1 şi 3 în coordonatele naturale ale elementului master Ω* transformarea de coordonate (4.86) se scrie:

η−+=η⋅+⋅+η−⋅=ηξψ=η

η−+=η⋅+⋅+η−⋅=ηξψ=η

∑

∑

=

=

)yy(yyy)(y),(ˆy),(y

)xx(xxx)(x),(ˆx),(x

iii

iii

131321

3

1

131321

3

1

010

010 (4.87)

!"Pentru linia nodurilor 1 şi 3 (η=0) transformarea de coordonate se scrie:

ξ−+=⋅+ξ⋅+ξ−⋅=ηξψ=ξ

ξ−+=⋅+ξ⋅+ξ−⋅=ηξψ=ξ

∑

∑

=

=

)yy(yyy)(y),(ˆy),(y

)xx(xxx)(x),(ˆx),(x

iii

iii

121321

3

1

121321

3

1

010

010 (4.88)

!"Pentru linia ξ+η=1 corespunzătoare nodurilor 2 şi 3 liniei în sistemul de coordonate naturale al elementului master Ω* transformarea devine:

ξ−+=η⋅+ξ⋅+⋅=ηξψ=ηξ

ξ−+=η⋅+ξ⋅+⋅=ηξψ=ηξ

∑

∑

=

=

)yy(yyyy),(ˆy),(y

)xx(xxxx),(ˆx),(x

iii

iii

323321

3

1

323321

3

1

0

0 (4.89)

Transformarea în coordonate (4.86) pentru elementul izoparametric se mai scrie matriceal astfel:

[ ]

ηξ

=

ηξ

−−−−

=

−− TJ

yyyyxxxx

yyxx

1312

1312

1

1 (4.90)


209 Jacobianul transformării de coordonate este:

Ayyxxyyxx

yy

xx

J 21313

1212 =−−−−

=

∂η∂

∂ξ∂

∂η∂

∂ξ∂

= (4.91)

Transformarea inversă (ξ,η)→ (x,y) sau ξ=ξ(x,y), η=η(x,y) se obţine cu ajutorul matricei jacobian inverse [J]-1:

[ ]( )

−−

−−−−

=

−−

=

ηξ −

1

1

1231

2113

1

11

21

yyxx

xxxxyyyy

Ayyxx

JT

(4.92)

relaţiile transformării de coordonate pentru funcţiile de interpolare sunt:

∂ηψ∂∂ξψ∂

γγ

ββ

=


∂∂η

∂∂ξ

∂∂η

∂∂ξ

=

∂ψ∂∂ψ∂

i

i

i

i

i

i

ˆ

ˆ

AA

AAˆ

ˆ

yy

xx

yˆxˆ

22

2232

32

(4.93)

Pentru acest caz se scriu:

γ

β

=

γγ

ββ

=

∂ψ∂∂ψ∂

γ

β

=

γγ

ββ

=

∂ψ∂∂ψ∂

γ

β

=

γ+γ−

β+β−

=

−−

γγ

ββ

=

∂ψ∂∂ψ∂

A

A

AA

AA

yˆx

ˆA

A

AA

AA

yˆx

ˆA

A

A

A

AA

AA

yˆxˆ

2

210

22

22

2

201

22

22

2

2

2

211

22

22

3

3

32

32

3

3

2

2

32

32

2

2

1

1

32

32

32

32

1

1

(4.94)

S-au obţinut astfel relaţiile (4.21) corespunzătoare ale funcţiilor de interpolare liniare ale elementului triunghiular:

321

22

21

,,i,Ay

;Ax

,)yx(A

)y,x(

ieii

ei

iiiei

=γ=∂Φ∂β=

∂Φ∂

γ+β+α=Φ (4.95)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 210 4.9. Integrarea numerică a elementelor matricei de rigiditate

Întrucât integralele sunt definite în coordonate globale (x, y) iar funcţiile de interpolare sunt exprimate în coordonate naturale, este necesară utilizarea transformării de coordonate ),(yy;),(xx ηξ=ηξ= şi recalcularea integralelor în coordonate naturale.

Matricea jacobian a transformării de coordonate (x,y) → (ξ,η) pentru elementul Ωe se scrie:

[ ]

⋅

∂ηψ∂

∂ηψ∂

∂ηψ∂

∂ξψ∂

∂ξψ∂

∂ξψ∂

=

=

∂ηψ∂

∂ηψ∂

∂ξψ∂

∂ξψ∂

=

∂η∂

∂ξ∂

∂η∂

∂ξ∂

=∑∑

∑∑

==

==

nn

ni

n

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

yx::

yxyx

ˆ...

ˆˆ

ˆ...

ˆˆ

ˆy

ˆx

ˆy

ˆx

yy

xx

J

22

11

21

21

11

11

(4.96)

Pentru a determina relaţiile dintre derivatele parţiale ale funcţiilor de interpolare în raport cu coordonatele globale (x,y) şi derivatele lor parţiale în raport cu coordonatele naturale ),( ηξ sunt valabile relaţiile matematice :

;

yˆ

yˆ

y

;x

ˆx

ˆx

iii

iii

∂∂η

∂ηψ∂+

∂∂ξ

∂ξψ∂=

∂∂ψ

∂∂η

∂ηψ∂

+∂∂ξ

∂ξψ∂

=∂∂ψ

(4.97)

care se scriu matriceal:

[ ]

∂η∂

+∂ξψ∂

∂ηψ∂

+∂ξψ∂

=


=


∂∂η

∂∂ξ

∂∂η

∂∂ξ

=

∂∂ψ∂∂ψ

−

i*i*

i*i*

i

i

i

i

i

i

vJˆ

J

ˆJ

ˆJ

ˆ

ˆ

Jˆ

ˆ

yy

xx

y

x

2221

12111 (4.98)

unde [J]-1 este inversa matricei transformării [J] :

[ ]

=−

**

**

JJJJJ

2221

12111 (4.99)


211 Dacă elementele finite sunt definite prin linii drepte atunci sunt

suficiente nodurile din vârfuri pentru a defini geometria elementului; în acest caz funcţiile de interpolare de coordonatele naturale ψ i(ξ,η) sunt funcţii liniare iar derivatele lor parţiale sunt tot funcţii liniare de o singură variabilă.

4.10. Transformări de coordonate

Se consideră următoarea integrală care reprezintă elementul Kij al matricei de rigiditate al unui element:

;dxdycyy

bxx

aKe

jijijie

ij ∫Ω

ψψ+

∂∂ψ

∂∂ψ

+∂∂ψ

∂∂ψ

= (4.100)

unde: a=a(x,y), b=b(x,y), c=c(x,y) sunt funcţii date de coordonatele globale

După transformarea de coordonate (x,y)→ (ξ,η) se obţine:

ηξ

ψψ+

∂ηψ∂

+∂ξψ∂

∂ηψ∂

+∂ξψ∂

+

+ηξ

∂ηψ∂

+∂ξψ∂

∂ηψ∂

+∂ξψ∂

=

∫

∫

Ω

Ω

ddJˆˆcˆ

Jˆ

Jˆ

Jˆ

Jb

dJdˆ

Jˆ

Jˆ

Jˆ

JaK

*

*

jij*j*i*i*

j*j*i*i*eij

22212221

12111211

(4. 101)

unde: ),(cc),,(bb),,(aa ηξ=ηξ=ηξ= sunt noile funcţii de coordo-natele naturale (ξ,η).

Aceste relaţii sunt valabile pentru elementele master Ω* care este definit prin elemente geometrice liniare (dreptunghiulare ca în figura 4.23 sau triunghiulare ca în figura 4.24) având acelaşi număr de noduri cu elementul izoparametric Ωe definit prin elemente geometrice curbilinii.

Integrarea expresiilor (4. 101) corespunzătoare elementului master Ω* se face prin cuadraturi, similar cu integrarea elementului liniar prezentată la paragraful 3.4. Integrala (4. 101) se mai scrie:

ηξηξ= ∫Ω

dd),(FK*

eij (4. 102)


η η ξ

ξ

O

O a.

y 3

4 3 4 2

2 1 1

x

Fig.4.23

η η

7 7

4 4

3

3 9

9 8

8

6

6

ξ

ξ 5

5 1

1

2

2 b.

y

O

O x

η

η

η y

3 3

1 1 2 2 ξ

ξ

ξ

y

x

O

O

O

O

x

η

3 3

6 6 5 5

4 4 1 1 2 2 ξ

Fig.4.24


213 Integrala (4. 102) se calculează prin cuadraturi astfel:

( )

( ) I

M

IJ

N

JJI

eij

J

N

JJ

eij

ww,FK

dw,Fdd),(Fdd),(FK*

∑∑

∫ ∑∫ ∫∫

=

− =− −Ω

ηξ=

ξ

ηξ=ξ

ηηξ=ηξηξ=

1

1

1 1

1

1

1

1 (4.103)

unde:

!"M şi N reprezintă numărul punctelor de cuadratură Gauss Legendre după direcţia ξ şi η

!"wI, wJ, reprezintă coeficienţii de pondere ai cuadraturii Gauss Legendre (paragraful 3.5.b).

4.10.1. Elementul izoparametric patrulater în coordonate naturale Numărul punctelor de cuadratură Gauss Legendre pentru care calculul integralei unui polinom de gradul p este: N=(p+1)/2 pentru p impar, respectiv N=p/2+1 pentru p par. În cele mai multe cazuri gradul funcţiei de interpolare este acelaşi în coordonatele ξ şi η, deci M=N.

Pentru elementul master pătrat liniar, pătratic şi cubic poziţia punctelor Gauss şi coordonatele corespunzătoare (ξ , η) sunt prezentate în figura 4.25.

4.10.2. Elementul izoparametric triunghiular în coordonate de arie Coordonatele de arie adimensionale Li sunt utilizate curent în calculul integralelor prin cuadraturi. Aceste coordonate au fost prezentate la paragraful 4.7 . Jacobianul transformării de coordonate (x,y) → (L1,L2) este:

[ ]

∂ψ∂

∂ψ∂

∂ψ∂

∂ψ∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=∑∑

∑∑

==

==n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

n

i

ii

Lˆ

yLˆ

x

Lˆ

yLˆ

x

Ly

Ly

Lx

Lx

J

1 21 2

1 11 1

21

21 (4. 104)


η ξ= -0,577 ξ=0,577 η

η=0,577

ξ

O O

O O

O O

ξ

η= -0,577

a. Elementul liniar – 4 noduri

η ξ= -0,774 ξ=0,774 η

η=0,774

ξ ξ

η= -0,774

b. Elementul pătratic – 9noduri

η

ξ= -0,339 ξ=0,339

ξ=0,861 ξ= -0,861 η

ξ ξ

η= 0,861

η= -0,861

η= 0,339

η= -0,339

Fig.4.25

c. Elementul cubic– 16 noduri

Tabelul 4.3 Numărul

pct. Gauss Localizarea punctelor

s1

s2

s3

w

1

a

1/3

1/3

1/3

1

3

a b c

1/2

1/2 0

0

1/2

1/2

½

0

½

1/3

1/3

1/3

4

a b c d

1/3

2/15

11/15

2/15

1/3

2/15

2/15

11/15

1/3

11/15

2/15

2/15

27/48

25/48

25/48

25/48

a

c

b a

d c

b a


Relaţiile de legătură dinte derivatele parţiale ale funcţiilor de interpolare în raport cu coordonatele globale (x,y) şi derivatele parţiale ale lor în raport cu coordonatele naturale ),( ηξ se scriu:

yL

Lˆ

yL

Lˆ

y

xL

Lˆ

xL

Lˆ

x

iii

iii

∂∂

∂ψ∂+

∂∂

∂ψ∂=

∂∂ψ

∂∂

∂ψ∂+

∂∂

∂ψ∂=

∂∂ψ

2

2

1

1

2

2

1

1 (4.105)

sau matriceal:

[ ]

∂ψ∂∂ψ∂

⋅=

∂ψ∂∂ψ∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

∂∂ψ∂∂ψ

−

2

11

2

1

21

21

LˆLˆ

J

LˆLˆ

yL

yL

xL

xL

y

xi

i

Li

i

i

i

(4.106)

În general integralele de forma :

∫∫ΩΩ

=*e

dLdLJ)L,L,L(Gdxdy)y,x(G L 21321 (4.107)

se calculează astfel:

( )∑∫=Ω

=N

IIIIIL s,s,sGwdLdLJ)L,L,L(G

* 132121321 (4.108)

unde: wI sunt ponderile cuadraturii Gauss, s1I, s2I s3I respectiv punctele cuadraturii . În tabelul 4.3 sunt date aceste valori pentru N=1, 3 , 4 puncte Gauss.

4.11. Discretizarea, generarea elementelor, condiţii pe frontieră 4.11.1. Discretizarea domeniului în elemente finite Numărul, tipul, forma, mărimea şi densitatea reţelei de elemente finite depind de condiţiile impuse în rezolvarea problemei. Astfel: !"pentru discretizarea domeniului se pot folosi funcţii diferite faţă de cele

pentru aproximarea soluţiei fiind necesare următoarele informaţii: coordonatele punctelor de aplicaţie ale sarcinilor concentrate sau zonelor


217 de aplicaţie ale sarcinilor distribuite, coordonatele punctelor şi zonelor de legătură cu alte domenii, a punctelor de discontinuitate geometrică sau de material ale domeniului sau a punctelor unghiulare; mărimile relative ale subdomeniilor în scopul folosirii acelei discretizări care să permită obţinerea unor gradienţi corespunzători ai soluţiei;

!"reţeaua de elemente finite corespunzătoare trebuie să îndeplinească următoarele condiţii: aceasta trebuie să conţină toate reţelele create în fazele anterioare; fiecare punct al domeniului trebuie să fie conţinut în interiorul unui element în oricare fază a discretizării;

!"gradul funcţiei de aproximare a soluţiei trebuie să fie acelaşi pentru toate fazele discretizării; aceasta permite compararea rezultatelor aproximative obţinute pentru diferite moduri de discretizare;

!"termenul de reţea grosieră sau fină este relativ. În folosirea metodei elementelor finite se adoptă pentru început o reţea adecvată scopului propus (pe baza experienţei utilizatorului de program) şi se obţine o primă soluţie; se trece apoi la o reţea cu un număr mai mare de elemente, care include nodurile din prima reţea şi se recalculează soluţia; dacă diferenţele obţinute nu sunt semnificative nu mai este necesară o altă discretizare. Problema care se pune este costul operaţiilor, întrucât soluţia obţinută este aproximativă.

4.11.2. Generarea elementelor finite O etapă importantă a modelării cu elemente finite este generarea reţelei de elemente finite care implică numerotarea nodurilor şi elementelor, introducerea coordonatelor nodurilor şi crearea matricei booleene de conexiune a elementelor. Numerotarea directă a nodurilor (fără a ţine seama de nici o regulă) deşi pare mai simplă, prezintă dezavantajul scăderii eficienţei de calcul şi a preciziei soluţiei deoarece aceasta influenţează forma matricei globale (lăţimea de semibandă).

Un exemplu simplu justifică această afirmaţie: se consideră o placă dreptunghiulară discretizată în elemente dreptunghiulare (8 × 4) la care nodurile se pot numerota: (a) pe orizontală de la stânga la dreapta pe fiecare linie, lăţimea de semibandă fiind 11NP sau (b) pe verticală de jos în sus pe fiecare coloană, lăţimea de semibandă fiind 7NP, unde NP reprezintă numărul de necunoscute primare pentru fiecare nod.

Lăţimea de semibandă minimă se obţine se obţine prin numerotarea nodurilor în direcţia numărului minim de subdiviziuni; există programe speciale de calculator care cuprind subrutine pentru generarea automată a

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 218 reţelei de elemente finite, astfel încât să se obţină lăţimea de semibandă minimă.

Precizia soluţiei cu elemente finite depinde de alegerea reţelei de discretizare. De exemplu în cazul problemelor ce prezintă simetrii este necesar a se ţine seama de acestea , în caz contrar precizia rezultatului scade. 4.11.3. Impunerea condiţiilor pe contur

În multe probleme apare următoarea situaţie contradictorie: pe anumite porţiuni ale frontierei domeniului se impun condiţii la limită atât pentru variabilele naturale cât şi pentru cele esenţiale, sau în aceste puncte sunt specificate atât variabilele primare cât şi cele secundare; astfel de puncte se numesc puncte singulare. Pentru rezolvare unor astfel de situaţii se impun condiţiile la limită esenţiale (valorile la limită ale variabilelor primare) neglijându-se condiţiile la limită naturale (valorile la limită pentru variabilele secundare).

Un alt tip de singularităţi se întâlnesc la rezolvarea problemelor de valori pe frontieră, la care sunt specificate câte două valori pentru variabilele primare în acelaşi punct al frontierei.

De exemplu se consideră cazul unei probleme în care se specifică valori diferite ale variabilei u pe frontierele definite de linia x=0, respectiv y=1. Deci în punctul de intersecţie al celor două linii u are două valori diferite; în rezolvarea practică prin metoda cu elemente finite se alege una dintre cele două valori (deci o valoare aproximativă). Eroarea de alegere a acestei valori depinde de mărimea elementului ce conţine acel punct. 4.12. Starea plană de tensiune în cazul plăcilor plane

Se consideră o placă plană solicitată în domeniul elastic de un sistem

de forţe din planul său (Oxy) şi un domeniu Ω şi grosime uniformă mărginit de conturul închis Γ. Se fac următoarele ipoteze de lucru: !"forţele care acţionează nu au componente după direcţia Oz şi nu variază

cu grosimea h fiind uniform distribuite pe grosimea plăcii h; !"nu acţionează forţe pe suprafeţele plane exterioare superioară şi

inferioară ci numai în “interior” şi pe suprafeţele conturului. În cazul plăcilor plane de grosime mică aceste ipoteze conduc la o stare

plană de tensiuni caracterizată de exemplu de tensiuni normale după direcţia z şi tensiuni tangenţiale din planul Oxy neglijabile (fig. 4.26 şi 4.27):

0=τ=τ=σ xzyzz . (4. 109)


219

Pentru plăcile plane de grosime mare ipotezele de mai sus conduc la o

stare pană de deformaţii cu deformaţii specifice liniare şi unghiulare în raport cu planul Oxy neglijabile:

0=γ=γ=ε xzyzz . (4.110)

Ecuaţiile de echilibru, geometrice, fizice şi condiţiile la limită caracteristice celor două tipuri de probleme plane sunt:

1. ecuaţiile de echilibru ale tensiunilor pe domeniul Ω:

00 =+∂∂σ

+∂∂τ

=+∂∂τ

+∂∂σ

yyyx

xxyx f

yx;f

yx (4.111)

unde fx şi fy reprezintă forţele exterioare unitare ce acţionează asupra elementului de volum după cele două direcţii.

2. ecuaţiile deformaţii-deplasări:

xv

yu;

yv;

xu

yxxyyx ∂∂+

∂∂=γ=γ

∂∂=ε

∂∂=ε . (4.112)

3. ecuaţiile tensiuni-deformaţii:

γ=τ=τε+ε=σ

ε+ε=σ

xyyxxy

yxy

yxx

ccccc

33

2221

1211

(4.113)

x

y

z

σy

σy

σz

σz

σx σx

τzx

τzx τyx

τyx

τxy

τxy

τzy

τzy

τyz

τyz

τxz

τxz

Fig. 4.26

O≡P

τyx

y

x

τxy σy

σy

τxy

τyx σx

σx

M

F1 F2

Fig. 4.27

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 220 unde cij sunt constantele elastice ale materialului.

Pentru un material elastic şi izotrop aceste constante se scriu în funcţie de modulul de elasticitate şi coeficientul lui Poisson astfel:

!"pentru problemele plane de tensiuni:

)(Ec;Ecc;Eccν+

=ν−

ν==ν−

==1211 332211222211 . (4.114)

!"pentru problemele plane de deformaţii:

)(

Ec;))((

Ecc;))((

)(Eccν+

=ν−ν+

ν==ν−ν+

ν−==12211211

13321122211 (4.115)

4. condiţii la limită 4a. condiţii la limită naturale:

1Γ=σ+τ

=τ+σ

petnn

tnn

yyyxxy

xyxyxx (4.116)

4b. condiţii la limită esenţiale: 2Γ== pevv;uu (4.117) unde : )n,n(n yx= este versorul normalei la conturul Γ;

Γ1 , Γ2 sunt două porţiuni disjuncte ale conturului Γ cu excepţia unui număr finit de puncte numite singulare;

)t,t( yx - forţele unitare de contur specificate după cele două direcţii; ( v,u ) - deplasările specificate după cele două direcţii.

Ecuaţiile de echilibru (4.111) pot fi scrise pe domeniul Ω în funcţie de deplasări, după substituirea lui u şi v din 4.112) în (4.111) astfel:

y

x

fyvc

xuc

yxv

yu

xc

fxv

yu

yc

yvc

xuc

x

−=

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂

−=

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂

221233

331211

(4.118)

Condiţiile pe contur (4.116) se scriu pe conturul Γ1 în funcţie de deplasări:

yyx

xyx

tnyvc

xucn

xv

yuc

tnxv

yucn

yvc

xuc

=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

=

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

221233

331211

(4.119)


221 Pentru rezolvarea problemei plane de tensiuni cu ajutorul metodei elementelor finite se folosesc două metode care conduc la aceeaşi ecuaţie : a. metoda energiei potenţiale minime, prin exprimarea matriceală a

deplasărilor în funcţie de deformaţii şi a deformaţiilor în funcţie de tensiuni;

b. metoda Ritz de determinare a formei variaţionale a problemei caracterizată de ecuaţiile diferenţiale (4.118) şi de condiţiile la limită (4.119).

4.12.1. Teorema energiei potenţiale minime

Expresiile matriceale ale deformaţiilor, tensiunilor şi deplasărilor pentru un element finit Ωe sunt:

e

e

exy

y

x

e

exy

y

x

e vu

d;;

=

τσσ

=σ

γεε

=ε , (4.120)

Energia potenţială corespunzătoare stării plane de tensiuni se scrie:

∫∫∫ΓΩΩ

−−σε=Πeee

dstddxdyfddxdyh)d( eTee

Tee

Tee2

1 (4.121)

unde: he este grosimea elementului

Tey

exe f,ff = vectorul forţelor unitare masice specificate

Tey

exe t,tt = vectorul forţelor de contur specificate.

Primul termen din expresia energiei (4.121) reprezintă energia internă de deformaţie, al doilea reprezintă lucrul mecanic al forţelor masice exterioare cu semn schimbat şi al treilea termen reprezintă lucrul mecanic al forţelor de contur de asemenea cu semn schimbat.

Relaţiile deformaţii - deplasări (4.112), tensiuni - deformaţii (4.113) şi ecuaţiile de echilibru (4.111) se pot scrie matriceal astfel:

[ ] [ ] [ ] ee

Teee

ee

fD

CdD

=σ−

ε=σ=ε

(4.122)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 222 unde matricele [C] şi [D] au următoarea formă:

[ ] [ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

=

xy

y

xD;

ccccc

C 0

0

0000

33

2221

1211

(4.123)

Deplasările ue şi ve corespunzătoare elementului finit Ωe se pot exprima cu ajutorul funcţiilor de interpolare independente Φe

j (x,y):

∑∑==

Φ=Φ=n

j

ej

ej

en

j

ej

ej

e vv;uu11

(4.124)

Deplasările se mai pot scrie matriceal sub forma:

[ ] eeed ∆Φ= (4.125)

în care:

[ ]

Ten

en

eee

en

ee

en

eee

e

vu...vu

...

...

11

21

321

0000000

=∆

ΦΦΦ

ΦΦΦΦ=Φ

(4.126)

Cu aceste notaţii relaţiile (4.122) se pot scrie:

[ ] [ ][ ] [ ] ;BDdD eeeeee ∆=∆Φ==ε (4.127)

unde s-a notat cu: [ ] [ ][ ] ee DB Φ= , deci:

[ ] [ ] [ ] eeeeee BCC ∆=ε=σ .

Înlocuind aceste expresii matriceale în relaţia (4.121) şi anulând prima variaţie a funcţionalei energiei potenţiale se obţine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

Φ−Φ−∆∆δ=Πδ=

Φ∆−Φ∆−∆∆=Π

∫∫∫

∫∫∫

ΓΩΩ

ΓΩΩ

eee

eee

dstdxdyfdxdyBCBh)d(

dstdxdyfdxdyBCBh)d(

eTee

Teeee

Teee

eTe

Tee

Te

Teeee

Te

Tee

0

21

(4.128)

Această relaţie este valabilă pentru orice deplasare elementară e∆δ , deci factorul din paranteză trebuie să se anuleze.


