matematika „a” 11. évfolyam 2. modul: hatványozás ...rások-tanár-tanuló-eszköz/2... ·...

MATEMATIKA „A” 11. évfolyam

2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény

Készítette: Csákvári Ágnes és Darabos Noémi Ágnes

Matematika „A” – 11. évfolyam – 2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 2

A modul célja A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A hatványozás azonosságainak ismerete,

műveletek végzése, alkalmazása feladatokban. Az n-edik gyökre vonatkozó azonosságok ismerete, műveletek végzése, alkalmazása feladatokban. Hatványfüggvény és gyökfüggvény grafikonjának ábrázolása, a függvé-nyek jellemzése. Gyökfüggvény mint a hatványfüggvény inverze.

Időkeret 7 óra Ajánlott korosztály 11. osztály Modulkapcsolódási pontok Tágabb környezetben: Fizikai, kémiai, gazdasági folyamatok.

Szűkebb környezetben: Geometriai transzformációk. A logaritmus fogalma, exponenciális kifejezések. Logarit-mikus és exponenciális egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek. Logaritmusfüggvény, exponenciális függvény. Vektorok. Sorozatok, kamatoskamat számítás. Ajánlott megelőző tevékenységek: A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevőre, a hatványozás azo-nosságai. A négyzetgyökre vonatkozó azonosságok, gyökjel alól való kihozatal, gyökjel alá való bevitel, törtek nevezőjének gyöktelenítése. Másodfokú, abszolútérték és négyzetgyök függvény grafikonjának ábrázolása, a függvények jellemzése. Vektorok, geometriai transzformációk. Másodfokú, abszolútértékes és négyzetgyökös egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása. Ajánlott követő tevékenységek: A logaritmus értelmezése. A logaritmus mint a hatványozás inverz művelete. Exponenciális kifejezések értelmezése. A logaritmus azonosságai. A logaritmus és az exponenciális függvény. Logaritmusos és exponenciális egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldása. Mértani soroza-tok, kamatos-kamat számítás. Az analízis elemei.


A képességfejlesztés fóku-szai

Számolás, számlálás, számítás: Hatványértékek kiszámítása. Függvényérték, zérushely, szélsőérték kiszámítá-sa. Koordináta-rendszerben a grafikon pontjainak meghatározása. Becslés, mérés, valószínűségi szemlélet: Koordináta-rendszerben irracionális, illetve racionális koordinátájú pontok helyének meghatározása. Szöveges feladatok, metakogníció: Az elméleti anyag feldolgozása. Rendszerezés, kombinatív gondolkodás: A hatványozásra és a négyzetgyökre vonatkozó azonosságok átismétlé-se. A hatványozás azonosságainak alkalmazása. Az n. gyökre vonatkozó azonosságok alkalmazása. Összetett függvények grafikonjának rajzolása függvénytranszfromációkkal. Függvények jellemzése. Kapcsolat a hat-vány- és a gyökfüggvény között. Kapcsolat a páros kitevőjű hatványfüggvények között. Kapcsolat a páratlan kitevőjű hatványfüggvények között. Kapcsolat a páros kitevőjű gyökfüggvények között. Kapcsolat a páratlan kitevőjű gyökfüggvények között. Értelmezési tartomány vizsgálata. Induktív, deduktív következtetés: A hatványozás azonosságainak alkalmazása általános és konkrét esetben. Az n. gyökre vonatkozó azonosságok alkalmazása általános és konkrét esetben. A hatványozás és gyök definíciójának kiterjesztése a permanencia-elv alapján. Hatványfüggvény és gyökfüggvény grafikonjának ábrázolása konkrét esetben, majd általánosítva. Függvénytranszformációk alkalmazása konkrét esetekben.

TÁMOGATÓ RENDSZER

• Táblázatok, grafikonok, kidolgozott elméleti anyag, totó.

• 6 darab kártyakészlet, 1 fólia (külön dokumentumokban).


JAVASOLT ÓRABEOSZTÁS

1. óra A hatványozásról tanultak ismétlése (1 óra)

2. óra A négyzetgyökről tanultak ismétlése (1 óra)

3. óra Az n-edik gyök (1 óra)

4. óra A hatványfüggvény és a gyökfüggvény (2 óra)

5. óra A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőre (2 óra)

ÉRETTSÉGI KÖVETELMÉNYEK

Középszint A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén. Ismerje és használja a hatványozás azonosságait. Definiálja és használja az an fogal-mát. Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait. Az inverzfüggvény fogalmának szemléletes értelmezése. Tudjon értéktáblá-zat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról. Tudjon néhány lépéses transzformációt igénylő függvé-nyeket függvénytranszformációk segítségével ábrázolni [f (x) + c; f (x + c); c f (x); f (c x) ]. Tudja ábrázolni az f (x) = x ; g (x) = x2 és h (x) = x3 függvények grafikonját. Függvények jellemzése értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, paritás szempontjából.

Emelt szint Permanencia-elv. Irracionális kitevőjű hatvány értelmezése szemléletesen. Bizonyítsa a hatványozás azonosságait egész kitevők esetén. Bi-zonyítsa a négyzetgyökvonás azonosságait. Tudja ábrázolni az f (x) = xn függvényt. Tudjon a témába tartozó függvényekből összetett függ-vényeket képezni, valamint e függvények transzformáltjainak grafikonját elkészíteni (c f(ax + b) +d).


MODULVÁZLAT

Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek

Eszköz/ Feladat/ Gyűjtemény

I. A hatványozásról tanultak ismétlése (1 óra)

1. A hatványozás és a hatványozás azonosságainak ismétlése. Rendszerezés, kombinatív gondol-kodás

2.1 kártyakészlet

2. A hatványozás azonosságainak gyakorlása. A mintapéldák közös megbeszélése.

1. és 2. mintapéldák

3. Feladatok megoldása

Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. 1–5. feladatokból válogatva

II. A négyzetgyökvonásról tanultak ismétlése (1 óra)

1. A négyzetgyökvonás, és a négyzetgyökvonás azonosságainak ismétlése. A mintapélda közös megbeszélése.

Rendszerezés, kombinatív gondol-kodás

3. mintapélda

2. A négyzetgyökvonás azonosságainak gyakorlása. 2.2 kártyakészlet 3. Feladatok megoldása

Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. 6–12. feladatokból válogatva

III.Az n-edik gyök (1 óra)

1. Az n-edig gyök fogalmának bevezetése. Rendszerezés, kombinatív gondol-kodás, induktív , deduktív gondol-kodás

4. és 5. mintapéldák

2. Minden csoportba osszunk ki A, B, C, D jelű kártyákat, differen-ciálva a tanulók képességei szerint. Szétválnak a csoportok az A, B, C, D jelek szerint, az azonos betűsök dolgoznak most együtt. Ha elkészültek a csoportok, mindenki visszamegy a saját csoport-jába, és a többieknek elmondja a feladatának a megoldását

Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás.

13–16. feladatokból válogatva

3. Feladatok megoldása Kombinatív gondolkodás 17., 18. feladatokból válogatva


IV. Hatványfüggvény és gyökfüggvény (2 óra)

1. Hatványfüggvény és az n-edik gyök függvény grafikonja és jel-lemzése: A tanulók 4 fős csoportokat alkotnak. A tanár minden csoportban kiosztja a 3. kártyakészletben található feladatkártyákat. Akik ugyanazt a kártyát kapták, menjenek egy közös asztalhoz, és ké-szítsenek plakátot a kártyájukon található függvényekről: Hatá-rozzák meg a függvények értelmezési tartományát, majd ábrázol-ják azokat közös koordináta-rendszerben és jellemezzék is. Ha elkészültek, mindenki visszamegy a saját csoportjához, és csoportforgóval körbe mennek. Minden plakátnál az magyaráz, aki a plakát készítésében részt vett.

