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monicamonica@@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 1

MMéétodos Estattodos Estatíísticos de sticos de Apoio Apoio àà DecisãoDecisão

AulaAula 1 1 Mônica Barros, Mônica Barros, D.Sc.D.Sc.

Julho de Julho de 20082008


Quem sou eu?Quem sou eu?

Mônica BarrosDoutora em Séries Temporais – PUC-RioMestre em Estatística – University of Texas at Austin, EUABacharel em Matemática – University of Washington, Seattle, EUAProfessora da PUC-Rio (Depto. De Eng. Elétrica)

E-mails: [email protected], [email protected]

Home page: http://www.mbarros.com


Programa do CursoPrograma do Curso

Aula Tipo (T-P-C) Tema Descrição1 T, P Estatística Descritiva Gráficos, tabelas e medidas numéricas

2 T Probabilidade: Definições básicasDefinições básicas: probabilidade, espaço amostral, eventos, propriedades das probabilidades, Probabilidade Condicional, Independência;Teorema de Bayes

3 T Probabilidade: Definições básicasVariáveis Aleatórias Contínuas e Discretas , Função de Probabilidade, Função Densidade, Função de Distribuição, Momentos de uma v.a., Média, Variância e Desvio Padrão

4 T, P Probabilidade: Definições básicas Variáveis Discretas: Bernoulli, Binomial, Hipergeométrica, Geométrica, Binomial Negativa, Poisson5 T, P Probabilidade: v.a. Contínuas Variáveis Contínuas: Uniforme, Exponencial, Normal

6 P Pratica 1 Aula de exercícios - As funções do Excel para cálculo de probabilidades para v.a. Contínuas e discretas

7 T, C

Probabilidade: v.a. Contínuas E CASE 1: Simulação - soma de v.a. e o teorema central do limite CASE 2: Otimização de um portfolio simulado - propriedades da média e variância e o uso do Solver

O teorema central do limite e a importância da distribuição Normal.O teorema central do limite na prática - soma de variáveis aleatórias e a convergência para a Normal. Distribuição da soma de v.a. e da média amostral. Propriedades da média e variância de combinações lineares de v.a. - o efeito da correlação. O uso do Solver do Excel

8 T, P Distribuições Amostrais Amostra aleatória simples, distribuição da média amostral, distribuição de p^9 T, P Estatística - estimação pontual Estimação da média da população com sigma conhecido e desconhecido e para proporções

10 T/PEstatística - estimação por intervalos

Intervalos de confiança para amostras Normais e proporção Binomial - Exercícios - intervalos de confiança empregando o Excel

11 T/P Estatística - testes de hipóteses Teste de hipótese para amostrais normais e Exercícios

Ferramentas Excel, @Risk

Disciplina Métodos Estatísticos de Apoio à Decisão - BI MASTER 2008Responsável Mônica Barros


Nota Nota –– InstalaInstalaçção das ão das Ferramentas de AnFerramentas de Anáálise do Excellise do Excel

Muitas das técnicas descritas aqui requerem a prévia instalação do suplemento (“add-in”) “Ferramentas de Análise” do Excel. O procedimento de instalação édescrito a seguir:

No menu Ferramentas, selecione “Suplementos” e na caixa de diálogo que será aberta marque a opção “Ferramentas de análise”. Se esta opção não estiver presente, clique “procurar” para encontrar o arquivo correspondente (em geral chamado Analys32.xll) ou rode novamente o “set-up” do MS-Office.


Aula 1Aula 1

Estatística DescritivaDados – o que são, escalas de medidaObjetivos da Estatística DescritivaGráficosTabelasMedidas Numéricas


Estatística Descritiva


DadosDados

São fatos e números coletados e sintetizados para apresentação e interpretação. Lembre-se: “muitas vezes os dados não são dados... (são comprados ou a sua coleta é bem difícil, portanto aproveite-os bem).”

DadosQualitativos (ou categóricos)

Geralmente não numéricos, e se numéricos, nas escalas nominal ou ordinal (vide abaixo), indicando rótulos

QuantitativosIndicam quantidades numéricas, por exemplo, preço, volume, densidade, duração, lucro, ...


DadosDados

Escalas de dadosNominal

Por exemplo:região do país (Sudeste, Sul, Nordeste, Norte, Centro-Oeste). Um código numérico pode ser atribuído a cada região (por exemplo, SE = 1, Sul = 2, ...), mas não faz sentido fazer contas com este código, não existe qualquer ordenação particular neste código (poderíamos ter definido Norte = 1, Sul =2, ...)Sexo do entrevistado, M = 1, F = 0. É óbvio que este código pode ser invertido.


DadosDados

Escalas de dadosOrdinal

Semelhante aos dados nominais mas existe uma “ordem” intrínseca nos códigos.Por exemplo, “Excelente” = 4, “Bom” = 3, “Regular” = 2, “Ruim” = 1, “Péssimo” = 0.

