Lneas de influencia para estructuras hiperestticas

Teorema de Muller Breslau:

Se considera una estructura elstica lineal cualquiera sobre la que acta una fuerza unitaria mvil como se muestra en la figura. Sea I un punto cualquiera de aplicacin de dicha fuerza mvil dentro su trayectoria. Se quiere calcular la lnea de influencia de la reaccin en uno de los apoyos y en una determinada direccin, que se denomina RB.

Se aplica el mtodo de flexibilidad, de la forma siguiente:Se considera la reaccin RB como incgnita hiperesttica.Se elimina la restriccin originada por la reaccin RB . Se obtiene as una estructura que es hiperesttica de grado h-1, sobre la que acta la fuerza unitaria mvil. Esta estructura se denomina caso I (figura 10.4). Se calcula la deformacin que aparece en este caso en la direccin de la reaccin: DB

Se aplica sobre la estructura una fuerza unitaria en la direccin de la reaccin RB , con lo que se genera un caso denominado B (figura 10.5), en el que se calculan las siguientes deformaciones:Deformacin en el punto B en la direccin de la reaccin, debida al valor unitariode la propia reaccin RB : DB .Deformacin en el punto I en la direccin de la carga mvil, debida al valorunitario de RB: DI

Se aplica la ecuacin de compatibilidad de deformaciones:

que permite calcular la reaccin:

Haciendo uso del teorema de reciprocidad de Maxwell, se cumple le que por loque el valor de la reaccin buscada es:

El numerador de esta expresin representa la deformacin del punto I, donde est la carga mvil, en la direccin de dicha carga, al aplicarse una fuerza unitaria RB = 1, y el denominador es la deformacin del propio punto B al aplicar la RB = 1. Esta expresin es vlida para cualquier punto I, por lo tanto, pensando que I es un punto cualquiera de la trayectoria, representa la lnea de influencia del esfuerzo buscado RB

el teorema de muller se puede enunciar como sigue:

La lnea de influencia de la reaccin en un apoyo de una estructura elstica lineal es igual al cociente, cambiado de signo, de la deformacin en la direccin de la fuerza mvil, dividida por la deformacin en el punto de aplicacin de la reaccin, ambas obtenidas para un valor unitario de la reaccin.

Es importante recordar que el numerador no es la deformacin absoluta del punto I, sino su deformacin medida (es decir proyectada) segn la direccin de la carga mvil. Normalmente ambas direcciones no coincidirn.

Si la trayectoria de la carga mvil pasa por B, es decir que en alguna posicin el punto I coincide con el B, y la direccin de la carga mvil coincide con la de RB , ocurre que:

Esto quiere decir que en esta caso toda la fuerza mvil es absorbida por la reaccin, y el resto de la estructura est descargada.

Si en la ecuacin se sustituye se obtiene:

Lo cual permite enunciar el teorema de Muller-Breslau de otra forma distinta:

La lnea de influencia de una reaccin es igual a la deformacin, cambiada de signo, de los puntos de aplicacin de la carga mvil en la direccin de dicha carga mvil, cuando se impone una deformacin unidad en la direccin de la reaccin.

El teorema de Muller-Breslau es una manera muy elegante de plantear el clculo de lneas de influencia, pues transforma el clculo de un esfuerzo en un clculo de deformaciones. Resulta por lo tanto de gran inters cuando se dispone de un mtodo que facilita el clculo de deformaciones, como por ejemplo el mtodo de rigidez.

Aplicacin a momentos flectores:El teorema de Muller-Breslau est enunciado para reacciones, pero puede aplicarse a cualquier otro tipo deesfuerzo. Para el caso de un momento flector el proceso es el siguiente:

Se considera el momento flector MB como incgnita hiperesttica. Se elimina de la estructura introduciendo una articulacin en su lugar, y se obtiene as una estructurahiperesttica de grado h-1, sobre la que slo acta la fuerza unitaria mvil. Esta estructura se denomina caso I Se calculan los giros que aparecen en el caso I, en el punto B por la izquierda y por la derecha, en la direccin de las dos componentes del momento flector:

Se aplica sobre la estructura un momento flector unitario en el punto B con lo que se genera un caso denominado B, en el que se calculan las deformaciones siguientes:

Giros en B por la izquierda y la derecha, en la direccin de las dos componentes del momento flector: Deformacin en I en la direccin de la carga unitaria mvil:

Se aplica la ecuacin de compatibilidad de deformaciones en el punto B,

que permite calcular el momento flector:

Haciendo uso del teorema de reciprocidad de Maxwell generalizado se cumple que

El valor del momento flector buscado es:

El numerador de esta expresin representa la deformacin del punto I donde est la carga mvil, y el denominador es la suma de los dos giros en la direccin de las dos componentes del momento, todos ellos obtenidos al aplicarse un momento unitario MB 1.Se obtiene de esta manera una expresin muy similar a la obtenida para las reacciones, con la nica diferencia de que en el denominador aparece la suma de los dos giros en la direccin de las dos componentes del momento.Aplicacin a esfuerzos cortantes:

Siguiendo un proceso similar al de los momentos flectores se llega a la siguiente expresin de la lnea de influencia para un esfuerzo cortante

siendo:Desplazamientos en B por la izquierda y la derecha, en la direccin de las dos componentes del esfuerzo cortante:

Deformacin en I en la direccin de la carga unitaria mvil:

Aplicacin a esfuerzos axialesSiguiendo un proceso similar al de los momentos flectores se llega a la siguiente expresin de la lnea de influencia para un esfuerzo axial :

siendo:Desplazamientos en B por la izquierda y la derecha, en la direccin de las dos componentes del esfuerzo erzo axial: Deformacin en I en la direccin de la carga unitaria mvil:

Generalizacin:

En ninguna de las deducciones anteriores se ha empleado la suposicin inicial de que la trayectoria es recta, ni que la carga mvil tiene direccin y sentido fijos, como se habansupuesto inicialmente. Por lo tanto todo lo deducido hasta ahora es vlido sea cual sea lantrayectoria en la que se mueve la carga, y sea cual sea su direccin y sentido. Las expresiones de las lneas de influencia obtenidas son por lo tanto vlidas para cualquier trayectoria, incluso curva, as como para fuerzas de orientacin cambiante.Las expresiones anteriores son tambin vlidas cuando la carga mvil no es una fuerza sino un momento unitario. En este caso la deformacin se debe considerar como el giro segn la direccin del momento mvil Las expresiones del denominador son las mismas.Todas las deducciones anteriores pueden englobarse en una descripcin ms general del teorema de Muller-Breslau: si se aplica en la direccin del esfuerzo cuya lnea de influencia se busca, una fuerza tal que la deformacin en dicha direccin valga la unidad, ocurre que:La deformada de la estructura que se obtiene, cambiada de signo, representa todas las lneas de influencia de dicho esfuerzo para cargas aplicadas en cualquier punto y direccin.Si se toma un punto cualquiera (el punto I), y se determina su posicin deformada, la proyeccin de esta deformacin sobre una direccin cualquiera es el valor de la lnea de influencia para una carga unitaria que acta segn dicha direccin.

Ejemplo 1:Calcular la lnea de influencia de la reaccin en el apoyo B en una viga empotrada apoyada, recorrida por una carga unitaria

Empleando el principio de Muller-Breslau, se elimina el apoyo B y se aplica una fuerza de valor unidad en la direccin de la reaccin buscada, que se ha supuesto hacia arriba. Con esto la viga se transforma en un voladizo cargado con una fuerza unitaria en su extremo. El valor de la reaccin viene dado por la ecuacin

El numerador de esta expresin corresponde a la curva deformada elstica del voladizo cargado con la fuerza unidad en su extremo, en direccin hacia arriba, y el denominador es la deformacin de dicho voladizo en su extremo .Se debe por lo tanto resolver un problema isosttico de clculo de deformaciones. Lo ms sencillo en este caso es integrar directamente la ecuacin de la elstica.

El valor del momento flector en el voladizo es: MLxPor lo tanto la ecuacin diferencial de la curva deformada elstica es:MEIvLxEIv

que integrada es:

Las condiciones de contorno son:v(x0)0 B0v(x0)0 A0

Por lo tanto la deformada de la viga, que es directamente la expresin del numerador de lalnea de influencia, es:

La deformacin en el extremo de la viga es:

Por lo tanto la lnea de influencia buscada es:

Ntese que es toda ella negativa, debido a que se ha supuesto que la reaccin es hacia arriba, cuando en realidad es hacia abajo para cualquier posicin de la carga

Ejemplo2:Calcular la lnea de influencia del momento flector en el apoyo B en una viga de dos vanos, apoyada en sus dos extremos y recorrida por una carga unitaria, como se indica en la figura

Empleando el principio de Mller-Breslau, se articula el punto B y se aplica un momento flector de valor unidad en l. Con esto la viga se transforma en dos vigas independientes, cada una apoyada en sus dos extremos, que comparten el apoyo B y estn cargadas cada una con un momento unitario en su extremo

El valor de la lnea de influencia buscada es:

El numerador de esta expresin corresponde a la deformada elstica de las dos vigas biapoyadas cargadas con el momento unidad, en la direccin de la carga, es decir hacia abajo. El denominador es el giro relativo entre las dos vigas en el punto B. El comportamiento de las dos vigas es simtrico por lo que basta con calcular una de ellas. Se debe por lo tanto resolver un problema de clculo de deformaciones en una viga biapoyada con un momento en uno de los apoyos .Lo ms ventajoso en este caso es integrar directamente la ecuacin de la elstica.

El valor del momento flector en la viga AB es: : Mx/LPor lo tanto la ecuacin diferencial de la curva deformada elstica es:

que integrada es:

Las condiciones de contorno son:v(x0)0 B0v(xL)0 AL/6

Por lo tanto la deformada de la viga, que coincide con la expresin del numerador de la lnea de influencia, cambiada de signo, es:

El giro en el extremo B de la viga es:

El giro por la derecha del apoyo B es igual al giro por la izquierda, por simetra:

Por lo tanto la lnea de influencia buscada

Esta expresin es vlida solamente cuando la carga est situada en el vano AB, es decir para 0