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©UNIVERSIDAD NACIONAL DE GENERAL SARMIENTO Julio de 2001 ISBN: 987-9300-43-2 1º Edición, 30 ejemplares. Impreso en Argentina

Oscilaciones y Ondas (Aplicaciones en Óptica)

Volumen 2

Eduardo Izquierdo Claudio El Hasi

Colección Universidad y Educación

Serie Material Didáctico N° 9.II

INSTITUTO DE CIENCIAS UniversidadNacional deGeneral Sarmiento

UNIVERSIDAD NACIONAL DE GENERAL SARMIENTO AUTORIDADES

Rector Prof. José Luis Coraggio Vicerrectora Ma. Susana Hintze Director del Instituto de Ciencias Lic. Adolfo Vispo Directora del Instituto del Conurbano Dra. María Di Pace Director del Instituto de Industria Ing. Roberto Lattanzi Director del Instituto del Desarrollo Humano Dr. Roberto Noël Domecq Secretaria de Investigación Dra. Estela Grassi Secretaria Académica Lic. Claudia Danani Secretario General Prof. José María Beltrame Secretaria Administrativa Dra. Daniela Guardado

A Laura, Gabi y Fede.

A Sacha e Irina.

Y a nuestros padres.

Índice temático Volumen 1 Introducción. ......................................................................................................................... 11 Capítulo 1: Oscilaciones libres de sistemas con un grado de libertad. ............................... 13 Evolución dinámica. Funciones Periódicas. Funciones armónicas. Funciones armónicas complejas. Período, frecuencia, frecuencia angular y fase. Oscilador armónico. Fuerza elástica. Ecuación dinámica (diferencial). Integración numérica de la ecuación dinámica. Energía potencial elástica y mecánica. Péndulo. Ecuación diferencial no-lineal. Principio de superposición. Capítulo 2: Oscilaciones amortiguadas, forzadas y resonancia.......................................... 67 Oscilador armónico amortiguado. Oscilador débilmente amortiguado o subamortiguado. Tiempo característico de disipación o relajación. Factor Q. Sistema críticamente amortiguado. Sistema sobreamortiguado. Amortiguamiento crítico. Oscilador forzado. Solución estacionaria y transitoria. Resonancia. Curva de resonancia. Ancho de resonancia. Capítulo 3: Oscilaciones libres de sistemas con más de un grado de libertad. Modos normales ...................................................................... 107 Grados de libertad (translación, rotación y vibración). Coordenadas de centro de masas y relativa. Masa reducida. Sistema de ecuaciones diferenciales lineales acopladas. Modos normales de vibración. Coordenadas normales. Autovalores y autovectores. Frecuencias de corte. Capítulo 4: Ondas de propagación. ................................................................................... 139 Ondas planas. Velocidad de fase. Función de onda. Ondas armónicas: longitud de onda, período, frecuencia, frecuencia angular y número de onda. Relación de dispersión. Ecuación lineal de ondas. Ondas en el espacio. pequeñas oscilaciones transversales de una cuerda. Potencia, energía e impulso transportados por las ondas en una cuerda. Reflexión y transmisión de ondas. Condiciones de contorno. Capítulo 5: Ondas estacionarias........................................................................................ 189 Ondas estacionarias en una cuerda fija en sus extremos. Frecuencias de resonancia (armónicos). Energía de una onda estacionaria (cuerda). Ondas estacionarias en una cuerda fija en un extremo. Ondas sonoras estacionarias. Análisis de Fourier. Timbre, notas puras y ricas, consonancia y disonancia.

Capítulo 6: Superposición de ondas. Paquetes de onda. Efecto Doppler......................... 227 Pulsación o batido. Modulación. Frecuencia de modulación. Amplitud modulada. Frecuencia modulada. Velocidad de modulación y velocidad de grupo. Paquete de ondas. Integral de Fourier y relación de incerteza. Espectro de frecuencias. Efecto Doppler. Ondas de choque. Apéndice: Conceptos básicos sobre el uso del programa de cálculo Mathematica. Índice alfabético Volumen 2 Capítulo 7: Luz. Óptica geométrica. Instrumentos ópticos............................................... 269 Ondas electromagnéticas. Velocidad de la Luz. Teoría del color. Dispersión de la luz. Frentes de onda. Principio de Huygens. Propagación rectilínea. Reflexión de la luz. Refracción. Ley de Snell. Reflexión total interna. Principio de Fermat. Espejo esférico. Lentes delgadas. El ojo. Formación de imágenes. Lupa o microscopio simple. Microscopio compuesto. Cámara fotográfica. Telescopios. Capítulo 8: Ondas tridimensionales y Polarización de la luz. ............................................331 Ecuación de ondas en el espacio. Ondas planas. Vector de onda. Ondas esféricas. Descripción vectorial de una onda transversal. Ondas Electromagnéticas. Vector óptico. Intensidad de una onda. Nivel de intensidad sonora (decibel). Descripción matemática de los posibles estados de polarización. Polarización lineal, circular y elíptica. Luz natural. Polarización de la luz por absorción, reflexión, dispersión y birrefringencia. Ley de Malus. Ángulo de Brewster. Láminas retardadoras. Actividad Óptica. Capítulo 9: Interferencia. ....................................................................................................399 Desfasajes, por diferencia de camino óptico, por reflexión, etc.. Interferencia de ondas planas y esféricas. Coherencia e incoherencia de una onda luminosa. Láser. Intensidad luminosa. Superposición de ondas coherentes e incoherentes. Interferencia en películas delgadas. Anillos de Newton. Interferómetro de Young. Interferómetro de Michelson. Capítulo 10: Interferencia-Difracción. ...............................................................................457 Interferencia de N rendijas (Redes de difracción). Interferómetros. Difracción. Difracción de Fraunhofer de, una rendija fina, una rendija rectangular y un orificio circular. Resolución en instrumentos ópticos y redes de difracción. Criterio de Rayleigh. Poder de resolución de una red. Difracción de Fresnel. Hologramas. Apéndice: Conceptos básicos sobre el uso del programa de cálculo Mathematica. Índice alfabético


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Prefacio Luego de tres años de intenso trabajo en la preparación de guías teóricas y de ejercitación para la materia Física II (Oscilaciones y Ondas. Aplicaciones en Óptica), de la Universidad Nacional de General Sarmiento, nos hemos decidido a reunir ese material y darle forma de “Texto de trabajo”. El texto no pretende convertirse en el libro del curso, sino simplemente ser una herramienta o guía de trabajo en clase, por lo cual debe ser complementado con otros libros y, principalmente, debe acompañarse con trabajos en el laboratorio. La materia Física II es cuatrimestral, tiene una carga horaria de seis horas semanales, de las cuales dos son dedicadas a exposición teórica y cuatro a trabajo grupal en clase. Durante el curso se realizan cinco experiencias en el laboratorio, de cuatro horas de duración, con presentación de informes, una de ellas es libre. La acreditación de la materia se logra luego de aprobar dos parciales, los informes de laboratorio, entregar para su corrección ejercicios elegidos por el docente y aprobar un examen final. El curso corresponde al segundo año de un primer ciclo común a varias carreras, por ejemplo: Profesorados de Física y Matemática, Ingeniería Industrial y Ecología Urbana, por lo cual, adecuar los objetivos y el nivel a todas ellas resultó una tarea bastante ardua. El objetivo del curso era lograr una buena integración entre los conceptos teóricos, la observación y el experimento, por esta razón el texto fue complementado con trabajo y observación en el laboratorio. El texto fue pensado como una guía de trabajo, en donde el lector se ve obligado a resolver problemas mientras se está desarrollando un concepto teórico. Quisimos mostrar un alto nivel de formalización matemática en por lo menos uno de los temas tratados. Por interés y simplicidad, elegimos desarrollar de esta forma Oscilaciones (primeros tres capítulos). Esta parte exige mucha elaboración por parte del estudiante, por lo cual necesita el apoyo del docente y la lectura adicional de otros textos. En el resto de los temas, aumenta la cantidad de guías teóricas, lo que facilita la elaboración de los conceptos. El texto se halla estructurado en guías teóricas, ejercicios teóricos y ejercicios. Las guías teóricas hacen las veces de exposición teórica del docente. Los ejercicios teóricos son desarrollos teóricos estructurados como ejercicios (guiados) para el estudiante. En general, a los puntos principales de estudio los hemos organizado de esta forma, con el objeto de lograr una mayor participación del alumno en la construcción del conocimiento. Muchos de los ejercicios fueron pensados para que, una vez resueltos, sirvan como fuente de estudio. En cada capítulo figura una selección de ejercicios recomendados, la resolución de estos ejercicios resulta indispensable, por su contenido conceptual, para entender adecuadamente el tema. Al final de cada capítulo indicamos la bibliografía adicional

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sugerida, la cual hemos utilizado como referencia en la elaboración del texto. Los libros más afines al nuestro son: Ondas, Curso de Física de Berkeley, Vol. 3, Física Vol. 1 y 2 de Tipler, Óptica, de Hecht-Zajac y en menor medida Física Conceptual, de Hewitt. Suponemos que los estudiantes ya han tenido un primer curso de mecánica clásica y han adquirido la noción de límite, derivación e integración en una variable. En principio no asumimos que sepan resolver ecuaciones diferenciales, por lo cual, planeamos mucho trabajo en ese sentido. Con el fin de introducir al alumno en el manejo de programas de cálculo, en algunos ejercicios pedimos graficar o calcular usando el programa Mathematica, en esos casos se brinda la ayuda necesaria y se complementa en un apéndice. En los primeros tres capítulos del texto (Oscilaciones), hemos querido enfatizar el concepto de evolución dinámica de un sistema físico simple, la idea de modelo en física y mostrar un alto grado de formalización matemática. En los tres siguientes, nos dedicamos al concepto de ondas de propagación y estacionaria, y espectro de frecuencias, enfatizando la relación entre linealidad y principio de superposición. En el capítulo 7, brindamos una introducción a la óptica geométrica e instrumentos ópticos, sin detenernos en detalles formales, ya que no representa el objetivo principal del curso. En los últimos tres capítulos completamos nuestro estudio del concepto de onda, con temas tales como polarización, interferencia y difracción, asociados principalmente a fenómenos luminosos. Agradecemos a los alumnos de los cursos 1997, 1998 y 1999, que nos ayudaron a identificar las principales dudas y dificultades que se presentan en el estudio de los temas tratados y, en particular a Luz Vitola que, con infinita paciencia, descubrió infinidad de errores en el texto. Agradecemos especialmente a Marcela Falsetti, María Teresa Garea, Florencia Carusela, Jorge Codnia, Susana Blanco, Ricardo Page, Lilia Romanelli y Adriana Saal por la lectura cuidadosa de innumerables versiones previas de este texto, sus sugerencias y comentarios contribuyeron a mejorarlo sustancialmente.


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Introducción De la caída de una hoja desde un árbol diferentes personas pueden percibir y sentir cosas distintas. Un poeta podría deleitarse con brillos, colores, aromas, danzares. Un hindú se sentiría uno con la hoja, para él la caída de la hoja estaría en armonía con el universo, y jamás concebiría como hechos independientes la caída de la hoja y el brillo de una estrella. Su camino es el de encontrar esa armonía y así lograr el Nirvana. Un científico (personaje de características occidentales, menos simpático que los anteriores) es un hombre práctico, cree fervientemente que existen leyes que rigen nuestro universo, y cree (iluso) que él puede llegar a comprender esas leyes. Su visión es muy distinta a la del hindú, piensa que no podrá comprender la caída de la hoja si además debe preocuparse por el brillo de la estrella y la posición en que se encuentra el planeta Saturno. No afirma que sean hechos independientes, simplemente su criterio práctico le indica que quizás simplificando el problema pueda entenderlo mejor. El científico observa un determinado suceso (la caída de una hoja), y como primer paso para la elaboración de una teoría decide, en base a algún criterio que a él le resulta razonable, cuales son los factores que pueden influir y cuales no en ese suceso. Esta primera separación, constituye un modelo de juguete de lo que realmente sucede en la Naturaleza. El científico, no tiene ningún argumento para afirmar que el brillo de una estrella no influye en la caída de los cuerpos, pero como primer paso para entender el problema opta por negar su influencia, es decir, construye un mundo imaginario con leyes propias (modelo), en donde el brillo de la estrella es un hecho completamente independiente de la caída de los cuerpos. Más tarde tendrá que encontrar la forma de comparar ese mundo imaginario con el real, para tener conciencia de cuan cerca se halla de entender el comportamiento de la Naturaleza , en otras palabras, deberá contrastar la teoría con la experiencia. Justamente esto último es lo que distingue al científico del religioso, o de personajes menos serios que usan el lenguaje de la ciencia confundiéndola con la magia. ¿Cómo están escritas esas leyes?, es un punto crucial que diferencia a la física de otras ciencias. El físico está convencido que las leyes que rigen la evolución del Universo pueden expresarse matemáticamente, o al menos se resigna pensando que hasta el momento es la única forma que conoce. Por ahora, ese camino ha sido muy exitoso, mucho más de lo que en un principio pudo suponerse. Se ha logrado predecir la evolución futura de elementos tan disímiles como planetas, cometas, electrones, positrones, protones, fotones, neutrinos, etc.. Además el lenguaje matemático tiene la virtud de ser claro y preciso, no existen dos interpretaciones posibles. Eso muchas veces tranquiliza, pero conlleva el peligro de convertir al científico en un hombre esquemático y simplista. En este curso vamos continuar entrenándonos para trabajar como lo hace el científico. Les proponemos, para empezar, el siguiente trabajo de investigación : “Llegar a entender las leyes que rigen la caída de los cuerpos”. Por supuesto que es una tarea ardua que le ha llevado a la humanidad muchos siglos para poder llegar a una primera teoría considerada exitosa. Nosotros aquí nos conformaremos con plantear algunas hipótesis y

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proponer algunas experiencias que sirvan para corroborar, o no, nuestras hipótesis. El trabajo que les proponemos es el siguiente: Cada grupo de investigación se ocupará de observar la caída de uno o varios cuerpos, y a partir de esta o estas observaciones deberá: a) Describir la observación, anotando todo aquello que se considere importante. b) Construir una tabla de dos columnas. En la primer columna anotarán todos aquellos factores que ustedes consideren que pueden estar influenciando en la caída de los cuerpos observados. En la segunda columna anotarán justamente lo contrario, es decir, todos aquellos factores que ustedes creen que pueden, en principio, no tener influencia sobre el suceso observado, o pueden ser despreciados por su poca influencia en el suceso observado. Esta primera tabla constituirá un primer modelo o teoría. c) Proponer alguna experiencia para verificar la razonabilidad de cada una de las hipótesis señaladas en ambas columnas de la tabla anterior. Si es posible, realizar la experiencia.

Capítulo 7

Óptica Geométrica e Instrumentos Ópticos.


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Introducción:

La luz constituye uno de los fenómenos físicos más interesantes y fascinantes de cuantos ocurren en la naturaleza. Pensemos en los magníficos colores que se pueden observar en una salida o puesta de Sol, o en una Aurora Boreal. Lo cautivante que puede resultar observar el danzar de las llamas en una fogata nocturna o el titilar de las estrellas si la noche es clara. Advirtamos los diferentes matices de una pintura según cómo esté iluminada. Existen una infinidad de sucesos donde se ponen de manifiesto todas las sutilezas propias de los fenómenos luminosos.

Igualemente interesante y fascinante puede resultar la historia de los

diferentes modelos y teorías que se han hecho, en la civilización occidental, para tratar de explicar qué es la luz. La historia sobre los intentos de comprender la naturaleza y comportamiento de la luz es larga y con muchas idas y vueltas y, de hecho, puede ser un buen ejemplo de lo complicado que resulta establecer una teoría científica. Por este motivo, antes de entrar de lleno en el estudio de los fenómenos luminosos hagamos un breve recorrido por esta historia, para ver como se ha ido desarrollando la imagen que actualmente tenemos de la luz.

Las primeras ideas provienen de los griegos, quienes parecen haber sentado

las bases de las diversas interpretaciones que hoy día tenemos de la luz. Un primer modelo, un tanto mecanicista y primitivo consistió en suponer que de los ojos salían unas especies de tentáculos, muy sutiles e invisibles, que tocaban al objeto observado, en una suerte de percepción táctil, similar al reconocimiento que se puede hacer con las manos. Grandes filósofos como Sócrates, Platón y Euclides compartían esta idea. Observemos que la actitud del cuerpo observado es absolutamente pasiva. Es el observador el que realiza toda la tarea. En cambio, la escuela de los Pitagóricos sostenía que un chorro de partículas era emitido por el cuerpo observado y cuando estas partículas entraban al ojo provocaban la sensación visual. Ahora, el proceso de visión consistía en una interacción entre el observador y lo observado. Por la misma época, surgió un tercer modelo, también consistente en una interacción, pero que suponía que lo que emitía el cuerpo no eran partículas sino ondas, similares a las que se forman sobre la superficie del agua. Empédocles fue uno de los principales personajes que apoyaban esta perspectiva del proceso de visión.

Luego de la etapa de florecimiento intelectual que representó el auge del

pensamiento griego, siguió un período bastante prolongado, de casi 20 siglos, donde los avances científicos, en particular en el campo de la óptica, fueron escasos. Pero luego del Renacimiento toda la actividad científica cobró nuevos bríos y, alrededor del siglo XVII, se desató una fuerte controversia sobre la naturaleza de la luz. El modelo de los tentáculos que, en ese entonces, era compartido por el filósofo francés

Óptica Geométrica e Instrumentos Ópticos

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René Descartes, no tenía mucha aceptación. El debate se centró principalmente en decidir si la luz consistía en un chorro de partículas o en una onda. Entre los que apoyaban la primera teoría se contaban Newton y sus discípulos, mientras que la teoría ondulatoria era defendida, fundamentalmente, por Christian Huygens y Robert Hooke. Inicialmente ganó la posición de Newton, es decir, de los que sostenían que la luz era un chorro de partículas. El argumento principal, a favor de este modelo, se debía a que en todas las circunstancias prácticas la luz parecía propagarse en forma rectilínea, como lo haría un chorro de partículas que se movieran libremente, lo que era muy difícil de explicar en términos de un modelo ondulatorio.

Pero a principios del siglo XIX Thomas Young efectuó ciertos experimentos,

mostrando la existencia de interferencia en la propagación de la luz (como veremos en el Capítulo 9), que revitalizaron la teoría ondulatoria. Medio siglo después, James Clerk Maxwell demostró que la luz no era más que una manifestación del campo electromagnético, dentro de cierto rango de longitudes de onda. El trabajo de Maxwell fue formidable, ya que logró realizar una síntesis entre tres fenómenos, conocidos desde hacia tiempo, pero hasta ese momento disociados, como la electricidad, el magnetismo y la luz. Asimismo, las ecuaciones de Maxwell significaron la coronación de la labor que, en ese sentido habían estado desarrollando, algunos años antes, grandes científicos como Ampère, Faraday y otros. Es de destacar que las ecuaciones de Maxwell representan una de las primeras ocasiones donde se consigue una teoría unificada que explique diferentes fenómenos físicos. La teoría electromagnética de Maxwell fue corroborada experimentalmente por Hertz un par de décadas después.

Finalmente parecía que la visión ondulatoria se imponía pero, a comienzos de

este siglo, y lo más notable que para explicar algunos resultados de los experimentos de Hertz que no se comprendían a la luz de la teoría ondulatoria, Albert Einstein propuso un nuevo modelo corpuscular basado en la mecánica cuántica. En efecto, algunas observaciones marginales de Hertz, que éste no investigó, correspondían al llamado efecto fotoeléctrico. Este efecto no puede explicarse adecuadamente utilizando la teoría clásica de la radiación, la de Maxwell, para poder hacerlo Einstein necesitó describir a la luz como un haz de cuántos o fotones (o partículas de luz). Para ello debió suponer que la energía (E) de un fotón está relacionada a la frecuencia (f) de la onda asociada mediante la relación hfE = , donde h es una constante fundamental de la naturaleza, la constante de Planck (su valor aceptado actualmente es: s J 10 x 6256,6 34−=h ). Hoy día, debido al éxito de la mecánica cuántica, se acepta la naturaleza dual de la luz, es decir, que la misma puede manifestarse, según las circunstancias, tanto como onda, o como flujo de partículas. Tenemos así, en cierto sentido, otra unificación de las leyes de la naturaleza. De las dos concepciones principales que existían hace tres siglos sobre la naturaleza de los


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procesos luminosos, no ha resultado ningún ganador: según el tipo de experimento u observación puesta en juego, tendremos un resultado que deberá interpretarse apelando a uno u otro modelo.

No obstante la naturaleza dual de la luz, en lo que concierne a la óptica es

mucho lo que se puede hacer utilizando sólo la visión ondulatoria, sin preocuparnos por los efectos cuánticos, para analizar diversas experiencias. Así, la consideraremos como una onda electromagnética que se propaga a velocidad seg

kmc 300000= en el vacío.

¿Cómo ocurren los procesos luminosos? Por un lado sabemos que existen

diferentes fuentes de luz tales como: el Sol, el fuego, los filamentos incandescentes, gases a través de los cuales se efectúa una descarga eléctrica (como un tubo fluorescente), etc. Sin embargo, la mayor parte de los objetos que percibimos no brillan con luz propia, se ven debido a que reflejan difusamente la luz proveniente de alguna de las fuentes citadas. Un caso típico es el de la Luna, que no brilla por sí misma, sino por reflejo de la luz solar. Sólo la parte que se encuentra de frente al Sol brilla, el resto permanece a oscuras. Es debido a este hecho que tenemos el fenómeno de las distintas fases de la Luna. Según su posición respecto de la Tierra, vemos una mayor o menor porción de su cara iluminada.

Ahora, ¿Qué es lo que hace que un objeto brille con luz propia? Según

sabemos hoy, la posibilidad de que un objeto sea una fuente de luz está relacionada con su temperatura. Cuando un cuerpo está muy caliente, posee mucha energía interna, representada por la agitación de sus átomos y moléculas, debido a esta agitación los átomos chocan entre sí transfiriéndose energía unos a otros. El átomo que recibe la energía, si las condiciones son apropiadas, puede utilizarla para pasar a un estado excitado (caracterizado por movimientos más complejos de sus electrones), que corresponde a un estado energéticamente menos estable, del cual decae, luego de un tiempo, emitiendo radiación electromagnética que, dependiendo de ciertas características de la radiación, podremos percibir en forma de luz.

Los objetos que no brillan con luz propia, lo hacen porque reflejan la luz que proviene de los que sí lo hacen. El efecto de reflexión no es, en absoluto, un hecho trivial, las características de este proceso serán comentadas más adelante.

Pero no todos los materiales reflejan completamente la luz, algunos como el

agua, el vidrio y muchos plásticos (por no mencionar obviamente el aire), permiten el paso de los rayos de luz a través de ellos, decimos que son transparentes. La forma en que se propaga la luz a través de éstos medios no es única. Si bien en general estos


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materiales transmiten la luz en línea recta algunos, como los vidrios esmerilados, difunden la luz, distorsionando las formas de los objetos que vemos a través de ellos.

Todos estos ejemplos forman parte de lo que comúnmente llamamos óptica: la ciencia que se ocupa de las propiedades y naturaleza de la luz, es decir, de la parte del espectro electromagnético visible al ojo humano. Por cuestiones históricas y prácticas se la suele dividir en óptica geométrica: una descripción aproximada que considera la propagación de la luz en forma de rayos (propagación rectilínea), y los instrumentos como lentes, espejos, telescopios, etc., y óptica física: que trata de la naturaleza de la propia luz y sus interacciones con la materia y que, como veremos en capítulos subsiguientes, involucra los fenómenos de polarización, interferencia y difracción. En este capítulo nos concentraremos en el estudio de la óptica geométrica. Los ejercicios recomendados son el 4, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 16, 18, 19, 20, 23, 24, 25, 30, 32, 35, 38, 39, 43, 44. 7-1. Guía Teórica. Ondas Electromagnéticas. La luz se propaga en forma de ondas que, como veremos más adelante, tienen una componente eléctrica y una componente magnética, que se hallan interrelacionadas. Se las llama ondas electromagnéticas. Las ondas electromagnéticas comprenden una gran variedad de ondas: ondas de radio, microondas, infrarrojo, luz visible, ultravioleta, rayos X y rayos gama. La diferencia entre éstas está dada por la frecuencia (o longitud de onda), que va del orden de unos pocos Hertz (Hz), para las ondas de radio, hasta superiores a 1019Hz, para la radiación gama. La siguiente tabla da una idea aproximada de los rangos correspondientes a cada tipo de radiación.


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Espectro electromagnético (Los valores son aproximados)

Tipo de Onda Frecuencia, en Hz Longitud de onda, en m

Ondas de radio largas 1 - 106 Mayores que 5 x 102 Radio de AM 5 x 105 - 107 10 – 5 x 102

Televisión y radio de FM 5 x 107 – 5 x 108 1 – 10

Ondas de radio cortas 107 – 1012 5 x 10-4 – 5 x 10

Microondas 1010 – 1012 10-3 – 10-1

Infrarrojos 1012 – 4 x 1014 7 x 10-7 – 5 x 10-4

Visible 4 x 1014 (rojo) – 7 x 1014 (violeta)

4 x 10-7 – 7 x 10-7

Ultravioleta 7 x 1014 – 1017 4 x 10-7 – 10-9

Rayos X 1016 – 5 x 1021 5 x 10-8 – 5 x 10-13

Rayos Gama Mayores que 1019 Menores que 10-11

Se puede observar que no existe un límite bien definido entre uno y otro intervalo de frecuencias, a la naturaleza parece no interesarle hacer una clasificación rigurosa; ésta corresponde más bien a una cuestión histórica referida al origen o utilización de la radiación electromagnética que ha hecho el hombre. Por otra parte, vemos que la luz visible comprende una porción muy pequeña del espectro electromagnético. Como dijimos, la luz se transmite en forma de ondas electromagnéticas que, en un modelo sencillo, podemos pensar se generan por la vibración de los electrones en los átomos. Si estas ondas inciden sobre otro material obligan a las cargas de éste a vibrar y a reemitir, a su vez, ondas electromagnéticas. El fenómeno es análogo a la excitación de vibraciones en un diapasón, debido a las vibraciones de otro diapasón cercano; tratándose en ambos casos de propagación de ondas, no es de extrañar que exista gran similitud con la emisión y recepción de ondas sonoras. Para ondas luminosas, en general, la respuesta a esta excitación depende de la frecuencia de la luz incidente y de la frecuencia natural de vibración de las cargas del material. Un modelo que ayuda a fijar ideas consiste en imaginar a los electrones como masas puntuales unidas por resortes a los núcleos atómicos. Los electrones actúan como pequeños osciladores y las frecuencias naturales estarán asociadas a la mayor o menor rigidez de los resortes. El modelo es muy sencillo, no obstante, sus


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predicciones concuerdan bastante bien con los resultados que se obtienen utilizando el formalismo riguroso de la mecánica cuántica. En el caso en que la luz incide con una frecuencia muy próxima a la de vibración de los electrones del material, se produce una resonancia. Los electrones retienen la energía de la onda electromagnética, durante un tiempo relativamente largo (alrededor de un millón de vibraciones, unas 100 millonésimas de segundo), durante este tiempo las vibraciones atómicas crecen en amplitud, se absorbe mucha energía, y se producen choques con otros átomos vecinos transfiriéndoles parte de la energía, el material se va calentando y se disipa la energía de la onda. Si la frecuencia de la onda es un poco diferente de la frecuencia natural los átomos vibran menos, chocan menos, y luego de cierto tiempo reemiten la onda electromagnética. A diferencia de las ondas sonoras, en las que la vibración se produce en la dirección de propagación (decimos que son ondas longitudinales), las ondas luminosas son transversales, como las que se propagan en una cuerda. Para una onda propagándose en una determinada dirección, siempre existe un plano perpendicular a la dirección de propagación. Como la onda es transversal, la vibración se produce en este plano y en principio existen muchas (en realidad infinitas), direcciones en las cuales puede vibrar una onda transversal. Sin embargo, a partir de la Geometría, se puede demostrar que dadas dos direcciones ortogonales fijas, se puede describir el comportamiento de cualquier perturbación como una combinación de perturbaciones independientes en cada una aquellas. Para fijar ideas, podemos llamar horizontal y vertical a dichas direcciones, según en cual de ellas se produzca la vibración decimos que la onda tiene polarización horizontal o polarización vertical. Adoptando el modelo de electrones unidos por resortes, un electrón que vibra en dirección vertical emite luz con polarización vertical, si vibra en dirección horizontal emite luz con polarización horizontal. En las fuentes de luz ordinarias la gran cantidad de átomos presentes tienen sus electrones vibrando en direcciones completamente arbitrarias, por lo que emitirán ondas tanto vertical como horizontalmente que se combinarán, teniendo en cuenta sus amplitudes y fases relativas, en una onda resultante, de polarización indefinida.

Los estados de polarización horizontal y vertical, que comúnmente se llaman de polarización lineal, no son los únicos posibles. Otros estados de polarización posibles son, por ejemplo, el circular y el elíptico, en los cuales la vibración no ocurre en una dirección fija del plano antes mencionado, sino que rota sobre éste describiendo un círculo o una elipse, respectivamente. En general, el estado de polarización más común consiste en una superposición de dos estados, independientes, de polarización. Tanto el tema de las ondas electromagnéticas, como


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el de la polarización, volverán a ser tratados en el próximo capítulo, donde veremos que las fuentes no poseen, en general, un estado de polarización bien definido.

3-2. Guía Teórica. Velocidad de la Luz.

Según la teoría de la Relatividad Especial de Einstein, en el Universo existe una velocidad máxima de propagación de las interacciones (o de transporte de la información), que coincide con la velocidad de la luz en el vacío,

segkmc /300000≅ . Hasta el presente no se ha encontrado ninguna experiencia que contradiga este postulado, que se considera como uno de los pilares de la física moderna.

Que exista esta velocidad máxima de propagación ocasiona efectos

notablemente curiosos: como la luz del sol tarda unos 8 minutos en llegar hasta nosotros, si el mismo desapareciera repentinamente ¡nosotros todavía lo veríamos en el cielo durante 8 minutos más!

Que la velocidad de propagación de las ondas electromagnéticas sea finita no tiene efectos apreciables en la vida diaria, donde las distancias son tan cortas que el retardo en la llegada de la información no se nota. Pero si es apreciable, por ejemplo, en las comunicaciones con las sondas espaciales que exploran el sistema solar. Asimismo, cuando miramos las estrellas en el firmamento, no las vemos como son ahora sino ¡como eran hace decenas o cientos de años cuando emitieron la luz que hoy recibimos! Al observarlas, no sólo estamos viendo muy lejos en el espacio, también estamos viendo muy atrás en el pasado del Universo. 7-3. a) Si la galaxia espiral de la constelación de Andrómeda está aproximadamente

a 19102× km de la Tierra. ¿Cuántos años luz nos separan de ella? (Ayuda: recordar que 1 año luz es distancia que se recorre en un año viajando a la velocidad de la luz).

b) En un cohete enviado a Marte para tomar fotografías, la cámara se dispara mediante ondas de radio, las cuales, como todas las ondas electromagnéticas se mueven con la velocidad de la luz. ¿Cuál es el retraso de tiempo desde que se emite la señal de Tierra, para disparar la cámara, y que se recibe la imagen de la fotografía de Marte? (Considerar que la distancia a Marte es de

10107,9 × m.). Suponga que la cámara se acciona instantáneamente.


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7-4. Guía Teórica. Teoría del Color.

La luz, propagándose en el vacío, corresponde a la porción del espectro electromagnético cuya frecuencia f se encuentra, aproximadamente, entre

HzfHz 1414 105,7103,4 ×<<× . También podríamos caracterizarla desde el punto de vista de su longitud de onda, ya que conocemos su velocidad de propagación c, a través de la relación de dispersión:

cf = λ 7-1

Verificar que el rango de longitudes de onda correspondiente a la luz visible

es, aproximadamente: 400nm (violeta) < λ < 700nm (rojo). Desde el punto de vista fisiológico percibimos la luz de diferentes longitudes de onda como de diferentes colores. En particular la luz blanca es la combinación de todas las frecuencias visibles, mientras que el negro indica la ausencia completa de radiación electromagnética. Sin embargo, no percibimos todos los colores por igual, la sensibilidad luminosa varía con la longitud de onda. El máximo de sensibilidad se alcanza para nm550=λ (verde amarillento). La luz del Sol es una combinación de una amplia gama de frecuencias. Sin embargo, la intensidad de cada una no es la misma. El Sol emite con mayor intensidad en el rango del amarillo-verde (ver figura 7-1). En el rango del rojo o del azul la luz solar no es tan intensa. Dado que los seres humanos nos hemos desarrollado bajo estas condiciones no es de extrañar que nuestros ojos sean más sensibles a la luz verde-amarilla.


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Figura 7-1. La intensidad de la radiación electromagnética, en función de la frecuencia, emitida

por los cuerpos incandescentes tiene un máximo alrededor de alguna frecuencia característica. En el caso del sol el valor de esa frecuencia corresponde a la región amarilla del espectro.

El color con el que percibimos la mayoría de los objetos se debe a que absorben parcialmente la luz. Esto ocurre debido a que todos los materiales poseen frecuencias propias, o naturales, de oscilación que dependen, fundamentalmente, del tipo de material. Al incidir una onda electromagnética sobre un material hace vibrar los electrones de éste. Aquellas frecuencias incidentes que son aproximadamente similares a las naturales del objeto excitan los modos correspondientes y son absorbidas por resonancia, las demás frecuencias son reemitidas luego de un tiempo relativamente breve. Si el material es transparente la radiación lo atraviesa. En caso contrario, la luz vuelve al medio de donde provenía, se refleja. La energía electromagnética, absorbida por resonancia, se convierte en agitación térmica de los átomos del material y éste se calienta. Los materiales transparentes absorben poco la luz de longitud de onda comprendida en el rango óptico. Por ejemplo, un vidrio transparente absorbe una fracción muy pequeña de la luz visible, pero absorbe muy intensamente la radiación infrarroja y ultravioleta (dando lugar al efecto invernadero). Por otra parte, un vidrio azul absorbe, por resonancia, muy intensamente casi todas las frecuencias salvo las correspondientes a la luz azul, que son absorbidas muy débilmente por lo cual el material las reemite, de allí su color característico.


280

En general, los materiales iluminados con luz blanca no absorben totalmente la luz incidente, sólo lo hacen con algunas frecuencias y las demás las reflejan. Ahora, si reflejan toda la radiación se ven blancos, si absorben toda la radiación se ven negros. El color que percibimos de los objetos corresponde a aquellas porciones del espectro que los mismos reflejan. La luz reflejada no tiene porque corresponder a un único color. Algunos materiales reflejan una amplia gama de frecuencias. Por supuesto, el color ha ser reflejado (característico del material), debe estar presente en la luz incidente, si no el material se ve negro. Debido a la forma en que nuestro sistema ojo - cerebro procesa la información, que nos llega en forma de radiación electromagnética, es posible, esencialmente con sólo tres colores, formar casi todo el espectro luminoso. Hay dos formas prácticas de hacer ésto como veremos a continuación. En lo que se llama adición de colores, es posible mezclar tres colores como el rojo, verde y azul y, variando su intensidad relativa, obtener casi todos los demás. Por ejemplo, si superponemos la luz de dos linternas, una cubierta con un celofán rojo y otra con un celofán verde, en la zona de superposición de los dos haces percibiremos luz amarilla. De hecho, ésta es la forma en que se hace la iluminación en un teatro. Si hiciéramos más intensa la luz de la linterna roja obtendríamos un amarillo más rojizo, si hiciéramos más intenso el verde sería un amarillo verdoso. En el caso general, si la intensidad relativa es la misma para cada color y sumamos los tres colores obtenemos luz blanca. En la siguiente tabla se pueden ver los colores que se obtienen superponiendo dos de los tres colores con la misma intensidad relativa:

Rojo + verde Amarillo Rojo +azul Magenta (rojo azulado) Verde + azul Cian (azul verdoso)

El procedimiento de adición de colores es el que se utiliza para colorear las imágenes en el tubo de un televisor. Variando las intensidades relativas de cada color se obtiene toda la gama de colores. Si superponemos rojo, verde y azul exactamente con la misma intensidad vemos blanca la pantalla, si no iluminamos con ninguno de los tres vemos negro. Por otra parte, sabemos desde muy niños que cuando trabajamos con témperas o pinturas los tres colores primarios son el rojo, el amarillo y el azul. Por


281

ejemplo, combinando azul y amarillo se forma el verde; pero también sabemos que mezclando estos tres colores no obtenemos blanco, sino un menjunje color marrón. Vemos que, cuando lo que se mezcla no son haces de luz, sino pintura de diversos colores el resultado es bastante diferente. El mecanismo de formación de colores en el caso de las pinturas es muy diferente del que actúa en la superposición de haces de luz. Las pinturas y tintes tienen diminutas partículas sólidas de pigmento, que son las que definen el color. Estas partículas absorben ciertas frecuencias y reflejan otras. En general, los pigmentos absorben y reflejan en una gama relativamente amplia de frecuencias. Por ejemplo, la pintura de color azul no sólo refleja este color, sino también algo de verde y violeta; mientras que absorbe el rojo, naranja y amarillo. En cambio, la pintura amarilla refleja amarillo y algo de rojo, naranja y verde; absorbiendo el azul y violeta. Por lo tanto, si combinamos pintura amarilla y azul la mezcla resultante contiene partículas que absorben casi todos los colores menos el verde y éste es el color de la pintura que resulta. A este proceso de formación de colores se lo denomina mezcla de colores por sustracción.

7-5. Guía Teórica. Dispersión de la luz. Las moléculas de la mayoría de los gases que se encuentran en la atmósfera tienen frecuencias de resonancia que corresponden a la zona violeta - azul del espectro electromagnético. Al ser alcanzadas dichas moléculas por la luz solar, aquellas frecuencias que corresponden a resonancias son absorbidas, excitando los átomos, pero el resto de la luz pasa debido a que la atmósfera es un cuerpo muy tenue. La energía absorbida por las moléculas es posteriormente reemitida, pero no ya en la dirección original. En efecto, los electrones de los átomos vibran al azar y emiten luz en todas direcciones con la misma probabilidad. En este caso se dice que la radiación ha sido dispersada. Es el fenómeno de la dispersión el causante de las diferentes tonalidades del cielo al mediodía, y al amanecer y el crepúsculo. Al mediodía, con los rayos solares cayendo directamente sobre nuestras cabezas, el cielo se ve azul porque se ha dispersado principalmente la luz correspondiente a esta longitud de onda, la cual parece llegarnos de casi todas direcciones (ver figura 7-2). En cambio, al amanecer y al ocaso la luz solar atraviesa una porción mayor de la atmósfera, la probabilidad que se dispersen más frecuencias es mayor y las componentes que recibimos son aquellas que se han dispersado menos, principalmente la roja. De aquí que el cielo, si miramos directamente al horizonte, adquiera un tono rojizo.


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7-6. Explique, con sus propias palabras, las siguientes cuestiones:

a) ¿Porqué es más conveniente utilizar prendas claras en verano? b) Explique, claramente, porqué el cielo se ve azul durante el día. c) ¿Cuál es la razón de que veamos el cielo rojizo al alba y al atardecer? 7-7. Guía Teórica. Frentes de onda. Principio de Huygens. Si consideramos a la luz como un fenómeno ondulatorio, diremos que el frente de onda es el lugar geométrico, de los puntos del espacio, donde la onda tiene la misma fase. Por ejemplo, supongamos tener una fuente de ondas puntual, como veremos en el próximo capítulo las ondas emitidas por esta fuente se propagan en todas direcciones isótropamente, y todos los puntos de cualquier esfera centrada en la fuente tienen la misma fase. En este caso todos los frentes de ondas son esferas concéntricas. (ver figura 7-3)

Rojo

Azul

Luz azul

Luz blanca

Dispersión

Figura 7-2. En la atmósfera se dispersan las frecuencias más altas del espectro. Al mediodía la luz azul parece provenir de todas direcciones. Al amanecer y al ocaso, al ver directamente al Sol no percibimos las frecuencias dispersas y por ello lo vemos rojizo.


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Figura 7-3. Dada una fuente puntual, los frentes de onda corresponden a esferas concéntricas con la fuente. La dirección de propagación, el rayo, corresponde a la dirección radial.

Es la gran simetría del problema la que permite predecir como será el frente de onda un instante después. Pero si se interpone un obstáculo al paso de la onda, o ésta atraviesa distintos medios, es muy difícil determinar el nuevo frente de onda en instantes posteriores. No obstante, la propagación de una onda cualquiera, no necesariamente esférica, a través del espacio puede describirse mediante un método geométrico que se apoya en el principio de Huyguens:

Dado un frente de onda en determinado instante, al que llamaremos primario, cada punto del mismo sirve como fuente de ondas elementales secundarias, que avanzan con velocidad y frecuencia igual a las de la onda primaria. Al cabo de cierto tiempo, el nuevo frente de onda es la envolvente de todas estas ondas elementales secundarias.

r, dirección de propagación fuente

de luz

Figura 7-4. Cada punto del frente de onda plana, primario, sirve de fuente de ondas secundarias. La envolvente de estas ondas secundarias un instante después constituye el nuevo frente de onda.


284

Utilizando este principio es posible determinar cómo se propagan las ondas en cualquier circunstancia, en particular permite deducir las leyes de reflexión y refracción de la luz. Debemos tener en cuenta que, en realidad, el método geométrico de Huygens es aproximado. Una fuente puntual emite ondas en todas direcciones, por lo cual deberíamos tener ondas no sólo hacia delante, sino también hacia atrás. El método de Huygens directamente ignora estas ondas de retroceso, y sólo considera las ondas que avanzan. El resultado es correcto, en el sentido de que permite determinar como se propaga el frente de onda, pero no explica porqué no se observan las ondas hacia atrás. Por otra parte, el principio no tiene en cuenta ciertas características propias de todo fenómeno ondulatorio. Por ejemplo, cuando un frente de ondas sonoras es obstruido por un poste, casi no sufre deformación, las ondas rodean el obstáculo (decimos que se difractan), y se propagan más allá de él casi inalteradas. En cambio un frente de ondas luminosas será muy afectado, detrás del poste el frente de ondas será muy distinto del original, formando una sombra bastante nítida del obstáculo. La diferencia entre ambos casos está dada por la diferente longitud de onda. Las ondas sonoras, de mayor longitud de onda doblan al atravesar el poste, las luminosas no. Este hecho no puede ser explicado utilizando el principio de Huygens. Fresnel propuso una modificación al principio de Huygens ⎯ lo que se conoce como Principio de Huygens – Fresnel ⎯ sugiriendo que el nuevo frente de ondas debía considerarse como una superposición de ondas secundarias donde debía tenerse en cuenta su amplitud y fase relativa. Así, habrá zonas donde las ondas secundarias se suman constructivamente dando una contribución grande al nuevo frente de ondas, y zonas donde se cancelan mutuamente. Como veremos en capítulos posteriores esto permite explicar el fenómeno de la difracción. Posteriormente, utilizando un análisis matemático bastante sofisticado, basado en la ecuación diferencial de ondas, Kirchhoff desarrolló una teoría más rigurosa, que hizo más plausible la construcción de Huygens – Fresnel. Demostrando también que la contribución de las ondas hacia atrás se anula. No obstante, la reconstrucción de un frente de ondas es una tarea muy compleja, que depende de la forma del obstáculo particular y que no siempre puede ser resuelta exactamente.


285

7-8. Guía Teórica. Óptica geométrica. Propagación rectilínea.

Ahora, si bien la luz es una onda electromagnética, en lo que sigue nos concentraremos en el estudio de la óptica geométrica, en la cual el concepto básico es el de rayo. Considerando a la luz como un fenómeno ondulatorio, diremos que el frente de onda es el lugar geométrico de los puntos que tienen todos la misma fase. Sabemos que, en general, las ondas no tienen porque seguir un camino rectilíneo. Por ejemplo, en el comportamiento de las ondas que se propagan sobre la superficie del agua, las ondas no siguen una trayectoria recta sino que rodean los obstáculos que se atraviesan a su paso. Este fenómeno se denomina difracción y es el que nos permite, por ejemplo, escuchar el llamado de alguien que se encuentra en otra habitación.

No obstante, si consideramos la dirección normal a la superficie del frente de

onda, llamaremos rayo luminoso a la trayectoria rectilínea que sigue el frente de una onda que se mueve en un medio homogéneo. En la figura 7-5 vemos varios rayos, correspondientes a la propagación de una onda no plana.

Las bases sobre las cuales es posible describir la mayoría de los fenómenos

asociados a la óptica geométrica son: la reflexión y refracción de la luz al incidir un rayo sobre una dada interfase (es decir, la superficie de separación entre dos medios ópticamente diferentes), y la reversibilidad del camino óptico (si la luz sigue cierto camino para ir de un punto a otro, recorrerá el mismo camino, en sentido inverso, para regresar del segundo punto al primero). Veremos que mediante estas leyes muy sencillas es posible la construcción de instrumentos muy sofisticados y de gran precisión.

Figura 7-5. Las líneas a trazos corresponden a máximos de intensidad del frente de onda. La normal a estos frentes de onda define la dirección del rayo.


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7-9. Guía Teórica. Reflexión de la luz. El eco de las pisadas en un pasillo largo y vacío. Una onda transversal que se propaga por una cuerda y al llegar a una pared rebota. La luz que regresa luego de incidir sobre un espejo. Todos estos hechos son manifestaciones del fenómeno conocido como reflexión. En otras situaciones, tales como una onda que se propaga por una cuerda liviana, unida a otra más pesada, o al incidir luz sobre el agua o un vidrio, no toda la onda se refleja, una parte también se transmite dando lugar al fenómeno de refracción.

Cuando se considera la propagación de ondas se ve que, en general, la onda se divide en una onda reflejada y otra transmitida siempre que aparece una discontinuidad, o salto, en las propiedades del medio a través del cuál se propaga aquella. En el caso particular de las ondas luminosas esta división de la onda, que llamaremos incidente, en una reflejada y otra refractada, ocurre en el límite de separación entre dos medios ópticamente diferentes (este límite de separación se denomina dioptra). Ejemplos típicos de una dioptra son: una interfase aire-vidrio, una interfase aire-agua, una interfase agua-aceite, etc. Se puede probar que la división de la onda incidente ocurre como consecuencia del cambio en la longitud de onda al pasar de un medio a otro. Veremos que ocurre con la onda transmitida más adelante. En tanto la ley de reflexión, que era conocida desde la antigüedad, puede enunciarse como sigue (ver figura 7-6):

1) los rayos incidente y reflejado y la normal a la superficie reflectora están comprendidos en un mismo plano (plano de incidencia),

2) los rayos incidente y reflejado están en lados opuestos de la normal, 3) el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión. Tomaremos este enunciado como una ley empírica, aunque utilizando la

teoría electromagnética es posible deducirla, a partir de las condiciones de contorno

Interfase

Normal

θi θr

Figura 7-6. Cuando la luz incide sobre una interfase, se refleja parcialmente. El ángulo que forma el rayo reflejado con la normal a la superficie es igual al que forma el rayo incidente.


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que se deben cumplir en la interfase entre la onda incidente, la reflejada y la transmitida. Asimismo, también es posible deducirla a partir del principio de Huygens.

Observemos que si cambiamos el sentido de los rayos luminosos el problema es similar al original, aunque ahora la luz incide desde la derecha hacia la izquierda. Ambas situaciones son equivalentes, dado que la ley de reflexión es válida en los dos casos. La luz sigue el mismo camino cuando viaja en un sentido o en el otro. Este resultado, de la inversión del sentido de marcha, de los rayos luminosos expresa el principio de reversibilidad del camino seguido por la luz.

7-10. Guía Teórica. Reflexión en espejos planos. Formación de imágenes.

Veamos cómo se forma la imagen de un objeto puntual colocado frente a un

espejo plano (figura 7-7):

La fuente puntual S, emite rayos en todas direcciones. Consideremos la trayectoria de uno de ellos que incide sobre el espejo, con un cierto ángulo de incidencia, y que se refleja con el mismo ángulo, respecto de la normal. Tomemos un segundo rayo, que no incida sobre el espejo en el mismo punto que el primero, éste también se refleja formando un ángulo igual al de incidencia. Si prolongamos, imaginariamente, estos dos rayos hacia el interior del espejo, vemos que ambos se cruzan en un punto S’, que se encuentra alineado, en la dirección de la normal, con la

S normal

S’

Figura 7-7. Dada una fuente puntual S, los rayos que proceden de la misma se reflejan en la interfase cumpliendo con la ley de reflexión: el ángulo incidente es igual al reflejado. La intersección de la prolongación de estos rayos forma una imagen virtual de la cual parecen provenir los mismos.


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fuente S y a una distancia de la superficie del espejo igual a la de la fuente real. Este hecho es totalmente general, ¡pruebe de trazar otros rayos y verá que todos se cruzan en el mismo punto S’!. Así, un observador que esté mirando el espejo ve la imagen de la fuente S, luego de reflejarse en el espejo, como si estuviera ubicada en el punto S’, en el interior del espejo. Una imagen con esta propiedad, es decir, que está formada por la prolongación de los rayos, tal que la luz parece provenir de ella, la llamamos imagen virtual. En contraposición una imagen real es aquella que se forma en el espacio físicamente accesible y que, además de verse a ojo desnudo, puede ser recogida en una pantalla, como ocurre, por ejemplo, en la proyección de diapositivas.

Teniendo en cuenta los enunciados 1-3) del parágrafo anterior, podemos

realizar el diagrama de rayos para la reflexión por un espejo plano de un objeto arbitrario. Consideremos, por ejemplo, el objeto mostrado en la figura 7-8. Podemos considerar al objeto como formado por una sucesión continua de fuentes puntuales. Sabemos que una fuente puntual posee una imagen virtual que parece situada equidistante en el interior del espejo, si hacemos esto para todos los puntos del objeto obtenemos la imagen virtual del mismo, como muestra la figura 7-8.

Observemos que el extremo más alejado parece estar más en lo profundo del

espejo, y que la punta de la imagen de la flecha se encuentra frente a la punta de la flecha, mientras que la imagen de la cola de la flecha se encuentra frente a la cola de la flecha. En esto consiste la imagen especular, la imagen está invertida respecto del objeto original. En efecto, si estamos parados frente a un espejo nuestra mano derecha parece la izquierda y viceversa.

Figura 7-8. Un objeto extenso podemos considerarlo como formado por infinitas fuente puntuales. Cada una de estas fuentes forma su propia imagen y la unión de todas ellas da la

imagen virtual del objeto real. Ésta parece encontrarse en el interior del espejo.

Espejo

objeto real

imagen virtual


289

Vemos entonces que la imagen de un objeto real, debida a un espejo plano, parece formarse en el interior del espejo, en una posición equidistante de la superficie del mismo. Como ilustración veamos el trazado de rayos para un objeto relativamente complicado, como se muestra en la figura 7-9.

Figura 7-9. La luz incide en el espejo, el ángulo que forma el rayo reflejado con la normal al

espejo es igual al que forma el rayo incidente. De esta manera, la luz parece provenir del objeto virtual situado detrás del espejo.

Decimos que el objeto es real si se encuentra del lado del espejo desde donde incide la luz. En ese caso, la luz que éste emite incide directamente sobre la superficie del espejo. Por otro lado, si observamos cuidadosamente vemos que la imagen del objeto, reflejada en el espejo, parece estar situada en un punto colocado exactamente a la misma distancia que el objeto, pero en el interior del espejo. En efecto, desde el punto de vista físico los rayos que llegan a nuestro ojo parecen proceder desde un objeto virtual, situado detrás del espejo y simétrico respecto del objeto real. Desde el punto de vista de nuestra percepción de la imagen, la vemos situada en el lugar geométrico de la prolongación de los rayos reales. En forma general, un objeto (lo mismo vale para una imagen) se considera real, si los rayos de luz provienen directamente de él; por el contrario, un objeto (o imagen) se considera virtual si la luz no proviene directamente de él, pero se comporta como si lo hiciese; es decir, parece provenir de la prolongación de los rayos reales.

espejo


290

Tengamos en consideración que no todas las superficies reflectantes son perfectamente lisas, en la mayoría de los casos existen pequeñas irregularidades en las mismas que dan lugar a lo que se llama reflexión difusa. Podemos pensar que una superficie rugosa está compuesta por numerosos sectores, que son lo suficientemente pequeños, como para considerarlos planos, pero que no son paralelos entre sí. En cada uno de estos sectores vale la ley de reflexión. Luego, podemos pensar que una superficie rugosa posee diminutos espejos con sus normales orientadas en direcciones arbitrarias, de tal manera que la reflexión tendrá lugar en todas direcciones. Así, los diversos rayos que forman el haz incidente cumplen con la ley de reflexión pero, según donde inciden, se reflejan en distintas direcciones y no forman una imagen única. El efecto de reflexión difusa no es, en absoluto, un hecho trivial: la mayoría de los objetos los podemos ver porque reflejan difusamente la luz, por ejemplo, la luz se refleja en esta página difusamente y por ello es posible leer el texto desde cualquier posición. Por otra parte, piense que ocurriría si la luz de los faros de su automóvil no se reflejara difusamente sobre la ruta. ¿Podría ver el camino? ¿Qué es lo que vería? 7-11. Guía Teórica. Refracción. Índice de Refracción.

Vimos que un haz de luz que incide sobre un espejo se refleja. Pero, generalmente, las superficies de separación entre dos medios, transparentes, no son perfectamente reflectantes, parte de la luz que proviene del primer medio atraviesa la superficie y se propaga por el segundo. Si la luz que incide sobre la interfase no lo hace en forma normal a la misma, el rayo transmitido al segundo medio se propaga en una dirección diferente a la del rayo original, a este fenómeno se lo denomina refracción.

La refracción se debe al hecho de que la velocidad de la luz (o como veremos después, la longitud de onda), es diferente en los diferentes medios. Este hecho no es privativo de los fenómenos luminosos, sino que está asociado a todo fenómeno de propagación ondulatoria.

Para fijar ideas, pensemos en la siguiente experiencia propuesta por Hewitt: dos ruedas unidas por un eje que se mueven sobre la acera en dirección oblicua a una zona con césped, como muestra la figura 7-10:


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Figura 7-10. La velocidad de las ruedas es menor en el césped que en el pavimento. Cuando la primera rueda llega al césped se mueve más lentamente y el conjunto gira, hasta que la segunda rueda también llega al césped, entonces ambas continúan moviéndose rectilíneamente, pero a una velocidad menor.

Sobre la acera o el césped las dos ruedas se mueven a la misma velocidad pero, supongamos que, al pasar del pavimento al césped la velocidad de avance de las ruedas es menor. Así, la rueda que llega primero al césped se mueve más lentamente hasta que la segunda también alcanza esta zona, y vuelven a moverse con la misma rapidez (aunque menor que en la acera). El resultado es que, mientras una rueda está en la acera y la otra en el césped, el conjunto gira aproximándose a la normal a la superficie de separación. Aunque el fenómeno anterior es de una naturaleza diferente, lo mismo ocurre cuando la luz (en general cualquier onda), incide sobre una interfase. Si en el medio inicial la onda se propaga con velocidad mayor el rayo se quiebra al cruzar la interfase como muestra la figura 7-11. Esto se debe a que los distintos puntos del frente de onda avanzan a velocidades diferentes en ambos medios. El resultado es que el frente de onda dobla al cruzar la interfase, aproximándose a la normal. Contrariamente, si la velocidad es menor en el primer medio el rayo se separa de la normal.

Figura 7-11. Cuando la luz incide sobre una interfase, se transmite (refracta) parcialmente.

Pavimento

Césped

θ2

θ1n1

n2>n1


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Experimentalmente se encuentra que la velocidad de la luz en un medio como el vidrio, el agua, o el aire, es menor que en el vacío. Se dice que estos medios son ópticamente más densos, es decir, oponen más resistencia al paso de la luz. Es necesario destacar que, en principio, la densidad óptica no tiene por que estar relacionada con la densidad de masa del medio. En general, todos los medios materiales son ópticamente más densos que el vacío.

Una manera de caracterizar ópticamente un medio es definiendo el índice de refracción n, como el cociente entre la velocidad de la luz en el vacío (c) y la velocidad en ese medio (v):

vcn = . 7-2

Notar que siempre el índice de refracción, de cualquier medio material, es

mayor que uno ( 1≥n ), que es el valor que, por convención, corresponde al vacío.

Es posible demostrar, teniendo en cuenta que la energía de la radiación electromagnética se conserva, que la frecuencia de la onda (es decir, el número de crestas por unidad de tiempo), no cambia al pasar de un medio a otro, pero si lo hace la velocidad de propagación y por consiguiente la longitud de onda.

Cuando la luz incide sobre una interfase, el rayo que penetra en el segundo

medio se denomina rayo refractado y el ángulo que forma con la normal θ2 se llama ángulo de refracción (ver figura 7-12). La relación matemática entre el ángulo de incidencia ( 1θ ) y el de refracción fue buscada durante siglos y encontrada, finalmente, por Willebrod Snell en 1621:

n n1 1 2 2 sen sen θ θ= . 7-3

Figura 7-12. Un haz de luz que incide sobre una interfase se descompone en una parte reflejada y otra refractada. La componente reflejada verifica la ley de reflexión, la refractada la ley de Snell: 2sen21sen1 θθ nn = .