IntervalarDados ordinais dentro de um intervalo. Por exemplo, scores de um exame padronizado, como o SAT (vestibular americano).

ProporçãoÉ a usual. Por exemplo, o preço de um carro. Se um carro custa R$ 40 mil e outro R$ 20 mil, isto significa que existe uma proporcionalidade entre os preços, o primeiro custa o dobro do segundo.


DadosDados

Seção TransversalDados obtidos no mesmo instante de tempo (ou quase no mesmo instante)

Séries TemporaisDados obtidos em diferentes instantes de tempo.A idéia principal é observar como a variável evolui ao longo do tempo. A análise e previsão de séries temporais é uma área separada de estatística, com métodos próprios.


Fontes de DadosFontes de Dados

BrasilIpeadata: www.ipeadata.gov.brBanco Central: www.bcb.gov.brIBGE: www.ibge.gov.brYahoofinance – para histórico cotações de ações na Bovespa – é gratuito – www.yahoofinance.comCVM – Comissão de Valores Mobiliários –www.cvm.gov.br

Você pode encontrar muitas coisas interessantes em “sites” de internet, por exemplo, naqueles de comparação de preços de produtos, como o buscape.com.br, o bondfaro.com.br e o boadica.com.br.


EstatEstatíísticastica

Coletar dados, como já dissemos, é uma tarefa muitas vezes cara, demorada e árdua.

Logo, na prática seremos obrigados a inferir sobre alguma característica de interesse de uma população a partir de um subconjunto desta, chamado amostra.



Em geral um número em Estatística não é apenas um número! A ele associamos uma medida de incerteza ou variabilidade.

População e AmostraPopulação = coleção de todos os elementos cujas características desejamos conhecer. Os elementos (ou "indivíduos") na população não são necessariamente pessoas!

Amostra = subconjunto da população cujas características serão medidas. A amostra será usada para descobrir características da população.


ExemplosExemplos

1) População = eleitores na cidade do Rio de JaneiroAmostra = 650 eleitores escolhidos aleatoriamente (ao acaso)Característica de interesse: percentual de eleitores queplanejam votar num candidato X nas próximas eleições.

2) População = automóveis produzidos no Brasil entre 1997 e2002

Amostra = 10000 carros escolhidos aleatoriamente dentre os sujeitos a “recall” das montadoras

Característica de interesse: verificar se o proprietário do carro respondeu ao chamado de “recall” da fábrica


ExemplosExemplos

3) População = todos os domicílios com TV na cidade do Rio de JaneiroAmostra = 1000 domicílios com TV escolhidos ao acasoCaracterística de interesse = percentual de audiência de cada emissora de TV num certo diada semana no horário de 18 às 22 horas.

Em resumo:Em resumo: A partir de uma amostra coletamos A partir de uma amostra coletamos informainformaçções que nos permitões que nos permitemem aprender alguma aprender alguma coisa interessante sobre a populacoisa interessante sobre a populaçção.ão.


Por que fazer isso?Por que fazer isso?

ÉÉ economicamente eficiente!economicamente eficiente! Os custos são infinitamente mais baixos que os de amostrar a população inteira (“censo”).

Pode-se provar que, para populações muito grandes, uma amostra de cerca de 600 ou 1000 "indivíduos" fornece resultados bastante confiáveis sobre as características da população.



CensoÉ a pesquisa realizada a partir da população inteira.

O censo populacional no Brasil (e na maioria dos países) é feito de 10 em 10 anos. Por que? Porque é caro e demorado. Aliás, na década de 90(?) foi realizado com atraso pois o governo não tina dinheiro....


E agora?E agora?

Você coletou uma amostra e, dentro desta amostra você coletou dados numéricos (por exemplo, o consumo médio mensal em kWh dos domicílios numa certa área da cidade). O que fazer com isso?

Existem duas possibilidades:Você pode simplesmente descrever estes dados numéricos através de gráficos, tabelas e medidas numéricas. Isto é chamado de estatística descritiva. A maioria das pesquisas de mercado faz só isso, que é sem dúvida, muito importante.


E agora?E agora?

Você pode tentar tirar conclusõestirar conclusões sobre as características da população a partir dos dados observados na amostra.

Isso se chama estatestatíística inferencialstica inferencial (ou simplesmente estatística!). Para que a gente consiga fazer isso, é necessário ter uma noção bastante abrangente de Probabilidades.


E agora?E agora?

Na verdade, a estatística descritiva surgiu muito antes da estatística inferencial.

Esta última depende da especificação de modelos matemáticos baseados numa noção fundamental, que é a de "probabilidade".


