matematika „a” 11. évfolyam a logaritmus 4....

MATEMATIKA „A” 11. évfolyam

A logaritmus

4. modul

Készítette: Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes

Matematika „A” – 11. évfolyam – 4. modul: A logaritmus Tanári útmutató 2

A modul célja A logaritmus fogalmának mint a hatványozás inverz műveletének kialakítása. A logaritmusfüggvény grafikon-

jának ábrázolása, kapcsolata az exponenciális függvénnyel. A függvény tulajdonságainak megállapítása, függ-vénytulajdonságok segítségével egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. A valós életben végbemenő exponen-ciális és logaritmikus folyamatok leírása, problémák megoldása.

Időkeret 12 óra Ajánlott korosztály 11. osztály Modulkapcsolódási pontok Tágabb környezetben: környezeti, fizikai, kémiai, biológiai, közgazdasági folyamatok modellezése.

Szűkebb környezetben: hatványfüggvény racionális kitevőre, exponenciális függvény, analízis elemei. Geomet-riai transzformációk, vektorok. Sorozatok, kamatoskamat számítás. Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőt-lenségek grafikus és algebrai megoldása. Ajánlott megelőző tevékenységek: Hatvány- és gyökfüggvény, exponenciális függvény, függvénytransz–formációk, függvények jellemzése. Geometriai transzformációk, vektorok. Első és másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Hatványozás egész, illetve racionális kitevőre. Hatványozás azonosságai. Ajánlott követő tevékenységek: Sorozatok, kamatoskamat számítás. Analízis elemei. Térbeli geometriai transz-formációk.


A képességfejlesztés fóku-szai

Számolás, számlálás, számítás: A logaritmus értékének, alapjának, a hatványértéknek valamint a logaritmus-függvény értékének kiszámítása. Pontok ábrázolása koordináta-rendszerben. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásai számának a meghatározása. Logaritmusértékek összehasonlítása az érték kiszámítása nélkül, függvénytulajdonság felhasználásával. Szöveges feladatok, metakogníció: Matematikai modellalkotás kémiai, biológiai, közgazdasági folyamatokban, leírás segítségével. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: Függvények grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal. Logaritmus értékének meghatározása a hatványozás azonosságainak felhasználásával. Egyenletek, egyenlőtlen-ségek grafikus megoldása. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása a függvény tulajdonságainak ismeretében. Induktív, deduktív következtetés: Az exponenciális függvény grafikonjának ábrázolása és jellemzése konkrét esetben, majd paraméter megadásával. A paraméteres alak segítségével függvénytulajdonság megállapítása majd egyenlőtlenség megoldása.

TÁMOGATÓ RENDSZER

• 4.1 kártyakészlet (a hatványozás ismétléséhez)

• 4.2 ablak (a hatványozás ismétléséhez)

• 4.3 triminó (logaritmusértékek kiszámításához)

• 4.4 kártyakészlet (inverz függvénypárok keresése)

• 4.5 dominó (logaritmusértékek ismétléséhez)

• 4.6 kártyakészlet (exponenciális és logaritmikus folyamatok elemzéséhez)

Ezeken kívül a modul végén található feladatgyűjtemény is.


JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS

1. óra A logaritmus definíciója 2. óra A logaritmusfüggvény definíciója 3. óra A logaritmusfüggvény grafikonjának ábrázolása függvénytranszformációkkal 4. óra Függvényábrázolással megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek 5–6. óra A logaritmus azonosságai 7–10. óra Logaritmikus egyenletek 11–12. óra Exponenciális és logaritmikus folyamatok a természetben (2 óra)

ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK

Középszint

Definiálja és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát, valamint a logaritmus azonosságait. Tudjon áttérni más alapú loga-

ritmusra. Tudjon definíciók és azonosságok közvetlen alkalmazását igénylő feladatokat megoldani. Ismerje és alkalmazza a függvényeket

gyakorlati problémák megoldásánál. Az inverzfüggvény szemléletes értelmezése. Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázol-

ni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az f(x) = ax és g(x) = logax függvényeket! Tudjon néhány

lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [ ( ) ( );; cxfcxf ++ ( ) ( )xcfxfc ⋅⋅ ; ]. Függ-

vények jellemzése értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás szempontjából.

Emelt szint

Bizonyítsa a logaritmus azonosságait. Tudjon egyszerű exponenciális és logaritmikus egyenlőtlenségeket megoldani. Értelmezési tarto-

mány, illetve értékkészlet vizsgálattal, valamint szorzattá alakítással megoldható egyenletek. Tudja ábrázolni az ( ) xaxf = és

( ) xxf alog= függvény transzformáltjainak grafikonját ( )[ ]dbaxfc ++⋅ . Ismerje és alkalmazza a függvény leszűkítésének és kiterjeszté-

sének fogalmát.


MODULVÁZLAT

Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek

Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény

I. logaritmus definíciója (1 óra)

1. A hatványozás ismétlése: A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. A tanár min-den csoportban kiosztja az első ablakot, és a számokat tartalmazó kártyákat. A csoport minden tagja húz 3 – 3 kártyát, és a rajta található számot beírja az ablak meg-felelő rubrikájába. Ha a csoportok elkészültek, közösen ellenőriznek.

rendszerezés, számolás 4.1 kártyakészlet 4.2 ablak 1. feladat

2. A logaritmus definíciójának alkalmazása: Szakértői mozaik: A logaritmus definiálása után a tanu-lók ismét négy fős csoportokban dolgoznak. A tanár kiadja az első a négy mintapéldát a csoportoknak. Akik ugyanazt a mintapéldát kapták, az eredeti csoportjukból kiválva összeülnek, közösen megértik, majd visszamen-nek a csoportjukhoz, és elmagyarázzák a többieknek.

számolás, kombinatív gondolkodás 1–4. mintapéldák 2–14. feladatok közül válogatva szakértői mozaik 4.3 trimino


II. A logaritmusfüggvény (3 óra)

1. Exponenciális és logaritmusfüggvény kapcsolata: cso-portmunka.

kombinatív gondolkodás, számítás, becslés 5. mintapélda, 15. feladat

2. A logaritmusfüggvény definíciója. induktív gondolkodás, rendszerezés, számí-tás, valószínűségi szemlélet, metakogníció

16–18. feladatokból válogatva 6. mintapélda

3. Értelmezési tartomány vizsgálat: differenciált foglalko-zás 2 fős homogén csoportokban.

kombinatív gondolkodás, számítás 7–8. mintapéldák 19–21. feladatokból válogatva

4. A logaritmusfüggvény ábrázolása függvénytranszformációkkal: szakértői mozaik után differenciált gyakorlás.

kombinatív gondolkodás, számlálás, számo-lás, deduktív gondolkodás

9–12. mintapéldák 22–24. feladatokból válogatva 4.4 kártyakészlet

5. A grafikon felhasználásával megoldható egyenletek, egyenlőtlenségek. Szakértői mozaikkal a mintapéldák feldolgozása, majd 2 fős csoportokban gyakorlás (egy csoporton belül a tanulók megoldanak 2-2 példát, majd kicserélik és kijavítják egymásét).

kombinatív gondolkodás, számlálás, becslés

13–15. mintapéldák 25–27. feladatokból válogatva

III. A logaritmus azonosságai (2 óra)

1. Dominó játék. A logaritmus definíciójának feleleveníté-sére, elmélyítésére.

4.5 dominó

2. A logaritmus azonosságainak megismerése (szorzat lo-garitmusa, hányados logaritmusa, hatvány logaritmusa). Áttérés más alapú logaritmusra.

rendszerezés, kombinatív gondolkodás 16. mintapélda

3. A logaritmus azonosságainak gyakorlása. kombinatív gondolkodás, számítás 28–33. feladatokból válogatva


IV. Logaritmikus egyenletek (4 óra)

1. Egyszerűbb logaritmikus egyenletek megoldása. kombinatív gondolkodás, számítás 17. mintapélda 34–37. feladatokból válogatva

2. A logaritmus azonosságainak felhasználásával megold-ható egyenletek.

rendszerezés, kombinatív gondolkodás, szá-mítás

18. mintapélda

3. A tanulók differenciált 4 fős csoportokban dolgoznak. A csoport mindegyik tagja más-más feladatot kap, melyet önállóan old meg. Az önálló feladatmegoldás után a csoport megismerkedik minden feladattal. A tanulók ismertetik saját megoldásukat a csoporton belül, ezt kö-zösen megvitatják.

38–39. feladatok

4. A logaritmikus egyenletek gyakorlása.

kombinatív gondolkodás, számítás

40–41. feladatokból válogatva 5. Másodfokúra visszavezethető logaritmikus egyenletek. 19. mintapélda 6. Exponenciális egyenletek 20. mintapélda 7. Összetettebb logaritmikus, exponenciális gyenletek

megoldása.

rendszerezés, kombinatív gondolkodás, szá-mítás 42–43. feladatokból válogatva

V. Exponenciális és logaritmusos folyamatok a természetben (2 óra)

1. A természetben lezajló exponenciális és logaritmusos folyamatok feldolgozása projekt módszerrel.

4.6 kártyakészlet 21–24. mintapéldák

2. Gyakorlás.

szövegértés, metakogníció, számolás, számí-tás, valószínűségi szemlélet 44–47. feladatokból válogatva

Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 8

I. A logaritmus

Eddigi tanulmányaink során hatványozáskor először olyan esetekkel foglalkoztunk, amikor

ismertük a hatványalapot és a kitevőt. Ekkor a hatványértéket határoztuk meg.

Például: 17;2515;82 023 === − .

Ha a hatványértéket és a kitevőt ismertük, akkor az alapot kerestük.

Például: 83 =x esetén a hatvány alapja 2.

Ha 42 =x , akkor a hatványalap x1 = 2 és x2 = –2 is lehetne.

Ilyenkor gyökvonás segítségével hamar megkaptuk a keresett értéket.

Most megnézzük, hogyan számítható ki a kitevő a hatványérték és az alap ismeretében. A

logaritmus arra a kérdésre ad választ, hányadik hatványra kell emelni az alapot, hogy a meg-

adott értéket kapjuk: 2x = 8 x = ? 5y = 251 y = ?

7z = 1 z = ?

