matematika „a” 10. évfolyam -...

MATEMATIKA „A” 10. évfolyam

5. modul

Függvények

Készítette: Csákvári Ágnes

Matematika „A” 10. évfolyam – 5. modul: Függvények Tanári útmutató 2

A modul célja A lineáris, a lineáris tört-, a másodfokú függvény, és a négyzetgyökfüggvény tulajdonságainak isme-

rete. Olvasása grafikonról, szöveges feladatokban a függvény tulajdonságainak alkalmazása. Képlettel megadott egyszerű függvények ábrázolása értéktáblázattal és transzformációval. A függvény mint modell alkalmazása egyszerű problémákban, a hétköznapi életben. Másodfokú egyenlőtlenségek megoldása. Lineáris és másodfokú egyenletrendszerek és egyenlőtlenség-rendszerek megoldása grafi-kusan.

Időkeret 10 óra

Ajánlott korosztály 10. évfolyam

Modulkapcsolódási pontok Tágabb környezetben: Hétköznapi szituációk, fizikai, kémiai folyamatok. Szűkebb környezetben: Egyenletek, egyenletrendszerek megoldása. Algebrai átalakítások, hatványozás, négyzetgyökvonás. Grafikonok, intervallumok, nevezetes ponthalmazok. Geometriai transzformációk. Arányosság. Soro-zatok. Ajánlott megelőző tevékenységek: Egyenes és fordított arányosság, lineáris függvény, abszolútérték függvény és a másodfokú függvény tulajdonságai, grafikonjaik ábrázolása. Nevezetes azonosságok, hatványozás, négyzetgyökvonás azo-nosságai. Teljes négyzetté alakítás. Másodfokú egyenlet megoldó képlete. Geometriai transzformáci-ók, vektorok. Első- és másodfokú egyenletek és egyenletrendszerek megoldása. Törtet tartalmazó egyenletek. Ajánlott követő tevékenységek: 10. évfolyamon: Másodfokúra visszavezethető problémák megoldása. Négyzetgyökös egyenletek. Számtani és mértani közép, szélsőérték feladatok. Szögfüggvények. Később: analízis elemei, soroza-tok (számtani, mértani), exponenciális és logaritmus függvények és egyenletek. Koordináta-geometria. Nevezetes ponthalmazok (ellipszis, hiperbola, parabola).


A képességfejlesztés fókuszai Számolás, számlálás, számítás: A függvényértékek közötti reláció meghatározása. A függvények tulajdonságainak meghatározása. A grafikus megjelenítés a függvényértékek közötti reláció meghatározását képi formában is megerősí-ti. A függvények zérushelyének kiszámítása. Mennyiségi következtetés: A valóság egyes folyamatairól szóló szöveges feladatok arányossággal is kikövetkeztethetőek. A fizikában és a matematikában előforduló négyzetes összefüggések szemléltetése értéktáblázattal, illetve grafikonon. A folytonos, a szakaszos és a diszkrét változások elemzése. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: A valóság folyamatait leíró grafikonok, és a matematikai függvények grafikonjainak különbözősége, hasonlósága szöveges feladatok alapján. Másodfokú függvény jellemzése a zérushelyek és a főegyüttható ismeretében. Irracionális koordiná-tákkal megadott pontok közelítő helyének meghatározása a koordináta-rendszerben. Szöveges feladatok, metakogníció: A valóságból vett szöveges feladatok algebrai megfogalmazása, az így leírt kétváltozós összefüggések ábrázolása a koordináta-rendszerben, értéktáblázatban. Az elméleti anyag feldolgozása, a szöveg megértésének ellenőrzése. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A valóság folyamatait leíró grafikonok összehasonlítása, ará-nyosság és függvény kapcsolata, a geometriai transzformációk alkalmazása függvénytranszformációkban, egyenlőtlenségek megoldáshalmazának megállapítása. Induktív, deduktív következtetés: Konkrét számokkal, illetve összefüggésekkel megadott függvényekről átlépés az általános képlettel megadottakra, illetve az általánosítás után azok konkrét alkalmazása

Támogató rendszer Kártyakészletek, fóliák, ablakok, szakértői mozaik anyagai, képek, grafikonok.


A tananyag javasolt órabeosztása Óraszám Óracím

1. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása, ábrázolása; pont és egyenes illeszkedése. 2. Lineáris egyenletekkel, illetve egyenletrendszerekkel grafikus úton megoldható szöveges feladatok; lineáris egyenlőtlenségek grafikus

megoldása. 3. Fordított arányosság mint függvény; Lineáris törtfüggvény. 4. Másodfokú függvény (ismétlés). 5–6. Másodfokú függvény grafikonjának ábrázolása teljes négyzetet tartalmazó kifejezés alkalmazásával. 7–8. Másodfokú egyenlőtlenségek, egyenlőtlenség-rendszerek megoldása. 9–10. Négyzetgyökfüggvény.


Érettségi követelmények: A függvény Középszint A függvény matematikai fogalma. Ismerje a függvénytani alapfogalmakat. Tudjon szövegesen megfogalmazott függvényt képlettel megadni, helyettesítési értéket számítani. Ismerje az egy-egyértelmű megfeleltetés fogalmát. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál. Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése. Emelt szint Tudja az alapvető függvénytani fogalmak pontos definícióját. Ismerje és alkalmazza a függvények megszorításának (leszűkítésének) és kiterjesztésének fogalmát. Egyváltozós valós függvények Középszint Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az alábbi hozzárendeléssel megadott (alapvető) függvényeket: f(x)=ax+b; f(x)=x2 ; f(x)=ax2+bx+c; f(x)= x ; f(x)= x Emelt szint Tudjon a középszinten felsorolt függvényekből összetett függvényeket képezn

Függvények grafikonja, függvénytranszformációk Középszint Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvényeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f(x) + c; f(x+c); c·f(x); f(cx)]. Emelt szint Tudja ábrázolni az alapvető függvények transzformáltjainak grafikonját (c·f(ax+b)+d).

Függvények jellemzése Középszint Egyszerű függvények jellemzése (grafikon alapján) értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás szempontjából. Emelt szint Függvények jellemzése korlátosság szempontjából. A függvények tulajdonságait az alapfüggvények ismeretében transzformációk segítségével határozza meg. Használja a konvexitás és konkávitás fogalmát a függvények jellemzésére. Egyszerűbb, másodfokú függvényre vezető szélsőér-ték-feladatok megoldása.


MODULVÁZLAT

Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek

Eszköz/

Feladat/

Gyűjtemény

I. Lineáris függvények (2 óra)

1. Korábbi ismeretek felelevenítése

Rendszerezés, deduktív, induktív gondolkodás

1., 2. fólia

2. Függvény transzformációk gyakorlása Számlálás, mérés, valószínűségi szemlélet 1–4. feladat; 1., 2. kártya-készlet 1., 2. ablak

3. Szöveges feladatok megoldása

Mennyiségi következtetés, kombinatív gondolkodás, szövegértés, valószínűségi szemlélet

5.,8.,9. feladat; 3. kártyakész-let

4. Hozzárendelési utasítás meghatározása

Kombinatív gondolkodás, szövegértés, deduktív gon-dolkodás, számolás

6–7. feladat

5. Egyenlőtlenségek megoldása

Mennyiségi következtetés, kombinatív gondolkodás 10. feladat


II. Lineáris törtfüggvények (1 óra) 1. Fordított arányosság, mint függvény

Szövegértés, induktív gondolkodás, mennyiségi következtetés, számlálás

4–7. mintapél-da 10–22. feladat

2. Lineáris törtfüggvény ábrázolása

Rendszerezés, induktív következtetés, mennyiségi következtetés, számlálás, kombinatív gondolkodás

8–9. mintapél-da, 23. feladat 3. fólia

III. Másodfokú függvények (5 óra) 1. Korábbi ismeretek felelevenítése

Szövegértés, rendszerezés, deduktív gondolkodás, kombinatív gondolkodás, számlálás

1. szakértői mozaik; 24. feladat

2. Függvény grafikonjának ábrázolása

Valószínűségi szemlélet, kombinatív gondolkodás, szövegértés, számolás, mennyiségi következtetés, induktív, deduktív gondolkodás

25–30. feladat

3. Függvény ábrázolása teljes négyzetté alakítással

Számlálás, számolás, kombinatív gondolkodás, való-színűségi szemlélet, rendszerezés

5. kártyakész-let, 3. ablak, 31–33. feladatok

4. Szöveges feladatok

Szövegértés, mennyiségi következtetés, számolás 34–38. feladat

5. Másodfokú egyenlőtlenségek

Becslés, kombinatív gondolkodás, számlálás, valószí-nűségi szemlélet

4. ablak, 6. kártyakészlet; 12– 14. minta-példa, 39–68. feladat


6. Másodfokú egyenlőtlenség-rendszerek megoldása Számolás, valószínűségi szemlélet, kombinatív gon-dolkodás, mennyiségi következtetés

17–18. minta-példa, 69–74. feladat 7. kártyakész-let

IV. Négyzetgyökfüggvény (2 óra) 1. Helyettesítési érték számítása Becslés, számolás, mennyiségi következtetés 73–77. feladat;

21. mintapél-da; 5. ablak; 9. kártyakész-let

2. Értelmezési tartomány vizsgálata Számolás, kombinatív gondolkodás 22–24. minta-példa; 78. feladat

3. Négyzetgyökfüggvény ábrázolása transzformációkkal és a függ-vény jellemzése

Szövegértés, kombinatív gondolkodás, induktív, deduktív következtetés

19., 25–28. mintapélda; 79–84. feladat; 2. szakértői mozaik; 4. fólia

5. modul: FÜGGVÉNYEK 9

I. Lineáris függvények

Módszertani megjegyzés: A tanulók csoportosuljanak aszerint, hogy a koordináta-tengelyek

hány részre osztják a síkot! (4 fős csoportokat alkotnak. Így heterogén csoportok keletkeznek.)

5.1 fólia alkalmazása

A tanár fólián kivetíti a következő rövid összefoglalókat. Először a két konkrét példát

tárgyalják meg, majd az általános leírást. Ha megoldható, az óra folyamán - a csoportmunkát

segítendő- a két konkrét példa maradjon kivetítve.

Átismétlik a következő alapfogalmakat először a konkrét példák kapcsán, majd általánosságban

is.

1. Lineáris függvény

2. Lineáris függvény hozzárendelési utasítása

3. Meredekség – hogyan befolyásolja a lineáris függvény grafikonját

4. y tengellyel való metszéspont – hol jelenik meg a hozzárendelési utasításban és

ábrázoláskor

5. Monotonitás

Mintapélda1 Ábrázoljuk és jellemezzük az 52)( −= xxf hozzárendeléssel megadott függvényt! Megoldás:

Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a −5 pontban metszi. 2. Ebből a pontból kiindulva a +2 meredekség miatt egy

egységnyi jobbra haladás esetén 2 egységet lépünk felfelé az y tengely mentén.

3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját.

Jellemzése: 1. É.T.: R. 2. É.K.: R. 3. Zérushely: x = 2,5. 4. Szigorúan monoton növekvő (mivel a meredeksége pozitív előjelű).

Mintapélda2

Ábrázoljuk és jellemezzük a 343)( +−= xxg hozzárendeléssel megadott függvényt!

Megoldás:

10 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANÁRI ÚTMUTATÓ

Ábrázolása: 1. Az y tengelyt a +3 pontban metszi.

2. Ebből a pontból kiindulva a 43

− meredekség miatt

4 egységnyi jobbra haladás esetén 3 egységet lépünk lefelé az y tengely mentén.

3. A kapott két pontot összekötve, és meghosszabbítva a szakaszt, megkapjuk a lineáris függvény grafikonját.

Jellemzése: 1. É.T.: R. 2. É.K.: R. 3. Zérushely: x = 4. 4. Szigorúan monoton csökkenő (mivel a meredeksége negatív előjelű).

5.2 fólia

f(x) = mx + b

Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az f(x) = m x + b képlettel adjuk meg, ahol m a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspontja. Ha m = 0, akkor az f(x) = b hozzárendelést kapjuk, melyet konstans függvénynek nevezünk.

f(x) = b

Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes. Ha m ≠ 0, akkor ez a lineáris függvény elsőfokú.


Ha m > 0, akkor a függvény szigorúan Ha m < 0, akkor a függvény szigorúan monoton növő, vagyis növekvő monoton csökkenő, vagyis x értékekhez növekvő függvényértékek növekvő x értékekhez csökkenő tartoznak. függvényértékek tartoznak. Minden f(x) = m·x függvényről elmondhatjuk, hogy ez egyenes arányosság, ahol az arányosság tényezője m. Ábrázoláskor pedig m azt mutatja meg, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív m esetén felfelé, negatív m esetén lefelé.

Feladatok

1. Osztályozd a következő függvényeket az alábbi szempontok alapján!

Függvények:

xxa21)( −= ; 3)( =xb ; 10)( −=xc ; 52)( +−= xxe ;

221)( += xxg ; xxd 3)( = ; 7

34)( −−= xxf ; 55)( −= xxh .

5.3 kártyakészlet és 5.4 ablak alkalmazása Tanórai megoldás menete: A tanár a szétosztja a hozzárendelési utasításokat tartalmazó 5.3 kártyakészletet, és minden asztalon elhelyezi az 5.4 ablakot. Minden tanuló elvesz 2 db kártyát, és beírja a függvény megnevezését az ablak megfelelő rubriká(i)ba. Ha minden csoport kész, megbeszélik a megoldást rubrikánként haladva. A tanulók indokolják is döntésüket.

Szempontok: – átmegy az origón, – elsőfokú függvények, – konstans függvények, – szigorúan monoton csökkenő, – szigorúan monoton növekvő.

Megoldás:

– átmegy az origón: a; d;

– elsőfokú függvények: a; d; e; f; g; h;


– konstans függvények: b; c;

– szigorúan monoton csökkenő: a; e; f;

– szigorúan monoton növekvő: d; g; h.

5.5 kártyakészlet és 5.6 ablak alkalmazása 2. Válaszd ki azokat az egyeneseket, amelyek áthaladnak a megadott pontokon!

Pontok: P(3;2); Q(−4;6); R(−2;–1); S(5; −4). Egyenesek:

421)( +−= xxa ; 8

27)( −−= xxb ; 113)( +−= xxc ; 2

52)( −−= xxd ;

32)( += xxf ; 2)( =xg ; 753)( −= xxh ; 2)( += xxe .

Illeszkedés:

– illeszkedik a P(3;2) pontra, – illeszkedik a Q(−4;6) pontra, – illeszkedik a R(−2; −1) pontra, – illeszkedik a S(5; −4) pontra, – nem illeszkedik egyik pontra sem.

Megoldás:

– illeszkedik a P(3;2) pontra: c; g; – illeszkedik a Q(−4;6) pontra: a; b; – illeszkedik a R(−2; −1) pontra: b; f; – illeszkedik a S(5; −4) pontra: c; d; h; – nem illeszkedik egyik pontra sem: e.


Módszertani megjegyzés: A 3. feladatot házi feladatnak javasoljuk.

3. Párosítsd össze a hozzárendelési utasításokat a grafikonokkal:

( ) 125

+= xxf ; ( ) 221

−−= xxg ; ( ) 12 −= xxh ; ( ) 332

+−= xxi .

a) b)

c) d)

Megoldás: f(x) – c; g(x) – b; h(x) – d; i(x) – a 4. Ábrázold és jellemezd az alábbi függvényeket! (Alapértelmezésben a valós számok halmaza

az értelmezési tartomány. Az ettől való eltéréseket jelöljük.)

A függvények jelölése lehet: a; b; ….; f; g; h; ….. ; de alkalmazhatjuk az f1; f2; …. jelölést is.

a) 373)(1 +−= xxf ; ( )32)(5 −−= xxf ;

xxf 25)(2 +−= ; 2)2(3)(6 +−⋅= xxf ; 5,14)(3 −−= xxf ; 52)(7 +−= xxf , ∈x Z;

645)(4 += xxf ; 1

32)(8 −−= xxf , 96 <≤− x .


Megoldási útmutató: A kijelölt műveletek elvégzése után mx+b alakra hozva elemi

transzformációkkal ábrázolhatók a függvények grafikonjai. Ahol az É.T. az egész számok

halmaza, ott a grafikon pontokból áll. Az f8 függvény képe egy balról zárt, jobbról nyitott

szakasz.

Az algebrai átalakítások után ábrázolandó függvények: 32)(5 +−= xxf ; 43)(6 −= xxf .

b) 3

912)(1−

=xxf ; xxf

321)(5 −= , ∈x Z, 68 ≤<− x ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅= xxf

348

21)(2 ; ( )

31236)(6

−⋅+=

xxf 4<x ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅= xxf

323)(3 , ∈x Z+; 13)(7 +−= xxf , [ [5;2−∈x ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅+= xxxf

2325)(4 , x≤− 2 ; ( ) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+−= xxf

34

62

2348 , ] ]12;3∈x .

