colapsul structurilor mecanice - i florin/desc/colapsul structurilor... · colapsul structurilor...

COLAPSUL STRUCTURILOR MECANICE - ISUPORT DE CURS

Universitatea Dunărea de Josrsquorsquo din GalaţiFacultatea de Inginerie

Departamentul de Inginerie Mecanică

Asdring Florin ONEA

GALAȚI 2017

CUPRINS1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare

2 Solicitări axiale ale barelor drepte - icircntindere și compresiune

3 Icircncovoierea simplă a barelor drepte cu secţiunea constantă

4 Torsiunea barelor drepte cu secţiunea circulară

5 Bare cu variaţie de secţiune

6 Calculul barelor de lungimi mari

7 Flambajul barelor drepte

8 Flambajul barelor drepte la solicitări simple

9 Metoda Euler

10 Flambajul icircn domeniul elasto-plastic

11 Calculul la flambaj al barelor comprimate

12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şi forţă axială

13 Flambajul barelor comprimate excentric

14 Rolul analizei cu elemente finite icircn realizarea unui produs

15 Metoda elementelor finite icircn structuri mecanice

1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare








9 Metoda Euler








Teorii clasice de rezistenţă

I Teoria tensiunii normale maximeII Teoria deformaţiei specifice maximeIII Teoria tensiunii tangenţiale maximeIV Teoria energiei potenţiale de deformaţie totală maximăV Teoria energiei potenţiale de modificare a formei maximă

Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare

CSM I - Suport de curs


Icircn cazul particular al barelor apar numai

x

b) tensiuni tangenţiale 22xzxy

Tensiunile principale se pot obţine

2221 4

21

2

a) tensiuni normale


Dacă se consideră coeficientul lui Poisson se obţin relaţiile30

Lech )4(50 221I

II Lech

2222

2 465035042

12

1

III Lech 223 4

IV Lech 22224 62)1(2


IV Lech 22224 62)1(2

V Lech 225 3

Forfecare pură

Teorie I Teorie II Teorie III Teorie IV Teorie V

Legea lui Hooke(extinsă pacircnă la limita

de curgere)

LL

cc

LL 760

cc 760

LL 50

cc 50

LL 620

cc 620

LL 570

cc 570


Criterii de alegere a teoriilor de rezistenţă

Materiale tenace teorii de rupere prin lunecare (Teoria V sau III)

Materiale casante teorii de rupere prin smulgere (Teoria II sau I)

Alegerea teoriei de rezistenţă se realizează icircn funcţie de semnul tensiunii medii

3321

m


3321

m

a) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin lunecare0m

b) Pentru se recomandă o teorie de rupere prin smulgere0m

Criteriul lui Davidenko - Fridmanndefinește starea mecanică de solicitareprin intermediul pantei unei drepte (m) )]([2)(

)(

321

31

II

IIIm

ech

ech


Drepte de pantă m

dreapta 1 m=0 - icircntindere uniformă după trei axe0321

dreapta 2 0ltmlt05 - icircntindere uniformă după trei direcţii0321

dreapta 3 m=05 - solicitare de icircntindere simplă00 321

dreapta 4 m=07692 - solicitare de forfecare pură00 32


dreapta 5 m=167 - solicitare de compresiune simplă00 321

a) dacă dreapta intersectează verticala

- rupere prin smulgere L

b) dacă dreapta intersectează orizontala

- rupere prin lunecare L


Tensiuni și deformaţii

O bară este solicitată axial dacă icircn secţiunile ei transversal se dezvoltă numaiforţe axiale N (constante sau variabile)

Forţe axiale pozitive solicitare de icircntindere a secţiunii transversale

Forţe axiale negative solicitare de compresiune a secţiunii transversale


Tensiunile sunt repartizateuniform pe suprafaţa secţiuniitransversale

AdAdANAA


Tensiune normalăA

N

Deformaţie specificăAE

N

E

(materialul satisface legea lui Hooke)

Alungireascurtarea bareiAE

LNLL


Dacă N E și A sunt variabile (sau constante) pe secţiuni ale barei

Alungireascurtarea barei

L AE

NL sau

AE

LNL

La compresiune se calculează doar barele scurte min15 dL

pentru min15 dL - se realizează calculul la flambaj


Calcule de rezistenţă

a) Verificare - determinarea tensiuniideformaţiei maxime și comparareavalorii obţinute cu cea admisibilă

- valoarea rezultată nu trebuie să depășească pe cea admisibilă

Condiţie de rezistenţă Condiţie de rigiditate

aef

ef A

N maxaAE

N

max sau aLAE

LNL

max


aef

ef A

N maxaAE

N

max aLAE

LNL

max

Dacă seicircndeplinesc simultan condiţiile

aa

aa

aa

LLL

051800518005180

max

max

max

BARA REZISTĂ

Dacă o singură mărime depășește cu 5valoarea admisă - BARA NU REZISTĂ

Dacă toate mărimile calculate suntinferioare valorii de 80 (valori admisibile) -bara este supradimensionată



a) Capacitate de icircncărcare


aefcap AN aefcap AEN sauL

LAEN aef

cap

Se are icircn vedere condiţia minmin 05180 capcap PPP



c) Dimensionare - determinarea dimensiunilor secţiunii transversale astfel icircncacirct bara să rezistela solicitări


anec

NA

max

anec E

NA

max sau

anec LE

NLA

max

Pe baza calculelor se alege o valoare standardizată


O bară este solicitată la icircncovoiere cacircnd torsorul eforturilor se reduce la vectorulmoment din planul secţiunii

După modul de icircncărcare al barelor

a) icircncovoiere pură dreaptă (pe o direcţie) - icircn secţiunea transversală există osingură componentă a momentului icircncovoietor Mz sau My

b) icircncovoiere oblică (pe două direcţii) - icircn secţiunea transversală apar ambelecomponente ale vectorului moment Mz şi My

c) icircncovoierea cu tăiere (icircncovoiere simplă) - torsorul eforturilor se reduce laun vector moment (Mz) după una din axele de inerţie principale şi o forţătăietoare (Ty)



Caz A Caz B Caz C


Icircncovoiere pură - Formula lui Navier

Toate icircncărcările exterioare trebuie să fie aplicate icircntr-un singur plan desimetrie longitudinal numit planul forţelor

Intersecţia planului forţelor cu secţiunea transversală determină o dreaptănumită linia forţelor


Cazuri de icircncărcare pe o grindă dreaptă


Se consideră bara cu secţiune prismaticăpe care se trasează un caroiaj de liniilongitudinale şi transversale

Liniile longitudinale securbează cele de la parteainferioară se lungesc iarcele de la parteasuperioară se scurteazădar rămacircn paralele icircntre eleşi echidistante



Trecerea de la lungire la scurtareeste un proces continuu

Liniile verticale rămacircndrepte şi perpendicularepe cele longitudinalecurbate deci se rotesc icircnjurul unui punct de pe ele


Dacă se studiază un ochi al caroiajului se constată că după deformare unghiurilesale rămacircn drepte (ABCD) ceea ce icircnseamnă că lunecările specifice icircn planelelongitudinale sunt nule ( )0xy

Pentru studiul deformaţiilor liniare se izolează un element diferenţial de lungimedx Se notează cu ρ raza de curbură a fibrei longitudinale neutre şi cu y distanţade la aceasta la fibra curentă Fibra curentă se va lungi cu cantitatea Δdx Dinasemănarea triunghiului OAD şi CDN rezultă

y

dx

dxx


y

dx

dxx


Lungirea specifică (εx)- variază liniar cu distanţa la axa neutră- este nulă icircn dreptul acesteia- are valori maxime la extremităţile secţiunii transversale- pe lăţimea secţiunii εx este constantă la orice nivel y (ipoteza secţiunilor plane)

