1 oscilaciones libres de sistemas con un grado de libertad

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Capítulo 1. Oscilaciones libres de sistemas con un grado de libertad. Introducción: Aunque parezca muy aburrido, en los primeros capítulos del texto, sólo estudiaremos el movimiento de una partícula moviéndose periódicamente debido a la acción de un resorte, o el balanceo de un péndulo. Estos son ejemplos simples que no tienen gran interés por si mismos, sino que representan un prototipo o modelo de fenómenos físicos más complejos cuyo comportamiento puede modelarse a través de ellos. En la Naturaleza no todo fenómeno oscilatorio tiene un comportamiento tan regular como el del resorte o el péndulo pero, veremos luego que, estas oscilaciones más complejas pueden describirse como la superposición de oscilaciones simples. Ejemplos de sistemas que presentan oscilaciones se encuentran en muchas áreas de la física, de la ingeniería, de la química y también de la biología. Un ejemplo común de evolución oscilatoria se encuentra en los fenómenos ondulatorios, tales como, las ondas de sonido, las ondas en el agua, vibraciones en instrumentos musicales, ondas electromagnéticas (ondas de luz). En ingeniería, vibraciones en materiales, puentes y edificios. Otros ejemplos, un poco más obscuros, son las vibraciones moleculares, atómicas o nucleares, asociadas con la emisión de ondas luminosas. Estos fenómenos se estudian en el marco de la Teoría Cuántica, la cual nos da una nueva visión de la naturaleza hablándonos sobre la “dualidad onda-partícula”. Dentro del marco de esta teoría, las partículas ya no se comportan como pelotitas, que es como uno ingenuamente se las imagina, sino que en ciertas experiencias se manifiestan con características ondulatorias mientras que en otras lo hacen como partículas. Este tipo de fenómenos contradice nuestro preconcepto de la realidad, no esperamos que un electrón se comporte como una onda, pero hasta el momento toda la evidencia experimental existente no hace más que confirmar, con mucha exactitud, las predicciones de la teoría cuántica. Con lo expuesto, esperamos transmitir la importancia que en física tiene el estudio de sistemas cuya evolución resulta oscilatoria. Comenzaremos estudiando sistemas simples e idealizados (irreales), que contribuyen a formarnos una primera idea del comportamiento de los sistemas reales más complejos. Los ejercicios recomendados son el 7, 8,11, 12, 13, 14, 16 y 17. 1. Guía teórica. Dinámica: En cursos anteriores nos hemos familiarizado con las leyes de Newton y hemos analizado una gran variedad de hechos físicos que son explicados a través de ellas, como por ejemplo: el movimiento planetario, trayectorias de proyectiles, el giro de un trompo, etc. Estos tipos de problemas se enmarcan dentro de una temática mucho más general, que excede el ámbito de la física, la Dinámica. La dinámica se ocupa de estudiar sistemas que evolucionan con el transcurso del tiempo, cambian. Algunos ejemplos de sistemas dinámicos pueden ser: El movimiento de una partícula (o un planeta). Evoluciona en cuanto se produce algún cambio en la posición y la velocidad. 1

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  • Captulo 1.

    Oscilaciones libres de sistemas con un grado de libertad. Introduccin: Aunque parezca muy aburrido, en los primeros captulos del texto, slo estudiaremos el movimiento de una partcula movindose peridicamente debido a la accin de un resorte, o el balanceo de un pndulo. Estos son ejemplos simples que no tienen gran inters por si mismos, sino que representan un prototipo o modelo de fenmenos fsicos ms complejos cuyo comportamiento puede modelarse a travs de ellos. En la Naturaleza no todo fenmeno oscilatorio tiene un comportamiento tan regular como el del resorte o el pndulo pero, veremos luego que, estas oscilaciones ms complejas pueden describirse como la superposicin de oscilaciones simples. Ejemplos de sistemas que presentan oscilaciones se encuentran en muchas reas de la fsica, de la ingeniera, de la qumica y tambin de la biologa. Un ejemplo comn de evolucin oscilatoria se encuentra en los fenmenos ondulatorios, tales como, las ondas de sonido, las ondas en el agua, vibraciones en instrumentos musicales, ondas electromagnticas (ondas de luz). En ingeniera, vibraciones en materiales, puentes y edificios. Otros ejemplos, un poco ms obscuros, son las vibraciones moleculares, atmicas o nucleares, asociadas con la emisin de ondas luminosas. Estos fenmenos se estudian en el marco de la Teora Cuntica, la cual nos da una nueva visin de la naturaleza hablndonos sobre la dualidad onda-partcula. Dentro del marco de esta teora, las partculas ya no se comportan como pelotitas, que es como uno ingenuamente se las imagina, sino que en ciertas experiencias se manifiestan con caractersticas ondulatorias mientras que en otras lo hacen como partculas. Este tipo de fenmenos contradice nuestro preconcepto de la realidad, no esperamos que un electrn se comporte como una onda, pero hasta el momento toda la evidencia experimental existente no hace ms que confirmar, con mucha exactitud, las predicciones de la teora cuntica. Con lo expuesto, esperamos transmitir la importancia que en fsica tiene el estudio de sistemas cuya evolucin resulta oscilatoria. Comenzaremos estudiando sistemas simples e idealizados (irreales), que contribuyen a formarnos una primera idea del comportamiento de los sistemas reales ms complejos. Los ejercicios recomendados son el 7, 8,11, 12, 13, 14, 16 y 17. 1. Gua terica. Dinmica: En cursos anteriores nos hemos familiarizado con las leyes de Newton y hemos analizado una gran variedad de hechos fsicos que son explicados a travs de ellas, como por ejemplo: el movimiento planetario, trayectorias de proyectiles, el giro de un trompo, etc. Estos tipos de problemas se enmarcan dentro de una temtica mucho ms general, que excede el mbito de la fsica, la Dinmica. La dinmica se ocupa de estudiar sistemas que evolucionan con el transcurso del tiempo, cambian. Algunos ejemplos de sistemas dinmicos pueden ser: El movimiento de una partcula (o un planeta). Evoluciona en cuanto se produce

    algn cambio en la posicin y la velocidad.

    1

  • La evolucin de un sistema formado por muchas partculas en interaccin (gas, slido, fluido).

    La evolucin climtica. Las modificaciones producidas en la capa de ozono, etc. Un sistema formado por distintos compuestos qumicos, reaccionando, cambiando

    las concentraciones de cada uno de ellos o formndose nuevos. Un sistema formado por una poblacin de bacterias. Podra interesar conocer como

    evoluciona la poblacin ante determinadas condiciones ambientales. Un sistema formado por diferentes actores econmicos intercambiando bienes. La

    evolucin podra llevar a sistemas en crecimiento, empobrecimiento, inflacin, deflacin, etc.

    Etc. En todos estos ejemplos, interesa predecir el comportamiento del sistema, saber si evolucionar hacia estados estables o de equilibrio, hacia estados con variaciones peridicas u oscilatorias (ciclos), o hacia estados ms complejos o caticos. Para comenzar a comprender las leyes que rigen la evolucin dinmica de un sistema, en ocasiones es posible plantear modelos matemticos (por ejemplo: ecuaciones diferenciales) que brindan una prediccin terica sobre la evolucin del sistema, conocido su estado actual (estado inicial). Entre la comunidad de los fsicos existe la firme creencia de que las leyes de la Naturaleza pueden ser escritas en lenguaje matemtico. Esto podra no ser as, pero hasta el momento la fsica ha tenido un extraordinario xito en explicar los fenmenos naturales por este camino, y nadie conoce otro. Como sabemos, los sistemas mecnicos evolucionan siguiendo las leyes de Newton (bajo ciertas aproximaciones), y se conoce como dinmica al estudio de la evolucin en el tiempo de estos sistemas. Suele ocurrir cuando uno estudia las leyes de Newton que se produzca una involuntaria desconexin entre el estudio de las fuerzas aplicadas y las aceleraciones y el problema cinemtico, que consiste en hallar la ley de movimiento, es decir, hallar la funcin que describe la posicin del cuerpo en cada instante. En esta parte del curso trataremos de evitar esta desconexin, y cuando estudiemos la dinmica de un cuerpo estaremos interesados en analizar las fuerzas que actan sobre l con el fin de hallar su ley de movimiento. Para clarificar este concepto analicemos un sistema dinmico simple: Ejemplo: Suponga que un cuerpo de masa m kg= 1 se mueve unidimensionalmente (en lnea recta, por el eje x). Producto de su interaccin con el medio, acta sobre l una fuerza resultante F N= 1 , la cual se mantiene constante en el tiempo (idealizacin). A partir de este dato queremos hallar su ley de movimiento, es decir, queremos hallar la funcin x t( ) que determina la posicin del cuerpo para todo tiempo (evolucin dinmica). Primeramente planteamos la ley dinmica (2 ley de Newton) que rige su evolucin:

    da

    F m a= (1) donde es la aceleracin del cuerpo que, como sabemos, representa la derivada segunda de la funcin posicin, es decir,

    a

    a x t= &&( ) (2).

    2

  • Si reemplazamos la ecuacin 2 en 1, obtenemos, F m x t= &&( )

    o escrito de una forma ms cmoda,

    aceleracin&&( ) /x t Fm

    Nkg

    m seg a= = = = 1 1 2 (3) de esta forma hemos transformado el problema fsico en un problema matemtico consistente en resolver una ecuacin diferencial,

    &&x = 1 o ms general &&x a= (donde en este ejemplo a es una constante) (4).

    Queremos hallar la solucin de esta ecuacin diferencial 4. Debemos integrarla, de tal forma de hallar la funcin, ms general, que derivada dos veces respecto del tiempo nos de una constante a , o en nuestro caso particular que de 1. No existe ningn mtodo general que nos permita hallar la solucin de una ecuacin diferencial, y adems, no todas las ecuaciones diferenciales poseen una solucin analtica, por lo cual en esos casos, slo resulta posible resolverlas numricamente (aproximadamente). La ecuacin diferencial 4, es una ecuacin muy simple, que ya hemos integrado en cursos anteriores cuando estudiamos el movimiento uniformemente acelerado, y sabemos que tiene la pinta de una funcin cuadrtica (ya que derivada dos veces nos da una constante):

    x t t t( ) = + + 2 , (5) donde son constantes que debemos determinar (y que nosotros desde el jardn de infantes sabemos cuanto valen, o no?).

