trab virt y líneas de influencia

DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CIVILÁREA de ESTRUCTURAS

Estabilidad ITrabajos Virtuales –Líneas de Influencia

1

Unidad 6. TRABAJOS VIRTUALES

6.1. Introducción

El principio del trabajo virtual es un enunciado sobre el trabajo

efectuado por fuerzas y pares cuando un cuerpo o estructura está sometido a

movimientos. Antes de estudiarlo, se definirá el concepto de trabajo.

Considérese una fuerza F que actúa sobre un cuerpo en un punto P

(Fig. 6.1). Supóngase que el cuerpo sufre un movimiento infinitesimal, de

modo que P tiene un desplazamiento diferencial dr. El trabajo dU de la fuerza

F como resultado del desplazamiento dr se define como el producto escalar

dado por la expresión:

L LdU d U d U F dr cosF r F r (6.1)

Es decir es igual al producto de la componente de F en la dirección de dr. Si la

componente de la fuerza es perpendicular al desplazamiento diferencial dr no

se producirá trabajo. Si la componente de la fuerza tiene sentido contrario al

desplazamiento el trabajo será negativo, caso contrario será positivo.

Figura 6.1: Trabajo que desarrolla Figura 6.2: Trabajo de un sistema de fuerzas

una fuerza coplanares concurrentes

En un sistema discreto, el trabajo físico está dado por la sumatoria de

los trabajos desarrollados por todas las fuerzas involucradas, vale decir:

yF4

F1

F 2

F3

dxP

F

P

dr

x



2

n n

i i i i ii i

U d U F dx

1 1

cosF x (6.2)

Si la partícula P se encuentra sometida a la acción de un sistema de

fuerzas coplanares concurrentes y se la somete a un desplazamiento dx , como

se muestra en la Fig. 6.2, cada una de las fuerzas realiza trabajo de tal

manera que el trabajo total será:

x

n n

i i i i xi i

R

U F dx dx F R dx

1 1

cos cos

(6.3)

Si a la misma partícula se la somete a un desplazamiento dy , el trabajo

total del sistema será igual a:

y

n n

i i i i yi i

R

U F dy dy F R dy

1 1

sen sen

(6.4)

Si el sistema de fuerzas se encuentra en equilibrio, la componente de la

resultante en cualquier dirección será igual a cero, por lo que se puede decir:

Si una partícula se encuentra sometida a un sistema de fuerzas en

equilibrio, la suma algebraica de los trabajos de todas las fuerzas será igual a

cero para cualquier desplazamiento arbitrario de la misma.

Si se considera un par M=F. h, antihorario, los puntos de aplicación de

las fuerzas se desplazan distancias diferenciales h/2, de ese modo el trabajo

total realizado es:

h hdU = F . .d + F . .d = M .d

2 2 (6.5)

Figura 6.3: Trabajo de un par de fuerzas o cupla

FF

h

M

F

F

d(h/2).d

(h/2).d



3

Cuando un cuerpo sobre el que actúa un par gira un ángulo en el

mismo sentido que el par el trabajo resultante es positivo, caso contrario es

negativo.

6.2. Principio de los Trabajos Virtuales

En este concepto de trabajo físico, intervienen tres circunstancias

independientes:

1. Un sistema de fuerzas en equilibrio (sistema A )

2. Un sistema de desplazamientos infinitésimos, compatibles con las

condiciones de vínculo (sistema B )

3. La nulidad del trabajo al asociar el sistema A con el sistema B

Si uno de estos sistemas, el A o el B o ambos a la vez son virtuales, el

trabajo se denomina trabajo virtual y se puede establecer el siguiente principio:

“Es condición necesaria y suficiente para que un sistema sujeto a

vínculos se encuentre en equilibrio en una determinada posición bajo la acción

de un sistema de fuerzas cualesquiera que el trabajo desarrollado por las

mismas para cualquier desplazamiento virtual compatible con los vínculos sea

nulo.

Sometiendo ciertos tipos de estructuras en equilibrio a desplazamientos

virtuales y calculando el trabajo virtual total, se puede determinar reacciones

desconocidas en los vínculos, como también las fuerzas internas en sus

elementos, o el esfuerzo en barras de un sistema reticulado. El procedimiento

implica encontrar un desplazamiento virtual (traslación infinitésima

hipotética) que origine un trabajo virtual por parte de las cargas conocidas y

por parte de una fuerza o un par desconocido.

Ejemplo: Determinar la carga axial en la barra BD.



4

Figura 6.4: Trabajo de un sistema de barras

Si se le otorga a la estructura un giro virtual o sea un giro compatible

con los vínculos; la fuerza TBD que actúa en B y la carga de 4 t que actúa en C,

realizarán un trabajo virtual. Además el trabajo virtual ejercido por esas dos

fuerzas es el trabajo virtual total hecho sobre los elementos de la estructura,

dado que el trabajo efectuado por las fuerzas internas se cancela entre sí. Así

el planteo será:

BD

BD

U T cos 1,4d 4 1,4.d 0T 6,88t

x x x siendo 54,5

Como se debe conocer cualquier movimiento virtual que puede tener un

sistema para poder aplicarle el principio de los trabajos virtuales (PTV) al

sistema de fuerzas actuantes, es necesario estudiar los movimientos o

desplazamientos de un sistema plano.

