vigas hiperestÁticas processo da equação dos três...
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Sistemas Estruturais 1 – 2016/2 Página 1
VIGAS HIPERESTÁTICAS – Processo da Equação dos Três Momentos
Considerando uma viga contínua, com um número qualquer de tramos, podemos fazer um
estudo de dois tramos intermediários quaisquer, como mostra a figura a seguir:
i j k
lij ljk
A Equação dos Três Momentos envolve três incógnitas que são os momentos sobre os três
apoios consecutivos da viga contínua ( Xi , Xj e Xk) cada vez que esta é aplicada.
Equação dos Três Momentos para vigas com inércia constante nos tramos e variando de um tramo
para outro:
l’ij . Xi + 2(l’ij + l’jk ). Xj + l’jk . Xk = -6 (ji + jk)
Sendo l’ = l . Jb / J
Equação dos Três Momentos para vigas com inércia igual e constante nos tramos:
Sendo: Jb = J → então: l’ = l
lij . Xi + 2(lij + ljk ). Xj + ljk . Xk = -6 (ji + jk)
Para obter-se o número de equações suficientes à resolução da estrutura, é necessário
empregar-se sucessivamente a Equação dos Três Momentos conforme esquema a seguir:
i j k l m n
1ª. Eq.
2ª. Eq.
3ª. Eq.
4ª. Eq.
5ª. Eq. e etc.
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Reações de Apoio:
P
j k
a b
l
Rj = P.b / l Rk = P.a / l
q
j k
l
Rj = q.l / 2 Rk = q.l / 2
Xj
j ⃔ k
l
Rj = -Xj / l Rk = +Xj / l
Xk
j ⃕k
l
Rj = +Xk / l Rk = -Xk / l
P
R = P
q
l
R = q . l
Fatores de Carga de 1ª. Espécie para hastes com J = constante
P
j k
a b
l
jk = P.a.b.(b+l). l ’ / 6. l2
kj = P.a.b.(a+l). l ’ / 6. l2
s
s /2 s/2 q
j k
a b
l
jk = q.b. s.{4.a.(b+l) –s2}.l ’ / 24. l2
kj = q.a. s.{4.b.(a+l) –s2}.l ’ / 24. l2
q
j k
l
jk = kj = q.l2. l ’ / 24
Equação dos Três Momentos:
l ’ij . Xi + 2(l ’ij + l ’jk ). Xj + l ’jk . Xk = -6 (ji + jk)
l ’ = l . Jb / J
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1 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:
Unidades: tf e m - JAB = JBC
q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m
A B C
3,5 m 5,5 m
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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:
q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m
A B C
l 1 = 3,5 m l2 = 5,5 m
MA B C
QA B C
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2 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:
Unidades: tf e m - JAB = JBC
P=1,0 tf
q1=1,0 tf/m q2=1,5 tf/m
A B C D
2,4 m 3,7 m 1,1 m
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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:
P=1,0 tf
q1=1,0 tf/m q2=1,5 tf/m
A B C D
l 1 = 2,4 m l2 = 3,7 m l3 = 1,1 m
Q A B C D
M A B C D
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3 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:
Unidades: tf e m - JAB = 4,0, JBC = 2,0 e JCD = 1,0
q1=2,0 tf/m q2=5,0 tf/m q3=5,0 tf/m
A B C D
16,0 m 8,0 m 6,0 m
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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:
q1=2,0 tf/m q2=5,0 tf/m q3=5,0 tf/m
A B C D
16,0 m 8,0 m 6,0 m
A B C D
A B C D
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4 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:
Unidades: tf e m - JAB = 1,7, JBC = 1,5 e JCD = 1,0
P1 = 8 tf P2 = 3,0 tf
q1=2,5 tf/m q2=3,0 tf/m q3=2,5 tf/m
A E B C D F
1,8 m 3,0 m 3,0 m 2,2 m 1,2 m
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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:
P1 = 8 tf P2 = 3,0 tf
q1=2,5 tf/m q2=3,0 tf/m q3=2,5 tf/m
A E B C D F
1,8 m 3,0 m 3,0 m 2,2 m 1,2 m
A E B C D F
A E B C D F
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5 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:
Unidades: tf e m - JAB = JBC = JCD
P1=5,0 tf P2=6,0 tf
q1=1,0 tf/m q2=2,0 tf/m q3=1,5 tf/m
A B E F C D
8,0 m 2,0 m 3,0 m 2,0 m 5,0 m
7,0 m
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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:
P1=5,0 tf P2=6,0 tf
q1=1,0 tf/m q2=2,0 tf/m q3=1,5 tf/m
A B E F C D
8,0 m 2,0 m 3,0 m 2,0 m 5,0 m
7,0 m
A B E F C D
A B E F C D
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6 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:
Unidades: tf e m - JAB = 2,4 JBC = 2,8 JCD = 3,2
P1=3,0 tf P2=4,0 tf P3=1,5 tf
q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m q3=1,5 tf/m q4=1,0 tf/m
A E B F C D G
2,3 m 2,2 m 3,2 m 1,4 m 5,4 m 1,6 m
4,5 m 4,6 m
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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:
P1=3,0 tf P2=4,0 tf P3=1,5 tf
q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m q3=1,5 tf/m q4=1,0 tf/m
A E B F C D G
2,3 m 2,2 m 3,2 m 1,4 m 5,4 m 1,6 m
4,5 m 4,6 m 5,4 m
A E B F C D G
A E B F C D G
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7 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:
Unidades: tf e m -: JAB = 1,8 JBC = 1,8 JCD = 1,6 JDE = 1,8
P1=1,0 tf P2=2,5 tf
q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m q3=1,5 tf/m
F A G B C D E
1,2 m 0,9 m 1,2 m 1,9 m 1,4 m 2,1 m
2,1 m
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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:
P1=1,0 tf P2=2,5 tf
q1=2,0 tf/m q2=1,0 tf/m q3=1,5 tf/m
F A G B C D E
1,2 m 0,9 m 1,2 m 1,9 m 1,4 m 2,1 m
2,1 m
F A G B C D E
F A G B C D E
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8 Calcular os momentos fletores, os esforços cortantes e traçar os diagramas:
Unidades: tf e m - JAB = JFG = 1,0, JBC = JEF = 1,5 e JCD = JDE = 2,0
P1=5,0 tf P2=5,0 tf
q1=1,0 tf/m q2=2,0 tf/m q3=3,0 tf/m q4=2,0 tf/m q5=1,0 tf/m
A B C H D I E F G
3,0 m 3,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 3,0 m 3,0 m
4,0 m 4,0 m
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Diagramas de momentos fletores e esforços cortantes:
P1=5,0 tf P2=5,0 tf
q1=1,0 tf/m q2=2,0 tf/m q3=3,0 tf/m q4=2,0 tf/m q5=1,0 tf/m
A B C H D I E F G
3,0 m 3,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 2,0 m 3,0 m 3,0 m
4,0 m 4,0 m
A B C H D I E F G
A B C H D I E F G