    , y

    En lugar de integrar la ecuacin diferencial 4, slo conformmonos en comprobar que la funcin dada en 5 es realmente solucin de la ecuacin diferencial, para ello la derivamos dos veces: &( ) ( )&&( ) (x t t v tx t a t

    = + = = =

    22

    velocidad ) aceleracin

    (6)(7)

    comprobamos que la derivada segunda da una constante 2 y, de esta forma, si elegimos = 1

    2 a (donde en nuestro caso a = 1) conseguimos que,

    12122)( ==

    == aatx&& ,

    es decir, la funcin 5 satisface la ecuacin diferencial 4. Pero an no hemos terminado, ya que faltan determinar los valores de las constantes , la ecuacin diferencial no alcanza para determinarlos, Que falta?. y Volvamos a la fsica para ver si nos ilumina un poco en la resolucin matemtica. Recordemos que slo conocemos que el cuerpo est acelerado constantemente, esto no alcanza para saber donde se halla en cada instante, nos falta conocer donde estaba en el instante inicial y que velocidad tena, ya que no es lo mismo ser acelerado desde el reposo a acelerarse a partir de una velocidad inicial de 100 , y no es lo mismo partir de Buenos Aires que de San Miguel . En otras palabras, nos falta conocer las condiciones iniciales del sistema.

    km h/

    3

  • Supongamos que el cuerpo estaba en el instante inicial t0 0= en la posicin, 0)0( xx = (8)

    y que su velocidad era, 0)0()0( vvx ==& (9)

    Con estas condiciones iniciales tratemos de hallar el valor de las constantes usando las ecuaciones 5 y 6.

    y

    De la ecuacin 6, &( )x 0 2 0= + =

    Comparando con 9, vemos que la constante es la velocidad inicial = v0. De la ecuacin 5,

    x( )0 0 02= + + = Comparando con 8, vemos que la constante es la posicin inicial de la partcula, es decir, = . x0 Reemplazando los valores de las constantes en la ecuacin 5 obtenemos, la ley de movimiento,

    x t a t v t x( ) = + +12

    20 0 (10)

    que es nuestra vieja amiga ley de movimiento de una partcula movindose unidimensionalmente con aceleracin constante (ejemplo: cada libre). Resumiendo, la ley de movimiento 10 queda determinada conociendo la ley dinmica 4 y las condiciones iniciales del sistema 8 y 9. A partir de ella, es posible predecir la posicin de la partcula en todo tiempo, pasado, presente y futuro, mientras se mantengan las condiciones dinmicas, es decir, que la partcula sea impulsada por una fuerza constantemente. Ejercicio: Resuelva nuevamente la ecuacin diferencial 4, pero ahora usando el programa de Mathematica, DSolve[{x''[t]==a,x[0]==x0,x'[0]==v0},x[t],t] Ejercicio: Use los valores y v mx0 1= m gse0 2= / y, a) Halle la posicin del cuerpo en el instante t seg= 1 . b) Grafique x t( ). Use el programa Mathematica (Para calcular debe presionar la tecla

    insert o simultneamente las teclas Shift y Enter): x0=1; v0=2; x[t_ ]=0.5*a*t^2+v0*t+x0; Plot[x[t],{t,0,10}] c) Halle v t( ) y grafique. Siguiendo con el programa Mathematica anterior: v[t_ ]=D[x[t],t] Plot[v[t],{t,0,10}] d) Discuta sobre si se conserva la energa o el impulso lineal de la partcula. Un problema del cual no nos hemos ocupado es si la solucin 10 que hemos hallado es nica o podran existir otras. Desde el punto de vista matemtico ya estudiarn que la solucin es nica. Desde el punto de vista fsico, podemos decir que si la solucin no fuera nica perdera el sentido la teora, ya que, de esta forma la partcula

    4

  • podra tener ms de un movimiento posible, ante las mismas condiciones, lo cual viola nuestro amado principio de causa-efecto (causalidad). 2. Gua Terica. Oscilaciones: A partir de aqu nos vamos a abocar a un problema dinmico muy especial, el de sistemas cuya evolucin presenta ciclos u oscilaciones. Como ya dijimos, este tipo de evolucin dinmica es comn a muchos fenmenos naturales, no slo fsicos, y su descripcin matemtica resulta semejante en todos ellos. Nosotros estudiaremos este tipo de evolucin dinmica asociada al movimiento oscilatorio de sistemas simples como resortes y pndulos, sin perder de vista que stos slo constituyen un muy buen ejemplo (prototipo) que nos ayuda a entender fenmenos mucho ms complejos. Antes de comenzar el estudio dinmico correspondiente al movimiento oscilatorio de un resorte, resulta conveniente repasar algunos conceptos sobre funciones peridicas y luego centrarnos en funciones peridicas armnicas (funciones seno y coseno). Funciones peridicas: Una funcin del tiempo , es peridica si repite su forma cclicamente con un perodo T, ver figura 1.

    )(f t

    t+T T

    t t

    f(t) Figura 1: Ejemplo de funcin peridica no armnica, de perodo T En este ejemplo, se observa claramente que cada T segundos se completa un ciclo (complicado en este caso, no armnico). Esta propiedad se expresa analticamente afirmando que la funcin satisface la propiedad,

    f f( ) ( )t t T= + vlido para cualquier t del dominio. (1) o sea, que la funcin evaluada en el instante t tiene la misma imagen que la funcin evaluada un tiempo T posterior, independientemente de cual fuera el instante t elegido. No resulta inmediato hallar una expresin analtica para la funcin peridica definida en el grfico, pero ms tarde veremos que, estas funciones peridicas complejas pueden describirse como la superposicin de funciones armnicas tales como las funciones seno y coseno, por ello primeramente, estudiaremos detenidamente este tipo de funciones peridicas. Funciones peridicas armnicas: Las funciones armnicas bsicas son el seno y el coseno, cuyas grficas conocemos perfectamente. Pero tambin resultan funciones armnicas cualquier combinacin, translacin o dilatacin de estas funciones, lo cual nos brinda cierta versatilidad para obtener funciones con distinta amplitud, fase y frecuencia. Tratemos de apelar a nuestra intuicin para construir la funcin armnica ms general, de tal forma que nos ayude a describir movimientos oscilatorios. Comencemos

    5

  • por la funcin f ( ) cos( )t t= , donde t es la variable independiente, su grfica se muestra en la figura 2.

    f(t)

    t 21 23 2

    1

    Esta funcin se repite peridicamente con perodo T = 2 , este hecho lo podemos comprobar analticamente usando la propiedad enunciada de las funciones peridicas, o sea,

    Figura 2: Ejemplo de funcin armnica. Funcin coseno, de perodo 2

    cos( ) cos( )t t T t= + que se satisface s T = 2 o mltiplo de 2 . Pareciera que esta funcin slo nos sirve para describir movimientos peridicos de perodo T = 2 , pero ya veremos como es posible cambiar su perodo por medio de una dilatacin. Otra propiedad importante de esta funcin es que su amplitud es . Pero fcilmente podemos modificar la funcin para que pueda representar oscilaciones con cualquier amplitud, eso se logra simplemente multiplicando a la funcin coseno por un nmero que representa la nueva amplitud, por ejemplo, f (

    A = 1

    ) cos( )t t= 3 , con lo cual su grfica se modifica slo en que su amplitud es ahora A = 3, como se muestra en la figura 3.

    f(t)

    t 21 23 2

    3

    Para modificar el perodo resulta necesario introducir un cambio en el argumento de la funcin coseno (de tal forma de dilatar o contraer la funcin). Por ejemplo, si multiplicamos a t por , redefiniendo la funcin como,

    Figura 3: Grfico de la funcin ( ) ( )f t t= 3cos

    f ( ) cos( )t t= 3 esta funcin ya no tiene perodo 2 sino T = 2 . Esto ltimo es fcil de comprobar graficando la funcin, con la ayuda de una tabla de valores (complete con ms valores), ver figura 4,

    6

  • t t ) cos(3)(f tt = 0 0 3 0.5seg 2 0 1 seg -3 1,5 seg 23 0 2 seg 2 3

    f(t)

    t 12 321 2

    3

    Figura 4: Grfico de la funcin ( ) ( )f t t= 3cos Analicemos un poco ms el por qu del cambio de perodo. El argumento, de la funcin coseno, cambi de t a t con lo cual ahora para que el argumento tome valores de 0 a 2 slo hace falta que el tiempo vare entre 0 y 2 (pensarlo detenidamente, observar la tabla). Al factor que, modifica el argumento de la funcin, se le da el nombre de frecuencia angular , en este ejemplo = . La relacin entre el perodo T y la frecuencia angular la podemos hallar a partir de la definicin de funcin peridica,

    f f( ) ( )t t T= + ( ) ( )( ) ( )cos cos cos t t T t= + = + T = 2 TT = 2 o

    = 2T

    (2)

    y en el ejemplo,

    T = = =2 2 2

    La frecuencia angular , posee una analoga con la velocidad angular en un movimiento circular. Si una partcula gira sobre un crculo de radio con velocidad angular , sabemos que la coordenada de la posicin tiene una ecuacin de movimiento del tipo armnico (ver figura 5), es decir,

    A

    x

    7

  • )cos( )( tAtx =

    Esta analoga nos sirve para entender mejor la relacin = 2T . Pensemos en la

    partcula que gira con velocidad angular segrad / = , es decir que recorre radianes en 1 segundo. Lo que nos interesa es saber que tiempo demora en dar una vuelta (perodo

    T ), o sea, cuanto tarda en recorrer 2 radianes, para ello basta con hacer una

    regla de tres simple,

    AA

    Figura 5: La evolucin de la componente x (o y), correspondiente a un movimiento circular, resulta armnica.

    x

    =

    =

    2 , , 2=2 2

    1

    TgeneralenoTTrad

    segrad

    Ya hemos construido una funcin armnica cuya frecuencia y amplitud podemos elegir segn nuestra conveniencia. Pero an nos falta arreglar un detalle, la funcin coseno siempre toma su mximo valor en el instante t = 0 , lo cual restringe su utilidad, ya que no podemos con ella describir un movimiento oscilatorio en donde la amplitud mxima no concuerde con el instante inicial. Algo parecido ocurre con la funcin seno que se anula en el instante inicial. Pero, sabemos solucionarlo apelando a corrimiento de funciones. Si al argumento de la funcin le sumamos una constante (delta), logramos que la funcin se desplace hacia la izquierda, en esa cantidad (ojo!, primero se desplaza y luego se contrae o dilata). De esta forma, la funcin armnica ms general resulta ser,

    ) cos()(f += tAt (3) donde es la fase inicial, y determina el valor de la funcin en el instante inicial, o sea,

    )cos()0(f = A Ejemplo: Grafique la funcin armnica ) cos(3)(f 2+= tt y determine su perodo, amplitud y fase inicial (Hgalo tambin con el Mathematica).

    Claramente A = 3, y = = 2 y por ende 22 ==T .

    Para graficar podemos optar por dos caminos, el primero es el tradicional, hacer una tabla de valores. El segundo es un poco ms conceptual y consiste en usar las propiedades conocidas de traslacin y dilatacin. Primeramente, como hemos dicho debemos trasladar a la funcin coseno una cantidad = 2 hacia la izquierda (si fuera negativo, hacia la derecha), y luego contraer la funcin (cambiar el perodo), tal como se muestra en la figura 6.