Dacă se consideră un material cu comportare ideal liniar elastică legătura icircntretensiuni şi deformaţii specifice se exprimă prin legea lui Hooke

xx E xyxy G


xx E xyxy G

Relaţii care mai pot fi scrise sub forma

yE

x 0xy

Tensiunea normală variază liniar pe icircnălţimea secţiunii cu valori maxime laextremităţi şi zero icircn dreptul axei neutre iar pe lăţimea secţiunii este constantă laorice nivel y

Expresia tensiunii normale 0 A

ydAE

N

0E

x - lege de variaţie cunoscută

Momentul static faţă de axă este nul


Momentul de inerţie centrifugal faţă de axa neutrǎ şi axa y este nul

Momentul icircncovoietor Mz

z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2

Curbura axei deformate a barei icircn funcţie de momentul icircncovoietor şi rigiditatea

la icircncovoiere (EIz) a barei este dată de relaţia


yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z

zx Formula lui Navier

permite calculul tensiunilor normale icircn orice secţiune transversală a uneibare icircncovoiate dacă se cunoaşte solicitarea (Mz) şi geometria bare (Iz)

pentru bare cu secţiune constantă variaţia tensiunilor normale icircn lungulunei fibre longitudinale este dată de variaţia momentului icircncovoietor


O bară dreaptă este solicitată la răsucire (torsiune) dacă icircn secţiuneatransversală acţionează un moment al cărui vector este dirijat icircn lungul axeibarei

La bare curbe răsucirea este produsă de un moment dirijat icircn lungul tangentei laaxa barei

Piese solicitate la răsucirestructuri spaţiale cucapetele icircncastrate


arborii maşinilor bare de torsiune

structuri spaţiale cucapetele icircncastrate

Pentru bare cu secţiune axial-simetric - este valabilă ipoteza secţiunii plane

Pentru bare cu pereţi subţiri - tensiunile tangenţiale sunt constante pe grosimeaperetelui


Atunci cacircnd asupra unei bare acţionează mai multe cupluri exterioare avacircndvectorul dirijat icircn lungul axei barei este necesară construcţia unei diagrame demomente de răsucireDacă un arbore transmite puterea P (kW) la turaţia n(rotmin) momentul de torsiune se poate calcula curelaţia

n

PM t 9550 [Nm]

Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci n

NM t 7026 [Nm]


Dacă se cunoaşte puterea N (CP) şi turaţia n (rotmin)atunci

Puterea = Cuplul times Viteza unghiulară

n

P

rotturatia

kWputerea

sradunghiularaviteza

WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][


Tensiuni icircn bare cu secţiune axial-simetricăIpoteze - bara este dreaptă şi are secţiune constantă pe toată lungimea

- momentul de torsiune este constant pe toată lungimea barei- o secţiune transversală iniţial plană rămacircne plană şi după răsucire- secţiunile sunt indeformabile şi se rotesc ca un rigid icircn jurul axei barei


Deplasarea punctului B icircn Blsquo este dată de relaţia drdx Variaţia unghiului de 90o al generatoarei cu secţiunea din stacircnga duce la

rdx

dr

dx

d unde - unghi de lunecare specifică

- unghi de răsucire specifică


Aplicacircnd legea lui Hooke pentru forfecare rezultă rGG Tensiunile tangenţiale - variază liniar cu distanţa la centrul secţiunii

- sunt nule icircn centru- au valori maxime la marginea secţiunii

Tensiunea tangenţială maximăp

t

I

rM maxmax

Modulul de rezistenţă polarmaxr

IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M

Moment de răsucire capabil

aptcap WM

a - rezistenţa admisibilă la răsucire


Caracteristicile geometrice Ip şi Wp

Secţiune circulară plină

2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p

Secţiune inelară circulară


D = 2R este diametrul secţiunii

2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max

Pentru un inel subţire de razăR şi grosime h se obţine

hRI p 32

hRWp 22

5 Bare cu variaţie de secţiune - bare de egală rezistenţă

Pentru barele de secţiune constantă aflate icircn cacircmp gravitaţional tensiuneamaximă se află icircn icircncastrare iar diferenţa de solicitare icircntre secţiuniletransversale este extrem de mare Icircn consecinţă materialul nu este utilizatraţional

F - forţă axială aplicată

- greutatea specifică

A - aria secţiuni transversale

x - lungimea elementului






Pentru a elimina acest incovenient ar trebui ca forma barei să fie aleasă astfelicircncacirct tensiunea normală sa fie constantă pe toată lungimea barei și egală cutensiunea admisibilă


Un astfel de corp se numește bară de egală rezistenţă la icircntindere saucompresiune Această bară este economică are volumul minim și face parte dincategoria corpurilor cu formă raţională

Diagrama este impusă

Se izolează un volumelementar


xaeAxA

0)(

Secţiunea transversală a barei de egală rezistentă variază după o legeexponenţială

Deoarece dintre toate barele de lungime l icircncărcate cu forţa F și greutate propriebara de egală rezistenţă are volumul minim construirea acesteia implică unconsum minim de material


Volumul barei se determină cu relaţia dxxAdVVV

l

0

)(

introducacircnd parametrul A(x) )()1( 0

0 AAeAV AllA a

A - secţiunea maximă din icircncastrare

Greutatea barei va fi dată de relaţia VG

Deplasarea absolută a secţiunii xE

xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0

Pentru x = 0 se obţine deplasarea maximă a capătului liberE

la max

Alungirea barei de egala rezistenţă este maximă icircn comparaţie cu oricare altăbară de lungime l icircncarcată cu forţa F și greutatea proprie

Deoarece secţiunea barei variază după o lege exponenţială executarea sa estedificilă și scumpă deoarece de multe ori costul manoperei pentru realizarea bareide egală rezistenţă depășește preţul materialului economisit


Icircn practică de cele mai multe ori se preferă aproximarea solidului de egalărezistenţă cu bare tronconice sau cu bare formate din tronsoane icircn care seicircnscrie bara de egală rezistenţă

Se poate demonstra că la aproximarea cuo bară cu tronsoane economia maximă dematerial se obţine pentru cazul icircn carelungimile tronsoanelor sunt egale

Realizarea barelor cu un număr mai marede patru tronsoane nu este icircn generaleconomică deoarece icircn acest cazeconomia de material se apropie sensibilde cea care ar fi realizata prin utilizareasolidului de egală rezistenţă



Din relaţia de dimensionare1

1 l

FA

a

Dimensionarea se face impunacircnd condiţia ca icircn secţiunea periculoasătensiunea să fie egală cu cea admisibilă

Celelalte tronsoane sunt considerate icircncastrate la partea superioară Pentruacestea greutatea tronsoanelor inferioare acţioneaza ca forţă concentrată


Forţa concentrată pentru cel de-aldoilea tronson

aAlAFGF 1111

Dimensionarea tronsonului aldoilea

))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(

sauTronsoane delungimi egale

Calculul deplasărilor se facepentru fiecare tronson icircn parte

)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l

Lungimea de rupere sub greutate proprie a barei de egală rezistenţă este maimare decacirct a barei de secţiune constantă


Pentru barele de lungime mare greutatea proprie nu poate fi neglijată icircn raportcu forţele concentrate