A logaritmus fogalma

4.1 kártyakészlet

A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. A tanár minden csoportban kiosztja az első ablakot,

és a számokat tartalmazó első kártyakészletet. A csoport minden tagja húz 3-3 kártyát, és a

rajta található számot beírja az ablak megfelelő rubrikájába. Ha csoportok elkészültek, közö-

sen ellenőriznek. (1. feladat)

4. modul: A logaritmus Tanári útmutató 9

4.2 ablak

Feladatok

1. Írd föl a megadott számokat hatvány alakban! Csoportosítsd a kapott értékeket 5, 31 , 2

és 71 alap hatványaként!

Számok: 1; 3; 21 ; 0,2; 125; 49; 3 3 ; 0,25; 24

1 ; 92; 142 ; 32.

Megoldás:

5 hatványai: 1 = 50; 0,2 = 5–1; 125 = 53

31 hatványai: 1 =

0

31⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ; 3 =

1

31 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ; 92 =

4

31 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

31

3 31

31

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2 hatványai: 1 = 20; 0,25 = 2–2; 241 = 2–4; 32 = 25

71 hatványai: 1 =

0

71⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ; 49 =

2

71 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ;

71

142=


Ezekben a feladatokban egyszerűen meg tudtuk állapítani a hatványkitevőt. Hogyan tudjuk

kiszámítani kevésbé egyszerű esetekben? Például 3x = 8. Most csak azt tudjuk, hogy 1 < x < 2.

Ez a probléma az ax = b (a > 0) típusú exponenciális egyenletek megoldásához vezet. Olyan

hatványkitevőt keresünk, amelyre a–t emelve b–t kapunk.

Ha b ≤ 0, akkor ilyen hatványkitevő nincs.

Ha b > 0, akkor az f (x) = ax (a > 0; a ≠ 1) exponenciális függvény szigorú monotonitása miatt

egyértelműen létezik ilyen hatványkitevő. Ezt a műveletet nevezzük logaritmuskeresésnek.

Speciális jelölések: bb lglog10 = (de találkozhatunk a logb jelöléssel is)

bbe lnlog = (e alapú logaritmus b, természetes alapú logaritmus b)

Az ax = b és az logab = x egyenletek ekvivalensek, hiszen mindkettőben a a hatványalap, x a

kitevő és b a hatványérték.

Speciális esetek:

loga 1 = 0, mert a0 = 1

loga a = 1, mert a1 = a

loga an = n, mert an = an

A logaritmus definiálása után a tanulók ismét négy fős csoportokban dolgoznak. A tanár kiad-

ja az első négy mintapéldát a csoportoknak. Akik ugyanazt a mintapéldát kapták eredeti cso-

portjukból kiválva, közösen megértik, majd visszamennek a csoportjukhoz, és elmagyarázzák

a többieknek. A mintapéldák az első szakértői mozaikban is megtalálhatóak.

A b pozitív szám a alapú (a > 0 és a ≠ 1) logaritmusának

nevezzük azt a kitevőt, amelyre a -t emelve b -t kapunk.

Jelölés: logab (kiolvasva: a alapú logaritmus b)

Matematikai jelölésekkel a logaritmus definíciója:

a loga b = b , ahol b > 0; a > 0 és a ≠ 1


A logaritmus definíciójának alkalmazása

Mintapélda1

Számítsuk ki a következő logaritmusértékeket!

a) 001,0lg b) 27log 3 c) log3 3 d) 125log51

e) log1 4 f) log4 (–16) g) log0,5 0

Megoldás:

a) 3001,0lg −= , mert 10–3 = 0,001

b) 627log 3 = , mert 2736=

c) log3 3 = 1, mert 31 = 3

d) 23125log

51 −= , mert 12555

51 32

323

===⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

e) log1 4 értelmetlen, mert 1– nek mindegyik hatványa 1.

f) log4 (–16) értelmetlen, mert 4–nek egyik hatványa sem lehet negatív.

g) log0,5 0 értelmetlen, mert 0,5 minden hatványa pozitív

Mintapélda2

Határozzuk meg a következő hatványértékeket!

a) lg x = 2 b) 2log5 −=k c) 32log5 =a d) 2log 2,0 −=d

e) 0log8 =z f) 7log0 =a

Megoldás:

a) lg x = 2 ⇒ x = 102 = 100

b) 2log5 −=k ⇒ k = 5–2 = 251

51 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

c) 32log5 =a ⇒ 33 23

2

2555 ===a

d) 2log 2,0 −=d ⇒ d = 0,2–2 = 25551 2

2

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−

e) 0log8 =z ⇒ z = 80 = 1

f) 7log0 =a : értelmetlen mert a logaritmus alapja nem lehet 0.


Mintapélda3

Határozzuk meg a logaritmus alapját!

a) 38log =a b) 24log −=x c) 214log =c d) 13log =k

e) 322log −=b f) 05log =k

Megoldás:

A logaritmus alapja 1-től különböző pozitív szám, amelyre a következő összefüggések igazak:

a) 38log =a ⇒ a3 = 8 ⇒ a = 2

b) 24log −=x ⇒ x–2 = 4 21

4141 2

2=⇒=⇒= xx

x, mert x > 0

c) 214log =c ⇒ 2

1

c = 4 ⇒ 16=c

d) 13log =k ⇒ k1= k = 3

e) 322log −=b ⇒ 3

2−

b = 2 ⇒ b = 8

1

f) 05log =k értelmetlen, mert nincs olyan szám, amelynek 0. hatványa 5.

Mintapélda4

Számítsuk ki a következő hatványokat!

a) 4log22 b) 3log

31

31⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ c) 8lg10 d) ( )2log44 − e) 5log3 77 ⋅

f) 4log39 g) 2log10010

Megoldás:

A logaritmus definícióját használjuk fel: alogab = b, a > 0; a ≠ 1; b > 0.

a) 42 4log2 = b) 331 3log

31

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ c) 810 8lg =

d) A logaritmust csak pozitív számokra értelmeztük, ezért a hatványkitevőnek nincs ér-

telme.

e) A hatványozás azonosságát felhasználva alakítsuk át a kitevőt:

( ) 125577 335log5log3 77 ===⋅ .

f) A 9–et írjuk fel 3 hatványaként: ( ) ( ) 1643339 224log4log24log24log 3333 ===== ⋅ .


g) a 10–et írjuk fel 100 hatványaként:

( ) 2210010010010 21

21

10010021100

21

100 2log2log2log

2log ====⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

⋅ .

4.3 trimino

Módszertani megjegyzés: Triminó játék! Alakítsunk ki csoportokat az osztályban. Minden

csoport kap 9 db szabályos háromszöget. A kis háromszögek oldalait összeillesztve minden

csoport elkészít egy nagy háromszöget. Úgy kell az oldalakat összeilleszteni, hogy az élek

mentén egy logaritmusos kifejezés és annak értéke álljon.

Természetesen aki nem akarja a triminót használni, az – többek között –a következő módszert

is alkalmazhatja:

Az azonos tudásszintű tanulók párokban dolgoznak. A mintapéldákból látható 4 feladattípus-

ból a saját szintüknek megfelelően megoldanak egyet-egyet. Ha elkészültek, ellenőrzik egy-

más számításait. A megmaradtak házi feladatokként kitűzhetők.

Ajánlás: alapszint egyik tanuló: 2/b; 5/b; 8/b; 11/a

másik tanuló: 2/c; 5/a; 8/a; 11/c

középszint egyik tanuló: 3/a; 6/c; 9/b; 12/c

másik tanuló: 3/c; 6/b; 9/a; 12/b

emelt szint: egyik tanuló: 4/a; 7/b; 10/b; 13/b

másik tanuló: 4/c; 7/a; 10/a; 13/a


Feladatok

A megoldásoknál sok esetben csak az eredményt adjuk meg. Természetesen a tanulóktól kí-

vánjuk meg az egyenletek megoldásakor az ellenőrzést vagy az ekvivalenciára hivatkozást.

Így exponenciális, illetve logaritmikus egyenleteknél hivatkozzunk a szigorú monotonitásra.

2. Számold ki a következő logaritmus értékeket!

a) log2 8 b) 91log3 c) 2log2 d) 3log

31

Megoldás:

a) 3; b) –2; c) 0,5; d) –1.


a) lg 101 b) log735 1 c)

49log

32

Megoldás:

a) 21

− ; b) 0; c) –2


a) 32log4 b) 125

8log254 c) 81loglog 32

Megoldás:

a) 32log4 = x ⇒ 4x = 32 ⇒ 22x = 25 ⇒ 2x = 5 ⇒ 25

=x

b) 125

8log254 = x ⇒

1258

254

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x

⇒ 32

52

52

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

x

⇒ 2x = 3 ⇒ x = 23

c) 81loglog 32 = x ⇒ x281log3 = ⇒ 42 =x ⇒ x = 2

5. Határozd meg a betűkifejezések számértékét!

a) 1log5 −=a b) 21lg =b c) 2log 2 =c


Megoldás:

a) a = 51 ; b) b = 10 ; c) c = 2


a) 2log2 −=v b) 41log4 =x c) 4log 3 =y

Megoldás:

a) v = 41 ; b) x = 2 ; c) y = 9


a) 3log 4,0 −=p b) 23log

2516 −=r c) 1loglog

213 =s

Megoldás:

a) p = (0,4)-3 = 8

12525

52 33

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

b) r = 64

12545

1625

2516 3

23

23

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−

c) 1loglog213 =s ⇒ 3log

21 =s ⇒ s =

81

8. Határozd meg a következő logaritmusok alapjait!

a) 38log =a b) 60log =b c) 29log −=c

Megoldás:

a) a = 2; b) a kifejezés nincs értelmezve; c) c = 31 .


a) 2349log −=u b) 2

2516log −=v c) 5,023log =x


Megoldás:

a) 4923

=−

u ⇒ 3 2

32

49149 ==

−u

b) 25162 =−v ⇒

45

1625

1625

25161 2

2==⇒=⇒= vv

v

c) 235,0 =x ⇒ x = 18


a) 23

12527log 1 −=

p

b) 3232log 3 =q c) 4

81log

81log

22 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= rr

Megoldás:

a) 21

23

125271

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

p ⇒

21

23

12527

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=p ⇒ p =

53

12527

12527 3

132

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

b) 332

24=q ⇒ 331

24=q ⇒ 24=q

c) 281log ±=r 1) 2

81log =r ⇒

812 =r ⇒ r1 =

221

2) 281log −=r ⇒

21

81 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=r ⇒ r2 = 22

(A logaritmus alapja nem lehet negatív.)