Rendszerezés, kombinatív gondol-kodás, induktív, deduktív gondol-kodás, számolás, számlálás, metakogníció, becslés

2.3 és 2.4 kártyakészlet 2.7 fólia 6–10. mintapéldákból válogatva 19–21. feladatokból válogatva

2. Kapcsolat a hatványfüggvény és a gyökfüggvény között: A tanu-lók a csoportokon belül párokban dolgoznak. A tanár minden csoportban szétosztja a feladatkártyákat és a be-tűket a 5. kártyakészletből. Mindenki a saját kártyájának megfele-lően közös koordináta-rendszerben ábrázolja a függvé–nyeket, és jellemzi is a függvényeket egymás mellett, két oszlopban, ahogy a mintapéldákban is szerepel. Ha készen vannak a feladataikkal, elmondják egymásnak tapasztalataikat, kielemezve az oszlopok tartalmát.

Rendszerzés, kombinatív gondol-kodás, számlálás

11., 12. mintapéldák 2.5 kártyakészlet

3. Értelmezési tartomány vizsgálata: a mintapéldák feldolgozása, majd 2 fős csoportokban gyakorlás (egy csoporton belül a tanulók megoldanak 2-2 példát, majd ki-cserélik és kijavítják egymásét)

Kombinatív gondolkodás, számolás 13. mintapélda 22., 23. feladatok

4. Függvények ábrázolása, és a függvény jellemzése: a mintapéldák feldolgozása, majd 2 fős csoportokban gyakorlás (egy csoporton belül a tanulók megoldanak 2-2 példát, majd kicserélik és kijavít-ják egymásét)

Kombinatív gondolkodás, deduktív gondolkodás, számlálás, számolás

14–16. mintapéldák 24–27. feladatokból válogatva


V. A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőre (2 óra)

1. A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőre. A mintapéldák közös megbeszélése.

Rendszerezés, kombinatív gondol-kodás

17–19. mintapéldák

2. Dominó játék. A törtkitevős hatványok gyakorlására, a fogalom elmélyítésére. Minden csoportnak adjunk 16 darab kártyát. Fel-adatuk felfelé fordítva kirakni a dominókat úgy, hogy minden kifejezéshez megtalálják a hozzátartozó értéket.

2.6 kártyakészlet

3. Feladatok megoldása 28–33. feladatokból válogatva 4. Matematikai TOTÓ. Minden tanuló egyedül dolgozik a feladato-

kon. Ha letelt az idő, vagy elkészültek a tanulók, akkor mindenki átadja a padtársának a füzetét, aki a feladatok közös megbeszélé-se alapján kijavítja a TOTÓ-t. A hibátlan kitöltőket megjutalmaz-hatjuk.

Számolás, számítás, kombinatív gondolkodás. TOTÓ

Matematika „A” – 11. évfolyam Tanári útmutató 8

I. A hatványozásról tanultak ismétlése Az előző évek során, megismerkedtünk a valós számok egész kitevőjű hatványaival, valamint

a hatványozás azonosságaival, illetve a négyzetgyökvonással és a négyzetgyökös azonossá-

gokkal. Ezeket az ismereteinket szeretnénk kibővíteni, de előbb ismételjük át a tanultakat.

Módszertani megjegyzés: Minden csoportnak 4 pakli kártyát adunk. A csoport minden tagja

választ magának egy paklit, majd megoldja a feladatokat. Az önálló feladat megoldása után a

csoport megbeszéli minden feladat megoldását, valamint közösen megpróbálják felírni a hat-

ványozás azonosságait. A tanár felír egyet az azonosságok közül, majd húz egy csoportszámot

és egy jelet. Az a diák, akinek a jelét kihúzták, táblára felírja a hozzá tartozó kifejezéseket, a

többiek ellenőrzik, hogy jót írt-e.

2.1 kártyakészlet

I. Pakli 53 −⋅ xx 8

6

xx 2

1x

( )21−x

II. Pakli 749 −⋅⋅ xxx 4

10

xx

1

6

1 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x ( )32x

III. Pakli xxx ⋅⋅ −− 72 3

5

xx −

2

4

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

x ( )42−x

IV. Pakli 057 xxx ⋅⋅ 8

20

xx 102

11xx⋅ ( ) 34 −−x

Hatványozás egész kitevőre

43421Ktényeződarabn

n aaa ⋅⋅= , ahol NR ∈>∈ nna ,1,

aa =1 , ha R∈a . 10 =a , ha R∈≠ aa ,0 . ( 00 -t nem értelmezzük)

nn

aa 1

=− , ha +∈∈≠ NR naa ,,0

2. modul: Hatványozás kiterjesztése, hatványfüggvény Tanári útmutató 9

Mintapélda1

Számítsuk ki a 24

444

4813510628

−−

−−

⋅⋅⋅⋅ kifejezés pontos értékét!

Megoldás: Az alapokat írjuk fel prímszámok szorzataként és alkalmazzuk a hatványozás azonos-

ságait:

( ) ( ) ( )( ) ( ) 16

1212

2375523272

2375523272

44

4444

444448

2244

4442

===⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅ −−−−

−−−−

−−

−−

Mintapélda2

Az a-nak hányadik hatványa az ( ) ( )( ) 439

52476

−

−−

aaaaa kifejezés?

Megoldás: Bontsuk fel a zárójeleket és alkalmazzuk a hatványozás azonosságait, ha 0≠a :

153

12

129

10286

aaa

aaaaa

==⋅⋅⋅

−−

−−

. Tehát a kifejezés a-nak 15. hatványa.

Feladatok

1. Melyik szám a nagyobb?

a) 34 77 ⋅ vagy ( )427 b) 5

9

1111 vagy 31111⋅

A hatványozás azonosságai A hatványozás definíciójában felso-rolt feltételek esetén:

1. mnmn aaa +=⋅

2. mnm

n

aaa −= 0≠a

3. ( ) nnn baba ⋅=⋅

4. n

nn

ba

ba

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 0≠b

5. ( ) mnmn aa ⋅=


c) 1010 32 ⋅ vagy 65 66 ⋅ d) 9

6

1272 vagy 515

10

2954⋅

e) 5464

63362832

22

⋅⋅⋅⋅ vagy

369063021

2

322

⋅⋅⋅ f) 43

343

3570281425−

−

⋅⋅⋅ vagy 12

53

72483612

−

−

⋅⋅

Megoldás: a) 87 77 <

b) 44 1111 =

c) 1110 66 <

d) 3222332273

3232 5

530

30103

918

1218

==⋅⋅

<==⋅⋅

e) 294237532

7532343732

732 2264

22753

68

368

=⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅

>==⋅⋅⋅

f) 23

232

25

752752 7

5

747

113

162

=⋅

>=⋅⋅⋅⋅

−−

−

2. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!

a) ( ) ( )( ) ( )8325

2743

aaaa

⋅

⋅ b) ( )( ) ( ) 3552

1232

−−−−

−−−

⋅

⋅

bbbb c) ( ) ( )

( ) ( ) 2563

207234

−−−

−−

⋅

⋅⋅

ccccc

d) ( )( ) ( )25332

534

baaba⋅

e) ( ) ( )( ) ( ) 246237

42332

−−−

−−−

⋅

⋅

abbaabab f)

17223

33

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

baba

ba

Megoldás:

a) 834

26−= a

aa b) 31

25

6−

−

= bbb c) 2

8

6

ccc

=−

−

d) 581012

1520

bababa

= e) 17186

1811

ababa

=−−

−

f) 3

3. Rakd növekvő sorrendbe a következő számokat!

( )122203

31

34;

25;

23;

21;

43;

41;5,0;

23 −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

Megoldás:

43;25,6

425;25,2

49;4;1;015625,0

641;125,0

81;

23

=−=−=−=−

( )221013

32

25

21

23

43

34

415,0

23

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛<−<⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−

−−


4. Írd fel a következő kifejezéseket törtmentes alakban!

