black scholes merton modeli

Bolum 1

Black Scholes Merton Modeli

Black Scholes Merton Modeli bölümünde:• Black Scholes kısmi diferansiyel denklemine (denklem:1.1) ula-

şıp türev fiyatlamasında önemini anlatacağız.

Θ︸︷︷︸Teta

+rS ∆︸︷︷︸Delta

+1

2σ2S2 Γ︸︷︷︸

Gama

= rf (1.1)

• Olasılık tekniğini kullanarak Avrupa tipi alım opsiyonunu fi-yatlayacağız:

c =

Hisse ve Fayda︷︸︸︷S N(d1)︸︷︷︸

∆

−Bono︷︸︸︷

Ke−rT N(d2)︸︷︷︸P (in)︸︷︷︸

Borçlanma ve Maliyeti

• Opsiyonların genel olarak formüllerini verdikten sonra ExcelVBA kullanarak kodlayacağız. Excel 2007 programında kod-lama Bölüm ??, C# Dilinde kodlama ise Bölüm ??’de anlatı-lacak.

• Bölümün sonunda BSM modelinden daha farklı varsayımlarayer veren alternatif opsiyon fiyatlama modellerini tartışacağız.

2 Black Scholes Merton Modeli

1970li yılların başında Fischer Black, Myron Scholes ve Robert Mer-ton hisse opsiyonlarının fiyatlamasında bugün Black-Scholes modeli olarakadlandırılan modeli geliştirerek finans mühenisliği alanında çığır açtılar.1

Black Scholes Merton formülü ve eşleniği sayabileceğimiz Binom Modeli,finans dünyasında en fazla kullanılan formüllerden ikisi olarak nitelenebilir.1970li yıllarda BSM modelinin tanıtılmasının ardından Türev piyasalar vebuna bağlı olarak finansal mühendislik inanılmaz ilerlemeler kaydetti. 1997yılında Myron Scholes ve Robert Merton Nobel Ekonomi ödülüne layıkgörüldü. Fischer Black, ne yazık ki 1995 yılında kanser yüzünden kaybedil-mişti; yaşasaydı ödülü alanlardan biri de hiç süphesiz kendisi olacaktı.

İlerleyen kısımlarda tartışacağımız Black Scholes Merton diferansiyaldenklemini türetmek için kullanılacak varsayımlar:

1. Hisse fiyatı, Geometrik Brown Hareketi sürecine uygun olarak hareketeder.

2. Volatilite sabittir, opsiyonun vadesi boyunca değişmez.

3. Risksiz faiz r sabittir ve tüm vadeler için aynıdır.

4. Hisselerde açığa satış ve açığa satıştan elde edilen paranın kullanımıserbesttir.

5. İşlem maliyeti ve vergi yoktur. Tüm hisseler mükemmel şekilde bölü-nebilir.

6. Risksiz arbitraj imkanı söz konusu değildir.

7. Hisse alım satımı süreklidir.

1.1 BSM Diferansiyel Denklemi

Black Scholes Merton modelinden önce de opsiyonlar alınıp satılıyordu vedeğişik modeller mevcuttu. Black Scholes Merton modelinin piyasaya ge-tirdiği en büyük yenilik, opsiyon portföyünün bono ve hisseden oluşan birportföyle taklit edilebileceği ve riskinin bu şekilde ortadan kaldırılabileceğiyönündeki argüman oldu. Eğer bir türev portföyü, hisse ve bonodan oluşan

1F. Black and M. Scholes “The Pricing of Options and Corporate Liabilities”, Jour-

nal of Political Economy, 81 (Mayıs/Haziran 1973), 637-659; R. C. Merton, “Theory ofRational Option Pricing,” Bell Journal of Economics and Management Science, (1973,Bahar), 141-83

BSM Diferansiyel Denklemi 3

bir portföy ile taklit edilebilirse (replicating portfolio) o zaman iki port-föyün riskinin eşit olması gerekir ve bu bize arbitraj fiyatlama yönteminikullanabilmenin yolunu açar.

Hisse senedi fiyat süreci kısım ?? da ele aldığımız Geometrik BrownHareketi sürecine uygun hareket eder:

dS = µSdt + σSdW (1.2)

f , değeri S e bağlı olan bir türev enstrümanın fiyatı olsun. f değeri, S ve tnin bir fonksiyonu olmalı. Bölüm ?? kısım ?? de işlediğimiz İtô lemmayı f euygulayabiliriz. Uygulamadan önce Itô Lemma çarpım talosu ve kurallarınıhatırlayalım:

Tablo 1.1: Çarpım Tablosu İtô Lemma

1 dW dt

1 1 dW dtdW dW dt 0dt dt 0 0

• Kural 1: (dt)2 = 0, lim∆t→0(∆t)2

∆t= 0

• Kural 2: dW × dt = 0, E (dWdt) = dtE (dW ) = 0 ve V ar (dWdt) =(dt)3 = 0. Bir rassal değişken, varyansı oldukça küçük ise ortalama-kare de beklentisine yanaşır. Bizim örneğimizde sıfır.

• Kural 3: (dW )2 = dt E(dW )2 = E(φ√

t)2 = dt varyans, V ar[(dW )2] =E(dw)4 − [E(dW )2]2 = 2(dt)2 (dW )2 Rassal değişkenimiz ortalama-kare de dt değerine yanaşır.

f(S, t) türev fonksiyonunu Taylor genleşmesi yardımı ile ikinci dereceyekadar açalım:

df [S(t), t] =∂f

∂SdS +

∂f

∂tdt

+1

2

∂2f

∂S2(dS)2 +

∂2f

∂S∂tdSdt +

1

2

∂2f

∂t2(dt)2 + · · ·


dS denklemini, açılımımıza yerleştirip çarpım tablosunu kullanarak sü-reci ifade edelim:

df =∂f

∂tdt +

∂f

∂S[µS dt + σS dW ] +

1

2

∂2f

∂t2(dt)2

︸︷︷︸0

+1

2

∂2f

∂S2[µS dt + σ S dW ]2 +

∂2f

∂t∂Sdt [µS dt + σ S dW ]

=∂f

∂tdt + µS

∂f

∂Sdt + σ S

∂f

∂SdW

+1

2

∂2f

∂S2

[µ2 S2 (dt)2 + σ2 S2 (dW )2 + 2µS2σdt · dW

]

+ µ∂2f

∂t∂S(dt)2 + σ

∂2f

∂t∂Sdt · dW

df =

{∂f

∂t+ µS

∂f

∂S+

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2

}dt + σ S

∂f

∂SdW (1.3)

İlerleyen satırlarda Black Scholes diferansiyel denklemini elde etmekiçin hedging yaklaşımını kullanacağız. Bu yaklaşımı, Binom Modeli’ni ince-lerken ele almıştık. Portföy, uzun opsiyon ve −δS kadar hisse senedindenoluşmakta idi. Uygun miktarda hisse ve opsiyon ile oluşturulan portföy,riskten arınmış olarak kabul edilir. Riskten arındırılmış portföy getirisininise risksiz faiz oranına eşit olması gerekir. Uzun opsiyon, f ,ve −δS kadarkısa hisseden oluşan portföyü yazalım:

V = f − δS

Portföydeki değişimi türev alarak ifade edebiliriz:

dV = df − δdS (1.4)

dS ifadesini 1.2 numaralı denklemde, df ifadesini ise 1.3 numaralı denk-lemde elde etmiştik. İki denklemi 1.4 numaralı denkleme yerleştirelim:

dV =

{∂f

∂t+ µS

∂f

∂S+

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2

}dt + σ S

∂f

∂SdW − δ (µS dt + σ S dW )


=

{∂f

∂t+ µS

∂f

∂S+

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2− δµS

}dt

+

{σ S

∂f

∂S− δσS

}dW (1.5)

Portföyü riskten arındırmak için dW terimini ortadan kaldırmalıyız:

{σ S

∂f

∂S− δσS

}= 0 ⇒ δ =

∂f

∂S(1.6)

1.6 numaralı denklemde elde ettiğimiz δ ifadesini 1.5 numaralı denklemeyerleştirelim:

dV =

{∂f

∂t+ µS

∂f

∂S+

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2− µS

∂f

∂S

}dt

=∂f

∂tdt +

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2dt (1.7)

1.7 Numaralı denklem Wiener sürecini içermez ve deterministiktir. Riskiçermediğine göre risksiz faiz oranında büyümesi gerekir. dt anında portfö-yün getirisi:

dV = r [f − δS] dt = r

[f − ∂f

∂SS

]dt (1.8)

1.7 Numaralı denklemde elde ettiğimiz ifade ile 1.8 numaralı denklemdebulduğumuz ifade birbirine eşit olmalı:

∂f

∂tdt +

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2dt = r

[f − ∂f

∂SS

]dt

Düzenlemeleri yapıp sadeleştirdikten sonra:

∂f

∂t+ rS

∂f

∂S+

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2= rf (1.9)

1.9 Numaralı denklem Black Scholes Merton diferansiyel denklemidir.Black Scholes diferansiyel denklemine yukarıda anlattığımızdan farklı

yöntemler ile de ulaşılabilir. Bir örnek hisse ve bonodan ulaşan replikasyonportföyü ile dinamik bir alım satım stratejisi kullanmak olabilir. Replikas-yon portföyü konusunu Binom Modelini tartışırken ele almıştık. Opsiyonfiyatı, uygun miktarda senet ve bono ile taklit edilebilir.


Replikasyon portföyü ile Black Scholes PDE denklemini elde edebilmekiçin M kadar bir tutar ile türev ürüne yatırım yaptığımız varsayalım. Ala-bileceğimiz türev ürün miktarı f türev ürünün değeri iken M

folur. Zaman

ilerledikçe türev portföy değişimi:

dM =M

fdf

=M

f

[1

2σ2S2 ∂2f

∂S2+ µS

∂f

∂S+

∂f

∂t

]dt +

M

f

[σS

∂f

∂SdW

](1.10)

1.10 Numaralı denklemdeki portföy yatırım stratejisini değiştirelim. Port-föyün

S

f

∂f

∂S

tutarı ile hisse senedi,

1 − S

f

∂f

∂S

tutarı ile ise bono yatırımı yapalım.Risksiz faizin (r) sabit olduğunu kabul etmiştik, dinamiklerini yazalım:

dBt

Bt= rdt

Zaman ilerledikçe portföy getirisi:

dM =

Sf

∂f∂S

M

SdS +

(1 − S

f∂f∂S

)M

BdB

=S

f

∂f

∂SMµdt +

S

f

∂f

∂SMσdW +

(1 − S

f

∂f

∂S

)Mrdt

=

[µM

S

f

∂f

∂S+

(1 − S

f

∂f

∂S

)Mr

]dt +

M

f

[σS

∂f

∂SdW

](1.11)

Denklem 1.10 ve denklem 1.11 portföylerinin Wiener süreçleri birbiriile aynı, dolayısı ile riskleri de aynı olmalı. Riskler aynı olduğunda bekle-nen getirilerin farklı olmaması gerekir. Beklenen getiriler farklı değilse ikiportföyün sürüklenme (drift) katsayılarını birbirine eşitleyebiliriz:

M

f

[1

2σ2S2 ∂2f

∂S2+ µS

∂f

∂S+

∂f

∂t

]=

[µM

S

f

∂f

∂S+

(1 − S

f

∂f

∂S

)Mr

]

[1

2σ2S2 ∂2f

∂S2+ µS

∂f

∂S+

∂f

∂t

]=

[µS

∂f

∂S+ rf − rS

∂f

∂S

]


Düzenlemeleri yapıp sadeleştirdikten sonra:

∂f

∂t+ rS

∂f

∂S+

1

2σ2S2 ∂2f

∂S2= rf (1.12)

Denklem 1.9 ifadesini elde edebilmek için koruma (hedging) yaklaşımınıkullandık. Denklem 1.12’de ise replikasyon portföyü kullanarak kısmi dife-ransiyel denkleme ulaştık.