11. Határozd meg a következő kifejezések pontos értékét!

a) 14lg10 b) 41log25

25 c) ( )3log55 −

Megoldás:

a) 14; b) 41 ; c) nincs értelmezve.


a) 2log39 b) 5log162 c) 4log2 55 +


Megoldás:

a) 43 2log2 3 =⋅ b) 45log41

51616

= c) 10055 4log2 5 =⋅


a) 7log 525 b) 4lg5lg2001,0 − c) 1loglog 3416

Megoldás:

a) ( ) 47log475 5 =

b) ( ) 364lg35lg64lg5lg23 451010 ⋅== −+−−−

c) mivel log3 1 = 0, nincs megoldása, ugyanis log4 0 nem értelmezett.

14. Melyik a nagyobb?

a) 271log3 vagy

27log31

31⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

b) lg 106 vagy 64log2

c) 1log 01,0 vagy 5125log 5

Megoldás:

a) 2731

23

271log

27log

331

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛<−=

b) lg 106 = 6 = 64log2 = 6

c) 1log 01,0 = 0 < 5125log 5 = 1


II. A logaritmusfüggvény

A logaritmusfüggvény definíciója, grafikonja, jellemzői

Vizsgáljuk az azonos alapú exponenciális és logaritmusos kifejezések közötti kapcsolatot!

Mintapélda5

Töltsük ki az alábbi értéktáblázatokat, majd az értéktáblázatok oszlopaiból képzett

értékpárokat ábrázoljuk feladatonként közös koordináta-rendszerben!

x -2 -1 -0,5 0 0,25 0,5 1 2 25

2x

x 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8

log2x

Megoldás:

x -2 -1 -0,5 0 0,25 0,5 1 2 25

2x 0,25 0,5 2

1 1 4 2 2 2 4 32

x 0,125 0,25 0,5 1 2 4 8

log2x –3 –2 –1 0 1 2 3


Az exponenciális függvény esetében rögzítettünk egy 1-től különböző pozitív valós a számot,

és a tetszőleges valós x értékekhez ezen számnak a hatványait, ax-et rendeltük hozzá. Ennek

az inverze a loga x függvény.

A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. Ketten az a) részt, ketten a b) részt oldják meg, majd

közösen megbeszélik a tapasztalatokat.

Feladatok

15. Töltsd ki az alábbi értéktáblázatokat, majd az értéktáblázatok oszlopaiból képzett

értékpárokat ábrázold feladatonként közös koordináta-rendszerben!

a)

x -2 -1 -0,5 0 0,25 0,5 1 2

3x

x 811

91

31 1 3 9

log3x

Az f (x) = loga x, a > 0; a ≠ 1; x > 0 hozzárendelési utasítással

megadott függvényt logaritmusfüggvénynek nevezzük.


b)

x -2 -1 -0,5 0 0,25 0,5 1 2 x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31

x 811

91

31 1 3 9

x31log

Megoldás:

a)

x –2 –1 –0,5 0 0,25 0,5 1 2

3x 91

31

31 1 4 3 3 3 9

x 811

91

31 1 3 9

log3x –4 –2 –1 0 1 2

b)

x –2 –1 –0,5 0 0,25 0,5 1 2 x⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31

9 3 3 1 4 31

31

31

91

x 811

91

31 1 3 9

x31log

4 2 1 0 –1 –2


A tanulók az óra folyamán adjanak választ a következő kérdésekre, majd a tanár irányításával

beszéljék meg a válaszokat.

16. Válaszolj a következő kérdésekre!

1) Milyen kapcsolat van az exponenciális függvény értékkészlete és a logaritmus függvény

értelmezési tartománya között?

2) Van-e kapcsolat van az exponenciális, illetve a logaritmusfüggvény grafikonja pontjainak

koordinátái között?

3) Milyen transzformációval tudnád átvinni az exponenciális függvény grafikonját a logarit-

musfüggvény grafikonjába, ha azonos az alapjuk?

4) A grafikonoknak hol van metszéspontjuk a tengelyekkel?

5) Mi állapítható meg logaritmusfüggvény monotonitásáról, ha a alapja 21 , illetve 2?

6) Melyik egyenest közelíti meg az exponenciális, illetve a logaritmusfüggvény grafikonja?

7) Van-e a logaritmusfüggvényeknek szélsőértéke?

Megoldás:

1. Megegyeznek.

2. Általában nincs, de ha azonos az alap, akkor van.

3. Tükrözéssel az ( ) xxf = függvény grafikonjára (45°-os egyenes).

4. Az exponenciális függvény grafikonja az y tengelyt a (0; 1), a logaritmusfüggvény

grafikonja az x tengelyt az (1; 0) pontban metszi.

5. Ha az alap 21 , akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő. Ha az alap 2, akkor a

függvény szigorúan monoton növő.

6. Az exponenciális függvény grafikonja az x tengelyt, a logaritmus függvény grafi-

konja az y tengelyt közelíti meg tetszőleges pontossággal (aszomptoták).

7. A logaritmusfüggvényeknek nincs szélsőértéke.

Belátható, hogy minden pozitív x-re lehet értelmezni a logaritmust, nemcsak a pozitív racio-

nális számokra.


17. Ábrázold közös koordináta-rendszerben a pozitív valós számok halmazán értelmezett

következő függvények grafikonjait!

a) f (x) = log3 x g(x) = log4 x h(x) = lg x

b) a(x) = x31log b(x) = x

41log c(x) = x1,0log

Megoldás:

a) b)

18. Válaszolj a következő kérdésekre!

1) Mi állapítható meg a grafikonok növekedésének / csökkenésének üteméből az a), illetve a

b) esetben?

2) Melyik az a pont, amelyik rajta van mindegyik grafikonon?

Megoldás:

1) 1-nél nagyobb alap esetében minél nagyobb, 0 és 1 közötti alap esetén minél kisebb a

logaritmus alapja, a logaritmus függvény grafikonja annál jobban hozzásimul az x

tengelyhez.

2) Az (1; 0) pont, amelyikre mindegyik görbe illeszkedik.

Mintapélda6

Az eddigi tapasztalatokat általánosítva rajzoljuk meg a logaritmusfüggvény grafikonját, ha a

logaritmus alapja 0 és 1 között van, illetve, ha nagyobb 1-nél! Jellemezzük is a függvényeket!


Megoldás:

f (x) = loga x

0 < a < 1

g (x) = loga x

1 < a

Grafikon

Jellemzés:

1. É. T. R+ R+

2. É. K. R R

3. Zérushely x = 1 x = 1

4. Monotonitás szigorúan monoton csökkenő szigorúan monoton növekvő

5. Szélsőérték nincs nincs

6. Paritás nem páros, nem páratlan nem páros, nem páratlan

7. Invertálhatóság invertálható invertálható

A tanulók 3-4 fős homogén csoportokban dolgozhatnak. A 7. mintapélda feldolgozását a

gyengébb, a 8. mintapéldáét az átlagos képességűek számára ajánljuk.

Mintapélda7

Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát!

a) )112(log)( 2 += xxf b) 3lg)( −= xxg

c) |35|log)( 2,0 xxh += d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−=

xxk

272log)( 5

Megoldás:

a) A logaritmus definíciója szerint:

2 x + 11 > 0 ⇒ x > –5,5. Az értelmezési tartomány: ] – 5,5; + ∞ [

b) A logaritmus definíciója szerint:

3−x > 0 ⇒ x – 3 > 0 ⇒ x > 3. Az értelmezési tartomány: ] 3; + ∞ [

c) A logaritmus definíciója szerint:

| 5 + 3x | > 0, és mivel 5 + 3x ≠ 0 ⇒ x ≠ 35

− . Az értelmezési tartomány: R \ ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

35


d) A logaritmus definíciója szerint

x272−

− > 0 ⇒ x27

2−

< 0 ⇒ 7 – 2x < 0 ⇒ x > 27 .

Az értelmezési tartomány: ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞+;

27

Mintapélda8

Határozzuk meg a következő függvények értelmezési tartományát!

a) =)(xf ( )65lg 2 +− xx b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

=83

25log)(32 x

xxg c) x

xhlg1)( =

Megoldás:

a) A logaritmus definíciója szerint:

652 +− xx > 0 ⇒ x < 2 vagy x > 3.

Az értelmezési tartomány: ] –∞; 2 [ ∪ ] 3; ∞ [

b) A logaritmus definíciója szerint

8325+−x

x > 0 ⇒ I) 5 – 2x > 0 és 3x + 8 > 0 ⇒ 25

38

<<− x

Az értelmezési tartomány: ⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ −

25;

38

II) 5 – 2x < 0 és 3x + 8 < 0 ⇒ nincs megoldás

c) A nevező miatt: lg x ≠ 0, ezért 1≠x .

A logaritmus értelmezési tartománya miatt: x > 0

Az értelmezési tartomány: R+ \ {1}


Javasoljuk, hogy a mintapéldák megbeszélése után 2 fős, szintén homogén csoportokban dol-

gozzanak tovább. Oldjanak meg 2-2 feladatot a saját szintjüknek megfelelően, majd kijavítják

egymás megoldását.

Ajánlás: alapszint: egyik tanuló: 19 / b,d

másik tanuló: 19 / e,f

középszint: egyik tanuló: 20 / c, b

másik tanuló: 20 / e, d

emelt szint: egyik tanuló: 21 / a,d

másik tanuló: 21 / b,c

Feladatok

19. Mely x-ekre értelmezhetők az alábbi függvények?

a) )lg()( xxa −= b) ( )23 23log)( xxb −= c) )23(log2)( 3 xxc −=

d) d(x) = )7(log91 +x e) e(x) = 7log 2 −x f) f (x) = 3log 6,2 −x

Megoldás:

a) x < 0; b) x ≠ 23 ; c) x <

23 ; d) x > –7; e) x ≠ 7; f) x > 3;


a) ( )3log)( 7,0 += xxa b) b(x) = ( )4log7 −x c) c(x) = ( )( )53log3 −− xx

d) d(x) = ( )25 25log x− e) e(x) =

xx−−

53log 3 f) ( )12log)( 2

5 −+= xxxf

Megoldás:

a) x ∈ R; b) x > 4 vagy x < –4; c) 3 > x vagy x > 5; d) –5 < x < 5;

e) 3 < x < 5; f) x > 3 vagy x < –4.


a) ( )( )143log)( 21 ++= + xxxm x b)

423lg)(

2

+++

=x

xxxn

c) xxq 2loglg)( = d) xxxr

22lg)( +

=


Megoldás:

a) x > 31

− és x ≠ 0; b) –4 < x < –2 vagy x > –1; c) x > 1; d) x > –2 és x ≠ 0.