EstatEstatíística descritivastica descritiva

Gráficos ("A picture is worth one thousand words")Gráficos da variável ao longo do tempoGráficos de barrasPizzasHistogramaDiagramas de ParetoGráficos de dispersão


EstatEstatíística descritivastica descritiva

Medidas NuméricasFreqüênciasFreqüências RelativasMédia amostralMediana amostralDesvio padrão amostralVariância amostralAssimetria e Curtose amostraisPercentisCovariância, Correlação amostrais


Alguns grAlguns grááficos da evoluficos da evoluçção de ão de varivariááveis ao longo do tempoveis ao longo do tempo


Consumo Total Energia ElConsumo Total Energia EléétricatricaJanJan/1979 a /1979 a AgoAgo/2006/2006

Consumo de Energia Elétrica - Total Brasil (GWh) - Fonte: Eletrobrás

7,000

12,000

17,000

22,000

27,000

32,000

jan/79

jan/80

jan/81

jan/82

jan/83

jan/84

jan/85

jan/86

jan/87

jan/88

jan/89

jan/90

jan/91

jan/92

jan/93

jan/94

jan/95

jan/96

jan/97

jan/98

jan/99

jan/00

jan/01

jan/02

jan/03

jan/04

jan/05

jan/06


EXEMPLO: EXEMPLO: PrePreçços de Petros de Petróóleo leo Brent e WTI Brent e WTI –– dados didados diáários rios ––02/01/1991 a 03/11/200602/01/1991 a 03/11/2006

Preços de Petróleo (US$/Barril) - Janeiro de 2000 a Novembro de 2006

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

60

64

68

72

76

80

84

4/1/20

004/3

/2000

3/5/20

002/7

/2000

31/8/

2000

30/10

/2000

29/12

/2000

27/2/

2001

28/4/

2001

27/6/

2001

26/8/

2001

25/10

/2001

24/12

/2001

22/2/

2002

23/4/

2002

22/6/

2002

21/8/

2002

20/10

/2002

19/12

/2002

17/2/

2003

18/4/

2003

17/6/

2003

16/8/

2003

15/10

/2003

14/12

/2003

12/2/

2004

12/4/

2004

11/6/

2004

10/8/

2004

9/10/2

004

8/12/2

004

6/2/20

057/4

/2005

6/6/20

055/8

/2005

4/10/2

005

3/12/2

005

1/2/20

062/4

/2006

1/6/20

0631

/7/20

0629

/9/20

06

Petróleo WTI Petróleo Brent monicamonica@@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 26

EXEMPLO:EXEMPLO: IPCIPC--FFIPEIPEInflação FIPE (% a.m) e quadrissemanas - 01/1995 a 10/2006

-2

-1

0

1

2

3

4

5

jan/95

Inflação - IPC - FIPE Inflação - IPC - FIPE - 1a. quadrissemana

Inflação - IPC - FIPE - 2a. quadrissemana Inflação - IPC - FIPE - 3a. quadrissemana


EXEMPLO:EXEMPLO: IPCIPC--FFIPEIPE

No gráfico anterior exibimos o IPC-FIPE (o Índice de Preços ao Consumidor da FIPE, um dos mais importantes índices de inflação com suas estimativas quadrissemanais) no período entre 01/1995 e 10/2006.

As prévias quadrissemanais servem como indicadores da inflação do próximo mês medida pelo IPC-FIPE.

No próximo gráfico exibimos os valores mais recentes (desde 2002) do IPC-FIPE.


IPCIPC--FFIPE IPE desdedesde 20022002

Inflação FIPE (% a.m)- 01/2002 a 10/2006

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

jan/02

abr/0

2

jul/02

out/0

2jan/0

3ab

r/03

jul/03

out/0

3jan/0

4ab

r/04

jul/04

out/0

4jan/0

5ab

r/05

jul/05

out/0

5jan/0

6ab

r/06

jul/06

out/0

6

INFLAÇÃO - IPC - FIPE (% a.m.)


IBOVESPA DiIBOVESPA Diáário rio –– JulhoJulho de 1994 ade 1994 aa a 06/08/200406/08/2004

0

5,000

10,000

15,000

20,000

25,000

04/07/199403/12/199404/05/199503/10/199503/03/199602/08/199601/01/199702/06/199701/11/199702/04/199801/09/199831/01/199902/07/199901/12/199901/05/200030/09/200001/03/200131/07/200130/12/200131/05/200230/10/200231/03/200330/08/200329/01/200429/06/2004

Índice de ações - Ibovespa - fechamento (07/1994 a 08/2004)



Parece que a bolsa subiu muito durante quase todo o Plano Real.

Será que isso é mesmo verdade?

Veja o próximo gráfico, em que comparamos o IBOVESPA em R$ e US$.



