media aritmetica final

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Facultad De Ingeniería De Minas FIM

MEDIA ARITMÉTICA.

En matemáticas y estadística, la media aritmética (también llamada promedio o

simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor característico de

una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que parte del principio de la

esperanza matemática o valor esperado, se obtiene a partir de la suma de todos

sus valores dividida entre el número de sumandos. Cuando el conjunto es

una muestra aleatoria recibe el nombre de media muestral siendo uno de los

principales estadísticos muéstrales.

Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética) es la

cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada observación.

También la media aritmética puede ser denominada como centro de gravedad de

una distribución, el cual no está necesariamente en la mitad.

Una de las limitaciones de la media aritmética es que se trata de una medida muy

sensible a los valores extremos; valores muy grandes tienden a aumentarla

mientras que valores muy pequeños tienden a reducirla, lo que implica que puede

dejar de ser representativa de la población.

La media aritmética se calcula sumando todos los componentes y dividiendo el

resultado entre el número de componentes. El resultado entero o decimal es la

media aritmética.

DECISIÓN.

Dados los n números , la media aritmética se define como:

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:


Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para representar la

media de una muestra ( ), mientras que la letra µ (mu) se usa para la media

aritmética de una población, es decir, el valor esperado de una variable.

En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por n :

donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística el número de

datos se da el resultado

PROPIEDADES.

La suma de las desviaciones con respecto a la media aritmética es cero (0).

La media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los valores de la

variable con respecto a una constante cualquiera se hace mínima cuando

dicha constante coincide con la media aritmética.

Si a todos los valores de la variable se le suma una misma cantidad, la media

aritmética queda aumentada en dicha cantidad.

Si todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante la

media aritmética queda multiplicada por dicha constante.

La media aritmética de un conjunto de números positivos siempre es igual o

superior a la media geométrica:

La media aritmética está comprendida entre el valor máximo y el valor mínimo

del conjunto de datos:

En otros términos hay por lo menos un dato que es mayor o igual que la media

aritmética.

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Equivale al cálculo del promedio simple de un conjunto de datos. Para diferenciar

datos muestréales de datos poblacionales, la media aritmética se representa con

un símbolo para cada uno de ellos: si trabajamos con la población, este indicador

será µ; en el caso de que estemos trabajando con una muestra, el símbolo será.

Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos tanto

poblacionales como muéstrales: sin agruparlos o agrupándolos en tablas de

frecuencias. Esta apreciación nos sugiere dos formas de representar la media

aritmética.

MÉTODO DE LA MEDIA ARITMÉTICA EN MINERIA.

Es el método de cálculo más simple. En este caso la forma compleja del cuerpo

mineral se sustituye por una placa o lámina de volumen equivalente cuyo espesor

corresponde con la potencia media del cuerpo.

Los contornos se trazan en los planos o proyecciones verticales. El área

delimitada se determina planimétricamente o por otro método de cálculo. El

espesor medio se estima por la media aritmética simple o ponderada.

El contenido promedio y la masa volumétrica se determina de la misma forma. La

parte del cuerpo comprendida entre el contorno interno y externo generalmente se

calcula de manera independiente porque los recursos de esta zona se reportan en

una categoría inferior. A pesar de su sencillez se puede emplear exitosamente en

yacimientos de constitución geológica simple Ej. Yacimientos de materiales

auríferos.

SECUENCIA GENERAL DE TRABAJO.

Delimitación del área del cuerpo mineral, trazando el contorno interno y

externo.

Medición del área

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Cálculo de la potencia media del mineral útil por promedio aritmético.

Cálculo de la masa volumétrica por promedio aritmético.

Cálculo de la ley media del mineral útil por promedio aritmético.

Cálculo del volumen, tonelaje (reservas de mena) y reservas del

componente útil.

MEDIA ARITMETICA PONDERADA:

EJEMPLO ILUSTRATIVO.

