modelo de black scholes

8/3/2019 Modelo de Black Scholes

1/60

Universidade Federal de Goias

Escola de Engenharia Eletrica e de Computacao

Curso de Engenharia de Computacao

Xerxes Adorno Ferreira Lima & Eduardo Francisco Barbosa

Uma Avaliacao do Modelo Black Scholes

Goiania

2012


2/60



Monografia apresentada ao Curso de Engenharia

de Computacao da UFG, como requisito para a

obtencao parcial do grau de BACHAREL em En-

genharia de Computacao.

Orientador: Prof. Dr. Thyago Carvalho Marques

Goiania

2012


3/60

Eduardo Barbosa, Xerxes Lima;

Uma Avaliacao do Modelo Black Scholes / Xerxes Lima; Eduardo

Barbosa - 2012

58.p

Engenheiro. I.Ttulo.

CDU 536.21


4/60



Monografia apresentada ao Curso de Engenharia

de Computacao da UFG, como requisito para a

obtencao parcial do grau de BACHAREL em En-

genharia de Computacao.

Aprovado em 24 de fevereiro de 2012

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Thyago Carvalho Marques

Fernando F. Melo

Examinador

Adriano Santana

Examinador


5/60

Aos meus pais (Xerxes e Magda), irmaos (Cesar

e Karllus), tios, avos, namorada (Andressa) e

patroes (Rubao, Macarrao, Julio, Permnio,

Reed e Jose Carlos). Aos amigos e queridos

alunos, pelo apoio e companheirismo. (Xerxes

Adorno)


6/60

Aos meus pais (Simao e Marize), irmao (Fe-

lipe), namorada e amigos, pelo apoio e com-

panheirismo. (Eduardo Francisco)


7/60

Resumo

A atuacao no mercado financeiro atualmente e feita por investidores que se

valem da analise de informacoes provenientes de indicadores diversos, como graficos e

fatos relevantes (notcias) para decidir o que e quando comprar ou vender um determinado

ativo.

A utilizacao do instrumento financeiro, denominado de derivativo/opcao, tem

como uma de suas caractersticas viabilizar a alavancagem (especulacao) nas aplicacoesfinanceiras.

Este projeto apresenta os conceitos basicos sobre mercado de opcoes e tem

como intuito principal avaliar a precificacao dos derivativos quando se utiliza o modelo

Black Scholes. Isto foi feito apresentando a diferenca entre o preco real e o preco teorico

determinado pelo modelo. Atraves de ajustes de funcoes polinomias desta diferenca,

aplicadas a sada do modelo Black scholes mostrou que a diferenca quadratica entre os

precos reais e teoricos foram minimizadas, o que proporciona uma melhor avaliacao dos

derivativos para o tomador de decisao. Esta reducao, quando se utilizou os principais

ativos negociados no mercado brasileiro, VALE e PETROBRAS, foi na ordem de 28%

de melhora para o derivativo PETRG20 e para os derivativos PETRG22, PETRG24,

VALEG42, VALEG46 e VALEG48 obteve uma melhora em torno de 85%.

Para auxiliar o estudo de comportamentos citados anteriormente utiliza-se

recursos do MATLAB, para opcoes da Petrobras e Vale negociadas na Bovespa.

Palavras-chaves: Metodo de Black Scholes, ativo, preco da opcao, MATLAB.


8/60

Abstract

The performance in the financial market today is made for investors who worth

analyzing information from various indicators, such as charts and facts (news) to decide

what and when to buy or sell a particular asset.

The use of financial instrument, called the derivative / option is as one of its

characteristics make it possible to leverage (speculation) in financial applications.

This project presents the basics of options market and has as main purpose to

evaluate the pricing of derivatives when using the Black Scholes model. This was done

by presenting the difference between the actual price and the price determined by the

theoretical model. Through adjustment of polynomial functions of this difference, applied

to Black scholes model output showed that the square difference between the actual and

theoretical prices were minimized, which provides a better evaluation of derivatives to

the decision maker. This reduction, when using the main assets traded in the Brazilian

market, VALE and PETROBRAS, was around 28% improvement for PETRG20 derivative

and PETRG22, PETRG24, VALEG42, VALEG46 e VALEG48 derivatives obtained a

improvement in about 85%.

To aid the study of behavior mentioned above is used MATLAB features,

options for Petrobras and Vales stock derivatives on the Bovespa.

Keywords: Black Scholes method, active, price of an option, MATLAB.


9/60

Agradecimentos

A todos os meus parentes, patroes e a minha namorada, pelo encorajamento,

apoio, a enorme compreensao e paciencia.

Ao professor Thyago Carvalho Marques pela orientacao, amizade e principal-

mente, pela paciencia, sem a qual este trabalho nao se realizaria.

Aos professores do Departamento de Engenharia pelos seus ensinamentos e aos

funcionarios do curso, que durante esses anos, contriburam de algum modo para o meu

enriquecimento pessoal e profissional.


10/60

A mente que se abre a uma nova ideia,

jamais voltara ao seu estado original.

Albert Einstein


11/60

Sumario

Lista de Figuras 9

1 Introducao 11

1.1 Objetivos do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2 Organizacao do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Conceitos Basicos 13

2.1 Uma Opcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Nomenclatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Classificacao de uma Opcao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 Opcao in the money (ITM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2 Opcao out the money (OTM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.3 Opcao at the money (ATM) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Valor Intrnseco (VI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Valor do Tempo (VT) ou Valor Extrnseco (VE) . . . . . . . . . . . . . . . 17

3 Modelo de Black Scholes 18

3.1 Caractersticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 O modelo matematico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.3 Principais variaveis do Modelo BS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.1 Preco de exerccio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3.2 Preco do ativo objeto no mercado a vista . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.3 Taxa de juros sem risco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21


12/60

3.3.4 Volatilidade (risco) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.5 Tempo ate o vencimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.6 Dividendo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Metodologia 26

5 Resultados 30

5.1 Caso PETRO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5.1.1 Opcao PETRG20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5.1.2 Opcao PETRG22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1.3 Opcao PETRG24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.2 Caso VALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2.1 Opcao VALEG42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.2 Opcao VALEG46 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.2.3 Opcao VALEG48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6 Conclusao 53

Referencias Bibliograficas 54

A Apendice 56


13/60


14/60

LISTA DE FIGURAS 10

5.18 PETRG24: Diferenca entre o P. estimado(BS) e P. real . . . . . . . . . . . 41

5.19 PETRG24: Ajuste de quinto grau para a funcao diferenca . . . . . . . . . 42

5.20 PETRG24: Preco estimado ajustado de grau 5 x Preco Real . . . . . . . . 42

5.21 Metricas de Avaliacao e Comparacao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.22 Tabela de dados em relacao ao resultado da diferenca quadratica . . . . . . 44

5.23 VALEG42: Preco estimado BS x Preco Real . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.24 VALEG42: Diferenca entre o P. estimado(BS) e P. real . . . . . . . . . . . 45

5.25 VALEG42: Ajuste de quinto grau para a funcao diferenca . . . . . . . . . . 46

5.26 VALEG42: Preco estimado ajustado de grau 5 x Preco Real . . . . . . . . 46














15/60

11

1 Introducao

A atuacao no mercado financeiro atualmente e feita por investidores que se

valem da analise de informacoes provenientes de indicadores diversos, como graficos e fatos

relevantes (notcias) para decidir o que e quando comprar ou vender um determinado ativo.