Denklem 1.9 ve denklem 1.12 Black Scholes Merton türev ürün değer-leme denkleminin temelinde yer alan kısmi diferansiyel denklemidir (BlackScholes PDE). S’e bağlı olarak yaratılan türev ürünlerin değeri, denkleminçözümünde kullanılan sınır koşullarına bağlıdır. Avrupa tipi alım opsiyo-nunda t = T iken sınır koşulu:

f = max(S − K, 0)

Satım opsiyonu sınır koşulu:

f = max(K − S, 0)

Kısmi diferansiyel denklemin türetilmesinde kullanılan portföy sadece kısa

bir an için risksizdir: t ve S değiştikçe∂f

∂Sdeğeri değişir ve bu da riskten

korunmak amacı ile portföyün sıklıkla ayarlanması gereğini doğurur.

Black Scholes Merton kısmi diferansiyel denkleminde µ yer almaz.Hisse volatilitesi σ sabit olarak denklemde yerini alır.

Denklem 1.9 ve denklem 1.12’de gösterdiğimiz kısmi diferansiyel denklemiopsiyon greeklerini kullanarak yazabiliriz:

Θ︸︷︷︸Teta

+rS ∆︸︷︷︸Delta

+1

2σ2S2 Γ︸︷︷︸

Gama

= rf

Delta koruması yapılmış bir portföyde (∆ = 0), Delta ve risk faktörüortadan kalkar, geriye teta ve gama kalır. Risk unsuru ortadan kaldırılmışbir süreci, adil bir oyun olarak niteleyip beklenen değerini sıfıra eşitlersek,


diferansiyel denklemin rf tarafını sıfır kabul edebiliriz. Bu durumda tetaopsiyon riskini gama riski cinsinden yaklaşık olarak yazabiliriz:

Θ ≈ −1

2S2Γ

Bir opsiyon pozisyonunda gama ve tetanın işaretleri bir-birinin tersidir: Pozitif gama opsiyon pozisyonunun tetası eksideğer alır, negatif gama pozisyonu teta değeri pozitiftir. Alım sa-tım terminolojisi ile söyleyecek olursak: Bir opsiyon pozisyonu yauzun gama-kısa teta veya kısa gama-uzun teta olur. Alım yada sa-tım opsiyonu alan yatırımcının gama pozisyonu uzun, teta pozis-yonu ise kısadır. Diğer koşullar sabit iken zaman ilerledikçe opsiyondeğer kaybeder. Opsiyonda alım yapan yatırımcının beklentisi piya-sada hareket olmasıdır. Opsiyon satan yatırımcı ise, tetada uzun,gamada kısa pozisyon almış demektir. Opsiyon satıcısının beklen-tisi piyasada hareket olmamasıdır. Opsiyon greekleri ??. bölümdedetaylı olarak ele alınacaktır.

Black Scholes Merton kısmi diferansiyel denklemini, temettü ödemeyenhisse senedi için formüle ettik. Sabit q oranında temettü ödeyen bir hisseiçin aynı PDE kullanılabilir mi? Kısa türev ve hisseden oluşan bir portföyüişlettiğimizi varsayalım. Portföy:

P = −f +∂f

∂SS

dt anında portföy değerindeki değişim:

dP = −df +∂f

∂SdS + q dt

∂f

∂SS (1.13)

Delta koruması yapılmış portföy için df 1.7 numaralı denklemde elde edil-mişti. Denkleme ilişkin süreçleri temettü ödenen durum için yeniden tek-rarlamadan sadece temettü getirisini 1.7 numaralı denkleme ilave ederek1.13 denklemini −f + δS portföyü için yeniden yazalım:

dP = −[∂f

∂t+

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2

]dt + q

∂f

∂SS dt

Temettü getirisi:

q∂f

∂SS dt

Girsanov Teoremi ile µ’den r’ye Geçiş 9

Portföy, delta koruması yapılarak riskten arındırıldı, dolayısı ile risksiz ge-tiri oranında büyümeli:

dP = rPdt

Portföy P = −f +∂f

∂sS olduğuna göre:

r

[−f +

∂f

∂SS

]dt =

[−∂f

∂t− 1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2+ q

∂f

∂SS

]dt

Düzenlemeleri ve sadeleştirmeleri yaptıktan sonra sürekli q oranında te-mettü ödeyen hisse senedi için Black Scholes Merton kısmi diferansiyeldenklemi

∂f

∂t+ (r − q)S

∂f

∂S+

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2= rf (1.14)

Temettü ödeyen hisse senedi için kısmi diferansiyel denklemi greek notas-yonları ile yazabiliriz:

Θ + (r − q)S∆ +1

2σ2 S2 Γ = rf

1.2 Girsanov Teoremi ile µ’den r’ye Gecis

Black&Scholes modeli tüm dünyaca kabul edilmiş bir modeldir. Bu modelidiğer modellerden ayıran ve tüm dünyaca kabul edilmesini sağlayan bazıözelikler vardır. Bilindiği üzere hisse senetlerini Brownian Motion ve bireğilim parametresi yardımı ile modellemekteyiz:

dSt = µStdt + σStdWt

ST = S0 exp

{(µ − 1

2σ2

)T + σǫ

√T

}

Bu modelde bulunan eğilim parametresi µ ve bir opsiyon fiyatlar-ken hesaplanması gereken beklenen değer herkese göre değişebilir.Opsiyonların fiyatlanabilmesi için herkesin üzerinde anlaşabileceğiortak bir parametre bulunması gerekir. Girsanov teoremi ile ilgilidetaylı bilgi için ??. Bölüme bakınız.


Black&Scholes, eğilim parametresini risksiz faiz oranına eşitleyerek her-kesin kabul edebileceği ortak bir değişken oluşturmayı başardı.

dSt = rStdt + σStdWt

Denklemde µ kullanılan Objektif olasılık ölçeğinden (P ) Girsanov Teorisinikullanarak ve yeni bir olasılık ölçümüne geçmemiz gerekir. Risksiz faiz ora-nını modelimize ekleyebilmek için yeni bir süreç olarak Bono’yu aşağıdakigibi tanımlayabiliriz:

dBt = rBtdt

Bt = ert

Görüldüğü gibi bono deterministik bir süreç izler. Bunu aklımızda tutma-mız gerekiyor, çünkü Ito çarpım kuralını kullanırken bize kolaylık sağlaya-cak.

Bono sürecini kullanarak iskonto edilmiş hisse senedi fiyatını modelle-yelim:

d

(St

Bt

)= d(B−1

t St)

= dSt

Yukarda bulduğumuz sonucu Ito çarpım kuralı ile açalım:

dSt = B−1t dSt + StdB−1

t + dB−1t dSt

= e−rt(µStdt + σStdWt) + St(−rB−1t dt) + dB−1

t dSt︸︷︷︸0

= e−rtSt(µdt + σdWt) + e−rtSt(−rdt)

= e−rtSt((µ − r)dt + σdWt)

= B−1t St((µ − r)dt + σdWt)

= Stσ(µ − r

σ︸︷︷︸Θ

dt + dWt)

Bononun deterministik olmasından yararlanarak dB−1t dSt ifadesini yok sa-

yabildik. Yukarda kullandığımız Θ, market price of risk olarak isimlendirilir.Bu andan sonra Girsanov Teorisini kullanarak yeni bir olasılık ölçümüne

Girsanov Teoremi ile µ’den r’ye Geçiş 11

geçiyoruz:

dSt = Stσ(Θdt + dWt)

= StσdWt

Bu yeni olasılık ölçümüne,Q, risksiz ölçüm (risk-nötr) diyeceğiz. Yeni ölçümeski ölçüm olan P ’ye eşdeğerdir ve iskontolanmış hisse senedi fiyatlarınınmartingale olmasını sağlamıştır.

St = S0 +

∫ t

0σSudWu

Yukarıdaki eşitlikte∫ t

0 σSudWu integrali bir Ito integralidir ve busayede bir martingaledir. Unutulmamalıdır ki tüm Ito integ-ralleri birer martingaledir.

İskontolanmamış hisse senedi fiyatının, St, ortalama getirisinin yeniolasılık ölçütünde, Q, risksiz faiz oranı kadar olduğunu göstermek içindWt = −Θdt + dWt dönüşümünü yapmamız gerekir.

dSt = µStdt + σStdWt

= µStdt + σSt(−Θdt + dWt)

= µStdt + σSt(−(µ − r)

σdt + dWt)

= µStdt + St((r − µ)dt + σdWt)

= rStdt + σStdWt

Bu diferansiyel denklemi çözersek aşağıdaki sonucu elde ederiz:

St = S0exp(σWt + (r − 1

2σ2)t)

P olasılık ölçümünden Q olasılık ölçümüne geçerken görüldüğü gibi volati-lite değişmedi. Değişiklik sadece eğilimde (drift) meydana geldi.


Volatilite bize hangi fiyatların olası olduğunu göstermektedir. Bunuşu şekilde yorumlayabiliriz: İki ölçümde de hisse senedinin alabile-ceği fiyatları aynı bırakıyoruz. Ancak o fiyatları alma olasılıklarınıdeğiştiriyoruz. Yani, iki ölçümümüzde de hisselerin alabileceği fiyat-lar ve alamayacağı fiyatlar aynı. Tek fark bu fiyatlara erişme olasılık-larıdır. Eğer µ değeri r değerinden daha büyükse, ki böyle olmasınıbekleriz yoksa insanlar hisse senedi almak yerine risksiz faiz kazan-mayı tercih ederlerdi, yeni ölçüm sayesinde getirinin düşük olduğuolaylara daha çok olasılık vererek ortalamayı µ’den r’ye düşürmüşolduk.