Megoldási útmutató: Ábrázoláskor a kijelölt műveletek elvégzése után mx+b alakra hozva

elemi transzformációkkal készíthetőek el a függvények grafikonjai. Az értelmezési

tartomány szűkítésekor a kapott grafikon nyílt vagy zárt félegyenes lesz, illetve nyílt vagy

zárt vagy félig zárt szakasz. Ahol az É.T. az egész számok halmaza, ott a grafikon

pontokból áll. Karikával jelöljük, ha a végpont nem eleme a grafikonnak és besatírozott

körrel, ha eleme. De jelölhetjük szögletes zárójellel is. Ilyenkor a zárójel a grafikon felé

fordul, ha a végpont eleme a grafikonnak, és a grafikonnak „hátat” fordít, ha nem eleme.

Az algebrai átalakítások után ábrázolandó függvények, figyelembe véve az értelmezési

tartományra tett kikötéseket: 34)(1 −= xxf ; 432)(2 +−= xxf ; 23)(3 −= xxf ;

33)(4 += xxf ; 132)(5 +−= xxf ; 12)(6 += xxf ; 5,32)(8 −= xxf .

Módszertani megjegyzés: Jellemzéskor megjelenhet a szélsőérték fogalma. (Matematika

iránt érdeklődő, jobb képességű csoportban érdemes rá kitérni, ha belefér a tanítási órába.)

Középszinten elegendő, ha megjegyzik, hogy ott van szélsőértéke a grafikonnak, ahol a

szélsőérték helye eleme az értelmezési tartománynak. Emelt szintre készülőknél

szemléltethető a határérték, a korlát és a szélsőérték fogalmai közötti különbség.

Például az f7 függvény grafikonja egy balról zárt, jobbról nyitott szakasz. Maximum-

helye ( )2−=x és maximumértéke ( )( )72 =−f van. De minimumhelye és minimum-


értéke nincsen, mivel az 5=x nem eleme az értelmezési tartománynak. Ez azt is jelenti,

hogy tetszőlegesen megközelíti a P(5; −14) pontot, de sohasem éri el.

c) 52)(1 +−= xxf x∈Q; 416)(

2

5 +−

=x

xxf ;

132)(2 −−= xxf 96 <≤− x x∈Q*

3273)(

2

6 −−

=x

xxf ;

( )33)(3 +

+=

xxxxf ;

⎩⎨⎧

>−≤−

=1,21,32

)(7 xxxx

xf ;

22)(

2

4 −−

=x

xxxf ; ⎪⎩

⎪⎨⎧

<−−

−≤+=x

xxxf3,1

3,132

)(8 .

Megoldási útmutató: Az emelt szintű feladatsor 3 nagyobb egységből áll.

Az f1 és f2 függvények értelmezési tartománya a racionális, illetve irracionális számok

halmaza, illetve azok egy valódi részhalmaza. A grafikon pontjai nagyon sűrűn

helyezkednek el, mivel a racionális/irracionális számok is sűrűn helyezkednek el a

számegyenesen. (sűrű: tetszőleges két (ir)racionális szám között találhatók további

(ir)racionális számok. Például két ilyen szám számtani/mértani közepeként előállítható

egy megfelelő köztes szám.) Elvileg a grafikon elkülönült pontokból áll, de ezek annyira

közel helyezkednek el egymáshoz, hogy a grafikont egyenes vonallal tudjuk ábrázolni.

Az f3 – f6 függvények grafikonja szorzattá alakítás, majd egyszerűsítés után ábrázolható.

Itt felhívhatjuk a tanulók figyelmét az értelmezési tartomány meghatározására.

Nevezetesen, ahol a nevező 0, azon a helyen a függvény nem értelmezhető, így a

grafikonnak ezen a helyen szakadási pontja van.

Az algebrai átalakítások után ábrázolandó függvények: ,)(3 xxf = 3−≠x ; ,)(4 xxf =

2≠x ; ,4)(5 −= xxf 4−≠x ; ,93)(6 += xxf 3≠x .

Az f7 és f8 függvények grafikonja két félegyenesből tevődik össze.

Az értelmezési tartomány vizsgálata, figyelembe vétele később, ebben a tanévben a

négyzetgyök- és a tangensfüggvény esetén, következő tanévben a logaritmusfüggvénynél még

fontos szerepet kap.

Az 5.7 kártyakészlet alkalmazása (Heti 4 vagy 5 órában történő matematika oktatás esetén ajánlott)


Az első 4 feladat összegzése is lehet a kártyajáték. A feladat az összeillő 4 kártya

összegyűjtése. Egy megfelelő négyes tartalmaz egy hozzárendelési utasítást, egy grafikont, egy

jellemzést és egy lehetséges folyamat leírását.

A tanár minden asztalra kitesz egy összekevert (16 darabos) paklit írással lefelé. A játék

kezdetén a csoporton belül valaki kiosztja a kártyákat: mindenkinek 4-et ad. Körbe-körbe

haladva mindenki letesz az asztal közepére egy számára felesleges lapot. Ha valakinek kell az a

lap, felveheti középről, de le kell tennie egy másikat. Az a győztes, akinél a leghamarabb

összegyűlik a 4 megfelelő kártya, de a többiek folytatják a játékot mindaddig, amíg mind a 4

kártyanégyes összegyűlik. Javasolt több menetet is lejátszani, hogy a tanulók több függvényen

is elgondolkodjanak. A győzelemért 3 pont jár, a 2. helyért 2 pont, a 3.-ért 1 pont, a 4. helyért

pedig 0.

Módszertani megjegyzés: A következő feladat a), b), c) és d) részeiben szigorúan növekvő

függvények szerepelnek. Az első kettőnél a grafikon különálló pontokból áll, a második

kettőnél folytonos. A 6. feladatban szigorúan csökkenő függvények szerepelnek, az 5.

feladathoz hasonló elosztásban.


a) A piacon 7 Ft akciós egységáron árulják a tojás darabját. Mennyit kell fizetni 1, 2, 3 stb.

tojásért? Ábrázold grafikonon az eredményeket!

Megoldás:

A természetes számok halmazán értelmezett

( ) xxf 7= függvényt ábrázoljuk, amely

különálló pontokból áll, hiszen csak egész tojást

lehet vásárolni. Az x tengely pozitív felén a

tojások darabszáma, az y tengely pozitív felén az

ár ábrázolandó.

b) Egy diákmunka szövetkezetben adatbeviteli munkáért 5 karakterért 1 Ft-ot fizetnek.

Hány forintot kereshet egy diák? Ábrázold grafikonon az eredményeket!


Megoldás: Célszerű az x tengelyen egy egységgel 5

karaktert jelölni, az y tengelyen pedig egy

egységnek 1 Ft-ot választani. Az ábrázolandó

függvény pedig az ( ) xxf = függvény

grafikonjára illeszkedő különálló pontokból áll,

hiszen 5 karaktert vagy begépel valaki, vagy

nem.

c) A reggel 9-kor kezdődő távúszó verseny egyik résztvevője h

km5,1 állandó sebességgel

úszik. Mennyi idő alatt teszi meg a 12 km-es távot? Ábrázold grafikonon a mozgását!

Megoldás: Az x tengelyen ábrázoljuk az indulás óta eltelt időt,

azaz nem vesszük figyelembe az indulási időpontot. Az y

tengelyen pedig a megtett utat. Az tvs ⋅= képlet alapján az

ábrázolandó függvény: xxf 5,1)( = Mivel megállás nélkül

úszik, így a grafikon egy origóból kiinduló P(8;12)

végpontú szakasz lesz.

d) Egy egyenlőszárú háromszög alapja 3 cm, szárai a

hosszúságúak. Határozd meg a kerületét, és ábrázold koordináta-rendszerben!

Megoldás: A háromszög kerülete: 32 += aK . Mivel

a pozitív valós szám, ezért a függvény grafikonja

félegyenes. Viszont, ha a ≤ 1,5, akkor nem

teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, vagyis a

háromszög nem létezik. Az ábrázolandó

függvény: ( ) 32 += aak , ahol 5,1>∈ + aRa

Természetesen a helyett x-et is lehet írni. A változó érték tetszőleges betűvel jelölhető.



a) Béla tartozik egy ismerősének 50 000 Ft-tal. Elhatározta, hogy minden hónap elején

visszafizet neki 10 000 Ft-ot. Ábrázold grafikonon Béla tartozásának mértékét!

Megoldás: Az x tengelyen ábrázoljuk az eltelt

hónapokat, az y tengelyen pedig a tartozás

mértékét 10000 Ft-os egységekkel. Ekkor az

ábrázolandó függvény az ( ) 5+−= xxf . A

grafikonja pedig különálló pontokból áll, mivel

nem folyamatos a törlesztés.

b) Egy gyárban minden nap 3000 db csavart használnak el. Mivel a munkások váltott

műszakban dolgoznak, így a munkaidő 24 órás, és a készletet mindig reggel 6-kor töltik

fel. Minden órában átlagosan ugyanannyi csavar fogy. Ábrázold grafikonon a csavar

mennyiségének alakulását!

Megoldás: Az x tengelyen a feltöltés óta eltelt

órákat, az y tengelyen csavarok darabszámát

jelöljük. Egy óra alatt 125 csavart

használnak fel, ezért az ábrázolandó

függvény az ( ) 3000125 +−= xxf . Ennek az

ábrázolása ebben a formában nehézkes,

ezért érdemes az x tengelyen egy egységet

1 órának tekinteni, az y tengelyen pedig egy

egység 125 db csavart jelentsen. Ekkor az

ábrázolandó függvény a ( ) 24+−= xxg .

c) Egy autó 30 m-re az útkereszteződéstől h

km60 sebességéről egyenletesen lassít, majd a

kereszteződéshez érve megáll. Ábrázold grafikonon a sebességének változását a megtett

út függvényében!


Megoldás: Az autó sebessége 30 m alatt h

km60 -val

csökken. Ekkor 1 m megtétele után h

km23060

= -

val csökken a sebessége. Az x tengelyen a

megtett métereket, az y tengelyen a pillanatnyi

sebességet jelöljük. Az ábrázolandó függvény az

( ) 602 +−= xxf . Mivel az autó egyenletesen

lassul, ezért a függvény grafikonja egy szakasz.

d) Egy téglalap kerülete 20 egység. Az egyik oldalát folyamatosan növelve, hogyan változik

a másik oldala a kerület változtatása nélkül? Ábrázold grafikonon a változást!

Megoldás:

A téglalap kerülete baK 22 += . Tegyük fel, hogy az a oldalt növeljük. Ekkor

értelemszerűen a b oldal hossza csökkenni fog. Az x tengelyen ábrázoljuk az a oldal, az y

tengelyen pedig a b oldal hosszát. A kerület képletét átrendezve kapjuk, hogy

aaKaKb −=−=−

= 1022

2 Tehát az ábrázolandó függvény az 10)( +−= aaf . Mivel

az a oldal egy 0 és 10 közötti valós szám, ezért a

grafikon egy folytonos szakasz. Amennyiben

0=a és 10=a esetén az elfajuló (egy

szakaszból álló) téglalapot is elfogadjuk, akkor

zárt szakaszt kapunk. Ha nem, akkor a

szakasznak nem lesznek végpontjai, vagyis nyílt

szakaszt kapunk.


Megjegyzés: A 7. feladat heti 4 vagy 5 órában történő matematika oktatás esetén ajánlott.

7. Lineáris függvények ábrázolása

a) Az alábbi hozzárendelési utasításoknak megfelelően rajzold be a koordinátatengelyeket!

51 += x)x(f 322 −= x)x(f 23 −−= x)x(f

121

4 += x)x(f 135 −−= x)x(f 332

6 +−= x)x(f

Megoldás: Mivel az egyenesek végtelen hosszúak, így elegendő valahol kijelölnünk az y

tengely helyét. Az egyenes és az y tengely metszéspontjából már egyértelműen meg lehet

határozni, hogy hol található az y tengelyen a 0 érték, ami egyben az origó helyét is jelöli.

Ezen a ponton halad át az y tengelyre merőleges x tengely.

b) Írd fel a következő grafikonok hozzárendelési utasításait. Add meg az értelmezési

tartományt is!

Ezek a feladatok átvezetnek a lineáris egyenlőtlenségek megoldásához.


i) ii)

Megoldás: 32 += x)x(f ; É.T.: R; 121

−−= x)x(f ; É.T.: R+;

iii) iv)

Megoldás: 432

+= x)x(f ; É.T.: R− ; 53 −= x)x(f ; É.T.: R; x ≤ 2;

v) vi)

Megoldás: 1+−= x)x(f ; É.T.: R; x >−5; 223

−−= x)x(f ; É.T.: R; −6 ≤ x ≤ 5.


c) A következő hozzárendelési utasítások és értelmezési tartományok alapján rajzold be a

koordinátatengelyeket! (A szakaszok kiinduló pontja mindig az értelmezési tartomány bal

végpontja, félegyenesek esetén pedig a megfelelő végpont.)

i) ii) iii)

x)x(f 21 = 321

2 += x)x(f 33 += x)x(f

É.T.: R+ É.T.: R− É.T.: R; −2 ≤ x ≤ 6

iv) v) vi)

14 +−= x)x(f 135 −−= x)x(f 223

6 +−= x)x(f

É.T.: R− É.T.: R; −3 ≤ x ≤ 2 É.T.: R; x ≥− 4

Megoldás: Az értelmezési tartományt felhasználva egyértelműen meghatározható az y tengely

helyzete a félegyeneshez/szakaszhoz képest. Ha kell, halványan hosszabbítsuk meg a

szakaszt/félegyenest, hogy az y tengellyel való metszéspont jól látható legyen. A

metszéspont által meghatározható az y tengely 0 pontja, amely az origó helye is egyben.

Már csak az x tengely berajzolása van hátra.


Eredmények:

f1 f2 f3

f4 f5 f6

8. Add meg a lineáris függvény hozzárendelési utasítását, ha

a) átmegy a P(0;3) és a Q(3

10 ; 3) pontokon;

b) átmegy az A(4;3) ponton, és meredeksége 23 ;

c) átmegy a P(− 4;1) ponton, és az y tengelyt a b = 5 pontban metszi;

d) az y tengelyt a b = 5 pontban metszi, és párhuzamos az f(x) = 4x − 6 hozzárendelési

utasítással megadott függvénnyel (mf = mg);

e) átmegy a C(3; −6) ponton, és párhuzamos az 421)( +−= xxf hozzárendelési utasítással

megadott egyenessel (mf = mg);


f) az y tengelyt a b = −3 pontban metszi, és merőleges az 223)( +−= xxf hozzárendelési

utasítással megadott egyenesre (mf · mg = −1);

g) átmegy a P(–3;2) és a Q(0;–1) pontokon.

Módszertani megjegyzés:

– E feladatok megoldásához célszerű ábrát készíteni.

– Az y koordináta egyben a függvényérték is.

– Az ( ) bmxxf += egyenletbe helyettesítve az adatokat adódik a megoldás. A

hozzárendelési utasítás felírásához mindig m és b értékeit kell meghatároznunk.

Megoldás:

a) ( ) 3=xf ; b) ( ) 323

−= xxf ; c) ( ) 5+= xxf ; d) ( ) 54 += xxg ;

e) ( ) 5,421

−−= xxg ; f) ( ) 332

−= xxg ; g) ( ) 1−−= xxf .

Módszertani megjegyzés: A 9. feladatot heti 4 vagy 5 órában történő matematika oktatás esetén

javasoljuk átvenni vagy feladni házi feladatnak.


a) Két biciklis egyszerre indul el a 30 km-re lévő szomszédos faluba. Az egyik h

km25 , a

másik h

km30 sebességgel halad. Hány percet kell várakoznia a másik érkezésére, aki

korábban érkezik? Ábrázold a folyamat út–idő grafikonját!

Megoldás:

A vst = képletbe behelyettesítve az egyik

biciklis h56

2530

1 ==t =1 h 12perc alatt teszi meg

a távot, míg a másik biciklis h13030

2 ==t alatt.


Az első biciklis érkezik korábban, és 1212 =− tt percet kell várakoznia a másikra.

Ábrázolandó függvények: ( ) xxf 25= , illetve ( ) xxg 30= .

b) Egy úszóbajnokságon a versenytáv 100 m. A leggyorsabb úszó 3 m-t tesz meg

másodpercenként, a leglassabb 2,2 m-t. Mennyi idő alatt teszi meg a távot ez a két

versenyző? Hány másodperccel később ér célba a lassabb úszó? Ábrázold az időt az út

függvényében!