6.3. Cinemática de los sistemas planos

Si una chapa rígida rota alrededor de un punto O , describiendo un

ángulo , un punto de la misma describirá un arco de circunferencia, cuya

longitud será igual a s r , siendo r la distancia entre el punto O y el punto

A considerado y el desplazamiento estará definido por el vector AA . Si la

rotación es infinitesimal d , el arco se confundirá con la cuerda y con la

tangente a la circunferencia, por lo que será perpendicular al vector r y

tendrá una intensidad de ds r d . En este caso, el punto O se denomina

A

B C

D

4 t

1 m

1, 4 m

A

4 tB C

D

1 m

TBD

1, 4 m

d

1,4 d 1,4 d

4 t



5

centro instantáneo de rotación o simplemente polo, como se puede observar en

la Fig. 6.5.

Es así que puede admitirse que conocido el desplazamiento que sufre

un punto de la chapa puede ubicarse el polo alrededor del cual gira ese punto

trazando la perpendicular al desplazamiento.

Dado que una chapa se materializa por la ubicación de dos de sus

puntos, si se conoce el desplazamiento de esos dos puntos, se puede ubicar la

posición del polo de la chapa y viceversa. Para ello se trazan desde estos

puntos rectas perpendiculares a los vectores desplazamiento y se busca su

intersección, tal cual se muestra en la Fig. 6.6.

Figura 6.5: Centro instantáneo de rotación Figura 6.6: Polo de una chapa dados los

o polo desplazamientos de dos puntos

Figura 6.7: Desplazamientos paralelos Figura 6.8: Necesidad de conocer el desplazamiento

de igual sentido (polo en el impropio) de un tercer punto

a

b

c

B

A

CO

0

r

dsd r

AA’

B

A

a

b

O

A

A’

a

b

A

B

O



6

Cuando los desplazamientos son paralelos y del mismo sentido, el polo

será un punto impropio del plano, como se aprecia en la Fig. 6.7, y si son de

sentido contrario es necesario conocer el desplazamiento de un tercer punto

no alineado con los otros dos, Fig. 6.8.

Conclusiones:

1. Todo movimiento infinitesimal de una chapa en su plano puede

considerarse como una rotación alrededor de un punto denominado

polo.

2. Si el movimiento es una traslación, el polo es un punto impropio.

3. Conocido el vector desplazamiento de dos puntos de la chapa se puede

determinar la posición del polo.

4. Conocido el polo de una chapa se puede determinar el vector

desplazamiento de cualquier punto de la chapa.

Componentes del vector desplazamiento de una chapa en la dirección delos ejes cartesianos

Sea la chapa S , ubicada en el plano xy de un sistema de coordenadas

xyz , según se indica en la Fig. 6.9. Si rota en su plano alrededor del polo O ,

(origen del sistema de coordenadas) una rotación infinitesimal , el punto

;A AA x y tendrá un desplazamiento definido por el vector a que será

perpendicular al vector posición r .

x

z

y

O

A

a

r

S

Figura 6.9: Chapa en el plano xy rotando alrededor de su polo O



7

Si se asigna un vector a la rotación según la dirección del eje z se

puede establecer que:

0 00

A A

A A

y xx y

i j k

a r a a i j (6.6)

Si se define como corrimiento a la componente del vector desplazamiento

en una dirección dada, se tiene:

Corrimiento según la dirección x : Au y

Corrimiento según la dirección y : Av x

Se observa en la Fig. 6.10 que el valor del corrimiento v en la dirección

y depende exclusivamente de la coordenada x del punto, de donde se puede

enunciar que para todo punto que tenga la misma coordenada x , el

corrimiento que se produce para una rotación será el mismo. Análogamente,

para el corrimiento u en la dirección x del punto considerado. En general se

puede decir que:

Para una rotación de una chapa en su plano, las componentes del

vector desplazamiento de todos los puntos de la chapa que se ubiquen sobre la

misma línea vertical o análogamente sobre la misma línea horizontal serán

iguales, ver la Fig. 6.11.

A las componentes del vector desplazamiento se las llama corrimientos,

por ello se deben estudiar los diagramas de corrimientos o elaciones.

x

y

O

A

a

r

v

u

x

y

O

v

v

v

Figura 6.10: Componentes del desplazamiento Figura 6.11: Corrimientos verticales



8

Diagramas de corrimientosPara calcular los diagramas de corrimientos se necesitan conocer los

polos de una chapa. Si se tiene un sistema de chapas se deberán ubicar los

polos absolutos y los polos relativos entre chapas. Conociendo el polo de una

chapa y al provocar una rotación infinitesimal se puede determinar el

corrimiento de todos los puntos de la misma mediante los diagramas de

corrimientos verticales y horizontales de la chapa.

Sea la chapa S referida al sistema de coordenadas ;x y cuyo polo se

encuentra en el punto 1O según se indica en la Fig. 6.12. La chapa puede

rotar alrededor de dicho polo, es decir posee un grado de libertad. El diagrama

de corrimientos verticales se traza a partir de una línea de referencia

horizontal (paralela al eje x ), sabiendo que los puntos ubicados en la misma

vertical que pasan por el polo tienen corrimientos verticales nulos y que todos

los puntos con la misma abscisa tienen el mismo corrimiento vertical. El

diagrama se obtiene al rotar una recta un ángulo alrededor del punto O´1,

proyección vertical del polo de la chapa sobre la línea de referencia. Esa

rotación podrá ser indistintamente en sentido horario o antihorario, siendo su

magnitud arbitraria.

Figura 6.12: Diagramas de corrimientos horizontales y verticales de una chapa

y

O1

A (x ;y)

a

vu

v

u

1

1

S

O’

1O’’

1

x



9

De la misma manera se puede encontrar el diagrama de corrimientos

horizontales, adoptando en este caso una línea de referencia vertical y

proyectando sobre ella el polo O1, obteniéndose el punto 1O . La composición

vectorial de los corrimientos vertical y horizontal de un punto cualquiera de la

chapa determina el vector de desplazamiento real de dicho punto.