32534362

1;4;1;1;5;1;163;

252;

641;

271;

91;

31

babababa −−−

Megoldás: 32534362426321 ;4;;;5;;23;52;2;3;3;3 −−−−−−−−−−− ⋅⋅ babababa

5. Írd fel a következő kifejezéseket negatív kitevő használata nélkül!

3

45223

1212

43;7;4;3;

53;

41;3;2 −

−−−−−

−−−− ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

bababa

Megoldás:

4

3

52232

2 43;7;4;3;

35;164;

31;

41

21

ab

baba==


II. A négyzetgyökről tanultak ismétlése

Mintapélda3

Határozzuk meg az alábbi kifejezések értékét!

a) 182 ⋅ b) 2

72 c) 51105110 +⋅−

d) ( ) 31923 ⋅− e) ( )25273 − f) 8045203 −+⋅

Megoldás: a) Alkalmazzuk a négyzetgyökre vonatkozó 1. azonosságot: 636182 ==⋅

b) 6362

72==

c) Alkalmazzuk a négyzetgyökre vonatkozó 1. azonosságot, majd alkalmazzuk az összeg

és a különbség szorzatára vonatkozó nevezetes azonosságot:

( )( ) ( ) =−=+−=+⋅−22 51105110511051105110

74951100 ==−=

d) Felbontjuk a zárójelet: 152495769319233 −=−=−=⋅−⋅

e) Alkalmazzuk a kéttagú különbség négyzetére vonatkozó azonosságot:

( ) ( ) ( ) =⋅+−⋅=+⋅⋅−=− 545712795252732735273222

35128320351263 −=+−=

f) Emeljünk ki a gyökjel alól:

55545352351659543 =−⋅+⋅⋅=⋅−⋅+⋅⋅

A négyzetgyökre vonatkozó azonosságok

1. 0,0 ≥≥⋅=⋅ bababa

2. 0,0 >≥= baba

ba

3. ( ) Zkaaakk ∈>= ,0

A négyzetgyök

Ha 0≥a , akkor a jelöli azt a nemnegatív számot, amelynek a négyzete a.


Módszertani megjegyzés: Kártyajáték. A feladat a 4 összeillő kártya összegyűjtése. Egy meg-

felelő négyes azonos értékeket tartalmaz. A tanár minden asztalra kitesz egy összekevert (16

darabos) paklit írással lefelé. Egy csoporton belül valaki kiosztja a kártyákat. Mindenkinek 4-

et ad. Körbe-körbe haladva mindenki letesz az asztal közepére egy számára felesleges lapot.

Ha valakinek kell az a lap, felveheti középről, de le kell tennie egy másikat. Ha a megfelelő

lapok nála vannak, akkor viszont ő győzött. A győzelemért 3 pont jár, a 2. helyért 2 pont, a 3.-

ért 1 pont, a 4. helyért pedig 0. Ha van idő, több menetet is lejátszhatnak.

2.2 kártyakészlet

122 ⋅ 62 6

12 3

72

126 ⋅ 26 212

3216

86 ⋅ 34 3

12 2

96

128 ⋅ 64 6

24 2

192

Feladatok

6. Végezd el a következő műveleteket!

a) 312 ⋅ b) 818 ⋅ c) 2

98 d) 375

e) 333 ⋅ f) ( )22

3

g) ( ) 51255 ⋅+ h) ( )3

24962 −⋅

Megoldás: a) 636 = b) 12144 = c) 749 = d) 525 = e) 981 =

f) 24 = g) 3025562525 =+=+ h) 4481664 =−=−



a) 153 ⋅ vagy 2

92 b) 2

905 ⋅ vagy ( )5

135603 +⋅

c) 723 ⋅ vagy ( ) 1263

3

⋅

Megoldás: a) 4645 < b) 1596813615225 =+=+== c) 5456 >

8. Határozd meg az alábbi kifejezések pontos értékét!

a) 774774 +⋅− b) 21372137 +⋅−

Megoldás: a) 5254974 ==− b) 4162137 ==−


a) ( )2273 + b) ( )21223 −

c) 2

158158 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++ d)

2

337337 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−−

Megoldás: a) 489230812302727323 =⋅+=+=+⋅+

b) 27645148364312412343 =⋅−=+−=⋅+⋅−

c) 3072164921615815642158 =⋅+=+=−+−++

d) 642141621433733492337 =⋅−=−=++−−−

10. Végezd el a következő műveleteket!

a) 128 98 50 18 8− + − + b) 147 108 75 27 12+ − + −

c) 25a 16a 36a 9a− + − d) 49b 25b 64b 9b− + −

Megoldás: a) 252223252728 =+−+−

b) 393233353637 =−+−+

c) aaaaa 43645 =−+−

d) bbbbb 73857 =−+−



a) 5 3 vagy 6 2 ; b) 3 5 vagy 4 3

Megoldás: a) 7275 > b) 4845 <

12. Gyöktelenítsd a következő törtek nevezőjét!

a) 35

b) 65 2

c) 53 1−

d) 23

7−

e) 7 27 2+−

Megoldás:

a)5

53 b) 5

23 c) 2

535 + d) 2737 + e) 5

1429 +


III. Az n-edik gyök

Mintapélda4

Egy kocka térfogata 3cm125 . Mekkora a kocka élének a hossza?

Megoldás: Mivel a kocka térfogata: 3aV = , ezért 3125 a= . Azt a számot keressük, amelynek a

harmadik hatványa 125. Ez a szám az 5, mert 12553 = .

Például 51253 = , mert 12553 = .

Mintapélda5

Két kocka térfogatának különbsége 504 cm3, élhosszuk különbsége 6 cm. Számítsuk ki a

térfogatuk arányát! Mekkora a hasonlóság aránya?

Megoldás: Jelöljük a kisebbik kocka élének hosszát a-val, ekkor a térfogata: 3

1 aV = .

A nagyobbik kocka élének hossza ekkor 6+a , térfogata: ( )32 6+= aV .

Különbségük: ( ) 5046504 3312 =−+⇒=− aaVV .

Felhasználva a ( ) 32233 33 babbaaba +⋅+⋅+=+ nevezetes azonosságot:

50421610818 323 =−+⋅+⋅+ aaaa .

A rendezés után egy másodfokú egyenletet kapunk: 01662 =−⋅+ aa .

A másodfokú egyenlet megoldóképletét alkalmazva:

( )82

121614366

212,1 −==⇒⋅

−⋅⋅−±−= aaa .

Egy kocka élhossza csak pozitív szám lehet, ezért 2=a .

Ebből 8231 ==V , ( ) 512862 33

2 ==+=V

Hasonló testek térfogatának aránya a hasonlóság arányának köbével egyenlő:

41

641

641

5128

33

2

1 ==λ⇒λ===VV , mert

641

41 3

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

A kockák térfogatainak aránya 641 , a hasonlóság aránya

41 .

Az a valós szám köbgyöke az a valós szám, amelynek harmadik hatványa a:

( ) aa =33


Az előzőek alapján definiáljuk a gyököt általános formában is, de meg kell különböztetnünk a

páros és páratlan eseteket. Páros gyökkitevő esetén a definíció hasonló lesz a négyzetgyök,

páratlan gyökkitevő esetén a köbgyök definíciójához.