Pentru o bară de secţiune constantă confecţionată dintr-un material omogenforţa axială produsă de către cacircmpul gravitaţional va fi uniform distribuită Eareprezintă greutatea unităţii de lungime și poate fi calculată icircmpărţind greutateabarei la lungimea acesteia

Se consideră o bară de lungime l avacircnd secţiunea constantă confecţionatădintr-un material omogen și izotrop cu greutatea specifică



Bara este solicitată la icircntindere de forţa F și de greutatea proprie Intensitatea

forţei distribuite este chiar greutatea unităţii de lungimel

Gq

Icircntr-o secţiune situată la distanţa x de capătul liber forţa axială este egală cu

xAFxN )( undeF - forţă axială aplicată - greutatea specificăA - aria secţiunii transversale

x - Lungimeaelementuluiconsiderat


Funcţia N(x) are o variaţie liniară devariabilă x

Pe capătul liber forţa axială arevaloarea minimă egală cu F iar icircnicircncastrare forţa axială este egală cureacţiunea V

GFlAFlNN )(max

Funcţia de variaţie a tensiunii normale σ(x) estedată de relaţia x

A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(

Valoarea maximă a tensiunii se obţine icircnicircncastrare pentru x = l

lA

F max

Secţiunea din dreptul icircncastrării unde se produce tensiunea maximă poartănumele de secţiune periculoasă

Dimensionarea se face impunacircnd condiţiaca tensiunea maximă să nu o depășeascăpe cea admisibilă

alA

F l

FA

anec


Deplasarea absolută a secţiunii x faţă de icircncastrareeste egală cu alungirea barei din partea de sus asecţiunii de lungime l-x și se obţine cu relaţia

l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(

Icircnlocuind tensiunea normală rezultă

)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

Deplasarea maximă se obţine pentru x = 0adică la capătul liber al barei

)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max

Caz particular bara este solicitată numai decătre greutatea proprie (F = 0)

l max


Această tensiune nu depinde de secţiunea barei astfel că nu se poate face uncalcul de dimensionare

Din inegalitatea al lungimea maximă a barei

al

Lungimea pentru care se atinge icircn bară se numește lungime admisibilă și sedetermină cu relaţia

a

a

al icircnlocuind tensiunea admisibilă cu ceade rupere rezultă lungimea de rupere abarei sub greutatea proprie

rrl


a


rrl

Icircn final se obţine alungirea totală a barei E

l

2

2

max

Lungimea de rupere este independentă de mărimea secţiunii transversale fiindfuncţie numai de caracteristicile materialuluiRuperea sub greutatea proprie a unui material se produce icircntotdeauna la aceiași lungimeindiferent de mărimea secţiunii transversale a barei

Lungimea de rupere sub greutatea proprie reprezintă o importantă caracteristică de material


Structurile supuse solicitărilor pot ceda icircn diverse moduri icircn funcţie de structurăcondiţiile de rezemare tipul solicitării sau materialul folosit

Majoritatea problemelor structurale pot fi evitate icircncă din faza de proiectareurmărindu-se ca tensiunile și deplasările maxime să rămacircnă icircn limite admisibile

Stabilitatea reprezintă abilitatea unei structuri de a susţine o anumită icircncărcare fără aicircnregistra o modificare bruscă a configuraţiei

O categorie aparte din domeniul colapsuluise referă la instabilitatea elastică astructurii cunoscută sub numele deflambaj aceasta reprezentacircnd deflecţialaterală mare care se produce icircntr-un timpscurt datorită unei creșterii a sarciniloraplicate



Pentru o bară atunci cacircnd apare o icircncovoierelaterală se consideră că s-a produsflambajul care sub acţiunea unei forţe axialeicircn creștere poate duce icircn final la colapsulbarei


Fenomenul de flambaj nu apare doar la bare simple el reprezentacircnd un pericolpentru majoritatea structurilor unde se poate manifesta icircn moduri diferite

Flambajul reprezintă una din cauzele majore de colaps al structurilor astfel că icircncalculele de rezistenţă trebuie luată icircn considerare și acest tip de problemă



Dacă un sistem mecanic ideal este scos din poziţia de echilibru și dupăicircnlăturarea forţei perturbatoare sistemul revine la starea iniţială de echilibruatunci se consideră că acesta este stabil

Echilibru stabil instabil neutru

Valoarea forţei de compresiune lacare poziţia de echilibru devineinstabilă poartă numele de forţăcritică de flambaj AP fcr

f - tensiunea critică de flambajValoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia


f - tensiunea critică de flambaj

A - aria barei

Valoarea maximă (permisă) a forţei decompresiune rezultă din relaţia

c

PP cr c - coeficient de siguranţă

la flambaj

Tensiunea critică de flambaj se determină icircn funcţie de

2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf

E - modulul de elasticitatelongitudinal

c - limita de curgere

ba 01 - constante de material


Cazuri fundamentale de flambaj pentru bare ideale



Caz A - Bară articulată la ambele capeteBara este icircncărcată cu o forţă de compresiune verticală P (la unul din capete)care este aplicată icircn centrul secţiunii transversale

Bara se presupune a fi perfect dreaptă și este realizată dintr-un material careare o comportare liniar elastic care respectă legea lui HookeDe asemenea se presupune că bara este ideală adică nu are imperfecţiuni

Atunci cacircnd forţă axială P are valorimici bara rămacircne perfect dreaptă șieste supusă solicitări decompresiune axială



Tensiunea icircnregistrată este dată derelaţia

AP Pentru solicitări reduse barase află icircntr-o stare de echilibrustabil ceea ce icircnseamnă cădupă icircnlăturarea sarcinii bararevine la forma iniţială


Pe măsură ce forţa axială P crește gradual se icircnregistrează o situaţie de echilibruneutru icircn care bara poate avea o formă curbată

Valoarea corespunzătoare acestei icircncărcări poartă numele de sarcină critică (Pcr)

Astfel sarcina critică poate menţine bara icircn echilibru fie icircn poziţie dreaptă sauușor curbată

Peste această valoare a icircncărcării bara devine instabilă și poate să colapsezeprin flambaj datorită unei icircndoiri excesive

crPP

crPP


Pornind de la ecuaţia de flambaj (sinkL=0) se poate obţine valoarea forţei critice

2

22

L

IEn unde (n=1 2 3 ) reprezintă o fracţiune din forţa critică- semiundă

L

xnCkxCx

sinsin)( 11

Ecuaţia curbei deformate este de forma

unde (n=1 2 3 ) C1 și C2- reprezintăconstante de integrare caracterisitcecondiţiilor de frontieră de la capetelebarei


Caz B- Bară icircncastrată la un capăt și liberă la celălalt

n=1 n=3 n=5


Momentul de icircncovoiere la o distanţă x faţă de bază este )( PM

- deplasare capăt liber al barei

Ecuaţia diferenţială a curbei deformate devine )( PMIE

I - moment de inerţie pentruflambajul icircn planul xy

Folosind notaţia rezultăIEPk 2 22 kk

Soluţia omogenă (sau soluţia complementară)

kxCkxCxh cossin)( 21 C1 și C2- constante de integrare


Ceea de-a treia condiţie de frontieră se aplică capătului liber al barei acolo undedeplasarea este egală cu )(L

Pe baza relaţiilor anterioare se poate scrie care stă la baza ecuaţiede flambaj

0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )

Folosind expresia se obţine sarcina criticăIEPk 22

22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr

Formele deformate ale barei icircn urma flambajului sunt exprimate prin

L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr

Dacă indicele n are o valoare mai mare se poate obţine teoretic un număr infinitde icircncărcări critice