θ1 θ1

θ2

n1

n2>n1


293

Esta relación es válida para cualquier superficie de separación entre dos

medios, y puede deducirse a partir del principio de Huygens. Un ejemplo típico de refracción, es la observación de una cucharita que se quiebra cuando se la sumerge parcialmente en un vaso con agua. También podemos apreciar este fenómeno al observar un pez dentro de una pecera, el mismo se ve mayor y más cercano de lo que realmente se encuentra.

La refracción se da aún cuando no exista una superficie de separación definida nítidamente. Por ejemplo, el aire menos denso tiene menor índice de refracción, lo cual no ocurre para todos los medios ya que, en general, no hay ninguna relación entre densidad e índice de refracción. Como el aire caliente es menos denso que el frío, la luz se transmite más rápidamente en el aire caliente y por ende se refracta al pasar de capas más cálidas a otras más frías. Si el aire está más caliente cerca del piso los rayos de luz se curvan hacia arriba (¡Pensar por qué!), el resultado es que la luz parece provenir de debajo del suelo, como si se reflejaran en un espejo en el piso (ver figura 7-13).

Figura 7-13. Debido a la variación continua del índice de refracción, producida por la diferente densidad del aire en capas paralelas al suelo, los rayos de luz se van curvando suavemente, dando la sensación de que el objeto se encuentra bajo el piso.

Este efecto es el origen de los espejismos, y puede observarse cuando

transitamos por una ruta en un día de verano. Si miramos a lo lejos, la ruta tiene la apariencia de estar mojada, esto no es más que la imagen del cielo debida a la refracción de la luz en las capas de aire de distinta densidad cercanas al asfalto. Efectivamente, cerca del pavimento el aire está más caliente y se va enfriando a medida que se separa de él. El resultado es como tener una serie continua de interfases, de espesor casi despreciable, paralelas a la ruta. Así, los rayos de luz se van refractando muy suavemente al pasar a través de las diversas capas. Existe una capa en la cual se produce una reflexión (más adelante veremos el efecto de reflexión total), lo cual posibilita que se produzca el espejismo (ver figura 7-14).


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Figura 7-14. Refracción en sucesivas capas atmosféricas. El aire es ópticamente más denso en la capa superior. El índice de refracción disminuye a medida que se desciende de capa en capa.

En forma similar, cuando miramos un objeto que se encuentra detrás de una

fogata, el calor de las llamas altera las propiedades del aire en forma irregular, según van ascendiendo las volutas de aire cálido. La luz se refracta al pasar por esa zona, provocando una reverberancia en la imagen que observamos del objeto distante. Lo mismo ocurre con las corrientes de aire atmosférico lo que da lugar al conocido titilar de las estrellas. La luz que nos llega del Sol, al alba o al atardecer, también se ve refractada debido a que la densidad atmosférica no es uniforme. Las capas superiores de la atmósfera son más tenues y la luz solar, a medida que la atraviesa, se va curvando hacia la superficie de la tierra (¡Pensar por qué!). De esta forma vemos aparecer al sol unos minutos antes de que haya salido por la mañana, como muestra (exageradamente) la figura 7-15, y todavía lo vemos unos minutos más luego que se ha puesto al atardecer. Asimismo, los rayos que provienen del borde inferior se curvan más que los que vienen del borde superior, y el disco solar parece achatado. El mismo efecto ocurre con la Luna cuando se halla sobre el horizonte.

Figura 7-15. Por efecto de la refracción atmosférica sólo vemos al Sol donde verdaderamente se encuentra cuando está exactamente sobre nuestras cabezas (en el zenit).

más denso

menos denso


295

Si bien es común hablar de el índice de refracción, éste es en realidad función de la longitud de onda. Este hecho se manifiesta en la dispersión de un haz de luz blanca al atravesar un prisma (ver figura 7-16). (Aquí por dispersión queremos decir descomposición en colores, no confundir con la dispersión de la luz por partículas pequeñas de que se habló antes)

El primero en describir este fenómeno fue Newton mientras hacía sus estudios sobre la luz. Un prisma consiste en una pieza de vidrio con un par de caras planas, que forman un ángulo agudo entre sí. En la mayoría de los casos se suele utilizar una pieza de sección triangular.

Figura 7-16. Un haz de luz blanca que incide sobre el prisma se refracta. Debido a que el índice de refracción depende de la longitud de onda, las componentes de menor longitud de onda se desvían más. El efecto se intensifica por la refracción en la segunda cara del prisma.

Newton hizo pasar la luz solar a través de un pequeño orificio, practicado en

una ventana, e hizo incidir el rayo que obtuvo sobre un prisma. Colocó una pantalla, al otro lado del mismo, y observó una mancha con todos los colores del arco iris, a la que llamó espectro de la luz. Dedujo que la luz solar (luz blanca), estaba compuesta por la superposición de todos los colores, y atribuyó esta descomposición espectral a que el índice de refracción no era el mismo para cada color y por lo tanto las distintas componentes se desviaban diferente al atravesar una interfase. El rojo se desviaba menos que el violeta, por lo que su índice de refracción debía ser menor, dado que cuanto más cercano a uno fuera n menor sería el efecto de la refracción. Prosiguió sus experimentos colocando un segundo prisma, con la misma orientación, a continuación del primero y observó que esto no producía una descomposición del espectro luminoso en partes más elementales. Por otro lado, si invertía el segundo prisma (es decir, lo colocaba con el vértice hacia abajo), el espectro de colores se recombinaba para dar nuevamente luz blanca, otra muestra del principio de reversibilidad del camino óptico y de que la luz blanca está formada por una combinación de todos los colores.

Luz blanca

rojo

violeta


296

Por simplicidad supondremos que el índice de refracción del aire es uno ( 1=n ), es decir, el que corresponde al vacío - el índice real varía desde

0002957,1=Vn para la luz violeta hasta 0002914,1=Rn para la luz roja, a C00 y 1 atm de presión. Cuando se habla del índice de refracción de un material, en general se está refiriendo al que corresponde a la luz amarilla de sodio (λ=589 nm) (recordemos que la unidad de longitud denominada nanometro corresponde a: 1 nm = 10-9 m). 7-12. Calcule la velocidad de la luz en el agua (n=1,33) y en el vidrio (n=1,5). 7-13. Dados dos medios ópticamente diferentes, muestre que la relación entre la longitud de onda en el primer medio ( 1λ ), con índice de refracción n1 y el segundo medio ( 2λ ), con índice de refracción n2 es:

2

1

1

2

nnλλ

= . 7-4

Ayuda: utilice la relación de dispersión: fv λ= . 7-14. Si la luz producida por una lámpara de sodio tiene una longitud de onda de

589 nm en el vacío, a) Encontrar la longitud de onda de la luz de sodio en vidrio ( n = 15, ). Resp.: 393

nm. b) Encontrar la longitud de onda de la luz de sodio pero en agua ( n = 1 33, ). Resp.: 443 nm. c) ¿Un nadador bajo el agua observará el mismo color o un color diferente para

esta luz?

7-15. Un rayo de sol incide sobre la superficie del agua de una pileta ( 331,nagua = ), formando un ángulo de 30º respecto de la normal a dicha superficie. ¿En qué dirección se propaga el rayo bajo el agua? ¿Y si el ángulo de incidencia es de 45º ?


297

7-16. Un haz de luz láser incide sobre la superficie de un vidrio ( 51,nvidrio = ), con un ángulo de 15º respecto de la normal. ¿Cuánto se desvía el haz dentro del vidrio?

7-17. Consideremos un foco luminoso puntual S a una profundidad d bajo el agua, que emite un rayo de luz formando un ángulo ϕ con la normal a la superficie del agua (ver figura 7-17. Halle, tanto gráfica como analíticamente, la profundidad aparente de la imagen virtual vista por un observador que se encuentra en el trayecto del rayo.

Figura 7-17. Un haz de luz que incide desde el agua hacia el aire se desvía alejándose de la normal.

Un objeto situado en la profundidad del agua parece encontrarse más cerca de la superficie de lo que realmente está.

Resp.: ϕ22 tg)1(1 −−=′ nndd .

7-18. Un hombre de 1.75 mts de altura se encuentra parado a 3 mts de un pozo, de 2.5 mts de profundidad y 3 mts de ancho (ver figura 7-18). Llueve y el pozo comienza a llenarse de agua. Calcule la altura mínima de agua para que el hombre pueda ver el fondo del pozo.

S’ dϕ

d’

S

agua

aire


298

Figura 7-18. ¿Con cuánta agua se deberá llenar el pozo para que el hombre vea el fondo? 7-19. Guía Teórica. Reflexión total interna.

Hemos visto que si el segundo medio es más denso ( n n2 1> ), el rayo

refractado se aproxima a la normal a la superficie. Por el contrario, si el segundo medio es menos denso el rayo refractado se aleja de la normal (ver figura 7-19). Si aumentamos lentamente el ángulo de incidencia veremos que existe un ángulo de incidencia crítico θc para el cual el ángulo de refracción es 90o y no existe rayo refractado, este fenómeno se denomina reflexión total interna.

Figura 7-19. Si el segundo medio es ópticamente menos denso que el primero el rayo refractado se separa de la normal, aproximándose a la interfase. Existe un ángulo crítico de incidencia para el cual el rayo refractado se pega a la interfase.

Destaquemos que un espejo normal refleja entre un 90 y un 95% de la luz incidente. Mientras que en la reflexión total interna la reflexión es, en teoría, efectivamente total, reflejándose el 100% de la luz incidente. Esta propiedad es la que se utiliza en las fibras ópticas. Las fibras ópticas son unos cilindritos de un material especial (SiO2 dopado con Germanio), muy delgado, con un índice de refracción tal que la luz que penetra por un extremo se refleja internamente infinidad de veces hasta salir por el otro, sin pérdida de intensidad, y con un gran ancho de banda. De esta forma es posible transmitir una gran cantidad

1.75 mts

3 mts

3 mts

2.5 mts

n1

n2<n1

θ1

θ2


299

de información (en forma de onda electromagnética), sin grandes pérdidas, aunque la distancia a cubrir sea grande, a diferencia de lo que ocurre con los materiales conductores comunes. 7-20. Muestre que el ángulo crítico de reflexión total interna vale:

1

2sen nn

c =θ . 7-5

Ayuda: piense cuánto vale el ángulo de refracción en este caso y utilice la ley de Snell. 7-21. a) Calcule el ángulo de refracción para un rayo en el aire, incidente a 30o en

un bloque de vidrio (n = 1,52). b) Si ahora la luz sale desde el vidrio hacia el aire, ¿cuál debe ser el ángulo de

incidencia mínimo para que no haya rayo transmitido? c) Haga un diagrama de rayos de las situaciones planteadas en a) y b). d) ¿Cuál es el ángulo crítico para la reflexión total interna de la luz cuando se

desplaza desde el agua (n=1,33), hacia el aire? 7-22. (Repaso). Considere una lámina de vidrio de caras paralelas de espesor t, sobre la que incide un haz de luz monocromático con un ángulo de incidencia θ1 , como indica la figura 7-20.

Figura 7-20. Sobre una lámina de vidrio de caras paralelas, y espesor t, incide un haz de luz en forma oblicua. En ambas caras la luz parcialmente se refleja y parcialmente se refracta.

t

d

1θ

2θ


300

a) Muestre que el rayo emergente, a través de la lámina, es paralelo al incidente, pero con un corrimiento lateral, independiente del índice de refracción del vidrio, dado por:

d t=−sen

cos ( )θ θ

θ1 2

2.

b) Parte del haz se refleja en la segunda cara y al incidir sobre la primera es parcialmente transmitido de vuelta al medio original, muestre que en este caso el ángulo de refracción es igual al de incidencia del rayo original. 7-23. Guía Teórica. Principio de Fermat.

Como mencionamos anteriormente, las leyes de la óptica geométrica pueden deducirse a partir de un enunciado teórico, como es el principio de Huygens. Pero debemos advertir al lector que es posible reformular estas leyes en términos de un principio diferente al principio de Huyguens: el Principio de Fermat. Este principio tiene en consideración el hecho, ya mencionado, que la luz se propaga a velocidades diferentes en medios ópticamente diferentes (es decir, con distinto índice de refracción). Para fijar ideas veamos el siguiente problema: una bonita señorita sufre un calambre mientras se encuentra nadando, próxima a la orilla de un lago en calma, y pide socorro (punto S de la figura 7-21). Ud. que es un excelente nadador se encuentra en la playa cerca de la orilla (situado en el punto U de la figura), oye la llamada y, obviamente, decide ayudar a la joven. Supongamos que Ud. puede correr a, digamos, 6 m/s y nadar a 2 m/s. ¿Cuál de las trayectorias que se muestran en la figura elegiría? ¡Sin ninguna duda aquella que le insuma menos tiempo en alcanzar a la muchacha! Pero en este caso, es fácil probar que la trayectoria que minimiza el tiempo no corresponde a la línea recta que une los dos puntos en cuestión.


301

Figura 7-21. Si la velocidad de desplazamiento es diferente a ambos lados de la horizontal, la trayectoria rectilínea no es la que insume menor tiempo en ir de U a S. La trayectoria que requiere el menor tiempo cumple con el principio de Fermat.

Antes de enunciar, el principio de Fermat veamos cómo tener en cuenta la

diferente velocidad de propagación en cada medio, lo que nos conduce a la noción de camino óptico.

Supongamos tener dos medios con velocidad de propagación de la luz

diferente, con índices de refracción n1 (la playa) y n2 (el lago), y que un haz de luz sale de una fuente en el primer medio hasta llegar a un punto en el segundo medio. Si la distancia que recorre la luz en el primer medio es l1 y su velocidad v1, entonces

1

11 v

lt = es el tiempo de viaje de la luz en el primer medio, análogamente 2

22 v

lt = lo

es en segundo medio. Entonces, el tiempo total que le toma a la luz en ir de un punto al otro es:

clnln

cln

cln

ncl

ncl

vl

vlttt 22112211

2

2

1

1

2

2

1

121

+=+=+=+=+= . 7-6

Pero esta última cantidad la podemos reescribir como:

.O.Clnlnct =≡+= óptico camino2211 7-7 Que sería la distancia que recorría la luz en ese tiempo si se propagara

exclusivamente en el vacío. En general, a la cantidad definida por el producto del índice de refracción del medio por la distancia recorrida en ese medio se la denomina camino óptico. En el caso que la luz atraviese varios medios con distinto índice de refracción ni, con recorridos li, el camino óptico será:

∑=i

iiln.o.c , 7-8

U

S

x

playa

lago

l

s


302

y en el límite de una variación continua del índice de refracción:

∫= ndl.o.c . 7-9

En términos del camino óptico, el principio de Fermat dice que:

“La luz al propagarse de un punto a otro sigue un trayecto tal que el camino óptico es un extremo (mínimo o máximo), respecto de cualquier trayectoria vecina.” En la gran mayoría de los casos, la luz sigue una trayectoria que hace mínimo el camino óptico. Utilizando el principio de Fermat es posible deducir todas las leyes de la óptica geométrica. Este tipo de principios, donde aparece una cantidad que es estacionaria (ya sea máximo o mínimo) respecto a variaciones de la misma es muy general y útil. De hecho todas las teorías físicas se pueden derivar de un principio de este tipo, incluso las archiconocidas leyes de Newton del movimiento. 7-24. Pruebe que el camino óptico entre los dos puntos mostrados en la figura 7-22 será mínimo si se cumple con la ley de Snell. Ayuda: razone en términos del ejemplo anterior.

Figura 7-22. El Principio de Fermat se puede aplicar para demostrar la ley de refracción.

θ2

θ1

n1

n2>n1

S

S’


303

7-25. Guía Teórica. Espejo esférico.

Las interfases ópticas más sencillas de construir, después de las planas, son las esféricas. En particular, debido a su curvatura, tienen la propiedad de hacer converger o diverger los haces de luz y modificar las imágenes respecto del objeto original. Gran cantidad de dispositivos ópticos se pueden construir apelando a la yuxtaposición de estas superficies.

Consideremos primeramente un espejo esférico cóncavo, de radio R, como

muestra la figura 7-23.

Figura 7-23. Un espejo esférico es una superficie perfectamente reflectante, con sección circular y radio de curvatura R. Un objeto, situado en el punto objeto s, se refleja sobre el espejo según la ley de reflexión (la normal coincide con el radio de curvatura), y se forma su imagen en el punto imagen s’.

Vamos a estudiar la formación de imágenes, en un dispositivo de este tipo,

mediante el método de trazado de rayos. Si tenemos una fuente luminosa puntual, a la que denominaremos punto objeto s, definimos el eje óptico del sistema como la recta que une el punto objeto y el centro de curvatura del espejo. Del punto objeto emana un haz de luz que se refleja en el espejo, siguiendo la ley de reflexión. La normal a la interfase o dioptra corresponde, en este caso, a la dirección del radio de curvatura de la esfera, por lo cual el haz incidente y el reflejado forman el mismo ángulo respecto de esta dirección (ver figura 7-23). El punto donde el haz reflejado corta al eje óptico se denomina punto imagen s’. Las distancias, sobre el eje óptico, desde el punto objeto al espejo y desde el punto imagen al espejo, se denominan distancia objeto s e imagen s’ respectivamente.

Si trazamos varios rayos que salgan de s (ver figura 7-24), vemos que en

general no cortan todos en el mismo punto al eje óptico. Efectivamente, rayos que salen del objeto con mucha apertura angular no pasan por un único punto y, por ende, no se forma una imagen nítida del objeto. Esta deformación de la imagen se denomina aberración esférica. Pero si el haz de rayos tiene pequeña apertura; es

s s’

R

θ1

θ1


304

decir, si los rayos son casi paralelos al eje óptico, la imagen estará bien definida. El considerar únicamente rayos casi paralelos al eje óptico es lo que se denomina aproximación paraxial.

Figura 7-24. En un espejo esférico sólo los rayos que inciden con pequeña apertura angular (exagerada en la figura), se cortan en el mismo punto. Los rayos que inciden con mucha apertura angular no pasan por este punto, dando una deformación de la imagen denominada aberración esférica.

Comentario: Un haz de rayos paralelos que inciden sobre un espejo parabólico converge al foco de la parábola. En este caso, no tiene lugar la aberración esférica debido a la forma particular (parabólica), del espejo. Por este motivo las antenas de radar y de comunicaciones satelitales también tienen esta forma. En los últimos años ha surgido una aplicación ecológica de esta propiedad: en los concentradores de calor se hace converger la luz solar hacia unos tubos llenos de agua o aceite, que se calienta por este mecanismo y se utiliza como si fuera una caldera.

En lo que sigue nos restringiremos a rayos que inciden sobre los espejos casi

paralelos al eje óptico, es decir, formando un ángulo pequeño. Utilizando la aproximación paraxial se puede ver que, sobre el eje, existe un punto particular, denominado foco, hacia donde convergen los rayos de un haz que incide, paralelo al eje óptico, sobre el espejo (ver figura 7-25).

Figura 7-25. Un haz de rayos que inciden paralelos al eje óptico de un espejo esférico se cortan en un único punto, denominado foco. El foco se encuentra a medio radio del vértice del espejo.

f R


305

Dado que si un objeto se encuentra muy alejado la luz que proviene de él lo

hace en forma de un haz de rayos paralelos, diremos que: por el foco pasan los rayos de un objeto situado en el infinito. Por ejemplo, esto ocurre en buena aproximación con los rayos solares. Asimismo, si el objeto está situado en el foco, la luz que se refleja en el espejo sale como un haz paralelo y su imagen se forma en el infinito, como es de esperar en virtud del principio de reversibilidad del camino óptico. El foco se encuentra a una distancia, 2

Rf = del vértice del espejo. ¡Verificarlo

mediante trazado de rayos!

Para todo punto sobre el eje óptico su imagen también se forma sobre dicho eje. Para objetos extensos, cuyos puntos se hallan fuera del eje, la imagen estará bien definida si respetamos la aproximación paraxial. Para esta clase de objetos existen 4 rayos principales que nos pueden ayudar a descubrir donde se forma la imagen: 1. Un rayo que incide paralelo al eje óptico ⇒ pasa por el foco. 2. Un rayo que pasa por el foco ⇒ sale paralelo al eje óptico. 3. Un rayo que pasa por el centro de curvatura ⇒ se refleja sobre sí mismo. 4. Un rayo que pasa por el vértice del espejo ⇒ se refleja simétrico respecto al eje

óptico.

Figura 7-26. Trazado de rayos para la formación de imágenes por un espejo esférico. Hay cuatro rayos que se pueden trazar y permiten formar la imagen, aunque trazando sólo dos de ellos es suficiente para que la imagen quede perfectamente determinada.

Observemos que todos los rayos parecen provenir de un nuevo punto, el correspondiente a la imagen. Así, trazando estos cuatro rayos es posible construir la imagen del objeto original. De hecho trazar los cuatro rayos aporta información redundante, con sólo dos de ellos se puede determinar, unívocamente, la posición de

1

2

3

4

f


306

la imagen (ver figura 7-26). Sin embargo, el trazar un tercer rayo puede servir de control sobre si lo que se ha hecho es correcto.

El tipo de imagen que se forma depende de la posición del objeto respecto del centro de curvatura del espejo y de la posición del foco. Así, la imagen puede estar invertida respecto del objeto y ser más grande o más pequeña; en ese caso decimos que está aumentada o reducida, respectivamente. Asimismo, si la imagen se forma del lado físicamente accesible del espejo decimos que es real, porque se forma en la intersección de los rayos (y allí hay energía lumínica). Mientras que si los rayos parecen provenir de detrás del espejo decimos que es virtual, porque en los puntos donde parecen cortarse los rayos no hay energía lumínica (los rayos no se cortan verdaderamente). En la figura 7-27 se ilustran los casos posibles.

Figura 7-27. Formación de imágenes por un espejo esférico cóncavo, según la posición del objeto respecto del centro de curvatura del espejo y del foco. a) El objeto está más allá del centro de curvatura, la imagen es real, invertida y menor. b) Si el objeto está entre el centro de curvatura y el foco, la imagen es real, invertida y aumentada. c) Cuando el objeto está entre el foco y el espejo, la imagen es virtual, derecha y aumentada.

f

y

y’

a

f

y

y’

b)

f

yy’

c)


307

Utilizando la ley de reflexión, en la aproximación paraxial, es posible deducir una ecuación, la ecuación de los espejos, a fin de encontrar la posición (s’) de la imagen de un objeto, ubicado en s, analíticamente. No vamos a deducirla aquí, simplemente la escribiremos y la utilizaremos para verificar los resultados gráficos. Previamente es preciso establecer algunas convenciones, a saber:

Colocamos el sistema de coordenadas en el punto de intersección entre el espejo y el eje óptico.

La luz siempre incide desde la izquierda. Si el objeto es real (es decir, si está a la izquierda del espejo), la distancia objeto

es positiva ( 0>s ), cambia el signo si el objeto es virtual. Si la imagen es real la distancia imagen es positiva ( 0'>s ), cambia el signo si la

imagen es virtual. El radio de curvatura del espejo es positivo ( 0>R ), si el espejo es cóncavo

(respecto de la incidencia de la luz), cambia el signo para un espejo convexo. La altura del objeto (y), es positiva si está sobre el eje óptico, en caso contrario es

negativa.

En la figura 7-28 se pueden ver las convenciones utilizadas en el caso de un espejo cóncavo ( 0>R ), con un objeto real 0>s y derecho ( 0>y ), que tiene una imagen real 0'>s e invertida 0<'y . Por supuesto que el hecho que un objeto, o imagen, sea real (o virtual), no depende del sistema de coordenadas utilizado; pero se debe ser consistente con la convención utilizada.

Figura 7-28. Formación de imágenes en el caso de un espejo cóncavo ( 0>R ), con un

objeto real 0>s y derecho ( 0>y ), que da como resultado una imagen real 0'>s e invertida 0<'y .

y

y’s

s’ f


308

Con estas convenciones, la ecuación de los espejos es:

fR'ss1211 ==+ . 7-10

En particular, la cantidad f

1 se denomina potencia del espejo, y se mide en

dioptrías, si la distancia focal se mide en metros. La potencia dióptrica nos da una idea del poder de convergencia del espejo. A mayor potencia, menor distancia focal y, por consiguiente, la imagen de un objeto lejano se forma más cerca del espejo. El espejo tiene mayor facilidad para hacer converger los rayos de un haz de luz. Observemos que si consideramos a un espejo plano como aquel que tiene un radio de curvatura infinita, la ecuación de los espejos nos dice que la imagen es virtual, y está situada simétricamente respecto del plano del espejo. ¡Verificarlo!

Asimismo, es posible mostrar que el aumento lateral; es decir la relación entre el tamaño de la imagen y del objeto, es:

ss

yym '' −== . 7-11

La amplificación lateral da idea del aumento (si es mayor que uno), o

disminución (si es menor que uno), de la imagen respecto del objeto. El signo menos en la expresión indica que la imagen está invertida si es real, y está derecha si es virtual. 7-26. Se tiene un espejo esférico cóncavo con un radio de curvatura de 40 cm. Dibujar los diagramas de rayos para localizar la imagen, si el objeto, de 1 cm de altura, está situado a una distancia del espejo de: a) 100 cm, b) 40 cm, c) 30 cm, d) 20 cm, e) 10 cm. En cada uno de los casos decir si la imagen es real o virtual, está derecha o invertida; y aumentada, reducida o del mismo tamaño que el objeto. 7-27. Utilice la ecuación de los espejos (ec. 7-10) y la amplificación lateral (ec. 7-11) para corroborar los resultados obtenidos gráficamente en el problema anterior. Explique el significado de los signos que obtenga.


309

7-28. Repetir los pasos dados en los problemas 7-26 y 7-27, para un espejo convexo con el mismo radio de curvatura, es decir, el radio de curvatura es de -40 cm. (recuerde que en este caso el signo negativo indica que la concavidad del espejo está dirigida hacia la derecha) 7-29. Compare los resultados obtenidos con el espejo cóncavo y con el convexo. En particular, observe si las imágenes reales en un caso corresponden a imágenes reales en el otro, y viceversa. 7-30. Guía Teórica. Lentes delgadas. Una lente delgada sencilla consiste en un trozo de material (en general vidrio), limitado por dos superficies esféricas, separadas una distancia muy pequeña. El eje óptico de la lente corresponde a la línea que une los centros de curvatura de ambas superficies (ver figura 7-29). Observar que, a diferencia de los espejos esféricos donde definimos el eje óptico teniendo en cuenta la ubicación del objeto, para las lentes la definición del eje óptico es unívoca.

Figura 7-29. Una lente delgada está limitada, en general, por dos superficies esféricas, separadas

una distancia muy pequeña. El eje principal de la lente corresponde a la línea que une los centros de curvatura de ambas superficies

Una lente delgada refracta los rayos de luz que inciden sobre ella desviándolos. En la situación más común, que corresponde a una lente de vidrio rodeada de aire, si la lente es más gruesa en el centro (se dice que es biconvexa), un haz de rayos paralelos al eje converge formando una imagen real (ver figura 7-30). Por el contrario si en el centro es más delgada (bicóncava), los rayos divergen (ver figura 7-30).

eje óptico


310

Figura 7-30. Según el grosor (o concavidad), de una lente en su centro será el comportamiento de la luz al atravesarla. Para el caso de vidrio en aire, si la lente es gruesa un haz de rayos paralelos converge, mientras que si es más delgada diverge.

El punto focal corresponde al punto, sobre el eje óptico, donde converge un haz de rayos paralelos a dicho eje. Si los rayos convergen antes de atravesar la lente la imagen del punto focal, en este caso objeto, se forma en el infinito. Si la luz atraviesa la lente antes de converger se habla de punto focal imagen. En el caso que sea un haz de rayos paralelos entre sí, pero no al eje óptico, convergerán pero hacia otro punto (ver figura 7-31). Recordar que estamos trabajando siempre dentro de la aproximación paraxial. El conjunto de todos los puntos de convergencia posibles, para haces paralelos, define lo que se llama plano focal. Por supuesto, existen tanto el plano focal objeto, como el plano focal imagen. En el caso de lentes delgadas en aire, ambos planos se encuentran uno a cada lado de la lente y a la misma distancia de la misma.

Figura 7-31. Los haces de rayos que inciden paralelos (en la aproximación paraxial), sobre

una lente convergen en el plano focal. Para tener una idea de lo que significa el foco de una lente, recuerde cuando

de niño utilizaba una lupa para quemar hojitas de un árbol, un pedazo de madera o simplemente un papel, utilizando una lupa. Había que interponer la lupa entre el objeto a quemar y la luz del Sol, e ir variando la distancia entre la lupa y el objeto hasta que apareciera un punto brillante (una imagen casi puntual del Sol) sobre el

Plano focal imagen


311

mismo. Precisamente ese punto brillante es lo que acabamos de definir como foco, y la separación que era preciso ajustar corresponde a la distancia focal.

Cuando se trabaja con lentes no sólo se presenta el problema de la aberración esférica, como ocurría con los espejos. También aparecen problemas debido a que el índice de refracción es función de la longitud de onda. En efecto, la luz se refracta dentro de la lente, como si fuera un prisma, y aparece el fenómeno de dispersión cromática que vimos anteriormente. Si la apertura angular del haz de luz es grande, rayos que corresponden a diferentes colores forman imágenes en puntos distintos. A este fenómeno se lo denomina aberración cromática. Se puede minimizar el efecto de la aberración cromática si trabajamos, nuevamente, en la aproximación paraxial.

Dentro de esta aproximación se puede encontrar gráficamente la imagen de un

objeto, teniendo en cuenta que: a) Un haz de luz que pasa por el plano focal objeto forma una imagen en el infinito,

(sale paralelo). b) Un haz de luz que incide paralelo (objeto en el infinito), pasa por el plano focal

imagen. c) Un haz de luz que pasa por el centro del plano principal (el centro de la lente) no

se desvía

Figura 7-32. Formación de imágenes por una lente delgada. Observar que con sólo dos rayos es suficiente para determinar la posición y tamaño de la imagen. El tercero sirve como verificación.

En forma similar a lo que ocurre con el trazado de rayos en un espejo esférico, es suficiente con trazar sólo dos rayos para determinar la posición y tamaño de la imagen. Se puede trazar el tercero para verificar que la construcción gráfica está bien hecha.

f f’

y

y’ s

s’


312

En el caso de las lentes delgadas en aire, y siempre dentro de la aproximación paraxial, se dispone de una expresión analítica sencilla, la ecuación del fabricante de lentes, que puede deducirse a partir de la ley de Snell (haciendo coincidir el origen del sistema de coordenadas con el centro de la lente):

fRR

nss

111)1('

11

21

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=+ , 7-12

en esta expresión n es el índice de refracción del material que compone la lente, R1 y R2 los radios de curvatura de las dos interfases que forman la lente, y f la distancia focal (que, en el caso de lentes delgadas, es la misma para objeto e imagen). A diferencia que en el caso de los espejos, la distancia imagen s’ ahora es positiva si está a la derecha de la lente, esto significa que esperamos ver objetos reales a la derecha de la lente.

Si bien la expresión 7-12 es completa, en general no se conocen R1 y R2,

mientras que la distancia focal se puede determinar con cierta facilidad. ¿Se le ocurre cómo? (Ayuda: piense como quemaba hojitas con una lupa).

En general, una lente será convergente (o positiva) si 0>f (el foco objeto

está situado del mismo lado que el objeto), y divergente (o negativa) si 0<f . Como dijimos, una lente convergente hecha de un material ópticamente más denso que el medio que la rodea es más gruesa en el centro.

En forma similar que en el caso de los espejos esféricos, se puede probar que el aumento lateral de una lente delgada es:

s's

y'ym −== . 7-13

Análogamente, la potencia dióptrica de la lente se define como la inversa de la distancia focal: f

1 , y se mide en dioptrías si la distancia focal se mide en metros.

Su interpretación es similar a la que hicimos para el espejo esférico. 7-31. Verifique la expresión anterior para el aumento lateral (ec. 7-13), mediante un ejemplo adecuado, a través del trazado de rayos.


313

7-32. Dado un objeto de altura 1 cm, para las siguientes distancias objeto y distancias focales de lentes delgadas en aire, halle la distancia imagen y la amplificación, y diga si la imagen es real o virtual, derecha o invertida: a) s f= =40 20 cm cm, , b) s f= =10 20 cm cm, , c) s f= = −40 30 cm cm, , d) s f= = −10 30 cm cm, . Hágalo gráficamente y verifique analíticamente los resultados obtenidos. 7-33. Un objeto de 3 cm de altura se coloca a 20 cm delante de una lente delgada de 20 dioptrías de potencia. a) Dibujar un diagrama de rayos preciso para hallar la posición y el tamaño de la

imagen y comprobar los resultados utilizando la ecuación de las lentes delgadas. b) Repetir el ítem anterior para un objeto de 1 cm de alto situado a 10 cm delante de

una lente delgada cuya potencia es de -20 dioptrías. 7-34. Guía Teórica. El ojo.

Después del cerebro, el ojo tal vez sea el órgano más complejo y maravilloso del ser humano. Es en esencia un sistema de lentes convergentes (o positivas), formadoras de imágenes reales sobre una superficie sensible a la luz denominada retina.

Figura 7-33. Corte esquemático del ojo humano. La lente compuesta córnea – cristalino

forma una imagen real sobre la pared posterior del ojo, que hace las veces de pantalla, la retina. Las terminaciones nerviosas de la retina, conos y bastones, reenvían la información al cerebro a través del nervio óptico.

Pupil

Córnea

Iris

Músculos Ciliares

Cristalino

Nervio Óptico Humor

Vítreo

Retina


314

La estructura del ojo, desde afuera hacia dentro, se compone, básicamente de

la córnea, el iris (que tiene un orificio denominado pupila, el cual se puede variar determinando la cantidad de luz que entra al ojo), el cristalino, una zona gelatinosa (llamada el humor vítreo), y la retina. La retina está formada por estructuras fotosensibles, denominadas conos y bastones, que reciben la información y la transmiten al cerebro a través del nervio óptico.

La distancia focal de la lente, compuesta por el sistema córnea – cristalino, se

regula mediante los músculos ciliares. Cuando éstos están relajados el cristalino se tensa, debido a sus propias tensiones internas, se vuelve más plano, por lo cual aumentando su radio de curvatura y, por ende, su distancia focal. Por el contrario, si los músculos ciliares se contraen, las tensiones sobre el cristalino se aflojan y éste se redondea, su radio de curvatura es menor y la distancia focal disminuye.

El ojo relajado enfoca normalmente el infinito, con una distancia focal de

aproximadamente 2,5cm, que corresponde al diámetro del ojo. Así, las imágenes de objetos que se encuentran infinitamente alejados se forman justamente en la retina, sin necesidad de forzar la vista, donde pueden ser procesadas por los conos y bastones y enviadas al cerebro. Si el objeto se acerca, en principio, mejora la visión ya que el objeto se ve bajo un ángulo mayor, pero si el acercamiento ocurre sin que se modifique la distancia focal la imagen se forma detrás de la retina, como muestra la figura 7-34, y no se ve bien. Para evitar este problema se tensan los músculos ciliares disminuyendo el radio del cristalino, lo que provoca que decrezca la distancia focal, ahora la imagen del objeto cercano se forma sobre la retina como corresponde. A este proceso de ajuste de la visión se lo denomina acomodación. Existe un límite para la acomodación denominado punto próximo, los objetos situados a una distancia menor que el punto próximo no pueden ser enfocados adecuadamente. El punto próximo no es el mismo para todas las personas y varía con la edad (desde unos 7cm en un niño, hasta unos 200cm en una persona adulta). Por convención se toma, en general, una distancia al punto próximo de 25cm (xp).


315

Figura 7-34. a) El ojo relajado tiene una distancia focal que coincide con el diámetro del globo ocular. Las imágenes de objetos infinitamente alejados se forman en la retina, pero las de un objeto cercano se forman detrás y no se ven bien. b) En el proceso de acomodación los músculos ciliares cambian la curvatura del cristalino modificando la distancia focal, ahora la imagen del objeto cercano se forma sobre la retina como corresponde.

El proceso de enfoque y acomodación, que se acaba de describir corresponde a un ojo normal. Existen, sin embargo, diversos defectos de la visión. Los principales son tres, a saber: la hipermetropía, la miopía y el y el astigmatismo.

En el caso de la hipermetropía el ojo tiene poco poder de convergencia y la

imagen se forma detrás de la retina (ver figura 7-35). La visión es buena para objetos lejanos, dado que la luz incide sobre el ojo formando un haz de rayos casi paralelos, que se enfocan sobre la retina sin necesidad de demasiado esfuerzo para acomodar el ojo. Para poder observar objetos cercanos, este defecto se corrige utilizando lentes convergentes. En efecto, la luz proveniente de los objetos cercanos forma un haz que diverge fuertemente, al interponer una lente convergente ésta lo procesa, convirtiéndolo en un haz más convergente (casi paralelo), de tal manera que el ojo lo puede enfocar sobre la retina sin gran esfuerzo.

f

f b)

a)


316

En la miopía los músculos ciliares se encuentran más contraídos, el ojo tiene

mucho poder de convergencia y la imagen se forma antes de la retina (ver figura 7-36). No obstante la visión es buena para objetos cercanos, donde el haz de luz tiene gran apertura angular. Este defecto se corrige interponiendo una lente divergente entre el objeto y el ojo. Así, la lente divergente abre el haz casi paralelo del objeto lejano, al ojo le cuesta más hacerlo converger y la imagen se forma sobre la retina, como corresponde.

Figura 7-36. a) El ojo miope tiene una distancia focal pequeña, las imágenes se forman delante de la retina. b) Se utiliza una lente negativa para hacer diverger más el haz de luz incidente

El defecto denominado astigmatismo está relacionado con que el ojo posee

distinta curvatura en diferentes planos. Este problema se corrige con la utilización de

b)

a)

b)

a)

Figura 7-35. a) El ojo hipermétrope tiene una distancia focal grande, las imágenes se forman detrás de la retina. b) Se utiliza una lente positiva para hacer converger más el haz de luz incidente.


317

lentes cilíndricas que compensan la diferencia de curvatura en las distintas direcciones.

7-35. Guía Teórica. Lupa o microscopio simple. El tamaño aparente de un objeto está dado por el tamaño de la imagen sobre

la retina (ver figura 7-37). Cuanto mayor sea esta imagen más cantidad de bastones y conos activos habrá.

Figura 7-37. Cuánto mayor sea el objeto, y más cerca del ojo se encuentre, más grande será la imagen que se forme en la retina y mejor se podrán apreciar los detalles del mismo.

El tamaño de la imagen que se forma en la retina es, según se ve en la figura 7-37, cm5,2 ' ⋅= θy . Por otra parte, si la visión se realiza bajo un ángulo pequeño, podemos aproximar la tangente de un ángulo por el ángulo mismo, es decir:

θθ ≅= tgsy , 7-14

y combinando ambas expresiones obtenemos la relación entre el tamaño de la imagen y del objeto:

syy cm5,2'= . 7-15

Como era de esperar, un objeto lejano se verá más pequeño,

independientemente del tamaño real del mismo. Como vimos recién, cuando se quieren ver los detalles de un objeto, se lo acerca para verlo más grande. Pero aquí se presenta el problema del punto próximo,

y’

y

s

2,5 cm

θ

θ’


318

si lo acercamos demasiado no lo podemos enfocar bien. Una lupa consiste, esencialmente, en una lente convergente que se utiliza con la idea de acercar el objeto y aumentar el tamaño de la imagen en la retina. Las lentes de aumento se conocen desde la antigüedad, se han hallado trozos de cuarzo, presumiblemente utilizados como lentes convergentes en épocas anteriores a la era cristiana. Supongamos tener un objeto situado en el punto próximo, como muestra la figura 7-38:

Figura 7-38. Cuánto más cerca del ojo se encuentre un objeto, más grande será la imagen que se forme en la retina y mejor se podrán apreciar los detalles del mismo. Pero los objetos situados a una distancia menor que el punto próximo no pueden ser enfocados adecuadamente.

Vemos que, para ángulos pequeños podemos aproximar px

y≅0θ . Ahora, si

intentamos acercar más el objeto no lo veremos con nitidez. Pero, si utilizamos una lente convergente de potencia relativamente alta, o lo que es lo mismo distancia focal corta, y colocamos el objeto en el foco de la misma y el ojo junto a la lupa (ver

figura 7-39), veremos el objeto bajo un ángulo mucho mayor fy≅θ , siendo f la

distancia focal de la lente. El efecto de la lente es que nos permite acercar el objeto más que la distancia del punto próximo, y podemos verlo bajo un ángulo mayor de lo que lo veríamos en ese punto. De esta forma obtenemos dos ventajas: al verlo bajo un ángulo más grande podremos apreciar con nitidez los detalles del mismo y, al colocar el objeto en el foco, la imagen se forma en el infinito por lo cual podremos observarlo a ojo relajado.

xp θ0

y


319

Figura 7-39. Utilizando una lente de aumento podemos acercar el objeto y verlo subtender un ángulo mayor. Así, será más grande la imagen que se forme en la retina y se apreciarán mejor los detalles del mismo.

Podemos caracterizar cuán buena es una lente como dispositivo de aumento definiendo la amplificación o poder amplificador de la lente como el cociente entre el tamaño angular de la imagen en la retina, cuando se ve a través de la lupa, respecto del tamaño cuando se observa a simple vista a la distancia del punto próximo:

f

x

xy

fy

M p

p

===0θθ . 7-16

7-36. Una persona con un punto próximo de 30 cm utiliza una lente de 40 dioptrías como lupa. ¿Qué amplificación se obtiene? Haga el diagrama de rayos. 7-37. Actividad: jugar con la lupa.

Como habrá observado en el problema 7-32, que una lente convergente dé una imagen real e invertida o virtual y derecha depende de la posición relativa del objeto respecto del foco de la lente. Para convencerse que esto es así le proponemos que juegue con una lupa observando simultáneamente dos objetos: uno situado a una distancia menor que la focal y el otro más lejos. ¿Qué observa? ¿Le parece razonable lo que ve? Entreténgase observando distintos pares de objetos a diferentes distancias.

7-38. Guía Teórica. Microscopio compuesto. Si el objeto que se quiere ver es muy pequeño, una simple lupa no es suficiente. Alrededor del año 1600, a alguien se le ocurrió utilizar un sistema de lentes, para aprovechar el poder de amplificación de cada una y obtener un aumento mayor. Es lo que llamamos un microscopio compuesto, éste sirve para ver objetos

f

θ

y


320

muy pequeños y cercanos. En su forma más sencilla consiste de dos lentes convergentes. La lente más cercana al objeto, de distancia focal f1, se denomina objetivo. La segunda lente, a través de la cual se observa, se utiliza como lupa, y se llama ocular. Llamaremos f2 a la distancia focal del ocular. La distancia entre los focos f1’ (foco imagen) y f2 (foco objeto) se suele denominar g. El objetivo forma una imagen real e invertida del objeto y el ocular (lupa), se ajusta para que esta imagen se forme justo en su foco, de forma de dar una imagen virtual, derecha, de la imagen del objetivo, y situada en el infinito. En conclusión, la imagen final se ve en el infinito e invertida (ver figura 7-40), se utiliza esta disposición para que el ojo normal trabaje relajado.

Figura 7-40. El microscopio compuesto está formado por dos lentes convergentes. El objetivo

da una primera imagen ampliada del objeto y el ocular, trabajando como lupa, amplifica esta imagen aún más. Al colocar el ocular tal que la imagen del objetivo se forme en su foco, la imagen final se obtiene en el infinito, y la observación puede hacerse a ojo relajado.

Del gráfico podemos ver que, entre la altura del objeto, la altura de la imagen, la separación entre focos (g) y la distancia focal del objetivo se cumple la siguiente relación:

g'y

fy −==1

α , 7-17

recordar que 0´<y de allí el signo “–“ en la expresión.

f1

f1’

f2’

f2

g

α α

y’

objetivo ocular


321

De la relación anterior se sigue que el aumento lateral del objetivo, según corresponde a una lente delgada, es:

1fg

y'ymob −== . 7-18

Mientras que el ocular, al funcionar como lupa, tendrá un aumento angular

dado por:

2fx

M poc = . 7-19

Definiremos el poder amplificador de un microscopio como el producto de la

amplificación lateral del objetivo, por la amplificación angular del ocular, y así:

21 fx

fgMmM p

ocob −== . 7-20

Claramente, para construir un microscopio es conveniente utilizar lentes con gran potencia dióptrica, es decir, con distancias focales pequeñas. Sin embargo, existe un límite al aumento del microscopio fijado por la difracción, pero eso es un tema que veremos más adelante.

7-39. Un microscopio tiene una lente objetivo de 1,2 cm de distancia focal y un ocular de 2,0 cm de distancia focal separadas 20 cm.

a) Hallar el poder amplificador si el punto próximo del observador está a 25 cm. b) Dado que en un microscopio siempre se busca que la imagen final se vea en el

infinito, ¿en dónde deberá colocarse el objeto? c) Para un objeto situado a 1,5 cm del objetivo, haga el diagrama de rayos.

7-40. Diseñe un microscopio compuesto utilizando como objetivo una lente delgada convergente de 5 cm de distancia focal y como ocular una lente delgada convergente de 10 cm de distancia focal. a) Sabiendo que el objeto se ubica a 7 cm del objetivo, determine donde debe ubicar

el ocular para que los rayos que emergen parezcan provenir del infinito. b) Indique la marcha de rayos. c) Defina y calcule el aumento del microscopio.


322

7-41. Guía Teórica. Cámara fotográfica. Las cámaras fotográficas son dispositivos ópticos compuestos. Su finalidad es registrar, en forma permanente, la imagen de un objeto. Esencialmente están compuestas por una caja (o cámara) oscura, una lente, una abertura de entrada (o diafragma) que se utiliza para regular el paso de luz, un obturador que permite regular el tiempo de exposición y una película fotosensible donde queda impresa la imagen (ver figura 7-41).

Figura 7-41. Esquema básico de una cámara fotográfica.

En general, una buena cámara no tiene una sola lente, sino un sistema de

lentes. En cualquier caso, se busca que la imagen se forme justamente sobre la película. Como el foco está fijo, para enfocar objetos ubicados a diferentes distancias de la cámara se mueve la lente, de tal manera que la posición de la imagen coincida con la de la película. Comúnmente, las películas se clasifican según el ancho de la misma, por ejemplo cuando se habla de películas de 35 mm, se hace referencia a que el ancho de la película tiene ese valor.

La calidad de la imagen que se obtiene depende, entre otras cosas, de la cantidad de luz (energía luminosa recibida) que impresiona la película. Ésta queda determinada principalmente por la intensidad luminosa del ambiente exterior, el tiempo de exposición, y el orificio de entrada de luz, que usualmente suele ser el diámetro de la propia lente. Si la cantidad de luz que llega a la película es poca, la imagen que se forma es muy clara y poco definida (tiene poco contraste). Por el

película lente

diafragma

obturador


323

contrario si el tiempo de exposición es excesivo la imagen es muy oscura (la película se vela) y tampoco se ve nítida.

El tiempo de exposición se regula a través del obturador. Asimismo, existen

películas de distintas velocidades. La velocidad de una película se clasifica con el número ASA o DIN. Las películas de alta velocidad tienen un número ASA elevado, por ejemplo ASA 400, y precisan menor tiempo de exposición. Las de ASA 100, al ser más lentas, necesitan un tiempo de exposición mayor. Por supuesto, todo esto está supeditado a la iluminación ambiente. Así, en interiores (donde la iluminación es pobre) es más conveniente utilizar un ASA 400, mientras que al exterior, en un día luminoso, alcanza con un ASA 100.

En general, cuando se dan indicaciones técnicas sobre una cámara, se hace

referencia a la distancia focal de la misma (de su lente o sistema de lentes). Un valor estándar de distancia focal es 50 mm. También se suela dar un número, llamado número f, que esencialmente consiste en el cociente entre la distancia focal y el diámetro del orificio de entrada de la luz. La inversa del cuadrado de este número da una idea de cuánta luz está llegando a la película, así, cuanto menor sea el número f menor será el tiempo de exposición necesario.

Se podría pensar que se puede capturar más luz utilizando una lente de mayor

diámetro, pero en ese caso aparecen problemas con la aberración cromática que limitan la resolución. Por lo cual el tomar una buena fotografía suele ser un compromiso entre diversos factores. 7-42. Actividad. El proyector.

Puede tratar de simular el funcionamiento de una cámara fotográfica, por ejemplo, proyectando sobre una pared la imagen de la pantalla del televisor vista a través de un pequeño orificio practicado en un cartón u hoja de papel oscuro. Tenga en cuenta que la habitación debe encontrarse a oscuras para poder ver con cierta nitidez la imagen en la pantalla.

Si tiene ganas de hacer algo más sofisticado puede utilizar una caja. De un

lado haga un pequeño orificio y la pared opuesta sustitúyala por papel semi-transparente (del tipo de calcar o manteca). La luz proveniente del televisor penetra por el orificio y se proyecta sobre el papel reproduciendo la imagen de la pantalla. Pruebe cómo cambia la imagen para diferentes distancias entre el televisor, el orificio y la pantalla.


324

Puede repetir la experiencia, pero utilizando una lupa en lugar del orificio. Hágalo, y compruebe las ventajas y desventajas entre utilizar el agujero o la lupa. 7-43. Guía Teórica. Telescopios. El telescopio se inventó aproximadamente al mismo tiempo que el microscopio. Su aplicación principal es ver objetos muy grandes y alejados. La idea es que acercan el objeto, de tal forma que la imagen que se forma en la retina es mayor que la que se obtiene mirando a simple vista.

Si bien existen muchos modelos distintos de telescopios, el más sencillo consiste en dos lentes convergentes ubicadas como indica la figura 7-42. Este tipo de telescopio se denomina refractor. Ambas lentes están separadas por la suma de sus distancias focales. Como el objeto se halla en el infinito su imagen se forma en el plano focal del objetivo, y es utilizada como objeto virtual por el ocular, que hace las veces de lupa. Pero este objeto virtual se encuentra en el foco del ocular, ¡por lo cual su imagen se forma en el infinito! Así, el observador puede mirar a través del ocular sin necesidad de acomodar el ojo, y realizar observaciones prolongadas sin fatiga de la vista.

Figura 7-42. El esquema más sencillo de telescopio es el formado por dos lentes convergentes separadas por la suma de sus distancias focales. La luz de un objeto distante forma una imagen real en el foco del objetivo, ésta sirve como objeto virtual para el ocular, formando una imagen en el infinito, así se puede observar con el ojo relajado.

f2’

f’1 ≡ f2

f1 y’

θ1 θ2


325

Definiremos el poder amplificador del anteojo simplemente como el cociente entre el ángulo de salida de la luz (θ2), y el de entrada (θ1), es decir, la amplificación angular:

1

2

θθ

=M . 7-21

Como el objeto está muy lejos el ángulo de incidencia ( 1θ ), se puede considerar el mismo, con o sin anteojo (es decir, despreciamos la longitud del instrumento), por consiguiente tenemos para el objetivo que:

11

1'tg θθ ≅−=

fy . 7-22

Observar que el ángulo de incidencia está fijo y, en general, es pequeño

porque los objetos están muy alejados. Conviene, entonces, diseñar el objetivo con una distancia focal grande, de tal forma que la imagen que forme el mismo sea de tamaño apreciable.

Mientras tanto para el ocular tenemos que:

22

2'tg θθ ≅=

fy . 7-23

Dado que el ocular funciona como lupa conviene que su distancia focal sea pequeña para que el ángulo bajo el cual se observa y’ sea grande.

En definitiva la amplificación del telescopio resulta:

02

1

1

2 <−==ffM

θθ . 7-24

Que la amplificación resulte negativa sencillamente expresa el hecho de que

la imagen está invertida, como puede verse claramente en el esquema gráfico.

De la última expresión (ec. 7-24), se confirman las observaciones hechas precedentemente: al diseñar un telescopio se busca que la distancia focal del objetivo (f1) sea grande y que la del ocular (f2) sea pequeña.


326

En realidad, lo más importante de un telescopio no es tanto su poder amplificador, sino su capacidad de recoger luz, dado que los objetos que se observan están muy alejados y la intensidad luminosa que recibimos de ellos es muy baja. Cuánta luz podemos captar depende, en buena medida, del tamaño del objetivo. Si aumentamos el tamaño del objetivo aumenta la cantidad de luz que recibimos y por ende la luminosidad de la imagen, sin embargo surgen diversos problemas: los efectos de la aberración cromática y esférica se vuelven muy importantes. Asimismo, existen dificultades técnicas para soportar lentes muy grandes, ya que sólo pueden sujetarse por los bordes, y esto convierte a tales dispositivos en sumamente frágiles. Newton construyó otro tipo de telescopio que soluciona algunos de los problemas mencionados. Este tipo de telescopios, denominados reflectores, utilizan, como objetivo, un espejo cóncavo para enfocar los rayos de luz; de esta manera se elimina la aberración cromática y son más sencillos de sujetar, pues se cuenta con toda la superficie posterior del espejo para hacerlo, por lo cual pueden fabricarse de mayor tamaño. Básicamente, el esquema es como el de la figura 7-43.

Luzentrante Superficie

del espejo

foco

Figura 7-43. En los telescopios reflectores es un espejo, y no una lente, la que hace las veces de objetivo. El foco del espejo se hace coincidir con el foco de la lente ocular.

En la actualidad se adoptan diseños diferentes según los propósitos especiales para el cual va ser utilizado el telescopio. El diseño más simple es el de foco primario, en el cual se coloca toda una batería de sensores en el foco, a fin de componer la imagen reflejada en el espejo principal, ver figura 7-44.


327

En los telescopios chicos es más común el foco Newtoniano, que corresponde al diseño original de los telescopios reflectores. Un espejo pequeño, ubicado en el foco, refleja la luz a un costado del tubo del telescopio, como se muestra en la figura 7-45.

Figura 7-45. El telescopio Newtoniano utiliza un espejo en el foco del objetivo para desviar la imagen hacia el ocular. La observación se realiza entonces desde un costado del tubo del telescopio.

Las imágenes que se obtienen con un telescopio, al igual que con los microscopios, están invertidas. Esto no presupone ninguna dificultad si lo que se observan son objetos estelares. Pero en el caso de los anteojos para observación terrestre, o largavistas, este hecho puede ocasionar muchas molestias. Para solucionar este inconveniente se suele utilizar un sistema, compuesto por prismas, que procesan la luz que entra al anteojo, invirtiendo la imagen y permitiendo observarla derecha.

Espejoprimario ocular

Espejosecundario

Figura 7-44. En un telescopio reflector de foco primario se coloca una batería de sensores en el foco del objetivo para procesar la luz que éste recibe.


328

7-44. Un telescopio refractor tiene un objetivo de diámetro 102 cm y una distancia focal de 19,5 m. Si la distancia focal del ocular es de 10 cm. a) ¿Cuál es su poder amplificador? b) Haga el diagrama de rayos correspondiente a la observación de una estrella muy

distante. 7-45. Diseñe un telescopio refractor utilizando como objetivo una lente delgada convergente de 50 cm de distancia focal y como ocular una lente delgada, convergente, de 10 cm de distancia focal. a) Un haz de luz, paralelo al eje óptico, incide sobre el objetivo. Realice un gráfico

a escala indicando la marcha de la luz a través del sistema. b) Deduzca y calcule la expresión del aumento angular.


329

Bibliografía: • Física Vol. 2, Tipler. Ed. Reverté. • Física, Feynman Lectures on Physics, Vol. 1, R. Feynman, R.B. Leighton y M. Sands. Addison-Wesley Iberoamericana. • Óptica, Hecht-Zajac. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. • Física, vol. 2, parte 2, Roller y Blum. Ed. Reverté. • Física Conceptual, Hewitt. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.


271

Capítulo 8

Ondas en tres dimensiones y Polarización de la luz.


333

Introducción:

Hasta ahora sólo hemos estudiado el fenómeno ondulatorio restringido a una única dimensión. En un espacio unidimensional, la única solución de la ecuación lineal de ondas es la onda plana, pero cuando extendemos el estudio a espacios de mayor dimensión, aparecen nuevas soluciones posibles. En particular en el espacio, las ondas planas pueden propagarse en una dirección arbitraria, no necesariamente concordante con alguno de los ejes cartesianos. Pero no sólo las ondas planas son solución de la ecuación lineal de ondas, por ejemplo, si tiramos una piedrita sobre el agua, no vemos ondas planas sino que observamos la propagación de la perturbación en todas las direcciones por igual, formando frentes de onda circulares. En un espacio de dos dimensiones (el plano) las ondas circulares son también solución. En el espacio tridimensional, se agregan más soluciones, como por ejemplo, las ondas esféricas y cilíndricas. La descripción del fenómeno ondulatorio a través de una onda plana o esférica o cilíndrica, depende del origen de la perturbación y de la simetría del problema. En la Naturaleza las ondas planas, esféricas o cilíndricas, representan sólo una idealización, y el fenómeno ondulatorio se manifiesta en formas más complejas, pero en general es posible modelar la situación real a partir de una superposición adecuada de ondas ideales. Además, por simplicidad, hasta ahora sólo hemos considerado que la perturbación ondulatoria ( )tx,ψ es un escalar, comprobaremos en este capítulo que un número no alcanza para la descripción de una onda transversal, que necesitamos un vector que de cuenta de la dirección de la perturbación (polarización). El carácter vectorial de las ondas transversales, se manifiesta en la aparición de fenómenos característicos, propios de este tipo de ondas, que pueden observarse en la Naturaleza.

