90

Bab 8

Model Black-Scholes-Merton

8.1 Formula Harga Opsi Model Black Scholes

8.1.1. Distribusi Probabilitas Harga Saham

Model yang digunakan untuk mengembangkan model BSM

mengasumsikan harga saham berdistribusi lognormal. Dengan menggunakan sifat

transformasi variabel random, diketahui bahwa ln dari variabel random

berdistribusi lognormal akan berdistribusi normal, jadi diperoleh ln harga saham

berdistribusi normal sebagai berikut

( (

) ) (8.1)

Dimana

ST = harga saham pada waktu T

S0 = harga saham pada waktu 0

µ = harapan keuntungan saham per tahun

σ = volatilitas saham pertahun

Contoh 8.1. Penghitungan mean and standard deviasi. Misalkan suatu saham

mempunyai harga awal S0 = $25, harapan tingkat pengembalian 12%, dan

volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan standard deviasi dari distribusi harga

saham dalam 3 bulan ke depan.

Jawab. Diketahui bahwa T = 3/12 = 0.25 tahun. Distribusi harga saham 3 bulan

ke depan mengikuti

[( (

) ) ]

Ln ST~N(3.244; 0.1).

91

Karena Ln ST berdistribusi normal, 95% nilai-nilainya akan berada dalam interval

1.96 standard deviasi dari mean-nya. Jadi, Ln ST akan terletak antara 3.244 ±

1.96*0.1, atau

exp3.244-1.96*0.1

< ST < exp3.244+1.96*0.1

21.073 < ST < 31.187.

Contoh 8.2 Distribusi return. Misalkan suatu saham mempunyai harapan

pengembalian tahunan 12% dan volatilitas tahunan 20%. Hitunglah mean dan

standard deviasi dari distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat pengembalian

majemuk kontinu selama 4 tahun.

Jawab. Dari data yang disebutkan sebelumnya, kita dapat menghitung

mean = 212

= 0.12-0.22/2 = 0.10,

dan standard deviasi = T

= 0.2/√4 = 0.10.

8.1.2 Expected Value.

Dengan menggunakan sifat dari distribusi lognormal (ingat kembali

ekspektasi distribusi normal dan lognormal), ST akan berdistribusi lognormal dan

kita dapat menunjukkan bahwa nilai harapan dari ST ,

( ) (

)

Sedangkan variansinya adalah

Var(ST) = S02 e

2μT (e

σ^2*T - 1)

dimana µ = nilai harapan tingkat pengembalian.

Contoh 8.3. Nilai harapan harga saham. Misalkan suatu saham sekarang

berharga 25 dengan nilai harapan pengembalian tahunan 20% dan volatilitas 40%.

Hitunglah nilai harapan harga saham 6 bulan ke depan.

92

Jawab. Nilai harapan harga saham dapat dihitung sebagai berikut

E(ST) = $25*e0.2*0.5

= $27.63.

Hasil ini cocok dengan definisi dari µ sebagai nilai harapan tingkat

pengembalian. Nilai variansi dari ST , var(ST), dapat ditunjukkan

Var(ST) = S02 e

2μT (e

σ^2*T - 1)

= 625*e2*0.2*0.5

*(e0.2*0.2*0.5

-1)

= 63,58.

Contoh 8.4. Misalkan suatu saham dimana harganya adalah $20, dan nilai

harapan pengembaliannya adalah 20% pertahun serta volatilitas 40% per tahun.

Dapat dihitung nilai-nilai harapan dan variansi

E(ST) = 20*e0.2*1

= 24.43

dan

Var(ST) = 400* e2*0.2*1

*(e0.4*0.4*1

-1)

= 103.54.

Standard deviasi harga saham dalam 1 tahun adalah $10,18.

8.1.3 Distribusi Return Saham

Sifat lognormal dari harga saham dapat digunakan untuk mencari

informasi distribusi probabilitas return saham atau tingkat pengembalian majemuk

kontinu dari suatu saham antara waktu 0 dan T. Jika kita mendefinisikan tingkat

pengembalian majemuk kontinu antara waktu 0 dan T sebagai x, maka diperoleh

ST = S0exT

Sehingga

x =

Dari persamaan (8.1) diketahui jika ln ST berdistribusi normal dengan mean lnS0 +

(μ-σ2/2)T dan variansi 2T, maka dapat dibuktikakn juga bahwa x berdistribusi

normal dengan mean

93

E(X) = (

)

( )

=

[ ( ) ]

=

Dan variansinya adalah

V(X) = (

)

( )

=

Sehingga dapat dituliskan

X~N(μ-σ2/2, σ

2/T)

Jadi, tingkat pengembalian majemuk kontinu pertahun berdistribusi normal

dengan mean (μ-σ2/2) dan standard deviasi σ/√T.