De exemplu pentru n=3 forţa critică este de 9x mai mare decacirct n=1pentru n=5 curba deformată are mai multe valuri iar forţa critică

este de 25x mai mare

8 Flambajul barelor drepte la solicitări simpleLungimea efectivă a unei bareSarcina critică aplicată unei bare definită avacircnd diverse condiţii de legătură poate fi legatăde sarcina critică a unei bare articulate prin intermediul conceptului de lungime efectivă

Se consideră o formă deformată a barei icircncastrată la un capătși liberă la celălalt

Această bară are o formă deformată care este un sfert dintr-ocurbă sinusoidală completă

Dacă se extinde această formă deformată aceasta devinejumătate dintr-o sinusoidală completă care reprezintă defapt curba unei bare articulate



Lungimea efectivă Le pentru orice bară este definită calungimea echivalentă a unei bare articulate

Icircn acest caz lungimea efectivă este LLe 2 2

2

e

crL

IEP

Factorul poate descrie lungimea efectivă LLe 22

L

IEPcr

= 2 (bară icircncastrată la un capăt)= 1 (bară articulată)


Caz C - Bară dublu icircncastrată

Icircn ambele capete ale barei nu este permisă rotaţia sau deplasarea orizontală darpoate să apară deplasare verticală

Atunci cacircnd se icircnregistreazăprimul mod de flambaj formadeformată este simetrică (pantăzero la mijloc) și are panta egalăcu zero la capete



Curba are puncte de inflexie la odistanţă L4 faţă de capete

Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr

Rezultă că pentru acest caz forţă critică este de 4x mai mare decacirct pentru o barăcu capete articulate


Caz D - Bară icircncastrată la un capăt și articulată la celălalt

Atunci cacircnd bara flambeazăapare un moment reactiv M0la bază deoarece nu existărotaţie icircn acel punct Dinechilibrul barei rezultă oreacţiune orizontală R lafiecare din capete LRM 0


LRM 0

Momentul de icircncovoiere icircn bara supusăla flambaj la o distanţă x faţă de bază

)(0 xLRPxRPMM

Pe baza acestor relaţii se poate determina valoarea forţei critice

2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr

această valoare este mai mare decacirct icircn cazul bareiarticulate dar mai mică decacirct valorile specificebarei cu ambele capete icircncastrate

9 Metoda Euler

LEONHARD EULER (15 aprilie 1707 - 18 septembrie 1783)

Domenii de activitate matematică fizică astronomie logicăinginerie (mecanică dinamica fluidelor optică)

Numărul lui Euler (e) asymp 271

FORMULA LUI EULER (flambaj) - Calculul forţei critice la barele drepte zveltesolicitate la compresiune axială



Se aplică elementelor de rezistenţă care icircși pot pierde stabilitatea subacţiunea forţei critice

Forţa critică = valoarea forţei axiale de compresiune la care bara icircşi pierdestabilitatea

Forţa critică de flambaj este direct influenţată de modul de rezemare al barei

9 Metoda Euler

Se consideră o bară dreaptă delungime L realizată dintr-un materialelastic articulată la ambele capeteși comprimată de sarcina P

Se presupune că sarcina P a atins valoarea sarciniicritice de flambaj la care bara are o poziţie deechilibru indifferent (deformaţie mare de curbăneprecizată)


Ecuaţiile de echilibru trebuiesc scrise consideracircnd starea deformată a bareiadică secţiunea x (din stacircnga) care conţine eforturile N=P și M=P v

Folosind ecuaţia fibrei medii deformate a barei solicitate la icircncovoiere se obţine

IE

M

dx

vd

2

2 + expresia momentului icircncovoietorIE

vP

dx

vd

2

2

ce are soluţia axCaxBv cossin

Din condiţia la limită icircn origine x=0 v0=0 rezultă C=0axBv sin

ecuaţia axei bareideformate

9 Metoda Euler

Derivacircnd și icircnlocuind icircn relaţia fibrei medii deformate

0sin2

axBIE

Pa

z

care este valabilă pentruzIE

Pa

2 sau

zIE

Pa

0sin axB dacă relaţia este egală cu zero rezultă că bara nu sedeformează pentru orice x (bara nu flambează)

Condiţia la limită icircn reazemul A x= L vA = Bsin(a)L=0 este valabilă pentru

sin(a)L=0 care poartă numele de ecuaţie de stabilitate Soluţiile acesteia sunt




nIE

PLLa

z

din care se obţin sarcinile critice de flambaj

2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler

Deformaţiile barei sunt de forma

sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn

Cu Lf se notează distanţa dintre două puncte succesive de inflexiune a

deformaţiei acestă distanţă fiind cunoscută sub numele de lungime de flambaj

(L1f=L L2f=L2hellip Lnf=Ln)2

2

nf

znf L

IEP

Icircn final sarcina critică de flambaj și deformata barei pot fiscrise sub forma


2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin


Soluţiile raportate pentru nge2corespund unor situaţii icircn care baraeste constracircnsă de ghidajesuplimentare

9 Metoda Euler

Icircn lipsa legăturilor suplimentare flambajul se manifestă doar pentru sarcina ceamai mică care este asociată cu o lungime de flambaj maximă

Sarcina critică de flambaj = sarcina minimă carecorespunde unei lungimi de flambaj minime și a unuimoment de inerţie minim

2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare

C1 Bară articulată la ambelecapeteC2 Bară icircn consolăC3 Bară icircncastrată la uncapăt și articulată la celălaltC4 Bară dublu icircncastratăC5 Bară dublu icircncastrată -unul din capete se poatedeplasa icircn plan transversalC6 Bară articulată la un capătși icircncastrată la celălalt -icircncastrarea se poate deplasaicircntr-un plan transversal barei




Flambajul elastic

La baza formulei lui Euler se află formula lui Navier IE

Mi

1

Dacă materialul are o comportarea liniar elastică este necesar ca tensiuneacritică (σcr) să fie cel mult egală cu limita de proporţionalitate (σp)

Tensiunea critică de flambaj = (forţa critică de flambaj) (aria secţiunii transversale a barei)

pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2Dacă nu se mai poate aplica relaţia Eulerpcr

Dacă se exprimă momentul de inerţie icircn funcţie de aria secţiunii şi raza degiraţie se poate exprima relaţia

p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f

coeficient de zvelteţe

sau

coeficient de subţirime al barei


Pentru aplicarea relaţiei lui Euler trebuie avută icircn vedere condiţiap

E

Valoarea minimă a coeficientului de zvelteţe (λ0) corespunde limitei inferioare aflambajului elastic pentru care formula lui Euler este valabilă

Relaţia dintre tensiunea critică şi coeficientul de zvelteţe este o hiperbolănumită hiperbola lui Euler

Punctul B definește abscisa λ0 careicircmparte domeniul valorilor lui λ icircn douăcategorii



domeniul flambajului elastic

0 pcr

domeniul flambajului plastic

0 pcr

Formula lui Euler este permisă numai pentru domeniul elastic


Flambajul plastic Relaţiile Tetmajer-IasinskiAtunci cacircnd valorile coeficientului de zvelteţe sunt mai mici decacirct λ0 tensiuneacritică de flambaj nu mai corespunde hiperbolei lui Euler

Icircn această situaţie trebuie stabilită o relaţie icircntre caracteristicile σcr şi λ pentrudomeniul flambajului plasticPentru oţeluri se pune problema stabilirii unei relaţii care să ţină cont de traseulcurbiliniu al diagramei caracteristice peste limita de proporţionalitate