Em funcao da globalizacao economica, diariamente, um grande volume de informacoes e

gerado e se faz necessario analisa-las afim de tomar alguma decisao.

E notavel que a habilidade humana fica bem aquem da forca computacional

uma vez que em um computador pode-se fazer rapidamente diferentes tipos de an alises,

tais como analises estatsticas, numericas, etc., em um volume grande de dados, e assim

podendo, algumas vezes, descobrir mais rapidamente alguma relacao de causalidade entre

as variaveis. Portanto, e conveniente utilizar ferramentas computacionais para processar

esse grande volume de informacoes, possibilitando assim estimar com certo nvel de certeza

o preco futuro de acoes, antecipar o movimento do mercado e tomar decisoes rapidas para

a compra e/ou venda de um determinado ativo.

Nesse projeto serao abordados conceitos relativos ao mercado de capitais e

derivativos, procurando encontrar subsdios para o investidor/tomador de decisoes na

bolsa de valores brasileira (Bovespa).

1.1 Objetivos do Trabalho

No incio dos anos 70, Black e Scholes, propuseram o modelo de Black Scholes (BS) na

tentativa de determinar um valor teorico para o preco de uma opcao em um data futura

que coincidisse com o valor real naquela data, tornando-se uma ferramenta bastante util

na decisao do investidor.

Este trabalho tem como principal objetivo minimizar o erro de precificacao de

um determinado derivativo estimado pelo modelo Black Scholes. Isto sera feito min-


16/60

1.2 Organizacao do Trabalho 12

imizando a diferenca quadratica entre o preco real e o preco teorico. Serao utiliza-

dos os derivativos dos principais ativos negociados no mercado de capitais brasileiro,

PETROBRAS e VALE.

A minimizacao do erro podera ser obtida atraves de determinadas funcoes

polinomiais para ajustar a sada do BS.

1.2 Organizacao do Trabalho

O trabalho esta dividido da seguinte forma:

Captulo 2 e 3: Consiste numa pesquisa bibliografica explicando alguns con-

ceitos tecnicos necessarios para o entendimento do trabalho;

Captulo 4: Sao apresentados todos os procedimentos adotados durante a

pesquisa;

Captulo 5: Sao apresentados estudos de caso com seus resultados, analises e

comentarios;

Captulo 6: E concludo o trabalho com as observacoes finais, vantagens,

desvantagens e propostas de melhoria para o futuro.


17/60

13

2 Conceitos Basicos

Neste captulo sera apresentado alguns termos tecnicos para melhor compreen-

der o desenvolvimento deste projeto.

2.1 Uma Opcao

Uma opcao e um derivativo, ou seja, deriva de um outro ativo financeiro. A

sua utilizacao tem como principal objetivo estabelecer alavancagem (especulacao) nasaplicacoes financeiras, e/ou proteger a carteira de investimentos sobre eventuais variacoes

nos precos. Neste trabalho, utilizou-se as opcoes somente com o vies de especulacao

financeira.

Ela da ao comprador o direito de negociar um lote de a coes no mercado fi-

nanceiro, sendo preestabelecidos os prazos e precos para o dia do exerccio1. Para isso,

e necessario ao proprietario de uma opcao pagar um premio (preco de contrato) pela

opcao, permitindo a ele comprar ou revender no mercado ate a data de vencimento (estilo

americano) ou na data de vencimento (estilo europeu) [6].

E importante ressaltar tambem que esse premio nao obriga o proprietario da

opcao a negociar o ativo. Essa caracterstica da opcao possibilita ao investidor um retorno

maior em relacao a um investimento sem elevar muito a quantia investida, pois o valor

do premio comparado com o ganho e relativamente pequeno. No entanto, caso a opcao

nao seja exercida ou comercializada o comprador perde o capital investido referente aopremio pago pela opcao [1].

1Data limite para os titulares exercerem seu direto. Este dia ocorre nas terceiras segundas-feiras dos

cada mes.


18/60

2.2 Nomenclatura 14

2.2 Nomenclatura

Ja em relacao a nomenclatura das opcoes, na Bovespa o codigo da opcao nor-

malmente possui o seguinte formato. As quatro primeiras letras referem-se a abrevia cao

do nome da empresa. A quinta letra refere-se ao mes de vencimento da referida opcao que

no caso de call vai de A ate L representando janeiro a dezembro, respectivamente. No

caso, de put a quinta letra vai de M ate X, representando tambem de janeiro a dezembro,

respectivamente. E finalmente, os dois numeros ao final que informa o valor de exerccio

da referida opcao.

Para ilustrar esta nomenclatura, segue a figura 2.1.

Figura 2.1: Nomenclatura das opcoes

Este e o formato:

NOME MES PRECO

NOME: abreviacao do nome da empresa negociada

MES: codigo do mes de vencimento do contrato de opcao

P RECO: valor de exerccio da referida opcao

Seja o derivativo PETRG20, como exemplo. PETR significa que esta e uma

opcao de um ativo da petrobras, a letra G significa que e uma opcao do tipo call com


19/60

2.2 Nomenclatura 15

vencimento no mes de julho e que possui preco de exerccio2 igual a R$20,00 por acao.

Caso fosse uma opcao de venda com as mesma caractersticas, tambem conhecida como

put, seria representada como PETRS20.

Caracterizado o que seria uma opcao nota-se que o mercado de opcoes origina-

se como uma alternativa para proteger o mercado de acoes contra provaveis perdas. Dessa

forma, tornou-se possvel diminuir os riscos de perdas financeiras ocasionadas por al-

teracoes nas expectativas do investidor. Esse mecanismo permite os hedgers utilizarem

as opcoes como um mecanismo de hedge (operacoes de cobertura de riscos), ou seja, usam

elas para adequar os riscos as expectativas e metas dos investidores, minimizando os riscos

das variacoes de precos. Este mercado tambem e utilizado por investidores em situacoes

que eles assumem posicoes no futuro para fixar e acompanhar o preco de um ativo desde

o presente.

Somado a tudo isso, o mercado de opcoes torna-se tambem atrativo para alguns

investidores devido as possibilidades de se negociar uma opcao. Existem duas formas de

negociar uma opcao no mercado financeiro. Uma delas, esta baseada no preco, e consiste

em negociar opcoes vendendo a um preco maior do que foi comprado assim como se faz

ao negociar um ativo, ou tambem, comprar a um preco menor do que ira vender a opcao.

A outra forma de negociar no mercado de opcoes esta fundamentada na volatilidade que

pode ser estimada a partir do premio de mercado [6].

Como pode-se perceber, o preco de contrato e um fator consideravel neste

mercado. Segundo Neftci (2000), a incerteza em relacao ao valor esperado do preco de um

ativo interfere diretamente no preco de uma opcao sobre esse ativo. A sua determinacao

tem como principais fatores relevantes: a oferta e a demanda, a diferenca entre o preco de

exerccio e o preco a vista da acao-objeto, o prazo de vigencia da opcao e a volatilidade

de preco.

A seguir sera apresentado a classificacao de uma opcao, a saber: in the money,

out the money, at the money. Alem disto, o conceito de valor intrnseco (VI) e valor do

tempo (VT) ou valor extrnsico (VE).

