mese a kis hangyáról és a gonosz manórólabesenyei.web.elte.hu/publications/hangya.pdf ·...

Mese a kis hangyáról és a gonosz manóról

Besenyei Ádá[email protected]

Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai TanszékMatematikai Intézet

Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest

„Specmatos” tanárok találkozójaÓbudai Árpád Gimnázium, Budapest

2016. 04. 11.

mailto:[email protected]

Mi az előadás célja?

Egy (tan)mese a differenciálegyenletekről

Mit rejt egy játékos feladat?Mi minden rejlik egy KöMaL feladat mögött, ha az (elemibb) analízisszemüvegén keresztül tekintünk rá:• diszkrét kérdések• folytonos kérdések• kapcsolat diszkrét és folytonos között• matektörténeti érdekességek

Az előadás végére eljutunk a legegyszerűbb differenciálegyenletekig.De nem kell megijedni, mindez játékos köntösbe bújtatva és középiskolásszinten tálalva, így akár szakkörön is tárgyalható 12. osztályban és kedvetcsinálhat a diákoknak és tanároknak a differenciálegyenletekhez.(Gondolja ezt a szerző, aki soha nem tanított középiskolában. . . )

Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 2 / 62

Gondolatébresztő

Wigner Jenő(1902–1995)

„. . . a matematika roppant hasznos volta atermészettudományokban a titokzatossalhatáros, és kielégítő magyarázatot nem istudunk rá adni.. . . a »természettörvények« létezéseegyáltalán nem természetes, még kevésbéaz, hogy az ember képes azokat felfedezni.. . .A csoda, a matematika nyelvénekalkalmas volta a fizika törvényeinekmegfogalmazására, varázslatos adomány,melyet nem értünk és nem érdemlünkmeg.”

(Előadás a New York Egyetemen, 1959)

A kis hangya

A kis hangya a KöMaLban

KöMaL B. 4593. jelű feladat (2014. január).A kis hangya egy 4 méter hosszú gumikötél bal végpontjától állandósebességgel mászik a jobb oldali végpont felé, percenként pontosan 1métert megtéve. Minden perc eltelte után a bal oldali végén rögzített ésvízszintesen fekvő gumikötelet 1 méterrel egyenletesen megnyújtjuk.Hányadik percben éri el a kis hangya a kötél jobb oldali végpontját?(A hangyát pontszerűnek tekintjük, a kötél megnyújtására fordított időelhanyagolható, és a gumikötél akármeddig nyújtható, nem szakad el.)

1 m/perc

4 m

+1 m /perc

A kis hangya, aki nem is olyan kicsi és főleg nem pontszerű. . .Besenyei Ádám (ELTE) A kis hangya és a gonosz manó Árpád Gimn., 2016. 04. 11. 6 / 62


Hasznos észrevételek.• A hangya 1 méter mászással a kötél h` -ed részétől a h+1

` -ed részéig ér.

0 `

0 `

h

h+ 1=⇒ A hangya helyzetének és a kötél hosszának aránya 1

` -el nő.• A kötél egyenletes megnyújtása = a bal végpontból való nagyítás.

0 `

0 λ`

h

λh

=⇒ Egy megnyújtás során a hangya helyzetének és a kötélhosszának aránya nem változik.



A feladat megoldása.Vizsgáljuk meg, hogy az n-edik perc végén mennyi a kötél hossza (`n) ésa kötél hányad részénél tart éppen a hangya (an):

n `n an

0 4 01 5 1

42 6 1

4 + 15 = 9

203 7 1

4 + 15 + 1

6 = 3760

4 8 14 + 1

5 + 16 + 1

7 = 319420

5 9 14 + 1

5 + 16 + 1

7 + 18 = 743

8406 10 1

4 + 15 + 1

6 + 17 + 1

8 + 19 = 2509

25207 11 1

4 + 15 + 1

6 + 17 + 1

8 + 19 + 1

10 = 27612520 > 1

=⇒ A 7. percben (7 11252 perc múlva) ér el a kötél jobb oldali végéhez.


