mÉtodos estatÍsticos de previsÃo

1Métodos Estatísticos de Previsão

Bernardo Almada-Lobo (2007)

MÉTODOS ESTATÍSTICOS DE PREVISÃO

Bernardo Almada-Lobo

Decomposição Clássica

90

92

94

96

98

100

102

104

106

108

110

0 5 10 15 20



� Separar as diferentes componentes de uma série;

� Efectuar previsões, fazendo uso dessas componentes.

� Tendência (Tt)

� Sazonalidade (St)

� Ciclo (Ct)

� Erro (Et)

Decomposição Clássica

Ideia Base

Componentes de uma Série



Gráfico 1: Vendas diárias de francesinhas

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50

t (dias)

Zt (

unid

ades

)

Decomposição Clássica (cont.)

Componentes de uma Série (cont.)



Decomposição Clássica (cont.)

Componentes de uma Série (cont.)

Tendência (Tt) vs Série Original (Zt)

50

100

150

200

250

0 10 20 30 40 50

t (dias)

Zt (

unid

ades

)

Zt

Tt

Sazonalidade (St)

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,10

1,20

1,30

Seg Ter Qua Qui Sex Sáb Dom



Decomposição ClássicaComponentes de uma Série (cont.)

Modelo Aditivo

� Amplitude da variação sazonal independente do termo Tt + Ct

ttttt ECSTZ +++=

Série Original

70

90

110

130

150

170

190

210

230

250

0 5 10 15 20 25t

Zt



Decomposição ClássicaComponentes de uma Série (cont.)

Modelo Multiplicativo

� Amplitude da variação sazonal proporcional ao termo Tt + Ct

Vendas diárias de francesinhas

50

100

150

200

250

300

0 10 20 30 40 50t (dias)

Zt (

unid

ades)

ttttt ECSTZ ⋅⋅⋅=



� A média móvel calculada com um número de termos idêntico ao

período da sazonalidade, elimina da série original a componente

sazonalidade e reduz significativamente a componente erro.

( ) ( ) ......

:ímpar N 211121

N

ZZZZZM NttttNt

t−++−−− ++++++

=

2......

2 :par N

21212

2

N

ZZZZ

Z

M

NtNttNt

Nt

t

+−++−

− ++++++=

Decomposição Clássica (cont.)Conceitos Fundamentais

Média Móvel



ttttt ESCTZ +++=

( )( ) d...dddK

1S

)3

ESMZd )2

C TM )1

N.1KtN2tNttn

ttttt

ttt

nnnn −+++ ++++=

+=−=+=

sazonais índices dos sestimativa das Cálculo

:oVerificaçã 0SS N

1nn ==∑

=

σµ ˆ2 intervalo do fora situados

d termosos índices, dos cálculo no Eliminar, t

±

Decomposição Clássica (cont.)Modelo Aditivo

Procedimento básico do método



ttt S dE )4 −=

Cálculo da Tendência

Tt - valores estimados através da regressão:

• variável independente: t

• variável dependente: Mt

ttt TMC 6) −=

)5

N

S f -

N

1nn∑

==:sazonais índices dos Ajuste


Procedimento básico do método (cont.)



tttt SCTZ ++=

definido através do modelo de regressão;

estimado subjectivamente (frequentemente adopta-se o valor mais recente ou o valor nulo);

um dos N índices sazonais (aquele que corresponde ao período em causa, t).

:S

:C

:T

t

t

t

A partir da série Et pode-se verificar a validade da decomposição

Previsões




Ilustração


Tabela 1: Vendas trimestrais de XYZPrevisão de

Ano Trimestre Periodo Vendas Vendast Zt Z^t

1 1 55 -2 2 47 -3 3 65 -4 4 70 -1 5 65 -2 6 58 -3 7 75 -4 8 80 -1 9 65 -2 10 62 -3 11 80 -4 12 85 -1 13 70 -2 14 65 -3 15 85 -4 16 90 -1 17 - ?2 18 - ?3 19 - ?4 20 - ?

2003

1999

2000

2001

2002

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0 2 4 6 8 10 12 14 16

Trimestre (t)

Ven

das

trim

estra

is (€

) -Z

t

� Foi pedido ao departamento de operações da

empresa XYZ previsões de vendas para os 4

trimestres de 2003;

� A empresa compilou as vendas registadas nos

últimos 4 anos (ver tabela 1).



Ilustração (cont.)