2Caso haja pagamento de dividendos, estes serao descontados do preco da acao, porem sem alterar a

nomenclatura do derivativo. Para consultar sobre o preco da serie atualizada deve-se entrar no site da

CBLC a seguir: http://www.cblc.com.br/cblc/Default.asp


20/60

2.3 Classificacao de uma Opcao 16

2.3 Classificacao de uma Opcao

2.3.1 Opcao in the money (ITM)

E tambem conhecida como dentro do dinheiro. Quando esta opcao se trata de

uma call (opcao de compra), o ativo objeto que esta sendo negociado no mercado a vista

esta a um preco maior que o preco de exerccio da opcao. Neste caso, no momento do

vencimento o comprador do premio ira exercer o seu direito de compra para obter lucro,

pois sera mais vantajoso ele exercer o seu direito do que comprar diretamente o ativo a

vista [11].

Para ilustrar, tem-se como exemplo o ativo PETR4 negociado no mercado

a vista a R$24,00. As opcoes PETRG20 e PETRG22 sao situacoes de calls dentro do

dinheiro, pois o preco do ativo e maior que os precos de exerccios que sao respectivamente

R$20,00 e R$22,00.

2.3.2 Opcao out the money (OTM)

E tambem conhecida como fora do dinheiro. Quando esta opcao se trata de

uma call (opcao de compra), o ativo objeto que esta sendo negociado no mercado a vista

esta a um preco menor que o preco de exerccio da opcao. Neste caso, no momento do

vencimento o comprador do premio nao ira exercer o seu direito de compra, pois o exerccio

nao compensaria no seu vencimento, pois sera mais vantajoso ele comprar diretamente o

ativo no mercado a vista [11].

Para ilustrar uma situacao fora do dinheiro para uma call tomando como

referencia a PETR4 ja citado anteriormente, tem-se a PETRG26 e a PETRG28 que sao

exemplos nos quais o preco do ativo e menor do que o preco de exerccio com valores de

R$26,00 e R$28,00, respectivamente.

2.3.3 Opcao at the money (ATM)

E tambem conhecida como no dinheiro. Quando esta opcao se trata de uma

call (opcao de compra), o ativo objeto que esta sendo negociado no mercado a vista esta


21/60

2.4 Valor Intrnseco (VI) 17

no preco proximo do preco de exerccio da opcao [11].

Para ilustrar uma situacao no dinheiro para uma call tem-se como referencia o

ativo PETR4 ja citado anteriormente, que possui o derivativo PETRG24 no qual o preco

de exerccio de R$24,00 coincide com o preco do ativo.

2.4 Valor Intrnseco (VI)

O valor intrnseco de uma opcao e a diferenca entre o preco da acao no dia e

preco de exerccio, caso ela se encontre dentro do dinheiro. Caso a opcao se encontre fora

do dinheiro, seu valor intrnseco sera zero, pois o lancador nao obtera lucro por possu-la.

O valor intrnseco e importante, pois ele servira de piso para o preco da opcao [2].

Algebricamente:

Vi = max[0; S X]

sendo,

Vi: valor intrnseco;

S: o preco do ativo no mercado a vista;

X: o preco do exerccio da opcao;

2.5 Valor do Tempo (VT) ou Valor Extrnseco (VE)

Valor extrnseco (VE) ou valor do tempo (VT) representa todos os fatores que

nao dependem do preco da acao associada a opcao, como por exemplo, o potencial de

valorizacao da opcao e as expectativas dos investidores [2].


22/60

18

3 Modelo de Black Scholes

3.1 Caractersticas

Em 1973, Fischer Black e Myron Scholes revolucionaram a teoria de preci-

ficacao de derivativos com a publicacao de um modelo matematico de aprecamento de

derivativos que quantifica a influencia do tempo e da incerteza sobre o valor do mesmo.

Posteriormente, Robert Merton desenvolveu uma extensao do modelo considerando a in-

fluencia de outras variaveis, como o pagamento de dividendos, taxa de juros e outrosfatores ja citados anteriormente [5].

Ao analisar este modelo, de acordo com Lion [1] e necessario considerar as

seguintes hipoteses:

I. Nao ha custos de transacao ou impostos.

II. O ativo pode ser comprado ou vendido em qualquer quantidade, inclusive sem re-

stricoes para vendas a descoberto.

III. O processo estocastico dos ativos e estacionario.

IV. Existe um ativo sem risco, e sua taxa de retorno e constante ao longo do tempo.

V. O ativo basico nao paga dividendos ou outros desembolsos de caixa de qualquer

especie.

VI. O preco da acao tem distribuicao lognormal.

3.2 O modelo matematico

A formula de Black Scholes, retiradas de Augen (2008), que resulta na avaliacao

do preco de uma opcao de compra antes de seu vencimento, sao as seguintes:

Aprecamento de call (C):


23/60

3.2 O modelo matematico 19

C = S0N(d1) XertN(d2)

Aprecamento de put (P):

P = XertN(d2) S0N(d1)

sendo,

d1 =lnS0X

+

r 22

t

te d2 = d1

t.

S0: preco do ativo-objeto em t = 0;

N(y): funcao probabilidade acumulada da variavel normal padronizada y;

X: preco de exerccio da opcao;

r: taxa de juros;

: volatilidade do preco ativo-objeto;

t: tempo restante para o vencimento da opcao, expresso como porcentagem de

um ano.

Determina-se a funcao N(y) da seguinte forma:

N(y) =1

2

x

ey2

2 dy

A analise intuitiva do modelo de Black Scholes, de acordo com Thompkins

(1994), permite interpretar de uma forma melhor o modelo matematico exposto acima.

Segundo o autor, o preco de uma call (C), por exemplo, pode ser visto como uma esperanca

matematica, onde N(d1) e a probabilidade do preco do ativo chegar ao vencimento com

um preco maior que o preco de exerccio (X), e N(d2) e a probabilidade do preco do ativo

ficar menor que o atual preco de mercado (S). Ou seja, N(d1) e a probabilidade de um

ganho ilimitado, caso o preco do ativo suba, e N(d2), de uma perda limitada, caso caia.

A soma dessas duas probabilidades e que dara o valor do tempo da opcao. Vale lembrar

que no momento do vencimento, os valores de N(d1) e N(d2) serao ambas iguais a 1, caso

a opcao termine em exerccio. Entretanto, caso ela vire-po, serao ambas iguais a zero.


24/60

3.3 Principais variaveis do Modelo BS 20

3.3 Principais variaveis do Modelo BS

De acordo com Weston e Copeland (1988) alguns pontos importantes sao es-

clarecidos pelo Modelo de Precificacao de Opcoes:

O preco da opcao nao depende da probabilidade de

um movimento de subida do preco da acao, pois as in-

formacoes sobre as expectativas de mercado com relacao

aos futuros movimentos de precos ja foram captadas pelo

preco atual da acao.

As atitudes individuais em relacao ao risco sao irrele-

vantes na derivacao do modelo de precificacao de com-

pra.

A unica variavel randomica da qual depende o valor da

opcao e o preco da acao. O preco da opcao de compra

nao depende , por exemplo, da carteira de mercado de

todos os ativos.

No entanto, alguns fatores determinam o valor de uma opcao de compra (call) e podem ser

divididos em dois grupos. O primeiro se refere as caractersticas basicas do contrato (Preco

de exerccio e a data do vencimento), o segundo grupo diz a respeito das caractersticas

do ativo-objeto (preco no mercado a vista e a taxa de juros ) e do mercardo (volatilidade

e dividendo) [1].

3.3.1 Preco de exerccio

E o preco pre-determinado de uma opcao. Ele exerce influencia, pois a medida

que o preco de exerccio sobe, diminui-se a probabilidade da opcao terminar dentro do

dinheiro, por isso que quanto maior o preco de exerccio menor sera o preco da opcao.