A kis hangya általánosan

A KöMaL feladat általánosítása.Legyen d a gumikötél kezdeti hossza (m), v a hangya sebessége (m/perc),V a kötél nyúlási sebessége (m/perc).• Percenként V méterrel nyúlik meg a kötél, így az (n− 1)-edik perc

végén a hossza: `n−1 = d+ (n− 1)V .• Az n-edik percben a hangya v métert tesz meg, ezért hn = hn−1 + v,

így a hangya hn helyzetének és a kötél `n hosszának an aránya azn-edik perc végén (a nyújtás előtt és után is):

an = hn−1 + v

`n−1= an−1 + v

d+ (n− 1)V⇓

an = v

d+ v

d+ V+ v

d+ 2V + . . .+ v

d+ (n− 1)V .



Mindig eljut-e a hangya a kötél másik végéhez?Van-e olyan n, amelyre

an = v

d+ v

d+ V+ v

d+ 2V + . . .+ v

d+ (n− 1)V ≥ 1?

Egy elemi becslés.Vegyük észre, hogy k ≥ 1 esetén

v

d+ V· 1k≤ v

kd+ kV≤ v

d+ kV≤ v

kV,

ígyv

d+ v

d+ V·(

1 + 12 + 1

3 + . . .+ 1n− 1

)≤ an,

an ≤v

d+ v

V·(

1 + 12 + 1

3 + . . .+ 1n− 1

).


A kis hangya és a harmonikus sor

A harmonikus sor részletösszegei.Mit mondhatunk az

1 + 12 + 1

3 + 14 + . . .+ 1

nösszegekről, ha n→∞? Ezek az

1 + 12 + 1

3 + 14 + . . .+ 1

n+ . . .

végtelen sor, az úgynevezett harmonikus sor részletösszegei.

Történelem.Nicole Oresme (1320?–1382), filozófus és matematikus, Lisieux püspöke1350 körül igazolta a részletösszegek nemkorlátosságát, vagyis aharmonikus sor divergenciáját.



Nicole Oresme (1320?–1382)



Harmonikus sor divergenciája elemien (Nicole Oresme, 1350 körül).Kondenzáció (sűrítés, összenyomás) módszere:

1 + 12 + 1

3 + 14︸︷︷︸

> 14 + 1

4 = 12

+ 15 + . . .+ 1

8︸︷︷︸> 1

8 +...+ 18 = 4

8 = 12

+ . . .+ 12k−1 + 1 + . . .+ 1

2k︸︷︷︸> 1

2k +...+ 12k = 2k−1

2k = 12

≥ 1 + k

2 .

1 + 12 + 1

3︸︷︷︸< 1

2 + 12 =1

+ 14 + . . .+ 1

7︸︷︷︸< 1

4 +...+ 14 = 4

4 =1

+ . . .+ 12k−1 + . . .+ 1

2k − 1︸︷︷︸< 1

2k−1 +...+ 12k−1 = 2k−1

2k−1 =1

≤ k.

⇓

1 + 12 [log2 n] ≤ 1 + 1

2 + 13 + 1

4 + . . .+ 1n≤ [log2 n] .

(Itt [ ] az egész részt jelöli.)



Mindig eljut-e a hangya a kötél másik végéhez?Oresme becslése alapján

v

d+ v

d+ V

(1 + 1

2 [log2(n− 1)])≤ an ≤

v

d+ v

V[log2(n− 1).]

⇓A kis hangya mindig eljut véges időn belül a kötél másik végéhez.Sőt, (egy nem túl pontos) alsó és felső becslést is kaphatunk az érkezésre.Például a KöMaL feladatbeli v = V = 1 és d = 4 esetén

a64 ≥1920 és a65 ≥

2120 ,

tehát a hangya a 65. percben biztosan elér a kötél jobb oldali végéhez(de tudjuk, hogy valójában már a 7. percben odaér. . . ).Használjunk most egy kevés analízist!



Harmonikus sor divergenciája analízis segítségével.Integrálbecsléssel (Colin McLaurin, 1742, Augustin-Louis Cauchy, 1827):y

x

1x

1 2 3 4 5 6

1 12 1

314

15

y

x

1x

1 2 3 4 5 6

12 1

3 14

15

16

⇓

1 + 12 + 1

3 + 14 + . . .+ 1

n

≥∫ n+1

1

1xdx = log(n+ 1),

≤ 1 +∫ n

1

1xdx = 1 + logn.

