le modèle de black scholes

Introduction

Les Hypothèses duModèle

Le Modèle BlackScholes

Les Formules deBlack Scholes

Les Ratios deCouverture d'uneoption européenne

La VolatilitéImplicite

Les Limites duModèle BS

Conclusion

Université Cadi AyyadFaculté des Sciences et Techniques Marrakech

Modèle de Black Scholes

Preparé par : Evalué par :

Amal ELJADIRI Mme.Khadija AKDIM

Année Universitaire : 2012/2013

Introduction







Conclusion

PLAN

I Introduction

I Les Hypothèses du Modèle

I Le Modèle Black Scholes

I Les Formules de Black Scholes

I Les Ratios de Couverture d'une Option Européenne

I La Volatilité Implicite

I Les Limites du Modèle BS

I Conclusion

Introduction







Conclusion

Introduction

Un peu d'historique...

Robert C. Merton a été le premier à publier un article développantl'aspect mathématique d'un modèle d'évaluation d'option en citant lestravaux de Fischer Black et de Myron Scholes. Ceux-ci, publiés en 1973,se fondent sur les développements de théoriciens comme Louis Bachelierou encore Paul Samuelson. Robert Merton et Myron Scholes (FischerBlack était décédé en 1995) ont obtenu en 1997 le prix de la Banque deSuède en sciences économiques en mémoire d'Alfred Nobel. Black a étécité comme contributeur.

Introduction







Conclusion

Introduction

Le concept fondamental de Black et Scholes fut de mettre en rapportle prix implicite de l'option et les variations de prix de l'actif sous-jacentà temps continu. Black et Scholes avaient proposé une formule pourestimer la valeur théorique d'une option nancière de type européenne(call ou put).Le modèle de Black Scholes est devenu la référence en termes de

modèle d'évaluation des produits dérivés. Il a eu un impact majeur surles méthodes utilisées par les traders, tant vis-à-vis de l'évaluation duprix des options que dans l'élaboration de technique de couverture. Cemodèle constitue le point de départ de l'essor de l'ingénierie nancièredans les années 1980 et 1990.

Introduction







Conclusion

Les Hypothèses du Modèle

• Le temps est une fonction continue,• Les options sont de types européennes : elles ne peuvent s'exercerqu'à la maturité,• Le sous-jacent considéré ne paye pas de dividendes pendant la périodeconsidérée (ou du moins un dividende constant),• Le prix de l'actif sous-jacent suit un mouvement brownien,• Il n'y a pas d'opportunités d'arbitrage,• La vente à découvert est possible,• Les coûts de transactions sont nuls, et il n'y a pas de restriction surleurs volumes,• Il n'y a pas de taxes,• Il existe un taux d'intérêt sans risque, connu et constant pendant lapériode considérée,• Les sous-jacents sont parfaitement divisibles (on peut par exempleacheter 1/100e d'action).

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Conclusion

Le Modèle Black Scholes

Énoncé

Le modèle de BlackScholes est, à l'origine, un modèle à deux actifs :l'un risqué St (l'action sous-jacente à l'option), l'autre pas Rt(uneobligation).

Rt = ert

, où r le taux sans risque.Le prix de l'action, St t>=0, est régi par l'équation diérentiellestochastique (EDS) suivante :

dSt = µStdt + σStdWt(∗)

µ : paramètre réel σ : la volatilité de l'actif, > 0 S0 : connuWt : mouvement Brownien sur un espace probabiliste (Ω,F,P)

Introduction







Conclusion


Signification

(*) =>dSt

St= µdt + σdWt

C'est le rendement du spot St . Il est à peu près constant égal à µdt, àune (petite) perturbation aléatoire σdWt . L' "amplitude" de cetteperturbation est mesurée par la volatilité σ.