Tetmajer şi Iasinski au propus o relaţie liniară icircntre tensiunea critică şicoeficientul de zvelteţe pacircnă la atingerea limitei de curgere



bacrdreapta lui Tetmajer-Iasinski(segmentul BD )

Cacircnd tensiunea critică este egală cu limita de curgerecoeficientul de zvelteţe este λ1 (punctul D)

Pentru 1 - bara nu mai flambează- calculul se face numai lacompresiune

A

C

10 Flambajul icircn domeniul elasto-plasticCoeficienţii a b și parametrii λ0 λ1 depind de material


Caracteristicăde flambaj

)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f

b) BD elasto-plastic baf c) CD plastic 1


Flambajul nu este un fenomen dorit pentru o structură de rezistenţă

Tensiunea critică sau forţa critică de flambaj sunt mărimi periculoase

Efortul axial din bara solicitată la compresiune le forţa critică de flambaj

Calculul la flambaj al barelor comprimate se realizează icircn funcţie de domeniulde utilizare al barei

I) Construcţii de Mașini - metoda coeficientului de siguranţă

II) Construcţii civile industrial și agricole - metoda coeficientului φ (STAS 101080-78)




Coeficientul de siguranţă la flambaj (cf)

afcr

f cN

Fc

crF

N

afc

- forţa critică de flambaj

- efortul axial de compresiune efectiv

- coeficient de siguranţă admisibil la flambaj


I) Metoda coeficientului de siguranţă

Există trei tipuri de problemă verificare dimensionare icircncărcare capabilă carese pot rezolva pe baza coeficientului de siguranţă la flambaj

Valorile coeficientului de siguranţă admisibil la flambaj se icircnscriu icircn limite largineexistacircnd indicaţii oficiale pentru alegerea lui

Domeniul de utilizare a barei comprimate caf

Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28


Piese de mașini supuse șocului și solicitărilor variabile 8-28Construcţii uzuale de mașini 4-12Construcţii din lemn 3-10Construcţii metalice 17-24 (Metoda φ)

Organe de mașini caf

Tija pistonuluiMaşini cu un cilindru 8 ndash 12Maşini cu un cilindru şi contratijăMaşini cu doi cilindri

4 ndash 8

Biela Maşini termice mari 14 ndash 28Motoare de automobil 4 ndash 45


I-a) Calcul de verificare sau efort capabil

Se determină efortul axial de compresiune din bară şi forţa critică de flambaj

Pentru a putea determina forţa critică de flambaj (are valoare numerică)trebuie stabilit domeniul de flambaj Se calculează coeficientul de zvelteţe λcare se compară cu λ0 respectiv λ1

Apar două situaţii


2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01

Valorile determinate se introduc icircn relaţia coeficientul de siguranţă la flambaj(cf) unde se poate realiza calculul de verificare


I-b) Calcul de dimensionare

Deoarece nu se cunosc dimensiunile secţiunii transversale ale barei nu se poatedetermina coeficientul de zvelteţe deci nici domeniul de flambaj

Icircn această caz se consideră că bara flambează icircn domeniul elastic iar pentruforţa critică de flambaj se aplică formula lui Euler

E

lcNI faf

nec

2

2

min dimensiunea secţiunii transversale a barei


E

lcNI faf

nec

2

2


După determinarea dimensiunii secţiunii este necesar un calcul de verificare aldomeniului de flambaj

- se calculează cu dimensiunea găsită coeficientul de zvelteţe λ- dacă λ ge λ0 dimensiunea găsită este bună (se acceptă verificacircndu-se domeniulde flambaj)- dacă λ lt λ0 nu se verifică domeniul-se măreşte dimensiunea găsită iniţial şi se parcurg toate etapele de la calcululcoeficientului de zvelteţe pacircnă cacircnd cf ge caf


II Calculul la flambaj prin metoda coeficientului de flambaj φ

Se defineşte mai icircntacirci rezistenţa admisibilă la flambaj

A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF

Fr - forţa axială reală din bară

A ndash aria secţiunii transversalea barei

Calculul la flambaj poate fi transformat icircntr-un calcul dedimensionare la compresiune

af

rnec

FA



af

rnec

FA

Coeficient de flambaj 1a

af

Rezultă relaţia de dimensionare

a

rnec

FA

calculul de verificare

ar

ef A

F

Valoarea coeficientului de flambaj φ este icircn funcţie de natura materialului şide lungimea de flambaj λ


II Metoda coeficientului de flambaj φ - etape

-se determină efortul axial N şi tensiunea admisibilă a materialului σa-se determină dimensiunea secţiunii transversale-cu dimensiunea găsită se calculează coeficientul de zvelteţe λdin tabele se determină coeficientul de flambaj φ funcţie de λ determinatanterior- se calculează o forţă admisibilă

efaaf AF


efaaf AF Dacă

bull Faf gtN rarr dimensiunea este acceptată

bull Faf ltN rarr dimensiunea nu este bună

Pentru ultimul caz se măreşte dimensiunea secţiunii transversale şi sereia calculul de la determinarea coeficientului de flambaj λ

Calculul se termină atunci cacircnd condiţia de mai sus este verificată

12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axială

CAZURI FUNDAMENTALE

Comportarea unei bare depinde de- lungimea stacirclpului

- modul de aplicare a momentelor pe bară

- legăturile laterale (dacă există)

Cazul 1 Stacirclp scurt supus la forţă axială și icircncovoiere plană sau oblică

Cedarea apare la atingerea capacităţii plastice a secţiunii


Cazul 2 Stacirclp zvelt supus la forţa axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y

Cazul 3 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană după axa minoră z-z

Cazul 4 Stacirclp zvelt supus la forţă axială și icircncovoiere plană dupa axa majoră y-y+ nu există legături laterale

Cazul 5 Stacirclp zvelt supus la forţă axială si icircncovoiere oblică + nu există legăturilaterale



Cazul 2 Cazul 3Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim

Cedarea flambajdupă axa z-z


Cazul 4 Cazul 5

Cedarea Dacă legăturileasigură icircmpiedicareaflambajului icircn afaraplanului stacirclpul cedeazăprin flambaj după axa y-y Dacă forţa axială esteredusă sau zvelteţea nueste foarte mare seformează o articulaţieplastică la capătul bareisau icircn secţiunea demoment maxim

Cedarea combinaţie icircntreflambaj după axa z-z șiflambaj prin icircncovoiere ndashrăsucire stacirclpul serasucește și se deformeazăicircn ambele planuri y-y și z-z

Cedarea similar cuCazul 4 dar flambajuldupă axa minimă z-zeste predominantAcesta este cazulgeneral de icircncărcareal stacirclpilor

12 Flambajul barelor drepte solicitate la icircncovoiere şiforţă axialăStabilitatea barelor supuse la compresiune cu icircncovoiere plană

Bară solicitată de o forţă de compresiune și douămomente de icircncovoiere egale și de semne opusela cele două capete

Momentul icircn orice secţiune se compune din- moment primar M- moment secundar Ntimesv

Deplasarea maximă lamijlocul barei este de forma

12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey

- forţa critică Euler pentru icircncovoiere după axa

maximă y-y

Momentul maxim (la mijlocul barei) are expresia

EyP

NMM

2secmax


Verificarea barelor la compresiune cu icircncovoiere plană

Secţiuni de clasă 1 și 2

Elementele supuse la compresiune axialatilde și icircncovoiere plană trebuie săicircndeplinească următoarele condiţii