1.3 Olasılık Teknigi Kullanarak Opsiyon Fiyatlama

Black Scholes Merton kısmi diferansiyel denklemini, olasılık tekniğini kulla-narak Avrupa tipi alım opsiyonu için çözmeye çalışacağız. Opsiyon fiyatını,risk-nötr olasılık ölçeğinde beklenti operatörünün fonksiyonu olarak olarakifade edip, beklentiyi yoğunluk fonksiyonu üzerinden integral alarak değer-lendireceğiz.Opsiyonun vade sonu değerini H(T, S) ile ifade edelim. Ft = F ((t, St), tzamanında vadesi T olan opsiyonun değerini ifade etsin. t zamanındakifiyat:

Ft = Et

[∫ T

t

ξT

ξtH(w, S)dW

]= E

Qt

[∫ T

t

e−∫w

trυdυH(w, S)dw

](1.15)

Q, risk nötr olasılık ölçeğinde hesaplanan beklentiyi ifade eder.∫ T

t

e−∫w

trvdvH(w, S)dw

İfadesinin yoğunluk fonksiyonu üzerinden integralini alıp beklentiyi çözerektürev ürünün fiyatını bulabiliriz. Avrupa tipi alım opsiyonu vade sonu Tzamanında kar zarar fonksiyonu:

H(T, S) = FT = max[0, ST − K]

K, kullanım fiyatı, risksiz faiz r sabit ve hisse fiyat süreci Geometrik BrownHareketi’ne uygun hareket ediyor:

dSt

St= µdt + σdWt

Olasılık Tekniği Kullanarak Opsiyon Fiyatlama 13

Hissenin stokastik süreci önemli olmakla birlikte şartlı beklentiyi, hisse ha-reketlerinin risk-nötr olasılıklarına göre değerlendireceğiz. Risk nötr ölçe-ğinde, alınıp satılan tüm finansal varlıkların beklenen getirisi basit olarakrisksiz faizdir (r). Dolayısı ile risk nötr hisse fiyat süreci:

dSt

St= rdt + σdW Q

t

Itô lemma vasıtası ile risk nötr logaritmik hisse fiyatı:

d log St = (r − 1

2σ2)dt + σdW Q

t

Logaritmik hisse fiyatı Aritmetik Brown Hareketine göre hareket ettiği içinhisse logaritmik fiyat şartlı yoğunluk ifadesi (τ = T − t olmak üzere):

log ST | log St ∼ N

[log St + (r − 1

2σ2)τ, σ2τ

]

Opsiyonun fiyatını denklem 1.15’i kullanarak yazabiliriz:

Ft = e−rτEQt [max(0, ST − K)]

Formül çıkarabilmemiz için şartlı beklentiyi değerlendirmemiz gerekir. Yu-karıdaki ifadeyi logaritmik hisse fiyatı cinsinden tekrar yazalım:

Ft = e−rτEQt [max(0, exp(log ST ) − K]

Logaritmik hisse fiyatı risk nötr şartlı yoğunluğunu kullanarak şartlı bek-lentiyi şartlı logaritmik hisse fiyatı üzerinden integral alarak yeniden ifadeedebiliriz:

Ft = e−rt

∫ ∞

log K

[exp(log ST ) − K]1√

2πσ2τ

× exp

[− [log ST − log St − (r − 1

2σ2)τ ]2

2σ2τ

]d log ST


ifadeyi açalım:

Ft =1√

2πσ2τe−rτ

×∫ ∞

log K

exp

[log ST − [log ST − log St − (r − 1

2σ2)τ ]2

2σ2τ

]d log ST

− K1√

2πσ2τe−rτ

×∫ ∞

log K

exp

[− [log ST − log St − (r − 1

2σ2)τ ]2

2σ2τ

]d log ST (1.16)

İki integral, dağılım fonksiyonları şeklinde. Her bir integrali ayrı ayrı elealacağız. İntegrallarin içini standart normal dağılım argümanlarına uygunhale getirmemiz gerekiyor. Birinci integralde Z = log ST

Stdönüşümü ile baş-

layalım. Dönüşümü kullanarak integrali yeniden yazalım:

1√2πσ2τ

e−rτSt

∫ ∞

log KSt

exp

[Z − [Z − (r − 1

2σ2)τ ]2

2σ2τ

]dZ

Üstel ifadeleri birleştirelim:

1√2πσ2τ

e−rτSt ×∫ ∞

log KSt

exp

[2Zσ2τ − Z2 + 2Z(r − 1

2σ2)τ − (r − 12σ2)2τ2

2σ2τ

]dZ

Üstel ifadenin payını sadeleştirelim:

1√2πσ2τ

e−rτSt

∫ ∞

log KSt

exp

[−Z2 + 2Z(r + 1

2σ2)τ − (r − 12σ2)2τ2

2σ2τ

]dZ

Pay’daki ifadeye 2rσ2τ2 ekleyip çıkararak tam kareye çevirelim. Düzenle-melerden sonra integral:

1√2πσ2τ

St ×∫ ∞

log KSt

exp

[−Z2 + 2Z(r + 1

2σ2)τ + (r + 12σ2)2τ2

2σ2τ

]dZ

Kare’yi tamamladıktan sonra elde edeceğimiz integral:

1√2πσ2τ

St

∫ ∞

log KSt

exp

[− [Z − (r + 1

2σ2)τ ]2

2σ2τ

]dZ

Olasılık Tekniği Kullanarak Opsiyon Fiyatlama 15

İkinci bir dönüşüm daha yapmamız gerek:

Y =Z − (r + 1

2σ2)τ

σ√

τ

İntegral biraz daha basitleşecek:

St

∫ ∞

log KSt

−(r+12 σ2)τ

σ√

τ

1√2π

exp

[−Y 2

2

]dY

İntegral, −log K

St− (r + 1

2σ2)τ

σ√

τnoktasına göre hesaplanan standart normal

dağılımın değerine eşit hale geldi. Denklem 1.16 elimizdeki verilerle yenidenyazılabilir:

Ft = StΦ

(log St

K+ (r + 1

2σ2)τ

σ√

τ

)− K

1√2πσ2τ

e−rτ

×∫ ∞

log K

exp

[[log ST − log St − (r − 1

2σ2)τ ]2

2σ2τ

]d log ST

Φ(x), x noktasında bulunan standart normal dağılım değeri iken, 1−Φ(x) =Φ(−x) eşitliğini kullanarak denklemi düzenlemeye devam edelim. İkinci in-

tegrali çözmek için Y =log ST − log St − (r − 1

2σ2)τ

σ√

τdönüşümüne ihtiya-

cımız var. Dönüşüm sonrası integral:

Ke−rτ

∫ ∞

log KSt

−(r− 12 σ2)τ

σ√

τ

1√2π

exp

[−Y 2

2

]dY

İntegrali standart normal dağılım formuna dönüştürdük. Avrupa Tipi Alımopsiyonu formülü:

Ft = St Φ

d1︷︸︸︷(log St

K+ (r + 1

2σ2)τ

σ√

τ

)

︸︷︷︸N(d1)

−Ke−rτ Φ

d2︷︸︸︷(log St

K+ (r − 1

2σ2)τ

σ√

τ

)

︸︷︷︸N(d2)


c =

Hisse ve Fayda︷︸︸︷S N(d1)︸︷︷︸

∆

−Bono︷︸︸︷

Ke−rT N(d2)︸︷︷︸P (in)︸︷︷︸

Borçlanma ve Maliyeti

∆, Dinamik hedge işleminde kullanılması gereken hisse miktarıdır.P (in), Opsiyonun parada bitirmesinin risk nötr olasılığıdır.

Bu bölümde kısmi diferansiyel denklemi çözmekten ziyade olasılık tekniğinikullanarak opsiyon fiyatını elde ettik.

1.4 Opsiyon Fiyat Formulleri

Black Scholes Merton formülünü genel olarak kabul gören notasyonlara uy-gun şekilde yazalım: τ = T − t

Temettü ödemeyen hisse:Alım Opsiyonu:

c = SN(d1) − Ke−rT N(d2)

Satım Opsiyonu:

p = Ke−rT N(−d2) − S [1 − N(d1)]

d1 =log(St/K) +

(r + 0.5σ2

)τ

σ√

τ

d2 = d1 − σ√

τ

Opsiyon Fiyat Formülleri 17

Temettü ödeyen hisse:Alım Opsiyonu:

c = Se−qT N(d1) − Ke−rT N(d2)

Satım Opsiyonu:

p = Ke−rT N(−d2) − Se−qT [1 − N(d1)]

d1 =log(St/K) +

(r − q + 0.5σ2

)τ

σ√

τ

d2 = d1 − σ√

τ

Black Scholes Merton modelini, taşıma maliyeti b ilave ederek daha genelolarak ifade edebiliriz. (τ = T − t).

Alım Opsiyonu:

c = Se(b−r)τN(d1) − Ke−rT N(d2)

Satım Opsiyonu:

p = Ke−rT N(−d2) − Se(b−r)τN(−d1)

d1 =log(St/K) +

(b + 0.5σ2

)τ

σ√

τ

d2 =log(St/K) +

(b − 0.5σ2

)τ

σ√

τ

d2 = d1 − σ√

τ

b = r BSM 1973 hisse opsiyon modelib = r − q Sürekli temettü q ile 1973 Merton Hisse Opsiyon Modelib = 0 Black 1976, Vadeli ve Alivre opsiyon fiyat modelib = r − rf Garman Kohlhagen yabancı para opsiyon modeli.

Black Scholes Merton modeli için Excel’de kod yazıp, opsiyonları fiyat-lamaya hazırız. Hazırladığımız kod:


Publ ic Function BSM_Genel( CallPut As Str ing , S As Double ,x _

As Double , T As Double , r As Double , _b As Double , v As Double ) As Double

Dim d1 As Double , d2 As Doubled1 = (Log (S / x ) + (b + v ^ 2 / 2) ∗ T) / (v ∗ Sqr (T) )d2 = d1 − v ∗ Sqr (T)

I f CallPut = "c" ThenBSM_Genel = S ∗ Exp ( ( b − r ) ∗ T) ∗ CND(d1 ) _− x ∗ Exp(−r ∗ T) ∗ CND(d2 )

E l s e I f CallPut = "p" ThenBSM_Genel = x ∗ Exp(−r ∗ T) ∗ CND(−d2 ) _− S ∗ Exp ( ( b − r ) ∗ T) ∗ CND(−d1 )

End I fEnd Function

Kod, matematik olarak ifade ettiğimiz opsiyon fiyatlarını Excel VBA’daoluşturmamızı sağlıyor. Yapısı sayesinde hem alım hem satım opsiyonunufonksiyonu kullanarak fiyatlayabiliriz. Fonksiyonda kullandığımız CND(x)fonksiyonu, kümülatif normal dağılımı ifade ediyor. Kümülatif normal dağı-lıma ilişkin açıklamalar kısım ??, CND fonksiyonu detayları ise ??. sayfadaifade edilmiştir. Kullanıcı tanımlı fonksiyonu kullandığımız Excel dosyası:Şekil 1.1.