Módszertani megjegyzés: Ennek a feladatnak az adatait esetleg érdemes megváltoztatni,

mivel az eredményéből az következik, hogy a leglassúbb versenyző is új világcsúcsot

úszott!

Megoldás: A leggyorsabb úszó 33333

100 ,≈ másodperc

alatt , míg a leglassabb 454522

100 ,,

≈ másodperc

alatt teszi meg a távot.

A leglassabb versenyző 45,45-33,33=12,12

másodperccel ér később a célba.

Ábrázolandó függvények: ( ) xxf31

= , illetve ( ) xxg2,2

1= .

c) Két diák borítékolást vállal. Fejenként 1000 db lapot kell borítékba helyezniük 4 óra alatt

egyenletes teljesítménnyel. Két órán keresztül ennek megfelelően haladnak, de aztán az

egyikük elfárad, és így nem tud, csak 200 borítékot elkészíteni óránként. Amikor társa

végez a saját adagjával, segít neki, de mivel ő is elfáradt, így ő is csak 200 db borítékkal

végez óránként. Hány perccel végeznek később, ha a megmaradt munkát egyenlően

osztották szét egymás között? Ábrázold koordináta-rendszerben a már elkészült

borítékok darabszámát az eltelt idő függvényében!

Megoldás: Az első két órában 500-500 darab borítékot

készítenek el. A másik két órában az egyikük

márcsak 200 darabbal végez óránként, így a 4.

óra végéig ő összesen 900 darabbal lesz készen.


Neki még 100 darab van hátra, amivel ha egyedül csinálná, fél óra múlva végezne, de

mivel ketten dolgoznak ugyanolyan teljesítménnyel, így negyed óra alatt készülnek el.

Ábrázolandó függvények: ( ) 40250 ≤≤= xxxg , illetve ( )⎪⎩

⎪⎨

⎧

≤<≤<

≤=

25,44,40042,200

2,250

xxxx

xxxf .

d) Egy anyuka reggel hétkor elindítja kisfiát az iskolába. A gyerek rollerrel 8 perc alatt teszi

meg az 1,2 km-es távot. Indulás után 3 perccel az anyuka észreveszi, hogy kisfia otthon

hagyta a tízóraiját, és kerékpáron utána viszi. 1 perc alatt 300 m-t tesz meg. Mennyi idő

múlva éri utol gyermekét? Ábrázold a folyamat út–idő grafikonját!

Megoldás: Ha a gyerek 1,2 km-t 8 perc alatt tesz meg,

akkor 1 perc alatt 150 m-t tesz meg. Jelöljük t-vel

az anyuka indulásától a találkozásig eltelt időt

percben. A gyerek ekkor ( ) 1503 ⋅+t , míg az

anyuka 300⋅t métert tesz meg. A

( ) 1503300 ⋅+=⋅ tt egyenlet adja a megoldást.

Tehát az anyuka 3 perc múlva éri utol a kisfiát.

Ábrázolandó függvények: ( ) xxg 300= illetve ( ) ( )3150 += xxf .

e) Egy túraútvonalon elindul az egyik gyalogos 2 km/h sebességgel. Két órával később

ugyanezen az útvonalon elindul egy másik gyalogos is 3 km/h sebességgel. Legalább

milyen messze lehet a cél, ha ez utóbbi túrázó még előtte beéri az elsőt? Ábrázold

koordináta-rendszerben az út–idő grafikont!

Megoldás: A cél legyen legalább s km-re. Ekkor az első gyalogos 2s

vst == ideig megy, míg a

második két órával később indul, de 3 km-t tesz meg óránként: 23+=

st


Mivel mindketten ugyanannyi ideig sétálnak, ezért az 232+=

ss egyenlet eredménye adja

a megoldást. Ebből 12=s km, azaz a cél legalább 12 km-re van a kiindulási ponttól.

Ábrázolandó függvények: ( ) ( )23 −= xxf illetve ( ) xxg 2= .

f) Egy gyárban minden munkásnak 8 óra alatt 240 db terméket kell előállítani. Az egyik

munkás csak 2 órával később tudott kezdeni, viszont 40 darabnál nem képes többet

elkészíteni 1 óra alatt. Végez-e a munkaidő végéig, vagy bent kell maradnia? Ha bent kell

maradnia, akkor mennyi idővel mehet később haza? Ábrázold közös koordináta-

rendszerben a többi munkás és a később jövő által előállított termékek számát az eltelt idő

függvényében!

Megoldás: Ez a munkás csak 6 órát dolgozik. Ez idő

alatt 240406 =⋅ darab terméket tud előállítani,

vagyis nem kell túlóráznia.

Ábrázolandó függvények: ( ) xxg 30= , illetve

( ) ( )240 −= xxf .

g) Egy cukrászüzemben a sütő részleg óránként 40 db süteményt süt ki. A csomagoló

részleg viszont óránként 50 darabot képes becsomagolni, így ott egy órával később

kezdenek. Hány óra múlva fogynak el a becsomagolandó sütemények? Ábrázold közös

koordináta-rendszerben a sütő és a csomagoló részleg által elkészített sütemények számát

az eltelt idő függvényében!

I. II.

v(km/h) 2 3

s(km) s s

t(h) 2s

23+

s


Megoldás: Jelöljük t-vel a sütés kezdetétől eltelt időt!

A ( )15040 −= tt egyenlet megoldása szolgáltatja az eredményt: 5=t . Azaz 5 óra múlva

fogynak el a csomagolásra váró sütemények.

Ábrázolandó függvények: ( ) xxg 40= illetve ( ) ( )150 −= xxf .

h) Két villamos egyszerre indul el az egymástól 15 km-re lévő végállomásokról. Az egyik

30 km/h, a másik 25 km/h átlagsebességgel halad. Mikor és hol találkoznak? Ábrázold a

folyamat út–idő grafikonját!

Megoldás:

A találkozásig mindkét villamos ugyanannyi (t) ideig ment. Az egyik 30t, a másik 25t utat

tett meg. A két távolság összege éppen 15 km: 30t + 25t = 15.

sütő

részleg

csomagoló

részleg

eltelt

munkaidő t 1−t

darab/óra 40 50

összesen 40t ( )150 −t

egyik

villamos

másik

villamos

sebesség

(km/h) 30 25

idő (h) t t

megtett

út (km) 30t 25t


Ebből ( ) ( )perc36,16h27,05515

=≈=t . A villamosok kb. 16 perc múlva találkoznak.

Ekkor az egyik 8,49036,1630 =⋅ m -t (kb. 500 m) tesz meg, a másik

2,10098,4901500 =− m-t (kb. 1000 m).

Ábrázolandó függvények: ( ) 1530 +−= xxf illetve ( ) xxg 25=

i) Egy tartályban 18 l víz van. Amikor kinyitják a lefolyót, akkor percenként 3 l víz folyik

ki belőle. Egy másik tartályban 3 l víz van, és ebbe percenként 2 l vizet engednek. Mikor

lesz a két tartályban ugyanannyi víz? Ábrázold közös koordináta-rendszerben a víz

mennyiségének alakulását!

Megoldás: Jelöljük t -vel az eltelt időt. Ekkor az első

tartályban t idő elteltével t318 − , míg a

másodikban t23+ liter víz van. Akkor lesz a két

tartályban ugyanannyi víz, amikor

tt 23318 +=− . Ez 3=t perc múlva következik

be.

Ábrázolandó függvények: ( ) 32 += xxf illetve

( ) 183 +−= xxg

10. Hol találhatók a számegyenesen az alábbi feltételeknek megfelelő pontok?

a) x > 2;

b) x ≥ −3;

c) x < −1;

d) − 4 < x ≤ 5;

e) − 7,5 ≤ x ≤ −1;

f) 0 ≤ x < 3,5;

g) x ≤ − 2 vagy x > 0;

h) x < 1 vagy x > 3.

Módszertani megjegyzés: Értelmezési tartomány vizsgálatakor, törtes egyenlőtlenségek

megoldásakor gyakran találkozhatunk ezekhez hasonló egyenlőtlenségekkel. A

számegyenesen történő ábrázolás jó szemléltető eszköz, átláthatóbbá teszi a megoldáshalmazt.


11. Hol találhatók a síkban az alábbi feltételeknek megfelelő pontok?

a) x ≥ −1;

b) x < 3;

c) y > 2;

d) y ≤ − 5;

e) x ≥ −1 és y ≤ −5;

f) x > −2 és y ≤ 0;

g) x = − 4 és y > 5;

h) y = 2 és x > −5,

Megoldási útmutató: Az a) – d) feladatokban csak az egyik koordinátára vonatkozik a feltétel,

a másik tetszőleges értékeket felvehet. Ezért a megoldást jelentő ponthalmaz nyílt vagy

zárt félsík. Nyílt félsík esetén jelöljük a határvonalat, zárt félsík esetén nem, hiszen a

határoló vonal is hozzá tartozik a megoldási tartományhoz.

Az e) – h) feladatokban található egyenlőtlenségek megoldáshalmaza egy síknegyed

illetve egyenlőség esetén félegyenes.

Módszertani megjegyzés: Ezekhez hasonló egyenlőtlenségekkel szintén az értelmezési

tartomány vizsgálatánál találkozhatunk (az első részben térben ábrázolható függvények

esetén).

Mintapélda3

Keressük meg az y + 4 < 3 x feltételt kielégítő

síkbeli pontokat!

Megoldás:

Az egyenlőtlenséget y-ra rendezve, az

y < 3x – 4 egyenlőtlenséget kapjuk. Ha a < jel

helyett = jelet írunk, akkor egy egyenest kapunk.

Azon síkbeli pontokat keressük, amelyeknek y

koordinátája kisebb, mint a bal oldali kifejezés,

vagyis az egyenes alatt találhatóak.

A megoldáshalmaz tehát az egyenes alatti félsík.

12. Hol találhatók a síkban azok a pontok, amelyek megfelelnek az alábbi feltételnek?

a) y < x;

b) y ≤ 3x+4;

c) y+0,5 > –x+1,5;

d) –y ≥ x+1;

e) 2y > 3x–4;

f) 0,5x–1 > –y+2.


Megoldási útmutató:A c) – f) egyenlőtlenségek y-ra rendezve könnyen megoldhatóak. A

megoldást jelentő ponthalmaz a megadott egyenes (mx + b alak) által határolt, a relációs

jelnek megfelelő félsík lesz. Átrendezéskor ügyeljünk arra, hogy –1-gyel való

szorzáskor az egyenlőtlenség jele megfordul.


II. Lineáris törtfüggvény

A lineáris függvény kapcsán olyan szöveges feladatokkal is találkoztunk, amelyek egyenes

arányossággal oldhatók meg. Ilyen feladat volt például:

Ha 1 füzet 40 Ft, akkor mennyibe kerül 2, 3, 4 stb. füzet? Hány füzetet lehet venni, ha

legfeljebb 480 Ft értékben akarok vásárolni?

Ezt a feladatot átalakíthatjuk a következőképpen:

Mintapélda4

Van 480 Ft-om, amiből füzetet szeretnék vásárolni. A papírboltban 24, 30, 40, 60 és 120 Ft-os

füzetek kaphatók. Hány darabot tudok venni az egyes fajtákból a pénzem maradéktalan

elköltése mellett, ha csak egyféle füzetet akarok vásárolni?

Megoldás:

Készítsünk értéktáblázatot!

ár480darabszám =

480árdb =⋅

Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek

szorzata állandó, akkor azok között fordított

arányosság van.

Az x tengelyen az árat, az y tengelyen a

darabszámot ábrázolva a mellékelt grafikont

kapjuk.

Látható, hogy minél magasabb az ár, annál

kevesebb füzetet tudunk rajta venni; és minél alacsonyabb, annál többet. Mivel a boltban

fél füzetet nem lehet vásárolni, ezért a grafikon pontjai nem köthetőek össze.

Az x tengelyen a minimális ár 1 Ft, a maximális ár 480 Ft lehet. Az y tengelyen ugyanígy

meghatározható a legnagyobb és legkisebb érték. Közöttük minden olyan árkategória

szóba jöhet, ahol az ár osztója 480-nak.

A darabszám és az ár között kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés létesíthető:

ár 24 30 40 60 120

darab 20 16 12 8 4


n-nel jelölve az árat, f(n)-nel pedig a darabszámot kapjuk: n

nf 480)( = , ahol n∈Z+ és

n|480. Így f(n)∈Z+. Vagyis egy olyan függvényt kapunk, melynek értelmezési tartománya

a pozitív egész számok halmazának egy részhalmaza 1 és 480 között, és értékkészlete is a

pozitív egész számok halmazának egy részhalmaza szintén 1 és 480 között.

Mintapélda5

Egy gyalogos egy 6 km hosszú utat 1 h alatt tesz meg. Mekkora sebességgel halad, ha

0,2; 0,5; 1,5; 2; 2,4; 3 óra alatt teszi meg ugyanezt a távot?

Megoldás:

Készítsünk értéktáblázatot!

ttsv 6== .

t 0,2 0,5 1,5 2 2,4 3

v 30 12 4 3 2,5 2

Az x tengelyen az időt, az y tengelyen a sebességet

ábrázolva a következő grafikont kapjuk:

A sebesség és az idő fordítottan arányosak, hiszen

minél rövidebb idő alatt teszem meg ugyanazt a távot,

annál gyorsabban kell haladnom, és fordítva, minél

hosszabb az utazási idő, annál kisebb a sebesség.

Minden időtartamhoz kölcsönösen egyértelműen

hozzárendelhető egy sebesség. Az időt t-vel, a sebességet v(t)-vel jelölve a t

tv 6)( =

függvényt kapjuk, melynek értelmezési tartománya és értékkészlete egyaránt a pozitív valós

számok halmaza. Ez a grafikon folytonos görbe lesz. A fentiek alapján ez a függvény

szigorúan monoton csökkenő.


Mintapélda6

Ábrázoljuk és jellemezzük az x

)x(f 1= , x∈R\0 függvényt!

Megoldás:

Készítsünk értéktáblázatot, és a kapott értékek segítségével ábrázoljuk a függvényt!

A függvény neve: lineáris törtfüggvény. Látható,

hogy az x tengely mentén haladva az egyre

nagyobb, illetve az egyre kisebb számok felé a

grafikon „hozzásimul” az x tengelyhez, de nincs

közös pontjuk. Hiszen minél nagyobb

abszolútértékű számmal osztjuk az 1-et, annál

kisebb lesz a hányados. És fordítva: minél kisebb

abszolútértékű számmal osztunk egy konkrét számot, a hányados abszolútértékben annál

nagyobb lesz. Ezt mutatja, hogy a grafikon az origó közelében „hozzásimul” az y

tengelyhez, azaz tetszőlegesen megközelíti, de nem éri el.

A függvény a ]−∞; 0[ és a ]0; +∞[ intervallumokon szigorúan monoton csökkenő. A 0

kivételével tetszőleges értéket felvehet, így nincs szélsőértéke.

További érdekesség, hogy a grafikon az origóra (középpontosan) szimmetrikus. Ez

algebrailag azt jelenti, hogy teljesül az f(−x) = − f(x) összefüggés. Vagyis a függvény

páratlan.

– Találkoztunk-e korábban páratlan függvényekkel?

– Az origón átmenő lineáris függvények is páratlanok. (f(x) = mx alakúak)

x –10 –3 –2 –1 –0,5 31

− 0,25 21

32

1 2 3 4

x1 –0,1

31

− –0,5 –1 –2 –3 4 2 23

1 0,5 •3,0 0,25


Összefoglalva, az x1 függvényt a következőképpen jellemezhetjük:

1. É.T.: R\0; 2. É.K.: R\0; 3. Zérushely: nincs;

4. Szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0 és ha x > 0,

5. Szélsőértéke nincs; 6. Páratlan.

Az 5.20 fólia alkalmazása

Mintapélda7 Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket!

a) xaxf =)( , ahol a∈R+, x∈R\0

Jellemzés: 1. É.T.: R\0. 2. É.K.: R\0. 3. Zérushely: nincs. 4. Szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0 és ha x > 0. 5. Szélsőértéke nincs. 6. Páratlan.

b) xaxf −=)( , ahol a∈R+, x∈R\0

Jellemzés: 1. É.T.: R\0. 2. É.K.: R\0. 3. Zérushely: nincs. 4. Szigorúan monoton növekvő, ha x < 0 és ha x > 0. 5. Szélsőértéke nincs. 6. Páratlan.


Feladatok

13. Egy építkezésen 1 brigád 3 év alatt képes építeni egy házat. Mennyi idő alatt végez 2,

3, 5, 10 brigád? Ábrázold grafikonon a munka időtartamát a brigádok száma szerint!

Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív egész

számok halmazán értelmezett ( )x

xf 3= , melynek

grafikonja diszkrét pontokból áll.

14. Egy 210 literes kismedencét 1 csap15 perc alatt tölt tele. Mennyi idő alatt tölti fel ezt a

medencét 2, 3, 4, 5 csap? Ábrázold grafikonon!



xf 15= , melynek grafikonja

diszkrét pontokból áll.

15. Egy ember egy 200 m2-es kertet 4 nap alatt ás fel. Mennyi idő alatt ássa fel 2, 3, 4, 5,

6, 10 ember? Ábrázold grafikonon!


számok halmazán értelmezett x

)x(f 4= , melynek grafikonja


16. Hány fordulóval tud 1, 2, 3, 4, 6, 10, 12 tehergépkocsi elszállítani 2,4 t árut, ha egy

gépkocsi legfeljebb 200 kg-t szállíthat? Ábrázold grafikonon!



xf 12= , melynek grafikonja



17. Egy téglalap területe 2,2 cm2. Milyen kapcsolat van a téglalap két oldala között?

Ábrázold grafikonon az oldalak egymáshoz való viszonyát!

Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós


xf 2,2= .

18. Egy 1 m hosszú, 5 mm2 keresztmetszetű üvegcsövet

teletöltünk higannyal. Mekkora lesz a higanyoszlop magassága, ha 1; 2,5; 7,5; 10; 15

mm2 keresztmetszetű edénybe öntjük át? Ábrázold grafikonon a magasságot a

keresztmetszet függvényében!



xf 5000= .

19. Egy 4,5 V-os zsebtelepre tolóellenállást kapcsoltak. Mekkora áram folyik az

áramkörben, ha az ellenállást úgy állítják be, hogy annak értéke 10 Ω, 20 Ω, 30 Ω,

illetve 50 Ω (ohm) legyen? Ábrázold grafikonon az ellenállás−áramerőség függvényt!

(feszültség = áramerősség · ellenállás, azaz U = I · R)



xf 5,4= .

20. Egy 100 m hosszú 1 mm2 keresztmetszetű wolfram szálból készült ellenállástekercs

ellenállása 5,51 Ω. Hogyan változik az ellenállása, ha a keresztmetszetét kétszeresére,

háromszorosára, négyszeresére növeljük, illetve felére, harmadára, negyedére

csökkentjük? Ábrázold grafikonon a keresztmetszet–ellenállás függvényt! (A

keresztmetszet és az ellenállás fordítottan arányos.)


Megoldási útmutató: Az ábrázolandó függvény a pozitív valós számok halmazán értelmezett

( )x

xf 51,5= .

21. Tudjuk, hogy 1 N erő 1 kg tömegű testen 1 s alatt 1m/s sebességváltozást hoz létre.

Ugyanaz az 1 N nagyságú erő 1 s alatt mekkora sebességváltozást eredményez 2; 4;

10; 0,5; 41 ;

101 kg tömegű testen? (A tömeg és a másodpercenkénti sebességváltozás,

azaz a gyorsulás fordítottan arányos.)



xf 1= , melynek

grafikonja diszkrét pontokból áll.

Mintapélda8

Ábrázoljuk az ( )3

2+

=x

xf függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!

Megoldás:

1. lépés: Készítsünk értéktáblázatot!

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3

x1

41

− 31

− 21

− –1 ― 1 21

31

31+x

–1 ― 1 21

31

41

51

61

32+x

–2 ― 2 1 32

21

52

31


A táblázat 3. sorából látható, hogy ha a nevezőhöz hozzáadunk 3-at, akkor a függvény az

értékeit 3-mal korábban veszi fel. A számláló kettővel való szorzása pedig a

függvényértékek megkétszerezését jelenti.

2. lépés: Ábrázoljuk transzformáció segítségével a függvény grafikonját!

Az 5.22 fóliacsomag alkalmazása

Ehhez felhasználjuk az értéktáblázattal szerzett tapasztalatokat.

Az ábrázolás menete:

1) ( )x

xd 1= ← (értéktáblázat 1. sora).

2) ( )3

1+

=x

xe ← d grafikonjának eltolása

az x tengely mentén negatív irányba 3

egységgel (értéktáblázat 2. sora). Segíti az

ábrázolást, ha az x tengely −3 pontjába

húzunk egy, az y tengellyel párhuzamos

segédtengelyt.

3) ( )3

2+

=x

xf ← e grafikonjának y

tengely menti kétszeres nyújtása (értéktáblázat 3. sora).

3. lépés: Jellemzés:

1. É.T.: R\−3,

2. É.K.: R\0,

3. zérushely: nincs,

4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < −3, illetve ha x > −3,

5. szélsőérték: nincs,

6. paritás: nem páratlan és nem páros.


Mintapélda9

Ábrázoljuk az ( ) 321+=

xxf függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!

Megoldás:

1. lépés: Készítsünk értéktáblázatot!

x –3 –2 –1 21

−41

− 0 41

21 1 2 3

x1

31

− 21

− –1 –2 –4 ― 4 2 1 21

31

x21

61

− 41

− 21

− –1 –2 ― 2 1 21

41

61

321+

x

652

432

212 2 1 ― 5 4

213

413

613

A táblázat 3. sorából látható, hogy a nevezőben lévő kétszeres szorzó minden

függvényértéket felére csökkent. xx1

21

21

⋅=

A törthöz 3-at adva pedig a függvényértékek 3-mal nőnek. 2. lépés: Ábrázoljuk transzformáció segítségével a függvény grafikonját!

Az 5.23 fóliacsomag alkalmazása

Ehhez felhasználjuk az értéktáblázattal szerzett tapasztalatokat.

Az ábrázolás menete:

1) ( )x

xd 1= ← (értéktáblázat 2. sora).

2) ( )x

xe 121⋅= ← d értékeinek felezése

(értéktáblázat 3. sora). Ez a függvény

grafikonjának y tengely menti 21 -szeres

zsugorítását jelenti.

3) ( ) 321+=

xxf ← e grafikonjának

eltolása az y tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel (értéktáblázat 4. sora). Az

ábrázolást segíti, ha az y tengely 3 pontjába húzunk egy, az x tengellyel párhuzamos

segédtengelyt.



1. É.T.: R\0,

2. É.K.: R\3,

3. zérushely: 0321

=+x

egyenletből 61

−=x ,

4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő, ha x < 0, illetve ha x > 0,

5. szélsőérték: nincs,

6. paritás: nem páros, nem páratlan.

Feladatok

22. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt!

x

xa43)( −= ;

12)(−

=x

xb ; 22)( +−=x

xc ; 1

131)(

+⋅=

xxd .

Megoldási útmutató: A függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatóak.

Transzformáció sorrendje: 1. x tengely menti eltolás; 2. y tengely menti

nyújtás/zsugorítás; 3. tükrözés az x tengelyre; 4. y tengely menti eltolás. A

hozzárendelési utasításnak megfelelően egyes lépések kimaradhatnak.

3

2)(+−

=x

xe ; 62

1)(+

=x

xf ; 421)( ++−

=x

xg ;

xxh 1)( = ;

xxi 23)( −= ;

21)(−

=x

xj .

Megoldási útmutató: Az ( )xe függvény esetén −1, az ( )xf függvény esetében 2 emelhető ki.

Ezek után a függvény grafikonja elemi transzformációkkal ábrázolható. A ( ) ( )xjxh −

függvényeknél először ábrázoljuk abszolútérték jel nélkül a függvényt, majd a grafikon

x tengely alatti részét tükrözzük az x tengelyre. Míg az x1 függvény páratlan , addig az

||1x

függvény páros.


III. Másodfokú függvények

Az 5.8 kártyakészlet alkalmazása

Csoportalakítás: Minden tanuló kap egy kártyát a kártyakészletből. Azok a tanulók alkotnak

egy 4 fős csoportot, akiknek a kártyáján a hatványozás azonosságait megfelelően alkalmazva

a műveletek eredménye ugyanaz a szám.

Az 5.9 szakértői mozaik alkalmazása

Ismétlés: a másodfokú függvény grafikonjának ábrázolása, jellemzése, transzformációi.

Az ismétlő órán az alapszintű példák közül, míg az 5. órán a közép és emelt szintű feladatok

közül válogatnak. A 9.-es tananyag ismétlése szakértői mozaik segítségével történik. Minden

csoport megkapja a szakértői mozaikban található feldolgozandó témaköröket. A

megbeszéltek alapján válaszolnak az első feladatban található kérdésekre.

Szakértői mozaik alkalmazása: Minden csoportból azok, akik ugyanazt a témakört kapták, egy

tanár által kijelölt asztalhoz ülnek. Itt közösen megértik, feldolgozzák a tananyagot. Ha

készen vannak, akkor mindenki visszamegy a saját csoportjához, és ott szóforgóval

elmagyarázzák egymásnak, amit tanultak (elsőnek az 1. tananyagot magyarázza el az a diák,

aki azt kapta, majd a 2. tananyag kerül sorra, stb.; mindig az a tanuló magyaráz, aki azt a

tananyagot kapta).

A szakértői mozaik témakörei:

1. A másodfokú függvény tulajdonságai;

2. A másodfokú függvény transzformálása: y tengely menti eltolás;

3. A másodfokú függvény transzformálása: x tengely menti eltolás;

4. A másodfokú függvény transzformálása: y tengely menti zsugorítás/nyújtás.

A továbbiakban függvények grafikonjának ábrázolásával folytatjuk. Mind az 1. tananyagban,

mind jellemzéskor új fogalomként jelenik meg a párosság, illetve emelt szintre készülőknél a

konvexitás, konkávitás fogalma.


1. A másodfokú függvény tulajdonságai

f(x) = x2 g(x) = –x2

Minden másodfokú függvény képe parabola.

1. É.T.: R

2. É.K.:

• f függvény esetén: 0∪+R

• g függvény esetén: 0∪−R

3. Monotonitás:

• f függvény esetén:

– ha x ≤ 0, szigorúan monoton csökkenő.

– ha x ≥ 0, szigorúan monoton növekvő.

• g függvény esetén:

– ha x ≤ 0, szigorúan monoton növekvő.

– ha x ≥ 0, szigorúan monoton csökkenő.

4. Szélsőérték:

• f függvény esetén: • g függvény esetén:

– minimumhely: x = 0, – maximumhely: x = 0,

– minimumérték: f(0) = 0. – maximumérték: f(0) = 0.

x –16 –10,5 –5 –4 –23 –1 –0,63 0 1

32 2 3 11,3

f(x) = x2 256 110,25 25 16 49 1 0,3969 0 1

94 4 9 127,69

g(x) = – x2 –256 –110,25 –25 –16 –49 –1 –0,3969 0 –1 –

94 –4 –9 –127,69


5. Zérushely: Az f és a g függvényeknek egyaránt a 0 helyen van csak közös pontja az x

tengellyel, így mindkét függvény zérushelye: x = 0.

6. Paritás: Mindkét függvény páros, mivel teljesül rájuk az x2 = (−x)2 tulajdonság.

Általánosságban véve egy függvényt akkor nevezünk párosnak, ha teljesül rá, hogy

f(x) = f(−x). Ez geometriailag azt is jelenti, hogy a függvény grafikonja szimmetrikus az y

tengelyre.

7. Az f(x)= x2 függvényt (alulról nézve) konvexnek nevezzük, mivel bármely két pontját

összekötve az így kapott húr minden pontja a parabola pontja fölött helyezkedik el.

A g(x) = −x2 függvényt (alulról nézve) konkávnak (vizuális típusúak számára: KONK∩V

nevezzük), mivel bármely két pontját összekötve az így kapott húr minden pontja a

parabola pontja alatt helyezkedik el.

2. A másodfokú függvény transzformálása:

y tengely menti eltolás

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve

értéktáblázattal az f(x) = x2, a g(x) = x2− 3, illetve h(x) =

x2+ 2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz

felhasználhatjuk az elkészített értéktáblázatot.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

g(x) 13 6 1 –2 –3 –2 1 6 13

h(x) 18 11 6 3 2 3 6 11 18

Ha az f függvény értékeiből 3-at vonunk ki, akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha pedig

2-t adunk hozzá, akkor a h függvény lesz az eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti

eltolását is jelenti –3, illetve +2 egységgel.


Általánosságban: a g(x) = x2+v (v 0-tól különböző,

tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az

f(x) = x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy

f grafikonját eltoljuk az y tengely mentén |v|

egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén felfelé.


x tengely menti eltolás

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben, illetve értéktáblázattal az f(x) = x2, a g(x) = (x+1)2,

illetve h(x) = (x−2)2 függvények grafikonjait! Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk az elkészített

értéktáblázatot.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

f(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16

g(x) 9 4 1 0 1 4 9 16 25

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

f(x) 16 9 4 1 0 1 4 9 16

h(x) 36 25 16 9 4 1 0 1 4


Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az értékeit 1 egységgel korábban veszi fel,

mint az f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény grafikonját úgy kapjuk meg az f

függvény grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén –1 egységgel, másképp

fogalmazva negatív irányba 1 egységgel.

A h függvény az értékeit 2 egységgel később veszi fel, mint az f függvény. A h függvény

grafikonját pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti 2 egységgel, pozitív irányba

történő eltolásával kapjuk meg.

Általánosságban: a g(x)=(x+u)2 (u 0-tól különböző tetszőleges valós szám) függvény

grafikonját az f(x)=x2 függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f grafikonját eltoljuk az x

tengely mentén |u| egységgel u előjelével ellentétes irányba: u < 0 esetén pozitív, u > 0 esetén

negatív irányba.


y tengely menti zsugorítás/nyújtás

1. Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a következő függvények grafikonjait!

f(x) = x2; g(x) = 3x2; h(x) = 21

− x2.

x –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4

g(x) 48 27 12 3 0 3 12 27 48

h(x) –8 –4,5 –2 –0,5 0 –0,5 –2 –4,5 –8


Általánosságban: a függvény az f(x)=ax2

hozzárendelési utasítással adható meg, ahol a 0-tól

különböző tetszőleges valós szám.

Szemléletesen: ha az a szorzótényező

• 0 és 1 között van, akkor a másodfokú

függvény grafikonja szétnyílik,

• 1-nél nagyobb, akkor a grafikon szűkül,

• negatív, akkor pedig a grafikon az x

tengelyre tükröződik is.

Feladatok

23. Válaszolj a következő kérdésekre! Válaszodat indokold!

a) Add meg az ( ) 12 += xxf függvény értékkészletét!

Megoldás: É.K.: [1; ∞ [

b) Mely intervallumon szigorún monoton csökkenő az ( ) 2xxf = , illetve a ( ) 2xxg −=

függvény?

Megoldás: Ha x ≤ 0, akkor az f, ha x ≥ 0, akkor a g függvény szigorúan monoton

csökkenő.

c) Minimuma vagy maximuma van a h(x) = −2x2−1 függvénynek?

Megoldás: Maximuma van, mivel az x2 együtthatója negatív.

d) Hol van szélsőértéke a ]–1; 5] intervallumon értelmezett k(x) = (x−2)2 függvénynek, és

mekkora ez az érték?


Megoldás: A ( )xk függvénynek ezen az értelmezési tartományon minimuma van az

2=x helyen, valamint maximuma van az 5=x helyen. Minimumértéke ( ) 02 =k ,

maximumértéke ( ) 95 =k .

e) Párosak-e az m(x) = x2+3, illetve az n(x) = (x+3)2 függvények?

Megoldás: Az m függvény páros, hiszen ( ) 33 22 +−=+ xx . Az n függvény nem páros,

mivel ( ) ( )22 33 +−≠+ xx .

f) Hol van zérushelye a p(x) = −x2+4, a q(x) = x2+2, illetve az r(x) = 2(x−5)2

függvényeknek?

Megoldás: A p függvénynek a −2 és a 2 helyeken van zérushelye. A q függvénynek

nincsen, míg az r függvénynek az 5 helyen van zérushelye.

g) Milyen transzformációval kapjuk az f(x) = (x+2)2 függvény grafikonját a g(x) = x2

függvény képéből (parabolából)?

Megoldás: x tengely menti negatív irányba 2 egységgel történő eltolással kapjuk.

h) Milyen transzformációval kapjuk az f(x) = (x−1)2+1 függvény grafikonját a g(x) = x2

függvény képéből (parabolából)?

Megoldás: Az x tengely mentén +1 egységgel, majd az y tengely mentén is +1 egységgel

toljuk el g függvény grafikonját.

i) Milyen transzformációval kapjuk az a(x) = −3x2, illetve a b(x) = 0,5x2 függvények

grafikonját az f(x) = x2 függvény képéből (parabolából)?

Megoldás: Az a grafikonját f-ből először egy y tengely menti háromszoros nyújtással,

majd egy x tengelyre való tükrözéssel kapjuk, míg a b-t egy 0,5-szeres zsugorítással.