223 Se notează cu:

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ∫∫

∫

ΓΩ

Ω

Φ+Φ=

=

ee

e

dstdxdyfF

dxdyBCBhK

eTee

Te

e

eeTee

e

(4.129)

şi se obţine ecuaţia generală a modelului cu elemente finite:

[ ] eee FK =∆ . (4.130)

Se observă că ecuaţia variaţională (4.128) conţine doar prima derivată a variabilelor independente u şi v deci se pot utiliza funcţii de interpolare având cel puţin gradul I (corespunzând elementului finit liniar).

Pentru un element finit liniar triunghiular funcţiile de interpolare se scriu:

321

21

3

1

3

1

,,i,)yx(A

)y,x(

)y,x(v)y,x(v;)y,x(u)y,x(u

iiie

ei

i

eii

i

eii

=γ+β+α=Φ

Φ=Φ= ∑∑== (4.131)

respectiv derivatele funcţiilor de interpolare:

e

iee

i

e

iee

i

Ay)y,x(

;Ax

)y,x(

2

2

γ=∂

Φ∂

β=∂

Φ∂

(4.131’)

Matricea [B] din relaţia (4.127) va avea expresia:

[ ]

βγβγβγγγγ

βββ=

332211

321

321

000000

21

eeeeee

eee

eee

ee A

B (4.132)

Aceste relaţii conduc la valori constante ale tensiunii pentru toată suprafaţa elementului (CST - Constant Strain Triangular adică element finit triunghiular cu tensiune constantă).

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 224 4.12.2. Metoda Ritz

Ecuaţiile cu derivate parţiale (4.118) care caracterizează problema stării plane de tensiuni se înmulţesc cu funcţiile test w1 şi w2 obţinându-se :

0

0

2212332

3312111

=

+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂

=

+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂

y

x

fyvc

xuc

yxv

yu

xcw

fxv

yu

yc

yvc

xuc

xw

(4.133)

Integrând prin părţi aceste expresii pe domeniul Ωe şi ţinând seama de teorema gradientului şi de condiţiile pe frontieră (4.119):

yxy

yxx

nyvc

xucn

xv

yuct

nxv

yucn

yvc

xuct

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂≡

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂≡

221233

331211

(4.134)

se obţine: !"pentru prima ecuaţie:

∫

∫

∫

Ω

Ω

Ω

∂∂+

∂∂

∂∂

+

∂∂+

∂∂

∂∂

−

−

+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂=

+

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=

e

e

e

dxdyxv

yu

yw

cyvc

xuc

xw

dxdyfxv

yuc

yvc

xucw

dxdyfxv

yu

yc

yvc

xuc

xw

x

x

11

1

1

331211

331211

331211

0

0

∫∫ΓΩ

−

−

∂∂+

∂∂

∂∂

+

∂∂+

∂∂

∂∂

=ee

dstwdxdyfwxv

yu

yw

cyvc

xuc

xw

xx 11331211110

(4.135)

!"respectiv, pentru a doua ecuaţie:

∫∫ΓΩ

−

−

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂+

∂∂

∂∂=

ee

dstwdxdyfwxv

yu

xwc

yvc

xuc

yw

yx 222

33221220


225

Se caută soluţii aproximative de forma ∑=

Φ=3

1i

eii )y,x(u)y,x(u şi

3213

1,,i,)y,x(v)y,x(v

i

eii =Φ=∑

= şi se consideră ca funcţii test funcţiile:

w1=Φi şi w2=Φi . După înlocuirea în (4.125) se obţin ecuaţiile matriceale:

[ ] [ ] [ ] [ ] 22221

11211

FvKuK

FvKuK

=+

=+ (4.136)

Elementele matricelor [ ] [ ] [ ] [ ] 2122122111 F,F,K,K,K,K sunt:

∫ ∫∫ ∫

∫

∫

∫

Ω ΓΩ Γ

Ω

Ω

Ω

Φ+Φ=Φ+Φ=

∂Φ∂

∂Φ∂

+∂Φ∂

∂Φ∂

=

∂Φ∂

∂Φ∂

+∂Φ∂

∂Φ∂

==

∂Φ∂

∂Φ∂+

∂Φ∂

∂Φ∂=

e ee e

e

e

e

dstdxdyfF;dstdxdyfF

dxdyyy

cxx

cK

dxdyxy

cyx

cKK

dxdyyy

cxx

cK

yiyiixixii

jijiij

jijijiij

jijiij

21

223322

33122112

331111

(4.137)

Aceste elemente se pot calcula uşor dacă sunt definite corect condiţiile de contur legate de deplasări (variabile principale) respectiv de încărcări (variabile secundare). Astfel, pentru o problemă plană de elasticitate având definite condiţiile de contur în nodurile situate pe frontiera domeniului, putem avea următoarele cazuri: 1. deplasările u şi v sunt specificate (forţele tx şi ty sunt necunoscute); 2. deplasarea u şi forţa ty sunt specificate (deplasarea v şi forţa tx sunt

necunoscute); 3. deplasarea v şi forţa tx sunt specificate (deplasarea u şi forţa ty sunt

necunoscute); 4. când forţele tx şi ty sunt specificate (deplasările u şi v sunt necunoscute).

4.12.3. Încovoierea plăcii plane Ca o extindere a problemei plane prezentate se consideră problema încovoierii unei plăci plane de grosime constantă foarte mică cu sarcini aplicate transversal pe suprafaţa ei (fig. 4.28.a).


Ecuaţiile cu derivate parţiale care caracterizează această problemă sunt:

0

0

0

55221233

44331211

5544

=

∂∂+−

∂∂

+∂∂

∂∂+

∂∂

+∂∂

∂∂

=

∂∂+−

∂∂

+∂∂

∂∂+

∂∂

+∂∂

∂∂

=+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂

ywSD

yS

Dx

SDyx

Sy

Sx

D

xwSD

xS

yS

yD

yS

Dx

SDx

qywS

yD

xwS

xD

yyxyx

xyxyx

yx

(4.138)

unde s-au făcut următoarele notaţii:

1

21221

312

331121221212

1

11222

2112

31

1123551344

12

112

EE;hGD;DDD

;EDED;

)(hED;hkGD;hkGD

ν=ν=ν=ν=

=νν−

===

Semnificaţia notaţiilor în ecuaţiile de mai sus este următoarea:

!"w este deformaţia transversală a plăcii (după Oz) !"Sx şi Sy rotirile după axa Ox respectiv Oy !"E1, E2 - modulele de elasticitate longitudinale după direcţia Ox şi Oy; !" 2112 νν , - coeficienţii lui Poisson; !"G12, G13 , G23 - modulele de elasticitate transversale în planele: x-y, x-z şi respectiv y-z;

!"h - grosimea plăcii; !"k - factorul de corecţie transversal (k=5/6)

b. Fig. 4.28

q(x,y)

x

z

y

h Mxy

Mn Mns

Qn

Qy My

Mx

Mxy Qx

z

x

y

a.


227 Pentru formularea variaţională a problemei pentru un element triunghiular (de domeniu Ωe) se înmulţesc ecuaţiile (4.128) cu funcţiile de pondere Φi (i=1,2, 3) şi se integrează pe domeniul Ωe elementului triunghiular:

0

0

0

552212333

443312112

55441

=

∂∂+−

∂∂

+∂∂

∂∂+

∂∂

+∂∂

∂∂Φ

=

∂∂+−

∂∂

+∂∂

∂∂+

∂∂

+∂∂

∂∂Φ

=

+

∂∂+

∂∂+

∂∂+

∂∂Φ

∫

∫

∫

Ω

Ω

Ω

dxdyywSD

yS

Dx

SD

yxS

yS

xD

dxdyxwSD

xS

yS

yD

yS

Dx

SDx

dxdyqywS

yD

xwS

xD

e

e

e

yyxyx

xyxyx

yx

(4.139)

Integrând prin părţi şi aplicând teorema gradientului şi divergenţei se obţine:

dsny

SD

xS

Dnx

Sy

SD

dxdyywSD

yS

Dx

SD

yxS

yS

xD

dsnx

Sy

SDn

yS

Dx

SD

dxdyxwSD

xS

yS

yD

yS

xD

xS

xD

dsnywSDn

xwSDqdxdy

dxdyqywS

yD

xwS

xD

yyx

xyx

yyxyx

yyx

xyx

xyxyx

yyxx

yx

e

e

e

e

ee

e

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

Φ=

=

∂∂+Φ+

∂∂

+∂∂

∂Φ∂

+

∂∂

+∂∂

∂Φ∂

∂∂

+∂∂

+

∂∂

+∂∂

Φ=

=

∂∂++

∂∂

+∂∂

∂Φ∂

+∂∂

∂Φ∂

+∂∂

∂Φ∂

∂∂++

∂∂+Φ+Φ=

=

+

∂∂+

∂Φ∂

+

∂∂+

∂Φ∂

∫

∫

∫

∫

∫∫

∫

Γ

Ω

Γ

Ω

ΓΩ

Ω

2212333

355221233

33

3312112

442

332

122

11

554411

155

144

(4.140)

Funcţiile de interpolare Φi pot fi privite ca variaţii ale variabilelor problemei: Φ1=δ w, Φ2=δ Sx, respectiv Φ3=δ Sy. Deci în forma variaţională obţinută condiţiile de contur pe suprafeţele dreptunghiulare laterale ale

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 228 elementului finit constituie condiţiile la limită naturale pentru w, iar pentru Sx şi Sy , condiţiile la limită esenţiale (fig. 4.28.b):

∂∂+=

∂∂+=

∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

=

ywSDQ;

xwSDQ

;x

Sy

SDM;y

SD

xSDM;

yS

Dx

SDM

yyxx

yxxy

yxy

yxx

5544

3322121211

(4.141) Modelul cu elemente finite sub forma variaţională se obţine alegând pentru cele trei soluţii următoarele funcţii de interpolare:

∑∑∑===

ψ=ψ=ψ=n

iiyiy

n

iixix

n

iii SS;SS;ww

111. (4.142)

Dacă se înlocuiesc aceste funcţii de interpolare în ecuaţiile (4.140) şi se consideră funcţiile de pondere Φk=ψi (k=1, 2, 3) se obţine:

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] 3333231

2232221

1131211

FSKSKwK

FSKSKwK

FSKSKwK

yx

yx

yx

=++

=++

=++

(4.143)

Elementele matricelor [K] şi [F] se calculează astfel:

dxdyDyy

Dxx

DK

dxdyxy

Dyx

DKK

dxdyDyy

Dxx

DK

dxdyy

DKK

;dxdyx

DKK

dxdyyy

Dxx

DK

e

e

e

e

e

e

jijiji

ij

jijiijij

jijiji

ij

ji

ijij

ji

ijij

jijiij

∫

∫

∫

∫

∫

∫

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

Ω

ψψ+

∂∂ψ

∂∂ψ

+∂∂ψ

∂∂ψ

=

∂∂ψ

∂∂ψ

+∂∂ψ

∂∂ψ

==

ψψ+

∂∂ψ

∂∂ψ

+∂∂ψ

∂∂ψ

=

ψ∂∂ψ

==

ψ∂∂ψ

==

∂∂ψ

∂∂ψ

+∂∂ψ

∂∂ψ

=

55223333

33123223

44331122

553113

442112

554411

(4.144)


229

;nMnMM;dsMF

;nMnMM;dsMF

;nQnQQ;dsQdxdyqF

yxyxxynsinsi

yxyxxnini

yyxxninii

e

e

e e

+=ψ=

+=ψ=

+=ψ+ψ=

∫

∫

∫ ∫

Γ

Γ

Ω Γ

3

2

1

(4.145)

Ecuaţiile (4.143) se pot scrie sub forma condensată:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

=

⋅

3

3

1

333231

232221

131211

FFF

SSw

KKKKKKKKK

y

x (4.146)

Prima matrice din expresia (4.146) se numeşte matricea de rigiditate a elementului şi este de ordinul 3n x 3n, unde n este numărul de noduri ale elementului finit .

BIBLIOGRAFIE

1. Bathe, K. J., Willson, E. - Numerical Methods in Finite Element

Analysis, Prentince Hall Inc., New Jersey 1976. 2. Berbente, C., Zancu, S., Mitran, S., Pleter, O., Tătăranu, C - Metode

numerice de calcul şi aplicaţii, vol I, Ed. U. P. Bucureşti, 1992 3. Blumenfeld, M. - Introducere în metoda elementelor finite, Editura

Tehnică, Bucureşti, 1995 4. Constantinescu, I.N., Munteanu, M., Golumbovici, D. - Calcule de

rezistenţă a structurilor de maşini şi utilaje, Editura Tehnică, Bucureşti 1984.

5. Constantinescu, I.N., Cizmaş, P., Ionescu, B. - Metoda elementelor finite. Aplicaţii în mecanica solidului deformabil, Editura U.P.Bucureşti, 1991

6. Constantinescu, I.N., Gheorghiu, H., Hadar, A. - Methode des elements finis. Cours et applications, Editura U.P.Bucureşti, 1993

7. Cuteanu, E., Marinov, R - Metoda elementelor finite în proiectarea structurilor, Editura Facla, Timişoara, 1980

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 230 8. Demidovitch, B., Marinov, R - Elements de calcul numerique, Edition

Mir, Moscova, 1973 9. Desay, C. S., Abel, F. J. - Introduction to the Finite Element Method.

Van Nostrand Reinhold Company, New York, 1972 10. Gheorghiu, H., Hadar, A., Constantin, N. - Analiza structurilor din

materiale izotrope şi anizotrope, Editura Printech, Bucureşti 1998 11. Hadar, A. - Probleme locale la materiale compozite, Teza de doctorat,

U.P.Bucureşti 1997 12. Huges, T. J. R. - The Finite Element Method, Prentince Hall Inc., New

Jersey 1987. 13. Marin, C. - Contribuţii la studiul îmbinărilor suprafeţelor recipientelor şi anvelopelor sub presiune în regimuri statice şi dinamice , Teza de doctorat, U.P.B. 1999

14. Olariu, V., Brătianu, C. - Modelare numerică cu elemente finite, Editura Tehnică, Bucureşti 1986

15. Pascariu, I. - Elemente finite. Concepte şi aplicaţii, Editura Militară, Bucureşti, 1985

16. Reddy, J. N. - An introduction to the finite element method. Mc Graw Inc. 1984

17. Washizu, K. - Variational Methods in Elasticity, Pergamon, Press, 1968

18. Zienkiewicz, O. C. - The Finite Element Method. Engineering Science, McGraw-Hill Book Company (U.K) Limited, Maidenhead, Berkshire, 1977

Elemente finite tridimensioale pentru calculul structurilor

231

5

ELEMENTE FINITE TRIDIMENSIONALE PENTRU CALCULUL STRUCTURILOR

5.1. Formularea variaţională a unei probleme pentru cazul tridimensional

Principiile metodei elementelor finite pentru cazul tridimensional sunt aceleaşi cu cele prezentate în cazul problemelor unidimensionale şi bidimensionale. Spre exemplificare se consideră problema lui Poisson în trei dimensiuni, caracterizată de ecuaţiile [1]:

2111

1

321

Γ=∂∂+

∂∂+

∂∂

Γ=

Ω=

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

pe,qnxukn

xukn

xuk

pe,uu

pe,fzuk

zyuk

yxuk

x

xxx

(5.1)

unde : ki = ki (x,y,z) şi f = f(x,y,z) sunt două funcţii date pe domeniul tridimensional Ω depinzând de trei variabile independente; u şi q sunt specificaţiile funcţiilor u şi q (primară şi secundară ) pe două porţiuni ale frontierei Γ1 şi Γ2 ale domeniului Ω;

Domeniul tridimensional Ω se discretizează în subdomenii mici Ωe (elementelor finite spaţiale) şi se scrie prima ecuaţie (5.1) a problemei multiplicată cu o funcţie test v(x,y,z), apoi se integrează pe Ωe obţinându-se:

∫Ω

−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−

∂∂

∂∂−=

e

dxdydzfzuk

zyuk

yxuk

xv 3210 . (5.2)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 232 Dacă se aplică teorema gradientului şi divergenţei (integrala Green) se

obţine:

∫∫ΓΩ

−

−

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂+

∂∂

∂∂=

ee

vqdsdxdydzvfzu

zvk

yu

yvk

xu

xvk 3210 (5.3)

unde: zyx nzukn

yukn

xukq

∂∂+

∂∂+

∂∂≡ 321 iar )n,n,n( zyx sunt proiecţiile

versorului normalei pe frontiera Γe.

Soluţia aproximativă a ecuaţiei scrisă sub forma variaţională (5.3) este:

∑=

ψ=n

j

ejj )z,y,x(uu

1. (5.4)

Dacă se consideră ca funcţii test pe rând v(x,z,y)=ψi , i=1, 2, ... n , ecuaţia (5.3) conduce la un sistem de ecuaţii care se scrie matricial:

[ ] eeee QfuK += , (5.5)

în care elementele matricelor : [ ] eee Q,f,K se scriu:

∫∫

∫

ψ=ψ=

∂

∂ψ∂

∂ψ+

∂∂ψ

∂∂ψ

+∂∂ψ

∂∂ψ

=Ω

e

e

dsqQ;dxdzydzff

dxdydzzz

kyy

kxx

kK

ieii

ei

jijiiieij 321

(5.6)

Asamblarea, impunerea condiţiilor la limită şi rezolvarea ecuaţiilor (inclusiv calculul integralelor prin cuadraturi) este complet analog celui prezentat pentru cazul unidimensional şi bidimensional. Ceea ce este nou ]n acest caz este forma şi geometria elementului finit tridimensional. În calculul elementelor matricei [K] trebuie ca funcţiile de interpolare să fie cel puţin liniare în x, y şi z.

5.2. Elemente finite tridimensionale în coordonate naturale Se consideră în continuare cele mai simple două tipuri de elemente

finite tridimensionale liniare [2], [9]:

!"elementul tetraedric cu patru noduri (fig.5.1.a), pentru care funcţia triliniară de aproximare se scrie :

u(x,y,z) = a0 + a1 x + a2 y + a3 z. (5.7)


233 !"elementul hexaedric cu opt noduri (fig.5.1.b), pentru care funcţia

triliniară de aproximare se scrie:

u(x,y,z) = a0 + a1 x + a2 y + a3 z + a4 xy + a5 xz + a6 xy + a7 xyz. (5.8)

5.2.1. Funcţii de formă pentru elemente finite hexaedrice izoparametrice în coordonate naturale

Funcţiile de interpolare Lagrange ),,(i ζηξΦ pentru elementele hexaedrice izoparametrice cu 8 noduri (fig. 5.2) au expresiile:

( )( )( )iiii ),,( ζζ+ηη+ξξ+=ζηξΦ 11181 (5.9)

în care 1±=ςηξ iii ,, reprezintă coordonatele nodului corespunzător funcţiei de interpolare faţă de sistemul de axe ξηζO .

Avem următoarele opt funcţii de formă:

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

ζ+η−ξ−=Φ

ζ+η+ξ−=Φ

ζ+η+ξ+=Φ

ζ+η−ξ+=Φ

ζ−η−ξ−=Φ

ζ−η+ξ−=Φ

ζ−η+ξ+=Φ

ζ−η−ξ+=Φ

11181

11181

11181

11181

11181

11181

11181

11181

8

7

6

5

4

3

2

1

(5.10)

4

3 1

2 a.

8 7

5 6

4

3

1

2 bFig. 5.1

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 234 Pentru calculul numeric al elementelor matricei [K] (5.6) se

utilizează ca şi în cazul bidimensional, elementele hexaedrice izoparametrice a căror geometrie se defineşte cu ajutorul transformării de coordonate naturale (x,y,z)→(ξ, η, ζ):

∑

∑

∑

=

=

=

ζηξΦ=

ζηξΦ=

ζηξΦ=

8

1

8

1

8

1

iii

iii

iii

),,(zz

),,(yy

),,(xx

(5.11)

Relaţiile (5.11) transformă elementul hexaedric oarecare într-un cub (fig. 5.2). Definirea matricei jacobian şi a regulilor de integrare prin cuadraturi prezentate la capitolul III se pot extinde pentru cazul tridimensional.

5.2.2. Funcţii de formă pentru elemente finite hexaedrice cubice în coordonate naturale

Aceste funcţii de formă sunt funcţii de grad patru incomplete descrise în coordonate naturale de un cub cu 20 de noduri (fig. 5.3). Pe cele 6 feţe aceste funcţii se reduc la funcţii bidimensionale cubice. Pentru scrierea lor

Fig. 5.2

7 (-1, 1, 1)

η

ξ

ζ

5 (1, -1, 1) 6 (1, 1, 1)

8 (-1, -1, 1)

2 (1, 1, -1) 1 (1, -1, -1)

4 (-1, -1, -1) 3 (-1,1, -1)

O


235 se folosesc funcţiile de interpolare de tip Serendip care sunt produse având ca factori:

!"pentru cele 8 noduri din vârfurile cubului: ecuaţiile celor trei plane care nu conţin nodul respectiv şi a planului ce trece prin cele trei noduri adiacente:

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

−ζ−η−ξ−ζ−η−ξ−=Φ

−ζ−η+ξ−ζ−η+ξ−=Φ

−ζ−η+ξζ−η+ξ+=Φ

−ζ−η−ξζ−η−ξ+=Φ

211181

211181

211181

211181

4

3

2

1

(5.12)

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

−ζ+η−ξ−ζ+η−ξ−=Φ

−ζ+η+ξ−ζ+η+ξ−=Φ

−ζ+η+ξζ+η+ξ+=Φ

−ζ+η−ξζ+η−ξ+=Φ

211181

211181

211181

211181

8

7

6

5

(5.12’)

Fig. 5.3

7 (-1, 1, 1)

η

ξ

ζ

5 (1, -1, 1) 6 (1, 1, 1)

8 (-1, -1, 1)

2 (1, 1, -1) 1 (1, -1, -1)

4 (-1, -1, -1) 3 (-1,1, -1)

O

9

10

11

12

13 14

15 16

17 18

19

20

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 236 !"pentru nodurile mediane ecuaţiile celor patru plane care nu conţin

muchia pe care se află nodul respectiv:

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

ζ−η−ξ−ξ+=Φ

ζ−η+η−ξ−=Φ

ζ+ζ−η+ξ−=Φ

ζ−η+η−ξ+=Φ

111141

111141

111141

111141

12

11

10

9

(5.13)

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

ζ+ζ−η−ξ−=Φ

ζ+ζ−η+ξ−=Φ

ζ+ζ−η+ξ+=Φ

ζ+ζ−η−ξ+=Φ

111141

111141

111141

111141

16

15

14

13

(5.13’)

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

ζ+η−ξ−ξ+=Φ

ζ+η+η−ξ−=Φ

ζ+η+ξ−ξ+=Φ

ζ+η+η−ξ+=Φ

111141

111141

111141

111141

20

19

18

17

(5.13”)

5.2.3. Coordonate naturale pentru elemente finite tetraedrice

Pentru elementele tetraedrice se folosesc coordonatele L- naturale de volum care ca şi în cazul bidimensional, reprezintă raportul dintre volumul tetraedrului având ca vârf puntul P(x,y,z) şi ca bază, una din feţele tetraedrului. Deci coordonatele adimensionale de volum L1, L2, L3, L4 sunt legate de coordonatele sistemului global (Oxzy) prin relaţiile [3]:


237

zzLzLzLzLyyLyLyLyL

xxLxLxLxL

=+++=+++=+++

44332211

44332211

44332211

(5.14)

Aceste coordonate nu sunt independente întrucât între ele există relaţia de legătură:

L1+ L2+ L3+ L4=1 (5.15)

Coordonatele naturale L1, L2, L3, L4 se exprimă în funcţie de coordonatele sistemului global (Oxyz) cu ajutorul relaţiilor:

( ) 432161 ,,,i,zdycxbaV

L iiiii =+++= (5.16)

în care V este volumul tetraedrului definit prin punctele (xi, yi, zi), i=1,2,3,4,

iar coeficienţii ai, bi, ci, di au expresiile (pentru i=1):

111

111

111

44

33

22

1

44

33

22

1

44

33

22

1

444

333

222

1

yxyxyx

d,zxzxzx

c

zyzyzy

b,zyxzyxzyx

a

−=−=

−==

(5.17)

Ceilalţi coeficienţi (pentru i=2,3,4) se obţin din relaţia (5.17) prin permutări circulare.