Örnek: Aşağıdaki değişkenlere göre İMKB 30 Endeksi alım ve satımopsiyonu fiyatları nedir?

• T=1 yıl (365 gün)

• S = 43650

• K = 48000

• σ = %40

• q = %3

• r = %16, 75Alım:7493, satım:5730 puan.

Opsiyonlarda Kaldıraç Etkisi 19

Black Scholes modelinde, herhangi bir türev ürünün değer fonksi-yonu Black Scholes kısmi diferansiyel denklemini doğrulamalıdır.

f(t, St) = eSt t > 0

BS modelinde yukarıdaki fonksiyon bir türev ürünün değeri olabi-lir mi? Bunu anlamak için kısmi diferansiyel denklemi doğrulayıpdoğrulamadığını araştırmamız gerekir:

rf =∂f

∂t+ rS

∂f

∂S+

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2

Fonksiyona uygulayalım:

∂f

∂t+ rS

∂f

∂S+

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2= 0 + rSte

st +1

2σ2S2eSt 6= reSt

f(t, St) = eSt t > 0 fonksiyonu Black Scholes çerçevesinde bir türevürünün değeri olamaz.

Uzun Alım opsiyonu spot/fiyat grafiği: Şekil 1.4; Uzun Satım opsiyonu spo-t/fiyat grafiği: Şekil 1.5. Grafiklerde itfa rakamları ile birlikte opsiyon fiyat-larına da yer verildi.

1

2

3

4

5

6

7

8

A B C D E

U030 Spot: 43650 Alım Opsiyonu: 7.493

Kullanım fiyatı: 48000 Satım Opsiyonu: 5.730

Vade(Gün): 365

Risksiz Faiz: 16,75%

b: 13,75%

Volatilite: 40,00%

Temettü: 3,00%

Şekil 1.1: Excel, Genel BSM Formülü

1.5 Opsiyonlarda Kaldırac Etkisi

Hisse fiyatındaki %1 değişimin aynı hisseye ait opsiyonda yaratacağı % de-ğişimi “opsiyon” daki kaldıraç olarak tanımlayabiliriz. Opsiyonların yatırım-cılar arasında son otuz yılda oldukça rağbet görmesinin temelinde “kaldıraç”faktörünün önemli etkisi vardır. Kaldıraç, normal koşullarda finansal enst-ruman veya yatırımlarda riski arttırmasından dolayı çok arzulanan bir şey


değildir. Opsiyon satın alındığında opsiyonun kaldıraç etkisi ,yapılan yatı-rımı, kredili alınan hisse senedi, firma alımları vs’nin tersine sıfırın altınaindiremez.

• S: Hisse fiyatı

• q: Temettü verimi,

• c: Alım opsiyonu

• p: Satım opsiyonu

Alım (c) opsiyonu kaldıraç etkisi:

Lc = e−qT N(d1) ×S

c

Satım (p) opsiyonu kaldıraç etkisi:

Lp = e−qT N (−d1) ×S

p

Fiyatı 100 ve temettü ödemeyen oldukça likit bir hisse aldığınızı varsa-yalım. Hisse fiyatı bir gün sonra 101 olursa günlük getiriniz %1 olur.

Şimdide aynı hissenin bir ay vadeli -başabaş- (atm) alım opsiyonunualdığınızı düşünelim.

• Opsiyonun fiyatı Black Scholes modeli kullanarak vade 30/360, %1,5risksiz faiz, ve %15 yıllık volatilite ile 1,79 TL olur.

• Yukarıda verdiğimiz formüle göre bu opsiyon bize 29 kat kaldıraçetkisi sağlayacaktır.

• Bir gün sonra hisse fiyatı 101 olursa vadeye 29 gün kaldığı dikkatealınarak hesaplanacak opsiyon fiyatı 2,32 YTL olur,

• Getiri yaklaşık %30.

• Biz, modelden çıkan fiyatın piyasada alınıp satılan fiyat olduğunuvarsaydık ki çoğu zaman geçerli olmayabilir. Piyasa, modelin ortayaçıkardığı fiyatın %50’sinde dahi işlem görse kaldıraçın etkisi dikkatçekici büyüklükte olacaktır.


Opsiyonlarda kaldıraç etkisini anlamak için şekil 1.2 ve şekil 1.3 incelenmeli.10-11 Eylül tarihlerinde İMKB Ulusal 30 Endeksi %5.44 düşerken bazı his-selerin %90 kullanım fiyatlı2 satım opsiyonlarının fiyatları %180 lere kadarprim yaptı. . .

Opsiyon alırken beklentilerimiz:

• Opsiyona konu finansal menkul kıymetin fiyatı pozisyonumuz yönündehareket etsin

• Volatilite yükselsin

GARAN 45 gün 3,6 kullanım fiyatlı alım opsiyonu fiyatı aşağıdaki koşullarçerçevesinde 0,0795 olur.

• Spot = 3,4

• Volatilite %30

• Faiz %12

• Sürekli temettü %3

Bir gün sonra GARAN fiyatı 3,55 olur ve volatilite değişmezse opsiyonfiyatı 0,1417 olur. 10.000 kontrat (Her kontrat 1 hisse temsil etsin) için kar:

10, 000 × (0, 1417 − 0, 0795) = 622

Başlangıçta 795 TL prim ödenmişti, yatırımın getirisi yaklaşık %78, hissesenedi ise %4,41 değerlendi. Fiyatlar oynamadan bir gün sonra volatilite%40 seviyesine yükselirse opsiyon fiyatı 0,1223 olur. 10.000 kontrat (Herkontrat 1 hisse temsil etsin) için kar:

10, 000 × (0, 1223 − 0, 0795) = 428

Fiyatlar kıpırdamadığı halde volatilite artışı sayesinde pozisyonun getirisi%53 oldu.

Fiyat değişimi senaryosunu biraz değiştirelim: GARAN fiyatı 30 günsonra 3,55 olsun ve volatilite ise %25 seviyesine düşsün. Bu koşullar altında

2%90 kullanım fiyatı, hisse senetleri için %90×Spot. Hisse fiyatı 100 ise, %90 kullanımfiyatlı opsiyonun kullanım seviyesi 90 olur. %110 seviyesi deseydik kullanım seviyesi 110olacaktı. Hisse senetlerinde %100 kullanım fiyatı= ATM = Başabaş = Spot olur.


opsiyonun fiyatı 0,0552 olur. 10.000 kontrat (Her kontrat 1 hisse temsiletsin) için kar:

10, 000 × (0, 0552 − 0, 0795) = −243

Bu senaryoda zarar ettik. Zaman opsiyon fiyatlarını aleyhinde işliyor. Op-siyon satın alanlar, piyasanın hızlı hareket etmesini ister.

Volatilite senaryosunu ise şöyle değiştirelim: Opsiyon vadesine 8 günkala, volatilite %60’a çıksın. Diğer tüm değişkenler ise sabit. Bu durumdaopsiyonun fiyatı 0,0505 olur, kar zararımız:

10, 000 × (0, 0505 − 0, 0795) = −290

Volatilite artışı, opsiyon vadesine çok az bir zaman kala gerçekleştiği için%60 seviyesine yükselmesine rağmen zarar ettik.

Opsiyon satarken beklentilerimiz:

• Opsiyona konu finansal menkul kıymetin fiyatı pozisyonumuzun tersiyönünde hareket etsin

• Volatilite yükselmesin, sabit kalsın veya düşsün

Opsiyon aldığımız ve kar ettiğimiz örneklerin tamammında opsiyon sa-tıcısı zarar ederken, zarar ettiğimiz durumlarda ise kar edecekti. Opsiyonsatıcısı piyasada hareket olmamasını ister. Zaman, opsiyon satıcısının lehineişler.


Hisse Senetleri Bilgi Amaçlı Opsiyon Fiyatları

IMKB 30 endeksi içerisinden seçtiğimiz hisse senetleri için 90 gün vadeli alım ve satım opsiyonlarını indikatif olarak fiyatladık.

Tablo için açıklama:

Fiyatlama parametrelerimiz: Volatilite modellemesinde Garch(1,1) kullanarakModel :Black Scholes 90 günlük ortalama opsiyon volatilitesini hesapladıkTRY Faiz 16,75% Veriler, son 1300 günlük kapanışı içeriyor.Temettü Verimi :0%Vade 90 Gun Piyasada genel olarak fiyatlamalar mevduat oranı olarakKullanim Spot seviyesinin %90, %100 ve %110 seviyeleri söylenebiliyor. Mevduat oranına dönüştürmekSeviyeleri Örnek: için ornek formül (90 gun):

AKBNK spot 5.35 iken sırasıyla 4.815 ; 5.35; 5.885 (%Opsiyon Primi + yıllık Mevduat Oranı /4 )/ 90 *365

Hisse Volatilite Spot 90,00% 100% 110% 90% 100% 110%

AKBNK TI Equity 49,81% 6,550 17,44% 11,71% 7,51% 3,96% 7,84% 13,25%

AKGRT TI Equity 41,98% 5,050 16,27% 10,22% 5,97% 2,79% 6,35% 11,72%

ARCLK TI Equity 31,26% 4,480 14,84% 8,19% 3,90% 1,36% 4,33% 9,64%

AYGAZ TI Equity 31,64% 3,020 14,89% 8,27% 3,97% 1,41% 4,40% 9,72%

DOHOL TI Equity 36,11% 1,710 15,45% 9,11% 4,83% 1,97% 5,24% 10,57%

DYHOL TI Equity 38,63% 1,890 15,80% 9,59% 5,32% 2,31% 5,72% 11,06%

EREGL TI Equity 32,77% 6,850 15,03% 8,48% 4,19% 1,54% 4,61% 9,93%

ISCTR TI Equity 37,69% 5,650 15,67% 9,41% 5,14% 2,19% 5,54% 10,88%

KRDMD TI Equity 37,11% 1,030 15,59% 9,30% 5,02% 2,11% 5,43% 10,77%

KCHOL TI Equity 32,00% 4,240 14,93% 8,33% 4,04% 1,45% 4,47% 9,78%

PTOFS TI Equity 35,75% 6,300 15,41% 9,04% 4,76% 1,93% 5,17% 10,51%

SAHOL TI Equity 33,48% 4,920 15,11% 8,61% 4,32% 1,63% 4,74% 10,07%

SKBNK TI Equity 48,24% 2,440 17,20% 11,41% 7,20% 3,72% 7,54% 12,94%

TUPRS TI Equity 34,13% 26,250 15,20% 8,74% 4,45% 1,72% 4,87% 10,19%

THYAO TI Equity 34,65% 7,150 15,26% 8,83% 4,55% 1,78% 4,96% 10,29%

SISE TI Equity 32,61% 1,640 15,01% 8,45% 4,16% 1,53% 4,58% 9,90%

TCELL TI Equity 38,65% 7,800 15,80% 9,59% 5,32% 2,32% 5,72% 11,07%

GARAN TI Equity 50,77% 3,920 17,59% 11,89% 7,70% 4,11% 8,02% 13,44%

ULKER TI Equity 32,19% 2,920 14,96% 8,37% 4,08% 1,47% 4,50% 9,82%

YKBNK TI Equity 34,56% 2,600 15,25% 8,82% 4,53% 1,77% 4,95% 10,27%

Alim Opsiyonlari Satim Opsiyonlari

10.Eyl.2008

Şekil 1.2: 10 Eylül 2008 tarihinde IMKB U030’a Dahil Senetler İçin OpsiyonFiyatları


Hisse Senetleri Bilgi Amaçlı Opsiyon Fiyatları

IMKB 30 endeksi içerisinden seçtiğimiz hisse senetleri için 89 gün vadeli alım ve satım opsiyonlarını indikatif olarak fiyatladık.