A logaritmusfüggvény grafikonjának ábrázolása

függvénytranszformációkkal

Az előzőekben megismerkedtünk a logaritmusfüggvénnyel. A továbbiakban az

( ) 0;1;0;log >≠>= xaaxxf a

függvényt az a alapú logaritmus alapfüggvényének nevezzük. Nézzük meg ennek a függ-

vénynek néhány transzformáltját!

Módszertani megjegyzés: A tanulók 4 fős csoportokat alakítanak ki. Az egyik tanuló a 9., a

másik tanuló a 10., a harmadik tanuló a 11., a negyedik pedig a 12. mintapéldát dolgozza fel.

Miután megértették, egymás után elmagyarázzák a csoporton belül a többieknek.

Megállapodás, hogy ha nem adjuk meg az értelmezési tartományt, akkor az a valós számok

legbővebb halmaza, amelyen a függvény értelmezhető.

Mintapélda9

Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a pozitív valós számok halmazán értelme-

zett következő függvényeket! a) f (x) = log2 x + 2 b) g(x) = 3log21 −x

Megoldás:

a)

Transzformációs lépések:

1. a(x) = log2 x az alapfüggvény ábrázolása

2. f (x) = log2 x + 2 a grafikonjának eltolása

v(0; 2) vektorral

Jellemzés:

1. ÉT: R+

2. ÉK: R

3. Zérushely: log2 x + 2 = 0, log2 x = –2

A logaritmus definíciója alapján 412 2 == −x


4. Monotonitás: szigorúan monoton növő

5. Szélsőérték: nincs

6. nem páros, nem páratlan

7. invertálható

b)


1. a(x) = x21log az alapfüggvény ábrázolása

2. g(x) = 3log21 −x a grafikonjának eltolása

v (0; –3) vektorral

Jellemzés:

1. ÉT: R+

2. ÉK: R

3. Zérushely: 3log21 −x = 0, 3log

21 =x

A logaritmus definíciója szerint 81

21 3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=x

4. Monotonitás: szigorúan monoton csökkenő



7. invertálható

Mintapélda10

Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a következő függvényeket!

a) f (x) = log2 (x + 2), ha x > –2 b) g (x) = )3(log21 −x , ha x > 3

Megoldás:

a)


1. a(x) = log2 x az alapfüggvény ábrázolása

2. f (x) = log2 ( x + 2 ) a grafikonjának

eltolása v( –2; 0 ) vektorral


Jellemzés:

1. ÉT: ] –2; ∞ [

2. ÉK: R

3. Zérushely: log2 ( x + 2 ) = 0

A logaritmus definícióját alkalmazva x + 2 = 1, x = –1

4. Monotonitás: szigorúan monoton növő



7. invertálható

b)


1. xxa21log)( = az alapfüggvény

ábrázolása

2. ( )3log)(21 −= xxg a grafikonjának

eltolása v( 3; 0) vektorral

Jellemzés:

1. ÉT: ] 3; ∞ [

2. ÉK: R

3. Zérushely: ( )3log21 −x = 0

A logaritmus definíciója alapján 13 =−x , x = 4




7. invertálható

Mintapélda11

Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a következő függvényeket, ha x pozitív

valós szám! a) f (x) = –21 log2 x b) g (x) = x

21log2


Megoldás:

a) Transzformációs lépések:

1. a(x) = log2 x az alapfüggvény

ábrázolása

2. b(x) = 21 log2 x a grafikonjának

21 -szeres

nyújtása / zsugorítása az y tengely

mentén

3. f (x) = 21

− log2 x b grafikonjának tükrözése

az x tengelyre

Jellemzés:

1. ÉT: R+

2. ÉK: R

3. Zérushely: – 21 log2 x = 0, log2 x = 0

A logaritmus definícióját alkalmazva x = 1




7. invertálható

b)


1. a (x) = x21log az alapfüggvény

ábrázolása

2. g (x) = 2 x21log a grafikonjának

kétszeres nyújtása az y tengely mentén

Jellemzés:

1. ÉT: R+

2. ÉK: R

3. Zérushely: 2 x21log = 0, x

21log = 0


A logaritmus definíciója szerint x = 1




7. invertálható

Mintapélda12

Ábrázoljuk koordináta-rendszerben és jellemezzük a következő függvényeket a megfelelő

értelmezési tartományokon! a) f (x) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− x

21log2 b) g (x) = ( )x2log

21

Megoldás:

a) Transzformációs lépések:

1. a (x) = log2 x az alapfüggvény ábrázolása

2. b (x) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x

21log2 a grafikonjának két-

szeres nyújtása az x tengely mentén

3. f (x) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− x

21log2 b grafikonjának tükrözése az y tengelyre

Jellemzés:

1. ÉT: R–

2. ÉK: R

3. Zérushely: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− x

21log2 = 0

A logaritmus definíciója alapján x21

− = 1, x = –2




7. invertálható


b) Transzformációs lépések:

1. a (x) = x21log az alapfüggvény ábrázolása

2. g (x) = ( )x2log21 a grafikonjának

21 -szeres zsugorítása az x tengely mentén

Jellemzés:

1. ÉT: R+

2. ÉK: R

3. Zérushely: ( )x2log21 = 0

A logaritmus definícióját alkalmazva 2x = 1, x = 21




7. invertálható

A mintapéldák feldolgozása után a tanulók két fős homogén csoportokban dolgozhatnak. Az

alacsonyabb szintű feladatokból fejenként hármat, a magasabb szintű feladatokból fejenként

kettőt oldjanak meg, majd beszéljék meg a megoldásokat.

Ajánlás: alacsonyabb szint egyik tanuló: 22/a, c, e

másik tanuló: 22/b, d, f

magasabb szint egyik tanuló: 23/b, e

másik tanuló: 23/c, d

Feladatok

22. Készítsd el a következő függvények grafikonját, majd jellemezd a függvényeket! Elő-

ször az értelmezési tartományukat határozd meg!

a) 2log)( 4 −= xxe b) xxf41log1)( +=

c) )1(log)( 3 xxg += d) )4(log)(21 −= xxh

e) xxi 5log2)( ⋅= f) xxj lg51)( −=


Megoldási útmutató: Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók.

23. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! A c) feladatnál megadtuk az értel-

mezési tartományt, a többi függvény esetében először azt határozd meg!

a) xxm31log3)( −= b) ( )xxn −= 5log)( 5

c) |log|)(51 xxp = ; x ∈ ] 0; 5] d) 5lg2)( +−= xxq

e) )2(log41)(

51 −= xxr


4.4 kártyakészlet

A következő feladat kártyákkal is játszható (4.4 kártyakészlet): A tanulók 2 vagy 3 fős cso-

portokban játszanak. Összekeverik majd maradéktalanul szétosztják egymás között a kártyá-

kat, amelyekben egymás inverzeként állnak az exponenciális, illetve logaritmusfüggvények.

A feladat: összepárosítani a megfelelő függvényeket. Ha valakinek nem kell egy kártya, akkor

azt odacsúsztatja a mellette ülőnek, és így tovább. Az győz, akinek legelőször összegyűlik 2

fő esetén 3 kártyapár, 3 fő esetén 2 kártyapár.


24. Az alábbi logaritmusfüggvényeknek melyik exponenciális függvény az inverze?

xxa32

log)( = x

xg ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

23)(

xxb 5log)( = xxh 5)( =

xxc21log)( =

xxk ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

51)(

xxd23log)( =

xxl ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

32)(

xxe 2log)( = x

xm ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

21)(

xxf51log)( = xxn 2)( =

Megoldás: a-l; b-h; c-m; d-g; e-n; f-k.

A grafikon felhasználásával megoldható egyenletek,

egyenlőtlenségek

Már találkoztunk olyan exponenciális egyenletekkel, egyenlőtlenségekkel, amelyek algebrai

módszerekkel nem, csak az exponenciális függvény tulajdonságait felhasználva, a grafikonjá-

nak pontos ismeretével oldhatók meg. Most olyan egyenleteket és egyenlőtlenségeket oldunk

meg, amelyekben logaritmikus kifejezés is szerepel.

Mintapélda13

Oldjuk meg grafikusan a következő egyenleteket a valós számok halmazán!

a) 1log2 −= xx b) 29log31 xx =


Megoldás:

a) Az egyenlet bal oldalából képezzük az a(x) = x2log , a jobb oldalából a b(x) = x – 1

függvényt. Készítsük el a függvények grafikonját közös koordináta-rendszerben!

Az ábráról leolvasható a megoldás: x1 = 1; x2 = 2, más megoldás nincs.

b) Az a) részhez hasonlóan járunk el: a(x) = x31log , b(x) = 29x

Az ábráról leolvasható a megoldás: x = 31 , más megoldás nincs.

Mintapélda14

Oldjuk meg grafikusan a következő egyenlőtlenségeket a pozitív valós számok halmazán!

a) x4log ≥ |x| b) 24log xx <

Megoldás:

a) b)

Az egyenlőtlenség sehol sem teljesül. 24log xx < minden x-re teljesül.


Mintapélda15

A logaritmusfüggvény monotonitását felhasználva állapítsuk meg, melyik szám a nagyobb!

a) 81log7 vagy

31log7 ; b) 4log 12,0 vagy

316log 12,0 .

Megoldás:

a) A logaritmus alapja nagyobb 1-nél, tehát a függvény szigorúan monoton növekvő.

Ezért 81log7 <

31log7 .

b) A logaritmus alapja 0 és 1 között van, tehát a függvény szigorúan monoton csökkenő.

Ezért 4log 12,0 > 3

16log 12,0 .

Feladatok

25. A logaritmus függvény monotonitását felhasználva állapítsd meg, melyik szám a na-

gyobb!

a) 6log2 vagy 11log2 ; b) 73log5 vagy

511log5 ;

c) 1513log21 vagy

167log21 ; d) 5log

32 vagy

413log

32 ;

e) 83log

75 vagy

113log

75 .