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Conclusion


Solution de l'EDS (*)

La solution est :

St = S0 +

∫ t

0

µSu dx +

∫ t

0

σSu dWu

Ou encore, en utilisant la Formule d'Ito :

St = S0e(µ−σ

2

2 )t+σWt

Rappel : La formule d'Ito

Si f : IR -> IR de Classe C 2 , Alors :

f (Wt) = f (0) +

∫ t

0

f ′(Ws) dWs +1

2

∫ t

0

f ′′(Ws) ds

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Conclusion


Exemple

Considérons un agent qui investit dans ce marché. Désignons par αt etβt les nombres respectifs d'obligations et d'actions détenues par l'agentà l'instant t. La valeur du portefeuille de cet investisseur est :

Vt = αt .Rt + βt .St

la stratégie de nancement( αt , βt) est un processus adapté : pourdéterminer la stratégie on n'anticipe pas sur le futur car on ne disposeque de l'information jusqu'à l'instant t. Cela proscrit en particulier lesdélits d'initiés. Nous supposons que cette stratégie est autonancée.c'est à dire :

dVt = αt .dRt + βt .dSt

Donc le portefeuille actualisé

Vt = e−rtVt

est aussi autonancé, et on a :

dVt = αt .dSt

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Conclusion


Exemple (suite)

- Le marché est viable : il existe une probabilité P pour laquelle St estune martingale locale. C'est l'équivalent de l'AOA dans un marchédiscret.

dP = ec.Wt− c2

2 .T , c =r − µσ

St = S0.eσ.Wt−σ

2.t2 , dSt = σ.St .Wt , Wt = Wt −

µ− r

σ.t(MB)

- Le marché est complet : Tout actif de la forme : Zt=φ(St) (donctoute variable aléatoire Ft mesurable) est réplicable (duplicable). Celarésulte du théorème de représentation des martingales dû à Ito.

Résultat

En notant E l'espérance pour la probabilité P, on a :

Vt = E(ψ(St)/Ft) = f (t, St), ψ(St)martingale

Avec,

f (t, x) =1√(2π)

.

∫ +∞

−∞ψ(x .eσ.y.

√(T−t)).e

−y2

2 dy

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Conclusion


Pour une option

- Son prix est :V0 = V0 = f (0, S0)

- Avec :

f (0, S0) =1√(2π)

.

∫ +∞

−∞ψ(S0.e

σ.y.√

(T )).e−y

2

2 dy

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Conclusion

Les Formules de Black Scholes

Pour un Call

La valeur d'un actif à l'instant T est (St − K)+, et à la date t est :

C = S0.N(d1)− K .e−rT .N(d2)

où N est la fonction de répartition d'une N(0,1) :

N(x) =1√(2π)

.

∫ x

−∞e

−u2

2 du

et

d1 =log( S0

K) + T (r + σ2

2)

σ√

(T )

etd2 = d1− σ

√(T )

Pour un Put

La valeur d'un actif à l'instant T est (K − St)+, et à la date t est :

P = −S0.N(−d1) + K .e−rT .N(−d2)

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Conclusion

Les Formules de Black Scholes

Remarque :

- La Formule de Call Put Parity est bien vériée. En eet, puisque Stest une martingale sous P, on a :

C − P = e−rT .E((ST − K)+)− e−rT .E((K − ST )+)

DoncC − P = e−rT .E(ST )− e−rT .K

FinalementC − P = S0− e−rT .K

- Connaissant K, S0, r, µ et T, on peut facilement calculer la valeur duCall et du Put sous Excel :

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Conclusion

Les Ratios de Couverture d'une option européenne

Les Grecques

Les Grecques sont des indicateurs qui mesurent la sensibilité du prix parrapport à un paramètre donné.• ∆ mesure la sensibilité du prix par rapport au sous jacent :

∆t(St) =∂f

∂x

)(t, St)

C'est aussi la quantité de l'actif risqué dans le portefeuille decouverture !• Γ mesure la sensibilité du delta par rapport au sous jacent :

Γt(St) =∂∆

∂x

)(t, St)

C'est aussi une mesure de la fréquence de rebalancement du portefeuillede couverture !

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Conclusion


Les Grecques (Suite)

• Θ mesure la sensibilité du prix par rapport au temps :

Θt(St) =∂f

∂t

)(t, St)

• ρ mesure la sensibilité du prix par rapport au taux d'intérêt :

ρt(St) =∂f

∂r

)(t, St)

• Vega (qui n'est pas une lettre grecque ! ! !) mesure la sensibilité duprix par rapport à la volatilité :

Vegat(St) =∂f

∂σ

)(t, St)

C'est aussi un indicateur des précautions à prendre dans l'estimation dela volatilité !