    8

  • T=2 T=2

    cos(t)cos(t+/2) cos(t+/2)

    y ( )cos / t + 2Figura 6: Grfica de las funciones ( )co , s t ( )cos /t + 2 Hemos graficado las funciones: cos(t) y cos(t+/2) juntas, aprecindose el corrimiento hacia la izquierda. Aparte hemos graficado la funcin cos(t+/2), en donde vemos claramente que la funcin, luego de corrida, se contrae contra el eje de las ordenadas variando su perodo de a = 2T 2=T . La fase inicial determina, junto con la amplitud, el valor que toma la funcin en el instante inicial, en este caso 0, ya que 0)0 .cos(3)0(f 2 =+== t . Por ultimo, podemos definir la frecuencia tradicional (ciclos por segundo) como,

    Tf 1= , y en el caso en que la variable represente al tiempo, la frecuencia tiene

    unidades de

    t

    HzHertzseg

    ==.

    1 . Se relaciona con la frecuencia angular a travs del

    perodo, o sea,

    ==2

    1T

    f (4)

    Funciones Armnicas Complejas: Una forma muy comn y prctica de expresar a una funcin armnica es a partir de una exponencial compleja. Aunque al principio puede parecer una complicacin, reduce enormemente los clculos, porque resulta simple multiplicar y sumar funciones exponenciales y principalmente porque se derivan e integran muy fcilmente. Chiste: Resulta que se organiza una gran fiesta entre las funciones matemticas. La fiesta es un descontrol, se observa a la funcin seno provocando insinuante a la coseno, la tangente a la cotangente, la lineal a la cuadrtica, y as todas, menos la pobre funcin exponencial que se halla quietita, sola y triste en un rincn. La funcin lineal (madre de todas ellas) se acerca a la exponencial y le dice: Funcin lineal: Che intgrate. Respuesta de la exponencial: Para qu, si da lo mismo!. En general uno comienza trabajando con exponenciales complejas, hace los clculos necesarios (deriva, integra, multiplica, etc.), y por ltimo, como solucin, se queda slo con la parte real del nmero complejo (solucin fsica). Los que estudiamos en el colegio industrial, recordamos como aparecan las funciones exponenciales complejas en la descripcin de la corriente alterna. Algo notable ocurre en fsica

    9

  • cuntica, donde las funciones de onda, que describen los estados fsicos, son nmeros complejos y no resulta correcto quedarse slo con la parte real. Repaso: La funcin exponencial compleja e i se expresa como combinacin lineal de las funciones seno y coseno de la siguiente forma,

    ( ) ( )e ii = +cos sen (5) Su representacin en el plano complejo se muestra en la figura 7.

    cos() Figura.7: Representacin grfica de la exponencial compleja e i

    Real

    ei

    sen()

    Imaginario

    Su complejo conjugado es (grafquelo), ( ) ( )e i-i = cos sen (6)

    Podemos escribir al coseno como la parte Real de la exponencial compleja y al seno como su parte imaginaria, o sea,

    ( ) (cos = Real e i ) y ( ) ( )sen = Im e i (7) Otra forma de escribir a las funciones seno y coseno a partir de las exponenciales complejas es (verifique a partir de 5 y 6),

    ( )cos

    = +e ei -

    2

    i

    y ( )sen

    = e ei -i

    2i (8)

    Escribamos primero la funcin armnica compleja, de frecuencia , ms simple (ver ec. 1),

    = 2T

    ( ) ( ) ( )f t e t t= = +i t i cos sen (9) Para fijar conceptos, veamos como evoluciona la funcin ( )f t en el tiempo, para ello elaboramos una tabla de valores,

    t tT

    t = 2 ( )f t e= i t 0 0 10i =e

    T4 2 ie = 2/i

    2T 1i =e

    43T 23 ie = 2/i3 T 2 1i2 =e

    En la figura 8, se muestra la evolucin de la funcin exponencial en el tiempo, note como el nmero complejo rota, con velocidad angular y perodo T, en direccin antihoraria.

    10

  • 1

    Imaginario

    ei

    t=T/2

    Real

    1

    Imaginario

    ei/2

    t=T/4

    Real

    1

    Imaginario

    ei0

    t=0

    Real

    1

    Imaginario

    ei3/2

    t=3T/4

    Real

    1

    Imaginario

    ei2

    t=T

    Real

    Figura.8: Representacin grfica de la evolucin en el tiempo de la funcin e t . i Queda como ejercicio para el lector hacer el grfico de la funcin conjugada, es decir,

    ( ) ( ) ( )f t e t t* cos se= = -i t i n (10) compruebe que rota en direccin horaria con perodo T. Las funciones armnicas complejas 9 y 10 tienen amplitud y en el instante inicial se hallan sobre el eje real. Podemos generalizar la funcin armnica compleja, a partir de otorgarle una amplitud cualquiera y una fase inicial, o sea,

    A =1

    ( ) ( ) ( ) ( )[ ]g t A e A t t= = + + i i t+ cos sen + (11) Ejercicio: Grafique, en el plano complejo, la evolucin en el tiempo de la funcin,

    ( ) ( )g t e t t= = + + +

    2 2 4 4 i

    i t+ 4 cos sen 3. Grafique las siguientes funciones peridicas, y halle su amplitud, perodo y fase inicial. Discuta sobre el significado de la fase inicial: a) ) 2cos()( 21 += tt Resp. === y , 21 TA b) )sen( 2)( 221 = tt Resp. 2y 4 , 2 === TA c) ( ) ( )

    +

    +== +

    4sen i

    4cos 2 2 4t i- ttet Resp. A T y= = =2 2

    4,

    Precaucin: Si aplica corrimiento de funciones tenga mucho cuidado con el orden en que realiza las operaciones de corrimiento y dilatacin. 4. Compruebe que la funcin armnica ) 2cos()( 421 += tt puede escribirse como una combinacin de senos y cosenos, o sea, ( ) ( )tBtAt += sencos)( . Halle los valores de A, B y .

    11

  • 5. Dadas las siguientes funciones peridicas, i), , 1 3 2( ) sen( )t t= ii), 2 3 2 3( ) cos( )t t= +

    .

    Reescriba cada una de ellas, de las dos maneras siguientes: a) , halle ( )t A e B et t= + i i A B, y . b) ( )( )+= teAt i Re)( , halle A, y . 6. La posicin de una partcula, de masa m g= 1 , se halla determinada por la funcin armnica , en donde viene dado en segundos, (x t cm t( ) cos= 5 4 ) ta) Cul es la frecuencia?. Resp. segcic 2=f . b) Cul el perodo?. Resp. T seg= 0 5, . c) Cul es la amplitud del movimiento de la partcula?. Resp. A cm= 5 . d) Graficar la posicin, velocidad y aceleracin en funcin del tiempo. Use el programa Mathematica (Para calcular debe presionar la tecla insert o

    simultneamente las teclas Shift y Enter): x[t_ ]=5*Cos[4*Pi*t]; v[t_ ]=D[x[t],t] a[t_ ]=D[v[t],t] Plot[x[t],{t,0,1}] Plot[v[t],{t,0,1}] Plot[a[t],{t,0,1}] e) Cul es el primer instante despus de t=0 en que la partcula est en su posicin de

    equilibrio? En qu sentido se est moviendo en ese instante?. Resp. segt . 81=f) Cul es la velocidad mxima del cuerpo? En qu instantes posee esa velocidad?. Resp. segcm 20=v . g) Cul es la aceleracin mxima del cuerpo? En qu instantes tiene esa aceleracin?. Resp. 2segcm

    2 80=a . h) Halle la energa cintica correspondiente a la masa oscilante. 7. Recomendado. Ejercicio Terico. Oscilador armnico (evolucin dinmica): En este ejercicio, proponemos estudiar la dinmica de un sistema fsico simple e ideal (modelo) cuya evolucin en el tiempo corresponde a un movimiento oscilatorio armnico. El estudio de sistemas ideales, como ste, nos ayuda a comprender fenmenos fsicos reales ms complejos. Se pretende resolver el problema dinmico correspondiente a una partcula de masa que desliza, sobre una superficie horizontal sin friccin, ligado a una pared por medio de un resorte ideal, es decir, perfectamente elstico y sin masa, de constante elstica

    m k= 1 g

    k N m= 400 / , y longitud relajada cml 300 = , ver figura 9. Fig.9

    m

    x

    12

  • Como primer paso hacia el estudio de fenmenos oscilatorios, vamos a suponer que el sistema no disipa energa, por ello hemos considerado que no existe rozamiento de ningn tipo. Si apartamos a la masa de su posicin de equilibrio y la soltamos, a partir de nuestra experiencia cotidiana, podemos afirmar que la evolucin dinmica subsiguiente del sistema resulta ser un movimiento oscilatorio. Pero nuestra intuicin no nos alcanza para asegurar que se movimiento es realmente peridico (es decir, que cada ciclo es igual a los otros y dura el mismo tiempo), y menos an si corresponde a un movimiento oscilatorio armnico (descriptible a partir de funciones seno o coseno). Para dilucidar esta cuestin slo podemos apelar a la teora o al experimento, aqu slo nos ocuparemos de la teora. a) Importante. Como primer paso, a partir de las leyes de Newton ( ) ,

    queremos determinar la evolucin dinmica de la masa, una vez que oscila slo bajo la influencia del resorte (por ejemplo, ya la hemos desplazado y soltado, describimos su evolucin a partir de ese instante, por lo cual, ya no influyen las fuerzas que lo desplazaron inicialmente, slo el resorte interacta con la masa).

    F m a=

    Obtenga la ecuacin diferencial que describe la evolucin de la masa (slo el

    resorte interacta con ella). Por simplicidad suponga que el movimiento se restringe al eje x, por lo cual, slo hace falta una coordenada para describirlo (movimiento unidimensional).

    Comentario: Recuerde que la fuerza elstica resulta proporcional al alargamiento

    del resorte (con signo cambiado), respecto de su longitud relajada, es decir, ( )0elstica - lxkxkF == .

    La interaccin elstica es proporcional al alargamiento, por lo cual, en el caso unidimensional, depende linealmente de la coordenada x (Interaccin lineal).

    La constante elstica k da cuenta de la dureza del resorte (mayor fuerza, a un mismo alargamiento). La constante representa la longitud relajada del resorte (sin estirar). 0l

    Resp. [ 022

    )t( )t( lxkdt

    xdm = ] o [ 0)t( )t( lxmkx =&& ] (1),

    b) A partir de la ecuacin diferencial anterior, halle la posicin de equilibrio de la masa,

    es decir, la posicin en donde las fuerzas que actan sobre ella se anulan. El equilibrio es estable o inestable?.

    Resp. La posicin de equilibrio estable es 0lxequi = . c) La ecuacin diferencial 1 rige la evolucin dinmica del sistema. A partir de ella, y

    de las condiciones iniciales, es posible hallar la funcin que describe la posicin de la masa en todo tiempo. Para ello debemos integrarla, al igual que hicimos en el ejemplo de la gua terica 1. La dificultad que encontramos en ste caso, es que la aceleracin no es una constante, depende fuertemente de la posicin de la partcula.