(Itt log a természetes alapú logaritmust jelöli, azaz log = loge.)



Colin MacLaurin (1698–1746)(2008-ig a legfiatalabb professzor rekordját tartotta. . . )



Augustin-Louis Cauchy (1789–1857)



Euler és Mascheroni.Valójában:

limn→∞

(1 + 1

2 + 13 + 1

4 + . . .+ 1n− logn

)= γ ≈ 0,577,

ahol γ az Euler–Mascheroni-féle konstans. Pontosabban:0,57721566490153286060651209008240243104215933593992 . . . .

Euler a C és O jelölést használta 1734-ben, Mascheroni az A és ajelöléseket 1790-ben.Megoldatlan: γ racionális szám-e?



Leonhard Euler (1707–1783)



Lorenzo Mascheroni (1750–1800)


A kis hangya és az integrál

Integrálbecslés.Az integrálos trükköt alkalmazhatjuk közvetlenül an-re is:

an = v

d+ v

d+ V+ v

d+ 2V + . . .+ v

d+ (n− 1)V .

y

x

vd+V x

0 1 2 3 4 n− 2 n− 1

vd+V

vd+2V v

d+3V vd+(n−1)V

. . .

⇓

an ≥v

d+∫ n−1

1

v

d+ V xdx = v

d+ v

V(log(d+ (n− 1)V )− log(d+ V )) .


A kis hangya és az integrál

Az integrálbecslés pontossága.Az integrálos trükkből kaptuk:

an ≥v

d+ v

Vlog d+ (n− 1)V

d+ V.

A KöMaL feladatbeli v = V = 1 és d = 4 esetén:a7 ≥

14 + log 2 ≈ 0,94, a8 ≥

14 + log 11

5 ≈ 1,03,tehát a 8. percben biztosan elér a hangya a kötél jobb végéhez.Ez már sokkal pontosabb becslés.


A kis hangya egy példán

Egy másik konkrét példa.Legyen a kötél kezdeti hossza 1 m, a hangya sebessége 1 cm/s és a kötélminden másodperc végén 1 m-rel nyúlik meg. Ekkor

10−2 log(n+ 1) ≤ an = 1100

(1 + 1

2 + 13 + . . .+ 1

n

)≤ 10−2(logn+ 1).

Innen nagyságrendilegn ∼ e100 s.

Mit is jelent ez?célba érés időpontja ∼ 2,7 · 1043 s ∼ 8,6 · 1035 év,célba érés helye ∼ 2,8 · 1043 cm ∼ 2,8 · 1025 fényév.

Összehasonlításképpen:az univerzum életkora ∼ 4 · 1017 s ∼ 13 · 109 év,

az univerum átmérője ∼ 8,8 · 1026 m ∼ 9,3 · 1010 fényév.


A kis hangya és az célba érkezés ideje

Célba érhet-e egész számú időegység alatt?Legyen v = 1 és d, V pozitív egész számok. Van-e olyan n, amelyre

an = 1d

+ 1d+ V

+ . . .+ 1d+ (n− 1)V = 1?

Nyilván d = n = 1 esetén a1 = 1. Van-e más lehetőség?

Tétel (Erdős Pál, 1932, Matematikai Lapok).Legyenek a, d, n pozitív egész számok. Ekkor

1a

+ 1a+ d

+ . . .+ 1a+ nd

nem lehet egész szám.

Előzmények.Leopold Theisinger (1915), Obláth Richárd (1918), Kürschák József (1918).


A kis hangya és Obláth

Tétel (Leopold Theisinger, 1915).A harmonikus sor

1 + 12 + 1

3 + . . .+ 1n

részletösszegei n ≥ 2 esetén nem lehetnek egész számok.

Tétel (Obláth Richárd [1882–1959], 1918, Matematikai Lapok).Ha ak olyan egész szám, amely relatív prím k-hoz (k = 1, . . . , n), akkor az

a11 + a2

2 + a33 + . . .+ an

nösszeg n ≥ 2 esetén nem lehet egész szám.