Tablo için açıklama:

Fiyatlama parametrelerimiz: Volatilite modellemesinde Garch(1,1) kullanarakModel :Black Scholes 89 günlük ortalama opsiyon volatilitesini hesapladıkTRY Faiz 16,75% Veriler, son 1300 günlük kapanışı içeriyor.Temettü Verimi :0%Vade 89 Gun Piyasada genel olarak fiyatlamalar mevduat orani olarakKullanım Spot seviyesinin %90, %100 ve %110 seviyeleri söylenebiliyor.Mevduat oranına dönüştürmekSeviyeleri için ornek formül (90 gun):Örnek: AKBNK spot 5.35 iken sırasıyla 4.815 ; 5.35; 5.885 (%Opsiyon Primi + yıllık Mevduat Oranı /4 )/ 90 *365

Hisse Volatilite Spot 90,00% 100% 110% 90% 100% 110%

AKBNK TI Equity 49,87% 6,150 13,83% 8,75% 5,28% 6,02% 11,18% 17,95%

AKGRT TI Equity 41,99% 4,720 12,18% 7,01% 3,73% 4,79% 9,90% 16,91%

ARCLK TI Equity 31,26% 4,340 12,63% 6,50% 2,85% 1,98% 5,77% 12,05%

AYGAZ TI Equity 31,64% 2,860 11,22% 5,53% 2,32% 2,62% 7,08% 14,03%

DOHOL TI Equity 36,11% 1,620 11,97% 6,43% 3,08% 3,33% 7,94% 14,74%

DYHOL TI Equity 38,63% 1,770 11,71% 6,43% 3,20% 4,14% 9,12% 16,16%

EREGL TI Equity 32,75% 6,250 9,18% 4,26% 1,70% 4,04% 9,67% 17,65%

ISCTR TI Equity 37,70% 5,200 10,56% 5,54% 2,62% 4,60% 10,04% 17,57%

KRDMD TI Equity 37,11% 0,910 8,29% 4,00% 1,72% 6,26% 12,85% 21,46%

KCHOL TI Equity 32,00% 3,880 9,21% 4,22% 1,65% 3,79% 9,32% 17,25%

PTOFS TI Equity 35,76% 6,050 12,74% 6,97% 3,39% 2,88% 7,12% 13,55%

SAHOL TI Equity 33,48% 4,700 12,06% 6,28% 2,85% 2,66% 6,95% 13,59%

SKBNK TI Equity 48,24% 2,240 12,35% 7,51% 4,33% 6,63% 12,27% 19,57%

TUPRS TI Equity 34,13% 24,500 10,74% 5,40% 2,38% 3,48% 8,45% 15,72%

THYAO TI Equity 34,67% 7,050 14,28% 8,04% 4,01% 2,06% 5,58% 11,30%

SISE TI Equity 32,61% 1,550 11,25% 5,63% 2,43% 2,83% 7,39% 14,36%

TCELL TI Equity 38,68% 7,150 10,51% 5,58% 2,68% 4,94% 10,50% 18,09%

GARAN TI Equity 50,79% 3,460 10,88% 6,55% 3,76% 8,94% 15,51% 23,62%

ULKER TI Equity 32,18% 2,800 12,10% 6,20% 2,73% 2,36% 6,49% 13,05%

YKBNK TI Equity 34,56% 2,540 13,65% 7,55% 3,69% 2,25% 6,00% 11,98%

Alim Opsiyonlari Satim Opsiyonlari

11.Eyl.2008

Şekil 1.3: 11 Eylül 2008 tarihinde IMKB U030’a Dahil Senetler İçin OpsiyonFiyatları. Kullanım Fiyatları Şekil 1.2 ile Aynı


Black Scholes ve FX Opsiyonları

Black Scholes Modelinde yabancı para opsiyonları sürekli temettü ödeyenhisse senedi gibi fiyatlanır. Yabancı para faizi, hissede karşımıza çıkan sü-rekli temettü gibi yorumlanır, yerli para faizi ise risksiz iskonto faizi. FXopsiyonu için Black Scholes formüllerini aşağıdaki şekliyle yazabiliriz:

rf faiz ödeyen FX:Alım Opsiyonu:

c = Se−rf T N(d1) − Ke−rT N(d2)

Satım Opsiyonu:

p = Ke−rT N(−d2) − Se−rf T [1 − N(d1)]

d1 =log(St/K) +

(r − rf + 0.5σ2

)τ

σ√

τ

d2 = d1 − σ√

τ

USDTRY alım opsiyonunu aşağıdaki değişkenleri kullanarak fiyatlayalım:

• Spot= 1,5440

• K=1,6000

• Vade 45 gün

• r=%12

• rf=%3

• Volatilite=%22

Rakamları formülde ilgili yerlere koyduğumuzda fiyatı 0,0313 olarak bulu-ruz.

Black Scholes ve Vadeli Fiyatlar

Black Scholes modelinde opsiyon fiyatları, spot fiyat yerine alivre (forward)fiyatlar kullanılarak hesaplanabilir:


F0 = S0erτ ⇒ S0 = F0e

−rτ

Alım Opsiyonu:

c = e−rτ [F0N(d1) − K N(d2)]

Satım Opsiyonu:

p = e−rτ [K N(−d2) − F0N(−d1)]

d1 =log(F0/K)

σ√

τ+

1

2σ√

τ

d2 = d1 − σ√

τ

-200,00

-100,00

-

100,00

200,00

300,00

400,00

1,95

2,05

2,15

2,25

2,35

2,45

2,55

2,65

2,75

2,85

2,95

Itfa Fiyat

Şekil 1.4: Uzun Alım Opsiyonu Fiyat ve İtfa Değeri

Vadeli fiyatları kullanmanın avantajı, temettü ödeyen, ödemeyen veyayabancı para opsiyonu için temettü oranlarına ihtiyaç duyulmamasıdır. Op-siyona konu finansal varlık vadeli fiyatı bilindiği anda opsiyon fiyatı dahesaplanabilir.


-200,00

-100,00

-

100,00

200,00

300,00

400,00

500,00

1,95

2,05

2,15

2,25

2,35

2,45

2,55

2,65

2,75

2,85

2,95Itfa Fiyat

Şekil 1.5: Uzun Alım Opsiyonu Fiyat ve İtfa Değeri

Black Scholes ve Vadeli Kontrat Sozlesmeleri

Futures opsiyonlarında, gözlemlenen kontrat fiyatı doğrudan vadeli fiyatolarak kullanılıp modelden future kontrat opsiyon fiyatı elde edilebilir. f(t, St) =S0 − Ke−r(T−t) vadeli kontrat fiyat fonksiyonu Black Scholes diferansiyeldenklemi koşullarını sağlayabilir mi?

∂f

∂t+ rS

∂f

∂S+

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2= rf

∂f

∂t+ rS

∂f

∂S+

1

2σ2 S2 ∂2f

∂S2= −rKer(T−t) + rSt + 0 = rf(t, St)

Put-Call Paritesi

Vadeli kontrat fiyat fonksiyonu Black Scholes diferansiyel denklemi şartla-rını yerine getiriyor. Buradan hareket ile put call paritesini kanıtlayabiliriz:

ct − pt = St − Ke−r(T−t)


Black Scholes formülleri:

c = SN(d1) − Ke−rT N(d2)

p = Ke−rT N(−d2) − SN(−d1)

d1 =log(St/K) +

(r + 0.5σ2

)τ

σ√

τ

d2 = d1 − σ√

τ

Parite:

ct − pt

= SN(d1) − Ke−rT N(d2) − Ke−rT N(−d2) − SN(−d1)

= St − Ke−rT

N(−x) = 1 − N(x)

Call Put paritesi sürekli temettü q ödeyen hisse senedi için de yazılabilir:

Temettü ödeyen hisse vadeli fiyatı:

f(t, St) == S0 − Ke−(r−q)(T−t)

Call Put Paritesi:

ct − pt

= SN(d1) − Ke−rT N(d2) − Ke−rT N(−d2) − SN(−d1)

= St − Ke−(r−q)T

N(−x) = 1 − N(x)


• Spot USDTL 1,5450

• 1 Yıl vadeli USDTL fiyatı 1,7513

• Risksiz faiz %14,50

• USD faizi %2

• K = 1, 900 alım opsiyonu fiyatı 0,0835

Yukarıdaki verilen değişkenlere göre aynı vadeye K = 1, 9000 putopsiyonu fiyatı ne olmalıdır?

ct − pt = St − e−(r−q)T K

pt = ct − St − e−(r−q)T K

pt = 0, 0835 − (1, 5450 − 1, 9000e−(%14,5−%2)1)

pt = 0, 0835 − (−0, 13174)

pt = 0, 2152


Alım-Satım Simetrisi

Bundan önceki bölümlerde, sadece alım-satım paritesinden bahset-miştik. Şimdi alım-satım simetrisinden bahsedeceğiz. Simetri Bates(1991), Carr (1994), Carr ve Bowie (1994) tarafından detaylı olarakele alındı. Simetri:

c(S, K, T, r, b, σ) =K

SebTp

(S,

(SebT )2

K, T, r, b, σ

)

Kullanım fiyatı K olan bir alım opsiyonunun değeri kullanım fiyatı(SebT )2

Kolan

K

SebTkadar satım opsiyonuna eşittir. Simetri, opsi-

yon pozisyonlarının statik korunması ve bariyer opsiyon risklerininyönetiminde kullanılmaktadır.