    )(tx

    La ecuacin diferencial puede escribirse en forma ms sencilla si definimos una nueva variable,

    equixtxt = )()( ( Psi , letra Griega) (2)

    13

  • que corresponde simplemente a un cambio de coordenadas. La nueva variable mide cuanto se desplaza la masa a partir de la posicin de equilibrio (no desde la pared como era antes). Discuta (ver figura 10).

    equix

    ( )t0l

    ( )txx

    Haga este cambio de variables y demuestre que la ecuacin 1 se transforma a,

    Figura 10: La coordenada describe el desplazamiento, de la masa, a partir de la posicin de equilibrio

    )t()t(22

    = kdt

    dm , o &&= km

    (3) La ecuacin 3 nos dice que la aceleracin, de la masa, resulta proporcional al

    apartamiento (interaccin lineal) y de signo opuesto. Desde el punto de vista matemtico veremos que este cambio de coordenadas

    simplifica las cuentas, desde el punto de vista fsico, ms tarde entenderemos que, ayuda a mejorar nuestra comprensin en situaciones ms complejas.

    d) La ecuacin 3 es una ecuacin diferencial de segundo orden lineal y homognea. De segundo orden, porque el orden de derivacin ms alto es una derivada segunda. Lineal, por qu la variable no se halla elevada a ninguna potencia superior a 1

    (interaccin lineal).

    Un ejemplo de ecuacin no lineal es 2 +=mk&& , lo cual, como luego

    veremos, complica el clculo enormemente. Homognea, porque no posee ningn trmino constante sumando (trmino con ).

    Una ecuacin homognea, como la 3, siempre posee la solucin trivial 0

    ( )t t= 0 (verifique). Esto puede visualizarse mejor si pasamos del lado izquierdo todos los trminos en donde figura y del lado derecho los trminos constantes, es decir,

    0 =+mk&& (4)

    Un ejemplo de ecuacin no homognea o inhomgenea lo representa la ecuacin 1, reagrupando un poco los trminos,

    0 )( )( lktxktxm =+&& (5) En donde del lado derecho tenemos un trmino constante, y debido a esto, la funcin

    trivial no es solucin de la ecuacin (verifique). Con el cambio de variables hemos logrado pasar de una ecuacin inhomgenea a

    una homognea. No existe ningn mtodo general que nos permita hallar la solucin de una

    ecuacin diferencial arbitraria, y adems, no todas las ecuaciones diferenciales poseen una solucin analtica, por lo cual en esos casos, slo resulta posible resolverlas numricamente (como lo haremos en el ejercicio 11).

    La ecuacin diferencial 3, es una ecuacin muy conocida. Nosotros no propondremos ningn mtodo general para resolverla sino simplemente afirmamos que su solucin es una funcin armnica.

    14

  • Verifique que las siguientes funciones armnicas son todas posibles soluciones de la ecuacin diferencial 3 (reemplcelas en la ecuacin diferencial 3),

    i) ( ) cos( )t A t= + ii) ( ) cos( ) sen( )t A t B t= + iii) Optativo. ( )t A e B et t= + i i iv) Optativo. ( )+= t i )( eAt A partir de reemplazar en la ecuacin diferencial 3, verifique que la frecuencia

    angular de oscilacin queda determinada por las propiedades del sistema, a travs de su constante elstica k y de la masa de la partcula m , en la forma,

    2 = km

    o mk= (6)

    A partir de lo hallado, podemos afirmar que, si la masa slo interacta con el resorte, la frecuencia de oscilacin no es arbitraria, sino que el sistema oscila con una frecuencia caracterstica, determinada por la relacin 6.

    Comentario: Cualquiera de las funciones armnicas anteriores es solucin de la

    ecuacin diferencial 3, y resulta fcil demostrar que son exactamente la misma funcin escrita de formas distintas. Todas ellas sirven para describir la evolucin de la masa, pero la funcin armnica,

    ( ) cos( )t A t= + (7) es la que ms usaremos (o seno en lugar de coseno), debido a que resulta ms fcil, a

    partir de ella, extraer conceptos fsicos. De la ley de movimiento 7, concluimos que la masa oscila armnicamente, a

    partir de su posicin de equilibrio, con frecuencia angular . La constante A indica la amplitud de la oscilacin, su valor no se halla condicionado por la ecuacin dinmica 3 (pensarlo detenidamente), sino que depende exclusivamente (dentro de la aproximacin elstica) de las condiciones iniciales del sistema, que an no hemos impuesto. Lo mismo sucede con la fase , que segn ya hemos discutido, traslada a la funcin coseno, de tal forma que, permite describir la evolucin de partculas que en el instante inicial estn en una posicin cualquiera, no necesariamente en su mximo estiramiento o el origen.

    e) Halle el valor numrico de la frecuencia angular , la frecuencia f y el perodo T.

    Estas cantidades, dependen de las condiciones iniciales de la masa? Dependen de la amplitud de oscilacin?.

    Resp. = =km

    rad seg20 / , f cic se= = g2 318, / T = 0.314 seg y . f) Explique cul es el significado fsico de , y f T (vea la gua terica 1). Comentario: recuerde lo comentado en la gua terica 1 donde discutimos sobre la

    relacin entre la frecuencia angular , de un movimiento armnico, y la velocidad angular de una partcula con movimiento circular uniforme. En el caso del resorte esta equivalencia resulta mucho ms grfica. La proyeccin sobre el eje x (sombra sobre el eje x) del movimiento circular, concuerda exactamente con la posicin real de la partcula que se halla oscilando armnicamente unida al resorte (Pensarlo detenidamente).

    15

  • g) Importante. Usando como solucin, de la ecuacin diferencial 3, a la funcin

    armnica ( ) cos( )t A t= + , halle la ley de movimiento de la masa, es decir, determine completamente a la funcin ( )t , determinando los valores de A y , para ello suponga que a t la masa est en la posicin de equilibrio con una velocidad de

    = 0v m seg= +0 1, / (el signo ms indica que se mueve en el sentido de

    expansin del resorte).

    Resp, metrostmetrostt ) 20sen( 005,0 )2

    20cos( 005,0)( == Reobtenga la solucin anterior usando el Mathematica, Dsolve[{psi''[t]+400* psi[t]==0,psi[0]==0,psi'[0]==0.1},psi[t],t] h) Grafique la funcin hallada en el tem anterior y discuta lo hallado. ( )t Ayuda: puede usar el programa de Mathematica, psi[t_ ]=0.005*Sin[20*t]; Plot[psi[t],{t,0,1}, PlotRange->{-0.0055,0.0055}, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]}]; i) Halle la funcin x t( ) , recuerde el cambio de variables (ec. 2). Resp. ( )x t m m t( ) , , sen= +0 3 0 005 20 j) Halle la velocidad y la aceleracin de la masa en el instante t=1 seg. Resp. ( ) segmv 04,01 y 282,1)1( segma Verifique con el programa Mathematica, psi[t_ ]=0.005*Sin[20*t]; v[t_ ]=D[psi[t],t] a[t_ ]=D[v[t],t] v[1.] a[1.] k) Cul es la velocidad mxima del cuerpo?. l) Cul es la aceleracin mxima del cuerpo?. m) Importante. Depende la frecuencia de las condiciones iniciales o de la amplitud? Comentario: Todo sistema dinmico cuya ecuacin diferencial pueda reducirse a

    la ecuacin: (oscilacin armnica) (11) && = 2

    donde represente a cualquier nmero real positivo, tiene como solucin una 2

    funcin que representa una oscilacin armnica con frecuencia angular . 8. Recomendado. Ejercicio Terico. Anlisis energtico del oscilador armnico (continuacin del ejercicio 7): A partir de los datos y resultados del ejercicio 7, y sabiendo que la evolucin dinmica del sistema se describe con la funcin,

    ( ) cos( )t A t= + a) Halle la energa cintica de la masa oscilante (en funcin del tiempo). b) Halle la energa potencial de la masa oscilante (tome como cero de potencial a la

    posicin de equilibrio). Ayuda: Tomando el cero de potencial en la posicin en donde el resorte se halla

    relajado (es decir en la posicin de equilibrio = 0), la energa potencial elstica resulta,

    16

  • 2212

    021

    p )( == klxkE (8) (En el ejercicio 12 discutiremos el caso general en que el cero de potencial se toma

    en otro punto). c) Demuestre que la energa mecnica total, de la masa oscilante, es,

    E k= 12 2 A (9) (Slo vlida si se fija el cero de potencial en la posicin de equilibrio del sistema) d) Se conserva la energa mecnica?. Discuta. e) La energa mecnica total depende de las condiciones iniciales?. f) Cul es la energa cintica mxima?. g) En un mismo grfico grafique la energa potencial, cintica y mecnica, y discuta

    sobre la conversin de una en otra, aydese con el grfico. h) Vuelva a hallar la posicin de equilibrio del sistema pero ahora a partir de

    argumentos energticos. El punto de equilibrio es estable o inestable?. Recuerde que

    puede hallar la fuerza que acta sobre la masa usando FE

    xp= (valido para el

    caso unidimensional, en tres dimensiones se cumple pEF =rr

    ). i) En muchos casos de inters, no resulta importante conocer exactamente la posicin

    de una partcula en todo instante, pero si su comportamiento en promedio, por ejemplo, puede interesar cunto vale la energa cintica o la energa potencial en valor medio.

    Definimos el valor medio de una funcin peridica , sobre un perodo de oscilacin, como la integral,

    )(tf

    dttfT

    tfT

    )( 1)(

    0 = donde T = 2 , (10)

    Queda como ejercicio para el lector analizar esta definicin comparndola con la forma en que usualmente se calcula el promedio, tener en cuenta que en este caso no se trata de cantidades discretas sino del promedio de una funcin continua (piense algunos ejemplos, tales como el promedio de la funcin seno o coseno).

    Usando la definicin anterior calcule los valores medios de las funciones y sobre un perodo de oscilacin.

    )(t)(2 t

    Ayuda: Use los siguientes resultados, trate de justificarlos grficamente,

    cos( ) cos( ) tT

    t dtT+ = + =1 00

    , sen( ) sen( ) t

    Tt dt

    T+ = + =1 00

    cos ( ) cos ( )2 20

    1 12

    tT

    t dtT+ = + =

    , sen ( ) sen ( )2 2

    0

    1 12

    tT

    t dtT+ = + =

    cos( ) sen( ) cos( ) sen( ) t tT

    t t dtT+ + = + + =1 0

    0

    Resp. = 0 y 22

    2= A

    Verifquelo con el Mathematica, usando w=2*Pi/T; psi[t_ ]=a*Cos[w*t+delta]; media=(1/T)*Integrate[psi[t],{t,0,T}]; media2=(1/T)*Integrate[psi[t]^2,{t,0,T}]

    17

  • j) Usando el resultado anterior, demuestre que el valor medio (sobre una oscilacin) de la energa cintica resulta igual al valor medio de la energa potencial, e igual a la mitad de la energa mecnica total (Teorema del Virial).

    k) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos ms importantes aprendidos en los ejercicios 7 y 8.