24. Ábrázoljuk a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett)

függvények grafikonját, és jellemezzük a függvényeket!

1)( 2 += xxa ; 121)( 2 += xxd ; ( )23)( +−= xxg ; [ ]05;x −∈ ;

22)( xxb = ; 241)( 2 −−= xxe ;

84)( 2 −= xxc ; 62)( 2 +−= xxf ; [ ]22;x∈ .

Megoldási útmutató: A függvények grafikonja elemi transzformációkkal ábrázolható.

( ) 82)( 2 −= xxl ; ] [22;x∈ ; ( ) 41)( 2 ++−= xxm ; ( )2441)( −−= xxn ; x∈Z, x ≥ −1;

Megoldási útmutató: A függvények grafikonja elemi transzformációkkal ábrázolható. Az l

függvény grafikonja pedig 84 2 −= x)x(l átalakított formában elemi transzformációk

alkalmazásával.

( )233)( −= xxo ; 2

421)( ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= xxp .

Megoldási útmutató: Először emeljük ki az x együtthatóját mindkét függvény esetében:

( )219 −= x)x(o ; ( )2841

−= x)x(p . Ezek után a függvények grafikonja elemi

transzformációkkal ábrázolható

Módszertani megjegyzés: A 25. feladat házi feladatnak ajánlott.

25. Rajzold be a koordinátatengelyeket úgy, hogy a megadott hozzárendelési utasítás igaz

legyen!


3)( 21 −= xxf ( )2

2 2)( += xxf

23 )5()( −−= xxf 2

4 )3(2)( −= xxf

521)( 2

5 +−= xxf 3)( 26 −−= xxf


93)( 27 −= xxf 4

41 2

8 += x)x(f

21 29 −−= )x()x(f 53 2

10 −+= )x()x(f

4)2()( 211 ++−= xxf 3)4()( 2

12 +−−= xxf


Módszertani megjegyzés: A 26., 27. és 29. feladatok célja a koordinátageometriai alapozás.

Egy-egy koordinátageometriai feladaton belül részfeladatot képezhet az ábra vagy egyéb

ismeretek alapján történő egyenletfelírás.

A következő feladatot azoknak a tanulóknak ajánljuk, akik heti 4-5 órában tanulnak

matematikát.

26. Írd fel a képeken látható parabolák hozzárendelési utasítását!

a) b)

Megoldás: ( ) 22 += xxf ( ) 12 −−= xxf

c) d)

Megoldás: ( ) 13 2 += xxf ( ) ( )232 +−= xxf


e) f)

Megoldás: ( ) 63 2 −= xxf ( ) ( ) 43 2 −−= xxf

g) h)

Megoldás: ( ) ( ) 52 2 −+= xxf ( ) ( )2521

−= xxf

i) j)

Megoldás: ( ) ( ) 12 2 +−−= xxf ( ) ( ) 34 2 ++−= xxf


k)

Megoldás: ( ) ( ) 412 2 −+= xxf

27. Legyen a kiindulási függvény az ( ) 2xxf = . Mi lesz a függvény hozzárendelési utasítása,

ha grafikonját

a) eltoljuk az x tengely mentén pozitív irányba 3 egységgel?

b) eltoljuk a v(0;2) vektorral?

c) tükrözzük az y tengelyre?

d) eltoljuk a v(−3; −1) vektorral?

e) kétszeresére nyújtjuk?

f) tükrözzük az x tengelyre, majd felére zsugorítjuk?

g) először tükrözzük az x tengelyre, majd eltoljuk az y tengely mentén +5 egységgel?

h) eltoljuk a v(0;2) vektorral, majd tükrözzük az x tengelyre?

i) először eltoljuk a v(1;2) vektorral, majd tükrözzük az y tengelyre?

Megoldási útmutató: Ábrázoljuk koordináta-rendszerben a transzformált függvényeket, majd

olvassuk le a kapott grafikon hozzárendelési utasítását.

a) ( ) ( )23−= xxf ; b) ( ) 22 += xxf ; c) ( ) 2xxf = ;

d) ( ) ( ) 13 2 −+= xxf ; e) ( ) 22xxf = ; f) ( ) 2

21 xxf −= ;

g) ( ) 52 +−= xxf ; h) ( ) 22 −−= xxf ; i) ( ) ( ) 21 2 ++= xxf .


28. Egy céllövőnek a versenyen a tőle 8 m távolságra, 16 m magasan levő korongot kell

eltalálnia a győzelemhez. Lövés után a golyó az 2

41)( xxf = képlettel megadott függvény

grafikonjának vonalán mozog, ahol x a golyó versenyzőtől való távolságát jelenti.

Készítsd el a függvény grafikonját, és döntsd el, hogy megnyeri-e ez a céllövő a versenyt?

(A légellenállástól eltekintünk.)

Megoldás: Készítsünk ábrát!

Az ábrán már látszik, hogy a golyó telibe találja

a korongot, és versenyzőnk nyer. Mutassuk meg,

hogy tényleg így van!

Tegyük fel, hogy a golyó az origóból indul ki, és

a korongot egy ponttal ábrázoljuk. Berajzolva a

röppályát, azt kell megvizsgálni, hogy a P(8;16)

pont rajta van-e ( ) 2

41 xxf = hozzárendelési utasítással megadott függvény grafikonján.

Behelyettesítve a képletbe kapjuk: ( ) 168418 2 =⋅=f . A pont rajta van a parabolán, így

versenyzőnk valóban győz.

Módszertani megjegyzés: A következő feladat heti 4-5 órában matematikát tanuló diákoknak

ajánlott.

29. Írd fel annak a másodfokú függvénynek a hozzárendelési utasítását, amelyről tudjuk, hogy

az f(x) = x2 vagy a g(x) = −x2 függvényből a következő transzformációval származik:

a) az y tengely −2 pontjában szélsőértéke van.

b) az x tengelyt a 4 helyen érinti.

c) maximuma van az (5;2) pontban.

d) minimuma van a (−3;1) pontban.

e) átmegy a P(−3;10) ponton, szimmetrikus az y tengelyre.

f) átmegy a P(−1;5), Q(1;1) és R(3;5) pontokon.


Megoldási útmutató: Mindegyik feladatnál célszerű ábrát készíteni. Ez alapján az a) – f)

feladatok könnyen megoldhatóak. A g) példában is segít az ábrakészítés, hiszen így

kiderül, hogy a Q pontban a függvénynek szélsőértéke van.

a) ( ) 22 −= xxf vagy ( ) 22 −−= xxg ; b) ( ) ( )24−= xxf vagy ( ) ( )24−= xxg ;

c) ( ) ( ) 25 2 +−−= xxf ; d) ( ) ( ) 13 2 ++= xxf ;

e) ( ) 12 += xxf vagy ( ) 192 +−= xxg ; f) ( ) ( ) 11 2 +−= xxf .

Mintapélda10

Készítsük el az f(x) = −x2+5x-6 függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!

Megoldás:

Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás:

( ) =−−−= 65)( 2 xxxf

( ) =−−+⋅⋅−−= 625,625,65,222 xx

( )( ) =−−−−= 625,65,2 2x

( ) ( ) 25,05,2625,65,2 22 +−−=−+−−= xx

Jellemzés:

1. É.T.: R.

2. É.K.: ] −∞; 0,25].

3. Zérushely:

4. Monotonitás:

x ≤ 2,5: szigorúan monoton növő,

x ≥ 2,5: szigorúan monoton csökkenő.

5. Szélsőérték:

maximumhely: x = 2,5,

maximumérték: f(2,5) = 0,25.

6. Nem páros, nem páratlan.

7. Konkáv (alulról nézve).

3

2

=

=( ) ( )( ) =

−−±−

=−⋅

−⋅−⋅−±−=

=−+−

224255

1261455

0652

21

2

;x

xx

32

2

1

==

xx


Feladatok

30. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett)

függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!

n(x) = x2+6x+9; q(x) = x2−2x−3 x∈[−2; 3]; s(x) = x2+4x+3 x∈Z;

o(x) = x2−4x+4; r(x) = x2−x−2; t(x) = x2−x+6 x∈Z+.

Megoldás: A függvények grafikonja teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás után

elemi transzformációkkal ábrázolható. ( ) ( )23+= xxn ; ( ) ( )22−= xxo ;

( ) ( ) 41 2 −−= xxq ; ( )49

21 2

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= xxr ; ( ) ( ) 12 2 −+= xxs ; ( )

423

21 2

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= xxt .

Jellemzés a mintapélda szerint.

Mintapélda11

Készítsük el a 32)( 2 −−= xxxf függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!

Megoldás:

Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás:

( ) ( ) 4131131112)( 222 −−=−−−=−−+⋅⋅−= xxxxxf .

Jellemzés:

1. É.T.: R.

2. É.K.: R+∪0.

3. Zérushely:

0322 =−− xx .

13

2

1

−==

xx

( )=

+±=

⋅⋅⋅−−±

=2

124212

31422 2

21;x

1

3

−


4. Monotonitás:

x ≤ −1: szigorúan monoton csökkenő,

−1 ≤ x ≤ 1: szigorúan monoton növő,

1 ≤ x ≤ 3: szigorúan monoton csökkenő,

3 ≤ x: szigorúan monoton növő.

5. Szélsőérték:

lokális maximum hely: x = 1,

maximumérték: f(1) = 4,

abszolút minimum hely: x1 = −1; x2 = 3,

minimumérték: f(1) = f(3) = 0.

6. Paritás: nincs.

7. Ha −1 < x < 3, akkor konkáv (alulról nézve), ha x < −1 vagy x > 3, akkor konvex

(alulról nézve).

31. Ábrázold a következő (alapértelmezésben a valós számok halmazán értelmezett)

függvények grafikonját, és jellemezd a függvényeket!

282)( 21 +−= xxxf ; xxxf 6

31)( 2

4 += ;

263)( 22 −−= xxxf ; 34)( 2

5 +−= xxxf ;

xxxf 82)( 23 −= ; 14122)( 2

6 −+−= xxxf .

Megoldás: A függvények grafikonja teljes négyzetté alakítás után elemi transzformációkkal

ábrázolható. Teljes négyzetté alakított függvények: ( ) ( ) 622 21 −−= xxf ;

( ) ( ) 513 22 −−= xxf ; ( ) ( ) 822 2

3 −−= xxf ; ( ) ( ) 27931 2

4 −+= xxf ;

( ) ( ) 12 25 −−= xxf ; ( ) ( ) 432 2

6 +−−= xxf .

A minimum- és maximumhely illetve -érték meghatározásával például a szélsőérték feladatok

megoldásánál találkozhatunk.

Az 5.10 kártyakészlet és az 5.11 ablak alkalmazása


A következő feladat megoldásához használjuk a rendelkezésre álló eszközöket! A tanár

minden csoportnak odaadja a kártyakészletet és az ablak ábráját. Minden tanuló négy kártyát

húz. A tanulók a kártyájukon látható függvényeket írják be az ablak megfelelő rubrikáiba.

32. A függvény grafikonjának elkészítése nélkül határozd meg a zérushelyek számát!

Állapítsd meg, hogy maximuma vagy minimuma van-e a függvénynek! Csoportosítsd az

alábbi függvényeket a felsorolt szempontok alapján!

Csoportosítandó függvények:

( )2710)( 21 ++−= xxxf ; 204)5)(5(2)( 2

7 −−−+= xxxxf ; 741)( 2

13 ++−= xxxf ;

xxxf 6)10()( 22 ++−= ; 3)6(

31)(8 −−−= xxxf ; 4)2)(10()(14 +−−= xxxf ;

23 )4(2)( xxxf +−= ; xxxxf 4)3)(13()(9 +−−= ; )4(37)(15 ++= xxxf ;

9)4(2)( 24 +−−−= xxxf ; 152)( 2

10 −+= xxxf ; 216 2

1)3(4)( xxxf −+−=

5,16521)( 2

5 +−= xxxf ; 7)1)(3()( 211 +−−−−= xxxxf ;

8)8)(4()(6 +++= xxxf ; xxxf 67)( 212 −−−= .

Szempontok:

– nincs zérushelye,

– egy zérushelye van,

– két zérushelye van,

– minimuma van,

– maximuma van.

Megoldás:

A kijelölt műveletek elvégzése után a csoportosítandó függvények:

271021 −−−= xx)x(f 1062

2 −+−= xx)x(f 82)( 23 +−= xxxf

982 24 ++= xx)x(f 5165

21 2

5 ,xx)x(f +−= 401226 ++= xx)x(f

50202 27 −−−= xx)x(f 32

31 2

8 −+−= xx)x(f 363 29 +−= xx)x(f


4241 2

10 ++= xx)x(f 442 211 ++−= xx)x(f 762

12 −−−= xx)x(f

741 2

13 ++−= xx)x(f

2412214 +−= xx)x(f 7123 2

15 ++= xx)x(f 12421 2

16 −−−= xx)x(f

nincs zérushelye: f1; f2; f3; f4; f5; f6; f16;

egy zérushelye van: f7; f8; f9; f10;

két zérushelye van: f11; f12; f13; f14; f15;

maximuma van: f1; f2; f7; f8; f11; f12; f13; f16;

minimuma van: f3; f4; f5; f6; f9; f10; f14; f15.

33. A kertünkben zöldségtermesztés céljából szeretnénk elkeríteni egy

részt. 20 m hosszú drótot vettünk a kerítéshez. Mekkorák legyenek a

veteményes oldalai, hogy a lehető legtöbb zöldséget tudjuk benne

termeszteni?

Megoldás: Legyenek a veteményes oldalai a illetve b

hosszúak. Ekkor ( )ba +⋅= 220 alapján ab −= 10 . A

terület: ( ) aaaabaT 1010 2 +−=−⋅=⋅= . Az a

értéket változónak tekintve képezhető a

aa)a(t 102 +−= hozzárendelési utasítással

megadott másodfokú függvény. A feladatban ennek a

függvénynek keressük a maximumát. Mivel a

főegyüttható negatív, ezért létezik maximum. Teljes négyzetté alakítással:

( ) 25525255210 222 +−−=−+⋅⋅−−=−−= a)aa()aa()a(t

Akkor kapjuk a legnagyobb területet, ha a kert oldalai 5 m hosszúak (a = 5, b = 5),

vagyis négyzet alakú. Ekkor a területe 25 m2.


a) 34. Bontsunk fel egy 10 cm hosszú szakaszt két részre úgy, hogy

a) a darabok fölé rajzolt szabályos háromszögek területének

összege a legkisebb legyen!

b) a két darab hosszának a szorzata a legnagyobb legyen!

Megoldás:

a) Egy háromszög területét 2

amaT

⋅= képlettel számoljuk ki. Szabályos háromszög

esetén ama 23

= , amit behelyettesítve a területképletbe kapjuk: 2

43 aT = . A

szakaszok fölé emelt két szabályos háromszög területének összege pedig:

( )22 1043

43 xxT −+=

Ebből: ( )( ) ( )1002024310

43 222 +−=−+= xxxx)x(t

Az x = 5 helyen van minimum, és a minimumérték: 65215043 ,≈⋅

b) A két darab szorzata ott a legnagyobb, ahol az

( )xx)x(f −⋅= 10 függvénynek maximuma

van. Alakítsuk szorzattá a képletet!

( ) ( )10102 −−=−−= xxxx)x(f A függvény zérushelyei 0; 10. A szélsőérték

hely: 52100

=+ . Ez azt jelenti, hogy a

szakaszt két egyenlő részre kell felosztani ahhoz, hogy a két darab szorzata

maximális legyen.


35. Egy konvex sokszögben összesen 44 átló húzható. Határozd meg a sokszög

oldalszámát! Ábrázold koordináta-rendszerben a konvex sokszög oldalai és a benne

húzható átlók száma közötti összefüggést.

Megoldás: Az n oldalú konvex sokszög átlóinak száma ( )2

3−nn . Tudjuk, hogy összesen 44

átlója vannak a keresett sokszögnek, tehát

( )2

344 −=

nn , ebből

08832 =−− nn

A –8 nem megoldás, mert a sokszög csúcsainak száma nem lehet negatív. Így a keresett

sokszög 11 oldalú.


A következő feladatban használjuk a rendelkezésre álló eszközöket! A tanár minden

csoportnak odaadja az. ablakot, illetve a kártyakészletet. A csoport minden tagja húz négy-

négy kártyát, majd beírja az ablak megfelelő rubrikáiba a pontokat. Mielőtt hozzálátnak a

feladatnak, célszerű ábrázolni a függvények grafikonját.