(1,0,0,0)

3

P

2

(0,0,1,0)

(0,1,0,0)

4 (0,0,0,1)

Fig. 5.3

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 238 5.3. Matricea de rigiditate în coordonate naturale

Deformaţiile şi tensiunile pe domeniul elementului finit se obţin din vectorul câmpului deplasărilor ∆ cu ajutorul relaţiei:

⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

γγγεεε

wvu

xz

yz

xy

z

y

x

x

x

x

x

x

x

0

0

0

00

00

00

(5.18)

care se mai scrie concentrat:

[ ] ∆=ε *B (5.19)

unde: ε este vectorul deformaţiilor specifice, [ ]*B - matrice operator diferenţial liniar (matricea derivatelor funcţiilor de formă)

∆ - vectorul deplasărilor Înlocuind vectorul câmpului deplasărilor ∆ în funcţie de vectorul coordonatelor generalizate α şi apoi în funcţie de vectorul deplasărilor nodale ale elementului e

nδ se obţine succesiv:

[ ] αΦ=∆ respectiv [ ] α=δ Aen (5.20)

în care:

[ ]Φ este matricea care cuprinde elemente din tetraedrul lui Pascal corespunzătoare polinomului de interpolare ales;

[ ]A - matricea care cuprinde o parte din elementele matricei corespunzători fiecărui nod în parte, scrişi în altă ordine.


239 Din relaţia (5.20) rezultă:

[ ][ ] [ ] en

en NA δ=δΦ=∆ −1 , (5.21)

unde: [ ]N este matricea funcţiilor de formă, numită astfel deoarece arată modul de variaţie a deplasărilor din interiorul elementului în funcţie de deplasările nodurilor.

Deoarece matricea [ ]A ar putea deveni singulară ne mai putând fi inversată, s-a recurs la un nou mod de obţinere a polinoamelor de interpolare prin introducerea elementelor izoparametrice în coordonate naturale, caracterizate de un sistem propriu de referinţă aşa cum s-a prezentat la paragraful 5.2.

Înlocuind vectorul deplasărilor ∆ dat de relaţia (5.21) în relaţia (5.19) se obţine vectorul deformaţiilor specifice în funcţie de vectorul deplasărilor nodale ale elementului:

[ ][ ] [ ] en

en BN*B δ=δ=ε . (5.22)

Se exprimă sub formă matricială legea lui Hooke generalizată:

( )( )

γγγεεε

ηη

ην−νν

νν−νννν−

ν−ν+=

τττσσσ

zx

yz

xy

x

x

x

zx

yz

xy

x

x

x

E

000000000000000000100010001

211 (5.23)

unde: 221 ν−=η , sau sub formă concentrată:

[ ] ε=σ D . (5.24)

Dacă se ţine seama şi de tensiunile şi deformaţiile iniţiale (termice, remanente, etc) , relaţia (5.24) se scrie:

[ ] ( ) 00 σ+ε−ε=σ D , (5.25)

unde: 0ε este vectorul deformaţiilor specifice iniţiale;

0σ vectorul tensiunilor iniţiale.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 240 Vectorul forţelor care acţionează asupra elementului în cazul cel mai general se scrie:

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] dSSNdVfN

dVBdVDBQF

eTeT

V

T

V

T

V

ee

ee

ee

∫∫

∫∫

Γ

++

+σ−ε+= 00

(5.26)

unde: eQ este vectorul forţelor concentrate în nodurile elementului; ef - vectorul intensităţii forţelor volumice aplicate; eS - vectorul forţelor de suprafaţă aplicate.

Pentru deducerea formei matricei de rigiditate generale în cazul elementelor finite tridimensionale se mai utilizează metoda directă a deplasărilor virtuale care se bazează pe principiul lucrului mecanic virtual, care afirmă egalitatea dintre lucrul mecanic al forţelor exterioare şi energia potenţială de deformaţie elastică a elementului în condiţiile în care se impun nodurilor un set de deplasări virtuale compatibile cu legăturile. Aceste deplasări virtuale induc în interiorul elementului un câmp de deformaţii virtuale:

[ ] ( ) enB δδ=δε , (5.27)

unde: δε este vectorul deformaţiilor specifice virtuale ( ) e

nδδ - vectorul deplasărilor nodale virtuale ale elementului.

Ecuaţia care exprimă principiul lucrului mecanic virtual pentru un element este:

[ ] ( ) ( ) [ ] ( ) eTen

T

V

Ten

eTen

T

V

FdVBsauFdVee

δδ=σδδδδ=σδε ∫∫ (5.28)

Egalitatea fiind valabilă pentru un set arbitrar de deplasări virtuale atunci rezultă egalitatea:

[ ] eT

V

FdVBe

=σ∫ (5.29)

Ţinând seama de relaţiile (5.18) şi (5.20) relaţia (5.25) se scrie:

[ ] [ ][ ] een

T

V

FdVBDBe

=δ

∫ . (5.30)

Integrala din paranteză este o matrice simetrică deoarece provine de la o matrice simetrică [D] care se înmulţeşte la dreapta cu matricea [B] şi


241 respectiv la stânga cu transpusa ei [B]T şi reprezintă tocmai matricea de rigiditate a elementului, deoarece exprimă legătura dintre deplasările nodale ale elementului şi forţele care acţionează asupra lui:

[ ] [ ] [ ][ ] dVBDBKT

V

e

e∫= (5.31)

Deci relaţia 5.29 se scrie:

[ ] een

e FK =δ (5.32)

În cazul folosirii coordonatelor naturale în obţinerea matricelor [B] şi [Ke] apare problema exprimării derivatelor parţiale ale funcţiilor de formă în raport cu coordonatele carteziene ale sistemului de referinţă Oxyz în funcţie de derivatelor parţiale ale funcţiilor de formă în raport cu coordonatele naturale. În cazul elementelor izoparametrice relaţiile

( ) ( ) ( )z,y,x;z,y,x;z,y,x ζ=ζη=ηξ=ξ se scriu mai uşor, prin urmare se poate exprima transformarea inversă din coordonatele naturale în coordonate carteziene pentru funcţiile de formă din expresia matricei [B] cu ajutorul matricei Jacobian [J]:

[ ]

∂∂∂∂∂∂

=

∂∂∂∂∂∂

ζ∂∂

ζ∂∂

ζ∂∂

η∂∂

η∂∂

η∂∂

ξ∂∂

ξ∂∂

ξ∂∂

=

ζ∂∂η∂

∂ξ∂

∂

zNyNxN

J

zNyNxN

zyx

zyx

zyx

N

N

N

(5.33)

Pentru calculul elementelor matricei de rigiditate trebuie să se ţină seama de relaţia:

[ ] ζ⋅η⋅ξ⋅=⋅⋅= dddJdetdzdydxdV . (5.34)

5.4. Asamblarea ecuaţiilor matriceale ale elementelor şi obţinerea ecuaţiei matriceale globale a structurii

Asamblarea ecuaţiilor matriceale scrise pentru fiecare element se bazează pe proprietatea integralelor definite pe un domeniu de a fi egale cu suma integralelor aceloraşi funcţii definite pe un număr de subdomenii ale domeniului considerat. În cazul de faţă aceste subdomenii sunt elementele finite în care s-a discretizat structura. Pentru a putea face această operaţie

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 242 este necesară transcrierea relaţiilor (5.32) din coordonatele deplasărilor elementului e

nδ în coordonatele deplasărilor generalizate nδ . Evident

matricea [Ke] şi vectorul forţelor nodale eF se modifică corespunzător.

Prin însumarea relaţiilor matriciale se obţine relaţia matriceală globală:

[ ] FK n =δ (5.35) în care: [ ]K este matricea globală de rigiditate a structurii;

nδ - vectorul deplasărilor generalizate ale elementului; F - vectorul forţelor exterioare ce acţionează pe direcţia

deplasărilor generalizate sau gradelor de libertate permise de fiecare nod.

Pentru asamblarea matricelor de rigiditate este necesar să fie îndeplinită condiţia de compatibilitate a elementelor în noduri: în nodurile comune numărul şi valorile deplasărilor generalizate trebuie să fie identice.

Astfel, matricele corespunzătoare diferitelor elemente ale structurii se pot asambla chiar dacă au fost utilizate elemente de tipuri diferite. Acest lucru este posibil numai dacă s-au folosit sisteme de referinţă locale paralele cu sistemul de referinţă global pentru scrierea matricelor de rigiditate ale elementelor. În caz contrar trebuie făcută rotirea matricelor la trecerea de la sistemul local la cel global. Elementele acestor matrice sunt plasate în matricea globală în locaţii ce corespund coincidenţei dintre gradele de libertate ale elementului şi cele ale ansamblului structurii.

Deoarece gradele de libertate ale structurii sunt permise în nodurile ei, o numerotare raţională a acestora permite obţinerea unei matrice de rigiditate globale de tip bandă, simetrică, cu o lăţime cât mai mică în vederea realizării unei viteze cât mai mari în rezolvarea sistemului de ecuaţii obţinut. Matricea de rigiditate obţinută este singulară dacă nu se impun condiţiile la limită sau de rezemare pentru structura globală. Impunerea acestor condiţii echivalează cu anularea şi (sau) precizarea valorilor deplasărilor generalizate în nodurile corespunzătoare acestor rezemări. Dacă aceste condiţii la limită înseamnă anularea deplasărilor generalizate, se elimină liniile /coloanele din matricea de rigiditate globală corespunzătoare acestor deplasări, obţinându-se o matrice nesingulară, care poate fi rezolvată folosind metodele numerice cunoscute:

[ ] *F*K *n =δ (5.36)

Dintre metodele folosite pentru rezolvarea sistemului de ecuaţii (5.36) amintim: metoda condensării statice sau a eliminării nodurilor


243 interioare, metoda rezolvării parţiale sau a substructurării, metoda frontală aplicând metoda de eliminare a lui Gauss.

Cu ajutorul deplasărilor generalizate obţinute după rezolvarea sistemului (5.32) se pot calcula deformaţiile specifice şi tensiunile pentru fiecare element (local: în fiecare nod, în centrele feţelor sau în centrul elementului) folosind ecuaţiile teoriei elasticităţii prezentate la începutul paragrafului, tensiunile principale conform unei teorii de rezistenţă şi direcţiile principale corespunzătoare, etc.

BIBLOGRAFIE 1. Reddy, J. N. - An introduction to the finite element method. Mc Graw

Inc. 1984 2. Blumenfeld, M. - Introducere în metoda elementelor finite, Editura

Tehnică, Bucureşti, 1995 3. Constantinescu, I.N., Cizmaş, P., Ionescu, B. - Metoda elementelor

finite. Aplicaţii în mecanica solidului deformabil, Editura U.P.Bucureşti, 1991

4. Constantinescu, I.N.,Gheorghiu, H., Hadar, - A Methode des elements finis. Cours et applications, Editura U.P.Bucureşti, 1993

5. Cuteanu, E., Marinov, R. - Metoda elementelor finite în proiectarea structurilor, Editura Facla, Timişoara, 1980


7. Hadar, A. - Probleme locale la materiale compozite, Teza de doctorat, U.P.Bucureşti 1997

8. Olariu, V., Brătianu, C. - Modelare numerică cu elemente finite, Editura Tehnică, Bucureşti, 1986

9. Pascariu, I. - Elemente finite. Concepte şi aplicaţii, Editura Militară, Bucureşti 1985

10. Zienkiewicz, O. C. - The Finite Element Method. Engineering Science, McGraw-Hill Book Company (U.K) Limited, Berkshire, 1977


6

METODE DE ANALIZĂ A SISTEMELOR CU COMPORTAMENT NELINIAR

Analiza răspunsului unei structuri de rezistenţă la acţiunile exterioare implică exprimarea formei matematice a fenomenului fizic. Acceptând neglijarea efectelor unora din parametri care caracterizează fenomenul fizic, numeroase probleme au fost rezolvate, cu bune rezultate, cu ajutorul formei liniare. Ipotezele care generează această formă sunt:

- relaţiile dintre tensiuni şi deformaţii specifice sunt liniare; - deformaţiile specifice şi deplasările sunt mici.

Ca urmare a acceptării acestor condiţii, dependenţa dintre sarcini şi deplasări este liniară, ecuaţiile de echilibru sunt aceleaşi pentru sistemul nedeformat, cât şi pentru cel deformat iar principiul suprapunerii efectelor poate fi aplicat. Considerate ca ideale, aceste ipoteze nu sunt respectate în totalitate de fenomenele reale, însă pot fi acceptate dacă erorile pe care le introduc sunt relativ mici faţă de soluţia exactă a problemei. Dacă însă abaterea de la aceste condiţii este importantă, nu mai este posibilă o abordare liniară a problemei, aceasta devenind neliniară. În calculul structurilor, problemele neliniare pot fi grupate în funcţie de ipotezele pe care nu le îndeplinesc:

Sisteme cu neliniaritate fizică (de material). Aceste probleme apar la structuri din materiale la care pe curba caracteristică nu există porţiune liniară (materiale plastice, materiale compozite, unele aliaje neferoase, fonta etc.). Ele pot apărea şi la materiale care respectă legea lui Hooke, dacă solicitarea în anumite puncte ale structurii depăşeşte limita de curgere, fără ca aceasta să conducă la pierderea capacităţii portante a structurii.

Admiţând că deplasările sunt mici, ecuaţiile de echilibru se exprimă în raport cu forma iniţială a structurii, rigiditatea depinzând de nivelul eforturilor.

Metode de analiză a sistemelor cu comportament neliniar

245 Sisteme cu neliniaritate geometrică. În cazul structurilor cu

liniaritate de material, apariţia unor deformaţii mari conduce la neliniaritatea relaţiilor dintre deformaţii specifice şi deplasări precum şi a celor dintre sarcini şi deplasări.

Ecuaţiile de echilibru nu mai pot fi aplicate la forma deformată a sistemului. În figura 6.1 este exemplificat efectul deformaţiilor mari în scrierea ecuaţiilor de echilibru.

Momentul încovoietor în secţiunea curentă este M(x) = - Px, dacă deplasarea u este neglijabilă. Acelaşi moment are expresia M(x) = - P(x - u), când deplasarea u are valori importante.

Sisteme cu neliniaritate generală. În această categorie intră structurile din materiale neliniare, la care în urma solicitărilor exterioare au apărut deformaţii mari.

6.1. Metode de rezolvare a sistemelor cu comportament neliniar Rezolvarea problemelor neliniare ale mecanicii solidului deformabil şi ale mecanicii structurilor poate fi efectuată cu ajutorul unei mari varietăţi de metode de calcul. Dintre acestea, metodele directe şi metodele indirecte sunt cele mai des folosite. Metodele directe de calcul sunt analitice şi numerice. Acestea sunt elaborate pentru o gamă restrânsă de probleme, în general simple şi pot fi exacte sau aproximative. Metodele directe se bazează pe ipoteze specifice, restrictive, impuse în funcţie de tipul problemei abordate. De aceea, metodele directe au o aplicabilitate limitată. Metodele indirecte de calcul sunt metode numerice ce tratează o problemă neliniară ca o succesiune de probleme liniare. Numărul

Fig. 6.1

P

x-u u

w

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 246 problemelor liniare cu ajutorul cărora este aproximată problema neliniară poate fi oricât de mare. Aceste metode se bazează pe aproximarea curbei caracteristice neliniare a materialului structurii, cu segmente de dreaptă (legea lui Hooke pe porţiuni), numărul porţiunilor fiind stabilit în funcţie de precizia impusă în rezolvarea problemei. Metodele indirecte s-au dovedit eficace pentru rezolvarea oricărui tip de problemă neliniară.

Principalele avantaje ale metodelor indirecte sunt: generalitate, simplitate, posibilitatea implementării pe calculator, posibilitatea evaluării ordinului de mărime al erorii soluţiei obţinute etc. Volumul calculelor necesare aplicării metodelor indirecte este foarte mare şi de aceea se impune realizarea unor programe de calcul. Performanţele calculatoarelor electronice au permis elaborarea unor programe complexe de calcul, destinate analizei neliniare a structurilor, programe ce au la bază, cel mai frecvent, metoda elementelor finite. De aceea metodele indirecte sunt utilizate tot mai frecvent în ultimul timp. În continuare sunt prezentate cele mai folosite tehnici de calcul neliniar .

6.1.1 Metoda tensiunii iniţiale În această metodă, pentru o problemă liniară, tensiunile sunt

determinate ţinând seama şi de deformaţiile specifice iniţiale, care pot să apară datorită variaţiilor de temperatură, a fluajului etc.

Ţinând seama numai de deformaţiile specifice iniţiale, relaţia (5.21) devine [1], [2], [13], [14]:

[ ] [ ] ( )0ε−ε=ε=σ DD c (6.1)

unde: σ reprezintă vectorul tensiunilor, [D] matricea de elasticitate cε vectorul deformaţiilor specifice efective 0ε vectorul deformaţiilor specifice iniţiale.

Energia potenţială totală de deformaţie devine:

[ ] [ ] [ ] dVDdVDdVDU T

v

T

v

T

v 000 21

21 εε+εε−εε= ∫∫∫ (6.2)

În urma scrierii ecuaţiilor de echilibru se va constata apariţia unui termen suplimentar R0, care reprezintă contribuţia deformaţiilor iniţiale, termen numit şi sarcină de corecţie sau sarcină adiţională:

R + R0 = [k] u. (6.3)


247 Sarcina de corecţie are forma (vezi 5.22):

[ ] [ ][ ]∫ ε=v

T dVDBR 00 , (6.4)

unde [B] este matricea de transformare deplasări–deformaţii specifice, numită şi matricea derivatelor funcţiilor de formă.

6.1.2 Metode incrementale Sunt cunoscute şi sub denumirea de metode pas cu pas.

Se face ipoteza că, în relaţia:

R = [k] u, (6.5)

neliniaritatea este datorată matricei de rigiditate [k] a structurii, aceasta fiind o funcţie neliniară de proprietăţile materialului, conţinute în matricea de elasticitate [D (σ)], variabilă cu tensiunea σ.

În figura 6.2, este reprezentată relaţia neliniară dintre tensiuni şi deformaţii specifice. Potrivit acestor procedee, sarcina R este împărţită în mai multe sarcini mici numite şi creşteri. Aceste creşteri (incremente) ale sarcinii pot fi egale sau inegale de la un pas la altul. Sarcina se consideră crescătoare în timp iar în cursul aplicării fiecărui increment se presupune că ecuaţiile sunt liniare.

Ca urmare, matricea de rigiditate a unui element (deci şi cea a întregii structuri) se consideră constantă în decursul unui pas, putând fi diferită de la un pas la altul.

Unei creşteri a sarcinii îi va corespunde o creştere a deplasării u. Creşterile parţiale ale deplasărilor se cumulează în vederea obţinerii deplasării totale la sfârşitul fiecărui pas. Procedeul continuă până la aplicarea întregii sarcini.

Metoda prezintă avantajul furnizării pas cu pas a unor informaţii complete asupra procesului de deformare.

Fig. 6.2 εεεε

σσσσ

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 248 Ecuaţiile de echilibru necesare procedeelor incrementale vor lua în

consideraţie, atunci când este cazul, sarcinile şi deplasările iniţiale R0, respectiv u0. De obicei, vectorii R0 şi u0 sunt nuli, calculul pornind din starea nedeformată a structurii.

Sarcina totală se împarte deci în m paşi, valoarea ei fiind:

∑=

∆+=n

jj ,RRR

10 (6.6)

unde ∆Rj este un increment finit al sarcinii. După pasul i sarcina devine:

∑=

∆+=i

jji ,RRR

10 (6.7)

Similar poate fi scrisă deplasarea la pasul i:

∑=

∆+=i

jji .uuu

10 (6.8)

unde ∆uj este incrementul deplasării.

Calculul incrementului deplasării la pasul i se efectuează folosind matricea de rigiditate de la sfârşitul pasului anterior, i – 1:

[ki -1 ] ∆ui = ∆Ri, i = 1, 2, 3, ... , m, (6.9)

unde: [ki -1] = [ki -1 (ui -1, Ri -1)], (6.10) iar [k0] este valoarea iniţială a matricei de rigiditate, în care constantele materialului au fost obţinute folosind o porţiune a curbei caracteristice aflată la începutul încărcării. În figura 6.3 este prezentată schema de calcul pentru un procedeu incremental. Procedeul este analog metodelor numerice folosite pentru integrarea sistemelor de ecuaţii diferenţiale cu metoda Euler sau Runge – Kutta [1], [4]. O variantă mai bună a metodelor incrementale are la bază schema punctului median Runge – Kutta [4]. De această dată, la fiecare pas se execută două cicluri de calcul.

Primul ciclu se efectuează cu jumătate din incrementul sarcinii ∆Ri, rezultând un increment temporar al deplasărilor (notat cu ∆u*i–1/2), din [1]:

,/R*uk i/ii 2211 ∆=∆ −− (6.11)

Sunt calculate apoi deplasările în punctul median al incrementului:

u*i – 1/2 = u i - 1 + ∆u* i – 1/2. (6.12)


249

Al doilea ciclu constă din aplicarea întregului increment al sarcinii ∆Ri, matricea de rigiditate (notată cu [ki – 1/2]) fiind cea corespunzătoare deplasărilor intermediare ∆u*i–1/2, obţinute după primul ciclu de calcule. Deplasările corespunzătoare pasului i se obţin din rezolvarea sistemului:

[ki–1/2] ∆ui = ∆Ri. (6.13)

Cu toate că volumul calculelor creşte considerabil, procedeul incremental Runge – Kutta se foloseşte foarte mult datorită preciziei ridicate a soluţiei.

6.1.3 Metode iterative Potrivit acestor metode de calcul, structurile sunt încărcate cu întreaga

sarcină la fiecare iteraţie (pas). Procedeul constă în stabilirea părţii din sarcina totală care nu satisface

ecuaţiile de echilibru, ecuaţii în care matricea de rigiditate are valoare constantă, însă aproximativă, la fiecare iteraţie.

Sarcina astfel determinată este apoi folosită la iteraţia următoare pentru a determina o creştere adiţională a deplasărilor.

Procedeul se repetă până la satisfacerea ecuaţiilor de echilibru.

Se poate spune că are loc o serie de corecţii succesive ale soluţiei, până când, sub sarcină totală R, ecuaţiile de echilibru sunt verificate.

Fig. 6.3

u

R

ui-1 ui

Ri

Ri-1 ∆Ri Soluţia exactă

Soluţia incrementală

k0

1

∆ui= Rki ∆−−11

ki-1

1

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 250 La pasul i al procesului iterativ, partea Ri din sarcina totală care nu

verifică ecuaţiile de echilibru este [1]:

Ri = R - Re, i - 1, (6.14)

unde Re, i - 1 reprezintă sarcina aflată în echilibru după pasul anterior, i - 1. Incrementul deplasărilor (corecţia) la acest pas se calculează rezolvând sistemul [1], [4]:

[k (i)] ∆ui = Ri, (6.15)

unde [k(i)] reprezintă matricea de rigiditate a structurii la pasul i iar ∆ui corecţia deplasării corespunzătoare aceluiaşi pas. Matricea [k(i)] are valoarea determinată la pasul anterior i –1, deci [k(i)] = [ki-1], [k0] corespunzând stării iniţiale, în care deplasările sunt u0 iar încărcările R0. Deplasarea totală după iteraţia i este:

∑=

∆+=i

jji uuu

10 , (6.16)

u0 fiind deplasarea iniţială a structurii. Se determină în final sarcina Re, i necesară menţinerii deplasărilor ui folosind pentru aceasta relaţia (6.4). Procedeul continuă până când incrementele deplasărilor şi cele ale forţelor devin nule (sau suficient de mici). În figura 6.4 este prezentată schema de bază a acestor procedee. Alte variante de procedee iterative folosesc matricea de rigiditate [k0] în toate iteraţiile, existând avantajul eliminării calculului matricei [k(i)] la fiecare pas (fig. 6.5). Cu toate că numărul iteraţiilor creşte considerabil, procedeul se aplică destul de des, deoarece în tot procesul de calcul se foloseşte o singură matrice de rigiditate.

Fig. 6.4

u

R

u1 u2

R2

Re1

R3

k0

1

∆u2

k1

1

∆u1

Re2 Re3

R4

Fig. 6.5

R

u1

1 k0

1 k0

u2 u3 u


251 6.1.4 Metode mixte Aceste metode impun efectuarea unui număr extrem de mare de calcule dar au avantajul asigurării unei precizii foarte bune a soluţiei.

Procedeele mixte sunt de fapt combinaţii între cele iterative şi cele incrementale. Sarcina se aplică incremental iar după fiecare increment sunt efectuate iteraţii succesive. In acest mod erorile sunt micşorate la fiecare pas. În figura 6.6 se prezintă o schemă de calcul ce are la bază procedeele mixte.

6.1.5 Comparaţie între procedeele de calcul neliniar al structurilor

Procedeele incrementale prezintă ca principal avantaj generalitatea aplicării acestora în rezolvarea oricărui tip de problemă liniară. Ele asigură rezultate intermediare cu ajutorul cărora poate fi descrisă complet comportarea materialului sub sarcină.

Dezavantajele acestor procedee sunt: efort de calcul mai mare decât în cazul procedeelor iterative şi dificultatea evaluării numărului de incremente pentru care se obţine soluţia problemei cu o precizie impusă. Procedeele iterative sunt mai simplu de utilizat şi de programat decât cele incrementale.

