oscilaciones libres - mas 21145

1Mg. John Cubas Snchez

Oscilaciones Mecnicas

Mg. John Cubas Snchez

2

Movimiento oscilatorio

Movimiento peridico

Movimiento armnico simple (MAS)

Elementos del MAS

Ecuaciones de un MAS

Ecuacin de la posicin X

Ecuacin de la velocidad v

Ecuacin de la aceleracin a

Mg. John Cubas Snchez 3

Oscilaciones Mecnicas


Es aquel en el cual el mvil va y viene siguiendo unamisma trayectoria en forma repetitiva, hacia uno yotro lado de un punto llamado punto de equilibrio.Tambin se le conoce con el nombre de movimientode vaivn.

Ejemplo: El movimiento que realiza un pndulo alser separado de su punto de equilibrio

El movimiento de un resorte




Movimiento peridico

Es aquel movimiento que se repite cada cierto tiempo,denominado perodo.

Ejemplo: El movimiento

planetario


MOVIMIENTO ARMNICO SIMPLE (MAS)

Es aquel movimiento peridico y oscilatorio realizado sobreuna recta; se caracteriza porque la aceleracin del mvil esdirectamente proporcional a la elongacin, pero de sentidocontrario.

A A

-x x 0

a -a


Elementos del MAS1.- Oscilacin o vibracin completa.-

Es el movimiento de ida y vuelta que efecta elmvil, recorriendo la trayectoria completa.

2.- Perodo (T).-

Es el tiempo que transcurre durante la realizacinde una oscilacin.

3.- Frecuencia (f).-

Es el nmero de oscilaciones efectuadas encada unidad de tiempo:

Ttiempo

esoscilacionNf

1


4.- Elongacin (x).-

Es la distancia medida desde la posicin deequilibrio hasta el lugar en que se encuentra elmvil en un instante cualquiera. Sirve para ubicaral mvil.

5.- Posicin de equilibrio (P.E.).-

Es aquel punto situado en la mitad de latrayectoria. No necesariamente el movimiento seinicia en este punto


6.- Amplitud (A).-

Es la distancia entre la posicin de equilibrio y cualquiera de los extremos de la trayectoria. Es el mximo valor de la elongacin. En una oscilacin se recorre cuatro amplitudes.

A A

PE Po x+

x -


Fuente

luminosaEcran y

sombras

Para deducir las

ecuaciones de un

MAS utilizaremos un

sencillo equipo

compuesto de:

Una partcula que

tiene MCU.

Un gran foco

luminoso.

Un cran para

proyectar la sombra de

la partcula

(que los

colocaremos en forma

vertical)

Mg. John Cubas Snchez11

Ecran

ac

Como el movimiento circunferencial es uniforme; solo hayaceleracin centrpeta; de manera que la rapidez angular w yla rapidez tangencial vt son constantes.

La amplitud Adel MAS es

igual al radio del

crculo.

La partcula inicia su

movimiento en

el punto P.

El ngulo a se le llama fase

inicial.


La sombra de la partcula posee un movimientoarmnico simple MAS y una velocidad y aceleraciniguales a las proyecciones de la velocidad tangencialvt y la aceleracin centrpeta ac del MCU sobreel cran; es decir son las componentes verticales dela velocidad tangencial vt y la aceleracincentrpeta ac.

Ecuaciones de un MAS

x = QR= A sen g

g = +

= t

Ecuacin de la posicin X


Ecran

x = A sen (t + )

Ecuacin de la velocidad v

V= Vt cos g

Vt = R = A

g = +

= t


Ecran

V= A cos (t + )

Ecran

Ecuacin de la aceleracin a

a = - ac sen g

g = +

= t

a = - A sen (t + )


ac = R = A


CINEMTICA DEL MAS

Sea: x = A sen (t + )

td

xdv

td

vd

td

xda

2

2

v = A cos (t + )

a = - A sen (t + )

De manera que:

a) v = A cos (t + )

A

vt

waw cos

x = A sen (t + )

A

xtsen aw


Elevando al cuadrado:

22

22cos

A

vt

waw

2

22

A

xtsen aw

(+)

22

2

2

2

1A

v

A

x

w

2

2

22

2

1A

x

A

v

w

22222 xAv ww

2222 xAv w

22 xAv w

b)a = - A sen (t + )

a = - x

x


22 xAv w

a = - x

PEqPEx PEx

V mxa = 0 a mxa mx

V = 0V = 0

Para x 0, F = - kx

DINMICA DEL M.A.S.

LEY DE HOOKE: define el comportamiento del muelle paraun oscilador armnico.

La fuerza restauradora de un muelle es directamenteproporcional a su elongacin pero de sentido opuesto.


xkFk


Periodo de las oscilaciones:

Recordando a= - w2 x; tenemos que la frecuencia angular y

periodo son respectivamente:

El periodo de oscilacin y la frecuencia del cuerpo no dependede la amplitud de las oscilaciones.

En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las fuerzasque actan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza restauradora del muelle:

De la 2 Ley de Newton:

FK = m a - k x = m a xm

ka

m

kw

k

mT 2Y como:

T

w

2


2. ENERGIA CINTICA:

Aquella capacidad que poseen los cuerpos pararealizar trabajo en funcin de su movimiento.

2

2

1mVEC

2222

1xAmEC w

Donde:

2wmk

Luego:

222

1xAkEC

Esta energa, depende de las posiciones de las partculas que

forman el sistema.