25/60


3.3.2 Preco do ativo objeto no mercado a vista

O preco do ativo objeto no mercado a vista e determinado a partir da analise

do comportamento das acoes neste mercado, efetuada com base em sua liquidez, tradicao

e negociabilidade. A sua influencia para uma call ocorre, pois a medida que o preco doativo sobe no mercado a vista, a opcao caminha para dentro do dinheiro, ampliando a

possibilidade de exerccio, desta forma, eleva-se o preco da opcao. E importante ressaltar

que dentre as variaveis e a de maior relevancia, pois afinal o preco de uma opcao e a

diferenca entre o preco do ativo e o preco de exerccio acrescido de um valor do tempo.

3.3.3 Taxa de juros sem risco

A taxa de juros tem um papel fundamental nas decisoes dos mais variados

agentes economicos, afetando diretamente os custos financeiros das empresas e as expec-

tativas de investimentos da economia.

Por um lado, se houver uma queda nas taxas de juros, presume-se queda nos

custos financeiros para as empresas e maior consumo de famlias e empresas, gerando um

aumento potencial de ganho das empresas. Com isso, os investidores buscam a bolsa de

valores procurando maior rentabilidade. Desta forma, amplia-se a procura de acoes e,

consequentemente, eleva-se os precos das acoes.

Por outro lado, esse mesmo aumento nas taxas de juros, provocam um aumento

no preco das opcoes, pois as taxas de mercado estao imbutidos nos precos da opcao. E

por isso que a taxa de juros exerce pouca influencia no preco da opcao.

3.3.4 Volatilidade (risco)

O numero que se define a volatilidadedo preco de um ativo, relaciona-se com

a variacao de preco referente a um desvio padrao, expresso em porcentagem, ao fim de

um perodo de tempo. Atraves dele e possvel estimar o valor maximo e o valor mnimo

que um ativo pode ter em um determinado perodo de tempo. E por isso que ela esta

intimamente relacionado com o risco, pois onde ha maior possibilidade de ganho tambem

havera maior risco de perda.


26/60


Todavia, fazer a mensuracao correta deste valor e a grande incognita a ser

descoberta. Pois, devido ao seu comportamento dinamico esta tarefa se torna muito

difcil. No entanto, ao determinar a mensuracao correta, ou aproximada, desta variavel,

o acionista podera tomar as melhores decisoes.

Vale lembrar que existem dois tipos de volatilidade, a hist orica e a implcita.

As volatilidades mencionadas sao numeros relacionados ao comportamento de um ativo.

Acompanhar a volatilidade e fundamental para qualquer trader de opcoes, e saber como

calcula-la e usa-la e muito importante. Neste trabalho, utilizou-se a volatilidade historica.

Saber usa-la e entender como ela influencia no valor de uma opcao. Nota-se

que quanto maior a volatilidade, maior a probabilidade de que a op cao termine dentro

do dinheiro e, portanto, de que seja exercida. Isso porque a maior volatilidade tambemaumenta o intervalo de variacao possvel para o preco do ativo objeto. Dessa forma,

quanto maior a volatilidade, maior a probabilidade de que oscilacoes favoraveis ocorram,

e consequentemente maior sera o preco das opcoes.

Volatilidade Historica

E a volatilidade calculada usando series historicas de um determinado ativo.

Embora seja impossvel prever o futuro, uma analise criteriosa da variacao passada de

um ativo pode nos conduzir a aproximacoes satisfatorias sobre o seu comportamento

futuro. Ao efetuar o calculo da volatilidade historica, deve-se decidir sobre que perodo

sera analisado o ativo; se e a ultima semana, o ultimo trimestre ou o ultimo ano. Em geral

e util considerar um tempo longo. Para se calcular a volatilidade historica e necessario

definir primeiramente a media e o desvio-padrao da serie.

Dada uma serie de observacoes, a media dessa serie sera definida como:

X =1

n

ni=1

Xi

E o desvio-padrao:

=1

n 1

n

i=1

(X

Xi)2


27/60


onde,

X: Media aritmetica da serie.

n: e o numero de observacoes

Xi: e a i-esima observacao

: e o desvio-padrao

A volatilidade historica e definida como o desvio padrao de uma serie de re-

tornos dos precos medidos em intervalos regulares. E e calculado da seguinte forma:

Xi = ln

Pi+1

Pi

onde,

Pi: e o preco ao fim de cada intervalo i.

Volatilidade Implcita (VI)

A volatilidade implcita se refere exclusivamente as opcoes de um ativo. Para

determinar o seu valor, deve-se usar um modelo teorico de determinacao de premios

de opcoes, como por exemplo o modelo Black Scholes, conforme sera mostrado posterior-

mente. E importante ressaltar que a volatilidade implcita nao e necessariamente a mesma

para todas as opcoes sobre um determinado ativo que tenham seu prazo de expiracao em

uma mesma data, ela depende muito de como o mercado ira implicita-la.

Matematicamente, temos:

PT = BS(S, X,i,T, V ol) . . . (1)

;

PR = BS(S, X, i, T, V I ) . . . (2)

em que,

PT: preco teorico da opcao;

PR: preco real da opcao;


28/60


S: preco a vista do ativo objeto;

X: preco de exerccio;

i: taxa de juros livre de risco;

T: tempo para vencimento;

V ol: volatilidade do ativo objeto;

V I: volatilidade implcita.

A equacao (1) e o mecanismo tradicional de determinacao do preco de um

derivativo. Ja a equacao (2), utiliza-se o preco de mercado (PR), como dado no modelo,

e estima a Volatilidade Implcita (VI). Desta ultima forma, tem-se qual a Volatilidade

Implcita para o preco do derivativo praticado no mercado.

Uma das principais interpretacoes desta informacao e que quando for muito

diferente da volatilidade historica significa que o mercado atual esta aguardando altas

oscilacoes nos precos das opcoes.

3.3.5 Tempo ate o vencimento

Como ja se sabe, o vencimento de uma opcao ocorre sempre nas terceiras

segundas-feiras da cada mes e e ele quem determina o tempo limite para os titulares das

opcoes exercerem seu direito. Esta variavel exerce certa influencia no preco da opcao.

Para opcao europeia a influencia do tempo ate o vencimento de uma opcao no valor do

premio ainda nao esta bem definida, pois o exerccio da opcao pode ocorrer apenas na

data do vencimento e nao se sabe qual sera o comportamento do ativo ate esta data.

Entretanto, para opcao do tipo americana, como o exerccio pode ocorrer a

qualquer momento ate a data de vencimento, percebe-se que quanto mais longe estiver

do vencimento maior sera a probabilidade da opcao em algum momento ficar dentro do

dinheiro, desta forma quanto maior o tempo ate o vencimento do contrato, maior sera o

valor do premio de uma opcao americana.

Estatisticamente, a medida que o tempo passa, perdem-se graus de liberdade

no processo estocastico1 que determina a formacao do preco do ativo objeto, reduzindo a

1

Segundo Kac e Nelson, um processo estocastico e qualquer tipo de evolucao temporal (determinstica


29/60


incerteza ou o intervalo de variacao esperado para o preco do ativo.

3.3.6 Dividendo

Os dividendos correspondem a parcela de lucro lquido distribuda aos acionistas,

na proporcao da quantidade de acoes detida, ao fim de cada exerccio social. A companhia

deve distribuir, no mnimo, 25% de seu lucro lquido ajustado. Se apresentar prejuzo ou

estiver atravessando dificuldades financeiras, a companhia nao sera obrigada a distribuir

dividendos. No entanto, caso a situacao perdure, as preferenciais adquirem o direito de

voto, ate que se restabeleca a distribuicao de dividendos.