Movimientos de una cadena de dos chapas y un grado de libertad

Sea la cadena de dos chapas la cual posee cuatro grados de libertad,

sólo se sustenta con tres condiciones de vínculo para que el sistema tenga un

grado de libertad (Fig. 6.13). Se verán los desplazamientos que puede tener el

sistema. El vínculo doble de la chapa l admite giros, por lo que constituye el

polo absoluto de la misma 1O . El punto C admitirá un desplazamiento

perpendicular a la línea que une el polo O1 con C. Pero C también pertenece a

la chapa 2; entonces el polo de la chapa 2 se encontrará sobre algún punto de

la línea que pasa por C. Además el vínculo simple de la chapa 2 permite

desplazamientos en la dirección del vínculo, por lo tanto el polo se encontrará

en la línea perpendicular al plano de desplazamiento. Entonces el punto

intersección de O1C y la perpendicular por B se encontrará el polo absoluto O2

de la chapa 2. La articulación intermedia C constituye un polo relativo entre

ambas chapas y se denota con 12A .

Por lo analizado anteriormente se llega a una regla general que

establece lo siguiente:

Los polos absolutos 1O y 2O de dos chapas están alineados con el

correspondiente polo relativo 12A . Como regla general se tiene:

i i j jO A O (6.7)



10

Figura 6.13: Diagramas de corrimientos horizontales y verticales de una cadena de dos chapas

Ejemplo: Determinar la reacción horizontal del punto B.

El sistema formado por dos chapas y vinculado como aparece en el dibujo es

isostático (esquema izquierdo). Para poder aplicarle el PTV deberá tener

movimiento compatible con los vínculos, lo cual se logra al poner en evidencia

la reacción horizontal en B, esto es, reemplazar el vínculo doble por uno

x

y

O1

12A

C 12A

O2

1

2

12A

1O

2O

1

2

1 2

2O

1O

A

B

C

4 t

10 t 8 t

6 t

2 m 2 m 2 m 2 m

1,5 m

1,5 m 37

A

BC

4 t

10 t 8 t

6 t

2 m 2 m 2 m 2 m

1,5 m

1,5 m 37

HB



11

simple que permita el desplazamiento en la dirección de la reacción que se

quiere determinar para que ella pueda ejercer trabajo (esquema derecho). El

siguiente paso consiste en hallar los polos absolutos y relativos del sistema de

dos chapas.

Si se aplica el PTV se tiene:

1 2 1 18 x .2 4 x .2 6 x .1,5 x .3 0Bt m t m t m H m

En esta ecuación hay sólo una incógnita que es HB, por lo tanto se expresará a

2 en función de 1; luego al estar igualada a cero se cancelará 1, dado que

aparece en todos los términos y se podrá determinar el valor de la reacción

buscada:

1 2 1 2.4 .4m m

11BH t

El signo negativo de la reacción implica que el sentido real es opuesto al

supuesto.

O1A

B

C

4 t

10 t 8 t

6 t

2 m 2 m 2 m 2 m

1,5 m

1,5 m 37

HB

A12

O2

O’1 O’2

A’12

1 2

v1 v2 vC

1’ 2’

O’’1

O’’2

A’’12

1

2

1’’

2’’

u1

uB



12

Si se tuviera otro estado de cargas, se puede hallar el valor de la

reacción en B con el mismo diagrama de corrimiento, ya que el sistema

estructural y su vinculación no se alteraron.

Si el sistema de dos chapas estuviera unido mediante barras paralelas

entre sí, el desplazamiento relativo entre ambas sería una traslación relativa.

Figura 6.14: Articulación relativa en el impropio

Supuesta fija la chapa 1 la dirección de los corrimientos de L y N

resultan iguales y paralelos pues deben ser normales a KL y MN; las que a su

vez son paralelas entre sí. Por lo tanto la chapa 2 tendrá una traslación

relativa en la dirección perpendicular a KL y MN y la articulación relativa

estará ubicada en el punto impropio.

Cadena cinemática de tres chapas con un grado de libertad

Sea la cadena de tres chapas con un grado de libertad mostrada en la

Fig. 6.15, donde el vínculo doble en la chapa 1 constituye el polo absoluto de

la misma que se identifica con 1O y la articulación intermedia entre las chapas

1 y 2 un polo relativo que se identifica con 12A . Si se considera ese punto

perteneciente a la chapa 1, la dirección del posible corrimiento será

perpendicular la línea que une 1O con 12A . Pero 12A pertenece también a la

chapa 2 y en tal condición su corrimiento será el mismo impuesto por la

rotación de la chapa 1. De modo tal que el polo absoluto de la chapa dos

estará sobre la línea que une a O1A12. Pero la chapa 2 tiene un vínculo simple

que le permite desplazarse en el plano de deslizamiento de ese vínculo, por lo

que el polo se ubicará sobre su normal, es así que la ubicación de O2 surgirá

de la intersección entre la línea que une O1A12 con la perpendicular al vínculo

simple de la chapa 2. Además O1, A12 y O2 deben estar alineados.

K L

MN

12

A12



13

x

y

O1

1O

1

1

12A

23A

12A

O22O

2O

12A1

223A

3O

3O 3

23A

2

2

3

3

3O

3

3

1O

Figura 6.15: Diagramas de corrimientos horizontales y verticales de una cadena de tres chapas

Luego el polo de la chapa 3 deberá ser algún punto de la línea O2, A23 y

resultará de la intersección de ella con la perpendicular trazada por el vínculo

simple de la chapa 3. De manera que O2, A23 y O3 quedarán alineados.