Sabemos que las ondas sonoras corresponden a la propagación de vibraciones de la densidad del aire (aumento o disminución local de la densidad), a lo largo de la dirección de propagación. Por lo cual, existe una única dirección característica de la onda, que es la de propagación. Por esta razón, se las llama ondas longitudinales, y alcanza con un solo número ( )tx,ψ (escalar) para describir a la onda. En el caso del sonido, ( )tx,ψ representa las variaciones de densidad o presión respecto de la situación de equilibrio.

Las ondas en una cuerda, en una membrana (como una cama elástica), o las que se producen sobre la superficie del agua (cuando la perturbación es pequeña), corresponden a la propagación de un movimiento transversal de las partículas del

Ondas en tres dimensiones y Polarización de la luz

334

medio, suben y bajan (vibran) perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda. Por simplicidad, hasta el momento, hemos analizado ejemplos de propagación de ondas transversales sobre cuerdas tendidas en la dirección x, y considerado las vibraciones en la dirección y (perpendicular a la dirección de propagación). Por esta razón, nos alcanzó con el plano x-y para la descripción de la onda y hemos representado a los apartamientos (en la dirección y) con un número ( )ψ x t, . Pero claramente, las vibraciones en una cuerda pueden producirse también en otras direcciones, tal como la dirección z, o cualquier dirección contenida en el plano y-z (desplazamientos en ese plano resultan perpendiculares a la dirección de propagación x). Por esta razón, no alcanza con un número para describir el desplazamiento en una onda transversal, necesitamos un vector ( )r

ψ x t, que describe la dirección y sentido del apartamiento y cuyo modulo representa la amplitud del desplazamiento. En general, si la onda es transversal, hay todo un plano, perpendicular a la dirección de propagación, donde puede estar ocurriendo la perturbación. La perturbación ya no puede ser un escalar, sino que la magnitud que se propaga tiene un carácter vectorial. El carácter vectorial de la perturbación determina una nueva propiedad asociada a la propagación de la onda, llamada polarización, que será el tema principal de estudio en este capítulo. A través de este capítulo comprobaremos que hay una mayor riqueza de comportamiento en la propagación de ondas transversales que en el caso de las longitudinales. En particular, la observación de fenómenos asociados a polarización, resultaron una evidencia importante para aceptar el carácter ondulatorio de la luz y determinar si la perturbación es transversal o longitudinal.

Para fijar ideas pensemos en una cuerda tensa, sujeta por un extremo a una pared, tal que la dirección de la cuerda coincide con el eje x. La cuerda está tendida a través de una abertura larga y estrecha (rendija), y la abertura posee su eje en la dirección y (ver figura 8-1).

Supongamos ahora que, agitamos la cuerda en la dirección vertical (onda linealmente polarizada en la dirección y), el movimiento ondulatorio se propaga a través de la cuerda y atraviesa la rendija sin inconvenientes. Pero si la cuerda se excita en la dirección horizontal (onda linealmente polarizada en la dirección z) el movimiento ondulatorio se atenúa al atravesar la abertura, y del otro lado de la misma no se nota un movimiento apreciable de la cuerda (ver figura 8-1).


335

x

y

y

x

z

La rendija actúa como un analizador que sólo permite la propagación de ondas con una polarización determinada, en este caso ondas que vibran en la dirección y (onda linealmente polarizada en la dirección y). Por supuesto, los movimientos horizontales y verticales no son la única forma en que podemos excitar ondas en la cuerda. Resulta posible perturbar a la cuerda en cualquier dirección (diagonal) contenida en un plano perpendicular a la dirección de propagación (siempre es posible describir la perturbación como superposición de oscilaciones horizontales y verticales, proyectando

rψ sobre los ejes). Si una onda

polarizada en una dirección arbitraria incide sobre la rendija, del otro lado veremos que la cuerda oscila mayormente en la dirección vertical, o sea que, la rendija se comporta (aproximadamente) como si proyectara la onda sobre el eje y. Decimos que una onda transversal se halla linealmente polarizada si el medio mantiene la dirección de oscilación en el tiempo y en el espacio, de tal forma que, la

Figura 8-1: Onda transversal en una cuerda, atravesando una ventana angosta. Si oscila en la misma dirección de la ventana se transmite completamente, mientras que si oscila en una dirección perpendicular la onda transmitida se atenúa.


336

dirección de propagación y la dirección de vibración determinan un plano en el que vive permanentemente la onda, al que llamaremos plano de polarización. En el ejemplo de la figura 8-1, también podemos mover la mano en forma circular, en este caso la perturbación

rψ no mantiene su dirección constante en el

espacio y el tiempo sino que gira permanentemente (podemos pensar que el plano de polarización rota alrededor del eje que coincide con la dirección de propagación), decimos que la onda está circularmente polarizada. Luego analizaremos el caso general en donde la amplitud de vibración no es la misma en la dirección horizontal y vertical, dando origen a ondas con polarización elíptica. Comprobaremos que estos tipos de perturbación pueden describirse como superposición de oscilaciones polarizadas linealmente.

Las primeras evidencias sobre el carácter transversal de la luz se deben a Bartholinus (siglo XVII), el cual, realizó experiencias con un cristal llamado espato de Islandia (actualmente conocido como calcita).

Como discutimos en el capítulo anterior, por esa época no se sabía si la luz era un chorro de partículas o una onda y, en caso que fuera una onda, si era longitudinal o transversal. Bartholinus encontró que si se observaba un objeto a través de un cristal de calcita, se veían dos imágenes del objeto. Este fenómeno no fue bien comprendido en su momento, pero hoy sabemos que está asociado a la asimetría en la estructura del cristal, tal que existe una dirección preferencial en el mismo llamada eje óptico. Debido a esta anisotropía del material, es como si la luz viera índices de refracción distintos de acuerdo a cual sea su estado de polarización. En este capítulo, estudiaremos la forma general en que se describe una onda en el espacio y analizaremos el fenómeno de polarización de la luz. Los ejercicios recomendados son el 2, 7, 11, 12, 18, 25 y 27. 8-1. Guía Teórica. Ecuación de ondas tridimensionales. Ondas Planas:

En el capítulo 4 (ver guía teórica 4-7), hemos estudiado la ecuación diferencial lineal de ondas (no dispersiva), en una dimensión (eje x),

∂∂

∂∂

2

2 2

2

2

1Ψ Ψ( , ) ( , )x tx v

x tt

= (Ecuación lineal de ondas) 8-1


337

Donde ( )Ψ x t, es un número (escalar) que representa el valor de la perturbación en una dada posición x del espacio y en un determinado instante t. Demostramos que cualquier función de onda (unidimensional) cuya dependencia funcional con el tiempo y la posición es del tipo,

) (),( tvxftx ±=Ψ (Onda plana) 8-2

donde )(xf es una función continua y dos veces derivable, es solución de la ecuación de ondas 8-1, y puede representar la evolución de una onda plana que se propaga en una única dirección sin deformación. A partir de 8-2, concluimos que la solución más general de la ecuación de ondas (en una dimensión) es una combinación lineal de ondas propagándose en ambas direcciones:

)()(),( 21 vtxgcvtxfctx ++−=Ψ , 8-3 donde c1 y c2 son dos constantes cualesquiera y f y g son funciones arbitrarias dos veces derivables (verifique que la función de ondas 8-3 es solución de la ecuación de ondas 8-1). Hemos estudiado, como ejemplo importante de ondas planas en una dimensión, a las ondas armónicas, tales como, a) ( ) ( )tkxAsentx ω−=Ψ , b) ( ) ( )Ψ x t A kx t, cos= +ω c) ( ) ( )tkx i , ω−=Ψ eAtx

donde λπ= 2k es el número de ondas (escalar) y ω es la frecuencia angular. Las

cantidades k y ω no son independientes, sino que están relacionadas por la relación de dispersión:

kv=ω 8-4 En el caso de ondas que se propagan en el espacio (ondas tridimensionales), la ecuación de ondas debe modificarse. Usando argumentos intuitivos de invariancia y simetría, la ecuación de ondas tridimensional puede obtenerse como una generalización de la ecuación 8-1, agregando términos de tal forma que las variables x, y y z participen “democráticamente” en la ecuación (arte del tanteo), o sea,


338

( ) ( ) ( ) ( )∂

∂∂∂

∂∂

∂∂

2 2 2 2

Ψ Ψ Ψ Ψx y z tx

x y z ty

x y z tz v

x y z tt

, , , , , , , , , , , ,2 2 2 2 2

1+ + = 8-5

Definiendo al Laplaciano de una función (comúnmente se nota∇2) como,

( ) ( ) ( ) ( )∇ = + +2

2 2 2ΨΨ Ψ Ψ

x y z tx y z t

xx y z t

yx y z t

z, , ,

, , , , , , , , ,∂∂

∂∂

∂∂

2 2 2

8-6

la ecuación de ondas 8-5 puede compactarse en la forma,

( ) ( )∇ =2

2 2

1Ψ

Ψx y z t

vx y z t

t, , ,

, , ,

2∂∂

8-7

Las ondas planas siguen siendo solución de la ecuación 8-5 (o 8-7), pero no son las únicas posibles en el espacio, luego veremos que existen otras soluciones, tales como las ondas esféricas y cilíndricas. Por su importancia y simplicidad, analizaremos primero la propagación de ondas planas. Ondas planas en el espacio: En tres dimensiones, las ondas no sólo pueden propagarse en la dirección x, como hasta ahora hemos analizado, sino en cualquier dirección arbitraria. Como ejemplo, escribimos tres ondas planas armónicas propagándose en las direcciones positivas de x, y y z, Onda plana propagándose en la dirección x:

( ) ( )tkxAtvxftzyx cos ),,,( ω−=−=Ψ 8-8 Onda plana propagándose en la dirección y:

( ) ( )tkyAtvyftzyx cos ),,,( ω−=−=Ψ 8-9

Onda plana propagándose en la dirección z:

( ) ( )tkzAtvzftzyx cos ),,,( ω−=−=Ψ 8-10

Note que la onda plana que se propaga en la dirección x (ec. 8-8) no depende de las coordenadas y y z. Esto significa que el valor de la función de onda Ψ es el mismo sobre todo el plano y-z, sólo depende de la variable x. Justamente por esta razón, a este tipo de ondas se las denomina ondas planas, ya que, son planos


339

(infinitos) propagándose en el espacio (ver figura 8-2), todos los puntos de un plano tienen asociado el mismo valor de Ψ . En la figura 8-2 hemos representado una onda armónica (onda plana), propagándose en la dirección x, en un instante fijo t = 0 (“foto de la onda”). Hemos identificado los planos en donde la amplitud de la onda es máxima (en módulo), todos los puntos del plano tienen la misma amplitud máxima.

La figura 8-2, podría representar una onda plana sonora (ideal), donde cada plano representa los puntos del espacio donde, por ejemplo, la variación de presión es máxima. En el ejemplo de la ecuación 8-8, el desplazamiento Ψ es máximo en los puntos del espacio x e instantes de tiempo t que satisfacen la relación,

( ) 1 cos =ω− tkx ⇔ π=ω−= mtkxfase con Ζ∈m 8-11

Es decir, cada plano se halla formado por todos los puntos del espacio con el mismo valor de la fase tkx ω− . Cada valor del entero m determina un plano en donde la amplitud de la onda es máxima (ver figura 8-2).

z

y

x=0 x=1

x=2

x=3

x

( )Ψ x y z t= 0, , , ( )Ψ x y z t= 1, , , ( )Ψ x y z t= 2, , , ( )Ψ x y z t= 3, , ,

Figura 8-2: Onda plana propagándose en la dirección x. La amplitud de la onda es la misma sobre todo el plano perpendicular a la dirección de propagación.


340

Para fijar ideas, supongamos que analizamos el plano determinado por 0=m , entonces, a partir de 8-11, obtenemos la posición que ocupa el plano a medida que transcurre el tiempo,

vttk

x =ω= 8-12

comprobando que el plano se desplaza hacia la derecha con velocidad v. En general para cualquier otro valor de amplitud, x y t se relacionan por,

constantetkxfase =ω−= 8-13

donde el valor de la constante es distinto para cada valor de amplitud de la onda. Verifiquemos que una onda plana armónica como la 8-8 (o 8-9 o 8-10) es solución de la ecuación de ondas tridimensional 8-5. Derivando la función de onda armónica 8-8 dos veces respecto de x, y, z y de t obtenemos,

( )tkxAkx

tzyx cos

),,,( 22

2

ω−=∂Ψ∂ ,

∂∂

2

2 0Ψ( , , , )x y z t

y = ,

∂∂

2

2 0Ψ( , , , )x y z t

z =

y

( )tkxAt

tzyx cos

),,,( 22

2

ω−ω=∂Ψ∂

comprobando que la función armónica 8-8 es solución de la ecuación de ondas tridimensional 8-5 (o 8-7) si se satisface la relación de dispersión (lineal) (ver ec. 8-4),

ω= v k.

ya que se cumple,

( ) ( ) ( ) ( )tkxAvt

tzyxv

tkxAktzyx cos

,,, 1 cos,,, 2

2

2

2

222 ω−ω=

∂Ψ∂=ω−=Ψ∇

Onda armónica propagándose en una dirección arbitraria: Las ondas armónicas 8-8, 8-9 y 8-10 son fáciles de escribir ya que se propagan paralelas a los ejes cartesianos,


341

de esta forma, para describir la fase de la onda sólo nos basta con una única coordenada, por ejemplo en la ecuación 8-13, con la coordenada x,

constantetkxfase =ω−=

En lo que sigue queremos generalizar la descripción para una onda plana que se propaga en una dirección arbitraria. La fase debe ser función de las tres coordenadas x, y y z (las cuales, determinan la posición de un punto arbitrario del espacio kzjyixr ˆ ˆ ˆ ++=r ). Primero tanteemos un poco. Reescribimos a la ecuación 8-13, de tal forma, que contenga a las demás coordenadas (y y z),

constantetzykxfase =ω−++= 00 8-14

A partir de la expresión 8-14, intuimos que puede ayudarnos definir un vector número de onda k

r, con coordenadas,

kjikk ˆ 0ˆ 0ˆ ++=r

8-15

y módulo,

λπ== 2kk

r, 8-16

cuya dirección concuerda con la dirección de propagación de la onda (en el ejemplo, dirección x ), o “en la dirección del rayo” . De tal forma que, la fase (ec. 8-14) puede reescribirse en función de kzjyixr ˆ ˆ ˆ ++=r (posición de un punto cualquiera del espacio) y del vector número de onda k

r, como,

constantetzykxtrkfase =ω−++=ω−= 00 .rr

8-17

A partir de lo tanteado, intuimos que el vector número de onda kr

es un buen candidato para indicar la dirección de la propagación de la onda en el espacio.


342

Definimos al vector número de onda, de componentes xk , yk y zk , como,

kkjkikk zyxˆ ˆ ˆ ++=

r 8-18

cuyo módulo es (al igual que el caso unidimensional),

λπ=++== 2222

zyx kkkkkr

8-19

y cuya dirección determina la dirección de propagación de la onda (“dirección del rayo”), ver figura 8-3. Sobre la base de esta definición, podemos proponer como candidata a fase de la onda en tres dimensiones a la expresión:

tzkykxktrkfase zyx ω−++=ω−⋅= rr. 8-20

(lo que acabamos de hacer no es una demostración rigurosa, sino que estamos proponiendo una forma de solución, después habrá que probar que es válida). Enseguida comprobaremos que con esta propuesta, los puntos de fase constante definen un plano perpendicular a la dirección de propagación, determinada

por el vector kr

; y que estos planos se propagan con velocidad kk

v ω=ω= r .

De acuerdo a lo discutido, proponemos como solución (onda plana) de la ecuación de ondas tridimensional, a la expresión:

)()(),( 21 trkgctrkfctr ω+⋅+ω−⋅=Ψ rrrrr , 8-21

que en el caso particular de que la onda se propague en la dirección de uno de los ejes coordenados, coincide con la ecuación 8-3. Por la forma en que definimos la fase, la función f corresponde a una onda que se propaga en la dirección k

r,

mientras que g debe entenderse como una onda que se propaga en la dirección kr

− . Queda como ejercicio para el lector comprobar que la función 8-21 es solución de la ecuación lineal de ondas en el espacio.


343

Escribimos algunos ejemplos de ondas armónicas (escalares), propagándose en una dirección arbitraria del espacio:

a) ).cos(),( trkAtr ω−=Ψ rrr

b) ).sen(),( trkAtr ω−=Ψ rrr

c) ).( ),( trkieAtr ω−=Ψrrr

Comprobaremos que los puntos de fase constante definen un plano perpendicular a la dirección de propagación, determinada por el vector k

r.

Saltee en una primera lectura

A partir de nuestros conocimientos de geometría, sabemos hallar la ecuación de un plano

que pasa por el origen y es perpendicular a un vector dado, en nuestro caso perpendicular al vector kr

. El plano queda definido por todos los puntos kzjyixr ˆ ˆ ˆ ++=r del espacio perpendiculares

al vector kr

, es decir,

0. =rk rr 8-22

Ahora si en lugar de que el plano pase por el origen queremos que pase por un punto

kzjyixr ˆ ˆ ˆ 0000 ++=r cualquiera del espacio, la ecuación 8-22 se transforma en (ver figura 8-3),

( ) 0. 0 =− rrk rrr

8-23

es decir, el nuevo plano queda definido por todos los puntos kzjyixr ˆ ˆ ˆ ++=r del espacio, tal

que el vector r rr r− 0 resulta perpendicular al vector k

r (ver figura 8-3). A partir de 8-23 podemos

escribir a la ecuación del plano como,

⇒ constanterkrk == 0.. rrrr 8-24

La ecuación 8-24 nos dice que los puntos, pertenecientes al plano, son aquellos cuya

proyección sobre el vector kr

se mantiene constante, ese número constante determina la ubicación

del plano (y el vector kr

su orientación). La ecuación 8-24 también puede escribirse, r r

k r kr constante. cos= =θ 8-25

siendo θ el ángulo comprendido entre kr

y rr (ver figura 8-3).


344

Ya comprobamos que el producto

r rk r constante. = determina un plano perpendicular a k

r,

ahora queremos que ese plano se propague con velocidad k

v ω= . Intuimos que la forma de lograrlo

es reemplazando al número constante por un número que evolucione en el tiempo (ver ecuación 8-27). A partir de 8-25 y observando la figura 8-3, comprobamos que el plano se halla a una distancia del origen igual a,

( )k

tcterd =θ= cos 8-26

Note que hemos puesto cte(t) porque queremos que, a medida que transcurre el tiempo, la

onda avance y el plano vaya cambiando, alejándose del origen. Por analogía con la función de onda unidimensional, propondremos:

tconstantetcte ω+=)( , 8-27

rr0

r rr r− 0

rk

z

x

y

θd r= cosθ r

r

Figura 8-3: Onda plana propagándose en la dirección rk . La amplitud de la onda es la misma

sobre todo el plano perpendicular a la dirección de propagación.


345

donde ω corresponde a la frecuencia angular de la onda. Entonces, vemos que la distancia al origen

crece al aumentar el tiempo, a una velocidad dada por k

v ω= ; como se deduce de la expresión de la

distancia del origen al plano:

vtk

constantekt

kconstante

ktconstante

ktcted +=ω+=ω+== )(

. 8-28

Con la suposición que efectuamos, obtenemos un plano que se aleja del origen a la velocidad

de propagación v y, por añadidura resulta satisfecha la relación de dispersión (ec. 8-4).

Retome la lectura

Sobre la base de la discusión anterior, los puntos del espacio de igual fase ( trk ω−rr. ), representan planos perpendiculares al vector número de onda k

r, que se

propagan a velocidad k

v ω= , ya que,

( ) tconstantetcterk ω+==rr. ⇒ constantetrkfase =ω−= rr. 8-29

describe la propagación de un plano. Ondas estacionarias (saltear en una primera lectura): En el capítulo 5, hemos estudiado detenidamente a las ondas estacionarias en una dimensión (por ejemplo, en una cuerda). Allí comprobamos que las condiciones de contorno obligan al sistema a oscilar en modos bien determinados, dando origen a las frecuencias de resonancia del sistema. En más de una dimensión el problema resulta similar (no nos extenderemos mucho en su estudio, para más información consultar en el Vol. 3 de Berkeley). Como ejemplo supongamos que estudiamos las oscilaciones de un parche de tambor cuadrado de lado l. Las condiciones de contorno de este problema implican que la amplitud de oscilación se anula en los bordes (ver ecuaciones 8-32, 8-33, 8-34 y 8-35). La generalización de una onda estacionaria en dos dimensiones, suponiendo que el parche se halla en el plano x-y y los desplazamientos Ψ se producen sobre el eje z, resulta (sin tener en cuenta posibles fases),

( ) ( ) ( )Ψ( , , ) sen sen cosx y t A k x k y t= x y ω 8-30

donde se cumple la relación de dispersión,

k k kv

= + =x2

y2 ω

8-31


346

y v es la velocidad de propagación de la onda en el parche (verifique que la función de onda 30 satisface la ecuación de ondas tridimensional, discuta sobre ¿por qué la función 8-30 describe a una onda estacionaria?). Suponiendo que el parche se halla recostado sobre los ejes x e y, las condiciones de contorno del sistema son,

( ) ( ) ( )Ψ( , , ) sen sen cosx y t A k k y t= = =0 0 0x y ω 8-32

( ) ( ) ( )Ψ( , , ) sen sen cosx l y t A k l k y t= = =x y ω 0 8-33

( ) ( ) ( )Ψ( , , ) sen sen cosx y t A k x k t= = =0 0 0x y ω 8-34

( ) ( ) ( )Ψ( , , ) sen sen cosx y l t A k x k l t= = =x y ω 0 8-35

Las ecuaciones 8-32 y 8-34, se satisfacen siempre, pero la 8-33 y la 8-35 sólo se satisfacen (en todo momento) sí se cumple que,

k l mx = π k l my = ′π 8-36

La relación 8-36, condiciona definitivamente a las frecuencias de oscilación posibles, de la onda estacionaria bidimensional, llamadas frecuencias de resonancia. Estas frecuencias se obtienen a partir de las ecuaciones 8-31 y 8-36, asignándoles valores enteros a los números m y ′m . Si el parche fuera circular, ¡como todo parche decente!, las condiciones de contorno resultan distintas y las ondas estacionarias poseen simetría cilíndrica. En general, el tipo de onda estacionaria queda determinado por las simetrías del sistema. 8-2. (Recomendado). Escriba la función de onda de una onda armónica escalar, de amplitud unidad y m1=λ , que se propaga con una velocidad seg

mv 2= , a) en la dirección z. b) en la dirección y. c) sobre el plano yx − formando o30 con el eje x. 8-3. Compruebe que cualquiera de las tres expresiones siguientes, a) ).cos(),( trkAtr ω−=Ψ rrr b) ).sen(),( trkAtr ω−=Ψ rrr

c) ).( ),( trkieAtr ω−=Ψrrr


347

es solución de la ecuación de ondas en tres dimensiones, si se cumple la relación de dispersión: 22222 )( vkkk zyx ++=ω 8-4. Guía Teórica. Ondas esféricas:

Las ondas planas son la única solución de la ecuación de ondas unidimensional, pero cuando aumentamos la dimensión del espacio aparecen nuevas soluciones que representan otro tipo de ondas no-dispersivas. Por ejemplo, si tenemos un recipiente con agua y, en algún punto de la superficie, agitamos suavemente, hacia arriba y hacia abajo, vemos como se producen ondas bidimensionales, que se propagan por la superficie del fluido, formando círculos concéntricos. Asimismo, aún cuando no las podamos ver tan fácilmente como en el caso anterior, podemos suponer debido a la simetría del problema que, al golpear con un palillo el parche de un tambor, o una superficie delgada metálica, generamos ondas bidimensionales concéntricas. La propagación de estas ondas superficiales, a su vez, genera vibraciones en el aire circundante, que luego se traducen en ondas acústicas tridimensionales, las cuales seguramente no se propagan como ondas planas en las inmediaciones de la superficie. Si consideramos una fuente puntual de luz, como una lámpara muy pequeña, la radiación que emana de ella lo hace en forma de ondas tridimensionales que se propagan isotrópicamente por todo el espacio denominadas ondas esféricas. En las ondas esféricas, las superficies de igual fase son superficies esféricas que se expanden radialmente a partir de un punto o fuente de ondas, por lo cual, como veremos, no mantienen su amplitud constante, sino que, ésta disminuye a medida que la onda se aleja de la fuente, ver figura 8-4. En la figura 8-4 hemos denominado frente de onda a la superficie esférica que posee la misma fase (por ejemplo, una cresta), y por ende, tiene el mismo valor de la función de onda Ψ .

Figura 8-4: Onda esférica. Frentes de onda alejándose de una fuente puntual.

Fuente

Frente de onda

r


348

Primero trataremos de hallar la descripción matemática de una función de onda esférica sobre la base de argumentos físicos muy poco formalizados y principalmente basándonos en el “arte del tanteo”: La densidad de energía de una onda, en muchos sistemas físicos, depende de la amplitud al cuadrado de la onda. En el caso de una onda plana, su amplitud no varía a medida que se propaga, por lo cual, la potencia transmitida por la onda se mantiene constante. En el caso de una onda esférica, la onda no puede conservar su amplitud al expandirse radialmente, ya que si se mantuviera constante, ocupando una superficie cada vez mayor, esto significaría un aumento de la energía, lo cual no resulta posible, si el sistema es conservativo (ejemplo de sistema no conservativo: gas en combustión). Aceptamos que la densidad de energía llevada por la onda resulta proporcional a la amplitud al cuadrado, es decir,

dE A∝ 2

por consiguiente, la energía transportada por un frente de ondas, de radio r, la podemos hallar multiplicando a la densidad de energía por el área de la superficie esférica del frente de ondas,

E A Sup A r∝ =2 2 24. . π

Como suponemos que el frente de ondas debe llevar una energía constante, al expandirse debe disminuir la densidad de energía. Esto puede lograrse si la amplitud de la onda decrece a medida que aumenta el radio r, en forma inversamente proporcional al radio, es decir,

Ar

∝1

de esta forma, al elevar al cuadrado y multiplicar por la superficie de la esfera nos da una constante independiente del radio. Lo discutido nos da fuerzas para proponer como descripción de una onda esférica a la función de onda,

( ) ( )Ψ x y z tr

f r vt, , , = ±1

(Onda esférica) 8-37

donde r x y z= + +2 2 2 .

El ± indica ondas expandiéndose (−), desde la fuente, y ondas confluyendo desde el infinito al punto central (+), respectivamente.


349

En el apartado siguiente comprobaremos que la función de onda dada en 8-37 es solución de la ecuación lineal de ondas tridimensional (ec 8-5), para todo punto excepto en el origen o fuente de ondas. Para tener en cuenta la fuente, la ecuación de ondas debe modificarse levemente. Descripción matemática de una función de onda esférica (Saltee en una primera lectura):

Debido a la simetría esférica del problema, ninguna dirección es preferencial respecto de cualquier otra, y resulta más conveniente trabajar con coordenadas esféricas, que se adaptan mejor a la simetría del problema, ver figura 8-5 .

Como se puede deducir a partir de la figura 8-5, la relación entre los sistemas de coordenadas cartesianas y esféricas está dada por las ecuaciones de transformación siguientes:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

=

=

θ

φθ

φθ

cos

sensen

cossen

rz

ry

rx

8-38

rr

θ

φ

x

y

z

Figura 8-5: Coordenadas esféricas.


350

Entonces, si decidimos trabajar en coordenadas esféricas la ecuación diferencial de ondas adopta una forma muy diferente, y de apariencia bastante complicada. En esta representación de coordenadas la ecuación se convierte en:

0 ),( 1 ),( 1

),( 1 )),(( 1

2

2

22

2

22

22

2

=∂Ψ∂−

∂Ψ∂

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂Ψ∂

∂∂+

∂Ψ∂

ttr

vtr

senr

trsensenrr

trrr

rr

rr

φθ

θθ

θθ 8-39

No obstante el aspecto tan horrible y desesperanzador de esta expresión

veremos que, cuando el problema tiene simetría esférica, es mucho más fácil de trabajar con ella que con la ecuación en coordenadas en cartesianas. En efecto, volviendo al caso de una fuente puntual de luz, que emite radiación en forma completamente isótropa. Si colocamos el sistema de coordenadas justo en la fuente, es claro que éste es un problema con simetría esférica. Entonces la perturbación ondulatoria no puede depender de las coordenadas angulares porque, si así fuera, la función de onda cambiaría dependería de la dirección en que estemos mirando, por lo cual, la función de onda toma la forma:

),(),,,(),( trtrtr Ψ=φθΨ=Ψ r, 8-40

donde la última igualdad se debe precisamente a la simetría de revolución alrededor de cualquier eje centrado en la fuente. Pero entonces, como Ψ no depende de las variables angulares, sus derivadas respecto de éstas dan cero y la ecuación de ondas se convierte en:

0),(1)),((12

2

22

2

=∂Ψ∂−

∂Ψ∂

ttr

vrtrr

r

rr

. 8-41

¡Ahora no tiene un aspecto tan horrible! Más aún, si multiplicamos esta ecuación por r, y recordamos que r y t son variables independientes, obtenemos:

0)),((1)),((2

2

22

2

=∂Ψ∂−

∂Ψ∂

ttrr

vrtrr rr

, 8-42

que resulta ser una vieja conocida, ¡es la ecuación unidimensional de ondas para la función Ψ r !. Como ya sabemos la solución más general de esta ecuación es de la forma:

)()(),( 21 vtrgcvtrfctrr ++−=Ψ , 8-43

de lo cual deducimos que, si 0≠r , la solución más general para una onda esférica es de la forma:

r

vtrgcr

vtrfctr )()(),( 21++−=Ψ . 8-44


351

Recordemos que f y g son funciones arbitrarias, dos veces diferenciables. Esta solución se interpreta como una superposición de una onda que sale de la fuente (f) y otra que se aproxima a la fuente (g). Notemos que la solución en el origen (el punto r=0), presenta una singularidad, allí la función de onda diverge, no está bien definida. Esto sin embargo no representa un gran problema. Desde el punto de vista físico, el origen de coordenadas corresponde a la fuente de ondas y allí no nos interesa estudiar las ondas viajeras. No obstante, debemos mencionar que es posible describir la singularidad matemáticamente apelando a ciertas funciones especiales (la delta de Dirac), pero ese es un tema que está más allá del alcance del texto.

Para simplificar un poco la notación sólo vamos a considerar las ondas salientes. Así como

antes encontramos algunas expresiones para ondas planas no dispersivas, ahora podemos representar una onda esférica, propagándose radialmente, por ejemplo, como:

)cos(),( tkrrptr ω−=Ψ r

, o

)sen(),( tkrrptr ω−=Ψ r

, o

)(),( tkrierptr ω−=Ψ r

.

Resaltemos algunos aspectos interesantes de estas expresiones:

a) Como la onda es esférica, la dirección de propagación, definida por el vector kr

, es la dirección

radial, de allí que krrk =⋅ rr

. b) La onda va perdiendo intensidad, se va atenuando, a medida que avanza, ya que su amplitud

decrece como 1/r; este resultado era de esperar ya que si no fuese así violaríamos el principio de conservación de la energía, como ya hemos discutido.

c) El cuadrado de p resulta proporcional a la energía emitida por la fuente, en la unidad de tiempo

(potencia). d) Los frentes de onda corresponden a esferas concéntricas centradas en el origen del sistema de

coordenadas.

Ejercicio: Escriba expresiones similares a las anteriores, pero para una onda entrante. ¿Qué ocurre con la amplitud de la onda a medida que nos aproximamos al origen de coordenadas? Ejercicio: Comprobar que cualquiera de las tres expresiones anteriores es solución de la ecuación de ondas esféricas en tres dimensiones, si se cumple la relación de dispersión:

ω= k v


352

Además de las ondas planas y de las esféricas, hay otra familia de ondas muy importante: las ondas cilíndricas. Estas ondas se generan cuando la fuente es muy larga y delgada, de aspecto filiforme. Se puede observar ondas aproximadamente cilíndricas, por ejemplo, en las cercanías del punto medio de un tubo fluorescente muy largo, o cuando se hace pasar un haz de luz a través de una abertura muy larga y estrecha (lo que usualmente denominamos rendija). No vamos a mostrar las técnicas matemáticas asociadas a este tipo de ondas, porque no las necesitamos para trabajar, pero es importante saber que existen y que aparecen en muchas situaciones físicas, como veremos más adelante.

8-5. Guía Teórica. Descripción vectorial de una onda transversal: Ondas Electromagnéticas.

En la introducción de este capítulo ya hemos anticipado que, para describir a una onda transversal, no alcanza con un escalar, sino que la perturbación ondulatoria posee un carácter vectorial. Dimos como ejemplo la propagación de una onda transversal en una cuerda, en donde la oscilación puede desarrollarse en cualquier dirección perpendicular a la dirección de propagación, por lo cual, el desplazamiento de la cuerda debe ser un vector ( )r

ψ x t, , que describe la dirección y sentido del apartamiento y cuyo módulo representa la amplitud del desplazamiento. En general, si la onda es transversal, el medio puede vibrar en cualquier dirección contenida en un plano perpendicular a la dirección de propagación. La perturbación ya no puede ser un escalar, sino que la magnitud que se propaga tiene un carácter vectorial. Cada componente del vector de onda ( )r

ψ x t, debe satisfacer la ecuación de ondas, o sea, debe cumplirse,

( ) ( ) ( ) ( )∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

2 2 2 2

r r r rΨ Ψ Ψ Ψx y z tx

x y z ty

x y z tz v

x y z tt

, , , , , , , , , , , ,2 2 2 2 2

1+ + = 8-45

o en forma compacta,

( ) ( )∇ =2

2 2

1rr

ΨΨ

x y z tv

x y z tt

, , ,, , ,

2∂∂

(ecuación vectorial de ondas) 8-46

Note que la ecuación 8-45 (o 8-46), en realidad, representa tres ecuaciones de onda, una para cada componente del vector.


353

El carácter vectorial de la perturbación determina una nueva propiedad asociada a la propagación de la onda, llamada polarización. En este capítulo, estudiaremos el fenómeno de polarización asociado a ondas de luz.


354

Ondas Electromagnéticas:

En el capítulo anterior comenzamos a estudiar las ondas luminosas, allí afirmamos que no son otra cosa que ondas electromagnéticas, en donde los campos eléctrico y magnético oscilan y se propagan en el espacio, sin necesidad de un medio que los sustente, a diferencia de lo que ocurre en el caso del sonido que necesita un medio material para propagarse (las ondas electromagnéticas se propagan en el vacío). Se puede deducir, a partir de la teoría electromagnética (leyes de Maxwell), que las cargas eléctricas en movimiento acelerado generan campos eléctricos y magnéticos acoplados, que se propagan en el espacio. Lejos de las fuentes que generan estos campos, los mismos se propagan como ondas transversales y aproximadamente planas. Estas ondas planas tienen una dirección de propagación dada por el vector de onda k

r, mientras que la perturbación electromagnética

(campos Er

y Br

), evoluciona en el plano perpendicular al vector kr

. Las leyes de Maxwell, predicen que lejos de las fuentes los campos eléctrico y magnético satisfacen, cada uno, una ecuación tridimensional vectorial de ondas, es decir,

( ) ( )∇ =2

2 2

1rr

E x y z tv

E x y z tt

, , ,, , ,

2∂∂

8-47

( ) ( )∇ =2

2 2

1rr

B x y z tv

B x y z tt

, , ,, , ,

2∂∂

8-48

Éstas son ecuaciones diferenciales vectoriales, en derivadas parciales, lineales, homogéneas y de segundo orden. Son ecuaciones vectoriales, porque la perturbación es un vector ( E

r o B

r), y no un escalar (Ψ), como en la propagación de ondas

unidimensionales.

En el caso particular de las ondas electromagnéticas, que se propagan en el vacío, se puede probar a partir de la teoría electromagnética, que la dirección de propagación k

r y los vectores de campo BE

rry , forman siempre una terna derecha,

es decir, el producto vectorial entre y Ekrr

es un vector que apunta en la dirección de Br

. En símbolosr r rB k E∝ ∧ , donde ∧ denota aquí el producto vectorial y la constante

de proporcionalidad depende del sistema de unidades utilizado, ver figura 8-6 .


355

En principio podría parecer bastante complicado tener que trabajar con dos perturbaciones simultáneamente pero, afortunadamente, hacia fines del siglo pasado Wien demostró experimentalmente que, en el caso de la luz, el responsable de la sensación luminosa en la retina (y el que impresiona las películas fotográficas), es el campo eléctrico

rE (denominado vector óptico) y no el campo magnético.

A partir de las leyes de Maxwell es posible demostrar que la interacción más fuerte entre la radiación y la materia se realiza a nivel del campo eléctrico antes que del magnético. Es la fuerza eléctrica la principal responsable de que se aceleren las cargas atómicas y no la magnética. Por lo expuesto, no tendremos que preocuparnos del campo magnético, en lo que a la óptica elemental se refiere, y trabajaremos sólo con el campo eléctrico, al que de ahora en más llamaremos vector óptico. Por otra parte, dada la dirección de propagación k

r, una vez que determinamos el campo eléctrico E

r, el magnético B

r se

obtiene de la relación: r r rB k E∝ ∧ .

Por ser una onda transversal el vector óptico vibra en dirección normal a la dirección de propagación de la onda. Al plano definido por los vectores y Ek

rr se lo

denomina plano de polarización o plano de vibración (en la figura 8-6 corresponde al plano x-z). Es importante tener en cuenta que no necesariamente el vector óptico tiene una dirección fija en el espacio, en general su dirección puede cambiar en el tiempo, con lo cual, también varía en el tiempo el plano de polarización (por ejemplo en polarización circular y elíptica). Luego estudiaremos en detalle las posibles polarizaciones de la onda electromagnética.

y

Figura 8-6: Onda Electromagnética. Los campos eléctricos y magnéticos oscilan transversalmente a la dirección de propagación.

x

z

Er

Br

kr


356

8-6. Guía Teórica. Intensidad de una onda. Intensidad de Luz:

En nuestra vida cotidiana utilizamos bastante el concepto de intensidad de una onda, tanto para ondas de luz como para ondas sonoras. Intuitivamente utilizamos a la palabra intensidad para dar cuenta de una mayor sensación luminosa, en el caso de ondas de luz, y de un mayor volumen en el caso del sonido. Pero esa noción intuitiva no resulta ni completamente precisa ni correcta para la física, trataremos aquí de precisar el concepto. El concepto de intensidad no es exclusivo de las ondas electromagnéticas o sonoras, es general a todo tipo de ondas; y resulta de fundamental importancia, ya que muchos fenómenos naturales pueden describirse a partir de él, sin necesidad de apelar a la descripción de la perturbación en sí. Por ejemplo, las ondas electromagnéticas varían muy rápidamente en el tiempo. En el rango de frecuencias ópticas, la frecuencia de vibración es del orden de

Hz 10 14 (1014 oscilaciones por segundo). Por esta razón, el vector óptico es una cantidad prácticamente indetectable. Sin embargo, la intensidad luminosa I (a veces llamada irradiancia), puede medirse y/o percibirse directamente usando una gran variedad de dispositivos, como por ejemplo: fotoceldas, bolómetros, emulsiones fotográficas o directamente con los ojos.

Hemos estudiado en el capítulo 4 que la onda al propagarse en el espacio o en un medio material, transporta una cierta densidad de energía. En el caso de una onda en una cuerda (unidimensional), hemos definido una energía por unidad de longitud (ver capítulo 4, guía teórica 4-8); pero en el caso general de ondas propagándose en el espacio, la onda tiene asociada una energía por unidad de volumen, o simplemente, densidad de energía ε . Hemos discutido que, en general, la densidad de energía que transporta una onda resulta proporcional al cuadrado de la amplitud de la misma, es decir,

20Ψ∝ε 8-49

La densidad de energía puede estar variando muy rápidamente en el tiempo, como sucede en el caso de la luz. En muchos fenómenos de interés, no necesitamos conocer exactamente esa variación (ni la podemos determinar experimentalmente), nos alcanza con calcular y medir el valor medio temporal de la densidad de energía ε . En general (a partir de 8-49) se cumple,

2

0Ψ∝ε 8-50


357

La energía (en valor medio) contenida en una cierta región del espacio, por donde se propaga la onda, se determina simplemente multiplicando a la densidad de energía ε por el volumen de la región considerada, es decir,

VE ε= . 8-51 La onda puede finalmente incidir sobre una superficie, la cantidad de energía que llega a ésta (en valor medio), depende de la densidad de energía de la onda ε , del tamaño de la superficie S , del tiempo total de exposición a la onda y además del ángulo de incidencia (resulta mayor para incidencia normal y “nula” para incidencia rasante). Llamamos intensidad de una onda al valor medio de la energía que incide sobre una superficie (arbitraria), por unidad de superficie y unidad de tiempo. Si consideramos que en un intervalo de tiempo tΔ , incide sobre la superficie S, una cantidad de energía EΔ , entonces la intensidad puede calcularse como,

StE

IΔΔ

= 8-52

A partir de 8-52 vemos que la intensidad tiene unidades de potencia por

unidad de área, que en el Sistema Internacional corresponden a: wattm2 .

Calculemos primero, la intensidad I , para el caso de incidencia normal a la superficie ( 0=θi ), ver figura 8-7. Por simplicidad supondremos que se trata de una onda plana, pero nuestro razonamiento resulta general si luego tendemos al límite de una superficie infinitesimal. En la figura 8-7, hemos representado la incidencia normal de una onda sobre una superficie S . Queremos determinar cuánta energía atraviesa la superficie durante un pequeño intervalo de tiempo Δt . En la figura notamos que, durante ese tiempo Δt , sólo puede atravesar la superficie S , a lo sumo toda la energía acumulada a una distancia menor que v t Δ de la superficie, donde v es la velocidad de propagación de la onda (ver figura 8-7), es decir, toda la energía contenida en el cubo de lado v tΔ y base de superficie S , y por consiguiente, de volumen,

Volumen del cubo S v t = Δ 8-53


358

Onda Plana

v tkr

S

De acuerdo a este razonamiento, transcurrido un tiempo Δt , la superficie es atravesada por una cantidad de energía (ver ec. 8-51):

tSvE Δε=Δ 8-54

A partir de las ecuaciones 8-52 y 8-54 comprobamos que la intensidad de la onda resulta,

vSt

EI

ε=

ΔΔ

= (sólo incidencia normal) 8-55

resultado válido sólo para incidencia normal. En la figura 8-8, hemos representado una onda que incide sobre una superficie S , formando un ángulo θi respecto de la normal a la superficie ( $n ). Nuevamente queremos determinar cuánta energía atraviesa la superficie durante un pequeño intervalo de tiempo Δt . La diferencia que aparece respecto de incidencia normal, es que la energía, que atraviesa S en ese lapso, se halla contenida en un paralelepípedo (ver figura 8-8) cuya base tiene una superficie S , al igual que en incidencia normal, pero la altura ya no es v t Δ sino,

altura del paralelepípedo v t i = Δ cosθ 8-56

Figura 8-7: Intensidad de una onda. Onda plana incidiendo normalmente sobre una superficie.


359

por lo cual el volumen del paralelepípedo resulta,

Volumen del paralelepípedo S v t i = Δ cosθ 8-57

Por consiguiente, transcurrido un tiempo Δt , la superficie ha sido atravesada por una cantidad de energía (ver ec. 8-51),

Δ ΔE Sv t i= ε θ cos 8-58

A partir de las ecuaciones 8-52 y 8-54 comprobamos que la intensidad de la onda resulta,

IEt S

v= =ΔΔ

ε θcos 8-59

A partir de las ecuaciones 8-50 y 8-59 (o 8-55), vemos que en general, la

intensidad de la onda resulta proporcional al promedio temporal de la amplitud de onda, es decir,

I ∝ Ψ0

2 8-60

Figura 8-8: Intensidad de una onda. Onda plana incidiendo oblicuamente sobre una superficie.

θ cos vt i θ v t n ˆ

S

k r


360

Otra forma de expresar a la intensidad es a partir del valor medio de la potencia P transportada por la onda, o sea,

SP

StE

StE

I =ΔΔ=

ΔΔ

= 1

8-61

A partir de 8-61 comprobamos que si, una fuente de ondas (por ejemplo, una

lamparita eléctrica) emite una cierta potencia media P (en watt ), con igual amplitud en todas las direcciones, la intensidad de la onda debe disminuir a medida que avanza, ya que, la superficie que abarca la onda aumenta. En el caso de una onda esférica, la superficie es archiconocida y vale 24 rS π= , por lo tanto la intensidad (en el caso de incidencia normal) resulta inversamente proporcional al cuadrado de la distancia a la fuente, es decir,

24 rP

SP

Iπ

== 8-62

Si la onda esférica puede escribirse en la forma,

)cos(),( tkrrptr ω−=Ψ r 8-63

entonces a partir de 8-60 y 8-63,

2

220 r

pI ∝Ψ∝ y 24 rP

Iπ

= ⇒ 2pP ∝ 8-64

notamos que la constante p resulta proporcional a la potencia media emitida por la fuente. Nivel de Intensidad sonora: La mínima intensidad sonora que puede percibir el oído-cerebro humano (sensibilidad mínima), es de aproximadamente 10 12

2− watt

m ; y la máxima, más halla de la cual sentimos dolor (umbral de dolor), es de 1 2 watt

m . Por supuesto estos son valores promedio, que corresponden a un oído normal, distintas personas tienen una sensibilidad mínima y un umbral de dolor diferentes, pero para la mayoría se encuentra alrededor de estos valores. Por otro lado, estos valores dependen mucho de la frecuencia del sonido escuchado, y de la edad del oyente. Es


361

un hecho común, por todos conocido que con la edad, se va perdiendo la sensibilidad auditiva.

Por otra parte, el oído humano no responde linealmente al nivel de intensidad

sonora. Por ejemplo, al duplicar la intensidad de un sonido la sensación sonora no es el doble de ruidosa. Esto se debe a la forma en que el oído-cerebro procesa la información que recibe, es decir, a su propio funcionamiento fisiológico, el cual parece obedecer una ley logarítmica como respuesta al sonido. Debido a este hecho, y a que el rango de audición es muy amplio se ha propuesto una escala de tipo logarítmica como medición de la intensidad sonora, más adecuada al funcionamiento auditivo y más práctica de manejar, denominada nivel de intensidad (β), cuya unidad es el decibel (dB). La definición del nivel de intensidad es la siguiente:

0

log 10II=β 8-65

En esta expresión I es la intensidad del sonido que se está escuchando, e I0 es

un nivel de referencia que en general se toma como el umbral de audición: 212

0 /10 mwattI −= . En esta escala el nivel mínimo de audición corresponde a 0 dB y el umbral de dolor a 120 dB (Verifíquelo). Para tener una idea de ordenes de magnitud: una conversación normal corresponde a aproximadamente 60 dB , una calle de tránsito pesado a unos 80 dB y un concierto de rock puede superar los 120 dB (el límite del umbral de dolor). Asimismo, es importante tener en cuenta que las exposiciones prolongadas a sonidos de más de 90 dB suelen ser peligrosas porque, aún cuando se está por debajo del umbral de dolor, el hecho de estar sometidos mucho tiempo a tal nivel de intensidad puede ocasionar daños irreversibles al oído (y en el caso particular del rock, daños irreversibles al cerebro por más que se escuche a baja intensidad). 8-7. (Recomendado). Suponiendo que una lamparita de watt100 emite uniformemente en todas direcciones, a) ¿Cuál es la intensidad de la luz a una distancia de 1m de la fuente (considere

incidencia normal)?. b) ¿Cuánta potencia llega, desde la fuente, a un objeto plano cuya superficie es

201,0 mS = ?. c) ¿Cuánta energía le llega al objeto en 1 hora?.


362

d) Repita los cálculos anteriores, pero ahora suponiendo que la onda incide sobre la superficie con un ángulo θi = 30o.

8-8. Si el nivel de intensidad de un piano es de 70dB, el de un saxo 65dB, al igual que el de un clarinete y el de una guitarra es de 68dB: a) ¿Cuál es el nivel de intensidad de los cuatro instrumentos tocando en conjunto?

¿El resultado corresponde a la suma de los niveles de intensidad de los cuatro instrumentos?

b) ¿Cuál es el nivel de intensidad del sonido a una distancia de m10 ?. Ayuda: Tenga en cuenta que las intensidades de dos fuentes de ondas independientes se suman. 8-9. Un sistema absorbente del sonido atenúa el nivel del sonido en 30dB. ¿En qué factor ha disminuido la intensidad. Resp. Disminuye un factor 1000. 8-10. Guía teórica. Descripción matemática de los estados de

polarización: En la introducción del capítulo, hemos discutido cualitativamente el concepto

de polarización de ondas transversales, propagándose sobre una cuerda, sin profundizar en la descripción matemática de la onda. En esta guía, vamos a formalizar matemáticamente el concepto de polarización y estudiar en detalle todos los estados posibles (lineal, circular, elíptico, etc.), aplicado al estudio de las ondas electromagnéticas, y en particular a las ondas luminosas. Existe una fuerte evidencia experimental de que las ondas electromagnéticas son ondas transversales, y que pueden hallarse en diferentes estados de polarización. Estos estados posibles, se hallan de acuerdo a las predicciones de la teoría electromagnética (leyes de Maxwell). Posteriormente, analizaremos algunas fenómenos naturales en donde la onda luminosa adquiere un estado de polarización particular. Por el momento, en esta guía, sólo estudiaremos la descripción matemática de la onda polarizada. Por simplicidad, analizaremos el estado de polarización asociado a una onda plana armónica que se propaga según el eje z.


363

Polarización lineal:

Si la perturbación óptica está contenida en el eje x (el vector óptico vibra en esa dirección), entonces la función de onda puede describirse en la forma,

)(cos )(cos ),( 00 tkzEitkzEtzE xxx ω−=ω−=)rr

. 8-66

donde hemos definido al vector amplitud, como,

xx EiE 00 )r

= 8-67

el cual, representa no sólo la amplitud de la onda (constante), sino también la dirección de oscilación (perpendicular a la dirección de propagación). El vector óptico no cambia de dirección, no obstante que su magnitud varía con el transcurso del tiempo y en diferentes puntos del espacio. En este caso, se dice que la onda está linealmente polarizada o plano polarizada, con polarización según x. Note que el vector óptico sólo depende de las variables z y t, mientras que el subíndice x indica la dirección de la polarización (lineal). Análogamente, si la luz se halla polarizada linealmente, según el eje y, tenemos:

)(cos ˆ),( 0 tkzEjtzE yy ω−=r

8-68 En general, una onda puede hallarse linealmente polarizada en cualquier

dirección (diagonal) contenida en un plano perpendicular a la dirección de propagación. Debido a la linealidad de la ecuación de ondas vale el principio de superposición, y siempre resulta posible descomponer al vector óptico en sus componentes, en este caso, xE

r y yE

r (ver figura 8-9). De esta forma, el vector óptico

resultante puede expresarse como,

( ) )(cos ˆ ˆ)(cos ˆ)(cos ˆ),( 0000 tkzEjEitkzEjtkzEitzE yxyx ωωω −+=−+−=r

8-69

Definimos un nuevo vector amplitud (constante), en la forma (ver figura 8-9),

yx EjEiE 000 ˆ ˆ +=r

8-70

cuyo módulo, dirección y sentido se mantienen constantes en el tiempo e independientes de la posición. El ángulo que forma con los ejes coordenados


364

depende de la amplitud relativa de cada componente. El módulo puede hallarse a partir de (usando Pitágoras),

20

2000 yx EEEE +==

r 8-71

A partir de esta definición, reescribimos al vector óptico resultante (ec. 8-69) como,

)(cos ),( 0 tkzEtzE ω−=

rr 8-72

En la ecuación 8-72, notamos que el vector óptico vibra con amplitud y

dirección constante, determinadas por el vector amplitud 0Er

, por lo cual la onda descripta, se halla linealmente polarizada. Otros estados de Polarización:

La polarización lineal no es el único estado posible observado en la Naturaleza, ni es la solución más general de la ecuación de ondas vectorial. En la introducción del capítulo, discutimos el ejemplo de propagación de ondas transversales sobre una cuerda. Allí hablamos sobre la posibilidad de perturbar la cuerda de diferentes formas, la más simple, perturbando en una dirección fija en el espacio (onda linealmente polarizada), pero también dijimos que podemos perturbar a la cuerda en forma circular. En este último caso, la perturbación

rψ no mantiene su

dirección constante en el espacio y el tiempo sino que gira permanentemente (podemos pensar que el plano de polarización rota alrededor del eje que coincide con la dirección de propagación), decimos que la onda está circularmente polarizada (ver figura 8-10). Luego veremos que, existe evidencia experimental de que las ondas electromagnéticas (o la luz), pueden hallarse también en estados de polarización

rE0

Ey

Ex

y

x

Figura 8-9: Onda electromagnética polarizada linealmente.


365

circular o elíptica, y de hecho, la teoría electromagnética (leyes de Maxwell) los acepta como estados de polarización posibles (solución de la ecuación de ondas). Ahora queremos encontrar la forma analítica más general de describir a una onda (armónica plana) polarizada, para luego estudiar los casos particulares de polarización circular y elíptica. Al satisfacerse el principio de superposición, el vector óptico puede descomponerse según los ejes coordenados (perpendiculares a la dirección de propagación, en el ejemplo, dirección z). Afirmamos que, el estado más general de polarización, solución de la ecuación lineal de ondas, puede expresarse como la superposición dos ondas linealmente polarizadas en las direcciones de los ejes, en la forma,

)(cos ˆ),(

)(cos ),(

0

0

δω

ω

+−=

−=

tkzEjtzE

tkzEitzE

yy

xx

r

r

8-73

Cada componente representa a una onda polarizada linealmente, pero ahora hemos introducido una diferencia de fase δ entre ambos. Esta fase podría ser, en principio, función del tiempo, sin embargo, en lo que sigue supondremos, salvo que se indique lo contrario, que es una cantidad constante. Al considerar la superposición de ambas componentes de la onda, la perturbación óptica resultante es la suma vectorial de las mismas:

)(cos ˆ)(cos ),(),(),( 00 δ+ω−+ω−=+= tkzEjtkzEitzEtzEtzE yxyx

rrr 8-74

que comprobaremos, corresponde a una polarización arbitraria, mientras no se fije la diferencia de fase. A continuación analizaremos diferentes estados posibles descriptos por la ecuación 8-74: Primer Caso, δ es igual a 0 o múltiplo de 2π: Onda linealmente polarizada.

En este caso las dos componentes de la onda se hallan en fase y la ecuación 8-74 se simplifica a,

( ) )(cos ˆ ˆ)(cos ˆ)(cos ),( 0000 tkzEjEitkzEjtkzEitzE yxyx ω−+=ω−+ω−=r

8-75

que como vimos, representa una onda linealmente polarizada (el vector amplitud se mantiene constante en el tiempo y en cualquier lugar del espacio).


366

Segundo Caso, δ es un múltiplo impar de π: Onda linealmente polarizada.

En este caso las componentes se hallan a contrafase, por lo cual, la ecuación 8-74 queda, si π=δ ,

( ) )(cos ˆ ˆ)(cos ˆ)(cos ),( 0000 tkzEjEitkzEjtkzEitzE yxyx ω−−=π+ω−+ω−=r

8-76 que representa también a una onda linealmente polarizada, pero cuya dirección resulta simétrica a la onda dada en 8-75, respecto del eje x (compruébelo gráficamente). Tercer Caso, δ≡−π/2 (o sea, δ=−π/2+m2π) y amplitudes iguales E0x=E0y: Onda polarizada circularmente en sentido horario (polarización circular derecha).

Analizamos el caso en que el desfasaje es 2π−=δ , y las componentes poseen

igual amplitud yx EEE 000 == , entonces la función de onda 8-74 resulta,

)2

(cos ˆ)(cos ),( 00π−ω−+ω−= tkzEjtkzEitzE

r 8-77

sabiendo que,

( )tkztkz ω−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π−ω− sen

2cos

entonces,

( )[ ]tkzjtkziEtzE ω−+ω−= senˆ)(cos ˆ ),( 0

r 8-78

La función de onda dada en 8-78, no representa a una onda linealmente

polarizada, ya que el vector óptico, a pesar de mantener su amplitud 0E constante, varía su orientación en el espacio a medida que transcurre el tiempo, compare con 8-75 y 8-76, en donde la dirección no cambia en el tiempo. A partir de elaborar una tabla de valores, comprobaremos que el vector óptico rota en sentido horario con velocidad angular ω (visto por un observador que ve a la


367

onda venir de frente), por esta razón, si yx EEE 000 == decimos que la onda posee una polarización circular derecha (horaria). Para elaborar la tabla de valores, analizamos la evolución del vector óptico en una posición fija del espacio, por simplicidad, tomaremos 0=z . En esta posición, el vector óptico evoluciona en la forma,

( )[ ] ( )[ ]tjtiEtjtiEtE ω−ω=ω−+ω−= senˆ)(cos ˆ senˆ)(cos ˆ ),0( 00

r 8-79

Evaluamos a ),0( tE

r, para algunos instantes en donde el resultado es simple (queda

como ejercicio para el lector completar la tabla para otros instantes),

t tT

t π=ω 2 ),0( tEr

0=t 0 =ω t iE ˆ 0

4Tt = 24

2 π=π=ω TT

t jE ˆ0 −

2Tt = π=π=ω

2 2 T

Tt iE ˆ 0−

Tt43= π=π=ω

23

43 2 T

Tt jE ˆ 0

Tt = π=π=ω 22 TT

t iE ˆ 0

A partir de la tabla, en la figura 8-10 graficamos la evolución de la dirección del vector óptico, comprobando que completa un giro, en sentido horario, en un tiempo Tt = , por lo cual, concluimos que gira con velocidad angular ω (visto por un observador que ve a la onda venir de frente, eje z ),. El extremo del vector describe un círculo debido a que hemos considerado que las amplitudes de las componentes x e y son iguales (polarización circular derecha u horaria).