Observa-se que quando os dividendos sao distribudos pelas empresas, eles

afetam diretamente o preco de exerccio das opcoes e consequentemente o preco total das

opcoes. Para esclarecer como e esta relacao, sera suposto a PETR4 que distribui 1 real de

dividendos por opcao, a opcao de preco de exerccio de 50 reais passara a ter o preco de

exerccio de 47 reais. Desta forma, fica claro que isto tenderia a elevar o preco da opcao.

Entretanto como ocorre uma perda de valor da a cao, apos a distribuicao dos

dividendos, o processo tendera a se equilibrar tornando as mudancas pequenas.

ou essencialmente probabilstica) que seja analisavel em termos de probabilidade, ou seja, s ao processos

aleatorios que dependem do tempo.


30/60

26

4 Metodologia

Neste captulo sera apresentado o procedimento metodologico desenvolvido

neste trabalho.

Inicialmente devera ser obtido o preco historico real de cada uma das opcoes

analisadas. Apos este procedimento deve-se ajustar o modelo de BS para determinar o

preco teorico deste mesmo derivativo. Porem, existem algumas variaveis que devem ser

determinadas para que o modelo possa obter um bom resultado, sao elas, a saber: preco do

ativo, preco de exerccio, taxa de juros, tempo para o vencimento e a volatilidade. Todaselas, exceto a ultima variavel, sao parametros dados e faceis de serem determinados.

No entanto, a ultima, e a volatilidade a ser utilizada, que necessita estabelecer alguns

parametros para determina-la, tais como, a quantidade de dias passados que se devem ser

considerados.

O primeiro parametro a ser determinado para o calculo da volatilidade historica

e a quantidade de dias passados que obtera uma melhor aproximacao. Para isso, e

necessario fazer-se por metodo exaustivo e a cada iteracao acrescentar um dia a mais

no historico para o calculo da volatilidade historica, dando incio com cinco dias e final-

izando com sessenta dias1.

Obtido o valor da volatilidade historica submete-se ao modelo BS e em seguida

obtem-se os valores da diferenca entre o valor teorico e o valor real para cada dia simulado.

Para o caso da PETROBRAS, neste trabalho, foi feita esta analise de variabilidade e

obteve-se 29 dias como melhor ajuste. Ja para o caso da VALE obteve-se 48 dias como

melhor ajuste.

A seguir tem-se a figura 4.1 que ilustra a partir de um diagrama, a obtencao

1A consideracao de um intervalo entre 5 e 60 dias e por considerar que menos que cinco dias existem

poucas informacoes sobre a variabilidade do ativo. Ao passo que mais de 60 dias, a variabilidade do ativo

tem pouca influencia sobre os precos atuais. Vale ressaltar que estes sao dias uteis. Portanto, quando se

considera 60 dias uteis esta sendo considerado um perodo de aproximadamente 3 meses de historico de

preco.


31/60

4 Metodologia 27

da volatilidade historica.

Figura 4.1: Diagrama para obter volatilidade historica

Apos a definicao deste perodo ideal, a segunda parte do trabalho consiste em

definir os criterios adotados para se obter a funcao de ajuste. A metodologia consiste em

apartir da funcao diferenca entre o preco real e o preco teorico pelo metodo Black Scholes

(call) gerar uma funcao polinomial de ajuste, de grau 5, que ser a a base do ajuste. Para

isso, utiliza-se o codigo no MATLAB conforme esta exposto no apendice A.

A seguir estao os diagramas que constam nas figuras 4.2 e 4.3 que sinteti-

zam a metodologia adotada neste projeto. A primeira, representa a definicao do preco

teorico apenas pelo modelo Black Scholes. Ja o segundo, representa o modelo que sera

desenvolvido neste projeto. Projeto este que consiste na determinacao de uma funcao

polinomial na sada do modelo Black Scholes para a justar o preco teorico e minimizar a

diferenca ou erro entre o preco teorico ou estimado somente pelo Black Scholes e o preco

real.

Finalmente, definida a funcao de ajuste aplica-se ela na sada do Black Scholes.

Entao e feita a comparacao entre funcao de Black Scholes ja ajustada e preco real da

opcao, e posteriormente analisa-se paralelamente as funcoes nao ajustadas e ajustadas

para visualizar aquela que obteve os melhores resultados, e como criterio de desempenho

use-se o calculo do resultado da diferenca quadratica, como esta exposto a seguir:


32/60

4 Metodologia 28

Figura 4.2: Metodo Black Scholes

Figura 4.3: Metodo Black Scholes com a juste


33/60

4 Metodologia 29

Difa =ni=1

[(P Ta,i P Ra,i)]2

onde,

Dif: Resultado da diferenca quadratica.

P T: Preco teorico do modelo.

P R: Valor real da opcao.

a: Indice da opcao analisada.

sendo que quanto menor o valor de Dif mais proximo os valores do preco

teorico estarao do valor real da opcao.


34/60

30

5 Resultados

Neste captulo sera apresentado os resultados obtidos com a aplicacao da

metodologia.

O primeiro resultado conforme exposto na metodologia foi o perodo de dias

ideal que deveria ser analisado o comportamento das opcoes e aplicar a funcao polinomial

de ajuste. Como resultado desta variavel concluiu-se que o melhor perodo seria de 29

dias para PETROBRAS e 47 dias para VALE.

Os graficos das figuras 5.1 e 5.2 que referem-se respectivamente aos ativos

PETR4 e VALE5, ilustram o comportamento historico de preco do ativo, assim como

identificar quando uma opcao se encontra in the money (ITM), at the money (ATM) ou

out the money (OTM).

Figura 5.1: PETR4: Preco do ativo

A seguir sera exposto os resultados para o caso PETRO e VALE respectiva-

mente, em relacao as opcoes PETRG20, PETRG22 e PETRG24 referente ao ativo PETR4


35/60

5.1 Caso PETRO 31

Figura 5.2: VALE5: Preco do ativo

e opcoes VALEG42, VALEG46 e VALEG48 para o ativo VALE5 analisando as situacoes

in the money (ITM), at the money (ATM) ou out the money (OTM). Alem disso dentre

estes resultados estara o polinomio obtido, metricas de avaliacao como media aritmetica,

desvio padrao, diferenca maxima e mnima, alem do resultado da diferenca quadratica

que servira como parametro de analise para determinar a eficiencia do a juste polinomial.

Alem disso, com intuito de facilitar a visualizacao e sintetizacao dos dados

obtidos, tem-se tambem graficos comparativos referente ao preco das opcoes comparando

a aproximacao do BS e o preco real, aproximacao ajustada e o preco real, o grafico das

diferencas e o grafico do ajuste do polinomio.

5.1 Caso PETRO

Nesta secao serao colocados os resultados para o caso petrobras em referencia

aos seguintes derivativos do ativo PETR4: PETRG20, PETRG22 e PETRG24. Nota-se

atraves da figura 5.1 que o preco do ativo possui um valor inicial de R$24,40 por a cao, e

oscila entre os valores de R$22,90 e R$24,40 dentre o per/iodo analisado.