Alım-Satım Super Simetri

İşimize yarayabilecek olan bir simetriyi yazalım:

c(S, K, T, r, b, σ) = p(−S,−K, T, r, b,−σ)

Alım opsiyonu fiyatını − Varlık fiyatı, −volatilite ve −kullanımfiyatı ile satım opsiyonu fiyatından elde edebiliriz. Opsiyonlardakullanılan bir dönüşümü ele alalım:

k × c(S, K, T, r, b, σ) = c(k × S, k × K, T, r, b, σ)

Süpersimetriyi dönüşümü uygulayarak yeniden yazalım:

c(S, K, T, r, b, σ) = −p(S, K, T, r, b,−σ)

Satım opsiyonu için süpersimetri:

p(S, K, T, r, b, σ) = −c(S, K, T, r, b,−σ)

Süpersimetri, alım ve satım için ayrı ayrı kod yazmayı gereksiz halegetiriyor ve işimizi önemli ölçüde kolaylaştırıyor. Süpersimetri, nega-tif volatilite konularında detaylı analiz ve tartışmalar için: Adamc-huk(1998), Peskir ve Shiryaev(2001), Haug (2002) ve Aase (2004).


Seri Acılımı Kullanarak Opsiyonların Karda Itfa Etme Olasılıklarının Hesap-

lanması

Faiz oranlarının gözardı edilebilir olduğu varsayımı ile bir yıl vadeli“başabaş” alım opsiyonunun %20 volatilite ile karda bitme olasılığınedir?

Faiz oranı ihmal edilebilir (sıfır) ise, başabaş opsiyonun (alım ya dasatım farketmez) d2 değeri:

d2 =ln S

K+ (r − σ2/2)T

σ√

T=

−σ√

T

2

olarak yazılabilir.Kolayca hatırlanabilecek bir formül. Bir alım opsiyonunun kardabitirme olasılığını hesaplayabilmek için N(d2) değerini bilmemizgerekir, kumulatif standart normal dağılım fonksiyonunu tahminedebilmek için de ya bilimsel bir hesap makinasına ya da excelbenzeri bir elektronik tablo programına ihtiyaç duyarız. Seriaçılımı burada yardımımıza yetişiyor: Normal dağılım yoğunlukfonksiyonunu Taylor açılımı kullanarak tahmin edebiliriz.

N(d) =1

2π

∫ d

−∞

e−12x2

dx =1

2+

1√2π

(d − d3

6+

d5

40− . . . + . . .

)

Yüksek dereceli terimleri ihmal edersek:

N(d) =1

2+

1√2π

d =1

2+ 0.4 ∗ d

Bunu da hatırlamak kolay. Sonuçta başabaş opsiyonun karda bi-tirme olasılığını hesaplayabilmek için sadece volatilite tahminine vevade bilgisine ihtiyacımız var.

N(d2) = 0.5 + 0.4 ∗ −σ√

T − t

2= 0.5 + 0.4 ∗

(−%20 ∗

√1

2

)= 0.46

Bu formül ile kısayollar akılda tutulursa sadece kağıt kalem kulla-narak opsiyonun karda bitirme olasılığını hesaplayabilirsiniz.


1.6 Stokastik Volatilite Modelleri ve Ilgili Opsiyon Cozumleri

Black Scholes Merton Geometrik Brown Hareketi dünyasının iki önemlivarsayımının

• Sabit volatilite

• Sabit faiz

olduğunu konuşmuştuk. Empirik olarak bu varsayımların doğru olmadıkla-rını söyleyebiliriz. Geometrik Brown hareketi varsayımı ve sabit volatilitekoşulu, bazı egzotik opsiyonların fiyatlamasında yanlış sonuçlar ortaya çı-karabilir. BSM varsayımlarının esnetilmesi ile ilgili çeşitli fikirleri bazı aka-demik çalımalarda görmekteyiz. Önerilen alternatif modeller ve stokatistiksüreçler, Geometrik Brown ve sabit volatiliteye göre daha sağlıklı sonuçlarelde etmemize yardımcı olabilir. Bu kısımda bilinen bazı alternatif modellerve sağladıkları avantajlar ele alınacaktır.

1.7 Giris

BSM modelinde menkul kıymet fiyatlarının lognormal olarak dağıldığı var-sayılır ve fiyatlar sürekli bir değişkenlik içindedir. BSM hisse stokastik di-feransiyel denklemini hatırlayalım:

dSt = rStdt + σStdWt

Yukarıdaki sürece göre Black-Scholes PDE ise ∀ t ∈ [0,T], aşağıdaki gibiyazılabilir:

rC(t, S) = Ct(t, S) + rSCS(t, S) +1

2σ2S2CSS(t, S)

Notasyonlar:

Ct =∂C

∂t, CS =

∂C

∂S, CSS =

∂2C

∂S2

Bu PDE’ye ulaşmak için finansal menkul kıymetin kendisinin de elealındığı oto finansman (self-financing) bir portföy oluşturmuştuk. Oto fi-nansman stratejisi, portföy kar zararının sadece portföy ile ilgili fiyat hare-ketlerinden kaynaklandığını, portföye nakit giriş çıkışı yapılmadığını ifadeeder. Oto finansman stratejisi oluşturabilmemiz için risk ve riski ortadan

Giriş 33

kaldıracak faktör sayılarının birbirine eşit olması gerekir. Uzun alım opsi-yonu pozisyonunda riski yönetmek için, ∆ kadar finansal menkul kıymetsatılıyordu. Notasyon olarak π eğer bir oto finansman portföyünü tanımlı-yorsa, aşağıdaki yol izlenebilir:

π = C(t, S) − ∆S

dπ = Ct(t, S)dt + CS(t, S)dS +1

2σ2S2CSS(t, S)dt − ∆dS

∆=CS(t,S) alındığında, dπ deterministik bir hal alır (bir diğer deyişlerisksiz) ve belirlenen bir zaman aralığındaki değişim ise rπdt olarak göste-rilebilir.

Bu durumda:

r(C(t, S) − ∆S)dt = Ct(t, S)dt +1

2σ2S2CSS(t, S)dt

denklemini yazarak Black-Scholes PDE’ye ulaşılabiliriz.Burada dikkat edilecek noktalardan bir tanesi, volatilite parametresinin

sabit olarak varsayılmasıdır. Fakat ekonometrik bazı çalışmalar tarafındanda gösterildiği üzere volatilite sabit (homoscedastic) bir yapıya sahip olmakyerine değişken bir yapıya sahiptir. Heteroscedasticity olarak da adlandırı-labilecek zaman bağlı değişen volatilite özelliğini ekonometrik modellemekiçin ise ARCH/GARCH ve türevleri geliştirilmiştir. Kısaca burada volatilitemodellenmektedir ve bu parametrenin aslında hiç de kolay bir yapıya sa-hip olmadığı daha iyi anlaşılmıştır. Bu yapıyı süreçler üzerinden yansıtmakamacıyla bazı yaklaşımlar ortaya çıkmıştır. Bazı yaklaşımlar direkt olarakgeometrik Brownian Motion yerine farklı bir süreç önerirken, bazı yaklaşım-larda jump effect denilen ani sıçrayış özellikleri katılmıştır. Bu yöntemlerlesabit volatilite özelliğinden kurtulmak mümkün olmaktadır. Finansal men-kul kıymetlerin hareketlerini modellemek üzere önerilen süreçler 3 grubaayrılabilir:

1. Pure Diffusion Modeller: Ele alınan objenin sürekli bir şekilde değiş-kenlik gösterdiği durumlarda kullanılan modeller.

2. Mixed Jump-Diffusion Modeller: Ele alınan objenin bazen sürekli ba-zen de ani sıçrayışlarla değişkenlik gösterdiği durumlarda kullanılanmodeller.

3. Pure Jump Modeller: Ele alınan objenin yalnızca ani sıçrayışlarladeğişkenlik gösterdiği durumlarda kullanılan modeller.


Tüm bu modelleri kapsayan genel bir yapı ise Levy süreçleri olarakadlandırılmaktadır. Kısaca Levy süreçler, 0 zaman noktasından başlayan,durağan (stationary) ve bağımsız olarak değişen stokastik süreçlerdir. Bu-nun daha formal bir tanımı aşağıdaki şekilde yapılabilir:

Eğer S={St : t ≥ 0} bir stokastik süreç ise ve aşağıdaki özellikleri taşı-yorsa bir Levy süreçtir:

1. Başlama zamanı;S0 = 0

2. s<t için dağılımları bazında aşağıdaki eşitliğin doğru olması:

St − Ss ⇒ St−s

3. Artan zaman noktaları bazında, birbirinden bağımsız değişimler;

St2 − St1 , ..., Stm − Stm−1

4. Right-Continious ile Left-Limits özelliğini taşıması:

Cadlag

(M, d) metrik bir uzay ve E ∈ R olsun. f : E → M ∀ t ∈ E içinaşağıdaki koşulları sağlıyorsa Cadlag fonksiyonudur:

Sol Limit f(t−) := lims↑t

f(s)mevcutsa ve

Sağ Limit f(t+) := lims↓t

f(s)mevcutsa ve f(t)’ye eşitse

Levy süreçlerinin analizleri aslında oldukça karmaşık olabilmektedir ve bunedenle bu kapsamda daha fazla detaya girilmeyecektir. Sürekliliğin ve anisıçrayışların tanımlanabildiği bu süreçler finansal matematik alanında ol-dukça önemli bir yere sahiptir.

Diffusion model, mixed jump diffusion model ve pure jump model iledeğişken volatilite yapısını yaratan önermelerin en popüler olanları aşağıdaözetlendi:

Constant Elasticity of Variance Modeli 35

• Heston Model (Diffusion Model)

• Constant Elasticity Model (Diffusion Model)

• Merton Mixed-Jump Diffusion Model

• Variance-Gamma Model (Pure Jump Model)

İlerleyen satırlarda yukarıda gösterilen bu modeller ile ilgili önemli bil-giler verilecektir. Bu modellerin sağladıkları esneklikler ve birbirlerindenhangi yönlerde farklılıklar gösterdikleri de daha iyi bir şekilde görülebile-cektir. Öncelikle Diffusion modelleme yapısı üzerine kurulu yaklaşımlardanbaşlamak istiyoruz. Modelleye geçmeden önce şunu da söylememşz gerekir:Bahsedilen modeller arasında tüm fiyatlamalar için en iyisi . . . modelidirdiye bir kavram olmamalıdır ve bu nedenle en başarılıdan en başarısız mo-dele doğru bir sıralama yapmak doğru değildir.