IBOVESPA em Pontos em Reais e Dólares

2000.00

5000.00

8000.00

11000.00

14000.00

17000.00

20000.00

23000.00

26000.00

04/0

7/19

94

08/1

1/19

94

17/0

3/19

95

25/0

7/19

95

29/1

1/19

95

11/0

4/19

96

14/0

8/19

96

17/1

2/19

96

30/0

4/19

97

03/0

9/19

97

08/0

1/19

98

19/0

5/19

98

22/0

9/19

98

01/0

2/19

99

10/0

6/19

99

14/1

0/19

99

21/0

2/20

00

28/0

6/20

00

31/1

0/20

00

13/0

3/20

01

18/0

7/20

01

22/1

1/20

01

04/0

4/20

02

08/0

8/20

02

10/1

2/20

02

17/0

4/20

03

25/0

8/20

03

26/1

2/20

03

05/0

5/20

04

IBOVESPA em Dólares IBOVESPA em R$


GrGrááfico de Dispersão fico de Dispersão (uma vari(uma variáável versus outra)vel versus outra)


Exemplo Exemplo -- IBOVESPA e DIBOVESPA e Dóólarlar

Ibovespa versus Dólar PTAX -10/12/2002 a 12/06/2003

y = -3830.7x + 24366R2 = 0.8954

9,000

9,500

10,000

10,500

11,000

11,500

12,000

12,500

13,000

13,500

14,000

14,500

2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90

Neste período parece fazer sentido ajustar uma reta e poderíamos estipular um modelo que pudesse prever o IBOVESPA em função da taxa de câmbio


Exemplo Exemplo -- IBOVESPA e DIBOVESPA e Dóólar lar ––incorporaincorporaçção de novos dadosão de novos dados

Ibovespa versus Dólar PTAX -10/12/2002 a 02/03/2004

y = -10612x + 48010R2 = 0.4532

8,000

10,000

12,000

14,000

16,000

18,000

20,000

22,000

24,000

26,000

2.80 2.90 3.00 3.10 3.20 3.30 3.40 3.50 3.60 3.70 3.80 3.90

Claramente, um modelo linear não é mais apropriado quando levamos em consideração os novos dados (entre junho de 2003 e março de 2004) - OU SEJA: O MODELO MUDOU!



Por que o modelo anterior não funciona?

No período entre junho de 2003 e março de 2004 o dólar permaneceu praticamente estável, enquanto o índice Bovespa subiu consideravelmente, como podemos verificar no próximo gráfico.



IBOVESPA - 10/12/2002 a 02/03/2004

9,000

11,000

13,000

15,000

17,000

19,000

21,000

23,000

25,000

10/12

/0225

/12/02

09/01

/0324

/01/03

08/02

/0323

/02/03

10/03

/0325

/03/03

09/04

/0324

/04/03

09/05

/0324

/05/03

08/06

/0323

/06/03

08/07

/0323

/07/03

07/08

/0322

/08/03

06/09

/0321

/09/03

06/10

/0321

/10/03

05/11

/0320

/11/03

05/12

/0320

/12/03

04/01

/0419

/01/04

03/02

/0418

/02/04

Junho de 2003


Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturasDados:Temperatura máxima (média das máximas) na estação de Santa Cruz (Rio de Janeiro) entre Jan/1982 e Dez/1991.

O que fazer com todos estes 120 números?

A coisa mais sensata é fazer um gráfico da temperatura versus o índice de tempo (mês e ano). Este gráfico vai revelar o óbvio, isto é, que as temperaturas no verão são mais altas que no inverno!


Exemplo Exemplo -- temperaturastemperaturas

Além disso, a gente vai perceber que existe um comportamento sazonal nos dados, ou seja, dentro de cada ano a evolução da temperatura se repete mais ou menos da mesma maneira. O gráfico também nos dá uma idéia do quanto a temperatura está variando em todo o período. Por exemplo, pode-severificar que a temperatura máxima nestes 10 anos está sempre acima de 22 graus.



Temperaturas Máximas - 1982 a 1991

23

25

27

29

31

33

35

37

jan/

82

mai

/82

set/8

2

jan/

83

mai

/83

set/8

3

jan/

84

mai

/84

set/8

4

jan/

85

mai

/85

set/8

5

jan/

86

mai

/86

set/8

6

jan/

87

mai

/87

set/8

7

jan/

88

mai

/88

set/8

8

jan/

89

mai

/89

set/8

9

jan/

90

mai

/90

set/9

0

jan/

91

mai

/91

set/9

1



O grO grááfico fico éé muito muito úútil, mas certamente não conta til, mas certamente não conta a esta estóória toda ....ria toda ....

Por exemplo, qual será a temperatura média de todos os meses? Dentre os 120 meses, em quantos a temperatura média esteve entre 28 e 33 graus? Qual o percentual de temperaturas entre 22 e 25 graus? Tomando-se os 120 pontos, quais os valores de temperatura tais que 90% dos meses têm temperaturas entre estes dois valores?



Podemos pensar nestas, e numa infinidade de outras questões. O fato é que um simples gráfico da temperatura versus o tempo não fornece as respostas.

