black-scholes integral

Türev Fiyatlaması ve Black-Scholes Modeli

Türev Fiyatlamaları Stokastik Süreç olarak bilinen matematik teknikleri gerektirir. Black-Scholes bunun en

popüler uygulamasını geliştirdiler

Myron Scholes (Matematikçi)ve Fischer Black (Fizikçi)

Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Entegrali

Doç. Dr. Kutlu MERİH

DİFUZYON ve BLACK-SCHOLES MATEMATİĞİ


Teorem (Black-Scholes Opsiyon Fiyatlama Modeli)

S0 senedin şimdiki fiyatı ise ve X opsiyonun strike fiyatı ise, r risk-nötral bileşik faiz haddi ise, T yıl olarak sözleşme süresi ise, σ dayanak senedin standart sapması ise, ve N(d) kumülatif standart normal dağılım ise, Black-Scholes formülü olarak bilinen bağıntılar aşağıdaki gibi verilir.

TdT

TrXSd

T

TrXSd

),d.Ν-rT) – X.eN(d Sc

σσ

σσ

σ

−=−+

=

++=

=

1)2/2()/ln(

2

)2/2()/ln(1

(1

0

0

20



İspat: BSM diferansiyel denkelemi, µ, partametresini ihtiva etmediğinden, bir risk-neutral ortamda olduğumuzu varsayabiliriz. Bu nedenle opsiyon fiyatı c;

( )( )( )0,rTT eXSMaxEc −−=

Olarak verilir. Burada where ST termin tarihi T deki fiyatıdır.Buna göre c fiyatı risk-free oranında iskonto edilmiş beklenenödemedir.

( )TTrSNST σσ ,)(ln~ln 221

0 −+Buradan, ST değerinin aşağıda matematik formu verilen bir

lognormal Dağılıma sahip olduğunu daha önce belirlemiştik.

T

TrSS

eTS

Sf2

2)221(

0lnln

21

2

11)( σ

σ

πσ

−+−−

=



( )

( )

( )∫

−+−−

−−=

∫ −−=

−−=

∞

∞

x

x

dST

TrSS

eTS

XSrTe

SdFXSrTe

SdF

rTeXTSMaxEc

2

2)221(0lnln

21

2

11

)(

fonk. dist. lognormal )(

0,

σ

σ

πσ



y = ln S değişken dönüşümünü yapalım.

Buna göre dy=(1/S)dS;

-

.

∫ ∞

−+−−

−−

∫ ∞

−+−−

−=

∫ ∞

−+−−

−−=

X dyT

TrSy

eT

rTXe

dyXT

TrSy

eT

yerTe

X dyT

TrSy

eT

XyerTec

ln2

2)221(

0ln

21

2

1

ln2

2)221(ln

21

2

1

ln2

2)221(ln

21

2

1

0

0

σ

σ

πσ

σ

σ

πσ

σ

σ

πσ



( )TrSa 221

0ln σ−+=

Olsun ve a ve b2 c bağıntısında yerine konarak;

Tb 22 σ=

( )

( )∫

∫∞

−−

∞−

−

−

−

−

=

Xb

ayrT

Xb

ayyrT

dyeb

Xe

dyeb

eec

ln

ln

2

2

21

2

2

21

2

1

2

1

π

π -

( )

dyeb

eeX

b

ay

yrT∫∞

−−

−

ln

2

221

2

1

π( )

dyeb

eX

b

ayy

rT ∫∞

−−

−

=

ln

2

221

2

1

π

( )

dyeb

eX

b

ayy

rT ∫∞

−+−−−

=

ln

22

12

2

2

1

π

.

İki enetegralin farkı olur. Şimdi iki entegrali ayrı ayrı değerlendirelim



Şimdi w değerini aşağıdaki gibi tanımlıyalım;

2

2)(2

b

ayyw

−+−=

2

22

2

2 22

b

aayy

b

yb +−+−=

2

222 22

b

aayyby +−−=

( )2

2

2

2

2

2 2

b

a

b

aby

b

y ++−=.