El procedimiento de construcción de los diagramas de corrimientos se

realiza de manera análoga a los de la cadena de dos chapas, tomando para el

giro 1 sentido horario, mientras que los correspondientes a 2 y 3 resultarán

de la movilidad relativa entre las chapas 1 y 2, y de 2 con 3. Así ha resultado

2 antihorario y 3 horario. Para el trazado del diagrama de corrimientos

horizontal se deberán respetar estos sentidos de giros.

Ejemplo: Hallar el momento flector en la sección ubicada 1m a la

izquierda del apoyo B.

3 m 2 m 1 m 1 m 2 m 2 m

2 t 4 tA B C D

m-m



14

El sistema es isostático. Para calcular el momento flector en la sección

m-m indicada utilizando el PTV ese esfuerzo debe ejercer trabajo. Para ello se

debe provocar una discontinuidad de la chapa en esa sección ya que la viga

internamente se comporta como un empotramiento pues tiene continuidad

entre cada sección adyacente; se quitará la condición de empotrado para

permitir el giro relativo, eso se da si en la sección aparece una articulación

interna. De este modo surge en ella el momento flector que es el que se desea

determinar.

Ahora el sistema se transformó en uno de tres chapas con un grado de

libertad. El siguiente paso consiste en hallar los polos absolutos y relativos de

cada chapa.

Se ha dibujado el diagrama de corrimientos verticales. A partir de esto

se puede plantear el trabajo total ejercido por las fuerzas y por la incógnita.

3 m 2 m 1 m 1 m 2 m 2 m

2 t 4 tO2 O1

m

A12

m A23

m O3

1

m O’2

O’1m

O’3

A’12

m

A’23

m

2

m

3

m v1

m

v2

m

1’m

2’m

3’m

3 m 2 m 1 m 1 m 2 m 2 m

2 t 4 tA B C D

+

VA VB VD

m

m



15

1 2 1 2

1 3 1 2

1 2 2 3 3 1

3 1 2 1

1 1 1 1

2 x 4 x . . 0 2 x .3 4 x .2 . . 0 5 . 1 . 1 . 4 . 4m. 5 .

5 5.45 2 x .3 4 x .2 . .5. 04

t v t v M Mt m t m M M

m m m m m

t m t m M M

m-m2 M =- 0,6663

tm

El signo implica que el momento en la sección m-m es de signo contrario al

supuesto, es decir negativo.

Este resultado se puede verificar con el que se obtiene aplicando las

ecuaciones de equilibrio de la estática:

.

0 4 2 0

0 .11 2 .8 .5 4 .2 0

. 8 0 .7 2 .4 .1 07

11 88 16 5 8 0 3,429 . 11,429 07 7

y A B D

D A B

izq BC A B A

BB B

F V V V t t

M V m t m V m t mV m tmM V m t m V m V

mmV tm tm mV tm m V tmm m

A

m-m

m-m

3,333 V 0,666

M 0,666 .5 2 .2 M 0,67

BV t t

t m t mtm

Implica un momento en la sección m-m negativo.

Ejemplo: Calcular el esfuerzo de corte en la sección m-m de la viga que

aparece a continuación:



16

Aplicando el PTV se tiene:

1 2 1 2

1 1 1 1

4 x .2 2 x .1 x x 0 8 . 2 . . .4 . .2 0 6 6 . 0 1

t m t m Q v Q vtm tm Q m Q m

tm m QQ t

Resultado que indica que el esfuerzo de corte en m-m es contrario al supuesto.

Se supuso un corte positivo, entonces el verdadero es negativo.

Este resultado se puede cotejar con el obtenido mediante la aplicación

de las ecuaciones de equilibrio de la estática:

A C D F

izq.B A

m-m m-m

0 V V V V 0

0 V .6 4 .4 2 .1 0

3

Q 3 4 Q 1

Y

A

F

M m t m t mV t

t t t

Resultado que implica un esfuerzo de corte negativo en m-m.

2 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m

2 t 4 tA B C D

1 m 2 m

E Fm

m

2 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m

2 t 4 tAO1 BO2A23 C D

1 m 2 m

EA34 F Q Q

+

Q Q VA VC VD VF

A12 O3 O4

O2O1

v1

v212



17

Ejemplo: Encontrar el esfuerzo axil en la sección indicada:

Aplicando el PTV se ubican los polos del sistema dado evidenciando el

esfuerzo axil en la sección m-m. En este caso se colocan dos bielas paralelas

de dirección vertical, quedando el polo relativo de esa sección en el punto

impropio.

m

m4 t 2 t

2 m 1 m 1 m 1 m 1 m 1 m

3 m

A B C

VA VB VC

HA HC



18

1 4 1 4

1 2 2 3

3 4

4 1

4 .2 . 2 .1 . .3 .3 . 0 3 . 2 . 6 .

t m t m N m N mm

mm

1 1 4 . 15 . . 0N= - 0,266 t

m m N

El signo negativo indica que el sentido del esfuerzo N es contrario al

supuesto. Se supuso tracción, por lo cual el verdadero esfuerzo es una

compresión.

1

2 3 4

v1

v2

1’ 2’

3’ 4’

O’1

O’2O’3 O’4

A’12

A’34

A23

N

4 t 2 t

O1 O4

NA12 A34

O2

O3

2

3

1’’

4’’

2’’

O’’1O’’4

O’’2

O’’3

A’’12 A’’34

3’’

+



19

Planteando las ecuaciones de la estática, se puede verificar el resultado.