O primeiro passo é fazer a distribuição defreqüência dos seus dados. Isto é simplesmente uma medida mais compacta de representação dos dados. Você divide as temperaturas em intervalos (chamados intervalos de classeintervalos de classe) e conta quantas observações caem em cada intervalo.



A escolha do nA escolha do núúmero de intervalos mero de intervalos éé meio meio arbitrarbitráária.ria. O importante é garantir que o número de classes não seja nem muito grande nem muito pequeno. Se o número de classes for muito pequeno, fica difícil verificar as diferenças entre as classes. Ao contrário, se o número de classes for muito grande, existirão muito poucas observações em cada classe.

O primeiro passo é ordenar os dados pois facilita a colocação dos dados em cada classe.



Escolha do número de classes num diagrama de frequênciaSeja n o número de intervalos num diagrama de frequência. Recomenda-se escolher n entre 5 e 20. Quanto maior o número de observações, maior o número de intervalos.

Geralmente usaGeralmente usa--se n igual se n igual àà raiz quadrada do nraiz quadrada do núúmero total mero total de observade observaççõesões, que neste caso seria aproximadamente 11. Para facilitar a visualização em geral usamos intervalos com o mesmo comprimento. Também muitas vezes o primeiro intervalo é descrito como "abaixo de um certo valor" e o último como "acima de um certo valor".



Neste exemplo usamos n = 7, por uma questão puramente prática, pois este número nos permiteencontrar intervalos de classe de comprimento 1.9 em todas as classes, exceto a primeira, e todas as classes terminam com uma temperatura que é um número inteiro e par.

Neste caso eu decidi considerar 7 classes para as temperaturas. A primeira vai de 24 a 26 graus, a segunda vai de 26.1 a 28 graus e assim sucessivamente. O diagrama de freqüências encontrado está a seguir.



Classe Frequência Frequência Relativa Frequência Relativa

Acumulada24-26 graus 7 7/120 = 5.83 % 5.83%

26.1- 28 graus 31 31/120 = 25.83 % 31.66%

28.1-30 graus 26 26/120 = 21.67 % 53.33%

30.1-32 graus 26 26/120 = 21.67 % 75.00%

32.1-34 graus 25 25/120 = 20.83 % 95.83%

34.1-36 graus 3 3/120 = 2.50 % 98.33%

36.1-38 graus 2 2/120 = 1.67 % 100%

Totais 120 100%


Exemplo Exemplo –– temperaturastemperaturas

O diagrama de frequências já nos permite responder a diversas outras questões. Por exemplo, a grande maioria (69.17%) das temperaturas máximas está entre 26.1 e 32 graus. Também percebemos que temperaturas máximas acima de 34.1 graus são incomuns (apenas 5 dentre as 120).

Veja que outras conclusões você consegue obter Veja que outras conclusões você consegue obter a partir deste diagrama.a partir deste diagrama.



A partir de um diagrama de frequências podemos facilmente construir um histograma.

HistogramaGráfico de barras, onde o eixo vertical contém as frequências (ou freqüências relativas) e o eixo horizontal contém os intervalos de classes. Muitas vezes faz-se a área de cada barra igual àfreqüência relativa de cada classe, de tal forma que a área total sob o histograma é 1 (100%).


Histograma Histograma –– produproduçção no Excelão no Excel

É automática, mas você precisa ter instalado antes o suplemento (“add-in”) de ferramentas de análise de dados.

Aliás, este suplemento será muito útil para nós, portanto instale-o.




Histograma Histograma –– produproduçção no Excelão no ExcelCélulas contendo os dados

Células contendo os limites dos intervalos (não precisam ser especificados) – mas geralmente quando não os especificamos o Excel gera uns limites meio “feios”


HistogramaHistograma –– implementaimplementaççãoãono Excel no Excel emem PortuguêsPortuguês



Histograma

0

5

10

15

20

25

30

35

24 26 28 30 32 34 36 38 acima de 38

Intervalo

Freq

üênc

ia

Note que este histograma usa intervalos diferentes dos especificados na tabela de freqüência mostrada anteriormente


Histograma Histograma –– Retorno diRetorno diáário do rio do prepreçço do petro do petróóleo WTI leo WTI –– 01/1991 a 01/1991 a 08/200608/2006

Histograma - Log Retornos Petróleo WTI - 1991 a 2006

0

100

200

300

400

500

600

700

800

-13.1%

-12.2%

-11.3%

-10.4%-9.5%

-8.6%

-7.7%

-6.8%

-6.0%

-5.1%

-4.2%

-3.3%

-2.4%

-1.5%

-0.6% 0.3

%1.2

%2.0

%2.9

%3.8

%4.7

%5.6

%6.5

%7.4

%8.3

%9.2

%10

.0%10

.9%11

.8%12

.7%13

.6%14

.5% More

Bin

Freq

uenc

y

A grande maioria dos retornos diários (variações diárias) nesta faixa, mas também variações extremas


Diagrama de ParetoDiagrama de Pareto

Como fazer um diagrama de Pareto?1) Faça um gráfico de barras colocando a freqüência de cada

tipo de evento no eixo vertical, e arranjando os eventos em ordem decrescente de ocorrência. Assim, a primeira barra corresponde ao evento que ocorre com mais freqüência, a segunda barra diz respeito ao segundo evento mais freqüente, e assim por diante.