368

Para completar la idea, podemos analizar el comportamiento del vector óptico en el espacio en un instante fijo (foto de la onda), por ejemplo 0=t . Dejamos como ejercicio para el lector, elaborar una tabla, determinando el valor del vector óptico para diferentes posiciones en el espacio, a tiempo fijo, y comprobar que el extremo del vector describe una espiral (en sentido horario), completándose un ciclo en una longitud igual a λ , tal como se muestra en la figura 8-11. Discuta como evoluciona la onda cuando permitimos que el tiempo transcurra.

ω Ey

Er

Ex

t=T

ω Ey

Er

Ex

t=0 ω

Ey

Er

Ex

t=T/4

ω Ey

Er

Ex

t=T/2 ω

Ey

Er

Ex

t=3T/4

Figura 8-10: Onda electromagnética polarizada circularmente. Evolución del vector óptico en el tiempo.

y

z

λ

t=0 t=Tx

Figura 8-11: Onda electromagnética polarizada circularmente. Vector óptico en distintos puntos del espacio, a tiempo fijo.


369

En cursos posteriores, comprobaremos que una onda luminosa polarizada circularmente (o elípticamente), transporta además de un impulso lineal, un impulso angular, asociado a la rotación del campo eléctrico. Cuarto Caso, δ≡π/2 (o sea, δ=π/2+m2π) y amplitudes iguales E0x= E0y: Onda polarizada circularmente en sentido antihorario (izquierda).

Analizamos el caso en que el desfasaje es 2π=δ , y las componentes poseen

igual amplitud yx EEE 000 == , entonces la función de onda 8-74 resulta,

)2

(cos ˆ)(cos ),( 00π+ω−+ω−= tkzEjtkzEitzE

r 8-80

sabiendo que,

( )tkztkz ω−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ π+ω− sen

2cos

entonces,

( )[ ]tkzjtkziEtzE ω−−ω−= senˆ)(cos ˆ ),( 0

r 8-81

La ecuación 8-81 sólo difiere en una fase π , en la componente y, con respecto

a la onda polarizada circularmente derecha (giro horario). Queda como ejercicio para el lector, demostrar gráficamente que la onda se halla también polarizada circularmente pero su giro se produce en sentido antihorario, por lo cual se la denomina: onda circularmente polarizada antihoraria o izquierda. Quinto Caso, Polarización elíptica.

Los dos casos de polarización que acabamos de ver, lineal y circular, corresponden, en realidad, a situaciones particulares de lo que se denomina luz elípticamente polarizada o simplemente luz elíptica. En general el desfasaje en el campo eléctrico puede ser una cantidad arbitraria, y sus componentes no tienen por qué ser iguales. En tal caso, el vector óptico rota y cambia de magnitud, de un punto al otro del espacio y a medida que transcurre el tiempo. El extremo del vector

rE

traza una elipse en el plano perpendicular a la dirección de propagación kr

, ver figura 8-12.


370

Volvamos a escribir a la onda electromagnética como superposición de dos ondas linealmente polarizadas con una diferencia de fase arbitraria:

)(cos ˆ),(

)(cos ),(

0

0

δω

ω

+−=

−=

tkzEjtzE

tkzEitzE

yy

xx

r

r

8-82

Estas expresiones corresponden a las dos componentes de un vector que varía

en el tiempo trazando una curva en el espacio. La manera de hallar la ecuación de dicha curva es eliminando la dependencia espacio-temporal entre ambas ecuaciones, queda como ejercicio para el lector hacerlo.

Eligiendo convenientemente el desfasaje δ y las amplitudes E x0 y E y0 , las ecuaciones 8-82 pueden describir una onda con polarización lineal, circular o elíptica. Asimismo, dependiendo del valor del parámetro δ, la elipse se halla, o no, centrada en los ejes.

Como ilustración, en la figura 8-12, mostramos algunos ejemplos, queda como ejercicio para el lector verificar que los valores de δ , E x0 y E y0 , indicados en la figura, representan ese tipo de polarizaciones.

Ey

Ex

δ=−π/2 y E0x < E0y

ω ω Ey

Ex

δ=−π/ 4 y E0x= E0y

Ey

Ex

δ=0 y E0x= E0y

Ey

Ex

δ=π/2 y E0x= E0y

ω

Figura 8-12: Diferentes estados de polarización de la luz. Polarización elíptica.


371

8-11. (Recomendado). Describir completamente el estado de polarización de cada una de las siguientes ondas: a) )(cos ˆ)(cos ˆ

00 tkzEjtkzEiE ω−+ω−=r

b) )(cos ˆ)(cos ˆ00 tkzEjtkzEiE ω−−ω−=

r,

c) ( ) ( ))(2sen ˆ) (2sen ˆ00 t fzEjtfzEiE −λπ+−λπ=

r,

d) )2(cos ˆ)(sen ˆ00 π−−ω−−ω= kztEjkztEiE

r,

e) )4(cos ˆ)(cos ˆ00 π+−ω+−ω−= kztEjkztEiE

r.

8-12. (Recomendado). Escribir la función de onda de una onda luminosa, que se propaga en la dirección x, de longitud de onda λ = 1 cm, amplitud E0 1= y velocidad de fase km/seg 300000 = v , con cada uno de los siguientes estados de polarización, a) Linealmente polarizada en la dirección z. b) Linealmente polarizada, formando un ángulo de 45o con el eje y. c) Circularmente polarizada derecha (sentido horario). d) En los tres ítems anteriores, verifique sus resultados a partir de construir una tabla

de valores. 8-13. Muestre que la superposición de dos ondas circularmente polarizadas, una izquierda y otra derecha, si tienen la misma amplitud 0E , da como resultante una onda linealmente polarizada:

)(cos 2 0 tkziEE ω−=r

.

8-14. Guía teórica. Polarización natural:

Cuando una fuente de luz ordinaria como el Sol, una lámpara incandescente, una vela encendida, etc. brillan, la luz que emana de ellas muy difícilmente se encuentre polarizada. En efecto, todas estas fuentes consisten de un número muy grande de átomos moviéndose al azar. Cada emisor atómico emite un pulso, o tren de ondas (fotón), con un dado estado de polarización y frecuencia. El pulso de onda (fotón) posee una duración de aproximadamente 10 8− seg . De esta forma, aunque las emisiones correspondieran a una misma frecuencia y se combinaran entre sí para formar una onda polarizada resultante, ésta sólo persistiría por aproximadamente

seg810− .


372

Debido a que los átomos emisores se mueven constantemente en forma impredecible mientras están emitiendo nuevos trenes de onda, estos nuevos pulsos tienen polarizaciones arbitrarias, de tal manera que el nuevo estado de polarización total, para cada frecuencia, cambia totalmente al azar. Si los cambios, en la polarización, tienen lugar tan rápidamente que es imposible distinguir cualquier estado de polarización resultante, es común hablar de luz no polarizada. Sin embargo, dado que esta luz está compuesta de una sucesión rápidamente variable de diferentes estados de polarización resulta más adecuado denominarla luz natural. Es posible representar matemáticamente la luz natural como una superposición de dos ondas linealmente polarizadas, contenidas en el plano normal al de propagación, ortogonales entre sí, de igual amplitud (porque en principio ninguna dirección es privilegiada), e incoherentes (es decir, ondas para las cuales sus diferencias de fase relativa cambian rápidamente y al azar), o sea,

))((cosˆ),(

)(cosˆ),(

0

0

ttkzEjtzE

tkzEitzE

yy

xx

δω

ω

+−=

−=

r

r

.

En este caso la diferencia de fase )(tδ es una función del tiempo que varía en

forma totalmente al azar. En algunos casos, la luz no está ni completamente polarizada ni no polarizada. El vector óptico varía en una forma que no es ni totalmente regular ni irregular y se dice que la luz está parcialmente polarizada. En esta situación es posible pensar el haz de luz como compuesto por una parte de luz natural y otra de luz polarizada. En este caso, el vector óptico se mueve barriendo todo el plano normal a la dirección de propagación, pero tiene mayor intensidad en alguna dirección preferencial. 8-15. Guía teórica. Polarización de la luz:

Como dijimos, en general, la luz emitida por una fuente luminosa no se halla polarizada, sin embargo, en la naturaleza hallamos al menos cuatro fenómenos físicos que permiten obtener luz polarizada a partir de un haz de luz natural, ellos son:

a) Polarización por absorción.


373

b) Polarización por reflexión. c) Polarización por dispersión o “scattering”. d) Polarización por birrefringencia o doble refracción. No vamos a estudiar en detalle los conceptos físicos involucrados en estos procesos, ya que necesitamos conocer la teoría electromagnética y la estructura cuántica de las moléculas, de las sustancias involucradas; simplemente analizaremos algunas situaciones donde los fenómenos de polarización ocurren, y los describiremos en forma cualitativa. Comprobaremos que, la propiedad fundamental de estos cuatro fenómenos es que existe alguna forma de asimetría asociada al proceso, que privilegia la propagación de ondas con un determinado estado de polarización. 8-16. Guía teórica. Polarizadores por absorción (Ley de Malus):

Hasta el momento hemos analizado la incidencia de ondas de luz sobre materiales que se comportan de acuerdo a lo esperado en la óptica geométrica (vidrios, agua, etc.). En el interior de estos materiales, la luz se propaga con la misma velocidad en todas las direcciones, no existen direcciones privilegiadas en el espacio, por lo cual se los llama isótropos. Estos materiales son isótropos, debido al desorden existente en su estructura molecular. Las moléculas se hallan orientadas al azar, sin privilegiar una dirección sobre otras. Existen materiales, en donde las moléculas se hallan ordenadas, formando estructuras simples, como por ejemplo en cristales. En ellos la velocidad de la luz, no necesariamente es la misma en todas las direcciones y puede depender de la polarización de la onda luminosa. A estos materiales se los llama anisótropos. Un ejemplo particular de ellos son los llamados polaroid o polarizadores. Estos materiales, poseen dos direcciones especiales, desde el punto de vista óptico. A una de esas direcciones se la denomina eje de transmisión del polarizador, debido a que si una onda plana linealmente polarizada, incide normalmente sobre el polarizador, con su vector óptico paralelo al eje de transmisión, la onda se transmite, siendo atenuada levemente (el polarizador se ve transparente). En cambio, si la onda incide con su vector óptico polarizado perpendicular al eje de transmisión, entonces la onda resulta completamente absorbida por el material (el polarizador se ve opaco). Compare con el ejemplo discutido en la introducción del capítulo, de la onda que se propaga sobre una cuerda e incide sobre una rendija estrecha, en ese caso, el eje de transmisión concuerda con el largo de la rendija.


374

La mayoría de los polarizadores comerciales son substancias compuestas por moléculas largas de hidrocarburos donde, tratadas apropiadamente, se consigue que las moléculas queden alineadas (paralelas). Cuando una onda electromagnética incide polarizada en la dirección del eje mayor de las moléculas, la fuerza eléctrica ( EeF

rr= ) realiza trabajo desplazando (oscilatoriamente) a los electrones externos a

lo largo de la molécula y parte de la energía de la onda es absorbida. En cambio, una onda polarizada en la dirección transversal al eje mayor de las moléculas realiza un trabajo despreciable y así puede pasar “sin ser afectada”. El eje de transmisión es, entonces, perpendicular al eje mayor de las moléculas del cristal. Podemos imaginarnos al polaroid como una rejilla formada por hilos conductores muy finos y muy cercanos, tales como se muestra en la figura 8-13. A lo largo del alambre los electrones pueden moverse libremente, de tal forma que un campo eléctrico, paralelo a ellos, obliga a los electrones a oscilar (les entrega energía), y por consiguiente, la onda es atenuada o absorbida. Mientras que un campo eléctrico, perpendicular a los hilos, no puede transferir energía a los electrones, ya que estos “no pueden moverse” en esa dirección, por lo cual, la onda atraviesa la rejilla sin grandes perdidas de energía. De acuerdo a esto, el eje de transmisión de la rejilla, resulta perpendicular a los hilos (ver figura 8-13). Analice la diferencia entre lo que sucede con una onda luminosa que atraviesa un polarizador y lo que sucedía en el ejemplo analizado en la introducción, donde una onda que se propagaba en una cuerda atravesaba una rendija. Dependiendo del grosor de la lámina polarizadora, podemos lograr que una onda polarizada linealmente, perpendicular al eje de transmisión, resulte completamente absorbida por el material (el material se calienta), por lo tanto, si observamos del otro lado del polarizador lo vemos “completamente” obscuro (“no se transmite luz del otro lado”, material opaco). Por el contrario, si iluminamos con luz polarizada linealmente, paralela al eje de transmisión, la onda se transmite “casi completamente” (sólo una pequeña parte de la energía de la onda resulta absorbida por el material), por lo cual, del otro lado lo vemos como si fuera transparente. Supongamos ahora que incide sobre un polarizador, cuyo eje de transmisión se halla sobre el eje x, una onda luminosa no polarizada, que se propaga en la dirección z, ver figura 8-14.

Eje de transmisión

Hilos conductores

Fig.


375

Como sabemos, puede pensarse el estado de polarización de la onda incidente como una superposición de dos ondas linealmente polarizadas, una paralela al eje de transmisión (eje x) y otra perpendicular (eje y), sin relación de fase fija entre ambas y de igual amplitud E0 (luz no polarizada), es decir,

r r rE z t E z t E z tx yI ( , ) ( , ) ( , )= + 8-83

donde,

( )

( )( )ttkzEjtzE

tkzEitzE

y

x

δω

ω

+−=

−=

cosˆ),(

cosˆ),(

0

0

r

r

. 8-84

yx EE =

xEr

yEr

xEr

2I

TII =Onda incidente

Polarizador

Eje detransmisión

II

Al atravesar el polarizador, la componente y resulta “completamente” absorbida (idealización), mientras que la componente x atraviesa el material, en primera aproximación, sin ser alterada (idealización). De esta forma, a la salida del polarizador, la onda resulta linealmente polarizada en la dirección x (eje de transmisión), o sea,

( )

r rE z t E z t i E kz txT ( , ) ( , ) $ cos= = −0 ω 8-85

Figura 8-14: Polarizador. La luz natural incidente se polariza linealmente, a la salida del polarizador, con el vector óptico paralelo al eje de transmisión.


376

Recalcamos que para llegar a la ecuación 8-85, hemos considerado que la onda no pierde energía, cuando su polarización concuerda con el eje de transmisión, mientras que resulta completamente absorbida, cuando su polarización es perpendicular. Ambos supuestos, son sólo una buena aproximación. Intensidad transmitida:

A partir del análisis anterior, podemos hallar la intensidad de luz que se transmite a través del polarizador. En base a la teoría electromagnética resulta posible probar que la intensidad I es proporcional al cuadrado del campo eléctrico o vector óptico (amplitud de la onda), es decir,

2 EvI ε= 8-86

donde v es la velocidad de propagación de la onda y ε es la permitividad eléctrica del medio. Por simplicidad, nos olvidaremos en este curso de las constantes dependientes del medio, y definimos la intensidad luminosa simplemente como (eligiendo convenientemente las unidades del vector óptico) ,

2EI = 8-87

A partir de reemplazar 8-83 en 8-87, calculamos la intensidad de luz incidente I I , sobre el polarizador (complete la cuenta y verifique),

( ) ( )( )I E E E E kz t E kz t t EI I I I= = = − + − + =2

02 2

02 2

02r r

. cos cosω ω δ 8-88

donde hemos usado que el valor medio del coseno al cuadrado vale,

( )21cos2 =ω− tkz


377

(para un valor de z fijo, concordante con la posición del polarizador), y también que,

( )( )cos2 12

kz t t− + =ω δ

(considerando que la fase ( )δ t varía lentamente, comparada con el período de oscilación de la onda). De igual forma, reemplazando 8-85 en 8-87, calculamos la intensidad de luz transmitida IT, a través del polarizador,

( )I E E E E kz tE

T T T T= = = − =202 2 0

2

2

r r. cos ω 8-89

Comparando la intensidad incidente y transmitida, obtenemos que, si la onda

incidente no posee polarización definida, sólo se transmite la mitad de intensidad, es decir,

II

TI=

2 8-90

Si la luz no posee estado de polarización definido (luz natural), las amplitudes

del campo eléctrico son las mismas en cada dirección perpendicular. Como no existe relación de fase fija entre ambas la intensidad de la luz es, simplemente, la suma de las intensidades de cada componente. De aquí que si eliminamos una, utilizando el polarizador, la intensidad resulta ser la mitad de la original. Ley de Malus: Cuando frente al paso de luz, con cualquier estado de polarización, se colocan dos polarizadores enfrentados, con sus ejes de transmisión perpendiculares (θ= 90o ), la onda resulta completamente absorbida, o sea, los polarizadores superpuestos se ven opacos (total obscuridad), ya que, del primer polarizador sale una onda linealmente polarizada en una dirección que resulta perpendicular al eje de transmisión del segundo. Mientras que si, se enfrentan dos polarizadores con sus ejes paralelos (θ= 0o), éstos se ven transparentes (si se los ilumina con luz natural). En el caso general en que la onda incide sobre dos polarizadores enfrentados, con sus ejes de transmisión formando un ángulo θ , como se muestra en la figura 8-15, la intensidad transmitida por el segundo polarizador (que en esta situación se suele denominar analizador), se reduce en un factor cos2θ , resultado conocido como ley de Malus, en honor a quien descubriera experimentalmente este fenómeno.


378

Demostremos la ley de Malus analíticamente: De acuerdo a la figura 8-15, a la salida del primer polarizador tenemos una onda linealmente polarizada en la dirección x, es decir,

( )rE z t i E kz t1 0( , ) $ cos= − ω 8-91

y por consiguiente, la intensidad de la onda es,

( )I E E E E kz tE

1 = = = − =12

1 1 02 2 0

2

2

r r. cos ω 8-92

El segundo polarizador tiene su eje de transmisión (eje ′x ) formando un

ángulo θ con el eje x, por consiguiente, no toda la onda rE z t1 ( , ) puede transmitirse,

sólo su proyección sobre el nuevo eje ′x . La proyección sobre el eje perpendicular (eje ′y ) resulta “completamente” absorbida. Observando la figura 8-15, calculamos la proyección del vector

rE z t1 ( , ) sobre

el eje ′x , como,

( )rE z t i E kz t2 0( , ) $ cos cos= ′ − θ ω 8-93

donde ′$i es el versor que identifica a la dirección ′x . Comparando las amplitudes de las ondas

rE z t1 ( , ) y

rE z t2 ( , ) (ec. 8-91 y 8-93),

comprobamos que al atravesar al segundo polarizador, la amplitud de la onda se

Figura 8-15. Ley de Malus. Polarizadores con sus ejes de transmisión formando un ángulo θ.

2Er

Eje de transmisión rotado

rE1

x′

1er polariz.

z

Eje de transmisión

θ

2do polariz.

x


379

reduce en un factor cosθ. A partir de 8-87 y 8-93, calculamos la intensidad transmitida por el segundo polarizador,

( )I E E E E kz tE

2 = = = − =22

2 2 02 2 2 0

2 2

2

r r. cos cos

cosθ ω

θ 8-94

Comparando I1 e I 2 (ec. 8-92 y 8-94), obtenemos la relación,

I I2 12= cos θ 8-95

Lo hallado en 8-95, concuerda con lo la ley empírica de Malus, es decir, la intensidad transmitida por el segundo polarizador, se ve afectada por un factor dependiente del ángulo θ . En el caso particular que el ángulo fuera θ= 90o , la onda no se transmite, la intensidad resulta nula ( I 2 0= ), mientras que si los ejes de transmisión son paralelos (θ = 0 o ) la intensidad transmitida resulta “igual” a la incidente ( I I2 1= ). Visión en 3-D: El fenómeno de la polarización ha resultado ser muy útil en la industria cinematográfica y en revistas para niños, dado que ha permitido filmar películas y observar imágenes en tres dimensiones. La visión en tres dimensiones se debe a que el cerebro compone imágenes que provienen de diferentes lugares. En efecto, ambos ojos observan un determinado objeto desde distintos ángulos. Es la combinación de estas imágenes, en el cerebro, la que da la sensación de profundidad. Las películas tridimensionales se consiguen tomando una serie de pares de fotogramas, con una separación angular similar a la de los ojos. ¡Se filma dos veces la película pero desde distintos ángulos!. Posteriormente ambas películas se proyectan simultáneamente sobre una pantalla. Ambas proyecciones se filtran, una a través de un polarizador vertical y la otra a través de uno horizontal. El espectador está provisto de un par de anteojos los cuales también tienen una lente con un polarizador vertical y la otra con uno horizontal. Así, cada ojo ve sólo una de las proyecciones y es la composición de ambas en el cerebro la que da la sensación de profundidad. Anécdota: Lo anterior lo aprendí experimentalmente en el cine, cuando mi amigo Luis, que no veía nada del ojo izquierdo, estuvo diez minutos mirando la película (tridimensional), hasta que se cansó y exclamó: ¡Che!, ¡esta película no está traducida!. El problema era que la luz proveniente de las letras se hallaba polarizada y sólo podía verse por el ojo izquierdo de su anteojo. Por suerte (yo, Mac Giver), pude resolver el problema rápidamente y le aconseje que diera vuelta sus anteojos. A partir de allí no molesto más.


380

8-17. Supongamos tener dos láminas de polaroid con sus direcciones de transmisión cruzadas, de modo que no pasa luz a través del conjunto. Se inserta una tercera lámina entre las dos de modo que su dirección de transmisión forma un ángulo θ con la primera. Se hace incidir luz no polarizada de intensidad I0 y longitud de onda λ = 700nm, sobre la primera lámina. a) Hallar la intensidad transmitida a través de las tres si, i) θ= 45o; ii) θ= 30o b) Considerando que la onda se propaga en la dirección z y tiene amplitud E0 1= ,

escriba las funciones de onda, de las ondas entre los polarizadores y a la salida del sistema, haga las suposiciones que considere necesarias.

c) Demuestre que la intensidad transmitida a través de las tres láminas es máxima cuando θ = 45o .

8-18. (Recomendado). Una onda de luz circularmente polarizada derecha (giro horario), de frecuencia f seg= 5 1014 1 , y amplitud E0 1= (con unidades adecuadas), se propaga en el vacío, según el eje y . a) Escriba la expresión que describe a la onda. Verifique su resultado a partir de

construir una tabla de valores. b) Si la onda anterior incide sobre un polarizador que posee su eje de transmisión

según la dirección z. Escriba la función de onda saliente del polarizador y halle la intensidad.

c) Suponga ahora, que la onda saliente del polarizador del ítem b) atraviesa un segundo polarizador, cuyo eje de transmisión forma un ángulo θ con la dirección del anterior (eje z ). Escriba la función de onda saliente del segundo polarizador y halle la intensidad.

8-19. Guía Teórica. Polarización por reflexión:

Muchas personas usan anteojos polarizados para atenuar la luz reflejada en la nieve o el agua, o tienen polarizados los parabrisas de sus autos; pero la mayoría de ellos no saben exactamente por qué estos elementos se polarizan, ni que significa polarizar. Accidentalmente, Malus descubrió que la luz solar reflejada en una ventana se hallaba parcialmente polarizada. Investigaciones posteriores demostraron que el fenómeno es general (¡no es fundamental que sea una ventana!): Si una onda, de luz natural (no polarizada), se refleja sobre una superficie o interfase entre dos medios (aire-agua, aire-nieve, aire-vidrio, etc.), la luz reflejada se halla parcialmente


381

polarizada. El grado de polarización depende del ángulo de incidencia y de los índices de refracción de ambos medios. En 1812, poco después de la observación de Malus, Sir David Brewster comprobó, experimentalmente que si el ángulo de incidencia es tal que los rayos, reflejado y refractado, forman un ángulo de 90º, la luz reflejada se halla completamente polarizada en el plano normal al de incidencia (paralelo a la superficie de la interfase), ver figura 8-16. A este ángulo especial de incidencia se lo conoce como ángulo de Brewster (θB). Para calcularlo, debemos apelar a la ley de Snell. Sabemos que se cumple,

n n1 2sen senθ θi t= (Ley de Snell) 8-96

además, a partir de la ley empírica de Brewster y de la figura 8-16, sabemos que,

θ θio

to+ + =90 180 ⇔ θ θi t

o+ = 90 (Ley empírica de Brewster) 8-97

Reemplazando 8-97 en 8-96, obtenemos,

( )n n n1 2 290sen sen cosθ θ θio

i i= − = 8-98

La luz transmitida se halla parcialmente polarizada, principalmente en una dirección paralela al plano de incidencia.

θ t

o90

θi

aire

agua

La luz reflejada se halla completamente polarizada en una dirección perpendicular al plano de la hoja, o sea, paralela a la superficie. Los puntos indican que el vector óptico oscila en esa dirección

Luz natural (no polarizada)

Figura 8-16: Ángulo de Brewster. La luz reflejada, sobre una superficie, se polariza completamente si el rayo reflejado y el transmitido forman un ángulo de 90o.


382

Si denominamos a este ángulo especial de incidencia como θB (ángulo de Brewster), de la ecuación 8-98 obtenemos la relación,

tg tgθ θi B= =nn

2

1 8-99

Por ejemplo, en el caso de una onda que incide desde el aire y se refleja en

vidrio, el ángulo de Brewster es aproximadamente,

θBo=

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ ≅arctg arctg

,nn

2

1

1 51

56 8-100

O sea que, si intentamos observar, con anteojos polarizados, una onda de luz reflejada en vidrio, cuyo ángulo de incidencia es aproximadamente 56o , no podremos verla, a menos que nos saquemos los anteojos (¿Cuál es la dirección del eje de transmisión de los anteojos polarizados para atenuar los reflejos?). Si el ángulo no es exactamente θB la onda reflejada se halla parcialmente polarizada (el grado de polarización depende del ángulo de incidencia), de esta forma, los anteojos polarizados atenúan la intensidad reflejada, pero no la anulan. En el caso de la nieve, no existe una superficie uniforme, como sucede en el vidrio o en el agua, por lo cual nunca la luz reflejada se halla completamente polarizada. El grado de polarización de la luz reflejada en la interfase puede deducirse a partir de la teoría electromagnética. Utilizando las ecuaciones de Maxwell se encuentra que el ángulo de polarización coincide con el hallado experimentalmente por Brewster.

Saltee en una primera lectura Aún no podemos apelar a la teoría electromagnética, pero podemos comenzar por entender cualitativamente el fenómeno, para ello, plantearemos un modelo simple de absorción y reemisión de la luz:


383

Radiación dipolar eléctrica (antena dipolar): Para entender el fenómeno, plantearemos un modelo simple (de juguete) de absorción y reemisión de la luz. En otro curso (electricidad y magnetismo), estudiaremos el fenómeno de radiación, allí comprobaremos que toda carga acelerada emite una onda electromagnética. En particular estudiaremos el modo más simple de emisión, aquel generado cuando dos partículas, de cargas opuestas, oscilan sobre una línea (radiación dipolar eléctrica). Supongamos que una onda luminosa polarizada linealmente incide sobre un sistema formado por dos partículas con cargas eléctricas opuestas (modelo de juguete de una molécula). Las partículas interactúan con la onda a través del campo eléctrico (vector óptico) y comienzan a oscilar en la misma dirección en que oscila el vector óptico (dirección de polarización), por lo tanto, absorben parte de la energía de la onda. Luego de un pequeño intervalo de tiempo, las cargas vuelven a su estado inicial emitiendo una onda de luz. La onda emitida por las cargas oscilantes, no es igualmente intensa en todas las direcciones, sino que la mayor intensidad se irradia en el plano perpendicular a la dirección de oscilación, ver figura 8-17. En la figura 8-17, se muestran dos cargas oscilando en la dirección y; la longitud de las flechas representa la intensidad emitida en cada dirección. Vemos que la mayor intensidad se emite en la dirección x, mientras resulta completamente nula en la dirección y (dirección en que se mueven las cargas). En realidad como el sistema es simétrico respecto a rotaciones sobre el eje y, podemos afirmar que las cargas emiten con mayor intensidad sobre todo el plano x-z. El vector óptico (campo eléctrico, emitido) oscila en la misma dirección en que oscilan las cargas (eje y), por lo cual, lejos de las cargas, detectamos una onda electromagnética linealmente polarizada en la dirección y, ver figura 8-18 (propagándose en la dirección x).

Figura 8-18: Emisor dipolar eléctrico. El vector óptico oscila en la misma dirección en que oscilan las cargas.

rEy

-

+

y

x

-

+

y

x

Figura 8-17: Emisor dipolar eléctrico. La intensidad emitida resulta más intensa en el plano perpendicular a la dirección de oscilación de las cargas.


384

Usaremos el modelo de radiación dipolar para entender el fenómeno de polarización por reflexión (éste modelo funciona bastante bien cuando la superficie es conductora): Tomaremos el ejemplo de una onda de luz que incide sobre una superficie de vidrio. Consideraremos un modelo simplificado para describir el comportamiento de las moléculas que forman el vidrio, cuando sobre ellas incide una onda luminosa. Supondremos que se comportan en forma similar a dos cargas opuestas oscilantes (emisor dipolar eléctrico), absorbiendo y reemitiendo la luz en la forma que hemos discutido para el caso de radiación dipolar (modelo de juguete). Cuando la luz incide sobre las moléculas, estas absorben parte de la energía y comienzan a oscilar, en la misma dirección en que lo hace el vector óptico (campo eléctrico). Luego de un pequeño intervalo de tiempo, la molécula reemite esa energía en forma de luz, volviendo a su estado inicial. La onda emitida sale principalmente en el plano perpendicular a la dirección de oscilación de la molécula (radiación dipolar) y se halla polarizada en la dirección en que oscilan las moléculas (ver figuras 17 y 18). La onda reflejada es producida por la reemisión de las moléculas, mientras que la onda transmitida es el resultado de la suma de la onda incidente más la onda reemitida por las moléculas. En el caso particular del vidrio, la mayor parte de la energía se transmite y sólo un 7 5%, de la energía se refleja. Enseguida veremos que, la polarización por reflexión se debe a la forma en que emiten las moléculas del medio, y por esta razón sólo la onda reflejada se halla completamente polarizada cuando la luz incide con el ángulo de Brewster, la luz transmitida sólo se halla parcialmente polarizada. Consideramos el caso general, que sobre la superficie del vidrio incide, con ángulo θB , luz natural (no polarizada). Podemos describir al vector óptico sobre la base de sus componentes, una componente paralela al plano de incidencia y otra perpendicular. Analizaremos por separado lo que ocurre con cada componente: • La componente polarizada paralela al plano de incidencia (ver figura 8-19), al incidir sobre las

moléculas del vidrio, las impulsa a oscilar en esa dirección. Las moléculas emiten una nueva onda cuya dirección, de intensidad máxima, resulta perpendicular a la dirección de oscilación (dirección de la onda transmitida), mientras que en la dirección perpendicular la intensidad resulta nula, que en este caso (θ θi B= ), concuerda con la dirección de la onda reflejada. Por consiguiente, si la onda incidente se halla polarizada en el plano de incidencia, no existe onda reflejada y la onda transmitida se halla polarizada en ese mismo plano, ver figura 8-19.


385

La componente polarizada perpendicular al plano de incidencia (ver figura 8-20), al incidir

sobre las moléculas del vidrio, las impulsa a oscilar en esa dirección. Las moléculas emiten una nueva onda cuya dirección, de intensidad máxima, resulta perpendicular a la dirección de oscilación, que en este caso (θ θi B= ), concuerda con la dirección de la onda reflejada, mientras que en la dirección perpendicular la intensidad emitida resulta nula (dirección de la onda transmitida). Por consiguiente, si la onda incidente se halla polarizada perpendicularmente al plano de incidencia, las moléculas no emiten en la dirección de la onda transmitida y la onda reflejada se halla polarizada en el plano perpendicular al plano de incidencia, ver figura 8-20. Recordar que aunque las moléculas no emiten en la dirección de transmisión, sí existe una onda transmitida ya que la onda transmitida es el resultado de la suma de las ondas incidente y emitida por las moléculas.

La onda incidente se halla polarizada en una dirección paralela al plano de incidencia

La luz transmitida se halla polarizada en una dirección paralela al plano de incidencia.

90o

θi

aire

agua

No se emite luz en esa dirección. No observamos la reflexión de la luz.

Figura 8-19: Ángulo de Brewster. Si incide luz linealmente polarizada en una dirección paralela al plano de incidencia, con el ángulo de Brewster, la onda no se refleja, mientras que la onda transmitida se halla polarizada en una dirección paralela al plano de polarización.


386

De acuerdo a lo discutido, si incide luz natural (no polarizada), con un ángulo θB , la

componente del vector óptico, paralela al plano de incidencia, se transmite completamente y no se refleja; mientras que la componente perpendicular al plano, parte se refleja y parte se transmite. Por consiguiente, la luz reflejada se halla polarizada en dirección perpendicular al plano de incidencia (paralela a la superficie de la interfase) y la transmitida se halla parcialmente polarizada paralela al plano de incidencia (ver figura 8-16). Si el ángulo de incidencia no es exactamente θB , las ondas reflejadas y transmitidas se hallan parcialmente polarizadas.

8-20. La luz que se refleja en un espejo de agua, o en la nieve se encuentra parcialmente polarizada. Este reflejo puede ser muy molesto y, debido a ello, se ha hecho muy común la utilización de lentes polarizados, para disminuir la intensidad de la luz que llega a los ojos. Si Ud. tuviera que construir un par de estos lentes ¿de qué manera colocaría los polarizadores?

8-21. Si el ángulo crítico para la reflexión total interna de una sustancia es 45o. ¿Cuál es su ángulo de polarización (ángulo de Brewster)?.

La onda incidente se halla polarizada en una dirección perpendicular al plano de incidencia

Las moléculas no emiten en la dirección de la onda transmitida. Pero ésta nunca se anula, ya que es el resultado de la suma de la onda incidente y la reemisión de las moléculas.

θ t

90o

θi

aire

agua

La luz reflejada se halla polarizada en una dirección perpendicular al plano de la hoja, o sea, paralela a la superficie. Los puntos indican que el vector óptico oscila en esa dirección

Figura 8-20: Ángulo de Brewster. Si incide luz linealmente polarizada en una dirección perpendicular al plano de incidencia, con el ángulo de Brewster, la onda se refleja completamente y se halla polarizada perpendicularmente al plano de incidencia (o paralela a la superficie).)


387

8-22. Guía Teórica. Polarización por dispersión o “scattering”:

Si miramos al cielo azul con anteojos polarizados (girándolos convenientemente), podemos comprobar que la luz no se halla polarizada, pero tampoco se halla completamente no-polarizada (parcialmente polarizada). Esta luz no proviene directamente del sol, sino que se origina en la dispersión (absorción y reemisión) de la luz solar por las moléculas que forman el aire. Las moléculas que forman parte de nuestra atmósfera absorben la luz que les llega del sol (luz blanca). Debido a las características de las moléculas, no todas las frecuencias son absorbidas por igual, ya hemos dicho que la luz de color azul es la que mayormente resulta absorbida y luego reemitida por la molécula (dispersión), mientras que otras frecuencias (rojo) “pasan a través de ellas como si fueran transparentes”. A nuestros ojos llegan, provenientes del cielo, sólo aquellas ondas de luz que han sido reemitidas hacia abajo (dispersadas), mayormente luz azul, por consiguiente, el cielo se ve azul. Además, esta luz se halla parcialmente polarizada, y este efecto es notable cuando las direcciones de propagación de las ondas provenientes del sol y las reemitidas por las moléculas forman un ángulo de 90o , ver figura 8-21. Para entender cualitativamente el fenómeno de polarización por dispersión, vamos a plantear un modelo simple (de juguete), pensando que las moléculas de la atmósfera se comportan en forma similar a dos cargas opuestas oscilantes (emisor dipolar eléctrico), absorbiendo la luz proveniente del sol y reemitiéndola en la forma que hemos discutido para el caso de radiación dipolar. Supongamos que la luz proveniente del sol (no polarizada), se propaga en la dirección z, por supuesto, por ser una onda transversal el vector óptico (campo eléctrico) oscila en el plano perpendicular al eje z (plano x-y), ver figura 8-21. Cuando la onda incide sobre una molécula de la atmósfera, ésta absorbe parte de la energía y comienza a oscilar en el mismo plano en que oscila el campo eléctrico

eje x eje z 90o

Figura 8-21: Dispersión de la luz solar en la atmósfera. El color azul es el que más se dispersa. Dependiendo del ángulo que forman los rayos solares incidentes y la dirección de observación, la luz dispersada puede estar parcialmente polarizada


388

(plano x-y). Luego de un pequeño intervalo de tiempo, la molécula reemite esa energía (radiación dipolar eléctrica), volviendo a su estado inicial. Supongamos que nosotros observamos la onda que proviene de la molécula en la dirección x (ver figura 8-21). Esta onda se origina principalmente en oscilaciones de la molécula en la dirección y (corresponde a la máxima intensidad emitida, ver figura 17), por lo cual, la luz llega a nuestros ojos, fundamentalmente polarizada en la dirección y (ver figura 8-18). La luz no se halla completamente polarizada, recibimos luz proveniente de muchas moléculas, que oscilan en diferentes direcciones del plano x-y, y no necesariamente en la dirección y, ya que, la radiación dipolar eléctrica es intensa en un ancho rango de direcciones, no sólo en la dirección perpendicular a la línea de oscilación (ver figura 8-18). Este fenómeno, puede verificarse fácilmente si se dispone de un polarizador, observando aquella zona del cielo que emite luz hacia nuestros ojos formando un ángulo de 90o con la onda que incide desde el sol (ver figura 8-21). 8-23. Guía Teórica. Laminas retardadoras, Materiales Birrefringentes y Actividad Óptica: Láminas Retardadoras:

Un ejemplo interesante y simple de material anisótropo lo constituye un celofán cuando se lo estira (o plásticos estirados). El celofán está formado por moléculas de hidrocarburo desordenadas, por lo cual en principio, no existe ninguna dirección privilegiada y el material resulta isótropo. Si se estira al celofán en alguna dirección particular (lo cual ocurre muchas veces en el proceso de fabricación), debido a las tensiones provocadas, las moléculas se reorientan en esa dirección. De esta forma, el material estirado pierde su isotropía y la velocidad de propagación de las ondas luminosas depende del estado de polarización de la onda, las ondas polarizadas en la dirección de estiramiento se propagan a una velocidad distinta de las ondas polarizadas en una dirección perpendicular. De esta forma, la dirección de estiramiento y la dirección perpendicular a ésta, determinan dos ejes especiales, desde el punto de vista óptico. Un caso particular es el de la cinta adhesiva (cinta Scocht). Debido al proceso de fabricación, el material es estirado en la dirección de enrollado. La cinta adhesiva marca Scocht, por casualidad, tiene un espesor tal que se comporta aproximadamente como una lámina retardadora de media onda, que estudiaremos enseguida; otras marcas tienen otros espesores.


389

Otro material anisótropo, que es bastante fácil de encontrar, es la mica. En éste material también podemos identificar dos direcciones especiales tal como sucede en el caso del celofán estirado. Enseguida veremos que, tanto el celofán como la cinta adhesiva o la mica, pueden servir para cambiar el estado de polarización de una onda, como por ejemplo, cambiar la dirección de polarización de una onda linealmente polarizada, o transformarla en una onda polarizada elípticamente o circularmente, a la salida del material, y viceversa. Experimento: Con ayuda de dos polarizadores, usted puede estudiar este fenómeno. Con el primer polarizador puede polarizar a la luz linealmente, esa onda luego puede atravesar una cinta adhesiva o una lámina de celofán estirado. Con el segundo polarizador (analizador) puede estudiar el estado de polarización de la onda al salir de la lámina, ¡pruebe!, gire el primer polarizador y anote lo observado, saque conclusiones. El celofán o las cintas adhesivas o las placas de mica, son algunos ejemplos de lo que se conoce con el nombre de láminas retardadoras (caso particular de material birrefringente que discutiremos luego). Estas láminas delgadas, tienen la particularidad de ser materiales anisótropos con dos direcciones especiales (desde el punto de vista óptico), mutuamente perpendiculares (en el caso del celofán, dirección de estiramiento y dirección perpendicular). Una onda plana, linealmente polarizada, que incide sobre la lámina, se propaga con distinta velocidad según sea su estado de polarización paralelo a uno u otro eje. Por esta razón, distinguiremos a los ejes de la lámina con el nombre de eje rápido y eje lento de propagación. Cuál es el lento y cual el rápido depende del material con que se construye la lámina. Si la onda (plana) incidente se halla linealmente polarizada paralelamente al eje rápido, se propaga con velocidad vR, mientras que si la onda se halla polarizada paralela al eje lento, se propaga con velocidad vL . Debido a esta propiedad del material, la onda que incide sobre la lámina “ve” un índice de refracción distinto de acuerdo a su estado de polarización (paralelo al eje rápido o perpendicular a éste), que podemos calcular como,

nc

vRR

= y nc

vLL

= 8-101

Si sobre la lámina incide, normalmente, una onda plana con polarización arbitraria, las proyecciones del vector óptico, sobre el eje rápido y el eje perpendicular (lento), se propagan cada una con una velocidad distinta. De acuerdo a esto, las componentes (de polarizaciones


390

perpendiculares) salen de la lámina desfasadas una de la otra, ya que recorren caminos ópticos distintos. En el capítulo 9 aprenderemos a calcular diferencias de fase δ debidas a diferencias de caminos ópticos, aquí nos conformaremos con una idea intuitiva. Si pensamos en la evolución de las crestas de las ondas, de cada componente (de polarizaciones mutuamente perpendiculares), mientras que una se desplaza a velocidad vR, la otra lo hace a velocidad vL , por esta razón, al atravesar la lámina se retrasa una respecto a la otra, provocando un desfasaje δ entre las ondas.

En una primera lectura puede saltearse y sólo estudiar la expresión final 106. Cuánto se retrasa una onda respecto de la otra, lo podemos hallar simplemente calculando el tiempo que tarda cada onda en atravesar el espesor e de la lámina, o sea,

te

vRR

= y te

vLL

= 8-102

por lo cual, el intervalo de tiempo que hay que esperar para que salga la onda más lenta es (usando 8-101),

( )Δt t te

ve

vec

n n= − = − = −L RL R

L R 8-103

De esta forma, en ese tiempo Δt , la onda que sale primero (ya en el vacío), recorre una distancia igual a,

( )Δ Δd c t e n n= = − = L R diferencia de camino óptico 8-104

El desfasaje δ indica el ángulo, en radianes, que se retrasa una onda armónica respecto de la otra. Para calcularlo, debemos determinar cuántas o que fracción de longitudes de onda entran en Δd . Por ejemplo, si entra justo una longitud de onda, las ondas no se desfasan ya que δ π= 2 (un giro completo), en cambio si entra media onda, se hallan a contrafase, es decir, δ π= (medio giro). El desfasaje es simplemente la fracción de longitudes de onda, que entran en Δd , multiplicadas por 2π (ver Capítulo 9), es decir

Fracción de longitudes de onda =Δdλ

⇒ δ πλ

= 2Δd

8-105

A partir de 8-105 y 8-104, encontramos que el desfasaje de la componente lenta respecto de la rápida es,

( )δ π

λ=

−2

e n n L R 8-106


391

De acuerdo a la expresión 8-106, el desfasaje entre componentes (de polarización mutuamente perpendicular), depende de la diferencia entre los índices de refracción (lento y rápido), del espesor de la lámina e y de la longitud de onda de la onda incidente. De acuerdo a lo discutido, con una lámina retardadora podemos introducir fases adicionales entre las diferentes componentes del vector óptico. De esta forma, veremos que es posible cambiar el estado de polarización de la onda incidente. Por ejemplo, cambiar la dirección de una onda linealmente polarizada o transformarla en polarización elíptica o circular y viceversa. Esto lo lograremos eligiendo adecuadamente las características de la lámina (espesor, índices de refracción), para lograr un desfasaje conveniente a nuestros intereses. En lo que sigue analizaremos casos particulares de láminas retardadoras, para valores de desfasaje especiales, como por ejemplo, δ π= (láminas de media onda) o

δπ

=2

(láminas de cuarto de onda). Recordemos que el desfasaje depende de la

longitud de onda, por lo cual, si una lámina retardadora produce un desfasaje δ π= (láminas de media onda) para el color rojo, no necesariamente produce el mismo desfasaje para el verde. Lámina de media de onda (δ=π):

Vamos a analizar el caso particular en que, el espesor de la lámina y los índices de refracción son tales que, el desfasaje que se produce entre cada una de las componentes del vector óptico, paralela al eje rápido de la lámina y perpendicular a éste (eje lento), vale δ π= . Como dijimos, una cinta adhesiva marca Scocht cumple bastante bien con esta característica (por lo menos para algunos colores). Para entender el comportamiento de esta lámina, analizaremos dos ejemplos: Primer Ejemplo: Supongamos que, sobre una lámina de media onda, incide normalmente una onda plana, linealmente polarizada en una dirección arbitraria. Supondremos que la onda se propaga en la dirección z y la lámina se halla en el plano x-y. Por simplicidad, supondremos que el eje rápido es el eje x y el lento es el eje y. Describimos a la onda incidente (linealmente polarizada) en base a sus componentes, polarizadas en las direcciones x e y (ver figura 8-22), en la forma,

( ) ( )rE E kz t E kx t= − −$ cos $ cosi + j x y0 0ω ω 8-107

Cuando la onda atraviesa la lámina de media onda, la componente y se desfasa respecto de la x un ángulo δ π= . Suponiendo, por simplicidad, que la onda no


392

se atenúa al atravesar la lámina, a la salida de la lámina la onda puede describirse en la forma,

( )

( ) ( )tkxEtkxEE

tkzEE

ωπω

ω

−−=+−=

−=

cos jcos j

cos i

y0y0y

x0x

r

r

8-108

De la expresión 8-108, concluimos que la onda plana saliente también se halla

linealmente polarizada, pero el cambio de signo de la componente y, produce un cambio en la dirección de polarización, es como si el vector óptico se reflejara sobre el eje x (eje rápido), ver figura 8-22.

Observando la figura 8-22, comprobamos que la onda linealmente polarizada rota un ángulo igual a α θ= 2 . En el caso particular en que la onda se halla polarizada formando un ángulo θ= 45o, entonces la dirección de polarización rota exactamente 90o .

x

θ

y rE Onda incidente

Lámina retardadora de media onda

rE

x θ

Onda saliente

y

Lámina retardadora de media onda

Figura 8-22: Lámina retardadora de media onda. Si incide sobre ella una onda linealmente polarizada, la onda transmitida también se halla linealmente polarizada pero en una dirección distinta, rotada en un ángulo 2θ respecto de la incidente.


393

Experimento: Ahora que sabe un poco más, vuelva a tomar dos polarizadores y una cinta Scocht, muestre que se comporta aproximadamente como una lámina de media onda y determine cuál es el eje rápido. Luego construya una nueva lámina retardadora superponiendo dos cintas Scocht. ¿Cuánto vale el desfasaje que produce esta lámina?, Verifíquelo experimentalmente. Usando filtros de color, estudie el comportamiento de la cinta para diferentes colores, compruebe que el desfasaje depende de la longitud de onda de la luz con que se ilumina. Segundo Ejemplo: Suponemos ahora que, sobre la lámina de media onda, incide normalmente una onda plana, polarizada circularmente derecha (horario). La onda incidente (polarizada circular derecha), se describe en la forma,

( )[ ]tkzjtkziEtzE ω−+ω−= senˆ)(ˆ),( 0 cos r

8-109

Cuando la onda atraviesa la lámina de media onda, la componente y se desfasa respecto de la x un ángulo δ π= . Suponiendo que, la onda no se atenúan al atravesar la lámina, a la salida de la lámina la onda puede describirse en la forma,

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tkxtkzEtkxtkzEE ω−−ω−=π+ω−+ω−= senˆcosˆsenˆcosˆ00 jiji

r 8-

110

De la expresión 8-110, concluimos que la onda plana saliente también se halla polarizada circularmente, pero el cambio de signo de la componente y, la transforma a circular izquierda (antihorario). Lámina de cuarto de onda (δ=π/2):

Ahora analizamos el caso particular en que, el espesor de la lámina y los índices de refracción son tales que, el desfasaje que se produce entre cada una de las componentes del vector óptico, paralela al eje rápido de la lámina y perpendicular a

éste (eje lento), vale δπ

=2

. Para entender el comportamiento de esta lámina,

analizamos dos ejemplos: Primer Ejemplo: Suponemos que, sobre una lámina de cuarto de onda, incide normalmente una onda plana, linealmente polarizada en una dirección arbitraria. Nuevamente suponemos que la onda se propaga en la dirección z y la lámina se halla en el plano x-y, el eje rápido es el eje x y el lento es el eje y.


394

La onda incidente (linealmente polarizada) es,

( ) ( )tkzEtkzEE ω−ω−= cos j+cos i y0x0

r 8-111

Cuando la onda atraviesa la lámina de cuarto de onda, la componente y se

desfasa respecto de la x un ángulo δπ

=2

. Suponiendo, por simplicidad, que la onda

no se atenúa al atravesar la lámina, a la salida de la lámina la onda puede describirse en la forma,

( )( ) ( )tkzEtkzE

tkzEtkzEE

ωω

πωω

−−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=

sen j-cos i

2

cos j+cos i

y0x0

y0x0

r

8-112

A partir de la expresión 8-112, comprobamos que, a la salida de la lámina de

cuarto de onda, la luz se halla polarizada elípticamente izquierda (antihorario). En el caso particular en que el vector óptico, de la onda incidente, forma un ángulo de 45o con los ejes se cumple E E0 0x y= y por consiguiente la onda a la salida de la lámina se halla polarizada circularmente izquierda.

¿Cómo identifica experimentalmente si una onda se halla polarizada circularmente o elípticamente?. Segundo Ejemplo: El segundo ejemplo lo dejamos para que lo complete el lector. Compruebe que si incide una onda elípticamente polarizada (o circular), centrada en los ejes, a la salida de la lámina de cuarto de onda, la onda resulta linealmente polarizada. Como vemos, la utilización de las láminas retardadoras permite cambiar el estado de polarización de cualquier haz polarizado. Si tenemos un haz de luz natural y colocamos a su paso dos polarizadores cruzados luego de éstos no hay intensidad luminosa. Pero si intercalemos una lamina de cuarto de onda entre ambos. La luz que sale del primer polarizador, linealmente

polarizada, incide sobre la lámina y sufre un desfasaje en δπ

=2

, al atravesarla.

Dependiendo de la orientación relativa entre el vector óptico y el eje de la lámina se tienen distintos estados de polarización para la luz que incide sobre el analizador. Así, rotando la lámina alrededor de su eje se consigue que pase más o menos luz por el analizador. Habrá dos posiciones de máxima intensidad y dos de anulación casi total ¿podría explicar por qué?


395

Este fenómeno, además de su interés científico, tiene aplicaciones técnicas en el control de calidad de ciertos materiales que son sometidos a tensiones. Un ejemplo de ellos son los parabrisas de automóviles, los cuales son curvados, por lo cual, presentan anisotropías que pueden ser usadas para controlar su curvatura. Este hecho puede comprobarse observando con un polarizador a través del parabrisas, se observan zonas más obscuras que otras, trate de explicar por qué. Optativo. Materiales Birrefringentes:

En general, a los materiales anisótropos que presentan dos índices de refracción distintos, según el estado de polarización de la onda, se los llama materiales birrefringentes. Ejemplos de este tipo de materiales son la calcita y, las ya estudiadas, láminas retardadoras. Estos materiales poseen propiedades “extrañas”, a nuestra experiencia. Si una onda (plana) incide sobre ellos, puede dividirse dentro del material en dos ondas refractadas (según como esté cortado el cristal), con polarizaciones perpendiculares entre sí, por esta razón, es que se los llama birrefringentes. Uno de los rayos, se comporta tal como es esperado en la óptica geométrica (en cristales monoaxiales), por lo cual se lo denomina “rayo ordinario”, mientras que el otro se desvía “anormalmente”, por lo cual se lo conoce como “rayo extraordinario”. Si incide una onda plana normalmente sobre el cristal (θ i = 0), el rayo ordinario no se refracta (no cambia su dirección), verificando así las leyes de la óptica geométrica. En cambio el rayo extraordinario, se refracta (cambia su dirección), al entrar y luego al salir del cristal, saliendo paralelo al rayo ordinario (si el cristal es plano-paralelo), pero desplazado una cierta distancia, que depende del espesor del material. Si se gira el material, el rayo extraordinario gira en el espacio. Estos dos rayos se hallan polarizados, y sus direcciones son perpendiculares entre sí. De acuerdo a lo expuesto, si observamos un objeto a través de uno de estos cristales, veremos dos imágenes del objeto. Cortando adecuadamente un cristal birrefringente, pueden fabricarse polarizadores, o también láminas retardadoras. Optativo. Actividad Óptica:

Si una onda de luz linealmente polarizada, atraviesa un cristal de cuarzo (en una dirección paralela al eje óptico), se observa que la dirección de polarización se halla rotada al salir del cristal. El ángulo rotado depende del espesor del cristal. Se observa el mismo fenómeno en diferentes sustancias, como por ejemplo, en soluciones de azúcar o en aguarrás. A las sustancias que presentan esta propiedad, se las conoce con el nombre de sustancias ópticamente activas. El fenómeno se halla relacionado con la estructura helicoidal de las moléculas de la sustancia. Algunas sustancias producen rotaciones en sentido horario (dextrogiras) mientras que otras lo hacen en sentido antihorario (levogiras). El estudio de la actividad óptica de un material, nos brinda información importante de la estructura molecular de la sustancia. Pero además, posee importantes aplicaciones técnicas en química y biología. Una aplicación importante es, la determinación del nivel de concentración de


396

azúcar en una solución, basado en que el poder rotatorio de la solución se halla relacionado con la concentración de azúcar.

8-24. La calcita (material birrefringente) posee índices de refracción rápido nR = 1 4864, y lento nL = 1 6584, , para una longitud de onda λ = 589 3, nm . Suponga que puede cortarla adecuadamente para fabricar una lámina retardadora, a) ¿De qué espesor la cortaría para obtener una lámina de media onda, para esa

longitud de onda?. b) ¿Y para obtener una de cuarto de onda?

8-25. (Recomendado). Una onda de luz, de frecuencia Hzf 1410 6= y amplitud

02E (módulo del vector óptico), avanza en la dirección z (en el vacío), y se halla polarizada linealmente a o45 en el primer cuadrante (x-y). La onda incide normalmente sobre una lámina de cuarto de onda, con su eje rápido en la dirección x. a) Escriba la función de onda correspondiente a la onda incidente. Verifique su

resultado a partir de construir una tabla de valores. b) Escriba la función de onda saliente y muestre que se halla polarizada

circularmente, indique si es izquierda o derecha. Construya una tabla de valores para verificarlo.

c) Explique que experimento haría para comprobar si resulta correcto lo respondido por usted en el ítem anterior.

8-26. Compruebe que si incide una onda elípticamente polarizada (o circular), centrada en los ejes, sobre una lámina de cuarto de onda, a la salida, la onda resulta linealmente polarizada. Escriba las funciones de onda en cada caso y discuta sobre la forma en que lo comprobaría experimentalmente. 8-27. (Recomendado). En la figura 8-23 se muestran dos fotos de dos polarizadores. Entre ellos se ha colocado una cinta Scocht (aproximadamente se comporta como una lámina de media onda), formando un ángulo de o45 con los ejes de transmisión de los polarizadores. Explique claramente el fenómeno observado en cada una de las fotos.


397

8-28. Suponga que dispone de dos polarizadores y una cinta Scotch (aproximadamente se comporta como una lámina de media onda), que intercala entre ambos. Si sobre el primer polarizador incide luz natural, describa completamente la situación, para distintas posiciones relativas de la lámina y los polarizadores.

Figura 8-23: Fotos de dos polarizadores, entre ellos se encuentra una cinta Scotch. Agradecemos a Ricardo Page por sostener los polarizadores para la foto.


398

Bibliografía. • Física Vol. 2, Tipler. Ed. Reverté. • Física, Óptica Vol 2, D.E.Roller and R.Blum. Ed. Reverté. • Óptica, Hecht-Zajac. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. • Curso de Física de Berkeley, Vol 3. Ed. Reverté. • Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill. • Física, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. • Física Vol 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.