1

2

0 6 0

0 0

0 4 .2 .4 2 .6 .7 0

0 .1 2 .3 .4 .3 0

0

y A B c

x A C

A B C

dC B c c

dC

F V V V t

F H H

M t m V m t m V m

M V m t m V m H m

M

.1 .3 0c cV m H m

1,602 0,266 3,598 0,8A A C B CV t H H t V t V t

Por lo que en la sección m-m el esfuerzo axil es de compresión y tiene un valor

de 0,266 t.

Cinemática de una cadena de tres chapas con polo relativo en elpunto impropio

Figura 6.16: Cadena cinemática de tres chapas con un polo relativo impropio

Se da un giro 1 a la chapa 1; la recta 1’ será válida entre las

proyecciones de los extremos de la chapa 1. El corrimiento A12 será común a

las chapas 1 y 2; entonces la recta 2’ deberá pasar por A’12 y por la proyección

de O2 sobre la línea de referencia y se extenderá hasta encontrar la proyección

completa de la chapa 2. La línea que representa los corrimientos verticales de

la chapa 3, será paralela a la línea 2’ y pasará por O’3, proyección de O3. Es así

O1

O2

O3

A23

O’1

O’2

O’3

A12

A’12

1 2 3

1’

2’

3’



20

que la chapa 3 tuvo un desplazamiento relativo con respecto a la chapa 2 que

es una traslación, dado que la articulación relativa entre ambas está en el

punto impropio.

Cinemática de una cadena de tres chapas con polo absoluto en elpunto impropio

Cuando una de las chapas de la cadena cinemática posee dos

condiciones de vínculos, constituidas por dos apoyos móviles paralelos, el

diagrama de corrimientos, cualquiera sea la dirección del mismo, es una recta

paralela al eje de referencia, como se observa a continuación:

Articulaciones relativas entre chapas no consecutivas

En todo mecanismo de un grado de libertad, constituido por una

sucesión de chapas vinculadas entre sí, al desplazarse una cualquiera de las

mismas, las restantes también experimentan desplazamientos.

Supóngase que la chapa 1 está fija. La chapa 3 está vinculada con la 1

por medio de la chapa 2, que se comporta como una biela A12-A23. Además al

estar 1 y 3 articuladas directamente a tierra podemos admitir esta última

como una chapa rígida articulada a las anteriores en O1 y O3 respectivamente,

O1

O2

O3

A23

O’1

O’3

A12

A’12

1 3

1’

2’

3’

A’23



21

chapa que cinemáticamente se comportará como una segunda biela de

dirección O1 O3.

Por lo que las chapas 1 y 3 están vinculadas por las bielas A12A23 y O1O3

que equivalen a una articulación relativa ficticia A13 ubicada en la intersección

de las rectas prolongación de esas bielas.

Se concluye: La articulación relativa entre dos chapas no consecutivas, se

encuentra alineada con los polos de las mismas y con las articulaciones

relativas de la chapa intermedia.

Con ello se tiene:

ij jk ikA A A (6.8)

6.4. Determinación de esfuerzos en barras de reticulados

En el caso de estructuras reticuladas, también es posible encontrar el

esfuerzo en las barras, aplicando el PTV. Puesta la incógnita en evidencia, o

sea suprimiendo la barra y reemplazándola por dos fuerzas T y –T que

materializan el esfuerzo de tracción en la barra sobre los nudos que une, el

sistema se transforma en un mecanismo de un grado de libertad.

Para un reticulado dado como el de la figura, se planteará la

determinación del esfuerzo en barras que pertenecen al cordón superior, al

inferior, barras diagonal y montante.

O1

O3

A23

A12

A13



22

Barra del cordón superior

Al poner en evidencia la barra del cordón superior se genera un

mecanismo de dos chapas con un grado de libertad, cuya articulación relativa

se encuentra en C. Generalmente el esfuerzo en la barra se supone de

tracción. Se determinan los polos del sistema y los diagramas de corrimientos

vertical y horizontal.

Se plantea el PTV:

P1

P2

O1

O’1

P1

P2

T T

1 2

A12

O2

v11 2

1’

2’

t

t 12

O’2

A’12

1’’2’’ 12

u1 u2

12

M N

12

O’’1O’’2A’’12

P1

P2

T T

1 2

C



23

1 1 2 1 12. . . 0P u P v T (6.9)

En esta ecuación u1 se lee en el diagrama de corrimientos horizontales

dado que P1 es horizontal, a su vez como P1 actúa sobre la chapa 1 el

corrimiento correspondiente es el de la chapa 1 con respecto a la línea de

referencia. Como el sentido de la fuerza y el del corrimiento coinciden el

término de trabajo es positivo. Igualmente sucede con la fuerza P2, se lee sobre

el diagrama de corrimientos verticales el desplazamiento correspondiente.

También el trabajo que provoca es positivo. Con relación al esfuerzo T, existen

varias formas de determinar el signo del trabajo que produce. Como T es una

fuerza horizontal, se recurre al diagrama de corrimientos horizontales; la

fuerza T que actúa sobre la chapa 1 tiende a acercarla a la chapa 2 que se

considera fija, luego el corrimiento a leer será el que determina cómo se

desplazó la chapa 1 con relación a la chapa 2 considerada fija, es decir 12.

Como ambos, T y 12 tienen el mismo sentido, el término en la ecuación es

positivo.

