Matematicas Nivelatoria

“Si no te esfuerzas hasta el

máximo, ¿cómo sabrás donde

está tu límite?”

Ing. Medardo Galindo

4.1 Exponentes

• Repasar los conceptos básicos de los

exponentes

• Aprender las reglas de los exponentes

• Simplificar una expresión antes de utilizar

la regla de la potencia expandida

Conceptos Básicos

• En la expresión , denominamos base a

la x, y a la n, exponente.

𝑥𝑛

𝑥2 = 𝑥 ∙ 𝑥

𝑥4 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥

𝑥𝑚 = 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙∙∙∙ 𝑥

𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑖𝑟 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑦𝑦𝑦 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑥𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑦 = 𝑥4𝑦3

Regla del producto

• Ejemplo

• Resolver

𝑥𝑚 ∙ 𝑥𝑛 = 𝑥𝑚+𝑛

𝑥4 ∙ 𝑥3 = 𝑥4+3 = 𝑥7

𝑎) 32 ∙ 3 𝑏) 24 ∙ 22 𝑐) 𝑥 ∙ 𝑥4

Importante

Evitar errores comunes

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜

32 ∙ 31 = 33

𝐼𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜

32 ∙ 31 = 93

Regla del cociente

• Resolver

𝑥𝑚

𝑥𝑛= 𝑥𝑚−𝑛 , 𝑥 ≠ 0

𝑎) 35

32 𝑏)

𝑥12

𝑥5 𝑐)

𝑦10

𝑦8

• Cuando el denominador es mayor que el

del numerador, dividimos los factores

comunes.

• Resolver

𝑥5

𝑥12=

𝑥5

𝑥5 ∙ 𝑥7=

1

𝑥7

/

/

𝑎) 𝑥9

𝑥12 𝑏)

𝑦4

𝑦9

• Regla del exponente cero

Resolver

• Regla de la potencia para los exponentes

Resolver

𝑥0 = 1, 𝑥 ≠ 0

𝑎) 𝑥0 𝑏) 3𝑥0 𝑐) 3 𝑥0 𝑑) 4𝑥2𝑦3𝑧0

(𝑥𝑚)𝑛 = 𝑥𝑚∙𝑛

𝑎) (𝑥3)5 𝑏) (34)2

• Regla de la potencia expandida para

exponentes

• Simplificar

𝑎𝑥

𝑏𝑦 𝑚

=𝑎𝑚𝑥𝑚

𝑏𝑚𝑦𝑚, 𝑏 ≠ 0,𝑦 ≠ 0

𝑎) −3𝑦

2𝑧

2

𝑏) 5𝑥𝑦 3

• Simplificar una expresión antes de utilizar

la regla de la potencia expandida

𝑎) 9𝑥3𝑦2

3𝑥𝑦2

3

𝑏) 25𝑥4𝑦3

5𝑥2𝑦7

4

𝑐) 3𝑦3𝑧2 4(2𝑦4𝑧)

4.2 Exponentes Negativos

• Entender la regla del exponente negativo

• Simplificar expresiones que contienen

exponentes negativos

Entender la regla del exponente

negativo• Regla del exponente negativo

• Resolver

𝑥−𝑚 =1

𝑥𝑚, 𝑥 ≠ 0

𝑎) 𝑥−6 𝑏) 4−2

Simplificar expresiones con

exponentes negativos

• Por lo general, cuando simplifique una

expresión exponencial, la respuesta final

no debe contener exponente negativos.

1

𝑥−2=

1

1𝑥2

=1

1∙𝑥2

1= 𝑥2

Resolver

𝑎) 7𝑥4(6𝑥−9)

𝑏) 16𝑟3𝑠−3

8𝑟𝑠2

• Regla de una fracción elevada a un

exponente negativo

• Simplificar

𝑎

𝑏, 𝑎 ≠ 0 𝑦 𝑏 ≠ 0,

𝑎

𝑏 −𝑚

= 𝑏

𝑎 𝑚

𝑎) 𝑥2𝑦−3

𝑧4

−5

4.3 Notación Científica

• Convertir números a notación científica y

viceversa

• Reconocer números en notación

científica con coeficiente 1

• Hacer cálculos con notación científica

Convertir números a notación

científica• Es frecuente utilizar números muy

grandes o muy pequeños

• Para simplificar dichos números se

escriben en notación científica

𝑃𝑜𝑏𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑀𝑢𝑛𝑑𝑖𝑎𝑙

6,160,000,000

𝑁𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐶𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎

6.16 × 109

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑣𝑖𝑟𝑢𝑠 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑢𝑒𝑛𝑧𝑎

0.0000001

𝑁𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝐶𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎

1.0 × 10−7

• Escribimos cada numero en notación científica

como un mayor o igual a uno y menor que 10

(1 ≤ 𝑎 ≤ 10)