Tabela 2: Média Móvel com N = 4Média MédiaMóvel Móvel Série

Ano Trimestre Periodo Vendas Simples Centrada Diferençat Zt T+C dt=Zt-Mt

1 1 552 2 47 59,253 3 65 61,75 60,500 4,5004 4 70 64,50 63,125 6,8751 5 65 67,00 65,750 -0,7502 6 58 69,50 68,250 -10,2503 7 75 69,50 69,500 5,5004 8 80 70,50 70,000 10,0001 9 65 71,75 71,125 -6,1252 10 62 73,00 72,375 -10,3753 11 80 74,25 73,625 6,3754 12 85 75,00 74,625 10,3751 13 70 76,25 75,625 -5,6252 14 65 77,50 76,875 -11,8753 15 854 16 90

1999

2000

2001

2002

� Cálculo da Média Móvel Simples no

fim do 2º trimestre e início do 3º :

(55+47+65+70)/4 = 59.25(55+47+65+70)/4 = 59.25

� Cálculo da Média Móvel Centrada

no 3º trimestre :

(59.25+61.25)/2 = 60.500(59.25+61.25)/2 = 60.500

� Cálculo da série diferença no 3º

trimestre :

65.00065.000--60.500 = 4.50060.500 = 4.500





Tabela 3: Índices Sazonais

SérieAno Trimestre Periodo Vendas Diferença

t Zt dt=Zt-Mt S'i s(S'i) Lim.inf Lim.sup Estado1 1 55 -4.167 2.9692 2 47 -10.833 0.9043 3 65 4.500 5.458 0.938 2.624 6.376 OK4 4 70 6.875 9.083 1.922 3.032 10.718 OK1 5 65 -0.750 -0.458 2.969 -6.689 5.189 OK2 6 58 -10.250 0.904 -12.059 -8.441 OK3 7 75 5.500 0.938 2.624 6.376 OK4 8 80 10.000 1.922 3.032 10.718 OK1 9 65 -6.125 2.969 -6.689 5.189 OK2 10 62 -10.375 0.904 -12.059 -8.441 OK3 11 80 6.375 0.938 2.624 6.376 OK4 12 85 10.375 1.922 3.032 10.718 OK1 13 70 -5.625 2.969 -6.689 5.189 OK2 14 65 -11.875 0.904 -12.059 -8.441 OK3 15 854 16 90

Índices Sazonais

2001

2002

1999

2000

Exemplo do cálculo de S’ 1

SS’’1 1 = [(A= [(A22,T,T11)+(A)+(A33,T,T11)+(A)+(A44,T,T11)]/3 = )]/3 =

= (= (--0.7500.750--6.125+5.625)/3 =6.125+5.625)/3 == = --4.1674.167

Exemplo do cálculo de s(S’ 1)

s(Ss(S’’11)) = s[(A= s[(A22,T,T11);(A);(A33,T,T11);(A);(A44,T,T11)] = )] =

= = stdevstdev ((--0.750;6.125;5.625) =0.750;6.125;5.625) == 2.969= 2.969





Índices Sazonais

-15

-10

-5

0

5

10

15

1 2 3

Ano

Ven

das

[€]

S1t

S2t

S3t

S4t





Tabela 4: Índices Sazonais (cont.)Média Média Índices Móvel Móvel Série Índices Factor Sazonais

Ano Trimestre Periodo Vendas Simples Centrada Diferença Sa zonais de Ajuste Ajustadost Zt T+C dt=Zt-Mt S'i f Si

1 1 55 -4,167 -0,115 -4,0522 2 47 59,25 -10,833 -0,115 -10,7193 3 65 61,75 60,500 4,500 5,458 -0,115 5,5734 4 70 64,50 63,125 6,875 9,083 -0,115 9,1981 5 65 67,00 65,750 -0,750 -0,458 0,0002 6 58 69,50 68,250 -10,2503 7 75 69,50 69,500 5,5004 8 80 70,50 70,000 10,0001 9 65 71,75 71,125 -6,1252 10 62 73,00 72,375 -10,3753 11 80 74,25 73,625 6,3754 12 85 75,00 74,625 10,3751 13 70 76,25 75,625 -5,6252 14 65 77,50 76,875 -11,8753 15 854 16 90

1999

2000

2001

2002

Exemplo do cálculo de S 1

052.44

458.0167.41

'

'11 −=−−−=−=∑

=

N

SSS

N

ii





Componente Sazonal (St)

-15,000

-10,000

-5,000

0,000

5,000

10,000

15,000

1 2 3 4

Trimestre (t)

Ven

das

[€]