1.8 Constant Elasticity of Variance Modeli

Bu modelde (CEV) volatilite’nin stokastik bir yapıya sahip olması için vola-tilite’nin ayrıca modellenmesi yerine varlık fiyatları üzerinden bir yaklaşımmevcuttur. Modelde volatilite parametresi sabit olacaktır, fakat varlık fiyatıüzerinden, volatilite, dolaylı bir şekilde değişkenlik gösterir hale gelecektir.Modelde volatilite varlık fiyatının bir fonksiyonu olacaktır. Önerilen model,β > 0 için aşağıdaki gibidir:

dSt = rStdt + σSβt dWt

β=1 olduğu durumda sıkça kullanılan Geometrik Brownian motion mo-deli elde edilmektedir. Bu parametre 1 değerinden farklı olduğu zamanvarlık fiyatı değiştikçe volatilite de değişecektir. Bu durumda iki senaryoolabilir:

Senaryo 1: β > 1

Eğer varlık fiyatı artarsa volatilite de artacaktır. Ortaya çıkacak olasılıkdağılımı ise asimetrik olacaktır. Dağılım fonksiyonunun sağ kuyruğu kalın-laşırken, sol kuyruğu ise daralacaktır. Bu literatürde right-skewness olarakda belirtilmektedir. Varlık fiyatları arttıkça ve volatilite de bu nedenle art-tıkça, daha yüksek fiyatların ortaya çıkma ihtimali de artacaktır. Varlık


fiyatları düştükçe volatilite azalacak ve daha düşük fiyatların olma olasılığıda azalacaktır.

Senaryo 2: β < 1

Eğer varlık fiyatı artarsa volatilite azalacaktır. Ortaya çıkacak olasılıkdağılımı asimetrik olmakla beraber sol kuyruğu kalın ve sağ kuyruğu darbir fonksiyonel şekil olarak görülecektir. Buna da left-skewness denilebilir.Varlık fiyatları arttıkça volatilite düşecek ve daha yüksek fiyatların olmaolasılığı da azalacaktır. Bunun tersine, varlık fiyatları azaldıkça volatiliteartacak ve daha da düşük fiyatların olma olasılığı yükselecektir.

CEV modeli ile European Call ve Put opsiyonlarının analitik fiyatlandır-ması tahmin edilebileceği üzere daha karmaşık olacaktır. Öncelikle dağılımnormal dağılım değildir. Bunun en basit ve sezgisel açıklaması buradakinormal dağılımlı varlık fiyatının β üssü ile çarpılmasıdır. Bilindiği üzerenormal dağılımlı rassal değişkenler çarpıldığında ki-kare dağılım ortaya çı-kar ve analitik çözümde de bu dağılım görülecektir. Ortaya çıkan ki karedağılımı merkezi değildir. Opsiyon fiyatlarının kanıtı gösterilmeden yalnızcaanalitik çözümler direkt olarak verilmiştir.

Analitik çözümler β değerine göre de değişecektir. Bu durumda iki se-naryoyu ayrı ayrı ele almak gerekiyor.

Senaryo 1: β > 1

Bu durumda European Call ve Put opsiyonlarının değeri için aşağıdakiformüller ortaya çıkmaktadır:

C(0, S, β) = S0[1 − χ2(c,−b, a)] − Ke−rT [χ2(a, 2 − b, c)]

P (0, S, β) = Ke−rT [1 − χ2(a, 2 − b, c)] − S0[χ2(c,−b, a)]

Burada yer alan parametreler aşağıda gösterilecektir. Öncelikle, β de-ğerinin sıfırdan büyük olmak koşuluyla 1’den küçük olduğu senaryo göste-rilsin.

Senaryo 1: β < 1

Bu durumda European Call ve Put opsiyonlarının değeri için aşağıdakiformüller ortaya çıkmaktadır:

Heston Modeli 37

C(0, S, β) = S0[1 − χ2(a, b + 2, c)] − Ke−rT [χ2(c, b, a)]

P (0, S, β) = Ke−rT [1 − χ2(c, b, a)] − S0[χ2(a, b + 2, c)]

Yukarıda yer alan tüm parametreler ise aşağıdaki gibi gösterilebilir:

a =[Ke−rT ]2(1−β)

(1 − β)2v

b =1

1 − β

c =S2(1−β)

(1 − β)2v

Son olarak bu parametrelerin içinde yer alan v terimi ise volatilite pa-rametresini içermektedir. Kısaca, aşağıdaki gibidir:

v =σ2

2r(β − 1)

(e2r(β−1)T − 1

)

Burada χ2(z,k,α) olarak gösterilen kümülatif dağılımda yer alan α mer-kezsizleştirme parametresi, k serbestlik derecesi ve z de değişkenin bu de-ğerden düşük olduğu sınırdır. Burada implied volatilite düşünüldüğünde,eğer β > 1 ise, implied volatilite kulanım fiyatı ile doğru orantılıdır. Diğeryandan eğer β < 1 ise ters orantılıdır. CEV modeli en çok exotic hisseopsiyonlar için kullanılmaktadır.

1.9 Heston Modeli

Heston modelindeki temel yaklaşım, yukarıda gösterilen stokastik diferansi-yel denklemin içinde yer alan volatilite parametresinin de ayrı bir stokastikdiferansiyel sürece bğlı olarak modellenmesidir. Modelde iki stokastik sü-reç vardır ve bu nedenle korelasyonların da dikkate alınması gerekecektir.Bilindiği üzere aşağıdaki eşitlik doğrudur:

⟨dW 1, dW 2

⟩= ρdt

Burada ρ olarak gösterilen terim bilinen korelasyondur. Burada önerilenstokastik diferansiyel denklemler ise aşağıdaki şekilde gösterilebilir. Önce-likle varlık fiyatının stokastik diferansiyel denklemi verilsin:


dSt = rStdt +√

v(t)StdW 1t

Burada görüldüğü üzere Heston Modeli Black-Scholes modelinin bazaldığı denklem ile neredeyse aynı. En önemli farklılık volatilite zamana bağlıolarak değişen bir yapıdadır ve izlediği stokastik süreç aşağıdaki şekliylemodellenebilir:

dvt = −λ(v(t) − v)dt + γ√

vtdW 2t

Açıkça görüldüğü üzere volatilite süreci modellemesinde eğilim (drift),ortalamaya yaklaşan (mean-reverting) bir yapıya sahip. Burada v uzun va-dedeki denge değeri (equilibrium value) iken λ ise hız (speed) faktörüdür.Ayrıca, volatilite’nin volatilite parametresi ise γ olarak gösterilmiş ve bu dasabit kabul edilmiştir. Bunun sabit kabul edilmediği bir yaklaşımın modeleolan katkısı fazla olmayabilir. Volatilite modellenirken CIR (Cox, Ingersoll,Ross) modelleme yaklaşımı kullanılmıştır. Bu yaklaşım bilindiği üzere faizdinamiklerini açıklamak için öne sürülmüştür. Burada kullanılmasının ne-denlerinden bir tanesi de negatif volatilite değerlerinin bu denklem ile hiçbir zaman mümkün olmamasıdır.

Korelasyonları sıfır olmayan bu iki stokastik süreç üzerine yazılmış olanbir opsiyonun PDE’si aşağıdaki gibi olacaktır:

rC(t, S, v) = Ct(t, S, v) + rSCS(t, S, v) − λ(v − v)Cv(t, S, v) +1

2[Θ(t, S, v)]

Θ(t, S, v) = vS2CSS(t, S, v) + γ2vCvv(t, S, v) + 2ργvSCSv(t, s, v)

Yukarıdaki notasyonlarla tamamen paralel olarak aşağıdaki geçerlidir:

CSv =∂2C

∂S∂v

Görüldüğü üzere yukarıda verilen black-Scholes PDE’si ile neredeyseaynı. Bu sonuca ulaşmak için Black-Scholes modelinin yaklaşımına paralelolarak öyle bir portföy kurulmalıdır ki, stokastik terimlerden kurtulmakmümkün olsun. Black-Scholes PDE’sine delta-hedging ile ulaşılabiliyorduk.Aynı mantık burada da geçerli olacaktır, fakat bu sefer hem varlıktan hemde varlığın volatilite’sinden kaynaklanan iki risk faktörü bulunmaktadır.Kısaca, volatilite riskinin de elimine edilmesi için portföy buna göre tekrardüzenlenmelidir. Bu durumda C(t, S, v)-∆S yeterli olmayacaktır. Aşağıdakigibi bir portföy oluşturulmalıdır:

Merton Mixed-Jump Diffusion Modeli 39

π = C(t, S, v) − ∆S − ∆1C1(t, S, v)

Yukarıda Black-Scholes PDE bulurken izlenen yol ile aynı olmak üzeredπ hesaplanmalı ve bunun için de dC ve dC1 hesaplanmalıdır. Bunun içinde 2-D Ito’s Lemma yeterli olacaktır. Varlık ve volatilite’sinden oluşan sto-kastik yapı hedge edilecek ve oluşturulacak portföy deterministik bir yapıyadönüşecektir. Burada tüm detayları gösterilmese de, yukarıda Black-Scholesmodelindeki portföy oluşturulmasında izlenen yollar Heston PDE’sine ula-şabilmek için de geçerlidir.

Heston Modeli için analitik bir çözüm mevcuttur. Black-Scholes callopsiyon fiyatına benzer olarak aşağıdaki sonuç elde edilmektedir:

C(0, S, v) = S0f1 − Ke−rT f2

Burada yer alan f1 ve f2 terimleri de Fourier transformasyonu ile göste-rilmektedir ve bir nevi risk-nötr olasılıkları belirtmektedir. Transformasyonaşağıdaki gibi gerçekleştirilir:

F (ξ) =

∫ ∞

−∞

f(x)e−2πiξxdx

Fourier ters transformasyonu aşağıdaki şekilde yapılmaktadır:

f(x) =

∫ ∞

−∞

F (ξ)e2πiξxdx

Heston Modelinin performansına bakıldığında ise bazı özellikler dikkatçekmektedir. Model out-of-money opsiyonlar için gereğinden yüksek fiyat-lar (overprice) bulurken, in-the-money opsiyonlar için ise gereğinden düşükfiyatlar (underprice) hesaplanmaktadır.

Önceki kısımda gösterilen CEV modeli ve Heston modeli belirtildiğiüzere pure diffusion modellerdir. Burada jump effect görülmemektedir. Son-raki kısımda ise mixed jump diffusion model kategorisi altında bulunanMerton modeli ele alınacaktır.

1.10 Merton Mixed-Jump Diffusion Modeli

Sabit bir volatilite değerinden kurtulmak ve modelin içinde ani sıçrayışla-rın olması empirik olarak çok daha mantıklı oldukça doğru bir yaklaşımdır.