Selanjutnya, dapat dihitung persamaan :

E (ST) = S0eµT

Ln E (ST) = ln S0 + μT

Mungkin kita tergoda untuk membuat manipulasi aljabar Ln E (ST) = ELn (ST),

sehingga E [Ln (ST)- ln S0] = μT, atau E [Ln (ST/S0 )] = μT, yang akan menuntun

kita pada E(R) = μ. Kita tidak dapat melakukan hal tersebut karena ln bukan

fungsi linear. Faktanya adalah Ln E (ST) > ELn E(ST), sehingga E[ln(ST/S0)] <

μT, yang menuntun pada E(x) < μ. (Seperti yang sudah ditunjukkan di atas, E(x) =

μ-σ2/2).

Contoh 8.5. Misalkan suatu saham dengan nilai harapan pengembalian 17% per

tahun dan volatilitas 20% per tahun. Distribusi probabilitas untuk rata-rata tingkat

pengembalian selama 3 tahun adalah normal, dengan mean (0.17 -0.22/2) = 0.15

dan standard deviasi 0.2/√3 = 0.1155 per tahun. Selanjutnya kita dapat melihat

interval konfidensi 95% bahwa rata-rata return pertahun dalam 3 tahun mendatang

0.15 – 1.96*0.1155 < μ< 0.15 + 1.96*0.1155

-7.6% < μ < 37.6%

94

8.1.4. Volatilitas

Volatilitas suatu saham adalah suatu ukuran ketidakpastian dari return atau

tingkat pengembalian dari suatu saham. Suatu saham biasanya mempunyai

volatilitas antara 15% and 60%. Dari persamaan (7.1) di bab 7, volatilitas dari

suatu harga saham dapat didefinisikan sebagai standard deviasi dari return saham

dalam 1 tahun ketika return diekspresikan menggunakan pemajemukan kontinu.

Ketika nilai T cukup kecil, persamaan (7.1) menunjukkan bahwa σ√T

secara aproksimasi sama dengan standard deviasi dari persentase perubahan harga

saham pada waktu T. Misalkan σ = 0.3, atau 30% per tahun, dan harga saham

sekarang adalah $50. Standard deviasi dari persentase perubahan harga saham

dalam 1 minggu adalah 30 × 1/√52 = 4.16%. Standard-deviasi harga saham dalam

1 minggu dapat dihitung 50 × 0.0416 = $2.08.

Persamaan (7.1) menunjukkan bahwa ketidakpastian terhadap harga saham

ke depan, yang diukur dengan standard deviasi-nya meningkat sebanding dengan

akar kuadrat panjang waktu ke depan-nya. Sebagai contoh, standard deviasi harga

saham dalam 4 minggu sama dengan 2 kali standard deviasi dalam 1 minggu.

8.1.5. Hari Perdagangan versus Hari Kalender

Hal lain yang penting adalah masalah waktu jatuh tempo, apakah waktu

jatuh tempo seharusnya diukur dalam hari kalender atau hari perdagangan ketika

mengestimasi volatilitas. Riset menunjukkan bahwa volatilitas membesar ketika

bursa dibuka untuk perdagangan dibandingkan ketika bursa ditutup. Sebagai

hasilnya, praktisi cenderung mengabaikan hari-hari ketika bursa ditutup pada

waktu mengestimasi volatilitas dari data historis dan ketika menghitung umur

opsi. Volatilitas pertahun dihitung dari volatilitas perhari perdagangan dengan

menggunakan formula

Volatilitas per tahun = standard deviasi return harian/252.

Banyaknya hari perdagangan dalam 1 tahun biasanya diasumsikan 252

untuk saham. Waktu hidup opsi juga biasanya diukur menggunakan hari

95

perdagangan dibandingkan dengan hari kalender. Banyaknya hari perdagangan

dihitung sebagai T tahun, dimana

T = banyaknya hari perdagangan sampai waktu jatuh tempo/ 252.

Cukup wajar mengasumsikan bahwa volatilitas dari suatu saham disebabkan oleh

informasi baru yang sampai ke pasar. Informasi baru ini menyebabkan orang

untuk merevisi pendapat atau pandangan tentang harga saham. Harga saham

berubah dan secara otomatis akan memunculkan angka volatilitas.