Megoldás:

A megoldásokban hivatkozunk az adott alapú logaritmus függvény monotonitására.

a) <; b) <; c) >; d) <; e) <

26. Oldd meg grafikusan a következő egyenleteket!

a) xx −=⋅ 5log2,0 b) 5log 22 +−= xx


Megoldás:

a) b)

x = 0,2 x = 2

27. Mely x értékekre teljesülnek az alábbi egyenlőtlenségek?

a) 1log2 <x b) ( )x

x ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛>

41log

41 c) xx ≥+

21log1

Megoldás:

a) b) c)

0,5 < x < 2 0 < x < 0,5 0 < x ≤ 1


III. A logaritmus azonosságai

4.5 dominó

Módszertani megjegyzés: Dominó játék. (A logaritmus definíciójának felelevenítésére, elmé-

lyítésére.) Minden csoportnak adjunk 16 darab kártyát. Feladatuk felfelé fordítva kirakni a

dominókat úgy, hogy minden kifejezéshez megtalálják a hozzátartozó értéket.

32log2 52

− 3log3 2− 5log 2,0 3 321log8

21

−

81log3 5 34 64log 2

1 16log 5,0 1−

271log9 3

5−

1251log5 4 1log7 1 81

1log91 4− 125log625

23

−

641log

41 3− 64log 2 0 6

1log36 2 41log32

43

Ismerkedjünk meg azokkal az azonosságokkal, amelyek segítik a logaritmusos kifejezésekkel

való számolást. Természetesen, ezek a hatványozás azonosságainak logaritmusos megfelelői.

Szorzat logaritmusa egyenlő a tényezők logaritmusának összegével.

Képletben: ( ) 0,0,1,0,logloglog >>≠>+=⋅ yxaayxyx aaa .

A logaritmus definíciója alapján: yx aa ayax loglog , == .

Azonos alapú hatványokat szorzására tanult összefüggés alapján: yxyx aaaa aaaxy loglogloglog +=⋅= .

A logaritmus definíciójából következik: ( )yxaaxy ⋅= log . A két egyenlőséget összevetve: ( )yxyx aaa aa ⋅+ = logloglog . Azonos alapú hatványok akkor egyenlők egymással, ha a kitevő-

ik megegyeznek: xyyx aaa logloglog =+ .

Hányados logaritmusa egyenlő a számláló logaritmusának és a nevező logaritmusának a

különbségével.

yxxy aaa logloglog +=


Képletben: 0,0,1,0,logloglog >>≠>−= yxaayxyx

aaa .

A logaritmus definíciója alapján: yx aa ayax loglog , == .

Azonos alapú hatványok osztására tanult összefüggés alapján: yxy

xaa

a

a

aaa

yx loglog

log

log−== .

A logaritmus definíciójából következik: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

= yx

a

ayx log

. A két egyenlőséget összevetve:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− = y

xyx aa aa

logloglog . Azonos alapú hatványok akkor egyenlők egymással, ha a kitevőik

megegyeznek:yxyx aaa logloglog =− .

Hatvány logaritmusa egyenlő a kitevőnek és az alap logaritmusának a szorzatával.

Képletben: ∈>≠>⋅= kxaaxkx ak

a ,0,1,0,loglog R.

A logaritmus definíciója alapján: xaax log= .

Hatvány hatványozására tanult azonosság alapján: ( ) xkkxk aa aax loglog ⋅==

A logaritmus definíciójából következik: k

a xk ax log= . A két egyenlőséget összevetve: k

aa xxk aa loglog = . Azonos alapú hatványok akkor egyenlők egymással, ha a kitevőik

megegyeznek: kaa xxk loglog = .

Áttérés más alapú logaritmusra

A logaritmus definíciója alapján: 0,1,0,log >≠>= xaaax xa .

Vegyük mindkét oldal y alapú logaritmusát: 1,0,loglog log ≠>= yyax ayy

y

A hatvány logaritmusára vonatkozó azonosság alapján: axx yay logloglog ⋅=

Ebből: ax

xy

ya log

loglog =

yxyx

aaa logloglog −=

xkx ak

a loglog =


Mintapélda16

Számítsuk ki a következő kifejezések pontos értékét!

a) 4log2 33 + b) 7log39 c) 18log9log2log2 222 −+

d) 40lg60coslg30sinlg +°+°

Megoldás:

Alkalmazzuk a hatványozás és a logaritmus azonosságait!

a) 3649333 4log24log2 33 =⋅=⋅=+

b) ( ) 4933339 49log7log7log27log27log 32

3333 =====

c) 22log18

92log18log9log2log2 2

2

2222 ==⋅

=−+

d) 110lg4021

21lg40lg

21lg

21lg40lg60coslg30sinlg ==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅=++=+°+°

Feladatok

28. Keresd meg a párját!

a) 18log2log 66 + A) 125log31

5

b) 2

3log96log 22 − B) 50lg12lg3lg245lg15lg80lg +−+−+

c) 5log60log 1212 − C) 16log64log 42 +

d) 125log10lg5 5+ D) 5log2log10log21

555 −−

e) 4log3 2 E) 8log8log

32

4

f) 729log21

3 F) 81log27log 39 ⋅

g) 2log2 2 G) 6lg5lg275lg12lg15lg −+−+

h) °+° 60sinlog30log 22 tg H) 50lg2lg +

Megoldás:

a) 2 H)

ax

xy

ya log

loglog =


b) 5,225= E)

c) 1 A) vagy G)

d) 8 C)

e) 6 F)

f) 3 B)

g) 1 G) vagy A)

h) -1 D)

29. Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét!

a) 2log3 44 + b) 3log22 66 + c) 5log34 22 +

d) 2log3log 444 + e) 6log2 33 − f) 2log6log 777 −

g) 5log28 h) 3log216 i) 3log2 24

Megoldás:

a) 128 b) 324 c) 2000

d) 6 e) 5,1 f) 3

g) 125 h) 81 i) 81

30. Mennyivel egyenlő 200lg , ha 2lg=b ?

Megoldás: ( ) b+=+=⋅= 22lg100lg2100lg200lg

31. Mennyivel egyenlő 108log3 , ha 2log3=a ?

Megoldás:

( ) a232log232log34log27log427log108log 32

33333 +=⋅+=+=+=⋅=

32. Mennyivel egyenlő 12log2 , ha 9log2=c ?

Megoldás:

( )2

29log2129log23log4log34log12log 2

21

22222c

+=⋅+=+=+=⋅=


33. Az 3010,02lg ≈ és 8451,07lg ≈ felhasználásával határozd meg a következő kifeje-

zések értékét!

a) 5,3lg b) 14lg c) 49lg d) 2lg

Megoldás:

a) 5441,03010,08451,02lg7lg27lg5,3lg =−≈−==

b) ( ) 1461,18451,03010,07lg2lg72lg14lg =+≈+=⋅=

c) 6902,18451,027lg27lg49lg 2 =⋅≈⋅==

d) 1505,03010,0212lg

212lg2lg 2

1

=⋅≈⋅==


IV. Logaritmikus egyenletek

A logaritmusfüggvény ismeretében megoldható egyenletek

A logaritmusos egyenleteknek nevezzük azokat az egyenleteket, amelyekben az ismeretlent

tartalmazó kifejezés logaritmusa szerepel. Az ilyen típusú egyenletek egy részénél mindössze

a logaritmus definícióját kell alkalmazni.

Logaritmusos egyenletek megoldását általában az értelmezési tartomány vizsgálatával kezd-

jük. A logaritmus argumentumában csak pozitív értékű kifejezés állhat, a logaritmus alapja is

pozitív kifejezés kell, hogy legyen, ami nem lehet 1. Ha a vizsgálat túl bonyolult, hosszadal-

mas folyamat lenne, akkor kiválthatjuk a kapott gyök (gyökök) ellenőrzésével. Ha az egyenlet

megoldásakor nem ekvivalens lépéseket alkalmazunk, akkor az ellenőrzés nem hagyható el.

Mintapélda17

Oldjuk meg a következő egyenleteket!

a) ( ) 81log1log 32

3 =+x b) 0logloglog 258 =x

Megoldás:

a) A logaritmus argumentumában csak pozitív értékű kifejezés állhat, ezért

( ) 101 2 −≠⇒>+ xx . A kifejezés értelmezési tartományába 1−=x kivételével az

összes valós szám beletartozik.

A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: ( ) 811 2 =+x .

Megoldjuk az egyenletet: 10;891 21 −==⇒=+ xxx .

Mindkét gyök beletartozik az egyenlet értelmezési tartományába, így mindkettő meg-

oldása az egyenletnek.

b) Az értelmezési tartomány meghatározása hosszadalmas lenne, ezért majd a kapott

gyököket ellenőrizzük.

A logaritmus definíciója szerint 025 8loglog =x , azaz 1loglog 25 =x .

Ismét a logaritmus definícióját alkalmazva: 12 5log =x , vagyis 5log2 =x .

Innen: 3225 ==x .

Ellenőrzés: Az egyenlet bal oldala: 01log5loglog32logloglog 858258 === ami va-

lóban megegyezik az egyenlet jobb oldalával. Tehát az 32=x valóban gyöke az


egyenletnek. Mivel a megoldás során csak ekvivalens lépéseket alkalmaztunk, az

egyenletnek nincs más megoldása.

Feladatok

34. Határozd meg a kifejezésekben előforduló változók értékét!

a) 3log2 =a b) 2log3 =b c) c=81log3

d) d=32log2 e) 416log =e f) 327log =f

Megoldás:

a) 8=a b) 9=b c) 4=c

d) 5=d e) 2=e f) 3=f

35. Oldd meg a következő egyenleteket!

a) 12lglg =x b) 3loglog 44 =x c) ( ) ( )13log3log34

34 −=+ xx

d) 16lglg 2 =x e) ( )2410loglog31

2

31 −= xx f) ( ) ( )3log3log 5

25 +=+ xx

Megoldás:

A feladatok megoldása előtt a bennük szereplő kifejezések értelmezési tartományát

meg kell határozni!

a) 12,0 =< xx b) 3,0 =< xx

c) 2,31

=< xx d) 44,0 21 −==≠ xxx

e) 6;4,4,2 21 ==> xxx f) 2;3 −=−> xx


a) 0logloglog 329 =x b) 1logloglog 243 =x

c) 21logloglog 2325 =x d) ( )[ ]

413log46log 516 =−− x

Megoldás:

a) 9=x b) 642=x c) 2432=x d) 8=x


37. Fejtsd meg a keresztrejtvényt!

Vízszintes

1. A ( ) 325log5 =−x egyenlet megoldása.

4. A ( ) 33011log 23 =+−+ xxxx egyenlet megoldásai növekvő sorrendben.

5. A ( ) 233log 25 =−− xx egyenlet megoldásai csökkenő sorrendben.

Függőleges

1. A 3log5loglog 222 +=x egyenlet megoldása.

2. A ( )3212log 22 −+− xx kifejezés értelmezési

tartományában előforduló egészek növekvő sor-

rendben.