Ugyanúgy, ahogy korábban a függvényeknél, a pontokat is többféleképpen jelölhetjük:

1. Különböző betűkkel: P,Q,R,…..

2. Alsó indexben jelölve a különbözőséget: P1, P2, P3, ……….

36. Csoportosítsd a következő pontokat aszerint, hogy azok hogyan helyezkednek el az

721)( 2 +−= xxf és 4)1()( 2 −+= xxg függvények grafikonjához képest!

Pontok:

)5;2(1P ;

)7;0(2P ;

)3;0(3 −P ;

)0;3(4 −P ;

)5;1(5 −P ;

)0;0(6P ;

)5;3(7P ;

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

29;

23

8P ;

)2;2(9P ;

)6;3(10 −P ;

)90;2(P11 ;

)3;7(12 −P ;

=21;n11

–8


)4;4(13 −P ;

)5;3(14P ;

)6;5(15 −−P ;

)11;6(16 −P .

Szempontok:

– vagy az f vagy a g függvények grafikonján található,

– az f függvény és a g függvény grafikonja felett található,

– az f függvény grafikonja alatt, de a g függvény grafikonja felett található,

– az f függvény és a g függvény grafikonja alatt található,

– az f függvény grafikonja felett, de a g függvény grafikonja alatt található.

Megoldás:

Ábrázoljuk a függvények grafikonját közös koordináta-rendszerben:

1. vagy az f vagy a g függvények grafikonján található: P1; P2; P3; P4;

2. az f függvény és a g függvény grafikonja felett található: P10; P11;

3. az f függvény grafikonja alatt, de a g függvény grafikonja felett található: P5; P6; P7;

4. az f függvény és a g függvény grafikonja alatt található: P8; P9;

5. az f függvény grafikonja felett, de a g függvény grafikonja alatt található: P12; P13;

P14; P15; P16.


Mintapélda12

Ábrázoljuk számegyenesen a (x−3)(x+2) ≥ 0 egyenlőtlenség megoldáshalmazát!

Megoldás:

Ábrázoljuk koordináta-rendszerben az

f(x) = (x − 3)(x + 2) függvény grafikonját!

Az előjelek megállapításához elegendő, ha tudjuk

az x tengellyel való metszéspontokat, illetve azt,

hogy a parabola felfelé vagy lefelé nyílik.

Ennek az alapján:

Az ábráról leolvasható a megoldáshalmaz: x ≤ −2 vagy x ≥ 3.

Természetesen a feladat algebrai úton is megoldható: egy kéttényezős szorzat akkor pozitív,

ha a szorzótényezők előjelei megegyeznek. Ekkor x − 3 ≥ 0 és x + 2 ≥ 0 egyenlőtlenségek

közös megoldáshalmaza az x ≥ 3, illetve az x − 3 ≤ 0 és x + 2 ≤ 0 egyenlőtlenségek közös

megoldásaként adódik az x ≤ −2.

Feladatok

37. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát:

a) 0)2)(3( ≥+− xx ; b) 0)1( ≤+xx ; c) ( ) 05 2 ≥+x ;

d) ( ) 03 2 >−x ; e) ( ) 03 2 ≤−− x .

Megoldási útmutató: A c) – e) feladatok koordináta-rendszerben történő ábrázolással

megoldhatóak. Az a) és a b) feladatoknál a szorzat előjelét a szorzótényezők előjelének

függvényében határozzuk meg. Például az a) feladatban a szorzat akkor lesz nem

negatív (≥0), ha ((x−3) ≥ 0 és (x+2) ≥ 0) vagy ((x−3) ≤ 0 és (x+2) ≤ 0). A b) feladatnál

pedig akkor lesz nem pozitív (≤0), ha (x ≤ 0 és (x+1) ≥ 0) vagy (x ≥ 0 és (x+1) ≤ 0).

38. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldáshalmazát:

a) 032

≤+x ; b) ( )( ) 0x3x5 >+−− ; c) 032 <+− x ;

d) 082 2 >−x ; e) ( )( ) 03241

≤+−+ xx .


Megoldási útmutató: Az a), c) és d) feladatok koordináta-rendszerben történő ábrázolással

megoldhatóak. A b) és d) feladatoknál a szorzat előjelét a szorzótényezők előjelének

függvényében határozzuk meg.

Mintapélda13

Ábrázoljuk számegyenesen a 0562 ≥+− xx egyenlőtlenség megoldáshalmazát!

Megoldás:

Mivel a főegyüttható pozitív (+1), ezért a parabola

felfelé nyílik. Az x tengelyt az 5 és az 1 helyen metszi.

A keresett halmaz: x ≤ 1 vagy x ≥ 5.

Mintapélda14

Mely egész számokra teljesül a 0762 ≥−−− xx egyenlőtlenség?

Megoldás:

A megfelelő egyenlet gyökei:

2226

21 −±

=;x ,

59123

41423

2

1

,x

,x

−≈+−=

−≈−−=

Mivel a főegyüttható negatív (−1), ezért a parabola

lefelé nyílik. Az egyenlőtlenségnek megfelelő értékek a két gyök között találhatók:

2323 +−≤≤−− x . A keresett egész számok: −4; −3; −2.

12

46

52

46

=−

=+

=⋅⋅−±

=2

51466 2

21;x


Feladatok

39. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldási halmazát:

a) 01492 ≥+− xx ; d) 212 xx ≤+ ;

b) 62 −≥+− xx és x∈Z; e) 251134 2 −≥−− xxx ;

c) 0103 2 >−+− xx .

Megoldási útmutató: A kijelölt műveletek elvégzése után összevonunk, ahol szükséges.

a) x ≤ 2 vagy x ≥ 7; b) x∈−2; −1; 0; 1; 2; 3; c) x < −2 vagy x > 5;

d) x ≤ −3 vagy x ≥ 4; e) 2131−≤x vagy

2131+≥x .

40. Ábrázold számegyenesen a következő egyenlőtlenségek megoldási halmazát:

a) 423

8 2+<+

− xxx ;

b) xxxx 22186 22 +−<+−− és x∈Z;

c) ( )( ) 0124 >+++ xx ;

d) ( )( ) 24115

21 2 −+>−+ xxxx .

Megoldási útmutató: A kijelölt műveletek elvégzése után összevonunk, ahol szükséges.

a) x < 2 vagy x > 3; b) nincs ilyen; c) R\−3;

d) 62 −−≤x vagy 62 +−≥x .

Módszertani megjegyzés: A 15. és a 16. mintapélda, valamint a 41. és a 42. feladat elvégzése

heti 4-5 órában történő oktatás esetén ajánlott.

Mintapélda15

Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyek koordinátáira y < − x2− 6 x + 7 ?

Megoldás:

Teljes négyzetté alakítás felhasználásával ábrázoljuk a az f(x) = −x2− 6x+ 7 függvény

grafikonját.


( ) ( ) 16376)( 22 ++−=++−= xxxxf

A megoldáshalmazt a grafikon alatti pontok alkotják.

Feladatok

41. Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyek koordinátáira

a) 462 −−< xxy ; b) xxy 51 2 +−≥− ?

Megoldás:

a) b)


Mintapélda16

Hol találhatók a számegyenesen azok a pontok, melyekre 621032 −+>−+ xxx ?

Megoldás:

Legyen 103)( 2 −+= xxxf és 62)( −+= xxg . Ábrázoljuk az f és g függvények

grafikonjait közös koordináta-rendszerben!

Az f(x) függvény grafikonjának pontos ábrázolásához teljes négyzetté alakítunk:

( ) ( ) ( ) 25,125,11025,225,23103)( 222 −+=−−++=−+= xxxxxxf

Az ábra alapján már meg lehet becsülni, hol lesz a megoldáshalmaz, de a megoldáshoz

szükséges még a metszéspontok pontos meghatározása.

1. lépés: Alkalmazzuk az abszolútérték definícióját!

( )⎩⎨⎧

−<−−=−+−−≥−=−+

=−+28622462

62x,xxx,xx

x

2. lépés: A definíciót felhasználva oldjuk meg az egyenletet!

I. Ha 2−≥x , akkor

062

41032

2

=−+

−=−+

xx

xxx

( )71

2722

22442

26442

21 ±−=±−

=+±−

=−⋅−±−

=;x

653721

651721

2

1

,x

,x

−≈−−=

≈+−=


Mivel 2−≥x , ezért x2 nem megoldás.

II. Ha 2−<x , akkor

024

81032

2

=−+

−−=−+

xx

xxx

( )62

2624

2244

224164

21 ±−=±−

=±−

=−⋅−±−

=;x

Mivel 2−<x , ezért x1 nem megoldás.

Összefoglalva: a megoldáshalmaz: 71xvagy62x +−>−−< .

Feladatok

42. Hol találhatók a számegyenesen azok a pontok, melyek koordinátáira

a) 12122 +≤− xx ; b) 42242 −−>+− xxx ?

Megoldás:

a) b)

45462

45062

2

1

,x

,x

−≈−−=

≈+−=


43. Egy üzemben a darabszám függvényében a költséget a xxk 34)( += függvény írja le

millió forintban. A bevételt pedig a 180006002)( 2 −+−= xxxb kifejezés adja meg szintén

millió forintban.

a) Milyen darabszámok esetén lesz a bevétel nagyobb, mint a kiadás?

b) Milyen darabszám mellett lesz a legnagyobb a nyereség (bevétel–kiadás)?

Megoldás:

Ábrázoljuk a két függvény grafikonját közös

koordináta-rendszerben!

Az a) feladatban azon egész számok jelentik a

megoldást, amelyeknél b > k. Ez ugyanaz, mint a

h = b – k függvény két zérushelye között

található egész számok halmaza. A b) feladat

megoldásához ezt a h függvényt használjuk fel.

Ugyanis a b) feladat megoldását a h függvény

maximumhelye és maximum értéke jelenti.

Mivel b grafikonja lefelé nyíló parabola, így a keresett darabszámok a két függvény

metszéspontjai között találhatóak.

Vizsgáljuk a h = b – k függvényt!

1800459720

4318000600202

2

−+−=

−−−+−=

xx

xxx

( ) ( )4

844605974212377597

41800424597597 2

21 −±−

=−±−

=−

−⋅−⋅−±−=

,x ;

462644

841057

0434416136

2

1

,,x

,,x

≈−

−=

≈−

−=

Mivel a főegyüttható negatív, ezért a függvény

képe egy lefelé nyíló parabola, mely a két

zérushelye között pozitív értéket vesz fel, a két

zérushelyen kívül pedig negatív.


a) Ha a darabszám legalább 35 és legfeljebb 264, akkor a bevétel nagyobb, mint a

kiadás, tehát van nyereség.

b) Teljes négyzetté alakítással kapjuk meg a megoldást.

( ) ( )( ) ( ) 125,2654725,1492180045625,222755625,222755,2982

180045,298222

2

+−−=−−+−−=

=−−−=

xxx

xxxh

149,25 darab árú esetén lenne a nyereség maximális. Mivel a darabszám csak egész

szám lehet, ezért maximális nyereséget 149 darab esetén érünk el. A teljes négyzetté

alakított képletből leolvasható, hogy ilyen darabszám esetén a nyereség kb.

26 547 mFt.

Mintapélda17

Oldjuk meg az 06423

2

2≥

++−+

xxxx egyenlőtlenséget a valós számok halmazán!

Megoldás:

Legyen 23)( 2 −+= xxxf és 64)( 2 ++= xxxg .

A nevező nem lehet 0: .0642 2 ≠++ xx

D = 16 – 24 < 0. Mivel a diszkrimináns negatív, ezért

a nevező sehol sem vesz fel 0 értéket.

Mivel a diszkrimináns negatív és a főegyüttható

pozitív, így a g függvény grafikonja olyan parabola,

amelynek minden pontja az x tengely fölött van.

A függvény mindenütt pozitív értéket vesz fel.

Most számoljuk ki az f függvény zérushelyeit:

56,32

173

56,02

173

;2

1732

893

2

1

2;1

−≈−−

=

≈+−

=

±−=

+±−=

x

x

x


Egy tört értéke akkor nemnegatív, ha a számláló és a nevező előjelei megegyeznek.

Mivel a nevező mindenütt pozitív, így a számlálónak is nemnegatívnak kell lennie. Az f

függvény főegyütthatója pozitív, így a függvény akkor vesz fel nemnegatív értékeket, ha

2173−−

≤x vagy 2

173+−≥x . A tört értéke is ezekben az esetekben lesz

nemnegatív.

Mintapélda18

Milyen valós számokra igaz az alábbi egyenlőtlenség?

42

33

+<+

−+

xx

xx

Megoldás:

Kikötés: 03 ≠−x , 04 ≠+x , és 3≠x , 4≠x .

Törtes egyenletek és egyenlőtlenségek megoldásakor az első lépés mindig a kikötés, mert

a nullával való osztás nincs értelmezve. Egyenlőtlenség megoldásakor, ha negatív

számmal szorzunk, az egyenlőtlenség jele megfordul. A törtes egyenlőtlenségeket célszerű

nullára rendezni:

04

233

<+

−+−+

xx

xx / közös nevezőre hozás:

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( ) 0

433

43432

4343

<+−

−−

+−+−

++−++

xxxx

xxxx

xxxx ,

( )( ) ( )( ) ( )( )( ) 0

43343243<

+−−−+−+++

xxxxxxxx / zárójelfelbontás:

A nevezőben a zárójelek felbontása felesleges, hiszen az egyenlőtlenség megoldásához a

zérushelyekre lesz szükség, amelyek a szorzat alakból könnyen leolvashatók.

( )( ) 043-x

32422127 222<

++−−++++

xxxxxxx / összevonás:

( )( ) 04312122 2

<+−−+

xxxx .


Az egyenlőtlenség megoldásához szükség van a számláló zérushelyeire is:

066

20121222

2

=−+

=−+

xx

:/xx

Ábrázoljuk külön a számlálónak, illetve külön a nevezőnek, mint függvénynek a grafikonját.

Egy tört értéke akkor és csak akkor negatív, ha a számláló és a nevező ellentétes előjelű.

I. 012122 2 >−+ xx és ( )( ) 043 <+− xx (számláló pozitív és a nevező negatív):

A számláló pozitív, ha 153−−<x vagy

153+−>x .

A nevező negatív, ha 34 <<− x .

A két halmaz közös része a megoldás: 3153 <<+− x .

II. 012122 2 <−+ xx és ( )( ) 043 >+− xx (számláló negatív és a nevező pozitív):

A számláló negatív, ha 153153 +−<<−− x .

A nevező pozitív, ha 4−<x vagy 3>x .

A két halmaz közös része a megoldás:

4153 −<<−− x .

A részmegoldások összesítése a kikötéssel: 4153 −<<−− x vagy 3153 <<+− x .

Megjegyzés: Az irracionális értékek ábrázolása a számegyenesen csak hozzávetőleges.

87,6153

87,0153

−=−−

=+−=±−=

±−=

+±−= 153

2606

224366

21;x


44. Oldd meg a valós számok halmazán az 11

22 ++

≥+x

x egyenlőtlenséget!

Megoldás:

Kikötés: x ≠ −1.

Megoldandó egyenlőtlenség: 01

122≥

+−+

xxx .

Megoldáshalmaz:

21+−≥x vagy 121 −<≤−− x .

45. Oldd meg az 23

21

−+

<+−

xx

xx egyenlőtlenséget, ha x ∈ R és ] [34;x −∈ !

Megoldás:

Kikötés: x ≠ −2 és x ≠ 2.

Megoldandó egyenlőtlenség: ( )( ) 022

48<

−+−−xx

x .

Megoldáshalmaz:

212 −<<− x vagy 32 << x .

46. Oldd meg a valós számok halmazán a 31

4252

312+

−−

≤+−−

xx

xx egyenlőtlenséget!

Megoldás:

Kikötés: x ≠ 1 és x ≠ 2,5.

Megoldandó egyenlőtlenség:

( )( ) 01522

393 2≤

−−−−

x,xxx .

Megoldáshalmaz: 2

133−≤x vagy 521 ,x << vagy

2133+

≥x .



344

4104

753

−+

>+

++− xx

xx egyenlőtlenséget!

Megoldás:

Kikötés: x ≠ −7.

Megoldandó egyenlőtlenség: 0213

1362>

+++−

xxx .

Megoldási halmaz: 7−<x vagy 223223 +<<− x .


2

2

+−+−

xxxx < 0 egyenlőtlenséget!

Megoldás: A számláló diszkriminánsa ( ) 3141 21 −=⋅−−=D , és az 2x együtthatója pozitív:

ez azt jelenti, hogy a számláló értéke minden valós x-re pozitív. A nevező

diszkriminánsa ( ) 7241 22 −=⋅−−=D , az 2x együtthatója pozitív: ez azt jelenti, hogy a

nevező értéke is minden valós x-re pozitív. A tört értéke tehát minden valós x-re pozitív,

ezért az egyenlőtlenségnek nincs megoldása.