A kis hangya és Obláth

Obláth tételének bizonyítása.Csebisev tétele (1852) szerint van p prím n

2 és n között. Ekkor az1, 2, . . . , p− 1, p+ 1, p+ 2, . . . , n számok egyike sem osztható p-vel.Ebből következően az ak

k tagokat közös nevezőre hozva mindegyik törtszámlálója osztható lesz p-vel kivéve az ap

p tört bővített alakját, így atörtek összege nem lehet egész szám.

Bertrand posztulátuma (1845), Csebisev tétele (1852).Erdős Pál elemi bizonyítást ad 1932-ben:Elmondom újra Csebisev szavát: N és 2N közt prímszámot találsz!Csebisev szavára Erdős felelt rímmel, N és 2N között találkozunk prímmel!Chebychev said it, and I’ll say it again:There’s always a prime between N and 2N .


A kis hangya és Kürschák

Tétel (Kürschák József, 1918, Matematikai Lapok).Legyenek m és n pozitív egész számok. Ekkor

1m

+ 1m+ 1 + . . .+ 1

m+ nnem lehet egész szám.

Bizonyítás.Legyen k a legnagyobb pozitív egész, amelyre 2k osztja valamely m+ j(0 ≤ j ≤ n) számot.Ekkor 2k pontosan egynek osztója e számok közül. Valóban, különben2k ·A < 2k · 2M < 2k ·B.Következésképpen az összeg tagjait közös nevezőre hozva a közös nevezőés egy kivétellel a számlálók mind párosak, így a törtek összege nem lehetegész szám.


A kis hangya és Kürschák

Kürschák József (1864–1933)


A kis hangya és Erdős

Erdős tételének bizonyítási ötlete.Feltehető, hogy a és d relatív prímek.Segédtétel: Ha a és d relatív prímek, akkor van olyan n-nél nagyobb pαprímhatvány, amellyel az a, a+ d, a+ 2d, . . . , a+ nd számok közülpontosan egy osztható.Innen a befejezés ugyanaz, mint korábban.

Speciális eset.Ha d páratlan, akkor az a, a+ d, . . . , a+ nd számok között van olyan,amely a 2 magasabb hatványával osztható, mint a többi tag. (Igazoljuk!)


A kis hangya és Erdős

Erdős Pál (1913–1996)


A kis hangya és egy másik kötél

Duplázódó gumikötél.Mi a helyzet, ha a kötél hossza minden időegység végén megkétszereződik?Ekkor könnyen láthatóan

an = v

d+ v

2d + . . .+ 14d + . . .+ v

2n−1d=

= v

d

(1 + 1

2 + 122 + . . .+ 1

2n−1

)= 2v

d

(1− 1

2n).

A hangya tehát pontosan akkor jut el a kötél jobb oldali végéhez, ha

v >d

2 .

Ha v = d2 , akkor minden perc végén d távolságra van a kötél végétől.


A kis hangya és Gardner

Egy kis történelem.• 1972. december, Science et Vie folyóirat, Pierre Berloquin fejtörő

rovata, Denys Wilquin (New Caledonia)• 1975. március, Martin Gardner, Scientific American folyóirat

Mathematical Games rovata: „worm on rubber rope” (archívum:www.nature.com/scientificamerican/archive/index.html)

© 1975 SCIENTIFIC AMERICAN, INC


www.nature.com/scientificamerican/archive/index.html

A kis hangya és Gardner

Martin Gardner (1914–2010)


Szórakoztató feladatok a harmonikus sorra

Kártyapakolás (J. G. Coffin, 1923, Amer. Math. Monthly).Kártyalapokat egymásra pakolva legfeljebb milyen széles lehet akártyaoszlop, hogy ne boruljon le?

A terepjáró probléma (Gail Young, Ivan Niven, 1945).Egy terepjáró autóval át akarunk kelni a sivatagon. A sivatag széléntetszőleges mennyiségű üzemanyagot találunk, azonban a sivatagbanjelenleg nincs üzemanyag. Egy tankolással nem tudunk átkelni, delehetőségünk van lerakatokat készíteni a sivatagban.Lehetséges-e ily módon átkelni a sivatagon az autóval?