1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde

y - factor de reducere pentru flambajul prin icircncovoiere

1yy

Sdyy fA

Nk

51yk - factor de modificare

42

yel

yplMyyy W

W 90y

My - factor de moment uniform echivalent- ţine cont de neuniformitatea diagramei de momente



Secţiuni de clasă 3

1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

yy k - vezi Clasa 1 și 2

9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3

effA - aria secţiunii transversale efectivela compresiune pură

yeffW - modulul de rezistenţă efectivpentru icircncovoiere pură

zNe - distanţa dintre axa neutră asecţiunii brute și cea a secţiuniiefective


Se consideră o bară solicitată la compresiune de forţa F aplicată cu oexcentricitate e

Momentul icircncovoietor icircntr-o secţiune oarecare areexpresia

)()( weFxM unde δ - săgeata icircn capătul barei w - săgeata icircnsecţiunea x

Ecuaţia diferenţială a liniei elastice a barei este



)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2

Soluţia generală este de forma exCxCxw cossin)( 21


Constantele de integrare C1 și C2 se determină din condiţiile la limită x=0 w=0

și wrsquo=0 Rezultă și 01 C )(2 eC

Icircn acest caz soluţia generală este )cos1)(()( xexw

Săgeata la capătul superior este

)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(

Săgeata icircntr-o secţiune oarecare a barei

x

xexw

coscos1)(

w atunci cacircnd 0cos l mai exact pentru

212

n

l

Valoare minimă se obţine pentru21 l

Excentricitatea e numodifică mărimea sarciniicritice de flambaj


Săgeata la capătul superior nu este proporţională cu forţa F

PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1

se obţine expresia săgeţii δ icircn funcţie de forţa F

Icircntre forţă şi deformaţie există o corespondenţă biunivocă

Rezultă curbe cu alură hiperbolică

Dependenţa faţă de parametrul e fiind liniară curbele se pot deduce una dincealaltă reducacircnd δ icircn același raport cu e


Ţinacircnd seama de ecuaţia diferenţialăneliniară a liniei elastice IE

M

w

w

2311

Se obţine aceeaşi valoare a forţei critice deflambaj dar deformaţia are o dependenţăneliniară de forţa F Conform formulei stabilitede von Mises pentru FgtFcr rezultă

1

811122

crcr F

F

F

Fl

Dacă se reprezintă grafic variaţia forţei F cusăgeata δ pentru e = 0 se obţine o curbă deformă parabolică (linia icircntreruptă) tangentă laorizontala F = Fcr



Icircn cazul de faţă datorită dependenţeineliniare icircntre forţă și deformaţii nu se poateaplica principiul suprapunerii efecteloradunacircnd săgeta produsă de forţa F cusăgeata produsă de cuplul Fe

Metoda elementului finit este o metodă numerică derezolvare a problemelor inginerești

Pentru aplicaţiile care implică geometrii și solicităricomplexe precum și diverse caracteristici dematerial icircn general nu este posibilă obţinerea uneisoluţii matematice pe cale analitică

Se apelează la metode numerice pentru a obţinesoluţii acceptabile Aceste metode procesează uncorp compact prin intermediul unui număr discret depuncte pentru care se obţin valori aproximative




Pentru o problemă structurală se urmărește icircn primăfază determinarea deplasărilor și tensiunilor specificefiecărui nod sub acţiunea unor solicitări iar icircn finalprin combinarea acestor rezultate se obţine o soluţiepentru corpul analizat

Scurt istoric

Dezvoltarea metodei elemetelor finite a icircnceput icircn jurul anului 1940 odată custudiile realizate de Hrennikoff și McHenry (bare și grinzi)

Primul studiu 2D a fost realizat de Turner et al icircn 1956

Conceptul de element finit a fost introdus de Clough icircn 1960 atunci cacircnd s-aufolosit primele elemente triunghiulare și rectangulare

Icircn anul 1952 apare pe piaţă primul calculator commercial (Univac IBM 701)




Icircn anul 1961 au fost abordate primele probleme 3D de analiză cu element finit

Icircn anul 1976 s-a pus icircn discuţie analiza unor sisteme avacircnd o comportareneliniară precum și icircmbunătăţirea tehnicilor de modelare existente

Melosh a introdus icircn anul 1963 o abordare variaţională pentru metodaelementelor finite

Pentru problemele structurale inginerii icircncearcă să determine tensiunile șideplasările din structură care se presupune a fi icircn echilibru și supusă acţiuniiunor icircncărcări

Există două metode generale de abordare

Metoda flexibilităţii - consideră forţele interioare ca fiind necunoscuteleproblemei Pentru a obţine ecuaţiile generale se folosesc icircn primul racircndecuaţiile de echilibru Prin introducerea unor ecuaţii de compatibilitate seobţin ecuaţiile necesare addiţionale care formează icircn final un set de ecuaţiialgebrice prin care se exprimă forţele necunoscute




Metoda deplasărilor - se presupune că deplasările nodurilor reprezintănecunoscutele problemei Ecuaţiile generale sunt definite icircn funcţie dedeplasările nodale folosind ecuaţiile de echilibru și o lege de aplicare careleagă forţele de deplasări

Icircn cazul aplicaţiilor numerice se observă că metoda deplasărilor este mai desfolosită deoarece are o formulare simplă pentru o gamă largă de problemele ceţin de analiza structurală

Avantajele analizei cu element finit

1 Se pot analiza cu ușurinţă corpuri avacircnd forme neregulate

2 Pot fi procesate diverse tipuri de solicitări

3 Modelarea se poate realiza pentru corpuri realizate din diferite material -

elementele ecuaţiilor sunt evaluate individual

4 Sunt procesate un număr nelimitat de legături sau condiţii de frontieră

5 Se poate realiza o discretizare fină a elementelor icircn zone importante

6 Includ efecte dinamice

7 Procesează comportări neliniare - deformaţii mari și materiale neliniare











Prin metoda elementului finit se pot detecta eventuale probleme ce ţin detensiuni vibraţii sau de altă natură icircn timpul procesului de proiectare fiindposibilă evaluarea unui eventual prototip icircnainte de realizarea acestuia


Programe de calcul A) comerciale de uz generalB) destinate unor probleme specifice

AVANTAJEPrograme de tip A

bull Pre-procesorul este deja disponibil pentru a crea un model virtual

bull Se pot adăuga noi module pentru diferite aplicaţii

bull Folosind un singur model virtual se pot rezolva mai multe probleme





Programe de tip Bbull Programele au dimensiuni relativ mici - cost de dezvoltare redus

bull Pot fi rulate pe calculatoare mai puţin performante

bull Sunt eficiente icircn rezolvarea unor probleme specifice

Softuri specifice Algor Abaqus ANSYS COSMOSM GT-STRUDL MARC

MSCNASTRAN NISA ProMECHANICA SAP2000 STARDYNE


Start Definireaproblemei

Preprocesare Procesare Postprocesare

AnalizaDecizie Stop

PreprocesarebullGenerarea geometriei modelului

bullStabilirea proprietăţilor de material şi a caracteristicilor geometrice

bullDiscretizarea modelului cu tipul de elemente finite adecvate problemei

bullAplicarea condiţiilor la limită pentru modelul cu elemente finite

bullDefinirea icircncărcărilor pe model







ProcesarebullVerificarea datelor de intrarebullLansarea icircn execuţie a modeluluicomplet

PostprocesarebullReprezentarea rezultatelorbullAnaliza şi interpretarea rezultatelor