Mintapélda19

Hol találhatók a síkon azok a pontok, melyekre 262 +−≤ xxy és 13 −−−> xy egyszerre

teljesül?

Megoldás:


Közös tartomány:

Ha a függvény grafikonja eleme a tartománynak (≤ vagy ≥ esetén), akkor a tartomány

színével színezzük ki. Ha a nem eleme (< vagy > esetén), akkor a grafikon fekete színű.


Módszertani megjegyzés: A tanulók párokban dolgoznak. A tanár minden asztalra kiteszi a

kártyakészletet 3 részre osztva. Ebben a készletben relációs jeleket, logikai kapcsolatokat,

valamint képleteket tartalmazó kártyák találhatóak.

A páros mindkét tagja húz egy másodfokú kifejezést és egy relációs kártyát. Valamint

felváltva húznak a logikai kapcsolatot tartalmazó kártyát is. Először külön-külön ábrázolják a

füzetükbe az egyenlőtlenség megoldási halmazát, majd egy közös koordináta-rendszerben, a

logikai kapcsolatnak megfelelően kiszínezik a náluk lévő két egyenlőtlenségből álló

egyenlőtlenség-rendszer megoldási halmazát.

A tanulók úgy húznak relációs kártyákat, hogy a kisebb-nagyobb relációs jelek mind a négy

lehetséges kombinációja előforduljon (egyenlőségtől eltekintve). Az „és”, illetve „vagy”

logikai kapcsolatokat pedig felváltva alkalmazzák.


IV. A négyzetgyökfüggvény Az 5.15 kártyakészlet alkalmazása

Módszertani megjegyzés: Alkossanak 4 fős csoportokat a négyzetgyökkel kapcsolatos

ismereteik alapján a kártyakészlet segítségével! A tanár kitesz minden asztalra egy számot,

valamint szétosztja a gyökös kifejezéseket tartalmazó kártyákat a tanulók között. A tanulók

keressék meg azt az asztalt, amelyen a kártyájukon látható kifejezés értéke szerepel.

Mintapélda20

Hány egység a négyzet oldala, ha ismert a területe? Töltsd ki a táblázatot!

Tudjuk, hogy a négyzet területe: 2aT = . Ebből Ta = .

T 1 4 9 2 3 5 0,25 0,01

a 1 2 3 2 3 5 0,5 0,1

Definíció: Egy nemnegatív szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelyet

négyzetre emelve megkapjuk az eredeti számot. Jelöléssel: Ha 0≥a , akkor a jelöli azt a

nemnegatív valós számot, amelyre ( ) aa =2

.

Megjegyzés: Mivel két olyan szám is létezik, amelynek négyzete a, ezért a− -val jelöljük

azt a nem pozitív számot, amelynek négyzete szintén a ( )00 = .

Ezen definíció alapján megadható a négyzetgyök függvény fogalma.

Definícó: Négyzetgyökfüggvényen értjük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett

xxf =)( hozzárendeléssel megadott függvényt.

Az 5.21 fólia alkalmazása


Mintapélda21

Ábrázoljuk a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett xxf =)( hozzárendeléssel

megadott függvényt, és jellemezzük!

A fenti táblázatot értéktáblázatként felhasználva a következő grafikont kapjuk:

Jellemzés:

1. É.T.: R+∪0;

2. É.K.: R+∪0;

3. Zérushely: x = 0;

4. Monotonitás: szigorúan monoton növő;

5. Szélsőérték:

minimumhely: x = 0;

minimumérték: f(0) = 0;

6. Paritás: nem páros, nem páratlan;

7. Konkáv (alulról nézve).

Mintapélda22

a) Határozd meg, hogy a 68 négyzetgyöke melyik két egész szám között található!

b) Határozd meg öttized pontossággal, hogy az 55 négyzetgyöke melyik két racionális szám

között található!

Megoldás:

a) x=68, 9688 << .

b) x=55, 5,7557 << , mert 49 < 55 < 56,25.

Feladatok Módszertani megjegyzés: A következő feladat házi feladatnak javasolt.


49. a) Határozd meg, mely két egész szám között található az alábbi számok négyzetgyöke!

b) Határozd meg öttized pontossággal, mely két racionális szám között található az

alábbi számok négyzetgyöke!

x a) b)

0,5 << x << x

2 << x << x

10 << x << x

17 << x << x

28 << x << x

33 << x << x

44 << x << x

70 << x << x

Megoldás:

x a) b)

0,5 0 << x 1 0,5 << x 1

2 1 << x 2 1 << x 1,5

10 3 << x 4 3 << x 3,5

17 4 << x 5 4 << x 4,5

28 5 << x 6 5 << x 5,5

33 5 << x 6 5,5 << x 6

44 6 << x 7 6,5 << x 7

70 8 << x 9 8 << x 8,5


50. Az ábra segítségével határozd meg egy tizedesjegy pontossággal a nemnegatív valós

számok halmazán értelmezett xxf =)( függvény értékeit az alábbi helyek esetén!

x 2 3 6 7 8

f(x)

f(0) = f(–1) = f(2,5) = f(5,7) = f(8,1) =

Megoldás:

x 2 3 6 7 8

f(x) 1,4 1,7 2,4 2,6 2,8

f(0) = 0; f(–1) = nem értelmezett; f(2,5) = 1,6; f(5,7) = 2,4; f(8,1) = 2,8.

Módszertani megjegyzés: A következő feladatot házi feladatnak javasoljuk.

51. Az előző grafikon alapján olvasd le egy tizedesjegy pontossággal, hogy hol veszi fel az

xxf =)( , R+∪0 függvény a táblázatban szereplő függvényértékeket!

x

f(x) 1 2 3 0,1 0,5 0,7 1,3 1,6 2,2 2,5 2,9


Megoldás:

x 1 4 9 0 0,3 0,5 1,7 2,6 4,8 6,3 8,4

f(x) 1 2 3 0,1 0,5 0,7 1,3 1,6 2,2 2,5 2,9

52. Hol veszi fel az 2+= x)x(f , x∈[−2; ∞[ függvény a következő függvényértékeket?

f(x) = 0, x = ;

f(x) = 0,2, x = ;

f(x) = 1,2, x = ;

f(x) = 3,3, x = ;

f(x) = −4, x = ;

f(x) = −0,5, x = .

Megoldás:

f(x) = 0 x = −2

f(x) = 0,2 x = −1,96

f(x) = 1,2 x = −0,56

f(x) = 3,3 x = 8,89

f(x) = −4 x = ∅ (nincs ilyen x)

f(x) = −0,5 x = ∅ (nincs ilyen x)


A következő feladat megoldásakor használjuk a rendelkezésre álló eszközöket! A tanár

minden asztalra kiteszi az ablakot és a pontokat tartalmazó kártyakészletet. A tanulók húznak

4-4 kártyát, és beírják az ablak megfelelő rubrikáiba.

53. Csoportosítsd a következő pontokat aszerint, hogy mely függvények grafikonján

vannak rajta!


Pontok:

( )1;11 −−P ,

( )0;22P ,

( )2;33P ,

( )0;24 −P ,

( )2;25 −−P ,

( )2;26 −P ,

( )1;07P ,

( )0;18 −P ,

( )4;69P ,

( )2;110P ,

( )23;111 −P ,

( )0;012P ,

( )1;013 −P ,

( )7;514 −P ,

( )12;515P ,

( )1116 −;P .

Függvények: 1)( += xxf ; 22)( −= xxg ; 2)( +−= xxh ; 22)( −+= xxi

Szempontok:

– f(x) grafikonján rajta van,

– g(x) grafikonján rajta van,

– h(x) grafikonján rajta van,

– i(x) grafikonján rajta van,

– egyik függvény grafikonján sincs rajta.

Megoldás:

f(x) grafikonján rajta van: P3; P7; P8; P10;

g(x) grafikonján rajta van: P2; P3; P9; P15;

h(x) grafikonján rajta van: P1; P4; P6; P14;

i(x) grafikonján rajta van: P1; P2; P5; P11;

egyik függvény grafikonján sincs rajta: P12; P13; P16.

A feladatokban találkozunk olyan pontokkal, amelyek nincsenek rajta a függvény grafikonján.

Ennek egyik lehetséges oka, hogy a pont x koordinátája nem eleme a függvény értelmezési

tartományának.

A következőkben rátérünk az értelmezési tartomány vizsgálatára.


Mintapélda23

Határozzuk meg az 3)(1 += xxf ; xxf −= 2)(2 és 2612)( 23 −−−= xxxf

hozzárendeléssel megadott függvények értelmezési tartományát!

Megoldás:

Azt kell megvizsgálni, hogy a gyökjel alatti kifejezés hol nemnegatív, vagyis mely x-ekre

teljesül, hogy

f1 esetén x+3 ≥ 0,

f2 esetén 2−x ≥ 0, illetve

f3 esetén 026122 ≥−−− xx .

f1 értelmezési tartománya: x ≥ −3,

f2 értelmezési tartománya: 2 ≥ x.

Most vizsgáljuk meg az f3(x) függvényt!

1. lépés: kiszámoljuk a függvény zérushelyeit:

2. lépés: a függvény grafikonja egy lefelé nyíló parabola, mely az x tengelyt a −9,16,

illetve az −2,84 helyeken metszi:

3. lépés: az ábráról már könnyen leolvasható a megoldási halmaz, ami egyben a függvény

értelmezési tartománya is: 106106 +−≤≤−− x .

842106

169106

,

,

−≈+−

−≈−−( ) ( )=

−±

=−

−⋅−⋅−±=

24012

2261414412

21;x


Mintapélda24

Hol értelmezhető az ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= xxxf

545112)( hozzárendeléssel megadott függvény?

Megoldás:

A gyökjel alatti szorzat nem vehet fel negatív értékeket. Egy kéttényezős szorzat értéke

pedig csak akkor lesz nemnegatív, ha a tényezők értékeinek előjele megegyezik, illetve ha

a szorzat 0.

I. 0112 ≥+x és 0545 ≥− x ⇒ 55,x −≥ és 256,x ≤ ⇒ 25655 ,x, ≤≤−

II. 0112 ≤+x és 0545 ≤− x ⇒ 55,x −≤ és 256,x ≥ ⇒ ez a két feltétel egyszerre nem

teljesül ⇒ nincs megoldás.

Tehát a függvény értelmezési tartománya: 25655 ,x, ≤≤−

Mintapélda25

Adjuk meg az 66

32)( 2

2

−+−−−

=xx

xxxf hozzárendeléssel megadott függvény értelmezési

tartományát!

Megoldás:

Egy tört értéke akkor nemnegatív, ha a számláló és a nevező előjelei megegyeznek, illetve

a számláló 0 is lehet.

Ezért 1. lépésben meghatározzuk mind a számlálóban, mind a nevezőben lévő

kifejezéseknek, mint függvényeknek a zérushelyeit:


Számláló:

Nevező:

2. lépés: Készítsünk vázlatot a számlálóban és nevezőben lévő parabolák

elhelyezkedéséről a zérushelyek és a főegyüttható alapján.

3. lépés: a feladatbeli tört értéke akkor nemnegatív, ha

I. 0322 ≥−− xx és 0662 >−+− xx .

A fenti ábrákról leolvasható, hogy

0322 ≥−− xx akkor teljesül, ha 1−≤x vagy

3≥x . A nevező pedig akkor pozitív, ha

3333 +<<− x .

A közös tartomány: 333 +<≤ x .

=−±−

=−

−±−=

2326

224366

2;1x73433

27133

,

,

≈+

≈−

=±

=+±

=2

422

12422;1x

1

3

−


II. 0322 ≤−− xx és 0662 <−+− xx .

A számláló akkor nem pozitív, ha 31 ≤≤− x .

A nevező pedig akkor negatív, ha 33−<x

vagy 33+>x . Számegyenesen ábrázolva

kapjuk: a közös tartomány: 331 −<≤− x .

A I. és II. eset összegzéseként megkapjuk a függvény értelmezési tartományát:

333 +<≤ x vagy 331 −<≤− x .

Feladatok

54. Határozd meg a következő függvények értelmezési tartományát:

xxf −=)(1 ; xxf −= 2)(3 ; 15)(5 +−= xxf ;

xxf −=)(2 ; 53)(4 += xxf ; 421)(6 −= xxf ;

Megoldás: 0:1 ≥xf ; 0:2 ≤xf ; 2:3 ≤xf ; 35:4 −≥xf ;

51:5 ≤xf ; 8:6 ≥xf .

65

4)(7 −=

xxf ;

61)(10 +

−=

xxxf ; 33)(13 −+−= xxxf ;

xxf

472)(8 −

−= ; 10133)( 2

11 +−−= xxxf ; 21)(14 −−−= xxxf ;

65)( 29 −+= xxxf ; 1382)( 2

12 +−= xxxf ;

Megoldás: 2,1:7 >xf ; xf <75,1:8 ; 6:9 −≤xf vagy 1≥x ; 1:10 ≥xf vagy 6−<x ;

325:11 ≤≤− xf ; f12: x∈R; 3:13 =xf ; 2:14 ≥xf .


3332)(15 −+= xxf ; 49305)( 2

18 −+−= xxxf ;

5)(16 +−= xxf ; 34

145)( 2

2

19 +−−−

=xxxxxf ;

51)(17+−

=x

xf ; x

xxxxf

5413

452)(20 −

+−

+−

= .

Megoldás: 5,7:15 −≤xf vagy 51,x > ; 5:16 −=xf ; :f17 sehol sincs értelmezve;

:18f sehol sincs értelmezve; f19: 7≥x vagy 2−≤x , ill 31 << x ;

f20: 54

−≤x vagy 54

>x , ha ;01625 2 >−x nincs megoldás, ha .01625 2 ≤−x


A négyzetgyökfüggvény ábrázolása és a függvény jellemzése

Az 5.18 szakértői mozaik alkalmazása

Módszertani megjegyzés: A tanulók csoportmunkával dolgozzák fel az anyagot. A tanár

minden asztalra kiteszi a szakértői mozaikban lévő tananyagot. Akik ugyanazt a tananyagot

kapták, közös, a tanár által kijelölt asztalhoz mennek, és plakátot készítenek a tananyag

könnyebb megértéséhez. A plakáton lehetőleg elsősorban képek, illusztrációk legyenek, és

csak minimális szöveg. A plakáthoz minden csoportnak szüksége van filctollakra és

csomagoló papírra. Amikor elkészültek, mindenki visszamegy a saját csoportjához, és körbe

mennek. Minden asztalnál az a tanuló magyaráz, aki részt vett annak a plakátnak az

elkészítésében.

A következő mintapéldának a célja az inverzfüggvény szemléletes fogalmának kialakítása.

1. Az xxf =)( függvény grafikonjának transzformálása:

x tengely menti eltolás

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a valós számok halmazán értelmezett xxf =)( ,

x ≥ 0; 3)( += xxg , x ≥ −3; és 2)( −= xxh , x ≥ 2 függvények grafikonját!

Az ábrázoláshoz felhasználhatjuk a következő értéktáblázatokat!

x –3 –2 –1 0 1 2 3

f(x) 0 1 2 3

g(x) 0 1 2 3 2 5 6

x 0 1 2 3 4 5 6

f(x) 0 1 2 3 2 5 6

h(x) 0 1 2 3 2


Az értéktáblázatból látható, hogy a g függvény az

értékeit 3 egységgel korábban veszi fel, mint az

f függvény. Ez azt jelenti, hogy a g függvény

grafikonját úgy kapjuk meg az f függvény

grafikonjából, hogy azt eltoljuk az x tengely mentén

–3 egységgel, másképp fogalmazva negatív irányba

3 egységgel.

A h függvény az értékeit 2 egységgel később veszi

fel, mint az f függvény. A h függvény grafikonját

pedig az f függvény grafikonjának x tengely menti

2 egységgel, pozitív irányba történő eltolásával

kapjuk meg.

Általánosságban: a uxxg +=)( (u 0-tól különböző

tetszőleges valós szám) függvény grafikonját az

xxf =)( függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy

f grafikonját eltoljuk az x tengely mentén |u|

egységgel u előjelével ellentétes irányba: u < 0 esetén

pozitív, u > 0 esetén negatív irányba.