A kis hangya és a gonosz manó


Szájhagyomány az ELTE-n (Laczkovich – T. Sós: Valós analízis I).A kis hangya egy 10 cm hosszú gumiszalag jobb végpontjából indul 1 cm/ssebességgel a szalag rögzített bal végpontja felé. Ugyanakkor a gonoszmanó a szalag jobb szélét megragadva szaladni kezd 100 cm/ssebességgel, a rögzített végponttól jobbra távolodva.Beérhet-e a hangya a bal végpontba?

1 cm/s

10 cm

100 cm/s



Hasznos észrevétel.• A kötél (állandó sebességgel mozgó) jobb végét tekintve az origónak,

a hangya a kötélhez viszonyítva ugyanúgy halad, mintha amikor a balvégpontból indulva a faltól távolódik.

Jelölések.• Legyen t időpillanatban `(t) a kötél hossza (ez nyilván d+ V t),h(t) a hangya manótól vett távolsága és x(t) a hangya faltól vetttávolsága (ez nyilván `(t)− h(t)).• Célszerű ismét a hangya manótól vett távolságának és a kötél

hosszának arányát vizsgálni: a(t) = h(t)`(t) .



Hasznos észrevétel.• A kötél (állandó sebességgel mozgó) jobb végét tekintve az origónak,

a hangya a kötélhez viszonyítva ugyanúgy halad, mintha amikor a balvégpontból indulva a faltól távolódik.

Jelölések.• Legyen t időpillanatban `(t) a kötél hossza (ez nyilván d+ V t),h(t) a hangya manótól vett távolsága és x(t) a hangya faltól vetttávolsága (ez nyilván `(t)− h(t)).• Célszerű ismét a hangya manótól vett távolságának és a kötélhosszának arányát vizsgálni: a(t) = h(t)

`(t) .


A kis hangya és a gonosz manó diszkréten

Folytonosból diszkrét.Képzeljük el, hogy a manó nem folytonosan halad, hanem minden t

n időeltelte után V · tn cm-rel „ugrik” egyet jobbra úgy, hogy az ugrásrafordított idő elhanyagolható.Egy-egy ilyen időszakaszon a hangya v · tn utat tesz meg és a kötélV · tn -nel nyúlik meg.Ekkor a diszkrét eset alapján t = n · tn idő után a hangya manótól vetttávolságának és a kötél hosszának aránya:

an(t) =v tnd

+v tn

d+ V tn

+v tn

d+ 2V tn

+ . . .+v tn

d+ (n− 1)V tn

.

Várjuk: ha n „nagy”, vagyis tn „pici”, akkor an(t) ≈ a(t).


A kis hangya és a gonosz manó folytonosan

Diszkrétből folytonos.Mi történik, ha n→∞?

an(t) = t

n

(v

d+ v

d+ V tn

+ v

d+ V 2tn

+ . . .+ v

d+ V (n−1)tn

)n→∞−−−→?

Vegyük észre:y

x

vd+V x

0 tn

2tn

3tn

4tn

(n−1)tn

t

vd vd+V t

nv

d+V 2tn

v

d+V (n−1)tn

. . .

⇓

an(t)→∫ t

0

v

d+ V xdx = v

V(log(d+ V t)− log d) = v

Vlog

(1 + V t

d

).



Megoldás.Kaptuk:

hangya távolsága a manótólkötél hossz = a(t) = v

Vlog

(1 + V t

d

)⇓

falhoz érés időpontja: T = d

V

(e

Vv − 1

).

A konkrét adatokkal:célba érés időpontja ∼ 2,7 · 1042 s ∼ 8,6 · 1034 év.

Összehasonlításképpen:az univerzum életkora ∼ 4 · 1017 s ∼ 13 · 109 év.



Megoldás.Hogyan változik a hangya faltól való távolsága?

x(t) = (d+ V t)− (d+ V t) vV

log(

1 + V t

d

).