Aceste procedee prezintă uneori dezavantajul neasigurării convergenţei soluţiei către soluţia exactă. Spre deosebire de procedeele

Fig. 6.6

u

R

ui-1 ui ui+1

∆Ri

∆Ri+1

Ri-1

Ri

Ri+1

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 252 incrementale, la cele iterative rezultatele sunt furnizate numai pentru sarcina totală R. Combinând avantajele celor două procedee, metodele mixte sunt folosite tot mai des în ultimul timp. Indiferent de procedeul utilizat în rezolvarea unei probleme neliniare este foarte importantă cunoaşterea curbei caracteristice a materialului structurii sau legea constitutivă a acestuia, adică relaţia:

σ = [D(σ)] ε. (6.17)

De fiecare dată când se modifică matricea [k] se impune determinarea caracteristicilor materialului, modificându-se astfel matricea de elasticitate [D]. De aceea, curba caracteristică a materialului se recomandă a fi determinată în condiţii cât mai apropiate de cele ale solicitării reale.

6.2. Calculul structurilor cu neliniaritate fizică Comportarea elasto-plastică a unui material este studiată ţinând seamă de următoarele ipoteze [1], [10]: !"materialul structurii prezintă neliniaritate fizică, adică “nu ascultă de

legea lui Hooke”; !"din cauza solicitărilor exterioare apar deformaţii plastice; !"deformaţiile (inclusiv cele plastice) şi deplasările sunt mici; !"dimensiunile şi configuraţia geometrică a structurii nu se modifică,

deci ecuaţiile de echilibru rămân valabile atât pentru structura deformată, cât şi pentru cea nedeformată;

!"nu mai poate fi aplicat principiul suprapunerii efectelor.

6.2.1. Comportarea elasto-plastică a unui material În figura 6.7 este prezentată curba caracteristică a unui material izotrop, cu comportare neliniară, determinată în urma unei solicitări de întindere monoaxială. Modulul de elasticitate longitudinal al materialului într-un punct P al curbei σ - ε este definit ca panta tangentei la curbă, dusă în punctul considerat. El mai este cunoscut şi sub denumirea de “modul tangent“ şi îl vom nota cu EtP. Valoarea sa în punctul P va fi deci [5], [7]:

EtP = dσ/dε |P. (6.18)

O valoare aproximativă a acestui modul se obţine folosind expresia:

Et = ∆σ/∆ε . (6.19)


253 Potrivit relaţiei (6.19) valoarea modulului de elasticitate din punctul P este panta dreptei dusă cu linie întreruptă în figura 6.7.

Modulul de elasticitate mai poate fi definit şi în funcţie de valorile totale ale lui σ şi ε. Se obţine astfel “modulul secant” dat de expresia:

EsP = σ/ε |P . (6.20)

În urma determinării experimentale a deformaţiilor specifice transversale εt se poate afla coeficientul de contracţie transversală (coeficientul lui Poisson):

ν = - dεt /dε =- ∆εt /∆ε . (6.21)

Matricea de rigiditate a unui element finit al cărui material are o comportare neliniară este de forma [1], [5]:

[ ] [ ] ( )[ ][ ] ,dVBDBkV

T∫ σ= (6.22)

în care matricea de elasticitate [D] este de această dată variabilă.

În cazul apariţiei deformaţiilor plastice, deformaţia totală a materialului este suma deformaţiilor elastice εeşi a celor plastice εp [1]:

ε = εe + εp . (6.23) În cazul unui procedeu incremental de aplicare a încărcării, relaţia

(6.23) devine [1]: dε = dεe + dεp . (6.24)

Trebuie menţionat faptul că incrementul deformaţiei plastice dεp depinde de starea curentă de tensiune σ, de incrementul deformaţiei dε şi de cel al tensiunii dσ:

dεp = dεp (σ, dε, dσ) . (6.25)

În cazul unei comportări elastice a materialului este valabilă relaţia [4]:

dεe = [De]-1 dσ . (6.26)

În continuare, folosind (6.24) se obţine:

dσ = [De] (dε - dεp (6.27)

Fig. 6.7 ∆εv

∆σ

1 σ

σ

εv

εsP εtP

P

∆ε

1

ε

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 254 Concentrat, relaţia (6.27) se scrie:

dσ = [Dep] dε, (6.28)

unde [Dep] reprezintă matricea de rigiditate a elementului cu comportare elasto-plastică a materialului, dată de relaţia [1], [4]:

[Dep] = [De] - [Dp] . (6.29)

Relaţia (6.29) arată că apariţia deformaţiilor plastice conduce la micşorarea capacităţii portante a structurii, deoarece se micşorează valorile elementelor din componenţa matricei elementului cu comportare elastică. Matricea elementului cu comportare elasto-plastică este obţinută cu ajutorul matricei elementului cu comportare plastică [Dp]. Această ultimă matrice se determină pe baza criteriului de plasticitate al lui Mises şi a ecuaţiilor Prandtl-Reuss, forma ei fiind prezentată în lucrarea [1].

6.2.2. Procedeul incremental în studiul comportării elasto-plastice a structurilor

Legea constitutivă a unui material aflat în domeniul elasto-plastic (dependenţa σ - ε) are forma [1]:

σ = [Dep] ε , (6.30)

în care matricea elasto-plastică [Dep] este variabilă şi se calculează pentru fiecare increment al sarcinii.

Calculul matricei elementului cu comportare elasto-plastică se efectuează la sfârşitul fiecărui increment în vederea utilizării acesteia în incrementul următor. Pentru fiecare matrice [Dep] se determină matricea de rigiditate a unui element finit, folosind relaţia [1], [2], [13], [14]:

[ ] [ ] [ ][ ] .dVBDBk epT

V∫= (6.31)

Procedeul prezintă dezavantajul calculării matricelor elementului cu comportare elasto-plastice şi a celor de rigiditate pentru fiecare increment.

Pentru stabilirea numărului de incremente necesare obţinerii unei soluţii cât mai precise se alege la început un număr redus de incremente, se determină soluţia, după care numărul incrementelor este mărit. Se compară cele două soluţii obţinute iar în funcţie de rezultate se măreşte sau nu numărul de incremente.


255 6.2.3 Procedeul iterativ în studiul comportării elasto-plastice a structurilor

Procedeul iterativ se utilizează de obicei cu teoria deformaţiilor plastice. Întrucât matricea de rigiditate a structurii se modifică după fiecare pas, se impune determinarea matricelor de rigiditate ale elementelor finite din componenţa modelului de calcul, de asemenea după fiecare pas. In calcule va fi folosit modulul de elasticitate secant, EsP. La fiecare iteraţie se aplică sarcina totală R, deci:

R = [ki] ui, (6.32)

Procesul iterativ se repetă până când corecţiile deplasărilor devin nesemnificative.

Fiecare pas realizează de fapt un calcul liniar al structurii supuse întregii sarcini, deşi se foloseşte o relaţie neliniară pentru calculul modulului secant.

Acest procedeu duce la modificări neînsemnate ale unor programe cu elemente

finite sau cu metoda deplasărilor, elaborate în vederea analizei structurilor aflate în domeniul liniar elastic, modificări necesare obţinerii unor programe destinate analizei neliniare a structurilor [6], [7], [8], [12]. Schema de calcul a acestui procedeu este prezentată în figura 6.8. 6.2.4. Procedeul tensiunii iniţiale aplicat în studiul comportării elasto-plastice a structurilor

Este o alternativă a procedeului deformaţiei iniţiale prezentat în lucrările [1], [13], [14], care nu asigură convergenţa soluţiei în cazul deplasărilor plastice mari.

Procedeul se aplică în cazul unei comportări ideal plastice a materialului, cum este cazul unui oţel cu conţinut mic de carbon, la care palierul de curgere este mare. In aceste condiţii o creştere a deformaţiei duce la o valoare unică a tensiunii (fig. 6.9).

Fig. 6.8 u

R

u1 u2

1 k1 1

k2

u4 u3

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 256 Procedeul are la bază metoda mixtă potrivit căreia matricea de

rigiditate a unui element finit este modificată pentru fiecare increment, dar rămâne aceeaşi pentru toate iteraţiile realizate la acelaşi increment.

Pentru un increment i al sarcinii şi pentru un ciclu j al iteraţiei din cadrul incrementului i, vom avea [1], [4]: [k] ∆ui

(j) = ∆Ri + ∆Rc, i(j),

j = 0, 1, 2, … , n (6.33) în care ∆Rc, i

(0) = 0.

Pentru iteraţia j=0 se aplică sarcina ∆Ri şi se determină creşterile deplasărilor ∆ui

(j), ale deformaţiilor specifice ∆εi(j) şi ale tensiunilor ∆σi

(j).

Datorită neliniarităţii materialului incrementul (creşterea) tensiunii nu va fi cel corect, necesar realizării echilibrului sarcinilor ∆Ri. Dacă se notează cu ∆σc, i incrementul corect, diferenţa dintre tensiunea calculată şi cea corectă va fi interpretată ca “tensiune iniţială” şi va fi folosită pentru calculul sarcinii de corecţie [1]:

[ ] ( ) .dVBR i,c)j(

i

T

v

)j(i,c σ∆−σ∆=∆ ∫+1 (6.34)

Procesul continuă până când sarcina de corecţie devine foarte mică. Procedeul tensiunii iniţiale poate fi folosit pentru fiecare increment

∆σc,i, aplicându-se relaţiei generale ce descrie comportarea elasto-plastică a materialului [1]:

∆σc, i = [Dep] ∆εi(j) . (6.35)

6.3 Calculul structurilor cu neliniaritate geometrică

Structurile cu deplasări mari sunt cunoscute şi sub denumirea de structuri cu neliniaritate geometrică. Aceste structuri sunt studiate ţinând seamă de următoarele ipoteze [1], [11]:

!"este valabilă legea lui Hooke;

!"deformaţiile sunt mici, structurile aflându-se în domeniul elastic;

Fig. 6.9 ε

σ

∆σ

∆ε


257 !"deplasările sunt mari, comparabile ca ordin de mărime cu dimensiunile

structurii. Prin urmare, în procesul de deformaţie configuraţia iniţială a structurii

se modifică considerabil, deci ecuaţiile de echilibru scrise pentru sistemul deformat vor lua în considerare şi deplasările structurii. Înseamnă că eforturile depind de deplasări iar principiul suprapunerii efectelor nu mai este valabil.

O atenţie deosebită trebuie acordată stabilirii legilor de variaţie, a intensităţii, direcţiilor şi punctelor de aplicare a sarcinilor, precum şi a legăturilor structurii.

Cele trei moduri de rezemare ale barei din figura 6.10 sunt echivalente pentru deplasări mici, însă complet diferite pentru deplasări mari [1].

Se consideră două stări succesive ale unei bare drepte din componenţa unei structuri plane formată din bare articulate, structură aflată sub acţiunea unui anumit sistem de încărcare (fig. 6.11). Fiecare nod al structurii are câte două grade de libertate reprezentate de deplasările u şi v. Bara este raportată la două sisteme de axe: sistemul de axe global XOY şi sistemul de axe local x1y.

Parametrul care defineşte modificarea geometriei sistemului considerat este unghiul ∆θ, care măsoară variaţia direcţiei sistemului local de axe.

Între deplasările raportate la cele două sisteme de axe există legătura [1], [4], [5]: u = [L]T u , (6.36)

L

Fig. 6.10

P P P

L L

Fig. 6.11

X

Y x

v1

u1 θ

θ+∆θ

1

y

y

O

v2

u2

2 x

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 258 în care u reprezintă vectorul deplasărilor nodale raportate la sistemul global de axe, u acelaşi vector dar raportat la sistemul local iar [L] matricea de transformare a coordonatelor ce are proprietatea [L]-1 =[L]T. Matricea de rigiditate a unui element finit raportată la sistemul global de axe va fi [1]:

[k] = [L]T [ ]k [L] (6.37)

unde [ ]k este matricea de rigiditate a unui element finit raportată la sistemul local de axe [1]. Între forţele nodale raportate la cele două sisteme există o relaţie asemănătoare cu (6.36):

R = [L]T R . (6.38)

În cazul deplasărilor mari, cosinusurile directoare din matricea [L] se modifică substanţial, depinzând de deplasarea structurii:

[L]=[L(u)] . (6.39)

De aceea, matricea de rigiditate a unui element finit devine neliniară în coordonate globale, modificându-se permanent din cauza matricei [L].

6.3.1 Procedeul incremental în calculul structurilor cu deplasări mari Pentru un increment ∆R al sarcinii aplicate, relaţia (6.38) devine [1], [2], [13], [14]:

R + ∆R = ( [L]T + [∆L]T) ( R + R∆ ) , (6.40)

în care R, R şi [L] sunt cunoscute la începutul fiecărui increment.

După efectuarea calculelor din relaţia (6.40) se obţine [1]:

R + ∆R = [L]T R + [L]T R∆ + [∆L]T R + [∆L]T R∆ , (6.41)

în care termenul ultim poate fi neglijat ca infinit mic de ordin superior.

Ţinând seamă de relaţia (6.38) se obţine:

∆R = [L]T R∆ +[∆L]T R , (6.42)

în care primul termen din membrul al doilea reprezintă vectorul încărcării în coordonate globale.


259 Rezultă deci:

∆R = [k] [∆u] +[∆L]T R , (6.43)

în care ultimul termen din membrul al doilea reprezintă efectul schimbării geometriei, termen ce poate fi scris şi astfel [1]:

[ ] [ ] ∑=

∆=∆n

iii

T ,LRRL1

(6.44)

unde [∆L]i este coloana i din matricea [∆L]T.

Asemănător formei diferenţiale

,duuLdL i

i ∂∂= (6.45)

se poate scrie şi incrementul coloanei i a matricei [∆L]T [1], [4]:

u]G[uuL

uuLLu

uLL i

n

iiiii ∆=∆

∂∂⋅⋅⋅

∂∂∂∂=∆

∂∂=∆

21

(6.46)

Matricea [Gi] este simetrică.

Relaţia (6.43) devine [1], [4]:

[ ] [ ] ,RuGRukn

iii ∆+∆

+∆ ∑

=1 (6.47)

în care [ ] ∑=

=n

iiig ]G[Rk

1 (6.48)

se numeşte matrice de rigiditate geometrică. Relaţia (6.47) devine:

([k] + [kg]) ∆u = ∆R) (6.49)

având forma incrementală [ ] [ ]( ) iiig Rukk ∆=∆+

−1, (6.50)

indicele i - 1 arătând că matricele de rigiditate se determină pe starea de deplasare de la începutul incrementului.

Matricea de rigiditate geometrică conţine contribuţia termenilor iR ai sarcinii la începutul incrementului. De aceea se numeşte şi matricea tensiunilor iniţiale.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 260 În concluzie, utilizarea metodei incrementale pentru probleme cu deplasări mari necesită un efort mai mare de calcul decât cel depus în rezolvarea unei probleme liniare, deoarece la fiecare increment trebuie calculate două matrice de rigiditate, cea propriu-zisă şi cea geometrică.

Recalcularea matricei [k] necesită însă un efort minim deoarece în expresia ei de calcul se modifică doar matricea de transformare [L].

6.3.2 Procedeul iterativ în calculul structurilor cu deplasări mari Procedeul iterativ este mult mai simplu de aplicat decât cel incremental. Se aplică întreaga sarcină şi cu deplasarea obţinută se fac, la fiecare pas, corecţii ale coordonatelor nodurilor structurii. Noua configuraţie geometrică se foloseşte pentru a recalcula matricele de rigiditate şi sarcinile, deci pentru fiecare pas se consideră o comportare liniară a structurii. Dacă deformaţiile sunt mici, ecuaţiile ce stau la baza procedeului iterativ sunt [1]:

[ki -1] ui = R i -1 (6.51)

R i -1 = [L i -1]T R (6.52)

[k i -1] = [L i –1]T [ ]k [L i –1] (6.53)

Procesul de calcul continuă până când deplasările nu se modifică semnificativ între două iteraţii succesive. Dezavantajele acestui procedeu:

- nu oferă informaţii privind stările intermediare al structurii; - nu poate fi considerat decât un singur caz de încărcare.

In anexa II sunt prezentate programe pentru calcul liniar şi neliniar cu elemente finite al unor structuri axial simetrice cu neliniaritate geometrică.

BIBLIOGRAFIE

1. Constantinescu, I. N., Cizmaş, P., Ionescu, B. - Metoda elementelor

finite - Aplicaţii în mecanica solidului deformabil, U. P. B., 1991 2. Bănuţ, V. - Calculul neliniar al structurilor, Editura Tehnică, Bucureşti, 1981

3. Olszak, W, s. a., -Teoria plasticităţii, Bucureşti, Editura Tehnică, 1970


261 4. Desai, A., Abel J. F. - Introduction to the Finite Element Method – A

Numerical Method for Engineering Analysis, New York, Van Nostrand Co., 1972

5. Bathe, K. L., s. a. - Static and Dynamic Geometric and Material Nonlinear Analysis, Berkeley, University of California, 1974

6. Bathe, K. J. - Structural Analysis Program for Static and Dynamic Response of Nonlinear Systems (NONSAP), Berkeley, University of California, 1974

7. Ponomariov, S. D., s. a. - Calculul de rezistenţă în Construcţia de maşini, Vol. I şi II, Bucureşti, Editura Tehnică, 1963

8. Biron, A., Sawczuk - A. Plastic Analysis of Rib - Reinforced Cylindrical Shells, Journal of Applied Mechanics, March, 1967

9. Harkegard, G., Larsson, S. G. - On the Finite Element Analysis of Elastic - Plastic Structures under Plane Strain Condition, Hallfasthetslara KTH, Publikation 177, 1972

10. Munteanu, M. - Asupra comportării îmbinării bolţ-ochi la încărcări care depăşesc limita de elasticitate, In: St. cerc. mec. apl., Vol. 36, nr.6, 1977

11. Munteanu, M., Chelu, C. - Studiul deplasărilor mari la membrane axial - simetrice, In: PRASIC '82, Mecanisme şi organe de maşini, Braşov, Noiembrie, 1982

12. Hadăr, A., Constantinescu, I. N., Pastramă, Şt. - Structuri axial simetrice cu neliniaritate geometrică, CAD - Revistă de proiectare asistată de calculator, Bucureşti, nr. 26, octombrie 1993

13. Gheorghiu, H., Hadăr, A., Constantin., N. - Analiza structurilor din materiale izotrope şi anizotrope, Editura Printech, Bucureşti, 1998

14. Gheorghiu, H., Constantinescu, I., Hadăr, A., Petre, C. - Methodes numeriques pour le calcul des structures de resistance, Editura Bren, Bucureşti, 1999


7 CALCULUL PRIN METODA ELEMENTELOR

FINITE AL STRUCTURILOR DIN MATERIALE COMPOZITE STRATIFICATE

Efectuarea unor calcule de rezistenţă pentru structurile realizate din materiale compozite, în vederea stabilirii stării de tensiuni şi deformaţii, reprezintă una dintre principalele probleme cu care se confruntă cercetătorii în domeniu. Utilizând avantajele metodelor numerice de calcul se pot obţine rapid şi corect soluţiile căutate, pentru probleme variate şi de o mare importanţă practică. Cea mai utilizată metodă de calcul numeric al structurilor realizate din materiale compozite este metoda elementelor finite. In acest sens, literatura de specialitate se îmbogăţeşte permanent cu noi tipuri de elemente finite destinate analizei structurilor realizate din materiale compozite, dar mai ales cu elemente finite capabile să modeleze structuri din materiale compozite stratificate şi armate cu fibre continue.

Majoritatea elementelor finite specializate apărute în acest domeniu, permit efectuarea unei analize globale a structurilor, elementele finite având grosimea egală cu cea a compozitului din care este realizată structura analizată [1], [2], [3], [4], [5]. Cu asemenea elemente finite se pot obţine informaţii referitoare la starea de tensiuni şi deformaţii din fiecare lamină ce intră în componenţa structurii. La nivelul fiecărei lamine sunt aplicate apoi, criterii de rupere adecvate, în vederea stabilirii valorilor tensiunilor echivalente şi a verificării structurii. Elementele finite de acest tip nu pot contribui la identificarea deteriorărilor compozitului.

Matricea de elasticitate utilizată în calculul matricei de rigiditate a unor asemenea elemente finite, conţine caracteristicile elastice echivalente ale întregului material compozit obţinute pe baza teoriilor stratificatelor [6]. In ultimii ani a apărut o categorie mai aparte de elemente finite, având grosimea egală cu cea a compozitului structurii şi fiind obţinute prin

Calculul structurilor din materiale compozite stratificate

263 condensare. Ele sunt cunoscute sub denumirea de superelemente [7], [8], [9]. Asemenea elemente finite sunt conţinute şi în bibliotecile programelor de firmă [36 ], [37].

Cu ajutorul rezultatelor furnizate de programele realizate cu aceste elemente este dificilă, uneori chiar imposibilă, studierea deteriorărilor structurii şi aplicarea unor criterii de cedare a materialului compozit, aceasta din cauza modului de obţinere a matricei de rigiditate a unui element. Este imposibilă analiza cedării prin delaminare a materialului compozit, întrucât programele nu pot calcula tensiunile interlaminare. In general, analiza unei structuri cu aceste elemente finite, existente în special în cadrul programelor complexe de calcul, se efectuează rapid, volumul datelor de intrare este relativ scăzut, dar informaţiile furnizate sunt de foarte multe ori insuficiente, mai ales atunci când se doreşte studiul micromecanic la nivelul laminelor compozitului, în vederea analizării deteriorărilor materialului. Multitudinea de elemente finite specializate propuse în ultimul timp [10], [11], [12], [13], [34], [35], arată că programele complexe de calcul nu satisfac cerinţele cercetătorilor în domeniu, cu precădere acum când, analiza la nivel laminar şi interlaminar a unui material compozit în vederea evidenţierii deteriorărilor structurii reprezintă una dintre principalele preocupări ale acestora. Matricea de rigiditate a unui element finit pentru analiza structurilor realizate din materiale compozite stratificate şi armate cu fibre se determină prin mai multe metode care folosesc în principiu următoarele căi:

a) pornind de la ecuaţiile generale ale teoriei elasticităţii (metoda clasică);

b) cu ajutorul calculului variaţional; c) prin intermediul formulării Lagrange totală; d) cu teoriile de deplasare şi cu teoriile mixte (teorii în tensiuni).

7.1. Deducerea matricei de rigiditate a unui element finit compozit pornind de la ecuaţiile generale ale teoriei elasticităţii mediului anizotrop

În cele ce urmează este prezentat un element finit tridimensional,

relativ simplu, destinat analizei stărilor locale şi globale din structurile realizate din materiale compozite stratificate şi armate cu fibre continue. Elementul finit are opt noduri, fiind un hexaedru cu baza un patrulater oarecare, având grosimea egală cu cea a unei singure lamine din componenţa materialului compozit.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 264 Calculul matricei de rigiditate a acestui element se va efectua pornind de la ecuaţiile generale ale teoriei elasticităţii mediului anizotrop şi va necesita parcurgerea aceloraşi etape ca şi la obţinerea elementelor finite destinate structurilor din materiale clasice.

Cu ajutorul acestui element finit şi a unui program creat cu un asemenea element, pot fi realizate următoarele: !"determinarea stărilor de deplasări şi tensiuni din fiecare lamină a

compozitului; !"depistarea tipului de deteriorare apărută (ruperea fibrelor, ruperea

matricei sau delaminarea compozitului); !"efectuarea unor analize postcritice în vederea stabilirii capacităţii

portante a structurii, în prezenţa diverselor deteriorări apărute; !"urmărirea modului de propagare a deteriorărilor până la cedarea totală a

structurii. 7.1.1 Generalităţi. Ipoteze de calcul Elementul finit tridimensional ce va fi prezentat în cele ce urmează, este destinat analizei structurilor de tip placă, realizate din materiale compozite stratificate şi armate cu fibre. Solicitările considerate sunt forţe concentrate în noduri, orientate pe cele trei direcţii ale sistemului global de axe Oxyz. Fiecare lamină (strat) reprezintă un compozit armat unidirecţional, iar direcţia de armare este caracterizată prin unghiul θ pe care fibrele îl fac cu axa Ox. Global, stratificatul este caracterizat prin unghiurile de orientare a fibrelor [θ1, θ2,...,θn], n fiind numărul de lamine conţinute de stratificat.

t

Ο1

Ο2

Οn

z

z

Ο

x

fibra

l

y

Fig. 7.1 De obicei, în practică, dispunerea straturilor este simetrică (simetrie

tip oglindă), adică lamine identice (inclusiv prin unghiul de orientare a fibrelor) se regăsesc la distanţe egale faţă de un plan median, situat la mijlocul stratificatului. Pentru această categorie de materiale compozite


265 stratificate şi armate cu fibre, sistemul de axe global Oxyz este situat în planul median, aşa cum se vede în figura 7.1. In cazul stratificatelor nesimetrice, sistemul de axe global poate fi ales oriunde.