En un sistema muelle - cuerpo, hablamos de energa potencial

elstica; por supuesto cuanto mayor sea la compresin o

estiramiento del muelle, mayor es la energa.


3. ENERGIA POTENCIAL:

2

2

1xkE

elsticaP


4. ENERGIA MECNICA TOTAL:

elsticaPCEEE

2222

1

2

1xkxAkE

2222

1xxAkE

2

2

1AkE

La energa mecnica

total es constante

EP elstica(x)

xx0 A- A

EP

EC

2

2

1xk

2

2

1Ak

MAS ANGULAR

Luego la frecuencia angular yperiodo sern:

Ejemplo: rueda de balance de un reloj mecnico

Un resorte espiral ejerce un momento de torsin o torque (t)de restitucin proporcional al desplazamiento angular respectode la posicin de equilibrio.La ecuacin de movimiento est descrita por: Q = Qo cos(w t + )


t = - k Q

De la segunda Ley de Newton: t = I a

- k Q = I a

QI

ka

De la Ley de Hooke:

Para un MAS angular:Q 2wa I

kw

k

IT 2Y como: T

w

2


PNDULO SIMPLE

Constituido por una masa puntualsuspendida de un punto fijo mediante unhilo inextensible cuya masa esdespreciable.

Tmasenmg

Rseng a L

a senL

g

Para ngulos pequeos (< 10)

tgsen aL

g

Para un MAS angular: wa2


ENERGA ASOCIADA AL PNDULO SIMPLEPor haber ganado altura, decimos queadquiere energa potencial gravitatoria.Es decir, en el centro no tiene energapotencial y en los extremos si.Podemos entonces, aplicar el principiode conservacin de la energa y afirmarque la energa cintica del centro se hatransformado en potencial en lospuntos de mxima amplitud.

Comparando obtenemos la frecuencia

angular del Pndulo simple: L

gw

Y el periodo del Pndulo simple:g

LT 2


PNDULO FSICO

Al desplazarse el cuerpo, el peso(mg), causa un momento de torsinde restitucin, dado por:

t = - (mg) (d sen )

El pndulo fsico oscila solamentepor accin de su peso

Para ngulos pequeos, el movimiento ser armnico simple.(al aproximar sen . Entonces:

t = - (mg d)

Para amplitudes mayores, el movimiento es armnico, perono simple.

La frecuencia angular ser:


- mgd = I a

aI

mgd

Para un MAS angular: wa2

I

mgdw

Y el periodo ser:mgd

IT 2


SUPERPOSICIN DEL MAS

La superposicin tiene lugar cuando dos fuerzas perturbadorasactan simultneamente siendo el movimiento resultante lasuma de los distintos M.A.S.


a) En una dimensin:

a

x

A1

f1

w1 t

w2 tf2

A2

d

w t

A

d | f2 f1 |


2211

2211

coscos ff

ffa

AA

senAsenAtg

Resulta un M.A.S. de la misma frecuencia, donde:

1221

2

2

2

1 cos2 ff AAAAA

x(t) = x1(t)+ x2(t) = A1 sen(w1t + f1) + A2 sen(w2t + f2)

d = f 2 f 1 : diferencia de fases

21 ww

x (t) = A sen (w t + a)

21 www

x1(t) = A1 sen (w1t + f1)x2(t) = A2 sen (w2t + f2)

a


A) f1 f2 Movimientos en fase

Casos comunes:

d = 0: interferencia constructiva

B) f2 f1 Movimientos encontrafase u oposicin

d = : interferencia destructiva

d = /2

12

x

t

1 + 2

1

2

x

t

1 + 2

12

x

t

1 + 2

21 AAA

21 AAA

2

2

2

1 AAA

21 ffa

1fa

1

21

A

AarcTgfa

21 www

A

A

A

C) f2 f1 /2 Movimientos encuadratura

El movimiento resultante no es un MAS.Se denomina PULSACIONES al resultado de la superposicinde dos M.A.S. de frecuencias ligeramente diferentes.


Pulsaciones

Envolvente: Indica

como vara la

amplitud

Pulso

tsentAtx

22cos2 2121

wwww

Amplitud modulada Frecuencia de la

pulsacin

Frecuencia de la amplitud

21 ww

b) En dimensiones perpendiculares:


x(t) = A sen (w t + a)y(t) = B sen (w t + b) Consideremos: a 0, entonces d b:

Por tanto, la trayectoria de las oscilaciones estarn limitadas por las

lneas x = A; y = B, como se muestra en la grfica inferior

izquierda: Finalmente, las partculas al oscilar de

esta manera se terminan polarizando,

rectilnea o elpticamente, as.

x yw w w

x

y

A A

B

B

Las trayectorias en este caso seconocen como curvas ofiguras de Lissajous.


x(t) = A sen (wx t + a )y(t) = B sen (wy t + b )

La trayectoria no ser unaelipse, salvo que wx = wy comose vio en el caso anterior.

Cmo se forman las

figuras de Lissajous?

x yw w


RESUMENPunto de

equilibrioExtremos

Posicin x=0 x= A

Velocidad V = Vmx = Aw V = 0

Aceleracin a = 0 a = amx = Aw 2

Fuerza resultante F = 0 F = k A = mw 2 A

Energa cintica

Energa potencial elstica

Energa mecnica

22

1wAmEE

mxCC 0CE

0pE2

2

1AkEE

mxpp

22222

1

2

1

2

1

2

1wAmAkxkVm

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