Az n-edik gyökre vonatkozó azonosságok A definíció által megengedett értékekre. (n > 1, n ∈ N) 1. nnn baba ⋅=⋅ , ha n = 2p, akkor 0,0 ≥≥ ba (p ∈ N+)

2. n

nn

ba

ba= , 0≠b

3. ( )knn k aa =

4. mnn m aa ⋅=

5. kn kmn m aa ⋅ ⋅= , m, k ∈ Z\{0; 1}, n ∈ N\{0; 1}

Az n-edik gyök definíciója

Páros pozitív egész n-re az a nemnegatív valós szám n-edik gyöke az a nemnegatív

valós szám, amelynek az n-edik hatványa a.

Például: 3814 = , mert 8134 = ; 2646 = , mert 6426 = .

Páratlan, 1-nél nagyobb egész n-re az a valós szám n-edik gyöke az a valós szám,

amelynek az n-edik hatványa a.

Például: 3273 = , mert 2733 = ; 2325 −=− , mert ( ) 322 5 −=− .

Jelölés: az a szám n-edik gyöke: n a .

Megjegyzés: 1=n -re az n a -t nem értelmezzük.


Feladatok

Minden csoportban osszuk ki az A, B, C, D jelű kártyákat, differenciálva a tanulók képességei

szerint. Szétválnak a csoportok az A, B, C, D jelek szerint, az azonos betűsök dolgoznak most

együtt. Ha elkészültek a csoportok, mindenki visszamegy a saját csoportjába, és a többieknek

elmondja a feladatának a megoldását. A csoporton belül összekeverik az A, B, C, D jelű kár-

tyákat, mindenki húz egyet. A feladat megoldását az ismerteti a táblánál, akinek a csoport

számát és betűjelét kihúzza a tanár.

Az A jelűek feladata:

13. Számítsd ki a következő kifejezések értékét!

a) 4 625 b) 4 81− c) 8 256 d) 6 729

e) 6 64− f) 3 8− g) 3 125− h) 5 100000−

i) 7 128− j) 9 1− k) 3 125 l) 3 64

m) 5 32 n) 111 o) 381 p) 4

161

Megoldás: a) 5 b) ∅ c) 2 d) 3

e) ∅ f) 2− g) 5− h) 10−

i) 2− j) 1− k) 5 l) 4

m) 2 n) 1 o) 21 p)

21

Az B jelűek feladata:

14. Számítsd ki a következő kifejezések értékét!

a) ( )4 43− b) 6 67 b) ( )3 33− d) 5 57

e) 4 4a f) 6 6a g) 3 3a h) 5 5a

Megoldás: a) 3 b) 7 c) 3− d) 7

e) a f) a g) a h) a


Az C jelűek feladata:


a) 5 32 vagy 3 27 b) 3125

1 vagy 4 116−

Megoldás:

a) 32 < b) 41

51<

Az D jelűek feladata:

16. Keresd meg a párját!

a) 55 162 ⋅ A) 4

4

2162

b) 44 273 ⋅ B) 5

5

396

c) 44 328 ⋅ C) 4

4

580

d) 66 164 ⋅ D) 3

3

3192

Megoldás: a) 2325 = B) 2325 = vagy C) 2164 =

b) 3814 = A) 3814 =

c) 42564 = D) 4643 =

d) 2646 = B) 2325 = vagy C) 2164 =


a) 33 378378 +⋅− b) 44 11271127 +⋅−

Megoldás: a) 3273764378378 3333 ==−=+⋅−

b) 216112711271127 4444 ==−=+⋅−


18. Hozd egyszerűbb alakra a következő kifejezéseket!

a) ( )03 5

3 73 3

≠⋅ aa

aa b) ( ) ( )03 73 1

3 53 22

3 4

≠⋅

⋅⋅−−

−−

aaa

aaa

c) ( )05 4 34 5 4

4 35 2

>⋅

⋅ bbb

bb d) ( )034 3 43 2

34 23

>⋅⋅

⋅⋅−

−

bbbb

bbb

Megoldás: a) 3 5a

b) 33 9

3 8

3 1

aaaa

==−

c) 5 420 16

20 34

20 158

5 4 34 5 4

4 35 2

bbbbbb

bb

bb==

⋅

⋅=

⋅

⋅

d) 212 24

12 1848

12 1862

312 43 2

34 26−−

−

−

−

−

==⋅⋅

⋅⋅=

⋅⋅

⋅⋅ bbbbb

bbbbbb

bbb


IV. Hatványfüggvények, gyökfüggvények Módszertani megjegyzés: Eddig tanult függvények átismétlése kerekasztal módszerrel. A ta-

nulók 4 fős csoportokat alkotnak. Előkészítenek három lapot. Az egyikre felírják a „Függvé-

nyek”, a másikra a „Függvénytranszformációk”, a harmadikra pedig a „Jellemzési szempont-

ok” szót. A lapokat indítsák el körbe. Az egyiket ellentétes irányba. A „Függvények” lapra

írjanak össze minél több, eddig tanult alapfüggvényt. A „Függvénytranszformációk” lapra a

függvénytranszformációkat 3-4 konkrét példával (képletben hogyan jelenik meg, és az mit

jelent). A harmadik lapon pedig gyűjtsék össze az eddigi 6 (+1 invertálhatóság) jellemzési

szempontot. Mindenki fölírja a lapra, amit tud, illetve kiegészíti a már leírtakat. Ha készen

vannak, közösen megbeszélik. Itt lehet pontozni a csoport hatékonyságát is.

A hatványfüggvény és az n-edik gyökfüggvény ábrázolása A tanulók alkossanak 4 fős csoportokat. A tanár minden csoportban kiosztja a 11.3. kártya-

készletben található feladatkártyákat.

2.3 kártyakészlet, 2.7 fólia

Akik ugyanazt a kártyát kapták, menjenek egy közös asztalhoz,

és készítsenek plakátot a kártyájukon található függvényekről:

Határozzák meg a függvények értelmezési tartományát, majd

ábrázolják azokat közös koordináta-rendszerben és jellemezzék

is. A tanár bevezetésként ismerteti az m(x)=x0 , illetve az n(x)=x1

függvényeket (11.8. fólia).

1. feladatkártya: f(x) = x2; g(x) = x4

2. feladatkártya: h(x)=x3; k(x) = x5

3. feladatkártya: a(x) = x ; b(x) = 4 x

4. feladatkártya: a c(x) = 3 x ; d(x) = 5 x

Ha elkészültek, mindenki visszamegy a saját csoportjához, és csoportforgóval körbe mennek.

Minden plakátnál az magyaráz, aki a plakát készítésében részt vett.


2.7 fólia

Mintapélda6

Ábrázoljuk és jellemezzük az m(x) = x0 és az n(x) = x1 függvényeket!

Értelmezési tartományuk a valós számok halmaza.

Megoldás:

Jellemzés: m(x) = x0 n(x) = x1 1. É.T. R R 2. É.K. {1} R 3. zérushely nincs x = 0 4. monotonitás konstans függvény a teljes értelmezési tartományon

szigorúan monoton növő 5. szélsőérték minden helyen minimuma és maxi-

muma van, melynek értéke 1. nincs

6. paritás páros páratlan


Mintapélda7

Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett f(x) = x2 és g(x) = x4 függvé-

nyeket!

Megoldás:

Ha szükséges, készítsünk értéktáblázatot.

Jellemzés: Mindkét függvényre egyaránt érvényesek az alábbi tulajdonságok

1. É.T. R 2. É.K. R+∪{0} 3. zérushely x = 0 4. monotonitás x ≤ 0: szig. mon. csökk. x ≥ 0: szig. mon. növő 5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: f (0) = 0 6. paritás páros

Mintapélda8

Készítsük el a valós számok halmazán értelmezett h(x) = x3 és k(x) = x5 függvények grafikon-

ját, és jellemezzük a függvényeket!