2) Crie um eixo vertical no lado direito do seu gráfico contendo as freqüências relativas acumuladas. Faça uma linha juntando as frequências relativas acumuladas e a superponha ao gráfico de barras.


Exemplo Exemplo –– Consumo ResidencialConsumo Residencial

Os dados a seguir representam a distribuição de domicílios residenciais por classe de consumo de energia elétrica na área de concessão de uma certa distribuidora de energia. Os dados referem-se a uma pesquisa realizada em dezembro de 1995 com uma amostra de 1122 domicílios.

Faixas de consumo número de domicílios freqüência relativa

0-50 KWh 127 127/1122 = 11.3 %

51-100 KWh 199 199/1122 = 17.7 %

101-150 KWh 225 20.10%

151-300 KWh 384 34.20%

acima de 300 KWh 187 16.70%

Total: 1122


Exemplo Exemplo –– Consumo ResidencialConsumo Residencial

O diagrama de Pareto para estes dados é:Diagrama de Pareto

0

50

100

150

200

250

300

350

400

151-300 KWh 101-150 KWh 51-100 KWh acima de 300 KWh 0-50 KWh


Medidas NumMedidas Numééricasricas

A partir de agora suponha que os dados observados na amostra são x1, x2, ..., xn . n é o tamanho da amostra. A partir dos x's vamos encontrar números que resumem as características da amostra. Vamos estar interessados em dois tipos principais de medidas numéricas: as que caracterizam a localização do centro da amostra e as que caracterizam a dispersão dos dados.


Medidas NumMedidas Numééricasricas

Medidas de Localização ou de tendência central

dizem onde está o "meio" dos seus dadosexemplo: média e mediana amostrais

Medidas de Dispersãodizem o quanto os seus dados estão “espalhados”exemplo: desvio padrão e variância amostrais, amplitude

amostral


Medidas de Tendência CentralMedidas de Tendência Central

Média Amostral

No Excel: função Média (....)

Considere agora a amostra x1, x2, ..., xn e suponha que você a ordene, de tal forma que x(1) seja o menor elemento da amostra, x(2) seja o segundo menor elemento, ...., x(n) seja o maior elemento da amostra. Os valores x(1), x(2), ..., x(n) são chamados de estatestatíísticas de ordemsticas de ordem da amostra. Outras medidas de tendência central e de dispersão serão definidas a partir das estatísticas de ordem.

∑=

=n

iiX

nX

1

1


Medidas de Tendência CentralMedidas de Tendência CentralMedianaÉ definida a partir das estatísticas de ordem.

Por exemplo, se existem 10 observações na amostra, a mediana equivale à média entre x(5) e x(6) . Se a amostra contém 11 elementos, a mediana é x(5) . A mediana amostral é menos influenciada que a média por observações aberrantes (“outliers”).

No Excel é a função med(...)

12 2

1 2

se n, o tamanho da amostra, é par2

ou

se n, o tamanho da amostra, é ímpar

n n

n

X X

mX

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+⎧⎪⎪⎪⎪= ⎨⎪⎪⎪⎪⎩


Medidas de Tendência CentralMedidas de Tendência Central

Por exemplo, se os seus dados são 1,2,3,4,5, a média amostral é: (1+2+3+4+5)/5 = 3 e a mediana amostral tem o mesmo valor.Se agora os dados são:1,2,3,4,45, a média amostral é:(1+2+3+4+45)/5 = 11, mas a mediana amostral continua sendo 3.Logo, a média amostral foi profundamente influenciada por um único valor, e o mesmo não aconteceu com a mediana amostral.


Medidas de DispersãoMedidas de Dispersão

As medidas de tendência central não são as únicas medidas necessárias para caracterizar uma amostra (ou população).

Precisamos também saber o quanto as observações na amostra estão " espalhadas".

Por exemplo, no gráfico a seguir as populações têm a mesma média, mas certamente a segunda distribuição tem maior dispersão.



0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

0.30

2 7 12 17

Tem maior dispersão – émais“espalhada”



Variância AmostralÉ a medida mais comum de dispersão . A variância amostral, denotada por s2 é definida como:

Onde é a média amostral.Note que, por definição, a variância amostral a variância amostral éésempre não negativa!!!sempre não negativa!!!A unidade de medida da variância é o quadrado da unidade de medida das observações, o que dificulta a sua interpretação.