36/60

5.1 Caso PETRO 32

5.1.1 Opcao PETRG20

Para o caso do derivativo PETRG20, percebe-se que esta opcao estara em todo

o perodo na situacao dentro do dinheiro (ITM), pois como o ativo em nenhum momento

atinge valor inferior a R$22,90, tem-se que o preco do ativo neste caso permaneceradurante toda a analise superior a R$20,00 que e o preco de exerccio da opcao . A funcao

ajuste apresentado no grafico da figura 5.7 e representado pelo polinomio a seguir:

P20(x) = 7, 0107x55, 9105x4+1, 75 103x32, 1102x2+8, 7102x+4, 3102

Todavia, em relacao as metricas de avaliacao observou-se que tanto a media

aritmetica, o desvio padrao e a diferenca maxima teve um reducao ocorrida pelo ajuste

entre 10% e 20%. O unico criterio que obteve um aumento, cujo o valor foi de 4,28%, foi o

da diferenca mnima. Entretanto, como se trata de valor monetario, considera-se a ordem

de centavos que equivale a duas casas decimais, pode-se dizer que nas duas situa coes a

diferenca mnima foi zero. Com isso, nao houve variacao percentual para a diferenca

mnima.

A figura 5.3 mostra os valores de todas essas metricas de comparacao nos

estudo feitos sobre a opcao PETRG20. Nesta figura, tem-se o paralelo dos resultados

das metricas de comparacao comparando as diferencas entre o preco teorico e o preco

real antes do ajuste polinomial e depois do ajuste polinomial conforme foi proposto na

metodologia.

Figura 5.3: Metricas de Avaliacao e Comparacao

Acrescentado as essa metricas de avaliacao tem-se o resultado da diferenca

quadratica que foi utilizado como criterio de analise para entao verificar se houve melhora


37/60

5.1 Caso PETRO 33

ou nao ao aplicar a funcao de ajuste na sada do BS. Para ilustrar este resultado, segue a

tabela da figura 5.4 que mostra uma queda de 28% no resultado da diferenca quadratica

entre o preco teorico e o preco real ilustrado na coluna diferenca percentual. Mostrando

dessa forma, que com o ajuste polinomial realmente teve um preco estimado mais proximo

do preco real. Esse ajuste percentual so nao foi maior, pois conforme pode-se observar na

figura 5.5 o preco teorico proposto pelo BS sem o ajuste polinomial j a oscilava em torno

do preco real e ja tinha uma aproximacao consideravel.

Figura 5.4: Tabela de dados em relacao ao resultado da diferenca quadratica

E possvel perceber tambem que o preco desta opcao oscila entre R$3,00 e

R$4,80 sendo um valor muito menor que o preco do ativo conforme mostra o grafico da

figura 5.5. Isso mostra que a opcao pode ser uma alternativa boa para definir a decisao

de compra para um momento futuro sem precisar fazer um elevado investimento. Para

melhor visualizacao e interpretacao dos resultados segue as figuras 5.5 ate 5.8 ilustrando

o processo do ajuste polinomial analisado sobre o derivativo PETRG20.

Figura 5.5: PETRG20: Preco estimado BS x Preco Real


38/60

5.1 Caso PETRO 34

Figura 5.6: PETRG20:Diferenca entre o P. estimado(BS) e P. real

Figura 5.7: PETRG20: Ajuste de quinto grau para a funcao diferenca


39/60

5.1 Caso PETRO 35

Figura 5.8: PETRG20:Preco estimado ajuste de grau 5 x Preco Real

5.1.2 Opcao PETRG22

Para o caso do derivativo PETRG22, percebe-se que esta opcao estara em todo


atinge valor inferior a R$22,90, tem-se que o preco do ativo neste caso permanecera

durante toda a analise superior a R$22,00 que e o preco de exerccio da opcao . A funcao

ajuste apresentado na figura 5.13 e representado pelo polinomio a seguir:

P22(x) = 6, 1 107 x55, 4 105 x4+1, 6 103 x32, 1 102 x2+9, 0 102 x+3, 4 101

Todavia, em relacao as metricas de avaliacao observou-se que a media ar-itmetica e a diferenca mnima para este caso obteve os melhores resultados comparados

com o PETRG20 com melhora acima dos 90%, em seguida vem a diferenca maxima com

reducao proximo aos 70%. ja o desvio padrao com uma reducao de 40% aproximadamente

foi a metrica com a menor reducao.

A tabela da figura 5.9 mostra os valores de todas essas metricas de comparacao

nos estudo feitos sobre a opcao PETRG22. Nesta figura, tem-se o paralelo dos resultados

das metricas comparando as diferencas entre o preco teorico e o preco real antes do ajuste


40/60

5.1 Caso PETRO 36

polinomial e depois do ajuste polinomial conforme foi proposto na metodologia.


Ja em relacao ao resultado da diferenca quadratica, de acordo com a tabela

da figura 5.10 observa-se que houve uma queda de 98,23% neste criterio. Como se pode

notar, a aproximacao do preco da opcao PETRG22 foi muito maior comparado com a

opcao PETRG20. Isso ocorreu, pois como mostra o grafico da figura 5.11, o preco da

opcao estimado pelo modelo BS antes do ajuste em nenhum momento oscila em torno do

preco real. No entanto, o BS foi de certa forma eficiente ao prever o comportamento da

variacao do preco da opcao. Ou seja, a funcao ajuste neste caso tera como papel principal

deslocar o grafico na vertical para entao obter um preco estimado mais eficiente conforme

e possvel perceber no grafico da figura 5.14.


Em relacao ao preco da opcao PETROG22, ele oscila entre R$1,80 e R$3,20

sendo um valor muito menor que o preco do ativo conforme mostra o grafico da figura

5.11. Para melhor visualizacao e interpretacao dos resultados segue as figuras 5.11 ate

5.14 ilustrando o processo do ajuste polinomial analisado sobre o derivativo PETRG22.


41/60

5.1 Caso PETRO 37


Figura 5.12: PETRG22: Diferenca entre o P. estimado(BS) e P. real


42/60

5.1 Caso PETRO 38


Figura 5.14: PETRG22: Preco estimado ajustado de grau 5 x Preco Real


43/60

5.1 Caso PETRO 39

5.1.3 Opcao PETRG24

A opcao PETRG24, diferentemente das opcoes PETRG20 e PETRG22, e um

caso de derivativo no dinheiro (ATM), pois o preco do ativo PETR4 que oscila entre

R$22,90 e R$24,40 esta proximo ao preco de exerccio que para este derivativo e deR$24,00. Quando isso acontece, em alguns momentos a opcao pode estar dentro do

dinheiro (ITM), em outros momentos fora do dinheiro (OTM) ou exatamente no dinheiro.

Para perceber esses momentos da PETRG24 o grafico da figura 5.1 nos auxilia bastante.

Nele e possvel perceber que no primeiro, no segundo e entre o oitavo e o decimo primeiro

dia o preco do ativo e superior a R$24,00 que e o preco de exerccio caracterizando esse

momento como dentro do dinheiro (ITM). Neste mesmo grafico nota-se que no quarto,

no decimo segundo e no decimo terceiro dia esta opcao se encontra no dinheiro (ATM),pois o preco de exerccio e o preco do ativo estao bem proximos. Para os demais dias este

derivativo se encontra fora do dinheiro (OTM) que e quando o preco do ativo e inferior

ao preco de exerccio.