Pentru lamine, sistemul de axe local Oltz este ales astfel încât axa Ol să fie pe direcţia fibrelor de armare, axa Ot perpendiculară pe axa Ol şi în planul laminei, iar axa Oz pe direcţia normalei la planul laminei. Axa Oz este comună celor două sisteme de axe. Ipotezele referitoare la material, luate în considerare în metodologia de calcul a matricei de rigiditate a elementului finit sunt următoarele: - fiecare lamină se modelează sub forma unui mediu continuu, liniar

elastic; - laminele aflate în componenţa stratificatelor sunt ortotrope, paralele şi

perfect lipite unele de altele; - fibrele nu se examinează izolat de matrice şi nici stratul de adeziv

(efectele de interfaţă se neglijează); - până la delaminare, îmbinările se consideră ideale. 7.1.2 Matricea de elasticitate a unei lamine

Pentru o lamină, relaţia între tensiuni şi deformaţii specifice are forma [6], [14], [15], [16], [17], [18], [19]:

[ ] ,S σ⋅=ε (7.1) unde: !" [ ] ,T

ltzltzztl γγγεεε=ε reprezintă vectorul deformaţiilor specifice ale laminei, în coordonate locale;

!"[ ]S este matricea complianţelor raportată la sistemul de coordonate

local, având forma [13], [16], [20], [21]:

[ ] ;

GG

GEEE

EEEEEE

S

lt

lt

tz

tttzllt

ttztllt

lltlltl

ν−ν−ν−ν−ν−ν−

=

−

−

−

−−−

−−−

−−−

1

1

1

111

111

111

000000000000000000000000

(7.2)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 266 !" [ ] ,T

ltzltzztl τττσσσ=σ reprezintă vectorul tensiunilor unei lamine, în coordonate locale, ale cărui componente se pot vedea reprezentate în figura 7.2.

Deoarece ,E,Gtz

ttz ν+

=1

50 rezultă că rămân cinci constante elastice

independente pentru caracterizarea elastică a unei lamine (material ortotrop cu izotropie transversală):

- El - modulul de elasticitate longitudinal al laminei, pe direcţia fibrelor de armare;

- Et - modulul de elasticitate transversal al laminei, pe direcţie normală pe cea a fibrelor;

- Glt - modulul de forfecare al laminei; - νlt - coeficientul lui Poisson în planul Olt; - νtz - coeficientul lui Poisson în planul Otz.

Aceste cinci constante elastice sunt determinate experimental sau analitic (regula amestecului) şi sunt date de intrare pentru programele cu elemente finite.

lσ

z

tz

ο

τzlτ

tl

τlt

x

tσztτ

t

y

τzσ lzτ

lz

Fig. 7.2

Prin inversarea relaţiei (7.1) se obţine:

[ ] ,D ε⋅=σ (7.3)

unde [ ]D este matricea de elasticitate a unei lamine, raportată la sistemul de coordonate local. Matricea de elasticitate în coordonate locale este obţinută prin particularizarea formei generale a matricei de elasticitate a unui material ortotrop (relaţiile 2.8 şi 2.9). Forma acestei matrice este [6], [10], [13], [16]:


267

[ ] .

dd

dddddddddd

D

=

66

55

44

332313

232212

131211

000000000000000000000000

(7.4)

Indicii 1, 2 şi 3 ai axelor de ortotropie au fost înlocuiţi cu l, t şi z, care reprezintă direcţiile axelor sistemului local al laminei. După efectuarea calculelor se obţine [10], [13], [16], [20]:

( )

( )

( ) .EEunde

;Gdd;Gd

;EE

Ed;

Edd

;EE

Edd;

Ed

l

ttzlttz

lttz

l

tlttzt

lttzt

l

tltt

tzl

ν+ν−ν−=∆

===∆

ν+ν

=∆

νν+==

∆

ν−

==∆

ν−=

121

1

11

22

665544

2

231312

2

3322

2

11

(7.5)

Raportată la sistemul de coordonate global Oxyz relaţia (7.3) devine: [ ] ε=σ D (7.6)

Dezvoltată, relaţia (7.6) are forma [16]:

.

dddddddd

dddddddddddd

xy

zx

yz

z

y

x

''''

''

''

''''

''''

''''

xy

zx

yz

z

y

x

γγγεεε

⋅

=

τττσσσ

66362616

5545

4544

36332313

26232212

16131211

0000000000

000000

(7.7)

Pentru calculul matricei de rigiditate a unui element finit este necesară cunoaşterea matricei de elasticitate raportată la sistemul global de axe. Componentele matricei de elasticitate [D], raportată la sistemul de coordonate global, se obţin folosind matricea de transformare (matricea de rotire) [T], dintre cele două sisteme de axe [10], [16], [22]:

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 268 [ ] [ ] [ ][ ] ,TDTD T11 −−= (7.8)

unde:

[ ] ,

ccscscssc

cscscssc

T

−−

−

−

=

120002200000000000100

000000

2

22

22

(7.9)

unde: c = cosθ, s = sinθ 7.1.3 Definirea tipului de element finit Scopul elaborării acestui tip de element finit este studierea stărilor locale de deplasări şi tensiuni din structurile realizate din materiale compozite stratificate şi armate cu fibre continue. Cu ajutorul acestui element finit vor putea fi depistate deteriorările apărute în plăcile realizate din asemenea materiale. Elementul finit este tridimensional, de grosime constantă, egală cu cea a unei lamine din componenţa plăcii compozite [16]. Structura se va discretiza cu straturi de elemente finite, numărul straturilor fiind egal cu cel al laminelor stratificatului (fig. 7.3).

In acest mod, se ajunge la o discretizare foarte fină ce va permite determinarea stărilor de deplasări şi tensiuni din materialul structurii. In cazul structurilor mari, pentru a nu se ajunge în urma discretizării la un număr foarte mare de elemente finite, se impune ca discretizarea să se facă numai local cu elementul finit care se prezintă în acest capitol şi cu elemente finite de alte tipuri pentru ansamblul structurii (substructurare).

Acest element se va folosi mai ales în zonele cu concentratori mecanici şi geometrici, sau în zonele cu gradienţi mari de tensiune. De asemenea, poate fi utilizat şi pentru analiza globală şi locală a unor structuri de dimensiuni mai mici, ori cu o complexitate medie.

Fig. 7.3


269 Elementul finit permite efectuarea unui calcul postcritic al structurilor în care au apărut deteriorări, atât în vederea stabilirii capacităţii portante a structurii, cât şi pentru urmărirea modului în care se comportă materialul cu deteriorări (propagarea deteriorărilor). Elementul finit tridimensional pentru care se prezintă metodologia de calcul a matricei de rigiditate este reprezentat în figura 7.4, a. Acesta are opt noduri, trei grade de libertate pe nod (trei translaţii) şi este raportat la sistemul de coordonate natural Oξηζ .

Faţă de sistemul natural de coordonate, elementul devine un cub având dimensiunile pe cele trei direcţii, cuprinse între -1 şi 1 (fig. 7.4, b). Este un element izoparametric, deci sunt utilizate aceleaşi funcţii de interpolare atât pentru aproximarea câmpului deplasărilor cât şi pentru descrierea geometriei elementului.

5

6

2

3

7

4

8

1

fata 4fata 6

fata 3fata 5fata 2

fata 1

4

3 2

6

1

58

7 ξ

ηζ

(-1,1,1)

(-1,-1,1)

(-1,-1,-1)

(-1,1,-1)

(1,-1,-1)

(1,1,-1)

(1,-1,1)

(1,1,1)

a) b)

2 ∆z

ζ

ξ

η

fibre

z

y

x

Ο tl

Fig. 7.4 7.1.4 Aproximarea deplasărilor Vectorul deplasărilor nodale al unui element are 24 componente şi

este de forma:

81821 ,..,i,uuu

uiar,u...u,u

zi

yi

xi

iT)e( =

==δ (7.10)

unde: - uxi reprezintă deplasarea nodului i pe direcţia axei x; - uyi deplasarea nodului i pe direcţia axei y;

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 270 - uzi deplasarea nodului i pe direcţia axei z.

Deci Tzyxzyx

)e( uuu...uuu 888111=δ , toate gradele de libertate sunt deplasări pe Ox, Oy şi Oz.

Vectorul deplasărilor interioare ale elementului (vectorul câmpului deplasărilor) este aproximat cu ajutorul funcţiilor de formă Ni, i = 1,..., 8, astfel:

.uNuNuN)z,y,x(u;uNuNuN)z,y,x(u;uNuNuN)z,y,x(u

zzzz

yyyy

xxxx

882211

882211

882211

+⋅⋅⋅++≅+⋅⋅⋅++≅+⋅⋅⋅++≅

(7.11)

Sub o altă formă, relaţia de mai sus se scrie:

.uNuuuNuuuNuu)z,y,x(u

;uuNu

uuNuuuNu)z,y,x(u;uuuN

uuuNuuuN)z,y,x(u

zyx

zyxzyxz

zyx

zyxzyxy

zyx

zyxzyxx

8888

22221111

8888

22221111

8888

22221111

00

000000

000000

0000

+++⋅

⋅⋅++++++≅+++⋅

⋅⋅++++++≅+++⋅

⋅⋅++++++≅

(7.12)

Scrisă matriceal, relaţia (7.12) devine:

≅

8

8

8

1

1

1

821

821

821

000000000000000000

z

y

x

z

y

x

z

y

x

uuu

:uuu

N...NNN...NN

N...NN

)z,y,x(u)z,y,x(u)z,y,x(u

(7.13)

Condensat, ultima relaţie se scrie sub forma:

[ ] [ ] [ ][ ] )e(Tzyx ...)z,y,x(u)z,y,x(u)z,y,x(u δΦΦΦ≅=∆ 111 (7.14)

unde ∆ este vectorul câmpului deplasărilor;

[ ] 8100

0000

,..,i,N

NN

i

i

i

i =

=Φ


271 este matricea funcţiilor de formă, pentru nodul i.

7.1.5 Aproximarea geometriei

Elementul finit este izoparametric, deci atât geometria acestuia cât şi aproximarea deplasărilor interioare sunt obţinute cu ajutorul aceloraşi funcţii de formă, după cum urmează:

+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=+⋅⋅⋅++=

.zNzNzNz;yNyNyNy;xNxNxNx

882211

882211

882211

(7.15)

O altă formă a relaţiilor (7.15) este cea matriceală:

[ ] [ ] ;XNx...xxNNNx T =⋅⋅⋅= 821821 (7.16)

[ ] [ ] ;YNy...yyNNNy T =⋅⋅⋅= 821821 (7.17)

[ ] [ ] ,ZNz...zzNNNz T =⋅⋅⋅= 821821 (7.18)

unde: [N] = [ ]821 NNN ⋅⋅ , este matricea funcţiilor de formă;

X, Y şi Z - vectorii coordonatelor nodurilor elementului.

7.1.6 Deducerea matricei [B]

In cazul deformaţiilor mici, relaţiile dintre deplasări şi deformaţii specifice sunt [23]:

∂∂

+∂

∂=γ

∂∂=ε

∂∂

+∂∂

=γ∂

∂=ε

∂∂

+∂

∂=γ

∂∂

=ε

.x

uy

u;z

u

;z

ux

u;y

u

;y

uz

u;

xu

yxxy

zz

xzzx

yy

zyyz

xx

(7.19)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 272 Vectorul deformaţiilor specifice ε poate fi scris şi sub forma [24]:

[ ] ,*Buuu

xy

xz

yz

z

y

x

xu

yu

xu

zu

yu

zu

zu

yu

xu

z

y

x

yx

zx

zy

z

y

x

xy

zx

yz

z

y

x

∆=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

+∂

∂+

∂∂

∂∂++

∂∂

∂∂+

∂∂

+

∂∂++

+∂

∂+

++∂

∂

=

γγγεεε

=ε

0

0

0

00

00

00

0

0

0

00

00

00

(7.20)

unde [B*] este un operator ce acţionează asupra funcţiilor de formă Ni .

Înlocuind în ultima relaţie pe ∆ cu expresia (7.14) se obţine o relaţie ce conduce la identificarea matricei [B], matrice cunoscută sub denumirea de matrice a derivatelor funcţiilor de formă, principala matrice necesară în calculul matricei de rigiditate a unui element [24]:

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=ε

8

8

8

1

1

1

821

821

821

000000000000000000

0

0

0

00

00

00

z

y

x

z

y

x

uuu:

uuu

NNNNNN

NNN

xy

xz

yz

z

y

x

(7.21)

După efectuarea calculelor se obţine:


273

)e(

xN

yN

..x

Ny

Nx

Ny

Nx

Nz

N..

xN

zN

xN

zN

yN

zN

..y

Nz

Ny

Nz

Nz

N..

zN

zN

yN

..y

Ny

Nx

N..

xN

xN

δ

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=ε

000

000

000

000000

000000

000000

882211

882211

882211

821

821

821

(7.22)

Pentru un element finit, matricea [B] este, deci:

[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

000

000

000

000000

000000

000000

882211

882211

882211

821

821

821

xN

yN..

xN

yN

xN

yN

xN

zN..

xN

zN

xN

zN

yN

zN..

yN

zN

yN

zN

zN..

zN

zN

yN..

yN

yN

xN..

xN

xN

B

(7.23)

Condensat, relaţia (7.22) se scrie:

[ ] [ ][ ][ ][ ] ;BBBB )e()e( δ=δ=ε 821 (7.24)


[ ]

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

0

0

0

00

00

00

xN

yN

xN

zN

yN

zN

zN

yN

xN

B

ii

ii

ii

i

i

i

i , i = 1, 2, ..., 8; (7.25)

unde [Bi] reprezintă matricea derivatelor funcţiilor de formă în nodul i.

7.1.7 Stabilirea funcţiilor de formă Funcţiile de formă Ni, i = 1, 2,....,8, folosite pentru aproximarea câmpului deplasărilor şi pentru descrierea geometriei elementului şi a structurii, sunt funcţii tridimensionale liniare şi sunt exprimate în funcţie de coordonatele naturale ξ, η şi ζ.

Pentru elementul finit prezentat, funcţiile de formă sunt [16]:

( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( ) ( )( )( ) ./N;/N

;/N;/N;/N/N;/N;/N

81118111811181118111811181118111

84

73

62

51

ζ−η−ξ−=ζ+η−ξ−=ζ−η+ξ−=ζ+η+ξ−=ζ−η+ξ+=ζ+η+ξ+=ζ−η−ξ+=ζ+η−ξ+=

(7.26)

Funcţiile de formă Ni verifică proprietăţile cunoscute în metoda elementelor finite, fiind nule în afara nodului i şi egale cu unitatea în acel nod.

7.1.8 Determinarea Jacobianului Matricea de rigiditate a unui element finit se determină folosind relaţia [23], [24]:

[ ] [ ] [ ][ ] ,dVBDBkV

T∫= (7.27)


275 în care matricea [B] este dată de (7.23). Se observă că în expresia lui [B] intervin derivatele parţiale ale funcţiilor de formă în raport cu x, y şi z.

Funcţiile de formă au fost însă definite în funcţie de coordonatele naturale ξ , η şi ζ. De aceea, derivatele parţiale necesare vor fi obţinute pe cale indirectă. Între funcţiile de formă raportate la coordonatele (x, y, z) şi cele raportate la (ξ , η, ζ) există următoarele dependenţe [16]:

∂ζ∂

∂∂

=∂ζ∂

∂η∂

∂∂+

∂η∂

∂∂=

∂η∂

∂ξ∂

∂∂

+∂ξ∂

∂∂

=∂ξ

∂

.zz

NN

;yy

Nxx

NN

;yy

Nxx

NN

ii

iii

iii

(7.28)

Pornind de la definiţia unei derivate într-un punct, se poate determina expresia:

∂ς∂z ( ) ( ) ( )

( ) 21100 0

0 'z'zzzlim

zzlimz

infsup

infsup' ∆=−−

∆=ς−ς

−=

ς−ςς−ς

=ς=ς→ςς→ς

. (7.29)

In relaţiile anterioare, zsup şi zinf reprezintă coordonatele după z între care variază grosimea elementului, măsurate faţă de un plan median. Cum grosimea elementului este constantă, diferenţa celor două coordonate este chiar grosimea ∆z’ a elementului finit, egală cu cea a unei lamine. S-a luat în considerare şi faptul că ζ variază între -1 şi 1. Prin urmare

,zz

Nzz

NN iii ∆∂

∂=∂ζ∂

∂∂=

∂ζ∂ (7.30)

unde ∆z reprezintă jumătatea grosimii elementului finit (laminei). Întrucât axa Oz coincide cu axa Oζ din sistemul natural de coordonate, Jacobianul transformării între cele două sisteme de axe este bidimensional. Această situaţie apare în cazul elementelor finite tridimensionale de grosime mică [24]. Scriind matriceal primele două relaţii din (7.28) se obţine [16]:

[ ]

∂∂∂

∂

=

∂∂∂

∂

∂η∂

∂η∂

∂ξ∂

∂ξ∂

=

∂η∂∂ξ

∂

yNx

N

J

yNx

N

yx

yx

N

N

i

i

i

i

i

i

(7.28’)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 276 unde [J] reprezintă jacobianul transformării.

Derivatele parţiale ale funcţiilor de formă Ni, i = 1, 2,..., 8, raportate la x şi y se obţin rezolvând sistemul de ecuaţii (7. 28’), de obicei prin inversarea matricei [J]:

[ ] .N

N

J

yNx

N

i

i

i

i

∂η∂∂ξ∂

⋅=

∂∂∂

∂−1 (7.31)

Geometria elementului a fost aproximată cu ajutorul funcţiilor de formă, astfel:

[ ] [ ] YNy;XNx ==

În aceste condiţii Jacobianul devine [16]:

[ ][ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

[ ] [ ][ ]

[ ] .

yxyxyxyx

N

N

YXN

N

YNXN

YNXN

J

∂η∂∂ξ

∂

=

∂η∂∂ξ

∂

=

∂η∂

∂η∂

∂ξ∂

∂ξ∂

=

44

33

22

11

(7.32)

Dar:

[ ]

[ ]

[ ]

[ ] .NNNN

NNNN

NNNN

NNNN

N

N

∂η∂

∂η∂

∂η∂

∂η∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

∂ξ∂

=

∂η∂

∂ξ∂

=

∂η∂∂ξ

∂

4321

4321

4321

4321

(7.33)

Efectuând derivatele funcţiilor de formă şi ţinând seamă de faptul că ζ ia valoarea 1 în nodurile 1, 2, 3, 4 respectiv valoarea -1 în nodurile 5, 6, 7, 8 se obţine [16]:

[ ]

[ ]( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) .N

N

ξ−−ξ−ξ+ξ+−η−−η+−η+η−

=

∂η∂∂ξ

∂

11111111

41 (7.34)

Introducând în relaţia (7.32) se obţine:


277

[ ] ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

ξ−−ξ−ξ+ξ+−η−−η+−η+η−

=

44

33

22

11

11111111

41

yxyxyxyx

.J (7.35)

După efectuarea calculelor matricea Jacobi devine:

[ ] ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) .

yyyyxxxxyyyyxxxx

J

−ξ−+−ξ+−ξ−+−ξ+−η++−η−−η++−η−

=43124312

32413241

11111111

41

(7.36)

Elementele matricei [J] sunt polinoame ce depind de ξ şi η, deci este dificilă obţinerea expresiei lui [J]-1. Notând [16]:

( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )4312

4312

3241

3241

11111111

yyyy)(dxxxx)(c

yyyy)(bxxxx)(a

−ξ−+−ξ+=ξ−ξ−+−ξ+=ξ−η++−η−=η−η++−η−=η

(7.37)

matricea Jacobi va avea forma:

[ ] ( ) ( )( ) ( )

ξξηη

=dcba

J (7.38)

In acest fel, derivatele parţiale ale funcţiilor de formă, raportate la x şi y vor fi aflate rezolvând sistemul [16]:

( ) ( )( ) ( )

∂∂∂

∂

ξξηη

=

∂η∂∂ξ

∂

yNx

N

dcba

N

N

i

i

i

i

(7.39)

Dezvoltat, sistemul de mai sus are forma:

( ) ( )

( ) ( )

∂η∂=

∂∂ξ+

∂∂ξ

∂ξ∂=

∂∂η+

∂∂η

.Ny

Ndx

Nc

;Ny

Nbx

Na

iii

iii

(7.40)


Rezolvând sistemul se obţin necunoscutele x

Ni

∂∂

şi :y

Ni

∂∂

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

∂ξ∂

ξ−∂η∂

η=

∂∂

∂η∂

η−∂ξ

∂ξ

=∂

∂

.Jdet

NcNa

yN

;Jdet

NbNd

xN

ii

i

ii

i

(7.41)

In soluţiile de mai sus, det [J] reprezintă determinantul Jacobianului:

[ ] )(c)(b)(d)(aJdet ξ⋅η−ξ⋅η= (7.42)

Derivatele funcţiilor de formă raportate la z se determină din (7.28):

.Nzz

N ii

∂ς∂

∆=

∂∂ 1 (7.43)

Se poate scrie acum forma finală a matricelor [Bi]:

[ ] .Naunde,

xN

yN

xN

za

yN

za

za

yN

xN

B ii

ii

ii

ii

i

i

i

i ∂ς∂

=

∂∂

∂∂

∂∂

∆

∂∂

∆

∆

∂∂

∂∂

=

0

0

0

00

00

00

(7.44)

7.1.9. Determinarea formei finale a matricei de rigiditate a elementului finit

Fiind cunoscute matricele [B] şi [D] se poate determina expresia matricei de rigiditate a elementului finit prezentat. Pentru un element de volum de formă paralelipipedică, volumul elementar este:

dV = dA dz = dx dy dz (7.45)


279 Aria elementară dA este:

dA = dx dy = det [J] dξ dη, (7.46)

unde det [J] reprezintă factorul de transformare al unei arii din sistemul cartezian xOy în cel natural definit de ξ şi η [24].

Aşa cum am menţionat se foloseşte expresia jacobianului corespunzător unei situaţii plane (în două dimensiuni), deoarece axa Oz este aceeaşi în cele două sisteme de axe (sistemul local şi sistemul global). Din relaţia (7.29) se determină dz:

dz = dζ ∆z. (7.47)

Volumul elementar devine astfel:

[ ] zdddJdetdV ∆ζηξ= (7.48)

In relaţiile de mai sus s-a ţinut din nou seamă de faptul că elementul finit are grosime mică şi constantă. Inlocuind expresia lui dV în forma generală a unei matrice de rigiditate a unui element finit (7.27), se obţine [10]:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] ζηξ∆== ∫ ∫ ∫∫− − −

dddJdetzBDBdVBDBK TT

V

)e(1

1

1

1

1

1, (7.49)

unde ∆z reprezintă, aşa cum s-a precizat, jumătate din grosimea elementului, deci jumătate din grosimea laminei.

Determinarea matricei de rigiditate a elementului finit prezentat revine la a calcula integrala triplă din relaţia (7.49), la care limitele de integrare sunt -1 şi 1, interval în care variază coordonatele naturale ξ, η şi ζ.

Folosirea sistemului natural de coordonate prezintă avantajul că permite calculul numeric al integralelor din relaţia (7.49) în condiţiile unei precizii bune.

Sistemul natural de coordonate asigură şi continuitatea între elementele finite prin care sunt modelate structurile, fapt care reprezintă un alt avantaj.

Pentru calculul efectiv al relaţiei (7.49), mai întâi se calculează transpusa matricei [B], unde [B] este dată de relaţia (7.23), în care se ia în considerare forma (7.44) a matricelor [Bi] din fiecare nod al elementului.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 280 Introducând în (7.49) matricele [B]T, matricea de elasticitate [D] raportată la sistemul global de axe (7.7) şi matricea [B], se obţine o integrală triplă dintr-un produs de trei matrice, având următoarea formă:

[ ]

T

)e(

xN

yN..

xN

yN

xN

yN

xN

za..

xN

za

xN

za

yN

za..

yN

za

yN

za

za..

za

za

yN..

yN

yN

xN..

xN

xN

. k ∫ ∫ ∫− − −

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∆∂∂

∆∂∂

∆

∂∂

∆∂∂

∆∂∂

∆

∆∆∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=1

1

882211

882211

882211

821

821

821

1

1

1

1

000

000

000

000000

000000

000000

⋅

''''

''

''

''''

''''

''''

dddddddd

dddddddddddd

66362616

5545

4544

36332313

26232212

16131211

0000000000

000000

.