Otra manera de proceder para determinar el signo de T en la ecuación

es utilizar el diagrama de corrimientos verticales: dado que ambas chapas

tienen su polo relativo en A12 se analiza el sentido de giro en que la fuerza T

del reticulado actuando sobre la chapa 1 tiende a girar alrededor de A12 , en

este caso el sentido es horario. Luego, sobre el diagrama de corrimientos

verticales se observa ubicados en A12 cómo giró la chapa 1 en relación a la

chapa 2 (12), en este caso horario, por lo cual el término en la ecuación de

trabajo será positivo. Dado que la fuerza T debe multiplicarse por un

desplazamiento, es que a partir de A12 se traslada en forma horizontal el valor

t, que es la distancia entre la dirección de T y la articulación relativa A12; por

su extremo se traza una línea perpendicular hasta intersecar a las chapas 1 y

2, obteniéndose 12.

Luego se despeja de la Ec. 6.9 la magnitud de T, la cual será negativa,

lo que implica que la barra está comprimida.

Barra del cordón inferiorAl suprimir una barra del cordón inferior nuevamente queda un

mecanismo que posee dos chapas y un grado de libertad. Se ubican los polos



24

absolutos y relativos para este nuevo esquema, y luego se procede al trazado

de los diagramas de corrimientos.

1 1 2 1 12. . . 0P u P v T (6.10)

En este caso, el signo del último término se debe a que T y 12 tienen

sentidos opuestos: la fuerza T actuando en la chapa 1 se dirige hacia la

derecha (chapa 2 fija) y en el diagrama de corrimiento horizontal el

desplazamiento de la chapa 1 con respecto a la 2 está dirigido hacia la

izquierda. De otro modo, T sobre chapa 1 tiende a girar en sentido antihorario

hacia la chapa 2 considerada fija, en el diagrama de corrimiento vertical el giro

de la chapa 1 con relación a la 2 es horario, lo que determina el signo

negativo.

De la Ec. 6.10, T resulta con signo positivo es decir que la barra está

traccionada como se ha supuesto.

O1

O’1

P1

P2

T T1 2

A12

O2

v11 2

1’2’

t

t

12

O’2

A’12

1’’

2’’1

2

u1

12

M N

12

O’’1

A’’12

O’’2



25

Barra diagonalSe procede a encontrar los polos del mecanismo que resulta con 4

chapas, dos de las cuales, se comportan son bielas paralelas (chapas 3 y4)

por lo cual sus polos relativos resultan en el punto impropio.

Luego se plantea el PTV:

1 1 2 1 14P . P .v T. 0 (6.11)

De la Ec. (6.11), T resultará con signo positivo, es decir la barra está

traccionada, como se supuso.

Barra montanteSe observa que las fuerzas P1 y P2 no realizan trabajo, dado que actúan

sobre la chapa 1 que no tiene movilidad, por lo tanto el trabajo ejercido por la

barra T también será nulo, así el esfuerzo T es cero.

O1

O’1

P1

P2

T

T

1 2

A13

O2

v1134

1’

2’

t

14

O’2

A’14A’13

1’’2’’

1 2

u1

14

3

4A14 A24

A23A34

O4

A12

O3

O’4O’3

A’24A’23

3’4’

2

O’’1O’’2A’’23

O’’3A’’13

A’’14A’’24

O’’4

t



26

Líneas de influenciaEn los ítems anteriores se analizaron estructuras que soportaban

cargas fijas. Ya sea en el caso de vigas, reticulados o pórticos, si las funciones

buscadas eran corte, reacciones, fuerzas en los elementos, etc. las cargas

ocupaban posiciones fijas. En la práctica se presentan estructuras sujetas a

cargas que se mueven a lo largo de sus claros; el ejemplo más evidente es el de

los puentes sujetos a tránsito vehicular, pero los edificios industriales con

grúas viajeras, las estructuras que soportan bandas transportadoras, etc.

también se incluyen.

Las posiciones críticas para colocar las cargas vivas no son las mismas

en todos los elementos. Por ejemplo, la carga máxima en una barra de un

reticulado de un puente puede ocurrir cuando una línea de camiones abarque

todos los claros, mientras que la fuerza máxima en alguna otra barra puede

ocurrir cuando los camiones se sitúan en una sola parte del puente. Lo mismo

puede suceder en un edificio.

A veces, es posible determinar por inspección dónde colocar las cargas

para obtener las fuerzas críticas, pero en muchas otras ocasiones es necesario

recurrir a ciertos criterios y diagramas para encontrar esas secciones. El más

útil de esos recursos es la línea de influencia.

Definición de línea de influenciaLa línea de influencia utilizada por primera vez por Winkler (1867,

Berlín), muestra de manera gráfica cómo el movimiento de una carga unitaria

O’1 3 4

1’

4’O’4

O’3

3’

O’2

A’34

2’

O1

P1

P2

TT

1 2

A13A23

O3

O4 t

1’’2’’

3 4

A12O2

A34

A24

O’’1O’’3O’’4A’’13A’’34A’’24

O’’2



27

a lo largo de una estructura afecta a los elementos mecánicos en ésta. Los

elementos mecánicos que pueden representarse son momentos flectores,

esfuerzos cortantes, normales, así como reacciones.

Una línea de influencia puede definirse como un diagrama cuyas

ordenadas muestran la magnitud y el carácter de algún elemento mecánico de

una estructura cuando una carga unitaria se mueve a lo largo de ésta. Cada

ordenada del diagrama da el valor del elemento mecánico cuando la carga está

situada en el lugar asociado a esa ordenada en particular.

Las líneas de influencia se utilizan para determinar dónde colocar las

cargas vivas para que éstas causen “fuerzas” máximas. También pueden

utilizarse para calcular dichas fuerzas. El estudio de las líneas de influencia es

una herramienta más que permite conocer cómo se ve afectada una estructura

bajo diferentes condiciones de carga.