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Conclusion


Pour un Call/Put

Ce sont les valeurs des Grecques à t=0. Pour avoir celles en t, il sutde remplacer T pat T-t.x := St

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Conclusion


Interprétation des Grecques pour un Call

DELTA :

∆ = N(d1)

Il mesure la variation d'un Call eneuros pour une variation de 1 eurodu sous-jacent : si le delta de ce Callest de 50 %, alors la variation dusous-jacent de 1 euro fera augmen-ter la valeur du Call de 50 centimes.Un delta intéressant se situe entre25% et 75%. En eet, pour simpli-er, le delta représente la probabi-lité que le Call a de terminer dansla monnaie à échéance. Plus le deltaest proche de zéro, plus le call estrisqué.

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Conclusion



GAMMA :

Γ =N ′(d1)

St .σ.√

(T − t)> 0

Le gamma représente la variation dudelta par rapport à la valeur de l'ac-tif sous-jacent. Mathématiquementparlant, c'est la dérivée seconde dela valeur d'un portefeuille par rap-port au cours de l'actif. Il représentedonc la vitesse d'évolution du delta :si le gamma est faible, le delta varielentement.

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Conclusion



THETA :

Θ = − St.σ

2√

(T − t)N ′(d1)

−Ke−r(T−t)rN(d2)

le thêta est le taux de variation d'unCall dans le futur en fonction dutemps. Un thêta de -1% sur unepériode de 24h signie que le Callconcerné perdra 1% de sa valeurtous les jours à cause de la diminu-tion de sa valeur temps. Il est doncpréférable de choisir un Call dont lethêta est le plus petit possible sur-tout si on investit sur le long terme.Absence d'arbitrage, lorsque :

Θ + r .St .∆ +1

2.σ2.S2

t .Γ− r .C = 0

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Conclusion



RHO :ρ = K(T − t)e−r(T−t)N(d2) > 0

Il représente la variation de la valeur du Call par rapport aux tauxd'intérêts : Plus le taux d'intérêt est élevé plus le prix du call l'est, etplus le taux d'intérêt est élevé moins on veut emprunter pour investir.Ainsi il est plus intéressant de se positionner sur le call ce qui faitgrimper sa valeur. Mais il reste le paramètre qui inue le moins sur lavalorisation des Calls.

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Conclusion



VEGA :

Vega = St .√

(T − t).N ′(d1) > 0

Le call est très sensible à la volatilitécar c'est elle qui peut amener l'ac-tion sous le strike. Cela est d'autantplus vrai dans la monnaie. Le végamesure la variation du prix d'uneoption pour une variation de 1%dans la volatilité implicite. La vo-latilité étant une mesure du risque,une hausse de cette dernière aug-mente la valeur de l'option. Un callavec un véga de 0,20 augmente de0,20 Euros à la suite d'une haussede volatilité de 1%. Le véga est plusélevé pour les options à long termeque celles à court terme.

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La Volatilité Implicite

Définition de la volatilité

C'est une mesure des amplitudes des variations du cours d'un actifnancier : Plus la volatilité d'un actif est élevée, plus son cours variefortement sur une période donnée, et plus l'investissement dans cet actifsera considéré comme risqué et par conséquent plus l'espérance de gain(ou risque de perte) sera important.Aurement dit, la volatilité permet de calculer l'amplitude des

variations positives et négatives de la valeur d'un titre autour de savaleur moyenne. Elle constitue une des mesures du risqued'investissement.

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Conclusion


Types de Volatilité

- La volatilité historique : basée sur les variations historiques que lecours d'un titre a connu. Elle peut être calculée sur diérents horizonsde temps suivant l'analyse désirée. La seule limite à cette méthoderepose sur le fait qu'il est dicile de se baser sur des données historiquespour prédire les variations futures. Mais, elle est simple à calculer :

σ =

√∑i (xi − x)

n

où : n est le nombre de périodes, xi , i = 1, .., n le cours de clôture dutitre à la période i et x la moyenne des cours passés.

- La volatilité implicite : correspondant au prix du risque d'une option.Elle représente la volatilité anticipée par les acteurs du marché pour ladurée de vie de l'option et transparaît dans la prime de l'option. Ainsi,plus la volatilité implicite est élevée et plus la prime de l'option seraélevée et inversement.

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Conclusion



La volatilité implicite est la valeur du paramètre volatilité permettantd'égaler le prix Black Scholes au prix du marché. Elle est obtenue parinversion de la formule Black Scholes : C'est la solution de l'équationCB(σ) = C , où C est le prix d'une option européenne observé sur lemarché et CB son prix selon BS. Elle est unique en l'absence d'arbitrage.