Kuadratik ifadeyi tamamlayarak; üs ifadesi normal dağılım üssüne benzetilecektir.

( ) ( )[ ]ab

b

aby

b

a

b

aby

b

y2

2 22

22

2

2

2

2

2

2

+−+−=++−

.



Bunu entegralde yerine koyarak; ( )[ ]dye

be

X

abb

aby

rT ∫∞ ++

+−−−

ln

221

2

2221

2

1

π

( )[ ]dye

be

X

b

abyabrT ∫

∞+−−

++−

=

ln

2

2221

221

2

1

π

.Eksponansiyel üsleri yeniden düzenleyerek;

b

abyz

−−=2

dyb

dz1=

Entegralin içi b2+a ortalama ve b2 varyanslı genel normal dağılıma dönüştü. Şimdi rutin işlemler ile bu standart normal dağılıma dönüştürülür. dybdz =

.



Tekrar entegralde yerine koyarak;

dzeeb

abX

zabrT ∫∞ −++−

+−

)2(ln

2212

21

2

1

π

++−= ++−

b

abXNe

abrT2ln2

21

−+++−= −+++−

T

TrSTXNe

TrSTrT

σσσσσ )(lnln 2

21

02

)(ln 221

02

21

( ) ( )101ln

221

ln 0

0

0)(ln

dNSdNeT

TrNe SX

SS ==

++=

σσ

.

Bu ilk entegrali sonuca ulaştırır

Eksponansiyelin üssü kısaltılarak;



Şimdi ikinci entegral ile ilgilenirsek;

( )

∫∞

−−

−

X

b

ay

rT dyeb

Xeln

2

221

2

1

π.Z değerini aşağıdaki gibi tanımlayalım;

b

ayz

)( −=Buna göre;

dyb

dz1=

bdz = dy .



Bunları entegralde yerine koyarak;

∫∞ −−

−

baX

bdzeb

XezrT

ln

221

2

1

π

∫∞ −−

−

=

baX

bdzeb

XezrT

ln

221

2

1

π

−−= −

b

aXNXe rT ln

−−−−= −

T

TrSXNXe rT

σσ )(lnln 2

21

0

( )2

221 )(ln 0

dNXeT

TrNXe rTX

SrT −− =

−+=

σσ.

Elde ederiz.



Sonuç olarak;

ve

.

(6) bağıntısı opsiyon fiyatlamada Black-Scholes formülü olarak bilinir

(6)

TdT

TrXSd

T

TrXSd

)dΝ) – X.eN(d Sc 2-rT

1

σσ

σσ

σ

−=−+

=

++=

=

1

01

0

)2/2()/0ln(2

)2/2()/ln(

(



Karmaşıklığın Arkasındaki Değişken Dönüşümü Bu oldukça karmaşık gibi görünen matematik işlemler aslında

basit bir entegral alma işlemini yansıtıyor. Beklenen değer entegralindeki lognormal dağılımı önce bir

değişken dönüşümü ile normale dönüştürdük ve doğal olarak sınırları değişti.

Sonra yine bir değişken dönüşümü ile bunu standart normale dönüştürdük ve sınırlar yine değişti.

Çıkan sonuç Blac-Scholes-Merton opsiyon fiyatlama formülü oldu.

Buradan aynı mekanizma ile fakat farklı başlangıç dağılım fonksiyonu kabul ile farklı formülasyonlar elde edebileceğimizi görüyoruz.



SC∂∂=δ

Rho ρ Changes in the risk-free borrowing rate

Theta θDecay of time to maturity

Vega νChanges in volatility of share values

Gamma: γ or ΓChanges in delta(convexity)

Delta: δ or ∆Changes in the value of underlying shares

Greek orFormulaRisk Factor

2SC

∂∂=γ

σν ∂∂= C

TC

∂∂=θ

rC∂∂=ρ

black-scholes integral

Data & Analytics