Etape icircn aplicarea metodei elementelor finite

1 Studiul structurii icircn vederea alegerii unui model de calcul şi a tipurilor de elemente finiteadecvate care să reproducă cacirct mai fidel starea reală de tensiune şi deformaţie

2 Discretizarea structurii - se va avea icircn vedere ca elementele finite să nu fiedistorsionate Se recomandă ca raportul dintre lungimile laturilor să fie apropiat de 1

3 Studiul elementelor finite icircn vederea constituirii ecuaţiilor elementelor finite (ecuaţiielementale)


4 Transformarea matricelor de rigiditate a elementelor din sistemul de coordonate localicircn sistemul de coordonate global al structurii

5 Asamblarea ecuaţiilor elementale icircn sistemul de ecuaţii ataşat structurii sauasamblarea elementelor finite

6 Rezolvarea sistemului de ecuaţii se determină necunoscutele principale ale problemeicare sunt de fapt valorile gradelor de libertate din noduri

7 Calculul necunoscutelor secundare cum ar fi deformaţiile specifice şi componenteleale tensorului tensiune


Discretizare și selectarea elementelor

a) Elemente 1D - bare și grinzi Acestea au osecţiune transversală dar de obicei suntreprezentate prin segmente linie

b) Elemente 2D (sau plane) - triangulare saucuadrilaterale


b) Elemente 3D

Tetraedru Hexaedru regulat(cub)

Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE

Boazu D 2006 Rezistenţa materialelor ndash Solicitări simple şi compuse ale barelorEditura EUROPLUS Galaţi

Demenko V 2015 Mechanics of materials Lecture 25 Buckling of ColumnsDubină D Structuri metalice Curs online httpwwwctuptrousersDanDubina

(Accesat icircn Martie 2017)Faur N 2002 Elemente Finite Fundamente Ed Politehnica TimişoaraGavrilescu I Mocanu C 1999 Analiză cu elemente finite Editura Evrika BrăilaLogan DL 2007 A First Course in the Finite Element Method Fourth Edition

ISBN 0-534-55298-6Mircea R 2010 Rezistenţa materialelor I Editura Printech BucureștiMocanu F 2006 Rezistenţa materialelor Vol I Ed TEHNOPRESS IaşiSofonea G Pascu AM 2007 Rezistenţa Materialelor Editura Universităţii

Lucian Blagardquo din Sibiu ISBN (13) 978-973-739-362-3Tripa P 2001 Rezistenţa materialelor Vol II Editura MIRTON Timișoara ISBN

973-578-915-9Văcărescu DF 2002 Rezistenţa materialelor Curs VolI Editura Risoprint Cluj-

Napoca ISBN 973-656-376-6

ISBNgeneral 978-606-669-246-5 ISBNvol 1 978-606-669-247-2 CSM I - Suport de curs








CUPRINS1 Aplicarea teoriilor de rezistenţă la bare








9 Metoda Euler















9 Metoda Euler














x



2221 4

21

2

a) tensiuni normale



Lech )4(50 221I

II Lech

2222

2 465035042

12

1

III Lech 223 4

IV Lech 22224 62)1(2


IV Lech 22224 62)1(2

V Lech 225 3

Forfecare pură



de curgere)

LL

cc

LL 760

cc 760

LL 50

cc 50

LL 620

cc 620

LL 570

cc 570






3321

m


3321

m




)(

321

31

II

IIIm

ech

ech


Drepte de pantă m


















AdAdANAA


Tensiune normalăA

N


N

E



LNLL




L AE

NL sau

AE

LNL








aef

ef A

N maxaAE

N

max sau aLAE

LNL

max


aef

ef A

N maxaAE

N

max aLAE

LNL

max


aa

aa

aa

LLL

051800518005180

max

max

max

BARA REZISTĂ








LAEN aef

cap






anec

NA

max

anec E

NA

max sau

anec LE

NLA

max










Caz A Caz B Caz C

















y

dx

dxx


y

dx

dxx




xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE























x



2221 4

21

2

a) tensiuni normale



Lech )4(50 221I

II Lech

2222

2 465035042

12

1

III Lech 223 4

IV Lech 22224 62)1(2


IV Lech 22224 62)1(2

V Lech 225 3

Forfecare pură



de curgere)

LL

cc

LL 760

cc 760

LL 50

cc 50

LL 620

cc 620

LL 570

cc 570






3321

m


3321

m




)(

321

31

II

IIIm

ech

ech


Drepte de pantă m


















AdAdANAA


Tensiune normalăA

N


N

E



LNLL




L AE

NL sau

AE

LNL








aef

ef A

N maxaAE

N

max sau aLAE

LNL

max


aef

ef A

N maxaAE

N

max aLAE

LNL

max


aa

aa

aa

LLL

051800518005180

max

max

max

BARA REZISTĂ








LAEN aef

cap






anec

NA

max

anec E

NA

max sau

anec LE

NLA

max










Caz A Caz B Caz C

















y

dx

dxx


y

dx

dxx




xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE


















Lech )4(50 221I

II Lech

2222

2 465035042

12

1

III Lech 223 4

IV Lech 22224 62)1(2


IV Lech 22224 62)1(2

V Lech 225 3

Forfecare pură



de curgere)