Método cinemático para el trazado de las líneas de influenciaEste método consiste en trazar los diagramas de corrimientos para la

estructura en estudio, como se hizo en lo desarrollado anteriormente, con la

diferencia de que sobre la estructura no actúan cargas fijas sino una carga

móvil, a la que se le asigna un valor unitario. Para que ese diagrama de

corrimientos represente una línea de influencia se deberá leer en una

determinada escala y deberá tener un signo.

Se muestra en lo que sigue cómo determinar la línea de influencia de

las reacciones, esfuerzos característicos y esfuerzos en barras de reticulados

para los ejemplos vistos.

Línea de influencia de la reacción horizontal en BDado que es necesario trazar diagramas de corrimientos, todo lo visto

anteriormente al respecto es aplicable.

Luego, se posiciona una carga P=1t, que podrá ser vertical u horizontal,

en alguna sección de la estructura, seguidamente se planteará la nulidad del

trabajo ejercido por la fuerza activa P y por la incógnita del problema, de la

cual surgirá el signo de la línea de influencia y se determinará la escala en la

que deben leerse las ordenadas.

Ejemplo: Determinar la línea de influencia de la reacción horizontal B.



28

Se pone en evidencia en la estructura dada, la incógnita que se desea

determinar, se determinan los polos, y se trazan los diagramas de

corrimientos. Se supone que la carga que se desplaza es vertical hacia abajo.

Del planteo de trabajo total, resulta:

. . 0BP v H

Este planteo es genérico, luego se analiza el verdadero signo de cada

término (cabe aclarar que siempre serán sólo dos términos: el de la carga que

se desplaza y el de la incógnita). Para ese análisis se observa el signo del

trabajo que produce la carga vertical P y el correspondiente corrimiento

vertical, en este caso como tienen igual sentido, es positivo, lo que implica que

para que se cumpla que el trabajo total sea nulo, el signo del segundo término

A

B

C

2 m 2 m 2 m 2 m

1,5 m

1,5 m 37

A

BC

2 m 2 m 2 m 2 m

1,5 m

1,5 m 37

HB

O1A

B

C

P

2 m 2 m 2 m 2 m

1,5 m

1,5 m 37

HB

A12

O2

O’1 O’2

A’12

1 2

v

1’ 2’

O’’1

O’’2

A’’12

1

2

1’’

2’’

u1

P



29

deberá ser negativo. Esto significa que la reacción horizontal y su

correspondiente corrimiento deberán tener sentidos opuestos. Como esto no se

cumple (reacción supuesta y corrimiento tienen el mismo sentido) entonces se

coloca signo negativo donde se ha ubicado la carga P. Luego despejando de la

expresión de trabajo se determinará el valor de HB. Como a la carga P se le

asigna un valor unitario, el verdadero valor de HB surgirá de multiplicar a P

por su verdadero valor. La escala está dada por 1/. En esa escala se deberán

leer las ordenadas de los diagramas; que representan el valor de la reacción HB

cuando la carga está ubicada en dicha ordenada.

Ese signo tiene la siguiente interpretación: Cuando una carga

concentrada hacia abajo se desplace sobre la estructura desde A hasta B, la

reacción horizontal en B tendrá sentido contrario al supuesto.

Si las cargas que se desplazan fuesen horizontales, el corrimiento

correspondiente se leerá sobre el diagrama de elaciones horizontal, efectuando

un análisis análogo al anterior para establecer el signo. Para este caso

también surge que la línea de influencia es negativa, y su significado implica

que, cuando sobre la estructura se desplaza una carga horizontal hacia la

derecha, el sentido de la reacción horizontal en B es contrario al supuesto.

Línea de influencia del momento flectorSea el caso de hallar la línea de influencia del momento flector en la

sección m-m de la viga de la figura, cuando cargas verticales se desplazan

sobre la viga.

3 m 2 m 1 m 1 m 2 m 2 m

A B C D m

m

P

3 m 2 m 1 m 1 m 2 m 2 m

PO2 O1

m

A12

m A23

m O3

1

m O’2

O’1m

O’3

A’12

m

A’23

m

2

m

3

m v1

m

1’m

2’m

3’m

M M

Θ12



30

El diagrama de corrimientos ya fue trazado cuando se determinó el

momento flector en m-m aplicando el PTV.

La ecuación de trabajo para el caso que nos ocupa es:

0.. 12 MvP

El primer término es positivo, carga y corrimiento tienen igual sentido,

luego M que actúa sobre la chapa 1, tiene sentido antihorario, y sobre el

diagrama de corrimiento el giro que efectúa la chapa 1 con respecto a la chapa

2 es horario por lo cual produce trabajo negativo que coincide con el que debe

tener el segundo término del trabajo para que se cumpla su nulidad. Esto

implica que la línea de influencia tendrá signo positivo en el sector donde

actúa la carga P, el sector de línea de influencia que queda al otro lado de la

línea de referencia tendrá signo negativo. Eso significa, que cuando la carga

vertical se desplace desde A hasta B el momento flector tiene el signo supuesto

(positivo), pero cuando se desplace desde B hasta D tendrá signo contrario al

que supuesto, o sea negativo.