8.2 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Call

Model penentuan harga opsi yang paling terkenal dan banyak digunakan

orang adalah model Black Scholes. Hasil perhitungan harga opsi beli model Black

Scholes untuk tipe Eropa sama dengan tipe Amerika. Untuk alasan di atas, di sini

akan diturunkan formula matematis harga opsi beli tipe Eropa dengan fungsi

keuntungan opsi fT = (ST-K)+ = maks(ST-K,0). Harga rasional premi opsi Black

Scholes CBS adalah :

( ) – ( ) (8.2)

dengan

T

rTKSd

2//ln 2

01

(8.3)

TdT

rTKSd

1

2

0

2

2//ln (8.4)

dan 2 / 21

2

x

yN x e dy

adalah nilai kumulatif distribusi normal standard.

Pembuktian formula Black-Scholes secara matematik tidaklah mudah.

Black-Scholes sendiri membuktikan formulanya dengan pendekatan PD parsial

yang relatif panjang dan tidak mudah untuk dipahami. Pada materi kuliah ini,

formula harga opsi model Black-Scholes di atas akan dibuktikan melalui

96

pendekatan statistika, dengan menggunakan distribusi variabel random lognormal

dan normal. Pendekatan ini relatif lebih sederhana dan mudah untuk dipahami.

Fungsi densitas dari ST yang berdistribusi lognormal dapat ditulis sebagai

berikut

0,0

0,2

1

)(

2ln

2

1

T

T

S

TT

S

SeSSg

T

Secara umum harga kontrak opsi dapat dituliskan dalam bentuk harga harapan

keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo yang terdiskon oleh suku bunga bebas

resiko r.

[ ( )]

dimana ST adalah harga saham pada waktu T dan E menunjukkan nilai harapan.

Di bawah proses stokastik diasumsikan oleh Black-Scholes bahwa ST berdistribusi

lognormal. Diasumsikan harga saham mengikuti proses random gerak brownian

geometrik ST = S0 exp [ (r-0.5σ2)T +σWT ] , di mana WT adalah proses brownian

berdistribusi normal dengan rata-rata 0 dan variansi T. Terlihat bahwa ST

merupakan fungsi eksponen dari WT, sehingga ST berdistribusi lognormal.

Selanjutnya diperoleh Ln ST = ln S0 + (r-0.5σ2) T +σWT merupakan fungsi linear

dari WT sehingga ln ST berdistribusi normal. Rata-rata dan variansi dari ln ST

masing-masing

E(ln ST) = m = ln S0 + (r-0.5σ2) T ; Var(ln ST) = σ

2 T

Deviasi standar dari ln ST adalah σ√T. Dengan transformasi diperoleh

√ ( ) (8.5)

Dan diperoleh hubungan ln ST = Zσ√T+m atau ST = eZσ√T+m

.

Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat dijabarkan dalam bentuk

integral sebagai berikut

[max( ,0)] ( ) ( )

( ) ( )

T T T TK

T T T T TK K

E S K S K g S dS

S g S dS K g S dS

97

Dari nilai maks(ST-K,0), yang dihitung integralnya adalah nilai ST yang lebih

besar dari K. Sedangkan untuk nilai ST yang lebih kecil dari K, keuntungan

opsinya akan sama dengan nol. Integral dari fungsi nol sama dengan nol.

Harga harapan keuntungan opsi di atas mengandung dua integral, Integral I dan II.

Integral I akan dibawa ke variabel random Z dengan transformasi normal standard

(8.5) di atas. Batas bawah ST = K menjadi

√ . Integralnya menjadi

∫ ( )

∫ √ ( )

√

Sekarang kita lihat

√ ( ) √

√

√ (

( √ ) )

√ (

( √ ) )

( √ ) (8.6)

Selanjutnya diperoleh

∫ ( )

∫ ( √ )

√

Misalkan z-σ√T = y, dz = dy, batas bawah z dikurangi σ√T. Dengan

menggunakan sifat sifat distribusi normal 1-N(-a) = N(a), integral di atas menjadi

[ (

√

√ )]

[ (

√ )]

[

√ ]

( ) (8.7)

98

Untuk integral yang kedua II

∫ ( )

∫ ( )

√

(

√ )

(

√ )

( ) (8.8)

dengan d1 dan d2 seperti persamaan (8.3) dan (8.4) . Selanjutnya dengan

memasukkan faktor diskonto selama waktu jatuh tempo T tahun ke dalam formula

harga opsi, diperoleh rumus harga opsi beli model Black Scholes sebagai nilai

present value dari harapan keuntungan opsi call seperti pada persamaan (8.2) di

atas.