3. A x=1log3 17 egyenlet megoldása.

Megoldás:

A logaritmus azonosságaival megoldható egyenletek

A logaritmusos egyenletek egy másik típusában a logaritmus azonosságait alkalmazzuk. Cé-

lunk ilyenkor az, hogy az egyenlet két oldalán azonos alapú logaritmus szerepeljen. Ekkor a

logaritmusfüggvények kölcsönös egyértelműségére (vagy szigorú monotonitására) hivatkoz-

va, az argumentumok egyenlőségére következtetünk.

Mintapélda18


a) ( ) ( ) 25lg25lg10lg −=−−+ xx b) ( ) ( ) 50lg22

203lg4lg −=−

−−xx


Megoldás:

a) Határozzuk meg az egyenlet értelmezési tartományát: ,05,010 >−>+ xx azaz x<5 . Az értelmezési tartomány: ] 5; + ∞ [ .

I) Az egyenlet mindkét oldalán alkalmazzuk a logaritmus azonosságait, valamint írjuk

át a 2-t 100lg alakba: ( )( ) 25

100lg5

10lg =−+

xx .

A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 45

10=

−+

xx .

Ebből ( ) 105410 =⇒−=+ xxx . Ez eleme az egyenlet értelmezési tartomá-nyának és visszahelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy valóban megoldása az egyen-letnek.

II) Az egyenletet átírva: ( ) ( ) 225lg5lg10lg =+−−+ xx

Az azonosságokat alkalmazva: ( ) 25

2510lg =−⋅+

xx

A logaritmus definíciója alapján ( ) 100105

2510 2 ==−⋅+

xx , innen

50010025025 −=+ xx

1075750 =⇒= xx .

Az ellenőrzést természetesen ennél a második megoldásnál is elvégezzük.

b) Az egyenlet értelmezési tartománya: 0203,04 >−>− xx , azaz x<320 , vagyis

⎢⎣⎡

⎥⎦⎤ ∞+∈ ;

320x .

Alkalmazzuk a logaritmus azonosságait, valamint írjuk át a 2-t 100lg alakba:

( ) 50lg100lg203lg4lg −=−−− xx

( )50

100lg203

4lg =−−

xx

A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt: 2203

4=

−−

xx

20324 −=− xx

Ha 320

>x , akkor az egyenlet mindkét oldalán álló kifejezések pozitívak, ezért a

négyzetre emelés után az előzővel ekvivalens egyenletet kapunk:

( ) ( )20344 2 −=− xx

8;1209620 212 ==⇒=+− xxxx


Mindkét megoldás hozzátartozik az egyenlet értelmezési tartományához, és mindkettő megoldás.

Megjegyzés: Az ( ) ( )20344 2 −=− xx egyenlethez másképp is eljuthatunk, ha az azonossá-gokon kívül csak a logaritmus definícióját alkalmazzuk:

( ) ( ) 50lg24203lg4lg2 ⋅−=−−−⋅ xx ⇒ ( ) 4

203504lg

22

=−⋅−

xx

A definíció szerint ( ) 1000010

203504 4

22

==−⋅−

xx

Így ( ) ( )20344 2 −=− xx

Feladatok

Módszertani megjegyzés: A tanulók 4 fős csoportokban dolgoznak. Kiosztjuk a feladatokat,

differenciálva a tanulók képességei szerint. A csoport mindegyik tagja más-más feladatot kap

a 38. – 41. feladatok közül, melyet önállóan old meg. A csoportok munkáját kísérjük figye-

lemmel, nyújtsunk segítséget az elakadóknak. Az önálló feladatmegoldás után a csoport meg-

ismerkedik minden kitűzött feladattal. Minden tanuló ismerteti saját megoldását a csoporton

belül, ezt közösen megvitatják. Húzzunk egy feladatszámot és egy csoportjelet. A feladat

megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport jelét és feladatszámát kihúzza a tanár. A

többi csoport véleményezi, hogy jó megoldást hallottak-e. Hozzáfűzhetik, ha ők esetleg más-

képpen gondolkodtak, megbeszélhetik, melyik megoldás az egyszerűbb. A végeredmény el-

lenőrzésére minden alkalommal hívjuk fel a figyelmet!


a) 5log40loglog 222 −=x b) 4log12log3log 666 +=x

c) 5lg2lg −=x d) ( ) 3log42log 22 +=+x

e) ( ) 22lg11lg=

−−x

Megoldás:

a) 8=x b) 16=x c) 20=x d) 46=x e) 26=x



a) ( ) ( ) ( )152lg3lg12lg +=+++ xxx b) ( )( ) 2

4lg54lg

=−+

xx

c) ( ) 3log6log 33 =++ xx d) ( ) ( )4log2log4log2 222 −=−− xx

Megoldás:

a) ( )( ) ( ) 4;5,101252152lg312lg 212 −==⇒=−+⇒+=++ xxxxxxx

Mivel a feladat alapján x<−21 , ezért az egyenlet megoldása: 5,1=x .

b) ( ) ( ) 11;1011124lg54lg 2122 ==⇒=+−⇒−=+ xxxxxx

Mivel a feladat alapján 5,4 ≠< xx , ezért az egyenlet megoldása: 11=x .

c) ( ) 9;3027627log6log 212

33 −==⇒=−+⇒=+ xxxxxx

Mivel a feladat alapján x<0 , ezért az egyenlet megoldása: 3=x .

d) ( ) ( ) 6;4024104log

24log 21

22

2

2 ==⇒=+−⇒−=− xxxxxx


40. Oldd meg a következő egyenleteket! a) 12loglog 82 =+ xx b) 6loglog 93 =+ xx

Megoldás:

a) 0>x esetén 36log436loglog3128log

loglog 222

2

22 =⇒=+⇒=+ xxx

xx

51229log 92 ==⇒= xx

b) 0>x esetén 12log312loglog269log

loglog 333

3

33 =⇒=+⇒=+ xxx

xx

8134log 43 ==⇒= xx


a) ( ) ( )2log12log21

33 −=− xx b) ( )

( )3log2

13log

21

21

−=+

xx

c) ( )13log1log2log21

222 −=−+ xx d) ( ) ( ) 50lg100lg9lg2112lg −=−−− xx


Megoldás:

a) ( ) ( ) 0562122log12log 232

1

3 =+−⇒−=−⇒−=− xxxxxx

51 =x megoldás, 12 =x hamis gyök, mert 2>x .

b) ( ) ( ) 0893133log13log 2

212

1

21 =+−⇒−=+⇒−=+ xxxxxx

81 =x megoldás, 12 =x hamis gyök, mert 3>x .

c) ( ) 017128131213log12log 22

21

2 =+−⇒−=−⋅⇒−=−⋅ xxxxxx

191 =x megoldás, 92 =x hamis gyök, hiszen 13>x .

d) ( )( )

01802829

1250

100lg9

12lg 2

21 =+−⇒=

−−

⇒=−

− xxx

x

x

x

181 =x megoldás, 102 =x hamis gyök, hiszen 12>x .

További logaritmikus és exponenciális egyenletek A logaritmikus egyenleteknek sok fajtáját ismerjük, megoldásukhoz általános útmutatást nem

tudunk adni. A megoldás során igyekszünk az egyenleteket úgy átalakítani, hogy minél egy-

szerűbb, az eredetivel ekvivalens egyenleteket kapjunk.

Mintapélda19


a) ( ) 092log102log 32

3 =+− xx b) 2lglg2lg 32 +=+ xxx

Megoldás:

a) Határozzuk meg az egyenlet értelmezési tartományát: ,02 >x azaz x<0 .

Ez x2log3 -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az xy 2log3= új ismeretlent, ek-

kor az egyenlet: 09102 =+− yy , megoldásai: 5;9 21 == yy .

Ha 91 =y , akkor 92log3 =x , innen 2332

99 =⇒= xx .

Ha 12 =y , akkor 12log3 =x , innen 2332 =⇒= xx .

Az egyenlet megoldásai: 23;

23

2

9

1 == xx .


b) Az egyenlet értelmezési tartománya: 0>x .

Alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot:

2lg3lg2lg2 +=+ xxx

Vezessük be az xy lg= új ismeretlent, ekkor egyenletünk: 022 =−− yy , megoldá-

sai: 1;2 21 −== yy .

Ha 21 =y , akkor 2lg =x , innen 100=x .

Ha 12 −=y , akkor 1lg −=x , innen 101

=x .

Az egyenlet megoldásai: 101;100 21 == xx .

Mintapélda20


a) 04531432 =+⋅− xx b) 135 392

=⋅ −− xx c) 0,7291log3 >=− xx x

Megoldás:

a) Ez x3 -ben másodfokú egyenlet. Vezessük be az xy 3= új ismeretlent, ekkor xy 22 3= , ezzel az egyenlet: 045142 =+⋅− yy , megoldásai: 5;9 21 == yy .

Ha 91 =y , akkor 93 =x , innen 2=x .

Ha 52 =y , akkor 53 =x , innen 465,13lg5lg5log3 ≈==x .

Az egyenlet megoldásai 5log;2 321 == xx .

b) Észrevehetjük a ( )( )3392 −+=− xxx nevezetes azonosságot, így a kitevőt szorzattá

alakíthatjuk: ( )( ) 135 333 =⋅ −−+ xxx , majd alkalmazzuk a hatványozás azonosságait:

( )( ) 135 33 =⋅−+ xx .

Egy hatvány két esetben lehet 1:

1. eset: A kitevő nulla, és a hatványalap nem nulla: 303 =⇒=− xx

2. eset: A hatványalap 1: ( )

315135 33 =⇒=⋅ ++ xx

Mivel mindkét oldal pozitív, tehát vehetjük az oldalak 10-es alapú logaritmusát:

31lg5lg 3 =+x


Alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot:

( ) 6826,335lg31lg

31lg5lg3 −≈−=⇒=+ xx

Az egyenlet megoldásai 35lg31lg

;3 21 −== xx .

c) Az egyenlet értelmezési tartománya: R+.

