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OSCILACIONES LIBRESErick Reinoso

UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS- ESPEQuito, Ecuador

erick.reinoso10@gmail.com

Abstract

In this lab we tested on the concepts of oscillations we checking the laws governing these types of movements as well as in its various forms such as the suspension in this case we experience because in real life the oscillatory movements are not perfect .This means that if in a medium without the external factors such as air cushion.

In this experience using the pendulum Pohl at an angle less than 10 degrees being equal a damped oscillatory motion, in order to obtain a differentiation between movements increase another external factor that is an electromagnet that will dampen more movement and thus will proceed to document what happened

Resumen

En esta práctica pusimos a prueba sobre los conceptos de oscilaciones comprobando las leyes que rigen a estos tipos de movimientos como también en sus diversos tipos como por ejemplo el amortiguado que en este caso lo experimentamos ya que en la vida real los movimientos oscilatorios no son perfectos es decir que si estuviera en un medio sin factores externos que lo amortigüen como el aire.

En esta experiencia usando el péndulo de Pohl con un ángulo menor a 10 grados siendo igual un movimiento oscilatorio amortiguado, para poder obtener una diferenciación entre el movimiento aumentamos otro factor externo que es un electroimán que va a amortiguar más el movimiento y con ello vamos a proceder a documentar lo sucedido.

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1) Objetivos:

1. Analizar el estudio experimental de las oscilaciones libres con y sin amortiguamiento de un péndulo de torsión.

2. Analizar como determinar la constante de amortiguamiento

3. Medir la constante de amortiguamiento

4. Obtener una visión más clara sobre las oscilaciones y poder compararlas con el diario vivir

2) Marco teórico:

Péndulo de pohl

El péndulo de Pohl es un péndulo de torsión constituido por un volante o disco metálico (v.g., cobre) que puede rotar alrededor de un eje y que, mediante un resorte espiral, recupera su posición de equilibrio, oscilando alrededor de ésta.

Oscilador

¿Qué es un oscilador?

Es un sistema capaz de crear cambios periódicos en un medio, como en el sonido en un campo electromagnético este fenómeno podemos apreciarlo en un péndulo simple que en cierto que sus condiciones de posición velocidad y

aceleración varía según vaya oscilando el cuerpo

Para mantener el movimiento de cualquier oscilador real es preciso suministrarle energía que contrarreste la pérdida debida a la fricción. En este caso se dice que el oscilador es forzado externamente. La fuerza aplicada suministra energía al sistema. Si la energía que aporta la fuerza aplicada es mayor que la que disipa la fuerza de rozamiento, la amplitud de las oscilaciones del sistema aumenta. Cuando la energía aportada por la fuerza aplicada es igual a la disipada por rozamiento, la amplitud de oscilación del sistema permanece constante.

Oscilación no amortiguada (libre)

Tomando como referencia el grafico

Ecuación del movimiento

Cuando la partícula se desplaza una distancia x de la posición de equilibrio actúa sobre ella una fuerza que es

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proporcional al desplazamiento x, y de sentido contrario a éste.

La ecuación del movimiento se escribe

ma=−kx

La cual se obtiene al aplicar la ley de newton con la sumatoria de fuerzas en el eje x despreciando una fuerza elástica

Siendo en esta fórmula:

m=masaa=aceleraci ónk=constante el á sticax=deformaci ón

Teniendo en cuenta que la aceleración es la derivada segunda de la posición x, podemos expresar la ecuación del movimiento como ecuación diferencial de segundo orden.

d2 xd t 2

+ω02 x=0ω0

2= km

Donde la aceleración la expresemos como la segunda derivada de la

posición respecto al tiempo y a la km

remplazamos por frecuencia propia o natural del oscilador armónico (ω0).

La ventaja de expresar las oscilaciones en términos de una ecuación diferencial es que podemos establecer analogías entre sistemas físicos oscilantes completamente diferentes: mecánicos eléctricos, hidráulicos, etc.

La solución de esta ecuación diferencial es la ecuación de M.A.S.

Condiciones iniciales

La posición inicial x0 y la velocidad inicial v0 determinan la amplitud A y la fase inicial ϕ. Para t=0,

x0=A . senϕv0=−Aλ. senϕ+Aω.cosϕ

En este sistema de ecuaciones se despeja A y ϕ a partir de los datos x0 y v0

Instantes en los que el móvil pasa por una determinada posición

Calculamos los instantes t en los que el móvil pasa por la posición x, siendo |x|<A

ω0t+ϕ=arcsen( xA )+2nπ n=0,1,2.3 ,…

ω0t+ϕ=π−arcsen( xA )+2nπ

Grafico posición en función del tiempo para este tipo de oscilaciones

Oscilación amortiguada

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Si en el caso de una oscilación libre nada perturbara al sistema en oscilación, éste seguiría vibrando indefinidamente. En la naturaleza existe lo que se conoce como fuerza de fricción (o rozamiento), que es el producto del choque de las partículas

(moléculas) y la consecuente transformación de determinadas cantidades de energía en calor. Ello resta cada vez más energía al movimiento (el sistema oscilando), produciendo finalmente que el movimiento se detenga.