Capítulo 9

Interferencia.


401

Introducción:

En el Capítulo 6 hemos comenzado el estudio de fenómenos asociados con la superposición de ondas. En este Capítulo continuaremos profundizando el tema, asociado principalmente con fenómenos de interferencia luminosa (superposición de ondas de luz). El fenómeno de interferencia resulta simple de analizar en el caso de la superposición de dos ondas armónicas que se propagan en un medio lineal (no-dispersivo). Supongamos dos ondas armónicas, de idéntica frecuencia y longitud de onda, pero desfasadas entre sí en una cantidad δ . Como el medio lo hemos supuesto lineal, la onda resultante de la superposición de ambas ondas se obtiene simplemente sumándolas. El resultado de la suma de dos ondas armónicas, de igual frecuencia, es otra onda armónica, de la misma frecuencia, cuya amplitud depende de la diferencia de fase δ , entre las ondas originales. Para fijar ideas analicemos los casos extremos. Si la diferencia de fase es δ = 0 o un múltiplo entero de 2π , las ondas se hallan en fase y, por consiguiente, la interferencia es constructiva. La amplitud resultante es la suma de las amplitudes individuales (ver figura 9-1). Si la diferencia de fase es δ π= o un número entero impar de π , las ondas se hallan a contrafase, concuerda la cresta de una con el valle de la otra, y la interferencia es destructiva. La amplitud resultante es la resta de las amplitudes individuales (ver figura 9-1).

La diferencia de fase entre las ondas armónicas puede ser debida simplemente a que han recorrido distancias distintas, por lo cual dependiendo del lugar del espacio en donde se analiza la superposición, es posible hallar interferencia constructiva o destructiva. En la Naturaleza observamos innumerables ejemplos de sistemas físicos en donde se observa el fenómeno de interferencia (ondas de agua, ondas sonoras, ondas de luz, ondas electromagnéticas, etc.). Todos ellos, constituyen manifestaciones de un fenómeno ondulatorio subyacente. Las diferencias en la amplitud del sonido en una sala con mala acústica, los colores en las pompas de jabón y en las manchas de aceite, son algunos de los ejemplos más comunes de interferencia de ondas sonoras y luminosas respectivamente. La historia del desarrollo de la teoría física de la luz, ha sido signada por la lucha entre dos modelos distintos, y en principio, incompatibles para la física clásica.

= =

Figura 9-1: Interferencia constructiva y destructiva, entre dos ondas armónicas.

Interferencia

402

Esos dos modelos son el modelo corpuscular (Newton) y el modelo ondulatorio de la luz (Huygens). La observación de fenómenos de interferencia asociados a la luz, fue determinante para el triunfo de la teoría ondulatoria, pero ese no fue el final de la historia. La aparente incompatibilidad entre una teoría corpuscular y una ondulatoria, desaparece con el advenimiento de la teoría cuántica. Esta teoría resulta a la mayoría de los mortales completamente antiintuitiva, ya que en nuestra vida cotidiana, los fenómenos que distinguen a la teoría cuántica se hallan enmascarados, por lo cual, nuestro mundo “pareciera regirse perfectamente por las leyes de Newton”, o peor, “parece comportarse como Aristóteles pensaba”. No surgió la necesidad de cambiar de teoría hasta el momento en que los científicos comenzaron a estudiar la dinámica de los sistemas moleculares, atómicos, nucleares y subnucleares. Hoy en día, se conocen fenómenos cuánticos a nivel macroscópico (grandes escalas), tales como los fenómenos de superconductividad y superfluidez. La teoría cuántica introduce un nuevo objeto físico, que no existía en la teoría clásica, la onda-partícula, no es ni onda ni partícula sino una manifestación compleja de ambos elementos clásicos. Como ejemplo, un electrón, en física clásica, era asociado a una partícula, pero en física cuántica el electrón es una onda-partícula, por lo cual, esta teoría predice que es posible observar fenómenos de interferencia asociados al electrón. El experimento, juez implacable para la física, ha determinado que la cuántica tiene (hasta el momento) la razón, se han observado innumerables experiencias en donde el electrón manifiesta sus características ondulatorias y corpusculares, tales como la aparición de fenómenos de interferencia del electrón-onda consigo mismo. La luz, no escapa a la descripción cuántica. Según esta teoría, la luz se halla formada por ondas-partículas (o cuantos de luz) llamados fotones. Los fotones se distinguen de otros objetos físicos por el hecho de no tener masa inercial. Luego estudiaremos que por esta razón se mueven a la velocidad de la luz en todos los sistemas de referencia (Teoría de la Relatividad). Que nosotros no asumamos nuestra propia característica de onda-partícula cuántica, es sólo debido a que la Naturaleza ha elegido un valor para la constante de Plank h muy pequeño. Si esta constante, fuera varios ordenes de magnitud mayor, diariamente veríamos fenómenos de interferencia asociados con objetos de nuestro tamaño. Lo expuesto, da una idea de la importancia teórica que representa el estudio de los fenómenos asociados a las ondas, tales como la interferencia. En cuanto a sus aplicaciones técnicas, el fenómeno de interferencia es utilizado en la medición precisa de longitudes (espesores), para definir el metro patrón y fundamentalmente en la determinación de longitudes de onda luminosa (interferómetros), con lo cual, resulta posible estudiar los espectros de emisión de luz


403

de átomos y moléculas. La determinación del espectro de un átomo, nos brinda información que nos permite lograr una mayor comprensión de su estructura cuántica. El espectro de emisión caracteriza al átomo, como una huella digital caracteriza a una persona. Analizando el espectro de emisión de luz de un compuesto, resulta posible conocer su composición atómica. Sobre la base de esto es posible estudiar, por ejemplo, la composición de las estrellas a partir del análisis espectral de la luz que nos llega de ellas. Un ejemplo de aplicación técnica del fenómeno de interferencia, es el de la eliminación de ruidos molestos por medios electrónicos. El sonido molesto es captado por un micrófono, procesado por un instrumento electrónico y reemitido por un parlante con igual amplitud pero desfasado del sonido original, de tal forma de conseguir una interferencia destructiva con éste y reducir su amplitud. Los ejercicios recomendados son el 2, 4, 10, 11, 17 y 22 . 9-1. Guía Teórica. Desfasajes entre ondas, en una dimensión:

En esta guía teórica estudiaremos algunas de las posibles razones que determinan la aparición de desfasajes entre dos ondas. Haremos hincapié en el estudio del desfasaje que aparece cuando las ondas recorren caminos distintos (para el caso unidimensional).

Como ejemplo, analizamos nuevamente la situación planteada en el capítulo 6, de dos parlantes emitiendo una misma onda sonora armónica (sonido de un diapasón). Supondremos que los parlantes viven en un espacio unidimensional, esta suposición la hacemos para que la descripción de la onda sea simple, ya que en una dimensión las ondas sólo pueden ser planas. En el espacio tridimensional, las ondas pueden propagarse como ondas planas, esféricas, cilíndricas, etc.. En el caso de un parlante real la descripción de la onda resulta más compleja que en los casos anteriormente enumerados, la onda sale del parlante más intensamente hacia adelante, y con menor intensidad hacia los costados (lóbulo). Suponemos válido el principio de superposición, lo cual resulta una buena aproximación en el caso de ondas sonoras de baja intensidad. De esta forma, podemos obtener la onda resultante simplemente a partir de sumar las ondas emitidas por cada uno de los parlantes. Dijimos en la introducción que, al sumar dos ondas armónicas, obtenemos una nueva onda armónica cuya amplitud depende del desfasaje existente entre las ondas originales. El desfasaje entre las ondas puede tener orígenes distintos, aquí comenzaremos por analizar tres de los posibles casos.

Interferencia

404

Desfasaje inicial: Las ondas, emitidas por distintas fuentes, pueden tener una diferencia de fase inicial δ i . En el ejemplo de los parlantes, esa diferencia de fase puede ser debida a pequeños retardos en el circuito electrónico, diferentes para cada parlante. Como ejemplo, supondremos que los dos parlantes se hallan ubicados en la misma posición, emitiendo una misma onda armónica (onda plana), pero con un pequeño retardo entre la emisión de una onda y la otra. Entonces, las ondas emitidas por cada parlante pueden describirse como,

( )Ψ1 ( , ) senx t A kx t= − ω y ( )( )Ψ2 ( , ) senx t A kx t t= − −ω i 9-1

Note que mientras Ψ1 ( , )x t se anula en x = 0 y t = 0 , Ψ2 ( , )x t se anula en x = 0 y t t= i , es decir, un instante t i después. Reescribiendo convenientemente a Ψ2 ( , )x t , podemos obtener el desfasaje inicial entre las ondas,

( ) ( )Ψ2 ( , ) sen senx t A kx t t A kx t= − + = − +ω ω ω δi i 9-2

o sea, las ondas se hallan desfasadas un ángulo δ i (en radianes),

δ ωi i= t 9-3

Desfasaje por diferencia de camino recorrido: Si los parlantes se hallan ubicados en distintas posiciones, las ondas provenientes de cada uno de ellos, llegan a un determinado punto del espacio desfasadas. La diferencia de fase depende, justamente, de la diferencia de camino recorrido por cada onda (ver figura 9-2).


405

En la figura 9-2 se muestra el ejemplo simple en que los parlantes y las ondas se hallan alineados (unidimensional) y distan entre sí una distancia d. Hallaremos las funciones de onda, en función de la coordenada x de un punto P genérico del espacio (unidimensional), en donde se evalúa la onda. x1 determina la distancia entre el parlante 1 y el punto P, mientras que x2 determina la distancia entre el parlante 2 y ese punto. Si el sistema de coordenadas lo fijamos en el parlante número 1 y suponemos que no existe desfasaje inicial (δ i = 0), entonces las ondas emitidas por cada parlante pueden describirse por,

( )Ψ1 ( , ) senx t A kx t= − ω y ( )( )Ψ2 ( , ) senx t A k x d t= − − ω 9-4

Note que Ψ1 ( , )x t se anula en x = 0 y t = 0, Ψ2 ( , )x t se anula en x d= y t = 0 . Si reescribimos convenientemente a la función de onda Ψ2 ( , )x t , obtenemos,

( ) ( )Ψ2 ( , ) sen senx t A kx t kd A kx t= − − = − +ω ω δ 9-5

Comparando Ψ1 ( , )x t con Ψ2 ( , )x t , vemos que se hallan desfasadas un ángulo δ (en radianes) igual a,

δ = −kd o δ πλ

= −2d

9-6

En la ecuación 9-6 comprobamos que el desfasaje se halla relacionado con el

cociente entre la diferencia de camino d y la longitud de onda λ . Este cociente indica la fracción de 2π radianes (una vuelta), que se desfasa la onda.

x

x2

x

x1

d

parlante 1 parlante 2 P

Figura 9-2: Desfasaje producido, entre dos ondas armónicas, debido a la diferencia de caminos recorridos.

Interferencia

406

El signo menos cambia a signo más si colocamos el sistema de coordenadas en el parlante 2 en lugar del 1 (verifique). En general podemos reescribir 9-6 como,

δ πλ

= 2Δx

9-7

donde hemos definido,

dxxx −=−=Δ 12

es la diferencia de camino recorrido entre la onda 2 y la otra 1. Note que xΔ no es una distancia sino una diferencia de camino recorrido,

por lo cual puede tomar valores positivos y negativos (por ejemplo, positivos cuando el punto P está a la izquierda del parlante 1 y negativo cuando está a la derecha del parlante 2). En el caso extremo en que la diferencia de camino Δx resulta exactamente igual a una longitud de onda, o a un múltiplo (positivo o negativo) de ésta, el desfasaje resulta nulo o múltiplo de 2π , con lo cual las ondas interfieren constructivamente (ver figura 9-3), es decir,

Si Δx m= λ con m∈ Ζ ⇒ δ π= ≡m2 0 9-8

Note que m toma valores enteros positivos (si 12 xx > ) y negativos (si 12 xx < ).

En el otro caso extremo, en que la diferencia de camino Δx resulta exactamente igual a media longitud de onda, o a un múltiplo impar de media longitud de onda, el desfasaje resulta igual a π o múltiplo impar de π , con lo cual las ondas se hallan a contrafase e interfieren destructivamente (ver figura 9-4), es decir,

Si ( )Δx m= ′ +2 12λ

con ′ ∈m Ζ ⇒ ( )δ π π= ′ + ≡2 1m 9-9

Δx=2λ parlante 1 parlante 2

Figura 9-3: Fuentes de onda distantes en un múltiplo de la longitud de onda. En este caso, sobre la línea que une ambas fuentes, las ondas se hallan en fase.


407

Desfasaje por reflexión: En el Capítulo 4, hemos estudiado, en detalle, el desfasaje que se produce entre las ondas incidente y reflejada, sobre una interfase. Si la onda se propaga de un medio denso a uno menos denso, no se produce ningún desfasaje. Pero, si la onda pasa a un medio más denso, entonces la onda reflejada sufre un desfasaje δ π= respecto a la incidente. Un ejemplo de esta situación podría corresponder a una onda sonora reflejada en una pared (eco). En el caso de ondas luminosas, veremos luego, que este tipo de desfasajes aparece siempre que la onda se refleje en medios más densos. Por ejemplo, cuando una onda de luz que se propaga por el aire y se refleja en la superficie de un vidrio o en la superficie del agua. Suma de las ondas armónicas: Calculemos ahora la onda armónica resultante (para el caso unidimensional), suma de las ondas emitidas por cada parlante. Suponemos que las ondas se hallan desfasadas en un ángulo δ , que puede corresponder a un desfasaje inicial o a un desfasaje debido a una diferencia de caminos recorridos o por reflexión en un medio más denso, o suma de todos ellos, por ejemplo,

δ πλ

δ= +2Δx

i 9-10

Las funciones de onda se describen por,

( )Ψ1 ( , ) senx t A kx t= − ω y ( )Ψ2 ( , ) senx t A kx t= − +ω δ 9-11

como hemos supuesto al medio lineal, la onda resultante la obtenemos sumando las dos funciones de onda,

( ) ( )Ψ Ψ Ψ( , ) ( , ) ( , ) sen senx t x t x t A kx t A kx t= + = − + − +1 2 ω ω δ 9-12

Usando la identidad trigonométrica,

( ) ( )sen sen cosθ θθ θ θ θ

1 22 1 1 22

2 2+ =

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

sen

Δx=λ/2

parlante 1 parlante 2

Figura 9-4: Fuentes de onda distantes en media longitud de onda. En este caso, sobre la línea que une ambas fuentes, las ondas se anulan entre sí.

Interferencia

408

y eligiendo θ ω1 = −kx t y θ ω δ2 = − +kx t , podemos verificar que (hágalo), la onda resultante ( )Ψ x t, , puede escribirse como,

Ψ Ψ Ψ( , ) ( , ) ( , ) cos senx t x t x t A kx t= + =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ − +

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟1 2 2

12

12

δ ω δ 9-13

De la última expresión, se desprende que la suma de dos ondas armónicas de igual amplitud y frecuencia, resulta ser una onda armónica de la misma frecuencia pero de amplitud igual a,

( ) ( )Amplitud A A= =2 2 2 2cos / cos /δ δ 9-14

En la expresión 9-14, comprobamos que la amplitud de la onda resultante

depende del desfasaje δ entre las ondas. La amplitud resulta máxima, e igual a Amplitud A= 2 , cuando el modulo del coseno vale uno,

( )cos /δ 2 1= ⇔ δ π= m 2 con m∈ Ζ 9-15

Si el desfasaje es debido únicamente a la diferencia de camino (δ i = 0), a partir de 9-7, obtenemos que el máximo se logra cuando la diferencia de camino recorrido por las ondas resulta ser un múltiplo de una longitud de onda, es decir,

Δx m= λ con m∈ Ζ 9-16

que concuerda con lo obtenido en 9-8. También de 9-14, vemos que la amplitud de la onda se anula cuando el coseno vale cero, es decir,

( )cos /δ 2 0= ⇔ ( )δ π= ′ +2 1m con ′ ∈m Ζ 9-17 Si el desfasaje es debido únicamente a diferencia de camino, la amplitud se anula cuando la diferencia de caminos resulta ser un múltiplo impar de media longitud de onda, es decir,

( )Δx m= ′ +2 12λ

con ′ ∈m Ζ 9-18

que concuerda con lo obtenido en 9-9. Cualquier desfasaje intermedio da como resultado una onda armónica de amplitud entre los valores,

0 2< <Amplitud A 9-19


409

Si las ondas emitidas por cada parlante no tienen la misma amplitud, la cuenta se complica levemente (dejamos al lector como ejercicio repetir el cálculo con amplitudes distintas), el resultado del cálculo es,

Amplitud A A A A= + +12

1 2 222 cosδ 9-20

En este caso la onda resultante nunca se anula completamente, aunque la

diferencia de camino sea de media longitud de onda, y toma valores entre (verifique a partir de 9-20),

A A Amplitud A A2 1 2 1− < < + 9-21

9-2. (Recomendado). Dos parlantes separados una distancia d m= 1 7, , emiten una misma onda sonora armónica (espacio unidimensional), de igual amplitud A, frecuencia y fase. Por simplicidad suponemos que el medio es lineal. Las ondas se propagan en la dirección de la recta que une ambas fuentes, ver figura 9-5.

Suponiendo que la velocidad del sonido es v msegS = 340 , para cada una de las

siguientes frecuencias de las ondas sonoras emitidas: i) Hzf 1001 = , ii) Hzf 2002 = iii) Hzf 3003 = y iv) Hzf 4004 = . a) Halle la longitud de onda correspondiente y haga un esquema de las ondas

emitidas por cada parlante para los cuatro casos planteados. Sobre la base del esquema, halle el desfasaje que se produce entre las ondas, a la izquierda de los parlantes, en cada caso.

b) Escriba las funciones de onda correspondientes a las diferentes ondas. Vuelva a obtener los desfasajes a partir de ellas.

c) Halle la amplitud de la onda resultante para los distintos casos. d) ¿Las amplitudes de la onda resultante son las mismas para las diferentes

frecuencias?. A partir de los resultados, discuta sobre si resulta simple percibir la interferencia cuando los parlantes emiten sonidos compuestos por diferentes frecuencias.

e) Si las fuentes estuvieran ubicadas en el mismo punto del espacio, ¿a qué retardo inicial corresponderían los resultados anteriores?.

1,7m

Parlante 1 Parlante 2 Fig. 9-5

dirección de propagación

Interferencia

410

9-3. Guía Teórica. Desfasaje, por diferencia de camino: En esta guía queremos generalizar lo discutido en la guía 9-1 para ondas en el espacio tridimensional. Analizaremos nuevamente el ejemplo de los dos parlantes, separados una distancia d, emitiendo la misma onda sonora. Por simplicidad y para que lo discutido nos sirva cuando estudiemos interferencia luminosa, haremos una suposición completamente irreal, que consiste en suponer que los parlantes son esféricos y que emiten ondas esféricas. Recordar que en una onda esférica la intensidad emitida es la misma en todas las direcciones (los parlantes reales, emiten una mayor intensidad sonora hacia adelante y menor a los costados). En la figura 9-6, se muestran los dos parlantes y un esquema, de la proyección sobre un plano, de la ubicación de las crestas de la ondas esféricas emitidas por ellos en un determinado instante (compare con su recuerdo de las ondas de agua producidas por dos piedritas).

En la figura 9-6 hemos identificado con puntos a las intersecciones de las crestas de las ondas provenientes de cada parlante. En esos puntos la interferencia resulta constructiva. Al avanzar la onda también avanzan los puntos, por consiguiente podemos concluir que, si trazamos líneas uniendo esos puntos adecuadamente, obtenemos las líneas del plano en donde la interferencia resulta constructiva (ver figuras 9-6 y 9-8). Claro que la intensidad no es la misma en toda la

Parlante 1 Parlante 2

Figura 9-6: Esquema de la ubicación de las crestas de la ondas esféricas emitidas por dos parlantes, en un determinado instante (proyección sobre el plano).


411

línea, ya que, la intensidad del sonido disminuye a medida que nos alejamos de las fuentes. Particularmente simple de entender es el caso de todos los puntos que se hallan sobre la recta vertical que pasa por el medio de los dos parlantes. Todos esos puntos están a la misma distancia del parlante 1 que del parlante 2, por lo cual, las dos ondas llegan en fase interfiriendo constructivamente. La figura 9-6 sólo muestra lo que pasa en el plano de la hoja, pero en realidad el fenómeno es tridimensional, por lo cual, resulta bastante intuitivo pensar que las líneas, en donde la interferencia resulta constructiva, se transforman en superficies de revolución cuando pasamos al espacio (rotamos el dibujo alrededor de un eje colineal con los parlantes). Luego comprobaremos que las superficies que se forman son hiperboloides de revolución. Para entender un poco mejor la discusión anterior, estudiemos en detalle como se superponen las ondas en un punto P cualquiera del espacio, ver figura 9-7. El punto P se encuentra a una distancia r1 del parlante 1, y a una distancia r2 del parlante 2. En la figura 9-7 se distingue la diferencia de camino recorrido Δr por ambas ondas para llegar al punto P, donde en general,

12 rrr −=Δ 9-22

Note que Δr no es una distancia sino una diferencia de camino recorrido, por lo cual puede tomar valores negativos, esto ocurre cuando 12 rr < . El desfasaje que presentan las ondas provenientes de los dos parlantes, depende de la diferencia de camino recorrido Δr , hasta llegar al punto P analizado. Para diferentes puntos P, la diferencia de camino es distinta. Por lo cual concluimos

d

P

1r2r

rΔ

Parlante 1

y

Parlante 2 x

Figura 9-7: Esquema de los caminos recorridos por cada onda hasta llegar a un punto P genérico.

Interferencia

412

que, en el caso tridimensional, el desfasaje entre las ondas provenientes de cada parlante, depende de la ubicación espacial del punto P. Como consecuencia de ello, existen zonas del espacio en donde las ondas interfieren constructivamente mientras que en otras zonas lo hacen destructivamente. En el ejemplo de la figura 9-6, sobre toda la línea que une ambos parlantes la interferencia es constructiva, porque en este caso particular la distancia entre los parlantes es un múltiplo de la longitud de onda (para hacer el dibujo hemos tomado λ= 3d ). Las ondas interfieren constructivamente cuando, la diferencia de camino Δr resulta un múltiplo de la longitud de onda,

Δr m= λ con m∈ Ζ 9-23

Note que m toma también valores negativos ya que Δr resulta negativo si 12 rr < . Las ondas interfieren destructivamente cuando la diferencia de camino Δr resulta un múltiplo impar de media longitud de onda,

( )Δr m= ′ +2 12λ

con ′ ∈m Ζ 9-24

Observando la figura 9-7, podemos comprobar que cualquiera sea el punto P analizado, la diferencia de camino Δr siempre resulta menor, en módulo, que la distancia entre los parlantes, o sea,

dr ≤Δ 9-25

La relación 9-25 restringe el número de hiperboloides de revolución

correspondientes a interferencia constructiva. Esto lo podemos comprobar a partir de las expresiones 9-23 y 9-25,

Δr m d= ≤ λ ⇒ md

≤λ

9-26

Como hemos dicho, para hacer el dibujo de la figura 9-6 hemos tomado,

como ejemplo, λ= 3d , por lo cual, a partir de la desigualdad 9-26 esperamos que se cumpla,

md

≤ =λ

3 9-27


413

es decir,

m y= ± ± ±0 1 2 3, , 9-28

Luego comprobaremos que los valores positivos y negativos de m determinan las dos hojas del mismo hiperboloide de revolución. En la figura 9-6, nos falta aún determinar que línea corresponde a cada valor de m (ver figura 9-8). Para tener una visión un poco más formal de lo discutido hasta el momento, estudiemos la ubicación de los puntos en donde la interferencia es constructiva y verifiquemos que, como anticipamos antes a partir de la observación de la figura 9-6, obtenemos hiperboloides de revolución. Hemos anticipado que todos los puntos que se hallan sobre la recta vertical que pasa por el medio de los dos parlantes, distan lo mismo del parlante 1 que del parlante 2, es decir,

012 =−=Δ rrr 9-29

por lo cual, las dos ondas llegan en fase interfiriendo constructivamente. Resulta simple demostrar que la ecuación 9-29, no sólo determina una línea, sino toda una superficie (perpendicular al plano de la hoja), dejamos como ejercicio para el lector verificarlo. Este plano se identifica con el valor m = 0 (ec. 9-23). Ahora queremos encontrar todos los puntos P del espacio que satisfacen que la diferencia de recorrido entre las ondas es exactamente un múltiplo m (m ≠ 0) de longitud de onda, es decir,

Δr r r m= − =2 1 λ con m∈ ≠Ζ 0 9-30

todos estos puntos interfieren constructivamente. Comprobaremos que la ecuación 9-30 determina un hiperboloide de revolución, uno distinto para cada valor de m. A partir de la figura 9-7, vemos que la ecuación 9-30 puede reescribirse en función de las coordenadas del punto P,

( )zyxr ,,1 =r 9-31

en la forma (verifique),

( )Δr r r x d y z x y z m= − = − + + − + + =2 12 2 2 2 2 2 λ 9-32

Interferencia

414

Los puntos cuyas coordenadas satisfacen la ecuación 9-32, forman una superficie llamada hiperboloide de revolución (hay un hiperboloide para cada valor de m). Para fijar ideas estudiemos sólo lo que pasa en el plano, tomemos z = 0. Dejamos al lector la tarea de despejar la coordenada y en función de la coordenada x, nosotros sólo escribimos el resultado final obtenido luego de un tedioso cálculo,

( )ym

xd d m x= ± − + −1

422 2

2 2 2 2 2

λλ 9-33

A partir de la expresión 9-33 podemos graficar las líneas correspondientes a la

proyección sobre el plano de los hiperboloides de revolución, donde las ondas interfieren constructivamente. Note que las superficies dependen de m2 , por lo cual tanto el valor positivo como el negativo corresponden a un mismo hiperboloide de revolución y el signo sólo identifica a una rama de la otra (cuando 12 rr > ⇒ m > 0, y cuando 12 rr < ⇒ m < 0). En la figura 9-8 se muestran estas líneas, para cada valor de m, superpuestas con las ondas esféricas, compare con la figura 9-6.

Entre dos hiperboloides de interferencia constructiva se halla uno de interferencia destructiva, que no hemos dibujado en la figura 9-8.

m=2 m=1

m=3

m=0 m=−1 m=−2

m=−3

Figura 9-8: Gráfica de los hiperboloides de revolución que identifican los lugares en donde la interferencia, entre las ondas, es constructiva.


415

La intensidad no es la misma en todo el hiperboloide, ya que, la intensidad del sonido disminuye a medida que nos alejamos de las fuentes. 9-4. (Recomendado). Suponga que dos parlantes, emiten una misma onda sonora de frecuencia f Hz= 500 , y se hallan ubicados en las posiciones que se muestran en la figura 9-9. Suponiendo que la velocidad del sonido es v m

segS = 340 , y que no existe diferencia de fase inicial, a) Halle el desfasaje entre las ondas que llegan al origen de coordenadas. b) ¿Qué diferencia de fase inicial debería introducirse para que las ondas interfirieran

constructivamente en el origen?, y ¿que retardo de tiempo?. c) Usted puede verificar la formación de un patrón de interferencia sonoro si dispone

de un amplificador de audio y un generador de oscilaciones, o un piano electrónico, o una guitarra electrónica, o una grabación de una nota pura de alguno de estos instrumentos.

Haga funcionar su amplificador en modo monoaural (¿por qué?), y separe los dos parlantes (fuentes coherentes de ondas sonoras) una distancia de más de un metro (mida la distancia). De cada parlante sale la misma nota (pura). Camine a través del lugar y verifique los cambios en el volumen del sonido en función de la posición. Trate de estimar la ubicación de los máximos de intensidad sonora. Verifique si se hallan en los lugares en donde usted los espera, a partir de conocer la frecuencia de la nota.

5. Guía teórica. Coherencia: Hasta el momento hemos analizado el fenómeno de interferencia ligado al

ejemplo de dos parlantes emitiendo una misma onda sonora. Hemos permitido que las ondas emitidas por cada parlante tuvieran un desfasaje inicial δ i fijo, producto quizás de algún retardo electrónico, pero no hemos considerado la posibilidad de que δ i pudiera variar con el tiempo. Ahora queremos estudiar lo qué sucede cuando δ i no se mantiene constante en el tiempo.

Fig. 9-9 y

1

1 x2

Interferencia

416

Supongamos, por simplicidad, que tenemos dos ondas planas (por ejemplo sonoras) propagándose en la misma dirección, desfasadas entre sí en un ángulo δ variable en el tiempo, es decir,

( )Ψ1 ( , ) sen .r r rr t A k r t= − ω y ( ))(.sen),(2 ttrkAtr δ+ω−=Ψ rrr 9-34

Consideramos que el desfasaje δ es debido a una diferencia de caminos

recorridos y a la existencia de un desfasaje inicial que no se mantiene constante en el tiempo, o sea,

)(2)( i trt δ+λΔπ=δ 9-35

Como sabemos, la ubicación espacial de los máximos de interferencia se determina a partir de plantear,

( ) ( )δ πλ

δ πtr

t m= + =2 2Δ

i con m∈ Ζ ⇒ 9-36

( )[ ]Δr m t= −λπ

π δ2

2 i 9-37

La ecuación 9-37 determina la ubicación de los hiperboloides de revolución

correspondientes a interferencia constructiva. Esta ecuación difiere de la hallada en la guía anterior en el agregado de una fase inicial dependiente del tiempo. Esta dependencia temporal, de la fase, trae como consecuencia una modificación continua de los hiperboloides, parecida a la que se obtendría si se modificara la distancia entre los parlantes en el tiempo. Si )(i tδ varía muy rápidamente en el tiempo, el fenómeno de interferencia queda completamente borroneado y no identificable como tal. Por lo expuesto, vemos que resulta esencial, para la observación del fenómeno de interferencia, la constancia de la fase en el tiempo.

Decimos que dos fuentes (en este caso dos fuentes sonoras) son coherentes, si mantienen constante en el tiempo su diferencia de fase δ .

En el ejemplo de los parlantes transmitiendo en modo monoaural, resulta fácil mantener la coherencia de las ondas, ya que provienen ambas de una misma señal, amplificada electrónicamente por dos circuitos independientes que en principio no deberían introducir un gran cambio de fase, variable en el tiempo.


417

Coherencia en ondas luminosas: En el caso de las ondas de luz veremos que, la necesidad de coherencia, resulta imprescindible para la observación del fenómeno de interferencia, y que lograr la coherencia entre las ondas es bastante más complejo que en el caso del sonido. En nuestra vida cotidiana, son contados los fenómenos de interferencia que podemos observar, debido a que no contamos con fuentes coherentes de luz. Entre los que sí vemos se hallan los patrones de colores observados en películas delgadas de aceite y en pompas de jabón. Por esta razón es que, en un principio, no existía evidencia suficiente que llevara a pensar que la luz es un fenómeno ondulatorio. Las fuentes de luz a las que estamos más acostumbrados, como el sol, la luna, las estrellas, las velas, las lamparitas eléctricas, los tubos fluorescentes, etc., son todas fuentes de luz extensas (no puntuales) y, por ende, incoherentes. Están formadas por un gran número de átomos excitados, emitiendo cuantos de luz (fotones) más o menos al azar. El fotón (onda-partícula) emitido es, en su faceta ondulatoria, un tren de ondas o paquete de ondas, cuya extensión en el tiempo es de aproximadamente 10 8− seg , y teniendo en cuenta que se propaga en el vacío a una velocidad c km

seg= 300000 , concluimos que tiene una extensión espacial de aproximadamente 3m. Un haz de luz incoherente, se halla formado por infinidad de fotones independientes, cuyas ondas asociadas interfieren sin orden alguno, ya que la fase inicial cambia de emisión a emisión (la emisión de los fotones no guarda una relación temporal fija, se producen completamente al azar). Si se superponen dos fuentes de luz incoherentes distintas, en un punto del espacio, sólo pueden mantener la coherencia en, a lo sumo, 10 8− seg (extensión temporal del fotón), ya que la fase cambia de fotón a fotón, por lo cual, la superposición puede cambiar de constructiva a destructiva, o a cualquier estado intermedio, cada 10 8− seg . Por lo tanto, el posible patrón de interferencia en el espacio (regiones de luz-obscuridad), cambia su ubicación cada 10 8− seg , y por consiguiente resulta imposible observar el fenómeno de interferencia. El Láser:

En el laboratorio la fuente de luz coherente por excelencia es el Láser (Light Amplification by Stimulated Emissión of Radiation). Un haz de luz coherente (láser), se halla formado por infinidad de fotones, cuyas ondas se hallan en fase, superponiéndose constructivamente. El estado coherente no consiste en una superposición de estados individuales independientes, sino que es un estado colectivo (estado cuántico colectivo), indivisible.

Interferencia

418

Algunos tipos de Láser consisten, a grandes rasgos, de una cavidad resonante con espejos en los extremos que obligan a la luz a reflejarse permanentemente, ida y vuelta (uno de los espejos es semiespejado, para permitir la salida del haz). El espacio se llena con átomos excitados (medio activo). Los átomos comienzan a emitir espontáneamente en todas direcciones y sentidos. La mayoría de los fotones salen del sistema, salvo aquellos que se propagan en la dirección longitudinal (ida y vuelta de los espejos). Desde el exterior, continuamente se fomenta (bombea), la excitación de nuevos átomos para que el sistema funcione permanentemente. Esto se logra, en algunos casos, por medio de descargas eléctricas que ionizan al medio activo. La radiación emitida viaja de un extremo al otro de la cavidad estimulando la emisión de los átomos excitados (emisión estimulada). De esta forma, la radiación de cada átomo estimula a otros átomos a irradiar con relaciones de fase que producen interferencia constructiva entre todos los átomos irradiantes, para la radiación en la dirección longitudinal del láser (ida y vuelta de los espejos). Finalmente luego de un transitorio inicial, todos los átomos oscilan en fase, y el sistema de átomos más radiación oscila en un modo normal (estado cuántico coherente), o en un estado en donde participan un número limitado de modos normales (láser multimodo). El número de modos que forman el estado estacionario puede regularse, por ejemplo, variando la longitud de separación entre los espejos. El haz láser resulta una onda coherente, casi plana y cuasimonocromática, generalmente con un ancho de banda de frecuencias extremadamente angosto. Por ser una fuente coherente (luego veremos en el capítulo siguiente), el haz láser se dispersa mucho menos que cualquier otro haz incoherente (por ejemplo, onda saliente de una linterna). Como ejemplo, el haz del láser helio-neón tiene una divergencia de menos de un minuto de arco. El material que forma el medio activo (átomo responsable de la emisión de la radiación) caracteriza al láser. Existen láseres gaseosos, de estado sólido y líquido. Un ejemplo común de láser gaseoso es el Helio-Neón ( nm8,632=λ , rojo), de fácil construcción y de poca potencia. De estado sólido, el Neodimio-Yag ( nm1060=λ , infrarrojo), puede suministrar más de un kilowatt de potencia continua. Ejemplos de láser líquidos o de colorante son aquellos en base a Rodaminas, que pueden ser sintonizados a una frecuencia determinada dentro de un ancho rango de frecuencias. Dependiendo de las características del láser, éste puede funcionar emitiendo en forma continua o en forma de pulsos de duración extremadamente corta. Cabe aclarar que el láser no es una fuente de energía, para su funcionamiento resulta necesario entregar permanentemente energía exterior para excitar el medio


419

activo (bombeo). Sólo una pequeña parte de esa energía forma parte del haz láser, pero concentrada en un haz muy fino. Día a día aumentan las aplicaciones técnicas del láser. Debido a la posibilidad de concentrar grandes cantidades de energía en una zona limitada del espacio, permite su uso como soldador o como perforador (agujeros en diamantes). Se pueden generar densidades de flujo en un haz de láser enfocado de más de 2

1710 mW en

contraste con una lámpara de oxiacetileno que tiene aproximadamente 2310 m

W . Existen láseres capaces de entregar muy alta potencia, del orden de los Gwatt (109 watt ) o Twatt (1012 watt ), en la forma de pulsos que duran varios nanosegundos. Se están usando sistemas de este tipo para intentar producir reacciones de fusión termonuclear. Por su coherencia y por la posibilidad de formar haces muy finos, se lo utiliza para operaciones quirúrgicas tales como: soldado de retinas desprendidas, o destrucción de cálculos biliares. La luz láser se utiliza para leer discos compactos en sistemas de audio o en detección de códigos de barras en los supermercados, el funcionamiento no difiere mucho del de una púa en un viejo tocadiscos. Por su coherencia, es utilizado en sistemas de comunicación, o para la formación de hologramas, etc.. Hoy en día, en muchos negocios del centro de Buenos Aires, se consigue un pequeño diodo Láser del tamaño de un lápiz de labio. Su precio está entre $5 y $10. Está pensado para ser usado como apuntador, pero con él se pueden hacer muchas de las experiencias que estudiaremos en éste y el próximo capítulo.

9-6. Guía teórica. Desfasaje por diferencia de camino óptico:

En las guías teóricas 9-2 y 9-3 hemos analizado el desfasaje δ , que se produce entre dos ondas, debido a una diferencia de camino recorrido 12 rrr −=Δ ,

λΔπ=δ r2 9-38

Ahora analizaremos las posibles desfasajes debidos a que las ondas se propaguen por medios distintos, en el caso de la luz, medios con diferente índice de refracción. Por simplicidad analicemos el ejemplo de dos ondas planas idénticas de frecuencia ω y longitud de onda λ , polarizadas linealmente. Como ejemplo, suponemos que una de las ondas atraviesa un vidrio de espesor λ= 3e e índice de

Interferencia

420

refracción 5,1=n , mientras que la otra continua propagándose por el vacío, ver figura 9-10.

En el ejemplo de la figura 9-10, observamos que a pesar de haber recorrido la misma distancia, las ondas 1Ψ y 2Ψ , se han desfasado en π=δ (media longitud de onda), debido a que dentro del vidrio, la onda 2Ψ tiene una longitud de onda menor que en el vacío, es decir,

nλ=λ′ 9-39

en el ejemplo,

λ=λ=λ=λ′32

5,1n 9-40

Pensándolo intuitivamente, es como sí la onda 2Ψ recorriera una distancia

mayor que la 1Ψ , como sí el índice de refracción 5,1=n fuera un factor que agranda el espesor e (caben más ondas dentro). De acuerdo a esto, el camino “realmente recorrido”, por la onda 2Ψ , que llamamos camino óptico es (ver capítulo 7),

eenCO 5,1.2 == 9-41

y la diferencia de camino óptico entre 1Ψ y 2Ψ resulta:

λ'

vidrio, n=1,5

e=3λ

λ

Ψ1

Ψ2

Figura 9-10: Desfasaje por diferencia de camino óptico. En la figura se muestra el desfasaje producido entre una onda que se propaga en el vacío y otra que atraviesa un vidrio.


421

( )1 12 −=−=−= neeneCOCODCO 9-42

determinando un desfasaje entre las ondas dado por,

λπ=δ DCO2 9-43

en el ejemplo,

( ) ( ) π≡π=λ−λπ=

λ−π=δ 315,1 321 2 ne 9-44

como ya habíamos anticipado a partir de la figura.

9-7. Guía Teórica. Intensidad Luminosa:

Hasta el momento, hemos discutido el fenómeno de interferencia asociado a la superposición de ondas sonoras. Ahora queremos estudiar el fenómeno de interferencia luminosa. Para ello primero, debemos tener en claro que magnitudes podemos observar y medir. La descripción de los fenómenos luminosos no fue completa hasta el advenimiento de la teoría cuántica-electromagnética-relativista (electrodinámica-cuántica). A partir de esta teoría, se postula que la luz se halla formada por cuantos, u ondas-partículas, llamadas fotones. Estas ondas-partículas tienen una energía que resulta proporcional a la frecuencia de la onda asociada, es decir,

hfE = 9-45

un impulso lineal inversamente proporcional a su longitud de onda,

λ= hp 9-46

y un espín intrínseco igual a (el espín es una magnitud cuántica sin correlato en la física clásica, para tener una primera idea se la puede asociar a un impulso angular),

h1=S 9-47

donde segjouleh .10 626,6 34−= es la constante de Plank y π

=2h

h .

Interferencia

422

Se asocia al fotón una masa nula, razón por la cual, se propaga a la misma velocidad ( seg

kmc 300000≅ , en el vacío) en todos los sistemas de referencia (según predice la teoría de la relatividad). Dependiendo de la experiencia que se realiza, los fotones manifiestan su carácter ondulatorio o corpuscular. En este capítulo analizaremos los fenómenos de interferencia de la luz, manifestación clara del carácter ondulatorio del fotón. La tecnología actual permite comprobar también su carácter corpuscular. Detectores especiales, permiten detectar la llegada de un único fotón y medir su energía e impulso lineal. También, se observan colisiones de fotones con otras partículas atómicas y subatómicas, tales como electrones, protones, piones, etc. (estas experiencias se realizan en “cámaras de niebla”), posibilitando medidas muy precisas de transferencia de impulso y energía en cada colisión, como si fueran “simples pelotitas”. De acuerdo a esto, pareciera que resulta necesario tener un conocimiento profundo de la teoría cuántica-relativista para poder entender los fenómenos luminosos. Por suerte, esto no es necesario. Cuando el número de fotones en juego es muy elevado, como sucede en todos los casos que observamos con nuestros ojos, las predicciones de la teoría cuántica electromagnética concuerdan completamente con lo que predice la teoría clásica del electromagnetismo (leyes de Maxwell), donde la luz se describe como una onda electromagnética y sus propiedades corpusculares no son tenidas en cuenta. En el capítulo anterior hemos discutido en detalle la descripción de una onda electromagnética. Hemos afirmado que describe la propagación de un campo eléctrico E

r y uno magnético B

r variando transversalmente respecto a la dirección de

propagación. El campo eléctrico interactúa mucho más fuertemente con la materia que el magnético, por esta razón, es el que nos interesa a nosotros, ya que es el responsable de la sensación luminosa. Nos interesa, en particular, la descripción de las ondas electromagnéticas asociadas a los fenómenos luminosos. El rango de frecuencias ópticas, es decir, el correspondiente al espectro visible de la radiación electromagnética es aproximadamente,

Hz 107,5 a Hz 103,4 1414 ××=f , 9-48

y dentro de este rango, al campo eléctrico comúnmente se lo conoce con el nombre de vector óptico. El campo eléctrico asociado a la onda varía muy rápidamente en el tiempo, por lo cual, resulta una cantidad prácticamente indetectable. Pero sí resulta simple medir la intensidad de la onda luminosa o irradiancia, usando una gran variedad de sensores, por ejemplo, con fotoceldas, emulsiones fotográficas o simplemente con


423

nuestros ojos. Por esta razón, resulta razonable comenzar el análisis del fenómeno de interferencia a través del estudio de la intensidad luminosa. En el capítulo anterior definimos intensidad de la onda luminosa o irradiancia I , como el valor medio temporal de la potencia (en un ciclo), por unidad de área, transportada por la onda. En base a la teoría electromagnética resulta posible probar que la intensidad I resulta proporcional al cuadrado del campo eléctrico (o vector óptico), es decir,

2 EvI ε= 9-49

donde v es la velocidad de propagación de la onda y ε es la permitividad eléctrica del medio y el símbolo significa valor medio temporal (en un ciclo). Por simplicidad, nos olvidaremos de las constantes dependientes del medio, y definimos la intensidad luminosa simplemente como (eligiendo convenientemente las unidades del vector óptico),

2EI = (en 2mwatt ) 9-50

Para fijar ideas, calculemos la intensidad en el ejemplo simple de una onda plana linealmente polarizada, propagándose en la dirección z,

( )tkziEE ω−= cos 0

r 9-51

donde 0E es la amplitud del campo eléctrico (o vector óptico). A partir de 9-50 la intensidad luminosa resulta,

( )2

cos 2022

02 E

tkzEEI =ω−== 9-52

donde hemos usado que ( )21cos2 =ω− tkz .

Intensidad luminosa correspondiente a la superposición de dos ondas coherentes: Queremos estudiar ahora lo que ocurre con la intensidad cuando se superponen dos o más ondas luminosas. Por nuestra experiencia anterior intuimos que, la intensidad resultante no corresponde a la suma de las intensidades individuales. Comprobemos esta última afirmación.

Interferencia

424

La onda electromagnética es solución de una ecuación diferencial lineal, homogénea, de segundo orden -la ecuación de ondas-. Vimos en capítulos anteriores que, debido a la linealidad de la ecuación de ondas, se satisface el principio de superposición. Según el principio de superposición, si tenemos varios campos (

r rKE E1 2, , ),

provenientes de distintas fuentes en un punto P del espacio, el campo eléctrico resultante (

rE ), resulta igual a la suma vectorial de los campos individuales, o sea,

r r r

KE E E= + +1 2 . 9-53

Analicemos ahora lo que ocurre con la intensidad de la onda. Por simplicidad, consideremos el ejemplo de la superposición de dos ondas coherentes, planas, linealmente polarizadas, de la misma frecuencia, propagándose en la misma dirección (z),

t)-z( cos ),( 011 ω= kEtrErrr

y )+t-z( cos ),( 022 δω= kEtrErrr

9-54

donde 01Er

y 02Er

son vectores que determinan la amplitud y polarización de los campos, y δ es el desfasaje entre las ondas, debido a diferencia de camino o fase inicial. El campo eléctrico total, en un punto P genérico del espacio de coordenada rr , resulta,

),(),(),( 21 trEtrEtrE rrrrrr+= 9-55

A partir de 9-55 calculamos la intensidad luminosa,

( ) 2221

21

2221

21

221

2 .2.2 EEEEEEEEEEEI ++=++=+==rrrrrrr

9-56

vemos entonces que,

2121 IIII ++= 9-57

donde 1I e 2I son las intensidades individuales de cada una de las ondas, mientras que hemos definido al término de interferencia 12I como,

2112 .2 EEIrr

= 9-58


425

Este término es el responsable de que la intensidad luminosa resultante difiera de la suma de las intensidades individuales. Calculemos el término de interferencia para el ejemplo de las dos ondas planas 9-54,

)+t-z( cos t)-z( cos .2.2 02012112 δωω== kkEEEEIrrrr

9-59

usando que,

( ) ( )δω+δω=δω t)sen-z(sent)cos-z( cos)+t-z( cos kkk 9-60

y que (verifique),

21 t)-z( cos2 =ωk y 0 t)-z(sen t)-z( cos =ωω kk 9-61

y reemplazando en 9-59, obtenemos,

)cos( . 020112 δ= EEIrr

9-62

A partir de la expresión 9-62 comprobamos que, si los campos están linealmente polarizados pero en direcciones perpendiculares entre sí, el término de interferencia es nulo. En muchos ejemplos físicos de interés, resulta buena la aproximación de considerar que las ondas llegan al punto P con sus campos eléctricos paralelos

0201 // EErr

. Dentro de esta aproximación, es posible realizar un tratamiento escalar del problema, y la expresión 9-62 se simplifica,

)cos( 020112 δ= EEI 9-63

Podemos escribir la intensidad total en forma más conveniente observando que,

2

2012

11E

EI == y 2

2022

22E

EI == 9-64

Reemplazando 9-64 en 9-63, podemos escribir (para el caso escalar),

δ++= cos 2 2121 IIIII 9-65

Interferencia

426

Sobre la base de la expresión anterior resulta simple analizar el fenómeno de interferencia. El valor máximo de la intensidad (interferencia constructiva) se obtiene cuando ( ) 1cos =δ , es decir,

2121 2 IIIII max ++= sí δ π π= ± ±0 2 4, , ,K 9-66

Mientras que el mínimo de intensidad se obtiene cuando ( ) 1cos −=δ , o sea,

2121 2 IIIII min −+= sí δ π π π= ± ± ±, , , ......3 5 9-67

Para cualquier desfasaje intermedio, la intensidad se halla entre estos dos valores. Como caso particular importante, sí las dos ondas que llegan a P , tienen la misma intensidad 021 III == , la ecuación 9-65 puede reescribirse como (verifique),

( )I I I= + =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟2 1 4

20 02 cos cosδδ

9-68

y las intensidades máximas y mínimas son,

04II max = y 0mín =I 9-69

Notamos que, en este caso, se obtienen zonas del espacio en donde la interferencia resulta completamente destructiva (zonas de completa obscuridad). Intensidad luminosa correspondiente a la superposición de dos ondas incoherentes: Si las ondas que se superponen no guardan coherencia, no se observa el fenómeno de interferencia. Esto se manifiesta en que la intensidad total es simplemente la suma de las intensidades individuales, anulándose el término de interferencia, es decir,

I I I= +1 2 9-70 y

I12 0= 9-71 En el ejemplo de las ondas planas, el término de interferencia I12 dado en la ecuación 9-59, se anula debido a que las fases de cada onda varían muy rápidamente


427

en el tiempo sin guardar coherencia, por lo cual, su valor medio temporal resulta cero, es decir,

( ) ( )( )I E E E E kz t kz t t12 1 2 01 022 2 0= = − − + =r r r r

. . cos cosω ω δ 9-72

9-8. Guía teórica. Interferencia en películas delgadas:

Un ejemplo cotidiano del fenómeno de interferencia, es la formación de patrones coloreados en pompas de jabón y en películas delgadas de aceite o combustible flotando en el agua. Este fenómeno lo observamos fuera del laboratorio, donde las fuentes de luz son extensas (no puntuales) e incoherentes (sol, lámparas, etc.). La interferencia se produce entre la onda que se refleja en la superficie superior de la película y la que, luego de haberse transmitido, se refleja en la superficie inferior de la película. Si la película es lo suficientemente delgada (del orden de la longitud de onda de la luz con que se ilumina), las dos ondas guardan coherencia entre sí, es decir, mantienen su diferencia de fase constante en el tiempo, y por esta razón, resulta posible la observación del fenómeno de interferencia. En estos ejemplos cotidianos, las fuentes de luz son extensas. Para entender lo que esto implica, analicemos el ejemplo de una película delgada de aceite iluminada con luz proveniente de un tubo fluorescente. Las ondas provenientes de distintos puntos del tubo llegan con distinto ángulo de incidencia a la película de aceite, ver figura 9-11.

Película de aceite

Tubo fluorescente

Figura 9-11: Fuente extensa. La luz es incoherente y proviene desde diferentes puntos de la fuente.

Interferencia

428

Esto complica el análisis de la situación, por ello vamos a analizar la propagación de cada onda, con dirección definida, por separado. Comenzamos analizando la situación que se muestra en la figura 9-12, donde hemos considerado que la película de aceite tiene un espesor uniforme y que debajo de ella existe una capa de aire encerrada.

La onda viaja por el aire (medio poco denso 1≅n ) e incide sobre la superficie superior de la película de aceite (medio denso 1>n ) con un ángulo iθ . Parte se refleja (onda 1Ψ ) y parte se refracta. La onda reflejada sufre un desfasaje en π radianes (media longitud de onda) respecto de la onda incidente, debido a la reflexión en un medio más denso, mientras que la onda transmitida no sufre ningún desfasaje. Posteriormente la onda transmitida en el aceite vuelve a reflejarse en la superficie inferior. En este ejemplo, hemos considerado que, encerrada por la película de aceite, existe una delgada capa de aire, por lo cual, no se produce un desfasaje adicional en la onda reflejada en la superficie inferior, debido a que la onda proviene de un medio más denso (aceite). Distinta sería la situación si debajo de la película de aceite hubiera un medio más denso que el aceite (el lector puede repetir todo el razonamiento para este caso). La onda reflejada en la superficie inferior incide sobre la superior, y parte de ella se transmite al aire (onda 2Ψ ), propagándose paralelamente a la primera onda

Ondas paralelas, se superponen en un punto del plano focal

Ψ2

Ψ1

n

Capa de aire debajo de la película de aceite

θi

P1 Onda incidente

Ojo

Aire

π

e Aceite

Agua

Figura 9-12: Película de aceite flotando en el agua.


429

reflejada en la superficie superior (onda 1Ψ ), ver figura 9-12. Si la película es lo suficientemente delgada (del orden de la longitud de onda de la luz), 1Ψ y 2Ψ son coherentes entre sí, ya que, las ondas reflejadas y transmitidas se originan en reemisiones de los átomos del medio, estimuladas o inducidas por la onda incidente. Por ser paralelas, no esperamos que formen ninguna imagen de interferencia real, pero si observamos con nuestro ojo (lente convergente), ambas ondas convergen en un mismo punto 1P sobre el plano focal ubicado en la retina (ojo enfocado al infinito). Dependiendo de la diferencia de camino óptico, pueden interferir constructivamente, destructivamente o en situación intermedia. Por simplicidad, calculemos la diferencia de camino óptico, para el caso en que el ángulo de incidencia iθ es lo suficientemente chico (incidencia casi vertical), como para que la distancia recorrida por la onda dentro de la película de aceite (ida y vuelta) pueda aproximarse por e 2 , ver figura 9-13. Queda como ejercicio para el lector hacer el cálculo exacto.

Dentro de esta aproximación, la diferencia de camino óptico entre las ondas 1Ψ y 2Ψ resulta ser simplemente,

enDCO 2 = 9-73

Suponiendo que la onda incidente es una onda plana de longitud de onda λ , tendremos un desfasaje δ originado en la diferencia de camino óptico y el salto en π radianes (media longitud de onda) producido en la primer reflexión, dado por,

π−λ

π=π−λ

π=δ enDCO 2 22 9-74

e n

Capa de aire debajo de la película de aceite

e Aceite e

Aire

Figura 9-13: Película de aceite. Diferencia de caminos entre las ondas eflejadas en la primera y en la segunda superficie.

Interferencia

430

Note que hemos restado π y no sumado (aunque no tiene importancia), esto se debe a que la onda 1 se desfasa en π , y el desfasaje δ lo hemos definido como la diferencia de fases entre la onda 2 y la onda 1, o sea,

12 φ−φ=δ 9-75

A partir de 9-74 concluimos que, dependiendo de la relación existente entre la longitud de onda λ y el espesor de la película de aceite e las ondas interfieren de diferente manera. Interfieren constructivamente si δ es un múltiplo de π2 , es decir,

π=π−λ

π=δ 2 2 2 men donde m∈ ≥Ζ 0 9-76

(piense porque m ≥ 0), despejando el espesor,

( ) ( )4

12 4

12 λ′+=λ+= mn

me 9-77

donde nλ=λ′ es la longitud de onda dentro de la película de aceite.

A partir de la ecuación 9-77, concluimos que las ondas interfieren constructivamente si el espesor e resulta ser un múltiplo impar ( 12 +m ) de un cuarto

de longitud de onda 4λ′ , lo cual es lógico, ya que entonces en el ida y vuelta ( e2 ) de

la onda, hay un múltiplo impar de media longitud de onda 2λ′ , más el salto en media

onda que se produce en la primera reflexión, resulta que las ondas llegan en fase. Resumiendo, si el espesor de la película es justamente un múltiplo impar de

4λ′ , entonces en el punto 1P sobre la retina tenemos un máximo de intensidad.

Interfieren destructivamente si δ es un múltiplo impar ( 12 −′m ) de π , es decir,

π−′=π−λ

π=δ )12( 2 2 men donde ′ ∈ ≥m Ζ 0 9-78


431

(piense porque ′ ≥m 0), despejando el espesor,

2

2 λ′′=λ′= m

nme 9-79

A partir de la ecuación 9-79, concluimos que las ondas interfieren

destructivamente si el espesor e resulta ser un múltiplo de media longitud de onda

2λ′ , lo cual es lógico, ya que entonces en el ida y vuelta ( e2 ) de la onda, hay un

múltiplo de longitud de onda λ′ , más el salto en media onda que se produce en la primera reflexión, resulta que las ondas llegan en contrafase (desfasadas en media longitud de onda).

Resumiendo, si el espesor de la película es justamente un múltiplo de 2λ′ ,

entonces, en el punto 1P sobre la retina, tenemos un mínimo de intensidad, que no es total obscuridad debido a que las ondas no tienen igual intensidad. Note que el desfasaje δ depende de la longitud de onda (color), por lo cual, si por ejemplo, el espesor de la película es tal que la luz roja ( nmR 780=λ ) produce una interferencia constructiva, es fácil demostrar y sugiero que lo haga que, la luz violeta ( nmV 390=λ ) interfiere destructivamente, los demás colores tienen comportamientos intermedios, por lo cual, en este ejemplo el rojo resulta ser el color predominante en el punto 1P . En la figura 9-12, mostramos a la onda incidiendo con un ángulo iθ en un determinado plano de incidencia (el plano de la hoja). Si las ondas provienen de una fuente extensa (ver figura 9-11) pueden llegar, con el mismo ángulo iθ , pero en diferentes planos, por lo cual, convergen en la retina del ojo en otros puntos P distintos al 1P . La unión de todos esos puntos, forman líneas o franjas de luz coloreadas, en el ejemplo anterior, rojizo. Por ser una fuente extensa, las ondas pueden incidir con diferentes ángulos iθ sobre la película, de esta forma (fuera de la simple aproximación de incidencia casi vertical), la diferencia de camino óptico entre las ondas depende del ángulo de incidencia, y por consiguiente, el desfasaje resulta distinto para distintos ángulos iθ . Debido a esto, se forman franjas de máxima y mínima intensidad correspondientes a los diferentes iθ . Es más, para cada ángulo de incidencia algún color en especial resulta beneficiado por la interferencia constructiva, por lo cual las franjas son coloreadas.

