Universidad Nacional de Trujillo

ESCUELA DE ECONOMA

MEDIA ARITMTICA SIMPLELa media aritmtica es la medida central mas conocida, familiar a todos nosotros, y de mayor uso, tambin fcil de calcular, ya sea de datos no tabulados como de datos tabulados. Cuando se habla de media, en la practica se entiende media aritmtica; y en ese sentido hablaremos de: salarios medio, numero medio de accidentes, rendimiento medio de un obrero, etc.

DEFINICIN 1(DATOS NO TABULADOS)La Media Aritmtica Simple o solamente media (o promedio) de una muestra X1, X2, . . . , Xn de tamao n de una variable o caracterstica X, se denota por X (que se lee X testada) o M(x) y se define como la suma de todos los valores observados en la muestra, dividida por el nmero total de observaciones n. Es decir:

Usando la notacin de sumatoria, la media aritmtica simple se expresa:

EJEMPLO 1Una persona que trabaja en forma independiente gana en un mes S/.200, otro mes S/.600 y otro S/.400; Cunto gana en promedio mensual?

SOLUCIN:1. 2.

En este caso = S/.200, = S/.600, = S/.400 y n=3 Aplicando la formula, ha ganado en promedio:

Es de, si todos los meses hubiese ganado S/.400, al cabo del trimestre tendra la misma cantidad (400+400+400=1200) que ganado S/.200, S/.600, S/.400 cada mes. Por tanto, podemos interpretar como: la persona debe esperar ganar cada mes S/.400.Claro esta que habr meses que ganar ms y otros menos.

EJEMPLO 2 Supongamos que los puntajes obtenidos en 5 exmenes parciales de Estadstica son: =13;SOLUCIN:

=10;

=14;

=11;

=10

La nota promedio o media aritmtica de las notas es:

EJEMPLO 3Los ingresos de impuestos sobre ventas en una comunidad particular se recogen cada trimestre. Los siguientes datos representan los ingresos(en soles) cobrados durante el primer trimestre del ao, en una encuesta de seis establecimientos comerciales de la comunidad: 17, 11, 26, 33, 9, 12 determinar el impuesto medio de la muestra.

SOLUCIN:1.

Aqu tenemos:

2.

De acuerdo con la formula, el impuesto promedio trimestral es:

La media aritmtica (o impuesto promedio) de la muestra resulta ser 18 soles aun que ninguno de los impuestos cobrados fue de esta cantidad. En realidad, como se ve en la muestra , hay cuatro observaciones menores(9,11,12,17) y dos mayores(26,33) que la media.

Tambin se puede interpretar as: el impuesto medio de 18 soles es el impuesto que se atribuir a cada establecimiento comercial, si el impuesto total de 18 soles fuera distribuido en partes iguales entre todos los establecimientos comerciales muestreados. En efecto. 18 +18 + 18 + 18 + 18 + 18 =108 6 veces 18 Entonces, en general se cumple que n

NOTA. La media aritmtica puede interpretarse algunas veces como aquel valor que se atribuira a cada trmino, si el monto total (suma de los valores de las n observaciones) estuviera dividido en partes iguales entre los n trminos. NOT A. La Unidad de la media aritmtica es la misma que la unidad de las observaciones: soles, dlares, m, cm, etc.

EJEMPLO 4260 230 170 125 233 135 164 190 235 130 92 185 160 173 130 230 105 240 145 145 156

Las remuneraciones mensuales, en dlares; de 80 trabajadores de una empresa de transportes, son los siguientes: 135 265 217 140 185 222 170 220 120 95 115 145 170 182 155 91 190 205 230 195 190 225 115 175 125 170 210 177 230 185 190 140 220 135 210 93 225 140 155 165 180 180 233 220 170 288 173 120 190 185 190 95 153 215 160 195 190 120 178

En este ejemplo la variable es la remuneracin mensual media en dlares, es decir = remuneracin mensual, donde los 80 valores de la variable serian . Sumando los valores de se obtiene:

Entonces, el valor de la media(sueldo promedio) ser:

DEFINICIN 2(DATOS TABULADOS)Si los datos han sido clasificados en m clases en una tabla de frecuencias con marca de clase frecuencia absoluta ,i=1,2,...,m, la media aritmtica de estos datos est definida por:

Los datos se pueden representar o agrupar en tablas sin intervalos y en tablas con intervalos, en ambos casos se usa la Media Aritmtica Ponderada:Note que la expresin anterior se escribe as

Es decir, la media aritmtica ponderada, en el caso de datos tabulados, se escribe en forma equivalente como:

TABLAS SIN INTERVALOEJEMPLO 1CLCULO DE LA MEDIA O NMERO PROMEDIO DE TRABAJADORES POR EMPRESA

SOLUCIN:

Como es variable discreta, se puede expresar como cuatro trabajadores por empresa.