Mivelx′(t) = V − v − v log

(1 + V t

d

),

ezért a hangyad

V

(e

Vv−1 − 1

)ideig távolodik a faltól (a konkrét esetben kb. a teljes idő harmadáig) és

dv

Ve

Vv−1

messzire (a konkrét esetben kb. 1024 fényévre) távolodik el a faltól közben.(Az univerzum átmérője 9,3 · 1010 fényév.)


A kis hangya és a gonosz manó és elenyésző növekmények

Megközelítés „elenyésző növekményekkel”.Képzeljük most az egész folyamatot úgy, hogy minden egyes „piciny”(infinitezimális) ∆t idő alatt „először” a hangya v∆t utat tesz meg a falfelé, majd „utána hirtelen” a manó V∆t-vel „ugrik” egyet. Ekkor

a(t+ ∆t) = h(t) + v∆t`(t) = h(t)

`(t) + v∆t`(t) = a(t) + v∆t

`(t) ,

ígya(t+ ∆t)− a(t)

∆t = v

`(t) ,

ahonnan ∆t→ 0 határátmenettel kapjuk:a′(t) = v

d+ V t.



Megközelítés „elenyésző növekményekkel”.Ha minden egyes „piciny” ∆t idő alatt „először hirtelen ugrik” a manóV∆t-vel, majd „utána” a hangya v∆t utat tesz meg a fal felé, akkor

a(t+ ∆t) = h(t+ ∆t) + v∆t`(t+ ∆t) =

h(t) `(t+∆t)`(t) + v∆t`(t+ ∆) = a(t) + v∆t

`(t+ ∆t) ,

ígya(t+ ∆t)− a(t)

∆t = v

`(t+ ∆t) ,

ahonnan ∆t→ 0 határátmenettel kapjuk:a′(t) = v

d+ V t.


A kis hangya és a gonosz manó differenciálegyenlete

A legegyszerűbb differenciálegyenlet.Az a(t) függvényre egy integrálható differenciálegyenlet adódott:

a′(t) = v

d+ V t.

Innena(t) = v

Vlog(d+ V t) + C.

Tudjuk, hogy a(0) = 0 (kezdeti érték), így C = − vV log d, tehát

a(t) = v

Vlog

(1 + V t

d

),

ahogy korábban.


A kis hangya és a gonosz manó meg a változás üteme

Fluensek és fluxiók, jelölések.Isaac Newton (1643–1727): Method of fluxions, 1666 („annus mirabilis”)

x(t) időtől függő mennyiség = „fluens”x(t) a változási üteme, sebessége = „fluxió”

Euler: 1755, nehézkes jelölés (tizedik derivált?)

Joseph-Louis Lagrange (1736–1813): f ′ jelölés 1797-ben


A kis hangya és a gonosz manó és Newton

Isaac Newton (1643–1727)



Kimúlt mennyiségek kísértetei.Az elenyésző növekmények kritikája: George Berkeley (1685–1783), Azanalizáló, 1734.

„De mik ezek a fluxiók? Az elenyésző növekményeksebességei. És mik ezek az elenyésző növekmények? Se nemvéges mennyiségek, se nem végtelenül kicsinyek, még csak nem issemmik. Mi mások lennének tehát, mint a kimúlt mennyiségekkísértetei?”

(Az idézet Freud Róbert fordítása.)


A kis hangya és a gonosz manó elenyésző növekmények

George Berkeley (1685–1783)


A kis hangya és a gonosz manó sebességekkel

Megközelítés sebességekkel.Vizsgáljuk a hangya falhoz viszonyított sebességét, azaz a faltól vett x(t)távolság deriváltját. Ez a sebesség két összetevőből áll:a hangya gumihoz viszonyított v sebessége

+ gumi x(t) pontjának u(t) távolodási sebessége

x(t)sebesség = u(t) =?

d+ V t

sebesség = V

Az egyenletes nyújtás miattu(t)V

= x(t)d+ V t

,

így a sebességek irányát is figyelembe véve

x′(t) = −v + V

d+ V tx(t).



Egy összetettebb differenciálegyenlet.Az x(t) függvényre egy elsőrendű lineáris differenciálegyenlet adódott:

x′(t)− V

d+ V tx(t) = −v.