Megjegyzés: ezt a transzformációt a változó transzformációjának nevezzük, mivel az x

helyekre (változókra) vonatkozik a transzformáció, és csak utána végezzük el a gyökvonást,

és kapjuk meg a függvényértéket.


y tengely menti eltolás

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett

xxf =)( , 3)( += xxg és 2)( −= xxh függvények grafikonját ( 0≥x )!


x 0 0,1 0,5 1 2 3 4 5 8 9

f(x) 0 0,32 0,71 1 1,41 1,73 2 2,24 2,83 3 g(x) 3 3,32 3,71 4 4,41 4,73 5 5,24 5,83 6 h(x) –2 –1,68 –1,29 –1 –0,59 –0,27 2 0,24 0,83 1


Ha az f függvény értékeihez 3-at adunk hozzá,

akkor a g függvény értékeit kapjuk meg, ha

pedig 2-t vonunk ki, akkor a h függvény lesz az

eredmény. Ez egyben a grafikon y tengely menti

eltolását is jelenti +3, illetve – 2 egységgel.

Általánosságban: a vxxg +=)( , x∈R+∪0

(v 0-tól különböző, tetszőleges valós szám)

függvény grafikonját a nemnegatív valós

számok halmazán értelmezett xxf =)(

függvény grafikonjából úgy kapjuk, hogy f

grafikonját eltoljuk az y tengely mentén |v|

egységgel v < 0 esetén lefelé, v > 0 esetén

felfelé.

Megjegyzés: ezt a transzformációt az érték transzformációjának nevezzük, mivel először az x

helyekre kiszámítjuk a függvényértékeket, és a függvényértékekre végezzük el a

transzformálást.



y tengely menti nyújtás/zsugorítás

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett

xxf =)( , xxg 2)( = és xxh21)( = függvények grafikonját ( 0≥x )!


x 0 0,1 0,5 1 2 3 4 5 8 9

f(x) 0 0,32 0,71 1 1,41 1,73 2 2,24 2,83 3 g(x) 0 0,64 1,42 2 2,82 3,46 4 4,48 5,66 6 h(x) 0 0,16 0,355 0,5 0,705 0,865 1 1,12 1,415 1,5

Az f függvény értékeit 2-vel szorozva a g

függvény értékeit, míg 21 -del szorozva a h

függvény értékeit kapjuk meg.

Általánosságban: a függvény az xaxf =)( ,

x∈R+∪0 hozzárendelési utasítással adható

meg.

Ha az a szorzótényező 0 és 1 között van, akkor a függvény grafikonja az x tengelyhez “lapul”,

ha 1-nél nagyobb, akkor a grafikon az y tengely irányában “megnyúlik”.


4. Az xxf =)( függvény transzformálása: tükrözés

a koordinátatengelyekre

Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben a valós

számok halmazán értelmezett xxf =)( , x ≥ 0;

xxg −=)( , x ≥ 0 és a xxh −=)( , x ≤ 0

függvények grafikonját!

A g függvény értékeit az f függvény értékeinek

(–1)-gyel való szorzásával kapjuk. Ez azt is

jelenti, hogy a g függvény grafikonját az f

függvény grafikonjának x tengelyre történő

tükrözésével kapjuk.

A h függvény az értékeit pedig pont az f függvény helyeivel ellentétes helyeken veszi fel. Ez

azt is jelenti, hogy a h függvény grafikonját az f függvény grafikonjának y tengelyre történő

tükrözésével kapjuk.

Mintapélda26

a) Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az 0∪+R halmazon értelmezett 2)( xxa = ,

xxb =)( és a valós számok halmazán értelmezett xxc =)( függvények grafikonját!

b) Ábrázoljuk közös koordináta-rendszerben az 0∪−R halmazon értelmezett 2)( xxa = ,

xxb −=)( és a valós számok halmazán értelmezett xxc =)( függvények grafikonját!

Mit tapasztalunk?


Megoldás:

a) b)

Mindkét értelmezési tartományon a b függvény grafikonja az a függvény grafikonjának az

xy = egyenesre (a c függvény grafikonjára) vonatkozó tükörképe.

Az a és b függvény a megfelelő értelmezési tartományon egymás inverzei, vagyis az egyik

függvény értelmezési tartománya a másik függvény értékkészlete és fordítva. Hiszen egy

P(x ; y) pont akkor van rajta a b függvény grafikonján, ha y = x . Ekkor a négyzetgyök

definíciója szerint y jelenti azt a nemnegatív számot, amelyet négyzetre emelve x-et kapunk,

vagyis y2 = x. Tehát a P´(y; y2) koordinátákkal megadott pont az a függvény grafikonjának

lesz az eleme. De P´ így is írható: P´( x ; x).

Összefoglalva: P(x; x ) és P´( x ; x) pontok koordinátái felcserélődtek, ami azt jelenti,

hogy tükörképei egymásnak az y = x egyenesre vonatkozóan.

55. Ábrázold a következő függvények grafikonját, és jellemezd a függvényt:

xxf41)( = ; 1)( += xxg ; xxh 2)( −= ; 3)( −= xxk .

Megoldás: Ezek a függvények elemi transzformációkkal ábrázolhatóak.


Mintapélda27

Ábrázoljuk az 2521)( +−−= xxf függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!

Megoldás:

1. lépés: Ábrázolás transzformációkkal

Transzformációs lépések:

xxa =)( ← alapfüggvény,

5)( −= xxb ← a grafikonjának eltolása az x tengely mentén +5 egységgel,

521)( −= xxc ← b grafikonjának y tengely menti felére zsugorítása,

521)( −−= xxd ← c grafikonjának tükrözése az x tengelyre,

2521)( +−−= xxf ← d grafikonjának eltolása az y tengely mentén 2 egységgel.


1. É.T.: 5≥x és x valós,

2. É.K.: 2)( ≤xf és Rxf ∈)( ,

3. zérushely:

02521

=+−− x ,

45 =−x ,

165 =−x , innen 21=x ,

4. monotonitás: szigorúan monoton csökkenő,

5. szélsőérték:

maximumhely: x = 5,

maximumérték: f(5) = 2,

6. paritás: nem páros, nem páratlan,

7. konvex (alulról nézve).


Mintapélda28

Ábrázoljuk az xxf 43)( −= függvény grafikonját, és jellemezzük a függvényt!

Megoldás:

1. lépés: A hozzárendelési utasítás átalakítása:

( ) ( ) ( )7502750475043443 ,x,x,xxx −−⋅=−−⋅=−⋅−=+−=− .

2. lépés: Ábrázolás transzformációkkal:

Transzformációs lépések:

xxa =)( ← alapfüggvény,

75,0)( −= xxb ← a grafikonjának x tengely menti eltolása +0,75 egységgel,

( )75,0)( −−= xxc ← b grafikonjának tükrözése az x = 0,75 egyenletű egyenesre,

( )75,02)( −−⋅= xxf ← c y tengely menti kétszeres nyújtása.


1. É.T.: ]− ∞; 0,75],

2. É.K.: nemnegatív valós számok halmaza,

3. zérushely: x = 0,

4. monotonitás: szigorúan monoton

csökkenő,

5. szélsőérték:

minimumhely: x = 0,75,

minimumérték: f(0,75) = 0,

6. paritás: nem páros, nem páratlan,

7. konkáv (alulról nézve).


1)(1 += xxf ;

21)(2 −+= xxf ;

241)(3 += xxf ;

331)(4 −= xxf ;


xxf −= 3)(5 ;

64)(6 −= xxf ;

15)(7 +−−= xxf ;

414)(8 −−= xxf ;

842)(9 ++−= xxf .

Megoldás: Az f1 – f4, f7 – f9 függvények elemi transzformációkkal ábrázolhatóak. Az f5 és f6

függvény ábrázolásában a 28. mintapélda nyújt segítséget.

Mintapélda29

Ábrázoljuk az ⎩⎨⎧

∈−∪∈= −

+

RxhaxRxhaxxf

,0,)( függvény grafikonját! Hogyan lehetne

egyetlen hozzárendelési utasítással megadni ezt a függvényt?

Megoldás:

Jellemzés: Ez a függvény a valós számok

halmazán értelmezett. Nemnegatív értékeket vesz

fel. A negatív számok halmazán szigorúan

monoton csökkenő, míg a pozitív számok esetén

szigorúan monoton növekvő. Az origóban

minimuma van. Grafikonja szimmetrikus az y

tengelyre, vagyis a függvény páros. A negatív és a

pozitív számok halmazán egyaránt alulról nézve

konkáv.

A függvény megadható az xxf =)( hozzárendelési utasítással.


21 )( xxf = ; 2)(3 −= xxf ; 2)(5 −= xxf ;

2)(2 −= xxf ; 3)(4 −= xxf ; 96)( 26 +−= xxxf .

Megoldási útmutató: xx =2 , 29. mintapélda alapján.


58. Add meg a következő, grafikonjukkal megadott függvények hozzárendelési utasítását!

a). b) c)

Megoldás:

5−= x)x(f 2+−= x)x(f 12 += x)x(f

d) e) f)

Megoldás:

13 −+= x)x(f 421

−= x)x(f 22 +−−= x)x(f


59. Milyen függvénytranszformációkat mutat az alábbi ábra? Add meg a transzformációk

helyes sorrendjét, hogy az f-fel jelölt grafikon legyen az eredmény az xxa =)( -ből

kiindulva!

Megoldás:

A helyes transzformációs lépések:

1.) kiindulás: ( ) xxa = ;

2.) x tengely menti eltolás -2 egységgel → ( ) 2+= xxb ;

3.) y tengely menti kétszeres nyújtás → ( ) 22 += xxc ;

4.) tükrözés az x tengelyre → ( ) 22 +−= xxd ;

5.) y tengely menti eltolás +3 egységgel: ( ) 322 ++−= xxf ;

Az f-fel jelölt grafikon az ( ) 322 ++−= xxf függvény grafikonja.


A tanár minden asztalra kiteszi a kártyakészletet írással lefelé, majd a tanulók szétosztják

egymás között (mindenki négyet kap). Egy hozzárendelési utasítás, egy transzformációs lépés,

egy grafikon és a függvény értelmezési tartománya alkotnak egy összetartozó kártyanégyest.

Mindenkinek össze kell állítania egy ilyen kártyanégyest, a tanulók egymással nem

beszélhetnek. Középre dobhatják a felesleges kártyájukat, amit ha kell, a következő felvehet.

Mindenkinek kötelező egy kártyát írással felfelé középre dobni. Középről bármelyik kártya

felvehető, de egyszerre csak egy.


Kislexikon

Lineáris függvény: a konstans (nulladfokú) és az elsőfokú függvények összessége.

Grafikonja egyenes.

Lineáris függvény hozzárendelési utasítása (képlete): f(x) = m x + b, ahol m a függvény

grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel vett metszéspontja. (b = 0 esetén a

grafikon átmegy az origón, m = 0 esetén konstans függvény, párhuzamos az x tengellyel.)

Lineáris függvény grafikonjának meredeksége: megmutatja, hogy egy egységnyi jobbra

haladás esetén hány egységet kell az y tengely mentén lépünk pozitív m esetén felfelé, negatív

m esetén lefelé.

Lineáris függvény monotonitása:

– ha m > 0, akkor a függvény szigorúan monoton növő, vagyis növekvő x értékekhez

növekvő függvényértékek tartoznak.

– ha m < 0, akkor a függvény szigorúan monoton csökkenő, vagyis növekvő x

értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak.

Pont és egyenes illeszkedése: A P(x0;y0) pont rajta van az f(x) = m x + b hozzárendelési

utasítással megadott lineáris függvény grafikonján, ha x helyébe x0-at; f(x) helyébe y0-at

helyettesítve az egyenlőség teljesül. (Ha y0 > m x0 + b, akkor a P pont az egyenes felett

helyezkedik el, ha y0 < m x0 + b, akkor pedig alatta van.)

Egyenes arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek hányadosa állandó,

akkor azok egyenesen arányosak. Az egyenes arányosságot az f(x) = m x, m ≠ 0 lineáris

függvény írja le, ahol m az arányossági tényező.

Fordított arányosság: Ha két változó mennyiség összetartozó értékeinek szorzata állandó,

akkor azok fordítottan arányosak.

A fordított arányosságot leíró függvény az xaxf =)( , x ≠ 0 és a ≠ 0.

100 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE

Lineáris törtfüggvény: az xaxf =)( alakú hozzárendelési utasítással megadott függvény,

ahol a ∈ R; a ≠ 0; x ∈ R; x ≠ 0.

Megjegyzés: dcxbaxxf

++

=)( a lineáris törtfüggvény általánosabb alakja, ahol c x + d ≠ 0.

Másodfokú függvény: f(x) = ax2 + bx + c hozzárendeléssel megadott függvény, ahol a ≠ 0.

A másodfokú függvény grafikonját parabolának nevezzük.

Másodfokú függvény zérushelye: az a

acbbx2

42

2;1−±−

= képlettel kapjuk meg. A

négyzetgyök alatti kifejezést diszkriminánsnak nevezzük, és D-vel jelöljük. A diszkrimináns

előjele határozza meg a függvény zérushelyeinek számát. Ha D > 0, akkor kettő, ha D = 0,

akkor egy zérushelye van a függvénynek. Ha D < 0, akkor nincs zérushelye (a valós számok

halmazán).

Főegyüttható: a változó legmagasabb hatványának szorzótényezője.

Teljes négyzetet tartalmazó kifejezéssé alakítás: ca

ba

bxacbxax +−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=++

42

222 .

Másodfokú függvény szélsőértéke: ha a főegyüttható pozitív, akkor a parabola felfelé nyílik,

így a függvénynek minimuma van. Ha a főegyüttható negatív, akkor a parabola lefelé nyílik,

így a függvénynek maximuma van. Legyen az f(x) = ax2 + bx + c másodfokú függvény teljes

négyzetté alakítás után f(x) = a (x−p)2 + q alakú. Ekkor a függvény szélsőértékének helye p,

értéke q. Az f grafikonján a szélsőérték helye az M(p;q) pont.

Egy szám négyzetgyökén azt a nemnegatív számot értjük, amelyet négyzetre emelve

megkapjuk az eredeti számot. Jelöléssel: Ha 0≥a , akkor a jelöli azt a nemnegatív valós

számot, amelyre ( ) aa =2

.


Négyzetgyökfüggvényen értjük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett,

xxf =)( hozzárendeléssel megadott függvényt.

Inverzfüggvény: Két függvény inverze egymásnak, ha az értelmezési tartományukon

kölcsönösen egyértelműek, és grafikonjaik az y = x egyenletű egyenesre vonatkozóan

szimmetrikusak. Pl. a nemnegatív valós számok halmazán az 2)( xxf = és xxg =)(

függvények inverzei egymásnak.

A függvények néhány tulajdonsága:

1. Monotonitás:

– A függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában szigorúan monoton

növekvő, ha növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak. A függvény

az értelmezési tartománya egy intervallumában monoton növekvő, ha a növekvő x

értékekhez nem csökkenő függvényértékek tartoznak.

– A függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában szigorúan monoton

csökkenő, ha növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. A függvény

az értelmezési tartománya egy intervallumában monoton csökkenő, ha a növekvő x

értékekhez nem növekvő függvényértékek tartoznak.

2. Zérushely: azon x érték, ahol a függvény helyettesítési értéke 0. Ez szemléletesen azt

jelenti, hogy a függvény grafikonjának itt van közös pontja az x tengellyel.

3. Szélsőérték:

– A függvénynek az x helyen abszolút maximuma van, ha a függvény az x helyen

veszi fel legnagyobb értékét. (A függvénynek az x helyen helyi maximuma van, ha

ezen hely valamely környezetében a függvény itt veszi fel a legnagyobb értékét, de

ezen környezeten kívül ennél nagyobb értéket is felvehet.) x-et maximumhelynek,

f(x)-et maximumértéknek nevezzük.

– A függvénynek az x helyen abszolút minimuma van, ha a függvény az x helyen veszi

fel legkisebb értékét. (A függvénynek az x helyen helyi minimuma van, ha ezen hely

valamely környezetében a függvény itt veszi fel a legkisebb értékét, de ezen

környezeten kívül ennél kisebb értéket is felvehet.) x-et minimumhelynek, f(x)-et

minimumértéknek nevezzük.

102 MATEMATIKA „A” • 10. ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE

4. Függvény paritása:

– A függvény páratlan, ha minden x értékre teljesül az f(−x) = −f(x) azonosság.

Geometriai megközelítésben: a függvény grafikonja középpontosan szimmetrikus az

origóra.

– A függvény páros, ha minden x értékre teljesül az f(x) = f(−x) azonosság. Geometriai

megközelítésben: a függvény grafikonja y tengelyre szimmetrikus.

5. Konvexitás, konkávitás:

Egy függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában alulról nézve konvex, ha

grafikonjának bármely két pontját összekötve a kapott húr pontjai a függvény

grafikonjának pontjai felett vannak.

Egy függvény az értelmezési tartománya egy intervallumában alulról nézve konkáv, ha

grafikonjának bármely két pontját összekötve a kapott húr pontjai a függvény

grafikonjának pontjai alatt vannak.

matematika „a” 10. évfolyam -...

Documents