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎

1.2 × 106

3.672 × 103

8.07 × 10−2

Para escribir en notación

científica• Recorrer punto decimal del numero

original a la derecha del primer digito

diferente de cero. Esto cumple

• Contar numero de lugares que recorrimos

el punto decimal, si era 10 o mayor sera

positiva, si es menor que 1 negativa

• Multiplique el numero que obtuvimos en el

paso 1 por 10 elevado a la cuenta

(1 ≤ 𝑎 ≤ 10)

Resolver

• Escriba los números siguientes en

notación científica

𝑎) 10,700

𝑏) 0.000386

𝑐) 972,000

𝑑) 0.0083

Convertir de notación científica

a decimal• Observar exponente de la potencia 10

• Si el exponente es positivo, el punto

decimal del numero se recorre a la

derecha el mismo numero de lugares que

el exponente.

• Si es 0, el punto decimal no se mueve

• Si el exponente es negativo, el punto

decimal del numero se recorre a la

izquierda.

Resolver

• Escriba cada numero sin exponentes

𝑎) 2.9 × 104

𝑏) 6.28 × 10−3

𝑐) 7.95 × 108

Números en notación científica

con coeficiente 1

Escriba sin prefijo numérico

Prefijo Significado Símbolo nano 10−9 𝑛

micro 10−6 𝜇

mili 10−3 𝑚

unidad base 100 1

kilo 103 𝑘

mega 106 𝑀

giga 109 𝐺

183 𝑛𝑎𝑛𝑜𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

52 𝑘𝑖𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠

Cálculos con notación científica

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 4.2 × 106 2 × 10−4

𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙

𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎 3.2 × 10−6

5 × 10−3

𝐸𝑠𝑐𝑟𝑖𝑏𝑎 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑒𝑛 𝑛𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎

Aplicación

• El desplazamiento del crucero Disney

Magic es alrededor de ton. El del

Destiny de la lineal Carnival, es cerca de

a.¿Cuánto mas grande es el

desplazamiento bruto del Destiny que el

de Disney Magic?

8.5 x 104

1.02 x 105

4.4 Suma y Resta de

Polinomios• Identificar Polinomios

• Sumar Polinomios

• Restar Polinomios

• Restar polinomios en columnas

Identificar Polinomios

• Un polinomio en x es una expresión que

contiene la suma de un numero finito de

términos de la forma , para cualquier

numero real a y cualquier numero entero

positivo n.

axn

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠

2𝑥

1

3𝑥 − 4

𝑥2 − 2𝑥 + 1

𝑁𝑜 𝑠𝑜𝑛 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠

4𝑥1/2

3𝑥2 + 4𝑥−1 + 5

4 +1

𝑥

• Se escribe un polinomio en orden

descendente (o en potencias

descendentes) de la variable, con los

exponentes de esta en disminución de

izquierda a derecha.

𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑒𝑛 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒

2𝑥4 + 4𝑥2 − 6𝑥 + 3

Tipos de Polinomios

𝑇𝑖𝑝𝑜 𝑃𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜

𝑀𝑜𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜

𝐵𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜

𝑇𝑟𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜

# 𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠

𝑈𝑛𝑜

𝐷𝑜𝑠

𝑇𝑟𝑒𝑠

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜𝑠

8, 4𝑥,−6𝑥2

𝑥 + 5, 𝑥2 − 6, 4𝑦2 − 5𝑦

𝑥2 − 2𝑥 + 3, 3𝑧2 − 6𝑧 + 7

Grado de un termino

• Es el exponente que tiene la variable en

dicho termino.

𝑇𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜

4𝑥2

2𝑦5

−5𝑥

3

𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜

𝑆𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜

𝑄𝑢𝑖𝑛𝑡𝑜

𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟𝑜

Cero

Suma de Polinomios

• Simplificar

• Sumar con el uso de columnas

𝑎) 4𝑥2 + 6𝑥 + 3 + (2𝑥2 + 5𝑥 − 1)

𝑏) 3𝑥2𝑦 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 + (𝑥2𝑦 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦)

𝑐) 5𝑤3 + 2𝑤 − 4 𝑦 (2𝑤2 − 6𝑤 − 3)

Resta de Polinomios

• Usamos la propiedad distributiva para

eliminar paréntesis.

• Reducir términos semejantes

Simplificar

𝑎) 3𝑥2 − 2𝑥 + 5 − (𝑥2 − 3𝑥 + 4)

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 −3𝑥2 − 5𝑥 + 3 𝑑𝑒(𝑥3 + 2𝑥 + 6)

Resta Polinomios en Columnas

• Escriba el polinomio que va a restar

debajo del polinomio del que se restara.