    9. Repaso. Rehaga los ejercicios 7 y 8, pero ahora con las siguientes condiciones iniciales: a) A t=0 el resorte est estirado 5 y la masa tiene una velocidad cm v m seg= 1 . Respuesta de la ecuacin dinmica: ( )( ) , cos ,t t 0 07 20 0 785 metros Reobtenga la solucin anterior usando el Mathematica, Dsolve[{psi''[t]+400* psi[t]==0,psi[0]==0.05,psi'[0]==1},psi[t],t] b) A t=0 el resorte est estirado 5 y la masa tiene una velocidad nula. cm Respuesta de la ecuacin dinmica: ( )( ) , cost t metros= 0 05 20 Vuelva a obtener la solucin anterior usando el Mathematica, Dsolve[{psi''[t]+400* psi[t]==0,psi[0]==0.05,psi'[0]==0},psi[t],t] 10. Gua terica. Resolucin de la ecuacin inhomognea. La ecuacin inhomognea 1 del ejercicio 7 (o la 5, que es la misma ecuacin) puede resolverse de dos maneras: Una, es haciendo el cambio de variables propuesto en el problema anterior, o sea,

    describir al sistema desde la posicin de equilibrio, de tal forma que la ecuacin diferencial correspondiente a la nueva variable resulta homognea.

    La otra posibilidad es usar que, La solucin general de una ecuacin diferencial inhomognea, como por ejemplo

    la ecuacin 5 del problema anterior, 0 )( )( lktxktxm =+&& (1)

    se encuentra sumando una solucin de la ecuacin homognea asociada a la ecuacin 1, ms una solucin particular, es decir,

    x t x t x th p( ) ( ) ( )= + (2) La ecuacin diferencial homognea asociada a la ecuacin 1, se construye a partir de

    ella, pero en lugar de estar igualada a un nmero ( ), se halla igualada a cero, es decir,

    0 lk

    m x t k x th h && ( ) ( )+ = 0 (3) reagrupando para que nos resulte ms familiar,

    && ( ) ( )x t km

    x th = h

    )

    (4)

    Vemos que esta ecuacin homognea tiene la forma de la ecuacin del oscilador armnico, cuya solucin conocemos. Entonces, la solucin de la ecuacin homognea asociada (ec. 3 o 4), resulta:

    (x t A th ( ) cos= + donde = km (5) Slo resta hallar una solucin particular (cualquiera) de la ecuacin

    inhomognea (ec. 1). De observarla a simple vista, comprobamos que si proponemos como solucin particular a una constante,

    0)( ltx p = (6) sta funcin constante, satisface la ecuacin 1 (verifique). Por consiguiente, la solucin general de la ecuacin diferencial de segundo

    orden lineal e inhomognea (ec. 1), resulta (verifique que es solucin),

    18

  • ( )++=+= tAltxtxtx ph cos )()()( 0 (7) Fsicamente significa que la coordenada x oscila armnicamente alrededor de su

    valor de equilibrio, que en este caso es . Compare con lo que obtuvo en el tem i) del ejercicio 7.

    0l

    11. Recomendado. Resolucin numrica de la ecuacin diferencial. Volvamos al ejercicio terico 7 (usamos los mismos datos), donde queramos resolver la ecuacin diferencial:

    && = = km seg

    400 1 2 (1). Ya hemos resuelto esta ecuacin diferencial analticamente en el ejercicio 7, all obtuvimos que la evolucin dinmica se describe por,

    metrostt ) 20sen( 005,0)( = , cuando las condiciones iniciales eran que a t = 0 la masa estaba en la posicin de equilibrio con una velocidad de v m seg= +0 1, / . Ahora queremos volver a resolver la ecuacin 1 pero por un mtodo aproximado, que consiste en integrarla numricamente. Conociendo la solucin exacta, no resulta muy til hacer un clculo aproximado, pero este clculo lo hacemos con fines didcticos, ya que, no todas las ecuaciones diferenciales pueden resolverse analticamente (slo algunas pocas), por lo cual, la resolucin numrica es la nica alternativa posible. En este ejercicio veremos una forma muy elemental de integracin numrica, en casos ms complejos, como ecuaciones no lineales, los cuidados en la integracin deben ser mucho mayores, ya que pequeos errores son amplificados enormemente en cada paso de integracin. Como primer paso para resolver la ecuacin numricamente, resulta necesario discretizar el tiempo, qu quiere decir esto?, vamos a pensar que el tiempo transcurre de a pequeos saltos finitos t (no continuamente). La razn por la que debemos discretizar el tiempo, es porque resulta imposible determinar numricamente, en forma continua, la posicin de la partcula, slo sabemos calcular desplazamientos producidos en perodos de tiempo, no en instantes. El incremento de tiempo t debe ser chico para que el clculo sea lo ms exacto posible, como despus comprobaremos. Ahora la pregunta es chico respecto de qu?. El nico tiempo caracterstico del sistema que tenemos es el perodo de oscilacin, as que en principio debemos elegir un incremento de tiempo chico respecto a este perodo (T seg= 0 314, , aunque en este problema an no lo conocemos, ya que suponemos que no tenemos la solucin analtica), por ejemplo t seg= 0 03, , si al finalizar encontrsemos que no fue lo suficientemente pequeo deberamos recomenzar con otro valor. El objetivo es calcular el desplazamiento de la masa en los tiempos:

    t t t t t= 0 2 3 4, , , , , ...... es decir queremos calcular:

    ( ), ( ), ( ), ( ), ( ),0 2 3 4 ..... t t t t Veamos lo que sabemos, tenemos como dato la posicin y la velocidad inicial de la masa,

    ( )0 0= metros y & ( ) , 0 0 1= mseg

    19

  • y tambin conocemos la aceleracin en el instante inicial, ya que la podemos calcular usando la ecuacin diferencial 1, es decir,

    && ( ) ( ) 0 400 0 400 01 12 2= = =seg seg mseg20

    t

    .

    A partir de estos datos deberamos aproximar la posicin, la velocidad y la aceleracin en el instante posterior , es decir, hallar un valor aproximado de

    . Cmo hacer esto es toda la cuestin. t

    ( ), & ( ) && ( ) t t y En una primera aproximacin (muy mala), podemos calcular el desplazamiento suponiendo que el movimiento posterior fue realizado a velocidad constante igual a & ( ) , 0 0 1= mseg , y por consiguiente, el desplazamiento luego de un tiempo resulta

    (usandot

    x x v t= +0 ), ( ) ( ) & ( ) , , , t t m segmseg= + = + =0 0 0 0 1 0 03 0 003 m

    Con este dato ya se nos abre la puerta para calcular la aceleracin en el instante con la ecuacin 1,

    t

    222 2,1 003,0 400)( 400)( 11 segm

    segsegmtt ===&& (se frena?, por qu?)

    y con el dato de la aceleracin podemos aproximar (muy burdamente) a la velocidad en el instante como ( ), t v v at= +0

    segm

    segm

    segm segt 064,0 03,0 2,10,1=t t)( )0()( 2 =+= &&&& (se frena!)

    Ya tenemos . El resto del procedimiento es repetir estos pasos hasta el tiempo de integracin deseado.

    ( ), & ( ) && ( ) t t y t

    a) Verifique que el algoritmo general para integrar la ecuacin diferencial se resume en, i) (usando ( ) ( ) ( ) & ( )n t n t n t t+ = +1 x x v t= +0 ), ii) ( ) ( )&& ( ) ( ) n t nseg+ = +1 400 11 2 t (usando && = 400 1 2seg ) iii) ( ) ( )& ( ) & ( ) && n t n t+ = +1 (n + 1) t t (usando v v at= +0 ) b) Elija un pequeo (empiece con t t seg= 0 03, ), usando el algoritmo hallado y los

    valores conocidos de y halle las posiciones posteriores ( )0 & ( ) 0 ( ), ( ), ( ), ( ), t t t t2 3 4 ..... (si se anima construya un programa que lo haga). Con estos valores elabore una tabla y grafique ( )t , compare con la respuesta exacta del problema 7 (tem h)).

    c) Pruebe con diferentes valores de t y analice la exactitud de la aproximacin para cada uno de ellos.

    d) Importante. Escriba un comentario o resumen de los conceptos ms importantes aprendidos en el ejercicio.

    Propuesta: Realice la integracin numrica usando el programa Mathematica. A continuacin mostramos el programa desarrollado por Florencia Carusella, a la que agradecemos por su ayuda.

    Programa en Mathematica (se ha usado un intervalo 01.0=t ). Intervalos de tiempo. dt=0.01; T=0.314; Definicin de los vectores. Phi=Array[p,Floor[T/dt]+2];

    20

  • DPhi=Array[dp,Floor[T/dt]+2]; DDPhi=Array[ddp,Floor[T/dt]+2]; Condiciones iniciales. Phi[[1]]=0; DPhi[[1]]=0.1; DDPhi[[1]]=-0*400; Iteraciones. Do[{ Phi[[k+1]]=Phi[[k]]+DPhi[[k]]*dt; DDPhi[[k+1]]=-400*Phi[[k+1]]; DPhi[[k+1]]=DPhi[[k]]+DDPhi[[k+1]]*dt}, {k,1,Floor[T/dt]+1}] pasos=Table[(k-1)*dt,{k,1,Floor[T/dt]+2}]; Grficos: Clculo analtico de la posicin. p[t_ ]=0.005*Sin[20*t]; analitico=Plot[p[t],{t,0,T},PlotStyle->{PointSize[0.01]}]; Clculo numrico de la posicin. posic=ListPlot[Transpose[{pasos,Phi}], PlotStyle->{PointSize[0.03]}]; Grafica juntas la solucin analtica y la numrica. Show[analtico,posic] Velocidad. veloc=ListPlot[Transpose[{pasos,DPhi}], PlotStyle->{PointSize[0.03],RGBColor[1,0,0]}]; Aceleracin. acel=ListPlot[Transpose[{pasos,DDPhi}], PlotStyle->{PointSize[0.03],RGBColor[0,0,1]}]; Segundo Programa: Resolucin numrica, mtodo interno del Mathematica. numer=NDSolve[{y[x]+400*y[x]==0,y[0]==0,y[0]==0.1}, y,{x,0,0.314}]; Grfico resol=Plot[Evaluate[y[x]/.numer],{x,0,0.314}, PlotStyle->RGBColor[1,0,0]]; Superposicin de ambas resoluciones. Show[resol,posic,analitico]; e) Optativo. Este es uno de los peores mtodos de integracin, una posible mejora sera

    aproximar mejor la velocidad con que calculamos el desplazamiento en cada paso, sera ms exacto si ussemos una velocidad promedio, estudiarlo y mejorar el algoritmo.

    f) Optativo. Si conoce algn mtodo de integracin ms exacto (ej. Runge Kuta) selo. 12. Recomendado, Ejercicio Terico. Con este ejercicio pretendemos comprobar una propiedad importante de los sistemas armnicos unidimensionales, que tomando como origen de coordenadas al punto de equilibrio, la descripcin del sistema, resulta equivalente al problema simple de una masa y un resorte movindose sobre una superficie sin friccin (ver ejercicio 7).