Grafica representativa de un movimiento oscilatorio amortiguado

En la oscilación amortiguada la amplitud de la misma varía en el tiempo (según una curva exponencial), haciéndose cada vez más pequeña hasta llegar a cero.

Es decir, el sistema (la partícula, el péndulo, la cuerda de la guitarra) se detiene finalmente en su posición de reposo.

La representación matemática es y=a . e−λt . sen (2πω+ϕ ), donde λ es el coeficiente de amortiguación.

Notemos que la amplitud:

a . e− λt es también una función del tiempo (es decir, varía con el tiempo), mientras que a y ϕ son constantes que dependen de las condiciones de inicio del movimiento.

Oscilación auto sostenida

Se llama una oscilación auto sostenida. Éste es por ejemplo el caso cuando en un violín frotamos la cuerda con el arco, o cuando soplamos sostenidamente una flauta.

Representación gráfica de un movimiento oscilatoria auto sostenida

La acción del arco sobre la cuerda repone la energía perdida debido a la amortiguación, logrando una fase (o estado) casi estacionaria. Preferimos llamarla fase casi estacionaria y no estado estacionario, como suele encontrarse en alguna literatura debido a que, en condiciones prácticas, resulta sumamente difícil que la energía que se introduce al sistema sea exactamente igual a la que se pierde producto de la amortiguación. Por el contrario, si la energía que introducimos al sistema es mayor que la que se pierde por la acción de la fricción, la amplitud de la oscilación crece en dependencia de la relación existente entre la energía perdida y la que se continúe.

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Oscilación forzada

Las oscilaciones forzadas resultan de aplicar una fuerza periódica y de magnitud constante (llamada generador G) sobre un sistema oscilador (llamado resonador R). En esos casos puede hacerse que el sistema oscile en la

Frecuencia del generador (ƒg), y no en su frecuencia natural (ƒr). Es decir, la frecuencia de oscilación del sistema será igual a la frecuencia de la fuerza que se le aplica. Esto es lo que sucede por ejemplo en la guitarra, cuando encontramos que hay cuerdas que no pulsamos pero que vibran "por simpatía".

Debe tenerse en cuenta que no siempre que se aplica una fuerza periódica sobre un sistema se produce una oscilación forzada. La generación de una oscilación forzada dependerá de las características de amortiguación del sistema generador y de las del resonador, en particular su relación.

3) Materiales y Equipos:

Péndulo de la torsión de Pohl Fuente de alimentación Puente rectificador Cronometro digital Multímetro digital Conductores eléctricos

Cobra3 unidad básica Fuente de alimentación, 12v Software de traslación y

rotación cobra3 Sensor de movimiento Hilo de seda Porta pesas Material de soporte

4) Procedimiento:

4.1. Oscilaciones libres sin amortiguamiento

1. Una a través de un hilo, el indicador del péndulo de Pohl a un peso de 1gr, pasando por la polea del sensor de movimiento, el mismo que está conectado a la interface cobra3, la cual esta enlazada a la computadora.

2. Encere el péndulo de Pohl, para lo cual, moviendo la excéntrica que esta junto al motor, consiga que el indicador se ubique en la posición cero (0).

3. Identifique el software Mesuare en la computadora, defina “traslación/ rotación” escoja, “registrador de movimiento”, “medida (punto rojo)”, “continuar”.

4. Desplace el pendulo hasta la posición 15 y soltarlo. A su vez, en el menú de la computadora colocar “iniciar medida”. Comprobar que el hilo no se salga de la ranura periférica del disco de cobre.

5. Finalmente obtener datos y los gráficos correspondientes también realizar la transformación Fourier para obtener la frecuencia del péndulo

4.2 Oscilaciones libres con amortiguamiento

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1. Conecte la salida C.A. de la fuente de alimentación a la bobina del péndulo de pohl, pasando previamente por el puente rectificador y el amperímetro en serie, para generar el amortiguamiento

2. Repita todo el procedimiento que utilizo para las oscilaciones sin

amortiguamiento, considerando en este caso que ellas irán paulatinamente disminuyendo de amplitud. Utilice todo el grafico obtenido excepto la parte inicial.