Ja em relacao a funcao ajuste mostrado no grafico da figura 5.19 pode-se

representa-lo atraves do seguinte polinomio:

P24(

x) = 4

,8 10

7

x5

4,

0 105

x4

+1,

1 103

x3

1,

2 102

x2

+3,

6 102

x+2,

6 101

Todavia, em relacao as metricas de avaliacao observou-se que a media ar-

itmetica e a diferenca mnima para este caso obteve os melhores resultados com melhora

acima dos 90%, sendo que em algum momento com o ajuste nao houve diferenca entre o

preco teorico ajustado e o preco real, pois o valor de 0,00054 associado a valores monetarios

equivale a zero. Ja em relacao a diferenca maxima houve uma reducao proximo dos 70%

obtendo como valor R$0,11 que e menor do que mnima diferenca sem o ajuste. Tudo

isso, influencia no desvio padrao que reduziu em 60% aproximadamente.

A figura 5.15 mostra os valores de todas essas metricas de comparacao nos

estudo feitos sobre a opcao PETRG24. Nesta figura, tem-se o paralelo dos resultados das

metricas comparando as diferencas entre o preco teorico e o preco real antes do ajuste

polinomial e depois do ajuste polinomial conforme foi proposto na metodologia.


da figura 5.16 observa-se que houve uma reducao de 98,23% assim como na PETRG22.


44/60

5.2 Caso VALE 40


Essa aproximacao mais eficiente comparado com a PETRG20 deve-se ao mesmo motivo

que justificou a PETRG22 obter melhor resultado.


Confirmando o fato de o preco da opcao PETRG24 ser relativamente muito

menor comparado com o preco do ativo, atraves do grafico da figura 5.17 pode-se perce-

ber que seu valor oscila R$0,40 e R$1,75 que e o menor valor para o preco da opcao

confirmando o que foi exposto no topico 3.3.1. Para melhor visualizacao e interpretacao

dos resultados segue as figuras 5.17 ate 5.20 ilustrando o processo do ajuste polinomial

analisado sobre o derivativo PETRG24.

5.2 Caso VALE

Apos a analise do caso PETRO, sera exposto nesta secao os resultados do caso

VALE. Para isso sera colocado os resultados referentes aos seguintes derivativos do ativo

VALE5: VALEG42, VALEG46 e VALEG48. Assim como no caso PETRO e importante

destacar o intervalo de valores que oscila o preco do ativo VALE5. Observa-se atraves do

grafico da figura 5.2 que o preco do ativo possui um valor inicial de R$45,26 por acao e

oscila entre R$42,10 e R$45,26 por acao. Este intervalo de valor ilustra o comportamento

do preco historico do ativo e ilustra a classificacao das opcoes.


45/60

5.2 Caso VALE 41


Figura 5.18: PETRG24: Diferenca entre o P. estimado(BS) e P. real


46/60

5.2 Caso VALE 42


Figura 5.20: PETRG24: Preco estimado ajustado de grau 5 x Preco Real


47/60

5.2 Caso VALE 43

5.2.1 Opcao VALEG42

Para o caso do derivativo VALEG42, percebe-se que esta opcao estara em todo


atinge valor inferior a R$42,10, tem-se que o preco do ativo neste caso permaneceradurante toda a analise superior a R$42,00 que e o preco de exerccio da opcao . A funcao

ajuste apresentado no grafico da figura 5.25 e representado pelo polinomio a seguir:

V42(x) = 2, 3 107 x5 + 2, 6 105 x41, 1 103 x3 + 2, 2 102 x22, 0 101 x + 1, 7

Todavia, em relacao as metricas de avaliacao observou-se que a media ar-

itmetica teve uma melhora percentual de aproximadamente 90%, ja a diferenca mnima

obtendo valor com ajuste de 0,0019 em se tratando de valor monet ario significa que nao

existiu diferenca mnima entre o preco teorico ajustado e o preco real obtendo, ou seja,

em algum momento o preco teorico ajustado coincidiu com o valor real da opcao. Nota-se

tambem que a diferenca maxima com ajuste de 0,4242 e inferior a diferenca mnima sem

o ajuste. Com uma reducao em torno de 70% para o desvio padrao pode-se concluir o

quanto a sua resposta no perodo analisado esta mais proximo do preco real.

Isso tudo pode ser vista atraves da tabela da figura 5.21 que mostra os valores

de todas essas metricas de comparacao nos estudo feitos sobre a opcao VALEG42. Nesta

figura, tem-se o paralelo dos resultados das metricas de comparacao evidenciando as

diferencas entre o preco teorico e o preco real antes do ajuste polinomial e depois do

ajuste polinomial conforme foi proposto na metodologia.



da figura 5.22 observa-se que houve uma queda de 98,4% neste criterio. Como se pode


48/60

5.2 Caso VALE 44

notar, a aproximacao do preco da opcao VALEG42 foi muito maior comparado com a

opcao PETRG20. Isso ocorreu, pois como mostra o grafico da figura 5.24, o preco da

opcao estimado pelo modelo BS antes do ajuste em nenhum momento oscila em torno do

preco real. Alem disso observa-se que o modelo BS foi de certa forma eficiente ao prever

o comportamento da variacao do preco da opcao. Ou seja, a funcao ajuste neste caso tera

como papel principal deslocar o grafico na vertical para entao obter um preco estimado

mais eficiente conforme e possvel perceber no grafico da figura 5.26. Isso mostra que

mesmo para outros ativos diferentes do caso PETRO quando nao existe uma oscilacao do

preco estimado sem ajuste em torno do preco real o ajuste se torna mais eficiente.


E possvel perceber tambem que o preco desta opcao oscila entre R$2,80 e

R$6,00 sendo um valor muito menor que o preco do ativo conforme mostra o grafico da

figura 5.23. Isso mostra que a opcao pode ser uma alternativa boa para definir a decis ao

de compra para um momento futuro sem precisar fazer um elevado investimento tambem

para outros ativos diferentes do caso PETRO. Para melhor visualizacao e interpretacao

dos resultados segue as figuras 5.23 ate 5.26 ilustrando o processo do ajuste polinomial

analisado sobre o derivativo VALEG42.

5.2.2 Opcao VALEG46

Para o caso do derivativo VALEG46, percebe-se que esta opcao diferente de

todas analisadas ate aqui esta em todo o perodo na situacao fora do dinheiro (OTM),

pois como o ativo em nenhum momento atinge valor superior a R$45,26, tem-se que o

preco do ativo neste caso permanecera durante toda a analise inferior a R$46,00 que e o

preco de exerccio da opcao . A funcao ajuste apresentado na figura 5.31 e representado

pelo polinomio a seguir:

V46(x) = 2, 0107 x

52, 2 105 x

4

+7, 8 104 x

39, 6103 x

22, 7 103 x+7, 5 10

1


49/60

5.2 Caso VALE 45

Figura 5.23: VALEG42: Preco estimado BS x Preco Real

Figura 5.24: VALEG42: Diferenca entre o P. estimado(BS) e P. real


50/60

5.2 Caso VALE 46

Figura 5.25: VALEG42: Ajuste de quinto grau para a funcao diferenca

Figura 5.26: VALEG42: Preco estimado ajustado de grau 5 x Preco Real


51/60

5.2 Caso VALE 47

Ja em relacao as metricas de avaliacao e ao resultado da diferenca quadratica

mantem-se o mesmo comportamento da outras opcoes exceto a da PETRG20, com uma

melhora em torno de 87% no geral para o derivativo VALEG46. Essas informacoes estao

mais detalhadas nas figuras 5.27 e 5.28.