[ ( )]

[ ( ) ( )]

( ) ( )

Contoh 8.6 Sebagai contoh dapat dilihat opsi saham Barnes Group Inc. yang

ditawarkan di situs www.yahoo.finance. Pada tgl 26 nov 2009, harga saham

perusahaan tersebut S0 = 15,92$. Kita pilih opsi dengan harga kontrak K = 12.5$.

Opsi tersebut di pasaran dijual dengan harga 4.73$. Bagaimana harga opsi

menurut Black Scholes?

99

Berikut diberikan informasi harga opsi

Menurut BlackScholes, dengan nilai volatilitas 30%, tingkat suku bunga r =

0,25%, harga opsinya adalah sebagai berikut:

1

ln 15,92 /12,5 0,0025 0,04 / 2 22 / 365

0,2 22 / 365

4.044507695

d

2 4.044507695 0,2 22 / 365

3.984205426

d

Nilai yang bersesuaian untuk distribusi normal kumulatif dapat ditentukan N(d1) =

0.999973783, dan N(d2) = 0.999966147. Selanjutnya harga opsi beli dapat

dihitung dengan menggunakan rumus

C = 15,92 x 0.999973783 – 12.5xexp(-0.0025*22/365)x 0.999966147

= 3.421883474

Bagaimana dengan harga yang ditawarkan di pasar untuk opsi tersebut? Apakah

harga opsi di pasar tidak terlalu berbeda dengan harga opsi model Black Sholes?

100

8.1.7 Formula BLACK-SCHOLES untuk Opsi Put

Dengan cara yang sama dapat diturunkan formula harga opsi jual model

Black Scholes. Secara matematis harga opsi jual merupakan present value dari

nilai harapan keuntungan opsi pada waktu jatuh tempo dengan suku bunga bebas

resiko r dan waktu jatuh tempo T tahun, atau dapat dituliskan dalam bentuk p = e-

rT E[maks(K-ST,0)]. Selanjutnya ekspektasi fungsi keuntungan opsi dapat

dijabarkan dalam bentuk integral sebagai berikut

[ ( )] ∫ ( ) ( )

∫ ( )

∫ ( )

Pembuktian rumus harga opsi put di atas diberikan sebagai berikut. Dari nilai

maks(K-ST,0), yang dihitung integralnya adalah nilai ST yang lebih kecil dari K.

Sedangkan untuk nilai ST yang lebih besar dari K, nilai maksimalnya akan sama

dengan nol. Integral dari fungsi nol akan sama dengan nol. Penjabaran Secara

matematisnya dapat dilihat sebagai berikut:

Untuk integral yang pertama

∫ ( ) ( ) ( )

( ( ) )

( ( ) )

Kita tahu bahwa (r-0.5σ2)T+σWT ~ N((r-0.5σ

2)T, σ

2T). Dengan transformasi

variabel random diperoleh

( ) ( )

√

√ ( )

101

Selanjutnya diperoleh

2

0

2

0

2

ln ln 0.5Pr

ln / 0.5Pr

.

K

T T

K S r Tg S dS Z

T

S K r TZ

T

N d

Untuk Integral yang kedua dibawa ke variabel random Z dengan transformasi

normal standard (8.5) di atas. Batas atas ST = K menjadi

√ . Integralnya

menjadi

∫ ( )

∫ √ ( )

√

Dari persamaan (8.6) di atas diperoleh

√ ( ) ( √ )

Selanjutnya diperoleh

∫ ( )

∫ ( √ )

√

Misalkan z-σ√T = y, dz = dy, batas atas z dikurangi σ√T. Dengan menggunakan

sifat sifat distribusi normal integral di atas menjadi

(

√

√ )

(

√ )

( )

dengan d1 dan d2 seperti persamaan (8.3) dan (8.4).

102

Diperoleh rumus harga opsi jual model Black Scholes sebagai berikut:

[ ( )]

[ ( ) ( )]

( ) ( )

Dapat diringkas, harga opsi call dan opsi put tipe Eropa model Black-Scholes,

tanpa pembayaran dividen adalah sebagai berikut :

C = S0 N(d1) – Ke-rT

N(d2)

dan

P = Ke-rT

N(–d2) – S0 N(–d1)

Contoh 8.7. Harga saham 6 bulan dari waktu ekspirasi suatu opsi adalah $42, dan

harga kontrak opsi tersebut $40, suku bunga bebas resiko 10% per tahun, dan

volatilitas 20% per tahun. Ini berarti S0 = 42, K = 40, r = 0.1, σ = 0.2, T = 0.5,

d1 = (ln(42/40) + (0.1 + 0.22/2)0.5)/(0.2*sqrt(0.5)) = 0.7693

d2 = 0.7639- )/(0.2*√0.5) = 0.6278

Untuk opsi call tipe Eropa, harga opsinya adalah c = 4.76, sedangkan untuk opsi

put, harga opsinya adalah p = 0.81.