Interferencia

432

El ojo humano representa una abertura pequeña para visualizar completamente el fenómeno, ya que sólo un pequeño rango de ángulos de incidencia pueden penetrar en él, sobre todo si está lejos de la película (ver figura 9-14), por este motivo pueden verse muy pocas franjas, en general sólo una (para películas de igual espesor).

Para observar los fenómenos descriptos resulta importante que la película sea delgada, por dos razones principales: para asegurar la coherencia entre las ondas reflejadas en ambas superficies, y para que no sea mucha la diferencia entre las intensidades de ambas ondas, ya que en películas gruesas resulta mayor la absorción de la onda. ¿Por qué tenemos en cuenta sólo la primera reflexión?. Película delgada en forma de cuña (espesor variable). Los diversos colores que se ven en una película de aceite flotando en el agua, a simple vista, en general no se deben a los diferentes ángulos de incidencia sino que son debidos a las diferencias de espesor de la película, cada espesor privilegia alguna longitud de onda en especial. El patrón de franjas coloreadas, es decir, la separación entre las franjas y sus colores respectivos, resulta una representación topográfica de las diferencias microscópicas en el ancho de la película. Para entender el fenómeno analicemos el ejemplo simple de una película de aceite (o detergente) en forma de cuña como se muestra en la figura 9-15.

Ojo

Ondas incidentes que logran entrar en el ojo

Figura 9-14: Película de aceite. Sólo algunos rayos pueden llegar al ojo, por esta razón se ve sólo una franja.


433

Consideramos al ángulo θ lo suficientemente pequeño como para aproximar

al espesor por,

( )e x tan x= ≅ θ θ 9-80

A partir de la figura y de la ecuación 9-80, vemos que para cada posición x, existe un espesor distinto y, como sabemos, cada espesor privilegia alguna longitud de onda en especial. Analicemos primero el caso en que iluminamos, no con luz blanca sino, con luz monocromática de longitud de onda λ . A partir de las ecuaciones 9-77 y 9-80 podemos hallar las posiciones x en donde el espesor es tal que la onda interfiere constructivamente (en esta configuración), es decir,

( )e x m= = +′

4

θλ

2 1 ⇒ ( )x m 4

= +′

2 1λθ

con m∈ ≥Ζ 0 9-81

A partir de esta ecuación, dándole valores enteros mayores o iguales a cero a

m, obtenemos las posiciones x en donde la interferencia resulta constructiva, para esta longitud de onda. Cada valor de m determina la ubicación de las franjas (ver figura 9-16).

x

n

xθ e=x tang(θ)

Aire

Capa de aire

Figura 9-15: Película de aceite en forma de cuña. La interferencia de los rayos reflejados, en la superficie superior y la inferior, produce las franjas coloreadas características de las manchas de aceite.

Interferencia

434

La ubicación de las primeras franjas (ordenes de interferencia), son,

x para m orden

x para m primer orden

x para m segundo orden

etc

0

1

2

0 0

1

2

=′

=

=′

=

=′

=

4

34

54

λθλθλθ

( )

( )

( )

.

9-82

Note que las franjas son rectas y paralelas entre sí, ya que quedan

determinadas por las zonas con igual espesor (múltiplos impares de ′λ

4),

constituyendo un mapa topográfico de la película. No todas las franjas tienen la misma intensidad, las más visibles son las que corresponden a espesores menores, ya que cuando el espesor aumenta, la onda que se transmite en la película pierde intensidad por absorción del material y a mayor espesor se pierde la coherencia. La separación entre franjas es,

θλ′=Δ2

x 9-83

La expresión 9-83 permite, por ejemplo, conociendo el espaciamiento entre las

franjas Δx y el ángulo θ, calcular la longitud de onda λ , o iluminando con una onda, de longitud de onda conocida, hallar el ángulo. Note que si el ángulo θ es demasiado grande las franjas se hallan muy juntas, por lo cual, no se aprecia el fenómeno, se observa todo iluminado.

Ubicación de Franjas de máxima intensidad.

m=0 m=1

Figura 9-16: Película de aceite en forma de cuña. Las líneas obscuras identifican la ubicación de las franjas de máxima intensidad.


435

Los mínimos de interferencia se hallan ubicados entre dos máximos consecutivos. Para comprobar esto, a partir de las ecuaciones 9-79 y 9-80 podemos hallar las posiciones x en donde, el espesor es tal que, la onda interfiere destructivamente,

e x m= = ′′

2

θλ

⇒ x m 2

= ′′λθ

con ′ ∈ ≥m Ζ 0 9-84

dándole valores enteros a ′m , obtenemos las posiciones en donde la interferencia resulta destructiva (obscuridad), para esta longitud de onda,

.

2

1 2

0 0

2

1

0

etc

mparax

mparax

mparax

=′′

=

=′′

=

=′=

θλθλ

9-85

Note que en el vértice de la cuña (x = 0) hay una franja obscura (en este caso). Si en lugar de existir una capa de aire debajo de la cuña, hubiera un medio más denso, se produciría otro desfasaje en π, de esta forma, se intercambiarían las ubicaciones entre máximos y mínimos y, en particular, en x = 0 existiría una franja iluminada. Si en lugar de iluminar con luz monocromática, de longitud de onda definida, iluminamos con luz blanca, se forma un patrón de franjas (como el mostrado en la figura 9-16) para cada color, por lo cual, se forman muchos “arco iris”, uno para cada orden. La ubicación de las franjas de interferencia constructiva depende del color, la primera franja iluminada es de color violeta, ya que es la de menor longitud de onda (del visible), y por consiguiente, se halla ubicada más cerca del vértice de la cuña, es decir,

x xvioletavioleta

rojorojo

4 4=

′< =

′λθ

λ

θ para m = 0 (orden cero del violeta)

mientras que la franja más alejada corresponde al rojo. El patrón de colores (“arco iris”) se repite para los diferentes ordenes.

Interferencia

436

Como ejemplo, analicemos lo que ocurre con un aro de alambre que se introduce en agua con detergente. Sugiero que se construya uno con un alambre y observe. Como queremos observar sólo las reflexiones de la luz (blanca) en la película jabonosa, no la luz que se transmite desde atrás hacia nuestros ojos, resulta conveniente poner detrás del aro una superficie negra opaca (cartulina, sartén, etc.). Colocamos al aro en forma vertical al piso. Debido a la acción de la gravedad, la parte superior de la película tiende a tener espesor “nulo” mientras que en la inferior el espesor resulta mayor, formándose algo muy parecido a una cuña de material jabonoso. A medida que transcurre el tiempo el material se va depositando en el fondo, mientras que la parte superior se hace cada momento más fina hasta que se corta. Por esta razón, veremos que las franjas caen a medida que transcurre el tiempo. La parte superior de la película no refleja casi nada, se ve transparente, ya que allí la película tiende a tener un espesor “nulo”, de modo que la diferencia de fase tiende a ser sólo los π radianes producto de la reflexión en la primera superficie y, por consiguiente, las dos ondas reflejadas se destruyen casi completamente entre sí. El espesor crece hacia abajo, por consiguiente comienzan a observarse las franjas coloreadas, primero la violeta, luego la azul, hasta llegar al rojo y comenzar nuevamente en violeta para el orden siguiente (ver figura 9-17, imagínese los colores, ¡éramos tan pobres!). En la parte inferior, el espesor es mayor por lo cual las franjas no se ven tan nítidas y la superficie se ve blanca. Recordar que cuando el espesor aumenta, la onda que se transmite en la película pierde mayor intensidad por absorción del material. En la figura 9-17 mostramos una pompa de jabón en un aro de alambre, note que tanto arriba como a la derecha el espesor es casi nulo por lo cual las ondas interfieren destructivamente y no vemos la reflexión (gracias al Ing. Nicolini por prestarnos la cámara y al Dr. Page por sostener el alambre).


437

El hecho de que una película de espesor “casi nulo” resulte completamente transparente y no refleje luz, tiene aplicaciones técnicas en la fabricación de superficies antirreflejos. Si las películas poseen espesores variables, el patrón de franjas resulta complejo, las franjas representan zonas de igual espesor (mapa topográfico). Si iluminamos con luz monocromática, resulta posible medir el espesor de la película en cada zona, a partir de la observación del espaciamiento entre franjas (ver ecuación 9-83). Este método es utilizado en controles de calidad de vidrios, lentes y otros materiales de uso científico y tecnológico. Si juntamos dos portaobjetos (vidrio delgado), uno encima del otro, una fina capa de aire queda en general atrapada entre ellos. Si con un lápiz presionamos sobre un punto cualquiera del portaobjetos, podemos observar la aparición de franjas circulares llamadas comúnmente anillos de Newton (trate de observarlas). En este ejemplo, es el aire atrapado el que juega el papel de película delgada, y debido a la forma en que presionamos en un punto, su espesor aumenta radialmente, siendo constante sobre círculos centrados en el punto de presión. Por esta razón las franjas son circulares, ya que se localizan sobre las zonas de igual espesor (mapa topográfico).

Figura 9-17: Pompa de jabón formada en un aro de alambre (sostenido verticalmente). Observe la formación de franjas (imagine los colores). La zona obscura de la derecha, corresponde a una región con espesor menor que las longitudes de onda de la luz (blanca), por lo cual, las ondas reflejadas en ambas superficies interfieren destructivamente, eliminando el reflejo.

Interferencia

438

9-9. Repita el análisis anterior (para un aro de alambre que se introduce en agua con detergente), pero ahora analizando lo que sucede con la luz que proviene desde atrás de la pompa de jabón (luz transmitida). 9-10. (Recomendado). Una película de detergente ( 32.1=n ) de espesor e, flota en agua. Se ilumina casi normalmente con luz monocromática de nm700=λ . Elija el espesor para que se observe una franja brillante por reflexión. 9-11. (Recomendado). Una gota de aceite (n = 1 22, ) flota sobre agua (n = 1 33, ), sin encerrar capa de aire. Se observa luz reflejada desde arriba, ver figura 9-19. ¿Cuál es el espesor de la gota en el punto en donde se observa la segunda franja roja, contando desde el borde de la gota?. Suponga un valor promedio para la longitud de onda correspondiente al rojo λ = 650nm. Resp. nme 266= 9-12. (Repaso). Es posible formar una película delgada de aire, en forma de cuña, con la ayuda de dos portaobjetos entre los que se interpone una delgada tira de papel, ver figura 9-20.

Agua (n=1.33)

e Aire

detergente (n=1.32)

Fig. 9-19 ojo

Aceite

Agua

Fig. 9-18


439

Se ilumina con luz roja de longitud de onda λ = 700nm, incidiendo normalmente sobre la superficie del vidrio, y se observan franjas de interferencia producidas por reflexión. a) Las franjas aparecen debido a la formación de una cuña de aire y no debido a

reflexiones en los vidrios, debido a que estos son suficientemente anchos. Explique por qué sucede así y discuta.

b) La primera franja, próxima al punto de contacto, ¿es obscura o brillante?. Justifique.

c) Si se observan 5 franjas brillantes por centímetro ¿cuál es el ángulo θ de la cuña?. d) Halle la posición de cada orden correspondiente a interferencia constructiva. e) Repita lo hecho pero ahora analizando, no la luz reflejada sino, la luz transmitida

hacia abajo (su ojo se halla debajo de los portaobjetos). 9-13. Anillos de Newton:

En la guía teórica 9-8, comentamos que si presionamos con un lápiz dos

portaobjetos superpuestos, se produce un patrón de franjas circulares llamadas anillos de Newton. Esto mismo se puede lograr en el laboratorio con un dispositivo formado por una lente esférica, de radio R cm= 5 , apoyada en un vidrio plano, ver figura 9-21.

Figura 9-21: Dispositivo para observar los anillos de Newton. r

Ψ1Ψ2

Onda incidente

ojo

R

θ

Fig. 9-20

Interferencia

440

El aire que habita entre la lente y el vidrio hace las veces de cuña delgada, y lo que esperamos ver es la interferencia entre las ondas Ψ1 y Ψ2 mostradas en la figura. Por la simetría de la lente, observando las ondas reflejadas (ángulo de incidencia pequeño), esperamos ver franjas circulares de máxima intensidad, cuyos radios r queremos calcular. Este dispositivo se utiliza comúnmente para evaluar la calidad de la lente. Si iluminamos con luz monocromática, de longitud de onda λ = 590nm (luz amarilla de sodio), a) Halle la diferencia de camino óptico entre las ondas 1Ψ y 2Ψ , en función del radio

r.

Resp. [ ]DCO R R r RrR

= − − = − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟2 2 1 12 2

2

2

b) Para los ordenes de interferencia más bajos se cumple que r R<< . Sobre la base de esto haga un desarrollo en Taylor y muestre que la diferencia de camino óptico puede aproximarse por,

Resp. DCO RrR

RrR

rR

= − −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ ≅ − −

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =2 1 1 2 1 1

12

2

2

2

2

2

c) Halle los radios de los anillos brillantes correspondientes a los máximos de interferencia.

Resp. ( )r R mm = +2 12λ

d) Halle los radios de los anillos obscuros correspondientes a los mínimos de interferencia.

Resp. r R mm = ′λ e) ¿El punto central de los anillos es brillante u obscuro?. Justifique. 9-14. Guía Teórica. Interferómetro de Young:

Hasta el siglo XVIII existían dos teorías, en pugna, sobre la naturaleza de la luz, la corpuscular, encabezada por Newton y la ondulatoria, propuesta por Huygens. En el año 1801 el físico y médico Thomas Young ideó un dispositivo que le permitió demostrar concluyentemente la naturaleza ondulatoria de la luz (luego en el siglo XX, la teoría cuántica “le dio la razón a ambos grupos”). Young hizo pasar luz monocromática (plana) a través de dos pequeños orificios muy juntos. Cada orificio, se comportaba como una nueva fuente de ondas “esféricas”, coherentes entre sí. Las ondas provenientes de cada orificio se


441

superponían sobre una pantalla formando un patrón de zonas brillantes y obscuras, propio de un fenómeno de interferencia ondulatorio. La experiencia de Young es conceptualmente equivalente a la experiencia analizada, en la guía teórica 9-3, de los dos parlantes emitiendo coherentemente. Los dos orificios hacen las veces de parlantes emitiendo ondas “esféricas”, las ondas emitidas por los orificios resultan coherentes debido a que se originan a partir de una misma onda que incide sobre ambos (orificios muy juntos). Como en el caso de los parlantes, los máximos de intensidad se ubican sobre superficies hiperboloides de revolución, formadas por todos los puntos del espacio en donde la diferencia de camino entre las ondas, provenientes de cada orificio, es un múltiplo de λ (ver figura 9-8 de la guía teórica 9-3). La diferencia es que ahora es posible ver el fenómeno, y no escucharlo. Sobre la pantalla observamos zonas brillantes (máximos de interferencia) y obscuras (mínimos de interferencia), ver figura 9-22. Hemos afirmado que al incidir una onda plana sobre un pequeño orificio, éste se comporta como nueva fuente de ondas “esféricas”. Esto por supuesto es sólo una aproximación, ya que en realidad la onda emitida resulta más intensa en la dirección frontal, menos intensa hacia los costados y nula hacia atrás, la intensidad no es igual en todas las direcciones. Si quisiéramos calcular exactamente la forma en que se distribuye la intensidad, emitida por cada orificio, deberíamos apelar a la teoría electromagnética de la luz, o sea, a las leyes de Maxwell del electromagnetismo, lo cual resulta extremadamente dificultoso hasta para un experto. Por esta razón, apelamos a la imagen que nos brinda el principio de Huygens-Fresnel (aproximación). Recordemos que el principio de Huygens-Fresnel establece que cada punto de un frente de ondas se comporta como un emisor de ondas esféricas. Un defecto importante de este principio es que, si cada emisor emite uniformemente en todas direcciones, además de generar una onda que viaja hacia adelante, genera una onda que viaja hacia atrás, hacia la fuente, la cual no se observa en la naturaleza. Este principio luego fue revisado por Kirchhoff para que concuerde con lo predicho por las leyes del electromagnetismo, propuso que la intensidad emitida no es la misma en todas las direcciones, es más intensa hacia adelante y nula hacia atrás. Si una onda plana incide sobre un orificio puntual (abertura infinitesimal), resulta una buena aproximación apelar al principio de Huygens-Fresnel y suponer que el punto se comporta como una nueva fuente de ondas esféricas hacia adelante, siempre y cuando analicemos el fenómeno lejos del orificio (ver figura 9-22). Luego en el capítulo siguiente, estudiaremos los extraños fenómenos que aparecen cuando el orificio no es puntual (fenómeno de difracción).

Interferencia

442

La figura 9-22 podría también representar ondas en el agua, originadas al colocar un obstáculo con dos orificios pequeños, las zonas brillantes corresponderían a zonas en donde la amplitud de oscilación es máxima, hecho que puede comprobarse colocando un pequeño corchito que se mueva al son de la onda. En el laboratorio, para visualizar mejor el fenómeno, la experiencia de Young se hace con dos rendijas finas, muy juntas, en lugar de orificios. Se ilumina con una fuente de luz coherente (láser), monocromática y de longitud de onda λ (aunque también se puede iluminar con luz blanca, ver el ejercicio 9-22). La fuente está lo suficientemente lejos como para considerar que sobre las rendijas incide una onda plana (por ejemplo de luz láser). Como consecuencia, sobre una pantalla se observa la formación de un patrón de franjas, tal como se muestra en la figura 9-23.

Fuente puntual coherente, en ∞

Pantalla lejana Orificios Puntuales

Onda Plana

Ondas esféricas

Zona Brillante

Zona Obscura

Figura 9-22: Experiencia de Young. Los orificios se comportan como nueva fuente de ondas esféricas coherentes entre sí. Las ondas interfieren formando un patrón de máximos y mínimos de intensidad, sobre una pantalla lejana.


443

Este dispositivo, además de confirmar la naturaleza ondulatoria de la luz, permite determinar la longitud de onda de la onda incidente, a partir de medir la ubicación de las franjas sobre la pantalla. En general a este tipo de dispositivos se los conoce con el nombre de Interferómetros, luego discutiremos en mayor detalle sobre su utilidad en el estudio de la estructura atómica de los elementos.

¿Cómo puede lograr una fuente puntual en el infinito, sin utilizar el láser?, discuta.

Ubicación de las franjas sobre una pantalla (lejana): Queremos estudiar el patrón de interferencia (franjas brillantes y obscuras) que se forma sobre una pantalla, ubicada a una gran distancia del arreglo, cuando se ilumina con una onda plana, monocromática de longitud de onda λ , un arreglo de dos rendijas puntuales (espesor infinitesimal), separadas entre sí una distancia d (del orden de λ ), como se muestra en la figura 9-24. De acuerdo al principio de Huygens-Fresnel, podemos intuir que si las rendijas puntuales fueran de largo infinito, se comportarían como emisores de ondas “cilíndricas” (en lugar de esféricas como sucede en el caso de orificios puntuales). Claramente las rendijas no poseen una longitud infinita, pero si son lo suficientemente largas respecto de la longitud de onda λ , resulta buena la aproximación de considerarlas fuentes coherentes de ondas cilíndricas, siempre y cuando observemos el fenómeno de interferencia sobre una pantalla muy alejada (en el infinito). Hallemos ahora la ubicación de las franjas. Dado un punto P cualquiera sobre la pantalla, debemos determinar la diferencia de camino recorrido por las ondas, provenientes de cada rendija, ver figura 9-24.

Franjas brillantes

Pantalla lejana Rendijas finas.

Fuente en el ∞

Onda Plana de longitud de onda λ

Figura 9-23: Experiencia de Young. Formación de un patrón de franjas sobre la pantalla.

Interferencia

444

En la figura 9-24 se identifica la diferencia de camino Δr en función del ángulo θ , que determina el punto P sobre la pantalla. Si la pantalla se halla muy lejos de las rendijas ( L d>> ), entonces, resulta una buena aproximación considerar que las rectas que unen las rendijas al punto P son paralelas. Sobre la base de esta aproximación, podemos calcular la diferencia de camino como,

( )Δr d≅ sen θ 9-86

y el desfasaje δ entre las ondas resulta,

( )θλπ≅

λΔπ=δ sen22 dr

9-87

Las franjas brillantes se hallan ubicadas en aquellos lugares, de la pantalla, en donde se satisface que la diferencia de camino Δr es un múltiplo de la longitud de onda λ , es decir,

Δr m= λ con m∈ Ζ 9-88

A partir de 9-86 y 9-88 obtenemos la ubicación angular de los máximos de interferencia,

( )sen θλ

≅md

con m∈ Ζ 9-89

y

y

L>>d Δr

θ θ

P r1

r

r2 d

λ

Figura 9-24: Experiencia de Young. Diferencia de camino recorrido por las ondas, al llegar a un punto P genérico.


445

Por supuesto, para los máximos de interferencia, el desfasaje entre las ondas es un múltiplo de 2π ,

( ) π=θλπ=δ 2 sen2 md 9-90

Los mínimos de interferencia se hallan ubicadas en aquellos lugares, en donde se satisface que la diferencia de camino Δr es un múltiplo impar de media longitud de onda λ , es decir,

Δr m= ′ +( )2 1 2λ

con ′ ∈m Ζ 9-91

A partir de 9-86 y 9-91 obtenemos la ubicación angular de los mínimos de interferencia,

( )sen θλ

≅ ′ +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟m

d12

con ′ ∈m Ζ 9-92

En este caso, el desfasaje entre las ondas es un múltiplo impar de π ,

( ) ( ) π+′=θλπ=δ 12sen2 md 9-93

Cuando L d>> , el ángulo θ resulta lo suficientemente pequeño como para aproximar ( )sen θ θ≅ , entonces los ángulos en donde se ubican las franjas brillantes pueden aproximarse por,

θλ

m ≅md

con m∈ Ζ 9-94

El coeficiente entero m numera a las franjas, por ejemplo, m = 0 corresponde a la franja central ( 0=θ ), llamado orden cero, mientras que los valores m = ±1 corresponden a las primeras franjas, a los costados de la central, llamados orden 1. Dándole otros valores a la constante m, obtenemos los ordenes superiores. En la figura 9-25 se muestra, de frente, la pantalla iluminada, identificando el ángulo correspondiente y el valor del entero m que fija el llamado número de orden de interferencia.

Interferencia

446

El apartamiento angular entre dos franjas resulta simplemente,

Δθ= − ≅θ θλ

m+1 m d

9-95

El fenómeno de interferencia puede observarse si las franjas se distinguen una

de las otras, y eso ocurre si Δθ es suficientemente grande. A partir de la ecuación 9-95 concluimos que, para que el fenómeno resulte visible, la distancia d de separación entre las rendijas debe ser del orden, o menor, que la longitud de onda,

d ≈ λ 9-96

Para la luz visible (λ = 400 700 a nm), la distancia entre rendijas debe ser del orden del micrón ( m610− ).

Note que hemos hallado que la separación entre franjas es la misma para todas las franjas. Esto resulta así debido a las aproximaciones hechas, ya que como sabemos, las franjas rectas y equiespaciadas que hemos hallado son en realidad curvas determinadas por la proyección de los hiperboloides sobre la pantalla lejana.

θ λ= d θ λ= 2 d θ λ= − d θ λ= −2 d

m=−2 m=−1 m=0 m=1 m=2

z

θ 0=θ

Figura 9-25: Experiencia de Young. Patrón de franjas iluminadas, formadas sobre una pantalla. La central corresponde al orden cero.


447

La posición (coordenada .y) sobre la pantalla de los diferentes ordenes, en la aproximación de ángulos pequeños, resulta (ver figura 9-24),

( ) ( )y L L mLdm m m = ≈ =tg senθ θ λ 9-97

De aquí podemos hallar la distancia que separa dos máximos, u ordenes

consecutivos, simplemente restando,

( )Δy y y mLd

mLd

Ld

= − ≈ + − =+m m 1 1 λ λ λ 9-98

Las ecuaciones 9-94, 9-97 y 9-98 son conceptualmente importantes. La ecuación 9-98 nos dice que si queremos que las franjas estén suficientemente separadas como para apreciarlas, podemos aumentar la distancia L o disminuir la distancia entre rendijas d. Las ecuaciones 9-94 y 9-97 nos dicen algo aún más importante, que la ubicación de los máximos de intensidad no resulta igual para los diferentes colores. Esto resulta evidente ya que su posición sobre la pantalla es proporcional a la longitud de onda (color). Es decir que, si iluminamos las rendijas con luz coherente blanca, observamos sobre la pantalla la formación de un patrón de franjas para cada color. El centro, orden cero ( 0=m ), permanece blanco ya que todos los colores tienen su orden cero en y = 0, pero ya en el orden 1 ( 1=m ) comienzan a separarse. El violeta y el azul (de menor longitud de onda) se hallan más cerca del centro, mientras que el rojo, de mayor longitud de onda, se halla más alejado (verifique). Comentario: La coherencia de las ondas sólo puede mantenerse siempre y cuando recorran caminos ópticos que no difieran entre sí más allá de una cierta longitud máxima, llamada longitud de coherencia. Intensidad de las franjas: Vamos a estudiar la intensidad total de luz que llega a cada punto P de la pantalla (patrón de máximos y mínimos). Debemos, entonces, sumar las ondas provenientes de ambas rendijas (principio de superposición). Si la pantalla se halla lo suficientemente lejos, las ondas llegan al punto P casi planas, ver figura 9-26. Por simplicidad, supondremos que la pantalla se halla en el infinito, y por lo tanto, las funciones de onda son exactamente ondas planas y, dentro de esta aproximación, podemos considerar que todas las ondas llegan al punto P con el mismo estado de polarización, por lo cual, podemos sumarlas como escalares.

Interferencia

448

Además, resulta adecuado considerar que las ondas llegan con la misma amplitud 0E , a pesar de tener una pequeña diferencia de camino recorrido.

Esa pequeña diferencia de camino sí resulta importante en cuanto al desfasaje entre las ondas, éstas llegan desfasadas en un ángulo δ , dado por la ecuación 9-87, o sea,

( )θλπ=

λΔπ=δ sen22 dr

Dentro de nuestra aproximación, escribimos las funciones de onda, de las ondas que llegan al punto P, proveniente de cada rendija, como proveniente de la rendija 1 : )cos( ),( 01 tkrEtrE ω−= ,

9-99 proveniente de la rendija 2 : )cos( ),( 02 δ+ω−= tkrEtrE Debido al carácter lineal de leyes del electromagnetismo, vale el principio de superposición, y el vector óptico total resulta igual a la suma de los vectores ópticos provenientes de cada una de las rendijas,

[ ])cos()cos( ),(),(),( 021 δ+ω−+ω−=+= tkrtkrEtrEtrEtrE 9-100

usando la identidad trigonométrica,

( ) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ+θ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θ−θ

=θ+θ2

cos 2

cos2coscos 211221

Ondas casi planas

y

y

θP r

L>>d λ

Figura 9-26: Experiencia de Young. Si la pantalla se halla suficientemente alejada de los orificios, resulta una buena aproximación considerar que las ondas llegan, a la pantalla, planas.


449

tomando tkr ω−=θ1 y δ+ω−=θ tkr2 , obtenemos,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ+ω−=

2cos

2cos2),( 0 tkrEtrE 9-101

En la guía teórica 9-7 hemos definido intensidad luminosa como,

2EI = 9-102

donde el símbolo significa valor medio temporal (sobre un ciclo). Reemplazando 9-101 en 9-102, la intensidad luminosa en el punto P analizado resulta,

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ δ+ω−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ δ==θ

2cos 2

2cos

2cos 4 22

0222

02 EtkrEEI 9-103

donde hemos usado que ( )21cos2 =ω− tkz .

Note que le hemos dado a la intensidad una dependencia con el ángulo θ , ya que, el desfasaje δ depende del punto P considerado (ver ec. 9-87). Sabiendo que la intensidad que llega al punto P proveniente de cada onda por separado es (verifique),

IE

002

2= 9-104

podemos escribir a la intensidad total como (ver guía teórica 9-7 ec. 9-68),

( )I I Id

θδ π θ

λ=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟4

240

20

2cos cossen

9-105

La función Intensidad ( )I θ posee sus máximos en aquellos ángulos en donde,

12

cos2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ δ 9-106

Interferencia

450

o sea, cuando se satisface,

δ π π π π π2 0 2 3 4= =, , , , ..... m con m∈ Ζ . 9-107

que concuerda con lo ya hallado en 9-90, es decir,

( ) π=θλπ=δ 2 sen 2 md con m∈ Ζ 9-108

De acuerdo a la ecuación 9-105 la intensidad varía entre los valores,

04II max = y 0mín =I 9-109 En la figura 9-27, graficamos la intensidad ( )θI en función del θ≅θsen , obtenida a partir de la ecuación 9-105 (compare con la figura 9-25).

En la figura 9-27, observamos que todas las franjas poseen la misma

intensidad, lo cual es cierto sólo dentro de nuestra aproximación ( λ≈>> dL ). En el siguiente capítulo comprobaremos que cuando las rendijas no son estrictamente puntuales, la intensidad de las franjas disminuye a medida que nos alejamos de la franja central (orden cero). 9-15. Cuando se iluminan dos rendijas delgadas con luz monocromática se produce un patrón de interferencia sobre una pantalla alejada. ¿Qué relación existe entre la distancia entre las franjas del patrón de interferencia correspondiente a luz roja con la distancia correspondiente a luz azul?.

d2 λ−

d

λ−d

λ

d2 λ sen(θ)

4I0

I(θ)

0

Figura 9-27: Gráfico de la función ( )θI . Máximos y mínimos de intensidad.


451

9-16. Proponga distintas formas de lograr una onda plana para usar en la experiencia de Young. 9-17. (Recomendado). A partir de iluminar, con luz amarilla de sodio ( f Hz= 5 09 1014, ), una doble rendija (del tipo Young), se obtuvo un diagrama de interferencia sobre una pantalla ubicada a una distancia de 10 metros. Se observa un espaciamiento entre franjas de 1mm. a) ¿Cuál es la distancia d entre las rendijas?. b) ¿Cuál sería la separación entre franjas si utiliza el mismo sistema pero con luz

violeta de potasio ( f Hz= 7 41 1014, ). Discuta y compare con la anterior. c) Haga un gráfico de la intensidad de luz en función del ángulo ( )I θ . d) Importante. ¿Cómo sería la intensidad ( )I θ , sobre la pantalla, si las rendijas no

emitieran luz coherente entre sí?. Grafique. e) ¿Cuál sería la separación entre franjas si utiliza el mismo sistema pero con rayos

X, de longitud de onda aproximada de 1Amstrong m= −10 10 . ¿Será posible ver el patrón de interferencia con este sistema?. En base a lo anterior, piense ¿por qué razón se los llama rayos X ?.

f) Importante. ¿Cómo se vería afectado el patrón de interferencia si se coloca una lámina de vidrio (índice de refracción nv = 1 5, ), de 10μm de espesor, delante de una de las rendijas? ¿dónde se encuentra ahora el máximo de orden cero para el caso de la luz amarilla de sodio?.

Ayuda: ( ) ( )I Iθ δ= 4 202cos / donde δ π

λθ= 2 d sen y f c λ = , c km seg= 300000 / .

9-18. Otro método alternativo, para conseguir dos fuentes coherentes cercanas, se muestra en la figura 9-28, se lo conoce con el nombre de espejo de Lloyd. La luz proveniente de la rendija interfiere con la reflejada en el espejo.

d/2

Espejo

Imagen virtual de la rendija

Rendija única

Figura 9-28: Interferómetro conocido con el nombre de espejo de Lloyd.

Interferencia

452

Suponiendo que se ilumina con un láser helio-neón ( nm633=λ ). La rendija se halla a 0 1, mm por encima del espejo (d mm2 0 1= , ) y la pantalla se halla a 10m. Hallar la ubicación de las franjas de interferencia. ¿La franja central es clara o obscura?. Analice posibles desfasajes por reflexión. 9-19. (Repaso). Suponga que desea construir un dispositivo como el de Young para observar el patrón de franjas de Interferencia. Dispone de un láser helio-neón ( nm633=λ ). a) Proponga una distancia de separación entre rendijas adecuadas para observar el

fenómeno. b) Proponga la distancia a que ubica la pantalla y calcule la ubicación y separación

de las franjas. 9-20. Encuentre ejemplos de dos fuentes incoherentes entre sí y fuentes que si resultan coherentes. Justifique.

9-21. Incidencia oblicua de la onda luminosa sobre las rendijas:

Suponga que la onda luminosa incide sobre las rendijas formando un ángulo

0i ≠θ , como indica la figura 9-29. Calcule el desfasaje inicial entre las ondas salientes de cada rendija y demuestre que

los máximos de interferencia se hallan ubicados en los ángulos que satisfacen,

idm θ+λ=θ sensen m con m∈ Ζ

θi

Pantalla en +∞

θi >0

Fuente en -∞ Red

Franja central m=0

Onda Plana

Figura 9-29: Interferómetro de Young. En este caso, la onda plana, incide sobre los orificios, oblicua.


453

o en nuestra aproximación,

θλ

θm ≈ +md i

Con lo cual, la franja central ( 0=m ) ya no se encuentra en 0=θ sino en iθ=θ , (como se espera intuitivamente), y las franjas sólo se corren rígidamente. A partir de lo hallado, discuta sobre si es posible observar las franjas de interferencia si se ilumina con una fuente de luz extensa. 9-22. (Actividad recomendada). Puede fabricarse un interferómetro de Young con cartón y un pelo. Consiga un tubo de cartón (el tubo donde se enrolla el papel para cocina sirve, si es duro). Agréguele tapas de cartón al tubo. Con una hoja de afeitar haga una rendija fina en cada tapa, trate de que sea lo más recta y pareja posible. Una de las rendijas cumplirá la función de fuente de ondas cilíndricas (fuente en el infinito), mientras que en la otra queremos construir 2 rendijas para lograr el Young. Para construir las dos rendijas conviene usar papel de aluminio (del que se usa para guardar alimentos). Con él queremos mejorar la calidad de la rendija construida sobre el cartón. Para ello corte dos pedazos de aluminio con bordes rectos y paralelos entre sí. Péguelos sobre una de las tapas, uno al lado del otro, de tal forma que los bordes estén separados menos de un milímetro y concuerden con la ubicación de la rendija de cartón. De esta manera logramos corregir a la rendija, de cartón, haciéndola más pequeña y de mayor calidad. Una vez hecho esto, pegue un pelo (o un hilo muy fino) justo por el medio de la rendija, con cinta adhesiva (en los extremos). El pelo divide en dos a la rendija, consiguiendo que la distancia de separación entre ambas sea muy pequeña y permita visualizar mejor el fenómeno de interferencia (¿por qué?). Terminado el aparato, coloque su ojo sobre la rendija que tiene el pelo y apunte hacia alguna fuente de luz, observará la formación de franjas de interferencia. Dependiendo de cuan fina sea la rendija construida observará mayor cantidad de ordenes. Actividad. Si tiene dinero: Hoy en día, en muchos negocios del centro de Buenos Aires, se consigue un pequeño diodo Láser del tamaño de un lápiz de labio. Su precio está entre $5 y $10. Está pensado para ser usado como apuntador, pero con el se pueden hacer muchas de las experiencias que estudiaremos en éste y el próximo

Interferencia

454

capítulo. Si dispone de uno de ellos úselo como fuente del Young que fabricó (proyecte sobre una pantalla, ¡ojo con los ojos!). 9-23. Interferómetro de Michelson (Optativo):

El interferómetro de Michelson es un dispositivo que permite medir longitudes de onda y distancias en forma muy precisa, a través de la observación de franjas de interferencia. Se ha hecho famoso debido a que fue utilizado por Michelson y Morley en un experimento mediante el cual pretendían determinar diferencias en la velocidad de propagación de la luz relativa al movimiento de la Tierra. En la figura 9-30 se muestra un diagrama del dispositivo. Consta esencialmente de dos espejos (uno móvil), un vidrio semiespejado y un vidrio compensador del camino recorrido. Se ilumina con una fuente extensa, la onda incide sobre el vidrio semiespejado, parte de la onda se refleja hacia el espejo 2 (móvil), y parte se refracta en dirección del espejo 1. El segundo vidrio compensa los caminos recorridos por

Ojo o lente convergente

Imagen virtual del espejo 1

Espejo 1

L1

Vidrio semiespejado

Fuente extensa

Espejo 2 Móvil

L2

Vidrio

Figura 9-30: Interferómetro de Michelson.


455

cada onda, ya que la onda que va hacia el espejo 2, recorre 3 veces el espesor del vidrio semiespejado en su ida y vuelta (verifique). Las ondas al reflejarse en los espejos 1 y 2, vuelven y se superponen en el ojo del observador, interfiriendo entre sí (siempre y cuando la diferencia de camino no sea demasiado grande como para que se halla perdido la coherencia). En la figura se ha mostrado al espejo 1 con una pequeña inclinación. También se muestra la imagen virtual del espejo 1 sobre el espejo 2 (móvil). Para el observador el sistema resulta equivalente al espejo 2 y la imagen virtual del 1, es decir, el sistema resulta equivalente a una cuña de aire determinada por el espejo 2 y la imagen del 1 (analícelo detenidamente). Sabemos que si iluminamos con una fuente extensa una cuña se forma un patrón de franjas de interferencia equiespaciadas. Si se acerca el espejo 2 (móvil) hacia el observador, resulta equivalente a aumentar el espesor de la cuña. Este cambio en el espesor produce un desplazamiento de las franjas. Midiendo el desplazamiento resulta posible determinar precisamente la distancia que se acerca el espejo, y por ende, se puede utilizar para medir objetos en forma muy precisa. a) Analice detenidamente lo que sucede si el espejo 2 se acerca en una distancia

equivalente a un cuarto de longitud de onda. Determine que sucede, en este caso, con la ubicación de las franjas. Resp. El diagrama se desplaza en media franja, de tal forma que lo que antes era brillante ahora resulta obscuro.

b) Suponga que ilumina con luz amarilla de sodio (λ = 589nm), y entre el vidrio semiespejado y el espejo 2 introduce una película de un material transparente de índice de refracción n = 1 33, y espesor e m= 10μ . A partir de calcular en cuanto se incrementa el espesor de la cuña virtual, halle cuánto se desplazan las franjas.

Interferencia

456

Bibliografía. • Física Vol. 2, Tipler. Ed. Reverté. • Física, Óptica Vol 2, D.E.Roller and R.Blum. Ed. Reverté. • Óptica, Hecht-Zajac. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. • Curso de Física de Berkeley, Vol 3. Ed. Reverté. • Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill. • Física, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. • Física Vol 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

Capítulo 10

Interferencia-Difracción.


459

Introducción:

En el capítulo anterior hemos estudiado el fenómeno de interferencia entre ondas luminosas coherentes. Los patrones de interferencia obtenidos, en las distintas situaciones analizadas, representan una clara manifestación del carácter ondulatorio de la luz. En este capítulo pretendemos profundizar nuestro estudio para situaciones más complejas, desde el punto de vista del cálculo, pero más familiares a nuestra experiencia cotidiana como es el caso de las sombras de objetos, en donde el fenómeno ondulatorio también se manifiesta, aunque no tengamos conciencia de ello. En nuestra vida diaria estamos acostumbrados a ver las sombras de los objetos iluminados. Nuestra intuición, basada en la observación, nos lleva a pensar que esas sombras son perfectamente nítidas, es decir, poseen bordes bien definidos que separan zonas iluminadas de zonas obscuras. O a lo sumo, la falta de nitidez que observamos, suponemos que se debe a que el objeto se halla iluminado con una fuente extensa y por consiguiente la luz llega hacia él con diferentes ángulos. Esta imagen concuerda perfectamente con el comportamiento que predice la teoría corpuscular de la luz. Si pensamos a la luz como formada por pequeñas pelotitas que inciden sobre el objeto, algunas chocan con él y rebotan, otras pasan sin interactuar y otras son dispersadas levemente. Como resultado de este proceso no esperamos hallar patrones (luz obscuridad, luz obscuridad, etc.) como los que estamos acostumbrados a observar en el caso de los fenómenos ondulatorios. Pero para nuestra sorpresa las sombras no son nítidas y forman además patrones como los que se esperan en una teoría ondulatoria de la luz. A los fenómenos ondulatorios asociados con la formación de sombras se los conoce con el nombre de Fenómenos de Difracción. Como veremos no difieren conceptualmente de los fenómenos, ya estudiados, de interferencia entre rendijas puntuales. Este fenómeno, aunque lo estudiaremos asociado al caso de ondas de luz, es común a todas las situaciones físicas que involucren ondas que inciden sobre obstáculos, tales como ondas de agua (como las que vemos en una cuba de ondas), ondas de sonido, etc.. En el caso del sonido, estamos acostumbrados a escuchar sonidos aunque coloquemos un obstáculo delante nuestro, pareciera que la sombra sonora no fuera tan efectiva como una sombra luminosa, decimos que la onda se difracta a través del obstáculo. Luego veremos que, en los casos en donde la longitud de onda, de la onda, es pequeña respecto del obstáculo, las sombras “parecen nítidas” (“no se percibe claramente la formación de patrones”), pero si la longitud de onda es del orden de las dimensiones del obstáculo o mayor, la sombra deja de ser “nítida” y parte de la onda

Interferencia - Difracción

460

ocupa regiones que antes no estaban permitidas, en el caso de la luz, la onda ocupa zonas de “sombra”, mientras que en el caso del sonido, invade zonas de “silencio”. En lo que sigue trataremos de profundizar el estudio del tema, pero como primer paso en esa dirección necesitamos adquirir cierta destreza en el calculo de sumas de muchas ondas provenientes de diferentes fuentes puntuales coherentes. Primeramente, estudiaremos el fenómeno de interferencia producido en un sistema formado por N rendijas puntuales ( N ≥ 2) (red difracción), cuando se lo ilumina con una fuente de luz, fenómeno que, como veremos, tiene aplicaciones prácticas como interferómetro. Los ejercicios recomendados son el 9, 10, 11, 13, 14, 16, 17, 21, 22, 23 y 24. 10-1. Guía Teoría: Interferencia entre N rendijas (Red de difracción).

En el capítulo anterior hemos estudiado en detalle la experiencia de Young, en esta guía estudiaremos el funcionamiento de un dispositivo, formado por muchas rendijas muy juntas (usualmente denominada Red de Difracción), que mejora la percepción del fenómeno de interferencia y permite una precisa determinación de la longitud de onda (interferómetro). Veremos que aumentando el número de rendijas, se consigue que las franjas resulten muy finas, lo cual, permite mayor precisión en la determinación de su posición. Estudiaremos el patrón de interferencia que produce un arreglo (Red) de N rendijas puntuales (de ancho infinitesimal), separadas entre sí una distancia d, sobre una pantalla ubicada a una gran distancia del arreglo (“en el infinito”), ver figura 10-1. Detrás de la red iluminamos con una fuente de luz monocromática y de longitud de onda λ . La fuente está lo suficientemente lejos como para considerar que sobre la red incide una onda plana (planos paralelos a la red). Apelamos nuevamente a la imagen que nos brinda el principio de Huygens, que dentro de las condiciones que hemos impuesto (pantalla lejana), y lejos de las rendijas, resulta una buena aproximación. Dentro de este modelo, cada rendija se comporta como una nueva fuente de ondas cilíndricas, todas ellas en fase y emitiendo en forma coherente, ver figura 10-1,


461

Comentario: La coherencia de las ondas cilíndricas sólo puede mantenerse siempre y cuando recorran caminos ópticos que no difieran entre sí más allá de una cierta longitud máxima, llamada longitud de coherencia. Por esta razón, en lo que sigue del cálculo analizaremos la interferencia entre las ondas en puntos cercanos al centro de la pantalla, de tal forma que el camino recorrido por todas las ondas esté dentro del rango en donde se mantiene la coherencia entre ellas. Vamos a estudiar la intensidad total de luz que llega a cada punto P de la pantalla (patrón de máximos y mínimos). Debemos, entonces, sumar las ondas provenientes de cada rendija que finalmente llegan a ese punto. Para fijar ideas, primero comenzamos haciendo las cuentas para el caso particular de 3 rendijas ( N = 3), ver figura 10-2. Primeramente hallamos la diferencia de camino producida entre onda y onda. Tomamos como referencia a la onda central (r r= 2 ), ver figura 10-2.

Fuente puntual coherente, en ∞

Pantalla en +∞

Red de N rendijas

Onda Plana Onda cilíndrica

Figura 10-1: Red de N rendijas (puntuales).

L>>d

y

θ

Δr

θ

Pr1

r2=r

r3 d

2Δr

Figura 10-2: Diferencia de caminos recorridos, entre ondas provenientes de orificios vecinos.


462

Vemos que, la onda 1 recorre menos camino que la central (onda 2), mientras que la onda 3 recorre más camino que la central. Dentro de la aproximación de pantalla infinitamente alejada ( L d>> ) y ángulos (θ) pequeños, las ondas emitidas por cada rendija pueden considerarse paralelas, y dentro de esta aproximación, la diferencia de camino entre dos rendijas consecutivas se calcula simplemente como (ver figura 10-2),

Δr d≅ senθ 10-1

Por ende, los caminos recorridos por cada onda son,

r r r1 = − Δ r r2 = r r r3 = + Δ 10-2

De acuerdo a esto, el desfasaje producido entre las ondas emitidas por dos rendijas consecutivas, en su trayecto al punto P, resulta,

( )θλπ≅

λΔπ=δ sen22 dr

10-3

que concuerda con el resultado obtenido en la experiencia de Youung. Comentario: Si la diferencia de camino Δr justo mide una longitud de onda λ , o un múltiplo de ésta, el desfasaje entre onda y onda resulta δ π≡ 2 , con lo cual, las ondas interfieren constructivamente de a pares, y por consiguiente, en el punto P tenemos un máximo de intensidad. Sobre la base de este razonamiento, podemos anticipar, que los máximos de intensidad se ubican en los mismos ángulos que en el caso de la experiencia de Young (2 rendijas), es decir, en los ángulos que satisfacen,

( )δπλ

θ π= =2

2d msen 10-4

Al finalizar el cálculo demostraremos ésta afirmación. Suponemos a la pantalla lo suficientemente lejana como para que resulte una buena aproximación considerar que las ondas llegan al punto P planas, y además, con el mismo estado de polarización, por lo cual, podemos sumarlas como escalares. Además, resulta adecuado considerar que las ondas llegan al punto P con la misma amplitud 0E , a pesar de tener una pequeña diferencia de camino recorrido.


463

Dentro de esta aproximación, escribimos a las funciones de onda, de las ondas, que llegan al punto P proveniente de cada rendija, como, Onda proveniente de la rendija 1 : ( ) ( )E r t E kr t1 0, cos= − −ω δ , Onda proveniente de la rendija 2 : ( ) ( )tkrEtrE ω−= cos, 02 10-5 Onda proveniente de la rendija 3 : ( ) ( )E r t E kr t3 0, cos= − +ω δ

Debido al carácter lineal de las leyes del electromagnetismo, vale el principio de superposición, y el vector óptico total resulta igual a la suma de los vectores ópticos provenientes de cada una de las rendijas,

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]δωωδω +−+−+−−

=++=

tkrtkrtkrE

trEtrEtrEtrE

coscoscos

,,,,

0

321

10-6

El objetivo del cálculo que sigue es el de encontrar una expresión manejable para la función de onda total E E E E= + +1 2 3 en el punto P, de tal forma de poder obtener el patrón de interferencia. Aunque en un principio parezca una complicación, reescribimos a la expresión anterior como una sumatoria, es decir (verifique),

( ) ( )E r t E kr t nn

, cos= − +=−∑0

1

1

ω δ 10-7

Esta expresión aún no resulta manejable para obtener la estructura de máximos y mínimos, pero antes de completar el cálculo, resulta fácil y conveniente generalizar el resultado obtenido (para tres rendijas) a un número cualquiera de rendijas N (mayor que 3). Las ondas se desfasan, de a pares, un ángulo δ dado por la ecuación 10-3. La diferencia esencial aparece en el rango del índice de suma n, ya que no sólo toma los valores -1, 0 y 1, como sucede en el caso N = 3. Como ejemplo, para 5 rendijas ( N =5) el índice de suma toma los valores,

n = − −2 1 0 1 2, , , , es decir, la primera rendija se desfasa en δ respecto a la central, mientras que la segunda en 2δ.


464

Nosotros generalizaremos el cálculo para un número impar 3≥N de rendijas, queda como ejercicio para el lector repetirlo para el caso de N par, anticipamos que el resultado final resulta idéntico. Para un número de rendijas 3≥N (impar), el índice n toma los valores,

21,.....,1 ,0 ,1,.....

21 −−−−= NNn (verificar). 10-8

Por consiguiente la función de onda total en el punto P, suma de los campos provenientes de N rendijas, puede escribirse:

E r t E E kr t n( , ) cos( )= = − +∑ ∑ nn=-(N-1)/2

(N-1)/2

n=-(N-1)/2

(N-1)/2 0 ω δ 10-9

El próximo paso consiste en sumar la serie de cosenos de la ecuación anterior. Para ello, en un primer momento, complicaremos el cálculo introduciendo exponenciales complejas, la razón de este paso quedará justificado más tarde cuando veamos que la serie tiene la apariencia de una serie geométrica la cual posee una solución conocida. Este cálculo puede resultar muy tedioso, es aconsejable saltearlo en una primera lectura (y segunda también), ya que no agrega ningún concepto físico nuevo y solamente consiste en sumar la serie de funciones cosenos de la ecuación 10-9. Retomar a partir de la ecuación 10-27, donde se obtiene una expresión más manejable para el vector óptico total E r t( , ) en el punto P.

Saltee en una primera lectura hasta la ecuación 10-27 Queremos expresar a la función coseno como la parte real de una exponencial compleja. Sabemos que la exponencial compleja e i θ puede expresarse en función de las funciones seno y coseno de la siguiente forma,

( ) ( )e ii θ θ θ= +cos sen 10-10

Su representación en el plano complejo se muestra en la figura 10-3.


465

Su complejo conjugado es,

( ) ( )e i-i θ θ θ= −cos sen 10-11

A partir de la ecuación 10-11, podemos escribir al coseno como la parte Real de la exponencial compleja, es decir,

( ) ( )cos θ θ= Real e i 10-12

reemplazando esta expresión en la ecuación 10-9 obtenemos,

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∑=∑= δ+ω−δ+ω−

1)/2-(N

1)/2--(N=n

)n trk (i0

)n trk (i1)/2-(N

1)/2--(N=n0 e e ),( RealERealEtrE 10-13

De esta forma, hemos transformado una suma de cosenos (ec. 10-9) en una suma de exponenciales (ec. 10-13), funciones que son mucho más manejables. Ahora, factoreando,

( )e e e e ei k r t n i k r t i n i k r t i n( ) ( ) ( )− + − −= =ω δ ω δ ω δ

y sacando fuera de la suma al primer factor, ya que no depende del índice n, obtenemos,

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ∑= δω−

1)/2-(N

1)/2--(N=n

n i)trk (i0 e e ),( RealEtrE 10-14

Calculemos separadamente la suma que aparece dentro del corchete de la ecuación anterior,

es decir,

( )Suma n= ∑ = ∑ e ei n

n=-(N-1)/2

(N-1)/2i

n=-(N-1)/2

(N-1)/2δ δ 10-15

Esta suma puede visualizarse en el plano complejo como una suma de N vectorcitos de módulo uno (fasores), con distintos ángulos θ δ= n , ver figura 10-4.

Imaginario

cos(θ)

eiθ

θ

sen(θ)

Real

Figura. 10-3: Representación gráfica de la exponencial compleja e iθ


466

En algunos libros se usa el método gráfico para resolver el problema, nosotros seguiremos el camino más duro, el algebraico. La suma de la ecuación 10-15 tiene la forma de una serie geométrica. Recordemos cual es la forma y solución de esta serie:

S a a= + + ∑−

+.......+a = a = aa -1

N-1 n

n=-0

N-1 n

112 10-16

(Verifique que se satisface la igualdad para algunos ejemplos, ej. a = 2 y N = 4 ).

Este apartado puede saltearse en una primera lectura.

A continuación vamos a demostrar la expresión 10-16. Esta igualdad resulta fácil de demostrar multiplicando a S por el factor a , el resultado vuelve a dar algo muy parecido a S , o sea:

N1-N2 a+a+.......+ aaaS +=

le falta un 1 y le sobra un a N , si le agregamos el 1 y le sacamos el a N obtenemos nuevamente S ,

aS a a+ − = +1 2a 1+ +.......+a = SN N-1

y de la expresión anterior es posible despejar a S ,

S = aa -1

n −1 demostrado.

Queda como ejercicio para el lector demostrarlo por inducción. Volvamos a la suma de la ecuación 10-15, vemos que si tomamos a e= i δ la suma se parece mucho a la suma geométrica de la cual conocemos su solución. Pero aún hay una diferencia, el índice de suma no comienza en n = 0, ni termina en n N= −1, sino que comienza en ( )n N= − −1 2/ y termina en ( )n N= −1 2/ . Este problema se puede solucionar haciendo un simple cambio de variables (que como usted puede comprobar, es lo mismo que sacar factor común un factor adecuado, pruébelo).

∑ei n δ

Imaginario

Real

Ejemplo con N=4. Los fasores tienen los ángulos θ1=δ, θ2=2δ, θ3=3δ y θ4=4δ

Figura 10-4: Representación gráfica de la suma de exponenciales complejas (fasores).


467

Definimos un nuevo índice de suma ′n de tal forma que su primer valor sea cero, de la siguiente forma:

( )′ = +

−n n

N 12

10-17

Compruebe que este nuevo índice comienza en ′ =n 0 y termina en ′ = −n N 1 (esto se puede verificar reemplazando los valores límites de n ). Con este cambio de variables, reescribimos a la Suma 10-15, teniendo en cuenta que n n N= ′ − −( ) /1 2 ,

( )Suma = ∑′

′ ei n -(N-1)/2

n =0

N-1δ 10-18

sacamos factor común el factor que no depende del índice de suma ′n , es decir,

( ) ( )Suma =′

′∑e ei -(N-1)/2 i n

n =0

N-1δ δ 10-19

y usando el resultado de la serie geométrica (ec. 10-16), obtenemos:

Suma e ee

-i (N-1)/2i N

i =−−

δδ

δ

11

10-20

Llegado a este punto debemos agudizar nuestra vista y ver que el cociente que aparece en la ecuación 10-13 puede transformarse en un cociente de dos funciones seno. Recordemos que la función seno puede obtenerse a partir de exponenciales complejas de la siguiente forma (probarlo a partir de restar entre sí las ecuaciones 10-10 y 10-11):

( )sen θθ θ

=−e e

i

i -i

2 10-21

En la ecuación 10-20 no tenemos exactamente esto, pero si la trabajamos un poco tal ves sí. En el numerador podemos sacar factor común ei N/2δ y usar la expresión 10-21,

[ ] ( )[ ]e e e e e i N i N/2 i N/2 -i N/2 i N/2δ δ δ δ δ δ− = − =1 2 2i Nsen / 10-22

y en el denominador sacamos factor común ei /2δ y usamos también la expresión 10-21,

[ ] ( )[ ]e e e e e i i /2 i /2 -i /2 i /2δ δ δ δ δ δ− = − =1 2 2i sen / 10-23


468

reemplazando 10-22 y 10-23 en la Suma 10-20,

( )( )Suma

N e

ee

-i (N-1)/2i N/2

i = δδ

δ

δδ/

sen /sen /2

22

10-24

y simplificando las exponenciales,

( ) ( )( )Suma

N e

i n

n=-(N-1)/2

(N-1)/2= ∑ =δ δ

δsen /sen /

22

10-25

Con lo cual hemos llegado a una expresión bastante simple que nos permitirá extraer fácilmente los máximos y mínimos de interferencia (note que el resultado de la Suma de exponenciales complejas es un número real) Reemplazando el resultado de la suma en la expresión 10-14, que nos daba la función de onda total en el punto P, obtenemos:

( )( )E t E Real

N( )

sen /sen /

( )=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

− e i k r t

02

2ω δ

δ 10-26

El cociente de las dos funciones senos es un número real con lo cual puede ser extraído fuera

del corchete, y la parte real de la exponencial compleja ya sabemos que es el coseno, con lo cual,

Retome la lectura la función de onda total en el punto P, suma de las N ondas provenientes de las N rendijas, resulta:

( )( ) ( )tkrNEntkrEtrE ω−δδ=∑ δ+ω−= cos

2/sen2/ sen )cos( ),( 0

1)/2-(N

1)/2--(N=n0 10-

27 La expresión anterior es la solución de la sumatoria de ondas planas (funciones coseno) planteada en la ecuación 10-9, y nos dice que el vector óptico total es también una onda plana, que varía armónicamente con la misma frecuencia angular ω y que su amplitud es,

( )( )A r E

N( , )

sen /sen /

θδδ

=

02

2 10-28

La amplitud depende del ángulo θ a través del desfasaje,

θλπ=δ sen2 d .