Vegyük mindkét oldal 3-as alapú logaritmusát: 729loglog 31log

33 =−xx

Alkalmazzuk a hatvány logaritmusára vonatkozó azonosságot: ( ) 6log1log 33 =− xx

Rendezzük az egyenletet: 06loglog 32

3 =−− xx

Vezessük be az xy 3log= új ismeretlent, ekkor az egyenlet: 062 =−− yy , melynek

megoldásai 2;3 21 −== yy .

Innen ,273log 13 =⇒= xx vagy 912log 23 =⇒−= xx .

Az egyenlet megoldásai 91;27 21 == xx .

Feladatok


a) 57 =x b) 43 =x c) 154 3 =+x

d) 732 32 =⋅ −x e) 0147572 =−⋅+ xx f) 024272 232 =+⋅− ++ xx

Megoldás:

a) 8271,07lg5lg≈=x

b) 2619,13lg4lg4log3 ≈==x

c) 0466,134lg

15lg315log4 −≈−=−=x

d) 0702,22

33lg5,3lg

27log32 3 ≈

+=⇒=− xx

e) 7;201457 212 −===−⋅+⇒= yyyyy x


A 77 −=x egyenletnek nincs megoldása. 3562,07lg2lg27 ≈=⇒= xx .

f) 5,1;20242882 212 ===+⋅−⇒= yyyyy x

Ha 22 =x , akkor 1=x , ha 5850,02lg5,1lgakkor,5,12 ≈== xx .


a) ( ) ( )32log7log32log 233

323 −+=+ ++ xx

b) ( ) 2lg742lg2lg 2 ⋅=−++ xx

c) 0,10109lg >=− xx x

Megoldás:

a) ( ) ( ) xxxxx y 221227322327log32log 22323

323 =⇒−⋅⋅=+⋅⇒−⋅=+ ++

5,1;2024288 212 ==⇒=+− yyyy

Ha 22 =x , akkor 1=x , ha 5850,02lg5,1lgakkor,5,12 ≈== xx .

b) ( ) 0128216242lg422lg 272 =−⋅−⋅⇒=−⋅+ xxxx . Legyen yx =2

4;80324 212 −==⇒=−− yyyy

Ha 82 =x , akkor 3=x , ha 42 −=x , akkor nincs megoldás.

c) ( ) 10lg9lg10lglg10 109lg109lg =−⇒=⇒= −− xxxx xx , így

010lg9lg 2 =−− xx . Legyen ⇒= yxlg

1;100109 212 −==⇒=−− yyyy

Ha 1011lgha,1010lg 10 =⇒−==⇒= xxxx


V. Exponenciális és logaritmikus folyamatok

A hétköznapi életben számtalan folyamattal találkozhatunk, amelyek exponenciális vagy lo-

garitmikus összefüggésekkel modellezhetők. Ilyen folyamatok például:

• tőke növekedése, termelés növekedése, piaci folyamatok, kamatos kamat;

• élőlények szaporodása;

• radioaktív anyag bomlatlan atomjainak száma az eltelt idő függvényében;

• légnyomás csökkenése a magasság függvényében.

Az exponenciális és a logaritmus függvényekkel kapcsolatban már találkoztunk néhány konk-

rét modellel, most nézzük meg ezeket közelebbről!

4.6 kártyakészlet Módszertani megjegyzés: A tanulók alkossanak csoportokat a következő témák szerint: tőke-

növekedés (21. mintapélda), radioaktív anyagok bomlása (22. mintapélda), népességnöveke-

dés (23. mintapélda), légnyomás változása (24. mintapélda). Ezek a témák megtalálhatók a 4.

kártyakészletben. Minden tanuló húz egy kártyát. Az azonos témák szerint alkotnak csoporto-

kat.

A feldolgozást segítendő, minden témához tartozik egy kidolgozott mintapélda. A csoportok-

nak az a feladatuk, hogy további példákat keresnek képekkel, diagramokkal illusztrálva. Ké-

szítsenek egy rövid bemutatót – konkrét feladatmegoldással is – az adott témából, amit a cso-

port választott képviselője a következő órán ad elő az osztály előtt.

Mintapélda21

Zsuzsi le akarja cserélni tévéjét egy újra, ami 40 000 Ft-ba kerül. Már van 38 000 Ft-ja. Ha ezt

az összeget befektetné évi 6%-os kamatra, akkor mennyi idő múlva vehetné meg a tévét, fel-

téve, hogy annak ára nem változik?


Megoldás:

Zsuzsi pénze x év alatt éri el a 40 000 Ft-ot.

1 év alatt 1,06-szeresére nő.

2 év alatt: 1,06 ⋅ 1,06 –szeresére változik.

x év alatt: 1,06x-szerese lesz.

40 000 = 38 000 ⋅ 1,06x

x12,13800040000

=

1,05 = 1,12x

Mivel mindkét oldal pozitív, vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, és a jobb ol-

dalra alkalmazzuk a logaritmus azonosságát:

lg 1,05 = x lg 1,12. Ebből x = 0,43 .

0,43 év = 12 ⋅ 0,43 =5,16 hónap. Zsuzsi kb. fél év múlva megveheti a tévét.

Mintapélda22

A következő témával már az exponenciális egyenleteknél is találkoztunk. Itt – a logaritmus

ismeretében – további kérdésekre is választ tudunk adni.

A 226-os tömegszámú rádium (Ra) eredetileg N0 számú, t év elteltével N számú bomlatlan

radioktív rádiumatomot tartalmaz, ahol 1600

21

0

t

NN ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= .

a) Mennyi idő alatt bomlik el a rádiumatomok fele? (Mennyi a rádiumatomok felezési ideje?)

b) A rádiumatomok hány százaléka bomlik el évente?

c) Hány év alatt bomlik el a radioaktív atomok 20%-a?

Megoldás:

a) Ha t idő elteltével a radioaktív rádiumatomok fele elbomlik, akkor a fele marad

bomlatlan, vagyis 20N

N = . Ezt visszahelyettesítve a fenti egyenletbe, N0-lal egysze-

rűsíthetünk. Kapjuk: 1600

21

21

t

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= .

Mivel az exponenciális függvény szigorúan monoton, ezért a hatványkitevők is meg-

egyeznek, azaz 1600

1 t= , ebből t = 1600 év.


b) A képletből közvetlenül az számítható ki, hogy a radioaktív rádiumatomok hány száza-

léka nem bomlik el egy év alatt!

16001

21

01 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅= NN . Ebből az

0

1NN hányados értéke adja meg a keresett arányt.

16001

21

0

1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

NN = 0,99957 ⇒ 99,957 %

Tehát egy év alatt az atomok 0,043 %-a bomlik el.

c) t év alatt bomlik el a radioaktív atomok 20%-a, azaz t év múlva az atomok 80 %-a ma-

rad bomlatlan. Ez éppen azt jelenti, hogy 8,0218,0

1600

0=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⇒=

t

NNt

Mivel a keresett érték a hatványkitevőben van, valamint mindkét oldal pozitív, vegyük

mindkét oldalnak a 10-es alapú logaritmusát, és a bal oldalra alkalmazzuk a logaritmus

azonosságát. Ekkor kapjuk:

8,0lg21lg

1600=⋅

t . Ebből t ≈ 515 év.

Mintapélda23

A 1850 -ben a Föld népessége kb. 675 millió fő volt. Megállapították, hogy évente átlagosan

0,3% a növekedés. Ennek alapján hány ember élt a Földön 100 évvel később, és mennyire

becsülnéd változatlan növekedési ütem mellett a létszámot a 2100-ra?

Megoldás:

Az első év végére az 675 000 000 fős népesség 675 000 000 ⋅ 1,003-szorosára nőtt.

A második év végére a népesség 675 000 000 ⋅ 1,0032 fő lett.

A 3. év végére 675 000 000 ⋅ 1,0033 , stb.

100 év múlva pedig: 675 000 000 ⋅ 1,003100 ≈ 910 000 000 fő lett. Ettől az időtől szá-

mítva 2100-ig 250 év telik el. Ekkorra a népesség száma az adott növekedési ütem mel-

lett 675 000 000 ⋅ 1,003250 ≈ 1 430 000 000 főre becsülhető. Megjegyzés: Kiderült, hogy a statisztikusok igen rosszul állapították meg a növekedési ütemet,

hiszen a világ népessége már 1980-ban kb. 4,4 milliárd fő volt!


Mintapélda24

A kilométerben megadott h magasságban uralkodó p nyomás a hepp 1275,00

−⋅= képlettel

számítható ki, ahol p0 a Földön lévő légnyomás, és e ≈ 2,718, ez a természetes alapú logarit-

mus alapszáma.

a) Mekkora magasságba kell emelkedni a Földtől, hogy a légnyomás a tengerszinten mért

légnyomás felére csökkenjen?

b) Mekkora magasságba kell emelkedni a Földtől, hogy a légnyomás a tengerszinten mért

légnyomáshoz képest 10%-kal csökkenjen?

Megoldás:

a) Tudjuk, hogy a keresett magasságban a légnyomás a felére csökken, azaz 2

0pp = .

Ezt behelyettesítve a megadott egyenletbe kapjuk: hpp 1275,00

0 718,22

−⋅=

Egyszerűsítés után: h1275,0718,221 −=

Mivel mindkét oldal pozitív, vehetjük az egyenlet 10-es alapú logaritmusát és alkal-

mazzuk a logaritmus azonosságait:

lg 0,5 = –0,1275 h ⋅ lg 2,718; ebből h = 5,4.

A nyomás kb. 5,4 km magasságban fele a tengerszinten mért nyomásnak.

b) Ha a keresett magasságban a p nyomás a tengerszinten mért nyomásnál 10%-kal keve-

sebb, akkor p = 0,9 p0

Behelyettesítve a megadott egyenletbe kapjuk: 0,9 p0 = p0 ⋅ he 1275,0−

Egyszerűsítés és a logaritmus definíciójának alkalmazása után kapjuk:

lg 0,9 = –0,1275h ⋅ lg 2,718; ebből h = 0,83 .

A nyomás kb. 830 m magasságban 90%-a a tengerszinten mért nyomásnak.