3. Registre los datos obtenidos.

5) Tabulación de datos:

1. Oscilaciones libres sin amortiguamiento:

Curva ϕ (rad ) t (s ) f (Hz)Mínimo -9.797 2.610

0.631

Máximo 10.015 3.330Mínimo -9.722 4.320Máximo 9.239 5.130Mínimo -8.821 5.940Máximo 8.944 6.750Mínimo -8.664 7.650Máximo 8.775 8.550

2. Oscilaciones libres con amortiguamiento:

Curva ϕ (rad ) t (s ) f (Hz)Mínimo -9.539 2.610

0.579

Máximo 9.130 3.420Mínimo -7.888 4.230Máximo 6.894 5.130Mínimo -6.272 5.940Máximo 5.573 6.840Mínimo -4.369 7.740Máximo 3.259 8.550

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6) Preguntas:

A. Con los datos obtenidos en el cuadro 1,grafique:posición angular – tiempo y analice:

Lo primero que podemos observar a partir del grafico es que nos encontramos en un movimiento de oscilaciones libres donde la amplitud oscila entre ±10.

Además como se trata de una gráfica de posiciones tiempo lo que estamos obteniendo en este caso es la velocidad angular:

θ=[rad ]

t=[s]

7) ANALISIS:

B. Determine el periodo T (s ), la frecuencia f 0(Hz), la amplitud (rad) y la

frecuencia angular ω0=2πf 0(rads

) . compare la frecuencia f 0 con la obtenida

mediante la transformada de Fourier. Analice el error cometido.

Ejemplo de cálculos:

Período:T 1=4.725−2.97=1.755T 2=6.345−4.725=1.62

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T 3=8.1−6.345=1,755

T=T 1+T 2+T 33

T=1.755+1.62+1.7553

T=1.71[s ]

Frecuencia: f

1T

=0.584 [Hz]

Frecuencia Angular:

wo=2π∗fowo=2π∗(0.584)

wo=3.669[ rads ] Error:

E= experimental−teoricoteorico

∗100

E=0.584−0.6310.631

∗100

E=7.44

La razón principal por la cual el valor de fo obtenido y el de Fourier son diferentes es básicamente porque el número de datos que tomamos fueron los mínimos en caso de ser mayor cantidad de datos evaluados para sacar los promedios el valor seria mucho mas cercano

C. Con los datos obtenido en el cuadro 2, grafique: posición angular-tiempo y analice. Trace la evolvente y analice la misma.

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A simple vista podemos darnos cuenta de que el movimiento oscilatorio es amortiguado.

La amplitud ya no va a tener un valor constante

El movimiento ya no va a empezar en un θ=0 sino en un θ=2

El periodo que encontramos en este caso va a ser entre 0.9 y 1

Por la forma de la gráfica sabemos que es un movimiento sub-amortiguado y por tal razón se tendrá que:

∆<0

Donde

∆=λ2−wn2

D. Con ayuda de la expresión y=lnθn−¿ ln θmtm−t n

¿ determine la constante de

amortiguamiento.

y=ln (9.334 )−ln (7.391)

4.68−3.015y=0.1401

E. Obtenga el periodo T, la frecuencia f 0 y la frecuencia angular ω0 de las oscilaciones amortiguadas. Compare la frecuencia f 0 con la obtenida a través de f(transformada de Fourier).Analice el error obtenido.

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Período:

T 1=4.68−3 .015=1.665T 2=6.39−4.68=1.71T 3=8.145−6.39=1,755

T=T 1+T 2+T 33

T=1.665+1.71+1.7553

T=1.71[s ]

Frecuencia:

1T

=0.584 [Hz]

Frecuencia Angular:wo=2π∗fowo=2π∗(0.584)

wo=3.669[ rads ]

Error:

E= experimental−teoricoteorico

∗100

E=0.584−0.580.58

∗100

E=0.689

La variación consiste principalmente en un sigma en los t promedios y en los θ promedios este error podría ser menos si se tomara más datos aunque el fo obtenido está muy cercana por no decir que es la misma comparándola con la transformación de Fourier.

8) CONCLUSIONES: Es posible analizar las oscilaciones libres de manera experimental, con la ayuda

del Péndulo de Pohl, hacemos que en generador de este se encuentre encendió con la finalidad de producir movimiento con oscilaciones que tengan

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amortiguamiento. Al tener la bobina del péndulo apagado, estaremos analizando oscilaciones libres sin amortiguamiento.

Para determinar la constante de amortiguamiento, observamos que la amplitud de las oscilaciones de manera proporcional a una función exponencial

9) BIBLIOGRAFÍA:

http://laplace.us.es/wiki/index.php/Oscilaciones_amortiguadas_(GIE) http : //es.wikipedia.org/wiki/Amortiguamiento http://www.edilatex.com/indexarchivos/mecanica.pd