Contoh 8.8 Suatu perusahaan dengan 1 juta lembar saham seharga masing-

masing $40 sedang mempertimbangkan mengeluarkan 200,000 warrant yang

memberikan pemegangnya hak untuk membeli 1 lembar saham dengan harga $60

dalam 5 tahun. Ingin diketahui biaya untuk hal ini. Tingkat suku bunga 3% per

tahun, volatilitas 30% per tahun. Tidak ada deviden yang dibagikan. Dari

persamaan (13.20), harga dari opsi call tipe Eropa 5 tahun adalah $7.04. Pada

kasus ini, N = 1,000,000 dan M = 200,000, sehingga harga warrant adalah

1,000,000/(1,000,000 + 200,000)*7.04 = $5.87.

Biaya total dari warrant adalah 200,000 × 5.87 = $1.17 million. Assuming the

market perceives no benefits from the warrant issue, we expect the stock price to

decline by $1.17 to $38.83.

103

Latihan Soal

1. Opsi put tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K

=$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi put

tersebut di atas?

a. $1.88

b. $3.28

c. $9.07

d. $10.39

2. Opsi call tipe Eropa mempunyai karakteristik sebagai berikut : S0 = $50, K

=$45, r = 5%, T= 1 tahun dan volatilitas 25%. Berapakah harga opsi call

tersebut di atas?

a. $1.88

b. $3.28

c. $9.06

d. $10.39

3. Suatu sekuritas dijual seharga $40. Suatu opsi call dengan harga kontrak

$42, dengan waktu jatuh tempo 3 bulan dan suku bunga bebas resiko 3%,

berharga $2.49 Berapakah harga opsi put menurut put-call parity?

a. $1.89

b. $3.45

c. $4.18

d. $6.03

4. Saham ABC diperdagangkan seharga $60. Opsi call dan put nya

dikeluarkan untuk waktu jatuh tempo 1 tahun dengan harga kontrak $60.

Standard deviasi tahunannya 10% dan suku bunga majemuk kontinunya

5%. Harga opsi call dan put versi Black Scholes adalah

a. $6.21 dan $1.16

b. $4.09 dan $3.28

c. $4.09 dan $1.16

d. $6.21 dan $3.28

5. Yang mana dari kondisi berikut yang bukan merupakan asumsi dari teori

penentuan harga opsi model BSM?

104

a. Opsi hanya dapat dijalankan pada waktu jatuh tempo

b. Suku bunga bebas resiko konstan

c. Return majemuk kontinu berdistribusi lognormal

d. Saham pokok tidak menghasilkan aliran dana

Jawab:

1. Dihitung nilai

d1 = (ln(50/45) + (0.05 + 0.0625/2)1)/(0.25*sqrt(1)) = 0.74644

d2 = 0.74644 - 0.25*sqrt(1) = 0.49644

N(-d1) = 0.2266

N(-d2) = 0.3085

p = 45e-0.05(1)

(0.3085) – 50(0.2266) = $1.88

2. Dihitung nilai

d1 = (ln(50/45) + (0.05 + 0.0625/2)1)/(0.25*sqrt(1)) = 0.74644

d2 = 0.74644 - 0.25*sqrt(1) = 0.49644

N(d1) = 0.7731

N(d2) = 0.6915

c = 50 (0.7731) – 45e-0.05(1)

(0.6915) = $9.055

3. Dengan menggunakan formula put call parity, diperoleh

P = c + Ke-rT

– S = 2.49 + 42e-0.03×0.25

– 40 = $4.18

4. Dihitung nilai

d1 = (ln(60/60) + (0.05 + 0.5×0.102)1)/(0.1*sqrt(1)) = 0.55

d2 = 0.55 - 0.1*sqrt(1) = 0.45

N(d1) = 0.7088 N(d2) = 0.6736

c = 60 (0.7088) – 60e-0.05(1)

(0.6736) = $42.53-$38.44 = $4.09

selanjutnya dihitung

p = c + Ke-rT

– S0

= $4.09 + 60e-0.05×1

– 60 = $1.16

5. Beberapa asumsi model BSM dapat disebutkan sebagai berikut

a. Tidak ada kesempatan arbitrase

b. Harga saham berdistribusi lognormal, bukan return saham

c. Volatilitas aset pokok konstan

d. Aset tidak mempunyai cash flow atau aliran dana

e. Tipe opsi adalah tipe Eropa