EJEMPLO 2 Durante 30 das se ha observado el nmero de pasajeros que viajan de Lima a Iquitos, siendo su tabla de distribucin de frecuencia la siguiente:SOLUCIN: 1. Se agrega una columna en la tabla para el producto . Luego, se suma estos productos obteniendo:

2. Se aplica la frmula de la definicin 2 y se obtiene que el promedio es:

Esto debe interpretarse como que el numero de pasajeros que viajan a diario de Lima a Iquitos se debe esperar que sea 36.

TABLAS CON INTERVALOEJEMPLO 3CALCULO DEL SUELDO PROMEDIO DE 80 TRABAJADORES Sueldos Marcas de Nmero de (U.S.$) clase empleados 90 130 130 170 170 210 210 250 250 290 TOTAL 110 150 190 230 270 m=5 15 22 24 15 4 n=80 1650 3300 4560 3450 1080 14040

Se observa en la tabla el valor de las marcas de clase que luego son multiplicados por su respectiva frecuencia .Entonces el sueldo promedio resultante es:

EJEMPLO 4 Los datos tambin pueden presentarse en una tabla de 7 intervalos (m=7) y calcular la media aritmtica; aqu 90 120 120 150 150 180 180 210 210 240 240 270 270 300 m=7 Luego: 105 135 165 195 225 255 258 11 13 20 17 15 3 1 n=80 1155 1755 3300 3315 3375 765 285 13950

oNOTA. No debe sorprender que, para un mismo conjunto de datos, se obtenga valores ligeramente diferentes para su media; tngase presente que toda agrupacin en intervalos siempre produce sesgos, y sta es una caracterstica del trabajo estadstico. Los estadgrafos no son valores determinantes, ni menos valores exactos, pero si son los ms representativos de una realidad.

VENTAJAS DE LA MEDIA ARITMTICALa media aritmtica, como un solo nmero que representa todo un conjunto de datos, tiene ventajas importantes:1.

2.

3.

4.

Es un concepto familiar a la mayora de las personas e intuitivamente claro. Es una media que puede ser calculada y es nica. Ya que cada conjunto de datos tiene una y slo una media. En el clculo de la media, es tomada en cuenta cada observacin del conjunto de datos. La media es una medida digna de confianza, porque se determina con mayor certeza que otras caractersticas de un conjunto de datos.

DESVENTAJAS DE LA MEDIA ARITMTICAComo cualquier medida estadstica, la media aritmtica tiene sus desventajas de las cuales se debe estar consciente. 1. La media aritmtica puede verse afectado por valores extremos que no son representativos del resto de las observaciones. Por ello, cuando se esta utilizando esta medida en un anlisis, vale la pena advertir la representatividad de los valores extremos y la fluencia que estos tienen sobre el resultado. EJEMPLO. Su pongamos que los haberes de los trabajadores de una pequea empresa es como sigue:Cargo Gerente General Administrador Contador Empleados Obrero calificado Obrero semicalificadoa. b. c.

N de Trabajadores 1 1 1 3 5 3

Haberes en soles/mes 560 520 480 160 c/u 150 c/u 140 c/u

Determinar el haber promedio mensual (por trabajador) de la empresa Sera representativo este haber promedio del conjunto de trabajadores? Cul seria un procedimiento adecuado para un anlisis de los datos?

SOLUCION.a.

El haber promedio mensual es

b.

No es representativo, porque hay solo 3 personas con sueldo alto que hacen crecer el promedio. Un procedimiento adecuado podra ser estratificar previamente los datos originales en dos categoras; los de la plana administrativa: Gerente general, Administrador y contador, y los de mando medio, y los de mando medio: empleado, obrero calificado y obrero semicalificado. Luego realizar los clculos de medias aritmticas en forma separada parta cada grupo

c.

2. El calculo de la media aritmtica es tedioso porque se usan todas las observaciones en los clculos 3. No se puede calcular la media aritmtica para un conjunto de datos que tienen intervalos de clases abiertos en los extremos. Por ejemplo, suponga que un conjunto de datos han sido arreglados en la distribucin de frecuencia que se muestra en la tabla. No se puede calcular un valor para la media de estos datos, por que no se puede calcular el punto medio de la clase abiertaClases Frecuencia 35-40 5 40-45 12 45-50 14 50-55 6 55 a mas 4

PROPIEDADES DE LA MEDIA ARITMTICAa) La media aritmtica de una constante es igual a la misma constante

b) La media del producto de una constante por una variable, es igual al producto de la constante por la media de la variable

c) La media de la suma de dos o mas variables, es igual a la suma de las medias de cada una de dichas variables

Para tres variables:

d) La media de una variable mas una constante, es igual a la media de la variable mas la constante

e) La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmtica es igual a cero, cualquiera sea la distribucin.

Demostracin:

Puesto que:

El lector puede demostrar que:

EJEMPLOPara los 80 empleados del ejemplo 4 (de media aritmtica simple); se tiene la siguiente comprobacin numrica.

110 150 190 230 270

110 -175,50 = -65,5 150 -175,50 = -25,5 190 -175,50 = 14,5 230 -175,50 = 54,5 270 -175,50 = 94,5

15 27 24 80 4

-982,5 -561,0 348,0 817,5 378,0

80

0