    21

  • Veamos el ejemplo: Un cuerpo de m kg= 1 cuelga del techo por medio de un resorte de constante elstica k N m= 400 / y longitud relajada de , como se muestra en la figura 11.

    cml 100 =

    +y

    Fig.11 Como primer modelo, consideramos que no existe friccin de ninguna especie y que el sistema no disipa energa de ninguna otra forma. a) Importante. Plantee la ecuacin dinmica del sistema ( F m a= ). Suponemos que,

    sobre la masa, slo actan la fuerza peso y la fuerza elstica del resorte (por ejemplo, la masa se ha desplazado y se ha soltado, describimos la evolucin a partir de ese instante).

    Resp. [ ] mglyktym += 0)t( )( && (1) (ecuacin diferencial de segundo orden lineal e inhomognea) b) Halle la posicin de la masa en el equilibrio (la resultante de las fuerzas es nula).

    Resp. cmk

    mgly 45,120equi =+= donde g m se= 9 8 2, / gc) Hemos anticipado que si se toma como origen de coordenadas al punto de

    equilibrio, la descripcin del sistema armnico resulta equivalente al problema simple de una masa y un resorte movindose sobre una superficie sin friccin. Para comprobar esto, analice el cambio de coordenadas:

    k

    mgltyytyt == 0equi )()()( (2) Qu describe la variable ?. d) Demuestre que con el cambio de variables anterior la ecuacin diferencial 1 se

    transforma a,

    && ( ) ( ) t km

    t= (oscilador armnico) (3) e) Discuta sobre las implicancias de lo hallado en el tem anterior. f) Importante. Halle la frecuencia y el perodo de oscilacin. Se modifica la

    frecuencia de oscilacin por el hecho de que el resorte est colgado y no horizontal?. Resp. = 20 rad seg/ , T seg 0,314 . g) Importante. Suponiendo que inicialmente la masa est en su posicin de equilibrio y

    se desplaza hacia abajo con una velocidad de segm1 , halle la ley de movimiento de la masa, es decir, halle ( )t (amplitud A y fase ) y, a partir de este resultado, halle y t( ) . Discuta.

    Resp. ( )y t y t y A t( ) ( ) cos= + = + +equi equi (4) donde =my 1245,0equi = 20 rad seg/ A cm m= =5 0 05, y = 2 Vuelva a obtener la solucin usando el Mathematica, Dsolve[{psi''[t]+400* psi[t]==0,psi[0]==0,psi'[0]==1},psi[t],t] h) Grafique las funciones e ( )t y t( ) . Discuta. Usando el Mathematica, psi[t_ ]=0.05*Cos[20*t-Pi/2]; Plot[psi[t],{t,0,1},

    22

  • PlotRange->{-0.055,0.055}, PlotStyle->{RGBColor[0,0,1]}]; i) Halle la energa cintica (en funcin del tiempo). j) Importante. Estamos interesados en hallar la energa potencial elstica y gravitatoria,

    pero por razones que luego quedarn claras, resulta conveniente fijar el cero de potencial, no en la posicin relajada del resorte sino, en la posicin de equilibrio del sistema ( y ), es decir, queremos que E yequi p equi( ) = 0.

    El potencial se puede definir a menos de una constante, la constante debe ser elegida de tal forma que el potencial se anule en el punto elegido como cero del potencial.

    Veamos el ejemplo de la energa potencial elstica. En el jardn de infantes nos ensearon que la energa potencial elstica puede calcularse a partir de la ecuacin,

    E kp el = 12 2x (5) donde indica cunto se aparta la masa de la posicin relajada del resorte,

    note que no figura ninguna constante sumando, es decir, la constante es cero. 0lxx =

    Pero la expresin 5 slo es vlida cuando el cero de potencial se toma en el punto en donde el resorte se halla relajado, de hecho cuando x = 0 la energa potencial, dada en la ecuacin 5, se anula.

    En el caso general, en donde el cero de potencial no se fija en la posicin relajada, la expresin 5 debe modificarse. La expresin general tiene la forma,

    E k x constantepel = +12 2 (6) donde la constante debe elegirse adecuadamente para que la energa potencial se

    anule en el punto que deseamos fijar como cero de potencial. Para entender un poco mejor, recordemos como es que se calcula (en el jardn)

    la expresin 5. La energa potencial es igual a menos el trabajo realizado sobre la masa al ir desde el punto de referencia x (en donde tomamos el cero de potencial) hasta la posicin final x, es decir,

    0

    ( ) ( ) ( 20020

    0

    elp 2

    1 21 .)(

    00

    lxklxkdxlxkxdFxEx

    x

    x

    x

    === rr ) (7) donde hemos comprobado que la constante a sumar es,

    ( )20021 lxkconstante = .

    Esta constante puede calcularse sin necesidad de integrar, slo pidiendo que la energa potencial se anule en el punto de referencia (comprubelo).

    La expresin 7 nos permite hallar la energa potencial elstica para cualquier punto de referencia x . Claramente, la energa potencial en la posicin x es cero (cero de potencial), es decir,

    0 x= 0

    ( ) ( ) 0 21

    21)( 200

    2000

    elp == lxklxkxE

    En el caso particular en que el punto de referencia concuerda con la posicin relajada, o sea, , entonces la ecuacin 6 toma la forma de la ecuacin 5 (verifique).

    00 lx =

    En nuestro problema el cero de potencial lo tomamos en el punto , por consiguiente, la energa potencial elstica nos queda,

    yequi

    ( ) ( ) ( ) joulemymNlyklykyE 12005,01,0 /40021

    21

    21)( 220equi

    20

    elp ==

    23

  • Comentario: Si la energa potencial de una masa (suma de todas las posibles

    energas potenciales, elstica, gravitatoria, electroesttica, etc.) puede representarse por una funcin cuadrtica

    con a E ax bxp = + +2 c > 0 entonces su representacin grfica resulta una parbola hacia arriba, no

    necesariamente ubicada en el origen, ver figura 12. Y el movimiento de la masa resulta oscilatorio armnico, aunque la forma del potencial no sea exactamente

    E kp =12

    2x .

    La posicin de equilibrio se ubica en la posicin que hace mnimo al potencial

    (fuerza nula), y la amplitud de oscilacin queda determinada por la energa mecnica total E (ver figura 12).

    La fuerza que acta sobre la partcula puede obtenerse a partir de la conocida relacin (para el caso unidimensional),

    FE

    xax bp= = 2

    La cual puede llevarse a la forma equivalente de una fuerza elstica ejercida por un

    resorte F k x= , si consideramos que la longitud relajada del resorte es a

    b20

    =l y su constante elstica a , es decir,

    k=2

    ( )0222 lxkabxabaxF =

    == .

    De acuerdo a esto, si un sistema posee un potencial cuadrtico (cualquiera sea su origen fsico) siempre resulta posible hallar un sistema equivalente formado por una masa y un resorte oscilando armnicamente, la frecuencia de oscilacin queda determinada por la constante y la masa. a

    Note que la fuerza no depende de la constante c, es decir, la dinmica del sistema no depende del punto que tomemos como cero de potencial. Podramos redefinir a la energa restndole la constante c y nada cambiara.

    Figura 12: Grfico de la energa potencial elstica. El vrtice de la parbola corresponde al estado de equilibrio.

    Ep

    Emin

    xequi

    F0

    mov. oscilatorio armnico

    xmaxxmin

    E

    x

    24

  • En particular c puede tomar un valor muy negativo, como por ejemplo c joule= 1020 , con lo cual la energa mecnica resulta negativa en la mayora de los ejemplos prcticos, hecho que no es contradictorio con los principios de la fsica ya que la energa mecnica puede ser negativa, su signo depende fuertemente del punto tomado como cero de potencial.

    k) Compruebe que la expresin E kp el2 = 1

    2 est mal!, ya que, 0lxx = .

    l) Halle la energa potencial gravitatoria (siga el anlisis anterior), tome el cero de potencial en el punto de equilibrio del sistema (Cuidado con el signo del potencial gravitatorio depende fuertemente del sistema de coordenadas elegido, verifique!,

    recuerde que PE=

    pg

    y y que en este sistema de coordenadas P > 0, ver figura 11.).

    Resp. ( )E mgy mgy mg y yp g equi equi = + = (8) m) Demuestre que la energa potencial total, suma de la potencial gravitatoria y elstica,

    es 221 )()( tktEp = (tomando el cero de potencial en la posicin de equilibrio). Compare con la energa potencial elstica del problema 7.

    n) Verifique que la energa total resulta, E k= 12 2 A (9)

    (tomando como cero la posicin de equilibrio), observe que el resultado concuerda con el obtenido en el problema 8, Cmo puede ser que esto resulte as, teniendo en cuenta que en este problema el resorte est ms estirado y adems existe energa potencial gravitatoria?. Discuta.

    o) Importante. En qu se modifica el movimiento oscilatorio por el hecho de estar colgado y no en posicin horizontal?, compare con los ejercicios 7 y 8. Hallar

    p) La energa total del sistema. Resp. E joule= 0 5, . . q) La energa cintica mxima. Resp. E joule= 0 5,c

    Cuando el cuerpo posee su mximo desplazamiento hacia abajo, encontrar, r) La energa potencial gravitatoria. Resp. E joulep g = 0 49, . s) La energa potencial elstica. Resp. E joulep e = 0 99, . 13. Recomendado. Una masa m kg5,0= desliza sobre una superficie sin friccin (sin disipar energa). Est conectada a dos paredes rgidas mediante dos resortes idnticos. Las paredes se hallan separadas una distancia L m= 3 . Los resortes, de masa cero y perfectamente elsticos, poseen una constante elstica k N m= 500 / y longitud relajada

    , ver figura 13. ml 10 = Suponiendo que el movimiento es unidimensional (en la direccin x),

    x=0 x=L

    Fig.13

    x

    a) Plantee la ecuacin dinmica del sistema ( F m a= ). Resp. [ ] [ ]00 )( )t( )( ltxLklxktxm +=&& Ayuda: recuerde que la fuerza elstica resulta proporcional al estiramiento del

    resorte respecto de su longitud relajada. Por consiguiente, lo primero que debe hacer es hallar la longitud del resorte en funcin de la coordenada ( )x t .

    25

  • Compruebe que la longitud del resorte de la izquierda resulta, ( )L x t1 =

    mientras que la longitud del resorte de la derecha es, ( )L L x t2 =

    Detngase a pensar el signo que le corresponde a cada trmino, correspondiente a las fuerzas elsticas de cada resorte.

    b) Halle la posicin de la masa en el equilibrio (la resultante de las fuerzas se anula). Resp. x L mequi = =2 1 5,

    c) Demuestre que, con el cambio de variables ( ) ( )t x t x= equi, la ecuacin diferencial se transforma en,

    && ( ) ( ) t km

    t= (oscilador armnico) donde hemos definido =k k2 . Comentario: Tomando como origen de coordenadas al punto de equilibrio, la

    descripcin del sistema, resulta equivalente al problema simple de una masa unida a un resorte, oscilando sobre una superficie sin friccin.

    d) Hallar la frecuencia y el perodo de oscilacin. Resp. 2 = km

    e) Importante. Suponiendo que inicialmente la masa m se desplaza hacia la derecha una distancia de 0 5 (desde el equilibrio) y se suelta desde el reposo, halle la ley de movimiento de la masa, es decir, halle

    , m( )t y, a partir de este resultado, halle x t( ) .

    f) Halle la energa cintica (en funcin del tiempo). g) Halle la energa potencial elstica (Tome como cero la posicin de equilibrio).