[ ] ,dddJdetz

xN

yN..

xN

yN

xN

yN

xN

za..

xN

za

xN

za

yN

za..

yN

za

yN

za

za..

za

za

yN..

yN

yN

xN..

xN

xN

ζηξ∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∆∂∂

∆∂∂

∆

∂∂

∆∂∂

∆∂∂

∆

∆∆∆

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

000

000

000

000000

000000

000000

882211

882211

882211

821

821

821

(7.50)

cu .Na ii ∂ς

∂=


281 După efectuarea produsului celor trei matrice se obţine o matrice de 24×24 având elementele polinoame ce depind de coordonatele naturale ξ, η şi ζ .

Matricea de rigiditate a elementului finit tridimensional prezentat se obţine integrând numeric fiecare element al matricei obţinute după efectuarea produselor de matrice din relaţia (7.50), aşa cum rezultă din relaţia (7.51), care reprezintă forma finală a matricei de rigiditate, scrisă sub formă integrală:

[ ] =ζηξ

= ∫ ∫ ∫− − −

ddd

'k'k'k..'k'k'k'k'k'k..'k'k'k'k'k'k..'k'k'k

........

........'k'k'k..'k'k'k'k'k'k..'k'k'k'k'k'k..'k'k'k

k

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

,,,,,,

)e(1

1

1

1

1

1

242423242224324224124

242323232223323223123

242223222222322222122

243233223332313

242232222322212

241231221312111

ζηξζηξζηξζηξ




=

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫

− − −− − −− − −− − −

− − −− − −− − −− − −

− − −− − −− − −− − −

− − −− − −− − −− − −

1

1

1

1

1

12424

1

1

1

1

1

12324

1

1

1

1

1

1224

1

1

1

1

1

1124

1

1

1

1

1

12423

1

1

1

1

1

12323

1

1

1

1

1

1223

1

1

1

1

1

1123

1

1

1

1

1

1242

1

1

1

1

1

1232

1

1

1

1

1

122

1

1

1

1

1

112

1

1

1

1

1

1241

1

1

1

1

1

1231

1

1

1

1

1

121

1

1

1

1

1

111

ddd'kddd'k....ddd'kddd'k


........

........

........

........



,,,,

,,,,

,,,,

,,,,

(7.51)

In relaţiile de mai sus, expresiile k’i,j cu i = 1, 2,...., 24 şi j = 1, 2,....., 24 sunt polinoame de variabile ξ, η şi ζ. Matricea de rigiditate este o matrice simetrică.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 282 7.1.10. Calculul prin integrare numerică a matricei de rigiditate

Integralele de volum din relaţia (7.51) nu pot fi uşor calculate analitic în vederea obţinerii elementelor matricei [k]. De aceea, matricea de rigiditate a elementului finit ce se prezintă în acest capitol se obţine prin integrare numerică. Pentru a calcula integralele, trebuie să ţinem cont că k’i,j = k’i,j (ξ, η, ζ). Dintre metodele numerice de integrare cunoscute, în MEF este utilizată cel mai des metoda Gauss-Legendre. Integrarea prin metoda Gauss-Legendre se bazează pe calculul funcţiei integrate în punctele Gauss, puncte aflate în interiorul domeniului de integrare, intervalul (-1, 1).

Pentru calculul integralei (7.51) se va folosi formula de integrare Gauss-Legendre, care va fi generalizată pentru cazul tridimensional.

Aceste formule se bazează pe polinoamele ortogonale Legendre [25]:

( ) ( ) ...,,,n,xdxd

!nxP

nn

n

nn 210121 2 =

−= . (7.52)

Polinoamele Legendre Pn(x) au n rădăcini distincte cuprinse în intervalul (-1, 1). Primele cinci polinoame Legendre au forma [25]:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ).xxP

.xxxP;xxP

;xxxP;xP

1321

3303581

35211

22

2441

330

−=

+−==

−==

(7.53)

Calculul integralelor de volum (7.51) se poate efectua cu ajutorul rădăcinilor polinomului Legendre de ordinul patru, P4(x) (± 0,86113631; ± 0,33998204). Utilizarea acestor patru rădăcini prezintă avantajul asigurării unei precizii satisfăcătoare, cu un efort de calcul moderat.

Potrivit procedeului de integrare Gauss-Legendre [25]:

( ) ( )∫ ∑− =

ξ=ξ1

1 1i

n

ii 'kAdt'k , (7.54)

unde n reprezintă numărul punctelor Legendre, iar Ai sunt ponderile corespunzătoare. Ponderile Ai pentru cazul în care se utilizează polinoamele Legendre de ordinul patru sunt 0,34785484 şi 0,65214516.


283

Pentru a calcula ( )∫ ξξb

ad'k se efectuează schimbarea de variabilă:

tabab22−++=ξ , obţinându-se:

( ) .dttabab'kabd'kb

a

−++−=ξξ ∫∫

− 222

1

1 (7.55)

Aplicând relaţia (7.54) se obţine:

( ) ( )∑∫=

ξ−=ξξn

iii

b

a'kAabd'k

12, i = 1, 2,..., n. (7.56)

cu ii tabab22−++=ξ ,

Pentru a calcula integrala ( )( )

( )∫ ∫

ξ

ξηξηξ

b

a

d

c,dd,'k se notează ( ) ( )

( )

( )∫ξ

ξηηξ=ξ

d

ci d,'kF

şi se obţine: ( ) ( )( )

( ).dFdd,'k

b

a

d

c

b

a∫ ∫ ∫

ξ

ξξξ=ηξηξ (7.57)

In urma aplicării formulei (7.54) se ajunge la:

( )( )

( )( ),FAabdd,'k

n

iii

b

a

d

c∑∫ ∫

=

ξ

ξ

ξ−=ηξηξ12

(7.58)

cu ii tabab22−++=ξ , i = 1, 2,..., n şi ( ) ( )

( )

( )∫ξ

ξηηξ=ξ

d

ci d,'kF .

Aplicând şi asupra lui F(ξ) relaţia (7.54) se obţine:

( ) ( ) ( ) ( ),,'kAcdFm

jjij

iii ∑

=ηξ

ξ−ξ=ξ

12 (7.59)

cu ( ) ( ) ( ) ( ),tcdcd

jiiii

j 22ξ−ξ

+ξ+ξ

=η j = 1, 2,...., m.

Deci: ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )∑ ∑∫ ∫= =

ηξ

ξ−ξ−=ηξηξn

i

m

jjij

iii

b

a

xd

xc,'kAcdAabdd,'k

1 122. (7.60)


Pentru o integrală tridimensională de forma ( )( )

( )

( )

( )∫ ∫ ∫

ξ

ξ

ηξβ

ηξαζηξζηξ

b

a

d

c

,

,ddd,,'k

se va proceda analog. Fie, deci:

( ) ( )( )

( )ζζηξ=ηξ ∫

ηξβ

ηξαd,,'k,F

,

,jiji1 . (7.61)

Aplicând relaţia (7.54) se ajunge la:

( ) ( ) ( ) ( )∑=

ζηξηξβ−ηξα

=ηξp

kkjik

jijiji ,,,'kA

,,,F

11 2

(7.62)

cu:

( ) ( ) ( ) ( )k

jijijijik t

,,,,22

ηξβ−ηξα+

ηξβ+ηξα=ζ , k = 1, 2,...., p. (7.63)

In final se obţine:

( )( )

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ,,,'kA,,

Acd

Aab

ddd,,'k

p

kkjik

jijim

jj

iin

ii

b

a

d

c

,

,

ζηξ

ηξβ−ηξαξ−ξ−=

=ζηξζηξ

∑∑∑

∫ ∫ ∫

===

ξ

ξ

ηξβ

ηξα

111 222

cu:

ii tabab22−++=ξ , i = 1, 2,..., n;

( ) ( ) ( ) ( ) ,tcdcdj

iiiij 22

ξ−ξ+ξ+ξ=ξ j = 1, 2,...., m; (7.64)

( ) ( ) ( ) ( )

kjijijiji

k t,,,,

22ηξβ−ηξα

+ηξβ+ηξα

=ζ , k = 1, 2,...., p.

Pentru integralele de volum din relaţia (7.51) numărul de puncte Gauss este acelaşi pe toate cele trei direcţii, deci i = j = k = 4. La aceste integrale

a = -1, b = 1; c(ξ) = -1; d(ξ) = 1; α(ξ, η) = -1; β(ξ, η) = 1.


285 7.1.11. Calculul tensiunilor

Se consideră două sisteme carteziene de referinţă Oxyz şi O’x’y’z’, sistemul al doilea fiind legat de primul prin cosinuşii unghiurilor dintre axe, potrivit următoarei scheme (Tabelul 7.1):

Tabelul 7.1 Axa x y z x’ l1 m1 n1 y’ l2 m2 n2 z’ l3 m3 n3

γ

ε

γ

γ

γ

εε

α

x'y'

xy

X2

αY1

αY2

y'y

xεx'

αX1

yx

y'x'

=O

y'y

x'

x

Fig. 7.5

Pentru o mai mare claritate, în figura 7.5 a fost considerată o stare plană de deformaţii în care au fost figurate unghiurile dintre axe. Situaţii similare sunt şi în celelalte două plane. In tabelul 7.2 sunt prezentaţi cosinuşii directori pentru situaţia din figura 7.5.

Tabelul 7.2 Axa x Y z x’ l1 = cos αx1= cos α m1 = cos αy1 = sin α n1 = cos 90° = 0 y’ l2 = cos αx2= -sin α m2 = cos αy2 = cos α n2 = cos 90° = 0 z’ L3 = cos 90° = 0 m3 = cos 90° = 0 n3 = cos 0° = 1

În figura 7.6 sunt reprezentate două stări de tensiune considerate în acelaşi punct O din corpul solicitat.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 286 Prima stare de tensiune, respectiv σ = σx σy σz τyz τzx τxy T, are

componentele evaluate în sistemul de axe Oxyz, iar a doua stare de tensiune σ’ = σx’ σy’ σz’ τy’z’ τz’x’ τx’y’ T, este raportată la axele rotite O’x’y’z’. Între componentele vectorilor σ şi σ‘ există relaţia de transformare [26]: σ ‘ = [Tσ]σ (7.65)

în care [Tσ] este matricea de transformare a tensiunilor.

στ

σ

σσ

σ

σ

τ

τ

ττ

ττ

ττ

τ

τ

τx

yz

xy

zy

zx

z

xz

yx

y

y'

y'x'

x'z'

z'x'

z'y'

y'z'

x'

z'

x'y'

yy'

z z'

xx'

Matricea de transformare a tensiunilor [Tσ] este în cazul general de

forma [26]:

[ ] .

mlmlnlnlnmnmnnmmllmlmlnlnlnmnmnnmmllmlmlnlnlnmnmnnmmll

mlnlnmnmlmlnlnmnmlmlnlnmnml

T

+++++++++

=σ

122112211221212121

311331133113131313

233223322332323232

33333323

23

23

22222222

22

22

11111121

21

21

222222222

(7.66)

Fig. 7.6 x

l=x'

t=y' z=z'

y

θ b.

a.


287

In general, în cazul structurilor realizate din materiale compozite stratificate şi armate cu fibre, interesează tensiunile raportate la sistemul local de coordonate Oltz, deoarece se pot aplica mai uşor criteriile de rupere privind cedarea fibrelor, a matricei sau delaminarea.

Cunoscând unghiul θ dintre direcţia axei Ox şi cea de orientare a fibrelor (axa Ol) şi ţinând seamă de identitatea axelor normale la planul plăcii compozite (fig. 7.6, b), se poate obţine matricea de transformare a tensiunilor dintre cele două sisteme de axe. Cosinuşii directori sunt aceiaşi ca în tabelul 7.2, matricea de transformare (7.66) având în acest caz forma [10]:

[ ] ,

ccscscssc

cscscssc

T

−−

−

−

=σ

12000000000000001002000

2000

2

2

22

(7.67)

în care: c = cos θ şi s = sin θ.

Dependenţa dintre tensiunile elementului finit raportate la cele două sisteme este [16]:

.

ccscscssc

cscscssc

xy

zx

yz

z

y

x

lt

zl

tz

z

t

l

τττσσσ

−−

−

−

=

τττσσσ

12000000000000001002000

2000

2

2

22

(7.68)

Componentele vectorului tensiunilor σ = σx σy σz τyz τzx τxy T raportate la sistemul de coordonate global Oxyz se obţin, pentru fiecare element din componenţa structurii analizate, cu ajutorul relaţiei [24]:

σ(e) = [D]ε(e) = [D][B]δ(e). (7.69)

Matricea [B] este dată tot de relaţia (7.23), numai că de această dată ea este calculată numeric, atribuind variabilelor ξ, η şi ζ valori cuprinse

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 288 între [-1, 1], în funcţie de punctul în care se doreşte determinarea componentelor vectorului tensiunilor. Vectorul δ (e) este vectorul deplasărilor nodale ale elementului (e). Pentru efectuarea unui calcul de rezistenţă la nivelul laminelor, nivel la care sunt aplicate criteriile de rupere, cât şi pentru identificarea deteriorărilor apărute, sunt necesare, pentru fiecare element finit al structurii, atât tensiunile în centrele fiecărei feţe, deci la interfaţa dintre elemente, cât şi tensiunile în centrul elementelor.

La elementul finit prezentat, tensiunile pot fi calculate în centrul fiecărui element (0, 0, 0) şi în centrele celor şase feţe ale elementului, după cum urmează: faţa 1 (1, 0, 0), faţa 2 (-1, 0, 0), faţa 3 (0, 1, 0), faţa 4 (0, -1, 0), faţa 5 (0, 0, 1), faţa 6 (0, 0, -1). Elementul finit prezentat permite atât aplicarea criteriilor de rupere ale laminelor, cât şi efectuarea unei analize postcritice a compozitului structurii. Calculul postcritic începe imediat după ce s-a constatat apariţia primelor deteriorări în structura compozitului.

7.2 Deducerea prin calcul variaţional a matricei de rigiditate a unui element finit pentru analiza structurilor compozite

Elementele finite care se prezintă în acest paragraf au la bază teoriile plăcilor laminate: teoria clasică a laminatelor şi teoria de ordinul întâi de deformare a laminatelor incluzând şi efectele forfecării, prezentate în lucrarea [18]. Matricea de rigiditate a acestor elemente se obţine pornind de la ecuaţiile de echilibru ale unei plăci compozite [18], [19], [27], asupra acestora aplicându-se calculul variaţional. 7.2.1 Elemente finite bazate pe teoria clasică a laminatelor Ecuaţiile de echilibru ale unei plăci compozite (fig. 7.7), potrivit teoriei clasice a laminatelor sunt [18]:

,qyM

yxM

xM

;y

Nx

N;y

Nx

N

02

00

22

26

2

21

2

2661

=+∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂

=∂

∂+∂

∂=

∂∂

+∂

∂

(7.70)

unde (N1 , N2 , N6) şi (M1 , M2 , M6) sunt forţele şi momentele rezultante ce acţionează asupra unei plăci, ilustrate în figura 7.7 iar q este sarcina uniform


289 distribuită aplicată normal pe planul plăcii realizate din compozite stratificate armate cu fibre.

Formularea variaţională a relaţiilor de mai sus, aplicată asupra unui element de arie Ωe, duce la obţinerea relaţiilor [18]:

02

0

0

22

2

6

2

12

2

26

61

=

∂Φ∂

+Φ−

Φ+

∂Φ∂

+∂∂Φ∂

+∂

Φ∂

=ψ−

∂

∂ψ+

∂∂ψ

=ψ−

∂

∂ψ+

∂∂ψ

∫∫

∫∫

∫∫

ΓΩ

ΓΩ

ΓΩ

dsMn

VdxdyqMy

Myx

Mx

;dsNdxdyNy

Nx

;dsNdxdyNy

Nx

ee

ee

ee

ni

niiiii

insii

inii

(7.71) unde : Mn , Nn şi Nns sunt momentele şi forţele de pe conturul plăcii definite iar Vn este forţa tăietoare din teoria clasică a laminatelor [18]. Funcţiile de interpolare ψi şi Φi utilizate pentru aproximarea lui u, v şi respectiv w duc la obţinerea următoarelor relaţii de aproximare [18]:

).y,x(w;)y,x(vv;)y,x(uu j

m

jjj

n

jjj

n

jj Φ∆=ψ=ψ= ∑∑∑

=== 111 (7.72)

În relaţiile de mai sus (uj, vj) reprezintă valorile nodale ale deplasărilor iar ∆j sunt valorile nodale ale lui w şi ale derivatelor sale. Pentru aproximarea lui (u, v) se foloseşte interpolarea liniară Lagrange iar pentru cea a lui w se utilizează interpolarea cu polinoame Hermite cubice.

x2=y

x1=x x3=z

N2 N6

Q2

Q1 N6

N1

x

y

z

M6 M2

M1

Fig. 7.7


În această situaţie w are asociate şi derivatele sale yw,

xw

∂∂

∂∂ şi

yxw∂∂

∂2.

Elementul din figura 7.8, are şase grade de libertate pe nod, deci 24 pe element, fiind încadrat în clasa C1 de elemente.

Y

X a) b)

Fig. 7.8

In figura 7.8, a este reprezentat un element cu patru noduri ce utilizează polinoame Lagrange pentru interpolarea lui (u, v), iar în figura 7.8, b, un element cu patru noduri ce realizează interpolarea lui w cu polinoame Hermite cubice. Pentru fiecare element finit se obţin ecuaţiile:

)(n,...,,i,FK jj

)(n

jij α==−∆ αβ

=β

β

=

αβ∑ ∑ 2103

1 1 (7.73)

unde α = 1, 2, 3; n (1) = n (2) = 4 şi n (3) = 16. Variabilele β∆ j şi coeficienţii de rigiditate αβ

ijK sunt prezentaţi în lucrarea [18]. 7.2.2 Elemente finite bazate pe teoria de ordinul întâi de deformare a laminatelor Teoria de ordinul întâi de deformare a laminatelor include şi efectele forfecării. Ecuaţiile de echilibru ce au la bază această teorie sunt [18]:

;qy

Qx

Q

,Qy

Mx

M;y

Nx

N

;Qy

Mx

M;y

Nx

N

0

00

00

21

22626

16161

=+∂

∂+∂

∂

=−∂

∂+∂

∂=

∂∂+

∂∂

=−∂

∂+

∂∂=

∂∂

+∂

∂

(7.74)

unde Q1 şi Q2 sunt prezentate în figura 7.7


291 Câmpul deplasărilor (u, v, w, Φ1, Φ2) poate fi aproximat utilizând

funcţii de interpolare Lagrange:

).y,x(Y);y,x(X

)y,x(uw);y,x(uv);y,x(uu

j

n

jjj

n

jj

j

n

jjj

n

jjj

n

jj

ψ=Φψ=Φ

ψ=ψ=ψ=

∑∑

∑∑∑

==

===

12

12

111 (7.75)

Formularea variaţională a relaţiilor de mai sus, aplicată unui element de arie Ωe duce la obţinerea următoarelor relaţii:

.dsMdxdyQMy

Mx

;dsMdxdyQMy

Mx

;dsQdxdyqQy

Qx

;dsNdxdyNy

Nx

;dsNdxdyNy

Nx

insiii

iniii

iniii

insii

inii

ee

ee

ee

ee

ee

0

0

0

0

0

226

161

21

26

61

=ψ−

ψ+

∂∂ψ

+∂

∂ψ

=ψ−

ψ+

∂∂ψ

+∂

∂ψ

=ψ−

ψ+

∂∂ψ

+∂

∂ψ

=ψ−

∂

∂ψ+

∂∂ψ

=ψ−

∂

∂ψ+∂

∂ψ

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

∫∫

ΓΩ

ΓΩ

ΓΩ

ΓΩ

ΓΩ

(7.76)

Ecuaţiile elementului finit, obţinute în urma calculului variaţional, sunt:

52105

1 1,...,,,FK ij

n

jij =α=−∆ αβ

=β =

αβ∑∑ (7.77)

unde elementele matricei de rigiditate şi ai vectorului forţelor sunt prezentaţi în lucrarea [6].

Elementul prezentat în figura 7.9 are cinci grade de libertate pe nod şi utilizează funcţii de interpolare de acelaşi grad pentru toate componentele câmpului deplasărilor. În figura 7.9, a este reprezentat un element cu patru noduri, ce foloseşte funcţii de interpolare liniare, în timp ce elementul din figura 7.9, b are 9 noduri iar pentru aproximarea câmpului deplasărilor utilizează funcţii de tip cuadratic.


a) b)

Y

X

Fig. 7.9 Toate aceste elemente prezintă dezavantajul inconsistentei modelări a energiei de deformaţie provenită din forfecare, acest subiect fiind mult discutat în literatura de specialitate [1], [5]. 7.2.3 Elemente finite bazate pe formulări mixte

Aceste formulări includ cele două teorii prezentate anterior. Elementul finit de acest tip este bazat deci pe formularea variaţională mixtă şi este prezentat pe larg în lucrarea [18]. Fiecare dintre variabilele u, v, w, Φ1, Φ2, P1, P2, P6 sunt interpolate cu expresii de forma:

)y,x(ww;)y,x(vv;)y,x(uu j

m

jjj

n

jjj

n

jj ψ=ψ=ψ= ∑∑∑

=== 111 (7.78)

unde ψj sunt funcţiile de interpolare utilizate de Reddy în lucrarea [21].

Pentru obţinerea matricei de rigiditate a unui element finit bazat pe cele două teorii prezentate anterior, potrivit teoriei neliniare, mai întâi se vor exprima deformaţiile specifice liniare şi unghiulare cu ajutorul funcţiilor de interpolare ψj şi al deplasărilor nodale uj, vj etc.

Deformaţia specifică totală este o sumă a deformaţiilor specifice liniare şi neliniare:

ε0 = ε0L + ε0N = [HL] ∆1 + [HN] ∆2/2, (7.79)

unde [HL] şi [HN] sunt derivatele funcţiilor de formă iar ∆1 şi ∆2 reprezintă vectorii câmpului deplasărilor [18].

Aproximarea deplasărilor şi a încărcărilor se face astfel:

[ ] [ ] [ ] 5343

6

2

132

2

1 ∆=∆=

=∆=

ΦΦ

=Φ HP,HMMM

M,H (7.80)


293

unde [H2], [H3] sunt funcţii de formă iar ∆3, ∆4 şi ∆5 sunt valorile nodale ale mărimilor Φ, M şi P, [18].

Relaţia dintre forţele nodale şi deplasările nodale, pentru un element finit ce are la bază formularea mixtă, are expresia:

[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] [ ]

,

F:

FF

:k....kk................k....kkk....kk

=

∆

∆∆

5

2

1

5

2

1

555251

252221

151211

(7.81)

unde elementele matricei de rigiditate sunt prezentate în lucrarea [18]. Matricea de rigiditate nu este simetrică în problemelor neliniare. La nivelul întregii structuri, există o relaţie asemănătoare cu (7.81):

[K(∆)] ∆ = F, (7.82)

unde: [K(∆)] este matricea de rigiditate globală a structurii obţinută în

urma asamblării, matrice nesimetrică,

∆ - vectorul deplasărilor nodurilor structurii iar

F- vectorul forţelor nodale. Deoarece, matricea de rigiditate este o funcţie neliniară de necunoscutele problemei ∆, rezolvarea ecuaţiei de mai sus se face iterativ. Frecvent se utilizează două metode: Picard şi Newton-Raphson. Potrivit metodei Newton-Raphson, încărcarea P a structurii este împărţită într-un şir succesiv de încărcări ∆P1, ∆P2,...., ∆Pn, astfel încât:

∑=

∆=n

jjPP

1 (7.83)

La fiecare pas de încărcare, ecuaţia (7.82) este rezolvată iterativ pentru obţinerea soluţiei. După a r-a iteraţie, soluţia pentru următoarea iteraţie se obţine rezolvând ecuaţia:

[KT(∆)] δ∆r+1 = - R = - [K(∆r)] ∆r + F (7.84)

pentru un increment al soluţiei δ∆r+1, deci ∆r+1 = ∆r +δ∆r+1, unde [KT] este specificată în lucrarea [18]. Elementele finite obţinute prin calcul variaţional şi prezentate mai sus, pot fi utilizate pentru o mare varietate de structuri din compozite stratificate armate cu fibre continue.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 294 7.3 Element finit de tip înveliş degenerat dintr-un element tridimensional, bazat pe formularea Lagrange totală

Acest element finit are la bază ecuaţiile incrementale ale mişcării [18] şi foloseşte aceleaşi funcţii de interpolare atât pentru aproximarea deplasărilor, cât şi pentru descrierea geometriei, fiind deci un element izoparametric, asigurându-se astfel compatibilitatea deplasărilor de-a lungul frontierelor elementelor.

Fig. 7.10 În figura 7.10 se prezintă un element finit de placă, destinat

structurilor din compozite stratificate armate cu fibre continue. Fie ξ şi η două coordonate curbilinii în planul mediu al învelişului

şi ζ o coordonată liniară pe direcţia grosimii învelişului. Aceste coordonate variază între -1 şi 1.