469

A partir de la dependencia con el ángulo θ es que esperamos obtener el

patrón de interferencia, para ello, debemos calcular la intensidad de luz que llega a cada punto P. Como ya vimos la intensidad la podemos calcular como el valor medio temporal del cuadrado del vector óptico, es decir:

( )( ) ( ) ( )

( )22

022

20

2

2/sen2/ sen

2

2/sen2/ sen =),( ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡δδ=ω−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡δδ= NE

tkrcosNEtrEI 10-29

Donde es fácil comprobar que E02

2 es la intensidad que llega al punto P proveniente

de cada una de las rendijas (reemplazar N por 1 en la ec. 10-29) que llamamos I0 . Por consiguiente la intensidad total en el punto P es,

( ) ( )( )

( )( )

2

0

2

0 2/ sen2/ sen

2/sen2/ sen ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡θθ=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡δδ=θ

sendksendkNINII 10-30

A partir de la ecuación 10-30 podemos estudiar al patrón de interferencia, pero antes veamos si la expresión hallada funciona bien para el caso particular de una sola rendija N = 1 y para dos rendijas N = 2 (experiencia de Young). Caso N = 1:

( )( )I I I=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =0 0

22

2

sen /sen /

δδ

que concuerda con la intensidad proveniente de una sola rendija. Caso N = 2 (verifique):

( )( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )I I I I I=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

+⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =0 0 0 0

22 22

2 22

2 2 22

4 2

2 2 2

sen /sen /

sen / /sen /

sen / cos /sen /

cos /δδ

δ δδ

δ δδ

δ

Que concuerda con la intensidad que hallamos para el caso de dos rendijas.


470

Patrón de interferencia de N rendijas. Máximos y mínimos: La ecuación 10-30 tiene toda la información que necesitamos para hallar los máximos y mínimos de interferencia. El problema es un poco más complicado que el de sólo dos rendijas. Antes de resolverlo analíticamente podemos ir sacando conclusiones del gráfico. En la figura 10-5 graficamos, con ayuda del Mathematica, la intensidad I en función del senθ , lo hacemos para diferentes número de rendijas (queda como ejercicio para el lector repetir este gráfico). A la izquierda se muestra el gráfico de la Intensidad en función del tiempo y a la derecha se muestra el negativo de la iluminación de la pantalla (las zonas grises indican luz, mientras las blancas obscuridad):

d2 λ−

d

λ− dλ

d2 λ sen(θ)

4I0

I(θ)

0

N=2

d

λ dλ−

d2 λ−

d2 λ sen(θ)

4I0

I(θ)

0

9I0 N=3

Negativo del Patrón de Interferencia, de 2 rendijas, sobre la pantalla. Las zonas grises indican luz.

Negativo del Patrón de Interferencia, de 3 rendijas, sobre la pantalla. Las zonas grises indican luz.


471

De observar los gráficos, podemos hacer las siguientes observaciones:

• El primer gráfico corresponde al caso de dos rendijas ( N = 2). Como sabemos, los máximos se encuentran ubicados en ángulos que satisfacen,

sen md

θλ

= donde m Z∈ .

Los ceros de intensidad se encuentran en el medio de dos máximos. La intensidad de estos máximos es exactamente I Imax = 4 0.

d

λ− d

2 λ−d

λd

2 λ0

I(θ)

sen(θ)

16I0

N=4

dλ−

d2 λ−

d

λd

2 λ sen(θ)0

I(θ) 25I0 N=5

Negativo del Patrón de Interferencia de 5 rendijas, sobre la pantalla. Las zonas grises indican luz.

Negativo del Patrón de Interferencia de 4 rendijas, sobre la pantalla. Las zonas grises indican luz.

Figura 10-5: Representación gráfica de la intensidad de luz que incide sobre la pantalla, en el caso de redes con 2, 3, 4 y 5 rendijas. A la derecha se muestra el negativo de la “foto” de la pantalla (las zonas grises indican luz).


472

• En el caso de 3 rendijas (N = 3), los máximos se ubican en la misma posición angular que en el caso de 2 pero son un poco más intensos ( 0max 9II = ). Entre medio de dos máximos principales aparece un máximo secundario de menor intensidad.

• Con el aumento del número de rendijas, aumenta la cantidad de máximos

secundarios de baja intensidad (casi no se ven) y aumenta la intensidad de los máximos principales.

Para 4 rendijas hay 2 máximos secundarios, mientras que para N =5 hay 3. Es fácil demostrar que el número de máximos secundarios es igual a N −2 (queda como ejercicio para el lector).

• En todos los casos, independientemente del número de rendijas ( N ≥ 2) los

máximos principales se ubican en los mismos ángulos, aquellos que satisfacen,

sen md

θλ

= donde m Z∈ .

• La intensidad de los máximos principales aumenta al aumentar el número de

rendijas. Por ejemplo, para N = 3 la intensidad máxima resulta ser I Imá x= 9 0, para N =4 I Imá x= 16 0 y para N =5 I Imá x= 25 0.

En general (después lo probaremos), la intensidad de los máximos principales aumenta en la forma,

I N Imá x=

20 ,

mientras que la de los máximos secundarios disminuye hasta ser casi invisibles.

Máximos y Ceros de Intensidad, resolución analítica. Por el momento hemos obtenido toda nuestra información, sobre la ubicación de los máximos principales y secundarios y los ceros de intensidad, a partir de la gráfica de la ecuación 10-30,

( )( )( )I IN

θδδ

=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥0

222

sen /

sen /

donde δπλ

θ=2

d sen .

Queda como tarea para el lector hallar los máximos analíticamente. Aquí únicamente señalamos (verifique) que la función Intensidad ( )I θ posee sus máximos


473

principales (que es lo que verdaderamente nos interesa) en aquellos ángulos en donde se anulan el numerador y el denominador a la vez, y eso sucede cuando se satisface,

δ π π π π π2 0 2 3 4= =, , , , ..... m con m∈ Ζ . 10-31

Por consiguiente, los ángulos en donde se hallan los máximos de intensidad satisfacen,

( ) π=θλπ=δ 2 sen 2 md con m∈ Ζ ⇒ 10-32

( )sen θλ

m = md

con m∈ Ζ 10-33

que concuerda con lo obtenido en los gráficos. El coeficiente entero m numera a las franjas, por ejemplo, m = 0 corresponde a la franja central, llamada orden cero, mientras que los valores m = ±1 corresponden a las primeras franjas, a los costados de la central, llamadas orden 1. Dándole otros valores a la constante m, obtenemos los ordenes superiores. La ubicación angular de los máximos de interferencia en una red de N rendijas concuerda exactamente con la ubicación hallada en el caso de dos rendijas (Young). Este resultado parece totalmente intuitivo, ya que δ es el desfasaje producido entre dos rendijas consecutivas, por consiguiente, si π=δ 2 m las ondas de dos rendijas consecutivas se hallan en fase, por ende, todas las ondas se hallan en fase, y por consiguiente, para los ángulos que satisfacen la ecuación 10-33 se obtiene un máximo de intensidad. Es posible obtener las posiciones sobre la pantalla donde aparecen los máximos, en la aproximación de ángulos pequeños, como (ver figura 10-6),

( ) ( )y L L mLdm m m = ≈ =tg senθ θ λ 10-34


474

La distancia que separa dos máximos u ordenes consecutivos, se calcula simplemente restando,

( )Δy y y mLd

mLd

Ld

= − ≈ + − =+m m 1 1 λ λ λ 10-35

Las ecuaciones 10-34 y 10-35 son conceptualmente importantes. La ecuación 10-35 nos dice que si queremos que las franjas estén suficientemente separadas como para apreciarlas, podemos aumentar la distancia L o disminuir la distancia entre rendijas d (Red de mayor calidad). La ecuación 10-34 nos dice algo aún más importante, que la ubicación de los máximos de intensidad no resulta igual para los diferentes colores. Esto resulta evidente ya que su posición sobre la pantalla es proporcional a la longitud de onda (color). Es decir que, si iluminamos una red con luz coherente blanca, observamos sobre la pantalla la formación de franjas de diferentes colores. El centro, orden cero, permanece blanco ya que todos los colores tienen su orden cero en y = 0, pero ya en el orden 1 comienzan a separarse. El violeta y el azul (de menor longitud de onda) se hallan más cerca del centro, mientras que el rojo, de mayor longitud de onda, se halla más alejado. Por consiguiente una Red de difracción nos sirve para separar los colores, al igual que un prisma. Usando las ecuaciones 10-30 y 10-32, podemos calcular la intensidad de luz que llega los máximos principales,

( )( ) NN

mlim

=δδ

π→δ 2/sen2/ sen

2 ⇒ I N I= 2

0 (En los máximos principales) 10-36

Este resultado concuerda con lo que ya habíamos anticipado del análisis de los gráficos. Nos dice que si queremos lograr una mayor intensidad de las franjas,

θ

Pantalla

Fuente en -∞

Red

L

y

Fig 10-6


475

para que éstas resulten más visibles, debemos aumentar el número de rendijas de nuestra Red. Calculemos ahora la ubicación de los Ceros de Intensidad (nos será de utilidad en el futuro). De la ecuación 10-30, vemos que la intensidad se anula cuando se anula el numerador pero no se anula el denominador (ya que si se anula, la intensidad resulta máxima), es decir,

( )sen /N δ 2 0= pero ( )sen /δ 2 0≠ ⇒

N m δ π/ 2 = ′ pero δ π/ 2 ≠ ′′m ⇒

( )δπλ

θ π= =′2

2dmN

sen pero ′≠

mN

número entero

O sea, los ceros se hallan ubicados en los ángulos que satisfacen,

( )sen θλ

=′m

N d con

′≠

mN

número entero.... (Ceros de Intensidad) ) 10-37

Ejemplo, si N = 4 , los ceros se hallan ubicados en los ángulos ( ( )θ θ≈ sen ), • ′ =m 0 no corresponde a un cero ya que es la franja central.

• Primer cero: ′ =m 1 θλ

≈14

d

• Segundo cero: ′ =m 2 θλ

≈12

d

• Tercer cero: 3=′m θλ

≈34

d

• ′ =m 4 no corresponde a un cero ya que corresponde a la ubicación de la franja

de primer orden, ya que ′= =

mN

44

1.

En general entre dos máximos principales hay N − 1 ceros de intensidad (verificarlo), y entre dos ceros hay un máximo secundario (no exactamente en el medio), por consiguiente, entre dos máximos principales hay N − 2 máximos secundarios.


476

A partir de conocer la ubicación de los ceros, podemos tener una idea del ancho de las franjas (máximos principales), estimando groseramente el ancho de la franja como la resta entre las posiciones de dos ceros. Por ejemplo, tomemos la franja de orden cero ( 0=m ) , los ceros que se hallan a los costados de esta franja corresponden a los valores de ′m ,

1−=′m y 1=′m (Verifique),

y por ende sus ubicaciones angulares son (para ángulos pequeños),

θλ

− ≈ −11N d

y θλ

11

≈N d

10-38

⇒ Δθ= − ≈−θ θλ

1 12N d

10-39

De la ecuación 10-39 vemos que si queremos que las franjas sean más finas, debemos aumentar el número de rendijas, propiedad que ya habíamos observado en los gráficos. A partir de la ecuación 10-39, podemos obtener el ancho de las franjas proyectadas sobre la pantalla, como,

dNLy λ≈Δ 2 10-40

Resumiendo, si queremos que las franjas estén suficientemente separadas, unas de las otras, podemos disminuir la distancia entre rendijas d. Mientras que para que sean finas e intensas podemos aumentar el número de rendijas N (iluminadas). De acuerdo a esto, una Red se considera de mayor calidad (y mayor precio), cuando posee el mayor número de rendijas con menor distancia de separación entre ellas. Para visualizar mejor lo que pasa a medida que aumenta el número de rendijas, en la figura 10-7, mostramos el gráfico correspondiente a un espectro formado a través de una red de N =100 rendijas (iluminadas),


477

En la figura se aprecia, lo que ya anticipamos del análisis teórico, que cuanto mayor es el número de rendijas las franjas resultan más finas e intensas. Otro hecho importante que podemos comprobar de observar el gráfico ( 100=N ), es que no se observa ningún máximo secundario, a pesar que del análisis teórico esperamos la aparición de 982=−N . Queda como ejercicio para el lector comprobar que la intensidad relativa, entre los máximos secundarios y los máximos principales, disminuye drásticamente al aumentar el número de rendijas, hasta ser completamente invisibles. Este hecho resulta positivo para la mejor visualización de las franjas. En el laboratorio comúnmente, como fuente coherente de ondas planas, se utiliza luz Láser. El ancho del haz Láser es del orden del milímetro, por lo cual, si lo hacemos incidir sobre una red sólo una pequeña parte de las rendijas entra en juego, y por consiguiente, sobre la pantalla no vemos largas franjas como las mostradas en la figura anterior, sino simplemente puntos separados entre sí en un ángulo igual a

dλ , ver figura 10-8.

Espectrómetro: ¿Para qué nos puede servir una red de N rendijas?. Al principio dijimos que con el cálculo adquiriríamos destreza para luego analizar el fenómeno de difracción, pero llegados a este punto vemos que una red de N rendijas nos puede resultar muy útil para analizar el espectro de emisión de luz de algún átomo o molécula, como veremos seguidamente.

d

λ sen(θ) d

2 λ−d

λ−d

2 λ

Imax=104 I0 N=100

0

Figura 10-7: Gráfico de la intensidad de luz en función del ángulo, para una red de 100 rendijas. Note que los máximos secundarios no se ven.

0 λ/d -λ/d senθ≈θ

Figura 10-8: Esquema de las franjas sobre la pantalla, cuando la fuente de luz es muy fina (láser)


478

Supongamos que queremos estudiar el espectro de emisión del Na (sodio) incandescente. El sodio, como cualquier otro átomo, no emite un espectro continuo de luz. Si descomponemos la luz emitida con ayuda de un prisma no obtenemos todo el arco iris sino sólo determinados colores o longitudes de onda, en el caso del sodio se obtiene con mayor intensidad luz amarilla. El espectro es diferente para cada átomo o molécula particular, ya que depende de su estructura cuántica y electrónica. Por esta razón, resulta posible identificar al elemento por su espectro, tal como si fuera una huella digital del mismo. Estudiar el espectro significa determinar exactamente las longitudes de onda emitidas por el elemento en cuestión. Su conocimiento nos permite, no sólo entender mejor la estructura atómica del elemento, sino además, conocido su espectro, es posible determinar si un compuesto desconocido está o no integrado por ese elemento. Este análisis espectral, es posible hacerlo aunque el compuesto esté tan lejos como en una estrella. A un dispositivo que separa las ondas de diferente longitud de onda y permite determinar su valor se le llama espectrómetro. Podemos fabricar un espectrómetro con una red de N rendijas tal como se muestra en la figura 10-9. Construimos una fuente luminosa puntual interponiendo una pantalla sobre la que se ha realizado un orificio. Luego colocamos una lente convergente de tal forma que su foco concuerde con la ubicación del orificio, de esta forma, la onda que sale de la lente parece provenir desde el infinito (onda plana). Luego hacemos incidir esta onda sobre una red de N rendijas, con N suficientemente grande. Al atravesar la red las ondas provenientes de cada rendija interfieren formando un patrón de franjas iluminadas y obscuras, que podemos observar en una pantalla colocada suficientemente lejos de la red (infinito), ver figura 10-9.

Na Foco

Red Pantalla con una rendija

Lente Onda plana

Pantalla en +∞

Figura. 10-9: Esquema de un espectrómetro construido a partir de una red de N rendijas.


479

La ubicación de los máximos de intensidad depende de la longitud de onda, o sea del color. De esta forma, habrá franjas iluminadas de diferentes colores. Dijimos que el sodio emite principalmente luz amarilla (también verde, rojo, etc, con menor intensidad), pero se puede ver que esa luz amarilla en realidad esta formada por dos ondas de longitudes de onda muy parecidas, λ1 589 00= , nm y λ2 589 59= , nm (1 10 9nm m= − ), y muy difíciles de distinguir una de la otra, comúnmente se las denomina “doblete del sodio”. En la figura 10-10 graficamos el espectro correspondiente al doblete del sodio, la red nos ayuda a distinguir entre las dos longitudes de onda (amarilla) y nos permite además medirlas.

En el gráfico, podemos ver que en el centro de la pantalla ambas longitudes de onda se solapan, no siendo posible identificarlas como distintas. En el primer orden

(θλ

≈ ±d

) ya han comenzado a separarse, mientras que en el segundo orden (θλ

≈ ±2d

)

ya es posible medir el ángulo θ para cada longitud de onda amarilla y así determinar la longitud de onda que caracteriza a cada una de ellas. La separación lograda depende de la distancia d entre rendijas, mientras menor es esta distancia más separadas resultan las franjas. Además cuanto mayor es el número de rendijas las franjas son más intensas y finas, lo que permite mejorar la percepción del efecto.

d12λ

d22

λ

I(θ)

dλ−

dλ sen(θ) 0

Figura. 10-10: Graficamos el espectro correspondiente al doblete del sodio. En el segundo orden se distingue nítidamente la diferencia entre las dos longitudes de onda, de luz amarilla.


480

Optativo. Incidencia oblicua de la onda luminosa sobre una Red. Analicemos ahora el caso en que la onda plana incide oblicuamente, respecto al eje normal a la Red, con un ángulo de incidencia θi , tal como se muestra en la figura 10-11.

La consecuencia inmediata de esto, es que la franja central no se halla ubicada sobre el eje

normal sino que se corre un ángulo θi . Aunque el resultado es bastante intuitivo, la demostración analítica es un poco más dificultosa, ya que estamos trabajando con ondas y no con rayos. La diferencia principal es que el frente de onda no llega al mismo tiempo (en fase) a todas las rendijas, ya que no han recorrido el mismo camino óptico. Por consiguiente, las ondas cilíndricas reemitidas por cada rendija no están en fase entre sí. Podemos hallar esa diferencia de fase, entre dos rendijas consecutivas, con ayuda del gráfico de la figura 10-12. Vemos que al producirse incidencia oblicua, la parte de la onda plana que llega a la rendija 1 recorre un camino óptico mayor que la parte que llega a la rendija 2. La diferencia de camino es:

( )dl

i =θsen ⇒ ( )idl θ= sen 10-41

θi >0 θi

Pantalla en +∞ Fuente en -∞ Red

Franja central Onda Plana

Figura 10-11: Incidencia oblicua, de la onda luminosa, sobre una Red.

l

θi

d

1

2

Figura 10-12: Diferencia de caminos recorridos, por la onda, debido a la incidencia oblicua.


481

debido a esta diferencia de camino se produce una diferencia de fase,

( )ii dl θλπ=

λπ=δ sen2 2 10-42

En conclusión, podemos afirmar que si de la rendija número 2 sale una onda del tipo,

( )E t E kr t2 0 2( ) cos= − ω 10-43

de la rendija 1 sale,

( )E t E kr t1 0 2( ) cos= − +ω δ i 10-44

desfasada en una cantidad δ i de la primera.

Este desfasaje inicial se suma al desfasaje θλπ=δ sen2 d (ec. 10-3) producido entre dos

ondas emitidas por rendijas consecutivas, en su camino hacia algún punto P sobre la pantalla. Por ejemplo, para el caso de 3 rendijas que fue nuestro ejemplo original, la suma de los vectores ópticos que llegan al punto P, resulta (ver ecuaciones 10-6 y 10-7),

[ ] )cos()cos()cos(),( 0 tkrtkrtkrEtrE ii ω−δ−δ++ω−+ω−δ+δ−= ⇒

( )( )∑−=

δ−δ+ω−=1

1 n 0 cos),( intkrEtrE 10-45

Todos los cálculos posteriores resultan idénticos a los ya hechos salvo que, donde aparece

δ , ahora se reemplaza por iδ−δ . Por consiguiente la expresión 30, que nos daba la intensidad

luminosa en función del ángulo θ para un ángulo de incidencia 0=θi , cambia a,

( ) ( )( )( )( )

2

0 2/sen2/ sen ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δ−δδ−δ=θi

iNII 10-46

Por consiguiente, los máximos principales cambian su localización, y se encuentran

ubicados en los ángulos que satisfacen:

π=ππππ=δ−δ mi .....4 ,3 ,2 , ,02

con m∈ Ζ . 10-47


482

o sea,

( ) π=θ−θλπ=δ−δ 2 sensen 2 md ii con m∈ Ζ ⇒

idm θ+λ=θ sensen m con m∈ Ζ 10-48

o en nuestra aproximación,

θλ

θm ≈ +md i

Con lo cual la franja central ( 0=m ) ya no se encuentra en 0=θ sino en iθ=θ , como esperábamos intuitivamente, y las franjas sólo se corren rígidamente. A partir de lo hallado, discuta sobre si es posible observar las franjas de interferencia si se ilumina con una fuente de luz extensa. Optativo. Redes con resplandor: Existe otro tipo de redes, que en lugar de consistir en un arreglo de rendijas, pueden consistir en una superficie reflectora con características similares a las mostradas en la siguiente figura 10-13. Las ondas que se reflejan en las distintas superficies triangulares interfieren entre sí al llegar a la pantalla formando un patrón de interferencia. Este tipo de Redes, que no las estudiaremos en detalle, permiten direccionar la máxima intensidad hacia ordenes superiores al orden cero, lo cual resulta más conveniente para fines espectroscopios. 10-2. Cinco rendijas (muy finas), separadas entre si por una distancia d mm= 0 1, una de la otra, se iluminan uniformemente con luz de λ = 600nm . Los diagramas de interferencia se observan en una pantalla situada a una distancia de 10 metros.

Fuente en ∞

Pantalla

Red

Figura 10-13: Red con resplandor.


483

a) Calcular las posiciones de los máximos de interferencia. b) Calcular las posiciones en donde la intensidad se anula. c) Dibujar el diagrama de interferencia ( )I θ . d) ¿Cuántos máximos secundarios hay entre máximos principales? e) Si la intensidad de luz que llega a la pantalla, proveniente de cada ranura, es I 0

¿Cuánto vale la intensidad en los máximos de interferencia ?. f) Calcule aproximadamente la intensidad de luz en un máximo secundario

compárela con la que halló antes para el máximo principal. Para ello aproxime que el máximo secundario se encuentra entre dos ceros de intensidad.

g) Calcule el ancho de las franjas iluminadas correspondientes a los máximos de interferencia, compárelos con los que se obtenía en el caso de sólo 2 ranuras. Analice lo que sucede cuando el número de rendijas crece.

h) ¿Cuáles son las ventajas de tener más de dos ranuras? (indique dos ventajas). i) Importante. ¿Cómo sería la intensidad ( )I θ , sobre la pantalla, si las rendijas no

emitieran luz coherente entre sí?. Grafique.

Ayuda: recordar que ( )( )( )I IN

θδδ

=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥0

222

sen /

sen / donde δ π

λθ= 2 d sen .

10-3. Consiga un Compact Disc (no importa el autor ni el estilo). Observe el reflejo de alguna fuente de luz blanca, sobre él, compruebe que el compact logra dispersar los colores. Explique el fenómeno. 10-4. Guía Teórica: Difracción: Introducción:

En nuestra vida diaria estamos acostumbrados a ver las sombras de los objetos iluminados. Nuestra intuición, basada en la observación, nos lleva a pensar que esas sombras son perfectamente nítidas, es decir, poseen bordes bien definidos que separan una zona iluminada de una zona obscura. O, a lo sumo, la falta de nitidez que observamos, suponemos que se debe a que el objeto se halla iluminado con una fuente extensa y por consiguiente la luz llega hacia él con diferentes ángulos. Esta imagen concuerda perfectamente con el comportamiento que predice la teoría corpuscular de la luz. Si pensamos a la luz como formada por pequeñas pelotitas que inciden sobre el objeto, algunas chocan con él y rebotan, otras pasan sin interactuar y otras son dispersadas levemente. Como resultado de este proceso no esperamos hallar patrones (luz obscuridad, luz obscuridad, etc.) como los que estamos acostumbrados a observar en el caso de los fenómenos ondulatorios


484

(Interferencia), sino simplemente la proyección geométrica del obstáculo. Pero para nuestra sorpresa las sombras no son nítidas y forman además patrones como los que se esperan en una teoría ondulatoria de la luz. Para fijar ideas, supongamos que iluminamos una ventanita rectangular y observamos como se proyecta sobre una pantalla. Nuestra intuición nos dice que vamos a ver una proyección geométrica de la ventanita sobre la pantalla, como se muestra en la figura 10-14. Si sobre el obstáculo incidieran ondas planas con distinta inclinación se formarían diferentes proyecciones geométricas superpuestas. Pero aparentemente la Luz no se comporta de esta manera. Claro que por algo hemos formado nuestra intuición. En la mayoría de los casos que observamos, ventanas, grandes aberturas o grandes obstáculos, vemos un fenómeno que concuerda bastante bien con una proyección geométrica (o varias superpuestas). Pero no sucede lo mismo cuando iluminamos con una fuente coherente aberturas u obstáculos pequeños (¿pequeños respecto de qué?), fenómeno qué difícilmente observemos en nuestra vida cotidiana, a menos que dispongamos de un laboratorio con los instrumentos adecuados. Una de las razones por las cuales comúnmente no observamos fenómenos ondulatorios en la formación de sombras es que, como ya comprobaremos, son mejor visualizados en sombras de objetos pequeños. Pero el principal motivo, por el cuál no los observamos, es que la luz que ilumina comúnmente a los objetos no proviene de una fuente puntual y coherente (como la que disponemos en el laboratorio). Las fuentes de luz, comúnmente, son fuentes extensas y sin coherencia. Al ser fuentes extensas (no puntual), las ondas provienen de diferentes puntos de la fuente por lo cual llegan al objeto con diferentes ángulos y, por

Pantalla Iluminada. Proyección geométrica Obstáculo con

ventana.

Fuente en el ∞ Onda Plana

Figura 10-14: Proyección geométrica de una ventana sobre una pantalla.


485

consiguiente, forman patrones (máximos y mínimos de intensidad) corridos unos respecto de otros, por lo cual se hallan borroneados. Las fuentes extensas emiten luz no coherente, ya que las ondas provienen de la desexcitación de diferentes átomos que emiten sin guardar ninguna correlación unos con otros, por consiguiente, las fases de las ondas varían constantemente en el tiempo, de esta forma los patrones van cambiando, con lo cual, se dificulta la observación de fenómenos ondulatorios. A los fenómenos ondulatorios asociados con la formación de sombras se los conoce con el nombre de Fenómenos de Difracción. Como veremos no difieren conceptualmente de los fenómenos, ya estudiados, de interferencia entre rendijas puntuales. Este fenómeno, aunque lo estudiamos asociado al caso de ondas de luz, es común a todas las situaciones físicas que involucren ondas que inciden sobre obstáculos, tales como ondas de agua (cuba de ondas), ondas de sonido, etc.. En el caso del sonido, estamos acostumbrados a escuchar sonidos aunque coloquemos un obstáculo delante nuestro, pareciera que la sombra sonora no fuera tan efectiva como una sombra luminosa, decimos que la onda se difracta a través del obstáculo. Luego veremos que, en los casos en donde la longitud de onda, de la onda, es pequeña respecto del obstáculo, las sombras “parecen nítidas” (no se observa claramente la formación de patrones), pero si la longitud de onda es del orden de las dimensiones del obstáculo o mayor, la sombra deja de ser “nítida” y parte de la onda ocupa regiones que antes no estaban permitidas, en el caso de la luz, la onda ocupa “zonas de sombra”, mientras que en el caso del sonido, invade “zonas de silencio”. El oído percibe sonidos de longitudes de onda entre los valores 0 02 17, m m≤ ≤λ (aproximadamente). Gran parte de los obstáculos que podemos imaginar poseen estas dimensiones, por lo cual, esperamos que los sonidos graves (frecuencia baja ⇒ λ larga) se difracten mejor invadiendo regiones detrás de los obstáculos, mientras que los sonidos agudos (frecuencia alta ⇒ λ baja) se difractan menos, formando zonas de silencio más nítidas. Como ejemplo, recuerde como escucha la música de su vecino, ¿escucha todos los tonos por igual? ¿o escucha mejor los graves (tambores)?. Un objeto de 1 metro no representa un obstáculo apreciable para una onda de longitud de onda λ ≈ 20m (salvo en zonas muy cercanas al objeto). La onda lo envuelve, ocupando zonas que se hallarían vedadas si la sombra fuera perfectamente nítida. Mientras que sí representa un obstáculo apreciable para λ ≈ 0 02, m. Debido a que la onda se difracta, es que podemos escuchar sonidos provenientes de otras habitaciones de nuestra casa.


486

En el caso de la transmisión de ondas de radio, la difracción de la onda resulta provechosa. Las longitudes de onda resultan aproximadamente entre 180 550m m≤ ≤λ , para AM, y 2 5 3 5, ,m m≤ ≤λ para FM (y televisión). Para la onda AM la mayoría de los obstáculos (edificios) resultan pequeños, en el sentido que “casi no le hacen sombra” (lejos del edificio), por esta razón la radio AM puede escucharse perfectamente en una ciudad. No ocurre lo mismo con la onda FM, ni con la televisión, un edificio cercano puede impedir la correcta recepción de la señal (esto último no debe confundirse con lo ya estudiado en el capítulo 6, en donde afirmamos que en frecuencia modulada pueden eliminarse los ruidos con mayor eficiencia que en amplitud modulada) A continuación analizaremos el fenómeno de difracción producido cuando una onda coherente atraviesa un obstáculo, nos ocuparemos como ejemplo de aberturas (rendijas, ventanas), pero no perdamos de vista que el fenómeno es general a todo tipo de sombras como, por ejemplo, nuestra propia sombra. Difracción en una rendija rectangular (Aproximación de Fraunhofer):

Para fijar ideas, vamos a comenzar estudiando el fenómeno de difracción de la luz en el caso más simple, el patrón formado sobre una pantalla ubicada en el infinito (muy lejos) a partir de iluminar una rendija rectangular fina pero no puntual, de ancho “a” ( aL >> ), con una onda plana coherente (caso particular de la llamada aproximación de Fraunhofer: objeto iluminado con ondas planas y observación del fenómeno en un punto donde las ondas llegan “casi” planas, como por ejemplo cuando observamos sobre una pantalla muy lejana), como se muestra en la figura 10-15. Primeramente vamos a estudiar el caso en que la rendija es fina y larga, ver figura 10-16, es decir, ba << . Como comprobaremos luego, los efectos de la

z θ

L>>a

a

Onda Plana

P y

Figura 10-15: Difracción de una onda plana sobre una rendija de ancho a.


487

difracción son más pronunciados en la dirección y (de ancho a), mientras que no son apreciables en la dirección alargada x (de largo b). Para fijar ideas, en la figura 10-17, se muestra como se ve el negativo de una “foto” blanco y negro de la imagen formada sobre la pantalla (Mostramos el negativo para que sean más visibles las zonas donde la intensidad de luz es baja, ya que sólo la franja central se halla intensamente iluminada).

Note la aparición de un patrón de luz (zonas obscuras) y no-luz (zonas claras) propio de un fenómeno ondulatorio. Como luego veremos, la ubicación de las franjas depende de la longitud de onda de la luz incidente, al igual que sucede en los fenómenos de interferencia, por lo cual, en realidad las franjas se observan coloreadas, cosa que aquí no se aprecia ya que la imagen es blanco y negro (¡éramos tan pobres!). Si la imagen fuera la proyección geométrica, sólo esperaríamos ver una replica de la rendija, de ancho a y largo b, pero claramente no es lo que vemos.

Figura 10-17: Difracción producida en una rendija fina. Negativo de la imagen sobre la pantalla. Las franjas obscuras son las de mayor intensidad

Ancho>>a

b

x

y

y

xa

b

Rendija

Fig. 10-16


488

Note que en la dirección y “parece” no haber sucedido nada, las franjas tienen un largo b como lo que se espera en el caso de una proyección geométrica. En cambio, en la dirección x la rendija ha perdido su forma original. Algo notable es que la franja central es mucho más ancha de lo que era la rendija (longitud a), y lo más importante es la aparición de franjas iluminadas, paralelas a la central, de intensidad decreciente a medida que se alejan del centro. Decimos que la onda se ha difractado en la dirección y. En las figura 10-18 y 10-19, se muestra esquemáticamente, la forma en que se difracta la onda al salir de la rendija, en la dirección x e y ¿Por qué razón “pareciera” que no sucede nada en la dirección x (largo b) y sí en la dirección y (ancho a)?. Luego, comprobaremos analíticamente que la onda se difracta en ambas direcciones, pero los efectos se hacen mayormente visibles

Onda Plana Onda Difractada

y

En la dirección y:

Figura 10-18: Esquema de la forma en que se difracta la onda al atravesar la rendija, vista sobre el plano y-z.

Onda Plana

x

Onda muy poco Difractada

En la dirección x:

Figura 10-19: Esquema de la forma en que se difracta la onda al atravesar una rendija, vista sobre el plano x-z.


489

cuando la dimensión de la abertura es pequeña respecto a la longitud de onda de la onda incidente. Un caso particular es el de una rendija puntual, es decir, una rendija en donde el ancho a tiende a cero. Como ya sabemos de discusiones anteriores, la rendija se comporta como una fuente de onda con simetría cilíndrica, como muestra la figura 10-20. Podemos observar que la pantalla queda completamente iluminada. Es un error muy común el de creer que, como no aparecen franjas claras y obscuras, no existe difracción. Pero en realidad el fenómeno de difracción se está manifestando en forma apreciable ya que la imagen formada en la pantalla (completamente iluminada), difiere completamente de la imagen esperada a partir de una proyección geométrica (propagación rectilínea), o sea, la onda plana al incidir sobre la rendija puntual se difracta completamente. Queremos entender este fenómeno a través de la teoría ondulatoria de la luz. Resolverlo a partir de las leyes de Maxwell del electromagnetismo resulta extremadamente dificultoso. Por lo cual, apelaremos nuevamente a la imagen que nos brinda el principio de Huygens-Fresnel, modelo aceptable dentro de la aproximación de Fraunhofer. En el caso en que teníamos muchas rendijas, vimos que cada rendija se comporta como fuente de ondas y que su superposición produce el fenómeno de interferencia. Ahora tenemos una rendija que no es puntual, sino que tiene un ancho a. Pero como ya sabemos del principio de Huygens podemos pensar que cada punto del frente de onda, que atraviesa la rendija, se comporta como una nueva fuente de ondas, de esta forma, podemos modelar la ventana (de ancho a) como una sucesión continua de rendijas puntuales. Las ondas emitidas por estas rendijas puntuales

Onda Difractada

Onda Plana

y

Figura 10-20. Difracción en una rendija puntual. Si la pantalla se halla suficientemente lejos, la onda llega “casi” plana, iluminando toda la pantalla.


490

imaginarias se superponen, interfiriendo entre sí, formando sobre la pantalla un patrón de franjas claras y obscuras característico de un fenómeno ondulatorio (ver figura 10-21). Para comprobar el alcance del modelo propuesto, hagamos las cuentas y hallemos el vector óptico total en cada punto P de la pantalla, para luego obtener la intensidad en función del ángulo. En el caso de N rendijas, recordemos que debimos sumar las ondas (coherentes y en fase) provenientes de cada una de ellas (guía teórica 10-1, ec 10-9), es decir,

∑ δ+ω−=∑=1)/2-(N

1)/2--(N=n0

1)/2-(N

1)/2--(N=nn )cos( ),( ntkrEEtrE 10-49

donde δπλ

θ=2

d sen , y d era la distancia entre rendijas.

En el caso de una abertura no puntual, todo indica que la sumatoria se convierte en una integral. La integral a resolver (dentro de nuestras aproximaciones) tiene la forma (Pensarlo detenidamente),

( )( ) dyyktkrEtrEa

a

sen cos ),(2/

2/ 0 ∫

−

θ−ω−= 10-50

donde, la variable “y” identifica los diferentes puntos de la rendija, desde y a= − / 2 a y a= / 2. Nosotros aquí propondremos otro camino para resolver el problema, le dejamos al lector la tarea de resolver la integral y verificar que por ambos caminos se obtiene igual resultado. En una primera lectura recomendamos saltear lo que sigue y retomar a partir de la ecuación 10-57, en donde se obtiene el resultado de la integral 10-50.

Saltear en una primera lectura, retomar en la ecuación 10-57. Resolvemos el problema proponiendo un modelo, en donde consideramos que el proceso físico correspondiente a una onda plana atravesando una rendija de ancho a, puede ser aproximado (modelado) a través de una situación idealizada que consiste en reemplazar a la rendija de ancho a

por N rendijas puntuales separadas entre sí una distancia daN

= , con N suficientemente grande, ver

figura 10-21.


491

El modelo se completa analizando el límite de N tendiendo a infinito. Con lo cual, estamos modelando a la abertura como formada por un número N →∞ de rendijas puntuales separadas, entre sí, una distancia d → 0 (analice cuidadosamente el modelo). Nosotros ya calculamos el vector óptico total de un sistema de N rendijas en el punto P, en la guía teórica 10-1 ecuación 10-27 obtuvimos,

( )( ) ( )tkrNEntkrEtrE ω−δδ=∑ δ+ω−= cos

2/sen2/ sen )cos( ),( 0

1)/2-(N

1)/2--(N=n0 10-51

usando que δπλ

θ=2

d sen y reemplazando por daN

= ⇒ δπλ

θ=2

N

a

sen ⇒

( )tkr

Na

aEtrE ω−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

= cos 2/sen 2sen

2/sen 2sen ),( 0 10-52

Ahora queremos analizar el límite de la expresión 10-52 cuando N tiende a infinito. Pero antes de hacer esto, vamos a apelar a la intuición e imponer una condición esencial para que el límite no diverja. Imponemos que la amplitud del vector óptico que llega al punto P, proveniente de cada rendija, resulta proporcional a la inversa del número de rendijas, o sea,

EN0

0=ε

, 10-53

donde ε0 es una constante. De tal forma que, si sumamos constructivamente las N ondas, el vector óptico total en el punto P, no resulte divergente a medida que crece N, es decir,

E NE NN

N

01

00

0∑ = = =ε ε 10-54

θ

Pantalla

Fuente puntual y coherente, en -∞

Abertura de ancho a, pensada como N rendijas puntuales

d=a/N

a

P Fig. 10-21


492

Con lo cual ε0 resulta ser el máximo valor posible del vector óptico que llega a un punto P (interferencia constructiva). Fijada esta condición, calculamos el campo total en el punto P de la pantalla, debido a la contribución de toda la abertura de ancho a como,

( )tkr

Na

aLimtrE

Nω−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

=ε

∞→cos

2/sen2sen

2/sen2sen),( 0

N 10-55

Comencemos por analizar el límite del factor,

sen sen /2

2πλ

θ aN

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Apelemos a un truco conocido, multiplicamos y dividimos por un mismo factor, con el fin de

lograr que tome la forma del conocido límite sen x

x x→⎯ →⎯⎯0 1, es decir,

sen sen / sen /sen sen /

sen /sen /

22

22

22

22

22

πλ

θπλ

θ

πλ

θ

πλ

θ

πλ

θ

aN

aN

aN

aN

aNN

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

⎯ →⎯⎯→∞

reemplazando en la expresión 10-55,

( )tkr

Na

a

NLim

trEN

ω−θ

λπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

=ε

∞→cos

2/sen2

2/sen2sen),( 0

10-56

Retome la lectura


493

Con lo cual obtenemos,

( )tkra

atrE ω−

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

θλπ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ θλπ

= ε cos 2/sen 2

2/sen 2sen ),( 0 10-57

donde ),( trE es el vector óptico total en el punto P de la pantalla. Observamos que este valor oscila armónicamente, con frecuencia angular ω, y su amplitud depende del punto P analizado, a través del ángulo θ, o sea,

( )Amplituda

aθ

πλ

θ

πλ

θε=

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎡

⎣

⎢⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥⎥

0

22

22

sen sen /

sen / 10-58

Para facilitar la escritura, definimos a la fase φ como,

φπλ

θ=2

a sen 10-59

con lo cual, la expresión 10-57 se puede escribir,

( )( )E t kr t( )

sen //

cos=⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥− ε φ

φω0

22

10-60

Note que la fase φ representa el desfasaje que se produce entre las ondas que provienen de extremos opuestos de la rendija, ver figura 10-22, donde observamos que la diferencia de camino entre ambas ondas es aproximadamente Δr a= senθ

(comprobarlo), y por consiguiente, el desfasaje correspondiente es φπλ

θ=2

a sen

como habíamos anticipado.


494

Hallemos finalmente la intensidad de luz que llega al punto P,

( ) ( ) 2/

2/ 2

),(2 2

02⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==

φφθ ε sentrEI 10-61

Llamando I00

2

2=ε

(intensidad máxima sobre la pantalla), entonces,

( ) ( ) 2/

2/ 2

0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

φφθ senII 10-62

Analicemos la expresión 10-62 para comprobar si de ella se desprende el espectro de franjas mostrado en la figura 10-17. Para ello resulta necesario estudiar la ubicación de los máximos y los ceros de intensidad. Antes de resolverlo analíticamente, apelaremos al Mathematica para graficar la función ( )I θ y obtener información de allí, ver figura 10-23.

a

P

L >> a

θ

Δr=a sen(θ)

Figura 10-22: Diferencia de caminos recorridos por la onda, desde un extremo al otro de la rendija, para llegar a un punto P genérico.


495

Del gráfico, de la figura 10-23, notamos principalmente que:

La Intensidad resulta sólo apreciable en la franja central ( I0). La intensidad de la segunda franja es aproximadamente la 22 ava parte de la franja central ( I0 22/ ), por lo cual en la mayoría de los casos resulta invisible (compruébelo, aproxime la ubicación del máximo de la segunda franja, suponiendo que se halla entre dos ceros, lo cual no es cierto, use la ecuación 10-55).

La Intensidad se anula en los ángulos que satisfacen la relación,

( )sen /φ 2 0= ⇒ φ π/ 2 = ′m con ′ ∈m Ζ ⇒

( )φπλ

θ π/ sen /22

2= = ′ a m ⇒

( )sen θλ

= ′ma

con ′ ∈m Ζ 10-63

como se observa en el gráfico de ( )I θ .

I0/22I0/22

I(θ) I0

sen(θ0 λa 2 λ

a 3λ a− λa−2 λ

a−3λ a

Figura 10-23: Gráfica de la función intensidad en función del ángulo, correspondiente a una rendija de ancho a.


496

La franja central posee un ancho angular igual a 2λa

. O si lo observamos

sobre una pantalla lejana (a longitud L ) su ancho resulta: ancho La

= 2λ

.

Algo notable es que si el ancho a de la rendija aumenta mucho, o sea, a >> λ entonces el ancho angular tiende a cero,

ancho angulara a = ⎯ →⎯⎯>>2 0λ

λ 10-64

lo cual pareciera indicar que la franja central desaparece. Esto parece contradecir nuestra intuición, a mayor abertura mayor es su imagen, pero en realidad, la predicción hecha por el modelo no resulta completamente correcta, ya que, en este límite dejan de valer nuestras aproximaciones (a ≈ λ). El resultado obtenido en 10-64 debe interpretarse como que, a medida que el

ancho de la abertura crece (a >> λ) “desaparecen” los efectos de la difracción. Esto ya lo habíamos notado antes cuando afirmamos que los efectos de la difracción no eran notables en la dirección “y” (b >> λ). En el desarrollo de nuestro modelo hemos siempre supuesto que el ángulo θ es pequeño, es decir, que la expresión 10-64 sólo describe correctamente la intensidad si es observada en una pantalla que se halla a una distancia L a>> . Además, dentro de ésta aproximación, hemos considerado que la onda que sale de un borde de la abertura es paralela a la onda que sale del otro borde, lo cual, resulta equivalente a despreciar el ancho a de la abertura respecto a la longitud L. El ancho de la franja central, predicha por la ecuación 10-64, en realidad representa lo que aumenta, aproximadamente, el ancho de la onda por sobre su ancho original a.

Para fijar ideas, en la figura 10-24, se representa la dispersión angular θλ

≈a

que sufre un haz coherente. A gran distancia el ancho a resulta completamente despreciable respecto de la dispersión sufrida por la onda debida a la difracción.

θ

Onda Plana Onda Difractada

a

Figura 10-24: Esquema de la difracción producida sobre una rendija.


497

Sobre la pantalla, la campana de difracción resulta mucho más ancha que la abertura, es decir,

a La

<<λ

Comentario importante: En la discusión anterior nos hemos basado en el hecho de que la fuente de luz es coherente. Al ser coherente la onda incidente, cada punto del frente de ondas que atraviesa la rendija es fuente de ondas cilíndricas coherentes que interfieren entre sí formando el patrón de difracción, que ya hemos descripto, y cuya característica sobresaliente es que la energía luminosa se concentra principalmente en la franja central. En cambio, si la fuente no fuera coherente (por ejemplo, si iluminamos con una linterna), entonces los puntos de la rendija no emiten guardando coherencia unos con otros, por lo cual no resulta válido el cálculo precedente. Como consecuencia de esto se observa que la energía no se concentra tan fuertemente como en el caso coherente, parte de la energía se dispersa a zonas que antes permanecían obscuras. Esto es debido a que no se produce una perfecta interferencia destructiva debido a la incoherencia de la onda.

Un haz de luz Láser se dispersa sólo debido a la difracción un ángulo θλ

≈a

,

donde “a” representa el ancho de salida del haz. Mientras que cualquier otra fuente de luz incoherente se dispersa mucho más que lo predicho en el cálculo (linterna). Ahora podemos justificar un poco mejor la afirmación de que en la dirección “y” no resulta apreciable la difracción de la onda. Sabiendo que b a>> > λ, la

dispersión angular en la dirección “y” resulta despreciable ya que θλ λ

≈ <<b a

. es un

ángulo muy pequeño. Podemos afirmar que, en general, los efectos de la difracción resultan “apreciables” cuando la rendija o el obstáculo tiene dimensiones comparables con la longitud de onda de la luz incidente (el fenómeno no desaparece nunca, sólo afirmamos en que situaciones resulta apreciable). Una imagen didáctica de lo dicho se muestra en la figura 10-25.


498

Saltee en una primera lectura.

Máximos de Intensidad, resolución analítica: Volvamos a la ecuación 10-62 y hallemos los máximos analíticamente.

( )( )

I Iθφ

φ=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

22

2

sen //

10-65

derivando la función ( )I θ respecto de φ (φ es proporcional al ( )sen θ , pero en nuestra aproximación

( )sen θ θ≈ ) e igualando a cero,

( ) ( ) ( ) ( )dI

dI

θφ

φφ

φφ

φφ

= −⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥ =0 22

22

12

22

22

0 sen /

/cos /

/sen /

/ 10-66

descartamos los ángulos que anulan al primer factor ya que corresponden a los ceros de intensidad, entonces los extremos son los que cumplen,

( ) ( )cos / sen //

φφ

φφ

2 222= ⇒

( )( ) ( )φφφ

φ/sen /cos /

tg /222

2= = 10-67

λ

λ

Los efectos de la difracción son notables. Se aprecia el carácter ondulatorio de la luz

Los efectos de la difracción diminuyen. La luz parece comportarse como un rayo de partículas

Figura 10-25: Los efectos de la difracción dependen de la relación entre la longitud de onda y el tamaño del obstáculo u objeto iluminado.


499

o definiendo la variable β φ= / 2 la ecuación queda,

( )β β= tg 10-68

Esta ecuación puede resolverse numérica o gráficamente si la pensamos como intersección de dos funciones, las funciones,

( )f1 β β= y ( ) ( )f 2 β β= tg . Como ejemplo, en la figura 10-26, gráficamente hallamos los puntos que satisfacen

( ) ( )y f f= =1 2β β , 10-69

Del gráfico, concluimos que, las funciones ( )f1 β y ( )f 2 β se interceptan en infinitos puntos (porque hay infinitas ramas en la función tangente). Uno de esos puntos es β = 0 que corresponde a θ = 0, que ya sabíamos del gráfico de la función ( )I θ que corresponde al máximo más intenso. Los otros extremos se hallan ubicados en puntos cercanos a (aproximadamente),

β π π≈ 3 2 5 2/ , / , ....... ⇒ φ π π π≈ = ′′3 5, ,.... m ( ′′ →m entero impar mayor que 3)

y usando que ( )φπλ

θ=2

a sen

⇒ ( )sen ( )θλ

≈ ′′ +ma

12

10-70

por lo cual verificamos que los máximos secundarios se hallan ubicados cerca del medio entre dos ceros (pero no exactamente).

Retome la lectura

Fig. 10-26

β

y = f1 = f2

π/2 3π/2


500

Ejercicio. Halle la intensidad aproximada del primer máximo secundario. Resp.

22/0I Comentario: Todo lo hallado analíticamente sólo resulta válido dentro de la aproximación de Fraunhofer, que consiste en iluminar con una onda plana y observar la formación de los patrones en un punto donde las ondas llegan “casi” planas (por ejemplo en el infinito). De esta forma el principio de Huygens-Fresnel puede utilizarse sin prestar atención a sus limitaciones. Difracción en una rendija iluminada con luz Láser: En el laboratorio comúnmente, como fuente coherente de ondas planas, se utiliza luz Láser. El ancho del haz Láser es del orden del milímetro, por lo cual, si lo hacemos incidir sobre una rendija sólo una pequeña parte entra en juego, y por consiguiente, sobre la pantalla no vemos largas franjas como las mostradas en la figura 10-17, sino franjas muy angostas. En la figura 10-27, se muestra el negativo de la imagen sobre la pantalla.

Difracción en una rendija cuadrada (Aproximación de Fraunhofer). Si la rendija posee dimensiones a y b comparables y pequeñas, respecto de la longitud de onda, entonces los efectos de la difracción son apreciables en las dos direcciones. En la figura 10-28 mostramos el negativo de la imagen formada sobra una pantalla (en el infinito) por una onda plana que atraviesa una rendija cuadrada ( ba = ). Observamos la formación de franjas en ambas direcciones.

Figura 10-27: Difracción de Franhoufer en una rendija iluminada con luz láser (negativo de la “foto” sobre la pantalla)


501

No lo haremos aquí, pero puede demostrarse (integrando las ondas provenientes de la abertura) que la expresión general, dentro de la aproximación de Franhoufer, para la intensidad de luz que llega a una pantalla lejana después de atravesar una rendija rectangular, en la que ambas direcciones son comparables y pequeñas, es:

( ) ( ) ( ) 22

0 2/2/sen

2/2/sen ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕϕ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φφ=θ II 10-71

donde xa θλπ=φ sen 2

y yb θλπ=ϕ sen 2

.

Difracción en una abertura circular (Aproximación de Fraunhofer). Si la abertura es circular, de diámetro D (de dimensiones comparables a λ ), e iluminamos con una onda plana coherente, observamos sobre una pantalla (en el infinito) un patrón semejante al mostrado en la figura 10-29 (negativo de la imagen).

Figura 10-29: Difracción de Franhoufer en una abertura circular, iluminada con luz láser (negativo de la “foto” sobre la pantalla)

Figura 10-28: Difracción de Franhoufer en una abertura cuadrada, iluminada con luz láser (negativo de la “foto” sobre la pantalla)


502

Puede demostrarse (integrando las ondas provenientes de la abertura) que la expresión general, dentro de la aproximación de Fraunhofer, para la intensidad de luz que llega a una pantalla lejana después de atravesar una rendija circular es:

( ) ( ) 21

0 2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡φφ

=θJII 10-72

donde φπλ

θ= D sen y ( )φ1J es la función de Bessel de primera especie de orden 1,

función que sólo es algo más complicada que las funciones seno o coseno (disponible en el Mathematica ( )J z BesselJ z1 1≡ [ , ], graficarla). En la figura 10-30, con ayuda del Mathematica, graficamos a la función ( )θI (verifique).

senθ

−1 64. λD −1 22. λ

D 1 22. λD

( )θI

1 64. λD

Figura 10-30: Gráfico de la intensidad en función del ángulo, en el caso de difracción sobre una abertura circular.


503

Observamos que los ceros no se hallan en los valores simples a los que estamos acostumbrados con las funciones seno y coseno, pero la diferencia no es muy grande. Como ejemplo, el primer cero se halla en,

sen ,θλ

≅1 22D

10-73

o dentro de nuestra aproximación,

θλ

≅1 22,D

10-74

donde D es el diámetro de la rendija (recuerde que en una rendija el primer cero se

halla en θλ

≅a

). Enfatizamos el resultado de la ubicación del primer cero porque nos

será útil cuando hablemos de resolución de instrumentos ópticos. Comentario: Hemos enfatizado los resultados correspondientes a difracción en aberturas, tales como rendijas, ventanas, aberturas circulares, simplemente por sus aplicaciones técnicas. Pero el fenómeno de difracción se manifiesta en toda experiencia de formación de sombras, sea la sombra de un objeto o la de nuestro propio cuerpo. Luego discutiremos la aparición de este fenómeno también en la medición de propiedades atómicas y nucleares. 10-5. El hecho de que ocurra interferencia y difracción en fenómenos en donde está involucrada la luz ¿de qué es prueba, del modelo corpuscular o del ondulatorio?. 10-6. Las ondas se abren en abanico al pasar por una abertura (difracción). ¿Este efecto es más o menos pronunciado cuanto más angosta sea la abertura?, ¿más angosta respecto de qué?. 10-7. ¿La difracción es beneficiosa o perjudicial para la recepción de ondas de radio?. Discuta sobre lo que sucede con radio AM y FM en una ciudad.


504

10-8. ¿La difracción es beneficiosa o perjudicial para ver objetos en un microscopio?. Discuta. 10-9. (Recomendado). Se hace pasar luz láser de λ = 700nm de longitud de onda, a través de una rendija vertical de ancho a mm= 0 5, , para luego incidir en una pantalla a 6 metros de distancia (difracción de Fraunhofer). a) ¿Cuál es el ángulo θ en que se encuentra el máximo principal de difracción?. b) Hallar los ángulos θ en donde se hallan los ceros de intensidad. c) Dibujar el patrón de difracción, es decir graficar ( )I θ (trate de hacerlo con el

Mathematica). d) Hallar el ancho (horizontal) del máximo principal de difracción en la pantalla, es

decir, hallar la distancia entre el primer cero a la izquierda y el primer cero a la derecha del máximo central.

e) Hallar la intensidad que llega al máximo central. f) Hallar la intensidad que llega al primer máximo secundario. Para ello aproxime su

ubicación pensando que está en el medio entre dos ceros. g) Importante. ¿Qué cambia si en lugar de iluminar con luz láser, se ilumina con una

fuente incoherente?. h) Importante. Repita los cálculos anteriores para el caso de un hipotético rayo, es

decir para λ = 0 . ¿Será cero el ancho iluminado?, ¿o valdrá a mm= 0 5, ?. ¿No se habrán hecho aproximaciones que nos hacen confundir?. Discuta.

Ayuda: recordar que ( )( )

I Iθφ

φ=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥0

22

2

sen //

donde φ πλ

θ= 2 a sen .

10-10. (Recomendado). En el problema anterior se ha hablado de una rendija vertical de ancho a mm= 0 5, , pero no se habló para nada de la altura b . ¿A qué se debe esto? ¿No se esperan efectos de la difracción en esa dirección?. Discuta y compruebe lo discutido asignando a la altura de la rendija el valor b cm= 1 . 10-11. (Recomendado). Supongamos que tenemos un haz láser, cuyo diámetro es de a mm= 2 , con una longitud de onda de λ = 600nm . a) ¿Cuánto aumenta el diámetro del haz a una distancia de 15 metros?. Resp. 9mm. b) ¿Qué sucedería si en lugar de ser un haz de láser fuera un haz de linterna?.

Discuta


505

10-12. Guía Teórica. Red de N rendijas no puntuales (aproximación de Fraunhofer):

Hasta el momento hemos estudiado Redes en donde las rendijas son puntuales. Ahora queremos estudiar el caso real en donde las rendijas poseen un cierto ancho a. Supondremos que se hallan separadas, entre sí, una distancia d mayor que a ( ad > ). Al no ser puntual, la rendija ya no emite una onda cilíndrica (igual intensidad para todo θ), sino que por efectos de la difracción, la intensidad de la luz resulta máxima para el ángulo 0=θ y menos intensa a medida que aumenta el ángulo θ

(campana central de difracción), anulándose completamente en los ángulos aλ±≈θ

(suponemos que la presencia de más de una rendija no altera los resultados obtenidos para una). Las ondas provenientes de cada rendija se superponen sobre la pantalla formando un patrón de franjas de interferencia. Los máximos de intensidad siguen formándose en los mismos ángulos que hallamos para rendijas puntuales, es decir, en

dm λ≈θ . Pero ahora, como las rendijas no emiten ondas cilíndricas (igual intensidad

para todo θ), las franjas no tienen todas la misma intensidad. La del centro resulta la más intensa (orden 0=m ), y a medida que nos alejamos del centro la intensidad disminuye (ordenes superiores), para casi anularse completamente fuera de la campana de difracción. En particular, se anula completamente en los ceros de

difracción, en los ángulos aλ±≈θ (ver figura 10-31).

Nosotros no haremos el cálculo, el cual no difiere mucho de los que ya hicimos, pero, a partir de lo que hemos comentado resulta intuitivo pensar que la función intensidad ( )θI tiene una dependencia angular semejante a la que ya hemos hallado en el caso de N rendijas puntuales, pero con su amplitud modulada por la difracción. La expresión para la función intensidad resulta,

( ) ( ) ( )( )

2/sen2/ sen

2/2/sen

22

0 ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡δδ

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡φφ=θ NII 10-75

donde, θλπ=δ send 2

y θλπ=φ sena 2

.