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Conclusion


Calcul de la Volatilité Implicite

Le calcul s'eectue par itérations se basant sur le modèle de BlackScholes et sur l'algorithme de Newton-Raphson. Le Calculateur devolatilité implicite intégré au Calculateur d'options disponible dans lesoutils de négociation en ligne donne le résultat en faisant entrer lesparamètres connus (S0,K,r,T,St).

http : //www .strategies−options.com/implied−volatility−matrix .html

L'investisseur peut ainsi comparer la volatilité implicite à la volatilitéhistorique de l'actif sous-jacent, et se forger sa propre opinion de lavolatilité à venir pour l'aider à implanter la stratégie sur l'option qu'iljuge optimale.

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Conclusion


Calculateur de la Volatilité Implicite en Ligne

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Conclusion


Calcul de la Volatilité Implicite sous Excel

Via la fonction "Valeur Cible" dans Données...

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La Volatilité Implicite selon BS

Le modèle de Black-Scholes implique que la volatilité implicite de toutesles options sur le même sous-jacent doit être la même, et égale à lavolatilité historique du sous-jacent.

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Conclusion


En Pratique..

Lorsqu'on calcule la volatilité implicite à partir des prix des diérentesoptions observés sur le marché, on constate que :• La volatilité implicite est toujours supérieure à la volatilité dusous-jacent.• Les volatilités implicites de diérentes options sur le même sous-jacentdépendent de leur strikes et maturités.

Optionsd ′AchatCAC40au20/02/06

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Conclusion


La Surface de Volatilité

Le graphique trace les volatilités implicites des options sur l'indice S&P500 du 23 janvier 2006.

• Pour presque tous les strikes : lavolatilité implicite décroît en fonc-tion du strike : Phénomène su skew.• Pour des très grands strikes : unelégère remontée de la volatilité im-plicite : Phénomène su smile.• Les phénomènes de smile et skewsont les plus prononcés pour les op-tions de courte maturité ; la courbede volatilité implicite en fonction destrike s'aplatit pour les grandes ma-turités.

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Conclusion


Le Smile

Un `Smile' sourire signie queces volatilités implicites sont plusélevées pour les puts et calls horsde la monnaie que pour les optionsà la monnaie.

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Conclusion


Le Skew

Quand il ne s'agit pas d'un 'sourire',mais d'une pente sur la courbe, onutilise le terme `skew' : un skew né-gatif donnerai une courbe de pentenégatif par exemple.

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Conclusion


Skew,Smile..

Le phénomène de skew est dû au fait que le modèle de Black Scholessous-estime la probabilité d'un krach boursier ou d'un grand mouvementde prix en général. Le traders corrigent cette probabilité en augmentantles volatilités implicites des options loin de la monnaie.le smile peut être expliqué par les primes de liquidité qui sont plusélevées pour les options loin de la monnaie.

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Conclusion

Les Limites du Modèle BS

Erreur relative de pricing

Le modèle sous estime les prix dans le cas où :- La maturité est petite,- Les options d'achat sont fortement dans la monnaie.Il n'est valable que pour les options européennes. Pour le pricing desoptions exotiques, par exemple, supposons que l'on a besoin de pricerun Call avec un prix d'exercice K et qui un a une barrière K' avec K'<K, doit-on alors utiliser la volatilité implicite de K ? Ou celle de K' ? Ouune combinaison linéaire des deux ?

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Conclusion

Les Limites du Modèle BS


Dans Black Scholes, on devrait avoir en théorie σ = σ(impl)= cte. Or,on observe en pratique que c'est pas vrai.Tant que σ dépend de K, elle dépend aussi de S0, ainsi elle dépend desdeux σ(K,S0), dans ce cas un changement de S0 induit un changementde σ, donc le risque Vega change également et il doit être couvert pluset devrait être couvert plus correctement (et à moindre coût) que lesrisques de delta.

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Conclusion

Conclusion

La prophétie auto-réalisée

Fisher Black lui même ironisait sur le sujet :Les opérateurs savent maintenant utiliser la formule et les variantes. Ilsl'utilisent tellement bien que les prix de marché sont généralementproches de ceux donnés par la formule, même lorsqu'il devrait exister unécart important...

Les limites de BS nous poussent à utiliser d'autres modèles plusadéquats avec les données du marché, les modèles à volatilité locale(Dupire ) ou encore mieux, des modèles à volatilité stochastique (Heston SABR ) et on les calibre an de retrouver le smile correct.

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