Pentru un punct oarecare al unui element, coordonatele acestuia sunt date de relaţia:

( ) ( ) ( ) ,xx,xn

kjos

kisus

kiki ∑

=

ξ−+ξ+ηξψ=

1 21

21 (7.85)

unde n este numărul nodului iar ψk (ξ, η) reprezintă funcţiile de interpolare ale elementului.

Elementul prezentat este obţinut pe baza următoarelor ipoteze:

!"linia normală dreaptă pe mijlocul suprafeţei înainte de deformare, rămâne dreaptă, dar nu neapărat normală după deformare;

!"tensiunile normale pe direcţie transversală sunt neglijate.


295 Matricea de rigiditate pentru o lamină a unui înveliş compozit stratificat armat cu fibre, în sistemul local de coordonate este de forma:

[ ]

=

5545

4544

332313

232212

131211

000000

000000

kkkk

kkkkkkkkk

k k.lam (7.86)

expresiile elementelor matricei de rigiditate fiind date în [18]. Jacobianul transformării între cele două sisteme de axe, local şi global, este o funcţie de coordonatele ξ, η şi ζ, dar termenii în ζ pot fi neglijaţi din cauza grosimii foarte mici a elementului (grosimea laminei), astfel încât se poate spune că elementul degenerează în 2-D, asemănător elementului finit prezentat la începutul capitolului.

7.4 Element finit triunghiular obţinut pe baza teoriilor de deplasare şi a celor mixte

Teoria plăcilor stabileşte pe baza unor ipoteze de calcul, distribuţia tensiunilor şi a deformaţiilor pe grosimea lor, astfel încât modelarea plăcii în două dimensiuni, poate fi considerată ca acceptabilă. Mai multe studii analitice şi experimentale au arătat necesitatea includerii efectelor forfecării la analiza încovoierii plăcilor din materiale compozite. Teoriile referitoare la plăcile din materiale compozite, apărute in ultimii ani, pot fi clasificate în două grupe: teorii de deplasare şi teorii mixte (teorii în tensiuni). Teoriile de deplasare, aşa cum consideră Hencky, Uflyand şi Mindlin (HUM) au la bază ipoteza lui Kirchhoff, includ efectul forţelor tăietoare, dar nu conduc la o determinare directă a tensiunilor datorate forfecării, chiar şi pentru materiale izotrope şi omogene. Pe baza teoriilor amintite se obţine o variaţie liniară a tensiunilor pe grosime, în timp ce ecuaţiile de echilibru în 3D conduc la o variaţie cuadratrică a tensiunilor de-a lungul axei z (pe grosime), având o valoare maximă la mijlocul grosimii şi fiind nule pe feţele compozitului. Yang [28] a adaptat teoria HUM astfel încât aceasta să ţină cont de ecuaţiile constitutive ale compozitelor multistratificate.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 296 Ambartsumyan [29] şi Whitney [30] au introdus apoi, ipoteza conform căreia distribuţia tensiunilor datorate forţelor tăietoare duce la un câmp de gradul trei al deplasărilor în fiecare strat. Câmpul deplasărilor potrivit teoriei HUM, excluzând efectele de membrană, este:

U(x,y,z) = zβx(x,y);

V(x,y,z) = zβy(x,y); (7.87)

W(x,y,z) = w(x,y). unde βx şi βy sunt rotaţiile plăcii iar w deplasarea de-a lungul axei z.

Un element finit pentru structuri din materiale compozite stratificate, ce include şi efectele forfecării, este DST (Discrete Shear Triangle). Metodologia de obţinere a matricei de rigiditate a elementului DST este prezentată de către Lardeur şi Batoz în lucrarea [31].

Elementul are trei noduri şi trei grade de libertate pe nod, două rotiri βx şi βy şi o deplasare w (fig. 7.11), fiind o generalizare a elementului DKT (Discrete Kirchhoff Triangle) pentru plăci omogene şi izotrope prezentat şi testat de Stricklin, Dhatt şi Batoz, element care nu ia în considerare forfecarea.

h

Z,w

Y

X

Oy

wxOyO

Ox

Oy

1

2

3

w

OO

yx

w

OO

yx

=β=β

y

x

Ox

Batoz şi Lardeur au realizat un element de tip DST aplicabil pentru

plăci izotrope dar şi unul pentru plăci ortotrope. Deformaţiile datorate forfecării sunt calculate utilizând aceleaşi funcţii

de interpolare atât pentru w, cât şi pentru βx şi βy. Dacă efectele forfecării nu sunt semnificative, forţele Fx şi Fy tind

spre valoarea zero, elementul DST degenerând evident în DKT. Elementul DST este aplicabil în special la structurile compozite unde efectul forţelor tăietoare este semnificativ, pentru alte structuri putându-se folosi elementul DKT.

Fig. 7.11


297 Elementul DST se poate utiliza şi pentru analiza dinamică a structurilor realizate din compozite stratificate armate cu fibre continue.

7.5 Programe complexe pentru calcul numeric 7.5.1 Programe performante şi domenii de utilizare

Dezvoltarea tehnicii de calcul, creşterea memoriei calculatoarelor electronice şi a vitezei de lucru a acestora, dar mai ales facilităţile pe care le oferă metodele numerice de calcul, au contribuit la apariţia, dezvoltarea şi modernizarea continuă a unor programe performante pentru calculul structurilor realizate din materiale compozite, în special a celor din compozite stratificate armate cu fibre continue.

Aceste programe permit analize detaliate şi rapide cu ajutorul metodei elementelor finite, metodei colocaţiei, metodei elementelor de frontieră, metodei diferenţelor finite etc.

Principalele probleme tratate de marea majoritate a programelor complexe sunt: !"determinarea stării de tensiuni şi deformaţii în compozite stratificate

armate multidirecţional, sub formă de bare, plăci, învelişuri subţiri etc., solicitate mecanic şi/sau termic;

!"modificarea proprietăţilor materialelor compozite cu temperatura, umiditatea, acţiunea solvenţilor etc.;

!"analiza modurilor de rupere; !"răspunsul dinamic al structurilor; !"neliniaritatea geometrică şi de material; !"instabilitatea structurilor şi studiul problemelor de contact.

In tabelul 7.3 sunt trecute în revistă unele dintre cele mai utilizate programe performante pentru calculul structurilor din materiale compozite, precum şi domeniul principal în care acestea sunt folosite [32].

Toate programele menţionate au la bază metoda elementelor finite.

7.5.2 . Programul COSMOS/M In continuare sunt prezentate câteva dintre elemente finite aflate în

biblioteca programului COSMOS/M [36], elemente destinate modelării structurilor din materiale compozite stratificate armate cu fibre. Programul a fost realizat şi difuzat de The Structural Research and Analysis Corporation.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 298 Tabelul 7.3

Denumirea Domeniul principal de utilizare ABAQUS Structuri navale ADINA Analiză neliniară şi dinamică a structurilor ANSYS Analiză generală a structurilor ARGUS Analiză generală a structurilor

BOSOR 4 Analiza învelişurilor BOSOR 5 Stabilitatea învelişurilor CASSE Analiza proceselor termice

COSMOS Analiză generală a structurilor CHAMPION 3D Analiza carcaselor motoarelor de rachetă

LAMPS-A Analiza învelişurilor şi plăcilor din compozite MARC Analiză generală neliniară

NASTRAN Analiză generală a structurilor PAC 78 Analiza structurilor compozite SAP 6,7 Analiză liniară sau neliniară a structurilor

compozite SPAR Analiza structurilor din aeronautică

STARDYNE Analiză generală a structurilor TSAAS Analiza echipamentelor nucleare

3,4

2

2

1

43

7

4

8 1

5

26

23

1a

b

yx

4 β

Y

X Fig. 7.12

Elementul liniar PLANE2D. Este un element plan cu 4 sau 8 noduri şi poate fi folosit pentru analiza stării plane de tensiuni şi deformaţii, precum şi pentru structuri axial-simetrice (fig. 7.12). Elementele cu 8 noduri (opţionale) pot folosi polinoame de interpolare având gradul maxim egal cu 10. Elementul are două grade de libertate pe nod - două translaţii, celelalte grade de libertate fiind blocate.


299 Acest tip de element se poate folosi pentru modelarea structurilor realizate din materiale ortotrope, direcţia principală de elasticitate 1, fiind indicată prin unghiul β faţă de axa Ox. Se recomandă utilizarea lui pentru modelarea laminei unidirecţionale.

Elementul liniar compozit triunghiular de tip placă SHELL3L. Acest element (fig. 7.13) are trei noduri, putând fi alcătuit din maximum 50 de straturi ortotrope din materiale diferite şi cu orientări diferite ale direcţiilor principale de elasticitate.

Elementul poate fi folosit la modelarea structurilor tip membrană, dar şi pentru modelarea structurilor tridimensionale solicitate la încovoiere.

Fiecare nod al elementului are şase grade de libertate: trei translaţii şi trei rotaţii.

În cazul în care se declară un singur strat ortotrop, acest element poate fi folosit pentru studiul unei lamine, deosebirea faţă de elementul prezentat anterior, constând în capacitatea de a prelua şi solicitări de încovoiere.

Cel mai des, acest tip de element se utilizează pentru modelarea structurilor din compozite stratificate armate cu fibre continue.

Fig. 7.13

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 300 Elementul liniar compozit patrulater SHELL4L. Elementul patrulater SHELL4L prezentat în figura 7.14, poate modela stratificate formate din cel mult 50 de straturi subţiri şi ortotrope. Acesta este capabil să preia pe lângă încărcările de membrană şi pe cele de încovoiere.

Y

X

Z

2

b yz,c

a

x

x

β

yz

1

2

3

4 5

6

Când elementul patrulater degenerează într-unul triunghiular va trebui să declarăm nodul de început şi de sfârşit al elementului de două ori.

Se obţine astfel un element identic cu cel prezentat anterior.

Elementul patrulater se preferă totuşi, celui triunghiular. Programul pentru acest element calculează şi afişează valorile tensiunilor în direcţia axelor locale de coordonate, în centrul suprafeţelor de deasupra şi de dedesubtul fiecărui strat component. În aceleaşi puncte, programul calculează şi afişează tensiunile echivalente potrivit criteriului von Mises.

Opţional, se pot cere atât valorile, cât şi direcţiile tensiunilor principale în aceleaşi puncte.

Biblioteca acestui program mai cuprinde şi alte tipuri de elemente cum ar fi următoarele:

!"element compozit tip placă, izoparametric cu 8 sau 9 noduri SHELL9L, folosit pentru modelarea structurilor spaţiale din compozite;

Fig. 7.14


301 !"elementul liniar 3-D, cu 8 până la 20 noduri;

!"elementul SOLID, element spaţial ortotrop.

7.5.3 Programul NASTRAN Programul NASTRAN [37], cuprinde în biblioteca sa mai multe

elemente finite destinate structurilor realizate din materiale ortotrope, cel mai performant pentru analiza structurilor din compozite stratificate şi armate cu fibre fiind elementul LAMINATE (fig. 7.15).

Acesta este un element finit cu patru noduri şi şase grade de libertate pe nod având grosimea egală cu cea a întregului compozit. Solicitările pe care le suportă sunt forţe şi momente concentrate, dar şi presiuni aplicate pe una din laminele exterioare ale stratificatului.

Pentru acest tip de element finit sunt calculate tensiunile în centrul fiecărei lamine, raportate atât la sistemul global de axe, cât şi la cel local.

Elementul finit LAMINATE nu poate fi folosit pentru analiza deteriorărilor.

Numărul maxim de lamine pe care le poate conţine un stratificat modelat cu acest tip de element finit este 45.

z

h

Lamina n

Lamina n-1

Lamina 1 Lamina 2 Lamina 3 Lamina 4

Fig. 7.15

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 302 7.6. Structuri realizate din compozite stratificate armate cu fibre continue, analizate cu metoda elementelor finite. Tehnica substructurării

În finalul acestui capitol sunt prezentate două structuri realizate din compozite stratificate armate cu fibre continue, analizate numeric cu ajutorul unor programe cu elemente finite [34], [35].

Exemplul 1 O primă structură este o piesă relativ simplă, de fapt o epruvetă

cruciformă cu fantă centrală, solicitată biaxial în planul său (fig. 7.16). Analiza a fost efectuată cu ajutorul tehnicii substructurării. Menţionăm că modul de desfăşurare a unei analize prin tehnica substructurării este acelaşi indiferent de complexitatea, mărimea sau solicitările structurii.

5050

1919

R15

p

19 19

50 50

R1.5 R1.5

13.5 13.5

Structura a fost studiată cu două programe: un program de firmă (programul NASTRAN) şi un program elaborat de autorii lucrării [16],

Fig. 7.16


303 folosind elementul finit a cărui matrice de rigiditate a fost prezentată la începutul capitolului de faţă. Cel de al doilea program este un program specializat în evidenţierea deteriorărilor compozitelor stratificate armate cu fibre continue (ruperi de fibre şi matrice, delaminări) şi permite efectuarea unor analize postcritice a structurilor, cu urmărirea evoluţiei deteriorărilor sub sarcină, până la cedarea structurii.

Mai întâi a fost folosit pentru analiza cu elemente finite programul NASTRAN şi elementul finit LAMINATE descris mai sus. Materialul piesei a fost considerat un compozit stratificat şi armat cu fibre, compozit de tip sticlă epoxy, având următoarele caracteristici elastice şi mecanice ale laminelor: - modulul de elasticitate longitudinal pe direcţia axei Ol, El = 39000 MPa; - modulul de elasticitate transversal pe direcţia axei Ot, Et = 8600 MPa; - modulul de forfecare al laminei, Glt= 3800 MPa; - coeficientul lui Poisson în planul Olt, νlt= 0,28; - coeficientul lui Poisson în planul Otz, νtz= 0,42; - rezistenţa de rupere la tracţiune a fibrelor, σaf = 1080 MPa; - rezistenţa de rupere la forfecare a fibrelor, τaf = 89 MPa; - rezistenţa de rupere la tracţiune a matricei, σam = 39 MPa; - rezistenţa de rupere la forfecare a matricei τam = 18 MPa; - rezistenţa de delaminare a straturilor datorită tensiunilor normale,

σad = 90 MPa şi tensiunilor tangenţiale, τad = 120 MPa.

Fig. 7.17

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 304 Materialul structurii are în componenţa sa şase lamine de grosime

0,5 mm, cu următoarea configuraţie a orientării fibrelor în lamine: (0/90/0/0/90/0). Piesa a fost solicitată biaxial (p = 105,2 N/mm), intensitatea solicitării fiind aceeaşi pe ambele direcţii iar sarcina a fost repartizată în nodurile structurii (fig. 7.17). Datorită simetriei geometrice dar şi a încărcării, este suficientă studierea unui sfert din structură, a cărui modelare cu elemente finite poate fi observată în figura 7.18. In acest mod, numărul de noduri şi de elemente s-a micşorat de aproximativ patru ori, modelarea realizându-se cu ajutorul a 565 noduri şi 522 elemente, pentru analiza realizată cu programul NASTRAN.

În urma analizei cu programul NASTRAN au fost evidenţiate zonele din structură în care apar gradienţi mari ai tensiunilor, zone care vor necesita o substructurare în vederea localizării deteriorărilor.

Fig. 7.18

!"In laminele cu fibre orientate la 0° tensiunea normală maximă în lungul fibrelor apare în elementul 512, element aflat în imediata vecinătate a fantei epruvetei, valoarea acesteia fiind σl = 207,28 MPa, în timp ce tensiunea normală maximă pe direcţia axei Ot apare în elementul 490, valoarea ei fiind σt = 22,88 MPa.


305 !"Tensiunile σl şi σt din laminele cu fibre orientate la 90° faţă de direcţia

axei Ox, sunt maxime în elementele 479 şi în 512, având valorile σl = 85,58 MPa, respectiv σt = 46,69 MPa.

!"Tensiunea tangenţială τlt este maximă în elementul 505, atât în laminele cu fibre dispuse la 0° cât şi în cele orientate la 90° faţă de direcţia axei Ox, valoarea acesteia fiind τlt = ± 23,45 MPa.

In figura 7.19 sunt prezentate elementele din jurul fantei, aceasta fiind zona în care apar tensiunile maxime precizate mai sus.

De aceea, se izolează o zonă din jurul acesteia, zonă care va fi analizată cu programul specializat, creat de autorii acestei lucrări (tehnica substructurării).

Modelul de calcul al substructurii este prezentat în figura 7.20. Când se analizează probleme de acest tip, deci când dintr-o structură

oarecare se izolează o zonă a ei (substructură) în vederea analizării acesteia cu un alt program, este recomandat să se păstreze pe cât posibil, aceeaşi modelare a substructurii ca în structura globală, atât din cauza unei mai uşoare preprocesări a datelor de intrare, cât mai ales în scopul reducerii erorilor ce pot să apară în procesul de calcul. Dacă din diverse motive este necesară efectuarea unor modificări în cadrul reţelei de discretizare, acestea trebuie efectuate fără schimbarea conturului substructurii.

Fig. 7.19

486 485 484 483

482

481

480

490 479

491

492

493

494 495 496 497

508 507 506 505

504

503

502

501 512

513

514

516 517 518

515

519

487

498

509

520 521

510

499

488

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 306 Pentru aplicaţia prezentată, se observă că modelarea substructurii s-a efectuat cu mici modificări faţă de forma ei din cadrul structurii globale, aceasta din cauza necesităţii existenţei doar a elementelor finite cu baza patrulater. Aceste modificări nu vor afecta soluţia problemei.

In urma modelării cu straturi de elemente finite de grosime egală cu a unei lamine, s-a obţinut un model de calcul cu 567 noduri şi 384 elemente (81 noduri şi 64 elemente pe lamină). In nodurile aflate pe conturul substructurii au fost introduse, drept încărcări, deplasările acestor noduri, obţinute în urma analizei structurii cu programul NASTRAN.

11019283746556473

2

3

4

5

6

789

18

27

36

45

54

63

72

8164

56

48

40

32

24

16

8 7 6

5

4

3

2

19172533414957

12

20

28

36

44

52

60

y

x

58

59

616263

80 79 7877

76

75

74

Fig. 7.20

Aceste deplasări sunt prezentate în tabelele 7.4, 7.5, 7.6 şi 7.7 pentru fiecare dintre nodurile situate pe contururile 1, 2, 3 şi 4 ale substructurii. Valorile deplasărilor impuse în noduri sunt egale pentru toate nodurile situate pe aceeaşi verticală.


307 Tabelul 7.4

Nr. nod NASTRAN

466

467

468

469

470

471

472

473

474

Nr. nod lam.1 program propriu

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Deplasare ux/10-2 [mm]

0,905

0,9393

1,011

1,109

1,209

1,253

1,135

1,067

1,047

Deplasare uy/10-2 [mm]

0

0,2626

0,588

1,002

1,606

2,327

3,215

3,528

3,948

Tabelul 7.5

Nr. nod NASTRAN

484

493

503

515

528

539

552

563


15

27

36

45

54

63

72

81

Deplasare ux/10-3 [mm]

10,028

9,884

8,750

6,676

5,469

3,442

2,012

-0,134

Deplasare uy/10-

2 [mm]

3,902

3,883

3,756

3,740

3,746

3,759

3,752

3,750

Tabelul 7.6 Nr. nod

NASTRAN

561

559

558

557

556

555

554

553 Nr. nod lam.1

program propriu

80

79

78

77

76

75

74

73 Deplasare

ux/10-4 [mm]

-0,812

6,587

9,431

5,644

-1,969

-10,43

-16,21

-18,52 Deplasare

uy/10-2 [mm]

3,128

2,344

1,877

1,404

0,977

0,602

0,287 0

Tabelul 7.7

Nr. nod NASTRAN 542

529

518

505

495

485

476


64

55

46

37

28

19

10

Deplasare ux/10-3

[mm]

-1,665

-1,027

-0,047

0,976

3,017

5,008

6,952 Deplasare uy [mm]

0

0

0

0

0

0

0

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 308 In urma analizei efectuată cu programul propriu s-a constatat apariţia

unor deteriorări ale materialului structurii, fiind stabilită şi natura acestora. In figura 7.21 sunt însemnate cu “×“ elementele în care a cedat matricea.

Acestea sunt elemente care aparţin laminelor 2 (121, 122 şi 123) şi 5 (313, 314 şi 315) în care fibrele sunt orientate la 90° faţă de direcţia axei Ox şi sunt situate pe aceeaşi verticală.

X Fig. 7.21

S-a constatat că nu există elemente finite în care fibrele să cedeze, tensiunea normală maximă σl din structură (207 MPa) fiind mult sub cea admisibilă (1080 MPa). Nu apar nici delaminări ale straturilor, valorile tensiunilor interlaminare la care s-ar produce asemenea deteriorări fiind superioare celor existente în structură. Apariţia primelor deteriorări reprezintă o stare critică şi de aceea toate calculele ce vor fi efectuate în continuare vor purta denumirea de calcule postcritice. Acestea sunt calcule neliniare, întrucât sunt efectuate prin modificarea matricelor de rigiditate ale elementelor finite în care au apărut deteriorări, deci de la o rulare la alta a aceleiaşi structuri, aceasta se comportă neliniar.

După o a doua rulare, menţinând constante încărcările (la fiecare rulare se consideră că nodurile situate pe contur sunt suficient de depărtate de concentratorul de tensiune şi că deplasările acestora în ansamblul structurii rămân constante), se observă o propagare a deteriorărilor anterioare (fig.7.22)

Nu au apărut nici acum deteriorări de tip ruperi de fibre sau delaminări.


309

Y

X Fig. 7.22

Întrucât numărul de elemente finite la care a cedat matricea este cu mult sub numărul limită la care programul precizează cedarea structurii [16], calculul în domeniul neliniar poate fi continuat pentru a urmări evoluţia deteriorărilor, cu toate că apariţia deteriorărilor numai în două lamine din cele şase ale compozitului, cât mai ales propagarea destul de lentă a ruperilor de matrice, arată că structura este departe de o stare limită. In tabelul 7.8 sunt prezentate valorile tensiunilor σl, σt şi τlt din centrele elementelor finite situate în jurul fantei (concentratorului), elemente ce aparţin laminelor 2 şi 5 în care au apărut deteriorări, valori obţinute după efectuarea unui prim pas de analiză postcritică.

Se observă o creştere a tensiunilor, indiferent de tipul acestora, însă cel mai mult cresc tensiunile σt. Tensiunile din celelalte lamine se măresc foarte puţin şi sunt departe de valorile la care s-ar constata apariţia deteriorărilor şi în aceste lamine, ceea ce conduce la afirmaţia că, existenţa unor deteriorări în anumite lamine ale compozitului, nu contribuie neapărat la o propagare rapidă a deteriorărilor în întreaga masă a compozitului.

In tabel nu apar valori ale tensiunilor σt pentru elementele la care a cedat matricea, întrucât programul nu mai calculează în domeniul postcritic tensiunile pe direcţia respectivă. Se poate constata că prin intermediul programului propriu au fost obţinute informaţii referitoare la materialul structurii, după ce au apărut primele deteriorări, rezultate care nu pot fi obţinute cu nici unul dintre programele cunoscute.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 310 Tabelul 7.8

Numărul elementului

121 şi 313

122 şi 314

123 şi 315

124 şi 316

125 şi 317

126 şi 318

127 şi 319

128 şi 320

σl iniţial [MPa]

31,66

29,95

26,45

20,79

18,88

15,01

4,55

-0,89

σl final [MPa]

36,18

34,17

31,12

24,98

20,02

14,95

4,66

-0,78

σt iniţial [MPa]

48,85

46,15

42,01

35,14

27,02

18,60

9,35

4,04

σt final [MPa]

-

-

-

46,45

41,18

33,56

15,89

7,23

τlt iniţial [MPa]

1,99

5,18

9,40

11,94

14,88

14,69

7,66

3,59

τlt final [MPa]

4,17

6,97

11,03

13,44

16,61

16,35

8,34

4,76

După acest exemplu, se poate spune că, prin utilizarea programului propriu cu elemente finite se obţin informaţii amănunţite în ceea ce priveşte starea de tensiuni şi deformaţii din structuri. Analiza apariţiei deteriorărilor, depistarea cu precizie a poziţiei în care apar acestea, cât şi urmărirea evoluţiei acestora sunt câteva din avantajele pe care le oferă programul cu elemente finite menţionat.