    Ayuda. ( ) ( )E k L l k L l cte kp = + + = 12 12 121 0 2 2 0 2 2 halle la constante. h) Verifique que la energa total resulta E (tomando como cero la posicin de

    equilibrio), observe que el resultado es similar al obtenido en el problema 8, Cmo puede ser que esto resulte as, teniendo en cuenta que en este problema el resorte est ms estirado?, no importa ese estiramiento?. Discuta.

    k A= 12 2

    i) Repaso. Repita el ejercicio considerando que los resortes poseen constantes elsticas distintas o longitudes relajadas distintas.

    j) Importante. Repita los clculos anteriores pero ahora la masa, en lugar de estar colocada sobre una superficie horizontal, se cuelga del techo en posicin vertical, como indica la figura 14. Cambia la frecuencia de oscilacin del sistema por el hecho de estar vertical y no horizontal? No influye que el resorte de arriba este ms estirado que el de abajo?. Discuta.

    Fig.14

    L

    14. Recomendado, Ejercicio Terico: Pndulo. El Pndulo, aparece muy a menudo en nuestra vida cotidiana (hamacas). En este ejercicio comprobaremos que el movimiento de un pndulo resulta (en primera aproximacin) armnico, cuando la amplitud de la oscilacin es pequea (luego analizaremos que es lo que consideramos pequeo).

    26

  • La figura 15 muestra un pndulo simple constituido por una masa m k colgada del techo por medio de una cuerda de longitud

    gm

    = 1L = 1 (sin masa e inextensible,

    por qu?).

    L

    L

    s=

    s

    a) Haga un dibujo en donde consten claramente todos los pares de interaccin en juego.

    Figura 15: Pndulo simple.

    r rFb) Plantee las ecuaciones de Newton ( ma= ) que describen la evolucin dinmica de la masa (problema tridimensional, por ende, existe una ecuacin vectorial, o lo que es equivalente, tres ecuaciones una para cada coordenada).

    c) Para simplificar el problema supondremos que el pndulo se encuentra en un sistema inercial y adems que el movimiento se restringe a un plano. Esta suposicin es una idealizacin, ya que si el pndulo se halla sobre la tierra (que no es un sistema inercial), debido a la rotacin sobre su eje, el plano de oscilacin vara lentamente.

    Si el movimiento se restringe a un plano, la posicin de la masa puede describirse a travs de una nica coordenada (unidimensional), el ngulo o la longitud de arco . Halle la ecuacin diferencial de movimiento de la masa correspondiente a la coordenada s,

    s L=

    Resp. &&( ) se n ( )s t g s tL

    = (1)

    Comentario: Esta ecuacin diferencial de segundo orden es no lineal, ya que la

    funcin aparece dentro de una funcin seno, que claramente no es una funcin s t( )lineal de s. La no linealidad es debida a que la interaccin es no-lineal.

    Los trminos no lineales complican enormemente la resolucin analtica de las ecuaciones diferenciales. En la mayora de los casos, no existe solucin analtica y slo es posible resolverlas numricamente.

    Los trminos no lineales son los responsables, en muchas situaciones, de la aparicin de fenmenos fsicos complejos como son los fenmenos Caticos.

    Todo lo que hasta ahora hemos estudiado va en la direccin de poder predecir la evolucin futura de un sistema, conocido su estado actual. El estado inicial nunca puede conocerse con exactitud, ya que la medicin de cualquier magnitud fsica siempre conlleva errores. Si el sistema dinmico es lineal estos errores no imposibilitan realizar buenas predicciones sobre el sistema, ya que pequeas variaciones de las condiciones iniciales producen pequeas variaciones de su evolucin futura (sistema determinista y predecible).

    Esta pretensin determinista, sobre la posibilidad de predecir la evolucin dinmica de cualquier sistema, ha guiado a la fsica por siglos, pero no siempre resulta posible en sistemas dinmicos complejos. Si el sistema dinmico es no lineal, en muchos casos, resulta imposible realizar predicciones sobre la evolucin futura del sistema (sistema determinista no-predecible), ya que pequeas variaciones de las condiciones iniciales pueden producir grandes variaciones en su evolucin futura.

    27

  • Estos sistemas dinmicos complejos siguen siendo deterministas, en el sentido de que su evolucin respeta estrictamente las leyes de Newton, pero debido a la incerteza con que se conoce el estado actual, no resultan predecibles (aunque la incerteza sea muy pequea). La clsica imagen con que generalmente se ilustra este concepto es: Una mariposa mueve sus alas en Pekn y desencadena tormentas sobre New York.

    El estudio de los sistemas dinmicos complejos se ha constituido en una importante rea de la matemtica y de la fsica moderna. Nosotros no profundizaremos en el tema, pero recomendamos la lectura del libro: Nonlinear Dynamics and Chaos de Steven H. Strogatz (Addison-Wesley), el cual resulta muy didctico, y slo presupone conocimientos fsicos y de anlisis matemtico elementales.

    La mayora de los sistemas fsicos reales son no-lineales, y slo algunos casos idealizados resultan lineales.

    En el caso particular del pndulo los trminos no lineales no conllevan fenmenos caticos pero dificultan enormemente la resolucin analtica del problema (la cual existe). Por ello en el siguiente tem haremos una aproximacin.

    d) Suponga que le interesa describir slo las pequeas oscilaciones alrededor del

    equilibrio (es decir, s pequeo respecto a la longitud de la cuerda ). Por ello, en la ecuacin 1, aproximamos a la funcin

    L( )sen x por su desarrollo en Taylor a primer

    orden, despreciando a los ordenes superiores, es decir, trminos orden igual o superior a( )sen x x= + x3.

    De esta forma, hemos aproximado a la funcin seno por una recta que pasa por el origen, de pendiente 1 ( x en radianes !), o sea,

    (aproximacin lineal) ( )sen x x Discuta sobre la validez de esta aproximacin lineal. Pruebe con su calculadora

    diferentes valores de x, e indique para que conjunto de valores usted cree que resulta razonable la igualdad. Grafique juntas a las funciones ( )y x= sen e y x= .

    e) Verifique que, dentro de la aproximacin lineal, la ecuacin dinmica del pndulo es,

    &&( ) ( )s t gL

    s t (2) (La validez de esta aproximacin depende del grado de exactitud con que se desea

    calcular). f) En sta aproximacin el movimiento resulta armnico por qu?, qu significa

    esto?. g) Para pequeas oscilaciones, halle la frecuencia angular, frecuencia y perodo de

    oscilacin del sistema.

    Resp. TLg

    = 2 2 seg (para pequeas oscilaciones) (3) h) Estudie detenidamente la expresin 3, de ella se desprende que el perodo de

    oscilacin de un pndulo slo depende de su longitud y de la aceleracin de la gravedad del lugar en donde se analiza el fenmeno.

    El perodo de oscilacin del pndulo no depende de la masa, este hecho no es ms que otra manifestacin del principio de equivalencia entre la masa inercial y la masa gravitatoria. Discuta.

    i) La ecuacin 3 resulta vlida slo para pequeas oscilaciones. Si resuelve el problema exacto, usted cree que el perodo de oscilacin finalmente termina dependiendo de la masa del cuerpo?. Justifique.

    28

  • j) Importante. Resuelva la ecuacin de movimiento (ec. 2), es decir, halle , sabiendo que a t la masa esta quieta y desplazada un ngulo respecto de la vertical (pasar a radianes!, por qu?).

    s t( )= 0 o5=

    Resp. donde ( ) ( )s t A t= cos + = 3 13, rad seg , mA 087,0 y = . 0 radk) Halle el instante en que pasa, por primera vez, por la posicin de equilibrio. Resp. t seg 0 5, . l) Halle la velocidad tangencial y la velocidad angular de la masa al pasar por la

    posicin de equilibrio. Resp. segmtv 272,0 segrad 272,0 (discuta). m) Importante. En el instante en que pasa por la posicin de equilibrio, halle la

    aceleracin tangencial y la aceleracin centrpeta de la masa y la tensin del hilo. Resp. at m seg= 0 2 , 2 074,0 segmca y NTensin 874,9 n) Halle la energa cintica correspondiente a la masa oscilante, en funcin del tiempo. o) Importante. Halle la energa potencial, haga un desarrollo en Taylor y verifique que

    el trmino ms bajo tiene la misma forma que el potencial elstico. Discuta. Respuesta: Verifique que la energa potencial gravitatoria, tomando como cero de

    potencial el punto de equilibrio y el eje positivo de las y hacia arriba, resulta, ( )E mgh mgLp = = 1 cos (4)

    desarrollando en Taylor (para ngulos pequeos) la funcin cos , cos = +1 1

    22 terminos de orden superior (5)

    y reemplazando 5 en 4 obtenemos,

    E mgLmgL

    sp =12

    12

    2 2 (6)

    Note que si definimos una constante elstica equivalente kmgL

    = , la energa potencial gravitatoria se aproxima por,

    E kp 12

    2s (7)

    que tiene la misma forma funcional que la energa potencial elstica, por lo cual, podemos concluir nuevamente que la evolucin del sistema resulta oscilatorio armnico, con frecuencia angular,

    = = =km

    mgmL

    gL

    T Lg

    = 2 como ya habamos obtenido. p) Importante. En un mismo dibujo, grafique la energa potencial gravitatoria exacta

    dada por la ecuacin 4 y la aproximada, dada por la ecuacin 7 (aproximacin de pequeas oscilaciones), ver figura 16. Discuta.

    29

  • Para graficar puede usar el programa Mathematica, m=1; g=9.8; L=1; k=m*g/L; y0=m*g*L; Ep1[s_ ]=m*g*L*(1-Cos[s/L]); Ep2[s_ ]=k*s^2/2; Plot[{Ep1[s],Ep2[s]},{s,-8,8}, PlotPoints->300,PlotRange->{-.1,2.2*y0}, AspectRatio->.5, PlotStyle->{{RGBColor[0,0,1],Thickness[0.001]}, {RGBColor[1,0,0],Thickness[0.001]}}]

    Ep (aproximacin lineal) Ep

    Ep exacto

    equilibrio

    Figura 16: Grfica de la energa potencial gravitatoria, correspondiente a la masa oscilante. Para pequeas oscilaciones alrededor del equilibrio, resulta bien aproximado por un potencial elstico equivalente (parbola).

    s En la figura 16, observamos lo bien que aproxima la parbola al potencial

    exacto, cerca del punto de equilibrio. Por esta razn resulta una buena aproximacin el considerar que el pndulo oscila armnicamente para pequeos ngulos de apartamiento.

    q) Halle la energa mecnica total. Demuestre que usando la expresin aproximada para la energa potencial (ec. 7), la energa mecnica total resulta equivalente a la hallada en el caso del resorte (ejercicio 7).