Cuando los números x1, x2, x3,….x k. se les asocia ciertos factores peso (o pesos) w1, w2,

Calcular la media aritmética ponderada, la cual se calcula así:

x=w1·x1+w2·x2+w3·x3+…wk·xkw1+w2+w3+…w k = w· xw

Ejemplo ilustrativo: Se tiene una información acerca de las utilidades por pan.

ALMACEN Utilidad/ANFOCantidad vendida

1 1 2000

2 0,8 1800

3 0,9 2100

Solución:

x=w1·x1+w2·x2+w3·x3+…wk·xkw1+w2+w3+…wk=w·xw

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x=2000·1+1800·0,8+2100·0,92000+1800+2100=53305900=0,90339.

ALMACEN

UTILIDAD/DINAMITA

CANTIDAD VENDIDA

1 1 20002 0,8 18003 0,9 2100

TOTAL 0,903389831 5900

MÉTODOS DE ESTIMACIÓN DE RESERVAS

Los métodos clásicos desarrollados y empleados desde los mismos comienzos de

la minería se basan fundamentalmente en los principios de interpretación de las

variables entre dos puntos continuos de muestreo, lo que determina la

construcción de bloques geométricos a los que se le asignan las leyes medias

para la estimación de recursos.

Características:

Son métodos sencillos.

Se basan en criterios geométricos.

Están siendo superados por los actuales métodos modernos.

Son aun aplicables en muchas situaciones tales como :

Cuando no hay suficiente información de exploración.

La variabilidad es pequeña.

Los principios de interpretación de estos métodos son los siguientes:

1. El principio de los cambios graduales presupone que los valores de una

variable (espesor, ley, etc.) varían gradual y continuamente a lo largo de la

línea recta que une 2 puntos de muestreo contiguos.

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2. El principio de vecinos más cercanos admite que el valor de la variable de

interés en un punto no muestreado es igual al valor de la variable en el

punto más próximo.

3. El último de los principios permite la extrapolación de los valores conocidos

en los puntos de muestreo a puntos o zonas alejadas sobre la base del

conocimiento geológico o por analogía con yacimientos similares.

Todos estos principios de interpretación son utilizados para la subdivisión del

yacimiento mineral en bloques o sectores, los cuales son evaluados

individualmente y posteriormente integrados para determinar los recursos totales

del yacimiento.

Su desarrollo general es el siguiente:

1. Calculo de volúmenes de bloques en los que se subdivide en cuerpo

mineralizado, según diversos métodos.

2. Estimación de densidades medias

3. Calculo de cantidad de mineral

4. Estimación de leyes medias

5. Calculo de cantidad de metal

6. Calculo de reservas totales

Tipos de Métodos clásicos:

1. Media aritmética

2. Bloques geológicos

3. Bloques de explotación

4. Perfiles

5. Polígonos

6. Triángulos

1.- Método de la media aritmética

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Consiste en la sustitución de un yacimiento, limitado por superficies irregulares,

por un cuerpo tabular de potencia constante.

Método de cálculo

1.- Se proyecta el contorno del depósito

Se proyecta el contorno que procesa

Si Fc > 10%, los cálculos se hacen por separado

Si Fc < 10%, los cálculos se hacen en conjunto para todo el yacimiento.

Plano paralelo a la dirección de la pendiente.

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2.- Se calcula la superficie

3.- Se deduce la potencia media

4.- Se calcula el volumen

5.- Se calcula la densidad

6.- Se calculan las reservas de mineral

7.- Se calcula la ley

8.- Se calcula las reservas de mineral

El método de la media aritmética se basa en lo siguiente: para estimar la ley media

de un conjunto S se promedian las leyes de los datos que están dentro de S.

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Si están definidos en el contorno interno y externo, y Fc > 10%, se procederá a

hacer los cálculos de manera distinta.