Outro observacao importante que se confirma para a VALEG46 e para todos

os derivativos analisados ate o momento, diz a respeito do topico 3.3.2, que ao comparar

os graficos dos precos do ativos (para este caso se encontra na figura 5.2) e o gr afico do

preco da opcao conforme mostra a figura 5.29 percebe-se que a medida que o preco do

ativo sobe no mercado a vista eleva-se tambem o preco da opcao independentemente se a

opcao se encontra dentro do dinheiro ou no dinheiro ou fora do dinheiro.

Alem disso, confirmando o fato de o preco da opcao VALEG46 ser relativa-

mente muito menor comparado com o preco do ativo, atraves do grafico da figura 5.29

pode-se perceber que seu valor oscila R$0,35 e R$2,20 confirmando o que j a esta sendo

observado conforme exposto no topico 3.3.1 e constatado no derivativo da PETRG24, que

a medida que o preco de exerccio sobe, o preco da opcao cai. Para melhor visualizacao e

interpretacao dos resultados segue as figuras 5.29 ate 5.32 ilustrando o processo do ajuste

polinomial analisado sobre o derivativo VALEG46.


52/60

5.2 Caso VALE 48




53/60

5.2 Caso VALE 49




54/60

5.2 Caso VALE 50

5.2.3 Opcao VALEG48

Para o caso do derivativo VALEG48, percebe-se que esta opcao esta em todo

o perodo na situacao fora do dinheiro (OTM) com o valor de preco de exerccio bem

distante do valores do ativo da VALE5, pois o maximo valor obtido para este ativo e ovalor de R$45,26 que e tambem o seu valor inicial conforme pode se constatar na figura

5.2. A funcao ajuste apresentado na figura 5.37 e representado pelo polinomio a seguir:

V48(x) = 1, 4107 x51, 4 105 x4+4, 7 104 x34, 2103 x23, 7 102 x+6, 2 101

Este derivativo confirma a tendencia de evolucao do ajuste que gira em torno

de 86% de eficiencia confirmando tudo que ja fora observado nos derivativos anteriores,

e as figuras 5.33 e 5.34 possui os resultados todos discriminados para uma an alise maisdetalhada.



Um fator diferente observado no grafico da figura 5.35 e que em um certo

instante a opcao perdeu seu total valor. Isso acontece, quando o preco de exerccio esta

bastante acima do preco do ativo, inviabilizando exercer a opcao ou pagar um premio

pela opcao. E e neste contexto que se utiliza o termo virou-pono mercado financeiro.

Para melhor visualizacao e interpretacao dos resultados segue as figuras 5.35

ate 5.38 ilustrando o processo do ajuste polinomial analisado sobre o derivativo VALEG48.


55/60

5.2 Caso VALE 51




56/60

5.2 Caso VALE 52




57/60

53

6 Conclusao

Neste captulo sera mostrado a partir dos objetivos deste trabalho as prin-

cipais conclusoes. E tambem sera exposto aqui as contribuicoes deste trabalho para o

conhecimento cientfico e de que forma pode contribuir para o investidor.

A determinacao do numero de dias anterior ao dia em analise verificou-se

que o ideal e vinte e nove dias para o calculo da volatilidade historica para o ativo da

PETROBRAS e quarenta e sete dias para a VALE. Esse /ultimo resultado contraria e

expectativa de que um numero maior de dias obteria resultados melhores. No entanto,isso mostra que nem sempre o perodo mais curto e o melhor, pois pode nao representar

a tendencia mais atual do comportamento da opcao.

Outra importante observacao foi possvel atraves do comportamento do preco

teorico sem ajuste obtido atraves do modelo BS em relacao ao preco real que quando ha

a oscilacao daquele em torno deste, o ajuste polinomial aumenta a eficiencia do preco

teorico, mas nao tanto comparado com os casos que isso nao ocorre. Esta conclusao foi

bastante evidente comparando os resultados da opcao PETRG20 com os resultados dos

demais derivativos.

Somado a tudo isso, este trabalho mostrou que a hipotese de determinar um

polinomio de ajuste e aplica-lo na sada do BS e possvel e o resultado disso, consiste

em um preco teorico mais proximo do preco real da opcao. E tambem a metodologia

proposta pode ser aplicada para diferentes derivativos de um mesmo ativo alem de poder

ser aplicada para derivativos de diferentes ativos.

Finalmente, atraves dos estudos feitos por este trabalho verificou-se ser possvel

haver um aprimoramento do modelo BS para a determinacao do preco teorico de uma

opcao. E estes resultados possibilitam desenvolver analises para avaliar constantemente

o comportamento historico de uma opcao possibilitando dessa forma a atualizacao e ad-

equacao de polinomios de ajuste para minimizar a diferenca entre o preco teorico e o

preco real. Com isso, os investidores poderao obter maiores lucros atuando no mercado

financeiro.


58/60

Referencias Bibliograficas

[1] Lion, Octavio Manuel Bessada et al., Mercado de derivativos no Brasil, Record, Rio

de Janeiro, 2007.

[2] Thompkins, Robert G., Options analysis: a state-of-the-art guide to options pricing,

trading & portfolio applications, Probus Publishing, Chicago, 1994.

[3] M. Kac & J. Logan, Fluctuation Phenomena, E.W. Montroll & J.L. Lebowitz, Ams-

terdam, 1976.

[4] E. Nelson, Quantum Fluctuation, Princeton University Press, Princeton, 1985.

[5] AUGEN, Jeff., The volatility edge in options trading: new technical strategies for

investing in unstable markets, FT press, Upper Saddle River, 2008.

[6] Daigler, Robert T. Advanced options trading: the analysis and evolution of trading

strategies, heding tactics and pricing models, Irwin Professional Publishing, NewYork, 1994.

[7] Hull, John C. Options, futures, and other derivatives, 3rd ed, Upper Saddle River:

Prentice Hall, 1997.

[8] Natenberg, Sheldon. Option volatily & pricing: advanced trading and techniques,

Irwin Professional Publishing, New York, 1994.

[9] Neftci, S. N. An introduction to the mathematics of financial derivatives, 2. ed, Aca-

demic Pressl, 2000.

[10] CHIMISSO, S. H. Caractersticas de negociacao de opcoes no mercado financeiro,

Rio Grande, v. 1, n. 1 , 2005.

[11] BLACK, F; SCHOLES, M. The valuation of option contracts and a test of market

efficiency, Journal of Finance, v. 27, p. 497-505, 1972.


59/60

REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 55

[12] COPELAND, T. E.; WESTON, J. F. Financial theory and corporate policy, 3rd ed.,

Addison-Wesley, New York, 1988.


60/60

56

A Apendice

Trecho do codigo no MATLAB para a determinacao do polinomio de ajuste.

x = 1:1:35;

Gerando os polinomios de ajuste:

pp4 = polyfit(x,vetordifcall,4);

pp5 = polyfit(x,vetordifcall,5);

Gerando os valores de ajuste:

yp4 = polyval(pp4,x);

yp5 = polyval(pp5,x);

difyp4 = vetorcall + yp4;

difyp5 = vetorcall + yp5;

somatorioVaryp4 = 0;

somatorioVaryp5 = 0;

for i=1:tamanho,

vetorvardifyp4(i) = ((( vetorreal(i)-difyp4(i) )*100 )2);

vetorvardifyp5(i) = ((( vetorreal(i)-difyp5(i) )*100 )2);

somatorioVaryp4 = somatorioVaryp4 + ((( vetorreal(i)-difyp4(i) )*100 )2);

somatorioVaryp5 = somatorioVaryp5 + ((( vetorreal(i)-difyp5(i) )*100 )2);

end;

modelo de black scholes

Documents