Feladatok

44. Egy szakszervezet azt követeli, hogy a bérek évi 8% -kal növekedjenek.

a) Ha ezt elérik, akkor mennyire nő meg 3 év alatt a mai 74 000 Ft-os fizetés?

b) Ilyen növekedés mellett mikorra lenne a dolgozók fizetése legalább másfélszerese

a mainak?


Megoldás:

a) 3 év múlva a bér 74 000 ⋅ 1,083 ≈ 93 219 Ft.

b) t idő elteltével a dolgozók fizetése 74 000 ⋅ 1,5 = 111 000 Ft lesz

74 000 ⋅ 1,08t = 111 000 ⇒ 3,508,1lg

lg 74000111000

≈=t

5 év múlva még nem, de 6 év múlva már meghaladja a dolgozók fizetése a mostani

másfélszeresét.

45. A Föld népessége évente 0,75%-kal növekszik, 2006-ban 6,5 milliárd ember élt a

Földön. Változatlan szaporodási ütem mellett melyik évben érné el az össznépesség

száma a 9 milliárdot?

Megoldás:

A népesség t év múlva éri el a 9 milliárdot: 6,5 ⋅ 1,0075 t = 9

Ebből: 55,430075,1lg

lg 5,69

≈=t . A népesség a 44. évben, 2050-ben éri el a 9 milliárd főt

ilyen szaporodási ütem mellett.

46. Mennyi a felezési ideje annak a radioaktív izotópnak, amelynek az aktivitása kezdet-

ben 13106 −⋅ Bq, de 2 hét múlva már csak 131078,4 −⋅ Bq? A radioaktív anyagok bom-

lását a Tt

CC −⋅= 20 egyenlet írja le, ahol C a pillanatnyi aktivitás, C0 a kezdeti aktivi-

tás, t az eltelt idő, T pedig az anyag felezési ideje; Bq, azaz becquerel, az aktivitás

mértékegysége.

Megoldás:

A feladat szövege szerint C = 131078,4 −⋅ Bq; C0 = 13106 −⋅ Bq; t = 2 hét és T = ? (hét).

Ezeket behelyettesítve a fenti képletbe 131078,4 −⋅ = T2

2106 13 −− ⋅⋅ .

Rendezzük át, és vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát ( a számológéppel tör-

ténő számolás miatt): T2

2lg678,4lg −

=

Alkalmazva a logaritmus azonosságát T-re rendezünk: 1,6lg

2lg2

678,4 =

−=T .

A radioaktív anyag felezési ideje kb. 6 hét.


47. A gázok adiabatikus (hőcsere nélküli) állapotváltozását a állandóTp

=κ

−κ 1

egyenlet írja

le, ahol p a gáz nyomása, T a hőmérséklete, κ (kappa) pedig egy, a gáz fajtájára jel-

lemző arányszám. Mekkora ez az arányszám az oxigén esetén, ha a nyomást 100-

szorosára, a hőmérsékletet 4-szeresére növeljük?

Megoldás:

Bárhogy változtatjuk a nyomást és a hőmérsékletet, ugyanazt az állandót kapjuk, mint a

kiindulási állapotban. Ezért κ

−κ

κ

−κ

=)4()100( 11

Tp

Tp .

A hatványozás azonosságának alkalmazás után egyszerűsíthetünk:

11

10044

1001 −κκκ

−κ

=⇒=

Vegyük mindkét oldal 10-es alapú logaritmusát, majd az egyenletet rendezzünk κ-ra:

2)1(4lg ⋅−κ=κ

43,124lg

2≈

−−

=κ . Ez a keresett arányszám.


Vegyes feladatok


a) 91log

31 b) 125log

51 c) 3

2 16log

Megoldás: a) 2; b) 23

− ; c) 34 .


a) 1log7 =a b) 0log21 =b c) 2log

32 =u d) 3log

52 −=

−z

Megoldás: a) a = 7; b) b = 1; c) u = 94 ; d) nincs értelmezve.


a) 514log 5 =a b) 1

57log −=b c) 2)5(log =−c d) 4100log −=d

Megoldás: a) a = 4; b) b = 75 ; c) nincs értelmezve;

d) 1004 =−d ⇒ d = 101100 4

1

=−

.


a) 9log33 b) 1log77 c) ( ) ( )12log 44 −− d) 0log33

e) 31log7

491⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ f)

3log191

3−

g) 3log 222 h) 27log1

91

271 +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Megoldás:

a) 9; b) 1; c) nincs értelmezve; d) nincs értelmezve;

e) 97 31log2 7=

−; f)

( )2793

913

3log291

=⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛−−

g) ( ) 33log32

922 22 = ;

h) 3327271

91

271 2

327log23

91

=⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅ .



a) xxa −= 2log)( b) )43(log)( 1,0 xxb += c) c(x) = )2(log4 x−

d) d(x) = x7,1log e) e(x) = x−4lg f) f (x) = x−5lg

Megoldás: a) x < 0; b) x > 43

− ; c) x < 2; d) x ≠ 0; e) x ≠ 4; f) x < 5.


a) ( ) ( )xxa −= 6log 3,0 b) ( ) ( )9log 22,1 −= xxb c) ( ) ( )158log 2

53 −+−= xxxc

d) ( ) ( )xxd −= 5lglg e) ( ) xxe 28log31 −= f) ( ) ( )5log12 −= xxf

Megoldás:

a) –6 < x < 6; b) x < –3 vagy x > 3; c) 3 < x < 5;

d) x < 5, de 15 ≠− x miatt 4≠x ; e) x < 3; f) x > 5 .

54. Készítsd el a következő függvények grafikonját, majd jellemezd a függvényeket!

a) xxa 3log)( = ; x ∈ ]0; 3] b) xxb31log)( = ; x ∈ Z

c) xxc lg)( −= ; x ∈ [1; 10[ d) )(lg)(101 xxd −= ; x ∈ ] –1; 0 [


55. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! Az a) feladatnál megadtuk az ér-

telmezési tartományt, a többi függvény esetében először azt határozd meg!

a) ||lg)( xxa = ; x ∈ [–10; 10] \ {0} b) |1|lg)( += xxb

c) )12(log)( 2 += xxc




a) ( )[ ]{ }3113log27loglog 5364 =++⋅ x b) [ ]

41log33loglog 4381 =+ x

Megoldás: a) 22=x ; b) 162=x .


a) 2lg12lg +=x b) ( ) 20lg31lg −=−x

Megoldás: a) 10=x b) 51=x .


a) ( ) ( )3lg2

212lg+=

+ xx b) ( ) 23loglog 22 =++ xx

c) ( ) ( )72log4log2log2 333 −=−− xx

Megoldás:

a) ( ) ( ) 6;201243lg212lg 2122 −==⇒=−+⇒+=+ xxxxxx

Mivel a feladat alapján x<− 3 , ezért az egyenlet megoldása: 2=x .

b) ( ) 4;10434log3log 212

22 −==⇒=−+⇒=+ xxxxxx


c) ( ) ( ) 8;40321272log42log 21

23

2

3 ==⇒=+−⇒−=− xxxxxx

Mivel a feladat alapján x<5,3 , ezért az egyenlet megoldásai: 8;4 21 == xx .


a) ( ) ( )9lg2lg5lg21

−=+− xx b) ( ) 6log8log8log21

555 =−++ xx

Megoldás:

a) ( ) ( ) ⇒+−⇒−=⋅−⇒−=⋅− 91209259lg25lg 221

xxxxxx

131 =x megoldás, 72 =x hamis gyök

b) ( ) 1006886log88log 252

1

5 =⇒=−⋅+⇒=−⋅+ xxxxx

101 =x megoldás, 102 −=x hamis gyök



a) 25 =x b) 925 53 =⋅ +x c) 143 4162

=⋅ +− xx

Megoldás:

a) 4307,05lg2lg≈=x

b) 3840,13

52lg8,1lg

59log53 2 −≈

−=⇒=+ xx

c) ( )( ) ( )( ) 143143 44444 =⋅⇒=⋅+−+−+ xxxxx

Ha a kitevő nulla, és a hatvány alap nem nulla: 404 1 −=⇒=+ xx

Ha a hatványalap 1: ( )

41lg3lg

413143 444 =⇒=⇒=⋅ −−− xxx

( ) 7381,243lg41lg

41lg3lg4 2 ≈+=⇒=− xx


a) xx

−=+ 22

33log3 b) ( ) ( )143log596log 233 −+=+⋅ +xx x

c) 0,167log 22 >=+ xx x

Megoldás:

a) xxxx

xx

x

y 301833339

2333log

233log 22

33 =⇒=−⋅+⇒=+

⇒=+ −

6;30183 212 −==⇒=−+ yyyy

Ha 33 =x akkor, 1=x , ha 63 −=x , akkor nincs megoldás.

b) ( ) ( )14333log536log3log 23

233 −⋅=+⋅⇒= xxxxx

xxx 31439536 22 ⋅−⋅=+⋅ .

Legyen ⇒=−−⇒= 051433 2 yyy x 31;5 21 −== yy

Ha 53 =x akkor, 4650,13lg5lg≈=x , ha

313 −=x , akkor nincs megoldás.

c) ( ) 4log7log216loglog16 2227log

27log 2

22

2 =+⇒=⇒= ++ xxxx xx


04log7log2 22

2 =−+ xx

Legyen ⇒= yx2log 4;210472 21

2 −==⇒=−+ yyyy

Ha 21log 2 =x , akkor 2=x , ha 4log2 −=x , akkor

161

=x .


Kislexikon

Logaritmus: A b pozitív szám a alapú (a > 0 és a ≠ 1) logaritmusának nevezzük azt a kite-

vőt, amelyre a – t emelve b – t kapunk. Jelölés: logab (kiolvasva: a alapú logaritmus b). Ma-

tematikai jelölésekkel a logaritmus definíciója: a loga b = b , ahol b > 0; a > 0 és a ≠ 1

Logaritmusfüggvénynek nevezzük az ( ) 0;1;0;log >≠>= xaaxxf a hozzárendelési utasí-

tással megadott függvényt.

A logaritmus azonosságai: xyyx aaa logloglog =+

yxyx aaa logloglog =−

kaa xxk loglog =

Áttérés más alapú logaritmusra: ax

xy

ya log

loglog =

matematika „a” 11. évfolyam a logaritmus 4....

Documents