Erre egyelőre nincs módszerünk, de korábbról tudjuk, hogy y(t) = x(t)d+V t

fontos szerepet játszik. Írjuk át az egyenletet y(t)-re. Mivel a szorzásderiválási szabálya (Leibniz-szabály, 1765. november 11. és 21.) szerint

y′(t) = x′(t) 1d+ V t

+ V

(d+ V t)2x(t) = 1d+ V t

(x′(t)− V x(t)

D + V t

),

ezért y′(t)(d+ V t) = −v, tehát

y′(t) = − v

d+ V t,

ami egy integrálható egyenlet.



Egy összetettebb differenciálegyenlet.Általában

x′(t) + p(t)x(t) = q(t)

esetén y(t) = eP (t)x(t) új függvényt (integráló tényezőt) célszerűbevezetni, ahol P ′(t) = p(t). Ekkor

y′(t) = P ′(t)eP (t)x(t) + eP (t)x′(t) = eP (t)(x′(t) + p(t)x(t)),ezért

y′(t)e−P (t) = q(t),tehát

y′(t) = q(t)eP (t),

ami integrálható egyenlet.Az előbb P (t) = −

∫ Vd+V t dt = − log(d+ V t).


A kis hangya és a gonosz manó és Leibniz

A Leibniz-szabály.1675. október 29.:

∫jel

1675. november 11.:dx jelölés, d = differencia (különbség)d(xy) = (dx)(dy), például x = cz + d és y = z2 + bz (nem ellenőrzi!)később rájön, valami nem stimmel:

d(x2) = (x+ dx)2 − x2 = 2xdx (dx hova tűnt?),(dx)(dx) = (x+ dx− x)(x+ dx− x) = (dx)2

1675. november 21.: (dx)y = d(xy)− x(dy)

1677. július:(x+ dx)(y + dy)− xy = xdy + ydx+ (dx)(dy).

1684.: először nyomtatásban, Nova methodus pro maximis et minimis


A kis hangya és a gonosz manó és Leibniz

Gottfried Wilhelm Leibniz(1646–1716)


A kis hangya és a gonosz manó és a Leibniz-szabály

A Leibniz-szabály és Newton1665-től ismeri1687, Philosopihae principa naturalis mathematica: 2. könyv, Lemma 2(

A+ 12a)(

B + 12b)−(A− 1

2a)(

B − 12b)

= aB + bA

Berkeley kritikája:(A+ a)(B + b)−AB = aB +Ab+ ab


A kis hangya és a gonosz manó meséje

A mese véget ér, de a téma nem. . .

A kis hangya utolérte a gonosz manót és boldogan élnek míg meg nemhalnak. Ha a manó még gonoszabb lett volna, talán az én mesém istovább tartott volna.Ezzel a mesénk véget ér, a differenciálegyenletek témaköre azonban csakmost kezdődik.

„Minden, ami emberi, akár rossz, akár jó, előbb-utóbb végetér, kivéve a matematikát.”

(Erdős Pál)

Számtalan hasonló játékos feladat építhető fel az iméntiek mintájára éstárgyalható akár szakkörön. Ezekből adunk egy kis ízelítőt, amelyekmindegyike egy külön előadás témája lehetne.Az irodalomjegyzékben további érdekességekről olvashatunk.


További játékos feladatok a differenciálegyenletekhez

Sherlock Holmes és a Coolbody eset

Sherlock Holmes és a Coolbody eset.Egy éjjel a nagy angol színész, Archibald Coolbody feleségét holtan találjákotthonában. Mellette a férj, kezében a gyilkos fegyverrel. Lestrade felügyelő aScotland Yardtól már-már lezártnak tekintené az ügyet, mikor hajnali 1 órakorbeviharzik Sherlock Holmes és az alábbi beszélgetés zajlik le közöttük.Lestrade: Mr Holmes, önnek semmi keresnivalója itt, az ügy teljesen egyértelmű.A férj kezében volt a gyilkos fegyver, ő tette.Holmes: Csak ne olyan hevesen, Lestrade! Megmérte a halottkém a holttesthőmérsékletét?Lestrade: Természetesen. Pontban éjfélkor a test 33◦-os volt.Ekkor Holmes előkapta kabátzsebéből a hőmérőjét és megvizsgálta a testet.Holmes: Hmm. . . Most 31◦-os; és látja, a szoba hőmérője 20◦-ot mutat. A halálfél 11 körül állt be, márpedig akkor Coolbody még Hamletet játszotta a Queen’sTheatre-ben, ahogy minden este. Ő nem lehet a gyilkos.