• Cambie el signo de cada termino en el

polinomio que va a restar

• Sumar los términos en cada columna

𝑅𝑒𝑠𝑡𝑎𝑟 2𝑥2 − 6 𝑑𝑒 (−3𝑥3 + 4𝑥 − 3)

4.5 Multiplicación de Polinomios

• Multiplicar monomio por otro monomio

• Multiplicar polinomio por un monomio

• Multiplicar binomios por propiedad distrib.

• Multiplicar binomios por método PIES

• Multiplicar binomios con productos

notables

• Multiplicar polinomio por otro polinomio

Monomio por otro monomio

𝑎) 6𝑥2𝑦 7𝑥5𝑦4 = 42𝑥2+5𝑦1+4

= 42𝑥7𝑦5

𝑏) −4𝑥4𝑧9 −3𝑥𝑦7𝑧3 = 12𝑥4+1𝑦7𝑧9+3

= 12𝑥5𝑦7𝑧12

Polinomio por un monomio

• Se emplea la propiedad distributiva

𝑎) − 3𝑛 4𝑛2 − 2𝑛 − 1 =

−3𝑛 4𝑛2 + −3𝑛 −2𝑛 + −3𝑛 (−1)

−12𝑛3 + 6𝑛2 + 3𝑛

Binomios por propiedad

distributiva

𝑀𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 3𝑥 + 2 𝑥 − 5

= 3𝑥 + 2 𝑥 + 3𝑥 + 2 −5

= 3𝑥2 + 2𝑥 − 15𝑥 − 10

= 3𝑥2 − 13𝑥 − 10

Método PIES

Productos Notables

𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑚𝑎

𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 𝑏2

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟 𝑃𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑆𝑢𝑚𝑎

2𝑥 + 4 2𝑥 − 4 , 𝑠𝑒𝑎 𝑎 = 2𝑥 𝑦 𝑏 = 4

2𝑥 2 − 4 2 = 4𝑥2 − 16

Cuadrado de un Binomio

1. (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎 + 𝑏 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2

2. (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎 − 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2

𝑅𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑟

1. 𝑥 + 5 2

2. 2𝑥 − 4 2

Polinomio por polinomio

• Resolver

3𝑥 + 2 4𝑥2 − 5𝑥 − 3

= 3𝑥 4𝑥2 − 5𝑥 − 3 + 2 4𝑥2 − 5𝑥 − 3

= 12𝑥3 − 15𝑥2 − 9𝑥 + 8𝑥2 − 10𝑥 − 6

= 12𝑥3 − 7𝑥2 − 19𝑥 − 6

4.6 División de Polinomios

• Dividir Polinomio entre un monomio

• Dividir un polinomio entre un binomio

• Comprobación de problemas de división

de polinomios

• Escribir polinomios en orden descendente

al dividir.

Dividir Polinomio entre un

Monomio• Para dividir un polinomio entre un

monomio, dividimos cada termino del

polinomio entre el monomio.

Resolver

𝑎) 2𝑥 + 16

2

𝑏) 10𝑥2 − 4𝑥

2𝑥 𝑐)

4𝑡5 − 6𝑡4 + 8𝑡 − 3

2𝑡2

Evitar Errores Comunes

𝐶𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜

𝑎) 𝑥 + 2

2=𝑥

2+

2

2=𝑥

2+ 1

𝑏) 𝑥 + 2

𝑥=𝑥

𝑥+

2

𝑥= 1 +

2

𝑥

𝐼𝑛𝑐𝑜𝑟𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜

𝑎) 𝑥 + 2

2=𝑥 + 1

1= 𝑥 + 1

𝑏) 𝑥 + 2

𝑥=𝑥 + 2

𝑥=

1 + 2

1= 3

Dividir un Polinomio entre un

Binomio• Dividimos un polinomio entre un binomio

de manera muy parecida a como

realizamos una división larga.

Resolver𝑎)

𝑥2 + 6𝑥 + 8

𝑥 + 2

𝑏) 6𝑥2 − 5𝑥 + 5

2𝑥 + 3

Comprobación de problemas de

división de polinomios• Para verificar la división de polinomios

• Comprobaremos la respuesta del ejercicio

c. El divisor es 2x + 3, el cociente 3x – 7,

el residuo es 26, y el dividendo

𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 × 𝑐𝑜𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 + 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑑𝑢𝑜 = 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒𝑛𝑑𝑜

6𝑥2 − 5𝑥 + 5

Escribir Polinomios en orden

descendente• Al dividir un polinomio entre un binomio,

escribimos tanto el polinomio como el

monomio en orden descendente.

• Si no existe un termino elevado a una

potencia dada, a menudo es útil incluirlo

con un coeficiente de 0. Para conservar el

lugar

Resolver: 𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑟 −𝑥 + 9𝑥3 − 28 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 (3𝑥 − 4)