Línea de influencia del esfuerzo de corte en una sección m-m

Se pone en evidencia el esfuerzo de corte en esa sección con signo

positivo, se determinan los polos y se traza el diagrama de corrimientos. Se

plantea el trabajo total:

2 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m

PA B C D

1 m 2 m

E Fm

m

2 m 1 m 2 m 2 m 2 m 2 m

PAO1 BO2A23 C D

1 m 2 m

EA34 F Q Q

+

Q Q VA VC VD VF

O3 O4

O2O1

v1

v212

A12



31

0.. 12 QvP

El trabajo de la fuerza P es positivo entonces el que efectúe el corte

deberá ser negativo. El corte Q sobre la chapa 1 es positivo, ya que actuando

sobre el extremo derecho de la chapa 1 está dirigido hacia abajo, luego el

desplazamiento que efectuó la chapa 1 con respecto a la chapa 2, (∆12) es

hacia abajo, o se el trabajo es positivo, esto significa que el signo de la línea de

influencia donde actúa la carga será negativa. El diagrama que queda por

encima de la línea de referencia será positivo. La escala está representada por

1/∆12. El valor de Q se obtiene de la ecuación anterior. El signo de esta línea

de influencia indica que cuando la carga vertical se desplaza desde A hasta la

sección m-m el esfuerzo de corte tiene sentido contrario al supuesto, es decir

negativo; mientras cuando se desplaza desde la sección m-m hasta B tiene el

sentido supuesto, es decir positivo. Cada ordenada de la línea de influencia

representa en la escala 1/∆12 el valor del esfuerzo de corte cuando la carga

ocupa la posición de esa ordenada.

En este ejemplo, cuando la carga se desplace en el tramo BF, el esfuerzo

de corte en la sección m-m será nulo.

Línea de influencia del esfuerzo axilDe igual forma se toma para el caso de encontrar la línea de influencia del

esfuerzo axil, el ejemplo presentado para hallar ese esfuerzo aplicando el PTV.

Se transcribe el diagrama que se obtenido oportunamente.

0.. 23 NvP

El primer término es negativo, el segundo debe ser positivo. El esfuerzo

axil sobre la chapa 2, está dirigido hacia la derecha, el corrimiento de la chapa

2 con respecto a la 3 es hacia izquierda, el trabajo es negativo contrario a lo

que debe darse para que el trabajo total se anule. Es así que la línea de

influencia tendrá signo negativo en el tramo donde actúa la carga P. El otro

tramo será positivo.

La escala es 1/∆23. El signo indica que cuando la carga vertical se

desplace desde el apoyo izquierdo hasta la columna central el esfuerzo axil en

la sección m-m tendrá el mismo signo que se supuso es decir positivo, cuando

se ubique desde esa columna hasta el apoyo de la derecha será negativo.



32

Línea de influencia de esfuerzos en barras de reticuladosDe forma similar al trazado de las líneas de influencia para reacciones y

esfuerzos internos, se construyen las líneas de influencia para esfuerzos en

barras de reticulados. Y el análisis para asignarle signo a la línea de influencia

es análogo a lo anterior. Se muestran aquí las líneas de influencia que

corresponden a esfuerzos de barras del cordón superior, inferior, diagonal y

montante.

1

2 3 4

v

1’ 2’

3’ 4’

O’1

O’2O’3 O’4

A’12

A’34

A23

N

P

O1 O4

NA12 A34

O2

O3

23

1’’

4’’

2’’

O’’1O’’4

O’’2

O’’3

A’’12 A’’34

3’’

+



33

0.. 12 TvP

El signo negativo de la línea de influencia se debe a que T actuando

sobre la chapa 1 tiene sentido hacia la derecha considerando fija la 2 , y el

corrimiento de la chapa 1 con relación a la chapa 2 fija, es hacia la derecha;

el trabajo es positivo contrario a lo que debe cumplirse por la ecuación.

0.. 12 TvP

O1

O’1

PP

T T

1 2

A12

O2

v1 2

1’

2’

t

t 12

O’2

A’12

1’’2’’ 12

u

12

M N

12

O’’1O’’2A’’12

O’1

PP

T T1 2

A12

O2

v1 2

1’2’

t

t

12

O’2

A’12

1’’

2’’1

2

u1

12

M N

12

O’’1

A’’12

O’’2



34

0.. 14 TvP

El segundo término debe ser negativo, lo cual es así de observar el giro

de la chapa 1 con relación a la chapa 3 debido a T que es antihorario mientras

que en el diagrama ese giro es horario; esto determina el signo positivo donde

actúa P. Si la carga fuese horizontal hacia la derecha el corrimiento u tiene

igual sentido que la carga por lo cual el trabajo es positivo, y para T sería el

mismo análisis, por lo que el diagrama donde actúa P es positivo.

0.. 13 TvP

O’1 3

1’

4’O’4

O’3

3’

O’2

A’34

2’

O1

P

TT1 2

A13A23

O3

O4 t

1’’2’’

3 4

A12O2

A34A24

O’’1O’’3O’’4A’’13A’’34A’’24

O’’2

O4

O1

O’1

PP

T

T

1 2

A13

O2

v134

1’

2’

t

14

O’2

A’14A’13

1’’2’’

1 2

u

14

3

4A14 A24

A23A34

A12

O3

O’4O’3

A’24A’23

3’4’

2

O’’1O’’2A’’23

O’’3A’’13

A’’14A’’24

O’’4

t



35

El esfuerzo T actuando sobre la chapa 1 se dirige hacia abajo; en el

diagrama el corrimiento de la chapa 1 con respecto a la 3 va hacia arriba, el

trabajo es negativo, como debe cumplirse, esto indica que la línea de

influencia tiene signo positivo en donde actúa la carga. La escala es 1/∆13. El

signo significa que cuando P se desplaza sobre las chapas 3 y 4 el esfuerzo de

la barra es de tracción como se supuso.

En este caso, si la carga P se ubica sobre las chapas 1 y 2 el montante

no trabaja, dado que ambas chapas no sufren desplazamientos y P no realiza

trabajo.

En todos los casos, se debe tener la precaución de leer los

desplazamientos de la chapa sobre la que actúa la carga.

trab virt y líneas de influencia

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