    Resp. E kA= 12

    2 donde kmgL

    = (8) r) Con esta aproximacin el movimiento es armnico? qu quiere decir esto?. Qu

    cree que sucedera si el pndulo se apartase un ngulo grande?. Discuta. s) Cul sera el perodo de este pndulo en la Luna, en donde la aceleracin de la

    gravedad es un sexto de la correspondiente en la Tierra?. t) Experimento casero. Tome un hilo y una pequea masa, constryase un pndulo.

    Con su reloj mida el tiempo que demora en realizar varas oscilaciones (mientras mayor es el nmero de oscilaciones menor resulta el error cometido, discuta). Determine la aceleracin de la gravedad.

    30

  • 15. Repaso. Si el perodo de un pndulo de 70 de longitud es 1 , Cul es el valor de la

    cm 68, segg en ese lugar de la tierra?.

    16 Recomendado: Principio de superposicin. Las ecuaciones diferenciales lineales homogneas tienen la siguiente importante e interesante propiedad: La suma de dos soluciones cualesquiera es tambin solucin. Las ecuaciones no lineales no tienen esta propiedad: La suma de dos soluciones de una ecuacin no lineal no necesariamente es una solucin de la ecuacin (Las consecuencias de ste hecho son muy importantes y sern enfatizadas durante todo el curso, en particular ver el captulo 6). Pruebe estas dos afirmaciones, a) Lineal: Suponga que ha encontrado que la ecuacin dinmica del movimiento de un

    sistema con un grado de libertad es de la forma, (ecuacin diferencial lineal) && ( ) ( ) t = 2 t

    y que ha hallado dos soluciones 1( )t y 2 de la ecuacin diferencial. Verifique que la funcin tambin es solucin, es decir, satisface la ecuacin diferencial.

    ( )t( ) ( ) ( )t t= +1 2 t

    Ayuda: Reemplace ( )t por 1 2( ) ( )t t+ y por y use el hecho de que

    &&( ) t && ( ) && ( ) 1 2t + t1 ( )t y 2 ( )t son soluciones de la ecuacin, es decir, que satisfacen

    y (con la misma frecuencia ). && ( ) ( ) 1 2 1t t= && ( ) ( ) 2 2 2t = t

    t 2 (

    b) No Lineal: Suponga que ha encontrado que la ecuacin dinmica del movimiento de un sistema con un grado de libertad es de la forma,

    ecuacin diferencial no lineal) && ( ) ( ) ( ) t t= + 2 donde es una constante, y suponga que ha hallado dos soluciones 1( )t y de

    la ecuacin diferencial. Verifique que la funcin 2 ( )t

    ( ) ( ) ( )t t t= +1 2 no es solucin, es decir, no satisface la ecuacin diferencial.

    17. Recomendado. Una masa m kg= 1 se halla dispuesta sobre una gua vertical, donde puede deslizar con rozamiento despreciable. Adems, se halla sujeta a un resorte, colgado del techo, de constante elstica k N m= 400 / y longitud relajada l , como indica la figura 17.

    0

    a) Halle la ecuacin dinmica del sistema. Note que la ecuacin diferencial es no lineal.

    La evolucin resulta oscilatoria armnica?. y

    L Fig.17

    Resp. ( )my k y L l yy L

    mg&& = + +

    + 2 2 0 2 2b) Queremos determinar la posicin de equilibrio del sistema ( ). Para que las

    cuentas se simplifiquen, elegimos valores muy particulares de y de la longitud relajada del resorte l ,

    equiyL

    0

    L = 3 0 l y l mgk0

    2= Verifique que, con estos datos, el sistema alcanza su equilibrio en el punto de

    coordenada,

    31

  • 0equi ly = Este resultado no es general, la posicin de equilibrio concuerda con debido a la

    arbitraria eleccin de las longitudes y l (para que las cuentas resulten fciles)!. 0l

    L 0c) Haga un cambio de variables de tal forma de describir al sistema a partir de su

    posicin de equilibrio (= = y y y lequi 0) y obtenga la nueva ecuacin dinmica.

    Resp. ( )

    ( )m k klkl l

    l Lmg&&

    = +

    + ++ +0 0 0

    02 2

    d) El primer trmino del segundo miembro, de la ecuacin anterior, es el usual en una ecuacin armnica, no as el resto de los trminos. Haremos una aproximacin para poder resolver la ecuacin analticamente, consideraremos que las oscilaciones son muy pequeas, es decir, los apartamientos del equilibrio, dados por , son pequeos respecto de l0 y . Dentro de sta aproximacin, vamos a aproximar los 3 ltimos trminos de la ecuacin dinmica por el primer orden de su desarrollo en Taylor alrededor del equilibrio = . Demuestre que a primer orden se cumple,

    L

    0

    ( )

    ( )+

    + ++ +kl kl l

    l Lmg k0

    0 0

    02 2

    38

    +

    .....

    e) Usando la aproximacin anterior, la ecuacin dinmica queda,

    ( )

    ( )m k klkl l

    l Lmg k k k&&

    = +

    + ++ + = + 0 0 0

    02 2

    38

    58

    f) Halle la frecuencia de oscilacin, dentro de la aproximacin de pequeas oscilaciones.

    g) Halle la ley dinmica sabiendo que en el instante inicial la masa se hallaba en reposo

    en la posicin ( )y 0 2 0= l . Resp. ( ) ( )y t l l t= +0 0 cos donde = 58km

    18. Repaso. Suponga que una partcula tiene una energa potencial qu, para valores pequeos de , es x V Ax= 4 . a) Resulta oscilatorio el movimiento?, responda usando argumentos energticos. b) Resulta armnico el movimiento oscilatorio correspondiente? c) Cmo cree usted que variar el perodo al variar la amplitud en estas oscilaciones?. 19. Repaso. Una masa m g= 5 unida a un resorte (sin masa) de constante elstica k N m= 400 / , oscila horizontalmente (sin rozamiento). Suponiendo que en el instante inicial el resorte se halla estirado 1 , respecto de su longitud relajada, y que en ese momento posee una velocidad de 1

    cmcm seg/ , en la direccin en que se estira el resorte,

    haga todos los clculos, grficos y discusiones que crea necesario para describir el problema dinmico. 20. Repaso. Una partcula de masa m k1 2 g= apoyada sobre una superficie horizontal sin rozamiento se liga a una pared por medio de un resorte de constante elstica k N m= 600 / . Otro partcula de masa m k2 1 g= desliza sobre la superficie acercndose al primero a una velocidad de 6m seg/ . a) Halle la amplitud y el perodo de oscilacin si el segundo objeto choca de forma

    perfectamente inelstica quedando unido a la primer masa.

    32

  • Resp. y A m= 0 141, T seg= 0 444, . b) Halle la amplitud y el perodo de oscilacin si el choque fuese elstico. Resp. y A m= 0 231, T seg= 0 363, . c) Para cada tipo de choque, halle las funciones y que describen las

    posiciones de las dos masas en funcin del tiempo, suponiendo que el choque se produce en el instante t (suponer las masas puntuales).

    x t1 ( ) x t2 ( )

    = 0 Resp. En el caso de colisin inelstica x t x t t1 2 0 141 14 1 2( ) ( ) , cos( , / )= = En el caso de colisin elstica x t t1 0 231 17 3 2( ) , cos( , / )= y x t t2 2( ) = d) Cul es el impulso aplicado a la partcula 1 en cada caso?. Resp. y p kgm s1 4= / eg egp kgm s1 8= / respectivamente. 21. Repaso. Considerando valores razonables para la masa de un coche y su perodo de oscilacin vertical, estimar la constante elstica de los amortiguadores que actan sobre sus 4 ruedas. 22. Repaso. Supongamos que un cuerpo de masa est sujeto a dos resortes, de constantes elsticas y respectivamente, en la forma indicada en la figura 18.

    m1k 2k

    Fig.18 k1a)

    k2k1b)

    Cul es la frecuencia de oscilacin cuando los resortes estn en paralelo (a) y en serie (b). 23. Repaso. Una masa desliza sobre una superficie sin friccin, conectada a dos paredes rgidas mediante dos resortes idnticos, de constante elstica k y longitud relajada . La separacin entre las paredes es igual a

    m

    0l lL 2= , con l . Estamos interesados en estudiar las oscilaciones transversales del sistema, ver figura 19.

    0l

    a) A partir de las leyes de Newton halle la ecuacin diferencial que describe el

    desplazamiento transversal de la masa.

    l

    Fig.19

    Resp.

    = l

    ltmkt 0-1 )( 2)(&& ,

    donde 22 += ll es la longitud del resorte estirado (depende de ). b) La ecuacin anterior Es una ecuacin diferencial lineal?, si no lo fuera qu

    complicaciones trae aparejada?. Comentario: Note que la interaccin resulta no lineal a pesar de que las

    interacciones son elsticas. Las interacciones lineales slo aparecen en casos muy particulares.

    c) Utilice la aproximacin de pequeas oscilaciones para resolverla, es decir, bsese en el hecho de que el desplazamiento es tan pequeo que la longitud del resorte

    puede aproximarse por su desarrollo en Taylor a orden cero, es decir l . Qu ganamos con esto?. l l

    33

  • d) En la aproximacin de pequeas oscilaciones, halle la frecuencia de oscilacin del sistema y ley de movimiento de la masa (invente condiciones iniciales).

    Resp. lm

    T

    2 021 = , donde ( )00 llkT = (tensin del resorte).

    24. Repaso. La aceleracin debida a la gravedad vara con el lugar de la Tierra debido a su rotacin y porque la Tierra no es exactamente esfrica. Este hecho fue descubierto por primera vez durante el siglo XVII, cuando se observ que un reloj de pndulo cuidadosamente ajustado para marcar el tiempo correcto en Pars, atrasaba alrededor de cerca del Ecuador.

    g

    90seg dia/a) Demostrar que una pequea variacin en la aceleracin g produce un pequeo

    cambio en el perodo de un pndulo dado por: T TT

    gg

    = 12

    . Ayuda: hacer un

    desarrollo en Taylor y quedarse slo con el primer orden. b) Qu variacin de g se necesita para justificar un cambio de perodo de 90 . seg dia/ Bibliografa: Fsica Vol. 1, Tipler. Ed. Revert. Fsica, Gettys, Keller, Skove. Mc Graw Hill. Fsica, Mecnica, ondas y termodinmica Vol. 1, D.E.Roller and R.Blum. Ed.

    Revert. Introduccin al estudio de la mecnica, materia y ondas. U. Ingard y W.L.

    Kraushaar, Ed. Revert. Curso de Fsica de Berkeley, Mecnica, Vol. 1 Ed. Revert. Fsica, Mecnica Vol. 1, M. Alonso y E.J. Finn, Ed. Addison-Wesley

    Iberoamericana. Fsica Vol 1, Feynman. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana.

    34