Finansal piyasalarda ani sıçrayışlar ve düşüşler oldukça sıklıkla gözlemlen-mektedir ve Geometrik Brownian Motion ise bunu yansıtamamaktadır. Bunedenle finansal menkul kıymet süreçleri hem sürekli hem de süreksiz ola-bilecek bir yapıya sahip olmalıdır (Quantum mekaniğindeki temel gerçekde aslında bu yapıdır). Bu ani ve stokastik sıçrayışları modellemek içinkullanılabilecek dağılım fonksiyonu ise süreksiz yapıya sahip olan Poissondağılımıdır. Kısa bir hatırlatma amacıyla, t ve t + τ arasında gerçekleşenolayın sayısının dağılımı için, n≥ 0 olmak üzere aşağıdaki yazılabilir:

Pr[N(t + τ) − N(t) = n] =e−λτ (λτ)n

n!

Bu kapsamda da λ yılda ortalama jump sayısı olacaktır. Burada önerilenstokastik diferansiyel denklem ise aşağıdaki gibidir:

dSt = (r − λυ)Stdt + σStdWt + StdP

Denklemde yer alan υ ortalama jump büyüklüklerini gösterirken dPise Poisson sürecidir. Ayrıca önemli bir nokta da dW ve dP süreçlerininbirbirlerinden bağımsız oluşlarıdır. Kolayca anlaşılabileceği üzere, λυ terimide varlık fiyatının ani sıçrayışlardan kaynaklı ortalama büyümesidir.

Sıçrayışların büyüklüklerinin logaritması normal dağılıma uygun ise iseönemli bir sonuca varabiliriz. Bahsettiğimiz normal dağılımın volatilite pa-rametresi ς olarak gösterilirse, European Call opsiyon fiyatı aşağıdaki gibiyazılabilecektir:

∞∑

n=0

eλ(1+υ)(λ(1 + υ)T )n

n!C(0, S, n)

Burada C(0,S,n) call opsiyon fiyatı olup n değerine bağlı parametrelerivardır. Örneğin, varyans aşağıdaki gibi değişecektir:

V ol = σ2 +nς2

T

Buna ek olarak risksiz faiz oranı da aşağıdaki gibi olacaktır:

R = r − λυ +n(ln(1 + υ))

T

European Put opsiyon fiyatı, parametreler yukarıdaki gibi olmak üzere:

Variance-Gamma Modeli 41

∞∑

n=0

eλ(1+υ)(λ(1 + υ)T )n

n!P (0, S, n)

Sonuçların kanıtları burada gösterilmeyecek. Bu model ile ilgili detaylıbilgi Merton tarafından yazılan Option Pricing When Underlying StockReturns Are Discontinious adlı makalede bulunabilir. Bu model F/X opsi-yonları için düzgün sonuçlar vermektedir. Modelde dikkat edilmesi gerekenönemli noktalardan biri opsiyonun vadesidir. Kısa vadeli opsiyonlar ele alın-dığında jump effect implied volatilite’yi daha çok etkilerken, uzun vadedebu etki azalmaktadır.

1.11 Variance-Gamma Modeli

Diğer modellere kıyasla anlaşılması biraz daha zor olan fakat oldukça po-püler bir model haline gelen Variance-Gamma modelinde gamma süreciniizleyen bir değişken ele alınmaktadır. Gamma süreci eğer η(t; µ, σ) olarakgösterilirse ve t ve t+h arasındaki değişimleri betimlerse, I= η(t+h; µ, σ)−η(t; µ, σ) > 0 olarak gösterilecek artışların dağılımı aşağıdaki gibi olacaktır:

fh(I) =µ

σ

µ2hσ

I

µ2hσ

−1e−µI

σ

Γµ2hσ

Burada gösterilen Γ da gamma operatörüdür. Burada ele alınan Vari-ance Gamma süreci, gamma sürecinden seçilen rassal zaman noktalarındaBrownian Motion’ın değerlendirilmesinden ortaya çıkmaktadır. Ele alınanBrownian Motion ise aşağıdaki gibidir:

B(t; Θ, v) = Θt + vWt

Buradaki Θ drift ve v ise volatilite parametresidir. Bu bilgi doğrultu-sunda aşağıda iki terim tanıtılacaktır:

ξ = −Θ

v2

s =v√

1 +(

Θv

)2 σ2


Burada kanıtı gösterilmemek üzere European Call opsiyonun fiyatı iseaşağıdaki gibi yazılabilir:

C(0, S, K) = S0Ψ

(d

√1 − F1

σ, (α + s)

√σ

1 − F1,

t

σ

)− Φ

Φ = Ke−rT Ψ

(d

√1 − F2

σ, (αs)

√σ

1 − F2,

t

σ

)

Ψ olarak gösterilen bir Bessel fonksiyonudur. Ayrıca α = ξs olmaklaberaber diğer terimler de aşağıdaki gibidir:

d =1

s

[ln

(S0

K

)+ rt +

t

σln

(1 − F1

1 − F2

)]

F1 =σ(α + s)2

2

F2 =σα2

2

Burada gösterilen bu oldukça karmaşık sonuç ile ilgili detaylı bilgi içinMadan, Carr ve Chang tarafından yazılmış The Variance-Gamma Processand Option Pricing adlı makaleye başvurulabilir.

1.12 Modeller Arası Farklar

Bu kısıma ele aldığımız 4 farklı modelin yaklaşımlarındaki farklar aslındakolayca görülmektedir. Varlık fiyatlarının volatilite’sini empirik olarak dahagerçekçi yapmak için, bir diğer deyişle stokastik bir yapıda temsil etmek içinmodeller farklı difüzyonlar izlemektedir. Heston stokastik volatilite’yi ayrıbir süreç olarak tanımlarken, CEV bu yapıyı varlık fiyatları üzerinden ger-çekleştirmektedir. Merton ise jump efektleri ekleyerek ani sıçrayışlar tanıt-makta ve volatilite değişken bir yapıya sahip olmaktadır. Gamma-Varianceise bunu sürekli bir süreç ile değil de yalnızca jump efektler ile gerçekleştir-mektedir.

Kolay bir diğer yaklaşım için volatilite farklı zaman aralıklarında alınıpbir ortalaması bulunabilir. Örnek olarak, eğer 1 yıllık bir süre içerisinde her3 aylık dönemlerde volatilite değişecekse ortalama alınabilir.

Modeller Arası Farklar 43

Örnek:

1 yıl boyunca üçer aylık volatilite değerlerinin aşağıdaki gibi olacağınıvarsayalım:

σ1 = 0.15σ2 = 0.20σ3 = 0.25σ4 = 0.20

Bu durumda ortalama volatilite de aşağıdaki gibi olacaktır:

σ2 = (0.25)0.152 + (0.25)0.202 + (0.25)0.252 + (0.25)0.202 = 0.041

Burada volatilite öngörülebilir kabul edilmiştir ve pek gerçekçi değildir.Bu nedenle yukarıda verilen daha karmaşık yaklaşımlar öne sürülmüştür.

Buna ek olarak ARCH/GARCH modellemeleri veya Implied volatiliteFonksiyonu da kullanılabilmektedir. Genel olarak tüm bu yaklaşımlar ilesüreçlerin gerçeği yansıtma güçleri arttırılmıştır. Bu modeller ise giderekdaha popüler olmaya başlamışlardır.


1.13 Bloomberg ve Opsiyonlar

İMKB 30 Endeksi’ne dair opsiyonları Bloomberg’de fiyatlamak için XU030F10 OVME GO komutları kullanılır. Komutlar verildikten sonra gelenekran 1.6’da gösterildi. Bu ekrandan 12 nolu Stradle stratejisi seçildiğindeaçılan fiyatlama penceresi ise şekil 1.7’de gösterildi. Hisse senedi opsiyon

Şekil 1.6: İMKB 30 Endeksi Opsiyon Strateji Seçimi

fiyatlaması Bloomberg ekranında Endeks için kullanılan ekrandan yapılır:GARAN F8 OVME GO. Şekil 1.6’da gösterilen ekrandan 21 nolu But-terfly penceresini seçersek şekil 1.8’de gösterilen fiyatlama penceresi açılır.Butterfly stratejisi kar zarar grafiğini görmek istersek şekil 1.8’deki ekran-dan Scenario Graph sekmesi tıklanabilir. Kâr zarar grafiği şekil 1.9’da gös-terildi.

USDTRY opsiyon fiyatlamak için TRY F11 OV GO komutu kulla-nılabilir. Üç ay vadeli başabaş opsiyona ilişkin fiyatlama penceresi şekil1.10’da gösterildi.

USDTRY opsiyonları strateji seçimi, OVME ekranından farklı olarak,şekil 1.10’da gösterilen fiyatlama penceresinde 92 Strategy sekmesi kulla-nılarak yapılır. Vanilla açılır kutusu tıklandığında ise opsiyon tipleri değiş-tirilebilir. Strateji sekmesinden Volatility Strategy-Strangle seçilirse şekil1.11’de gösterilen fiyatlama penceresi açılır.

Strateji kar-zararını tablo olarak görmek istersek şekil 1.10’da gösteri-len fiyatlama penceresindeki 90 Tools sekmesi Scenario Table seçeneği

Bloomberg ve Opsiyonlar 45

Şekil 1.7: İMKB 30 Endeksi Opsiyon Fiyatlama-Straddle

Şekil 1.8: GARAN Opsiyon Fiyatlama-Butterfly


Şekil 1.9: GARAN Butterfly Stratejisi Kar Zarar

Şekil 1.10: USTRY Alım Opsiyonu Fiyatlama


Şekil 1.11: USTRY Strangle Strateji Fiyatlama

kullanılabilir. Tablo şekil 1.12’da gösterildi.

Şekil 1.12: USTRY Strangle Strateji Kar Zarar Tablosu

Borsalarda alınıp satılan opsiyonların Bloomberg Terminalinde özel ek-ranları vardır. Bank of America hissesine dair opsiyonları görebilmek içinBAC US F8 OMON GO komutları verilmesi gerekir. Opsiyon izlemeekranı şekil 1.13’de gösterildi.


Şekil 1.13: Bank of America Opsiyon İzleme Ekranı

Şekil 1.14: Bank of America Opsiyon İzleme Ekranı-Greek Mid Şablonu

Şekil 1.13’de gösterilen opsiyon izleme ekranı sütun başlıkları: IVMImplied Volatility Mid (Öngörülen volatilite alış satış ortalaması), DMDelta Mid (Delta alış satış ortalaması), Volm Volume (Hacim). Sütun baş-lıkları Templates sekmesindeki hazır şablonlardan biri seçilerek veya Editsekmesinden isteğe göre düzenlenebilir. Hazır şablonlardan Greeks Midseçildiğinde şekil 1.14’de gösterilen izleme ekranı açılır. Bir önceki ekran-


dan farklı olarak GM sütunu Gamma Mid, (Alış satış Gama ortalaması) veVM Vega Mid, (Alış satış Vega ortalaması) sütunu geldi. IVM ve Volmsütunları çıktı.

black scholes merton modeli

Documents