506

Para visualizar mejor el fenómeno, en la figura 10-31, graficamos a la función ( )θI para el caso 2=N (Young) (hemos tomado el ancho a igual a la quinta parte

de la distancia d entre rendijas, 5/da = ).

Comprobamos que las franjas de interferencia se hallan ubicadas en los

mismos ángulos que antes d

m λ≈θ , pero ahora su amplitud decrece a medida que el

ángulo aumenta, hasta anularse exactamente en los ángulos θλ

≈ ±a

.

En la figura 10-32 mostramos como resulta el negativo de la imagen sobre una pantalla (en el infinito).

( )θI

( )θsen

Campana de difracción

dλ

dλ2 a

λ

Figura 10-31: Difracción de Franhoufer en una red de dos rendijas. Gráfica de la intensidad en función del ángulo.


507

El número de franjas de interferencia que se observa, dentro de la campana de difracción, depende únicamente de la relación entre el ancho a y la distancia entre rendijas d, en la siguiente forma (verifique),

advisiblesordenesdenúmero ≈

Puede ocurrir que algún orden de interferencia (franja) desaparezca completamente, siempre y cuando su posición angular corresponda a un cero de difracción. Es lo que sucede en el ejemplo del gráfico de la figura 10-31, allí concuerda la ubicación del orden 5=m , de interferencia, con el cero de difracción, es decir,

adλ=λ≈θ 5 ya que 5/da = .

10-13. (Recomendado). Se observa un diagrama de interferencia-difracción de Franhoufer producido por dos rendijas. Las rendijas tienen un ancho de a = 0,01mm y están separadas por d = 0,2mm . Si se ilumina con luz roja (λ = 700nm ) y se observa sobre una pantalla a una distancia L m= 10 : a) ¿Cuál es la ubicación angular de las franjas de interferencia? b) ¿Qué ancho tienen las franjas de interferencia?. c) ¿Cuál es el ancho del máximo de difracción?. d) ¿Cuántas franjas brillantes se verán en el máximo de difracción central ?. e) ¿Cuántas franjas brillantes se verán en el primer máximo secundario de difracción

central?.

Figura 10-32: Difracción de Franhoufer en una red de dos rendijas. Esquema del negativo de la imagen sobre la pantalla. (las zonas obscuras representan máxima intensidad)


508

f) Haga un gráfico del diagrama de interferencia-difracción. g) Importante. ¿Qué cambia si en lugar de iluminar con luz coherente, se ilumina con

una fuente incoherente?.

Ayuda: ( )( )

( )I Iθφ

φδ=

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥4

22

20

22sen /

/cos / donde φ π

λθ= 2 a sen y δ π

λθ= 2 d sen .

10-14. (Recomendado). Siguiendo con el problema anterior (es idéntico pero cambia

la longitud de onda), si ahora se emplean rayos X (λ = 1 oA m= −10 10 .) en lugar de luz

roja, a) ¿Qué ancho tienen las franjas de interferencia?. b) ¿Cuál es el ancho del máximo de difracción?. c) Haga un gráfico del diagrama de interferencia-difracción. d) ¿Será posible ver el patrón de interferencia-difracción con este sistema? ¿Qué es

lo que verá?. Sobre la base de lo anterior, piense por qué razón se los llama rayos X?.

e) Proponga nuevos anchos de ranuras y separación entre ellas de tal forma de apreciar el patrón de interferencia-difracción, ¿es posible fabricar tal sistema?. Discuta y consulte.

10-15. Guía Teórica: Resolución en instrumentos ópticos, el ojo y redes:

El hecho de que la luz se comporte como una onda, limita apreciablemente la posibilidad de visualizar (medir) objetos con instrumentos ópticos, como el microscopio, el telescopio o incluso el ojo. Muchas veces uno se ha preguntado ¿por qué no resulta posible observar con ayuda de un microscopio la estructura molecular de un compuesto o la estructura atómica de una molécula? ¿Qué nos impide construir instrumentos ópticos sofisticados con un poder de amplificación suficiente como para poder observar estos objetos?. La respuesta no hay que buscarla en cuestiones técnicas constructivas, sino en el carácter ondulatorio de la luz. La “prohibición” se halla escrita en las leyes de la Física, “con luz visible resulta imposible observar una molécula”, aunque en el futuro se construyan los microscopios más sofisticados. La limitación proviene de la difracción que sufre la luz al atravesar aberturas, que en el caso de los instrumentos ópticos pueden ser lentes, diafragmas, pupilas, etc.. Para fijar conceptos analizaremos el ejemplo del instrumento “ojo”, que aunque no es el mejor ejemplo desde el punto de vista óptico, si lo es desde un punto


509

de vista didáctico. El análisis que sigue apunta a entender lo que sucede en un instrumento óptico, tal como lupa, microscopio, telescopio, etc.. Suponga que intenta observar dos organismos microscópicos con su ojo, tal como se muestra en la figura 10-33 (donde no se han respetado las dimensiones relativas, en particular las campanas de difracción se hallan excesivamente agrandadas). La pupila de su ojo es una abertura circular pequeña (¿respecto de qué?), de diámetro D mm≈ 5 , por lo cual no se halla exenta de los fenómenos de difracción estudiados. La imagen de un punto resulta una mancha redonda, cuya distribución de intensidad viene dada por la campana de difracción de una abertura circular. Por lo cual, si queremos observar a dos puntos (fuentes incoherentes entre sí), que se hallan demasiado juntos (θ pequeño), es posible que las manchas se hallen superpuestas, y de esta forma, resulte imposible saber si vemos uno o dos puntos, ver figura 10-34. Queremos obtener un criterio que nos permita decidir si dos objetos pueden ser resueltos como distintos, o no, por un instrumento (por ejemplo el ojo). Existe un criterio aceptado, denominado criterio de Rayleigh para la resolución, que estipula: Dos objetos cercanos pueden ser resueltos mínimamente,

Imagen de dos puntos en la retina. No resulta posible diferenciarlas

Imagen de dos puntos en la retina. Resulta posible diferenciarlas

Fig. 10-34

L≅25cm

θd

Figura 10-33: Difracción a través de la pupila del ojo. Campanas de difracción formadas en la retina, correspondientes a dos fuentes cercanas.


510

por un instrumento, si el máximo de difracción de uno concuerda con el primer cero de difracción del otro. En la figura 10-35, hemos graficado la intensidad de luz, sobre la retina, proveniente de dos objetos puntuales que se hallan a una distancia crítica. Hemos denominado θc al ángulo crítico de resolución.

Si se observan, con un instrumento óptico cualquiera (lupa, microscopio, telescopio), dos objetos que subtienden un ángulo mayor que el crítico es posible resolverlos como dos objetos distintos, en cambio, si subtienden un ángulo menor que el crítico no resulta posible distinguirlos (criterio arbitrario). Para el caso particular de una abertura circular ya hemos mostrado, en la guía teórica 10-4 (ec. 10-74), que el primer cero de la campana de difracción se halla en el ángulo,

θλ

c ≈ 1 22,D

10-76

(recordar que, en una rendija de ancho a, el primer cero se halla en θλ

≈a

).

I(θ)

0 θcθ

Figura 10-35: Criterio de Rayleigh, para resolución en instrumentos. Dos objetos cercanos pueden ser resueltos mínimamente, por un instrumento, si el máximo de difracción de uno concuerda con el primer cero de difracción del otro.


511

Volvamos al ejemplo del ojo. Supongamos que iluminamos los objetos con luz roja (la de mayor longitud de onda del espectro visible, λ ≈ 700nm), entonces el ángulo crítico resulta ser,

θc ≈ = −1 227005

1708 10 4, .nm

mmradianes

Supongamos que observamos, a los objetos, a la distancia de visión distinta, es decir, aproximadamente L cm= 25 , entonces la distancia de separación mínima d, entre los objetos, para resolverlos como distintos resulta ser,

θc ≈dL

⇒ d L LD

cmnm

mmm m≈ ≈ = = =− cθ

λμ1 22 25 1 22

7005

4 27 10 42 75, , , ,

Objetos puntuales que se hallen a una distancia menor, serán percibidos como un sólo objeto. Podemos hacer una estimación muy grosera de cuantos átomos hay en

42 7, μm. Si pensamos que un átomo mide alrededor de 5 5 10 10A mo

= − y que la separación entre átomos es del mismo orden, obtenemos que hay aproximadamente 43000, que claramente no podemos distinguir como objetos separados. En la retina, la separación entre las imágenes puede calcularse fácilmente (verifique). Sabiendo que la distancia de la pupila a la retina es de aproximadamente 2 5, cm, las imágenes se hallan separadas unos 4 μm. Los conos, en la retina, se hallan separados aproximadamente una distancia de 1 μm , con lo cual podríamos suponer que, quizás, si no fuera por el carácter ondulatorio de la luz podríamos diferenciar objetos separados una distancia cuatro veces menor. Esta suposición en realidad no es correcta, ya que el ojo es un instrumento muy complejo y en movimiento permanente. De la expresión hallada para el ángulo crítico (ec. 10-76), concluimos que es posible mejorar la resolución de un instrumento (distinguir objetos que subtiendan un ángulo pequeño), disminuyendo la longitud de onda con que se ilumina el objeto o aumentando el diámetro D de la lente. Para mejorar la resolución en telescopios, comúnmente se construyen grandes lentes (D grande), con lo que además se aumenta la energía recolectada proveniente del objeto celeste observado. En microscopios comúnmente se utiliza luz azul o violeta como fuente (menor longitud de onda entre las visibles). Para observar objetos aún más pequeños,


512

resulta necesario apelar a longitudes de onda menores que las visibles, por ejemplo ultravioleta. El microscopio electrónico, por ejemplo, usa electrones en lugar de una onda electromagnética. Dentro del marco de la Teoría Cuántica, las partículas ya no se comportan como pelotitas, que es como uno ingenuamente se las imagina, sino que en ciertas experiencias se manifiestan con características ondulatorias mientras que en otras lo hacen como partículas. Este tipo de fenómenos contradice nuestro preconcepto de la realidad, no esperamos que un electrón se comporte como una onda, pero hasta el momento toda la evidencia experimental existente no hace más que confirmar, con mucha exactitud, las predicciones de la teoría cuántica. Todas las partículas existentes en la Naturaleza tienen asociadas una onda cuántica y resulta imposible separar el concepto de onda del de partícula (ni onda ni partícula, dualidad onda-partícula), conceptos que en física clásica no se hallan intrínsecamente relacionados. Los fenómenos ondulatorios estudiados en ondas electromagnéticas (luz) valen también para las onda-partículas cuánticas, interferencia, difracción, etc. El electrón es una onda-partícula y posee una longitud de onda asociada que resulta inversamente proporcional al impulso que posee. La relación entre λ y p resulta,

λ =h

p

donde h es una constante llamada constante de Plank. Con lo cual, a mayor impulso menor es su longitud de onda. Esto permite elegir con mucha exactitud la longitud de onda de los electrones, simplemente acelerándolos (electrostáticamente) hasta otorgarles el impulso adecuado. En base a esto, podemos estudiar objetos muy pequeños, como moléculas, con haces de electrones con un impulso preciso. Siempre la energía de la partícula con que se bombardea un objeto resulta de un compromiso entre la longitud de onda apropiada, dada las dimensiones del objeto, y el hecho que demasiada energía pueda terminar destruyendo el objeto observado. Para estudiar (observar≡medir) la estructura nuclear, comúnmente se bombardea con ondas-partículas de longitud de onda del orden de las dimensiones nucleares (1 10 15fermi metros= − ), tales como rayos γ , o con la ayuda de grandes aceleradores de partículas de altas energías, con electrones, positrones, núcleos de otros átomos tal como las particulas alfa (Helio), y otros tipos de onda-partículas subnucleares.


513

Que al disminuir la longitud de onda mejore la resolución del instrumento, concuerda con nuestra imagen intuitiva de que los efectos ondulatorios son menos notorios cuando la longitud de onda es menor que las dimensiones de los objetos iluminados. Cuanto más pequeña resulta λ, respecto del tamaño del objeto, el fenómeno resulta más parecido al producido por un rayo (recordar a los rayos Χ y γ ). Resolución en Redes. La cuestión aquí resulta semejante al caso anterior, donde estudiamos la resolución en instrumentos ópticos. La diferencia estriba en que en este caso lo que nos interesa distinguir son franjas de interferencia correspondientes a diferentes longitudes de onda (por ejemplo, el espectro de emisión de un átomo). Recordar el caso del Sodio que emite principalmente luz amarilla formada por dos ondas de longitudes de onda muy parecidas, y muy difíciles de distinguir una de la otra, comúnmente llamadas doblete del sodio. En este caso también usaremos el criterio de Rayleigh para discernir si dos franjas de interferencia se consideran resueltas (identificables como dos franjas distintas). Diremos que dos franjas se han resuelto, sí se hallan separadas un ángulo mayor que un ángulo crítico, y ese ángulo crítico es aquel en donde concuerda el máximo de una franja con el mínimo de la otra. Para fijar ideas, supongamos que iluminamos una red de N = 5 rendijas con una fuente de luz que emite principalmente dos ondas rojas, de longitudes de onda

nm 7001 =λ y nm 7702 =λ (1 10 9nm m= − ), o sea, una diferencia nm70=λΔ entre una y otra. Sobre una pantalla obtenemos un espectro de interferencia como el que muestra la figura 10-36 (suponemos a las rendijas muy finas).

( )I θ

d1λ

d2λ

d12λ

d22

λ

m=1 m=2

( )sen θ

Figura 10-36: Criterio de Rayleigh, para resolución en redes. Dos franjas se han resuelto, sí se hallan separadas un ángulo mayor que un ángulo crítico, y ese ángulo crítico es aquel en donde concuerda el máximo de una franja con el mínimo de la otra


514

En el gráfico notamos que, en el primer orden (m=1), las dos franjas aún no han sido resueltas (según el criterio de Rayleigh), se hallan muy superpuestas como para asumirlas distintas. Recién en el orden 2 (m=2) se cumple exactamente el

criterio de Rayleigh y ya es posible medir los ángulos θλ

112=

d y θ

λ2

22=d

. En el caso general en donde las franjas se observan en un orden m cualquiera (en el gráfico m = 2), la diferencia angular entre ambas franjas resulta,

θλ

11≈m

d y θ

λ2

2≈md

⇒ Δθ = − ≈ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟θ θ

λ λ2 1

2 1md d

⇒

ΔθΔλ

≈ md

10-77

En la expresión anterior se comprueba que una forma de aumentar la diferencia angular es observando las franjas en ordenes superiores. Ahora calculemos cuál es la diferencia angular crítica, según el criterio de Rayleigh. Esta diferencia angular crítica corresponde a la diferencia angular entre la posición de un máximo de intensidad y la de su cero más próximo. Por simplicidad analizamos el máximo central ubicado en 0=θ , correspondiente a λ1. En la ecuación 10-37 de la guía teórica 10-1, obtuvimos que los ceros de intensidad, en una red de N rendijas, se hallan ubicados en los ángulos que satisfacen,

( )dN

mceros

λ′=θ′≅θ sen con ′≠

mN

número entero 10-78

Obtenemos el primer cero de intensidad, a la derecha del máximo de orden cero ( 0=θ ), asignando a ′m el valor 1 (ecuación 10-38 de la guía teórica 10-1), es decir,

dNmcero1

11 λ

=θ =′ 10-79

La diferencia angular crítica es, como dijimos, la distancia angular entre el máximo de interferencia, ubicado en 0=θ , y su primer cero ( 1=′θ mcero ), por consiguiente,

dNλ=θΔ c

1 10-80


515

Debido a que la diferencia entre 1λ y 2λ es pequeña, en la expresión 10-80 hemos usado el promedio entre las longitudes de onda y lo hemos llamado λ . Dos ondas que difieren en Δλ pueden ser resueltas por la red, en el orden m, sólo si la diferencia angular entre las ubicaciones de los dos máximos Δθ = −θ θ2 1 resulta mayor que la diferencia crítica Δθc . A partir de las ecuaciones 10-77 y 10-80 podemos escribir esta relación como,

md N dΔλ

Δθ Δθ≈ ≥ ≈ c1 λ

. 10-81

pasando de miembro adecuadamente, la desigualdad se transforma a,

mN ≥λΔλ

10-82

A partir de la ecuación 10-82 definimos el Poder de Resolución de la Red,

R mN= ≥λΔλ

10-83

Si necesitamos resolver entre dos ondas que difieren en un Δλ muy pequeño, necesitamos una red con un gran poder de resolución R, y eso lo conseguimos aumentando el número de rendijas N (iluminadas), u observando las franjas en un orden superior. Para fijar ideas supongamos que iluminamos una red con una fuente de sodio que emite principalmente dos ondas amarillas, de longitudes de onda λ1 589 00= , nm y λ2 589 59= , nm (1 10 9nm m= − ), o sea, una diferencia muy pequeña Δλ = 0 59, nm. Calculemos el poder de resolución de la red necesario para resolver el doblete del sodio, obtenemos,

R mNnmnm

= ≥ = =λΔλ

5890 59

998 3 ,

.

Por lo cual, si quisiéramos resolver las dos ondas en el orden m = 1 deberíamos usar una red con más de 999 rendijas (iluminadas).


516

10-16. (Recomendado). Suponga que la pupila de su ojo es cuadrada (no es ninguna alusión personal), de lado a mm= 2 . Suponga también que usted está parado a 10m de distancia de dos palitos (muy finos) separados entre sí una distancia d . Además suponga que el lugar donde están usted y los palitos se encuentra iluminado con luz amarilla de λ = 600nm. ¿Cuál es la mínima distancia de separación entre los palitos de tal forma que su ojo los distinga como dos objetos separados? (según el criterio de Rayleigh). Haga un dibujo explicativo de la situación. Ayuda: Criterio de Rayleigh: dos objetos (finos) se consideran justamente resueltos si el máximo de difracción de uno concuerda con el mínimo del otro.

10-17. (Recomendado). a) ¿A qué distancia deben estar separados, entre sí, dos objetos en la Luna para que puedan ser resueltos (en la Tierra) por el ojo sin la ayuda de ningún instrumento?. Considerar que el diámetro de la pupila del ojo es 5mm, que se ilumina con luz de longitud de onda λ = 600nm y la distancia a la Luna es de 380000Km. Resp. 55,6Km. b) ¿ A qué distancia deben estar los objetos en la Luna para que sean resueltos mediante un telescopio que tiene un espejo de 5m de diámetro?. Resp. 55,6m. Ayuda: El criterio de Rayleigh en el caso de aberturas circulares indica que la

separación angular crítica es θλ

c = 1 22,D

donde D es el diámetro de la abertura y el

factor 1,22 proviene del hecho de que la abertura es circular (comparar con la abertura cuadrada del problema anterior).

10-18. Si quisiera mejorar la resolución de su microscopio, ¿qué color de luz visible emplearía?.

10-19. (Repaso). El telescopio de Monte Palomar posee un diámetro aproximado de 5 metros. Suponiendo que las condiciones del cielo fuesen ideales, la resolución estaría limitada por la difracción. Supongamos que queremos observar una estrella doble que se encuentra a 4 años luz de distancia de la Tierra. ¿Cuál debe ser la separación entre las estrellas para que sus imágenes puedan ser resueltas?.

10-20. Para cada uno de los siguientes objetos diga con que tipo de onda electromagnética iluminaría para estudiarlos, discuta. a) Glóbulos rojos. b) Moléculas. c) Átomos. d) Núcleos atómicos.


517

10-21. (Recomendado). Discuta sobre como vería usted el mundo que lo rodea si su retina fuera sensible a las ondas de radio en lugar de ser sensible a las tradicionales frecuencias visibles. 10-22. (Recomendado). Una red de difracción con N = 2000 rendijas por centímetro se utiliza para medir las longitudes de onda emitidas por el gas de hidrógeno . a) ¿En qué ángulo θ, en el espectro de primer orden, se espera hallar las dos líneas

violetas de longitudes de onda λ1 410= nm y λ2 434= nm?. b) ¿Las líneas se hallan resueltas?. c) ¿Por que razón se observa en el primer orden y no en el máximo central de orden cero?.

Ayuda: ( )( ) ( )

( )I IN

θφ

φδδ

=⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥⎡

⎣⎢⎤

⎦⎥0

2 222

22

sen //

sen /sen /

donde φ π

λθ= 2 a sen y

δ πλ

θ= 2 d sen .

Suponer que el ancho de las rendijas es casi cero a ≈ 0 . 10-23. (Recomendado). Con la red utilizada en el problema anterior, se encuentran dos líneas del espectro de hidrógeno de primer orden en los ángulos θ1

29 72 10= −, rad y θ211 32 10= −, rad . Hallar las longitudes de onda de estas líneas.

10-24. (Recomendado).¿Cuál debe ser el número total de rendijas debe tener una red

de difracción a fin de separar justamente el doblete del sodio (λ1 5895 9= , A o

y

λ2 5890 0= , A o

) en el segundo orden. 10-25. (Repaso). Suponga que desea construir una red de 5 rendijas. a) Decida los valores de distancia de separación entre rendijas d y el ancho entre las

rendijas a, de tal forma que sólo se puedan ver los primeros tres ordenes en la campana de difracción. Dibuje.

b) Halle la intensidad de cada orden. c) Halle el ancho de las franjas de interferencia (principales). d) Determine si su red puede resolver a las frecuencias λ1 700= nm y λ2 710= nm .


518

10-26. (Actividad). (Recomendada para un domingo de sol, luego de haber estudiado vehementemente el sábado por la noche). Tome una reposera, relájese, mire al sol con los ojos entrecerrados. A través de sus pestañas percibirá la formación de un patrón complicado de franjas de colores. No se agite, duerma un rato, cuando se despierte trate de explicar el fenómeno. 10-27. Guía Teórica. Difracción de Fraunhofer frente a difracción de Fresnel:

Todos los cálculos que hemos realizado sobre fenómenos de difracción, han sido hechos dentro de la aproximación de Fraunhofer que, como ya dijimos, consiste en analizar sólo aquellos patrones formados tras iluminar con una onda plana (fuente coherente en el infinito) y observados en el infinito. De esta manera, bajo esta aproximación, hemos podido utilizar el simple esquema propuesto por Huygens-Fresnel, el cual considera que cada punto del frente de onda se comporta como una nueva fuente de ondas esféricas. Como ya hemos discutido este principio posee grandes defectos, pero bajo la aproximación de Fraunhofer no resultan apreciables, por lo cual nuestros cálculos se acercan bastante a lo observado empíricamente. Cuando lo que se quiere describir son fenómenos de difracción debido a sombras formadas por iluminación de objetos con ondas no planas, o si se observa al fenómeno en puntos del espacio en donde las ondas no llegan “casi” planas (por ejemplo: muy cerca del objeto), la aproximación de Fraunhofer pierde su validez y además ya no resulta útil el principio de Huygens-Fresnel (si no se lo modifica adecuadamente, de tal forma, que respete las leyes del electromagnetismo, principio de Huygens-Fresnel-Kirchhoff). A los fenómenos de difracción asociados con este tipo de sombras se los conocen con el nombre de difracción de Fresnel. Debido a esta complicación, resulta mucho más difícil describir analíticamente estos fenómenos. Nosotros no lo haremos aquí, recomendamos la lectura del libro Óptica de Hecht-Zajac para profundizar en el tema. Para enfatizar lo complejo de estos fenómenos, comentamos lo que sucede cuando se observa la sombra cercana de un disco opaco. Se observa algo notable, que no es esperado en una teoría corpuscular de la luz: aparece un punto central iluminado (además de aparecer un espectro de franjas circulares, similar al observado en aberturas circulares en la aproximación de Fraunhofer). En la figura 10-37 se muestra esquemáticamente la sombra de un disco opaco (no se muestra el espectro), iluminado con una fuente coherente.


519

Aunque inesperado, la aparición del punto central brillante no contradice lo que hemos estudiado, ya que, las ondas (coherentes) provenientes del borde del disco llegan, al centro de la sombra, todas en fase produciendo un punto brillante. 10-28. Hoy en día, en muchos negocios del centro de Buenos Aires, se consigue un pequeño diodo Láser del tamaño de un lápiz de labio. Su precio está entre $5 y $10. Está pensado para ser usado como apuntador, pero con el se pueden hacer muchas de las experiencias estudiadas en los dos últimos capítulos. Si puede comprarse uno, fabríquese distintos orificios pequeños y observe. En general los láser en venta vienen con diferentes orificios que forman dibujos como signos pesos y platos voladores, observe detenidamente la imagen que se forma sobre una pared y trate de explicar lo que ve. Una cortina de trama fina, es una excelente red de orificios cuadrada, pruebe. 10-29. Guía Teórica. Hologramas:

Las personas que tienen la fortuna de pertenecer al sistema económico vigente (que desocupados, pobres y marginados aún no integran), están acostumbrados a observar (con luz blanca), en sus tarjetas de crédito, imágenes fotográficas tridimensionales llamadas hologramas. Los hologramas son una de las aplicaciones más modernas del fenómeno de difracción. Es posible construir un holograma, de algún objeto tridimensional, disponiendo de una película fotográfica (de mucha resolución), un láser y un espejo, de la siguiente forma: Se ilumina con luz láser al espejo y al objeto deseado, simultáneamente. Las ondas reflejadas, en el espejo (haz de referencia) y en el objeto, luego se superponen sobre la película fotográfica, interfiriendo entre sí (ambas ondas conservan la coherencia). La forma en que interfieren depende de la diferencia de caminos recorridos, por consiguiente, la luz que proviene de diferentes zonas del objeto interfiere de diferente manera con el haz de referencia (zonas más o menos profundas).

Figura 10-37: Difracción de Fresnel. Sombra de un disco opaco, note que el centro se halla iluminado.


520

Una vez revelada la película, la información, de las diferentes profundidades del objeto, queda guardada como franjas de interferencia. Estas franjas constituyen una compleja red de difracción. Cuando se ilumina con luz láser la película revelada, se produce una réplica tridimensional del objeto. Por supuesto esta no es ni la única ni la mejor forma de construcción de un holograma, y hoy en día, estamos acostumbrados a ver hologramas a simple vista, con luz blanca, sin la necesidad de iluminar con luz láser. Algo notable, del holograma, es que la información necesaria para reproducir al objeto se halla en cada pedacito de la película, es decir, si rompemos al holograma en dos, tenemos dos hologramas en donde la imagen no ha sido perturbada. Esto es semejante a lo que sucede cuando miramos por la ventana, si cerramos la mitad, podemos seguir viendo toda la imagen anterior, a lo sumo debemos desplazarnos un poco para observar todo el panorama (al igual que en el holograma roto). Este hecho puede tener grandes aplicaciones en procesamiento de información, ya que resulta posible guardar imágenes complejas en una pequeña región de una película. Una propiedad interesante de los hologramas es que puede amplificar la imagen original, a partir de iluminar con luz de longitud de onda mayor que aquella con que fue construido. Recomendamos la lectura del libro Óptica de Hecht-Zajac para profundizar en el tema.


521

Bibliografía: • Física Vol. 2, Tipler. Ed. Reverté. • Física, Óptica Vol 2, D.E.Roller and R.Blum. Ed. Reverté. • Óptica, Hecht-Zajac. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. • Curso de Física de Berkeley, Vol 3. Ed. Reverté. • Física, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill. • Física, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. • Física Vol 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

Apéndice

Uso del programa Mathematica

Apéndice: Uso del programa Mathematica

I

El siguiente apéndice se ha elaborado con el fin de guiar y ayudar en la comprensión del programa Mathematica, no pretende ser un manual ni extenso ni completo.

La sintaxis corresponde a la versión de Mathematica 2.2, las versiones siguientes son compatibles con ésta e inclusive más amigables.

GENERALIDADES Y CALCULO NUMERICO

(* Para ejecutar un comando, luego de tipearlo se debe apretar: shift+enter o la tecla insert o hacer click con el ratón en el símbolo que parece un átomo en la barra de herramientas*) (* Todo texto escrito entre (* ..... *) se interpreta como comentario y no es ejecutado por Mathematica como operación o comando. Por ejemplo, este párrafo es un comentario. *) (*Otro caso en que el texto escrito no se ejecuta es cuando se trata de un título. Un texto se convierte en título cuando (en la celda correspondiente)se aprieta Alt+1 o Alt+2,...,Alt+9.*) (*Por ej. el título anterior se genera con Alt+4 *)

(* Un archivo o programa de Mathematica se divide en celdas. Cada celda se reconoce por el corchete que la delimita, que se encuentra a la derecha de la misma. *) (*Para cambiar de celda se oprime la tecla 'abajo', hasta que aparece una línea horizontal, a partir de allí se puede escribir en una nueva celda. Otra forma es mover el cursor del ratón, entre dos celdas o al final de la última, hasta que se ponga horizontal (así: >-< ), si se comienza a tipear en esa posición se abre una nueva celda. Para editar texto o líneas de comando se escribe muy parecido al Word. En la barra de herramientas aparecen símbolos como 'cortar', 'copiar', 'pegar', etc., que son familiares del procesador de texto*)

(* Una celda de comando está activa cuando el cursor está titilando en ella. En ese caso haciendo shift+enter se ejecuta el comando. Cuando se ejecuta el comando aparece antes de éste la instrucción In[m]:= que significa que es la entrada (Input) número m, y antes del resultado aparece Out[m+1]= que significa que es el resultado o salida (Output) número m+1. Asimismo, la celda se subdivide: una subcelda para la entrada y otra para la salida.*) (* A continuación hay una serie de ejemplos donde aparecen algunas de las funciones más usuales en Mathematica. El juego consiste en ejecutar los distintos comandos y ver que resulta. Si aparecen varios comandos en la misma celda se los separa con ; . También se utiliza ; cuando se desea que la salida de un comando no se vea en pantalla.

IMPORTANTE: en algunos comandos aparece el símbolo %n que hace referencia al resultado (output) número n (Out[n]), asegúrense de


II

colocar el número correcto si no quieren recibir un mensaje de queja de Mathematica. *)

In[1]:= (*Para efectuar una suma se escribe en la forma usual*)

7+5

Out[2]= 12

In[3]:= (* Los decimales se separan con . y no con , *)

13.7 - 5.2

Out[4]= 8.5

In[5]:= (*El producto se denota por un asterisco o un espacio en blanco*)

5*7

Out[6]= 35

In[7]:= (* Se pueden hacer operaciones combinadas. La que sigue significa 5,3+(17/2,1)-(45*0.83) *)

5.3+ 17/2.1 - 45 0.83

Out[8]= -23.9548

In[9]:= (* La potenciación se denota por ^ *)

10^3

Out[10]= 1000

In[11]:= (*Veamos una más complicada*)

3^100

Out[12]= 515377520732011331036461129765621272702107522001

In[13]:= (* Los () agrupan términos, así podíamos haber escrito *)

12


III

3^(50+50)

Out[14]= 515377520732011331036461129765621272702107522001

In[15]:= (*La función N da un resultado numérico aproximado. Dado que el símbolo %n hace referencia al resultado número n (Out[n]), los números que aparecen aquí corresponden a los obtenidos en el momento de editar este apéndice. Observar que el argumento de una función va entre []*)

N[%14] (*el número corresponde a la salida del comando anterior*)

Out[16]=

In[17]:= (*Tambien se podía obtener un resultado numérico escribiendo*)

3^100//N

Out[18]=

In[19]:= (* La función Sqrt da la raiz cuadrada de su argumento. Observar que las funciones predefinidas por Mathematica se escriben siempre con mayúsculas *)

Sqrt[64]

Out[20]= 8

In[21]:= (* Si quiero un resultado numérico con, por ejemplo, 50 dígitos de precisión *)

N[Sqrt[10], 50]

Out[22]= 3.1622776601683793319988935444327185337195551393252

In[23]:= (* Adivinen que representa la expresión Pi *)

N[Pi]

Out[24]= 3.14159


IV

In[25]:= (* Se puede asignar a pi (así, en minúsculas), el número Pi con más dígitos de precisión *)

pi = N[Pi, 20]

Out[26]= 3.14159265358979323846

In[27]:= (* Y cada vez que lo necesito lo llamo *)

10 + pi

Out[28]= 13.14159265358979323846

In[29]:= (*La función NIntegrate permite efectuar integración numérica. El primer argumento de la función NIntegrate da la función a integrar, el segundo da los límites de integración. Observar que los límites de la integral se escriben entre {} y primero se escribe la variable*)

NIntegrate[Sin[Sin[x]], {x, 0, Pi}]

Out[30]= 1.78649

In[31]:= (* Atención que no es lo mismo *)

Sin[.5]

Out[32]= 0.479426

In[33]:= (* que *)

Sin[1/2]

Out[34]= Sin[1/2]

In[35]:= (* La diferencia está en la precisión con que Mathematica calcula ambas expresiones *)

N[Sin[1/2]]

Out[36]= 0.479426


V

GRAFICOS In[37]:= (* Grafiquemos la función sen(exp(x)), para x entre 0 y Pi. Aquí

exp denota a la función exponencial. Recordar que la sintaxis es siempre como aparece en los ejemplos, respetando las mayúsculas y minúsculas *)

Plot[Sin[Exp[x]], {x, 0, Pi}]

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1

Out[38]= -Graphics-

In[39]:= (*La presentación de los gráficos se puede mejorar con distintas opciones*)

Show[%38, Frame->True]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0

0.5

1

Out[40]= -Graphics-


VI

In[41]:= Show[%38, Frame->True, FrameLabel->{"Tiempo", "Señal"}]

(*observar que estamos haciendo modificaciones sobre el primer grafico*)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Tiempo

-1

-0.5

0

0.5

1l

añ

eS

Out[41]= -Graphics-

In[42]:= Show[%38, Frame->True, FrameLabel->{"Tiempo", "Señal"}, GridLines->Automatic]

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Tiempo

-1

-0.5

0

0.5

1

la

ñe

S

Out[42]= -Graphics-


VII

In[43]:= (*Para graficar más de una función simultáneamente se las encierra entre {} *)

Plot[{Sin[x], Cos[x]}, {x, 0, 2Pi}]

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

Out[44]= -Graphics-

(* Veamos como se puede mejorar la presentación de un gráfico. Hay muchos comandos e instrucciones que se pueden utilizar.

AxesOrigin: permite definir el origen de coordenadas para el gráfico.

-PlotStyle: Permite ejecutar varias directivas, por ejemplo:

-RGBColor: es una función que colorea el gráfico. Es una función de 3 variables la primera corresponde al color rojo, la segunda al verde y la tercera al azul. El rango de cada una de las 3 variables va de 0 a 1, 0 implica poca intensidad del color respectivo, 1 implica máxima intensidad.

-Thickness: permite variar el espesor de las líneas. Observar que el orden de estas instrucciones está en correspondencia con el de las funciones a graficar.

-AxesLabel: para poner títulos a los ejes.

-Ticks: permite poner números a los ejes. Con Automatic Mathematica decide como los pone, con None no se numera.

-Gridlines: Permite hacer una grilla sobre el gráfico. *)


VIII

In[45]:= Plot[{x^2, Sin[x], -x}, {x, -2, 2}, AxesOrigin ->{0, 0}, PlotStyle -> {{RGBColor[1,0,0], Thickness [0.0001]}, {RGBColor[0,1,0],Thickness[0.01]}, {RGBColor[0,0,1], Thickness[0.001]}},AxesLabel ->{"x", "f(x)"}, Ticks->Automatic, GridLines-> Automatic]

-2 -1 1 2x

-2

-1

1

2

3

4

f(x)

Out[45]= -Graphics-

In[46]:= Plot[{x^2, Sin[x], -x}, {x, 2, 5}, AxesOrigin->{0, 0}, PlotStyle->{{RGBColor[1,0,0], Thickness [0.0001]}, {RGBColor[.7,.5,0], Thickness[0.01]}, {RGBColor[0,0,1], Thickness[0.001]}}, AxesLabel->{"x", "f(x)"}, Ticks->Automatic, GridLines->Automatic]

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5x

-5

5

10

15

20

25

f(x)

Out[46]= -Graphics-


IX

In[47]:= (*También se pueden graficar las superficies de nivel de una función de dos variables (x, y). Las zonas claras son las más altas*)

ContourPlot[Sin[x+ Sin[y]], {x, -2, 2}, {y, -2, 2}]

-2 -1 0 1 2

-2

-1

0

1

2

Out[48]= -ContourGraphics-

In[49]:= (*Podemos hacer un gráfico tridimensional de la misma función*)

Plot3D[Sin[x+ Sin[y]], {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]

-2

0

2

-2

0

2

-1

-0.5

0

0.5

1

-2

0

2

Out[50]= -SurfaceGraphics-


X

In[51]:= (* Aquí tenemos el gráfico paramétrico de una superficie (es decir, las coordenadas x, y, z de la superficie se dan en términos de los parámetros t y u). El espacio entre u y Sin[u] significa multiplicación *)

ParametricPlot3D[{u Sin[t], u Cos[t], t/3}, {t, 0, 15}, {u, -1, 1}, Ticks->None]

Out[52]= -Graphics3D-


XI

In[53]:= (*Este es un gráfico más complicado*)

ParametricPlot3D[{Sin[t], Sin[2 t] Sin[u], Sin[2t] Cos[u]}, {t, -Pi/2, Pi/2}, {u, 0, 2 Pi}, Ticks->None]

Out[54]= -Graphics-


XII

In[55]:= (*Es posible combinar diversos gráficos*)

Show[%52, %54]

Out[56]= -Graphics-


XIII

ALGEBRA Y CALCULO

In[57]:= (* Se pueden escribir diversas expresiones algebraicas *)

9 (2+x) (x + y) + (x +y)^2

Out[58]=

In[59]:= (*La expresión anterior se puede elevar al cubo y expandir en potencias*)

Expand[%58^3]

Out[60]= ..................................................

In[61]:= (*Al factorizar se obtiene una expresión más simple*)

Factor[%60]

Out[62]=

In[63]:= (*Se puede integrar. El primer argumento es la función a integrar, el segundo la variable de integración*)

Integrate[x^2 Sin[x]^2, x]

Out[64]= ..................................................


XIV

In[65]:= (*Tambien es posible derivar. El operador de derivación se simboliza con D *)

D[%64, x]

Out[66]= .....................................................

In[67]:= (*No se parece al integrando del In[..], se podrá simplificar un poco?*)

Simplify[%66]

Out[68]=

In[69]:= (*El último resultado puede ser desarrollado en serie. Los límites de la variable indican las potencias mínima y máxima*)

Series[%68, {x, 0, 14}]

Out[70]= .....................................................

In[71]:= (* ¿Qué les recuerda la siguiente serie? *)

Series[(f[x+h]-f[x])/h, {h, 0, 6}]

Out[72]= .....................................................


XV

In[73]:= (* veamos otros ejemplos *)

Integrate[1/(1-x^3), x]

Out[74]= ..................................................

In[75]:= D[Sin[Tan[x]], x]

Out[76]=

In[77]:= (* Para definir una función el argumento de la misma (la variable), se escribe seguida de un guión _ *)

f[x_]= x^2+3x-5

Out[78]=

In[79]:= (* Si ahora quiero evaluar la función en algún valor, por ejemplo x=1 *)

f[1]

Out[80]= -1

In[81]:= (* Más generalmente *)

f[a]

Out[82]=

In[83]:= (* Una vez definida la función está definida para toda la sesión (es decir, hasta que cerremos el programa Mathematica). Si quiero usar f como otra función, primero debo 'limpiarla' *)

ClearAll[f]


XVI

In[84]:= (* Ahora la función f ya no está definida. *)

f[a]

Out[85]= f[a]

RESOLUCIÓN DE ECUACIONES

In[86]:= (*Veamos como se escribe una ecuación algebraica. En el tercer término a es una constante arbitraria*)

x^3 - 7 x^2 + 3 a x ==0

Out[87]=

In[88]:= (*Es posible encontrar los x que satisfacen la ecuación anterior en términos del parámetro a *)

Solve[%87, x]

Out[89]= .....................................................

(* ¡Como corresponde a una ecuación cúbica obtenemos 3 raices! *)

In[90]:= (*También podemos resolver un conjunto simple de ecuaciones simultáneas*)

Solve[{a x+ b y ==0, x + y == c}, {x, y}]

Out[91]=


XVII

In[92]:= (*Con la función NSolve podemos resolver ecuaciones numéricamente. La I representa la unidad imaginaria*)

NSolve[ x^5 + 2 x + 1 == 0, x]

Out[93]= ..................................................

In[94]:= (*La función FindRoot permite resolver numéricamente ecuaciones trascendentes. {x, 1} y {y, 0} indica que busca las raices cerca de x=1 e y=0 *)

FindRoot[{Sin[x] == x - y, Cos[y] == x + y}, {x, 1}, {y, 0}]

Out[95]=

In[96]:= (*DSolve permite resolver ecuaciones diferenciales. Por ejemplo de y como función de x. ' representa la derivada respecto de x. k es un parámetro. C[1] y C[2] son constantes de integración. *)

DSolve[y''[x]- k y[x] ==1, y[x], x]

Out[97]= ..................................................

In[98]:= (*NDSolve permite resolver numéricamente ecuaciones diferenciales. {x, 0, 20} indica que resuelve para x en el rango de 0 a 20*)

NDSolve[{y''[x] + Sin[x]^2 y'[x] + y[x] == Cos[x]^2,

y[0] == 1, y'[0] == 0}, y, {x, 0, 20}]

Out[99]=


XVIII

In[100]:= (*Ahora tomamos la solución anterior y la graficamos. Evaluate[y[x] /. %99] significa evaluar y[x] en la solución anterior (%99)*)

Plot[Evaluate[y[x] /. %99], {x, 0, 20}]

5 10 15 20

0.2

0.4

0.6

0.8

Out[101]= -Graphics-

HACIENDO LISTAS

In[102]:= (*Hagamos, por ejemplo, la lista de los primeros 15 factoriales*)

Table[n!, {n, 1, 15}]

Out[103]= {1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600, 6227020800, 87178291200, 1307674368000}

In[104]:= (*Esto toma el logaritmo de cada entrada de la lista anterior*)

N[Log[%103]]

Out[105]= {0, 0.6931471805599453, 1.791759469228055, 3.178053830347946, 4.787491742782046, 6.579251212010102, 8.52516136106541, 10.60460290274525, 12.80182748008147, 15.10441257307552, 17.50230784587389, 19.98721449566188, 22.55216385312342, 25.19122118273868, 27.89927138384089}


XIX

In[106]:= (*Para graficar una lista*)

ListPlot[%105]

2 4 6 8 10 12 14

5

10

15

20

25


In[108]:= (*La función Fit permite ajustar datos mediante cuadrados mínimos. En este caso encuentra la forma cuadrática que mejor ajusta a los datos*)

Fit[%105, {1, x, x^2}, x]

Out[109]=


XX

In[110]:= (* Se pueden combinar funciones. El último elemento en el rango de la variable (0.5), indica el paso (separación entre puntos). *)

ListPlot[Table[{x, Sin[x]}, {x, 0, 6, 0.5}]]

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1


In[112]:= (* Probemos con otro paso*)

ListPlot[Table[{x, Sin[x]}, {x, 0, 6, 0.1}]]

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1



XXI

MATRICES

In[114]:= (*Generemos una matriz cuyo elemento ij es 1/(i+j+1). {i, 3} significa que i toma valores enteros entre 1 y 3*)

m=Table[1/(i+j+1), {i, 3}, {j, 3}]

Out[115]= {{1/3, 1/4, 1/5}, {1/4, 1/5, 1/6}, {1/5, 1/6, 1/7}}

In[116]:= (*La matriz inversa de ésta es*)

Inverse[m]

Out[117]= {{300, -900, 630}, {-900, 2880, -2100}, {630, -2100, 1575}}

In[118]:= (*Si multiplicamos la inversa por la matriz original debemos obtener la identidad. Observar que el producto matricial se denota por un punto*)

%117 . m

Out[119]= {{1, 0, 0}, {0, 1, 0}, {0, 0, 1}}

In[120]:= (*La matriz identidad de n*n se denota por IdentityMatrix[n]. Podemos obtener una matriz con los elementos de la diagonal modificados*)

m - x IdentityMatrix[3]

Out[121]=

In[122]:= (*Si tomamos el determinante obtenemos el polinomio característico*)

Det[%121]

Out[123]= .................................................


XXII

In[124]:= (*La función Eigenvalues da los autovalores de la matriz*)

Eigenvalues[N[m]]

Out[125]= {0.6570514282975792, 0.01892631097407084, 0.0002127369188260179}

In[126]:= (*También se pueden manipular matrices simbólicamente*)

Simplify[Eigenvectors[{{a, b}, {-b, 2a}}]]

Out[127]= ....................................................

In[128]:= (*Para substituir la variable por un número*)

1 + x^2 + 3 x^3 /. x-> 1 + a

Out[129]=

In[130]:= (*También se puede substituir una expresión*)

{f[1], f[2], f[3]} /. f[2] -> b

Out[131]= {f[1], b, f[3]}


XXIII

PROGRAMACION

In[132]:= (* Existen comandos que permiten efectuar reiteradamente una

serie de tareas. En este ejemplo el comando Do está controlado por la variable n y efectúa 1, 2, 3 veces un gráfico, que se diferencia precisamente por el valor que toma n *)

Do[ParametricPlot[

{Sin[n t], Sin[(n+1)t]}, {t, 0, 2Pi} ], {n, 1, 3} ]

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1


XXIV

-1 -0.5 0.5 1

-1

-0.5

0.5

1

In[134]:= (* Veamos otro ejemplo *)

Do[Plot[Sin[n x], {x, 0, 2 Pi}], {n, 1, 3, 1/4}]

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1


XXV

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1


XXVI

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1

1 2 3 4 5 6

-1

-0.5

0.5

1


XXVII

FUNCIONES Y CONSTANTES BASICAS

(* Sqrt[z] raiz cuadrada de z

Exp[z] exponencial de z

Log[z] logaritmo natural de z

Log[z, a] logaritmo en base a

Las funciones trigonométricas son:

Sin, Cos, Tan

y sus inversas:

ArcSin, ArcCos, ArcTan

n! indica el factorial de n

Abs[z] da el valor absoluto de z

Round[z] redondea al entero más cercano a z

Mod[n, m] da el resto de la división de n por m

Max[x, y, ......], Min[x, y, ......] da

el máximo o mínimo de la lista x, y, ...

Pi es el número pi=3,14159...

E es el número e= 2,71828...

I es la unidad imaginaria

Infinity representa al infinito

Un número complejo se representa: x + I y

Re[z] da la parte real de z

Im[z] da la parte imaginaria de z

Conjugate[z] da el complejo conjugado

Abs[z] da el valor absoluto

Arg[z] da el argumento *)

Índice alfabético Tema Ejercicio o Guía Aberración 7-25, 7-30, 7-43 Actividad óptica 8-24 Amortiguamiento crítico. 2-1 Amplificación lateral 7-25, 7-27, 7-38 Amplitud modulada. 6-1, 6-4 Análisis de Fourier. 5-16

Ancho de resonancia. 2-5 Ángulo crítico de resolución. 10-15 Anillos de Newton. 9-13 anisótropos, materiales 8-17, 8-24 Aproximación paraxial 7-25 Armónicas, funciones. 1-2 Armónicas complejas, funciones 1-2 armónico, Oscilador 1-7 Armónicos 5-1, 5-9 Astigmatismo 7-34 Autovalores y autovectores. 3-8 Batido. 6-1 Brewster, ángulo 8-20 Birrefringencia 8-24 Cámara fotográfica 7-41 Coeficiente de amortiguamiento. 2-1, 2-3 Coherencia de una onda luminosa 9-5 Colores 7-4 Condiciones de contorno (ondas) 4-18, 5-1, 5-9, 5-15, 8-1 Condiciones iniciales. 1-2, 1-7, 2-1, 2-3 Consonancia. 5-16 Coordenadas de centro de masas y relativa. 3-1 Coordenadas normales. 3-7, 3-8 críticamente amortiguado, Sistema 2-1 Cuánto de luz 9-5

Desfasaje por diferencia de camino óptico 9-1, 9-6, 8-24 Desfasaje por reflexión 4-18,9-1 Decibel 8-6 Difracción 10-4, 10-12, 10-15, 10-27 Difracción de Fraunhofer de una rendija fina. 10-4 Difracción de Fraunhofer de una rendija rectangular

10-4

Difracción de Fraunhofer de un orificio circular 10-4 Difracción de Fresnel. 10-27 Dinámica, evolución 1-1, 2-1, 2-3 Disonancia. 5-16 Difracción cromática 7-10,7-29 Distancia focal 7-25, 7-30, 7-34, 7-35, 7-37,

7-38, 7-39, 7-40, 7-41, 7-43, 7-44, 7-45

Doppler, efecto 6-8 Ecuación del fabricante de lentes 7-30 Ecuación de los espejos 7-25 Ecuación diferencial lineal de segundo orden, resolución.

1-7,1-8, 1-10

Ecuación diferencial no-lineal 1-14 Ecuación dinámica (diferencial) 1-7 Ecuación lineal de ondas. 4-7, 8-1 Efecto Doppler 6-8 Eje óptico 7-25, 7-30, 7-45 Energía de una onda estacionaria (cuerda). 5-5 Energía mecánica (oscilador armónico) 1-7, 1-10, 1-14 Energía potencial elástica. 1-7, 1-10, 1-14 Energía transportada por las ondas en una cuerda. 4-8, 4-10 Espectro electromagnético 7-1, 7-4, 7-5 Espectro de la luz 7-11, 9-1 Espectro de frecuencias. 5-16, 6-6, 7-10, 9-1 Espejos 7-10, 7-25, 7-27, 7-30 Espejismos 7-11 estacionaria, solución. 2-3 extensa, Fuente de luz 9-8 Factor Q. 2-1, 2-5 Formación de imágenes 7-10, 7-25, 7-30 Fotón 9-5, 9-7 Fraunhofer, Difracción de 10-4

Frecuencia f 1-2, 1-7, 4-4, 7-4 Frecuencia angular ω 1-2, 1-7, 4-4 Frecuencias de corte. 3-14 Frecuencia de modulación. 6-1 Frecuencia modulada. 6-4 Frecuencia de pulsación. 6-1 Frecuencias de resonancia. 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-7, 5-1, 5-

9, 8-1 Frecuencia natural del sistema 2-1, 2-3 Frente de onda 7-7, 7-8, 7-11 Fuerza elástica. 1-7 Fuerza impulsora armónica. 2-3 Función de onda. 4-1, 4-4, 4-7, 4-8, 5-1, 5-9, 5-

15, 5-16. Fourier, Análisis 5-16 Fourier, Integral 6-6 Grados de libertad (translación, rotación y vibración).

3-1

Hipermetropía 7-34 Hologramas. 10-28 Huygens, principio. 7-7, 7-9, 7-11, 7-23, 9-14, 10-

1, 10-27. Imagen 7-3, 7-10, 7-11, 7-17, 7-25, 7-

26, 7-30, 7-32, 7-33, 7-34, 7-35, 7-37, 7-38, 7-39, 7-41, 7-42, 7-43

Impulso transportada por las ondas en una cuerda.

4-8, 4-10

Incoherencia de una onda luminosa. 9-5 Integración numérica de la ecuación dinámica. 1-11 Integral de Fourier. 6-6 Intensidad de una onda 8-6, 8-17. Intensidad de la luz 8-6, 9-7, 8-17. Interferencia 9-1, 9-2, 9-3, 9-5, 9-8, 9-13, 9-

14, 9-23, 10-1 Interferómetros. 9-14, 9-18, 9-23, 10-1 Interferómetro de Michelson. 9-23 Interferencia de N rendijas. 10-1 Interferómetro de Young. 9-14

isótropos, materiales 8-17 Iris 7-34 Lámina de cuarto de onda 8-24 Lámina de media onda 8-24 Láminas retardadoras 8-24 Láser. 9-5 Lentes 7-30, 7-32, 7-33, 7-34, 7-35,

7-38, 7-41, 7-43 Ley de Malus 8-17 Ley de Snell. 7-11, 7-20, 7-24, 7-30 Lloyd, Espejos. 9-18 Longitud de onda 4-4, 7-4 Lupa 7-30, 7-35, 7-36, 7-37, 7-38,

7-42, 7-43 Luz natural 8-15 Masa reducida. 3-3. Microscopio compuesto 7-35, 7-38, 7-39, 7-40, 7-43 Miopía 7-34 Modos normales de vibración. 3-2, 3-7, 3-8, 5-1, 5-9. Modulación. 6-1 Nivel de intensidad sonora 8-6 Número de onda. 4-4, 8-1 Ojo humano 7-34 Ondas armónicas 4-4, 8-1 Ondas de choque. 6-8 Ondas de propagación. 4-1, 4-4, 4-7, 8-1, 8-4 Ondas en el espacio. 8-1 Ondas esféricas 8-1 Ondas Electromagnéticas. 8-5 Ondas estacionarias. 5-1, 5-5, 5-9, 5-12, 5-15, 5-16,

8-1. Ondas estacionarias en una cuerda fija en sus extremos.

5-1, 5-15, 5-16.

Ondas estacionarias en una cuerda fija en un extremo.

5-9

Ondas planas. 4-1, 4-4, 4-7. 8-1 Ondas sonoras estacionarias. 5-12

Orden de interferencia. 9-8, 9-14, 10-1 Oscilaciones 1-2, 1-7. Oscilaciones transversales de una cuerda, pequeñas

4-8, 4-10.

Oscilador armónico 1-7 Oscilador armónico amortiguado 2-1 Oscilador débilmente amortiguado o subamortiguado.

2-1

Oscilador forzado 2-3 Paquete de ondas. 6-6 Películas 7-41 Películas delgadas, Interferencia 9-8 Péndulo. 1-14 Periódicas, funciones. 1-2 Período T 1-2, 1-7, 4-4 Plano de polarización 8-5 Poder de resolución de una red 10-15 Polarización de la luz 8-5, 8-10, 8-17, 8-24 Polarización lineal. 8-10, 8-17, 8-24 Polarización circular 8-10, 8-17, 8-24 Polarización elíptica 8-10, 8-24 Polarización natural 8-15 Polarización por absorción 8-16, 8-17 Polarización por birrefringencia 8-16, 8-24 Polarización por dispersión 8-16, 8-23 Polarización por reflexión 8-16, 8-20 Polarizador o polaroid 8-17 Potencia transportada por las ondas en una cuerda 4-8, 4-10 Principio de superposición. 1-16, 4-7, 6-1 Principio de Fermat 7-23, 7-24 Principio de Huyguens 7-7, 7-9, 7-11, 7-23, 9-14, 10-

1, 10-27. Pulsación. 6-1 Pupila 7-34 Q, Factor 2-1, 2-5. Radiación dipolar eléctrica 8-20 Rayleigh, Criterio de. 10-15 Redes de difracción. 10-1, 10-12, 10-15.

Reflexión 7-7, 7-8, 7-9, 7-10, 7-11 Reflexión total interna 7-9, 7-11, 7-21 Reflexión de ondas en interfases. 4-15, 4-18. Refracción 7-7, 7-11, 7-13, 7-19, 7-21, 7-

22, 7-24, 7-30 Relación de dispersión. 4-4, 6-5, 7-4, 8-1 Relación de incerteza. 6-6 Resolución en instrumentos ópticos y redes de difracción

10-15

Resonancia. 2-3, 2-4, 2-5, 2-6, 3-7, 5-1, 5-9.

Retina 7-34, 7-35, 7-43 Reversibilidad del camino óptico 7-8, 7-9, 7-11, 7-25 Sistema de ecuaciones diferenciales lineales acopladas

3-3, 3-7, 3-8

sobreamortiguado, Sistema. 2-1 Superposición de ondas. 6-1, 9-1 Telescopios 7-43, 7-44, 7-45 Tiempo característico de disipación o relajación 2-1 Timbre de una nota. 5-16 transitoria, solución. 2-3 Transmisión de ondas en interfases 4-15, 4-18 Velocidad de fase. 4-1, 4-4, 4-7, 4-8, 6-5 Velocidad de grupo. 6-5 Velocidad de modulación 6-5 Vector óptico 8-5

DEPARTAMENTODEPUBLICACIONES Responsable del Departamento Augusto Renato Tarditti

Colaborador Andrés D. Espinosa Oscilaciones y Ondas, Aplicaciones en Óptica - Volumen 2 Colección: Universidad y Educación Serie: Material Didáctico Nº 9.II Producción general: Instituto de Ciencias - UNGS Diseño y diagramación: Departamento de Publicaciones - UNGS Datos Bibliográficos: Autores:E. Izquierdo; C. El Hasi Cant. de páginas: 296, 19x26 cm Lugar de publicación: Los Polvorines, Bs. As., AR Fecha de publicación: Julio de 2001- 20010700 Editor responsable: Universidad Nacional de General Sarmiento ISBN: 987-9300-43-2

Campus Universitario

Gutiérrez 1150, e/ Suárez y Verdi, (B1613GSX) Los Polvorines – Bs. As.

Tel: (54-11) 4469-7506 / 7507 - E-mail: [email protected]

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Universidad Nacional

de General Sarmiento

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