Megoldás:


Jellemzés: Mindkét függvényre egyaránt érvényesek az alábbi

tulajdonságok

1. É.T. R 2. É.K. R 3. zérushely x = 0 4. monotonitás az teljes értelmezési tartományon szigorúan monoton növő 5. szélsőérték nincs 6. paritás páratlan


Mintapélda9

Ábrázoljuk és jellemezzük a nemnegatív valós számok halmazán értelmezett a(x) = x és

b(x) = 4 x függvényeket!

Megoldás:


Jellemzés: Mindkét függvényre egyaránt érvényesek az alábbi tulajdonságok

1. É.T. R+∪{0} 2. É.K. R+∪{0} 3. zérushely x = 0 4. monotonitás szigorúan monoton növő 5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: f (0) = 0 6. paritás nem páros, nem páratlan

Mintapélda10

Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett c(x) = 3 x és a d(x) = 5 x

függvényeket!

Megoldás:


Jellemzés:

1. É.T. R 2. É.K. R 3. zérushely x = 0 4. monotonitás szigorúan monoton növő 5. szélsőérték nincs 6. paritás páratlan

Válaszolnak az alábbi kérdésekre diákkvartettel. (2.4 kártyakészlet)

Diákkvartett menete:

1. A tanár ad a csoportoknak egy betűjelet, valamint a csoport tagjainak 1-től 4-ig egy sor-

számot. De magánál is tart egy betű- és egy számsorozatot.


2. Felolvassa az első kérdést. Hagy pár percet, hogy a csoportokon belül a tanulók megbe-

szélhessék a választ.

3. Húz egy sorszámot és egy betűt. A kihúzott betűjelű csoport kihúzott sorszámú tagja vála-

szol a kérdésre.

4. Jó válasz esetén a tanár felolvassa a következő kérdést. Rossz válasz esetén megbeszélik a

jót osztály szinten.

2.4 kártyakészlet

Feladatok

19. Válaszolj az alábbi kérdésekre! (Az 1 – 8. kérdések az f(x) = x2, a g(x) = x4, a h(x) = x3

és a k(x) = x5 függvényekre vonatkoznak.)

1. Milyen összefüggést veszel észre az értékkészlet, és az x kitevője között?

2. Milyen összefüggést veszel észre ezen kitevő és a függvény paritása között?

3. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páros kitevőjű hatványfüggvény grafikonja

áthalad?

4. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páratlan kitevőjű hatványfüggvény grafikonja

áthalad?

5. E pontok segítségével mit tudsz mondani az f(x) = x2 és a g(x) = x4 függvények grafikon-

jának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt?

6. E pontok segítségével mit tudsz mondani az h(x) = x3 és a k(x) = x5 függvények grafikon-

jának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt?


7. Elmondható-e a páratlan függvényekről, hogy minden x helyhez pontosan egy függvény-

érték tartozik és fordítva, minden függvényértékhez pontosan egy x hely tartozik, vagyis a

függvény kölcsönösen egyértelmű?

8. Elmondható-e ez a páros függvényekről is? Ha nem, tudsz-e az értelmezési tartománynak

olyan részhalmazát mondani, amelyre teljesül?

Most vizsgáljuk az a(x) = x , a b(x) = 4 x , a c(x) = 3 x és a d(x) = 5 x függvényeket! 9. Milyen összefüggést veszel észre az értékkészlet, és a gyökkitevő között?

10. Milyen összefüggést veszel észre a gyökkitevő és a függvény paritása között?

11. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páros gyökkitevőjű függvény grafikonja átha-

lad?

12. Melyek azok a pontok, amelyeken minden páratlan gyökkitevőjű függvény grafikonja

áthalad?

13. E pontok segítségével mit tudsz mondani az a(x) = x és a b(x) = 4 x függvények grafi-

konjának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt?

14. E pontok segítségével mit tudsz mondani a c(x) = 3 x és a d(x) = 5 x függvények grafi-

konjának egymáshoz való viszonyáról? Tudnád-e általánosítani ezt az észrevételt?

15. Kölcsönösen egyértelműek-e ezek a függvények?

Definíciók:

Minden valós számhoz egyértelműen hozzárendelhetjük annak n-edik hatványát, ahol n ∈ N+. Az f (x) = xn, n ∈ N+ hozzárendelési utasítás-sal kapott függvényeket hatványfüggvényeknek nevezzük.

Ha n > 1 és páratlan, akkor minden valós számhoz hozzá tudjuk rendelni annak n-edik gyökét. Ha pedig páros, akkor a nem negatív valós számokhoz tudjuk egyértelműen hozzárendelni annak n-edik gyökét. A g (x) = n x , n ∈ N \ {0,1} hozzárendelési utasítással kapott függvényeket gyökfüggvényeknek nevezzük.

Egy függvény invertálható, ha kölcsönösen egyértelmű.


20. Számítsd ki a függvények értékét a megadott helyeken!

a) f (x) = (x+2)4 x ∈ {–3,5; –2; – 23

; 0; 0,5; 1}

b) g(x) = –x3–1 x ∈ {–2; – 23

; 0; 0,5; 3}

c) h(x)= 3 3−x x ∈ {–61; – 8101

; 2; 3,125; 3}

d) k(x) = 2 4 x x ∈ {–81; –1; 0; 161

; 2,0736; 625}

Megoldás:

a) f(–3,5) = 5,0625; f(–2) = 0; 062551681

23 ,f ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ; f(0) = 16; f(0,5) = 0,0625; f(1)=81

b) g(–2) = 7; 8

1923

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−g ; g(0) = –1; g(0,5) = –1,125; g(3) = –28

c) h(–61) = –4; 25

8101

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−h ; h(2) = –1; h(3,125) = 0,5; h(3) = 0

d) A k függvény negatív x-ekre nincs értelmezve; k (0) = 0; 1161

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛k ; k (2,0736) = 2,4;

k (625) = 10

21. Állapítsd meg, hogy az adott pontok mely függvények grafikonján találhatók! Egy

pont több függvény grafikonján is rajta lehet, illetve találhatsz olyan pontot is, ame-

lyik egyik függvény hozzárendelési utasításának sem felel meg.

Pontok:

A(–1; 1) B(1; –1) C(–1; –1) D(–8; –2) E(256; 4) F(–2; –32)

G(7; 16807) H ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1251;5 I(0,027; 0,3) J(–0,3; 730,37 &&− ) K(–0,4; 6,25)

L(–0,3; 0,000729) M(0,6; –0,07776) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

216125;2,1N ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

64729;5,1O

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

85;

512125P ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

21;

161Q ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

34363;

47R S ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ 49;

71 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

24332;

32T

Függvények: a(x) = 3 x : ..............................................................................................................................

b(x) = 4 x : ...............................................................................................................................

c(x) = x-3: .................................................................................................................................

d(x) = x-4: .................................................................................................................................

e(x) = x5: ..................................................................................................................................

f (x) = x6: ..................................................................................................................................


Megoldás:

A B, K, S és az M pont nincs rajta egyetlen függvény grafikonján sem.

Az a függvény grafikonján rajta vannak a C, D, I, P pontok.

A b függvény grafikonján rajta vannak a Q, E pontok.

A c függvény grafikonján rajta vannak a C, H, J, N, R pontok.

A d függvény grafikonján rajta van az A pont.

Az e függvény grafikonján rajta vannak a C, F, G, T pontok.

Az f függvény grafikonján rajta vannak az A, L, O pontok.