Tabela 5: TendênciaMédiaMóvel

Ano Trimestre Periodo Vendas Centrada Tendência Ciclot Zt T+C Tt Ct

1 1 55 59,8512 2 47 61,2203 3 65 60,500 62,588 -2,0884 4 70 63,125 63,957 -0,8321 5 65 65,750 65,325 0,4252 6 58 68,250 66,693 1,5573 7 75 69,500 68,062 1,4384 8 80 70,000 69,430 0,5701 9 65 71,125 70,799 0,3262 10 62 72,375 72,167 0,2083 11 80 73,625 73,535 0,0904 12 85 74,625 74,904 -0,2791 13 70 75,625 76,272 -0,6472 14 65 76,875 77,641 -0,7663 15 85 79,0094 16 90 80,377

1999

2000

2001

2002

Tt = 1,3684*t + 58,483R2 = 0,9595

55

60

65

70

75

80

85

0 5 10 15t

Mt

Mt

Tt

Exemplo do cálculo de T 1

TT1 1 = 58.483 + 1.368 * 1 = 59.851 = 58.483 + 1.368 * 1 = 59.851

Exemplo do cálculo de C 3

CC3 3 = M= M3 3 -- TT33 = 60.500 = 60.500 -- 62.588 = 62.588 = --2.088 2.088





Tabela 6: Componente Erro (Et)Índices

Série Sazonais Comp.Ano Trimestre Periodo Vendas Diferença Ajustados Erro

t Zt dt=Zt-Mt St Et1 1 55 -4,0522 2 47 -10,7193 3 65 4,500 5,573 -1,0734 4 70 6,875 9,198 -2,3231 5 65 -0,750 -4,052 3,3022 6 58 -10,250 -10,719 0,4693 7 75 5,500 5,573 -0,0734 8 80 10,000 9,198 0,8021 9 65 -6,125 -4,052 -2,0732 10 62 -10,375 -10,719 0,3443 11 80 6,375 5,573 0,8024 12 85 10,375 9,198 1,1771 13 70 -5,625 -4,052 -1,5732 14 65 -11,875 -10,719 -1,1563 15 854 16 90

1999

2000

2001

2002

Et

-3,000

-2,000

-1,000

0,000

1,000

2,000

3,000

4,000

0 5 10 15

Exemplo do cálculo de E 3

EE3 3 = d= d33 –– SS33 = 4.500 = 4.500 -- 5.573 = 5.573 = --1.073 1.073





Tabela 7: PrevisõesÍndices

Sazonais Comp.Ano Trimestre Periodo VendasTendência Ciclo Ajustados Err o Previsões

t Zt Tt Ct St Et Z^t1 1 55 59,851 -4,052 55,7992 2 47 61,220 -10,719 50,5013 3 65 62,588 -2,088 5,573 -1,073 68,1614 4 70 63,957 -0,832 9,198 -2,323 73,1551 13 70 76,272 -0,647 -4,052 -1,573 72,2202 14 65 77,641 -0,766 -10,719 -1,156 66,9223 15 85 79,009 5,573 84,5824 16 90 80,377 9,198 89,5751 17 81,746 -4,052 77,6942 18 83,114 -10,719 72,3953 19 84,483 5,573 90,0564 20 85,851 9,198 95,049

2003

1999

2002

Previsão

694.77052.4476.81ˆˆˆ11717 =−=+= STZ





Comparação entre Zt, Z^t, Mt e Tt

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

95

0 5 10 15 20Trimestre

Ven

das

(€)

Zt Tt Mt Z^t



ttttt E . S . C . TZ =

( )( ) ...1

)3

. )2

. )1

.12 NKtNtNttn

ttt

tt

ttt

nnnnrrrr

KS

ESM

Zr

CTM

−+++ ++++=

==

=

sazonais índices dos sestimativa das Cálculo

:oVerificaçã NSS N

1nn ==∑

=

σµ ˆ2 intervalo do fora situados

r termosos índices, dos cálculo no Eliminar, t

±

Decomposição Clássica (cont.)Modelo Multiplicativo

Procedimento básico do método



t

tt S

rE )4 =

Cálculo da Tendência

Tt - valores estimados através da regressão:

• variável independente: t

• variável dependente: Mt

t

tt T

MC 6) =

)5

∑=

= N

1nnS

N f x :sazonais índices dos Ajuste

Procedimento básico do método (cont.)




tttt S . C . TZ =

definido através do modelo de regressão;

estimado subjectivamente (frequentemente adopta-se o valor mais recente ou o valor unitário);

um dos N índices sazonais (aquele que corresponde ao período em causa, t).

:S

:C

:T

t

t

t

A partir da série Et pode-se verificar a validade da decomposição


Previsões

mÉtodos estatÍsticos de previsÃo

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