( )∑=

−−

=n

ii XX

ns

1

22

11

X



Desvio Padrão AmostralO desvio padrão amostral, denotado por s, édefinido como a raiz quadrada positiva da variância amostral. Pelos comentários anteriores, notamos que s é expresso nas mesmas unidadesexpresso nas mesmas unidadesde medida que as observaque as observaçções na amostraões na amostra.

( )s sn

X Xii

n= =

−−

=∑2 2

1

11



Coeficiente de variação amostral

É uma medida adimensional, e serve principalmente para comparar duas amostras que foram coletadas em unidades de medida diferentes, por exemplo, uma em cm e outra em polegadas.Amplitude Amostral

XsCV =

mínmáxXXA n −=−= )1()(


Como obter estatComo obter estatíísticas sticas descritivas no Excel?descritivas no Excel?

Opção 1Use as funções apropriadas, por exemplo, média(..), med(...), máximo(...), mínimo(...), desvpad(...), ...

Opção 2Use a ferramenta “estatística descritiva”dentro das opções de “análise de dados”, como indicado na tela a seguir. Várias outras estatísticas, como a curtose (que mede o “peso” das “caudas”(extremos) e a assimetria, são também fornecidas).





Células contendo os dados

Indicador de nome da variável na 1a. posição da coluna ou linha

Produzir estatísticas descritivas


PercentisPercentis

O percentil x% é o ponto tal que, a probabilidade de estar abaixo dele é x%.

O percentil 50% é a MEDIANA de um conjunto de dados, e qualquer percentil entre 0 e 100% pode ser encontrado através da função PERCENTIL do Excel.


QuartisQuartis

Primeiro Quartil: Q1 – é o percentil 25%, ou seja, 25% das observações estão abaixo de Q1

Segundo Quartil: Q2 - é a mediana

Terceiro Quartil: Q3 – é o percentil 75%


EstatEstatíísticas Descritivas sticas Descritivas –– Retorno Retorno do Petrdo Petróóleo WTI leo WTI –– 01/1991 a 08/200601/1991 a 08/2006

Estatísticas Descritivas - Retorno WTI - 1991 a agosto 2006

Média 0.017%Mediana 0.071%

Moda 0.000%Desvio Padrão 2.38%

Variância 0.001Curtose 26.338

Assimetria -1.57Amplitude 0.56

Mínimo -40.64%Máximo 15.38%

Número de Obs. 3,836


Percentis Percentis –– Retorno do PetrRetorno do Petróóleo leo WTI WTI –– 01/1991 a 08/200601/1991 a 08/2006

5% -3.53%10% -2.53%25% -1.17%50% 0.07%75% 1.28%90% 2.51%95% 3.45%

Percentis

5% dos retornos 5% dos retornos abaixo de abaixo de --3.53%3.53%

90% dos retornos 90% dos retornos abaixo de +2.51%abaixo de +2.51%


AnAnáálise dos Retornos do lise dos Retornos do IBOVESPAIBOVESPA

Considere agora os retornos diários do IBOVESPA no período entre 04 de julho de 1994 e 06/08/2004.

Defina o retorno diário entre os dias t e t + 1 como:

Onde log denota o logaritmo natural (base e) e Pte Pt+1 são, respectivamente, os preços nos dias t e t + 1.O retorno definido acima é chamado de retornoretornogeomgeoméétrico.trico.

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= +

+t

tt P

PR 11 log


HistogramaHistograma dos dos RetornosRetornosIBOVESPAIBOVESPA

Histograma dos retornos diários do IBOVESPA

0

50

100

150

200

250

300

350

400

450

500

-7.00%-6.50%-6.00%-5.50%-5.00%-4.50%-4.00%-3.50%-3.00%-2.50%-2.00%-1.50%-1.00%-0.50%0.00%0.50%1.00%1.50%2.00%2.50%3.00%3.50%4.00%4.50%5.00%5.50%6.00%6.50%7.00%Mais

Bloco

Freq

üênc

ia


Percentis dos RetornosPercentis dos Retornos

Percentil Retorno Correspondente1.0% -6.75%5.0% -3.90%

10.0% -2.74%25.0% -1.24%50.0% 0.13%75.0% 1.48%90.0% 2.69%95.0% 3.66%99.0% 6.63%


AnAnáálise dos Retornos do lise dos Retornos do IBOVESPAIBOVESPAUso da funUso da funçção ão ““freqfreqüüênciaência””Produz a freqüência (número de ocorrências num determinado intervalo).Por exemplo, dentre 2501 retornos diários do IBOVESPA, a referência:

FREQÜÊNCIA(E$3:E$2503;G7) significa:Olhe para todos os dados em E$3 a E$2503 (são os retornos diários) e conte QUANTOS estão ABAIXO do valor em G7.O gráfico destas frequências é mostrado na próxima página.



Frequüências Acumuladas - Retornos Diários

-

500

1,000

1,500

2,000

2,500

3,000

-15.00

%-7.

00%

-6.50

%-6.