Fc: superficie banda del contorno

Pin: potencia media al interior del contorno

Pex: potencia máxima

Ventajas e inconvenientes

Sencillez

Rapidez

Datos regularmente distribuidos

Cuerpos tabulares

Leyes que no varíen excesivamente

No diferencia distintas clases de mena

Análisis exploratorio de datos

Compositacion o regularización.-

Generalmente los intervalos de muestro en los pozos de exploración no coinciden

con los intervalos de trabajo en la fase de estimación de recursos. Los intervalos

de muestreo son siempre menores pues se busca revelar la variabilidad espacial

de las variables que se estudian. El cálculo de los compositos no es más que un

procedimiento mediante el cual las muestras de los análisis se combinan en

intervalos regulares (igual longitud), que no coinciden con el tamaño inicial de las

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muestras. La ley del nuevo intervalo se calcula usando la media aritmética

ponderada por la longitud de los testigos que contribuyen a cada composito y la

masa volumétrica es caso de ser variable. El objetivo de la regularización según

Barnes, 1980 es obtener muestras representativas de una unidad litológica o de

mineralización particular las cuales pueden ser usadas, a través de una función de

extensión, para estimar la ley de un volumen mucho mayor de la misma unidad.

La compositacion reduce la cantidad de datos y por consiguiente el tiempo de

cálculo o procesamiento.

La compositación es usualmente un promedio ponderado o media aritmética

ponderada en base a la longitud.

En caso que la densidad sea extremadamente variable, el factor de ponderación

es la longitud por la densidad (o gravedad especifica). Este procedimiento es

repetido para cada uno de los taladros.

Métodos de estimación de reservas asistido por computadoras

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Los métodos de estimación de recursos asistido por computadoras se han

desarrollado ampliamente en los últimos años debido al desarrollo vertiginoso que

han tenido los ordenadores y los software de aplicación. Los primeros intentos

estuvieron dirigidos a informatizar los métodos clásicos o geométricos (método de

polígonos y perfiles) posteriormente con el desarrollo de la geoestadistica

aparecieron métodos más potentes y con una filosofía totalmente diferente de

trabajo.

Los métodos asistidos por computadoras permiten realizar estimaciones en

bloques más pequeños (estimación bloque a bloque, que idealmente deben ser

del tamaño de la unidad se selección minera) definidos en función del objetivo de

la estimación y la densidad de la red de exploración. En esto radica precisamente

la diferencia con los métodos clásicos o geométricos los cuales, como se conoce,

definen el tamaño del bloque sobre la base de conceptos de área o volumen de

influencia que comúnmente son determinados empíricamente, o también de

acuerdo con la disposición de las intersecciones de exploración. Estos bloques así

definidos son de grandes dimensiones y se evalúan generalizando la variable

estudiada a partir de la media aritmética o la media ponderada según sea el caso.

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CONSIDERACIONES

Hasta aquí hemos tratado de hacer ver los principales métodos de estimación de

recursos desde los geométricos o tradicionales hasta los más modernos que se

apoyan en el empleo de ordenadores. Se presentaron las principales

características de los mismos. Pero hay errores que se cometen y limitaciones del

método asistido por software

Desventajas:

El principal problema muchas veces es no ver los resultados y aceptar

tácitamente las soluciones brindados por la computadora.

Muchas veces no es fácil combinar es un mismo modelo de recurso zonas

con distinto grado de conocimiento geológico.

CONCLUSIONES

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• Que hay distintos métodos pára poder hallar resultados de la media

aritmética

• No tiene muchas complicaciones y es muy sencillo de realizar

• Podemos utilizarlo para distintas aplicaciones matemáticas según sea

requerido

• Hay que entender que existen dos formas distintas de trabajar con los datos

tanto poblacionales como muéstrales: sin agruparlos o agrupándolos en

tablas de frecuencias. Esta apreciación nos sugiere dos formas de

representar la media aritmética.

BIBLIOGRAFIA..

Minería superficial – Ing. Jorge Durant Broden- 2014

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GUÍA DE TRABAJOS PRÁCTICOS, GEOQUÍMICA DEPARTAMENTO DE

GEOLOGÍA-UNSL Dra. Roquet

Los principios de interpretación “Popoff (1966)”

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media aritmetica final

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