Kapcsolat a hatványfüggvény és a gyökfüggvény között

A tanulók alkossanak ismét 4 fős csoportokat! A tanulók a csoportokon belül párokban dol-

goznak. A tanár minden csoportban szétosztja a feladatkártyákat és a betűket a 5. kártyakész-

letből. Mindenki a saját kártyájának megfelelően közös koordináta-rendszerben ábrázolja a

függvények grafikonját, és jellemzi is a függvényeket egymás mellett, két oszlopban, ahogy a

mintapéldákban is szerepel. Ha készen vannak a feladataikkal, elmondják egymásnak tapasz-

talataikat, kielemezve az oszlopok tartalmát.

2.5 kártyakészlet


Mintapélda11

Ábrázoljuk és jellemezzük az a(x) = x4 és a b(x) = 4 x függvényeket a legtágabb értelmezési

tartományon!

Megoldás:

Jellemzés: a(x) = x4 b(x) = 4 x

1. É.T. R R+∪{0} 2. É.K. R+ ∪ {0} R+∪{0} 3. zérushely x = 0 x = 0

4. monotonitás x ≤ 0: szig. mon. csökk. x ≥ 0: szig. mon. növő szigorúan monoton növő

5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: a (0) = 0

abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: b (0) = 0

6. paritás páros nem páros, nem páratlan 7. invertálha-

tóság a megfelelő leszűkítés után invertálha-tó: x ∈ R+∪{0} vagy x ∈ R–∪{0} invertálható

Mintapélda12

Ábrázoljuk és jellemezzük a valós számok halmazán értelmezett c(x) = x3 és a d(x) = 3 x

függvényeket!

Megoldás:

Jellemzés: c(x) = x3 d(x) = 3 x

1. É.T. R R 2. É.K. R R 3. zérushely x = 0 x = 0 4. monotonitás szigorúan monoton növő szigorúan monoton növő


5. szélsőérték nincs nincs 6. paritás páratlan páratlan 7. invertálha–tóság invertálható invertálható

Általánosítva: Az eddigiekben a hatvány és a gyökfüggvények kapcsolatát vizsgáltuk. Megál-

lapítottuk, hogy azonos páratlan kitevő esetén egymás inverzei. A gyökfüggvények vizsgála-

tához figyelembe kell venni, hogy, ha a kitevő páros, akkor a gyök csak nem negatív számok-

ra értelmezhető. Ha a kitevő páratlan, akkor tetszőleges valós számnak létezik gyöke.

A megfelelő gyökfüggvények grafikonja:

A gyökfüggvények jellemzése:

f (x) = k x2 g (x) = 12 +k x

1. É.T. R+∪{0} R 2. É.K. R+∪{0} R 3. zérushely x = 0 x = 0 4. monotonitás szigorúan monoton növő szigorúan monoton növő

5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 0 abszolút minimumérték: f (0) = 0 nincs

6. paritás nem páros, nem páratlan páratlan 7. invertálha–tóság invertálható invertálható

A tanulók ismét 4 fős csoportokat alkotnak. Egy csoporton belül 2 –2 fő dolgozik együtt. Az

egyik 2 fős csoport a 13. mintapéldát dolgozza fel, míg a másik a 14.-et. Ha átnézték és fel-

dolgozták, elmagyarázzák egymásnak, majd megoldanak néhány feladatot a saját szintjüknek

megfelelően. Jobb csoportoknál a 15. mintapélda is előkerülhet.

Mintapélda13

Melyik az a legbővebb számhalmaz, amelyen a következő függvények értelmezhetők?

a) a(x) = 1+x b) b(x) = 3 1+x c) c(x) = 10 2 32 +− xx

d) d(x) = 11 2 32 +− xx e) e(x) = 51x


Megoldás:

a) Mivel a gyökkitevő páros, ezért a gyökjel alatti kifejezés nem lehet negatív. x + 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ –1, azaz a megoldás a [–1; ∞ [ halmaz.

b) Mivel a gyökkitevő páratlan, azért az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. c) Mivel a gyökkitevő páros, ezért a gyökjel alatti kifeje-

zés nem lehet negatív.

Oldjuk meg az x2 – 2x – 3 ≥ 0 egyenlőtlenséget!

x1,2 = 21242 +±

, ebből x1 = 3 és x2 = –1

A keresett tartomány: ] –∞; –1] ∪ [ 3; ∞ [

d) Mivel a gyökkitevő páratlan, azért az értelmezési tartomány a valós számok halmaza. e) Mivel a gyökkitevő páratlan, ezért a gyökjel alatti kifejezés a valós számok halmazán

értelmezett. Csak azt kell megvizsgálni, hogy a nevező hol veszi fel a nulla értéket,

mert ott nincs értelmezve a tört.

5 x = 0, ebből x = 0, vagyis az e függvény értelmezési tartománya a valós számok

halmaza, kivéve a 0-át.

Mintapélda14

Ábrázoljuk és jellemezzük az f (x) = – (x + 1)3 – 2 függvényt!

Megoldás:

Transzformációs lépések:

1. a(x) = x3 alapfüggvény ábrázolása

2. b(x) = (x + 1)3 a grafikonjának eltolása a v(–1; 0) vektorral

3. c(x) = – (x + 1)3 b grafikonjának tükrözése az x

tengelyre

4. f (x) = – (x + 1)3 – 2 c grafikonjának eltolása a v(0; –2)

vektorral

Jellemzés: 1. É.T. R 2. É.K. R 3. zérushely – (x + 1)3 – 2 = 0, ebből 123 −−=x 4. monotonitás szigorúan monoton csökkenő


5. szélsőérték nincs 6. paritás nem páros, nem páratlan 7. invertálható

Mintapélda15

Ábrázoljuk és jellemezzük az g(x) = 2 124 +−x függvényt!

Megoldás:

Transzformációs lépések:

1. a(x) = 4 x alapfüggvény ábrázolása

2. b(x) = 4 2−x a grafikonjának eltolása a v(2; 0) vektorral

3. c(x) = 2 4 2−x b grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén

4. g(x) = 2 124 +−x c grafikonjának eltolása a v(0; 1) vektorral

Jellemzés: 1. É.T. [ 2; ∞ [ 2. É.K. [ 1; ∞ [ 3. zérushely nincs 4. monotonitás szigorúan monoton növő 5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 2 abszolút minimumérték: g(2) = 1 6. paritás nem páros, nem páratlan 7. invertálható

Mintapélda16 Ábrázoljuk és jellemezzük az alábbi függvényeket! a) e(x) = 32 x− b) f (x) = 4 1632 x− Megoldás:

a) Transzformációs lépések: 1. ( ) 3 xxa = alapfüggvény ábrázolása 2. ( ) 3 xxb −= a grafikonjának tükrözése az x tengelyre 3. ( ) 32 xxe −= b grafikonjának eltolása a

v(0; 2) vektorral

Jellemzés: 1. É.T. R 2. É.K. R 3. zérushely 02 3 =− x 2 23 =x


x = 8 4. monotonitás szigorúan monoton csökkenő 5. szélsőérték nincs 6. paritás nem páros, nem páratlan 7. invertálható

b) Az ábrázoláshoz végezzük el a következő átalakítást:

( ) ( ) ( )4444 2221632161632 −−⋅=−−=−−=− xxxx A transzformáció lépései:

1. a(x) = 4 x alapfüggvény ábrázolása

2. b(x) = 4 2−x a grafikonjának eltolása a v(2;0) vektorral

3. c(x) = 4 )2( −− x b grafikonjának tükrözése az x = 2 egyenesre

4. f (x) = 2 4 )2( −− x c grafikonjának kétszeres nyújtása az y tengely mentén

Jellemzés: 1. É.T. ] –∞; 2 ] 2. É.K. R+ 3. zérushely x = 2 4. monotonitás szigorúan monoton csökkenő 5. szélsőérték abszolút minimumhely: x = 2 abszolút minimumérték: f (2) = 0 6. paritás nem páros, nem páratlan 7. invertálható

Feladatok

22. Határozd meg mindazokat az x-eket, amelyekre értelmezhető a függvény!

a) f (x) = 4 2−x b) g(x) = 5 5 x+ c) h(x) = 1

4+x

d) i(x) = 3 2

1−x

e) j(x) = x−− 2

5 f) k(x) = 72 −x

g) l(x) = 3 72 −x Megoldás:

a) x ≥ 2; b) x ∈ R; c) x > –1; d) x∈ R \ {2}; e) –2 > x; f) x ≥ 3,5; g) x ∈ R;


a) a(x) = 6 5|| −x b) b(x) = 8

24

xx

+− c) c(x) = 7

252x

x−+

d) d(x) = ( )( )823 +− xx e) e(x) = 12 236 x− f) f (x) = 5 2 86 −+− xx

g) g(x) = 4 2 6−− xx h) h(x) = 6 2 1+x


Megoldás: a) x ≤ –5 vagy x ≥ 5; b) –2 < x ≤ 4; c) x∈ R \ {2}; d) x ≥ 3 vagy –4 ≥ x; e) –6 ≤ x ≤ 6; f) x ∈ R; g) x ≥ 3 vagy –2 ≥ x; h) x ∈ R.

24. Ábrázold és jellemezd az alábbi hatványfüggvényeket a megadott értelmezési tarto-mányokon! a) f (x) = x4–1; x ∈ Z b) g(x) = x3 + 2; x ∈ [–2; 1 [

c) h(x) = 4

4x ; x ∈ ] –1,5; 1,5 [ d) i(x) = –2 x3; x ∈ N

e) j(x) = ( x – 1)4; x ∈ [ –1; 2] f) k(x) = ( x + 3 )3; x ∈ [ –5; –1] Megoldás:

Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. A függvények jel-

lemzése a korábbi mintapéldák alapján történhet.

25. Ábrázold és jellemezd az alábbi gyökfüggvényeket a megfelelő értelmezési tartomá-nyokon! a) a(x) = 14 +x b) b(x) = 13 −x c) c(x) = 4 x− d) d(x) = 2 3 x e) e(x) = 3 1−x f) f (x) = 4 2+x

Megoldás: Ezek a függvények elemi függvénytranszformációkkal ábrázolhatók. A függvények jel-


26. Ábrázold és jellemezd az alábbi hatványfüggvényeket a valós számok halmazán!

a) f (x) = –x4 + 1 b) g(x) = 2 – x3 c) h(x) = 21

x3 + 3

d) k(x) = 2 x4 – 4 e) l(x) = ( x – 1 )4 + 3 f) m(x) = ( x + 2 )3 – 1 Megoldás:



27. Ábrázold és jellemezd az alábbi gyökfüggvényeket a megfelelő értelmezési tartomá-nyokon!

a) a(x) = 421 4 −x b) b(x) = 2 4 2−x c) c(x) = – 3 3

21

+x

d) d(x) = 234 −+ x e) e(x) = 133 +−x Megoldás:




V. A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőre

A hatvány fogalmát az eddig megismert egész kitevőkről tört kitevőkre is szeretnénk kiter-

jeszteni úgy, hogy az ismert azonosságaink továbbra is érvényben maradjanak. Az ilyen jelle-

gű követelményt a matematikában permanencia-elvnek nevezzük.

Mintapélda17

Egy sejttenyészet óránként duplázódik meg. Kezdetben 1 sejtünk van. Mennyi lesz 1 óra,

2óra, 3óra, 4 óra, 4,5 óra múlva?

Megoldás: 1 óra múlva: 12221 ==⋅

2 óra múlva: 22422 ==⋅

3 óra múlva: 32824 ==⋅

4 óra múlva: 421628 ==⋅

4,5 óra múlva: 5,42

A 5,42 értékét akarjuk meghatározni. legyen 5,42=x , ahol 0>x . Az egyenletet mind-

két oldalát négyzetre emelve: ( )25,42 2=x . Alkalmazzuk a hatvány hatványára vonat-

kozó azonosságot: 92 2=x . Ennek a pozitív megoldása az 92=x .

Azaz azt kaptuk, hogy 63,22512222 929

5,4 ≈====x .

Megközelítőleg ennyi sejtünk van 4,5 óra múlva.

Mintapélda18

Próbáljunk értelmet adni az alábbi törtkitevőjű hatványoknak az előző feladat gondolatmenete

alapján!

a) 21

16 ( )21

16−

b) 31

64 ( )31

64−

Megoldás:

a) Legyen ( )21

21

16,16 −== yx , ahol 0>x , mert pozitív számok hatványait pozitívnak

értelmezzük.


Négyzetre emelve: ( ) 1616,16162

21

2

2

21

2 −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= yx .

Ebből: 416 ==x , mert 0>x ; 16−=y pedig nem értelmezhető.

Innen: 41616 21

===x

b) Legyen ( )31

31

64,64 −== yx , ahol 0>x , mert pozitív számok hatványait pozitívnak

értelmezzük.

Harmadik hatványra emelve: ( ) 6464,64643

31

3

3

31

3 −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −==⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= yx .

Ebből: 464,464 33 −=−=== yx .

Mivel 62

31= , vizsgáljuk meg az 6

2

64=x és az ( )62

64−=y számokat.

( ) ( )[ ] 61

61

261

61

2 409664,409664 =−=== yx

Hatodik hatványra emelve: 40964096,409640966

61

6

6

61

6 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡==⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= yx

Ebből: 44096,44096 66 ==== yx

Észrevehetjük, hogy 46464 62

31

===x , de ( ) ( )62

31

6464 −=−=y eredménye nem ha-

tározható meg egyértelműen (először – 4-et, másodszor 4-et kaptunk eredményül),

ezért negatív alap esetén nem értelmezzük a törtkitevőjű hatványokat.

Mintapélda19

Számítsuk ki a következő hatványok pontos értékét!

a) 65

64 b) 43

256 c) 43

81−

d) 32

125−

e) 2,0243 f) 5,0144−

Egy pozitív valós szám kn -adik hatványa az alap n-edik hatvá-

nyából vont k-adik gyök.

{ }1;0\,,0 NZR ∈∈∈>= knaaaa k nkn

Megállapodás: Ha ,0>kn akkor .00 =k

n


Megoldás:

a) ( ) 322646464 5566 565

====

b) ( ) 644256256256 3344 343

====

c) ( )271

313818181 3

3344 343

===== −−−−

d) ( )251

515125125125 2

2233 232

===== −−−−

e) 3243243243 551

2,0 ===

f) ( )12112144144144144 1112

15,0 ===== −−−−−

Módszertani megjegyzés: Dominó játék (a törtkitevős hatványok gyakorlására, a fogalom el-

mélyítésére). Minden csoportnak adjunk 16 darab kártyát. Feladatuk felfelé fordítva kirakni a

dominókat úgy, hogy minden hatványhoz megtalálják a hozzátartozó értéket.