00%

-5.50

%-5.

00%

-4.50

%-4.

00%

-3.50

%-3.

00%

-2.50

%-2.

00%

-1.50

%-1.

00%

-0.50

%0.0

0%0.5

0%1.0

0%1.5

0%2.0

0%2.5

0%3.0

0%3.5

0%4.0

0%4.5

0%5.0

0%5.5

0%6.0

0%6.5

0%7.0

0% 20%

30%



Se dividirmos cada uma destas freqüências por 2501 obtemos as freqüências relativasacumuladas – veremos mais tarde que isso é uma aproximação para a função de distribuição acumulada.

Veja o próximo gráfico.



Frequüências Relativas Acumuladas - Retornos Diários

0%

5%

10%

15%

20%

25%

30%

35%

40%

45%

50%

55%

60%

65%

70%

75%

80%

85%

90%

95%

100%

-15.00

%-7.

00%

-6.50

%-6.

00%

-5.50

%-5.

00%

-4.50

%-4.

00%

-3.50

%-3.

00%

-2.50

%-2.

00%

-1.50

%-1.

00%

-0.50

%0.0

0%0.5

0%1.0

0%1.5

0%2.0

0%2.5

0%3.0

0%3.5

0%4.0

0%4.5

0%5.0

0%5.5

0%6.0

0%6.5

0%7.0

0% 20%

30%


ExemploExemplo

Anderson, Sweeney, Williams – cap.1Norris.xlsAmostra de 200 lâmpadasObjetivo – verificar a duração em horas das lâmpadas


ExemploExemplo

Estatísticas Descritivas (produzidas através do add-in do Excel)

Duração Lâmpadasmédia 76erro padrão 0.853105mediana 75moda 77desvio padrão 12.06473variância 145.5578curtose 0.036252assimetria 0.288474amplitude 73mínimo 43máximo 116soma 15200número observações 200


ExemploExemplo

HistogramaHistograma

0

5

10

15

20

25

30

35

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120

intervalo

Freq

uen

cia


ExemploExemplo

Freqüências AcumuladasFreqüências Acumuladas

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120


ExemploExemplo

Freqüências Acumuladas RelativasFreqüências Relativas

Acumuladas

0.0%

10.0%

20.0%

30.0%

40.0%

50.0%

60.0%

70.0%

80.0%

90.0%

100.0%

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 monicamonica@@ele.pucele.puc--rio.brrio.br 86

AssimetriaAssimetria

O coeficiente de assimetria amostral édefinido como:

( )

( )

( )

( )2/3

1

2

1

3

2/3

1

2

1

3

31

1

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

n

ii

n

ii

n

ii

n

ii

XX

XXn

XXn

XXn

γ

Se o coeficiente Se o coeficiente éé zero, seus dados são simzero, seus dados são siméétricos em torno da tricos em torno da mméédia.dia.

Se o coeficiente Se o coeficiente éé positivo (assimetria positiva), existem positivo (assimetria positiva), existem valores valores ““grandesgrandes”” maiores que a mmaiores que a méédia => existe uma cauda dia => existe uma cauda comprida para a direita.comprida para a direita.



Na curva A acima a assimetria é positiva, a curva B é simétrica e a curva C tem assimetria negativa.

Em geral, se a assimetria é positiva, a média é MAIOR que a mediana.

O oposto ocorre se a assimetria é negativa (em geral média MENOR que a mediana).



Distribution for PLD/B10

0.000

0.010

0.020

0.030

0.040

0.050

0.060

0.070

0.080

Mean=28.82446

0 35 70 105 1400 35 70 105 140

5% 90% 5% 18.8795 49.7419

Mean=28.82446

Dados com assimetria positiva

Distribution for DEM REAL/B7

Values in 10^ -6

Values in Millions

0123456789

Mean=919999.9

0.75 0.8375 0.925 1.0125 1.10.75 0.8375 0.925 1.0125 1.1

5% 90% 5% .8459 .994

Mean=919999.9

Dados simDados siméétricostricos


CurtoseCurtose

É uma medida do “achatamento” de uma distribuição de probabilidade.

Como a distribuição Normal tem curtose igual a 3, usualmente define-se o “excesso de curtose”, ou seja, o quanto uma distribuição de probabilidade tem mais curtose que a Normal.


CurtoseCurtose

Distribuições de retornos de ativos financeiros geralmente tem a “cara” de uma Normal, mas com excesso de curtose!

Ao lado, a curva B é a Normal padrão e a curva A tem excesso de curtose.


CurtoseCurtose

A fórmula do excesso de curtose é:

Note que, se os seus dados são Normais, esta medida é próxima de zero.

( )

( )

4

14 2

2

1

3

n

ii

n

ii

n X X

X Xκ =

=

−= −⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

∑

∑

mônica barros métodos estatísticos de · [email protected] 1 métodos estatísticos de...

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