LL

cc

LL 760

cc 760

LL 50

cc 50

LL 620

cc 620

LL 570

cc 570






3321

m


3321

m




)(

321

31

II

IIIm

ech

ech


Drepte de pantă m


















AdAdANAA


Tensiune normalăA

N


N

E



LNLL




L AE

NL sau

AE

LNL








aef

ef A

N maxaAE

N

max sau aLAE

LNL

max


aef

ef A

N maxaAE

N

max aLAE

LNL

max


aa

aa

aa

LLL

051800518005180

max

max

max

BARA REZISTĂ








LAEN aef

cap






anec

NA

max

anec E

NA

max sau

anec LE

NLA

max










Caz A Caz B Caz C

















y

dx

dxx


y

dx

dxx




xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE





















3321

m


3321

m




)(

321

31

II

IIIm

ech

ech


Drepte de pantă m


















AdAdANAA


Tensiune normalăA

N


N

E



LNLL




L AE

NL sau

AE

LNL








aef

ef A

N maxaAE

N

max sau aLAE

LNL

max


aef

ef A

N maxaAE

N

max aLAE

LNL

max


aa

aa

aa

LLL

051800518005180

max

max

max

BARA REZISTĂ








LAEN aef

cap






anec

NA

max

anec E

NA

max sau

anec LE

NLA

max










Caz A Caz B Caz C

















y

dx

dxx


y

dx

dxx




xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE

















Drepte de pantă m


















AdAdANAA


Tensiune normalăA

N


N

E



LNLL




L AE

NL sau

AE

LNL








aef

ef A

N maxaAE

N

max sau aLAE

LNL

max


aef

ef A

N maxaAE

N

max aLAE

LNL

max


aa

aa

aa

LLL

051800518005180

max

max

max

BARA REZISTĂ








LAEN aef

cap






anec

NA

max

anec E

NA

max sau

anec LE

NLA

max










Caz A Caz B Caz C

















y

dx

dxx


y

dx

dxx




xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE























AdAdANAA


Tensiune normalăA

N


N

E



LNLL




L AE

NL sau

AE

LNL








aef

ef A

N maxaAE

N

max sau aLAE

LNL

max


aef

ef A

N maxaAE

N

max aLAE

LNL

max


aa

aa

aa

LLL

051800518005180

max

max

max

BARA REZISTĂ








LAEN aef

cap






anec

NA

max

anec E

NA

max sau

anec LE

NLA

max










Caz A Caz B Caz C

















y

dx

dxx


y

dx

dxx




xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE

















Tensiune normalăA

N


N

E



LNLL




L AE

NL sau

AE

LNL








aef

ef A

N maxaAE

N

max sau aLAE

LNL

max


aef

ef A

N maxaAE

N

max aLAE

LNL

max


aa

aa

aa

LLL

051800518005180

max

max

max

BARA REZISTĂ








LAEN aef

cap






anec

NA

max

anec E

NA

max sau

anec LE

NLA

max










Caz A Caz B Caz C

















y

dx

dxx


y

dx

dxx




xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE





















aef

ef A

N maxaAE

N

max sau aLAE

LNL

max


aef

ef A

N maxaAE

N

max aLAE

LNL

max


aa

aa

aa

LLL

051800518005180

max

max

max

BARA REZISTĂ








LAEN aef

cap






anec

NA

max

anec E

NA

max sau

anec LE

NLA

max










Caz A Caz B Caz C

















y

dx

dxx


y

dx

dxx




xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE





















LAEN aef

cap






anec

NA

max

anec E

NA

max sau

anec LE

NLA

max










Caz A Caz B Caz C

















y

dx

dxx


y

dx

dxx




xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE
























Caz A Caz B Caz C

















y

dx

dxx


y

dx

dxx




xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE
































y

dx

dxx


y

dx

dxx




xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



















xx E xyxy G


xx E xyxy G


yE

x 0xy



ydAE

N

0E






z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



















z

A A

xz IE

dAyE

ydAM

2




yEI

EM

z

zx sau y

I

M

z















n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



























n

PM t 9550 [Nm]


NM t 7026 [Nm]




n

P

rotturatia

kWputerea


WputereaM t

30000

min][30

][1000][

][

kWWs

mN

s

mkgfCP 736073681975751

][7360][ CPNkWP

n

N

n

N

n

CPN

n

WPNmM t 702697025][8197530][30][






rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE





















rdx

dr

dx







t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE




















t

I

rM maxmax


IW p

p



IW p

p

p

t

W

Mmax

Dimensionare

a

tpnec

MW

Verificare

ap

tef W

M


aptcap WM





2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



















2

0

43

322

D

p

DdrrI

162

323

4

max

DD

D

r

IW p

p




2

2

443

32)(2

D

d

p

dDdrrI

D

dDD

dD

r

IW p

p 16)(

2

32)(

44

44

max


hRI p 32

hRWp 22


















xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE

































xaeAxA

0)(





l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE


















l

0

)(


0 AAeAV AllA a




xldx

E

xx a

xl )()()(0


E

xldx

E

xx a

xl )()()(0


la max










1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE























1 l

FA

a





aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE


















aAlAFGF 1111


))(( 212

12 ll

F

l

AA

aa

a

a

a


Pentru tronsonul i

)())(( 21 iaaa

lia

i lKll

FA

ia

lia

i

n

lF

A)(



)2

( 121i

ii

ii

GGGGN

EA

l










Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE
























Gq







GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



















GFlAFlNN )(max


A

F

A

xAFxx

)(



A

F

A

xAFxx

)(


lA

F max



alA

F l

FA

anec



l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE


















l

x

l

xdxx

Edx

AE

xNx )(1)()(


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x


)2

(maxlA

FAE

l

AE

lG

F

)2

(max


)](2

[)(

)](2

)([)(

)()(

22

xlA

FAE

xlx

xlA

xlFAE

lx

dxxdxA

F

E

lx

l

x

l

x

sauAE

lG

F

)2

(max


l max




al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



















al


a

a


rrl


a


rrl


l

2

2

max






















A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



































A - aria barei


c


la flambaj


2

2

E

f

Cazul I 0

Cazul II 01 baf

Cazul III 0 cf




















crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE
































crPP

crPP



2

22

L


L

xnCkxCx

sinsin)( 11





n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE


















n=1 n=3 n=5












0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



















0cos kL

2

n

Lk unde (n=1 3 5 )


22

4L

IEnPcr


2

22

4L

IEnPcr


L

xn

2cos1( 2

2

4L

IEPcr












2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE
























2

e

crL

IEP


L

IEPcr









Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE























Astfel 2L

Le 2

24L

IEPcr






LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE




















LRM 0


)(0 xLRPxRPMM


2

2

204621920

L

IE

L

IEPcr


9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE
















9 Metoda Euler










9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE
















9 Metoda Euler






IE

M

dx

vd

2


vP

dx

vd

2

2




9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE
















9 Metoda Euler


0sin2

axBIE

Pa

z


Pa

2 sau

zIE

Pa







nIE

PLLa

z


2

2

1 L

IEP z

f

2

2

2

2

L

IEP z

f

2

2

n

L

IEP z

nf

9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE
















9 Metoda Euler


sin2sinsin 2211

L

xnBv

L

xBv

L

xBv nn




2

nf

znf L

IEP



2

2

nf

znf L

IEP

nfnn L

xBv

sin



9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE
















9 Metoda Euler



2min

2

f

fL

IEP

Formula lui Euler

Moduri de rezemare





Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE

















Flambajul elastic


Mi

1



pf

crcr Al

IE

A

F

2min

2


pf

crcr Al

IE

A

F

2min



p

ffcr

E

i

l

E

Al

iAE

2

2

2

min

2

2

2min

2unde

mini

l f


sau




E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE


















E







0 pcr


0 pcr











A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE

























A

C




)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



















)( ff

a) AB elastic 2

2

E

f













afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



























afcr

f cN

Fc

crF

N

afc














4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE


























4 ndash 8








2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE






















2min

2

0f

cr l

IEF

AbaAF crcr )(01






E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE




















E

lcNI faf

nec

2

2



E

lcNI faf

nec

2

2







A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



















A

F

cA

F

cr

af

cr

af

craf

undeaf

crr c

FF




af

rnec

FA



af

rnec

FA


af


a

rnec

FA


ar

ef A

F





efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



















efaaf AF


efaaf AF Dacă






CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE

















CAZURI FUNDAMENTALE
















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE




















Cazul 4 Cazul 5








12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE




















12

secmax EyP

N

N

M



12

secmax EyP

N

N

M

unde2

2

L

IEP y

Ey


maximă y-y


EyP

NMM

2secmax





1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE




















1

yypl

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N

unde


unde


1yy

Sdyy fA

Nk


42

yel

yplMyyy W

W 90y





1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE



















1

yyel

Sdyy

yy

Sd

fW

Mk

Af

N


9042 yMyyy



1

yyeff

zNSdSdyy

yeffy

Sd

fW

eNMk

fA

N

unde


y - vezi Clasa 3











)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE























)(2

2

weFdx

wdIE

sau

)(222

2

ewdx

wd IE

F

2







)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE





















)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


)cos1)(()( lelw

l

lexw

coscos1)(


x

xexw

coscos1)(


212

n

l





PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE


















PentrucrF

F

IE

lFl

2

Rezultă

cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1


cr

cr

F

F

F

F

e

cos

cos1







M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE


















M

w

w

2311


1

811122

crcr F

F

F

Fl












Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE























Scurt istoric

























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE






























































AnalizaDecizie Stop





























b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE































b) Elemente 3D


Hexaedruneregulat

BIBLIOGRAFIE
















BIBLIOGRAFIE
















colapsul structurilor mecanice - i florin/desc/colapsul structurilor... · colapsul structurilor...

Documents