Sherlock Holmes és a Coolbody eset

Sherlock Holmes és a Coolbody eset.Hogyan állapította meg Sherlock Holmes, hogy mikor hunyt el az áldozat?


Hókotrók

A hómunkások (J. A. Brenner, Amer. Math. Monthly, 1937).Egy városban egy napon délelőtt elkezdett havazni és állandó intenzitássalesett sötétedésig. Délben egy csapat hómunkás elindult, hogy letakarítsa afőutat. Az első két órában 2 km-es szakaszt sikerült megtisztítaniuk, de akövetkező két órában már csak 1 km-t.Mikor kezdett el esni a hó, ha feltételezzük, hogy a csapat egyenlőidőközök alatt egyenlő mennyiségű havat takarít el.


Hókotrók

A nagy hókotró üldözés (M. S. Klamkin, Amer. Math.Monthly, 1951).Délelőtt elkezdett esni a hó, és egymás után három hókotró indult elletakarítani a főutat: az első délben, a második 13 órakor, a harmadikpedig 14 órakor. Később a három hókotró ugyanabban az időpontbanutolérték egymást.Mikor kezdett esni a hó és mikor találkoztak a hókotrók?


Rómeó és Júlia szerelmi viszonyai

A „kissé fura” Rómeó és a „normális” Júlia esete.Rómeó és Júlia együtt járnak.Rómeó „kissé furán” viselkedik: minél jobban (vagy kevésbé) szereti őtJúlia, annál kevésbé (vagy jobban) szereti Rómeó Júliát.Júlia „normálisan” viselkedik, minél jobban (vagy kevésbé) szereti őtRómeó, annál jobban (vagy kevésbé) szereti ő Rómeót.Hogyan alakul Rómeó és Júlia szerelmi kapcsolata?


Olvasnivalók

Besenyei Ádám, Teleszkopikus összegekről, avagy kalandozások egy versenyfeladatkörül I–II., KöMaL, 2012/9, 514–523. és 2013/1, 2–11.

Besenyei Ádám, Sherlock Holmes, Rómeó és Júlia meg a gonosz manó – avagymire jók a differenciálegyenletek?, ELTE Kárpát-medencei Nyári Egyetem előadás,2014. július 11. http://abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf

Rövidített változat, ELTE TTK Matematika Intézet nyílt nap, 2015. december 2.:http://abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock2.pdf

Besenyei Ádám, A differenciálegyenletek csodálatos világa, Eötvös KollégiumTermészettudományos Tábor, 2015. július 22.http://abesenyei.web.elte.hu/publications/csodalatos.pdf

Rövidített változat, ELTE TTK nyílt nap, 2016. január 31.:http://abesenyei.web.elte.hu/publications/csodalatos2.pdf

A differenciálegyenletek csodálatos világa, speciálelőadás az ELTE-n tanárszakosokszámára, a kurzus honlapja:http://abesenyei.web.elte.hu/mattanar/15o/diffegy15o/diffegy15o.php

Hatvani László – Pintér Lajos, Differenciálegyenletes modellek a középiskolában,Polygon, Szeged, 1997.


http://abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock.pdf

http://abesenyei.web.elte.hu/publications/sherlock2.pdf

http://abesenyei.web.elte.hu/publications/csodalatos.pdf

http://abesenyei.web.elte.hu/publications/csodalatos2.pdf

http://abesenyei.web.elte.hu/mattanar/15o/diffegy15o/diffegy15o.php

Vége

Köszönöm a figyelmet!

mese a kis hangyáról és a gonosz manórólabesenyei.web.elte.hu/publications/hangya.pdf ·...

Documents