2.6 kártyakészlet

21

9 5,1 21

25−

4 5,049 321 3

1

12564 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2

1

43

81 3 31

27−

2,0 5,125 7

5,0

425

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

25,1

32

125 27 32

8−

31 6,032− 125 3

2

278 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 2

5

31

64 25 4

5

16−

25,0 25,016−

81

21

25,2 25,2

Feladatok

28. Írd fel gyökjelekkel a következő hatványokat!

a) 21

5 b) 32

7 c) 31

6−

d) 43

8−

e) 34

53⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ f)

25

41 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

g) ( )21

9x h) ( )41

16y i) 31

8⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ z j)

21

25

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x k)

43

81

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ y l)

32

27

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ z


Megoldás:

a) 5 b) 3 27 c) 3 16− d) 4 38− e) 3

4

53⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ f)

5

41 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

g) 03 ≥⋅ xx h) 02 4 ≥⋅ yy i) 2

3 z

j) 05>x

x k) 027

4 3>y

y l) 09

3 2≠z

z

29. Írd át törtkitevős alakra a következő gyököket!

a) 4 3 b) 3 5 c) 3 52 d) 4 33 e) 53 f) 5

4

32⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Megoldás:

a) 41

3 b) 31

5 c) 35

2 d) 43

3 e) 21

53⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ f)

54

32⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

30. Keresd meg a párját!

a) 51

3 A) 3 16

b) 34

2 B) 549

c) 43

2−

C) 331

d) 52

23⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ D) 5 3

e) 43

32 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ E)

4 81

f) 31

3−

F) 4827

Megoldás: a) – D), b) – A), c) – E), d) – B), e) – F), f) – C).


31. Rendezd növekvő sorrendbe a következő számokat!

31

2 8 31

4 3 16 12− 3 21 3

4

2−

2

Megoldás:

31

2 23

28 = 32

31

24 = 34

3 216 = 12− 31

32

21 −

= 34

2−

21

22 =

34

2−

< 12− < 3 21 < 3

1

2 < 2 < 31

4 < 3 16 < 8

32. Írd fel 3 hatványaként a következő kifejezéseket!

a) 7 3 b) 5 43 c) 3 81 d) 4 327 e) 534 278139 ⋅⋅⋅

f) 943

1 g) 391 h) 6 3 3 i) 3 74 33 ⋅ j)

3 113

84 1384

3812738124327

⋅

⋅⋅⋅⋅

Megoldás:

a) 71

3 b) 54

3 c) 34

3 d) 49

3 e) 120287

3

f) 94

3−

g) 32

3−

h) 181

3 i) 3

13

3 j) 23

33. Hozd egyszerűbb alakra a következő hatványokat!

a) 2

23

21 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ aa b)

23

34

31

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅bb c)

53

61

32

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−cc

d) 4

23

32 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ dd e)

21

35

43

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

−ee f)

31

23

52 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ ff

Megoldás:

a) ( ) 422 −−= aa b) 2

523

35

bb =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ c) 10

353

21

cc =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

d) 3264

613

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛dd e) 24

1121

1211

−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ee f) 30

1931

1019

−−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ff


Matematikai TOTÓ

Módszertani megjegyzés: Minden tanuló egyedül dolgozik a feladatokon. Ha letelt az idő,

vagy elkészültek a tanulók, akkor mindenki átadja a padtársának a füzetét, aki a feladatok

közös megbeszélése alapján kijavítja a TOTÓ-t. A hibátlan kitöltőket megjutalmazhatjuk.

Matematikai TOTÓ

Határozd meg a következő

kifejezések értékét! 1 2 X

1. 23 51552 ⋅+⋅ 25375 625 6625

2. 125803452 −+ 513 205 541⋅

3. 627247 −⋅+ 31 31 5

4. 4811

− 31

− 31 Nem értelmezzük

5. 3271

− 31

− 31 Nem értelmezzük

6. 44 80125 ⋅ 100 10 10000

7. 5

5

4128 5 124 32 2

8. ( ) 23

25,0 − 8 125,0 41

9. 31

278 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 3

2 32

− 23

10. 32

641 −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ 16−

161 16

11. 32

125−

251 25 25−

12. 32

34

a

a 3a 3 2a 3 2

1

a

13. 32

32

21 −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅ aa 9

7

1a

9 7a− 79

1a


Megoldás: 1.) 2 2.) 1 3.) X 4.) X 5.) 1 6.) 2 7.) X

8.) 1 9.) X 10.) X 11.) 1 12.) 2 13) 1

Vegyes feladatok 34. Határozd meg az alábbi kifejezések pontos értékét!

a) ( )2123 − b) ( )21822 +

c) 2

206206 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+ d)

2

179179 ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++−

Megoldás: a) 36215362151212323 =⋅−=−=+⋅−

b) 50642618364818182424 =⋅+=++=+⋅+⋅

c) 442121621220620362206 =⋅−=−=−+−−+

d) 3482186421817917812179 =⋅+=+=++−+−


a) a(x) = 2

310 x− b) b(x) = 3

79

−− x c) c(x) = 3

13+−x

d) d(x) = 6 x e) e(x) = 7 x

Megoldás: a) 3 ≥ x; b) x ∈ R; c) x ≠ –1; d) x ∈ R; e) x ∈ R


a) a(x) = 5 1|| −x b) b(x) = 4 2+x c) c(x) = x

x−

−

45313

d) d(x) = 15 2 82 −x e) e(x) = 5 2 2+x f) f (x) = 12 −− x

g) g(x) = 9

10

4312

+

−

xx

Megoldás: a) x ∈ R; b) x ∈ R; c) x ≥ 0 és x ≠ 16; d) x ∈ R; e) x ∈ R; f) nincs értelmezve; g) 4 > x


Kislexikon Köbgyök: Az a valós szám köbgyöke az a valós szám, amelynek harmadik hatványa a:

( ) aa =33 .

n-edik gyök:

• Páros pozitív egész n-re az a nemnegatív valós szám n-edik gyöke az a nemnegatív

valós szám, amelynek az n-edik hatványa a (n ∈ N+\{1}).

• Páratlan, 1-nél nagyobb egész n-re az a valós szám n-edik gyöke az a valós szám,

amelynek az n-edik hatványa a. Jelölés: az a szám n-edik gyöke: n a .

Az n-edik gyökre vonatkozó azonosságok:

A definíció által megengedett értékekre. (n > 1, n ∈ N)

1. nnn baba ⋅=⋅ , ha n = 2p, akkor 0,0 ≥≥ ba (p ∈ N+)

2. n

nn

ba

ba= , 0≠b

3. ( )knn k aa =

4. mnn m aa ⋅=

5. kn kmn m aa ⋅ ⋅= , m, k ∈ Z\{0; 1}, n ∈ N\{0; 1}

Egy pozitív valós szám kn -adik hatványa az alap n-edik hatványából vont k-adik gyök.

{ }1;0\,,0 NZR ∈∈∈>= knaaaa k nkn

Megállapodás: Ha ,0>kn akkor .00 =k

n

Hatványfüggvény: A valós számok halmazán értelmezett f(x) = xn, n ∈ N+ függvényeket

hatványfüggvényeknek nevezzük.

Gyökfüggvény: A g (x) = n x , n ∈ N \ {0,1} függvényeket gyökfüggvényeknek nevezzük.

Ha n > 1 és páratlan, akkor minden valós számhoz hozzá tudjuk rendelni annak n-edik gyökét.


Ha pedig páros, akkor a nem negatív valós számokhoz tudjuk egyértelműen hozzárendelni

annak n-edik gyökét.

Invertálható függvény: Egy függvény invertálható, ha kölcsönösen egyértelmű.

Permanencia-elv: Azt jelenti, hogy egy művelet értelmezését úgy terjesztjük ki bővebb

számhalmazra, hogy a szűkebb halmazban érvényes műveleti szabályok a bővebb halmazban

is érvényesek maradjanak.

matematika „a” 11. évfolyam 2. modul: hatványozás ...rások-tanár-tanuló-eszköz/2... ·...

Documents