Exemplul 2

Un alt exemplu îl reprezintă comportarea la presiune laterală a unor compozite stratificate armate cu fibre. Plăcile plane pot fi solicitate cu sarcini aplicate în planul lor sau perpendicular pe acesta. Cel de al doilea mod de solicitare poate conduce, în cazul plăcilor realizate din compozite stratificate armate cu fibre, la apariţia unor deteriorări structurale, cauzate de ruperi ale matricei şi fibrelor sau de fenomenul de delaminare. Varietatea structurală mare de compozite stratificate armate cu fibre care se fabrică în prezent, conduce la creşterea complexităţii acestui fenomen, astfel că multe aspecte ale comportamentului acestora sunt încă neelucidate. Calculul a fost efectuat pentru o placă circulară încastrată pe contur, supusă la presiune laterală. Placa a fost realizată dintr-un stratificat sticlă-epoxy (sticlă E şi răşină NESTRAPOL 450) cu şase lamine [(0)]6. Principalele caracteristici elastice şi mecanice ale laminelor stratificatului, furnizate de producător, sunt prezentate în tabelul 7.9. Modelarea structurii s-a făcut mai întâi cu elementele finite tridimensionale de grosime egală cu a unei lamine, analiza numerică fiind efectuată cu programul propriu [16], [33].


311 In modelarea structurii s-a ţinut seama de geometrie, modul de

încărcare şi condiţiile de rezemare. In acest sens s-a modelat numai un sfert din structură, cu 80 de elemente şi 194 noduri pe lamină (fig. 7.23).

Tabelul 7.9 Nr. crt.

Caracteristica Notaţie Valoare Unităţi de măsură

1 Modulul de elasticitate longitudinal al laminei

El 39000 MPa

2 Modulul de elasticitate transversal al laminei Et 8600 MPa 3 Modulul de forfecare Glt 3800 MPa 4 Coeficientul lui Poisson în planul plăcii

(Olt) νlt 0,28

- 5 Coeficientul lui Poisson în plan normal la

cel al plăcii (Otz) νtz 0,42

-

Utilizând aceeaşi discretizare, structura a mai fost analizată şi cu programul NASTRAN folosind elementul finit LAMINATE, destinat calculului structurilor realizate din compozite stratificate armate cu fibre continue. Pentru verificarea modelului de calcul prezentat, s-a întreprins un studiu experimental pe o placă executată din materialul menţionat, folosind un dispozitiv de concepţie proprie [33].

Fig. 7.23

Comportarea plăcii pentru diferite trepte de presiune a fost urmărită prin măsurarea deplasărilor w pe direcţia normalei la suprafaţa plăcii (cu ajutorul unui comparator), în lungul razei plăcii (fig. 7.23) [33].

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 312 Între rezultatele calculului efectuat cu metoda elementului finit (utilizând cele două programe şi cele două tipuri de elemente finite) şi rezultatele studiilor experimentale efectuate s-a constatat o foarte bună concordanţă, fapt care atestă corectitudinea modelului de calcul şi a analizei cu elemente finite.

În concluzie, dintre metodele numerice, cea mai utilizată pentru calculul structurilor din materiale compozite este metoda elementelor finite. Celelalte metode sunt mai greu de adaptat acestor materiale datorită numărului mare de constante de care depinde materialul anizotrop, însă atunci când se folosesc conduc la rezultate bune. La nivel mondial există o mare diversitate de programe complexe de calcul, ce permit analiza oricărui tip de structură realizată din materiale compozite, indiferent de materialul, forma, dimensiunile structurii şi tipul solicitării. Programele cu elemente finite specializate (programe ce conţin un anumit tip de element finit), create de diverşi cercetători, pot contribui uneori la o mai rapidă şi uşoară determinare a stării de tensiuni şi deformaţii din structurile compozite, având avantajul utilizării elementului finit creat special pentru tipul respectiv de structură ori de analiză. Metodologia de calcul a unei matrice de rigiditate a unui element finit destinat analizei structurilor compozite este asemănătoare cu cea a unui element finit pentru materiale omogene şi izotrope, însă volumul calculelor este mult mai mare în cazul materialelor anizotrope, datorită numărului mare de constante elastice necesare caracterizării materialelor anizotrope, cât şi datorită trecerilor repetate din sistemul global de axe, în cel local şi invers. Calculul numeric al integralelor care conduc la obţinerea lui [k(e)] este foarte dificil şi poate constitui o importantă sursă de erori. Determinarea matricei de rigiditate a unui element finit prin intermediul calculului variaţional, implică folosirea unor relaţii destul de complicate pentru calculul elementelor sale, expresii date în literatura de specialitate, dar şi rezultate mai precise în unele cazuri (la elementele finite ce ţin seama de efectul forfecării).

BIBLIOGRAFIE 1. Bathe, K. J., Ho, L. W. - A Simple and Effective Element for Analysis of

General Shell Structures, Computers and Structures., Vol. 13, 1981. 2. Hinton, E. - The Flexural Analysis of Laminated Composites Using a

Parabolic Isoparametric Plate Bending Element, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 15, 1976.

3. Mau, S. T., Tong, P., Pian, T. H. H. - Finite Element Solution for Laminated Thick Plates, Journal of Composites Materials, Vol. 6, 1977.


313 4. Panda, S. C., Natajaran, R. - Finite Element Analysis of Laminated

Composites Plates, International Journal for Numerical Methods in Engineering, Vol. 14, 1979.

5. Reddy, J. N. - A Penalty Plate-Bending Element for the Analysis of Laminated Anisotropic Plates, International Journal Numerical Method in Engineering, Vol. 15, 1980.

6. Alămoreanu, E., Negruţ, C., Jiga, G. - Calculul structurilor din materiale compozite, Universitatea “Politehnica" Bucureşti, 1993.

7. Jones, R., Callinan, R., Teh, K. K., Brown, K. C. - Analysis of Multilayer Laminates Using Three - Dimensional Superelements, Journal of Numerical Methods in Engineering, Vol. 20, 1984.

8. Spilker, R. L. - An Invariant Eight - Node Hybrid - Stress Element of Thin and Thick Multilayer Laminated Plates, International Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 20, 1984.

9. Spilker, R. L., Chou, S. C., Orninger, O. - Alternate Hybrid Stress Elements for Analysis of Multilayer Composite Plates, Journal of Composites Materials, vol. 11, 1977.

10. Lee, D. - Trehmernîi konecino elementîi analiz nacoplenia povrejdenii v sloistom compozite, Procinosti i razruşenie compozitnîh materialov, Riga, 1983.

11. Adams, D. F., Crane, D. A. - Finite Element Micromechanical Analysis of an Unidimensional Composite Including Longitudinal Shear Loading, Computers and Structures, vol. 18, 1984.

12. Miravete, A., Perez, E., Fernandez, J. - Tecnicas avanzadas de calculo de composites, Simposium de Materiales de Alta T., Barcelona, 1986.

13. Wei, J., Zhao, J. H - Three-Dimensional Finite Element Analysis on Interlaminar Stresses of Symmetric Laminates, Computers and Structures, Vol. 41, nr. 4, 1991.

14. Gay, D. - Matériaux composites, Editions Hermes, Paris, 1991 15. Cristescu, N. - Mecanica materialelor compozite, Vol.1, Universitatea

Bucureşti, 1983. 16. Hadăr, A. - Probleme locale la materiale compozite, Teză de doctorat,

U.P.B., 1997. 17. Malmeister, A. K., Tamuj, V. P., Teters, G. A. - Soprotivlenie

polimernîh i compozitnîh materialov, Zinatne Riga, 1980 18. Reddy, J. N. - Mechanics of Composites Structures, Mc Graw Hill, New

York, 1980. 19. Tsai, S. W., Hahn, H. T. - Introduction to Composite Materials,

Westport, 1980.

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 314 20. Reddy, J. N. - An Introduction to the Finite Element Method, Mc Graw

Hill, New York, 1984. 21. Reddy, J. N., A - Rafined Mixed Shear Flexible Finite Element for the

Nonlinear Analysis of Laminated Plates, Computers & Structures, Vol. 22, 1986.

22. Gay, D - Matériaux composites, Editions Hermes, Paris, 1991 23. Constantinescu, I. N., Gheorghiu, H., Hadăr, A., Stoicescu, C. --

Methode des elements finis - Cours et applications, U. P. B., Bucureşti, 1993.

24. Blumenfeld, M., - Introducere în metoda elementelor finite, Editura Tehnică, Bucureşti, 1995.

25. Demidovitch, B., Maron., I. - Elements de calcul numerique, Edition MIR, Moscova, 1973.

26. Pascariu, I. - Elemente finite - concepte şi aplicaţii, Editura Militară, Bucureşti, 1985.

27. Jones, R. M. - Mechanics of Composite Materials, Scripta Book, Washington D. C., 1975.

28. Yang, P. C., Norris, C. H., Stavsky, Y. - Elastic Wave Propagation In Heterogeneous Plates, J. Solids, Struct., 1966.

29. Ambartsumyam, S. A. - Theory of Anisotropic Plates, Technomic Publishing, 1969.

30. Whithey, J. M. - The Effect of Transverse Shear Deformation on the Bending of Laminated Plates, J. Compos. Mater.,1969.

31. Lardeur, P., Batoz, J. L. - Composite Plate Analysis Using a New Discrete Shear Triangular Finite Element, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1989.

32. Brown, R. T. - Computer Programs for Structural Analysis, Engineered Materials, Vol. 1, Composites, 1989.

33. Hadăr, A., Iliescu, N., Constantin, N. - Cercetări privind comportarea unor stratificate armate cu fibre solicitate la presiune laterală, a XXVII - a Sesiune de comunicări ştiinţifice cu participare internaţională, Academia Tehnică Militară, Bucureşti, noiembrie 1997.

34. Gheorghiu, H., Hadar, A., Constantin, N. -Analiza structurilor din materiale izotrope şi anizotrope, Editura Printech, Bucureşti 1998

35. Hadar, A. - Probleme locale la materiale compozite, Teza de doctorat, U.P.Bucureşti 1997.

36. * * * - COSMOS/M, User’s Guide, Structural Research and Analysis Corporation, Santa Monica, 1991.

37. * * * - MSC/ NASTRAN for Windows, Reference Manual, The MacNeal - Schwendler Corporation, 1994.

Anexe

315

Anexe Anexa A1. Sistem plan de bare articulate

Prezentare program ARTICULAT şi exemplu de aplicare. Se consideră sistemul plan de bare articulate din figura A1.1 format din 14 noduri şi 24 de elemente având aceeaşi arie a secţiunii şi modul de elasticitate. Aceasta este fixată de fundaţie în nodurile 1 şi 10 şi încărcată cu sarcini în nodurile: 9, 11, 12, 13, 14 . Acest exemplu se rezolvă cu ajutorul programului ARTICULAT creat pe baza algoritmului prezentat la paragraful 1b, deci cu ajutorul metodei deplasărilor.

Fig. A1.1

2

3

4

5

3

1N 4N

1N

1N

6

7

8

9

10

11

13

14

1

y

x 0.5

0.5 0.5 1.0

0.5 1.0

0.5

0.5 0.5

0.5

12

1N

3

3

3

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 316 Pentru a rula acest program, datele de intrare se vor introduce fie

interactiv, fie sub forma unui fişier de date de intrare având următoarea structură: I. Date generale: NN,NE,E unde: NN – numărul de noduri al structurii NE – numărul de elemente E - valoarea modulului de elasticitate longitudinal

II. Date despre noduri: NNI,BX,BY,X,Y unde: NNI – numărul nodului; BX – blocaj translaţie după direcţia OX (se atribuie valoarea 1 pentru mişcare blocată şi 0 pentru liberă) BY – blocaj translaţie după direcţia OY (se atribuie valoarea 1 pentru mişcare blocată şi 0 pentru liberă) X – coordonata nodului după OX în raport cu un sistem cartezian ales arbitrar; Y – coordonata nodului după OY în raport cu un sistem cartezian ales arbitrar;

III. Date despre elemente: I,J,A unde: I – numărul primului nod al elementului J – numărul celui de-al doilea nod al elementului A - valoarea ariei secţiunii elementului IV. Date despre încărcări: NNIF,FX,FY unde: NNIF – numărul nodului unde acţionează forţa exterioară FX – valoarea forţei după OX FY – valoarea forţei după OY V. Date despre deplasări impuse în noduri: NID,DX,DY unde: NNID – numărul nodului având deplasări impuse DX – valoarea deplasării impuse după direcţia OX DX – valoarea deplasării impuse după direcţia OY (pentru cazul în care nu sunt impuse deplasări la noduri se introduce valoarea 0) VI.Pentru sfârşit se introduce valoarea 0

Pentru cazul prezentat în figura A1.1 fişierul de date are următoarea

structură:

Anexe

317 14,24,1 1,1,1,0,0, 2,0,0,.5,3, 3,0,0,1,6, 4,0,0,1.5,9, 5,0,0,2,12, 6,0,0,3,3, 7,0,0,3,6, 8,0,0,3,9, 9,0,0,3,12, 10,1,1,6,0, 11,0,0,5.5,3, 12,0,0,5,6 13,0,0,4.5,9, 14,0,0,4,12 1,2,1, 2,3,1, 3,4,1, 4,5,1, 1,6,1, 2,7,1, 3,8,1, 4,9,1, 2,6,1, 3,7,1, 4,8,1, 5,9,1, 6,10,1, 7,11,1, 8,12,1, 9,13,1, 6,11,1, 7,12,1, 8,13,1, 9,14,1, 10,11,1 11,12,1, 12,13,1, 13,14,1 9,0,-4, 11,1,0, 12,1,0, 13,1,0, 14,1,0, 0,0

REZULTATE EFORTURI AXIALE ŞI TENSIUNI

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 318 Concluzii Se observă din rezultatele de mai sus că elementul cel mai solicitat

este cel cu numărul 21, cuprins între nodurile 10, 11, fiind supus la compresiune.

Anexa A2. Sistem plan de bare rigidizate în noduri, încărcat cu sarcini conţinute în plan Prezentare program CADRU şi exemplu de aplicare. Se consideră cadrul plan încărcat cu un sistem de forţe şi cupluri coplanare ca în figura A2.1. Să se determine reacţiunile din încastrări, deplasările (liniare şi unghiulare) în punctele de aplicaţie ale cuplurilor şi forţelor, diagramele de eforturi N, T şi M din barele sistemului.

Fig. A2.1

8

1

y

5 5

22

3Nm

2m 2m 2m 2m 2m

3m

3m

2

3 4 5

6 7

9 1 11

Anexe

319 Pentru utilizarea programului CADRU, datele de intrare se vor

introduce fie interactiv, fie sub forma unui fişier de date de intrare având următoarea configuraţie: I. Date generale: NN,NE,E unde: NN – numărul de noduri al structurii NE – numărul de elemente al structurii E - valoarea modulului de elasticitate longitudinal

II. Date despre noduri: NNI,BX,BY,BZZ,X,Y unde: NNI – numărul nodului BX – blocaj translaţie după direcţia OX (se atribuie valoarea 1 pentru mişcare blocată şi 0 pentru liberă) BY – blocaj translaţie după direcţia OY (se atribuie valoarea 1 pentru mişcare blocată şi 0 pentru liberă) BZZ – blocaj rotire după direcţia OZ (se atribuie valoarea 1 pentru mişcare blocată şi 0 pentru liberă) X – coordonata nodului după OX în raport cu un sistem cartezian ales arbitrar; Y – coordonata nodului după OY în raport cu un sistem cartezian ales arbitrar; III. Date despre elemente: I,J,A,Iz unde: I – numărul primului nod al elementului J – numărul celui de-al doilea nod al elementului A - valoarea ariei secţiunii elementului Iz - valoarea momentului de inerţie al secţiunii elementului după axa Oz IV. Date despre încărcări IVa. forţe şi cupluri: NNIF,FX,FY,MZZ unde: NNIF – numărul nodului unde acţionează sarcina exterioară concentrată(forţa F sau cuplul M) FX – valoarea forţei după axa OX FY – valoarea forţei după axa OY MZZ – valoarea cuplului după axa Oz IVb. forţe distribuite: NEIP,P1,P2 unde: NEIP – numărul elementului pe care acţionează sarcina distribuită liniar (între nodurile I şi J) P1 – valoarea de început a sarcinii distribuite (nod I) P1 – valoarea de sfârşit a sarcinii distribuite (nod J)

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 320 V. Date despre deplasări impuse NNDI,DX,DY, DZZ unde: NNDI – numărul nodului având deplasări impuse DX – valoarea deplasării impuse după direcţia OX DY – valoarea deplasării impuse după direcţia OY DZZ - valoarea deplasării unghiulare impuse după direcţia axei OZ (pentru cazul în care nu sunt impuse deplasări în noduri se introduce valoarea 0)

VI. Pentru sfârşit se introduce valoarea 0 Pentru cazul prezentat în figura A2.1 fişierul de date are următoarea

structură: 11,13,1 1,1,1,1,2,0, 2,1,1,1,8,0, 3,0,0,0,2,3, 4,0,0,0,4,3, 5,0,0,0,5,3 6,0,0,0,6,3, 7,0,0,0,8,3, 8,0,0,0,0,6, 9,0,0,0,2,6, 10,0,0,0,8,6 11,0,0,0,10,6 1,3,1,1, 3,9,1,1, 1,4,1,1, 4,9,1,1, 8,9,1,1, 9,10,1,1, 10,11,1,1 4,5,1,1, 5,6,1,1, 6,10,1,1, 7,10,1,1, 2,6,1,1, 2,7,1,1 3,-2,0,0, 5,0,0,-3, 7,2,0,0, 8,0,-5,0, 11,0,-5,0,0 0 0

REZULTATE OBŢINUTE

Anexe

321

Fig. A2.2

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 322 DIAGRAME DE EFORTURI ÎN BARE

Fig. A2.3

Fig. A2.4

Fig. A2.5

Anexe

323 Anexa A3. Sistem plan de bare rigidizate în noduri, încărcat cu sarcini perpendiculare pe plan

Prezentare program GRILAJ PLAN şi exemplu de aplicare. Se consideră cadrul plan încărcat cu un sistem de forţe şi cupluri perpendiculare pe planul său ca în figura A3.1. Să se determine reacţiunile din încastrări, deplasările (liniare şi unghiulare) în punctele de aplicaţie ale cuplurilor şi forţelor, diagramele de eforturi încovoiere şi răsucire Mi şi Mt .

Pentru a utiliza programul GRILAJ PLAN datele de intrare se vor

introduce fie interactiv, fie sub forma unui fişier de date de intrare având următoarea structură: I. Date generale: NN,NE,E,G unde:

NN – numărul de noduri al structurii NE – numărul de elemente E - valoarea modulului de elasticitate longitudinal G - valoarea modulului de elasticitate transversal

II. Date despre noduri: NNI,BY,BXX,BZZ,X,Z unde: NNI – numărul nodului BY – blocaj translaţie după direcţia OY (se atribuie valoarea 1 pentru mişcare blocată şi 0 pentru liberă) BXX – blocaj rotaţie după direcţia OX (se atribuie valoarea 1 pentru mişcare blocată şi 0 liberă)

1

x

1

1000N

z

y

2

3

6

4

5

7

2000N

1 1

1

1

1

1

1

1

1

1

8

91

1

1

1

1

1000N 1000N

Fig. A3.1

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 324 BZZ – blocaj rotaţie după direcţia OZ (se atribuie valoarea 1 pentru mişcare blocată şi 0 pentru liberă) X – coordonata nodului după OX în raport cu un sistem cartezian ales arbitrar; Y – coordonata nodului după OY în raport cu un sistem cartezian ales arbitrar;

III. Date despre elemente: I,J,IZ,IT unde: I – numărul primului nod al elementului J – numărul celui de-al doilea nod al elementului A - valoarea ariei secţiunii elementului IZ - valoarea momentului de inerţie al secţiunii elementului după axa Oz IT - valoarea momentului de inerţie convenţional la torsiune al secţiunii elementului (Ip=Tt pentru secţiunea circulară sau inelară) IV. Date despre încărcări: NNIF,FY,MXX,MZZ unde: NNIF – numărul nodului unde acţionează sarcina exterioară concentrată(forţa F sau cuplul M) FY – valoarea forţei după axa OY MXX – valoarea cuplului după axa Ox MZZ – valoarea cuplului după axa Oz V.Pentru sfârşitul fişierului se introduce valoarea 0

Pentru cadrul prezentat în figura A3.1 fişierul de date are următoarea structură: 14,16,1,1 1,1,1,1,0,-1, 2,0,0,0,0,0, 3,0,0,0,0,2, 4,1,0,0,0,3, 5,0,0,0,1,0 6,0,0,0,1,1, 7,0,0,0,1,2, 8,0,0,0,2,0, 9,0,0,0,2,1, 10,0,0,0,2,2 11,1,1,1,3,-1, 12,0,0,0,3,0, 13,0,0,0,3,2, 14,1,0,0,3,3 1,2,1,1, 2,3,1,1, 3,4,1,1, 2,5,1,1, 3,7,1,1, 5,6,1,1, 6,7,1,1 5,8,1,1, 7,10,1,1, 8,9,1,1, 9,10,1,1, 8,12,1,1, 10,13,1,1 11,12,1,1, 12,13,1,1, 13,14,1,1 4,0,0,1000, 6,-2000,0,0, 9,-1000,0,0, 14,0,0,-1000, 0

Anexe

325 REZULTATE OBŢINUTE

DEFORMATA STATICA

Fig. A3.2


DIAGRAMELE DE MOMENTE

Fig. A3.3


Anexa A4. Placa plană solicitată de forţe cuprinse în plan

Prezentare program CST şi exemplu de aplicare. Se consideră o lacă plană având grosimea uniformă t=5mm , forma şi dimensiunile ca în figura A4.1, încărcată cu o sarcină uniform distribuită pe cele două laturi q=10N/mm. Placa este din oţel având E=210000 MPa şi ν=0.3

Fig. A4.1

4

10N/m

10N/mm

2 2 20 20 4

2

2

2

2

Fig. A3.4

Anexe

327 Placa având două axe de simetrie, şi fiind încărcată simetric se poate

studia numai un sfert din aceasta, deplasările din nodurile situate în cele două plane de simetrie fiind nule (fig. A4.2).

Numerotarea nodurilor şi elementelor şi sistemul de axe de coordonate sunt date tot în figura A4.2

Pentru a rula programul CST, datele de intrare se vor introduce sub

forma unui fişier de date de intrare creat anterior având următoarea structură:

I. Date generale: NN,NE,E,NIU,STD,INC unde:

NN – numărul de noduri al structurii NE – numărul de elemente E - valoarea modulului de elasticitate longitudinal NIU – valoarea coeficientului lui Poisson STD - tipul de studiu (se atribuie 0 pentru starea plană de deformaţii şi 1 pentru cea de tensiuni) ÎNC - tipul de încărcare (se atribuie 0 dacă se dau forţe la noduri şi 1 dacă se impun deplasări la noduri) II. Date despre noduri: NNI,BX,BY,X,Y unde: NNI – numărul nodului BX – blocaj după OX (se atribuie valoarea 1 pentru mişcare blocată şi 0 pentru liberă) BY – blocaj după OY(se atribuie valoarea 1 pentru mişcare blocată şi 0 pentru liberă)

1

10

100 200 200 200 100

2 3 4 5

6 7 8 9

11 12

x

y

Fig. A4.2

1

2 4 3 5

6

7

8

9

10 11

Modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice 328 X – coordonata nodului după OX în raport cu un sistem cartezian ales arbitrar; Y – coordonata nodului după OY în raport cu un sistem cartezian ales arbitrar; III. Date despre elemente: NEE,I,J,K,T unde: NEE – numărul elementului I – numărul primului nod al elementului J – numărul celui de-al doilea nod al elementului K – numărul celui de-al treilea nod al elementului (numerotarea nodurilor se face în sens trigonometric) T – valoarea grosimii plăcii IV. Date despre încărcări: NNIF,FX,FY unde: NNIF – numărul nodului unde acţionează forţa exterioară FX – valoarea forţei după axa OX FY – valoarea forţei după axa OY 0 pentru sfârşit VI.Pentru sfârşit se introduce valoarea 0

Pentru cazul prezentat în figura A4.2 fişierul de date are următoarea structură:

12,11,21e4,.3,1,0 1,1,1,0,0 2,0,0,20,0 3,0,0,40,0 4,0,0,60,0 5,0,0,80,0 6,0,0,80,20 7,0,0,60,20 8,0,0,40,20 9,0,0,20,20 10,1,1,0,20 11,1,1,0,40 12,1,1,20,40 1,1,2,10,5 2,2,9,10,5 3,2,3,9,5 4,3,8,9,5 5,3,4,8,5 6,4,7,8,5

Anexe

329 7,4,5,7,5 8,5,6,7,5 9,10,9,11,5 10,9,12,11,5 11,9,8,12,5 1,0,100 2,0,200 3,0,200 4,0,200 5,0,100,0,0

Fig. A4.3


Fig.A4.4

Fig.A4.5

1.modelarea cu elemente finite a structurilor mecanice

Documents